Integraalrekening 2

Les 3 DT

Gerard van Alst

April 2015

Doelen

• Paragraaf 7.3: gonio-substitutie als je het niet verwacht: alleen de eerste.

• Paragraaf 7.4: breuksplitsing.

Elke les: 5 minuten met 5 vragen over standaardafgeleiden en standaardintegralen

• 1. Wat is de afgeleide van ?• 2. Bereken de afgeleide van • 3. Wat is de primitieve van ?• 4. Wat is de primitieve van ?• 5. Wat is de primitieve van ?

Weten we nog?

2

Bereken tan( ) en cot( ) .

Probeer nu ook: tan ( ) .

x dx x dx

x dx

Paragraaf 7.3

• Je ziet: nogal bewerkelijk!

2

2 2 2

2 2

We bekijken: 1 . Dit heeft alles met een cirkel te maken. Waarom?

We substitueren: sin( ), dan krijgen we: 1 1 sin ( ) cos ( ) en cos( ) , dus

11 cos( )cos( ) cos ( ) ( cos(2 )

2

x dx

x t x t t dx t dt

x dx t t dt t dt t

2

1 1 1) sin(2 )

2 4 21 1 1 1

sin( )cos( ) 1 arcsin( )2 2 2 2

dt t t C

t t t C x x x C

Par. 7.3 (2)

• We hebben nu een voorbeeld van de eerste substitutie gezien. De andere twee substituties doen we niet.

Opgave.

• Maak:

Par. 7.4: Breuksplitsing

• Waarom willen we dit?

• Dus:

De techniek.

• Stel waarbij en polynomen zijn.• Dan:• 1. Als de graad van P groter of gelijk is

aan de graad van Q: deel dan uit.• 2. Zoek de nulpunten van Q(x) en ontbind

Q(x) zoveel als mogelijk is.• We onderscheiden verschillende gevallen.

De techniek (2)

• Geval 1: Q(x) is product van verschillende lineaire factoren.

• Geval 2: Q(x) is product van lineaire factoren, maar er zitten dezelfde tussen.

• Geval 3: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele (enkelvoudige) kwadratische factoren.

• Geval 4: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele meervoudige kwadratische factoren. Dit geval hoeven jullie niet te kennen.

Voorbeelden:

• Geval 1: Q(x)=(x-2)(x+3).• Geval 2: Q(x)=x2(x+4).• Geval 3: Q(x)=(x-1)(x+1)(x2+1). Een

irreducibele factor is een factor zonder dat die verder te ontbinden is: x2+1 heeft geen nulpunten (ga na!), en is dus niet verder te ontbinden.

• Geval 4: Q(x)=(x2+1)3.

Oefening.

• Welk geval betreft het?• A. Q(x)=x3+x.• B. Q(x)=x2-5x+6• C. Q(x)=x3-4x2+4x• D. Q(x)=x4-1• E. Q(x)=(x-1)3

Geval 1.• Bijvoorbeeld: Q(x)=(x-2)(x+3).• In dat geval is te schrijven als .• Bijvoorbeeld: .• We zoeken nu A en B: = = . Vermenigvuldig

aan beide kanten met

Geval 1 (vervolg)

• Dus en .• Hieruit volgt: en • Dus en • Nu is , zodat• =

Geval 2.

• Bijvoorbeeld: Q(x)=x(x-1)2.• Dan: .• Daarna verder uitwerken: A, B, C vinden. • Dan kunnen we de gevonden functie

integreren.

Opgaven.• §7.4: 7, 9, 11, 15, 17, 19.

Huiswerk

• §7.3: 1, 2, 6, 29.

• En de opgaven van paragraaf 7.4:§7.4: 7, 9, 11, 15, 17, 19.

Huiswerk

• §7.3: 1, 2, 6, 29§7.4: 7, 9, 11, 15, 17, 19.