คู่มือโปรแกรมtdumrong/book/Mathematica_09... · 2017. 1. 6. ·...

เอกสารเผยแพรเพอการศกษารวมฉลอง 100 ป

คมอโปรแกรม Mathematica

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คานา โปรแกรม Mathematica เปนโปรแกรมคานวณทสามารถนาไปประยกตใชงานทางดานการเรยนการสอนหลายวชาเชน Calculus Differential Equation Probability Statistics Numerical Analysis Linear Algebra Number Theory ในหนงสอเลมนจะแนะนาความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica ตอไปจงเปนการใชงานเบองตนของโปรแกรม การเขยนกราฟและการปรบแตงภาพกราฟใหสวยงาม การใชฟงกชนสาเรจรปของโปรแกรม Mathematica การเขยนโปรแกรมโดยใชคาสงของ Mathematica และประยกตใชงานคานวณทงระดบมธยมศกษาและระดบอดมศกษา การใชคมอเลมนเพอศกษาการใชงานโปรแกรม Mathematica แนะนาใหฝกพมพคาสงตามตวอยาง เมอไดผลถกตองตามหนงสอแลวจงดดแปลงสตรหรอตวแปรเพอใหเขาใจมากขน สดทายนหวงวาผอานทกทานจะไดรบประโยชนจากหนงสอเลมน และสามารถนาโปรแกรม Mathematica ไปประยกตใชงานในสาขาตองการได รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา 9 ตลาคม 2559

สารบญ หนา บทท 1 ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica 1 – 36 บทท 2 การใชโปรแกรม Mathematica 37 – 88 บทท 3 การเขยนกราฟดวยโปรแกรม Mathematica 89 – 140 บทท 4 การใชงานเบองตนเกยวกบ Mathematica 141 – 170 บทท 5 การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica 171 – 180 บทท 6 การคานวณระดบ ม.ปลาย ดวยโปรแกรม Mathematica 181 – 218 บทท 7 การคานวณระดบอดมศกษาดวยโปรแกรม Mathematica 219 – 286

ความรเบองตนเกยวกบแปนพมพและคาสงโดยยอ 1. กด Shift+Enter เปนการสงใหคานวณแลวขนบรรทดใหม 2. กด Enter (บน Keyboard ทอยเหนอแปน Shift) เปนการขนบรรทดใหม 3. กด Enter (บนกลม Nemuric Pad ถาม) เปนการสงใหคานวณแลวขนบรรทดใหม 4. พมพ ?CommandShift+Enter เปนการขอดคาอธบายของ Command นน 5. Clear เปนคาสงยกเลกการกาหนดตวแปร เชน Clear[x], Clear[x,y] 6. ตวแปร=. เปนคาสงยกเลกการกาหนดตวแปร เชน x=. เปนการยกเลกตวแปร x 7. % หมายถงผลการคานวณลาสด 8. Out[n] และ %n หมายถงผลจาก Line Output[n] 9. x//N เปนคาสงใหแสดงคาใน x ออกมาเปนตวเลข 10. Expression//Command มความหมายวา Command[Expression] ตวอยางเชน (1+x)^2//Expand จะได 1 + 2x + 2x 2x–4==0//Solve จะได {{x2}} 11. สญลกษณ i ใหกด EsciiEsc, e ใหกด EsceEsc, ใหกด EscpEsc 12. การพมพสญลกษณบางตวโปรแกรม Mathematica จะจดรปแบบให ตวอยางเชน พมพ – จะได พมพ == จะได == (เครองหมาย = สองตวจะชดตดกนมากขน) พมพ xCtrl^2 จะได 2x (เหมอนกบ x^2) พมพ xCtrl/y จะได x

y (เหมอนกบ x/y)

พมพ xCtrl–k จะได kx (เหมอนกบ x[[k]])

หมายเหต ในกรณทหมายเลข Line Input–Line Output ทไดไมตรงกบคมอ ไมตองตกใจ เพราะวาโปรแกรม Mathematics จะเปลยนแปลงหมายเลข Line Input–Line Output ทงหมดใน Notebook หากเราสงใหมการคานวณใหม และทกครงทเรากด Shft+Enter กจะถอวาม Line Input–Line Output เพมขนอก 1 บรรทดใน Notebook

บทท 1 ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica

โปรแกรม Mathematica เปนโปรแกรมชวยในการคานวณ สามารถนาไปประยกตใชงานไดในการเรยนการสอนหลายวชาเชน Calculus Probability and Statistics Linear Algebra Differential Equations ในบทนจะนาความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica ทคานวณไดมาใหดกอนเพอผอานจะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรม Mathematica สวนของการพมพคาสง การเขาสโปรแกรม Mathmatica และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป เนองจากลกษณะการทางานของโปรแกรม Mathematica มบรรทดของคาสงทเราตองพมพคาสงของการคานวณเขาไปเรยกวา Line Input ln[n]:= ... โปรแกรม Mathematica จงจะแสดงผลการคานวณ ในบรรทดถดไปเรยกวา Line Output Out[n]= ... ดงนนการยกตวอยางความสามารถของโปรแกรมจงขอนาผลการคานวณทปรากฎบนจอภาพซงมทงบรรทด Line Input (In[n] :=) และ Line Output (Out[n]=) มาใหเหนพรอมกน ตวอยางเชน


เอกสารเผยแพรเพอการศกษารวมฉลอง 100 ป คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

2

1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร และเลขยกกาลง หมายเหต 1. ตวเลขในสตรคานวณเปนจานวนเตม การแสดงผลจะแสดงคาเปนรปแบบเศษสวน 2. ตวเลขในสตรคานวณเปนจานวนจรง (มทศนยม) การแสดงผลจะแสดงคาเปนเลขทศนยม



3

2. สามารถกาหนดการแสดงผลการคานวณใหเปนทศนยมไดหลายตาแหนง หมายเหต 1. //N ตอทายเปนการบงคบใหการแสดงผลเปนตวเลขทศนยม 2. N[x, k] เปนคาสงแสดงคาของ x ใหมตวเลขนยสาคญ k ตว 3. NumberForm[x, {a, b}] เปนคาสงแสดงคา x มตวเลขนยสาคญ a ตวและมทศนยม b ตาแหนง



4

3. มฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนลอการทม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ใหใชงาน

