Integraalrekening 2

Les 4 DT

Gerard van Alst

Mei 2015

Doelen

• Paragraaf 7.4: breuksplitsing: vervolg.• Paragraaf 7.5: overzicht van de methoden

die we tot nu toe gehad hebben.

Elke les: 5 minuten met 5 vragen over standaardafgeleiden en standaardintegralen

• 1. Wat is de afgeleide van ?• 2. Bereken de afgeleide van • 3. Wat is de primitieve van ?• 4. Wat is de primitieve van ?• 5. Wat is de primitieve van ?

Par. 7.3 (2)

• We hebben nu een voorbeeld van de eerste substitutie gezien. De andere twee substituties doen we niet.

De techniek van breuksplitsing.

• Stel waarbij en polynomen zijn.• Dan:• 1. Als de graad van P groter of gelijk is

aan de graad van Q: deel dan uit.• 2. Zoek de nulpunten van Q(x) en ontbind

Q(x) zoveel als mogelijk is.• We onderscheiden verschillende gevallen.

De techniek (2)

• Geval 1: Q(x) is product van verschillende lineaire factoren.

• Geval 2: Q(x) is product van lineaire factoren, maar er zitten dezelfde tussen.

• Geval 3: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele (enkelvoudige) kwadratische factoren.

• Geval 4: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele meervoudige kwadratische factoren. Dit geval hoeven jullie niet te kennen.

Voorbeelden:

• Geval 1: Q(x)=(x-2)(x+3).• Geval 2: Q(x)=x2(x+4).• Geval 3: Q(x)=(x-1)(x+1)(x2+1). Een

irreducibele factor is een factor zonder dat die verder te ontbinden is: x2+1 heeft geen nulpunten (ga na!), en is dus niet verder te ontbinden.

• Geval 4: Q(x)=(x2+1)3.

Geval 2.

• Bijvoorbeeld: Q(x)=x(x-1)2.• Dan: .• Daarna verder uitwerken: A, B, C vinden. • Dan kunnen we de gevonden functie

integreren.

Behandeling huiswerk

• Zijn er nog andere vragen over het huiswerk?

• §7.4: 7, 9, 11, 15, 17, 19.

Geval 3.• Bijvoorbeeld: • Dan Q(x)=x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1).• Dan: .• Daarna verder uitwerken en A,B,C,D

vinden: • Uitwerken of getallen invullen (-1,0,1,2

bijv).

Geval 3, vervolg.

• Er volgt als je uitwerkt (en niet invult):• 0=A+B+C, • 0=A-B+D,• 4=A+B-C,• 12=A-B-D.• Hieruit volgt: A+B=-C invullen:C=-2, en • A-B=-D invullen: D=-6. Dan volgt: A=4 en

B=-2.

Geval 3, vervolg 2:

• Dus , • dus =

Opgave.

• Bereken: .

Uitleg.

• We kijken naar: en naar.• We zien dat zowel als niet te ontbinden

zijn (geen nulpunten, discriminant is negatief).

• Hoe kunnen we deze integralen berekenen?

Opgave

Paragraaf 7.5.

Kunnen afleiden

Kunnen afleiden, met a=1 kennen

Kunnen afleiden

Paragraaf 7.5 (2)

• 1. Vereenvoudig of schrijf anders. Bijvoorbeeld: of

• 2. Kijk of je substitutie kunt toepassen. Bijv.

• 3. Kijk naar de vorm:– waarbij en polynomen zijn: volg de

procedure uit paragraaf 7.4.

Paragraaf 7.5 (3)

• Vervolg “kijk naar de vorm”:– : volg de procedure uit paragraaf 7.2 (blz. 473)– Indien er in de integraal staat en substitutie is

niet mogelijk: probeer dan – Kijk of partiële integratie mogelijk is.

• Indien het niet gelukt is, kan “herschrijven, anders schrijven” misschien helpen. Zie voorbeelden boek.

• P.S. er zijn ook functies die simpelweg niet integreerbaar zijn!

Opgaven.• §7.4: 21, 23, 29, 64

Opgaven.

• §7.5: 1, 5, 7, 9, 11, 20, 21, 23, 25, 26, 45

Huiswerk

• §7.4: 21, 23, 29, 64• §7.5: 1, 5, 7, 9, 11, 20, 21, 23, 25, 26, 45