10 februari 2015

Calculus 3: Integraalrekening 1Integrals and applications of IntegrationBart Habraken (b.habraken@fontys.nl)

01

Modulewijzer

✤ Studielast: 112 sbu = 4 ECTSDat betekent ongeveer 7 uur huiswerk per week!

✤ Studiemateriaal: - Single Variable Calculus (7th) - Digitale leeromgeving: www.webassign.net

✤ Voorkennis: Calculus 1 en 2 dienen goed beheerst te worden.

01

Modulewijzer

✤ Werkwijze:Tijdens de lessen behandelen we iedere week ongeveer 2 paragrafen en oefenen daar ook direct mee. Daarnaast bespreken we iedere week een aantal huiswerk opgaven (aan te wijzen door jullie). Thuis dient men de stof verder in te oefenen!!!

✤ Studieschema: week 1: Appendix E, §5.1 en § 5.2 week 2: §4.9 en §5.3 week 3: §5.4 en §5.5 (part 1) week 4: §5.5 (part 2) en review chapter 5

✤ De opdrachten: De opdrachten die we maken staan in de modulewijzer

week 5: §6.1week 6: §6.2week 7: §6.5week 8: herhalen

01

Modulewijzer

✤ Toetsing:Toetsing vindt plaats door middel van een tentamen na periode 3 (herkansing: periode 4). Bij deze toets is een grafische rekenmachine NIET toegestaan.

✤ vragen/opmerkingen:b.habraken@fontys.nl of dinsdag vanaf 17.30 aanwezig.

✤ Deze presentaties: Zie: www.slideshare.net/barthabraken

✤ Ewa omgeving: klascode: 6870 4747

Differentiëren versus IntegrerenWaar komt het vandaan en waarom doen we het?

Integreren

✤ optellen vs. aftrekken

✤ vermenigvuldigen vs. delen

✤ kwadrateren vs. wortel trekken

✤ differentiëren vs. integreren

Integreren: waarom?✤ Hoeveel moet een aannemer vragen voor een bouwproject wat hij nog nooit

eerder heeft uitgevoerd?

✤ Hoeveel mensen hebben er gewerkt aan de piramide van Cheops als deze in 20 jaar gebouwd is?

✤ Wat is de formule van de inhoud van de bol?

✤ Hoeveel kracht is er nodig op een spaceshuttle los te krijgen van het aardmagnetisch veld?

✤ Hoeveel energie kost het op een lift met 8 personen van de begane grond naar de 16e verdieping te vervoeren?

✤ Hoe groot is de kans dat de vulmachine bij Coca Cola de flessen te vol vult?

✤ Hoe gaat de wereldbevolking tot 2050 zich ontwikkelen?

Integreren: Wat is het?

Integreren is het omgekeerde proces van differentiëren.

Integreren is oppervlaktes onder grafieken uitrekenen.

En wat het precies is, dat ga je deze module leren!

Stencil 1

Voorkennis: differentiëren en limietenCalculus (1 en) 2

a)

b)

c) arcsin is continu dus:

d)

limx→2

−3x2 +126 − 3x

= limx→2

4 − x2

2− x= limx→2

(2− x)(2+ x)2− x

= limx→22+ x = 2+ 2 = 4

Uitwerkingen stencil 1

limx→2

x3 − 2x + 32x + 4

= 23 − 2 ⋅2+ 32 ⋅2+ 4

= 8 − 4 + 38

= 78

limx→1arcsin 1− x

1− x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = arcsin lim

x→1

1− x1− x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= arcsin limx→1

1− x

(1− x)(1+ x)