หมายเหต Degree มคาเทากบ 180 ใชในการเปลยนหนวยระหวางเรเดยนกบองศา



5

หมายเหต E หมายถง คา e มคาประมาณเทากบ 2.71828 Log[a, x] หมายถง log ฐาน a ของ x Log[x] หมายถง log ฐาน e ของ x Log10[x] หมายถง log ฐาน 10 ของ x



6

4. มความสามารถในการกาหนดสตรของฟงกชนเพอใชงานได หมายเหต f[x_], c[n_, r_], b[x_, n_, p_] คอการกาหนดสตรของฟงกชน

ใน Line Input ln[4] คาสง Piecewise ใชกาหนดสตรของฟงกชนทนยามเปนชวง



7

5. สามารถกาหนดเซตของจานวน และสามารถคานวณสมาชกภายในเซตได หมายเหต เซตของตวเลขเปนชนดของตวแปรแบบหนงใน Mathematica ซงเรยกวาตวแปรแบบ list สาหรบตวแปรแบบ List การคานวณตาง ๆ จะมผลกบสมาชกทกตวในตวแปร List และเราสามารถ อางองสมาชกของตวแปรได ตวอยางเชน



8

6. สามารถเปลยนหนวยการคานวณไดโดยงาย หมายเหต 1. การเตมจดทายตวเลขจะทาใหผลการคานวณแสดงคาเปนเลขทศนยม 2. ถาไมกาหนดหนวยของมมฟงกชนตรโกณมตใน Mathematica จะใชหนวยของมมเปนเรเดยน 3. การระบหนวยใหพมพ *Degree ตอทายตวเลข หรอ /Degree

4. Degree มคาเทากบ 180 ชวยในการเปลยนหนวยของมมระหวางเรเดยนกบองศา



9

7. ความสามารถในการแสดงหนวยของผลการคานวณ



10

8. สามารถเขยนกราฟไดหลายรปแบบ 8.1 กราฟในระบบพกดฉาก



11

8.2 กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล



12

8.3 กราฟในระบบพกดเชงขว



13

8.4 กราฟของสมการพาราเมตรก เชนการเคลอนทเปนวงกลม การเคลอนทแบบโปรเจคไทล



14

8.5 กราฟพนผวใน 3 มต



15

8.6 กราฟของสมการพาราเมตรกใน 3 มต เชนการเคลอนทแบบบนไดเวยน หรอ สปรง



16

8.7 กราฟพนผวใน 3 มต หรอพนผวทเกดจากการหมน



17

9. การคานวณในรปแบบเลขฐานตาง ๆ หมายเหต 2^^x จะแสดงคาของ x ฐาน 2 ในระบบฐาน 10 เชน 2(111) 7 BaseForm[a, b] จะแสดงคาของ a ฐาน 10 ในระบบฐาน b



18

10. การคานวณในรปแบบเวกเตอร หมายเหต 1. u . v คอ u dot v, u x v คอ u cross v 2. u * v เปนการคณของสมาชกใน u, v แบบตวตอตว



19

11. การคานวณในรปแบบเมทรกซ



20

12. การคานวณจานวนเชงซอน (หมายเหต การพมพสญลกษณ i ใหพมพ EcsiiEcs)



21

13. การหาผลบวกอนกรมกาลง อนกรมจากด อนกรมอนนต และผลคณของลาดบ



22

14. การคานวณคาสถตเบองตน



23

15. การหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลในรปแบบ y = a + bx



24

16. ความสามารถในการจดรปพชคณต การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม



25



26

17. ความสามารถในการหาอนพนธแสดงผลเปนสตรและแสดงผลเปนคาตวเลข

หมายเหต D[f[x], x] คอ df (x)

dx และ D[f[x], {x, n}] คอ

n

n

df (x)

dx และ

x, yf [x, y] คอ

อนพนธยอย และ Dt ใชหาคาอนพนธเชงรวม เชน Out[9] คอ 2 2 3dx dy3x y 2x y

dt dt



27

18. สามารถอนทเกรตแสดงผลเปนสตรและแสดงผลเปนคาตวเลข



28

19. ความสามารถในการหาคาลมต หมายเหต Limit[f[x] , x a] คอ

x alim f (x)

Limit[f[x] , x a, Direction 1] คอ x alim f (x)

Limit[f[x] , x a, Direction –1] คอ x alim f (x)



29

20. สามารถนาคาสงตาง ๆ มาเขยนเปนโปรแกรมได ตวอยางเชนโปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอรความยาวทงสามดานของรปสามเหลยม



30

21. ความสามารถในการหารากของสมการ f(x) = 0 หมายเหต FindRoot[f[x]==0, {x, a}] ใชหารากของ f(x) = 0 โดยวธของ Newton จดเรมตน x = a



31

22. ความสามารถในการหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยางเชน การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน 2x + y = 4, 9x – 4y = 1 การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน 2x + 2y = 1, x – y = 0



32

23. ความสามารถในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y = 2x และ y(1) = 2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนเอกพนธ y + y = 0 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนไมเอกพนธ y + y = 2x , y(0) = –1 และ y(0) = 2



33

การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x = x – y + 2 y = –x + y – 5 การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x = x – y + 2 y = –x + y – 5 x(0) = 1, y(0) = –1



34

24. มฟงกชนคานวณเกยวกบจานวนเตมเชน ห.ร.ม. ค.ร.น. การแยกตวประกอบจานวนเตม หมายเหต 10! = 3628800 =

8 4 22 3 5 7



35

25. สามารถหาผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงลาปลาซผกผนได



36

26. สามารถหาการแปลง Z transform และการแปลผกผน Invesre Z transform ได

f(z) = n

n 0u(n) z

จะได ZTransform[(u(n)] = f(z) และ InverseZTransform[f(z)] = u(n)

บทท 2 การใชโปรแกรม Mathematica

ในบทนจะเรยนรเกยวกบการนาโปรแกรม Mathematica เขามาทางาน และการคานวณเบองตนโดยใชคาสงของโปรแกรม Mathematica หมายเหต โปรแกรม Mathematica ทใชในขณะนคอ Mathematica 10.4 บน Window 10

2.1 การเรยกโปรแกรม Mathematica ขนมาใชงาน

ขนท 1 เปดเครองคอมพวเตอร

ขนท 2 เลอนแถบชอ Application จนพบชอ Application Wolfram Mathematica 10.4



38

ขนท 3 คลกท Application Wolfram Mathematica 10.4 รอสกครบนจอภาพจะ Logo ดงรป รออกสกครจะไดเมนยอยดงรปใหเลอก ขนท 4 เลอก New Document จะไดผลบนจอภาพเปนดงน



