Algebra en Bewijzen 1DT

Les 7

Gerard van Alst

Maart 2015

Doelen.

• Hoofdstuk 5: Modulo-rekenen: par. 5.3 : modulo-rekenen en toepassingen daarvan.

Opgave: We bespreken: d,e,h.

Andere vragen over huiswerk?

• Huiswerk: Opgaven par. 4.4 , 4.5 en 5.2.• Bespreek: 4.4.2d: • Bespreek enkele opgaven uit 5.2.7 en evt.

andere vragen.

Modulo-rekenen (1) Herhaling.

•

Modulo-rekenen (2)

• Feitelijk hebben we de volgende rekenregel al gebruikt:

• Bijvoorbeeld: 1711 (mod 17): we splitsen 171 in 170+1.

• Of: 12573 (mod 17): 573=510+63=510+51+1212 (mod 17)

Modulo-rekenen (3)

• Opdracht

Modulo-rekenen (4)

Modulo-rekenen (5)

• Omdat machtsverheffen gezien kan worden als herhaald vermenigvuldigen, kan daar ook modulorekenen op worden toegepast:

• Als , dan is • Bijvoorbeeld: dus .

Modulo-rekenen (6)

• Nog een voorbeeld (vervolg van vorige keer):

• Bepaal de laatste twee cijfers van 49999.• Reken dus modulo 100.

Modulo-rekenen (7)

• Uitwerking:• 42=16, • 43=64, • 44=4x64=25656

(mod 100),• 454x56=22424 (mod

100), • 4696 -4(mod 100), • 47-16 (mod 100)

• 48-64 (mod 100), • 49-56 (mod100), • 410-24 (mod 100),• 4114 (mod 100), • Dus 41411 (mod 100)• Dus 4999949-56 44

(mod 100)

Modulo-rekenen (8)

• We zien dus dat 41141 (mod 100).• Mogen we hieruit de conclusie trekken dat

410 1 (mod 100)?? (Aan allebei kanten delen door 4)

• Het antwoord is nee, want 410 is even en kan dus nooit op 01 eindigen.

Modulo-rekenen (9)

• Nu is ook 41141 (mod 5). Waarom?• Nu geldt wel dat 4101 (mod 5), want:• 5 | (411 – 41) = 4 (410 – 1) en omdat 5

priem is en geen deler van 4 is, moet 5 wel een deler zijn van 410 – 1: dus 4101 (mod 5).

• Deze redenering gaat niet op als we 10 nemen in plaats van 5, mede omdat 10 niet priem is.

Modulo-rekenen (10)

• Conclusie: we kunnen niet zomaar aan allebei kanten delen.

Modulo: nog een voorbeeld.

Opgave: maak a, d, e en c.

Modulo.

• Bespreek de opgave.• Nog een voorbeeld:

Opgaven.

• Bespreking de opgaven.

Huiswerk

• Maak de opgaven van paragraaf 5.3.