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = arcsin lim

x→1

11+ x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= arcsin 11+1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= arcsin 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= π6

limx→∞

x2 + x − 43x2 − x −10

= limx→∞

x2

x2+ xx2

− 4x2

3x2

x2− xx2

− 10x2

= limx→∞

1+ 1x− 4x2

3 − 1x− 10x2

= 1+ 0 − 03 − 0 − 0

= 13

e)

f)

g)

f '(x) = 4x3 − 9x2 + 2+18x−4 = 4x3 − 9x2 + 2+ 18x4

Uitwerkingen stencil 1

f '(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)h

= limh→0

(1+ (a + h))2 −1− ((1+ a)2 −1)h

= limh→0

(1+ a + h + a + a2 + ah + h + ah + h2)−1− (1+ 2a + a2 −1)h

= limh→0

a2 + h2 + 2ah + 2a + 2h − (2a + a2)h

= limh→0

h2 + 2ah + 2hh

= limh→0h + 2a + 2 = 0 + 2a + 2 = 2a + 2

g '(x) = e2x⎡⎣ ⎤⎦'x + e2x x⎡

⎣⎤⎦'= 2e2x x + e2x

2 x= 2e2x x + e

2x x2x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Negatieve exponenten wegwerken!

Wortels in de noemer wegwerken!

Uitwerkingen stencil 1

h) h '(t) = t3 t − t + x⎡⎣

⎤⎦'− t − t + x( ) t3⎡⎣

⎤⎦'

t3( )2=

t3 1− 12 t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− t − t + x( ) 1

3 t 23

t 23

=t3 − t3

2 t− t

3 t 23+ t

3 t 23− x

3 t 23

t 23= t3

t 23− t3

2 t t 23− t

3 t 43+ t

3 t 43− x

3 t 43

= 1t3− 12 t56

− t

3 t 43+ 13 t56

− x

3 t 43

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

i)

j)

k) m.b.v. l’Hospital:

= cos(2x) ⋅2 ⋅cos(2x)+ sin(2x) ⋅ −sin(2x) ⋅2

Uitwerkingen stencil 1

i '(x) = sin(2x)⎡⎣ ⎤⎦'cos(2x)+ sin(2x) cos(2x)⎡⎣ ⎤⎦

'

j '(x) =ln(x)5 sin(ln(x))⎡⎣ ⎤⎦

'− ln(x)5⎡⎣

⎤⎦'sin(ln(x))

ln(x)5( )2

limx→∞

ln(x)x3

= limx→∞

1x1

3x23

= limx→∞

3x23

x= limx→∞

3

x13

= limx→∞

3x3= 0

Breuk in een breuk wegwerken

=

ln(x)5 ⋅cos(ln(x))x

− sin(ln(x))

5x ln4(x)5

ln2(x)5= 5ln(x) ⋅cos(ln(x))− sin(ln(x))

5x ln6(x)5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= 2cos2(2x)− 2sin2(2x)

lesuur 1

Laten we echt beginnen!!!Appendix E Sigma notation

Sigma notation

Ik ben lui.

Wiskundige zijn lui.

De mensheid is lui.

Daarom is wiskunde uitgevonden.

Zit er een verband tussen de getallen 2, 4, 6, 8, 10, 12, …?

Kunnen we die rij korter opschrijven?

Kunnen we de reeks (optelling van de rij) korter opschrijven?

Sigma notation

2, 4, 6, 8, …

= 2, 2 + 2, 2 + 2 + 2, 2 + 2 + 2 + 2, …

= 1 x 2, 2 x 2, 3 x 2, 4 x 2, …

= m x 2 met m∈Z0+

Sigma notation

Maar hoe gaan we deze reeks opschrijven?

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …

Daarvoor gebruiken we de sigma-notatie:

De sigma-notatie betekent: reken alle elementen uit en tel ze bij elkaar op. Begin daarbij met i = 1 en stop zodra je bij de n-de waarde bent aangekomen.

2ii=1

n

∑

2ii=1

5

∑2ii=1

5

∑ = 2+ 4+ 6+8+102ii=1

5

∑ = 2+ 4+ 6+8+10 = 30

Voorbeeld 1

voorbeelden:

Dit geldt altijd zo!

2i + 2i2i=0

3

∑2i + 2i2i=0

3

∑ = 0+ 4+12+ 24 = 40

2 i + i2i=0

3

∑2 i + i2i=0

3

∑ = 2(0+ 2+ 6+12) = 2 ⋅20 = 40

2ii=0

3

∑ + 2i2i=0

3

∑2ii=0

3

∑ + 2i2i=0

3

∑ = (0+ 2+ 4+ 6)+ (0+ 2+8+18) = 12+ 28 = 40

Sigma notation

Bewijs dat:

Er geldt:

Maar ook:

De som hiervan is:

ii=1

n

∑ = n(n+1)2

ii=1

n

∑ = 1+ 2+ ...+ (n−1)+ n

ii=1

n

∑ = n+ (n−1)+ ...+ 2+1

2 ii=1

n

∑ = (n+1)+ (n+1)+ ...+ (n+1)+ (n+1)

2 ii=1

n

∑ = n(n+1)

ii=1

n

∑ = n(n+1)2

Sigma notation

Er zijn een heleboel rekenregels voor de Sigma (voor de bewijzen zie Appendix E):

caii=m

n

∑ = c aii=m

n

∑

(ai − bii=m

n

∑ ) = aii=m

n

∑ − bii=m

n

∑

(ai + bii=m

n

∑ ) = aii=m

n

∑ + bii=m

n

∑

i2i=1

n

∑ = n(n +1)(2n +1)6

ci=1

n

∑ = nc

1i=1

n

∑ = n i3i=1

n

∑ = n(n +1)2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

ii=1

n

∑ = n(n +1)2

Voorbeeld 2

Bereken:

Vind:

3i(i −1)i=1

10

∑

limn→∞

1nin

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i=1

n

∑2

= limn→∞

1n⋅ i2

n2i=1

n

∑ = limn→∞

1n3

⋅ i2i=1

n

∑ = limn→∞

1n3

i2i=1

n

∑

= limn→∞

1n3n(n+1)(2n+1)

6= limn→∞

n(n+1)(2n+1)6 ⋅n ⋅n ⋅n

= limn→∞

16⋅ nn⋅ n+1n

⋅ 2n+1n

= limn→∞

16⋅1⋅ 1+ 1

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ 2+ 1

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 16⋅1⋅1⋅2 = 2

6= 13

= 3i2 − 3ii=1

10

∑ = 3 i2 −i=1

10

∑ 3 ii=1

10

∑ = 310(10+1)(20+1)6

− 310(10+1)2

= 990

Stencil 2

Nu jullie!!!Appendix E Sigma notation

Uitwerkingen stencil 2

a)

b)

c)

d)

e)

i −1i=2

6

∑ = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 3+ 2 + 3 + 5

k(k −1)2k=2

6

∑ = 2 ⋅12

+ 3⋅22

+ 4 ⋅32

+ 5⋅42

+ 6 ⋅52

= 1+ 3+ 6+10+15= 35

1+ 3+5+ ...+15+17 = 2i −1i=1

9

∑

n+1+ n+ 2+ ...+ n+ n−1+ 2n = (n+1)+ (n+ 2)+ ...+ (n+ n−1)+ 2n = n+ ii=1

n

∑

aii=1

5

∑ = a i = a 5⋅62

= 15ai=1

5

∑

Uitwerkingen stencil 2

f)

g)

12+ 14+ ...+ 1

1024+ 12048

= 12+ 122

+ ...+ 1210

+ 1211

= 12ii=1

11

∑

k 4 − (k −1)4k=1

n

∑ = k 4 − (k 4 − 4k3 + 6k 2 − 4k +1)k=1

n

∑ = 4k3 − 6k 2 + 4k −1k=1

n

∑

= 4 k3 − 6k=1

n

∑ k 2 + 4k=1

n

∑ k −k=1

n

∑ 1k=1

n

∑

= 4 n(n +1)2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− 6 n(n +1)(2n +1)6

