Bespreken: §6.1: 23, 29 en 51, lesuur 1, les 6

Welkom terug!!!

Bespreken huiswerkopgaven

§6.1: 23 (blz. 427)

Gegeven zijn de formules y = cos(x), y = sin (2x), x = 0 en x = . Teken de formules in één figuur en bereken de ingesloten oppervlakte.

π2

cos(x) = sin(2x)

y = cos(x) y = sin(2x)x = π

2x = 0

cos(x) = 2sin(x)cos(x)cos(x)− 2sin(x)cos(x) = 0cos(x)(1− 2sin(x)) = 0cos(x) = 0∨ sin(x) = 1

2x = 1

2π + k ⋅π ∨ x = 16π + k ⋅2π ∨ x = 5

6π + k ⋅2π

cos(x)− (sin(2x))dx0

16π

∫ + sin(2x)− (cos(x))dx =16π

12π

∫

§6.1: 23 (blz. 427)

cos(x)− (sin(2x))dx0

16π

∫ + sin(2x)− (cos(x))dx =16π

12π

∫

sin(x)+ 12 cos(2x)[ ]0

16π + − 1

2 cos(2x)− sin(x)[ ]16π

12π =

sin( 16π )+ 12 cos(13π )− (sin(0)+ 1

2 cos(0))+ − 12 cos(π )− sin( 12π )− (− 1

2 cos(13π )− sin( 16π )) =

12 + 1

4 − 0 − 12 + 1

2 −1+ 14 + 1

2 = 12

§6.1: 29 (blz. 414)

Bereken met behulp van integralen de oppervlakte van de driehoek waarvan de hoekpunten de coördinaten (0,0), (3,1) en (1,2) hebben.

Bepaal eerst de formules.

y = 2x

y = 13 x

y = 52 − 1

2 x

2x − (13 x)dx0

1

∫ + 52 − 1

2 x − (13 x)dx1

3

∫ =

53 xdx

0

1

∫ + 52 − 5

6 xdx1

3

∫ =

56 x

2⎡⎣ ⎤⎦01+ 5

2 x − 512 x

2⎡⎣ ⎤⎦13= 5

6 − 0 + 152 − 45

12 − 52 + 5

12 = 52

§6.1: 51 (blz. 428)

Vind de waarde b, zodat y = b de oppervlakte tussen y = x2 en

y = 4 verdeeld wordt in twee gelijke delen.

Vanwege symmetrie:

x2 = 4x = −2∨ x = 2

y = x2

y = 4

4 − x20

2

∫ dx =

23 x x⎡⎣ ⎤⎦0

4=x dx

0

4

∫ = 23 ⋅4 4 − 0 = 16

3

§6.1: 51 (blz. 428)

y = x2

y = 4x dx

0

b

∫ = 12 ⋅ 163

23 b b = 8

3

b b = 4b3 = 16

b = 163

lesuur 2, les 6

§6.1 met een (veel) moeilijkere functie…Extra oefening

Voorbeeld 1

De functies , en sluiten een oppervlakte A in.

Bereken de oppervlakte als je weet dat f en h elkaar snijden in x = 1 en f en g elkaar snijden in x ≈ 1,9.Rond je eindantwoord af op één decimaal.

f (x) = x ⋅22x2

− 2 g(x) = 2−2x+12 h(x) = 2

Voorbeeld 1

Dus:

2−2x+12 = 2−2x +12 = 1−2x = −11x = 11

2

A ≈ x ⋅22x2

− 2 − 2dx1

1,9

∫ + 2−2x+12 − 2dx1,9

5,5

∫

Voorbeeld 1

stel: u = x2, dan: dudx

= 2x, dus: dx = du2x

x ⋅22x2

− 2 − 2dx1

1,9

∫ + 2−2x+12 − 2dx1,9

5,5

∫ =

x ⋅4 x2

− 4dx1

1,9

∫ + 4− x ⋅46 − 2dx1,9

5,5

∫ =

x ⋅4 x2

dx1

1,9

∫ − 4dx1

1,9

∫ + 4096 4− x dx1,9

5,5

∫ − 2dx1,9

5,5

∫ =

12 4u du

1

3,61

∫ − 4dx1

1,9

∫ + 4096 4− x dx1,9

5,5

∫ − 2dx1,9

5,5

∫ =

Voorbeeld 1

12 4u du

1

3,61

∫ − 4dx1

1,9

∫ + 4096 4− x dx1,9

5,5

∫ − 2dx1,9

5,5

∫ =

12

4u

ln(4)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

3,61

− 4x[ ]11,9 + 4096 −4− x

ln(4)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1,9

5,5

− 2x[ ]1,95,5 =

12 107,54...− 2,88...( )− (7,6 − 4)+ 4096(−0,000352...− −10,047...)− (11− 3,8) =

52,32...− 3,6 + 210,68...− 7,2 ≈ 252,2

lesuur 2, 3, les 6

§6.2 VolumesChapter 6 Applications of Integration

Als we een gedeelte van een grafiek om een as wentelen krijgen we een drie dimensionaal figuur.

Hiernaast wentelde we een sinusoïde om de y-as. Wij gaan nu beginnen met een functie om de x-as te wentelen.

Volumes

Gegeven is de lijn y = 2 op het interval [1, 5].

Wanneer we deze lijn om de x-as gaan wentelen krijgen we een cilinder.

De inhoud van de cilinder is gelijk aan:

Waar zien we die y = 2 terug in deformule?

Volumes

Icilinder = π ⋅r2 ⋅h = π ⋅22 ⋅4 = 16π

y = 2

y

x510

Als we van een omwentelingslichaam L de inhoud willen berekenen, dan gaan we eerst de oppervlakte onder de functie bepalen.

Jullie weten dat deze oppervlakte eigenlijk uit oneindig veel rechthoekjes bestaat.

Als we deze rechthoekjes nu om de x-as wentelen krijgen we oneindig veel kleine cilinders.

Volumes

Volumes

Deze cilinders hebben een straal van f(xa) en een hoogte van Δx.

De formule van de inhoud van één cilinder is: .

Ofwel nu:

De totale inhoud L van hetomwentelingslichaam is te benaderen met een Riemannsom.

Icilinder = π ⋅r2 ⋅h

Icilinder = π ⋅( f (xa ))2 ⋅ Δx

Volumes

Die Riemannsom is:

Echter willen we deze inhoud ook exact kunnen berekenen en daarvoor laten we Δx naar 0 gaan:

Maar dat is een integraal:

I(L) ≈ π ⋅( f (xk ))2 ⋅ Δx

k=1

n

∑

I(L) = limΔx→0

π ⋅( f (xk ))2 ⋅ Δx

k=1

n

∑

I(L) = π ⋅( f (x))2a

b

∫ dx

Voorbeeld 2

Het vlakdeel V dat ingesloten wordt door de lijnen x = 1, x = 3, de x-as en de functie , wordt om de x-as gewenteld.

Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam L.

f (x) = − 12 x

2 + 3x − 2

Voorbeeld 2

f (x) = − 12 x

2 + 3x − 2

π ⋅(− 12 x

2 + 3x − 2)2 dx =1

3

∫

π 14 x

4 − 3x3 +11x2 −12x + 4dx =1

3

∫π 1

20 x5 − 3

4 x4 + 11

3 x3 − 6x2 + 4x⎡⎣ ⎤⎦1

3=

π 425 − 29

30( ) = 22330 π

Volumes

Op deze manier kunnen we ook de inhoudsfunctie van figuren met een ’ronde’ vorm bewijzen.

Gegeven is de lijn y = ax op het interval [0, h].

Als we deze formule om de x-as gaan wentelen, dan krijgen we een kegel.

De inhoud hiervan berekenen we door de volgende integraal op te lossen:

y = axy

xh

Ikegel = π ⋅(y)20

h

∫ dx = π ⋅(ax)20

h

∫ dx

Volumes

y = axy

xh

Ikegel = π ⋅(y)20

h

∫ dx = π ⋅(ax)20

h

∫ dx

Ikegel = πa2x20

h

∫ dx

Ikegel = 13πa

2x3⎡⎣ ⎤⎦0h

Ikegel = 13πa

2h3 − 13πa

2 03 = 13πa

2h3

r = ah dus r2 = a2h2

Ikegel = 13πa

2h2h = 13πr

2h

Voorbeeld 3

Gegeven is een bol met straal 10. Bepaal met behulp van een middensom en Δx = 4 de inhoud van de bol in één decimaal.

De formule van de cirkel is: dus

Ibol ≈ π ⋅ f (−10 + 12 Δx + i ⋅ Δx)

2 ⋅ Δxi=0

4

∑x2 + y2 = 100

Ibol ≈ π ⋅ f (−10 + 2 + 4i)2 ⋅4i=0

4

∑Ibol ≈ 4π ⋅( f (−8)2 + f (−4)2 + f (0)2 + f (4)2 + f (8)2 )

y = 100 − x2

Ibol ≈ 4π ⋅(36 + 84 +100 + 84 + 36) = 1360π ≈ 4272,6

Voorbeeld 4

Een groot cognacglas heeft bij benadering de vorm van een bol met een diameter van 10 cm. Een goed gevuld cognacglas dient zo gevuld te worden dat wanneer je het op zijn kant legt de cognac er net niet uit mag stromen.

Hoeveel cognac zit er exact in het glas?

Voorbeeld 4

De cognac staat 2 cm hoog.

We kunnen dus voor ons gemak de bol draaien en het stuk van x = 3 tot x = 5 wentelen om de x-as.x2 + y2 = 25y = 25 − x2

5-53

10 − 62

=

π (25 − x2 )dx3

5

∫ = π 25x − 13 x

3⎡⎣ ⎤⎦35= π 125 − 125

3 − (75 − 9)( ) = 523 π

Even herhalen

Als je de oppervlakte S tussen twee functies f en g moet berekenen op een interval [a, b], waarbij f en g continu zijn en f(x) ≧ g(x) op het hele interval, dan geldt:

(Het is dus altijd de ’bovenste’ functie minus de ’onderste’ functie.)

(Tip: maak altijd een schets voor jezelf!)

S = f (x)− g(x)dxa

b

∫ = f (x)dxa

b

∫ − g(x)dxa

b

∫

Volumes

Ook voor ruimtefiguren geldt dit zo. Bij wentelen om de x-as zul je altijd de inhoud van de grootste figuur (de bovenste / de buitenste) de inhoud van de kleinste figuur (de onderste / de binnenste) afhalen. I = π (( f (x))2 − (g(x))2 )dx

a

b

∫ = π ( f (x))2 dxa

b

∫ − π (g(x))2 dxa

b

∫

Voorbeeld 5

Gegeven is de cirkel en de lijn y = 2.

Bereken exact de inhoud van het lichaam dat ontstaat wanneer we het deel van de cirkel dat boven de lijn y = 2 ligt omwentelen om de x-as.

Dus de grenzen van de integraal zijn -2 en 2.

x2 + 22 = 8 dus x2 = 4 dus x = −2∨ x = 2

x2 + y2 = 8

43

y

x

0

y = 2

x2 + y2 = 8π 8 − x2 − (22 )( )dx =

−2

2

∫ π 4 − x2 dx =−2

2

∫π 4x − 1

3 x3⎡⎣ ⎤⎦−2

2= π (8 − 8

3 − (−8 − − 83 )) = 32

3 π

Wentelen om de y-as kan door in plaats van naar x te integreren naar y te integreren:

Of je spiegelt de functie eerst in de lijn y = x en integreert dan gewoon naar x.

Wentelen om de y-as

I(L) = π x2 dy∫

Wanneer een parabool om de y-as wordt gewenteld ontstaat een paraboloïde.

Gegeven is op het interval [0, 2]. Wentel dit deel van de grafiek van f om de y-as en bepaal de inhoud van dit deel van de paraboloïde.

