Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto)
-
Upload
koen-de-naeghel -
Category
Documents
-
view
340 -
download
8
description
Transcript of Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto)
Wiskunde In zicht
een cursus wiskunde voor
studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs
geschreven door
Koen De Naeghel
Deel Po Portfolio wiskundeDeel Ps Problem Solving wiskundeDeel Pr Practicum wiskunde
17/11/2013
CREATIVE COMMONS
Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)
Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode
De gebruiker mag:
het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden:
Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van:
Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:
• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.
• De morele rechten van de auteur
• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.
Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .
Eerste druk: 2013
Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com
Omslagfoto: http://nl.123rf.com/
Tekstzetsysteem: LATEX
Royalty percentage: 0%
c© Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0
Inhoudsopgave Wiskunde In zicht
Voorwoord iii
Wat is wiskunde? iv-xi
Parate kennis bij aanvang van de derde graad x-xviii
I Precalculus 1 I,i-ii,1-138
II Goniometrie en precalculus 2
III Matrices
IV Complexe getallen
V Logica
VI Rijen
VII Limieten, asymptoten en continuıteit
VIII Afgeleiden
IX Telproblemen
X Kansrekenen 1
XI Integralen
XII Ruimtemeetkunde
XIII Beschrijvende statistiek
XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek
XV Vectorruimten
XVI Analytische meetkunde
XVII Differentiaalvergelijkingen
XVIII Reeksen
G Computermeetkundepakket GeoGebra
S Computerrekenpakket Sage S,1-15
Po Portfolio wiskunde Po,i-iii
Ps Problem Solving wiskunde Ps,i-iii,1-44
Pr Practicum wiskunde Pr,i-iii,1-60,A
+∞ Topics uit de wiskunde +∞,1-5
Referentielijst, bibliografie en websites xix-xxii
Trefwoordenlijst
ii
Portfolio wiskunde
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
Po
Inleiding
George Polya(1887 - 1985)
Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundigevaardigheden leerden door het observeren van een expert (leerkracht, docent) inactie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag, onder meerdoor de wiskundige en didacticus George Polya (1945), die stelt dat het oplossenvan problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs, en dit op elk niveau.Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, en nadien een redenering opeen haalbaar niveau kunnen leveren.
Wat is het belang van het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleem-oplossend denken genoemd? Het bedenken van een oplossing voor een (complex)probleem kan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een orga-nisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om hetdoel te bereiken. En laat het nu net die vaardigheid om problemen op te lossen zijndie zo gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensendie goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide in-telligentiemetingen zoals de IQ-test, en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de
typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, nu-meriek inzicht, verbaal inzicht en technisch inzicht. Alleen al je vooruitzicht op een toekomstige aanwerving bij eeninstelling of een bedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden.
Het is een misvatting te denken dat het vermogen om problemen op te lossen louter aangeboren is. Doelgerichtveelvuldig trainen en relfecteren kan een aanzienlijk voordeel opleveren. Maar het oefenen in probleemoplossenddenken hoort ons inziens te voldoen aan een aantal randvoorwaarden.
3 Het is onverstandig om problemen altijd zonder context te zien. Niet alleen kan het oplossen van vragen binneneen bepaalde context of referentiekader meer motiverend werken, men kan op die manier ook nieuwe leerstofinoefenen.
3 Elke leerling hoort op eigen tempo en op een aangepast niveau problemen te kunnen oplossen. Meer specifiekopteren we voor zelfgereguleerde differentiatie. Er wordt een minimumdoel voor de klas als geheel gesteld,en elke leerling kan op zijn of haar niveau een eigen oefentraject uitstippelen.
3 De leerling moet in staat zijn aan zelfevaluatie te doen door zijn/haar oplossingen naast een modeloplossingte leggen.
3 Tot slot dient de leerling te reflecteren over de eigen ontwikkeling: welke competenties en leerstofonderdelenbeheers ik goed, en hoe kan ik de zwakke punten verbeteren? Op die manier speelt de leerling de hoofdrol bijhet ‘managen’ van het leerproces.
3 De leerkracht of docent moet kunnen beoordelen of je die probleemoplossende vaardigheden in voldoende mateontwikkelt. Er volgt dus een evaluatie van het proces, waarbij je ook feedback krijgt.
We hebben ervoor gekozen om zo’n project te realiseren aan de hand van een zoge-naamd portfolio, een persoonlijke map waarin je beschrijft wat je kan, waaruit datblijkt en hoe je je competenties verder kan ontwikkelen. Globaal gezien dient eenportfolio twee doelen:
1. je kunt laten zien wat je hebt geleerd en wat je in je mars hebt, en
2. het helpt je te reflecteren over wat je bereikt hebt en welke (leerstof)onderdelennog extra oefening vergen.
Met de term portfolio werd oorspronkelijk een grote map bedoeld, waarin mensen met creatieve beroepen (kun-stenaars, vormgevers, tekstschrijvers) voorbeelden van hun werk meenamen naar potentiele opdrachtgevers. Sedertenkele jaren heeft men dit begrip verruimd naar het moderne portfolio, dat op persoonlijke ontwikkeling is gericht.
Po-i
Wat wordt er van je verwacht?
Elk hoofdstuk uit de cursus is voorzien van oefeningen, die onder verdeeld worden in drie categorieen: basis, verdiepingen uitbreiding. Een overzicht van de oefeningen volgens categorie ziet er bijvoorbeeld als volgt uit (zie Deel Precalculus1 Hoofdstuk 1):
1 Herhaling Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??
1.1 Cartesische coordinaten en grafieken 1 2 2
1.2 Basisbegrippen in verband met functies 3 4 5 6 7 8 9 10
1.3 Elementaire functies, symmetrieen van de grafiekvan een functie
11 1213
1.4 Transformaties van functies 1415
16 17 18 19 20
De interpretatie van deze categorieen is als volgt.
3 Basis. Deze oefeningen zijn bedoeld om de theorie te verwerken, en de basistechnieken die je gezien hebt inde modelvoorbeelden in te oefenen. Alle leerlingen horen dit niveau te halen. Je mag ervan uitgaan datgemiddeld 85% (voor leerlingen met acht wekenlijkse lestijden 70%) van de oefeningen op toetsen en proefwerkenbestaan uit basisoefeningen.
3 Verdieping. Deze categorie veronderstelt een grotere beheersingsgraad. Het zijn oefeningen die niet rechtstreeksmet de in de les geziene technieken van onder andere modeloefeningen kunnen opgelost worden. Verdiepings-oefeningen vergen extra creativiteit, en laten je toe door te groeien in je probleemoplossend denken. Leerlingendie een wetenschappelijke studierichting in het hoger of universitair onderwijs nastreven horen zich ook te richtentot deze categorie.
3 Uitbreiding. Bij uitbreidingsoefeningen gaat het om een extra leerinhoud, die niet noodzakelijk is voor hetvervolg van de cursus, maar die meer diepgang of hogere vaardigheden vragen. Dit is dus niet een nog hogerniveau dan de verdieping. Bij deze oefeningen worden meestal nieuwe begrippen gedefinieerd. Leerlingendie studies zoals burgerlijk ingenieur of burgerlijk ingenieur-architect ambieren horen zich ook tot dit niveau terichten.
Verder is elke categorie voorzien van een niveau: 0, 1 of 2 sterren. Al is een verschil in niveau bij basisoefeningen anderste interpreteren dan een verschil in punten bij uitbreidings- en verdiepingsoefeningen. Zo vergt een basisoefening met 0sterren minder werk dan een basisoefening met 2 sterren (maar is niet noodzakelijk eenvoudiger), en een verdiepingsoe-fening met 0 sterren eenvoudiger dan een verdiepingsoefening met 2 sterren (maar vergt niet noodzakelijk minder werk).
Het is de bedoeling dat je als leerling zelf kiest op welk niveau je oefeningen maakt. Dat kan door te starten meteen basisoefening met bijvoorbeeld 0 sterren. Als dit moeizaam gaat oefen je verder op dit niveau. Kun je die goedoplossen, dan kan je volgende oefening al een basisoefening met 1 fof 2 sterren zijn, en later overgaan naar verdiepingen/of uitbreiding. Zo stel je zelf een persoonlijk, voor jou op maat gemaakt oefentraject samen.
Sommige vragen uit de voorgaande edities van de Vlaamse Wiskunde Olympiade werden opgenomen, alsook vra-gen uit de vroegere toelatingsexamens van burgerlijk ingenieur, burgerlijk ingenieur-architect, (tand)arts, KoninklijkeMilitaire School en Burgerluchtvaartschool. We herinneren je aan de afspraak uit het Voorwoord om deze oefeningenop te lossen zonder gebruikt te maken van de grafische rekenmachine, of enig ander computerrekenpakket (zoals Maple).
Je kan je oefeningen controleren door je antwoorden te vergelijken met de antwoorden in de cursus. Die bevindenzich op het einde van elk deel. Maar ook al heb je het correcte eindantwoord, het is aangewezen om jouw oplossingnaast een modeloplossing te leggen. In de klas liggen zo’n modeloplossingen van oefeningen vooraan, waar je zelf-standig of met de leerkracht je oefeningen kan verbeteren. Hebben we tijdens de lessen wiskunde het einde van eenhoofdstuk bereikt, dan verschijnen deze modeloplossingen als PDF-bestand1 op SmartSchool of een ander digitaalplatform.
1PDF staat voor Portable Document Format, en is sinds begin jaren negentig de standaard voor de uitwisseling van elektronischedocumenten. De meest gebruikte PDF-lezer is Adobe Reader, die je gratis kan downloaden op http://get.adobe.com/nl/reader/ .
Po-ii
Afspraken
1. Bij aanvang van elk hoofdstuk krijg je een bundel (geplooid A3-formaat) met daarop de oefeningen van dathoofdstuk.
2. Tijdens de les wordt er tijd voorzien om aan die oefeningen te werken. Daarnaast wordt er verwacht dat jeook buiten de les regelmatig oefeningen maakt. Het werken aan oefeningen uit je portfolio wordt gezien alseen taak.
3. Oefeningen maak je op cursusbladen. Noteer de oefening je maakt (vb. Oefening 99a) en trek je na elkeoefening een lijn over de breedte van je blad.
4. Gemaakte oefeningen waarmee je je competentie wil aantonen, voeg je in de bundel van dat hoofdstuk.
5. Tussentijds verbeteren met een rode pen doe je aan de hand van modeloplossingen die in de klas liggen.Hebben we tijdens de lessen wiskunde het einde van een hoofdstuk bereikt, dan verschijnen deze modeloplossingenop Smartschool of een ander digitaal platform. Het is niet de bedoeling dat je die afdrukt!
6. Na het verbeteren kleur je in de overzichtstabel (zoals hierboven) het vakje met het nummer van de oefening:
3 groen als je de oefening goed en volledig zelfstandig hebt opgelost (minstens 70% correct),
3 oranje als je de oefening matig en/of met wat hulp hebt opgelost (tussen 50% en 70% correct),
3 rood als je de oefening onvoldoende en/of met veel hulp hebt opgelost (minder dan 50% correct).
Na het doorlopen van je oefentraject kan een gedeelte van je overzichtstabel er bijvoorbeeld als volgt uit zien:
2 Veeltermfuncties Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??
2.3 Algebraısch bepalen van nulwaarden, tekentabelen snijpunten
15
1617
15
18
1920
21 22
23
2425
26
Zo weet je bij het voorbereiden van een toets of proefwerk meteen welke oefeningen je moet hernemen, en bijwelke paragraaf je nog wat extra moet oefenen.
7. Bij sommige hoofdstukken wordt ook gevraagd om te reflecteren aan de hand van een reflectieformulier. Datformulier vul je nauwgezet in, en voeg je ook in deze bundel.
8. Tijdens de lessen op dit deel van de leerstof moet je de bundel van het huidig hoofdstuk altijd bijhebben. Er kan steeds worden nagekeken of je tijdens de voorbije les(sen) zinvol oefeningen gemaakt hebt, ofje de oefeningen verbeterd hebt en of je de reflectie ingevuld hebt.
9. Tijdens het lesuur dat je een toets wiskunde hebt, moet je de bundel(s) van die leerstof bij hebben.In het eerste semester dient iedereen de bundel in, in het tweede semester wordt het leerproces meer individueelopgevolgd. Heb je jouw bundel(s) niet bij, dan wordt dat gezien als het niet indienen van een taak. Conformhet schoolreglement leidt dit tot het volgen van de eerstvolgende inhaalstudie (op woensdag, van 13 u. tot 15u.). Tijdens de inhaalstudie maak je oefeningen op het relevante hoofdstuk, en geef je je studieneerslag op heteinde van de inhaalstudie aan de toezichthouder.
10. Is het resultaat op je toets nipt of onvoldoende, dan kijkt de leerkracht via je portfolio na of je wel voldoendeoefeningen gemaakt hebt, of je die oefeningen degelijk gemaakt hebt, of je voldoende gevarieerd hebt en vooral:of je die oefeningen ook verbeterd hebt. Zo niet, dan wordt je aangemaand om in het vervolg meer oefeningente maken, en/of je oefeningen ook nauwgezet te verbeteren. Is je portfolio wel behoorlijk, dan wordt je uitge-nodigd op een gesprek met de leerkracht, om te reflecteren over je studiemethode. In beide gevallen wordt hetstudieadvies - vaak onder de vorm van remedieringsmaatregelen - gecorrespondeerd via de schoolagenda en/ofhet digitaal puntenrapport.
11. Bij het terugkrijgen van je bundel bewaar je die samen met de andere bundels in deze grote portfoliobundel.
Het portfolio staat dus niet op punten voor tussentijdse evaluatie (TTE). Wel
3 is het jouw verantwoordelijkheid hoeveel oefeningen je maakt, en op welk niveau (ken jezelf!);
3 is deze bundel een bewijsstuk van hoe je zelfstandig te werk gaat, en toon je hiermee aan of je al dan niet eenjuiste studiehouding toont, en of je de eventuele raadgevingen om te groeien naar een goede studiemethode welter harte neemt;
3 dient het portfolio als procesevaluatie, hetgeen in je agenda of attituderapport kan worden genoteerd.
Veel succes!
Po-iii
Problem Solving wiskunde
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ps
INLEIDING
Probleemoplossend denken
In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan pro-bleemoplossend denken. Willen we je hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadrukliggen op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van(nieuwe) problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essentiele troef in je studie-en beroepsloopbaan.
Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordtbevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onder-zoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen,voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren.
Maar dit is niet voldoende. Het is ook noodzakelijk dat je zelf problemen tracht op te lossen, die haalbaar maartoch wat complexer zijn. Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het onderstaand stappenplan1 voorprobleemoplossend denken.
Voor een wiskundige is het oplossen van een probleem slechts het halve werk. Je redenering op papier zetten is minstenseven belangrijk. Problem Solving wiskunde is dan ook een takenreeks waarbij je niet alleen wordt beoordeeld op dejuistheid van de redenering, maar ook op de manier waarop je jouw redenering hebt verwoord. Deze twee kwaliteitenzijn onlosmakelijk verbonden met elkaar: enkel door een redenering degelijk op papier te zetten laat je zien hoe jejouw probleem hebt opgelost.
Stappenplan voor probleemoplossend denken
Stap 1. Het probleem begrijpen. Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagdwordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.
Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden van zo’n strategieen, ook wel heuristieken genoemd, zijn:
3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen
3 raad en controleer
3 maak een lijst
3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld
3 elimineer de mogelijkheden
3 gebruik analogie of symmetrie
3 zoek een patroon
3 maak een tekening
3 los een eenvoudiger probleem op
3 gebruik een model
3 onderzoek bijzondere gevallen
3 los een vergelijking op
3 werk omgekeerd
3 gebruik een formule
Het is belangrijk om deze strategieen ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgensstel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen. Dit kan door in enkele regels te beschrijven hoeje straks te werk zal gaan.
Stap 3. Het plan uitvoeren. Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandig-heden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebraısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als hettot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerkingvan het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.
Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je je uitkomstop een of andere manier controleren? Bij een fout herneem je Stap 3 nauwgezet.
1Gebaseerd op het baanbrekend boek G. Polya, How to solve It, Princeton University Press (1945). Voor verdere toelichting van ditstappenplan verwijzen we naar Deel Practicum Wiskunde.
Ps-i
Richtlijnen voor wiskundig schrijven
Het opschrijven van een wiskundige redenering, een bewijs of meer uitgebreid een nota, artikel of thesis wordt ook wel‘wiskundig schrijven’ genoemd. Het vergt heel wat oefening om hierin bedreven te worden. Zo’n redenering opschrijvenis niet zomaar iets wat je doet nadat je de oplossing gevonden hebt. Het vergt heel wat oefening. Deze richtlijnendienen dan ook om je hierin te ondersteunen.
Wiskundige correctheid
Een correcte, consistente en ondubbelzinnige redenering maken is moeilijker dan je denkt. Een nodige voorwaarde isdat je zelf 100% overtuigd bent van datgene wat je opschrijft. We overlopen enkele typische valkuilen.
3 Rekenvaardigheid. Het algebraısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, stelsels,etc. uit de eerste en de tweede graad is gekend verondersteld. Enkele misverstanden die aan de basis liggen voorheel wat elementaire rekenfouten in de derde graad (de uitspraken gelden voor gepaste keuze van a, b, c, d ∈ R):
. rekenen met vierkantswortels, o.a.√a + b 6= √a+
√b want
√9 + 16 6= 3 + 4;
√a2 6= a want
√(−3)2 6= −3;
. vereenvoudigen van breuken, o.a.2a + b
2c + d6= a + b
c + d,
2a + b
2c + 2d6= a + b
c + d,
2a + 2b
2c + d6= a + b
c + d;
. ongelijkheden, o.a. uit ac > bc volgt niet noodzakelijk dat a > b want 5 · (−2) > 7 · (−2) en toch is 5 < 7.
3 Correct gebruik van implicatie en equivalentie. Vaak is een redenering wiskundig fout omdat men de“enkele pijl ⇒” verwart met “dubbele pijl ⇔”. Onderstaande tabel geeft aan wat het onderscheid is. Voor deformele definitie van deze logische operaties verwijzen we naar Deel Logica.
naam symbool voorbeeld lees als
implicatie ⇒ x = −2⇒ x2 = 4 als x = −2 dan x2 = 4equivalentie ⇔ x = ±2⇔ x2 = 4 x = ±2 als en slechts als x2 = 4
3 Letters voor onbekenden eerst introduceren. Wanneer je een nieuwe letter gebruikt, dan hoor je eerst aante geven waar die letter voor staat. Enkel op die manier kan de lezer jouw redenering volgen.
Wiskundig verwoorden
Een wiskundige redenering bestaat zeker niet alleen uit symbolen (formules, vergelijkingen, . . . ). Je hoort ook bindtekstte schrijven: taalkundige zinnen die aangeven wat je van plan bent, hoe uit de ene vergelijking de andere volgt, hoeje een controle kan maken, etc. Slechts dan zal een lezer weten wat jij bedoelt, ook al heeft hij/zij het probleem nietzelf opgelost. Typische voorbeelden van bindwoorden- en zinnen vind je in onderstaande tabel. Wannneer je een deelvan de redenering weg laat, hoor je de aard en de lengte van het weggelaten deel te duiden (tweede kolom). Houd delezer op de hoogte waar je ergens in je redenering bevind, en wat er nog moet gebeuren (derde kolom).
Bindwoordenanders gezegd, anderzijds is, dan geldt, dientengevolge, dus, echter, enerzijds is, equivalent is, er geldt dat,
ergo, gelijkstellen levert, hieruit volgt, met als gevolg dat, neem, noem, of nog, omdat . . . is, op die manier is,terwijl, uit . . . volgt dan, veronderstel dat, voor . . . vinden we, voor . . . bekomen we, want, waaruit,
waaruit we vinden dat, waaruit volgt dat, we besluiten dat, we hebben, we vinden, zij, zodat, zodoende is
Bindzinnen
Ons eerste doel is om . . . Men kan eenvoudig aantonen dat . . . Eerst tonen we aan dat . . .Wa vermoeden dat . . . Twee keer toepassen van . . . geeft . . . Het probleem is te vereenvoudigen tot . . .Het idee van het bewijs is . . . Een gelijkaardig argument toont . . . Tenslotte moeten we aantonen dat . . .
Tenslotte geven we nog enkele algemene schrijftips mee.
3 Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin, maar je mag formules en tekst nietdooreen halen. Gebruik in een taalkundige zin ook geen losse symbolen als ∀,∃,⇒,⇔. Laat een regel nooitbeginnen met een wiskundig symbool. En verwijs eenduidig naar een eerdere vergelijking, etc.
NIET: x is positief ⇒ de oplossing van de vergelijking = 17.
WEL: Nu is x positief, zodat de oplossing van de vergelijking (∗) gegeven wordt door x = 17.
3 Hoe verwijs je naar jezelf? De meest gangbare keuze voor het persoonlijk voornaamwoord is “we”, ook alis er slechts een schrijver. “Ik” is vrijpostig en vereist een meer persoonlijk contact met de lezer. “We” kan ookverwijzen naar “de lezer en ikzelf”.
NIET: Ik heb het idee om . . . / Ik heb eerder al gezegd dat. . . / Nu ga ik aantonen waarom . . .
WEL: Ons idee is om . . . / We hebben eerder gezien dat. . . / Vervolgens tonen we aan waarom . . .
Ps-ii
Afspraken
1. Elke week van het eerste trimester (uitgezonderd in de sperperiode) krijg je een opgave uit Problem Solvingwiskunde: een bundel (geplooid A3-formaat) met daarop een of twee problemen. Je krijgt vijf tot zeven dagende tijd de tijd om over de opgave na te denken. Dat gebeurt niet tijdens de lessen wiskunde of andere vakken,maar thuis of in de studie.
2. Pagina’s 1 en 4 van de bundel gebruik je als klad, pagina 2 gebruik je als net. Op pagina 3 schrijf je niets, wantdaar komt de beooordeling met opmerkingen van de leerkracht. Hoewel je enkel wordt beoordeeld op het net ishet verplicht om ook je klad te noteren. Onderstaande afbeelding is een verkleinde versie van zo’n opgavebundelin A3-formaat (recto-verso met C-vouw).
A3-voorkantklad (leerling) klad (leerling)
A3-achterkantnet (leerling) evaluatie (leerkracht)
KLAD
PROBLEM SOLVING 1
INDIENEN OP VRIJDAG 6 SEPTEMBER 2013
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: 2013 - 2014
Parate kennis bij aanvang van de derde graad
Probleem 1. Een auto rijdt op een rechte weg naar het oosten met een snelheid van 40km/u. Tegelijkbeweegt een storm, die de vorm van een cirkel met straal 51km heeft, zich naar het zuidoosten. Elkeminuut is het centrum van de storm een halve kilometer naar het zuiden en een halve kilometer naarhet oosten opgeschoven. Op tijdstip t = 0 is de storm 110km ten noorden van de auto. Hoe langbevindt de auto zich in (de cirkel van) de storm?
Fragment van de oplossing. Stel de positie van de auto en de storm voor in een Cartesisch assenstelsel.(1) Op tijdstip t (in minuten) is de auto in het punt A(. . . , . . .), want [. . . ](2) Op tijdstip t (in minuten) is het middelpunt van de storm in het punt S(. . . , . . .), want [. . . ]
KLAD
Ps-1
NET OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
3. Met andere leerlingen discussieren over een opgave kan, maar het schrijfwerk (klad en net) gebeurt striktindividueel. In de volgende gevallen ontstaat er een vermoeden dat je overgeschreven hebt:
(a) indien je klad niet (overtuigend) is genoteerd op de bundel, of
(b) indien twee taken grote overeenkomsten hebben in de persoonlijke stijl van opschrijven, of
(c) indien een leerkracht signaleert dat je tijdens les, leswissel of studie de taak van iemand overschrijft.
In dat geval volgt een confrontatie dat kan leiden tot het krijgen van een nul op de taak. Dit geldt zowel voorde leerling die de taak heeft overgeschreven als de leerling die zijn taak bewust liet overschrijven.
4. Ben je de bundel kwijt geraakt, dan kopieer je die zelf (pagina’s 1 en 3 op een dubbel taablad kleven).
5. Je respecteert de deadline vermeld in de hoofding. Je dient in tijdens een lesuur dat je wiskunde hebt. Hebje jouw bundel niet bij, dan wordt dat gezien als het niet indienen van een taak. Conform het schoolreglement leidtdit tot het volgen van de eerstvolgende inhaalstudie (op woensdag, van 13 u. tot 15 u.). Tijdens die inhaalstudiemaak je een alternatieve taak, die je indient op het einde van de inhaalstudie aan de toezichthouder. Je wordtvoor die taak beoordeeld op basis van wat je op dat moment ingediend hebt.
6. Na de beoordeling bewaar je de opgavebundel thuis in deze kaft. Op het einde van het eerste trimester wordtgevraagd om deze kaft met jouw taken terug in te dienen.
Evaluatie
Problem Solving wiskunde telt mee voor . . . % (vul in) van je tussentijdse evaluatie van het eerste trimester. Bij elketaak wordt je beoordeeld volgens de criteria
3 wiskundige correctheid: je redenering is correct, logisch consistent, ondubbelzinnig en leidt tot de volledigeoplossing van het probleem;
3 wiskundig verwoorden: je bent in staat om je gedachten op een kwalitatieve manier te communiceren;
3 nauwkeurigheid en orde: je werkt ordelijk en systematisch, zowel bij het aanpakken van het probleem alshet noteren van je oplossing; na de uitvoering van je opdracht kijk je terug als een vorm van controle om zo totnauwkeurige resultaten te komen;
3 kritische zin: Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaarte aanvaarden en over te nemen.
Deze competenties dienen als basis voor het beoordelen van je vakattitudes wiskunde. Is je resultaat onvoldoende,dan kan gevraagd worden om je net te herschrijven op basis van wat je ingediend had en in te dienen met devolgende taak. Is je verbetering goed, dan kun je toch nog voldoende halen voor de taak.
Veel succes!
Ps-iii
PROBLEM SOLVING 1
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 1. Een auto rijdt op een rechte weg naar het oosten met een snelheid van 40km/u. Tegelijkbeweegt een storm, die de vorm van een cirkel met straal 51km heeft, zich naar het zuidoosten. Elkeminuut is het centrum van de storm een halve kilometer naar het zuiden en een halve kilometer naarhet oosten opgeschoven. Op tijdstip t = 0 is de storm 110km ten noorden van de auto. Hoe langbevindt de auto zich in (de cirkel van) de storm?
Fragment van de oplossing. Stel de positie van de auto en de storm voor in een Cartesisch assenstelsel.(1) Op tijdstip t (in minuten) is de auto in het punt A(. . . , . . .), want [. . . ](2) Op tijdstip t (in minuten) is het middelpunt van de storm in het punt S(. . . , . . .), want [. . . ]
KLAD
Ps-1
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 2
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 2. Er is precies een veelterm C(x) van de vorm
C(x) = 7x7 + c6x6 + c5x
5 + . . .+ c1x+ c0
waarbij c0, c1, c2, . . . , c6 ∈ R en waarvoor geldt dat
C(1) = 17, C(2) = 27, . . . , C(7) = 77
Bepaal algebraısch C(8).
Fragment van de oplossing. We kennen zeven nulwaarden van de veelterm C(x)− x7.
KLAD
Ps-5
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 3
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 3. Een snelle motorboot behaalt in stilstaand water een topsnelheid van 32km/u. Hetvaart aan volle kracht 150km stroomopwaarts, tegen de constante stroming van een rivier in. Bij aan-komst is de avond gevallen, en blijft men ter plaatse om te overnachten. Daarna keert de motorbootterug en vaart stroomafwaarts naar de plaats waar men de vorige dag was vertrokken. Maar door eenmechanisch defect kan de motorboot tijdens de terugweg slechts aan halve kracht varen.
Als geluk bij een ongeluk blijkt achteraf dat de constante stroomsnelheid van de rivier gedurende deganse trip ideaal was: bij elke andere snelheid van de stroming zou de totale reistijd van de trip langergeduurd hebben.
(a) Bepaal de stroomsnelheid van de rivier (een berekening uitvoeren met de grafische rekenmachineis toegelaten).
(b) Als je weet dat men 8u heeft overnacht, bepaal dan de totale reistijd (algebraısch en met behulpvan je resultaat op vraag (a)).
Fragment van de oplossing. Noem c de constante stroomsnelheid van de rivier. Dan wordt de totalereistijd van de trip gegeven door de rationale vorm [. . . ], want [. . . ]
KLAD
Ps-9
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 4
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8
x2 + 1.
(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?
(b) Bepaal het bereik van de functie f .
Fragment van de oplossing.
(a) Neem k ∈ R willekeurig. Dan geldt er bestaat een reeel getal x waarvoor f(x) = k
⇔ de vergelijking f(x) = k heeft minstens een oplossing x
⇔ [. . . ]
KLAD
Ps-13
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 5
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking
3√
13x+ 37− 3√
13x− 58 =3√
5
Vereenvoudig je resultaat zoveel als mogelijk, en geef de exacte waarde.
Fragment van de oplossing.
KLAD
Ps-17
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 6
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 6. Bereken algebraısch, en zonder enig gebruik te maken van een (grafische) rekenmachineof computerrekenpakket:
⌊20143
2012 · 2013− 20123
2013 · 2014
⌋
Fragment van de oplossing. Noem n = . . . . We schrijven het verschil binnen de floor als de som vaneen echte en een onecht rationale vorm in n, en wel als volgt: [. . . ]
KLAD
Ps-21
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 7
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 7. Een cruiseschip vaart naar het zuiden met een snelheid van 51, 97km/u, en ervaartdat de wind uit het oosten komt. Een ander cruiseschip, de Queen Elizabeth 2, tevens een van degrooste en snelste cruiseschepen ter wereld, vaart naar het westen met een snelheid van 60, 01km/u.Ogenschijnlijk voor het tweede schip waait een noordoostenwind, die een hoek van 30◦ maakt met hetnoorden. Bepaal de (werkelijke) snelheid van de wind.
Fragment van de oplossing. Voor het eerste schip benoemen we de volgende snelheidsvectoren: [. . . ]dan kunnen we die snelheidsvectoren voorstellen op onderstaande figuur [. . . ]
KLAD
Ps-25
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 8
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
nieren in digitaal ontwerp
Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling vanhet bloed constant te houden. Daarbij verwijderen ze opgelosteongewenste stoffen, zoals afvalstoffen van de stofwisseling en via hetvoedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nieren eliminereneen zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijds-eenheid.
Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op hetzenuwstelsel, de hartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat hetje wakkerder maakt of dat het je gevoel van vermoeidheid verdrijft.Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn. Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon elk uur 13%van de in het lichaam overblijvende cafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, danwerkt het stimulerend.
We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je vier uur langelk uur een blikje cola drinkt, en je het laatste blikje om 23u. drinkt (in het totaal drink je dus vierblikjes). Omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam niet langer stimulerend werken?Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.
Fragment van de oplossing. Noem C1(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaamafkomstig van het eerste blikje, op t uur na 20u.. Dan is C1(t) gelijk aan [. . . ].
KLAD
Ps-29
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 9
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:
8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0
Fragment van de oplossing. We bereken eerst (2x + 2−x)2.
KLAD
Ps-33
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 10
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 10. Zij α een hoek waarvoor cosecα = cotα− 18/5. Bepaal algebraısch de exacte waardevan sinα− tanα zonder de hoek α te berekenen.
Fragment van de oplossing. Het gegeven is een betrekking waar twee goniometrische getallen in voor-komen. We vormen het gegeven om naar een formule waar slechts een goniometrisch getal in voorkomt.
KLAD
Ps-37
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
PROBLEM SOLVING 11
INDIENEN OP . . . / . . . / . . .
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .
Probleem 11. Zij α en β twee hoeken waarvoor cos(α + β) + sin(α − β) = 0 en tanβ = 1/2013.Bepaal tanα zonder de hoek α of β te berekenen.
Fragment van de oplossing. We passen de som-en verschilformules voor cosinus en sinus toe. [. . . ] Wetonen aan dat cosα cosβ 6= 0. [. . . ]
KLAD
Ps-41
NET
OPMERKINGEN
BEOORDELING
doelstelling feedback
knelpunt
werkpunt
goed
zeer
goed
excellent
wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
KLAD
Practicum wiskunde
Werkbundels voor de leerlingen
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
Pr
WOORD VOORAF
George Polya(1887 - 1985)
Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundigekennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) inactie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt dewiskundige en didacticus George Polya (1945) dat kennisoverdracht door middelvan het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs,en dit op elk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, ennadien een redenering op een haalbaar niveau kunnen leveren.
Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denkengenoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs isgeworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie hetvermogen om naargelang de situatie correct en passend te handelen. De nadruk ligtbij het begrip competentie niet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuuronderscheidt men zo’n dertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren,mondeling presenteren, overtuigen, leidinggeven en samenwerken.
Het feit dat competenties een trend binnen het onderwijs zijn, kan niet de enige drijfveer zijn om er aandacht aan tebesteden. Maar het zou er de leerkracht en de leerling wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dathij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele, en geven duiding binnen een maatschappelijkecontext. 3
1. Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennisenorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerdelektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd, de helft van diens kennis was verouderd.In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar. De consequenties van die ontdekking zijnenorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weerverouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht.Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom ishet onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.
2. Wat is het belang van probleemoplossend denken? Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleemkan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligentsysteem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net de vaardigheid om problemen opte lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goedscoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test,en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerkenlogisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzicht en technisch inzicht. Alleenal het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijf duidt op hetbelang van deze vaardigheden.
3. Wat kan de meerwaarde van op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven zijn? Per beroep kun jeongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een standaard. In eensollicitatie zal men vooral op die competenties letten.
Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij eenandere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas primafunctioneerde, met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzakenvan bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leverenproduct, was ze beter af geweest.
3Inspiratie werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren en studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html .
Pr-i
Omdat we bewust kiezen voor het ontwikkelen van competenties, is het wenselijk om het effect ervan te meten enverder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets. Typischdaarbij zijn opmerkingen in de trend van:
3 “let op je notatie”,
3 “na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?”,
3 “maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk”,
3 “bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen”,
3 “maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde”, etc.
Doorgaans zal een leerling die een toets afneemt zich eerder focussen op het reproduceren van de kennis en demon-streren van basistechnieken. Het bewust tonen van competenties hoort daar niet meteen bij. Ook bij het krijgen vande gecorrigeerde toets achteraf zal een leerling eerder interesse hebben in de punten dan in de opmerkingen inverband met competenties. Voor een aantal leerlingen is dit te wijten aan het feit dat attitudes niet worden gequoteerdop punten: zin voor nauwkeurigheid en orde, zelfvertrouwen en zelfstandigheid, reflectievaardigheden, etc.
Hoewel het een onlosmakelijk met het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tothogere punten) nemen sommige leerlingen die link niet onmiddellijk aan. Anderzijds hoort een leerkracht wel tebeoordelen of de leerling de vaardigheden goed ontwikkelt. Een klassieke toets volstaat dus niet langer.
Practicum wiskunde - Inhoud en evaluatie, vaardigheden en attitudes
Uit een poging om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is het practicum wiskundeontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica4 genaamd. Het doel van deze practica is dat de leerkracht kanbeoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen die de leerling zelf ofin groep geschreven heeft, en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleert het leerlingenom over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het ‘managen’ vanzijn eigen leerproces:
3 Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?
3 Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?
3 Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?
3 Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?
Inhoud
Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot een klassiekedidactiek - een aantal methodes aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Enkele daarvan zijn zelfs essentieel inde uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. We sommen enkele onderwerpen op, voor deconcrete inhoud verwijzen we naar de practica zelf:
3 zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels,
3 werken met een wiskundig model,
3 leren uit opgeloste problemen,
3 geven van een wetenschappelijke presentatie,
3 samen werken,
3 onderzoeksopdrachten,
3 inzicht in het studie- en beroepskeuzeproces.
Evaluatie
Bijna elk practicum wordt geevalueerd op inhoud, maar ook op vaardigheden en attitudes. Hierna volgt een opsommingvan die vaardigheden en attitudes.
4practicum (-s, -tica mv) een les waarin niet alleen wordt geluisterd, maar waarin leerlingen praktisch oefenen.
Pr-ii
Vaard
igheden
1.R
ekenvaard
igh
eid
.
3B
ijh
etal
geb
raıs
chm
an
ipu
lere
nva
nfu
nct
ievoors
chri
ften
,fo
rmu
les,
verg
elij
kin
gen
,et
c.w
eet
jew
elke
tech
-n
ieke
nje
moet
aanw
enden
omto
tee
nre
sult
aat
teko
men
,en
voer
jed
eze
tech
nie
ken
corr
ect
uit
.
3Je
kan
de
groot
ord
eva
nee
nre
sult
aat
goed
insc
hatt
en.
3Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hak
elen
omee
nb
ewer
kin
gu
itte
voer
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
nd
ieje
met
ICT
bek
om
enh
ebt.
2.M
eet-
en
tekenvaard
igh
eid
.
3G
rafi
eken
envo
orst
elli
nge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
3Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lin
gsve
rmog
en.
3Je
kan
ICT
-hu
lpm
idd
elen
zoal
sh
etgr
afisc
hre
ken
mac
hin
eof
een
com
pu
terr
eken
pak
ket
gep
ast
insc
hak
elen
omee
nfi
gu
ur
teb
ekom
en.
Je
gaa
took
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
lin
gen
die
jem
etIC
Tb
ekom
enh
ebt.
3.W
isku
nd
ige
taalv
aard
igh
eid
.
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eva
kta
alva
nd
ew
isku
nd
e:
.je
ken
td
eb
etek
enis
van
typ
isch
eva
kte
rmen
engeb
ruik
td
eze
vold
oen
de
corr
ect
(fu
nct
ie,
stel
sel,
etc.
);
.je
ken
td
eb
etek
enis
van
spec
ifiek
elo
gis
che
ker
nw
oor
den
enge
bru
ikt
dez
evol
doen
de
corr
ect
(en
,of,
daa
ruit
volg
t,vo
or
alle
,et
c.);
.je
ben
tin
staa
tom
een
omsc
hri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waard
ete
sym
bolise
ren
;
.je
han
teer
td
evis
uel
evo
ors
tell
inge
nw
aar
de
wis
ku
nd
ege
bru
ikva
nm
aakt
(gra
fiek
,ta
bel
,et
c.).
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etd
eb
esch
rijv
end
eta
alw
aari
nov
erh
etw
isku
nd
igh
and
elen
ges
pro
ken
wor
dt
(defi
nit
ie,
eige
nsc
hap
,ve
rkla
ar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
3Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
isku
nd
ige
beg
rip
pen
her
ken
nen
enve
rtal
enn
aar
wis
ku
nd
igm
od
el(m
ath
emati
sere
n).
3Je
kan
vis
uel
ein
form
ati
ein
vold
oen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gra
fiek
,d
iagra
m).
3Je
ben
tle
esva
ard
igb
ijh
etle
zen
van
de
tekst
van
opga
ven
,p
rob
lem
enen
vra
agst
ukke
n.
4.D
en
k-
en
red
en
eerv
aard
igh
ed
en
.
3Je
kan
het
ond
ersc
hei
dm
aken
tuss
enh
oofd
-en
bij
zake
n,
gege
ven
enge
vra
agd
e,geg
even
ente
bew
ijze
n.
3Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
teb
egri
jpen
.
3Je
kan
een
geg
even
red
ener
ing
oph
aar
gel
dig
hei
don
der
zoek
en.
3Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
of
de
oplo
ssin
gva
nee
np
rob
leem
op
bouw
en:
.je
kan
een
ver
moed
enfo
rmu
lere
nen
argu
men
tere
n;
.je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opb
asis
van
een
ond
erzo
ekop
een
aan
tal
voorb
eeld
en;
.je
kan
bij
het
op
bou
wen
van
een
red
ener
ing
een
ICT
-hu
lpm
idd
elge
bru
iken
.
5.P
rob
leem
op
loss
en
de
vaard
igh
ed
en
.
3Je
kan
een
pro
ble
emontd
ekke
nen
het
wis
ku
nd
igb
ehoor
lijk
stel
len
.
3Je
kan
een
pro
ble
eman
alyse
ren
(on
der
sch
eid
mak
entu
ssen
gege
ven
enge
vra
agd
e,ve
rban
den
leggen
tuss
end
egeg
even
s,et
c.).
3Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
enn
aar
een
pas
sen
dw
isku
nd
igm
od
el(m
ath
emat
iser
en).
3Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nb
ijh
etw
erken
aan
pro
ble
men
,en
daa
rbij
een
pla
nop
stel
len
.
3Je
kan
refl
ecte
ren
opd
eke
uze
van
jezo
ekst
rate
gie
enen
jep
lan
.
3Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hu
nb
etro
uw
baa
rhei
den
voll
edig
hei
d.
3Je
kan
ICT
-hu
lpm
iddel
enge
bru
iken
omw
isku
nd
ige
info
rmati
ete
ver
wer
ken
enw
isku
nd
ige
pro
ble
men
teon
der
zoek
en.
6.O
nd
erz
oeksv
aard
igh
ed
en
.
3Je
kan
een
on
der
zoek
sop
dra
cht
form
ule
ren
enaf
bak
enen
.
3Je
kan
een
aan
pak
pla
nn
enen
zon
od
igop
spli
tsen
ind
eelt
aken
.
3Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
.d
ew
aard
eva
nd
ein
form
atie
beo
ord
elen
infu
nct
ieva
nd
eop
dra
cht;
Pr-
iii
.d
ere
lati
etu
ssen
gege
ven
sen
bew
erkin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren
.
3Je
kan
doel
mat
igee
nw
isku
nd
igm
od
else
lect
eren
ofop
stel
len
:
.ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
ken
nen
als
een
wis
kun
dig
ofee
nst
atis
tisc
hp
rob
leem
;
.va
stst
elle
nof
een
mod
elvo
ldoet
enh
etev
entu
eel
bij
stel
len
;
.zo
nod
igb
ijkom
end
ein
form
atie
verz
amel
enom
het
aan
gew
ezen
mod
elte
ku
nn
enh
ante
ren
.
3Je
kan
bij
een
mod
eld
ep
asse
nd
eop
loss
ingsm
eth
od
eco
rrec
tu
itvo
eren
.
3Je
kan
resu
ltat
enb
inn
end
eco
nte
xt
bet
eken
isgev
enen
zed
aar
inkri
tisc
hev
alu
eren
.
3Je
kan
refl
ecte
ren
op
het
geh
ele
pro
ces,
i.h
.b.
opd
ege
maak
teke
uze
nvo
or
rep
rese
nta
tie
enw
erkw
ijze
.
3Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
on
der
zoek
zinvo
lp
rese
nte
ren
,h
etst
and
pu
nt
argu
men
tere
nen
vers
lag
uit
bre
ngen
van
het
pro
ces.
