Captica Selecta Calculus

DT 14-15

Les 3

Gerard van Alst

Doelen

• Paragraaf 10.3 Poolcoördinaten:• Wat zijn poolcoördinaten?• Samenhang met parametervoorstellingen.• Het tekenen van kromme in poolcoördinaten.• Omzetten van poolcoördinaten in

Cartesische coördinaten.

Huiswerkbespreking

• Bespreek: 7, 30, 33 (zie volgende sheet), 42 van par. 10.2

• Zijn er nog vragen over de andere opgaven?

Opgave over oppervlakte.

• Opgave 33:

• De grafiek ziet er als volgt uit:

Poolcoördinaten (1)

• We kunnen een punt in het x-y-vlak weergeven met de coördinaten (x,y), maar ook met behulp van straal (r) en hoek ().

• Er geldt: r=straal= afstand

van punt P tot de oorsprong:

dus • Verder geldt: • Daarmee is te bepalen.

2 2 2r x y tan( ) .

y

x

Poolcoördinaten (2)

• Andersom geldt dat• Net zo:

• In dit boek wordt ook een

negatieve r toegelaten. • De formules op deze

sheets blijven kloppen.• Negatieve r: aan de andere kant van de

oorsprong. Zie voorbeelden.

cos( ) , cos( ).xdus x r

r

sin( ) , sin( ).ydus y r

r

Negatieve r.

• Voorbeeld.• Stel we nemen het punt met r = 2 en .• We krijgen hetzelfde punt als we nemen r

= -2 en .

Opgaven (1)

• Opgaven: 1,3,5.

Krommen in poolcoördinaten (1)• We hebben gezien dat we x

en y als functie van t kunnen geven: x(t) en y(t).

• Bij een kromme in poolcoördinaten wordt r als functie van gegeven.

• Bijvoorbeeld: =1:

Krommen in poolcoördinaten (1)• Voorbeeld 2:

Krommen in poolcoördinaten (2)• Het lijkt erop dat r=2cos() een cirkel voorstelt

met M=(1,0) en straal 1: dus

• Dit kunnen we controleren: x=rcos() en y=rsin(), waarbij r=2cos(), dus x=2cos2() en y=2cos()sin(). (We zien hier de link met parametervoorstellingen!)

• Nu is x-1= 2cos2() -1= cos(2 ) en y=2cos()sin()=sin(2 ) dus omdat

cos2 (2 ) + sin2 (2 ) =1 geldt dat

, dus het is de gegeven cirkel.

2 2( 1) 1x y

2 2( 1) 1x y

Kromme in poolcoördinaten (3)• Voorbeeld met negatieve r (blz.658):

Opgaven.

• Opg. 11, 16, 19.

Van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten.

• Cartesische coördinaten: (x,y).• Stel we hebben: x2 + 4y2 = 4• Dit is een ellips:• Kunnen we de ver-

gelijking in poolcoör-

dinaten vinden?• We vullen in: x=rcos() en y=rsin(), dan

krijgen we: 2 2 2 2cos ( ) 4 sin ( ) 4,r r dus

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos ( ) sin ( ) 3 sin ( ) 4, 3 sin ( ) 4r r r dus r r

Van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten. (2)

• Wanneer we deze kromme laten tekenen, waarbij loopt van 0 tot 2, dan krijgen we de ellips waarmee we begonnen.

2 2 22

1(1 3sin ( )) 4, ,

1 3sin ( )Dus r dus r

2 2

4 2.

1 3sin ( ) 1 3sin ( )Dus r

Opgaven.• Maak opgave 25, 27b, 36.

Opgaven en huiswerk.

week Boek

3 §10.3 m.u.v. Tangents to Polar Curves & Graphing Polar Curves with Graphing Devices

Opgaven

1, 3, 5, 7, 11, 12, 16, 19, 25, 26, 27, 36, 45

Uitwerkingen:

• Opg. 45:

• Opg. 36: