Lyceo Wiskunde B Hoofdstuk 2 2 Integraalrekening

www.online.lyceo.nl

2.2 Integraalrekening

Wiskunde B – VWO

2. Differentiaal‐ en integraalrekening

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Onderwerpen Wiskunde B

Wiskunde B

1. Functies en grafieken


3. Goniometrischefuncties

4. Voortgezettemeetkunde


Onderwerpen Wiskunde B

Wiskunde B

1. Functies en grafieken

1.1 Standaardfuncties

1.2 Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden


2.1 Differentiaal‐rekening

2.2 Integraalrekening

3. Goniometrischefuncties

3.1 Goniometrische functies

3.2 Parameter‐krommen

4. Voortgezettemeetkunde

4.1 Bewijzen in de vlakke meetkunde

4.2 Afstanden en conflictlijnen


Riemannsom

• Riemannsom benadert oppervlakte onder de grafiek f(x):

• Of in som notatie: y‐as

x‐as

1x 2x kx nxxΔ

)x(f

Δx)f(x...Δx)f(xΔx)f(xe oppervlakt n ⋅++⋅+⋅≈ 21

∑=

⋅≈n

kk Δx)f(xe oppervlakt

1


Integraal

• Als Δx→0 krijg je een integraal:

• Notatie: integraal van f(x) is F(x):

∫=b

a

f(x)dxe oppervlakt

F(a)F(b)[F(x)]f(x)dx

F(x)f(x)dx

ba

b

a

−==

+=

∫

∫ constante


Integraal

F(a)F(b)[F(x)]f(x)dx ba

b

a

−==∫ 22xf(x) =


Standaard Integralen

Wiskunde B – vwo


Standaard integralen

Functie Integraal

nxf(x) =

0ln ≠+= c, xxF(x)11 −== xx

f(x)

111

1−≠+

+= , nnxn

F(x)

(x)f(x) sin=

(x)f(x) cos=

c(x)F(x) +−= cos

c(x)F(x) += sin

constanteeenisc

Denk eerst zelf!

Druk op !



Functie Integraal

nxf(x) =

0ln ≠+= c, xxF(x)11 −== xx

f(x)

111

1−≠+

+= , nnxn

F(x)

(x)f(x) sin=

(x)f(x) cos=

c(x)F(x) +−= cos

c(x)F(x) += sin

constanteeenisc



Functie Integraal

0>= , gxgf(x) cxg(g)

F(x) +⋅=ln1

xef(x) = cxeF(x) +=

(x)f(x) ln= cx(x)xF(x) +−= ln

10log ≠>= ,a(x), aaf(x) cx)(x)(x(x)

F(x) +−⋅⋅= lnln1

constanteeenisc

Denk eerst zelf!

Druk op !



Functie Integraal

0>= , gxgf(x) cxg(g)

F(x) +⋅=ln1

xef(x) = cxeF(x) +=

(x)f(x) ln= cx(x)xF(x) +−= ln

10log ≠>= ,a(x), aaf(x) cx)(x)(x(x)

F(x) +−⋅⋅= lnln1

constanteeenisc


Toepassingen

Wiskunde B – vwo


Oppervlakte en lengte

• Oppervlakte onder f(x) tussen a en b:

• Lengte van de grafiek f(x) tussen a en b:

∫=b

a

f(x)dxO

dx(x))f(Lb

a∫ ′+= 21


y‐as

x‐as

)x(f

a b

Omwentelen om x‐as

Formule voor de inhoud van het omwentelingslichaam

van f om de x‐as, tussen a en b:

dx(f(x))πIb

a∫= 2


Omwentelen om y‐as

Inhoud door f(x) om de y as te wikkelen, tussen x=a en x=b

1. Herschrijf y=f(x) naar x=g(y) (x uitdrukken in y)

2. Bepaal grenzen p en qmet: p=f(a) en q=f(b)

3. Bepaal inhoud met:

y‐as

x‐as

a b

dy(g(y))πIq

py ∫= 2

)x(f


Omwentelen om y‐as

y‐as

x‐as


Oppervlakte tussen grafieken

Oppervlakte begrensd door twee grafieken:

1. Schets grafieken

2. Bepaal snijpunten a en bmet f(x)=g(x)

3. Bereken oppervlakte met:

ba

b

a

b

a

G(x)][F(x)g(x))dx(f(x)O

)dx ( O

−=−=

−=

∫

∫ grafiek OndersteBovenste

y‐as

x‐as

)x(f

)x(g


Integraal regelsWiskunde B – vwo


Omgekeerde kettingregel

Functie Integraal

Voorbeeld:

f(g(x))h(x) = F(g(x))(x)g

H(x)′

=1

223 )x(h(x) += ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅= 323

31

31

)x(H(x)


Tips & Tricks

Wiskunde B – vwo


• Als er staat geef een integraal, dan hoef je de +c niet toe te voegen

• Als er staat geef de integraal, dan moet je de +c er aan toevoegen

Tips & Tricks


Samenvatting

Het volgende is behandeld:

• Toepassingen

• Standaard integralen

• Integraal regels

• Tips & Tricks


Lyceo – Vergroot je kans van slagen!

Lyceo biedt begeleiding en training voor iedere scholier!

• Examentraining – ga naar www.lyceo.nl

• Huiswerkbegeleiding – ga naar www.huiswerkklasdelft.nl

• Online training – ga naar lyceo.memotrainer.nl

Partners van Lyceo:

http://www.lyceo.nl/

http://www.huiswerkklasdelft.nl/

http://lyceo.memotrainer.nl/

http://www.fontys.nl/lerarenopleiding/tilburg/

http://www.tudelft.nl/

http://www.vu.nl/

http://www.betawijs.nl/

Lyceo Wiskunde B Hoofdstuk 2 2 Integraalrekening

Education

Transcript of Lyceo Wiskunde B Hoofdstuk 2 2 Integraalrekening