7.L
eerv
aard
igh
ed
en
.
3Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
3Je
kan
sam
enh
ange
nd
ein
form
atie
verw
erke
n.
3Je
kan
info
rmat
ieb
ron
nen
raad
ple
gen
.
3Je
kan
stu
die
tijd
pla
nn
en.
3Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
stu
ren
.
8.R
efl
ecti
evaard
igh
ed
en
.
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
aan
pak
van
jew
erk
enje
stu
die
s.
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
jele
erp
roce
sen
jein
zet
(lei
den
zeto
th
etb
erei
ken
van
de
doel
stel
lin
g?).
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
effici
enti
eva
nje
wer
ken
enje
lere
n.
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
ster
keen
de
zwak
keel
emen
ten
ind
eu
itvo
erin
gva
nje
op
dra
cht.
3Je
kan
jere
flec
tie
con
cree
tm
aken
door
een
pla
nva
nve
rbet
erin
gop
test
elle
n(w
elke
elem
ente
nw
ord
enge
bru
ikt
om
het
lere
nen
wer
ken
teve
rbet
eren
?).
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
geza
mel
ijke
aan
pak
enov
erle
gb
ijee
ngr
oep
sop
dra
cht.
Attitudes
9.Z
invoor
nauw
keu
righ
eid
en
ord
e.
3Je
heb
td
ege
woon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opd
rach
tte
rug
tekij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole
,om
zoto
tn
auw
keu
rige
resu
ltat
ente
kom
en.
3Je
heb
tee
nh
oud
ing
om
ord
elij
ken
syst
emati
sch
tew
erke
n(n
oter
en,
mak
enva
noef
enin
gen
,aan
pakke
nva
np
rob
lem
en).
10.
Zin
voor
kw
ali
teit
van
de
wis
ku
nd
ige
rep
rese
nta
tie.
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoord
en,
end
evo
or-
enn
adel
enva
nee
nb
epaa
lde
wer
kw
ijze
teb
esp
reke
n.
11.
Kri
tisc
he
zin
.Je
heb
td
eh
oud
ing
omb
erek
enin
gen
,b
ewer
inge
n,
argu
men
teri
ngen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maa
rte
aanva
ard
enen
over
ten
emen
.
12.
Zelf
vert
rouw
en
en
zelf
stan
dig
heid
.
3Je
toon
tze
lfve
rtro
uw
en,
zelf
stan
dig
hei
d,
door
zett
ings
ver
mog
enen
doel
mati
ghei
db
ijh
etaa
np
akke
nva
np
rob
lem
enen
opd
rach
ten
.
3Je
ziet
ind
atfo
ute
nm
aken
inh
eren
td
eel
uit
make
nva
nh
etle
erp
roce
s.
13.
Zelf
regu
lati
e.
3Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naan
zien
van
feit
en,
op
gav
enen
pro
ble
men
.
3Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
op
loss
ingsp
roce
ste
ori
ente
ren
,h
etpro
ces
tep
lan
nen
,h
etu
itte
voer
enen
het
teb
ewak
en.
14.
Zin
voor
sam
enw
erk
ing
en
overl
eg.
3Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
of
aan
pak
.
15.
Waard
eri
ng
voor
de
wis
ku
nd
e.
Je
toon
tin
zich
tin
de
bij
dra
geva
nde
wis
ku
nd
ein
cult
ure
le,
his
tori
sch
een
wet
ensc
hap
pel
ijke
ontw
ikke
lin
gen
.
16.
Inzic
ht
inh
et
stud
ie-
en
bero
ep
skeu
zep
roces.
Je
kan
info
rmati
ein
win
nen
over
het
aan
dee
lva
nw
isku
nd
ein
een
verv
olgop
leid
ing
end
ieve
rgel
ijke
nm
etje
voor
ber
eid
ing.
Pr-
iv
PRACTICUM 1
INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met com-ponent wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen dieonder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd [34, p.77]:
OC1 Zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te ver-zamelen, te ordenen en te bewerken.
OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uit-voeren en evalueren.
OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.
De tweede en derde eindterm zullen worden gerealiseerd bij de uitvoering van latere practica, onder meer door on-derzoeksopdrachten, het schrijven van een wetenschappelijk verslag en het geven van een wetenschappelijke presentatie.
onderzoekscompetenties
verzamelen
ordenen
bewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereidenuitvoerenevalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporterenconfronteren ︸
︷︷︸ competentie 3
Het verzamelen, ordenen en bewerken van informatie wordt hier afzonderlijk behandeld, want ze komt niet meer aanbod bij latere practica in verband met onderzoeksopdrachten. Dat is een bewuste keuze, en berust op wat wij bedoelenmet de term “onderzoeksopdracht wiskunde”. Het is de mening van de auteur dat onderstaande invulling van dezeterm strookt met de visie van een ruime meerderheid binnen de wiskundige gemeenschap. Hoe we tegen de fasen vaneen onderzoeksopdracht wiskunde aankijken wordt verhaald in de inleiding van Practicum 9.
De competenties informatie verzamelen, ordenen en bewerken sluiten eerder aan bij onderzoek waarvoor de leerlinginformatie opzoekt in de literatuur of op het internet en deze informatie synthetiseert of toepast op een concreteonderzoeksvraag. Bij wiskunde bevindt dergelijk onderzoek zich toch eerder in de marge1 van het gebeuren. Denkbijvoorbeeld aan het maken van een werkstuk over het leven van een wiskundige. Opdrachten waarbij gevraagd wordtom informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken zijn eerder beschrijvende opdrachten. Pas als de onder-zoeker een voor hem of haar relatief onbekend wiskundig terrein betreedt kunnen we spreken over een onderzoekendeopdracht wiskunde.
We zijn dan ook van mening2 dat bij wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boekenhaalt, maar genereert door zelf te redeneren. Probleemoplossende vaardigheden komen hierbij goed van pas,dat komt dan ook aan bod in latere practica. Maar informatie opzoeken helpt je - althans op het niveau van dewiskunde in het middelbaar onderwijs - geen stap vooruit.
1Binnen de context van het wiskundeonderwijs is de eerste eindterm wel relevant bij onderzoek dat steunt op statistische informatie(zesde jaar).
2Deze verwoording werd ontleend aan de voordracht J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad,03/03/2010, DPB Brugge. De visie van de auteur sluit hier naadloos bij aan.
Pr-1
Informatie verzamelen met behulp van het internet
Informatie opzoeken is wellicht de belangrijkste functie van het internet. Als je niet beschikt over een lijst met rele-vante adressen, dan valt het tegen om iets rechtstreeks te vinden in deze enorme informatieberg. Het losweg intypenvan url’s die eventueel met het gezochte onderwerp iets te maken hebben is uit den boze. Los van het feit dat zo’npagina waarschijnlijk geen interessante informatie voor je bevat, is kans dat het ingetypte adres bestaat heel klein.Daarom moet je opzoeken op het internet wat gestructureerder aanpakken.
Een zoekmachine is een webdienst waarmee met behulp van trefwoorden een volledige tekst kan worden gezocht.De volgende tabel geeft enkele zoekmachines weer, alsook enkele populaire sites voor (wiskundige) informatie.
zoekmachine beschrijving en tips voor- en nadelen
googlewww.google.be/
In veel landen is Google de populairste zoekmachine.Gebruik
3 aanhalingstekens bij het zoeken van een zinvb. “vectoren in het vlak”
3 sterretje als joker, op die plaats kan alles staanvb. “een dodecaeder heeft ∗ vlakken”
3 site bij het zoeken binnen een sitevb. “wiskunde site:deredactie.be”
3 define bij het zoeken naar een definitievb. “define:googol”
3 afbeeldingen: tik je zoekterm, klik afbeeldingen
Omdat het een grotezoekmachine is, wordthet steeds moeilijkerom gericht te kunnenzoeken op een bepaaldgebied, of in een anderetaal dan het Engels.Vaak geeft Google ge-woon te veel resulta-ten weer, waardoor eengebruiker door het bos debomen niet meer ziet.
wikipediawww.wikipedia.org/
Wikipedia is een gratis encyclopedie.
3 Engelse trefwoorden genieten voorkeur bovenNederlandse. In vergelijking met het Nederlandsworden artikels in het Engels door een groteregroep mensen opgesteld, gecontroleerd en aange-past.
3 Gebruik synoniemen van bepaalde woorden wan-neer een zoekopdracht niet het gewenste resultaatgeeft.
Een handige manier omop een begrijpbaarniveau kennis op tedoen. De meeste artikelszijn voorzien met linksnaar andere websites.Maar omdat iedereenartikels kan wijzigen, iser geen garantie dat eenartikel in wikipedia juisten betrouwbaar is.Aan te raden is dat je deinformatie vergelijkt metandere bronnen.
MacTutor History ofMathematics Archivehttp://www-history.mcs.
st-and.ac.uk/Search/
historysearch.html/
Bevat gedetailleerde biografieen over wiskundigen en wis-kundige onderwerpen.Categorieen:
3 History Topics: artikels volgens cultuur of takvan de wiskundevb. “Ancient Greek mathematics”
3 Famous curves: bekende en minder bekendekrommenvb. “lemniscate of Bernoulli ”
Een uitgebreid en be-trouwbaar geschiedenis-archief van wiskunde.
google scholarscholar.google.be/
Scholar Google is een zoekmachine waarmee je bijna elkwetenschappelijk artikel dat ooit gepubliceerd is kuntopzoeken.Een korte samenvatting van het onderzoek kun je bijnaaltijd gratis raadplegen.
Jammer genoeg is lees-baarheid niet altijdde beste kant van we-tenschappelijke artikels.Maar even doorbijtenloont zeker de moeite.
Pr-2
Informatie ordenen en bewerken
Het is onmogelijk om alle verzamelde informatie op te nemen. Daarom moet de informatie eerst verwerkt worden.
Je werkt het overzichtelijkst als je elke vraag of onderwerp afzonderlijk behandelt. Dat kan erg handig door de infor-
matie eerst te kopieren naar een Word-document . Om ervoor te zorgen dat je later nog weet waar je welke informatie
gevonden hebt, noteer je onder elke passage de (eventueel verkorte) bronbeschrijving, bijvoorbeeld de url waarop je deinformatie gevonden hebt. Op deze manier krijg je meteen de antwoorden van verschillende bronnen op dezelfde vraagbij elkaar. Daardoor wordt het makkelijker om de verschillende antwoorden op zo’n vraag met elkaar te vergelijken.
Daarna moet je de bekomen informatie verwerken. Dat kan door eerst een schema te maken.
1. Het allerbelangrijkste daarbij is dat je een goed onderscheid maakt tussen hoofdzaken en bijzaken. Dat islang niet altijd makkelijk, aanwijzingen zijn:
3 titel en tussenkopjes: deze vertellen je waar gedeelten van de tekst over gaan;
3 eerste en laatste alinea van de tekst: in de eerste vertelt de schrijver vaak waarover de tekst gaat, in delaatste vat de schrijver vaak het belangrijkste nog even samen;
3 afwijkende druk: als een woord bijvoorbeeld vet gedrukt is, dan is dat woord (meestal) extra belangrijk.
2. Alleen de belangrijke dingen weergeven: niet allerlei voorbeelden of onbelangrijke weetjes, geen hele zinnen.
3. Je moet in het schema de verbanden tussen de onderdelen van je schema goed duidelijk maken.
4. Als in de tekst nieuwe begrippen behandeld worden, kun je onderaan het schema een begrippenlijst te maken:de nieuwe begrippen met daarachter de betekenis.
Daarna maak je van bij elke vraag of ondewerp een samenvatting . Daarbij heb je aandacht voor:
3 de structuur van je tekst: die bestaat uit een aantal alinea’s die een overzichtelijk geheel vormen;
3 je zorgt dat je tekst aangenaam om lezen is, en een informatief karakter heeft;
3 je neemt geen zinnen letterlijk van je bronnen over;
3 wat je ook schrijft, je zorgt dat je de inhoud voor 100% begrijpt;
3 details (voorbeelden, zaken die niet van belang zijn voor de hoofdlijn van de tekst) moet je verwaarlozen;
3 je sluit je samenvatting af door het vermelden van je bronnen.
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee tot drie.
poster Vlaamse WiskundeOlympiade
. Zoek nevenstaande poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op.
. Eerst is het de bedoeling dat je de vraag oplost die op de poster staat. Jemoet dus het vraagteken achterhalen.
. Daarna kies je in je groepje een rij of kolom. In die rij of kolom kies jedrie afbeeldingen (maar niet het vraagteken). Bijvoorbeeld drie van de vijfplaatjes uit de tweede rij.
. Over elke afbeelding zoek je informatie op het internet. Die informatieorden je en bewerk je tot een samenvatting zoals beschreven in de inleiding.Schrijf tussen een halve en een bladzijde per afbeelding.
. Daarna is het de bedoeling om zelf een wiskundige afbeelding op te zoekendie het getal op de plaats van het vraagteken zou kunnen weergeven. Ookvan die afbeelding maak je zo’n samenvatting (maximaal een bladzijde).
3 Verslag (tijdens de les, thuis afwerken) Je verslag bevat:
. van elk van de drie afbeeldingen een halve tot een bladzijde samenvatting;
. een afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken weergeeft;
. ook van die afbeelding een halve tot een bladzijde samenvatting;
Het verslag voeg je in deze practicum map. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslagin. Daarnaast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina 62).
Pr-3
Evaluatieform
ulierPracticum
1D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Inhou
del
ijk
Vaa
rdig
hed
en6.
On
derz
oeksv
aard
igh
ed
en
3Je
kan
een
onder
zoek
sop
dra
cht
form
ule
ren
enaf
bak
enen
.
3Je
kan
een
aanpak
pla
nnen
enzo
nodig
opsp
lits
enin
dee
ltak
en.
3Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
.de
waa
rde
van
de
info
rmat
ieb
eoor
del
enin
funct
ieva
nde
opdra
cht;
.de
rela
tie
tuss
enge
geve
ns
enb
ewer
kin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren.
3Je
kan
bij
een
model
de
pas
sende
oplo
ssin
gsm
ethode
corr
ect
uit
voer
en.
3Je
kan
resu
ltat
enbin
nen
de
conte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
aluer
en.
3Je
kan
reflec
tere
nop
het
gehel
epro
ces,
i.h.b
.op
de
gem
aakte
keuze
nvo
orre
pre
senta
tie
enw
erkw
ijze
.
3Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
onder
zoek
zinvo
lpre
sente
ren,
het
stan
dpunt
argu
men
tere
nen
vers
lag
uit
bre
ngen
van
het
pro
ces.
7.
Leerv
aard
igh
ed
en
3Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
3Je
kan
sam
enhan
gende
info
rmat
ieve
rwer
ken.
3Je
kan
info
rmat
iebro
nnen
raad
ple
gen.
3Je
kan
studie
tijd
pla
nnen
.
3Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
sture
n.
8.
Refl
ecti
evaard
igh
ed
en
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
aanpak
van
jew
erk
enje
studie
s.
3Je
kan
reflec
tere
nov
erje
leer
pro
ces
enje
inze
t(l
eiden
zeto
thet
ber
eike
nva
nde
doel
stel
ling?
).
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
effici
enti
eva
nje
wer
ken
enje
lere
n.
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
ster
keen
de
zwak
keel
emen
ten
inde
uit
voer
ing
van
jeop
dra
cht.
3Je
kan
jere
flec
tie
concr
eet
mak
endoor
een
pla
nva
nve
rbet
erin
gop
test
elle
n(w
elke
elem
ente
nw
orden
geb
ruik
tom
het
lere
nen
wer
ken
teve
rbet
eren
?).
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
geza
mel
ijke
aanpak
enov
erle
gbij
een
groep
sop
dra
cht.
Att
itudes
11.
Kri
tisc
he
zin
Je
heb
tde
hou
din
gom
ber
eken
inge
n,
bew
erin
gen,
argu
men
teri
nge
nen
reden
erin
gen
nie
tzo
maar
teaa
nva
arden
enov
erte
nem
en.
14.
Zin
voor
sam
enw
erk
ing
en
overl
eg
3Je
ziet
indat
jem
ogel
ijkhed
enve
rgro
otw
orden
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
npak
.
15.
Waard
eri
ng
voor
de
wis
ku
nd
eJe
toon
tin
zich
tin
de
bij
dra
geva
nde
wis
kunde
incu
lture
le,
his
tori
sche
enw
eten
schap
pel
ijke
ontw
ikke
lingen
.
Pr-
4
PRACTICUM 2
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
G. Polya, How to solve It
In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan pro-bleemoplossend denken. Willen we je hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadrukliggen op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van(nieuwe) problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essentiele troef in je studie-en beroepsloopbaan.
Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordtbevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onder-zoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen,voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren.
Maar dit is niet voldoende. Het is ook noodzakelijk dat je zelf (haalbare) problementracht op te lossen. Bovendien vindt het (leren) oplossen van problemen op schoolen daarbuiten ook plaats in een sociale context. Men verwacht dan ook dat je metanderen kan samenwerken.
Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het volgend
Stappenplan1voor probleemoplossend denken
Stap 1. Het probleem begrijpen. Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagdwordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.
Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden van zo’n strategieen, ook wel heuristieken genoemd, zijn:
3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen
3 raad en controleer
3 maak een lijst
3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld
3 elimineer de mogelijkheden
3 gebruik analogie of symmetrie
3 zoek een patroon
3 maak een tekening
3 los een eenvoudiger probleem op
3 gebruik een model
3 onderzoek bijzondere gevallen
3 los een vergelijking op
3 werk omgekeerd
3 gebruik een formule
Het is belangrijk om deze strategieen ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgensstel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen. Dit kan door in enkele regels te beschrijven hoeje straks te werk zal gaan.
Stap 3. Het plan uitvoeren. Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandig-heden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebraısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als hettot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerkingvan het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.
Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je je uitkomstop een of andere manier controleren? Bij een fout herneem je Stap 3 nauwgezet.
1Gebaseerd op het baanbrekend boek G. Polya, How to solve It, Princeton University Press (1945). Ons stappenplan is een beknopteversie van het origineel (pagina 64 en volgende).
Pr-5
Modelvoorbeeld
Opgave. Een natuurlijk getal dat uit vier cijfers bestaat, elk gelijk aan 1, 5 of 9, is deelbaar door 37. Als de som vande cijfers 16 is, dan is de som van de laatste twee cijfers gelijk aan
© 2
© 6
© 10
© 12
© 14
Oplossing. We volgen de stappen voor probleemoplossend denken.
Stap 1. Het probleem begrijpen. Het probleem gaat over een getal van vier cijfers:
x = a b c d met a, b, c, d ∈ {1, 5, 9}
Bovendien moet dat getal x deelbaar zijn door 37. En we weten ook dat a+ b+ c+ d = 16. Gevraagd is c+ d.
Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen.
3 Zoekstrategieen: gegeven en gevraagde wiskundig vertalen (zie Stap 1), maak een lijst.
3 Plan: We lijsten veelvouden van 37 op, en kijken welke getallen voldoen aan de opgave. We kunnen ook demogelijkheden zoeken voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16, en nagaan welke getallen x deelbaarzijn door 37.
Stap 3. Het plan uitvoeren. De lijst van alle veelvouden van 37 met vier cijfers is nogal lang (243 mogelijkheden).In plaats daarvan zoeken we eerst de mogelijkheden voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16.
3 Het cijfer 9 kan hoogstens een keer voorkomen. Want als het meer dan een keer voorkomt, dan is de som van decijfers minstens 18, en dat is teveel.
3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet er ook minstens een 5 in voorkomen. Want als er geen 5 is, dan moeten dedrie andere cijfers telkens 1 zijn. Maar dan is de som 12, en dat is te weinig.
3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet dus ook 5 voorkomen, en dan nog twee keer een 1. Dan is de som inderdaad16.
3 Als het cijfer 9 niet voorkomt, dan moet de 5 minstens drie keer voorkomen, aangevuld met een 1.
Onze lijst telt 16 mogelijkheden:a b c d
9 5 1 19 1 5 19 1 1 55 9 1 11 9 5 11 9 1 55 1 9 11 5 9 11 1 9 55 1 1 91 5 1 91 1 5 9
a b c d
5 5 5 15 5 1 55 1 5 51 5 5 5
Nu kunnen we elk van deze getallen delen door 37 en kijken wanneer de rest nul is. Dat kan met de grafischerekenmachine. We vinden dat 1591 deelbaar is door 37. Dus de som van de laatste twee cijfers is 10.
Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Het natuurlijk getal 1591 bestaat uit vier cijfers, elk gelijk aan1, 5 of 9. Bovendien is 1591/37 = 43 dus het getal 1591 is deelbaar door 37. Tenslotte is de som van de cijfers gelijkaan 1+5+9+1 = 16. Het getal voldoet dus aan de opgave. De som van de laatste twee cijfers is gelijk aan 9+1 = 10.Het juiste antwoord is dus 10.
Pr-6
Opmerking. De uitwerking van Stap 3 kan ook zonder grafische rekenmachine, bijvoorbeeld als volgt. Een getal isdeelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Om een analoog kenmerk van deelbaarheid door 37 tevinden kunnen we als volgt te werk gaan:
x
37=
1000a+ 100b+ 10c+ d
37
=1000
37a+
100
37b+
10
37c+
1
37d
=
(27 +
1
37
)a+
(3− 11
37
)b+
10
37c+
1
37d
= 27a+ 3b+a− 11b+ 10c+ d
37
Wil x deelbaar zijn door 37, dan moet a − 11b + 10c + d deelbaar zijn door 37. Passen we dit toe op bovenstaandelijst, dan bekomen we:
a b c d a− 11b+ 10c+ d deelbaar door 37?
9 5 1 1 −35 nee9 1 5 1 49 nee9 1 1 5 13 nee5 9 1 1 −83 nee1 9 5 1 −47 nee1 9 1 5 −83 nee5 1 9 1 85 nee1 5 9 1 37 ja
We vinden dat 1591 deelbaar is door 37.
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee.
. In het begin van de les krijg je een bundel met opdrachten (pagina’s 66 tot en met 77). De opdrachten zijngerangschikt volgens moeilijkheidsgraad: van niveau 1 (voor 1p.) tot niveau 6 (voor 6p.).
. Je kiest een aantal opgaven, in totaal ter waarde van . . . . . . punten (vul aan). Je mag maximum tweeopgaven van een zelfde niveau kiezen.
. Tijdens de les start je met het oplossen van je gekozen opgaven, waarbij je de vier stappen uit de inleidingvolgt.
Op het einde van de les moet vastliggen welke opgaven je in je groepje gekozen hebt.
3 Verslag (thuis afwerken) Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elke opgave start op een nieuw cursus-blad, met de volgende structuur:
. Opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad kleven.
. Stap 1. Het probleem begrijpen.
. Stap 2. Zoekstrategien en een plan opstellen.
. Stap 3. Het plan uitvoeren.
. Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren.
Bij multiple choice vink je ook het juiste bolletje aan. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden. Hetverslag voeg je in deze practicum map. De opgaven die je niet behandeld hebt bewaar je thuis.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient zijn/haar practicumbundel met verslagin.
Pr-7
Evaluatieform
ulierPracticum
2D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Inhou
del
ijk
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid
3B
ijhet
alge
bra
ısch
man
ipule
ren
van
funct
ievo
orsc
hri
ften
,fo
rmule
s,ve
rgel
ijkin
gen,
etc.
wee
tje
wel
ke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
enden
omto
tee
nre
sult
aat
teko
men
,en
voer
jedez
ete
chnie
ken
corr
ect
uit
.
3Je
kan
de
groot
orde
van
een
resu
ltaa
tgo
edin
schat
ten.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reken
mac
hin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepas
tin
schak
elen
om
een
bew
erkin
guit
tevo
eren
.Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
2.M
eet-en
tekenvaard
igheid
3G
rafiek
enen
voor
stel
linge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
3Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lings
verm
ogen
.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
achin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepast
insc
hak
elen
om
een
figuur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
linge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
5.Pro
bleemoplossendevaard
igheden
3Je
kan
een
pro
ble
emon
tdek
ken
enhet
wis
kundig
beh
oor
lijk
stel
len.
3Je
kan
een
pro
ble
eman
alyse
ren
(onder
schei
dm
aken
tuss
enge
geve
nen
gevra
agde,
verb
anden
legg
entu
ssen
de
geg
even
s,et
c.).
3Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
ennaa
ree
npas
send
wis
kundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
3Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nbij
het
wer
ken
aan
pro
ble
men
,en
daa
rbij
een
pla
nop
stel
len.
3Je
kan
reflec
tere
nop
de
keuze
van
jezo
ekst
rate
giee
nen
jepla
n.
3Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hun
bet
rouw
baa
rhei
den
volled
ighei
d.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enge
bru
iken
omw
iskundig
ein
form
atie
tever
wer
ken
enw
iskundig
epro
ble
men
teonder
zoek
en.
Att
itudes
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e
3Je
heb
tde
gew
oon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opdra
cht
teru
gte
kij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole,
om
zoto
tnauw
keuri
ge
resu
ltat
ente
kom
en.
3Je
heb
tee
nhou
din
gom
ordel
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen,
aanpak
ken
van
pro
ble
men
).
10.Zin
voorkwaliteit
van
dewiskundigere
pre
senta
tie
Je
heb
tde
gew
oon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
espre
ken
.
13.Zelfre
gulatie
3Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
3Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gspro
ces
teor
iente
ren,
het
pro
ces
tepla
nnen
,het
uit
tevo
eren
enhet
teb
ewake
n.
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg
3Je
ziet
indat
jem
ogel
ijkhed
enve
rgro
otw
orden
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
npak
.
Pr-
8
PRACTICUM 3
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (2)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. InleidingIn Practicum 2: Probleemoplossend denken (1) heb je kennis gemaakt met de kunstvan het oplossen van problemen. Hierbij kreeg je het advies om te werken volgens eenstappenplan (zie ook hieronder). In dit Practicum ga je nadenken over problemen diewat complexer zijn. Deze opdracht voer je dan ook uit in groepjes van drie, want jezal merken dat je elkaars hulp en inzet nodig hebt om de taak succesvol te volbrengen.Om te zorgen dat er efficient gewerkt wordt, worden de volgende rollen verdeeld:
3 Schrijver Als de groep een idee of antwoord geeft, vraag dan of iedereenhet eens is. Deze persoon schrijft de redenering van de groep op. Dat zalhoofdzakelijk in het klad zijn. In de tweede les worden de antwoorden goed leesbaar opgeschreven. Uiteraardhelpen de anderen hierbij.
3 Tijdbewaker Wanneer de groep erg lang bij een vraag blijft hangen, waarschuw je, bijvoorbeeld door tezeggen: “we moeten aan de volgende vraag beginnen, anders krijgen we het niet af”. Af en toe vertel je je groephoeveel tijd er nog over is.
3 Aanmoediger/leider Moedigt aan, bijvoorbeeld als de groep vast zit bij een probleem: “heeft iemand eenidee?”. Je toont ook initiatief bijvoorbeeld met: “deze strategie lijkt te kunnen werken, laten we die uitproberen”of “deze redenering leidt niet meteen tot iets, laten we iets anders proberen”.
Daarnaast blijft iedereen wel mee verantwoordelijk. De leerkracht kan ieder groepslid aanspreken op zijn of haarbijdrage aan het groepswerk. Dit om te voorkomen dat iemand ‘meelift’ (een groepslid laat de rest van de groep hetwerk opknappen). Pas wanneer alle groepsleden hun rol naar behoren vervullen kan de groepstaak succesvol wordenuitgevoerd.
Stappenplan voor probleemoplossend denken
Stap 1. Het probleem begrijpen. Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.
Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden zijn:
3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen
3 raad en controleer
3 maak een lijst
3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld
3 elimineer de mogelijkheden
3 gebruik analogie of symmetrie
3 zoek een patroon
3 maak een tekening
3 los een eenvoudiger probleem op
3 gebruik een model
3 onderzoek bijzondere gevallen
3 los een vergelijking op
3 werk omgekeerd
3 gebruik een formule
Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen.
Stap 3. Het plan uitvoeren. Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel eennieuw plan op.
Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Kun je je uitkomst op een of andere manier controleren?
Pr-9
Modelvoorbeeld
Opgave. Als r en s de wortels zijn van 3x2 − 16x+ 12 = 0, bepaal dan 2log r + 2log s.
Oplossing. Ons idee is om eerst de waarden r en s te vinden, en daarna 2log r + 2log s te berekenen.
3x2 − 16x+ 12 = 0 ⇔ x =−(−16)±
√162 − 4 · 3 · 12
6
⇔ x =16±
√112
6
⇔ x =16± 4
√7
6
zodat we mogen stellen dat r =8 + 2
√7
3en s =
8− 2√
7
3. Invullen geeft alvast
2log r + 2log s = 2log
(8 + 2
√7
3
)+ 2log
(8− 2
√7
3
)
We zien niet in hoe we beide logaritmen afzonderlijk moeten berekeken. Maar met behulp van een rekenregel vanlogaritmen kunnen we beide termen wel samenvoegen tot een logaritme: steunend op de rekenregel
2log� + 2log4 = 2log (� · 4)
bekomen we
2log r + 2log s = 2log
(8 + 2
√7
3
)+ 2log
(8− 2
√7
3
)
= 2log
(8 + 2
√7
3· 8− 2
√7
3
)
= 2log64− 4 · 7
9
= 2log 4
= 2
Opmerking. Achteraf gezien was het niet nodig om de waarden r en s eerst afzonderlijk te vinden. Want wegens2log r + 2log s = 2log (r · s) hebben we enkel het product r · s nodig. En het product van de wortels van eenkwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 wordt gegeven door de formule c/a. Op die manier krijgen we volgendealternatieve - en meer elegante - oplossing:
2log r + 2log s = 2log (r · s)
het product van de wortels van 3x2 − 16x+ 12 = 0 is gelijk aan 12/3 = 4
= 2log 4
= 2
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (. . . lessen) Het practicum voer je uit in groepjes van drie.
. Leg vast wie de rol van schrijver, tijdbewaker en aanmoediger/leider op zich neemt.
. Op de volgende pagina vind je een tiental problemen. De leerkracht beslist welke problemen jullie krijgen.De bedoeling is om elk probleem algebraısch op te lossen, en jullie redenering zo goed mogelijk op teschrijven. Dat betekent dat iemand die het probleem niet opgelost heeft in staat moet zijn om jullieredenering te volgen.
3 Verslag Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elk probleem start op een nieuw cursusblad, te beginnenmet de nummer van het probleem.
3 Practicum indienen Indenen op het einde van de tweede les. Elke groep dient een practicumbundel metverslag in.
Pr-10
Tien problemen - Opgave
Probleem 1.
(a) Stel f(x) = 3x3 − 4x2 + ax− 11 een reele veelterm zodat f(1) = 2. Bepaal de waarde van a.
(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x
6 + . . .+ a0 voor zekere a0, a1, . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . .+ a1 + a0.
Probleem 2. Er is precies een veeltermA(x) van de vormA(x) = 7x7+a6x6+a5x
5+. . .+a1x+a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).
Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig danwanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?
Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8
x2 + 1.
(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?
(b) Bepaal het bereik van de functie f .
Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking 3√
13x+ 37− 3√
13x− 37 =3√
2.
Probleem 6. Stel f(x) = x+√x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f(g(f(g(f(7)))))).
Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.
Probleem 7. De vergelijking 2x2
= 323x+8 heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.
nieren in digitaal ontwerp
Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant tehouden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen vande stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nierenelimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.
Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, dehartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dathet je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn.Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaamoverblijvende cafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, dan werkthet stimulerend.
We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt, en je het derde en laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjesopnam niet langer stimulerend werken? Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.
Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:
8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0
Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking
(210 log (x2b)
)2= 210 log x4
allen gehele getallen zijn.
Pr-11
Evaluatieform
ulierPracticum
3D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid
3B
ijhet
alge
bra
ısch
man
ipule
ren
van
funct
ievo
orsc
hri
ften
,fo
rmule
s,ve
rgel
ijkin
gen,
etc.
wee
tje
wel
ke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
enden
omto
tee
nre
sult
aat
teko
men
,en
voer
jedez
ete
chnie
ken
corr
ect
uit
.
3Je
kan
de
groot
orde
van
een
resu
ltaa
tgo
edin
schat
ten.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reken
mac
hin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepas
tin
schak
elen
om
een
bew
erkin
guit
tevo
eren
.Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
4.Denk-en
redeneerv
aard
igheden
3Je
kan
het
onder
schei
dm
aken
tuss
enhoof
d-
enbij
zake
n,
gege
ven
enge
vra
agde,
gege
ven
ente
bew
ijze
n.
3Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
teb
egri
jpen
.
3Je
kan
een
gege
ven
reden
erin
gop
haa
rge
ldig
hei
don
der
zoek
en.
3Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofde
oplo
ssin
gva
nee
npro
ble
emopb
ouw
en:
.je
kan
een
ver
moed
enfo
rmule
ren
enar
gum
ente
ren;
.je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opbas
isva
nee
non
der
zoek
opee
naa
nta
lvo
orb
eeld
en;
.je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
gebru
iken
.
5.Pro
bleemoplossendevaard
igheden
3Je
kan
een
pro
ble
emon
tdek
ken
enhet
wis
kundig
beh
oor
lijk
stel
len.
3Je
kan
een
pro
ble
eman
alyse
ren
(onder
schei
dm
aken
tuss
enge
geve
nen
gevra
agde,
verb
anden
legg
entu
ssen
de
geg
even
s,et
c.).
3Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
ennaa
ree
npas
send
wis
kundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
3Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nbij
het
wer
ken
aan
pro
ble
men
,en
daa
rbij
een
pla
nop
stel
len.
3Je
kan
reflec
tere
nop
de
keuze
van
jezo
ekst
rate
giee
nen
jepla
n.
3Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hun
bet
rouw
baa
rhei
den
volled
ighei
d.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enge
bru
iken
omw
iskundig
ein
form
atie
tever
wer
ken
enw
iskundig
epro
ble
men
teonder
zoek
en.
Att
itudes
11.Kritischezin
Je
heb
tde
hou
din
gom
ber
eken
inge
n,
bew
erin
gen,
argu
men
teri
nge
nen
reden
erin
gen
nie
tzo
maar
teaa
nva
arden
enov
erte
nem
en.
13.Zelfre
gulatie
3Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
3Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gspro
ces
teor
iente
ren,
het
pro
ces
tepla
nnen
,het
uit
tevo
eren
enhet
teb
ewake
n.
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg
3Je
ziet
indat
jem
ogel
ijkhed
enve
rgro
otw
orden
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
npak
.
Pr-
12
PRACTICUM 4
TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Heel wat problemen uit de maatschappelijke leefwereld kunnen aangepakt worden met wiskunde. Het oplossen vanzo’n problemen valt onder de noemer toepassingen. Het proces waarbij men met wiskunde naar oplossingen zoekt,valt grofweg uiteen in de vier stappen beschreven in Practicum 2.
Het verschil tussen het oplossen van een probleem zoals in Practica 2 en 3 en een toepassing zit hem in de zoekstrate-gieen (Stap 2). Bij toepassingen komt het er meestal op neer om in de opgave een wiskundig begrip te herkennen,zoals bijvoorbeeld een rechthoekige driehoek, een functie, een matrix, etc. Het oplossen van het oorspronkelijk pro-bleem vertaalt zich dan in het uitvoeren van bewerkingen met die begrippen. Men verwijst naar deze zoekstrategie alsmathematiseren of modelleren. Het oplossen van een toepassing is dus een veredelde vorm van probleemoplossenddenken uit Practicum 1.
Stappenplan. Let op deterugkerende pijl!
Samengevat komen we bij het aanpakken van een toepassing uit op volgende stappen1 .
Stap 1. Het probleem begrijpen. Heel vaak kun je het probleem beter begrijpendoor het op een andere manier te verwoorden.
Stap 2. Mathematiseren. Herkennen van een wiskundig begrip, en inzien dathet gevraagde kan vertaald worden naar een model: een bewerking, een vergelijking,een stelsel vergelijkingen, een extremumvraagstuk, een matrixvermenigvuldiging, eenrechthoekige of een willekeurige driehoek, etc.
Stap 3. Berekenen. Als het wiskundig model opgebouwd is, probeer je dit viarekentechnieken op te lossen.
Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Interpretatie van het resultaat,waarbij je rekening houdt met de context van het probleem.
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van vier.
Les 1 Toepassing 1 op pagina 90 en volgende verwerken.
1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden. Doe dat in groep: overleg wat eringevuld moet worden, deel je inzichten met de anderen.
2. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie: pagina98 en volgende. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten stip je aan in het rood. Zorg dat iedereen inde groep nu elke (verbeterde) stap begrijpt.
3. Maak nadien Oefening 1 op pagina 106 (staat ook op de volgende pagina).
Les 2 Toepassing 2 op pagina 94 en volgende verwerken, analoog als in les 1.
1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden.
2. Vergelijk met de ingevulde versie pagina 102 en volgende.
3. Maak nadien Oefening 2, 3 of 4 op pagina 106 (beslist door tossen, staan ook op de volgende pagina’s).
3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s 90 tot en met 97,en de twee gemaakte oefeningen op een cursusblad. Opgave overschrijven hoeft niet.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslag in.
1Inspiratie en schema werd ontleend aan G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, CahiersT3 Europe Vlaanderen nr.9 (2006).
Pr-13
Oefeningen - Opgave
Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjesvaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op onderstaande graaf.
(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.
(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met een tussenstop op een willekeurigeiland.
(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurigeiland.
?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland tegaan? Los op met behulp van matrices.
A
B
C
D
E
Pr-14
Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.
(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.
(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.
(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?
Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 2 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:
. Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.
. Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.
. Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.
We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.
(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.
(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.
Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door eenlage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Leslie-model, de volgendegegevens zijn bekend:
. slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,
. eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,
. geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,
. alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.
(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.
(b) Stel de Leslie-matrix op.
(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100 000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?
2Enige gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.
Pr-15
Evaluatieform
ulierPracticum
4D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid
3B
ijhet
alge
bra
ısch
man
ipule
ren
van
funct
ievo
orsc
hri
ften
,fo
rmule
s,ve
rgel
ijkin
gen,
etc.
wee
tje
wel
ke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
enden
omto
tee
nre
sult
aat
teko
men
,en
voer
jedez
ete
chnie
ken
corr
ect
uit
.
3Je
kan
de
groot
orde
van
een
resu
ltaa
tgo
edin
schat
ten.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reken
mac
hin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepas
tin
schak
elen
om
een
bew
erkin
guit
tevo
eren
.Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
3.W
iskundigeta
alvaard
igheid
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
vakta
alva
nde
wis
kunde:
.je
ken
tde
bet
eken
isva
nty
pis
che
vakte
rmen
enge
bru
ikt
dez
evo
ldoen
de
corr
ect
(funct
ie,
stel
sel,
etc.
);.
jeke
nt
de
bet
eken
isva
nsp
ecifi
eke
logi
sche
kern
woor
den
enge
bru
ikt
dez
evol
doen
de
corr
ect
(en,
of,
daaru
itvolg
t,vo
or
alle,
etc.
);.
jeb
ent
inst
aat
omee
nom
schri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waa
rde
tesy
mb
olis
eren
;.
jehan
teer
tde
vis
uel
evo
orst
ellinge
nw
aar
de
wis
kunde
gebru
ikva
nm
aakt
(gra
fiek
,ta
bel
,et
c.).
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
bes
chri
jven
de
taal
waa
rin
over
het
wis
kundig
han
del
enge
spro
ken
wor
dt
(defi
nit
ie,
eigen
schap,
verk
laar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
3Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
iskundig
eb
egri
pp
enher
kennen
enve
rtal
ennaa
rw
iskundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
3Je
kan
vis
uel
ein
form
atie
invo
ldoen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gr
afiek
,dia
gram
).
3Je
ben
tle
esva
ardig
bij
het
leze
nva
nde
tekst
van
opga
ven,
pro
ble
men
envra
agst
ukke
n.
4.Denk-en
redeneerv
aard
igheden
3Je
kan
het
onder
schei
dm
aken
tuss
enhoof
d-
enbij
zake
n,
gege
ven
enge
vra
agde,
gege
ven
ente
bew
ijze
n.
3Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
teb
egri
jpen
.
3Je
kan
een
gege
ven
reden
erin
gop
haa
rge
ldig
hei
don
der
zoek
en.
3Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofde
oplo
ssin
gva
nee
npro
ble
emopb
ouw
en:
.je
kan
een
ver
moed
enfo
rmule
ren
enar
gum
ente
ren;
.je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opbas
isva
nee
non
der
zoek
opee
naa
nta
lvo
orb
eeld
en;
.je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
gebru
iken
.
Att
itudes
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e
3Je
heb
tde
gew
oon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opdra
cht
teru
gte
kij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole,
om
zoto
tnauw
keuri
ge
resu
ltat
ente
kom
en.
3Je
heb
tee
nhou
din
gom
ordel
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen,
aanpak
ken
van
pro
ble
men
).
11.Kritischezin
Je
heb
tde
hou
din
gom
ber
eken
inge
n,
bew
erin
gen,
argu
men
teri
nge
nen
reden
erin
gen
nie
tzo
maar
teaa
nva
arden
enov
erte
nem
en.
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg
3Je
ziet
indat
jem
ogel
ijkhed
enve
rgro
otw
orden
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
npak
.
Pr-
16
PRACTICUM 5
HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Het studeren van een wiskundig bewijs - en algemener, het studeren van theorie wiskunde - verloopt in vijf stappen:
Stap 1. Begrijp elke overgang
Stap 2. Begrijp het geheel
Stap 3. Test jezelf
Stap 4. Controleer
Stap 5. Herhaal
We lichten deze stappen toe aan de hand van een bewijs die je in het derde jaar gestudeerd hebt.
Voorbeeld
Stelling. Het getal√
2 is een irrationaal getal.
Bewijs. Er zijn twee mogelijkheden: ofwel is√
2 een irrationaal getal, ofwel is het geen irrationaal getal.
Mocht√
2 geen irrationaal getal zijn, dan is
√2 =
a
bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)
Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.Nemen we in (1) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we
2 =a2
b2⇒ 2b2 = a2
Omdat het linkerlid deelbaar is door 2, is ook het rechterlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van a2.Dus 2 is een deler van a. Dus a = 2k voor een zekere k ∈ Z.
Vervangen we a = 2k in (1) dan verkrijgen we
√2 =
2k
b(2)
Nemen we in (2) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we
2 =4k2
b2⇒ b2 = 2k2
Omdat het rechterlid deelbaar is door 2, is ook het linkerlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van b2.Dus 2 is een deler van b.
Maar nu is 2 een deler van a en 2 is een deler van b, terwijl we ervoor hadden gezorgd dat a en b geendeler gemeen hebben. Een strijdigheid: het is dus niet waar dat
√2 geen irrationaal getal is.