39

ขณะนเราพรอมทจะคานวณโดยใชโปรแกรม Mathematica แลว 1. แสดงชอ Window ของการทางานกบโปรแกรม Wolfram Mathematica 10.4 2. แสดงชอ Notebook ขอมลของ Mathematica ทกาลงทางาน (เขามาครงแรกจะมชอเปน Untitled–1) แฟมขอมลการคานวณของ Mathematica เรยกวา Notebook 3. เมนบารของการทางานตาง ๆ เชน เปด–ปดแฟมขอมล สงพมพงาน 4. ตาแหนงท pointer กระพรบเปนตาแหนงเรมตนของการพมพคาสงของโปรแกรม Mathematica เพอคานวณคาตาง ๆ ทเราตองการ 5. บรเวณการทางานของ Notebook



40

การนาแถบเครองมอ Basic Math Assistant ของ Mathematica ขนมาใชงาน ขนท 1 เลอกเมน Palettes ขนท 2 เลอกเมนยอย Basic Math Assistant



41

จะไดแถบเครองมอของการคานวณ Basic Math Assistant ดงรป



42

รปแบบการทางานดวยคาสงของ Mathematica มบรรทดของการรบคาหรอคาสงและมบรรทดของการแสดงผล ตวอยางเชน การหาผลบวก 1 + 2 เมอเราพมพ 1 + 2 เสรจแลวกด Shift+ โปรแกรม Mathematica จะทาการคานวณและแสดงผล เสรจแลวขนบรรทดใหม เพอรอรบคาสงการคานวณตอไป

1. บนจอภาพ ln[1]:= 1 + 2 หมายถง Line Input ท 1 2. บนจอภาพ Out[1]= 3 หมายถง Line Output ท 1 3. เมนยอยเพอชวยปรบแตงผลลพธ 4. ตาแหนงเรมตนของการคานวณตอไป หมายเหต การกด (ทอยในกลมแปนอกษรเพยงอยางเดยวเปนการขนบรรทดใหม การกด Shift + (กด Shift คางไวแลวกด Enter) คอการสงใหโปรแกรมทาการคานวณ การกด บนแปน Numeric pad มความหมายเทยบเทากบ Shift + การกด Shift + (กด Shift คางไวแลวกด Enter) คอการสงใหโปรแกรมทาการคานวณ

เพอใหเขาใจการใชงานงายขนสาหรบการใชงานโปรแกรม Mathematica ตอไปจะขอเขยนคาสงและคาอธบายในรปแบบตาราง โดยมตารางชองท 1 หมายถงการพมพคาสงผานทางแปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจากการคานวณของ Mathematica และสงเกดขนจากผลการคานวณ หรอ การจดรปแบบการแสดงผลบนจอภาพทมในรปแบบ ln[n]:= ..................... และ Out[n]= .....................



43

2.2 การคานวณโดยใชโปรแกรม Mathematica 1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5

พมพ ผลบนจอภาพ 45.25+17.5Shift +

2. การหาผลหาร 475

พมพ ผลบนจอภาพ 47/5.Shift+ มจด . ทายเลข 5 จะแสดงผลการคานวณ 47/5Shift+ ไมมจด . ทายเลข 4 จะแสดงเปนเศษสวน

3. การหาผลคณของ 15 กบ 32

พมพ ผลบนจอภาพ 15*32Shift+

4. การคานวณเลขยกกาลง 34 และ 4e

พมพ ผลบนจอภาพ 4^3Shift+

E^4.Shift+ หมายเหต E = 2.718281828 E^4Shift+ หมายเหต เลข 4 ไมมจด ( . ) การคานวณจะแสดงผลเปนสญลกษณ



44

5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log(2), ln(2), sin(3 ), 3 , 5 32 และ 5!

พมพ ผลบนจอภาพ Log10[2.]Shift+ หมายเหต Log10 คอลอกาลทมฐาน 10

Log[2.]Shift+ หมายเหต Log คอลอกาลทมฐาน e

Log[10, 2.]Shift+ หมายเหต Log[b, x] คอ Log xb Log[10, 2]Shift+ หมายเหต เลข 2 ไมมจด ( . ) แสดงผลเปนสญลกษณ

Sin[Pi/3.]Shift+

Sin[Pi/3]Shift+ หมายเหต เลข 3 ไมมจด ( . ) การคานวณจะแสดงผลเปนสญลกษณ การหารากท 2 ม 2 วธ

วธท 1 Sqrt[3.]Shift+ Sqrt[3]Shift+ หมายเหต เลข 3 ไมมจด ( . ) การคานวณจะแสดงผลเปนสญลกษณ

วธท 2 คลกสญลกษณ จากแถบเครองมอ Basic Math Assistant



45

3.

Shift+

การหารากท n

คลกสญลกษณ จากแถบเครองมอ Basic Math Assistant

32.

Tab

5Shift+

การหาคา 5! แฟกทอเรยล 5!Shift+

6. การกาหนดคาใหกบตวแปรและการกาหนดสตรฟงกชน

พมพ ผลบนจอภาพ

x:=4Shift+ หมายเหต := คอการกาหนดคาใหกบตวแปร

f[x]:=x^2Shift+ หมายเหต f[x_]:= เปนการกาหนดสตร

f[x]Shift+



46

f[3]Shift+

f[x]/.x–4Shift+

7. การหาคาอนทกรล b

af (x) dx ตวอยางเชน

42

1(x 4) dx

พมพ ผลบนจอภาพ f[x]:=x^2+4Shift+

วธท 1 Integrate[f[x], {x, 0, 1}]Shift+


1Tab

4Tab

f[x]Tab

xShift+



47

2.3 การเขยนกราฟของฟงกชน การเขยนกราฟของ f(x) = 2x – 3x + 7 บนชวง [–8, 8]

พมพ ผลบนจอภาพ f[x_]:=x^2–3*x+7 Shift+

Plot[f[x], {x, –8, 8}] Shift+ หมายเหต คาสง Plot[f[x], {x, a, b}] คอการเขยนกราฟ y = f(x) บนชวง [a, b]

หมายเหต โปรแกรม Mathematica สามารถจดรปแบบการแสดงผลของกราฟไดหลายลกษณะเชน มเสนตาขายชวยในการประมาณคา



48

เลอกกาหนดสเกลทแกน X และ แกน Y ตวอยางการปรบแตงกราฟใหสวยงามเชน



49

ปรบแตงสเกลและตเสนกรดใหสวยงาม กราฟแบบแรเงาระหวางเสนโคงกบแกน X



50

2.4 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเมทรกซ ตวอยาง การกาหนด A = 4 2

5 3

และ B = 2 5

1 3

พมพ ผลบนจอภาพ การกาหนดเมทรกซแบบท 1 A=


4Tab หมายเหต การกด Tab ทาให Curser กระโดดไปตาแหนงถดไป

–2Tab–5Tab 3Shift+

ในทานองเดยวกน กาหนดเมทรกซ B

MatrixForm[A]Shift+ หมายเหต MatrixFrom[A] เปนคาสงกาหนดการแสดงผลในรปแบบเมทรกซ

MatrixForm[A]Shift+



51

การคานวณคาของเมทรกซ A + B, 4A, 2A , AB, 1A , TA , det(A)

พมพ ผลบนจอภาพ MatrixForm[A+B]Shift+

MatrixForm[4*A]Shift+

MatrixForm[MatrixPower[A,2]]Shift+

MatrixForm[A.B]Shift+ หมายเหต A.B หมายถงการคณแบบเมทรกซ

MatrixForm[A*B]Shift+ หมายเหต เปนการคณตวเลขตาแหนงทตรงกนเทานน

MatrixForm[Inverse[A]] Shift+

Det[A]Shift+



52

MatrixForm[Transpose[A]] Shift+

การกาหนดดรรชนลาง (subscript) สาหรบอางองใชงานกบสมาชกของเมทรกซ

พมพ ผลบนจอภาพ MatrixForm[A]Shift+

แบบท 1 คลกสญลกษณ จาก แถบเครองมอ Basic Math Assistant

ATab

[[1,2]]Shift+

แบบท 2 A[[1,2]]Shift+



53

การกาหนดเมทรกซแบบท 2

กาหนด A = {{ 11a , 12a , ... , m1a }, { 21a , 22a , ... , m2a }, ... , { 1na , 2na , ... , nma }}

ตวอยางเชน A = 1 2 4 51 2 0 34 1 1 23 2 1 5



54

2.5 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเวกเตอร ตวอยางการกาหนด u = 3

4

และ v = 12

และหาคา u + v, 4u, u v , u

พมพ ผลบนจอภาพ u={–3,4}Shift+

MatrixForm[u]Shift+

v={1,2}Shift+

MatrixForm[v]Shift+

MatrixForm[u+v]Shift+

MatrixForm[4*u]Shift+

MatrixForm[u.v]Shift+ หมายเหต u.v คอ dot product



55

MatrixForm[u*v] Shift+ หมายเหต u*v คอ ผลคณของสมาชกทมตาแหนงตรงกนแบบตวตอตว ไมใช dot product

Sqrt[u.u]Shift+ การหาขนาดของเวกเตอร u

u u u| | การหา Cross Product ของเวกเตอร

พมพ ผลบนจอภาพ u={1,2,3}Shift+

v={4,5,6}Shift+

MatrixForm[u]Shift+

MatrixForm[v]Shift+

MatrixForm[uESCcross ESCv]Shift+



56

2.6 การหาคาสถตเบองตน ตวอยางขอมล 6 ตว คอ 2, 3, 5, 7, 8, 15

พมพ ผลบนจอภาพ x={2,3,5,7,8,15}Shift+

Mean[x]Shift+

Median[x]Shift+

Variance[x]Shift+

Length[x]Shift+

StandardDeviation[x] Shift+

การอางองตวสมาชก ix

แบบท 1 คลกสญลกษณ จาก แถบเครองมอ Basic Math Assistant

xTab



57

[[1]]

Shift+

แบบท 2 x[[1]]Shift+

ใน Mathematica มฟงกชนทชวยคานวณคาสถตของขอมล เชน

Mean[x] = คาเฉลยเลขคณตของขอมล x =

n

ii 1

1 xn

Median[x] = มธยฐานของขอมล x

Variance[x] = ความแปรปรวน (ตวอยาง) ของขอมล x =

n 2i

i 1

1 (x )n 1

Length[x] = จานวนขอมล x StandardDeviation[x} = สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ตวอยาง) ของขอมล x = Variance[x]



58

2.7 การกาหนดขอมล 2 ตวแปร เขยนแผนภาพการกระจายและหาความสมพนธเชงฟงกชน ตวอยางขอมล

x y 3 12 5 15 9 21 12 32

พมพ ผลบนจอภาพ แบบท 1 data={{3,12},{5,15},{9,21},{12,32}} Shift+

MatrixForm[data] Shift+

แบบท 2 x={3,5,9,12} Shift+

y = {12,15,21,32}

Shift+ data=Table[{x[[i]].y[[i]]},{i,4}]Shift+



59

MatrixForm[data] Shift+

ycap=LinearModelFit[data,{1,t},t]Shift+

การเขยนแผนภาพการกระจายและเสนตรงทใชประมาณความสมพนธ



60

2.8 การคานวณคาเกยวกบผลบวกในรปแบบ

การหาคา

10

i 1 i,

10

i 1 2i ,

10

i 1 ( 2i – 4i – 5)


วธท 1 ใชคาสง Sum

Sum[i,{i,1,10}]Shift+

Sum[i^2,{i,1,10}] Shift+

Sum[i^2–4*i–5,{i,1,10}] Shift+

วธท 2 ใชสญลกษณผลบวก

คลกสญลกษณ

จากแถบเครองมอ Basic Math Assistant

iTab

1Tab

10Tab



61

iShift+

หมายเหต ถาตองการหาคา

10

i 1 2i ใหพมพ i^2 แทน i

ตวอยางเพมเตม

หมายเหต Sum[i,{i,1,10,2}] = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25



62

2.9 การคานวณคาอนทกรล b

af (x) dx

การหาคาของ 1

2

0x dx


วธท 1 ใชคาสง Integrate Integrate[x^2,{x,0,1}] Shift+


0Tab

1Tab

x^2Tab

xShift+



63

หมายเหต ในกรณทตวเลขในการอนทเกรตเปนจานวนจรงมจดทศนยม จะไดวาผลการคานวณทไดจะสดงผลเปนจานวนจรงในรปแบบทศนยม




64

2.10 การคานวณคาอนพนธ ddx

f(x) หรอ n

nd

dxf(x)

การคานวณ ddx

f(x) เมอ f(x) = 2x ท x = 1 และ 2

2d

dxf(x) เมอ f(x) = 4x ท x = 2


วธท 1 D[x^2,x]Shift+

หมายเหต D[f[x], x] เปนคาสงคานวณสตร f (x)

