Inleiding calculus voor Lerarenopleiding Wiskunde

deeltijd

Week 7

Gerard van Alst

Spoorboekje1. Behandeling huiswerk Review of Algebra,

opgaven 99.

2. Nieuwe stof: paragraaf 1.6: inverse functies.

Opgave: 5, 15, 21.

3. Nieuwe stof: paragraaf 1.6: logaritmen.

Opgaven: 37, 51, 57

4. Nieuwe stof: paragraaf 1.6: inversen van sin, cosen tan. Opgaven: 63, 67, 69.

5. Behandeling huiswerk Stewart, paragraaf 1.5: opg. 25, 27, 29.

4. Afsluiting

Review of Algebra

• Huiswerk bespreking : opgave 99.

Paragraaf 1.6: inverse functies (1).

• Definitie één-op-één-functie (of injectieve functie).

• Hoe zie je dat aan de grafiek?

• Grafiek van de inverse functie.

• Voorbeeld: f(x)=x2+2x.

• Hoe vind je de inverse functie?

• Domein en bereik van oorspronkelijke en inverse functie.

• Opgave: 5, 15, 21.

Paragraaf 1.6: logaritmen. (1)

• Bijvoorbeeld: f(x)=2x.

• Inverse functie: f-1(x)=2log(x) (=log2(x)).

• Bijvoorbeeld 2log(8)=3 want 23=8.

• Eigenschappen van de machten:

• ax · ay = ax+y

• (ax)y = ax·y

• Gevolgen voor logaritmen:

• loga(xy) = loga(x) + loga(y)

• loga(x/y) = loga(x) – loga(y)

Paragraaf 1.6: logaritmen (2)

• loga(xr)=r loga(x)

• Natuurlijke logaritme:

• y = ex dan x=ln(y).

• ln staat voor natuurlijke logaritme. Dat is de inverse van de e-macht: ex.

• Opgaven: 37, 51, 57

Paragraaf 1.6: logaritmen (3)

• Change of base (blz. 65):

• loga(x)= ln(𝑥)

ln(𝑎)

• Want: neem y =loga(x), dan is ay = x, en

ln(ay)=ln(x), dus y ln(a)=ln(x), dus y=ln(𝑥)

ln(𝑎).

• Dit is handig als je een logaritme op de rekenmachine wilt uitrekenen: bijvoorbeeld log2(27).

Paragraaf 1.6 e-macht

• De e-macht.

• e is een getal: namelijk: e≈2,718281828459045235360..

• Hoe komen we aan dit getal?

• Raaklijn en richtingscoëfficiënt in x=0.

• Vergelijk y=2x en y=3x en de richtingscoëfficiënt in x=0.

• Tussen 2 en 3 ligt een getal e genaamd, waarvoor de richtingscoëfficiënt in x=0 van de functie y=ex

gelijk is aan 1.

Paragraaf 1.5. inversen van sin, cos en tan (1)

• Bekijk de grafiek van sin(x). We zien dat we voor de inverse een stukje van deze grafiek moeten kiezen: we nemen het stuk waarbij x Є [-½ π, ½ π]

• Grafiek van sin(x) en sin-1(x).

• Merk op: sin-1(x) ≠ 1

sin(𝑥).

• sin-1(x) wordt ook wel arcsin(x) genoemd.

• Dus de grafiek van y=sin-1(x) kan verkregen worden uit die van y=sin(x) door spiegeling in de lijn y=x. Hierbij is x Є [-½ π, ½ π].

Paragraaf 1.5. inversen van sin, cos en tan (2)

• We bekijken de grafiek van cos(x).

• We nemen een deel hiervan waarvoor de inverse bestaat: x Є [0, π]

• De inverse is cos-1(x), of arccos(x).

• Net zo: tan-1(x)=arctan(x). Het domein van tan-1(x) is (-∞,∞) en het bereik is (-½ π, ½ π)

• Bereken: cos-1(cos(5π))

• Voorbeeld 13 op bladzijde 68: cos(tan-1(x))

• Opgaven: 63, 67, 69.

Behandeling huiswerk Stewart

• Opgaven 25, 27, 29.

Huiswerk

7 Inverse functies en

logaritmische functies. § 1.6

Boek §1.6: 1, 5, 7, 15, 17, 21,

23, 25, 29, 35, 37, 39, 41, 49,

51, 53, 55, 57, 63, 65, 67, 69,

71

week BoekReview of Algebra Huiswerk