We besluiten dat√
2 een irrationaal getal is.
Pr-17
Stap 1. Begrijp elke overgang
Je begint met het bewijs regel per regel door te nemen. Zorg dat het duidelijk is hoe je van de ene regel naar deandere gaat (een berekening, steunen op een eerder geziene eigenschap, etc.).
Het doel van een les wiskunde is dat je tijdens de les alle overgangen begrijpt. Stap 1 dient dus om na te gaan of datnu nog steeds zo is.
Wellicht is het geheel van het bewijs nog niet duidelijk, maar dat komt pas in Stap 2.
Voorbeeld.
Mocht√
2 geen irrationaal getal zijn, dan is
√2 =
a
bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)
Waarom? Als een getal niet irrationaal is, dan is het rationaal (breuk).Waarom is b 6= 0? Delen door 0 mag niet.
Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.
Waarom? Mochten a en b toch een deler gemeen hebben, dan kun je die breuka
bvereenvoudigen.
Etc.
Stap 2. Begrijp het geheel
Om het geheel te begrijpen, ga je na:
3 Wat moeten we eigenlijk bewijzen (opgave)?
3 Toont de redering van het bewijs nu wel de opgave aan?
3 Is er een truc in het bewijs?
Voorbeeld.
3 We moeten aantonen dat√
2 irrationaal is. M.a.w. we moeten aantonen dat√
2 geen breuk is.
3 In het bewijs doen we alsof√
2 wel een breuk is. Maar dan loopt er blijkbaar iets fout. Dus op heteinde van het verhaal zullen we bewezen hebben dat
√2 toch geen breuk is.
3 Door te doen alsof√
2 een breuk is, kunnen we het schrijven alsa
b. De truc is om die gelijkheid
√2 =
a
bte kwadrateren. En dan later nog eens toe te passen eens we a geschreven hebben als 2k.
Tracht daarna het bewijs in twee of drie regels samen te vatten. Door die regels te onthouden, zul je het bewijs laterkunnen reconstrueren.Voorbeeld.
1. Doen alsof√
2 een breuk is:√
2 =a
b
2. Kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van a, dus a = 2k.
3. Vervangen, opnieuw kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van b.
Stap 3. Test jezelf
Leg je cursus of boek weg, en neem een leeg cursusblad. Je schrijft op wat je gaat bewijzen (opgave), en probeert hetbewijs nu helemaal zelf op te schrijven. Als je vast komt te zitten, geef het niet onmiddellijk op door terug in je cursuste kijken. In plaats daarvan denk je even na:
3 Kan ik een regel open laten, en het verder verloop van het bewijs toch opschrijven? Denk aan je samenvattingin Stap 2.
3 Is er een truc in het bewijs die ik vergeten ben?
3 Weet ik nog wat ik wil bewijzen?
Kijk pas terug in je cursus als je het echt niet meer weet. Maar beperk je dan niet tot het lezen van die ene regel dieje vergeten bent: ga ook eens na waarom je die regel vergeten bent. Daarna neem je een leeg cursusblad en begin jeopnieuw het bewijs op te schrijven.
Pr-18
Stap 4. Controleer
Als je denkt dat je klaar bent, neem dan je cursus en vergelijk jouw bewijs met dat in de cursus. Wees streng op jezelf,en ga nauwkeurig na of je bewijs nu ook correct is:
3 Heb ik de opgave juist?
3 Heb ik elke tussenstap opgeschreven? Minstens evenveel zoals in de cursus?
3 Heb ik de eventuele tekeningen of schetsen nauwkeurig gemaakt en alles aangeduid?
Als je iets vergeten bent, of iets fout geschreven hebt, dan duid je de fout op je cursusblad aan met een fluoriserendestift. Houd je cursusblad bij (zie Stap 5).
Stap 5. Herhaal
Op het einde van de dag test je jezelf opnieuw (Stap 3), met controle (Stap 4). Bij die controle vergelijk je ook metde fouten die je op je eerste cursusblad hebt gemaakt.De kracht van de herhaling kan nauwelijks onderschat worden. Daags nadien test je jezelf nog een derde keer. Je zalervan versteld staan dat je zelfs dagen later het bewijs nog kan opschrijven.
Tip. Om het jezelf gemakkelijk te maken kun je steekkaarten maken. Op elke steekkaart schrijf je de vraag op zoalsde stelling (of een definitie, etc.) gevraagd kan worden op een toets of examen. Telkens je het bewijs herhaalt, neemje die steekkaart en lees je de opgave. Je schrijft je antwoord uiteraard niet op die steekkaart, zodat die later nogbruikbaar is. Op het einde van elk hoofdstuk (en dus ook bij de voorbereiding van je examens) heb je dan een aantalsteekkaarten waaruit je de theorie kan studeren.
Voorbeeld.
Vul de volgende stelling aan (schrappen wat niet past), en bewijs:
Het getal√
2 is wel/niet een irrationaal getal.
Bewijs....
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (1/2 les) Dit practicum voer je individueel uit.
1. Tijdens de les studeer je het bewijs op pagina 112 (vijfde jaar) of 113 (zesde jaar) op de manier zoalsbeschreven in de inleiding (Stappen 1-4 uitvoeren).
2. In de les krijg je ook een blanco steekkaart. Die steekkaart maakt je klaar zoals beschreven in Stap 5. Diesteekkaart kan je later gebruiken om het bewijs te herhalen (Stap 5).
3. Na deze vijf stappen reflecteer je even over jouw studiemethode bij het studeren van theorie. Beschrijf inenkele regels:
. Hoe pak je het studeren van theorie meestal aan?
. Heeft die aanpak in het verleden tot gewenste resultaten geleid?
. Denk je met de methode uit dit practicum je theorie efficient(er) te kunnen studeren?
3 Verslag Je verslag bestaat uit het cursusblad die je in Stap 3 gemaakt hebt. Vergeet je eventuele fouten nietaan te duiden met een fluoriserende stift. Op dat blad heb je ook de reflectie van jouw studiemethode geschreven.Je voegt het cursusblad samen met je steekkaart in deze practicumbundel.
3 Practicum indienen Op het einde van de les.
Pr-19
Evaluatieform
ulierPracticum
5D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Vaa
rdig
hed
en3.
Wis
ku
nd
ige
taalv
aard
igh
eid
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
vakta
alva
nde
wis
kunde:
.je
ken
tde
bet
eken
isva
nty
pis
che
vakte
rmen
enge
bru
ikt
dez
evo
ldoen
de
corr
ect
(funct
ie,
stel
sel,
etc.
);.
jeke
nt
de
bet
eken
isva
nsp
ecifi
eke
logi
sche
kern
woor
den
enge
bru
ikt
dez
evol
doen
de
corr
ect
(en,
of,
daaru
itvolg
t,vo
or
alle,
etc.
);.
jeb
ent
inst
aat
omee
nom
schri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waa
rde
tesy
mb
olis
eren
;.
jehan
teer
tde
vis
uel
evo
orst
ellinge
nw
aar
de
wis
kunde
gebru
ikva
nm
aakt
(gra
fiek
,ta
bel
,et
c.).
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
bes
chri
jven
de
taal
waa
rin
over
het
wis
kundig
han
del
enge
spro
ken
wor
dt
(defi
nit
ie,
eigen
schap,
verk
laar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
3Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
iskundig
eb
egri
pp
enher
kennen
enve
rtal
ennaa
rw
iskundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
3Je
kan
vis
uel
ein
form
atie
invo
ldoen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gr
afiek
,dia
gram
).
3Je
ben
tle
esva
ardig
bij
het
leze
nva
nde
tekst
van
opga
ven,
pro
ble
men
envra
agst
ukke
n.
7.
Leerv
aard
igh
ed
en
3Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
3Je
kan
sam
enhan
gende
info
rmat
ieve
rwer
ken.
3Je
kan
info
rmat
iebro
nnen
raad
ple
gen.
3Je
kan
studie
tijd
pla
nnen
.
3Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
sture
n.
8.
Refl
ecti
evaard
igh
ed
en
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
aanpak
van
jew
erk
enje
studie
s.
3Je
kan
reflec
tere
nov
erje
leer
pro
ces
enje
inze
t(l
eiden
zeto
thet
ber
eike
nva
nde
doel
stel
ling?
).
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
effici
enti
eva
nje
wer
ken
enje
lere
n.
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
ster
keen
de
zwak
keel
emen
ten
inde
uit
voer
ing
van
jeop
dra
cht.
3Je
kan
jere
flec
tie
concr
eet
mak
endoor
een
pla
nva
nve
rbet
erin
gop
test
elle
n(w
elke
elem
ente
nw
orden
geb
ruik
tom
het
lere
nen
wer
ken
teve
rbet
eren
?).
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
geza
mel
ijke
aanpak
enov
erle
gbij
een
groep
sop
dra
cht.
Att
itudes
9.
Zin
voor
nauw
keu
righ
eid
en
ord
e
3Je
heb
tde
gew
oon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opdra
cht
teru
gte
kij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole,
om
zoto
tnauw
keuri
ge
resu
ltat
ente
kom
en.
3Je
heb
tee
nhou
din
gom
ordel
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen,
aanpak
ken
van
pro
ble
men
).
11.
Kri
tisc
he
zin
Je
heb
tde
hou
din
gom
ber
eken
inge
n,
bew
erin
gen,
argu
men
teri
nge
nen
reden
erin
gen
nie
tzo
maar
teaa
nva
arden
enov
erte
nem
en.
12.
Zelf
vert
rouw
en
en
zelf
stan
dig
heid
3Je
toon
tze
lfver
trou
wen
,ze
lfst
andig
hei
d,
door
zett
ings
ver
mog
enen
doel
mat
ighei
dbij
het
aanpak
ken
van
pro
ble
men
enop
dra
chte
n.
3Je
ziet
indat
foute
nm
aken
inher
ent
dee
luit
mak
enva
nhet
leer
pro
ces.
Pr-
20
PRACTICUM 6
SAMENWERKEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding1
In onze maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan samenwerking. Datbelang wordt gereflecteerd in bedrijven en overheidsinstanties. Immers, een goedesamenwerking van personeelsleden impliceert een grotere rentabiliteit en betereresultaten. Dat men bij het aanwerven van nieuwe personeelsleden hierop zalinspelen spreekt voor zich. De kans is dan ook erg groot dat je bij een toekomstigesollicitatie of proefcontract zal getest worden hoe vaardig je bent in het samenwerkenmet de anderen.
Concreet deelt men de competentie samenwerken in vier niveaus op. Die zijn cumu-latief gerangschikt, wat wil zeggen dat iemand pas een hoger niveau kan bereiken alshij/zij ook de lagere niveau’s beheerst.
Niveaus van samenwerking
Niveau 1. Je werkt mee en informeert de anderen:
3 je houdt rekening met de mening van anderen;
3 je behandelt de anderen met respect;
3 je geeft informatie en kennis door die voor anderen nuttig of belangrijk kan zijn;
3 je aanvaardt groepsbeslissingen.
Niveau 2. Je helpt anderen en pleegt overleg:
3 je steunt de voorstellen van anderen en bouwt daarop voort om tot een gezamenlijk resultaat te komen;
3 je houdt rekening met de gevoeligheden en met de verscheidenheid van mensen;
3 je biedt hulp aan bij problemen, ook al valt de taak niet onder de eigen opdracht;
3 je vraagt spontaan en proactief de mening van anderen.
Niveau 3. Je stimuleert de samenwerking binnen de eigen entiteit, werkgroepen of projectgroepen:
3 je komt met ideeen om het gezamenlijk resultaat te verbeteren;
3 je moedigt anderen aan om onderling te overleggen over zaken die het eigen werk overstijgen;
3 je betrekt anderen bij het nemen van beslissingen die op hen een impact hebben;
3 je bevordert de goede verstandhouding, de teamgeest en het respect voor verscheidenheid van mensen;
3 je geeft opbouwende kritiek en feedback.
Niveau 4. Je creeert gedragen samenwerkingsverbanden met en tussen andere entiteiten:
3 je creeert structuren om de samenwerking met andere entiteiten te verbeteren;
3 je neemt informele initiatieven om de samenwerking met en tussen andere entiteiten te verstevigen;
3 je draagt samenwerking uit als belangrijke waarde in de entiteit en daarbuiten en spreekt anderen daarop aan;
3 je werkt actief aan het scheppen van een goede vertrouwensband met andere entiteiten.
1Inspiratie werd gehaald uit de website van de Vlaamse Overheid Agentschap voor Overheidspersoneelhttp://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/ .
Pr-21
Ook in je verdere studieloopbaan kan samenwerken een grote rol spelen. Niet zelden krijg je bij hogere studies temaken met het maken van projecten in groep. Het vaardig zijn in samenwerken kan hier een grote troef betekenenom zowel sneller als beter te presteren in groep. Daarom bieden we je nu al af en toe activiteiten in groep aan om jebeter te kunnen voorbereiden op het functioneren in de maatschappij.
Concreet kennen we in de klas drie graden van samenwerking.
Graden van samenwerking in de klas
Graad 1. De leerkracht bepaalt het doel, de (meeste) activiteiten en (bijna) de hele evaluatie. Dit is wat menmeestal onder samenwerken in klas begrijpt.
Graad 2. De groep krijgt meer verantwoordelijkheid, en de structuren verdwijnen want de groep zelf bepaaltsteeds meer de manier waarop samengewerkt wordt. In dat geval spreken we over samen leren. Deze structuuracht men meer complex dan samen werken, omdat ze een zelfstandigere houding van de leerlingen vereisen ende docent meer terugtreedt.
Graad 3. Er is sprake van totale sturing vanuit de leerlingen. Deze graad noemt men samen reguleren.
Naast het verwerken van toepassingen in groep uit Practicum 4 is dit practicum gericht op samenwerken, in groepenvan twee of drie. Het beoogde doel is welomlijnd (zie opdracht). Toch is er nu al een zekere vorm van:
3 Positieve wederzijdse afhankelijkheid Je werkt aan een gezamelijk doel, en daarbij is de bijdrage van iedergroepslid van belang.
3 Individuele aanspreekbaarheid Ieder groepslid is aanspreekbaar op zijn/haar bijdrage aan het groepspro-duct, het kan dus niet zo zijn dat een groepslid al het werk doet.
3 Directe interactie Je praat met elkaar over de leerstof. Dus er moet ook echt gepraat worden. Het is dus nietde bedoeling dat je individueel de opdracht uitvoert, en achteraf controleert of de andere groepsleden hetzelfderesultaat bereikt hebben.
3 Sociale vaardigheden Dit betekent dat er aandacht is voor het functioneren in een groep en niet alleenproductgericht maar vooral proces gericht. Hoe verliep het, wat kunnen we de volgende keer anders doen?
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Toepassing 1 op pagina 116 verwerken. Hier en daar moet je een vraag beantwoorden.
3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee of drie.
1. In groep de antwoorden op pagina 118 vergelijken. Waak er over dat iedereen in de groep de toepassing opdie pagina volledig begrijpt.
2. In groep maak je de twee modelvoorbeelden op pagina 117. Neem actief deel in het groepsgesprek.
3. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie pagina 119.Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten of extra uitleg schrijf je in het rood.
4. Daarna maak je in groep de oefeningen 1, 2 en 3 op pagina 120 (staan ook op de volgende pagina). Mochtje klaar zijn tijdens de lessen, dan maak je ook Oefening 4.
5. Tot slot reflecteer je over de groepsopdracht (zie volgende pagina).
3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat
. een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s 116 en 117, en
. een exemplaar van de drie gemaakte oefeningen op een cursusblad. Een oefening per pagina. Opgaveoverschrijven hoeft niet.
Elk groepslid dient zijn practicum bundel in (met ingevulde reflectie). Het verslag steekt in een bundel van eengroepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Pr-22
Oefeningen - Opgave
Calpe Costa Blanca,Spanje
Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?
Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de somvan de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd danbekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.
Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?
?Oefening 4 (het probleem van Bachet 2). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbeltmet een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?
Reflectie
Deze reflectie is individueel, dus elk voor zich.
Eigen inzet
Beschrijf in enkele regels je eigen inzet tijdens de groepsopdracht. Geef jezelf daarna een cijfer tussen 0 en 5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Groep
Beschrijf in enkele regels de gezamelijke aanpak en overleg tijdens de groepsopdracht. Wat zou je devolgende keer zeker op dezelfde manier doen? En wat zou je liever op een andere manier doen?. Geef de groepeen cijfer tussen 0 en 5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Niveau van samenwerking
In welk van de vier niveaus op de vorige pagina hoor je thuis? Stip enkele onderdelen van dat niveau aan meteen gele fluorescerende stift.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Claude Gaspard Bachet de Meziriac (1581-1638).
Pr-23
Evaluatieform
ulierPracticum
6D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Inhou
del
ijk
Vaa
rdig
hed
en1.
Rekenvaard
igh
eid
3B
ijhet
alge
bra
ısch
man
ipule
ren
van
funct
ievo
orsc
hri
ften
,fo
rmule
s,ve
rgel
ijkin
gen,
etc.
wee
tje
wel
ke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
enden
omto
tee
nre
sult
aat
teko
men
,en
voer
jedez
ete
chnie
ken
corr
ect
uit
.
3Je
kan
de
groot
orde
van
een
resu
ltaa
tgo
edin
schat
ten.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reken
mac
hin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepas
tin
schak
elen
om
een
bew
erkin
guit
tevo
eren
.Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
3.
Wis
ku
nd
ige
taalv
aard
igh
eid
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
vakta
alva
nde
wis
kunde:
.je
ken
tde
bet
eken
isva
nty
pis
che
vakte
rmen
enge
bru
ikt
dez
evo
ldoen
de
corr
ect
(funct
ie,
stel
sel,
etc.
);.
jeke
nt
de
bet
eken
isva
nsp
ecifi
eke
logi
sche
kern
woor
den
enge
bru
ikt
dez
evol
doen
de
corr
ect
(en,
of,
daaru
itvolg
t,vo
or
alle,
etc.
);.
jeb
ent
inst
aat
omee
nom
schri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waa
rde
tesy
mb
olis
eren
;.
jehan
teer
tde
vis
uel
evo
orst
ellinge
nw
aar
de
wis
kunde
gebru
ikva
nm
aakt
(gra
fiek
,ta
bel
,et
c.).
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
bes
chri
jven
de
taal
waa
rin
over
het
wis
kundig
han
del
enge
spro
ken
wor
dt
(defi
nit
ie,
eigen
schap,
verk
laar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
3Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
iskundig
eb
egri
pp
enher
kennen
enve
rtal
ennaa
rw
iskundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
3Je
kan
vis
uel
ein
form
atie
invo
ldoen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gr
afiek
,dia
gram
).
3Je
ben
tle
esva
ardig
bij
het
leze
nva
nde
tekst
van
opga
ven,
pro
ble
men
envra
agst
ukke
n.
8.
Refl
ecti
evaard
igh
ed
en
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
aanpak
van
jew
erk
enje
studie
s.
3Je
kan
reflec
tere
nov
erje
leer
pro
ces
enje
inze
t(l
eiden
zeto
thet
ber
eike
nva
nde
doel
stel
ling?
).
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
effici
enti
eva
nje
wer
ken
enje
lere
n.
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
ster
keen
de
zwak
keel
emen
ten
inde
uit
voer
ing
van
jeop
dra
cht.
3Je
kan
jere
flec
tie
concr
eet
mak
endoor
een
pla
nva
nve
rbet
erin
gop
test
elle
n(w
elke
elem
ente
nw
orden
geb
ruik
tom
het
lere
nen
wer
ken
teve
rbet
eren
?).
3Je
kan
reflec
tere
nov
erde
geza
mel
ijke
aanpak
enov
erle
gbij
een
groep
sop
dra
cht.
Att
itudes
9.
Zin
voor
nauw
keu
righ
eid
en
ord
e
3Je
heb
tde
gew
oon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opdra
cht
teru
gte
kij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole,
om
zoto
tnauw
keuri
ge
resu
ltat
ente
kom
en.
3Je
heb
tee
nhou
din
gom
ordel
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen,
aanpak
ken
van
pro
ble
men
).
14.
Zin
voor
sam
enw
erk
ing
en
overl
eg
3Je
ziet
indat
jem
ogel
ijkhed
enve
rgro
otw
orden
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
npak
.
Pr-
24
PRACTICUM 7
EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding1
Het schrijven en publiceren van verslagen is o.a. voor wetenschappers een belangrijkonderdeel van hun werk. Een verslag kan dienen om je uitgevoerd werk, project,ideeen en conclusies aan anderen uit te leggen of kenbaar te maken. Evengoed kanhet dienen om anderen van je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteitenin de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dat een verslag tot in de puntjes verzorgdmoet zijn; niet alleen qua lay-out, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw enuiteraard qua inhoud. In veel hogere studies en ook in je latere werkomgeving is heteen oefening die je nog vaak zal maken.
Wat is nu een verslag Het is een tekst, maar geen proza. Je gebruikt de tekst om op een zakelijke manierte rapporteren, over de meest uiteenlopende onderwerpen: een zakenreis, een chemisch experiment, een wiskundigprobleem, etc. Een verslag moet
3 volledig maar eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,
3 een logische structuur hebben, en
3 gemakkelijk te lezen zijn.
Hiermee bedoelen we dat de lezer snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van het verslag. Het is nietaan de lezer om bepaalde passages verschillende keren te moeten herlezen om te achterhalen en te interpreteren watprecies wordt verteld.
De vorm van een exact-wetenschappelijk verslag is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een boekbesprekingof taalkundig onderzoek. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijk verslag uit en preciserenwe hoe je moet omgaan met wiskundig schrijven.
Een goed verslag schrijven vraagt oefening. Het is een opdracht waarin je door rigoureus en volledig te zijn,duidelijk kan tonen aan de lezer dat je volledig het onderwerp van het verslag beheerst. Onderstaande richtlijnenin verband met de inhoud, de vorm en de stijl van een verslag moeten niet zozeer naar de letter, maar wel naar degeest gevolgd worden. De opdrachtgever kan uiteraard nog specifieke eisen stellen naar gelang het onderwerp van deopdracht.
2. Structuur van een wetenschappelijk verslag
In principe heeft een wetenschappelijk verslag de volgende structuur:
Titel
Samenvatting
Inleiding
Hoofddeel
Besluit
Bij lange verslagen is het beter om nog een inhoudstafel en een referentielijst toe te voegen. Dit is de basisstructuurzoals die voor wiskundige verslagen wordt toegepast2.
1Gebaseerd op E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven (2006).2Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel
onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen,hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction tothe analysis and presentation of data, Singapore (1994).
Pr-25
Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgelegd3.
Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van het verslagkunnen halen. Een titel als ’Verslag practicum ecologie’ is te algemeen. Woorden als ’Studie van’, ’Onderzoek naar’,maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden. Bij een langer verslag maak je best een titelblad.
NIET: ‘Practicum 11 februari 2010’ of ‘Oefening 28 pagina 40’
WEL: ‘Elliptische baan van een planeet’ of ‘Lineaire groei versus exponentiele groei’
Samenvatting De samenvatting van een verslag is een kort deel van een vijftal lijnen. Die geven een overzicht vanhet onderzoek, het belang van het onderzoek en wat je eruit concludeert.
Inleiding In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt en in welke context hetgeheel kadert. In tweede instantie licht je de opbouw van het verslag toe. Hier wijs je op de samenhang tussen dehoofdstukken. De bedoeling is dat de lezer inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan.
Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van het verslag. De andere delen dienen om te structureren,te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel staan nietalleen de antwoorden op de gestelde vragen. Vooral moet je de gevoerde redenering die achter elk antwoord schuilt,weergeven.
Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding. Samen met deinleiding geeft het besluit een volledige samenvatting van het probleem en zijn oplossing. Je verwijst hier niet naaringevoerde formules of methodes die je besproken hebt in de tussenliggende delen. Je geeft ook aan op welke manieren in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen overmethodiek, tekortkomingen of suggesties thuis.
2. Richtlijnen voor wiskundig schrijven
Het opschrijven van een wiskundige redenering, een bewijs of meer uitgebreid een nota, artikel of thesis wordt ook wel‘wiskundig schrijven’ genoemd. Het vergt heel wat oefening om hierin bedreven te worden. Zo’n redenering opschrijvenis niet zomaar iets wat je doet nadat je de oplossing gevonden hebt. Het vergt heel wat oefening. Deze richtlijnen4
dienen dan ook om je hierin te ondersteunen.
Wiskundige correctheid
Een correcte, consistente en ondubbelzinnige redenering maken is moeilijker dan je denkt. Een nodige voorwaarde isdat je zelf 100% overtuigd bent van datgene wat je opschrijft. We overlopen enkele typische valkuilen.
3 Rekenvaardigheid Het algebraısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, stelsels,etc. uit de eerste en de tweede graad is gekend verondersteld. Enkele misverstanden die aan de basis liggen voorheel wat elementaire rekenfouten in de derde graad (de uitspraken gelden voor gepaste keuze van a, b, c, d ∈ R):
. rekenen met vierkantswortels, o.a.√a+ b 6= √a+
√b want
√9 + 16 6= 3 + 4;
√a2 6= a want
√(−3)2 6= −3;
. vereenvoudigen van breuken, o.a.2a+ b
2c+ d6= a+ b
c+ d,
2a+ b
2c+ 2d6= a+ b
c+ d,
2a+ 2b
2c+ d6= a+ b
c+ d;
. ongelijkheden, o.a. uit ac > bc volgt niet noodzakelijk dat a > b want 5 · (−2) > 7 · (−2) en toch is 5 < 7;
uita
b> 0 volgt niet noodzakelijk dat a > 0 en/of b > 0 want
−7
−3> 0 en toch is −3 < 0 en −7 < 0;
uit a2 > b2 volgt niet noodzakelijk dat a > b want (−7)2 > 32 en toch is − 7 < −3.
3 Correct gebruik van implicatie en equivalentie Vaak is een redenering wiskundig fout omdat men de“enkele pijl ⇒” verwart met “dubbele pijl ⇔”. Onderstaande tabel geeft aan wat het onderscheid is. Voor deformele definitie van deze logische operaties verwijzen we naar Deel Logica.
naam symbool voorbeeld lees als
implicatie ⇒ x = −2⇒ x2 = 4 als x = −2 dan x2 = 4equivalentie ⇔ x = ±2⇔ x2 = 4 x = ±2 als en slechts als x2 = 4
3Voor een voorbeeld van een wetenschappelijk verslag (althans wat de structuur betreft) verwijzen we naar K. De Naeghel, Vijf bewijzenvoor de irrationaliteit van
√2, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011) . Zie ook pagina 124.
4Referenties voor wiskundig schrijven zijn N.J. Higham, Handbook of Writing for the Mathematical Sciences, Society for Industrial andApplied Mathematics (1998) en F. Vivaldi, Mathematical writing for undergraduate students, The university of London (2013) .
Pr-26
3 Letters voor onbekenden eerst introduceren Wanneer je een nieuwe letter gebruikt, dan hoor je eerstaan te geven waar die letter voor staat. Enkel op die manier kan de lezer jouw redenering volgen.
Wiskundig verwoorden
Een wiskundige redenering bestaat zeker niet alleen uit symbolen (formules, vergelijkingen, . . . ). Je hoort ook bind-tekst te schrijven: taalkundige zinnen die aangeven wat je van plan bent, hoe uit de ene vergelijking de andere volgt,hoe je een controle kan maken, etc. Slechts dan zal een lezer weten wat jij bedoelt, ook al heeft hij/zij het probleemniet zelf opgelost. Typische voorbeelden van bindwoorden- en zinnen vind je in onderstaande tabel. Wannneer je eendeel van de redenering weg laat, hoor je de aard en de lengte van het weggelaten deel te duiden (tweede kolom). Houdde lezer op de hoogte waar je ergens in je redenering bevind, en wat er nog moet gebeuren (derde kolom).
Bindwoordenanders gezegd, anderzijds is, dan geldt, dientengevolge, dus, echter, enerzijds is, equivalent is, er geldt dat,
ergo, gelijkstellen levert, hieruit volgt, met als gevolg dat, neem, noem, of nog, omdat . . . is, op die manier is,terwijl, uit . . . volgt dan, veronderstel dat, voor . . . vinden we, voor . . . bekomen we, want, waaruit,
waaruit we vinden dat, waaruit volgt dat, we besluiten dat, we hebben, we vinden, zij, zodat, zodoende is
Bindzinnen
Ons eerste doel is om . . . Men kan eenvoudig aantonen dat . . . Eerst tonen we aan dat . . .Wa vermoeden dat . . . Twee keer toepassen van . . . geeft . . . Het probleem is te vereenvoudigen tot . . .Het idee van het bewijs is . . . Een gelijkaardig argument toont . . . Tenslotte moeten we aantonen dat . . .
3. Schrijftips
Bij het maken van een verslag (in het bijzonder voor exacte wetenschappen) moet je ontzettend veel aandacht bestedenaan de duidelijkheid. Je moet een tekst schrijven die ’gemakkelijk’ te lezen is. Met je verslag wil je de lezer latenbegrijpen wat jij te rapporteren hebt. Zorg dat hij/zij de aandacht bij het onderwerp kan houden. Je hebt er dus allebelang bij dat de lezer geen nutteloze aandacht moet besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin ofredenering.
Duidelijk schrijven betekent dat je ’wetenschappelijke taal’ correct gebruikt zodat de betekenis niet verloren gaat.Om dat doel te bereiken geven we enkele tips in verband met het integreren van wetenschappelijke informatie in eenNederlandse tekst. De opsomming die daarna volgt, gaat over het gebruik van het Nederlands en is evengoed bruikbaarin elk deel van een verslag waar geen wetenschappelijke gegevens meer zijn ingevoerd.
Tip 1. Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin, maar je mag formules en tekst nietdooreen halen. Gebruik in een taalkundige zin ook geen losse symbolen als ∀,∃,⇒,⇔. Laat een regel nooit beginnenmet een wiskundig symbool. En verwijs eenduidig naar een eerdere vergelijking, etc.
NIET: x is positief ⇒ de oplossing van de vergelijking = 17.
WEL: Nu is x positief, zodat de oplossing van de vergelijking (∗) gegeven wordt door x = 17.
Tip 2. Hoe verwijs je naar jezelf? De meest gangbare keuze voor het persoonlijk voornaamwoord is “we”, ookal is er slechts een schrijver. “Ik” is vrijpostig en vereist een meer persoonlijk contact met de lezer. “We” kan ookverwijzen naar “de lezer en ikzelf”.
NIET: Ik heb het idee om . . . / Ik heb eerder al gezegd dat. . . / Nu ga ik aantonen waarom . . .
WEL: Ons idee is om . . . / We hebben eerder gezien dat. . . / Vervolgens tonen we aan waarom . . .
Tip 3. De gegeven opdracht moet geıntegreerd zijn in het verslag. Terwijl je het verslag maakt hou je besteen lezer in gedachten die de opdracht niet kent. Het is echter niet zo elegant om de gestelde vraag letterlijk over tenemen en dan je antwoord te formuleren. Verwerk dus de probleemstelling in jouw tekst.
NIET: Wat is de snelheid in functie van de tijd? Op t = 0 is v(0) = . . .
WEL: Om het verband te kennen tussen de snelheid en de tijd, berekenen we de eerst debeginsnelheid v(0) . . .
Tip 4. Geef geen droge opsomming van “gegeven, gevraagd, oplossing”. Door eerst het gegeven op teschrijven, het gevraagde te formuleren en tenslotte de berekening te maken, vind je het antwoord op een vraagstuk.Dit is je oplossingsmethode (of werkwijze). Het behoort tot het voorbereidend werk van je verslag. Het verslag zelfgebruikt een andere invalshoek.
Pr-27
Tip 5. Vervang in de tekst geen woorden of zinsdelen door symbolen. De symbolen ∀ en ∃ hebben alleenmaar betekenis in wiskundige uitspraken. Schrijf liever voluit “voor alle” en “er bestaat”. In een correcte Nederlandsezin gebruik je “dus” of “daaruit volgt” in plaats van het symbool ⇒. Dat verhoogt de duidelijkheid.
Tip 6. Getallen in een tekst schrijf je liefst voluit, tenzij ze de waarde van een variabele zijn.
NIET: Uit de 3 gegevens leiden we af dat de functiewaarde van drie gelijk is aan f(3) = 7.
WEL: Uit de drie gegevens leiden we af dat de functiewaarde van 3 gelijk is aan f(3) = 7.
Tip 7. Verwijzingen naar tabellen en figuren gebeuren op dezelfde manier als verwijzingen naar langereformules. Omvangrijke tabellen of figuren, of tabellen en figuren waarnaar in de tekst slechts zijdelings wordtverwezen, kan je ook toevoegen als bijlage.
Tip 8. Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijkverslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Nederlandse zinnenmoeten de formules duiden en in een context plaatsen. Je kan bijvoorbeeld uit formules alleen, niet afleiden watoorzaak en wat gevolg is, wat er gegeven is, wat je hebt berekend of wat bewezen is (we verwijzen naar het eerdergegeven pleidooi voor wiskundig verwoorden). De tekst die de formules omkadert - letterlijk en figuurlijk - moetdaarom helder en ondubbelzinnig zijn.
Tip 9. Maak je zinnen niet te lang.
NIET: Omdat de exponentiele functie met voorschrift f(x) = ex als domein R heeft en als bereikR+
0 , zal de inverse functie van f , met voorschrift g(x) = lnx, als domein R+0 en als bereik R
hebben.
WEL: De functies met voorschrift f(x) = ex en g(x) = lnx zijn elkaars inverse. Daarom is hetdomein van f gelijk aan het bereik van g en vice versa. Dus is dom f = R = bld g endom g = bld f = R+
0 .
Tip 10. Vermijd tangconstructies.
NIET: De sinusfunctie heeft, in tegenstelling tot de tangensfunctie die niet voor alle reele getallengedefinieerd is, als domein R.
WEL: De sinusfunctie heeft als domein R, terwijl de tangensfunctie niet voor alle reele getallengedefinieerd is.
Tip 11. Zeg het in kernachtige bewoordingen. Vermijd breedsprakerige en lege woorden als: aspect, facet,gebeuren, aard, mate van, in feite, in principe. Vermijd omslachtige aanlopen als: ‘Het is interessant te meldendat. . . ’, ‘Opgemerkt kan worden dat. . . ’, etc. Vermijd overbodige woorden zoals: enorm, fantastisch, gigantisch, etc.
Tip 12. Ook de toon is belangrijk. Pas op met overdreven zekerheid: ‘ongetwijfeld’, ‘het spreekt voor zich’, etc.Maar wees ook zuinig met relativerende begrippen.
Tip 13. Schrijf of druk niet af op kladpapier. Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Diemoeite is tevergeefs geweest wanneer je aan het papier ook niet de nodige aandacht besteedt. Geef dus niets af opkladpapier, met ezelsoren of vlekken.
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) In het begin van de eerste les krijg je twee pagina’s 126 en volgendeuit een handboek [12]. Deze kopieen behandelen een onderwerp, voorzien van enkele taken (in de tekst taak 11.3,taak 11.4 en taak 11.5 genoemd). De opdracht bestaat erin om deze taken in groepen van drie uit te voeren enhiervan een verslag te maken (een verslag per groep).
Naast de kopieen uit het handboek krijg je ook het verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft, ziepagina’s 128 en volgende. Dit kan je helpen om de taken uit het handboek uit te voeren.Het verslag van die leerling is zeker geen modelvoorbeeld van een wetenschappelijk verslag: er wordt van jullieveel beter verwacht!
3 Verslag Het verslag beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de schrijftips zo goed mogelijktracht na te leven. Het verslag is mag handgeschreven zijn, gemaakt op cursusbladen (geruit). Enkel rectoschrijven, pagina’s onderaan nummeren.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verslag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.
Pr-28
Evaluatieform
ulierPracticum
7D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en2.
Meet-
en
tekenvaard
igh
eid
3G
rafi
eken
envo
orst
elli
nge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
3Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lin
gsve
rmog
en.
3Je
kan
ICT
-hu
lpm
iddel
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
ach
ine
ofee
nco
mp
ute
rrek
enp
akke
tge
pas
tin
schakel
enom
een
figu
ur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
lin
gen
die
jem
etIC
Tb
ekom
enh
ebt.
6.
On
derz
oeksv
aard
igh
ed
en
3Je
kan
een
ond
erzo
ekso
pd
rach
tfo
rmu
lere
nen
afb
aken
en.
3Je
kan
een
aanp
akp
lan
nen
enzo
nod
igop
spli
tsen
ind
eelt
aken
.
3Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
.d
ew
aard
eva
nd
ein
form
atie
beo
ord
elen
infu
nct
ieva
nd
eop
dra
cht;
.d
ere
lati
etu
ssen
gege
ven
sen
bew
erkin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren
.
3Je
kan
doel
mat
igee
nw
isku
nd
igm
od
else
lect
eren
ofop
stel
len
:
.ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
ken
nen
als
een
wis
kun
dig
ofee
nst
atis
tisc
hp
rob
leem
;.
vast
stel
len
ofee
nm
od
elvo
ldoet
enh
etev
entu
eel
bij
stel
len
;.
zon
od
igb
ijkom
end
ein
form
atie
verz
amel
enom
het
aan
gew
ezen
mod
elte
ku
nn
enh
ante
ren
.
3Je
kan
bij
een
mod
eld
ep
asse
nd
eop
loss
ings
met
hod
eco
rrec
tu
itvo
eren
.
3Je
kan
resu
ltat
enb
inn
end
eco
nte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
alu
eren
.
3Je
kan
refl
ecte
ren
oph
etge
hel
ep
roce
s,i.
h.b
.op
de
gem
aakte
keu
zen
voor
rep
rese
nta
tie
enw
erkw
ijze
.
3Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
ond
erzo
ekzi
nvo
lp
rese
nte
ren
,h
etst
and
punt
argu
men
tere
nen
vers
lag
uit
bre
ngen
van
het
pro
ces.
Att
itu
des
10.
Zin
voor
kw
ali
teit
van
de
wis
ku
nd
ige
rep
rese
nta
tie
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
esp
reken
.
11.
Kri
tisc
he
zin
Je
heb
td
eh
oud
ing
omb
erek
enin
gen,
bew
erin
gen
,ar
gum
ente
rin
gen
enre
den
erin
gen
nie
tzo
maa
rte
aanva
ard
enen
over
ten
emen
.
13.
Zelf
regu
lati
e
3Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
3Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gsp
roce
ste
orie
nte
ren
,h
etp
roce
ste
pla
nn
en,
het
uit
tevo
eren
enh
ette
bew
aken
.
14.
Zin
voor
sam
enw
erk
ing
en
overl
eg
3Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
Evaluatiepunten:
zievolgendepagina
Pr-
29
Evaluatiepunten
A.Opbouw
01
23
45
Tit
el,
sam
envatt
ing,
inh
ou
dst
afe
l,in
leid
ing
en
refe
renti
eli
jst
De
leze
rm
oet
uit
de
tite
lon
mid
del
lijk
het
on
der
wer
pva
nh
etver
slag
ku
nn
enh
alen
.D
esa
men
vatt
ing
van
een
vers
lag
gee
ftee
nov
erzi
cht
van
het
ond
erzo
ek,
het
bel
ang
van
het
ond
erzo
eken
wat
jeer
uit
con
clu
dee
rt.
Ind
ein
leid
ing
wor
dt
eers
th
eton
der
wer
pof
jep
rob
leem
stel
lin
gve
rdu
idel
ijkt,
enw
ijs
jeop
de
sam
enh
ang
tuss
end
eh
oof
dst
ukke
n.
©©
©©
©©
Hoofd
deel
en
besl
uit
Inh
eth
oof
dd
eel
staa
nn
iet
alle
end
ean
twoor
den
opd
ege
stel
de
vra
gen
.V
oora
lm
oet
jede
gev
oer
de
red
ener
ing
die
achte
rel
kan
twoor
dsc
hu
ilt,
wee
rgev
en.
Inh
etb
eslu
itgr
ijp
jete
rug
naa
rje
pro
ble
emst
elli
ng
ofon
der
zoek
svra
agu
itd
ein
leid
ing,
enge
efje
aan
opw
elke
man
ier
enin
hoev
erre
jege
slaa
gdb
ent
inje
opze
t.H
ier
hor
enook
ver
geli
jkin
gen
met
geke
nd
ere
sult
ate
n,
opm
erkin
gen
over
met
hod
iek,
teko
rtko
min
gen
ofsu
gges
ties
thu
is.
©©
©©
©©
Tota
al
op
bouw
:..
./
10
B.In
houd
Doelg
roep
Het
niv
eau
van
het
vers
lag
isgo
edaf
gest
emd
opee
nle
zer
met
wis
kun
dig
eke
nn
isop
niv
eau
van
jouw
stu
die
rich
tin
g,m
aar
die
het
ond
erw
erp
end
eop
dra
cht
nie
tke
nt.
Nee
mge
ente
grot
ed
enksp
ron
gen
,m
aar
wei
dt
ook
nie
tu
itov
erev
iden
teza
ken
.©
©©
©©
©
Held
er
en
du
ideli
jkH
etve
rsla
gis
‘gem
akke
lijk
’te
leze
n.
De
leze
rka
nb
egri
jpen
wat
jij
tera
pp
ort
eren
heb
t,en
kan
de
aan
dac
ht
bij
het
ond
erw
erp
hou
den
door
geen
nu
ttel
oze
aan
dac
ht
teb
este
den
aan
het
ontr
afel
enva
nee
nsl
echt
opge
bou
wd
ezi
nof
red
ener
ing.
©©
©©
©©
Sch
rijf
stij
lH
etve
rsla
gis
geen
opee
nvo
lgin
gva
n‘a
ntw
oord
enop
de
vra
agje
s’,
en‘g
egev
en,
gevra
agd
,op
loss
ing’.
Dat
beh
oor
ten
kel
tot
het
voor
ber
eid
end
wer
k.
Het
vers
lag
zelf
geb
ruik
tee
nan
der
ein
vals
hoek
.D
ep
rob
leem
stel
lin
gis
verw
erkt
ind
ete
kst
.©
©©
©©
©
Een
goed
ezin
sbouw
en
corr
ect
Ned
erl
an
ds
zorg
envo
oree
ngo
edle
esb
are
tekst
.E
enw
eten
sch
app
elij
kve
rsla
gis
all
erm
inst
een
op
eenvo
lgin
gva
nfo
rmu
les,
cryp
tisc
he
cod
etaa
l,ta
bel
len
enfi
gure
n.