D[x^2,x]/.x–1Shift+

หมายเหต D[f[x], x] /.xa เปนคาสงคานวณคา f (a)

D[x^4,{x,2}]Shift+

หมายเหต D[f[x], {x, n}] เปนคาสงหาสตร )n(f (x)

D[x^4,{x,2}]/.x–2 Shift+

หมายเหต D[f[x], {x, n}] /.xa คาสงหาคา )n(f (a)


xTab



65

x^2Shift+

คลกสญลกษณ แลวพมพ xTabx^2/.x–1 Shift+




66

2.11 การกาหนดหนวยใหกบผลการคานวณ

พมพ ผลบนจอภาพ การกาหนดหนวยของมม Sin[90.]Shift+

หมายเหต ฟงกชนตรโกณมต Sin, Cos, Tan, Sec, Csc และ Cot ถาไมระบหนวยจะคดหนวยเปนเรดยน

Sin[90*Degree]Shift+

หมายเหต การกาหนดองศา ใหพมพ Degree ทายตวเลข

ArcSin[1]Shift+

ArcSin[1.]Shift+

หมายเหต คาของ ArcSin, ArcCos, ArcTan, ArcSec, ArcCsc และ ArcCot ถาไมระบหนวยจะคดหนวยเปนเรเดยน

ArcSin[1.]/DegreeShift+ ArcTan[1.]Shift+

ArcTan[1.]/DegreeShift+

Degree//NShift+ หมายเหต Degree =

180



67

การกาหนดหนวยแบบอน ๆ เชน

s:=Quantity[10.,"Kilometers"]Shift+ sShift+

t:=Quantity[2.,"Hours"] Shift+

tShift+

v:=s/tShift+

vShift+

UnitConvert[v,}"SI"} Shift+

ตวอยางการเปลยนหนวยรปแบบอน ๆ เชน



68

2.12 การคานวณในรปแบบของเลขฐาน

พมพ ผลบนจอภาพ 2^^1111Shift+

2^^1111Shift+

BaseForm[15,2]Shift+


BaseForm[85,2]Shift+ BaseForm[x, b] =



2^^1111+4^^1111Shift+

หมายเหต 2 4 10(1111) (1111) (100)

หมายเหต BaseForm[x, b] คอจานวน x ฐาน 10 ในรปแบบตวเลขฐาน b และ b^^x คอจานวน x ฐาน b ในรปแบบฐาน 10



69

2.13 การหาผลบวกในรปแบบ

n

i 1 ix ,

n

i 1 iy ,

n

i 1 2

ix ,

n

i 1 2

iy ,

n

i 1 ix iy

กาหนดขอมล x y 2 12 3 15 6 14 9 19

พมพ ผลบนจอภาพ x:={2,3,6,9}Shift+

y:={12,15,14,19} Shift+

{x[[1]],y[[1]]}Shift+ หมายเหต x[[i]] คอ ix

data=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,4}] Shift+

TableForm[data] Shift+

Sum[x[[i]],{i,1,4}] Shift+

หมายเหต Sum[F[i],{i,a,b}] =

b

aiF(i)



70

Sum[x[[i]]^2,{i,1,4}] Shift+ Sum[x[[i]]*y[[i]],{i,1,4}] Shift+

การใชสญลกษณการคานวณ และ


iTab

1Tab

4Tab


xTab



71

[[i]]Shift+




72

2.14 การสรางตารางฟงกชน Table[{x, f(x)}, {x, a, b, d}} เปนการทาตารางคาของ x และ f(x) โดยท x เปลยนคาจาก a ถง b และกาหนดใหมคาเพมขนครงละ d

TableForm[...] เปนการคาสงใหแสดงผลแบบแนวตง

ตวอยางแรกคาของ x เพมคาเทากน

x f(x) = 2x + 4 1 6 2 8 3 10 4 12

พมพ Table[{x,2*x+4},{x,1,4,1}]Shift+ ผลบนจอภาพ

พมพ TableForm[Table[{x,2*x+4},{x,1,4,1}]]Shift+ ผลบนจอภาพ



73

ในกรณทคา x เพมไมเทากนเชน x = 2, 5, 7, 12 สามารถคานวณในรปแบบตารางไดดงน



74

2.15 การคานวณคาเกยวกบจานวนเชงซอน ให z = 3 + 4i, w = 5 – 9i จะได z + w = 8 – 5i, z = 5, z = 3 – 4i, 1z = 3

25 + 4

25i

พมพ ผลบนจอภาพ z:=3+4EsciiEsc Shift+

หมายเหต กด EsciiEsc จะไดสญลกษณ i = 1 หรอคลกสญลกษณ จากแถบเครองมอ Basic Math Assistant

w:=5–9EsciiEsc Shift+

z+wShift+

Abs[z]Shift+

Conjugate[z]Shift+

z^–1Shift+

z/wShift+

Arg[1+1EsciiEsc] z/wShift+



75

2.16 การหารากของสมการ f(x) = 0 การหารากของสมการ 2x – 2 = 0

พมพ ผลบนจอภาพ FindRoot[x^2–2==0,{x,1}] Shift+

FindRoot[x^2–2==0,{x,–1}] Shift+

Solve[x^2–2==0,x] Shift+

Solve[x^2–2.0==0,x] Shift+

หมายเหต FindRoot[f[x] == 0, {x, 0x }] เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน กาหนดใหจดเรมตนของการประมาณคาเปน 0x Solve[f[x] == 0, x] เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0



76

2.17 การหาผลเฉลยของระบบสมการ FindRoot[{equation1,equation2, ... , {x, 0x }, {y, 0y }, ....] เปนคาสงทใชหาผลเฉลยของ ระบบสมการโดยวธของนวตน กาหนดใหมจดเรมตนของการประมาณคาของ x, y เปน 0x , 0y ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 8 x + y = 3 และ การหาจดตดของวงกลม 2x + 2y = 25 และเสนตรง 3x + 4y = 0

พมพ ผลบนจอภาพ FindRoot[{2*x+3*y==8, x+y==3,{x,0},{y,0}] Shift+ FindRoot[{x^2+y^2–25==0, 3*x+4*y==0,{x,0},{y,0}] Shift+ NSolve[{x^2+y^2==4,x^2–y^2==2},{x,y}]Shift+

