Algebra en Bewijzen 1

DT

Les 5

Gerard van Alst

Maart 2015

Doelen.

• Hoofdstuk 3: samenvatting.

• Hoofdstuk 4: beweringen met kwantoren:

wiskundige beschrijvingen van

beweringen.

• Bewijzen van deze beweringen.

Binnenkomer….

• Een grote groep mensen kan verdeeld

worden in 8 gelijke groepjes, maar ook in

12 gelijke groepjes.

• Bewering:

• Wanneer er gekozen wordt om de groep in

8 groepjes te verdelen, is het aantal

groepsleden oneven.

• Waar of niet? Bewijs…

Huiswerkbespreking (1)

Huiswerkbespreking

• Zijn er nog vragen over het huiswerk?

• Bespreek:

• Opgave 3.4.6

• Bepaal alle geheeltallige oplossingen van vergelijking 42x + 24y = 12

• Opgave 3.4.7

• Al eerder is het volgende bepaald: ggd(132, 96) = 12.

• Met Euclides is afgeleid: een oplossing van 132x + 96y = 12 is x = 3 en y = –4.

• Bepaal alle geheeltallige oplossingen van vergelijking: 132x – 96y = 120.

Overige vragen over huiswerk?

• Huiswerk: Maak de overige opgaven van

paragrafen 3.3 en 3.4 tot en met 3.4.7. (tot

en met blz. 36)

Algemeen• We hebben een vergelijking .

• Hierbij zijn gehele getallen.

• Gevraagd: de oplossingen x, y, waarbij x en ygeheel zijn.

• 1. We bepalen m.b.v. Euclides ggd(a,b).

• 2. Als c een veelvoud is van ggd(a,b) dan zijn er oplossingen.

• 3. M.b.v. Euclides kunnen we één oplossing vinden: (x0,y0).

• 4. De algemene oplossing is te schrijven als:

x=x0+b0 k en y=y0 - a0 k, met k ℤ , Hierbij is

b0=b:ggd(a,b) en a0=a:ggd(a,b).

ax by c , ,a b c

Bijvoorbeeld: opgave 3.4.5

• Daar hebben we: 15x-20y=5.

• ggd(15,-20)=5.

• Eén oplossing is: (-1,-1). (Ook m.b.v. Euclides)

• Nu is a=15 , b=-20, a0=15:5=3 en

b0=-20:5=-4.

• De algemene oplossing is nu:

• x = -1- 4k en y = -1 - 3k, waarbij k .

• Dit is ook te schrijven als: x=-1+4k en y=-1+3k,

waarbij k ℤ.

Opmerking: Euclides en de

omdraaiing.

• Naar aanleiding van opg. 3.3.2d:

• ggd(16637,17399).

• Als het algoritme precies gevolgd wordt, krijgen we:

• 16637 = 0 • 17399 + 16637

• 17399 = 1 • 16637 + 762

• 16637 = 21 • 762 + 635 etc.

• De omdraaiing gebeurt dus eigenlijk “vanzelf”.

Hoofdstuk 4: Beweringen met

kwantoren.

Kwantoren.

Beweringen met kwantoren (2)

Nog een voorbeeld:

Opgaven.

• Maak: opg. 4.2.1 acd, 4.2.2 abc

Het bewijzen van beweringen met

kwantoren (4.3)

Bewijzen van beweringen met

kwantoren (4.3)

• Indien we een bewering hebben met “Er is

een….” kunnen we dit bewijzen door een

voorbeeld te geven:

• Bijvoorbeeld: Er is een natuurlijk getal

waarvan zowel 7 als 11 een deler zijn.

• We kunnen volstaan met een voorbeeld:

neem n=77 dan is 7 | n en 11 | n, want

77=7•11.

[7 | en 11| ]n n n

Opgaven: maak a,c,f.

Opgave.

• Opmerking: de stof voor AB1 zal tot en

met hoofdstuk 5 zijn.

Huiswerk

• Opgaven 3.4.8 t/m 3.4.11

• Opgaven par. 4.2 en 4.3.