Ook
de
ver
ban
den
tuss
end
ezi
nn
enm
oet
envo
ldoen
de
hel
der
zijn
.©
©©
©©
©
Less
ism
ore
Onth
oud
dat
jeke
nn
ish
etb
est
kan
over
bre
nge
nd
oor
een
hel
der
enb
ond
igve
rsla
g,d
atle
idt
tot
het
opw
ekke
nva
nin
tere
sse
bij
de
leze
r,w
aarn
ah
ijzi
chac
tief
kan
inle
ven
inh
etp
rob
leem
.©
©©
©©
©
Maak
jevers
lag
effi
cie
nt
Geb
ruik
jein
jeve
rsla
gfi
gure
n,
dan
verw
ijs
jeook
ind
ete
kst
naa
rd
eze
figu
ren
,le
gje
uit
hoe
jed
eze
bek
om
ten
wat
eru
itaf
tele
iden
valt
.©
©©
©©
©
Lay-o
ut
Je
heb
taa
nd
acht
bes
teed
aan
de
lay-o
ut
van
het
ver
slag
.E
enu
itge
tikt
vers
lag
isge
enve
rpli
chti
ng,
wel
een
mee
rwaa
rde.
Nood
zake
lijk
isd
atd
ege
bru
ikte
figu
ren
vol
doen
de
du
idel
ijk
afge
bee
ldzi
jn.
©©
©©
©©
Wees
cre
ati
ef
en
ori
gin
eel
Zo
kan
jeje
vers
lag
ond
ersc
hei
den
van
een
gem
idd
eld
ete
kst
over
dat
ond
erw
erp
.L
egee
nn
iet
voor
de
han
dli
gge
nd
eli
nk,
nee
mh
isto
risc
he
asp
ecte
nop
,b
eden
kee
nre
leva
nte
toep
assi
ng.
Over
dri
jfec
hte
rn
iet:
jever
slag
isin
de
eers
tep
laat
see
nza
keli
jke
tekst
.©
©©
©©
©
Tota
al
inh
ou
d:
...
/40
C.Verd
ediging
Sti
jlB
ijd
eve
rded
igin
gge
efje
enkel
antw
oor
den
opd
ege
stel
de
vra
gen
.D
atd
oe
jein
het
alge
mee
nN
eder
lan
ds,
enop
een
hel
der
een
bek
nop
tem
anie
r.Z
org
dat
jeh
etvo
lled
ige
vers
lag
beh
eers
t.D
atee
nan
der
groep
slid
de
ond
ervra
agd
ep
assa
geges
chre
ven
hee
ft,
isgee
nex
cuu
s.©
©©
©©
©
Inh
ou
dZ
org
dat
jeov
ertu
igd
ben
tva
nje
antw
oor
d.
Je
atti
tud
e‘k
riti
sch
ezi
n’
spee
lth
ier
een
grot
ero
l.R
ad
enn
aar
de
op
loss
ing
isu
itd
enb
oze:
ken
jeee
nan
twoor
dn
iet,
dan
geef
jedat
ook
toe.
Dat
wee
rdh
oud
tje
nie
tom
na
ted
enken
omto
chm
etee
ngoed
antw
oor
dvo
ord
ed
agte
kom
en.
©©
©©
©©
Tota
al
verd
edig
ing:
...
/10
Tota
al:
...
/60
Pr-
30
PRACTICUM 8
ONDERZOEKSOPDRACHT (1)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige enwetenschappelijke vaardigheden leerden door middel van het observeren van een ‘ex-pert’ (leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdigemethode in vraag. Zo ijverde de wiskundige en didacticus George Polya in 1945 reedsdat het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskundeonder-wijs, en dit op elk niveau [20]:
“Goed onderwijs betekent dat leerlingen de kans krijgen om zelf te ontdekken.” 1
De komende onderzoeksopdrachten hebben dan ook als bedoeling om ofwel een nieuwe techniek op zelfstandige basismeester te worden, ofwel zelf een probleem op te lossen en nadien een redenering op een haalbaar niveau te leveren.Je kan dit realiseren door de vaardigheden en attitudes die in de vorige practica aan bod kwamen te bundelen en jehierin verder bekwamen:
3 probleemoplossende vaardigheden (Practica 2 en 3),
3 mathematiseren (Practica 4 en 6),
3 kritisch evalueren van wiskundige modellen (Practica 4 en 6),
3 logisch redeneren en argumenteren (Practicum 7),
3 zin voor samenwerking en overleg (Practica 1, 2, 3, 4, 6 en 7),
3 wiskundige taalvaardigheid (Practica 4, 5 en 6).
De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd[34, p.77]:
OC1 Zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.
OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.
OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.
De eerste eindterm werd gerealiseerd bij de uitvoering van Practicum 1. Daar werd ook gemotiveerd waarom we hetverzamelen, ordenen en bewerken van informatie niet meer in bod laten komen in deze en volgende onderzoeksop-drachten. In dit practicum komt de tweede eindterm aan bod, de derde eindterm is voor volgende practica.
onderzoekscompetenties
verzamelenordenenbewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereiden
uitvoeren
evalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporterenconfronteren ︸
︷︷︸ competentie 3
1“What is good education? Systematically giving opportunity to the student to discover things by himself.”
Pr-31
Je eerste onderzoeksopdracht kadert in het onderwerp logica, en heeft als bedoeling dat je de techniek van het logischredeneren wat meester wordt. Dat we vooraf zelf een onderzoeksvraag geven, en niet gevraagd wordt om een eigenonderzoeksvraag op te stellen, wordt in Practicum 9 gemotiveerd.
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en onderzoeksopdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (1 les, thuis afwerken) Je beantwoord de onderzoeksvraag op de volgende pagina. Deze opdrachtvoer je individueel uit.
3 Verslag Je verslag bestaat uit de zes bewijzen. Let erop dat je je bewijzen in dezelfde stijl als de tweemodelvoorbeelden schrijft. Pagina’s onderaan nummeren. Het verslag voeg je in deze practicum bundel.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met interferentieregels2
Logische wetten zijn tautologien van de vorm �⇒ 4, waarbij � staan voor een aantal uitspraken A,B,C, . . . (gege-vens, ook wel premissen genoemd, genoteerd als PREM), en 4 een uitspraak die hieruit volgt (conclusie genoemd).Meestal vervangt men dan het symbool voor implicatie ⇒ door het symbool `. Men schrijft dus � ` 4. We geveneen overzicht van de meest courante interferentieregels die gebruikt worden om logische wetten te bewijzen. Elk vandeze kunnen aangetoond worden met behulp van een waarheidstabel.
naam logische wet afkorting
modus ponens A⇒ B,A ` B MP
conjunctie A,B ` A ∧B CONJ
simplificatie A ∧B ` AA ∧B ` B SIM
additie A ` A ∨BB ` A ∨B ADD
dilemma A ∨B,A⇒ C,B ⇒ C ` C DIL
introductie van degelijkwaardigheid
A⇒ B,B ⇒ A ` A⇔ B GI
eliminatie van degelijkwaardigheid
A⇔ B ` A⇒ BA⇔ B ` B ⇒ A
GE
dubbele negatie ¬(¬A) ` A DN
reductio ad absurdum A⇒ B,A⇒ (¬B) ` ¬A RAA
Modelvoorbeeld 1. Als eerste voorbeeld van een bewijs met behulp van deze interferentieregels beschouwen we eeneenvoudig bewijs van de logische wet P ∧Q,P ⇒ R ` R.
P ∧Q,P ⇒ R ` R1 P ∧Q PREM
2 P ⇒ R PREM
3 P 1; SIM
4 R 2,3;MP
Het eigenlijke bewijs wordt gevormd door de uitspraken in de tweede kolom. De nummers uit de eerste kolom gebruikenwe om te verwijzen naar de uitspraken uit de tweede kolom; de verantwoording daarvoor staat in de derde kolom. Weoverlopen het bewijs.
1,2 We schrijven de gegevens (ook wel premissen genoemd).
3 We schrijven een uitspraak die volgt uit 1 door de interferentieregel SIM (simplificatie).
4 We schrijven een uitspraak die volgt uit 2 en 3 door de regel MP (modus ponens). Let even op volgende afspraak:in de derde kolom van lijn 4 staat een komma tussen de nummers van de uitspraken waaruit R werd afgeleid,en een kommapunt tussen de nummers en de naam van de regel waaruit R uit die uitspraken volgt.
2De voorbeelden uit deze onderzoeksopdracht werden ontleend aan D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren,Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk (2008).
Pr-32
De lijnen 1-4 tonen aan dat we uit de gegevens P ∧Q en P ⇒ R de R kunnen afleiden. Zo hebben we de logische wetP ∧Q,P ⇒ R ` R bewezen.
Modelvoorbeeld 2. In het vorige bewijs werden eerst de premissen neergeschreven en werden daarna stap voor stapinterferentieregels toegepast op uitspraken die in het bewijs voorkomen. Een heel andere en bijzonder interessantebewijsmethode maakt gebruik van zogenaamde subbewijzen. Hier is een voorbeeld:
P ⇒ Q ` (P ∧R)⇒ Q
1 P ⇒ Q PREM
2 P ∧R HYP3 P 2; SIM4 P ⇒ Q 1; REIT5 Q 3,4; MP
6 (P ∧R)⇒ Q 2,5;VB
Laat ons dit even bekijken.
1 We schrijven de premisse op.
2 We veronderstellen P ∧R. Deze stap volgt dus niet uit de premisse, maar is een veronderstelling (ook hypothesegenoemd, genoteerd als HYP). Om dat duidelijk te maken trekken we er een verticale lijn naast. We laten dielijn doorlopen zolang we nagaan wat uit de hypothese volgt.
3 Uit P ∧R volgt P .
4 In een subbewijs mogen we een beroep doen op alle gegevens die beschikbaar waren voor we de hypotheseinvoerden - in dit geval de premisse P ⇒ Q uit lijn 1. We drukken dit uit door P ⇒ Q te reıtereren op lijn4. Reıtereren betekent: iets wat we ter beschikking hebben, binnen het subbewijs halen. We noteren dit metREIT.
5 We passen modus ponens toe.
6 Het subbewijs 2-5 toont aan dat, gegeven de premisse, Q volgt uit P ∧R. Met andere woorden, gegeven P ⇒ Qhebben we getoond: als P ∧ R, dan Q. Dit staat op lijn 6. De regel die we hier gebruiken noemen we eenvoorwaardelijk bewijs, notatie VB.
Onderzoeksvraag Zoek bewijzen met behulp van interferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor de vol-gende logische wetten.
(a) P ∧Q ` P ∨Q
(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R
(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S
(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P?(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P?(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P
Pr-33
Evaluatieform
ulierPracticum
8D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Inhou
del
ijk
Vaa
rdig
hed
en5.Pro
bleemoplossendevaard
igheden.
3Je
kan
een
pro
ble
emon
tdek
ken
enhet
wis
kundig
beh
oor
lijk
stel
len.
3Je
kan
een
pro
ble
eman
alyse
ren
(onder
schei
dm
aken
tuss
enge
geve
nen
gevra
agde,
verb
anden
legg
entu
ssen
de
geg
even
s,et
c.).
3Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
ennaa
ree
npas
send
wis
kundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
3Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nbij
het
wer
ken
aan
pro
ble
men
,en
daa
rbij
een
pla
nop
stel
len.
3Je
kan
reflec
tere
nop
de
keuze
van
jezo
ekst
rate
giee
nen
jepla
n.
3Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hun
bet
rouw
baa
rhei
den
volled
ighei
d.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enge
bru
iken
omw
iskundig
ein
form
atie
tever
wer
ken
enw
iskundig
epro
ble
men
teonder
zoek
en.
6.Onderzoeksvaard
igheden
3Je
kan
een
onder
zoek
sop
dra
cht
form
ule
ren
enaf
bak
enen
.
3Je
kan
een
aanpak
pla
nnen
enzo
nodig
opsp
lits
enin
dee
ltak
en.
3Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
.de
waa
rde
van
de
info
rmat
ieb
eoor
del
enin
funct
ieva
nde
opdra
cht;
.de
rela
tie
tuss
enge
geve
ns
enb
ewer
kin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren.
3Je
kan
doel
mat
igee
nw
iskundig
model
sele
cter
enof
opst
elle
n:
.ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
kennen
als
een
wis
kundig
ofee
nst
atis
tisc
hpro
ble
em;
.va
stst
elle
nof
een
model
vold
oet
enhet
even
tuee
lbij
stel
len;
.zo
nodig
bij
kom
ende
info
rmat
ieve
rzam
elen
omhet
aange
wez
enm
odel
tekunnen
han
tere
n.
3Je
kan
bij
een
model
de
pas
sende
oplo
ssin
gsm
ethode
corr
ect
uit
voer
en.
3Je
kan
resu
ltat
enbin
nen
de
conte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
aluer
en.
3Je
kan
reflec
tere
nop
het
gehel
epro
ces,
i.h.b
.op
de
gem
aakte
keuze
nvo
orre
pre
senta
tie
enw
erkw
ijze
.
3Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
onder
zoek
zinvo
lpre
sente
ren,
het
stan
dpunt
argu
men
tere
nen
vers
lag
uit
bre
ngen
van
het
pro
ces.
Att
itudes
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e.
3Je
heb
tde
gew
oon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opdra
cht
teru
gte
kij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole,
om
zoto
tnauw
keuri
ge
resu
ltat
ente
kom
en.
3Je
heb
tee
nhou
din
gom
ordel
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen,
aanpak
ken
van
pro
ble
men
).
12.Zelfvertro
uwen
en
zelfstandigheid.
3Je
toon
tze
lfver
trou
wen
,ze
lfst
andig
hei
d,
door
zett
ings
ver
mog
enen
doel
mat
ighei
dbij
het
aanpak
ken
van
pro
ble
men
enop
dra
chte
n.
3Je
ziet
indat
foute
nm
aken
inher
ent
dee
luit
mak
enva
nhet
leer
pro
ces.
13.Zelfre
gulatie.
3Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
3Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gspro
ces
teor
iente
ren,
het
pro
ces
tepla
nnen
,het
uit
tevo
eren
enhet
teb
ewake
n.
Pr-
34
PRACTICUM 9
ONDERZOEKSOPDRACHT (2)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie:
OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.
OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.
onderzoekscompetenties
verzamelenordenenbewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereiden
uitvoeren
evalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporteren
confronteren ︸︷︷
︸ competentie 3
Het leerplan onderscheidt volgende fasen in het aanpakken van een onderzoeksopdracht [34, p.77].
(1) De leerling stelt zichzelf een onderzoeksvraag, al of niet vanuit een aangestuurde reeks van mogelijkheden binneneen begeleide aanpak.
(2) De leerling werkt aan een probleemverkenning. Dat betekent: maakt een analyse, probeert het probleem tebegrijpen, te omvatten en om het als dusdanig beter te omschrijven (antwoord op de vraag: weten wat aan tepakken). In deze fase kan al gewerkt worden aan het documenteren van de opdracht, bijv. feitenmateriaal enkennis verzamelen.
(3) De leerling stelt een plan van uitvoering op (antwoord op de vraag: weten hoe het aan te pakken). Dat kaninhouden: het formuleren van deelaspecten, deelopdrachten, maar ook het opstellen van een tijdskader.
(4) De leerling voert het plan uit. Dat kan betekenen: verder documenteren, effectief gegevens verzamelen, effectiefverbanden onderzoeken, de bevindingen verder uitwerken, etc. (antwoord op de vraag: weten waarom het zoaan te pakken).
(5) De leerling formuleert conclusies en legt ze neer in een meestal schriftelijke neerslag. Daarop volgt nog hetterugkijkend reflecteren (weten over weten).
De fasen (2) tot en met (5) zijn een herformulering van het stappenplan voor probleemoplossend denken, en kwamenmeermaals aan bod in de vorige practica. Fase (1) kwam alsnog niet aan bod, en daar is een reden voor. Iedereen diewat ervaren is in het onderzoeken1 van wiskundige problemen komen al snel tot de volgende bevindingen.
3 Om binnen de wiskunde een haalbaar onderzoeksdomein af te bakenen heb je heel wat expertise nodig. Omdathet een onderzoek betreft, gaan we ervan uit dat de onderzoeker niet vertrouwd is met het onderwerp. In dezecontext is het verlangen dat hij of zij een haalbaar tijdsplan opstelt gewoon niet realistisch. Academici vindenhet niet eenvoudig om een eigen onderzoeksvraag op te stellen, dat haalbaar is zowel naar inhoud als naartijdsbesteding. Is het dan wel zinvol dat wij zoiets van leerlingen verwachten?
3 In een onderzoeksopdracht wiskunde wordt de haalbaarheid van een onderzoeksvraag pas duidelijk tij-dens het onderzoek zelf. Net hierin onderscheidt een wiskundig onderzoek zich met een taalkundig of histo-risch onderzoek. Reeds in Practicum 1 haalden we we aan dat bij een wiskundig onderzoek je informatie niet inde eerste plaats uit boeken of het internet haalt, maar genereert door zelf te redeneren.
1We hanteren onze invulling van de term ‘wiskundig onderzoek’ zoals beschreven in de inleiding van Practicum 1.
Pr-35
Emil Artin(1898 - 1962)
Deze argumentatie doet ons besluiten dat het vooraf opstellen van een onder-zoeksvraag gewoonweg niet relevant is. Men kan zelfs de omgekeerde conclusietrekken: pas na een uitvoerig onderzoek wordt duidelijk wat een haalbare en zinvolleonderzoeksvraag is. Net het zoeken naar de onderzoeksvraag leidt tot een redenering,die de onderzoeksvraag afbakent. In de wiskunde noemt men dit het formulerenvan een vermoeden. Of, om het in de woorden van de wiskudige Emil Artin tezeggen [2, p.592]:
Our difficulty is not in the proofs, but in learning what to prove.
Gemotiveerd door onze overtuiging durven we fase (1) te vervangen door fase (1’), endaarnaast een extra fase (5bis) toe te voegen.
(1’) De leerling krijgt een vooraf gestelde onderzoeksvraag, al of niet voor-zien van een aantal kleinere vragen die tot de oplossing van de onderzoeksvraagzullen leiden, of vanuit een aangestuurde reeks van mogelijkheden binnen eenbegeleide aanpak. Daarnaast wordt de leerling aangemoedigd om zelf kleinere onderzoeksvragen te formulerenom zo een eigen redenering op touw zetten die de grotere, hier gestelde onderzoeksvraag beantwoordt.
(5bis) De leerling wordt aangemoedigd om een eigen vermoeden te formuleren. Het opstellen van zo’nvermoeden gebeurt op basis van zijn eerder onderzoek, en getuigt van het inzicht die de leerling gedurende zijnonderzoek verworven heeft. De leerling zal zijn vermoeden motiveren door te verwijzen naar aanwijzingen in heteerder onderzoek, en/of een mogelijke aanpak tot het oplossen van zijn vermoeden suggereren.
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en de vier onderzoeksopdrachten lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van drie totvier. De leerkracht beslist hoe de opdrachten onder de groepen verdeeld worden. Daarna krijg je de wat meerinformatie over je onderwerp, inclusief enkele onderzoeksvragen (pagina 134 en verder). Jullie eindresultaat iseen verslag dat beantwoord aan de criteria uit Practicum 7. Let hierbij op de aandachtspunten die toen aan bodkwamen en de doelstellingen uit de inleiding:
. niet de kleinere vragen overschrijven en beantwoorden, maar wel een eigen redenering opbouwen, al danniet geınspireerd op die kleinere onderzoeksvragen op de vorige pagina;
. zorg dat jullie verslag vlot leesbaar is (voor een lezer op niveau van het vijfde jaar, zes wekelijkse lestijdenwiskunde);
. op het einde van je opdracht wordt gevraagd een eigen vermoeden te formuleren en te motiveren;
. verslag afsluiten met een toepassing zoals vermeld op de vorige pagina, of een eigen creatieve toepassingkan een meerwaarde zijn, een diepere historische of wiskundige analyse, randinformatie, afbeeldingen enandere relevante creatieve vondsten zijn een bonus.
Het verslag mag handgeschreven zijn, pagina’s onderaan nummeren.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.
Onderzoeksopdracht 1 - Verkeerplanning
Voor het aanleggen en het uitbreiden van een wegennet gaan heel wat studies vooraf. Naast praktische overwegingenis het erg belangrijk om een zicht te hebben op de mate waarin het verkeer een vlotte doorstroom kent. Dat doet mendoor een model te maken: voor een gegeven aantal bestuurders op het wegennet probeert men de tijd te berekenendie nodig is om van een punt A naar een punt B te rijden. In deze onderzoeksopdracht beschouwen we enkele eenvou-dige modellen waarin we laten zien hoe je zoiets kan berekenen. Ook voor een groter wegennet zal men gelijkaardigeprincipes hanteren, maar laat men het rekenwerk over aan een computer.
In deze opdracht maken we de volgende vereenvoudigingen.
1. We nemen aan dat op elk moment een constant aantal auto’s auto’s op het wegennet rijden. Dat aantal noterenwe met n. Uiteraard kent zo’n model ook zijn beperkingen, want van zodra n ‘te groot’ wordt, zal het wegennetvolledig dichtgeslipt zijn, zodat er geen doorstroom meer mogelijk is.
2. Elke bestuurder beschikt op elk moment over alle verkeersinformatie van het volledige wegennet, en past dieinformatie ook zelfzuchtig toe. Dus als een bestuurder kan kiezen tussen twee alternatieve routes, dan zal hij ofzij altijd zal kiezen voor de route die het minst tijd kost.
Aan de hand van enkele voorbeelden laten we de belangrijkste principes zien. Daarna ga je zelf aan de slag.
Pr-36
Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus
Flavius Josephus(37 - ±100)
Deze onderzoeksopdracht gaat over een variant van een oud probleem genoemdnaar Josephus, een befaamde historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens deJoods-Romeinse oorlog werd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in eengrot. De rebellen verkozen zelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring tegaan staan en elke derde persoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. MaarJosephus en een andere persoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie, en- zo gaat de legende - bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijvenom zich nadien aan de Romeinen over te geven.
In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan. Om hetprobleem van Josephus wat eenvoudiger te maken spreken we in een eerste onder-zoeksvraag af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoord wordt.
Onderzoeksopdracht 3 - Omtrek, oppervlakte, dimensie van een fractaal
Mandelbrot verzameling
Een fractaal is een verzameling van punten in het vlak die voldoet aan de eigenschapschaalinvariantie, dat wil zeggen de figuur ziet er steeds ‘van hetzelfde type’ uit,ongeacht in welk punt (en hoeveel) je inzoomt. Zo is bijvoorbeeld een lijnstuk eenfractaal, want ongeacht in welk punt we inzoomen, de figuur heeft steeds dezelfdevorm.
Over fractalen werd reeds in de 17de eeuw gefilosofeerd, maar het wachten op KarlWeierstrass die in 1872 een eerste voorbeeld van een niet-triviale fractaal gaf. Eensdeze figuren gevisualiseerd konden worden dankzij computers, werden ze een echtehype. De term fractaal werd geıntroduceerd in 1975 door Benoıt Mandelbrot enis afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken). Niet-triviale fractalen zijn bijvoorbeeldde Mandelbrot verzameling en de Julia verzameling. Zoek op het internet afbeeldingen van deze fractalen. Het film-pje op de link http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Fractal-zoom-1-15-rupture.ogg laatzien dat in sommige fractalen motieven voorkomen die zich op steeds kleinere schaal herhalen.
In deze opdracht werken we met twee fractalen: de driehoek van Sierpinski en de sneeuwvlok van Koch. Daarna latenwe zien hoe je kan spreken over de dimensie van een fractaal.
Onderzoeksopdracht 4 - Winnende strategieen
Een kansspel is een spel waar winst of verlies wordt bepaald door toeval, bijvoorbeeldhet spelen van een krasspel of een deelname aan de lotto. In deze onderzoeksopdrachthebben we het niet over kansspellen maar over wiskundige spellen met twee spelers,waar de winst of het verlies van een speler enkel afhangt van de beslissingen die beidespelers tijdens het spel nemen. Voor zo’n wiskundig spel is een van de belangrijkstevragen of er een winnende strategie bestaat: een stappenplan zodat een speler,ongeacht de beslissingen van de andere speler, het spel gegarandeerd wint. Bestaater zo’n winnende strategie, en zijn beide spelers hiervan op de hoogte, dan is deuitkomst van het spel afhankelijk van wie het spel als eerste begint. We noemeneen spelsituatie winnend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd wint indien hij zo’n winnende strategietoepast. Een spelsituatie is verliezend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd verliest indien de tegen-speler zo’n winnende strategie toepast. De tak van de wiskunde die zich met het bestaan van winnende strategieen ende beslisbaarheid van winnende en verliezende spelsituaties bezig houdt, is de zogenaamde speltheorie.
In wat volgt bespreken we het spel Nim, waarin we laten zien dat een winnende strategie afhangt van de beginsituatie.Is die beginsituatie gunstig, en past de speler die het eerst aan zet is deze strategie toe, dan wint hij/zij gegarandeerdhet spel. Is de beginsituatie ongunstig, en past de tweede speler die aan zet is zijn/haar strategie toe, dan verliest deeerste speler gegarandeerd.
In de onderzoeksvraag hebben we het over een ander spel, waarbij het bestaan van zo’n winnende strategie ook afhangtvan de beginsituatie.
Pr-37
Evaluatieform
ulierPracticum
9D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Inhou
del
ijk
Vaa
rdig
hed
en4.Denk-en
redeneerv
aard
igheden.
3Je
kan
het
onder
schei
dm
aken
tuss
enhoof
d-
enbij
zake
n,
gege
ven
enge
vra
agde,
gege
ven
ente
bew
ijze
n.
3Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
teb
egri
jpen
.
3Je
kan
een
gege
ven
reden
erin
gop
haa
rge
ldig
hei
don
der
zoek
en.
3Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofde
oplo
ssin
gva
nee
npro
ble
emopb
ouw
en:
.je
kan
een
ver
moed
enfo
rmule
ren
enar
gum
ente
ren;
.je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opbas
isva
nee
non
der
zoek
opee
naa
nta
lvo
orb
eeld
en;
.je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
gebru
iken
.
6.Onderzoeksvaard
igheden
3Je
kan
een
onder
zoek
sop
dra
cht
form
ule
ren
enaf
bak
enen
.
3Je
kan
een
aanpak
pla
nnen
enzo
nodig
opsp
lits
enin
dee
ltak
en.
3Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
.de
waa
rde
van
de
info
rmat
ieb
eoor
del
enin
funct
ieva
nde
opdra
cht;
.de
rela
tie
tuss
enge
geve
ns
enb
ewer
kin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren.
3Je
kan
doel
mat
igee
nw
iskundig
model
sele
cter
enof
opst
elle
n:
.ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
kennen
als
een
wis
kundig
ofee
nst
atis
tisc
hpro
ble
em;
.va
stst
elle
nof
een
model
vold
oet
enhet
even
tuee
lbij
stel
len;
.zo
nodig
bij
kom
ende
info
rmat
ieve
rzam
elen
omhet
aange
wez
enm
odel
tekunnen
han
tere
n.
3Je
kan
bij
een
model
de
pas
sende
oplo
ssin
gsm
ethode
corr
ect
uit
voer
en.
3Je
kan
resu
ltat
enbin
nen
de
conte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
aluer
en.
3Je
kan
reflec
tere
nop
het
gehel
epro
ces,
i.h.b
.op
de
gem
aakte
keuze
nvo
orre
pre
senta
tie
enw
erkw
ijze
.
3Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
onder
zoek
zinvo
lpre
sente
ren,
het
stan
dpunt
argu
men
tere
nen
vers
lag
uit
bre
ngen
van
het
pro
ces.
Att
itudes
10.Zin
voorkwaliteit
van
dewiskundigere
pre
senta
tie.
Je
heb
tde
gew
oon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
espre
ken
.
11.Kritischezin.
Je
heb
tde
hou
din
gom
ber
eken
inge
n,
bew
erin
gen,
argu
men
teri
nge
nen
reden
erin
gen
nie
tzo
maar
teaa
nva
arden
enov
erte
nem
en.
13.Zelfre
gulatie.
3Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
3Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gspro
ces
teor
iente
ren,
het
pro
ces
tepla
nnen
,het
uit
tevo
eren
enhet
teb
ewake
n.
15.W
aard
eringvoordewiskunde.
Je
toon
tin
zich
tin
de
bij
dra
geva
nde
wis
kunde
incu
lture
le,
his
tori
sche
enw
eten
schap
pel
ijke
ontw
ikke
lingen
.
Pr-
38
PRACTICUM 10
ONDERZOEKSOPDRACHT (3)
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie.
onderzoekscompetenties
verzamelenordenenbewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereiden
uitvoeren
evalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporteren
confronteren ︸︷︷
︸ competentie 3
Deze onderzoeksopdracht is de grootste onderzoeksopdracht uit je practicum wiskunde. Het is de bedoeling datjullie een echt wiskundig onderzoek uitvoeren, en jullie bevindigen rapporteert in een verslag (werkstuk). In debeschrijving van de opdracht krijg je enkele vragen die je kunnen helpen om het onderwerp te onderzoeken. Hierbij ishet noodzakelijk om alle verworven competenties uit de vorige practica te bundelen.
2. Afspraken en tips
Om het denkwerk te verrichten beschik je over een aantal lesuren verspreid over een week. Daarna heb je nog vol-doende tijd om het verslag af te werken. Wellicht zal het nodig zijn om je gedurende die tijd nog enkele keren met jegroep samen te komen.
Daarna volgt er een verdediging. Tijdens een les komt elke groep beurtelings bij de leerkracht (ongeveer 10 minuten).Groepen die niet aan de beurt zijn werken verder aan opgegeven oefeningen.
Richtlijnen bij het onderzoek
3 Opgaven en deeltaken hangen nauw samen. Lees eerst de hele opgave goeddoor. Werk je in groep in, en maak daarna een taakverdeling.
3 Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op de vier stappen uit Prac-ticum 1: Probleemoplossend denken (zie pagina 5): het probleem begrijpen,zoekstrategieen bedenken en een plan opstellen, het plan uitvoeren, controle-ren.
3 Bespreek je werk op meerdere momenten in groep. Herzie eventueel je planning.
3 Ervaring wijst uit dat leerlingen het moeilijk hebben om tot veralgemenin-gen te komen. Veel groepen kijken daarenboven onvoldoende kritisch naar eengevonden resultaat. Tracht een vermoeden ook ten gronde te bewijzen.
3 De leerkracht heeft niet als taak vragen van leerlingen te beantwoorden en zo het denkwerk in hun plaats uit tevoeren. De leerkracht heeft enkel de taak om de teams gemotiveerd te houden. Opvragen van formules aan deleerkracht kan wel (databank-functie). Om je de kans te geven informatie op te zoeken kan de leerkracht enkeleboeken, cursussen of het internet ter beschikking stellen.
Pr-39
Richtlijnen bij het verslag
3 Begin tijdig aan het verslag, je hoeft niet te wachten tot alle lesuren om zijn. Start met het maken van eenstructuur (of ‘kapstok’): welke onderverdelingen bespreek je in het hoofddeel van het verslag?
3 Voor je verslag pas je de structuur, richtlijnen bij wiskundig schrijven en schrijftips uit Practicum 7 toe(zie pagina 25).
3 Let erop dat het verslag geen opeenvolging is van ‘antwoorden op de vraagjes’. Het kan zijn dat jebeter begint met de laatste opgave of een meer ingewikkelde opgave waarvan de vorige vragen een onderdeelvormen. Denk aan de a,b,c,. . . vraagjes die bij een toets op examen vaak bedoeld zijn om je naar het grotereprobleem te gidsen.
3 Het is van groot belang dat het verslag helder leesbaar is. Het is niet altijd eenvoudig om in iemands redeneringte komen. Voor de beoordelaar is het erg belangrijk dat de stappen voldoende uitgewerkt en toegelicht zijn.
3 De leerkracht kan de mogelijkheid geven om - bij wijze van illustratie - werkstukjes van vorige jaren in te kijken(uiteraard handelen die over een ander onderwerp).
3. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding, afspraken en tips en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van vier. In hetbegin van de eerste les krijg je een bundel die het onderwerp en de onderzoeksopdracht beschrijft (pagina’s 142tot en met 145). Tijdens de lessen voer je het onderzoek uit. Het eindresultaat is een werkstuk waarin je hetonderwerp behandelt.
. Typen mag, maar hoeft niet (een getypt verslag kan een meerwaarde zijn). In elk geval nummer je debladen onderaan in het midden.
. Een diepere historische of wiskundige analyse, afbeeldingen, randinformatie en andere relevante creatievevondsten zijn een bonus.
. Per groep een verslag indienen. Het verslag zal verbeterd en gekopieerd worden door de leerkracht.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.
3 Verdediging per groep Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Pr-40
Evaluatiepunten
A.Opbouw
01
23
45
Tit
el,
sam
envatt
ing,
inh
ou
dst
afe
l,in
leid
ing
en
refe
renti
elijs
tD
ele
zer
moet
uit
de
tite
lon
mid
del
lijk
het
onder
wer
pva
nhet
ver
slag
kunnen
hal
en.
De
sam
enva
ttin
gva
nee
nve
rsla
gge
eft
een
over
zich
tva
nhet
onder
zoek
,het
bel
ang
van
het
onder
zoek
enw
atje
eruit
concl
udee
rt.
Inde
inle
idin
gw
ordt
eers
thet
onder
wer
pof
jepro
ble
emst
elling
verd
uid
elij
kt,
enw
ijs
jeop
de
sam
enhan
gtu
ssen
de
hoof
dst
ukke
n.
©©
©©
©©
Hoofd
deel
en
besl
uit
Inhet
hoof
ddee
lst
aan
nie
tal
leen
de
antw
oor
den
opde
gest
elde
vra
gen.
Voor
alm
oet
jede
gev
oer
de
reden
erin
gdie
achte
rel
kan
twoor
dsc
huilt,
wee
rgev
en.
Inhet
bes
luit
grij
pje
teru
gnaa
rje
pro
ble
emst
elling
ofon
der
zoek
svra
aguit
de
inle
idin
g,
engee
fje
aan
opw
elke
man
ier
enin
hoev
erre
jege
slaa
gdb
ent
inje
opze
t.H
ier
hor
enook
ver
gelijk
inge
nm
etge
kende
resu
ltat
en,
opm
erkin
gen
over
met
hodie
k,
teko
rtko
min
gen
ofsu
gges
ties
thuis
.
©©
©©
©©
Tota
al
opb
ouw
:..
./
10
B.In
houd
Doelg
roep
Het
niv
eau
van
het
vers
lag
isgo
edaf
gest
emd
opee
nle
zer
met
wis
kundig
eke
nnis
opniv
eau
van
jouw
studie
rich
ting,
maar
die
het
onder
wer
pen
de
opdra
cht
nie
tke
nt.
Nee
mge
ente
grot
eden
ksp
ronge
n,
maa
rw
eidt
ook
nie
tuit
over
evid
ente
zake
n.
©©
©©
©©
Held
er
en
du
idelijk
Het
vers
lag
is‘g
emak
kelijk
’te
leze
n.
De
leze
rka
nb
egri
jpen
wat
jij
tera
pp
orte
ren
heb
t,en
kan
de
aandach
tbij
het
onder
wer
phou
den
door
geen
nutt
eloz
eaa
ndac
ht
teb
este
den
aan
het
ontr
afel
enva
nee
nsl
echt
opge
bouw
de
zin
ofre
den
erin
g.
©©
©©
©©
Sch
rijf
stij
lH
etve
rsla
gis
geen
opee
nvo
lgin
gva
n‘a
ntw
oor
den
opde
vra
agje
s’,
en‘g
egev
en,
gevra
agd,
oplo
ssin
g’.
Dat
beh
oort
enke
lto
thet
voor
ber
eiden
dw
erk.
Het
vers
lag
zelf
gebru
ikt
een
ander
ein
vals
hoek
.D
epro
ble
emst
elling
isve
rwer
kt
inde
tekst
.©
©©
©©
©
Een
goed
ezin
sbouw
en
corr
ect
Ned
erl
an
ds
zorg
envo
oree
ngo
edle
esbar
ete
kst
.E
enw
eten
schap
pel
ijk
vers
lag
isaller
min
stee
nop
eenvo
lgin
gva
nfo
rmule
s,cr
ypti
sche
codet
aal,
tab
elle
nen
figu
ren.
Ook
de
ver
ban
den
tuss
ende
zinnen
moet
envo
ldoen
de
hel
der
zijn
.©
©©
©©
©
Less
ism
ore
Onth
oud
dat
jeke
nnis
het
bes
tka
nov
erbre
nge
ndoor
een
hel
der
enb
ondig
vers
lag,
dat
leid
tto
thet
opw
ekke
nva
nin
tere
sse
bij
de
leze
r,w
aarn
ahij
zich
acti
efka
nin
leve
nin
het
pro
ble
em.
©©
©©
©©
Maak
jevers
lag
effi
cie
nt
Geb
ruik
jein
jeve
rsla
gfigu
ren,
dan
verw
ijs
jeook
inde
tekst
naa
rdez
efigu
ren,
leg
jeuit
hoe
jedez
eb
ekom
ten
wat
eruit
afte
leid
enva
lt.
©©
©©
©©
Lay-o
ut
Je
heb
taa
ndac
ht
bes
teed
aan
de
lay-o
ut
van
het
ver
slag
.E
enuit
geti
kt
vers
lag
isge
enve
rplich
ting,
wel
een
mee
rwaard
e.N
oodza
kelijk
isdat
de
gebru
ikte
figu
ren
vol
doen
de
duid
elij
kaf
geb
eeld
zijn
.©
©©
©©
©
Wees
cre
ati
ef
en
ori
gin
eel
Zo
kan
jeje
vers
lag
onder
schei
den
van
een
gem
iddel
de
tekst
over
dat
onder
wer
p.
Leg
een
nie
tvo
or
de
hand
liggen
de
link,
nee
mhis
tori
sche
asp
ecte
nop
,b
eden
kee
nre
leva
nte
toep
assi
ng.
Over
dri
jfec
hte
rnie
t:je
ver
slag
isin
de
eers
tepla
ats
een
zake
lijk
ete
kst
.©
©©
©©
©
Tota
al
inhoud:
...
/40
C.Verd
ediging
Sti
jlB
ijde
verd
edig
ing
geef
jeen
kel
antw
oor
den
opde
gest
elde
vra
gen.
Dat
doe
jein
het
alge
mee
nN
eder
lands,
enop
een
hel
der
een
bek
nopte
man
ier.
Zor
gdat
jehet
volled
ige
vers
lag
beh
eers
t.D
atee
nan
der
groep
slid
de
onder
vra
agde
pas
sage
gesc
hre
ven
hee
ft,
isgee
nex
cuus.
©©
©©
©©
Inh
ou
dZ
org
dat
jeov
ertu
igd
ben
tva
nje
antw
oor
d.
Je
atti
tude
‘kri
tisc
he
zin’
spee
lthie
ree
ngr
ote
rol.
Rad
ennaa
rde
oplo
ssin
gis
uit
den
boze
:ke
nje
een
antw
oor
dnie
t,dan
geef
jedat
ook
toe.
Dat
wee
rdhou
dt
jenie
tom
na
teden
ken
omto
chm
etee
ngo
edan
twoord
voor
de
dag
teko
men
.©
©©
©©
©
Tota
al
verd
edig
ing:
...
/10
Tota
al:
...
/60
Pr-
41
Evaluatieform
ulierPracticum
10D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Inhou
del
ijk
Vaa
rdig
hed
en4.
Den
k-
en
red
en
eerv
aard
igh
ed
en
.
3Je
kan
het
onder
schei
dm
aken
tuss
enhoof
d-
enbij
zake
n,
gege
ven
enge
vra
agde,
gege
ven
ente
bew
ijze
n.
3Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
teb
egri
jpen
.
3Je
kan
een
gege
ven
reden
erin
gop
haa
rge
ldig
hei
don
der
zoek
en.
3Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofde
oplo
ssin
gva
nee
npro
ble
emopb
ouw
en:
.je
kan
een
ver
moed
enfo
rmule
ren
enar
gum
ente
ren;
.je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opbas
isva
nee
non
der
zoek
opee
naa
nta
lvo
orb
eeld
en;
.je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
gebru
iken
.
6.
On
derz
oeksv
aard
igh
ed
en
3Je
kan
een
onder
zoek
sop
dra
cht
form
ule
ren
enaf
bak
enen
.
3Je
kan
een
aanpak
pla
nnen
enzo
nodig
opsp
lits
enin
dee
ltak
en.
3Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
.de
waa
rde
van
de
info
rmat
ieb
eoor
del
enin
funct
ieva
nde
opdra
cht;
.de
rela
tie
tuss
enge
geve
ns
enb
ewer
kin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren.
3Je
kan
doel
mat
igee
nw
iskundig
model
sele
cter
enof
opst
elle
n:
.ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
kennen
als
een
wis
kundig
ofee
nst
atis
tisc
hpro
ble
em;
.va
stst
elle
nof
een
model
vold
oet
enhet
even
tuee
lbij
stel
len;
.zo
nodig
bij
kom
ende
info
rmat
ieve
rzam
elen
omhet
aange
wez
enm
odel
tekunnen
han
tere
n.
3Je
kan
bij
een
model
de
pas
sende
oplo
ssin
gsm
ethode
corr
ect
uit
voer
en.
3Je
kan
resu
ltat
enbin
nen
de
conte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
aluer
en.
3Je
kan
reflec
tere
nop
het
gehel
epro
ces,
i.h.b
.op
de
gem
aakte
keuze
nvo
orre
pre
senta
tie
enw
erkw
ijze
.
3Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
onder
zoek
zinvo
lpre
sente
ren,
het
stan
dpunt
argu
men
tere
nen
vers
lag
uit
bre
ngen
van
het
pro
ces.
Att
itudes
10.
Zin
voor
kw
alite
itvan
de
wis
ku
nd
ige
rep
rese
nta
tie.
Je
heb
tde
gew
oon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
espre
ken
.
11.
Kri
tisc
he
zin
.Je
heb
tde
hou
din
gom
ber
eken
inge
n,
bew
erin
gen,
argu
men
teri
nge
nen
reden
erin
gen
nie
tzo
maar
teaa
nva
arden
enov
erte
nem
en.
14.
Zin
voor
sam
enw
erk
ing
en
overl
eg.
3Je
ziet
indat
jem
ogel
ijkhed
enve
rgro
otw
orden
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
npak
.
Evaluatiepunten:
zievorigepagina
Pr-
42
PRACTICUM 11
ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding1
In dit practicum maak je zelfstandig oefeningen tijdens de les, waarbij je gebruikmaakt van oplossingssleutels. Dat lijkt erg handig, maar je moet er wel verstandigmee omgaan. Dat kan het beste als volgt.
Ga ervan uit dat je het meeste leert door zelf de oefeningen uit de cursus te maken.Van de fouten die je daarbij maakt, leer je veel over de leerstof en over jezelf. Maakdie fouten dan ook eerst en bekijk pas daarna de oplossingen of oplossingssleu-tels. Lees dus nooit de oplossingen van tevoren door, want dan leer je zelf niet genoeg.