+ 4 n(n +1)2

− n

= n4 + 2n3 + n2 − 2n3 − n2 − 2n2 − n + 2n2 + n − n = n4 − n

Uitwerkingen stencil 2

h)

i)

1i− 1i +1i=3

99

∑ = 13− 14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 14− 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ...+ 1

98− 199

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 199

− 1100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 13− 1100

= 97300

limn→∞

2n

2in

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

+ 5 2in

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟i=1

n

∑ = limn→∞

2n8i3

n3+ 10in

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i=1

n

∑ = limn→∞

16i3

n4+ 20in2i=1

n

∑

= limn→∞

16 n(n +1)2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

n4+20 n(n +1)

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n2= limn→∞

16 n4 + 2n3 + n2

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n4+20 n2 + n

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n2

= limn→∞

4n4 + 8n3 + 4n2

n4+ 10n

2 +10nn2

= limn→∞4 + 8

n+ 4n2

+10 + 10n

= 4 + 0 + 0 +10 + 0 = 14

lesuur 2

§5.1 Areas (and Distances)Chapter 5 Integrals

The area problem

De oppervlakte van een driehoek, rechthoek, cirkel of samengesteld figuur kunnen we wel berekenen.

Maar hoe berekenen we de oppervlakte van A?

A

Voorbeeld 3

Bereken de oppervlakte onder de grafiek van f(x) = 2x + 2 op het interval [0, 6].

Bereken de oppervlakte onder de grafiek van f(x) = 2x + 2 op het interval [0, 6].

De oppervlakte bestaat dus uit een rechthoek van 2 bij 6 en een driehoek met een basis van 6 en een hoogte van f(6) - 2

f(6) - 2 = 2·6 + 2 - 2 = 12

Dus de gevraagde oppervlakte is: 2·6 + 0,5·6·12 = 48

Voorbeeld 3

The area problem

Helaas is niet iedere figuur op te delen in rechthoeken en driehoeken.

Hoe berekenen we bijvoorbeeld de oppervlakte onder de grafiek van op het interval [0, 2]?

Daarvoor gaan we de oppervlakte Aopknippen in een viertal stukjes met een breedte van 0,5 (Δx = 0,5).

We maken van deze stukjes rechthoeken. Dat kan op twee manieren.

A

f (x) = 6 − x2

The area problem

We kunnen op verschillende manieren de rechthoeken in de grafiek tekenen:

Using left endpoints Using right endpoints

Voorbeeld 4

Gegeven de functie f(x) = 6 - x2, zijn grafiek en de oppervlakte A op het interval [0, 2]. Bereken met behulp van rechthoeken tussen welke grenzen de oppervlakte van A ligt. Neem Δx = 0,5.

maximum = f(0)·0,5 + f(0,5)·0,5 + f(1)·0,5 + f(1,5)·0,5

= (6+ 5,75 + 5 + 3,75)·0,5

= 10,25

minimum = f(0,5)·0,5 + f(1)·0,5 + f(1,5)·0,5 + f(2)·0,5

= (5,75 + 5 + 3,75 + 2)·0,5

= 8,25

Dus: 8,25 ≤ A ≤ 10,25

Voorbeeld 4

Als we nu telkens het midden van een interval k nemen en we noemen dit xk dan krijgen we door de som van alle termen f(xk)· Δx een mooie benadering van de oppervlakte A. Dit noemen we een Riemannsom.

The area problem

A

The area problem

Bereken met behulp van een Riemannsom een benadering van de oppervlakte van A. Neem Δx = 0,4.

