Bespreken: §5.4: 11, 59, 61 (extra); §5.5: 13, 21, 45, lesuur 1, les 4

Welkom terug!!!Bespreken huiswerkopgaven

§5.4: 11 (blz. 404)

Bereken x3 − 2 xx

dx∫x3 − 2 x

xdx∫ = x3

x− 2x

12

xdx∫ = x2 − 2x

−12 dx∫ =

13 x

3 − 4x12 +C = 1

3 x3 − 4 x +C

§5.4: 59 (blz. 405)

De snelheidsfunctie (in m/s) is voor een deeltje dat zich voortbeweegt volgens een rechte lijn. Vind, ten eerste, de afstand (in m) die het deeltje heeft afgelegd ten opzichte vanaf het begin en, ten tweede, de afgelegde afstand gedurende het interval .

Het deeltje beweegt tot 3t - 5 = 0, ofwel achteruit. Dus:

v(t) = 3t − 5

0 ≤ t ≤ 3

d(t) = v(t)dt0

3

∫ = 3t − 5dt0

3

∫ = 32 t

2 − 5t⎡⎣ ⎤⎦03= −1,5meter

t = 53

− 3t − 5dt0

53

∫ + 3t − 5dt53

3

∫ = − 32 t

2 − 5t⎡⎣ ⎤⎦053 + 3

2 t2 − 5t⎡⎣ ⎤⎦5

3

3=

− − 4 16 − −0 + −1,5 − −4 1

6 = 6 56 meter

§5.4: 61 (blz. 405) voor jullie

De versnellingsfunctie (in m/s2) is voor een deeltje dat zich voortbeweegt volgens een rechte lijn. Vind, ten eerste, de snelheid (in m/s) op tijdstip t en, ten tweede, de afgelegde afstand gedurende het interval , wetende dat de snelheid op t = 0 gelijk is aan 5.

Dus:

a(t) = t + 4

0 ≤ t ≤10

v(t) = a(t)∫ dt = t + 4dt∫ = 12 t

2 + 4t +Cv(0) = 5}v(0) = 1

2 ⋅02 + 4 ⋅0 +C = 5

C = 5v(t) = 1

2 t2 + 4t + 5

§5.4: 61 (blz. 405) voor jullie

De integraal van de snelheidsfunctie is de afstandsfunctie d:

Bij een bepaalde integraal schrijf je de +C niet op.

d(t) = v(t)dt0

10

∫ = 12 t

2 + 4t + 5dt0

10

∫ = 16 t

3 + 2t 2 + 5t⎡⎣ ⎤⎦010

= 16 ⋅10

3 + 2 ⋅102 + 5 ⋅10 − 0= 416 2

3 meter

§5.5: 13 (Blz. 413)

Bereken

Bij een onbepaalde integraal schrijf je de +C wel op.

dx5 − 3x∫dx

5 − 3x∫ = 15 − 3x

dx∫ = −3⋅ −135 − 3x

dx∫ =−13

udu∫ =

−131udu∫ = −1

3 ln u +C( ) = −13 ln u +C = −1

3 ln 5 − 3x +C

§5.5: 21 (Blz. 413)

Bereken (ln(x))2

xdx∫

(ln(x))2

xdx∫ = (u)2 du∫ = 1

3u3 +C = 1

3 (ln(x))3 +C

§5.5: 45 (Blz. 413)

Bereken 1+ x1+ x2

dx∫1+ x1+ x2

dx∫ = 11+ x2

+ x1+ x2

dx∫ = tan−1(x)+ x1+ x2

dx∫ =

tan−1(x)+12 ⋅2x1+ x2

dx∫ = tan−1(x)+12

udu∫ =

tan−1(x)+ 121udu∫ = tan−1(x)+ 1

2 ln u +C =

tan−1(x)+ 12 ln 1+ x

2 +C

lesuur 1-2, les 4

§5.5 The Substitution RuleChapter 5 Integrals

Definite Integrals

Vorige week hebben we het over de primitieve gehad. De primitieve F van f kunnen we berekenen met .

Dit noemen we een onbepaalde integraal.

Wanneer we grenzen aangeven noemen we het een bepaalde integraal.

We moeten dan slechts één stapje meer maken door gebruik te maken van theorema 2 van de calculus:

f (x)dx∫

f (x)dxa

b

∫ = f (x)dx∫⎡⎣ ⎤⎦ab= F(b)− F(a)

Definite Integrals

Ook een gedefinieerde integraal is op te lossen met behulp van de substitutiemethode.

Maar ook met behulp van theorema 2 van de calculus.

Laten we het eens op beide manieren uitvoeren.