De modelvoorbeelden uit de cursus laten je zien hoe de aanpak, oplossingsroute(recept) en uitwerkingen van een type oefening er uit zien. Bij het herhalen van je les
wiskunde (elke dag!) bekijk je die voorbeelden dus goed en ga je bij elke stap na of je begrijpt waarom juist die stapgezet wordt.
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (1 les, thuis afwerken) Tijdens de les maak je zelfstandig de reeks oefeningen op pagina 148uit Deel Integralen (bepaalde integralen). Je doet dat aan de hand van de oplossingssleutels op de volgendepagina’s.
3 Verslag Je schrijft je oplssingen op cursusbladen, elke opgave start op een nieuw cursusblad. Je volgt devolgende structuur:
. “Oefening” met nr. opschrijven,
. “Oplossing”.
Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlotkan lezen.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Op het einde van de les.wordt gezegd welke van devier reeksen oefeningen moet indienen. Dat cursusblad voeg je in deze practicumbundel. Nummer die paginaonderaan in het midden (eventuele volgende pagina’s nummeren met 2, 3, etc.). De overige drie oefeningen hoefje niet af te geven. Die kun je later zelf verbeteren.
1Gebaseerd op de studiewijzer uit R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, T.M. van Pelt, wiskunde voor het hoger onderwijs:uitwerkingen, Noordhoff Uitgevers (2009).
Pr-43
Oefeningen - Oplossingssleutels
Oefening 1. Bereken algebraısch de term in de gevraagde Riemann-som, en duid deze aan op een schets:
f(x) =1
xvierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]
Oplossingssleutel.
(i) Maak eerst een schets van de grafiek van f .Omdat [a, b] = [1, 2], kun je je voor het tekenen van de x-as beperken tot het interval [−1, 4] of zelfs [0, 3].
(ii) Er is gevraagd om een vierde term in een rij van Riemann-sommen te berekenen.Je moet het interval [1, 2] dus verdelen in vier lijnstukken van gelijke lengte.Dat wordt dus: [1; 1, 25], [1, 25; 1, 5], [1, 5; 1, 75] en [1, 75; 2].
(iii) Op elk van de vier deelintervallen teken je nu een rechthoek.Linkersom betekent: de hoogte van zo’n rechthoek is de functiewaarde van het getal links in het interval.Dus de eerste rechthoek heeft als basis [1; 1, 25] en als hoogte f(1).
(iv) Bereken nu de Riemann-som R4 met behulp van de formule op pagina 149 (XI-7 midden):
R4 = f(1) · (1, 25− 1) + . . .
(v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma2 curvatur).
Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f(x) = ex.
(a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid?
(b) Bepaal algebraısch de waarde van de aangeduide oppervlakte .
1
2
3
4
1 2 3 4−1
y
x
y = ex
Oplossingssleutel.
(a) (i) De hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van een bepaalde x-waarde.Welke x-waarde neemt men telkens?
(ii) Opgelet: misschien zijn er wel meerdere mogelijkheden voor je antwoord op vraag (a).
(b) (i) Van elke rechthoek bereken je de oppervlakte.Nadien tel je die oppervlaktes op.
(ii) De basis van elke rechthoek is 0, 5.De hoogte is telkens de functiewaarde van een bepaalde x-waarde: f(−1), f(−0, 5), etc.
(iii) Om f(−1), f(−0, 5), etc. te berekenen: gebruik dat f(x) = ex.
(iv) Denk er aan dat men vraagt om de waarde algebraısch te bepalen.Je moet dus de exacte waarde geven.Zo stelt bijvoorbeeld
√2 een exacte waarde voor, en 1, 41 . . . slechts de decimale voorstelling van
√2.
(v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma curvatur).
2Niet standaard voorzien. Gratis downloaden kan via http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/442/44250.html .
Pr-44
Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafische rekenmachine de volgende bepaalde integralen, en maakeen schets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.
(a)
∫ 1
−1x3dx
(b)
∫ 2
−12xdx
(c)
∫ π4
0
tanxdx
Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan,kunnen als volgt te werk gaan
MATH 9:fnInt fnInt(f(x),x,a,b)
Oplossingssleutel.
(a) (i) Volg de stappen in bovenstaande schermafdrukken om de bepaalde integraal te berekenen.
(ii) f(x) = x3 is een elementaire functie, er wordt dus verwacht dat je de grafiek van die functie zonder grafischerekenmachine kan schetsen.
(iii) Duid in je schets van de grafiek van f de relevante georienteerde oppervlakte aan.
(iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.
(b) Analoog aan (a).
(c) Analoog aan (a). De functie in het integrandum is een goniometrische functie, dus zorg ervoor dat je grafischerekenmachine “in radialen staat”, via mode.
Oefening 4. Gegeven is de functie f(x) = 3x.
(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.
(b) Bereken
∫ 1
−13xdx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde
integraal aan in een schets.
Oplossingssleutel.Deze oefening maak je met behulp van Werkwijze 1 op pagina 149 (XI-12).Ze is dan ook gelijkaardig aan de twee modelvoorbeelden op die pagina.
(a) (i) De oppervlaktefunctie A(t) bepaal je uit de voorwaarden A′(t) = f(t) en A(a) = 0.
(ii) Wat is f(t)? Wat is a? Vervang dit in de vorige regel.
(iii) Als je niet meteen weet voor welke functie A(t) geldt dat A′(t) = 3t, denk er dan aan dat de afgeleide van3t “bijna” zichzelf is.Als eerste poging probeer je dus A(t) = 3t uit.
(b) (i) Om de integraal te berekenen met behulp van de oppervlaktefunctie grijp je terug naar Werkwijze 1 oppagina 149 (XI-12).
(ii) Wat is b? Vervang dit.
(iii) Maak een schets van de grafiek van f(x) = 3x, en duid de relevante georienteerde oppervlakte aan.
(iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.
Pr-45
Evaluatieform
ulierPracticum
11D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Inhou
del
ijk
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
3B
ijhet
alge
bra
ısch
man
ipule
ren
van
funct
ievo
orsc
hri
ften
,fo
rmule
s,ve
rgel
ijkin
gen,
etc.
wee
tje
wel
ke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
enden
omto
tee
nre
sult
aat
teko
men
,en
voer
jedez
ete
chnie
ken
corr
ect
uit
.
3Je
kan
de
groot
orde
van
een
resu
ltaa
tgo
edin
schat
ten.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reken
mac
hin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepas
tin
schak
elen
om
een
bew
erkin
guit
tevo
eren
.Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
2.M
eet-en
tekenvaard
igheid.
3G
rafiek
enen
voor
stel
linge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
3Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lings
verm
ogen
.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
achin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepast
insc
hak
elen
om
een
figuur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
linge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
3.W
iskundigeta
alvaard
igheid.
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
vakta
alva
nde
wis
kunde:
.je
ken
tde
bet
eken
isva
nty
pis
che
vakte
rmen
enge
bru
ikt
dez
evo
ldoen
de
corr
ect
(funct
ie,
stel
sel,
etc.
);.
jeke
nt
de
bet
eken
isva
nsp
ecifi
eke
logi
sche
kern
woor
den
enge
bru
ikt
dez
evol
doen
de
corr
ect
(en,
of,
daaru
itvolg
t,vo
or
alle,
etc.
);.
jeb
ent
inst
aat
omee
nom
schri
jvin
gva
nee
nb
egri
pte
form
alis
eren
,en
een
voor
waa
rde
tesy
mb
olis
eren
;.
jehan
teer
tde
vis
uel
evo
orst
ellinge
nw
aar
de
wis
kunde
gebru
ikva
nm
aakt
(gra
fiek
,ta
bel
,et
c.).
3Je
ben
tve
rtro
uw
dm
etde
bes
chri
jven
de
taal
waa
rin
over
het
wis
kundig
han
del
enge
spro
ken
wor
dt
(defi
nit
ie,
eigen
schap,
verk
laar,
ber
eken
alge
bra
ısch
/gra
fisc
h,
teke
n,
contr
uee
r).
3Je
kan
inee
nsi
tuat
iew
iskundig
eb
egri
pp
enher
kennen
enve
rtal
ennaa
rw
iskundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
3Je
kan
vis
uel
ein
form
atie
invo
ldoen
de
mat
ele
zen
enin
terp
rete
ren
(op
een
teke
nin
g,gr
afiek
,dia
gram
).
3Je
ben
tle
esva
ardig
bij
het
leze
nva
nde
tekst
van
opga
ven,
pro
ble
men
envra
agst
ukke
n.
Att
itudes
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e.
3Je
heb
tde
gew
oon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opdra
cht
teru
gte
kij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole,
om
zoto
tnauw
keuri
ge
resu
ltat
ente
kom
en.
3Je
heb
tee
nhou
din
gom
ordel
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen,
aanpak
ken
van
pro
ble
men
).
12.Zelfvertro
uwen
en
zelfstandigheid.
3Je
toon
tze
lfver
trou
wen
,ze
lfst
andig
hei
d,
door
zett
ings
ver
mog
enen
doel
mat
ighei
dbij
het
aanpak
ken
van
pro
ble
men
enop
dra
chte
n.
3Je
ziet
indat
foute
nm
aken
inher
ent
dee
luit
mak
enva
nhet
leer
pro
ces.
Pr-
46
PRACTICUM 12
WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding1
Een wiskundig model is een wiskundige beschrijving van een systeem, vaak een waarneembaar verschijnsel. Het doelvan het model is in om met wiskundige technieken een systematische analyse te maken, om zo inzicht te verwervenin het verschijnsel, en om voorspellingen over het systeem te doen. Dat is de kern van de wetenschap. Het proceswaarbij men een model ontwikkelt noemt men modelleren.
Een model kan nooit een volledig beeld van de werkelijkheid geven. Het is altijd een vereenvoudiging. Een goed modelzoekt een evenwicht tussen eenvoud en nauwkeurigheid: het moet eenvoudig genoeg zijn om mee te kunnenrekenen en zinvolle conclusies te kunnen trekken, en het moet nauwkeurig genoeg zijn om die conclusies betrouwbaarte doen zijn. Als een eenvoudig model een even goede beschrijving van de waarnemingen geeft als een ingewikkeldmodel, dan verdient het eenvoudige model de voorkeur.
Wiskundige modellen worden zowel gebruikt in natuur- en ingenieurswetenschappen (fysica, elektrotechniek, biologie,geologie, meteorologie) als in sociale wetenschappen (economie, psychologie, sociologie, politicologie).
We sommen enkele voorbeelden op.
Italiaans raaigras(Lolium Multiflorum)
3 Plantenteelt (allometrie2) Bij grassen en granen is de groeisnelheid vande wortelmassa vaak anders dan die van de bladmassa. Dit leidt ertoe dat deverhouding tussen beide geleidelijk veranderd als de plant groeit. Observatieswijzen uit dat het verband tussen de wortelmassa w en de spruit s (de groenedelen) vaak gemodelleerd kan worden met de vergelijking
w(s) = c · sk waarbij c, k ∈ R+0
De parameter k noemt men de allometrische constante. Zo geldt voor Italiaansraaigras de waarde k = 1, 12 tot aan de bloei, daarna krijgt k een (lagere)waarde.
3 Econometrie3 In een bedrijf beschouwt men volgende economische groothe-den:
L het arbeidersinkomen,
Z het niet-arbeidersinkomen, kortweg ‘winst’ te noemen,
U de waarde der verkochte consumptiegoederen,
V de waarde der verkochte investeringsgoederen.
Als model neemt men de volgende betrekkingen tussen deze grootheden aan.
(1) De winstvergelijking: Z = U + V − L(2) Een vertraging aangenomen van een tijdseenheid: Vt = βZt−1
(3) De uitgaven voor consumptiegoederen: Ut = Lt + ε1Zt−1 + ε2(Zt−1 − Zt−2)
Hierbij stellen β, ε1 en ε2 parameters die men kan schatten door de grootheden L,Z,U en V te oberveren overeen aantal tijdseenheden.
1Gebaseerd op M. De Gee, Wiskunde in werking deel 2, Epsilon Uitgaven, Utrecht (2002).2Allometrie betekent: Verandering van de verhoudingen van de verschillende lichaamsdelen gedurende de groei.3Uit J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938). Econometrie is
de discipline binnen de economische wetenschap die zich richt op het kwantificeren (het in getallen uitdrukken) van de relaties tusseneconomische grootheden. Econometrie kan het beste worden omschreven als de wetenschap van het economisch modelleren, waarbij eengroot beroep wordt gedaan op technieken uit de wiskunde, de waarschijnlijkheidsrekening en de statistiek. Informatica neemt een belangrijkeplaats in, zowel bij het ontwerp als bij het toetsen en gebruiken van econometrische modellen.
Pr-47
Hieruit kan men achterhalen dat de winst Z op tijdstip t als volgt afhangt van de winst op de twee voorgaandetijdstippen:
Zt = (β + ε1 + ε2)Zt−1 + ε2Zt−2
3 Milieukunde Op grond van waarnemingen vanaf 1970 voorspelde het IPCC (Intergovernmental Panel onClimate Change) dat zonder reductie van de uitstoot van broeikasgassen de gemiddelde temperatuur elke tienjaar met 0, 3◦C zou stijgen. In 1970 was de gemiddelde temperatuur 15◦ C. Een ander model voorspelt eenstijging van de zeespiegel met 65 cm ten opzichte van 1970 niveau als de gemiddelde temperatuur 19◦C is.
Marktpenetratie4van eenherbicide in Iowa
3 Marktkunde Een nieuw product wordt vaak gelanceerd met een reclame-campagne die de eerste gebruikers overhaalt. Daarna volgt vaak nog een fasewaarin het verbruik kan toenemen door mond-tot-mond reclame. Mond-tot-mond reclame werkt als een besmetting, waarin niet-gebruikers het gedrag vangebruikers waarmee ze sociaal contact hebben geleidelijk overnemen. Noemenwe p(t), met 0 ≤ p ≤ 1 de fractie gebruikers binnen de doelgroep op tijdstip t,dan wordt een eenvoudig model gegeven door een zogenaamde logistische functie
p(t) =1
1 + c e−r twaarbij c, r ∈ R+
0
De figuur hiernaast geeft de toename in het gebruik van een nieuw herbicideonder de graanboeren in de Amerikaanse staat Iowa weer, met t de tijd in jaren.De parameters bij deze data zijn geschat als r = 0, 8691 en c = 47, 2797.
3 Natuurkunde (kinematica) Een voorwerp met massa m valt naar beneden. We wensen de snelheid vanhet voorwerp uit te drukken in functie van de tijd t.
. Model I. De versnelling van het voorwerp in functie van de tijd t wordt gemodelleerd door de formulea(t) = g waarbij gelijk is aan de valversnelling. Dit getal g is afhankelijk van de plaats op aarde. In Belgie isg ≈ 9, 91m/s2. Dit model geeft een goede benadering weer van de versnelling van het voorwerp indien men(1) de luchtweerstand verwaarloost, en (2) men het voorwerp op relatief kleine hoogte laat vallen. Integratievan de versnelling geeft de snelheidsfunctie v(t), en een tweede integratie geeft ons de plaatsfunctie. Binnendit model is de snelheid van het voorwerp onafhankelijk van de massa en de vorm van het voorwerp:
a(t) = g
v(t) = v(0) + gt
x(t) = x(0) + v(0)t+1
2gt2
x
y
graf f
H.A. y = 1
H.A. y = −1
de grafiek van de functie f(x) = tanhx
. Model II. Een model dat wel rekening houdt met deluchtweerstand is meer accuraat, maar ook meer ingewik-keld. Binnen zo’n model wordt de snelheidsfunctie be-schreven in termen van de tangens hyperbolicus
v(t) =
√mg
ktanh
(√gk
mt
)
waarbij k een constante is die bepaald wordt door de vormvan het voorwerp en de dichtheid van de lucht. Binnen ditmodel is de snelheid van het voorwerp wel afhankelijk vande massa m. De tangens hyperbolicus staat voor de functie
tanh(x) =ex − e−xex + e−x
De rechte y = 1 is een horizontale asymptoot voor x→ +∞ aan de grafiek van tanh(x), want
limx→+∞
tanh(x) = limx→+∞
ex − e−xex + e−x
=(∞∞)
= limx→+∞
(ex − e−x)/ex
(ex + e−x)/ex= lim
x→+∞1− e−2x1 + e−2x
=1− e−∞1 + e−∞
= 1
Bijgevolg bereikt het voorwerp na verloop van tijd zekere een limietsnelheid, die we wiskudig berekenen als
limt→+∞
v(t) = limt→+∞
√mg
ktanh
(√gk
mt
)=
√mg
ktanh(+∞) =
√mg
k
4Marktpenetratie is de mate waaraan een product of dienst door potentiele klanten bekend is en/of gebruikt wordt, met als formule(aantal gebruikers)/(potentieel aantal gebruikers) ·100. De marktpenetratie geeft dus een indicatie van de groeimogelijkheden in de markt.
Pr-48
Europese lariks(Larix decidua)
3 Bosbouw Een laboratorium aan een universiteit onderzoekt, in opdracht vande vereniging van bosuitbaters, het groeiproces van lariksen (ook wel lork ge-noemd, een geslacht van coniferen). Op 1 januari vorig jaar waren de bomen bijaanplant 80cm groot. Op basis van de hoogtegegevens die tijdens het afgelopenjaar op verschillende tijdstippen werden opgemeten, schat men dat de groei-snelheid (in centimeter per jaar) van de lariksen x jaar na de aanplant gelijk isaan
g(x) = 25 +40
(2 + x
20
)2
Hieruit kan men de hoogte van de lariksen t jaar na de aanplant bepalen, na-melijk als de oorspronkelijke hoogte vermeerdert met de toename van de hoogtesinds 1 januari vorig jaar:
h(t) = 80 +
∫ t
0
g(x) dx
3 Toxicologie, milieuhygiene, veeteelt Een koe heeft gras gegeten dat verontreinigd was met asdeeltjes uiteen afvalverwerkingsinstallatie. Het gif wordt in het vet opgeslagen en verlaat het lichaam weer via de melk.Dagelijks wordt de concentratie gif in de melk gemeten. De waargenomen concentraties in g/m3 zijn te modellerenmet
c(t) = 4te−0,2 t
met t in dagen na het eten van het verontreinigde gras. De koe levert 15 liter melk per dag. De functie G(t)geeft de totale hoeveelheid uitgescheiden gif (in g) als functie van de tijd (in dagen).
UitG′(t) = 0, 06 te−0,2 t
kan men nagaan datG(t) = −0, 3 te−0,2 t − 1, 5 e−0,2t + c waarbij c ∈ R
De integratieconstante c bepaalt men via G(0) = 0.
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum voer je uit in groepen van drie tot vier leerlingen.
1. In groep kies je een van de volgende onderwerpen (zie pagina’s 152 tot en met 157):
Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening
Onderwerp 2. Milieukunde
Onderwerp 3. Celbiologie
Onderwerp 4. Visteelt
Onderwerp 5. Plantenteelt I (gewassen)
Onderwerp 6. Plantenteelt II (kamerplanten)
2. Van het gekozen onderwerp krijg je een model, voorzien van een opgave.
3. In groep los je de vragen op.
3 Verslag (thuis afwerken) Iedereen dient een verslag in, dat bestaat uit cursusblad(en), met de volgendestructuur.
. Onderwerp en opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken.
. “Oplossing.”
. Enkel recto schrijven, cursusbladen onderaan nummeren.
. Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossingvlot kan lezen.
Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient practicumbundel met verslag in.
Pr-49
Evaluatieform
ulierPracticum
12D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Inhou
del
ijk
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
3B
ijhet
alge
bra
ısch
man
ipule
ren
van
funct
ievo
orsc
hri
ften
,fo
rmule
s,ve
rgel
ijkin
gen,
etc.
wee
tje
wel
ke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
enden
omto
tee
nre
sult
aat
teko
men
,en
voer
jedez
ete
chnie
ken
corr
ect
uit
.
3Je
kan
de
groot
orde
van
een
resu
ltaa
tgo
edin
schat
ten.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reken
mac
hin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepas
tin
schak
elen
om
een
bew
erkin
guit
tevo
eren
.Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
2.M
eet-en
tekenvaard
igheid.
3G
rafiek
enen
voor
stel
linge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
3Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lings
verm
ogen
.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
achin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepast
insc
hak
elen
om
een
figuur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
linge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
5.Pro
bleemoplossendevaard
igheden.
3Je
kan
een
pro
ble
emon
tdek
ken
enhet
wis
kundig
beh
oor
lijk
stel
len.
3Je
kan
een
pro
ble
eman
alyse
ren
(onder
schei
dm
aken
tuss
enge
geve
nen
gevra
agde,
verb
anden
legg
entu
ssen
de
geg
even
s,et
c.).
3Je
kan
een
pro
ble
emve
rtal
ennaa
ree
npas
send
wis
kundig
model
(mat
hem
atis
eren
).
3Je
kan
zoek
stra
tegi
een
toep
asse
nbij
het
wer
ken
aan
pro
ble
men
,en
daa
rbij
een
pla
nop
stel
len.
3Je
kan
reflec
tere
nop
de
keuze
van
jezo
ekst
rate
giee
nen
jepla
n.
3Je
kan
jere
sult
aten
contr
oler
enop
hun
bet
rouw
baa
rhei
den
volled
ighei
d.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enge
bru
iken
omw
iskundig
ein
form
atie
tever
wer
ken
enw
iskundig
epro
ble
men
teonder
zoek
en.
7.Leerv
aard
igheden
3Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
3Je
kan
sam
enhan
gende
info
rmat
ieve
rwer
ken.
3Je
kan
info
rmat
iebro
nnen
raad
ple
gen.
3Je
kan
studie
tijd
pla
nnen
.
3Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
sture
n.
Att
itudes
9.Zin
voornauwkeurigheid
en
ord
e.
3Je
heb
tde
gew
oon
teom
na
de
uit
voer
ing
van
een
opdra
cht
teru
gte
kij
ken
als
een
vorm
van
contr
ole,
om
zoto
tnauw
keuri
ge
resu
ltat
ente
kom
en.
3Je
heb
tee
nhou
din
gom
ordel
ijk
ensy
stem
atis
chte
wer
ken
(not
eren
,m
aken
van
oef
enin
gen,
aanpak
ken
van
pro
ble
men
).
14.Zin
voorsa
menwerk
ingen
overleg.
3Je
ziet
indat
jem
ogel
ijkhed
enve
rgro
otw
orden
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
npak
.
Pr-
50
PRACTICUM 13
LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Schaum’s Outline of theory
and problems of differential
and integral calculus 2
Leren uit opgeloste problemen is een manier om je vaardigheid in het zelfstandig op-lossen van oefeningen aanzienlijk te verbeteren. Deze techniek werd gepopulariseerddoor de befaamde Schaum’s Outlines 1, een reeks van werkboeken over diverse onder-werpen in wiskunde, wetenschappen (chemie, natuurkunde, biologie) en talen. Voorwiskunde alleen al bestaan er ruim vijftig zo’n werkboeken, en elk werkboek bevatongeveer 1000 opgeloste problemen, varierend van gemakkelijke basisoefeningen totware hersenkrakers. Daarnaast zijn ook extra problemen opgenomen, met vermeldingvan het eindresultaat.
2. Opdracht
3 Voorbereiding Deze bundel lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee.
Op de volgende pagina’s staan een zestal opgeloste problemen2in verband meteenvoudige differentiaalvergelijkingen. De oplossing is echter wat beknopt op-geschreven (sommige tussenstappen zijn niet vermeld, er worden geen grafiekengemaakt die de redenering kunnen verduidelijken, etc.).
1. In het begin van de (eerste) les toon je met behulp van een kladblad dat je de problemen 1 tot en met 5thuis gelezen en verwerkt hebt.
2. Per twee krijg je een aantal extra problemen (zonder oplossing), zie pagina 160.Door tossen wordt beslist welke reeks je oplost:
Reeks 1: Problemen 7(c) en 10 (biologie)
Reeks 2: Problemen 7(d) en 11 (natuurkunde)
Reeks 3: Problemen 7(b) en 12 (bevolkingsleer)
Reeks 4: Problemen 7(a) en 13 (economie)
Reeks 5: Probleem 14 (besmettingsleer)
Reeks 6: Probleem 15 (sociologie)
3. In groep los je die reeks op. De opgeloste problemen in deze bundel kunnen je daar uiteraard bij helpen!
3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat een exemplaar van de reeks oefeningen. Elk probleem startop een nieuw cursusblad, met de volgende structuur:
. opgave van het probleem netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken;
. oplossing, voorzien van minstens een grafiek die je redenering of oplossing verduidelijkt.
Schrijf je redenering duidelijk op, die gemakkelijk te lezen is. Dit houdt in dat je alle tussenstappen opschrijft.Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel. Nummer die pagina’s onderaan in het midden. De overigeproblemen bewaar je thuis.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elk groepslid dient zijn/haar practicum bundel in.Het verslag steekt in een bundel van een groepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.
1Officiele website: http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145 . Schaum’s Outlines werd bezield door DanielSchaum in de jaren ’50.
1F.Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill (1990).
Pr-51
Toepassingen op onbepaalde integralen:eenvoudige differentiaalvergelijkingen
Als we de vergelijking van een kromme y = f(x) kennen, dan is de helling (i.e. rico van de raaklijn) in een puntP (x, y) aan de kromme gelijk aan m = f ′(x).
Omgekeerd, als de helling van een punt P (x, y) aan een kromme gegeven wordt door m =dy
dx= f ′(x), dan kunnen we
een familie van krommen y = f(x) + c vinden door te integreren. Om een specifieke kromme uit die familie te bepalenmoeten we een bepaalde waarde aan c toekennen. Dit kunnen we doen door bijvoorbeeld te eisen dat die specifiekekromme door een gegeven punt gaat (zie Problemen 1-3).
Opgeloste problemen
Probleem 1. Bepaal de vergelijking van de familie van krommen waarvoor de helling in elk punt gelijk is aan hettegengestelde van het dubbel van de abscis van dat punt. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit diefamilie die het punt A(1, 1) bevat.
Oplossing. We schrijven y = f(x) voor de vergelijking van zo’n kromme. De helling van een punt P (x, y) van de
kromme isdy
dx. De eis is dat die helling gelijk is aan −2x, met andere woorden
dy
dx= −2x. Dus dy = −2x dx, waaruit
∫dy =
∫−2x dx en dus y = −x2 + c . Dit is de vergelijking van een familie van parabolen.
Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(1, 1) bevat. Stellen we x = 1 en y = 1 in devergelijking van deze familie dan bekomen we 1 = −1 + c, waaruit c = 2. De vergelijking van de kromme door het
punt A(1, 1) is dus y = −x2 + 2 .
Probleem 2. Bepaal de vergelijking van een familie van krommen waarvoor de helling in eender welk punt P (x, y)gelijk is aan m = 3x2y. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit die familie die het punt A(0, 8) bevat.
Oplossing. De voorwaarde is datdy
dx= 3x2y, zodat
dy
y= 3x2 dx. Hieruit volgt dat ln |y| = x3 + c. Als y > 0 dan is
ln |y| = x3 + c ⇒ ln y = x3 + c
⇒ eln y = ex3+c
⇒ y = ex3 · ec︸︷︷︸
noem c1
⇒ y = c1 ex3
waarbij c1 > 0
Als y < 0 dan vinden we analoog
ln |y| = x3 + c ⇒ ln(−y) = x3 + c
⇒ eln(−y) = ex3+c
⇒ −y = ex3 · ec
⇒ y = −ec︸︷︷︸noem c2
ex3 ⇒ y = c2 e
x3
waarbij c2 < 0
We kunnen beide gevallen dus samenvatten als y = C ex3
waarbij C ∈ R0 .
Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(0, 8) bevat. Dan moet 8 = C e0, zodat C = 8.
De vergelijking van de kromme door het punt A(0, 8) is dus y = 8 ex3
.
Algemeen. Uit dit probleem onthouden we:
ln |y| = � + c ⇒ y = C e� waarbij C ∈ R0
In de toekomst zullen we deze stap meteen uitvoeren (zonder de gevallen y > 0 en y < 0 afzonderlijk tebespreken).
Pr-52
Probleem 3. In elk punt P (x, y) van een kromme geldt dat y′′ = x2 − 1. Bepaal de vergelijking van die krommeals bovendien gegeven is dat Q(1, 1) behoort tot de kromme, en de raaklijn in Q aan die kromme gegeven wordt doorx+ 12y = 13.
Oplossing. Hier isd2y
dx2=
d
dx(y′) = x2 − 1. Dus
∫d
dx(y′) dx =
∫(x2 − 1) dx en y′ =
1
3x3 − x+ c1.
In het punt Q is de helling gelijk aan de helling van de gegeven rechte, en dus gelijk aan − 1
12. Dus − 1
12=
1
3− 1 + c1,
waaruit we vinden dat c1 =7
12. Dus y′ =
dy
dx=
1
3x3 − x+
7
12, en integreren levert
∫dy =
∫ (1
3x3 − x+
7
12
)dx waaruit y =
1
12x4 − 1
2x2 +
7
12x+ c2
Eisen dat Q tot de kromme behoort levert 1 =1
12− 1
2+
7
12+ c2 en dus is c2 =
5
6. De vergelijking van de gezochte
kromme is dus y =1
12x4 − 1
2x2 +
7
12x+
5
6.
Probleem 4. Een hoeveelheid q hangt af van de tijd t. Bovendien is op elk moment de mate waarin die hoeveelheidtoeneemt een vast veelvoud van de waarde van die hoeveelheid op dat moment. Voor t = 0 is q = 25, en voor t = 2 isq = 75. Bepaal q als t = 6.
Oplossing. De mate van de toename van q op tijdstip t is gelijk aan de afgeleide q′(t) =dq
dt. Voor elk moment t is dus
dq
dt= k q voor een zekere k ∈ R, waaruit
dq
q= k dt. Integreren levert ln |q| = kt + c. Wegens Algemeen op de vorige
pagina kunnen we dit herschrijven als q = C ekt waarbij C ∈ R0.
3 Als t = 0 dan is q = 25 = C e0 dus C = 25.
3 Als t = 2 dan is q = 75 = 25 e2k. Dus e2k = 3, waaruit volgt dat k =ln 3
2= 0, 54 . . ..
Uiteindelijk, als t = 6 dan is q = 25 e3 ln 3 = 675 .
Probleem 5. Een stof A wordt omgezet in een andere stof B aan een snelheid die evenredig is aan de hoeveelheidniet-omgezette stof A. Als de hoeveelheid van A oorspronkelijk gelijk is aan 50, en op t = 3 gelijk is aan 25, wanneer
zal er slechts1
10van de stof A overblijven?
Oplossing. Noem q de hoeveelheid (omgezette) stof B op tijdstip t. Dan isdq
dt= k(50 − q) voor een zekere k ∈ R,
waaruitdq
50− q = k dt zodat ln(50− q) = −kt+ c of nog 50− q = C e−kt
waarbij C ∈ R0. Dus q = 50− C e−kt.3 Als t = 0 dan is q = 0 = 50− C e0 en zo vinden we dat C = 50.
3 Als t = 3 dan is q = 25 = 50− 50 e−3k en dus is k =ln 2
3= 0, 23 . . .
We zoeken nu het tijdstip t waarvoor q = 45 = 50−50 e−(t ln 2)/3. Een eenvoudige berekening leert dat t = 9, 9657 . . . .
?Probleem 6. De snelheid waarmee water uit een “klein” gaatje in een watertank stroomt is gelijk aan√
2gh, metg = 9, 81m/s2 en h de afstand van het gaatje tot de oppervlakte van het water in de tank. Bepaal de tijd die eencilindervormige (rechtopstaande) tank met een hoogte van 5 meter en straal 1 meter nodig heeft om leeg te lopen, alsmen onderaan een gat met straal 1cm maakt.
Oplossing. Noem h de hoogte van het waterniveau op tijdstip t. In een tijdspanne dt ontsnapt er een kleine cilinderwater uit het gaatje, met hoogte v dt en straal 0, 01m. Zo’n kleine cilinder water heeft dus volume van π(0, 01)2v dt =π(0, 01)2
√2gh dt kubieke meter.
In een tijdspanne dt zal het waterniveau zakken met afstand dh. Het volume zal dus “toenemen” met −π · 12 dhkubieke meter. Hieruit volgt dat
π(0, 01)2√
2gh dt = −π · 12 dh waaruit dt = −10000√2g
dh√h
en dus t = −20000√2g
√h+ c
Voor t = 0 is h = 5 dus c ≈ 10096, 38. De tank is leeg als h = 0, en dan is t ≈ −20000√2g
√0 + 10096, 38 = 10096, 38 dus
ongeveer 168, 25 minuten .
Pr-53
Evaluatieform
ulierPracticum
13D
oel
stel
linge
nB
eoor
del
ing
Com
men
taar
Inhou
del
ijk
Vaa
rdig
hed
en1.Rekenvaard
igheid.
3B
ijhet
alge
bra
ısch
man
ipule
ren
van
funct
ievo
orsc
hri
ften
,fo
rmule
s,ve
rgel
ijkin
gen,
etc.
wee
tje
wel
ke
tech
nie
ken
jem
oet
aanw
enden
omto
tee
nre
sult
aat
teko
men
,en
voer
jedez
ete
chnie
ken
corr
ect
uit
.
3Je
kan
de
groot
orde
van
een
resu
ltaa
tgo
edin
schat
ten.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reken
mac
hin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepas
tin
schak
elen
om
een
bew
erkin
guit
tevo
eren
.Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
ber
eken
inge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
2.M
eet-en
tekenvaard
igheid.
3G
rafiek
enen
voor
stel
linge
nva
nvla
kke
enru
imte
figu
ren
teke
nje
nau
wkeu
rig.
3Je
heb
tru
imte
lijk
voor
stel
lings
verm
ogen
.
3Je
kan
ICT
-hulp
mid
del
enzo
als
het
grafi
sch
reke
nm
achin
eof
een
com
pute
rrek
enpak
ket
gepast
insc
hak
elen
om
een
figuur
teb
ekom
en.
Je
gaat
ook
kri
tisc
hom
met
de
voor
stel
linge
ndie
jem
etIC
Tb
ekom
enheb
t.
4.Denk-en
redeneerv
aard
igheden.
3Je
kan
het
onder
schei
dm
aken
tuss
enhoof
d-
enbij
zake
n,
gege
ven
enge
vra
agde,
gege
ven
ente
bew
ijze
n.
3Je
ben
tin
staa
tee
nre
den
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
teb
egri
jpen
.
3Je
kan
een
gege
ven
reden
erin
gop
haa
rge
ldig
hei
don
der
zoek
en.
3Je
kan
een
reden
erin
gof
argu
men
teri
ng
bij
een
eige
nsc
hap
ofde
oplo
ssin
gva
nee
npro
ble
emopb
ouw
en:
.je
kan
een
ver
moed
enfo
rmule
ren
enar
gum
ente
ren;
.je
kan
een
eige
nsc
hap
form
ule
ren
opbas
isva
nee
non
der
zoek
opee
naa
nta
lvo
orb
eeld
en;
.je
kan
bij
het
opb
ouw
enva
nee
nre
den
erin
gee
nIC
T-h
ulp
mid
del
gebru
iken
.
7.Leerv
aard
igheden
3Je
kan
loss
ege
geve
ns
verw
erke
n.
3Je
kan
sam
enhan
gende
info
rmat
ieve
rwer
ken.
3Je
kan
info
rmat
iebro
nnen
raad
ple
gen.
3Je
kan
studie
tijd
pla
nnen
.
3Je
kan
jeei
gen
leer
pro
ces
bij
sture
n.
Att
itudes
10.Zin
voorkwaliteit
van
dewiskundigere
pre
senta
tie.
Je
heb
tde
gew
oon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
espre
ken
.
13.Zelfre
gulatie.
3Je
toon
tee
non
der
zoek
sger
ichte
hou
din
gte
naa
nzi
enva
nfe
iten
,op
gave
nen
pro
ble
men
.
3Je
ben
tin
staa
tom
jein
een
oplo
ssin
gspro
ces
teor
iente
ren,
het
pro
ces
tepla
nnen
,het
uit
tevo
eren
enhet
teb
ewake
n.
Pr-
54
PRACTICUM 14
EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
1. Inleiding
Het presenteren van resultaten is o.a. voor wetenschappers een belangrijk onderdeelvan hun werk. Een presentatie kan dienen om een uitgevoerd werk, project, ideeenof conclusies aan anderen kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderenvan je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten.Het mag duidelijk zijn dat een presentatie tot in de puntjes verzorgd moet zijn; nietalleen qua voorkomen, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard quainhoud. In je hogere studies en latere werkomgeving zul je meer dan waarschijnlijknog vaak (wetenschappelijke) presentaties moeten geven.
Wat is nu een wetenschappelijke presentatie? Het is een informatieve voor-dracht, waarbij je op een zakelijke manier rapporteert over een onderwerp met eenwetenschappelijke ondertoon: een statistisch onderzoek, een chemisch experiment,een wiskundig probleem, etc. Een presentatie moet
3 een hoofdboodschap bevatten,
3 eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,
3 een logische structuur hebben, en
3 gemakkelijk te volgen zijn.
Hiermee bedoelen we dat het publiek snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van je verhaal. Het is nietaan de toehoorder om je voordracht verschillende keren te moeten horen om te achterhalen wat je bedoelt.
De vorm van een exact-wetenschappelijke voordracht is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een taalkundigepresentatie. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijke voordracht uit, en tonen met enkeletips hoe je je optimaal kan voorbereiden en de slaagkansen van je presentatie kan vergroten.
Opbouw
In principe heeft een wetenschappelijke presentatie de volgende structuur 1:
Titel
Inleiding
Hoofddeel
Besluit
Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd.
Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de pre-sentatie kunnen halen. Een titel als ’Voordracht practicum ecologie’ is te algemeen. Formuleringen als ’studie van’ of’onderzoek naar’, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden.
NIET: ‘Practicum 13 mei 2011’ of ‘Oefening 28 pagina 40’
WEL: ‘Het probleem van de 36 officieren’ of ‘Duiventilprincipe’
1Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieelonderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag of presentatie uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methodeen materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: Anintroduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.
Pr-55
Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is, en in welke context ofgeheel het kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorderinzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeelzal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek.
Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren,te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel jemeer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen. Eventueel kun je een aspect wat meer doorgronden, en eenredenering maken die typisch is voor het onderwerp.
Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Jegeeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekenderesultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek.
Voorbereiding
Een succesvolle presentatie begint met een goede voorbereiding. Om een presentatie in de steigers te zetten, doorloopje de volgende fasen2:
Ontwerp
1. Bepaal het doel.
2. Bepaal de hoofdboodschap.
3. Werk de structuur inhoudelijk uit.
4. Bepaal de verhaallijn.
5. Ontwerp een structuurdia.
Uitwerking
6. Maak een nieuwe presentatie aan.
7. Zet het geraamte op.
8. Maak beeldende dia’s.
Als extra ondersteuning bij het voorbereiden en aanmaken van je powerpoint bieden we je tien tips 3 aan.
Tip 1. Ken je publiek. Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders. Probeerte ontdekken waar je boodschap samenvalt met de interesse van het publiek. Op dat raakvlak liggen namelijkde aanknopingspunten voor een boeiende presentatie. Breng je publiek in beeld met de volgende vragen:
3 Wat weten de toehoorders van het onderwerp?
3 Wat zijn de verwachtingen?
3 Welk belang heeft het publiek bij je verhaal?
3 Welk inhoudelijk niveau kunnen ze aan?
Pik in op wat de gemiddelde toehoorder weet, en breng hem als het ware naar een hoger niveau. Je publiek onder-schatten leidt tot verveling, overschatten zorgt ervoor dat ze afhaken.
NIET: ‘From somewhere to nowhere’ of ‘From nowhere to nowhere’
WEL: ‘From nowhere to somewhere’
Tip 2. Let je doelstellingen vast. Probeer je doelstelling te omschrijven in termen van eindresultaten. Bedenkwat het publiek na jouw presentatie minimaal moet onthouden. Wees realistisch in je ambities. Er is een grens aande hoeveelheid informatie die de toehoorders in korte tijd kunnen verwerken. Beperk je tot informatie die voor hetpubliek van belang is. Niet alles wat je weet, is van belang voor je publiek.
NIET: Wat wil ik kwijt?
WEL: Wat wil mijn publiek weten?
Tip 3. Leg een hoofdboodschap vast. Aan de hand van je doelstellingen formuleer je een kernboodschap. Diekun je al bij je eerste slides vermelden. Nuttig is om die hoofdboodschap enkele keren tijdens je presentatie herhalen.Uiteraard komt die ook nog eens op het einde van je presentatie aan bod.
TEST: Vraag een toehoorder drie dagen nadien: ‘Wat heb je van mijn voordracht onthouden?’
2M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2006).3Gebaseerd op Philip E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.
doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007) en http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .
Pr-56
Tip 4. Less is more. Een veelvoorkomende fout bij sprekers is dat ze teveel willen vertellen. Ze vinden het nodigom van meet af aan te bewijzen dat ze veel weten. Bijgevolg gaat de kernboodschap verloren, en kun je zelfs intijdsnood komen. Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een heldere en bondige presentatie, die leidttot een dialoog tijdens het vragenmoment waarbij de toehoorders actieve deelnemers worden. Op dat moment zalwel duidelijk worden dat je veel over het onderwerp weet. Als er op het einde van je presentatie geen vragen gesteldworden, dan is dat eerder een slecht signaal: hoogstwaarschijnlijk was je presentatie dan onduidelijk of afgezaagd.
Tip 5. Maak je Powerpoint efficient. Een dia dient enkel
3 om het publiek te prikkelen,
3 om structuur te brengen in wat je zegt (kernwoorden),
3 als aanvulling op wat je zegt.
Breng je teveel tekst op je dia’s aan, dan zal het publiek zich eerder bezig houden met het lezen van de tekst in plaatsvan naar jou te luisteren. Reken per dia minstens een minuut.Wat de lay-out van je dia’s betreft, opteer voor kleuren met maximaal contrast (donkere op wit of wit op zwart).Vermijd een gekleurde tekst op een gekleurde achtergrond. Om kernwoorden in de verf te zetten gebruik je bestcontrast en grootte in plaats van kleur.
NIET: Een Powerpoint vervangt de spreker.
WEL: Een Powerpoint ondersteunt de spreker.
Tip 6. Oefen je presentatie in. Zeker bij je allereerste voordrachten. Let daarbij ook op de timing. Even belangrijkis om je te houden aan wat je voorbereid hebt. Helemaal uit den boze is spreken over zaken waar het publiek meervanaf weet dan jij. Een belangrijke voordracht geef je best eerst aan een kleine, informele groep (enkele medeleerlingenof ouders). Hou rekening met de kritiek die je krijgt.