De middens van de intervallen zijn: 0,2; 0,6; 1,0; 1,4 en 1,8. Dus:O(A) ≈ f(0,2)·0,4 + f(0,6)·0,4 + f(1)·0,4 + f(1,4)·0,4 + f(1,8)·0,4

≈ (5,96+ 5,64 + 5 + 4,04 + 2,76)·0,4

≈ 9,36 A

The area problem

Naarmate we Δx kleiner maken, zal de benadering nauwkeuriger worden:

The area problem

De oppervlakte kunnen we dus benaderen met:

O(V) ≈ f(x1)· Δx + f(x2)· Δx + ... + f(xn-1)· Δx + f(xn)· Δx

Maar dit kunnen we korter opschrijven:

Om deze oppervlakte exact te berekenen zullen we n oneindig groot moeten maken, ofwel:

O(V ) ≈ f (xk ) ⋅ Δxk=1

n

∑

O(V ) = limn→∞

f (xk ) ⋅ Δxk=1

n

∑

Voorbeeld 5

Gegeven is de functie f(x) = x3. Bereken de oppervlakte V onder de grafiek van f op het interval [1, 3]. Neem Δx = 0,25.

O(V ) ≈ f (xk ) ⋅ Δxk=1

8

∑

O(V ) ≈ f (1,125 + 0,25(k −1)) ⋅0,25k=1

8

∑O(V ) ≈ f (1,125) ⋅ Δx + f (1,375) ⋅ Δx + f (1,625) ⋅ Δx + f (1,875) ⋅ Δx + f (2,125) ⋅ Δx + f (2,375) ⋅ Δx + f (2,625) ⋅ Δx + f (2,875) ⋅ Δx

O(V ) ≈ (1,423...+ 2,599...+ 4,291...+ 6,591...+ 9,595...+13,369...+18,087...+ 23,763...) ⋅0,25

O(V ) ≈ (79,718...) ⋅0,25

O(V ) ≈19,929

lesuur 3

§5.2 The Definite IntegralChapter 5 Integrals

The Definite IntegralEen limiet en sommatie uitrekenen is lastig en veel werk. Daarom gaan we in de komende 8 weken een methodiek leren die dit alles wat ’makkelijker’ maakt.

Definitie: als f een functie is op a ≦ x ≦ b en we dit interval [a, b] in n gelijke subintervallen verdelen met Δx = (b - a)/n en kiezen in ieder interval een willekeurig punt xk = a + k Δx.

Dan geldt:

Uitgaande dat de limiet bestaat en f(x) dus integreerbaar is.

O(V ) = limn→∞

f (xk ) ⋅ Δxk=1

n

∑ = f (x)dxa

b

∫

The Definite Integral

De notatie bestaat uit een integraal teken waarbij we het interval aangeven. Daarnaast geven we met de dx aan waarnaar we gaan integreren. (Die notatie hebben we bij de kettingregel eerder gezien.)

De oppervlakte onder een grafiek is ’negatief’ wanneer de grafiek onder de x-as ligt.

f (x)dxa

b

∫ = f (t)dta

b

∫ = f (p)dpa

b

∫

f (x)dxa

b

∫ = A1 − A2

Voorbeeld 6

Bereken x2 dx0

2

∫

x2 dx0

2

∫ = limn→∞

f (xk ) ⋅ Δxk=1

n

∑

Δx = b − an

= 2 − 0n

= 2n

xk = a + kΔx = 0 + k2n= 2kn}

limn→∞

f (xk ) ⋅ Δxk=1

n

∑ = limn→∞

f (2kn) ⋅ 2nk=1

n

∑

= limn→∞

2n

2kn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

k=1

n

∑

= limn→∞

2n

4k2

n2k=1

n

∑

= limn→∞

8n3

k2k=1

n

∑

= limn→∞

8n3n(n +1)(2n +1)

6

= limn→∞

16n3 + 24n2 + 8n6n3

= limn→∞

83+ 4n+ 43n2

= 83

Einde les 1

Huiswerk: Appendix E, §5.1 en §5.2Appendix E: 4, 9, 10, 13, 18, 20, 22, 26, 29; §5.1: 5, 19; §5.2: 11, 17, 21, 23, 33, 39, 41 en 47