Voorbeeld 1

Bepaalx1+ 2x

dx0

4

∫12 ⋅ 12 (u −1)

udu∫ =x

1+ 2xdx∫ = 1

4u −1udu∫ =

14

uu− 1

udu∫ = 1

4 u12 − u

−12 du∫ = 1

4 ( 23 u32 − 2u

12 ) =

16 u u − 1

2 u = 16 (1+ 2x) 1+ 2x − 1

2 1+ 2x +C

x1+ 2x

dx0

4

∫ = 16 (1+ 2x) 1+ 2x − 1

2 1+ 2x⎡⎣ ⎤⎦04= 9

3 − − 13 = 10

3

Definite Integrals

De substitutiemethode voor gedefinieerde integralen zegt:

Als g’ continu is op een interval [a, b] en f is continu op u =

g(x), dan:

Als we op deze manier voorbeeld 1 uitvoeren, dan krijgen we:

We gaan dus niet meer terug naar de variabele x!

f (g(x))g '(x)dx =a

b

∫ f (u)dug(a)

g(b)

∫

x1+ 2x

dx0

4

∫ =12 ⋅2x1+ 2x

dx0

4

∫ =12 ⋅ 12 (u −1)

udu

1

9

∫ = 16 u u − 1

2 u⎡⎣ ⎤⎦19=

16 ⋅9 ⋅ 9 − 1

2 9 − ( 16 − 12 ) = 3− − 1

3 = 103

Voorbeeld 2

Bereken met behulp van de substitutiemethode:

cos(x) ⋅sin(sin(x))dx0

π2

∫ = sin(u)du0

1

∫= −cos(u)[ ]0

1

= −cos(1)− −1

= 1− cos(1)

Symmetrie

Als f continu is op een interval [-a, a] en voor iedere x in het interval geldt f(x) = f(-x) dan noemen we de functie even.

Er geldt dan:

Een waarde 0 is vaak makkelijker in te vullen dan -a.

f (x)dx−a

a

∫ = 2 f (x)dx0

a

∫

Symmetrie

Als f continu is op een interval [-a, a] en voor iedere x in het interval geldt f(-x) = -f(x) dan noemen we de functie oneven.

Er geldt dan:

De oppervlaktes van -a tot 0 en van 0 tot a heffen elkaar dan namelijk op!

f (x)dx−a

a

∫ = 0

Voorbeeld 3

Bereken door gebruik te maken van symmetrie:

Deze functie is oneven met als symmetriepunt x = 1. De grenzen van de integraal liggen op 3 afstand van 1 dus:

Normaliter mag je ook de functie gewoon uitwerken en integreren. Maar dit zal niet altijd gaan…

(x2 −1)(x − 3)dx−2

4

∫ = (x −1)(x +1)(x − 3)dx−2

4

∫

(x2 −1)(x − 3)dx−2

4

∫ = 0

lesuur 2-3, les 3

H5 ReviewChapter 5 Integrals

Review

Ga nu aan de slag met de volgende opdrachten uit de review (dit is niet het huiswerk):

16, 18, 23, 66 en 70

Review 16

y2 1+ y30

2

∫ dy = 13 ⋅3y

2 1+ y30

2

∫ dy =

13 3y2 1+ y30

2

∫ dy = 13 u du0

2

∫ =

13

23 u

32⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

2

= 13

23 (1+ y

3) 1+ y3⎡⎣

⎤⎦02=

13

543 − 2

3( ) = 529

Let op, de notatie op deze pagina is officieel onjuist omdat de grenzen niet mee veranderen.

Review 18

sin(3πt)dt0

1

∫ =

− 13π cos(3πt)[ ]0

1 =

− 13π cos(3π )− − 1

3π cos(0) =13π + 1

3π = 23π

Review 23

1− 2x + x2

x2dx =∫

1x2

− 2xx2

+ x2

x2dx =∫

x−2 − 2 ⋅ 1x+1dx =∫

−x−1 − 2 ln x + x +C =

− 1x− 2 ln x + x +C

Review 66

h ''(u)du =1

2

∫

h '(u)[ ]12 =

h '(2)− h '(1) =5 − 2 =3

Review 70

limn→∞

1n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅

1n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟9

+ 2n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟9

+ 3n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟9

+ ... nn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟9⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

limn→∞

in

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟9

⋅ 1n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

i=1

n

∑ =

x9 dx0

1

∫ =

110 x

10⎡⎣ ⎤⎦01=

110 − 0 = 1

10

Einde les 4

Huiswerk: §5.5 (vanaf Definite Integrals) en review H5§5.5: 53, 57, 59, 63, 65, 67, 69, 71, 77; review H5: 2, 3, 7, 13, 22, 26, 37 en 67