TEST: Film jezelf tijdens het geven van een voordracht, en leer daaruit.
Presenteren
Of een presentatie slaagt, hangt niet alleen af van de inhoud van je betoog maar ook van de manier waarop je deboodschap overbrengt. De beste maatstaf hiervoor is de interactie met het publiek, tijdens en na de voordracht.Onthoud dat het hoofddoel van een presentatie is: het publiek doen nadenken over wat je brengt.
Tip 7. Wees jezelf. Presentaties horen onderhoudend en vermakelijk te zijn, maar overdrijf niet en ken je grenzen.Als humor je niet ligt, probeer dan niet om grappig te zijn. Als je niet goed bent in het vertellen van anekdotes,vertel er dan geen. Een goede entertainer is hij die erin slaagt het publiek mee te hebben en de kernboodschap kanoverbrengen.
Tip 8. Hou je aan de voorziene tijd. Het is onbeleefd om je niet aan de voorziene tijd te houden. Vaak wordtje in zo’n geval ook aangemaand om af te ronden, en dat kan je voordracht wat overschaduwen. Mocht je toch intijdsnood komen, klik je dia’s door en laat het publiek lezen.
Tip 9. Woord van dank. Vermeld de mensen met wie je samengewerkt hebt. Dat hoeft niet noodzakelijk op heteinde van de voordracht te gebeuren, vaak doet die gelegenheid zich ook voor bij de inleiding of tijdens het hoofddeelvan de presentatie. Is je voordracht er op uitnodiging gekomen, bedank dan ook de organisator of het instituut die jedie kans gegeven heeft.
Tip 10. Zijn er nog vragen? Eindigen in stijl betekent: na je besluitvorming het publiek bedanken voor de aan-dacht. Neem het applaus in ontvangst, en begin niet meteen op te ruimen. Indien je voordracht kadert in een reeksvoordrachten (zoals bij een congres), dan zal iemand van de organisatie het publiek uitnodigen om vragen te stellen.In het andere geval doe je dat zelf, na het applaus.
Hoe kun je omgaan met vragen?
3 Herhaal of herformuleer de vraag. Niets is zo vervelend om na een antwoord te constateren dat de vraagstelleriets anders bedoelde.
3 Hou je antwoord terzake, kort en bondig.
3 Wees niet niet arrogant, stel je niet vijandig op. Dreigt de situatie te escaleren, zeg dan “Misschien koppelen wedit gesprek beter los van de voordracht, we praten straks verder.”
NIET: Dat weet ik niet.
WEL: Interessante vraag, daar moet ik langer over nadenken.
Pr-57
Verantwoording
De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd[34, p.77]:
OC1 Zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.
OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.
OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.
In dit practicum komen vooral de eerste en de derde eindterm aan bod.
onderzoekscompetenties
verzamelenordenenbewerken
︸︷︷
︸
competentie 1
voorbereidenuitvoerenevalueren
︸︷︷
︸competentie 2
rapporteren
confronteren ︸︷︷
︸ competentie 3
2. Opdracht
3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).
Het wiskunde boek 4
3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum wordt uitgevoerdin groepen van . . . leerlingen. In het begin van de les krijgt elke groep 15 tot20 onderwerpen uit nevenstaand boek. Elk onderwerp is voorzien van een halvepagina tekst en een mooie illustratie. De leerkracht kan een inkijkexemplaarvan het boek vooraan in de klas leggen.
Jullie nemen de onderwerpen door, en beslissen in groep over welk onderwerpjullie een presentatie willen maken (duur: . . . minuten).
Daarna doorlopen jullie de stappen bij het ontwerpen van een presentatie: welkedoelstellingen willen we bereiken, welke kernboodschap willen we meegeven, etc.
Jullie presentatie beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de tipszo goed mogelijk tracht na te leven.
Na de les(sen) krijgen jullie voldoende tijd om dit practicum af te wer-ken. Afspreken buiten de schooluren kan moeilijk liggen. Daarom maken
jullie op het einde van de eerste les enkele concrete afspraken, aan de hand van de volgende tabel (vul in):
Taak Wie? Tegen wanneer?
Extra informatie opzoeken (internet),in document plaatsen en doorsturen naar de anderen.
Uit dit document informatie selecteren voor presentatie,doorsturen naar de anderen.
Ontwerpen van een structuurdia,doorsturen naar de anderen.
Maken van een eerste versie van de presentatie,doorsturen naar de anderen.
Afdrukken van de finale versie van de presentatie,indienen in de practicumbundel (datum: zie practicum indienen).
Finale versie van de presentatie op stick zetten,meebrengen naar de les (datum: zie presentatie geven).
Geven van de presentatie.
3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid drukt de dia’s af en dient ze in. Daar-naast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina 164).
3 Presentatie geven Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Maximaal . . . minuten.
4C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010).
Pr-58
Evaluatieform
ulierPracticum
14D
oel
stel
lin
gen
Beo
ord
elin
gC
om
men
taar
Inh
oud
elij
k
Vaa
rdig
hed
en6.
On
derz
oeksv
aard
igh
ed
en
3Je
kan
een
ond
erzo
ekso
pd
rach
tfo
rmu
lere
nen
afb
aken
en.
3Je
kan
een
aanp
akp
lan
nen
enzo
nod
igop
spli
tsen
ind
eelt
aken
.
3Je
kan
info
rmat
iever
wer
ken
enop
rele
vanti
ese
lect
eren
:
.d
ew
aard
eva
nd
ein
form
atie
beo
ord
elen
infu
nct
ieva
nd
eop
dra
cht;
.d
ere
lati
etu
ssen
gege
ven
sen
bew
erkin
gen
opzo
eken
enin
terp
rete
ren
.
3Je
kan
doel
mat
igee
nw
isku
nd
igm
od
else
lect
eren
ofop
stel
len
:
.ee
non
der
dee
lva
nee
nop
dra
cht
her
ken
nen
als
een
wis
kun
dig
ofee
nst
atis
tisc
hp
rob
leem
;.
vast
stel
len
ofee
nm
od
elvo
ldoet
enh
etev
entu
eel
bij
stel
len
;.
zon
od
igb
ijkom
end
ein
form
atie
verz
amel
enom
het
aan
gew
ezen
mod
elte
ku
nn
enh
ante
ren
.
3Je
kan
bij
een
mod
eld
ep
asse
nd
eop
loss
ings
met
hod
eco
rrec
tu
itvo
eren
.
3Je
kan
resu
ltat
enb
inn
end
eco
nte
xt
bet
eken
isge
ven
enze
daa
rin
kri
tisc
hev
alu
eren
.
3Je
kan
refl
ecte
ren
oph
etge
hel
ep
roce
s,i.
h.b
.op
de
gem
aakte
keu
zen
voor
rep
rese
nta
tie
enw
erkw
ijze
.
3Je
kan
het
resu
ltaa
tva
nhet
ond
erzo
ekzi
nvo
lp
rese
nte
ren
,h
etst
and
punt
argu
men
tere
nen
vers
lag
uit
bre
ngen
van
het
pro
ces.
8.
Refl
ecti
evaard
igh
ed
en
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
aan
pak
van
jew
erk
enje
stu
die
s.
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
jele
erp
roce
sen
jein
zet
(lei
den
zeto
th
etb
erei
ken
van
de
doel
stel
lin
g?).
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
effici
enti
eva
nje
wer
ken
enje
lere
n.
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
ster
keen
de
zwak
keel
emen
ten
ind
eu
itvo
erin
gva
nje
opd
rach
t.
3Je
kan
jere
flec
tie
concr
eet
mak
end
oor
een
pla
nva
nve
rbet
erin
gop
test
elle
n(w
elke
elem
ente
nw
ord
engeb
ruik
tom
het
lere
nen
wer
ken
teve
rbet
eren
?).
3Je
kan
refl
ecte
ren
over
de
geza
mel
ijke
aan
pak
enov
erle
gb
ijee
ngr
oep
sop
dra
cht.
Att
itu
des
10.
Zin
voor
kw
ali
teit
van
de
wis
ku
nd
ige
rep
rese
nta
tie.
Je
heb
td
ege
woon
teom
jege
dac
hte
nb
ehoor
lijk
teve
rwoor
den
,en
de
voor
-en
nad
elen
van
een
bep
aald
ew
erkw
ijze
teb
esp
reken
.
14.
Zin
voor
sam
enw
erk
ing
en
overl
eg.
3Je
ziet
ind
atje
mog
elij
kh
eden
verg
root
wor
den
door
het
sam
enw
erke
nm
etan
der
en.
3Je
toon
tap
pre
ciat
ievo
oree
nan
der
eop
loss
ing
ofaa
np
ak.
15.
Waard
eri
ng
voor
de
wis
ku
nd
e.
Je
toon
tin
zich
tin
de
bij
dra
geva
nd
ew
isku
nd
ein
cult
ure
le,
his
tori
sch
een
wet
ensc
hap
pel
ijke
ontw
ikke
lin
gen
.
Evaluatiepunten:
zievolgendepagina
Pr-
59
Evaluatiepunten
A.Opbouw
01
23
45
Tit
el
De
keu
zeva
nd
eti
tel
isn
iet
onb
elan
grij
k.
De
leze
rm
oet
uit
de
tite
lon
mid
del
lijk
het
ond
erw
erp
van
de
pre
senta
tie
ku
nnen
hal
en.
Een
tite
lal
s’V
oor
dra
cht
pra
ctic
um
ecol
ogie
’is
teal
gem
een
.F
orm
ule
rin
gen
als
’stu
die
van
’of
’on
der
zoek
naar
’,m
aar
ook
afko
rtin
gen
,fo
rmu
les
ofm
erkn
amen
wor
den
bes
tve
rmed
en.
©©
©©
©©
Inle
idin
gIn
de
inle
idin
gw
ord
tve
rdu
idel
ijkt
wat
het
ond
erw
erp
ofd
ep
rob
leem
stel
lin
gis
,en
inw
elke
conte
xt
ofgeh
eel
het
kad
ert.
Intw
eed
ein
stan
tie
ku
nje
de
opb
ouw
van
jep
rese
nta
tie
toel
ichte
n.
De
bed
oel
ing
isd
atd
eto
ehoor
der
inzi
cht
kri
jgt
inh
etge
stel
de
pro
ble
emen
de
aan
pak
erva
n.
Idea
alis
dat
jeen
kele
vra
gen
stel
td
ieje
inje
het
hoof
dd
eel
zal
bea
ntw
oor
den
.D
atst
imu
leer
td
eaan
dac
ht
van
het
pu
bli
ek.
©©
©©
©©
Hoofd
deel
Inh
oud
elij
kis
dit
het
bel
angr
ijkst
ed
eel
van
de
voor
dra
cht.
De
and
ere
del
end
ien
enom
test
ruct
ure
ren
,te
duid
enen
het
over
zich
tte
bew
aren
.H
eth
oof
dd
eel
omva
th
etei
gen
lijk
gep
rest
eerd
ew
erk.
Ind
itd
eel
vert
elje
mee
rd
anal
leen
de
antw
oord
enop
eerd
erges
teld
evra
gen
.E
ventu
eel
ku
nje
een
asp
ect
wat
mee
rd
oor
gron
den
,en
een
red
ener
ing
mak
end
iety
pis
chis
voor
het
ond
erw
erp
.
©©
©©
©©
Besl
uit
Inh
etb
eslu
itgr
ijp
jete
rug
naa
rje
pro
ble
emst
elli
ng,
ond
erzo
eksv
raag
ofker
nb
ood
sch
apu
itd
ein
leid
ing.
Je
geef
took
aan
opw
elke
man
ier
enin
hoev
erre
jege
slaa
gdb
ent
inje
opze
t.H
ier
hor
enook
verg
elij
kin
gen
met
geke
nd
ere
sult
aten
,op
mer
kin
gen
over
met
hod
iek,
tekor
tkom
ingen
ofsu
gges
ties
voor
verd
eron
der
zoek
.
©©
©©
©©
Tota
al
op
bouw
:..
./
20
B.Voorb
ereiding
Ken
jep
ub
liek
Het
ises
senti
eel
omje
pre
senta
tie
afte
stem
men
oph
etniv
eau
van
de
toeh
oor
der
s.©
©©
©©
©H
oofd
bood
sch
ap
Ish
etac
hte
raf
du
idel
ijk
wat
de
hoof
db
ood
sch
apva
nd
ep
rese
nta
tie
was
?©
©©
©©
©L
ess
ism
ore
Onth
oud
dat
jeke
nn
ish
etb
est
kan
over
bre
nge
nd
oor
een
hel
der
een
bon
dig
ep
rese
nta
tie,
die
leid
tto
tee
nd
ialo
ogti
jden
sh
etvra
gen
mom
ent
waa
rbij
de
toeh
oor
der
sac
tiev
ed
eeln
emer
sw
ord
en.
©©
©©
©©
Maak
jeP
ow
erp
oin
teffi
cie
nt
Pri
kke
len
van
het
pu
bli
ek,
nie
tte
veel
tekst
opd
ed
ia’s
,la
y-o
ut,
geen
verv
angen
de
maa
ron
der
steu
nd
end
efu
nct
ie.
©©
©©
©©
Tot
aal
voorb
erei
din
g:
...
/20
C.Presenteren
Wees
jezelf
Pre
senta
ties
hor
enon
der
hou
den
den
ver
mak
elij
kte
zijn
,m
aar
over
dri
jfn
iet
enke
nje
gren
zen
.A
lshu
mor
jen
iet
ligt
,p
rob
eer
dan
nie
tom
grap
pig
tezi
jn.
Als
jen
iet
goed
ben
tin
het
vert
elle
nva
nan
ekd
otes
,ve
rtel
erd
ange
en.
Een
goed
een
tert
ain
eris
hij
die
erin
slaa
gt
het
pu
bli
ekm
eete
heb
ben
end
eke
rnb
ood
sch
apka
nov
erb
ren
gen
.
©©
©©
©©
Hou
jeaan
de
voorz
ien
eti
jdH
etis
onb
elee
fdom
jen
iet
aan
de
voor
zien
eti
jdte
hou
den
.V
aak
word
tje
inzo
’nge
val
ook
aan
gem
aan
dom
afte
ron
den
,en
dat
kan
jevo
ord
rach
tw
atov
ersc
had
uw
en.
Moch
tje
toch
inti
jdsn
ood
kom
en,
kli
kje
dia
’sd
oor
enla
ath
etp
ub
liek
leze
n.
©©
©©
©©
Woord
van
dan
kV
erm
eld
de
men
sen
met
wie
jesa
men
gew
erkt
heb
t.D
ath
oef
tn
iet
nood
zake
lijk
oph
etei
nd
eva
nd
evo
ord
rach
tte
geb
eure
n,
vaak
doet
die
gele
gen
hei
dzi
chook
voor
bij
de
inle
idin
gof
tijd
ens
het
hoof
dd
eel
van
de
pre
senta
tie.
©©
©©
©©
Zij
ner
nog
vra
gen
/om
gaan
met
vra
gen
Ein
dig
enin
stij
lb
etek
ent:
na
jeb
eslu
itvo
rmin
gh
etp
ub
liek
bed
anken
voor
de
aan
dac
ht.
Nee
mh
etap
pla
us
inon
tvan
gst,
enb
egin
nie
tm
etee
nop
teru
imen
.In
die
nje
voor
dra
cht
kad
ert
inee
nre
eks
voor
dra
chte
n,
dan
wor
dt
het
pu
bli
eku
itge
nod
igd
omvra
gen
test
elle
n.
Inh
etan
der
ege
val
doe
jed
atze
lf,
na
het
app
lau
s.
©©
©©
©©
Tot
aal
pre
sente
ren
:..
./
20
Tota
al:
...
/60
Pr-
60
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
Zelfevaluatiekaart Practicum 1
Zelfevaluatie
3 Kruis aan wat van toepassing is;
3 gebruik deze checklist om bij te sturen waar nodig.
Proces Aandachtspunten + +/- -
Opdracht . duidelijk
. boeiend
Bronnen . betrouwbaar
. gevarieerd
. doeltreffend
. voldoende
Materiaal . voldoende
. gevarieerd
. doeltreffend
. alle aspecten
Groepswerk . doeltreffend
. iedereen heeft zijn/haar deel gedaan
. afspraken nageleefd
. aangenaam
. boeiend
Product(verslag)
Aandachtspunten + +/- -
. logisch opgebouwd
. hoofdzaken onderscheiden van bijzaken
. terzake
. helder en aantrekkelijk taalgebruik
. boeiend
. persoonlijk
. rekening gehouden met doelpubliek
. begrippenlijst
. bronnenlijst
Conclusies
3 Bekijk aandachtig je minpunten, welke aspecten verdienen meer aandacht?Vraag hulp aan je leeraar of medeleerlingen, indien nodig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Wat zijn je grootste troeven? Hoe ga je die in de verf zetten?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A-62
Niveau 1�
1p.Opgave 1. Als x2 = x+ 3, dan is x3 gelijk aan
© x+ 6
© 4x+ 3
© 4x2 + 3
© x2 + 3x+ 3
© x2 + 27�
1p.Opgave 2. Als alog b = 64, dan is a2
log (b3) gelijk aan
© 16
© 48
© 128/3
© 96
© 512�
1p.Opgave 3. Definieer de bewerking ∆ door a∆b = ab+ b. Dan is (3∆2)∆(2∆3) gelijk aan
© 72
© 73
© 80
© 81
© 90�
1p.Opgave 4. Het gemiddelde van a en 2b is 7, het gemiddelde van a en 2c is 8. Wat is het gemiddelde van a, b en c?
© 3
© 4
© 5
© 6
© 9�
1p. Opgave 5. Los de vergelijkingrs2a4
u=
√u
8sa2op naar u.
© 64r2s6a12
© 43√r2s2a4
© 43√r2s3a4
© 83√r2s2a4
© 43√r3s2a4
�
1p. Opgave 6. Bereken ln
(3√ab
a4b
)als gegeven is dat ln a = 2 en ln b = 6.
© −34
3
© −12
© 4
21
© −44
© 0�
A-66
Niveau 2�
2p.Opgave 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Uit a < b met a, b ∈ R volgt
© |a| < |b|© a2 < b2
© a3 < b3
© a4 < b4
©√|a| <
√|b|
�
2p.Opgave 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als f(x) = 2x dan is f(x+ 2) gelijk aan
© 4
© f(x) + 2
© f(x) + 4
© 2f(x)
© 4f(x)�
2p.Opgave 9. Als x = −1 een oplossing is van ax2 + bx+ c = 0, wat is de andere oplossing dan?
© x = −ab
© x = − ba
© x =b
a
© x = − ca
© x =c
b�
2p.Opgave 10. Theo lost de vergelijking ax− b = c op, en Thea de vergelijking bx− c = a. Ze vinden beiden hetzelfde(correcte) antwoord voor x, waarbij a, b, c verschillend van elkaar en verschillend van nul zijn. Wat moet er gelden?
© a+ b+ c = 0
© a+ b+ c = 1
© a+ b = c
© b = a+ c
© a = b+ c�
2p. Opgave 11. Hoeveel asymptoten heeft de functie f(x) =x2 − 22x+ 40
x2 + 13x− 30?
© 0
© 1
© 2
© 3
© 4�
2p.Opgave 12. Voor welk natuurlijk getal n > 0 is 3n
√2013 · n
√2013 = 3
√2013 ?
© 1
© 2
© 3
© 4
© geen enkel�
A-67
Niveau 2�
2p.Opgave 13. Als s(x) = sin(πx) en S(x) = (s(x))
2, dan is s(s(1/6)) + S(S(1/3)) gelijk aan
© 3/4
© 1
© 4/3
© 3/2
© 2�
2p.Opgave 14. De som van een geheel getal N met het kwadraat van 2N levert een geheel getal M . Voor hoeveelwaarden van N is M een priemgetal?
© 0
© 1
© 2
© Een eindig (groter dan 2) aantal waarden.
© Een oneindig aantal waarden.�
2p.Opgave 15. Zij m en n twee rechten, onderling loodrecht, die beiden raken aan een cirkel met straal 6. Dan is deoppervlakte van het gebied begrensd door de rechten en de cirkel gelijk aan
© 9π
© 36− 9π
© 144− 36π
© 18π
© 72− 18π�
2p.Opgave 16. Als a2 − b2 = 33 en a3 − b3 = 817 gehele oplossingen a, b hebben met a > b, dan is de waarde van a− bgelijk aan
© 1
© 3
© 7
© 10
© 11�
2p.Opgave 17. Een driehoek ABC heeft zijden met lengte 6, 7 en 8. Dan is de (exacte) waarde van (cosα+cosβ+cos γ)gelijk aan
© 51/35
© 47/32
© 31/21
© 49/33
© 119/80�
2p.Opgave 18. Een datum noemt vreemd als de dag en de maand grootste gemene deler 1 hebben. Wat is het kleinstaantal vreemde dagen dat kan voorkomen in een maand?
© 9
© 10
© 11
© 14
© 15�
A-68
Niveau 2�
2p.Opgave 19 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Beschouw de functies
f(x) =√x, g(x) =
x
4, h(x) = 4x− 8
Dan is (h ◦ g ◦ f)(x) gelijk aan
©√x− 2
©√x− 8
© 2√x− 8
© √x− 8
© √x− 2
�
2p.Opgave 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De ruimtediagonaal van een kubus is 3. De oppervlakte van dezekubus is gelijk aan
© 3
© 3√
3
© 18
© 36
© 54
�
2p.Opgave 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). In een gelijkbenige driehoek met tophoek 120◦ beschouwen we allehoogtelijnen, zwaartelijnen en binnenbissectrices uit de drie hoekpunten. Hoeveel verschillende rechten zijn dit?
© 9
© 7
© 6
© 5
© 3
�
2p.Opgave 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Op de catwalk weegt een mannequin met haar kleren aan 59 kg.Ze blijkt 58 kg meer te wegen dan haar kleding. Hoe zwaar is haar kleding?
© 0, 25 kg
© 0, 50 kg
© 0, 75 kg
© 1, 00 kg
© 1, 25 kg
�
2p.Opgave 23. Een stock verliest 60% van zijn waarde. Om terug op de oorspronkelijke waarde te komen moet de stockstijgen met
© 60%
© 120%
© 150%
© 200%
© 400%
�
A-69
Niveau 3�
3p.Opgave 24. Vijf verdachten van een moord, waaronder de moordenaar, worden ondervraagd door de politie. Bijonderstaande verklaringen spreken drie van hen de waarheid, en twee van hen liegen.
3 Verdachte A: “D is de moordenaar”
3 Verdachte B: “Ik ben onschuldig”
3 Verdachte C: “Het was niet verdachte E”
3 Verdachte D: “A liegt”
3 Verdachte E: “B zegt de waarheid”
Wie is de moordenaar?
© A
© B
© C
© D
© E�
3p.Opgave 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Zij x ∈ R en |x+ 1| < 3, dan geldt
© |x| < 2
© x < 2 of − x < 2
© x < 2 en − x < 2
© −2 < x < 2
© −4 < x < 2�
3p.Opgave 26. Als f(x) = e3x−2, wat is dan f
(1− ln( 1
x ))?
© e
x3
© ex3
© e+ x3
© e+1
x3
© 0�
3p.Opgave 27 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Gegeven zijn twee evenwijdige rechten a en b en punten P ∈ B,
Q ∈ A en R ∈ B zodanig dat |PQ| = 14 en RPQ = 110◦. Wat is de afstand tussen beide evenwijdige rechten?
© 14 cos 110◦
© 14 sin 110◦
© 14 cos 70◦
© 14
cos 110◦
© 14
sin 110◦
�
3p.Opgave 28. Toon aan dat
Z1 = 2Z0
(N1
N + 1
)
als
N =Z0 + 1
2 Z1
Z0 − 12 Z1
waarbij N 6= −1, Z0 6= 0
�
A-70
Niveau 3�
3p.Opgave 29. Susanne verdient tijdens weekdagen 10 euro per uur, op zaterdag 15 euro per uur en op zondag 20 europer uur. Als ze vorige maand 180 uren gewerkt heeft en in totaal 2315 euro verdiende, hoeveel keer meer uren tijdensweekdagen dan uren op zondag heeft ze vorige maand gewerkt?
© 75
© 77
© 80
© 82
© 85
�
3p.Opgave 30 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De oplossingenverzameling van x3 < x < x2 is
© ∅
© ]−∞,−1[
© ]−∞, 0[
© ]0, 1[
© ]−∞, 1[ \ {0}�
3p.Opgave 31. Op welk van onderstaande intervallen is
2− xx− 3
steeds de sinus van een hoek?
© [1, 3[
© [0, 3[
© ]2, 3[
©]−∞, 5
2
[
©]−5
2,+∞
[
�
3p.Opgave 32. Duid in volgende reeks alle alternatieven aan waarbij Uitspraak (1) precies dezelfde betekenis heeft alsUitspraak (2).
© (1) Niet ale jongeren sporten en fuiven graag.(2) Er zijn jongeren die niet graag sporten en niet graag fuiven
© (1) Niet alle domme jongeren zijn blonde meisjes.(2) Er bestaan domme meisjes die niet blond zijn.
© (1) Het is zo dat sommige mensen ongezond eten.(2) Sommige mensen eten niet ongezond.
© (1) Alle kinderen die niet goed zijn in wiskunde, zijn jongens.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.
© (1) Alle kinderen die goed zijn in wiskunde zijn meisjes.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.
�
3p.Opgave 33. De bevolking van een stad groeit exponentieel in functie van de tijd, en dus ook het aantal autodiefstallen.Als f(t) het aantal autodiefstallen per persoon in functie van de tijd is, dan is f(t)
© een exponentiele functie.
© geen constante functie.
© geen lineaire functie.
© geen exponentiele groei.
© geen exponentiele daling.
�
A-71
Niveau 3�
3p.Opgave 34 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Het verschil van de twee oplossingen van de vierkantsvergelijkingx2 + ax+ b = 0 is gelijk aan 5. De discriminant van deze vergelijking is dan
© 5
© 6, 25
© 10
© 25
© niet te bepalen uit deze gegevens
�
3p.Opgave 35 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Bepaal de oppervlakte van het vierkant met twee hoekpunten opde x-as (symmetrisch t.o.v. de oorsprong) en twee andere hoekpunten op de parabool met vergelijking y = 1
3 x2 + 3.
© 9
© 16
© 24
© 27
© 36
�
3p.Opgave 36 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Twee rechten met vergelijking y = ax en y = bx met a, b > 0maken een scherpe hoek, respectievelijk α en β, met de x-as zodanig dat α+ β = 90◦. Hieruit volgt:
© a+ b = 1
© a+ b = 2
© ab = 1
© a = 2b
© a = 4b
�
3p.Opgave 37. Welk van de volgende functies is gelijk aan de functie f(x) = x?
©√x2
© x
sign(x)
© dbxce
© ln(ex)
© eln x
�
3p.Opgave 38. In een klas zijn 40% van de leerlingen meisjes. Wanneer 3 jongens vervangen worden door meisjes, danzijn er in die klas 44% van de leerlingen meisjes. Hoeveel meer jongens dan meisjes zijn er in de klas?
© 10
© 12
© 15
© 18
© 20
�
A-72
Niveau 3�
3p.Opgave 39. Twee driehoeken worden gevormd in het eerste kwadrant, de ene met hoekpunten O(0, 0), A(5, 0),B(0, 12) en de andere met hoekpunten O(0, 0), C(8, 0) en D(0, 6). Het geheel getal dat het dichtst bij de afstandtussen de zwaartepunten van de driehoeken ligt is
© 0
© 1
© 2
© 3
© 4
�
3p.Opgave 40 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een droogrek staat in een kamer en bevat 100 rode sokken, 80groene sokken, 60 blauwe sokken en 40 zwarte sokken. Iemand neemt een voor een de sokken van de draad. Aangezienhet echter donker is in de kamer, zijn de kleuren van de sokken onmogelijk te zien. Wat is het kleinste aantal sokkendat hij van de draad moet nemen om zeker te zijn dat hij ten minste 10 paar heeft gekozen? (Een paar sokken zijnelke twee sokken van dezelfde kleur. Uiteraard mag geen enkele sok in meer dan een paar geteld worden.)
© 21
© 23
© 24
© 30
© 50
�
3p.Opgave 41 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een park heeft de vorm van een regelmatige zeshoek waarvan delengte van de zijden gelijk is aan 2 km. Annie maakt een wandeling van 5 km langs de omtrek, vertrekkend van eenhoekpunt. Hoeveel kilometers (in rechte lijn) is ze dan van haar startplaats verwijderd?
©√
13
©√
14
©√
15
©√
16
©√
17
�
3p.Opgave 42 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Vader schrijft een testament dat zijn nalatenschap aan zijn dochtersregelt: “De oudste dochter krijgt 1000 euro en 10% van wat er nog rest. Als dit uitbetaald is, krijgt de tweede 2000euro en 10% van wat er dan nog rest. De derde krijgt 3000 euro en 10% van de rest, enzovoort.” Bij zijn dood krijgenalle dochters precies evenveel. Hoeveel dochters heeft vader?
© 9
© 10
© 11
© 12
© 13
�
A-73
Niveau 4�
4p.Opgave 43. Een bibliotheek heeft tussen 1000 en 2000 boeken. Van deze boeken is 25% fictie, 1/13 zijn bibliografieenen 1/17 zijn atlassen. Hoeveel boeken zijn een bibliografie of een atlas?
© 136
© 232
© 240
© 271
© 280
�
4p.Opgave 44 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als sin6 α+ cos6 α =
1
4, dan is cos(2α) gelijk aan
© 0
© 1
2
©√
2
2
©√
3
3
© 1
�
4p.Opgave 45. Zij −→v , −→w en −→u drie verschillende vectoren uit de Euclidische vectorruimte R2 die voldoen aan
||−→v || = ||−→w || = ||−→u || = 2 en −→v · −→w = −→w · −→u = 2.
Dan is
© −→v · −→u = 2
© −→v · −→u = 4
© −→v · −→u = −2
© −→v · −→u = −4
© −→v · −→u is uit de gegevens niet te bepalen
�
4p.Opgave 46. Een verzameling S bevat getallen, en is volledig bepaald door de volgende regels:
3 2 ∈ S
3 Als n ∈ S dan 3n ∈ S en n+ 5 ∈ S.
Welke van de volgende getallen is geen element van S?
© 2000
© 2001
© 2002
© 2003
© 2004
�
A-74
Niveau 4�
4p. Opgave 47. Voor elke n ∈ N0 en elke x ∈ R0 isn∑
k=1
nkxk−1 gelijk aan
©n−1∑
k=0
(n− 1)kxk−1
©n−1∑
k=0
nk+1xk
©n−1∑
k=0
nk−1xk−2
© Geen van vorige.
�
4p.Opgave 48. Een fixpunt van een (reele) functie y = f(x) is een reeel getal r zodat f(r) = r. Hoeveel van de volgendefuncties hebben altijd een fixpunt?
3 Een veeltermfunctie van de vorm y = xn met n ∈ N0.
3 Een homografische functie.
3 Een exponentiele functie.
3 Een logaritmische functie f(x) = alog x.
© 0
© 1
© 2
© 3
© 4
�
4p.Opgave 49. Als x2 + xy + 15x = 12 en y2 + xy + 15y = 42, welke van de volgende getallen is dan een mogelijkewaarde voor x+ y?
© 0
© 3
© 15
© 18
© Meerdere van bovenstaande mogelijkheden.
�
A-75
Niveau 5�
5p.Opgave 50. Voor i = 1 tot 6 stellen we alog
(blog ( clog xi)
)= 0, waarbij a, b en c elke rangschikking van 2, 4 en 8
doorloopt. Dan kan het product x1x2x3x4x5x6 uitgedrukt worden als 2N voor een zeker geheel getal N . Bepaal N .
© 19
© 20
© 28
© 33
© 50�
5p.Opgave 51. Getallen worden gewoonlijk voorgesteld in het decimaal stelsel, waarbij elke decimaal vermenigvuldigdwordt met een macht van tien. Zo stelt de decimale ontwikkeling ‘0, 123’ het getal 1/10 + 2/100 + 3/1000 voor. Omaan te duiden dat we werken met machten van tien, schrijft men soms
(0, 123)10 = 1/10 + 2/100 + 3/1000
In het ternair stelsel wordt elke ‘tricimaal’ vermenigvuldigd met een macht van drie. Zo is de ternaire ontwikkelingvan 1/3 + 2/9 + 1/27 gelijk aan ‘0, 121’. We schrijven dan
(0, 121)3 = 1/3 + 2/9 + 1/27
De ternaire ontwikkeling van 77/81 is gelijk aan
© (0, 950617284)3
© (0, 2012)3
© (0, 1211)3
© (0, 1111)3
© (0, 2212)3�
5p.Opgave 52. Een man wandelt, eerst op een vlakke weg en daarna op een heuvel. Aan de top van de heuvel wandelthij onmiddellijk terug naar zijn vertrekpunt. Op de vlakke weg wandelt hij aan 4km/u, bergop aan 3km/u en bergafaan 6km/u. Als volledige wandeling 6 u duurt, welke afstand heeft de man dan afgelegd?
© 16km
© 20km
© 34km
© 28km
© 32km�
5p.Opgave 53. Twee rekenkundige rijen worden vermenigvuldigd, en leveren de rij 468, 462, 384, . . . Wat is de volgendeterm in deze rij?
© 250
© 286
© 300
© 324
© 336�
5p.Opgave 54. Twee gehele getallen noemt men relatief priem als hun grootste gemene deler gelijk is aan 1. Hoeveelpositieve gehele getallen kleiner dan 1000 zijn relatief priem met 105?
© 325
© 457
© 466
© 533
© 674�
A-76
Niveau 6�
6p.Opgave 55. Een cirkelvormige tafel wordt in de hoek van een rechthoekige kamer geduwd, zodat het raakt aan beidemuren. Een punt op de rand van de tafel ligt op 20cm van de ene muur en op 90cm van de andere muur. Wat is destraal van de tafel?
© 50cm
© 120cm
© 150cm
© 170cm
© 200cm�
6p.Opgave 56. Het getal (102010 + 1)2 + (102010 + 2)2 −
(102010
)2is deelbaar door
© 102010 − 1
© 102010 + 3
© 102010 + 4
© 102010 + 5
© 102010 + 6�
6p.Opgave 57. Een vrouw woont op 8km van haar werk. Op het moment dat ze met de fiets naar haar werk vertrekt,heeft ze 126km op haar teller staan, aan een gemiddelde snelheid van 17, 2km/u. Ze fietst naar haar werk, en terug naarhuis. Bij het thuiskomen duidt haar teller een afstand van 142km aan, met een gemiddelde snelheid van 17, 6km/u.Bepaal de gemiddelde snelheid van de vrouw over het traject van haar huis naar haar werk, en terug.
�
6p.Opgave 58. Voor een rij (an) = a1, a2, a3, . . . geldt a1 = 1, a2 = 2, a3 = 5 en an−1an−2 = 2anan−2− 2an−1an−1 voor
n ≥ 3. Dan isa2006a2005
gelijk aan
© 1002
© 1002, 5
© 1003
© 1003, 5
© 1004�
6p.Opgave 59. Bepaal de positieve 1024ste machtswortel uit
(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) . . . (21024 + 1) + 1
© 1
©√
2
© 2
© 4
© 512�
6p.Opgave 60 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een klein muntstuk met straal r rolt zonder glijden rond een grootmuntstuk met straal R dat niet beweegt. De straal R is een geheel veelvoud van r. Het klein muntstuk maakt hierbijeen volledige omwenteling rond het groot muntstuk. Het aantal keer dat het klein muntstuk dan volledig om zijnmiddelpunt is gedraaid, is gelijk aan
© 1 +R
r
© R
r
© R+ r
R− r
© 2rR
r +R
© 1�
A-77
Toepassingen op matrices - Opgave
Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen
3 Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkseinternationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilie en Canada. Hetgetal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld,van luchthaven b3 in Brazilie zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkelevlucht naar c2 in Canada.
Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilie (voor elke i en j).
Algerije Brazilie Canada
2
1
3
1
2
1
3
22
1
4
1
a1
a2
b1
b2
b3
b4
c1
c2
c3
Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merkenkunnen we zo’n soort problemen wat efficienter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennenover welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal vluchten van a1 naar c1 via B is 2 · 3︸︷︷︸via b1
+ 1 · 2︸︷︷︸via b2
+ 0 · 1︸︷︷︸via b3
+ 1 · 0︸︷︷︸via b4
= 8 (∗)
Analoog bereken je bijvoorbeeld:
aantal vluchten van a2 naar c1 via B is . . .
aantal vluchten van a2 naar c3 via B is . . .
A-90
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗) herkennen we:
aantal vluchten van a1 naar c1 via B is[2 1 0 1
]·
3210
=
[8]
Analoog herken je:
aantal vluchten van a2 naar c1 via B is[. . . . . . . . . . . .
]·
. . .
. . .
. . .
. . .
= . . .
aantal vluchten van a2 naar c3 via B is[. . . . . . . . . . . .
]·
. . .
. . .
. . .
. . .
= . . .
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilie te berekenen, maken we volgendematrixvermenigvuldiging:
[2 1 0 13 0 2 1
]
︸ ︷︷ ︸P
·
3 0 22 0 01 0 40 1 0
︸ ︷︷ ︸Q
= . . .
Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilie gelijk aan het (. . . , . . .)-de
element van de matrix P ·Q, en dat is gelijk aan . . .
Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilie voor, ook wel dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilie genoemd.
↗ b1 b2 b3 b4
a1 2 1 0 1a2 1 0 2 1
matrix P =
[2 1 0 11 0 2 1
]Pik = aantal directe wegen van ai naar bk
De notatie ‘a1 ↗ b1’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1, namelijk a1 ↗ b1 = 2.
Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilie naar Canada voor.
↗ c1 c2 c3
b1 3 0 2b2 2 0 0b3 1 0 4b4 0 1 0
matrix Q =
3 0 22 0 01 0 40 1 0
Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj
A-91
Metro van Londen
3 Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tus-sen vier stations s1, s2, s3 en s4.
(a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sjmet een tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j).
(b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop? Leesdit af uit je antwoord op (a).
(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naars1 met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van jegrafische rekenmachine.
(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurigestations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.
s1
s2
s3
s4
Oplossing.
(a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is
. . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s1
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s2
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s3
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s4
= . . . (∗∗)
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗∗) herkennen we:
aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is
[. . . . . . . . . . . .
]·
. . .
. . .
. . .
. . .
= . . .
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via een tussenstop te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
︸ ︷︷ ︸P
·
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
︸ ︷︷ ︸Q
= . . .
Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het begin-station, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf.
(b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix
P 2, en dat is gelijk aan . . .
A-92
(c) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstopsberekenen?
Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.
2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT
2ND MATRIX ENTER ∧ . . . ENTER >
Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de
matrix . . . en dus gelijk aan . . .
Opmerking. De matrix . . . noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.
(d) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstopsberekenen?
Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.
Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de
matrix . . . en dus gelijk aan . . .
Opmerking. De matrix . . . noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.
A-93
Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen
Jan Van Eyckplein,Brugge
3 Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de veranderingvan het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.
Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar hetplatteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizennaar de stad. Stel in 2012 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensenop het platteland.
(a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar enna vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.
(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.
Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:
platteland stad
0, 05
0, 03
0, 97 0, 95
Ook hier kunnen we het probleem wat efficienter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen overwelke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal mensen in de stadna een jaar:
0, 95 · 60000︸ ︷︷ ︸aandeel van stad
+ 0, 03 · 40000︸ ︷︷ ︸aandeel van platteland
= 58200 (∗)Analoog bereken je bijvoorbeeld:
aantal mensen op plattelandna een jaar:
. . .
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗) herkennen we:
aantal mensen in de stadna een jaar:
[0, 95 0, 03
]·[6000040000
]=[58200
]
Analoog herken je:
aantal mensen op plattelandna een jaar:
[. . . . . .
]·[
. . .
. . .
]= . . .
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na een jaar te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging: [
0, 95 0, 030, 05 0, 97
]
︸ ︷︷ ︸P
·[6000040000
]
︸ ︷︷ ︸Q
= . . .
Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert vooreen andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd.
↙ stad platteland
stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97
matrix P =
[0, 95 0, 030, 05 0, 97
]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i
De notatie ‘stad↙ platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijkstad ↙ platteland = 0, 05.
1Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.
A-94
(a) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaarberekenen? En na vijf jaar?
(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?
A-95
Roodkopvuurkever(Pyrochroa serraticornis)
3 Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij be-schikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larveen insect) duurt een maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in eenafgesloten ruimte. Na een maand is de situatie als volgt:
. Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen.
. Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood.
. Van de oorspronkelijke insecten is er niet een meer over. Maar ze hebbenelk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht.
(a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf.
(b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten naeen maand, twee maanden en acht maanden.
(c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafi-sche rekenmachine.
Oplossing.
(a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:
eitje larve insect0, 05 0, 2
100
(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.
Stap 1. Start met een voorbeeld.
We berekenen bijvoorbeeld:
aantal eitjesna een maand:
. . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van eitjes
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van larven
+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van insecten
= . . . (∗∗)
Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.
In de bewerking (∗∗) herkennen we:
aantal eitjesna een maand:
[. . . . . . . . .
]·
. . .. . .. . .
=
[. . .
]
Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.
Om met een berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na een maand te kennen maken we devolgende matrixvermenigvuldiging:
. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .
︸ ︷︷ ︸P
·
. . .. . .. . .
︸ ︷︷ ︸Q
= . . .
Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ookwel een Leslie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.
2Een Leslie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogenverschillen van het getal 0. Het model van Leslie werd beschreven door P.H. Leslie 1945 [16], en vereist een populatie die niet onderhevigis aan migratie en waarbij slechts een sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.
A-96
(b) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? Enna acht maanden?
(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?
A-97
In te studeren bewijs (vijfde jaar)
Wat voorafging
Gevolg Zij A een n× n matrix. Dan
het homogeen lineair stelsel A · x = 0 heeft een unieke oplossingm
rangA = nm
∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing
Stelling met bewijs
Stelling Zij A een n× n matrix. Dan geldt
A is inverteerbaar ⇔ rangA = n
Bewijs. Het bewijs bestaat uit twee delen.
Deel 1. Onderstel dat A inverteerbaar is. We moeten aantonen dat rangA = n.
Beschouw het homogeen lineair stelsel A ·
x1...xn
︸ ︷︷ ︸x
=
0...0
︸︷︷︸0
. Dan geldt
A · x = 0 ⇔ A−1 · (A · x) = A−1 · 0⇔ (A−1 ·A) · x = 0
⇔ En · x = 0
⇔ x = 0
Dus het lineair stelsel A · x = 0 heeft enkel de nuloplossing. Wegens het bovenstaand gevolg is rangA = n.