Wentelen om de y-as

f (x) = 12x2

f (2) = 12 ⋅22 = 48y = 12x2

f (0) = 12 ⋅02 = 0

x2 = y12 0

x2

y

48

Wentelen om de y-as

0x

2

y

48

x2 = y12

I(paraboloïde) = π x2 dya

b

∫ = π y12dy

0

48

∫ = π y2

24⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

48

= π ⋅482

24− π ⋅02

24= 96π

Wentelen om de y-as

0

x2

y48

0x

2

y

48

0

y2

x48

Gegeven is op het interval [0, 2]. Wentel dit deel van de grafiek van f om de y-as en bepaal de inhoud van dit deel van de paraboloïde.

f (x) = 12x2

y = 12x2 x = 12y2 y2 = x12

y = x12

= f *(x)

I(paraboloïde) = π ( f *(x))2 dxa

b

∫

= π x12dx

0

48

∫ =π x2

24⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

48

= π ⋅482

24− π ⋅02

24= 96π

f *(48) = 4812

= 2f *(0) = 012

= 0

Voorbeeld 6

Gegeven zijn de functies en Wentel de oppervlakte die de functies insluiten om de y-as.

f (x) = x4 g(x) = x

sin(x) = cos(x)+1

2

f (x) =

g(x) = x

y = x4

x = y4

y = x4

π (x2 − x8 )dx =0

1

∫ π 13 x

3 − 19 x

9⎡⎣ ⎤⎦01=

π 13 − 1

9( ) = 29π

sin(x)=cos(x)+1

2

y = x4

y = x

Wanneer de figuur geen ronde vormen heeft, dan kunnen we niet meer wentelen met de eerder genoemde integraal. Het opdelen in oneindig veel cilinders heeft dan geen zin.

Maar hoe berekenen we dan met behulp van een integraal de inhoud van deze piramide?

Volumes

We gaan nu de formule nog algemener maken.

We hadden:

Waarin de formule van een cirkel te zien is. Laten we deze oppervlakte eens A(x) noemen, dan krijgen we:

Volumes

I(L) = π ⋅( f (x))2a

b

∫ dx

I(L) = A(x)dxa

b

∫

Wat betekent dat voor onze piramide als we het assenstelsel zo centreren dat de top in de oorsprong ligt en de ’hoogte’ van de piramide h is.

Nu moeten we de oppervlakte van A(x) gaan berekenen.

En dat is heel lastig…

Volumes

x

A(x) is de oppervlakte op een bepaald punt x.

Laten we eens een dwarsdoorsnede maken.

Vanwege gelijkvormigheid geldt:

dus

De oppervlakte op punt x is:

Volumes

x-as

y-as

s

h

0x

12 a 3s

12 a 3

= xh

A(x) = 12 ⋅ 2s3 ⋅ s =

s2

3

s = x ⋅ 12 a 3h

=

x ⋅ 12 a 3h

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

3= x2 ⋅a2 ⋅3h2 ⋅4 3

= a2 3x2

4h2

Volumes

A(x) = a2 3x2

4h2

I piramide = A(x)dxa

b

∫

I piramide =a2 3x2

4h2dx

0

h

∫ = a2 34h2

x2 dx0

h

∫ = a2 34h2

13 x

3⎡⎣ ⎤⎦0h

= a2 34h2

⋅ 13 h3 =

13 h3a2 34h2

= 112 a

2 3h

Gegeven is een ruimtefiguur waarvan het grondvlak een cirkel is met straal 4. De hoogte op een bepaald punt x is gelijk aan de lengte van de doorsnede van de cirkel op dat punt. Dat bekent dat loodrecht op het grondvlak allemaal vierkanten ’staan’.

Bereken met behulp van integreren de inhoud van het ruimtefiguur.

Tip 1: plaatje!

Tip 2: hoe breed is die doorsnede s?

Voorbeeld 7

Vanuit het bovenaanzicht zien we:

De basis van ieder vierkant is gelijk aan de doorsnede van de cirkel, dus:

Voorbeeld 7

s = 16 − x2 − − 16 − x2 = 2 16 − x2

y = 16 − x2

y = − 16 − x2

s

A(x) = s2 = 2 16 − x2( )2= 4 16 − x2( ) = 64 − 4x2

Ilichaam = A(x)dxa

b

∫ = 64 − 4x2 dx−4

4

∫= 64x − 4

3 x3⎡⎣ ⎤⎦−4

4= 512

3 − − 5123 = 1024

3

Einde les 6

Huiswerk: §6.2§6.2: 1, 3, 5, 9, 11, 15, 21, 47, 49 en 51