Deel 2. Onderstel dat rangA = n. We moeten aantonen dat A inverteerbaar is. Dus we moeten aantonen dat er eenmatrix B bestaat waarvoor
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
an1 an2 . . . ann
︸ ︷︷ ︸A
·
b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...
......
bn1 bn2 . . . bnn
︸ ︷︷ ︸B
=
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
︸ ︷︷ ︸En
Met andere woorden, we moeten aantonen dat er reele getallen bij bestaan waarvoor
A ·
b11b21...bn1
︸ ︷︷ ︸b1
=
10...0
︸︷︷︸e1
, A ·
b12b22...bn2
︸ ︷︷ ︸b2
=
01...0
︸︷︷︸e2
, . . . , A ·
b1nb2n...bnn
︸ ︷︷ ︸bn
=
00...1
︸︷︷︸en
Omdat rangA = n hebben de bovenstaande stelsels
A · b1 = e1, A · b2 = e2, . . . , A · bn = en
telkens een oplossing (wegens het bovenstaand gevolg). Dus er bestaat een matrix B waarvoor A ·B = En. Dus A isrechts-inverteerbaar. Wegens de vorige eigenschap is A inverteerbaar. Dit besluit het bewijs.
A-112
In te studeren bewijs (zesde jaar)
Hoofdstelling 1 van de integraalrekeningZij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. Dan geldt
1. De oppervlaktefunctie A(t) tussen a en b is afleidbaar over ]a, b[ en A′(t) = f(t)
2.
∫ b
a
f(x)dx = A(b)
Schets van het bewijs.
1. Neem t ∈ ]a, b[. We moeten aantonen dat limh→0
A(t+ h)−A(t)
h= f(t).
Voor ‘kleine’ waarden van h wordt A(t + h) − A(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte opde linkerfiguur.
Anderzijds wordt h · f(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte op de rechterfiguur.
a t t+ h b
y
x
y = f(x)
A(t+ h)−A(t) = oppervlakte
a t t+ h b
h
f(t)
y
x
y = f(x)
f(t) · h = oppervlakte
Omdat h ‘klein’ is zal dus
A(t+ h)−A(t) ≈ h · f(t) waaruitA(t+ h)−A(t)
h≈ f(t)
Bij limietovergang vinden we
limh→0
A(t+ h)−A(t)
h= f(t)
waaruit blijkt dat de afgeleide A′(t) bestaat, en gelijk is aan f(t).
2. Omdat A(t) =
∫ t
a
f(x)dx is A(b) =
∫ b
a
f(x)dx.
A-113
Toepassingen op lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Opgave
Toepassing 1. Codeertheorie
We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van deboodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijnplaats in het alfabet
A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26�� ��Coderen
Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.
Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.In ons voorbeeld geeft dit
N U G E L A N D14 21 7 5 12 1 14 4
Stap 2. Kies een geheime 2× 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =
[1 22 3
].
Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.
In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als
[1 22 3
]·[1421
]=
[5691
]
Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap
N U G E L A N D56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Verzenden
We verzenden de code 56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Decoderen
Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 tedecoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel
[1 22 3
]
︸ ︷︷ ︸A
·[x1x2
]=
[5691
]
Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing, en hoe kunnen we die oplossing vinden?
Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.
41 67 41 68 19 33 70 115
Oplossing.
A-116
Vijfbew
ijzenvoor
deirrationaliteitvan√2
Een
verslagtendienstevandeleerlingenvan5aGW
i8-5aLW
i8-5bW
Wi8
door
Koen
DeNaegh
el
Onze-Lieve-Vrouwecollege
Assebroek,27
februari2011
Samenvatting
Indit
verslagbespreken
ween
kele(alternatieve)
bew
ijzenvanhet
feit
dat√2eenirrationaalgetalis.
Inhoudso
pgave
1In
leid
ing
1
2K
lass
iek
bew
ijs
2
3G
ron
dst
ell
ing
van
de
geta
llen
leer
2
4O
nd
erl
ing
pri
em
3
5M
eetk
un
dig
bew
ijs
en
de
alg
eb
raıs
che
tegen
han
ger
35.1
Alg
ebra
ısch
bew
ijs
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.3
5.2
Mee
tkundig
bew
ijs
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.3
6Ir
rati
on
ali
teit
van
an
dere
geta
llen
en
op
en
pro
ble
men
4
1In
leid
ing
Inee
nvie
rkan
tm
etzi
jde
1heb
ben
de
dia
gonal
enee
nle
ngt
ed
waa
rvoor
het
kw
adra
atge
lijk
isaa
n2.
Imm
ers,
sam
enm
ettw
eeaa
nligg
ende
zijd
envo
rmt
een
dia
gonaa
lee
nre
chth
oek
ige
dri
ehoek
,en
uit
de
stel
ling
van
Pyth
agora
svol
gt
12+
12
=d2⇒
d2
=2
Len
gte
isp
osi
tief
,dusd>
0.H
etge
tald
noem
tm
ende
(pos
itie
ve)
vie
rkan
tsw
orte
lva
n2,
ennot
eert
men
met√
2.D
edec
imale
voors
tellin
gva
n√
2b
egin
tal
svo
lgt:
√2
=1,
414
213
562
373
095
048
801
688
724
209...
1
1
√2
De
Pyth
ago
reer
s1on
tdek
ten
dat
de
lengt
ed
=√
2va
nzo
’ndia
gonaal
zich
nie
tra
tion
aal
ver
hou
dt
tot
de
lengt
esder
zijd
en.
Dit
isw
at
men
bed
oel
tm
et√
2is
een
irra
tionaa
lget
al:
erb
esta
ange
ennat
uurl
ijke
geta
llen
m,n
waa
rvoor
geld
tdat√
2=m n
.
1H
etee
rste
bew
ijs
van
het
bes
taan
van
irra
tion
ale
get
allen
word
tm
eest
al
toeg
esch
reven
aan
een
wis
ku
nd
ige
uit
de
Pyth
agora
eısc
he
sch
ool
(mogel
ijk
Hip
pasu
svan
Met
ap
ontu
m).
Hip
pasu
sw
erd
nie
tgep
reze
nvoor
zijn
bew
ijs:
volg
ens
een
legen
de
dee
dh
ijzi
jnontd
ekkin
gte
rwij
lh
ijop
zee
was,
enzi
jnco
lleg
aP
yth
agore
ers
zou
den
hem
ver
volg
ens
pro
mp
tover
boord
heb
ben
gek
iep
erd
.D
itvoor
het
feit
dat
hij
een
elem
ent
inh
etu
niv
ersu
mh
ad
gev
on
den
dat
de
leer
ontk
end
ed
at
alle
fen
om
enen
inh
eth
eela
lku
nn
enw
ord
ente
ruggeb
rach
tto
tgeh
ele
get
allen
enhu
nver
hou
din
gen
.
1
Waa
rom
vonden
de
Pyth
agor
eers
het
bes
taan
van
irra
tion
ale
geta
llen
zoaf
stot
elij
k?
Om
dat
zij
erva
nov
ertu
igd
ware
ndat
elk
lijn
stuk
[AB
]ka
nve
rgel
eken
wor
den
met
een
lijn
stuk
met
lengt
e1,
enw
elal
svo
lgt:
(1)
Tek
enon
der
lijn
stuk
[AB
]ee
nlijn
stuk
[CD
]m
etle
ngt
e1.
(2)
Als
jenam
her
hal
inge
nva
nhet
lijn
stuk
[CD
]de
lengt
eva
nhet
lijn
stuk
[AB
]b
ekom
t,dan
is|AB|=
m·1
=m
.A
lsdat
nie
tzo
is:
verd
ubb
ellijn
stuk
[AB
].
(2.1
)A
lsje
nam
her
halingen
van
het
lijn
stuk
[CD
]het
dubb
ele
van
de
lengt
eva
nhet
lijn
stuk
[AB
]b
ekom
t,dan
is2|AB|=
m·1
,dus|AB|=
m 2.
(2.2
)A
lsdat
nie
tzo
is:
bes
chou
whet
dri
evou
dva
nhet
lijn
stuk
[AB
].
(2.2
.1)
etc.
AB
...
1keer
nkeer
1...
CD
1keer
mkeer
De
lijn
stukke
n[CD
]die
opdez
em
anie
rin
een
eindig
aanta
lst
app
enkunnen
gem
eten
word
en,
vold
oen
aan
n·|A
B|=
m·1
,dus|AB|=
m nw
aarb
ijn
het
aanta
lher
hal
inge
nva
n[AB
]enm
het
aanta
lher
hal
inge
nva
n[CD
]is
.T
otve
rbazi
ng
van
de
Pyth
agor
eers
war
ener
lijn
stukke
ndie
nie
top
dez
em
anie
rkunnen
gem
eten
wor
den
.
2K
lass
iek
bew
ijs
Het
kla
ssie
kb
ewij
sva
nde
irra
tion
alit
eit
van√
2gaa
tte
rug
naar
Ari
stot
eles
,en
vers
chee
nin
het
boek
Elemen
ten
van
Eucl
ides
.
Eerstebewijs.
Onder
stel
uit
het
onge
rijm
de
dat
eree
nra
tionaa
lget
alr∈Q
isw
aar
voorr2
=2.
We
schri
jven
r=p/q
met
p,q∈Z
enw
em
ogen
onder
stel
len
datp
enq
onder
ling
pri
emzi
jni.e.
zeheb
ben
geen
del
ers
gem
een
(beh
alve
1en−
1).
Dan
isp2
=2q
2.
Om
dat
2ee
ndel
eris
van
2q2
isdus
2ook
een
del
erva
np2.
Om
dat
2ee
npri
emge
tal
is,
is2
met
een
ook
een
del
erva
np,
dusp
=2s
voor
een
gehee
lget
als.
Subst
ituer
eninp2
=2q2
leve
rt4s2
=2q
2dus
2s2
=q2
.E
rvo
lgt
dat
2ee
ndel
eris
vanq2
endus
ook
vanq.
Een
stri
jdig
hei
dm
eton
zeon
der
stel
ling
datp
enq
gee
ndel
erge
mee
nhadden
.W
eb
eslu
iten
dat√
2ir
rati
onaal
is.
Een
uit
bre
idin
gva
ndit
bew
ijs
lever
tdat√n
irra
tion
aal
isvo
or
elk
nat
uurl
ijk
geta
ln
dat
nie
thet
kw
adra
atis
van
een
nat
uurl
ijk
geta
l.
3G
rondst
ellin
gvan
de
geta
llenle
er
Het
volg
end
bew
ijs
steu
nt
opde
eige
nsc
hap
dat
elk
gehee
lge
tal
tesc
hri
jven
isal
see
npro
duct
van
pri
emget
allen
.B
oven
die
nis
dez
esc
hri
jfw
ijze
,op
de
teke
ns
ende
volg
orde
van
de
pri
emen
na,
unie
k.
Voorbeeld.
−15
=(−
5).3
=5.
(−3)
=(−
3).
5=
3.(−
5)
Dez
est
elling
staa
tb
eken
dal
sde
Gro
ndst
elling
uit
de
geta
llen
leer
enw
ord
tto
egew
ezen
aan
Eucl
ides
2.
Tweedebewijs.
Onder
stel
uit
het
onger
ijm
de
dat
eree
nra
tion
aal
geta
lr∈Q
isw
aar
voorr2
=2.
We
schri
jven
r=p/q
met
p,q∈Z
Dan
isp2
=2q
2.
Nu
ontb
inden
wep
enq
inee
npro
duct
van
pri
emge
tallen
.E
lkpri
emge
tal
inde
ontb
indin
gva
np
kom
ttw
eem
aal
voor
inde
ontb
indin
gva
np2,
dusp2
hee
ftee
nev
enaa
nta
lpri
emfa
ctor
en.
Anal
oog
hee
ftq2
een
even
aanta
lpri
emfa
ctor
en.
Maa
rdan
hee
ft2q2
een
onev
enaa
nta
lpri
emfa
ctore
n.
Str
ijdig
met
het
feit
datp2
=2q2
wan
tp2
hee
ftee
nev
enaa
nta
lpri
emfa
ctor
en.
2H
oew
elE
ucl
ides
dit
ner
gen
sex
plici
etn
eerg
esch
reven
had
.D
eze
eigen
sch
ap
wer
dvoor
het
eers
tgef
orm
ule
erd
door
Gau
ss1801
inzi
jnb
aanb
reken
de
doct
ora
ats
thes
isDisqu
isitiones
arithmeticae.
2
4O
nderl
ing
pri
em
Het
der
de
bew
ijs
maak
tge
bru
ikva
nde
volg
ende
eigen
schap
:al
stw
eege
hel
ege
tallen
geen
pri
emfa
ctor
enge
mee
nheb
ben
,dan
heb
ben
hun
kw
adra
ten
ook
gee
npri
emfa
ctor
enge
mee
n.
Derdebewijs.
Onder
stel
uit
het
onge
rijm
de
dat
eree
nra
tion
aal
geta
lr∈Q
isw
aarv
oorr2
=2.
We
schri
jven
r=p/q
met
p,q∈Z
enw
em
oge
non
der
stel
len
datp
enq
onder
ling
pri
emzi
jni.e.
zeheb
ben
geen
del
ers
gem
een
(beh
alve
1en−
1).
We
moge
nte
vens
onder
stel
len
datq6=
1en
q6=−
1,ander
szo
uer
een
gehee
lge
talp
zijn
waa
rvoorp2
=2
wat
duid
elij
knon
sens
is.
Zeg
gen
datp
enq
geen
del
erge
mee
nheb
ben
bet
eken
t:al
sw
ede
pri
emon
tbin
din
gva
np
enq
nee
rsch
rijv
enal
sp
=p1·p
2·...·pk
enq
=q 1·q
2·...·ql
dan
iser
geen
enke
lepi
(met
1≤i≤k)
gelijk
aan
eenq j
(voor
1≤j≤l)
.D
us
heb
ben
ookp2
enq2
geen
pri
emdel
ers
gem
een
heb
ben
inhun
pri
emon
tbin
din
g.
Met
ander
ew
orden
,w
ekunnen
nie
tsc
hra
pp
enin
de
bre
ukp2/q
2,
laat
staa
ndat
we
dez
ekunnen
schra
pp
ento
tw
e2
bek
omen
!
5M
eetk
undig
bew
ijs
en
de
alg
ebra
ısch
ete
genhanger
Hie
rb
espre
ken
we
een
mee
tkundig
eco
nst
ruct
iedie
de
irra
tion
alit
eit
van√
2aa
nto
ont.
Het
mee
tkundig
bew
ijs
gaat
teru
gnaar
de
Gri
ekse
oudhei
d.
Voor
de
duid
elij
khei
dvo
lgt
eers
tde
alge
bra
ısch
ete
genhan
ger.
5.1
Alg
ebra
ısch
bew
ijs
Vierdebewijs.
Onder
stel
uit
het
onge
rijm
de
dat
we
eenp′ ,q′∈
Nkunnen
vin
den
waar
voor√
2=p′ /q′
.V
anal
zo’n
moge
lijk
epare
n(p
′ ,q′
)nem
enw
ehet
paar
(p,q
)w
aarv
oor
deq
min
imaa
lis
.M
etan
der
ew
oor
den
,noem
enw
eS
de
verz
am
elin
g
S={q
′∈N|
erb
esta
atee
np′∈N
waa
rvoor√
2=p′ q′}⊂
N
dan
is,
uit
het
onder
stel
de,S
nie
t-le
dig
endus
kunnen
we
het
min
imum
vanS
nem
en.
Dat
min
imum
noem
enw
eq.
Zijp∈N
een
bij
hor
end
nat
uurl
ijk
get
alw
aarv
oor√
2=p/q.
Dan
volg
tuit
de
onge
lijk
hed
en1<√
2<
2ge
makke
lijk
datq<p
enp<
2q.
Uit
dat
laats
tevol
gtp−q<q.
We
ver
kri
jgen
nu
2q−p
p−q
=2−
p qp q−
1dee
lte
ller
ennoem
erdoorq
=2−√
2√
2−
1w
ant√
2=p q
=(2−√
2)(√
2+
1)
(√2−
1)(√
2+
1)
verm
enig
vuld
igte
ller
ennoem
erm
et√
2+
1
=2√
2+
2−
(√2)2−√
2
(√2)
2−
1
=√
2
Maa
rdan
is2q−p
p−q∈S
,w
aarb
ijde
noem
erst
rikt
kle
iner
isdan
q.Str
ijdig
,w
antq
ishet
min
imum
vanS
.
5.2
Meetk
undig
bew
ijs
Hie
rvo
lgt
het
bew
ijs
waa
rmee
Gri
ekse
mee
tkundig
enb
ewez
endat√
2ir
rati
onaal
is.
Het
ach
terl
igge
nd
idee
is:
gege
ven
een
gelijk
ben
ige
rech
thoek
ige
dri
ehoek
waar
van
alle
zijd
ennat
uurl
ijke
get
alle
nzi
jn,
dan
kan
men
stee
ds
een
kle
iner
ege
lijk
ben
ige
rech
thoek
ige
dri
ehoek
kan
const
ruer
enw
aarv
oor
alle
zijd
ennog
stee
ds
nat
uurl
ijke
geta
llen
zijn
.
Vijfdebewijs.
Onder
stel
uit
het
onge
rijm
de
2=p2/q
2m
etp,q∈N
waa
rbijq
teru
gm
inim
aal
is.
Sta
p1.
Er
bes
taat
een
rech
thoek
ige
dri
ehoek
waa
rbij
de
lengt
eva
nel
kere
chth
oek
szij
dep
is,en
de
lengt
eva
nde
schuin
ezi
jdeq
is.
Inder
daa
d,
uit
2=p2/q
2vo
lgtq2
+q2
=p2,
enw
egen
sde
Ste
llin
gva
nP
yth
agor
asvo
lgt
het
bes
taan
van
zo’n
dri
ehoek
.
Mer
kop
dat
zo’n
rech
thoek
ige
dri
ehoek
ook
gel
ijkb
enig
is,
endat
de
zijd
enal
sle
ngte
nat
uurl
ijke
geta
llen
heb
ben
.O
mdat
weq
min
i-m
aal
heb
ben
gekoze
n,is
dit
dez
edri
ehoek
de
kle
inst
ere
chth
oek
ige
gelijk
ben
ige
dri
ehoek
waar
voor
de
zijd
ennatu
url
ijke
get
alle
nzi
jn.
q
q
p
3
Sta
p2.
Met
beh
ulp
van
een
pas
ser
ver
del
enw
ede
schuin
ezi
jde
intw
eelijn
stukke
n,
waa
rvan
de
lengt
eva
nhet
ene
gelijk
isaa
nq,
endus
isde
lengt
eva
nhet
ander
ege
lijk
isaan
p−q.
q
p−q
Sta
p3.
Met
beh
ulp
van
een
pas
ser
verd
elen
we
een
rech
thoek
-sz
ijde
intw
eelijn
stukke
n,
waa
rvan
de
lengt
eva
nhet
ene
gelijk
isaa
np−q,
endus
isde
lengt
eva
nhet
ander
ege
lijk
isaa
nq−
(p−q)
=2q−p.
q
q
p−q
p−q
2q−p
Sta
p4.
Door
de
geco
nst
ruee
rde
punte
nte
verb
inden
vorm
tzi
chee
nnie
uw
e,kle
iner
edri
ehoek
.W
eb
ewer
endat
dez
edri
ehoek
een
rech
thoek
ige,
gelijk
ben
ige
dri
ehoek
isw
aarv
oor
de
zijd
ende
nat
uurl
ijke
geta
llen
zijn
enw
aar
voor
de
lengt
eva
nde
rech
thoek
-sz
ijde
stri
kt
kle
iner
datq
is.
Dit
zal
inst
rijd
zijn
met
het
feit
dat
datq
min
imaa
lis
.
Om
aan
teto
nen
dat
de
kle
ine
dri
ehoek
rech
thoek
igen
gelijk
be-
nig
is,
vols
taat
het
omaa
nte
tonen
dat
de
kle
ine
dri
ehoek
geli-
jkvo
rmig
ism
etde
grot
edri
ehoek
.D
evra
ag
isdus
ofde
volg
ende
verh
oudin
gen
van
de
lengt
esva
nde
volg
ende
zijd
enge
lijk
zijn
:
kort
ezi
jde
grot
e
kort
ezi
jde
kle
ine
? =la
nge
zijd
egr
ote
lange
zijd
ekle
ine
dit
iseq
uiv
alen
tm
etde
vra
ag:
q
p−q
? =p
2q−p
q
q
p−q
p−q
2q−p
Maa
rdit
gelijk
waa
rdig
met
2=p2 q2
,pre
cies
onze
ver
onder
stel
ling!
We
bes
luit
endat
de
kle
ine
dri
ehoek
gelijk
vorm
igis
met
de
grot
e,en
dus
rech
thoek
igen
gel
ijkb
enig
is.
6Ir
rati
onalite
itvan
andere
geta
llen
en
op
en
pro
ble
men
In17
61b
ewee
sL
amb
ert
datπ
=3,
14...
ene
=2,
71...
irra
tionaa
lzi
jn,
also
oker
voorr∈
Q,r6=
0.
Dit
laats
tew
asnog
alee
ndubie
us
bew
ijs
enw
erd
oppunt
gez
etdoor
Leg
endre
in17
94.
Nad
ien
wer
dde
irra
tion
alite
itva
nander
ege
tallen
enco
mbin
ati
esaan
geto
ond,
zoal
sπr
(voorr∈
Q,r6=
0)en
eπ.
Een
grot
esp
rong
voor
waa
rts
wer
din
1934
gem
aakt
door
Gel
fond
enSch
nei
der
.Z
ijto
onden
onaf
han
kelijk
van
elka
araa
ndatab
stee
ds
een
irra
tion
aal
get
al
is,
zola
ng
(1)a
enb
oplo
ssin
gen
zijn
van
een
verg
elij
kin
gm
etge
hel
eco
effici
ente
nen
,(2
)a6=
0en
a6=
1,en
(3)b
een
irra
tion
aal
geta
lis
.H
un
resu
ltaa
tto
ont
de
irra
tion
alit
eit
aan
onder
ander
e
2√2
√2√
22π
2e...
Het
isec
hte
rnog
stee
ds
onb
eken
dofπ
+e
ofπ−e
irra
tion
aal
zijn
ofnie
t.In
feit
eis
erge
enen
kel
paa
r(m,n
)va
nnie
t-nul
gehel
ege
tallen
m,n
bek
end
waa
rvoor
men
wee
tofmπ
+ne
irra
tion
aal
isof
nie
t.V
erder
ishet
ook
onb
eken
d
of2e,πe
ofπ√2
aldan
nie
tir
rati
onaa
lzi
jn.
4
Onderzoeksopdracht 1 - Verkeersplanning
Voor het aanleggen en het uitbreiden van een wegennet gaan heel wat studies vooraf. Naast praktische overwegingenis het erg belangrijk om een zicht te hebben op de mate waarin het verkeer een vlotte doorstroom kent. Dat doet mendoor een model te maken: voor een gegeven aantal bestuurders op het wegennet probeert men de tijd te berekenendie nodig is om van een punt A naar een punt B te rijden. In deze onderzoeksopdracht beschouwen we enkele eenvou-dige modellen waarin we laten zien hoe je zoiets kan berekenen. Ook voor een groter wegennet zal men gelijkaardigeprincipes hanteren, maar laat men het rekenwerk over aan een computer.
In deze opdracht maken we de volgende vereenvoudigingen.
1. We nemen aan dat op elk moment een constant aantal auto’s auto’s op het wegennet rijden. Dat aantal noterenwe met n. Uiteraard kent zo’n model ook zijn beperkingen, want van zodra n ‘te groot’ wordt, zal het wegennetvolledig dichtgeslipt zijn, zodat er geen doorstroom meer mogelijk is.
2. Elke bestuurder beschikt op elk moment over alle verkeersinformatie van het volledige wegennet, en past dieinformatie ook zelfzuchtig toe. Dus als een bestuurder kan kiezen tussen twee alternatieve routes, dan zal hij ofzij altijd zal kiezen voor de route die het minst tijd kost.
Aan de hand van enkele voorbeelden laten we de belangrijkste principes zien. Daarna ga je zelf aan de slag.
A B
f(x)
wegennet 1
3 Wegennet 1. Op nevenstaande figuur staat het meest eenvoudige voorbeeldvan een wegennet: een eenrichtingsweg van A naar B. De tijd (in minuten)die voor een auto nodig is om de weg af te leggen hangt af van het aantalauto’s x die gebruik maken van die weg. Dat verband is dus een functie f ,die we de tijdsfunctie van de weg noemen. Doorgaans zal f een stijgendefunctie zijn, want hoe meer auto’s op het wegennet, des te langer het duurtom van A naar B te rijden. Als eenvoudig model nemen we voor f eenlineaire functie. Omdat x = n, vinden we de tijd die nodig om van A naarB te rijden: dat is gewoon f(n).
Voorbeeld. Stel dat f(x) = 0, 05x + 35. Als n = 1, dan duurt het ongeveer 35 minuten om van A naar Bte rijden. Is n = 100, dan duurt het 40 minuten. Hoe meer auto’s op het wegennet, des te langer het duurtom van A naar B te rijden.
A B
f(x)
g(y)
wegennet 2
3 Wegennet 2. Beschouw twee wegen van A naar B, de pijlen geven aanin welke richting verkeer mogelijk is. Noem f(x) de tijdsfunctie van debovenste weg, met x het aantal auto’s die gebruik maken van de bovensteweg. Analoog is g(y) de tijdsfunctie van de onderste weg, met y het aantalauto’s die gebruik maken van de onderste weg. Tijdsfuncties f en g hoevenniet gelijk te zijn. Het is denkbaar dat de ene weg wat langer is dan de andere,zodat het nemen van de ene weg langer duurt dan de andere, zelfs al kiest dehelft van de bestuurders voor de ene weg en de helft voor de andere. Het kanook dat de ene weg wat meer opstopping veroorzaakt dan de andere weg,bijvoorbeeld de aanwezigheid van winkelcentra, verkeerslichten, bebouwdekom, etc.
Omdat we aannemen dat elke bestuurder kiest voor de route die hem het minste tijd kost, zal het na verloopvan tijd de reistijd voor de bovenste weg gelijk zijn aan de reistijd van de onderste weg. We zeggen dan dat hetnetwerk in evenwicht is. Dan zal dus {
x+ y = n
f(x) = g(y)
Kennen we de functies f en g, dan kunnen we op die manier x en y berekenen en dus nagaan hoe lang eenbestuurder er over doet om van A naar B te rijden.
Voorbeeld. Stel dat f(x) = 0, 05x+ 35 en g(y) = 0, 2 y+ 10. Uit x+ y = n volgt y = n−x, en bij evenwichtis de reistijd voor de bovenste weg gelijk aan de reistijd voor de onderste weg:
f(x) = g(n− x) ⇒ 0, 05x+ 35 = 0, 2 (n− x) + 10
⇒ x = 0, 8n− 100
Voor n ≤ 125 kiest dus (best) niemand voor de bovenste weg, en duurt de reistijd van A naar B (via deonderste weg) maximaal 35 minuten. Is bijvoorbeeld n = 1000, dan kiezen 700 bestuurders voor de bovensteweg, en 300 voor de onderste. In beide gevallen geeft dat een reistijd van 70 minuten.
A-134
Onderzoeksvraag 1
A
X
B
Y
f(x1) g(x2)
g(y1) f(y2)
wegennet 3
Beschouw nevenstaand wegennet 3, waarbij de tijdsfunctie vantegenoverliggende wegen gelijk zijn. Bij wijze van voorbeeldnemen we aan dat de tijdsfuncties f en g gegeven worden door
f(x) = 0, 1x en g(y) = 0, 01 y + 50
Als het netwerk in evenwicht is, hoeveel bestuurders kiezendan voor de route van A naar B via X? Staaf je vermoedenmet een berekening, en bepaal ook de reistijd van A naar B.
Aanwijzing. Wat is het verband tussen x1 en x2?
Onderzoeksvraag 2
A
X
B
Y
f(x1) g(x2)
g(y1) f(y2)
h(z)
wegennet 4
We breiden wegennet 3 uit met een route van X naar Y , enbekomen zo wegennet 4. Om de gedachten te vestigen nemenwe aan dat de tijdsfunctie h wordt gegeven door
h(z) = 0, 01 z + 10
Als het netwerk in evenwicht is, zal de reistijd van A naar Bnu kleiner of groter zijn aan de reistijd uit Onderzoeksvraag1? Staaf je vermoeden met een berekening. Verdedig nadienje standpunt. Bedenk dat de waarde van n een rol kan spelen.
Onderzoeksvraag 3
Bedenk zelf een nieuw, eenvoudig wegennet 5 voorzien van tijdsfuncties. Bestudeer, bij evenwicht, hoeveel bestuurdersgebruik maken van de verschillende routes. Bepaal ook de reistijd. Daarnaast kun je ook een eigen vermoedenformuleren en argumenteren waarom je vermoeden juist is.Aanwijzing. Mogelijkheiden om een nieuw netwerk te kiezen zijn:
3 neem wegennet 2 waarbij je ook tweerichtingsverkeer toelaat;
3 neem wegennet 3 met andere tijdsfuncties;
3 neem wegennet 4 waarbij je ook verkeer van Y naar X toelaat;
3 neem als wegennet 5 een verplaatsing van A naar B via X, Y of Z.
A-135
Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus
Flavius Josephus(37 - ±100)
Deze onderzoeksopdracht gaat over een variant van een oud probleem genoemd naarJosephus, een befaamde 1 historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens de Joods-Romeinse oorlog werd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in een grot. Derebellen verkozen zelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring te gaanstaan en elke derde persoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. Maar Josep-hus en een andere persoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie, en - zogaat de legende - bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijven omzich nadien aan de Romeinen over te geven.
In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan. Om hetprobleem van Josephus wat eenvoudiger te maken spreken we in een eerste onder-zoeksvraag af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoord wordt.
Onderzoeksvraag 1
Als er n personen in een kring staan en elke tweede wordt vermoord, welk nummer un blijft er dan als laatste over?
12
3...
n
Aanwijzing.
(a) Om het probleem goed te begrijpen ga je best enkele kleine gevallen na.
(i) Bepaal un voor 1 ≤ n ≤ 10. Maak een tabel.
(ii) Misschien zie je nu al een patroon in de tabel uit (a), en heb je een ver-moeden hoe je un kan bepalen voor een willekeurige n. Zo ja, bepaal u2013.Zo neen, dan beantwoord je deze vraag later wel.
(b) Het eerste doel is om een recursief voorschrift van de rij (un) te bepalen.
(i) Je kan u19 en u20 bepalen enkel door de gegevens uit (a) te gebruiken.
(ii) Veralgemeen dit idee door een formule van de vorm un = . . . um + . . . op te stellen, waarbij m < n. Wat ism in functie van n? Test je vermoeden met behulp van andere voorbeelden. Bewijs daarna je vermoeden.
(c) Het tweede doel is om een expliciet voorschrift van de rij (un) te bepalen.
(i) Maak je tabel uit (a) wat groter door un voor 1 ≤ n ≤ 16 te berekenen. Dat kan handig met behulp van(b). Groepeer de tabel volgens opeenvolgende machten van 2, en zoek een patroon.
(ii) Probeer met dat patroon nu een expliciet voorschrift voor un te maken. Begrippen als de 2-logaritme en defloor-functie kunnen van pas komen. Test je vermoeden met behulp van (a). Bewijs daarna je vermoeden.
Onderzoeksvraag 2
Stel n personen staan in een kring staan en elke tweede wordt vermoord. Nadien blijkt nummer 2013 als laatste overte blijven. Wat is de waarde van n?
Op basis van een expliciet voorschrift van de rij (un) uit Onderzoeksvraag 1 kun je nu een vermoeden formuleren enbewijzen voor het oorspronkelijke probleem van Josephus:
Onderzoeksvraag 3
Als er n personen in een kring staan en elke derde wordt vermoord, welk nummer un blijft er dan als laatste over?
1Ware het niet dat Josephus beschikte over zijn wiskundige talenten, zo zegt de legende, dan zou hij bijlange na niet beschikt hebbenover de levensjaren die hem toegelaten hebben om beroemd te worden. Josephus zelf schreef dat hij ‘als bij wonder’ gespaard bleef.
A-136
Onderzoeksopdracht 3 - Omtrek, oppervlakte, dimensie van een fractaal
Mandelbrot verzameling
Een fractaal is een verzameling van punten in het vlak die voldoet aan de eigenschapschaalinvariantie, dat wil zeggen de figuur ziet er steeds ‘van hetzelfde type’ uit,ongeacht in welk punt (en hoeveel) je inzoomt. Zo is bijvoorbeeld een lijnstuk eenfractaal, want ongeacht in welk punt we inzoomen, de figuur heeft steeds dezelfdevorm.
Over fractalen werd reeds in de 17de eeuw gefilosofeerd, maar het wachten op KarlWeierstrass die in 1872 een eerste voorbeeld van een niet-triviale fractaal gaf. Eensdeze figuren gevisualiseerd konden worden dankzij computers, werden ze een echtehype. De term fractaal werd geıntroduceerd in 1975 door Benoıt Mandelbrot enis afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken). Niet-triviale fractalen zijn bijvoorbeeldde Mandelbrot verzameling en de Julia verzameling. Zoek op het internet afbeeldingen van deze fractalen. Het film-pje op de link http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Fractal-zoom-1-15-rupture.ogg laatzien dat in sommige fractalen motieven voorkomen die zich op steeds kleinere schaal herhalen.
In deze opdracht werken we met twee fractalen: de driehoek van Sierpinski en de sneeuwvlok van Koch. Daarna latenwe zien hoe je kan spreken over de dimensie van een fractaal.
3 De driehoek van Sierpinski Deze fractaal werd in 1915 beschreven door de Poolse wiskundige WaclawSierpinski . Om de fractaal te bekomen, starten we met een gelijkzijdige driehoek (bijvoorbeeld met hoogte1), waarbij we de volgende drie stappen herhaaldelijk blijven toepassen.
Stap 1 Neem het middelpunt van elke zijde.
Stap 2 Verbind de drie middelpunten tot een nieuwe driehoek.
Stap 3 Laat die nieuwe driehoek weg.
Voor elke nieuwe figuur doorloop je de drie stappen opnieuw. Hieronder zie je de bekomen figuur na 1 keer, 2keer, 3 keer en 4 keer. De driehoek van Sierpinski bestaat uit de punten die nooit verwijderd worden.
Dynamische applets met de constructie van de fractaal en inzoomfunctie zijn terug te vinden op de websitehttp://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski−triangle .
3 De sneeuwvlok van Koch Deze fractaal werd in 1904 bestudeerd door Helge von Koch . Om de fractaalte bekomen, starten we opnieuw met een gelijkzijdige driehoek, waarbij we de volgende drie stappen herhaaldelijkblijven toepassen.
Stap 1 Verdeel elke zijde in drie gelijke delen.
Stap 2 Op elke zijde teken je een gelijkzijdige driehoek op het middelste deel, dat naar buiten wijst.
Stap 3 Het middelste deel laat je weg.
Voor elke nieuwe figuur doorloop je de drie stappen opnieuw. Hieronder zie je de bekomen figuur na 1 keer, 2keer, 3 keer en 4 keer. De sneeuwvlok van Koch bestaat uit de punten die nooit verwijderd worden.
1We geven hier slechts een vage omschrijving van het begrip fractaal, dat volstaat voor onze doeleinden.
A-137
Dynamische applets zijn te vinden op de website http://en.wikipedia.org/wiki/Koch−snowflake .
3 Fractale dimensie In de Euclidische meetkunde is een rechte lijn eendimensionaal, een vlak tweedimensionaalen een ruimtelijke vorm driedimensionaal. Voor fractalen kan de dimensie niet zo eenvoudig aangegeven worden:bij het iteratieve proces waarbij een lijnenfiguur een fractaal benadert, kan een tweedimensionaal gebied steedsmeer opgevuld geraken, en benadert de eendimensionale vorm een tweedimensionale. In 1967 bedacht Mandelbroteen manier om toch te spreken over de dimensie van een fractaal, die men als volgt berekent:
Stap 1 Deel de fractaal in een (eindig) aantal gelijke figuren, die allen gelijkvormig zijn met de oorspron-kelijke fractaal. Noem N het aantal figuren (afhankelijk van geval tot geval).
Stap 2 Noem S de schaalvergroting (of gelijkvormigheidsfactor) die nodig is om elke deelfiguur te vergrotentot de oorspronkelijke figuur.
Stap 3 De (fractale) dimensie van de figuur is het getal d waarvoor N = Sd.
Men kan aantonen dat deze definitie onafhankelijk is van het aantal figuren N .
Voor een lijnstuk bekomen we: (1) deel het lijnstuk in N = 2 gelijke delen; (2) dan is de gelijkvormigheidsfactorS = 2; (3) de fractale dimensie d voldoet aan 2 = 2d dus d = 1. Bepaal nu zelf de fractale dimensie van een(opgevuld) vierkant.
Onderzoeksvraag 1
Bepaal de omtrek en de oppervlakte van de driehoek van Sierpinski en de sneeuwvlok van Koch.
Aanwijzing. Voor de driehoek van Sierpinski kun je als volgt te werk gaan (analoog voor de sneeuwvlok van Koch).
(a) Duid een punt aan dat behoort tot de driehoek van Sierpinski (een punt dat nooit verwijderd zal worden).
(b) Noem (un) de rij die we bekomen door de overblijvende oppervlakte te berekenen (na 1 keer, 2 keer, etc.).
(i) Bepaal een expliciet voorschrift van de rij (un).
(ii) Naar wat evolueert de oppervlakte? Toon aan met een berekening.
(iii) Wat kun je besluiten over de oppervlakte van de driehoek van Sierpinski?
(c) Noem (vn) de rij die we bekomen door de overblijvende omtrek te berekenen, dat wil zeggen de som van delengtes van alle overblijvende zijden.
(i) Bepaal een expliciet voorschrift van de rij (vn).
(ii) Naar wat evolueert de omtrek? Toon aan met een berekening.
(iii) Wat kun je besluiten over de omtrek van de driehoek van Sierpinski?
Onderzoeksvraag 2
Bereken de fractale dimensie van de driehoek van Sierpinski en de sneeuwvlok van Koch.
A-138
Onderzoeksopdracht 4 - Winnende strategieen
Een kansspel is een spel waar winst of verlies wordt bepaald door toeval, bijvoorbeeldhet spelen van een krasspel of een deelname aan de lotto. In deze onderzoeksopdrachthebben we het niet over kansspellen maar over wiskundige spellen met twee spelers,waar de winst of het verlies van een speler enkel afhangt van de beslissingen die beidespelers tijdens het spel nemen. Voor zo’n wiskundig spel is een van de belangrijkstevragen of er een winnende strategie bestaat: een stappenplan zodat een speler,ongeacht de beslissingen van de andere speler, het spel gegarandeerd wint. Bestaater zo’n winnende strategie, en zijn beide spelers hiervan op de hoogte, dan is deuitkomst van het spel afhankelijk van wie het spel als eerste begint. We noemeneen spelsituatie winnend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd wint indien hij zo’n winnende strategietoepast. Een spelsituatie is verliezend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd verliest indien de tegen-speler zo’n winnende strategie toepast. De tak van de wiskunde die zich met het bestaan van winnende strategieen ende beslisbaarheid van winnende en verliezende spelsituaties bezig houdt, is de zogenaamde speltheorie.
In wat volgt bespreken we het spel Nim, waarin we laten zien dat een winnende strategie afhangt van de beginsituatie.Is die beginsituatie gunstig, en past de speler die het eerst aan zet is deze strategie toe, dan wint hij/zij gegarandeerdhet spel. Is de beginsituatie ongunstig, en past de tweede speler die aan zet is zijn/haar strategie toe, dan verliest deeerste speler gegarandeerd.
In de onderzoeksvraag hebben we het over een ander spel, waarbij het bestaan van zo’n winnende strategie ook afhangtvan de beginsituatie.
een opgave van het spelNim
3 Nim is een spel voor twee spelers, waarbij de spelers om beurten een aantalvoorwerpen (bijvoorbeeld schijven) moeten wegnemen van een aantal stapels.De spelers doen om de beurt een zet, die er uit bestaat dat van een stapelminimaal een schijf en maximaal de hele stapel wordt weggenomen. De winnaaris degene die de laatste schijven wegneemt. Je kan het spel Nim spelen via delink http://www.koendenaeghel.be/Nim.htm .
In wat volgt houden we het op ten hoogste twee stapels. We gaan naof er een winnende strategie bestaat, en in welke beginsituaties de eerste spelerkan winnen.
1. Hoe kunnen we de spelsituatie op een eenvoudige manier noteren?
We kiezen voor een koppel getallen dat het aantal schijven op de stapels weergeeft. Dus de spelsituatie inbovenstaande afbeelding wordt genoteerd als (5, 7).
2. Bepaal eenvoudige spelsituaties die winnend of verliezend zijn, en zoek een patroon.
Als er maar een stapel is, dan win je door alle schijven weg te nemen. Dus
winnend: (1, 0), (2, 0), (3, 0), . . .
(0, 1), (0, 2), (0, 3), . . .
Als er twee stapels met stenen liggen, dan mogen we vooral niet een stapel volledig weg nemen, omdat detegenspeler dan voorgaande strategie kan toepassen om te winnen. De spelsituatie (1, 1) is dus verliezend,terwijl (2, 1) dan weer winnend is. Op die manier is ook (3, 1) winnend, want dan nemen we gewoon tweeschijven van de eerste stapel weg. Voorlopig bekomen we
verliezend: (1, 1)
winnend: (2, 1), (3, 1), (4, 1), . . .
(1, 2), (1, 3), (1, 4), . . .
Analoog kunnen we ook redeneren op andere spelsituaties, zoals (2, 2), (3, 2), etc. We kunnen een lijstmaken waarin we proberen om een patroon te herkennen in de winnende en verliezende situaties. Om hetoverzicht te bewaren, kiezen we een andere weg.
A-139
Nu komt een meetkundige interpretatie van pas. Elke spelsituatie (m,n) kunnen we associeren met een puntP (m,n) in een Cartesisch assenstelsel. Schrijven we • voor een winnende situatie en ◦ voor een verliezendesituatie, dan bekomen we voorlopig de onderstaande Figuur 1.
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
◦
◦
• • • • •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • • •
Figuur 1: spelsituatie (3, 1) is winnend
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
◦
◦
◦
◦
◦
◦
• • • • •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • • •
•
•
•
• • •
•
•
• •
•
•
Figuur 2: een mogelijk spelverloop bij (3, 5)
Bij een spelsituatie (m,n) komt het spelen van een zet overeen met een verschuiving van punt P (m,n) naarlinks of naar onder. Zo zien we in waarom (1, 1) verliezend is: elke verschuiving naar links of naar ondergeeft winnende situatie ◦ voor de andere speler. En zo zien we ook in waarom spelsituatie (3, 1) winnend is:er is een verschuiving naar links dat een verliezende situatie ◦ voor de tegenspeler geeft. Breiden we dezeredenering uit, dan bekomen we de andere roosterpunten zoals in Figuur 2.
De winnende spelsituaties (m,n) komen overeen met de roosterpunten die niet op de diagonaal liggen, dusprecies wanneer m 6= n.
3. Beschrijf voor elke winnende spelsituatie een winnende strategie.
Bij een winnende spelsituatie (m,n) met m 6= n verloopt een winnende strategie als volgt: zorg dat je naelke zet een verliezende situatie doorgeeft aan de tegenspeler. Dat doe je door een verschuiving naar linksof naar onder uit te voeren zodat je een punt op de diagonaal bekomt. In de praktijk maak je bij elke zetbeide stapels gelijk. Een mogelijk spelverloop bij (3, 5) is bijvoorbeeld (zie Figuur 2):
(3, 5)→ (3,3)→ (2, 3)→ (2,2)→ (2, 0)→ (0,0)
een opgave van het spelCookies
3 Cookies is een ander spel, dat als volgt verloopt. Op tafel staan twee sta-pels met koekjes. Twee spelers nemen om beurten koekjes van de stapels, endat kan alleen als volgt: ofwel neem je een aantal koekjes uit een stapel, of-wel neem je van beide stapels hetzelfde aantal koekjes. De winnaar is degenedie de laatste koekjes wegneemt. Je kan het spel Cookies spelen via de linkhttp://www.koendenaeghel.be/Cookies.htm .
Onderzoeksvraag
Bepaal welke spelsituaties bij Cookies winnend zijn, en beschrijf een winnendestrategie.
Aanwijzing.
(a) Door enkele kleine gevallen na te gaan kun je inzien waarom een spelsituatie winnend is, en wat in dat geval dewinnende strategie is. Het moeilijk deel is om alle winnende spelsituaties te beschijven.
(b) Een eerste uitdaging is om een patroon2 te vinden in de winnende (of verliezende) koppels. Formuleer eenvermoeden.
(c) Als tweede uitdaging kun je een elegante formule zoeken die voor een beginsituatie meteen beslist of de eerstespeler gegarandeerd kan winnen. Zijn de situaties (19, 30) en (3198, 5175) winnend?
2Veelvoorkomende rijen kun je terug vinden op de online encyclopedie van getallenrijen http://oeis.org/?language=dutch , diemeer dan 200 000 rijen met gehele termen herkent.
A-140
Wiskundig door de bocht1
Inleiding
Soms dringt wiskunde zich spontaan op, bijvoorbeeld in een stukje speelgoed. Je hoeft het alleen maar ter hand tenemen om uren te construeren en aan de hand daarvan te redeneren en te rekenen. Bij dit onderwerp gaan we datdoen aan de hand van een set van zogenaamde ‘elleboogjes’.
elleboogje
Een elleboogje is een kwartcirkel. Met een klik kunnen de elleboogjes worden geschakeld. Webekijken alleen gesloten schakelingen van elleboogjes (dus zonder begin- en eindpunt). Zo’ngesloten schakeling noemen we een circuit. Onderstaande foto’s tonen een aantal voorbeeldenvan circuits. Je ziet vier vlakke circuits, bestaande uit 8, 12, 16 en 28 elleboogjes: ze kunnenplat op tafel worden gelegd.
8-circuit 12-circuit 16-circuit 28-circuit
niet vlak
Maar hiernaast is ook een ruimtelijk circuit gegeven met 7 elleboogjes. Deze vorm kan nietplat op tafel gelegd worden. We noemen een circuit dus alleen vlak als alle elleboogjes vanhet circuit in hun geheel plat op tafel liggen. Om misverstanden te voorkomen: de tweeonderstaande foto’s tonen twee circuits met 8 elleboogjes. Links is sprake van een vlakcircuit; rechts ligt het circuit niet in zijn geheel plat op tafel en daarom is het dus niet vlak.
vlak niet vlak
Wiskundige representaties van elleboogjes
gezamelijke raaklijn
De elleboogjes kunnen we wiskundig representeren als kwartcirkels met straal 1.Bij deze wiskundige weergave verwaarlozen we de dikte van het materiaal vande elleboogjes. In de verbindingen zitten de kwartcirkels met hun eindpuntenaan elkaar en hebben daar een gezamenlijke raaklijn. Soms lijkt een plasticcircuit wel te kunnen (met een beetje wringen), maar als je het op bovenstaandewijze met kwartcirkels probeert weer te geven, blijkt het wiskundig gezien nietmogelijk. Wij zullen dat dan niet als ‘circuit’ erkennen. De raaklijneigenschapvan de wiskundige representatie betekent voor de concrete elleboogjes: vantwee geschakelde elleboogjes sluiten de grensvlakken naadloos op elkaar aan.Een wiskundige omschrijving van een circuit van n elleboogjes (met n ∈ N) luidt dus:
Een n-circuit is een gesloten kromme, bestaande uit n kwartcirkels die in alle verbindingspuntensteeds een gezamenlijke raaklijn hebben.
snavel en dubbelpunt
Het lijkt overbodig (omdat de elleboogjes het niet toelaten), maar wiskundigmoet het nog worden uitgesloten: in een gesloten kromme staan we geen ’sna-vels’ toe en ook geen ‘dubbelpunten’.
1Wiskunde B-dag opgave 2003, Freudenthal instituut 1991-2013 [43].
A-142
Opgave
Bij deze onderzoeksopdracht ga je op zoek naar mogelijkheden en onmogelijkheden van vlakke en ruimtelijke circuitsvan elleboogjes en eigenschappen daarvan. Het setje van 24 elleboogjes is bedoeld om daadwerkelijk constructies uit tevoeren die het denken en redeneren over circuits in algemene zin (dus ook voor circuits met meer dan 24 elleboogjes)kunnen ondersteunen. De opdracht is gesplitst in drie delen.
In deel A worden de vlakke circuits onderzocht. In deel B worden ruimtelijke circuits bekeken die aan bepaaldevoorwaarden moeten voldoen; je krijgt daar dus maar beperkt de ruimte. Daarna krijg je in deel C de volledig vrijeruimte. De genummerde vragen in de delen A, B en C zijn bedoeld om richting te geven aan je onderzoekingen. Zehoeven niet in de gegeven volgorde bekeken te worden; het werk daaraan kan ook worden verdeeld binnen de groep.In elk deel worden ook algemene vragen gesteld. Dat zijn de onderzoeksvragen waarmee je jezelf kunt onderscheidenvan anderen in wiskundige diepgang en volledigheid.
Eindopdracht
Van je bevindingen in de delen A, B en C maak je een zelfstandig leesbaar werkstuk. Dit houdt in dat een lezer,die zelf beschikt over een setje elleboogjes, aan de hand van je verslag duidelijk zicht krijgt op de mogelijkheden,onmogelijkheden en eigenschappen van vlakke en ruimtelijke circuits. In het verslag speelt de volgorde van de vragenzoals ze in deze onderzoeksopdracht zijn gezet geen enkele rol. Zorg er wel voor dat je bevindingen bij de verschillendevragen aan bod komen, maar voorkom dat je verslag alleen maar een beantwoording is van de afzonderlijke vragen.
Deel A: Vlakke circuits
Duidelijk is dat het kleinst mogelijke vlakke circuit uit vier elleboogjes bestaat. We noemen dit een vlak 4-circuit.
Vlakke n-circuits
Een vlak n-circuit is dus een gesloten kromme zonder dubbelpunten van precies n elleboogjes, waarvan alle elleboogjesplat op tafel liggen. In dit deel bekijken we eerst welke vlakke n-circuits mogelijk zijn. Je hebt de beschikking over eensetje van 24 echte elleboogjes om mee te experimenteren. Bedenk dat een deel van de vragen ook gaat over waardenvan n die groter zijn dan 24.
1. Leg met 8 elleboogjes een vlak 8-circuit. Zijn er meerdere mogelijkheden? Geef ook alle mogelijkheden voor eenvlak 12-circuit. Toon daarbij overtuigend aan dat je ze allemaal hebt gevonden.
2. Circuits daadwerkelijk maken is een kwestie van proberen. Daarbij zal het setje elleboogjes zeker helpen. Maarop papier communiceren over een circuit, zonder dat je daarbij steeds zo’n circuit tekent, is een ander verhaal.Bij het beantwoorden van veel vragen is het daarom nuttig om een manier te hebben waarmee je een willekeurigcircuit kunt beschrijven. Dat kan op velerlei manieren. Aan jullie de taak om zelf een handige beschrijvingswijzete zoeken, waarmee je makkelijk kunt communiceren. Zorg er wel voor dat je de gekozen beschrijving preciesvastlegt voor de lezer.
3. Je kunt heel wat 16-circuits maken. Bedenk een systematiek om ze allemaal te vinden en beschrijf die systematiek.
4. Met een oneven aantal elleboogjes kun je nooit een vlak circuit leggen. Leg dat uit.
schakeling
5. Maak een schakeling van drie elleboogjes. De grenspunten nummeren we0, 1, 2 en 3 zoals hier schematisch is weergegeven. Houd nu de punten 0en 1 (dus het eerste elleboogje) vast. Beschrijf waar de eindpunten vanvolgende elleboogjes 2, 3, 4, . . . dan kunnen komen te liggen, inclusief derichting waarin een nieuw elleboogje in zo’n eindpunt moet aansluiten.
6. Is een vlak 6-circuit mogelijk?
Algemene vraag I. Voor welke waarden van n is een vlak n-circuit mogelijk? Kun je dit ook hard maken?
Bonusvraag Gegeven een waarde n, stel een formule op die het aantal verschillende mogelijkheden geeft voorhet maken van een vlak n-circuit.
A-143
Omsloten oppervlakte van een vlak n-circuit
We bekijken nu alleen de wiskundige representatie van de elleboogjes, waarbij de materiele dikte van de elleboogjeswordt verwaarloosd. Dat zijn kwartcirkels met straal 1. De omsloten oppervlakte van het 4-circuit is dus π. Natuurlijkhangt de oppervlakte van een vlak n-circuit samen met de waarde van n, maar daarnaast is ook de vorm van hetcircuit van invloed op de omsloten oppervlakte.
7. Laat zien dat de oppervlakte binnen een vlak 8-circuit gelijk is aan π + 4.
Algemene vraag II. Wat is de maximale oppervlakte die kan voorkomen bij vlakke n-circuits? En wat is deminimale waarde? Bewijs dit.
Bonusvraag Gegeven een willekeurig vlak n-circuit, stel een formule op die de oppervlakte geeft, eventueel infunctie van parameters die geassocieerd worden met de vorm van het n-circuit.
Deel B: Beperkte ruimte
Met de elleboogjes kunnen ook ruimtelijke circuits worden gevormd. In de ruimte heb je eindeloos veel constructie-mogelijkheden, omdat een elleboogje dat vast zit aan een ander in de ruimte over elke hoek kan worden gedraaid.Daarom leggen we in dit deel voorlopig een beperking aan de bewegingsruimte op:
De elleboogjes liggen in de vlakken van een kubisch rooster, met de eindpunten van de elleboogjessteeds op de middens van ribben van de kubussen van dat rooster.
deel van een circuit op een kubischrooster
Hiernaast is een klein deel van zo’n kubisch rooster getekend, met daarin eenvoorbeeld van 5 geschakelde elleboogjes die aan de eis voldoen. In principe zijnde kubussen van zo’n rooster ook stapelbaar.
8. Er zijn twee verschillende ruimtelijke 6-circuits mogelijk die aan de ge-stelde beperking voldoen. Probeer ze te maken en beschrijf ze met behulpvan het rooster. Onderzoek welke 8- en 10-circuits voldoen aan de opge-legde beperking.
9. Is het mogelijk een ruimtelijk n-circuit te maken, binnen de beperkingenvan het rooster, voor oneven waarden van n? Leg uit.
Algemene vraag III. Voor welke waarden van n is een ruimtelijk n-circuit op een kubisch rooster mogelijk? Kunje dit ook hard maken?
Deel C: De vrije ruimte
In dit deel krijg je echt vrije speelruimte. Zoals eerder is gezegd maakt dat het geheel veel complexer, omdat er zoveelbewegingsvrijheid is. Bij onbeperkte bewegingsruimte blijken ook ruimtelijke circuits mogelijk voor bepaalde onevenwaarden van n. Bij het experimenteren met de elleboogjes moet je bedenken dat het materiaal altijd wat spelingtoelaat. Daardoor kun je plastic circuits maken met wat wringen, die wiskundig niet als circuit mogelijk zijn. Houdje dus bij het construeren van ruimtelijke circuits aan de wiskundige beschrijving van een n-circuit zoals die in deinleiding is gegeven.
Een geval apart: n = 5
Het blijkt onmogelijk te zijn om, zonder vervorming bij de grensvlakjes, een ruimtelijk circuit te maken met 5 elle-boogjes. De volgende activiteit kan wellicht helpen om een idee te krijgen waarom het niet mogelijk is.
Leg 5 geschakelde elleboogjes op tafel. Houd het middelste elleboogje (CDin nevenstaande figuur) goed vast op zijn plaats en bekijk hoe eindpunt A inde ruimte kan bewegen door de twee elleboogjes CB en BA te draaien. Allemogelijke posities voor punt A blijken een zelfde karaktertrek te hebben: zeliggen allemaal op een vaste afstand van het snijpunt P van de raaklijnen inB en C. Hetzelfde geldt voor alle mogelijke posities van punt F : die liggenallemaal op een vaste afstand van punt Q.
10. Toon aan dat voor alle mogelijke posities van punt A steeds geldt dat de afstand tot punt P constant is. Berekenook die afstand.
A-144
De laatste opdracht is weer een algemene en daarbij heb je ook nog eens vrijheid van keuze. De ruimtelijke circuitsgeven alle aanleiding tot het jezelf vragen stellen. Mogelijke vragen:
3 Kun je het idee van vraag 10 gebruiken om aannemelijk te maken dat een 5-circuit niet mogelijk is?
3 Er zijn twee ruimtelijke 6-circuits. De ene is flexibel (kan in verschillende vormen worden gedraaid zonder tewringen. De andere is star en kan dus niet worden overgevoerd in een andere vorm. Hoe zit dat? Zijn er nogmeer starre ruimtelijke circuits?
3 Voor welke oneven waarden van n is een ruimtelijk circuit mogelijk?
Vragen van dit soort zijn beslist niet makkelijk te beantwoorden, maar wellicht kan het gericht experimenteren methet concrete materiaal je nog op goede gedachten brengen.
Algemene vraag IV. Doe nog wat onderzoek aan ruimtelijke vormen en probeer uitdagende problemen op hetspoor te komen die met het setje ellebogen kunnen worden aangepakt. Ook als je die problemen niet zelf oplost,kun je ze in het werkstuk van de eindopdracht beschrijven.
Ten slotte
Voer de eindopdracht uit op de manier die beschreven is op bladzijde 2. Bedenk daarbij nogmaals dat het niet debedoeling is dat je de afzonderlijke vragen van de delen A, B en C beantwoordt. Zorg dat je een samenhangendverslag geeft van de bevindingen rond vlakke en ruimtelijke circuits en schroom zeker niet om uitdagende problemenin je verslag op te nemen.
Veel succes!
A-145
Er
isgee
nen
kele
red
enw
aaro
mw
ed
eri
jre
chte
rsom
men
zou
den
‘bev
oor
del
en’
(ten
opzi
chte
van
lin
kers
om
men
,m
idd
enso
mm
en,
etc.
)en
enke
ld
eco
nver
genti
eva
nd
eri
jre
chte
rsom
men
zou
den
bek
ijken
.D
aar
omd
evo
lgen
de
3A
lgem
en
ew
erk
wij
ze.
Zijf
een
beg
ren
sde
fun
ctie
ena,b∈R
zod
atf
bes
taat
in[a,b
].E
en
rij
van
Rie
man
n-s
omm
enR
1,R
2,R
3,...
wor
dt
als
volg
tb
ekom
en.
x0
x1
x1
x0
x1
x2
x1
x2
x0
x1
x2
x3
x1
x2
x3
.V
erd
eel
[a,b
]in
een
geli
jkd
eel:
V1
=[a,b
]=
[x0,x
1]
kie
sx
1∈
[x0,x
1]
R1
=ge
ort
.op
p.
=f
(x1)·(x
1−x
0)
.V
erd
eel
[a,b
]in
twee
gel
ijke
del
en:
V2
=[x
0,x
1],
[x1,x
2]
kie
sx
1∈
[x0,x
1]
enx
2∈
[x1,x
2]
R2
=ge
ort
.op
p.
=f
(x1)·(x
1−x
0)
+f
(x2)·(x
2−x
1)
.V
erd
eel
[a,b
]in
dri
ege
lijk
ed
elen
:
V3
=[x
0,x
1],
[x1,x
2],
[x2,x
3]
kie
sx
1∈
[x0,x
1],x
2∈
[x1,x
2]
enx
3∈
[x2,x
3]
R3
=ge
ort
.op
p.
=f
(x1)·(x
1−x
0)
+f
(x2)·(x
2−x
1)
+f
(x3)·(x
3−x
2)
Den
-de
term
inee
nri
jva
nR
iem
ann
-som
menR
1,R
2,R
3,...
isd
us
geli
jkaan
Rn
=f
(x1)·(x
1−x
0︸︷︷
︸∆x1
)+f
(x2)·(x
2−x
1︸︷︷
︸∆x2
)+...+f
(xn)·(xn−xn−
1︸
︷︷︸
∆xn
)
=
n ∑ i=1
f(xi)
∆xi
metxi∈
[xi−
1,xi]
Elk
ete
rmf
(xi)
∆xi
isd
ege
orie
nte
erd
eop
per
vla
kte
van
de
rech
thoek
met
bas
is∆xi=xi−xi−
1en
hoogte|f
(xi)|.
Als
we
bij
elke
verd
elin
gd
exi
telk
ens
opee
nb
ijzo
nd
ere
man
ier
kie
zen
,d
anb
ekom
enw
eee
nri
jva
nre
chte
rsom
-m
en,
lin
ker
som
men
,b
oven
som
men
ofon
der
som
men
.D
itzi
jnd
us
bij
zon
der
eri
jen
van
Rie
man
n-s
omm
en.
Bij
de
fun
ctief
hor
end
us
on
ein
dig
veel
rije
nva
nR
iem
ann
-som
men
,w
aaro
nd
eren
kele
bij
zon
der
ezo
als
de
rij
rech
ters
omm
en,
de
rij
lin
ker
som
men
,d
eri
jb
oven
som
men
end
eri
jon
der
som
men
.
Als
elk
eri
jR
iem
ann
-som
menR
1,R
2,R
3,...
conve
rgee
rt,
dan
zegg
enw
ed
atd
eto
tale
geo
rien
teer
de
opp
ervla
kte
van
het
geb
ied
gele
gen
tuss
end
egr
afiek
vanf
,d
ex
-as
end
ere
chte
nx
=a
enx
=b
bes
taat
.A
lsd
at
zois
,d
an
ku
nje
gem
akke
lijk
inzi
end
atal
dez
eri
jen
nood
zake
lijk
naar
het
zelf
de
geta
lco
nve
rger
en(z
ieoef
enin
g8).
Sam
enge
vat
met
de
defi
nit
ieva
nb
epaa
lde
inte
graa
l(z
iepag
ina
3)ve
rkri
jgen
we
Geo
rgF
ried
rich
Ber
nhard
Rie
mann
(1826
-1866)
Defi
nit
ie(I
nte
gre
erb
aarh
eid
).Z
ijf
een
fun
ctie
ena,b∈R
zod
atf
bes
taat
enb
egre
nd
isov
er[a,b
].D
efu
nct
ief
noem
t(R
iem
ann
-)in
tegr
eerb
aar
over
[a,b
]als
voor
elk
eri
jva
nR
iem
an
n-
som
men
de
volg
end
eli
mie
t3b
esta
atin
R
lim
n→
+∞
n ∑ i=1
f(xi)
∆xi
Ind
at
gev
alzi
jnal
dez
eli
mie
ten
geli
jk,
enn
oem
tm
end
eu
itko
mst
van
dez
e
lim
iet
de
bep
aald
ein
tegr
aal
vanf
tuss
enx
=a
enx
=b,
not
ati
e
∫b
a
f(x
)dx
.
3O
pd
itp
unt
veg
enw
eee
nte
chn
isch
eco
nd
itie
on
der
de
mat:
de
coll
ecti
evan
rije
nvan
Rie
man
n-s
om
men
moet
engel
ijkm
ati
gco
nver
ger
en.
De
form
ele
defi
nit
ielu
idt:∃s∈
R:∀ε>
0:∃N∈
N:∀
Rie
man
n-r
ijR
1,R
2,...
:n>N⇒|Rn−s|<ε.
XI-
7
Werk
wij
ze1
om
een
bepaald
ein
tegra
al
teb
ere
kenen
Hoofd
stel
lin
g1
van
de
inte
graa
lrek
enin
gla
aton
sto
eb
epaa
lde
inte
gra
len
(van
conti
nue
fun
ctie
s)te
ber
eken
en:
Werk
wij
ze
1.
Geg
even
isee
nfu
nct
ief
(x),
conti
nu
over
[a,b
].O
md
eb
epaa
lde
inte
gra
al
∫b
a
f(x
)dx
teb
erek
enen
gaan
we
als
volg
tte
wer
k.
Sta
p1.
Zoek
de
opp
ervla
kte
fun
ctieA
(t)
uit
de
voor
waa
rden
A′ (t)
=f
(t)
enA
(a)
=0.
Sta
p2.
Dan
is
∫b
a
f(x
)dx
=A
(b).
De
zoek
toch
tn
aar
een
fun
ctie
wie
ns
afge
leid
ef
(t)
is,
noem
tm
enook
wel
‘inte
grer
en’.
functie
f(x)
deoppervlaktefunctie
A(t)
integreren
afleiden
bepaaldeintegraal
∫b
a
f(x)dx=
A(b)
invullen
ab
y
x
y=
f(x)
at
b
y
x
y=
f(x)
A(t)
ab
y
x
y=
f(x)
∫b
a
f(x)dx
3M
od
elv
oorb
eeld
1.
Geg
even
isd
efu
nct
ief
(x)
=x
2.
(a)
Bep
aal
de
opp
ervla
kte
fun
ctieA
(t)
vanf
tuss
enx
=0
enx
=2.
(b)
Ber
eken
∫2
0
f(x
)dx
met
beh
ulp
van
de
opp
ervla
kte
fun
ctie
.C
ontr
olee
rm
etje
grafi
sch
ere
ken
mach
ine
zoals
opp
agi
na
9.
Oplo
ssin
g.
3M
od
elv
oorb
eeld
2.
Geg
even
isd
efu
nct
ief
(x)
=1 4x
3.
(a)
Bep
aal
de
opp
ervla
kte
fun
ctieA
(t)
vanf
tuss
enx
=1
enx
=2.
(b)
Ber
eken
∫2
1
f(x
)dx
met
beh
ulp
van
de
opp
ervla
kte
fun
ctie
.C
ontr
olee
rm
etje
gra
fisc
he
reke
nm
ach
ine.
Oplo
ssin
g.
3B
esl
uit
.H
oof
dst
elli
ng
1m
aak
th
etm
ogel
ijk
omb
epaa
lde
inte
gral
ente
ber
eken
en.
Maa
rte
lken
sco
ntr
ole
ren
ofA
(a)
=0
maa
kt
de
wer
kw
ijze
wat
omsl
achti
g.In§1
.5zi
enw
eee
ntw
eed
ew
erkw
ijze
waar
bij
de
contr
ole
‘A(a
)=
0’ov
erb
od
igza
lb
lijk
en.
XI-
12
Onderwerpen
Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening
ontwerp van een woning
In een gemeente met 30 000 inwoners staan 10 000 woningen. De gemeente schat dathet gemiddeld aantal bewoners per woning gelijk blijft aan drie, en bouwt er 200woningen per jaar bij.
Uit gegevens uit het verleden wordt een empirisch model voor de veranderingen in debevolkingsomvang afgeleid. De prognose voor het aantal geboorten is
g(t) = 734 + 55t+ 2t2 per jaar,
en die voor het aantal sterfgevallen is
s(t) = 350 + 37t− t2 per jaar.
In beide formules is t uitgedrukt in jaren na het begin van de planningsperiode. De overige effecten, zoals migratie,houden elkaar volgens de schattingen in evenwicht.
Model Het aantal inwoners als functie van de tijd geven we aan met N(t). De afgeleide van N(t) is de veranderingvan het aantal inwoners per tijdseenheid (jaar). De netto bevolkingstoename per jaar is het aantal geboorten minushet aantal sterfgevallen, ofwel
N ′(t) = g(t)− s(t)Opgave
1. Bepaal het aantal inwoners als functie van de tijd.
2. Hoeveel inwoners kwamen er tijdens het eerste jaar bij?
Antwoord. 394
3. Wat is het aantal woningen W als functie van t?
4. Wanneer zal de woningbehoefte even hard groeien als de woningvoorraad?
Antwoord. Na 6 jaar.
5. Wanneer ontstaat er volgens de norm van de gemeente een woningtekort?
A-152
Onderwerp 2. Milieukunde
lozen van afvalwater
Een chemische fabriek heeft een verguning voor het lozen van 1000 kg van een afvalstofper week op een rivier. De rivier heeft een constant debiet van 0, 2 m3/s. Per weekstroomt dan 120 960 m3 water voorbij. Een gelijkmatige lozing van 1000 kg per weekzou dus een constante concentratie
1000 kg/week
120 960 m3/week≈ 8, 267 · 10−3 kg/m3
in het water stroomafwaarts van de fabriek geven.
Ter controle wordt stroomafwaarts van de lozingpijp de concentratie afvalstof geme-ten, en die afvalstof wordt toegeschreven aan de fabriek. Het gemeten verloop wordtbeschreven door de functie
c(t) = c0 e0,0125 t kg/m3,
met t in weken na het begin van de metingen en c0 = 7·10−3 kg/m3. In het begin geldtc(0) = c0 = 7 · 10−3 kg/m3, dus op dat moment is de fabriek binnen de lozingsnorm.Blijft dat ook zo?
Model We nemen t = 0 bij het begin van de metingen. De hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t sinds hetbegin van de metingen duiden we aan met G(t). De afgeleide G′(t) is dan de toename per tijdseenheid (week), endat is de hoeveelheid afvalstof die er (per tijdseenheid) in de rivier stroomt. Die hoeveelheid is het product van deconcentratie c(t), in kg/m3, en het debiet D = 120 960 m3/week.
Opgave
1. Bepaal de hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t.
2. Hoeveel afvalstof is er in de eerste week geloosd?
Antwoord. 852, 0341 . . . kg
3. Hoeveel afvalstof is er in de vierde week geloosd?
Antwoord. 884, 5920 . . . kg
4. We duiden met H(t) de hoeveelheid afval aan die de week voorafgaand aan tijdstip t is geloosd. Geef eenuitdrukking voor H(t).
5. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 1000? Wat gebeurt er als t > T?
A-153
Onderwerp 3. Celbiologie
plantencel
Een vacuole is een met vocht gevuld blaasje, dat zich in het cytoplasma van eencel bevindt. Plantencellen bevatten meerdere kleine vacuolen. Deze vacuolen nemenwater op en verenigen zich later tot een grote vacuole. Het vocht in de vacuolen bestaatuit water met daarin opgeloste stoffen, o.a. reservestoffen, kleurstoffen en afvalstoffen.De kleurstoffen zorgen voor de kleur van bijvoorbeeld planten en bloemen.
Model Een plantencel neemt water op in een vacuole, die aanvankelijk een volumeV (0) = 10µm3 heeft. De opnamesnelheid wordt gemodelleerd als
V ′(t) = 20 e−2t
met t de tijd in uren.
Opgave
1. Bepaal het volume van de plantencel in functie van de tijd t.
2. Hoeveel water bevat de vacuole na een kwartier?
Antwoord. 13, 9346 . . . µm3
3. Wat wordt volgens dit model het volume van de vacuole op den duur?
4. Hoeveel water werd er door de vacuole in het eerste uur opgenomen?
5. Hoeveel water werd er door de vacuole in het derde uur opgenomen?
Antwoord. 0, 1583 . . . µm3
6. We duiden met H(t) de hoeveelheid water aan die het uur voorafgaand aan tijdstip t werd opgenomen.Geef een uitdrukking voor H(t).
7. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 0, 001?
A-154
Onderwerp 4. Visteelt
viskwekerij
Visteelt is een vorm van aquacultuur, waarbij vissen op een commerciele manier wor-den gekweekt voor consumptie. Door teruglopende visvangsten, veroorzaakt dooroverbevissing, wordt de visteelt een steeds belangrijkere tak in de visserij. Om eenoptimale visteelt te garanderen is het van belang de groei van vissen in kweek temodelleren.
Model Veronderstel dat de massa van een vis groeit volgens de modelvergelijking
m′(t) =α√t
met m de massa uitgedrukt in gram, t de tijd in dagen en α = 2 g · d− 12 .
Opgave
1. Ga na dat de eenheden in deze vergelijking met elkaar overeenstemmen.
2. Bepaal m(t) als m(0) = 1.
3. Wat gebeurt er volgens dit model op den duur met de massa van de vis?
4. Hoeveel gram nam de vis toe tijdens de eerste dag?
Antwoord. 4g
5. Hoeveel gram nam de vis toe tijdens de vijfde dag?
Antwoord. 0, 94427 . . . g
6. We duiden met V (t) het aantal gram aan waarmee de vis toeneemt op de dag voorafgaand aan tijdstip t.Geef een uitdrukking voor V (t).
7. Van zodra de aangroei van de vis per dag kleiner is dan 0, 5 gram per dag is het niet langer rendabel om devissen in kweek te houden. Op welke dag kan men het best deze vissoort oogsten?
A-155
Onderwerp 5. Plantenteelt I
zomertarwe
Een akker wordt op 1 april met zomertarwe ingezaaid. Aanvankelijk groeien de plan-ten vrijstaand op, ze beconcurreren elkaar niet op voedingsstoffen en licht.
Model We modelleren deze eerste fase met een constante relatieve groeisnelheid, wekrijgen dan een exponentiele functie. De groeisnelheid van de tarwe in het modelwordt gegeven door
y′(t) = 0, 0672 e0,2 t
in kg drooggewicht per ha per dag, t in dagen. Deze fase duurt 40 dagen, tot en met10 mei.
In de tweede fase, tot en met 19 juli (70 dagen) neemt de onderlinge concurrentie toe. De groeisnelheid is dan constant.In de laatste fase is de tarwe volgroeit, en alle energie wordt gebruikt voor het rijpen van het graan. De groeisnelheidneemt af. De laatste 10 dagen tot de oogst op 29 juli wordt de groeisnelheid gemodelleerd met
y′(t) = 200 e−0,53 (t−110)
Opgave
1. Schets de grafiek van de groeisnelheid van de tarwe als functie van de tijd, voor 0 ≤ t ≤ 120.
2. Wat is het drooggewicht per hectare aan het eind van de eerste fase?
Antwoord. 1001, 2658 . . . kg/ha
3. Bereken de groeisnelheid aan het eind van de exponentiele fase.
4. Bereken de gewichtstoename van de tarwe in de fase van constante groei.
5. Bereken ten slotte de gewichtstoename in de derde fase, de rijping.
Antwoord. 375, 4748 . . . kg/ha
6. Schets een grafiek van het drooggewicht van de tarwe als functie van de tijd over de gehele periode. Neem daarbijaan dat het begingewicht te verwaarlozen is. Verklaar ook hoe je deze grafiek gevonden hebt.
7. Wat mag men verwachten voor de opbrengst van de oogst, als je weet dat de akker een oppervlakte heeft van80 hectare?
A-156
Onderwerp 6. Plantenteelt II
vrouwentongen(Sansevieria trifasciata)
Planten slaan door assimilatie energie in hun bladeren op. Hierbij wordt kooldioxide(C02) gebonden en komt zuurstof (O2) vrij:
CO2 + energie −→ suiker + O2
De assimilatiesnelheid is evenredig met de lichtintensiteit (fotosynthese), assimila-tie heeft dus alleen overdag plaats. Hierbij neemt het gewicht y van de plant (debiomassa) toe.
Model De groei van de biomassa van een kamerplant door assimilatie modelleren wemet
y′a(t) = 10 sin
(1
12(t− 6)π
)(in mg/uur) voor 6 ≤ t ≤ 18
waarin t gemeten is in uren na middernacht. Buiten de genoemde uren is y′a(t) nul.Bij het omgekeerde proces, ademen of respiratie, komt de opgeslagen energie weervrij, en neemt het gewicht af. De ademhalingssnelheid veronderstellen we gedurendehet hele etmaal constant, de bijhorende gewichtsverandering is
y′r(t) = −1 (in mg/uur)Opgave
1. Teken in een figuur de functies y′a(t) en y′r(t) voor t = 0 tot t = 24.
2. Bereken de gewichtstoename per dag door assimilatie en het gewichtsverlies door respiratie.Hoeveel neemt de plant per dag aan gewicht toe?
Antwoord. Gewichtstoename per dag is 52, 39 . . .mg
3. Voor respiratie is zuurstof nodig, elke milligram gewichtsvermindering verbruikt 1, 7 mg zuurstof. Een kubiekemeter lucht bevat 0, 4 kg zuurstof. Hoeveel kubieke meter lucht gebruikt deze plant per nacht (van 18.00 u. tot6.00 u.)?
Antwoord. 0, 000051m3
4. Moet je daarmee rekening houden als je tien van deze kamerplanten op een slaapkamer van 5m op 4m op 2mzet? Fundeer je antwoord.
5. Op zeeniveau bevat lucht gemiddeld 21% zuurstof. Van zodra de hoeveelheid zuurstof 10% minder is dangemiddeld, dan dreigt er gevaar voor de gezondheid. Hoeveel van deze kamerplanten moet je in een slaapkamervan 5m op 4m op 2m zetten opdat er gevaar zou dreigen?
A-157
Extra problemen
Probleem 7. Bepaal telkens de vergelijking van de familie van krommen met de gegeven helling, en de kromme uitdie familie die het gegeven punt bevat.
(a) m =tanx
yen A(0, 2) (c) m = −2y lnx en C(2, 8)
(b) m =23x−1
y3en B(1,−1) (d) m =
xy
1 + x2en D(3, 5)
Probleem 8. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 2. Bovendien bevat die kromme het punt P (2, 6) en is dehelling in P aan de kromme gelijk aan 10. Bepaal de vergelijking van die kromme.
Probleem 9. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 6x − 8. Bovendien bevat die kromme het punt P (1, 0) enwordt de normaal in dat punt gegeven door 2x− 3y = 2. Bepaal de vergelijking van die kromme.
Probleem 10 (biologie). Een kolonie bacterien wordt blootgesteld aan ultraviolet licht, die het DNA van de bacterienaantast zodat de kolonie uitsterft. In een laboratorium-experiment heeft men ontdekt dat de mate van de afname vanhet aantal levende bacterien evenredig is met het aantal nog levende bacterien op dat moment. Na 7 seconden levener nog 70, 5% van hen.
(a) Hoeveel bacterien leven er nog na een 20 seconden?
(b) Hoe lang duurt het voordat 95% van de bacterien dood zijn?
Probleem 11 (natuurkunde). De temperatuur van een fles melk daalt met een snelheid van 0, 0837 keer het ver-schil tussen de melktemperatuur op dat moment en de kamertemperatuur die 20◦ bedraagt. Onderstel dat de melkaanvankelijk 80◦ warm is. Na hoeveel tijd is de melktemperatuur tot 50◦ gezakt?
Aanwijzing. Als y(t) de melktemperatuur op tijdstip t is, zal y′(t) dan positief of negatief zijn? Dus schrijf je dany′ = . . . · (. . .− y) of y′ = . . . · (y − . . .)?Probleem 12 (bevolkingsleer). Een gebied heeft een maximale bevolkingscapaciteit van 200 miljoen mensen. Opelk tijdstip t is de mate van de toename van de bevolking evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en debevolking op dat moment. Aanvankelijk leven er 50 miljoen mensen, en tien jaar later zijn er al 109 miljoen mensen.
(a) Bepaal de bevolking na 20 jaar.
(b) In welk jaar zal 90% van de bevolkingscapaciteit bereikt worden?
Probleem 13 (economie). Bij het opstarten van een bedrijf verwacht men dat op elk ogenblik de mate van detoename van de jaarlijkse verkoopcijfers evenredig zal zijn met het verschil tussen de verkoopcijfers op dat ogenbliken een bovengrens van 20 miljoen euro. Initieel zijn de verkoopcijfers uiteraard 0 en ze zijn 4 miljoen voor het tweedeoperationele jaar.
(a) Welke verkoop mag men verwachten na 10 jaar?
(b) In welk jaar zullen de verkoopcijfers 15 miljoen euro bedragen?
Probleem 14 (besmettingsleer). Een gemeenschap van 1000 mensen is homogeen samengesteld. Een persoon keertuit het buitenland terug met een griepvirus. Onderstel dat de thuisgemeenschap niet ingeent is tegen griep en allenvatbaar zijn voor deze ziekte. Bovendien is de mate van de verandering van het aantal besmette personen evenredigmet het product van het aantal besmette en het aantal niet besmette personen. Na 7 dagen zijn er tien personenbesmet.
(a) Hoeveel mensen zijn na 20 dagen besmet door het virus?
(b) Hoeveel dagen duurt het tot de helft van de gemeenschap is aangetast door het griepvirus?
Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data
y(a− y)=
1
a− y +1
y.
Probleem 15 (sociologie). Een groep van 800 mensen - studenten, vrienden, verloofden, ouders, etc. - zit op heteinde van het academiejaar gespannen te wachten op de proclamatie van de resultaten. Iemand uit deze groep beweertdat hij/zij het - uiteraard foutieve - gerucht heeft opgevangen dat slechts 15% van de studenten geslaagd is. Ditonrustbarende nieuws verspreidt zich als een lopend vuurtje. Sociologen beweren dat de mate van de toename van hetaantal mensen dat het gerucht vernomen heeft evenredig is met het product van het aantal mensen die het geruchtgehoord hebben en het aantal mensen die het gerucht nog niet gehoord hebben. Als na een minuut al 50 mensen hetgerucht opgevangen hebben, na hoeveel tijd heeft 95% van de aanwezigen het gerucht gehoord?
Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data
y(a− y)=
1
a− y +1
y.
A-160
naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .
Zelfevaluatiekaart Practicum 14
Zelfevaluatie
3 Kruis aan wat van toepassing is;
3 gebruik deze checklist om bij te sturen waar nodig.
Proces Aandachtspunten + +/- -
Opdracht . duidelijk
. boeiend
Bronnen . betrouwbaar
. gevarieerd
. doeltreffend
. voldoende
Materiaal . voldoende
. gevarieerd
. doeltreffend
. alle aspecten
Groepswerk . doeltreffend
. iedereen heeft zijn/haar deel gedaan
. afspraken nageleefd
. aangenaam
. boeiend
Product (po-werpoint)
Aandachtspunten + +/- -
. logisch opgebouwd
. hoofdzaken onderscheiden van bijzaken
. kernboodschap
. less is more
. boeiend
. persoonlijk
. rekening gehouden met doelpubliek
. besluit
Conclusies
3 Bekijk aandachtig je minpunten, welke aspecten verdienen meer aandacht?Vraag hulp aan je leeraar of medeleerlingen, indien nodig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Wat zijn je grootste troeven? Hoe ga je die in de verf zetten?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A-164
Referentielijst, bibliografie en websites
[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998.
[2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994.
[3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994.
[4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994.
[5] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007.
[6] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010.
[7] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.
[8] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill, 1990.
[9] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.
[10] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, UitgeverijDe Boeck nv, Antwerpen, 2005.
[11] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8leerboek analyse 1: reele functies, Die Keure.
[12] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991.
[13] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007).
[14] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008.
[15] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F.Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006.
[16] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekeningen differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006.
[17] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.
[18] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 2, Epsilon Uitgaven 49, 2002.
[19] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 3, Epsilon Uitgaven 50, 2002.
[20] H.G. Dehling, J.N. Kalma Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, 2005.
[21] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9 (2006).
[22] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010.
[23] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009.
[24] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen,Uitgeverij Pelckmans, 1988.
[25] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988.
[26] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49 (2007).
[27] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge.
xix
[28] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek,1998.
[29] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek reelefuncties precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004.
[30] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993.
[31] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008.
[32] W. Dunham, Euler: The master of us all, Dolciani Mathematical Expositions 22, 1999.
[33] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990.
[34] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.
[35] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.
[36] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen enafgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005.
[37] P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn)(2006).
[38] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009.
[39] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In,2005.
[40] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboekstatistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.
[41] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboektelproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.
[42] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeet-kunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.
[43] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.
[44] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994.
[45] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.
[46] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000.
[47] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.
[48] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003.
[49] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012.
[50] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books, 2005.
[51] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.
[52] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.
[53] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002.
[54] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007.
[55] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006.
[56] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008.
[57] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.
[58] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993.
[59] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008.
[60] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991.
xx
[61] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.
[62] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006.
[63] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson EducationBenelux, 2011.
[64] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012.
[65] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen,Universiteit Gent, 2009.
[66] I. Newton, Method of fluxions, 1736.
[67] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86 (1993), pp. 161-163.
[68] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College MathematicsJournal, Vol. 3, No. 1 (Spring, 1972), pp. 33-38.
[69] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009.
[70] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009.
[71] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1999.
[72] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010.
[73] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945.
[74] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.
[75] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009.
[76] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009.
[77] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008.
[78] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962.
[79] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008.
[80] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.
[81] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990.
[82] K. Sydsæter, P. Hammond, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006.
[83] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).
[84] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005.
[85] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010.
[86] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006.
[87] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011.
[88] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, Wolters-Noordhoff, 2006.
[89] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002.
[90] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press,New York, 1967.
[91] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141 (1995), pp. 443-551.
[92] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/ .
[93] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League,http://www.amatyc.org/SML/ .
[94] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/ .
xxi
[95] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prysto-wsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/
.
[96] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/ .
[97] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/ .
[98] Website C. Cambre, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ .
[99] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/ .
[100] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ .
[101] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ .
[102] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/ .
[103] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen .
[104] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019,http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf .
[105] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ .
[106] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .
[107] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ .
[108] Website ticalc.org voor het downloaden van programma’s op de grafische rekenmachine,http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ .
[109] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/ .
[110] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ .
[111] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/ .
[112] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ .
xxii