Solve[{x^2+y^2==4,x^2–y^2==2},{x,y}]Shift+




77

2.18 การคานวณคา rn C และ r

n P สตร r

n C = )!rn(!r

!n

และ rn P =

)!rn(!n

สามารถกาหนดเปนสตรในโปรแกรม Mathematica ไดดงน

พมพ ผลบนจอภาพ nCr[n_,r_]:=n!/(r!*(n–r)!) Shift+ nCr[5,1]Shift+

nCr[5,2]Shift+

nPr[n_,r_]:=n!/(n–r)! Shift+

nPr[5,1]Shift+

nPr[5,2]Shift+

Binomial[5,2]Shift+

หมายเหต Binomial[n, r] = )!rn(!r

!n



78

2.19 การคานวณทใหผลลพธเปนสตร โปรแกรม Mathematica สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน การกระจายพหนาม (x – 1)(x + 2) กระจายไดเปน 2x + x – 2 การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2 แยกตวประกอบไดเปน (x – 2)(x + 1)( 2x + x + 1)

การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511

125

43

จดรปเปน

2315

การหาอนพนธ dxd 2x และแสดงผลการหาอนพนธเปนสตรคอ 2x

การหาอนทกรล (4x 7) dx และแสดงผลการคานวณเปนสตรคอ 2 2x + 7x การหา

x 1lim

( 2x + kx ) และแสดงผลการคานวณเปนสตรคอ k + 1

การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2)

พมพ ผลบนจอภาพ Expand[(x–1)*(x+2)] Shift+

หมายเหต คาสง Expand[...] ใชกระจายสตรพหนาม การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2

พมพ ผลบนจอภาพ Factor[x^4–2*x^2–3*x–2] Shift+

หมายเหต คาสง Factor[...] ใชแยกตวประกอบพหนาม



79

การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511

125

43

จดรปเปน

2315

พมพ ผลบนจอภาพ Simplify[(3/4)/((5/12)+(11/15))]Shift+

หมายเหต คาสง Simplify[...] ใชในการจดรปทางพชคณต เชนทาเปนเศษสวนอยางตา การหาสตรอนพนธ

dxd 2x

พมพ ผลบนจอภาพ D[x^2]Shift+

D[x^2,{x,2}]Shift+

หมายเหต คาสง D[f(x)] ใชหาอนพนธอนดบท 1 ของ f เทยบกบ x คาสง D[f(x), {x, k}] ใชหาอนพนธอนดบท k ของ f เทยบกบ x

การหาอนทกรลเปนสตร (4x 7) dx

พมพ ผลบนจอภาพ Integrate[4*x+7,x]Shift+

หมายเหต คาสง Integrate[f(x), x] ใชหาสตรอนทเกรตของ f(x)



80

การหาคาลมต x 1lim

( 2x + kx)

พมพ ผลบนจอภาพ Limit[x^2+k*x,x–1] Shift+

เมอกด – บนจอภาพจะเปนลกศร

ตวอยางการคานวณโดยใชสญลกษณการคานวณจากแถบเครองมอ Basic Math Assistants



81

2.20 การหาสตรเทยเลอรของฟงกชน คาสง Series[f(x), {x, a, k}] ใชหาพหนามเทยเลอรดกรไมเกน k ของ f(x) รอบจด x = a

พมพ ผลบนจอภาพ Series[Sin[x],{x,0,5}] Shift+

Series[Sin[x],{x,0,8}] Shift+

Series[Log[x],{x,1,3}] Shift+

Series[Log[x+1],{x,0,3}] Shift+

Series[Exp[x],{x,0,4}] Shift+

Series[x^3+3*x^2+4*x–5},{x,2,4}]Shift+



82

2.21 การหาผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงลาปลาซผกผน ตวอยางเชน L{sin(x)} =

1s

12

และ 1L {1s

12

} = sin(x)

พมพ LaplaceTransform[Sin[x],x,s]Shift+ ผลบนจอภาพ

พมพ LaplaceTransform[Cos[2*x],x,s]Shift+ ผลบนจอภาพ

พมพ LaplaceTransform[Exp[4*x],x,s]Shift+ ผลบนจอภาพ

พมพ InverseLaplaceTransform[1/(s^2+1),s,x]Shift+ ผลบนจอภาพ

พมพ InverseLaplaceTransform[1/(s^2+1),s,x]Shift+ ผลบนจอภาพ

พมพ InverseLaplaceTransform[1/(s–4),s,x]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต คาสง LaplaceTransform[f[x]], x, s] ใหสตร F(s) ทเปนผลการแปลงลาปลาซของ f(x) คาสง InverseLaplaceTransform[F[s], s, x] ใหสตร f(x) ทเปนผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s)



83

2.22 การคานวณเกยวกบเศษสวนของพหนาม

Apart[f[x]] ใชกระจาย f(x) ออกเปนผลบวกของเศษสวนยอย

Together[f[x]] ใชจดรปผลบวกของพหนามและเศษสวนของพหนามใหเปนพจนเดยว )x(q)x(p

ตวอยาง )1x(x

1

= x1 –

1x1

พมพ ผลบนจอภาพ Apart[1/(x*(x+1))]Shift+

ตวอยาง )x1)(x1(

12x4x2xx2

234

= –2 + x +

x110

+ 2x1

x74



84

2.23 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธและระบบสมการเชงอนพนธ Dsolve[สมการเชงอนพนธ, y[x] ตวแปรตาม, x ตวแปรอสระ] ใชหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ Dsolve[{สมการเชงอนพนธ, เงอนไข 1, เงอนไข 1, .... }, y[x], x] ใชหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธทมเงอนไขเรมตน

y[x] คอ dxdy , y[x] คอ

2

2

dx

yd , ...

การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธ y = 2x

พมพ DSolve[y'[x]==x^2,y[x],x]Shift+ ผลบนจอภาพ

ผลเฉลยคอ y = 3

x3 + 1c

การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนเอกพนธ y + y = 0

พมพ DSolve[y''[x]+y[x]==0,y[x],x]Shift+ ผลบนจอภาพ

ผลเฉลยคอ y = 1c cos(x) – 2c sin(x)

การหาผลเฉลยสมการของเชงอนพนธสามญเชงเสนไมเอกพนธ y + y = 2x

พมพ DSolve[y''[x]+yx]==x^2,y[x],x]Shift+ ผลบนจอภาพ

ผลเฉลยคอ y = –2 + 2x + 1c cos(x) + 2c sin(x)



85

การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธ y + y = 2x และ y(0) = –1, y(0) = 2

พมพ DSolve[{y''[x]+y[x]==x^2,y'[0]==–1,y[0]==2},y[x],x]Shift+ ผลบนจอภาพ

ผลเฉลยคอ y = –2 + 2x + 4 cos(x) – sin(x)

การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ x = x – y + 2 y = –x + y – 5

พมพ DSolve[{x'[t]==x[t]–y[t]+2,y'[t]==–x[t]+y[t]–5},{x[t],y[t]},t]Shift+ ผลบนจอภาพ



86

คาสง Dsolve[{สมการเชงอนพนธ 1, สมการเชงอนพนธ 2, .... }, x[t], y[t], t] ใชหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธทม x, y เปนตวแปรตาม และ t เปนตวแปรอสระ

การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ x = x – y + 2 y = –x + y – 5 x(0) = 1, y(0) = –1

พมพ DSolve[{x'[t]==x[t]–y[t]+2,y'[t]==–x[t]+y[t]–5,x[0]==1,y[0]==–1},{x[t],y[t]},t] Shift+ ผลบนจอภาพ



87

2.24 ฟงกชนเกยวกบจานวนเตมเชน ห.ร.ม. ค.ร.น. การแยกตวประกอบจานวนเตม การหาตวประกอบของจานวนเตม

พมพ ผลบนจอภาพ FactorInteger[100]Shift+

FactorInteger[10!]Shift+

หมายเหต คาสง FactorInteger[x] จานวนตวประกอบทเปนจานวนเฉพาะของจานวนเตม x ตวอยางจากผลการคานวณเชน 100 = 22 25 และ 10! = 82 43 25 17 การหา ห.ร.ม.

พมพ ผลบนจอภาพ GCD[40,32]Shift+

GCD[40,32,64,96]Shift+

หมายเหต คาสง GCD[a, b, c, ...] ใชในการหา ห.ร.ม. ของ a, b, c, ... การหา ค.ร.น.

พมพ ผลบนจอภาพ LCM[40,32]Shift+

LCM[40,32,64,96]Shift+

หมายเหต คาสง LCM[a, b, c, ...] ใชในการหา ค.ร.น. ของ a, b, c, ...



88

2.25 สามารถหาผลการแปลง Z transform และการแปลงผกผน Inverse Z transform ได

f(z) =

n

n 0u(n) z


พมพ ผลบนจอภาพ ZTransform[1,n,z] Shift+

InverseZTransform[z/(z–1),z,n]Shift+


บทท 3 การเขยนกราฟดวยโปรแกรม Mathematica

โปรแกรม Mathematica มความสามารถในการเขยนกราฟทใชงานในคณตศาสตรระดบมธยมศกษา และกราฟสาหรบเนอหาคณตศาสตรระดบอดมศกษาไดหลายแบบ เชน กราฟในระบบพกดฉาก กราฟ 2 มต และ 3 มต กราฟสมการพาราเมตรก กราฟในระบบพกดเชงขว ในบทนจะศกษาการใชคาสงเพอเขยนกราฟรปแบบตาง ๆ เพอใหไดรปของกราฟทมทงความถกตอง เหมาะสม และ ความสวยงาม ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรม Mathematica ทาไดเชน กราฟของ y = 2x – 3x – 7 บบบนชวง [–8, 8]



90

กราฟของพนผวอานมา z = 2x – 2y ใน 3 มต กราฟรปกลบกหลาบ r = 4 cos(2t) ในระบบพกดเชงขว



91

กราฟเสนโคงของฟงกชนคาเวกเตอร r (t) = (2 sin t, 3 cos t, t

) บนชวง [0, 4]

การเขยนกราฟ y = 2x + 3 และ y = 2x – 4 บนชวง [–5, 5] พรอมกนและอยบนสเกลเดยวกน



92

3.1 การเขยนกราฟในระบบพกดฉาก 2 มต การเขยนกราฟ y = 2x – 3x – 7 บบบนชวง [–8, 8]

พมพ Plot[x^2–3*x–7, {x, –8, 8}]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต Plot[f[x], {x, a, b}] เปนคาสงเขยนกราฟ y = f(x) บนชวง [a, b] การเขยนกราฟ y = 2x – 3 และ y = 2x – 4 บนชวง [–5, 5]

พมพ Plot[{2*x–3, x^2–4}, {x, –5, 5}]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต Plot[{f[x], g[x]}, {x, a, b}] เปนคาสงเขยนกราฟ y = f(x) และ y = g(x) บนชวง [a, b] พรอมกน



93

3.2 การเขยนกราฟของแผนภาพการกระจายของขอมล ตวอยางขอมล

x y 2 4 5 10 7 25 11 32 15 38

พมพ ListPlot[{{2,4},{5,10},{7,25},{11,32},{15,38}}]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต ListPlot[{{ 1x , 1y }, { 2x , 2y }, ...}] ใชเขยนกราฟคลาดบ ( ix , iy ) , i = 1, 2, 3, ... , n



94

ใชคาสง PlotStyle ปรบขนาดของจดใหใหญขน ในกรณมขอมลหลายชดเชน

x y z 2 23 94 4 34 102 7 42 153 12 65 245 15 78 324

การเขยนแผนภาพการกระจายทาไดดงน



95



96

3.3 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก การเขยนกราฟของ r

(t) = (x(t), y(t)) เมอ x(t) = 80t และ y(t) = –16 2t + 80t บนชวง [0, 5]

พมพ ParametricPlot[{80*t,–16*t^2+80*t},{t,0,5}]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต ParametricPlot[{x(t), y(t)}, {t, a, b}] เปนคาสงเขยนกราฟของ r

(t) = (x(t), y(t)) บนชวง [a, b] ParametricPlot[{{x(t), y(t)}, {f(t), g(t)}, ...}, {t, a, b}] เปนคาสงเขยนกราฟของ r (t) = (x(t), y(t)) และ r

(t) = (f(t), g(t)), .. บนชวง [a, b] การเขยนกราฟพาราเมตรก 2 เสน การเขยนกราฟของ

1r (t) = (sin t, cos t) และ

2r (t) = (sin t, cos(2t)) บนชวง [0, 2]



97

3.4 การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว การเขยนกราฟ r = 4 cos(2t) บนชวง [0, 2]

พมพ PolarPlot[4*Cos[2*t],{t,0,2*Pi}]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต PolarPlot[r(t), {t, a, b}] ใชเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว r(t) บนชวง [a, b] PolarPlot3D[{ 1r (t), 2r (t), ... }, {t, a, b}] ใชเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว 1r (t), 2r (t), ... บนชวง [a, b] การเขยนกราฟ r = 3 cos t และ r = 4 sin(2t) บนชวง [0, 2] พรอมกน



98

3.5 การเขยนกราฟในระบบพกดฉาก 3 มต 3.5.1 กราฟพนผว 3 มต การเขยนกราฟพนผว z = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] [–2, 2]

พมพ Plot3D[x^2–y^2,{x,–2,2},{y,–2,2}]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต

Plot3D[{f(x, y), {x, a, b}, {y, c,d}] ใชเขยนกราฟพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] [c, d]



99

3.5.2 การเขยนกราฟแบบ contour การเขยนกราฟแบบ contour ของพนผว z = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] [–2, 2]

พมพ ContourPlot[x^2–y^2,{x,–2,2},{y,–2,2}]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต ContourPlot[{f(x, y), {x, a, b}, {y, c, d}] เปนคาสงเขยนกราฟแบบ contour ของพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] [c, d]



100

3.5.3 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 3 มต การเขยนกราฟของ r

(t) = (x(t), y(t), z(t)) เมอ x(t) = sin t, y(t) = cos t และ z(t) = 4t

บนชวง [0, 2]

พมพ ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],t/4},{t,0,2*Pi}]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต ParametricPlot3D[{x(t), y(t), z(t)}, {t, a, b}] เปนคาสงเขยนกราฟของ r

(t) = (x(t), y(t), z(t)) บนชวง [a, b]



101

3.5.4 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 3 มต แบบ 2 ตวแปร การเขยนกราฟของ x(u, v) = cos u (3 + cos v), y(u, v) = sin u (3 + cos v), z(u, v) = sin v บนชวง [0, 2] [0, 2]

พมพ ParametricPlot3D[{Cos[u]*(3+Cos[v]),Sin[u]*(3+Cos[v]),Sin[v]},{u,0,2*Pi},{v,0,2*Pi}]Shift+ ผลบนจอภาพ

หมายเหต ParametricPlot3D[{x(u, v), y(u, v), z(u, v)}, {u, a, b}, {v, c, d}] เปนคาสงเขยนกราฟของพนผว (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) บนชวง [a, b] [c, d]



102

การเขยนกราฟทมการกาหนดรปแบบเพอใหไดรปทเหมาะสมและสวยงาม



103

3.6 การเขยนกราฟของฟงกชนทนยามสตรตางกนในแตละชวง การเขยนกราฟของ f(x) =

1x ,x21x ,1x2 บนชวง [–1, 3]

ขนท 1 กาหนดสตร f(x) แบบท 1

พมพ ผลบนจอภาพ f[x_]:=2*x–1/;–1=x1 f[x_]:=2–x/;1=x=3Shift+ Plot[f[x],{x,–1,3}]Shift+

หมายเหต /; เปนการกาหนดโดเมนของสตร f(x) พมพ = โปรแกรม Mathematica จะจดรปเปน พมพ = โปรแกรม Mathematica จะจดรปเปน แบบท 2

หมายเหต Piecewise[{สตร, เงอนไข}, {สตร, เงอนไข}, {สตร, เงอนไข}, ...] ใชกาหนดฟงกชนทนยามเปนสตรตางกนในแตละชวง



104

การเขยนกราฟของ f(x) =

x2,22x2,x

2x,2 บนชวง [–4, 4]



105

3.7 คาสงทใชในการปรบปรงรปแบบของกราฟ

ลกษณะ หนาท คา Default

PlotRange กาหนดขอบเขตของพสยในการเขยนกราฟ Automatic

AspectRatio กาหนดสดสวน ความสงตอความกวางของกราฟ Automatic

Frame กาหนดใหมกรอบลอมรอบกราฟ False

FrameLabel กาหนดใหมคาอธบายทกรอบ FrameLable{xlabel, ylabel} หรอ FrameLable{text1, text2, text3, text4} เปนคาอธบายทกรอบของรปโดยเรมทใตกรอบและหมนตามเขมนาฬกาไปดานถดไปของกรอบ

None

Axes กาหนดใหมการแสดงแกน X, Y, Z ในกราฟ Automatic

AxesLabel กาหนดใหมคาอธบายทแกน X, แกน Y ซงกาหนดไดโดย {xlabel, ylabel}

None

AxesOrigin กาหนดจดตดแกนวาตองการใหตดกนทจดใด Automatic

FrameTicks กาหนดใหมการขด scale ทกรอบของกราฟ

หมายเหต ตองกาหนดใหมกรอบกอนใชคาสงน

Automatic

GridLines กาหนดใหมเสน grid ภายในกรอบของกราฟ Automatic

DisplayFunction กาหนดใหมการแสดงกราฟหรอเกบไวโดยไมแสดงผล

DisplayFunction $DisplayFunction แสดงกราฟ

DisplayFunction Identity ไมแสดงกราฟ

$Display

Function

PlotLabel กาหนดชอกราฟ None

PlotStyle กาหนดลกษณะของการเขยน

เชน PointSize[n] กาหนดขนาดของจดท plot

Automatic

PlotJoined กาหนดใหมการโยงเสนตรงระหวางจดหรอไม False



106

Ticks กาหนดใหมขด scale ทแกน X และ แกน Y Automatic

AxesLabel การแสดงคาอธบายประกอบทแกน None

Boxed กาหนดใหมกรอบเปนรปกลองลอมรอบกราฟ True

FaceGrids การแสดงเสน grid บนสวน box None

HiddenSurface การแสดงพนผวใหมลกษณะเปน solid True

Lighting การแสดงพนผวทมสใหมแสง True

Mesh การแสดงพนผวทมลกษณะเปนรางแห True

Shading กาหนดการแรเงาพนผว True

ViewPoint กาหนดวาจะมองกราฟในมมใด {1.3, –2.4, 2}

หมายเหต การกาหนดคาใหกบ Option ตาง ๆ เชน Frame True การพมพสญลกษณ (ลกศร) ใหพมพ – (เครองหมาย ลบ และ มากกวา ตดกน) โปรแกรม Mathematica จะเปลยนเปนลกศร ใหเอง



107

ตวอยาง 3.7.1 การใช PlotRange กาหนดขอบเขตของการเขยนกราฟ เมอกาหนด PlotRange {0, 1} ทาใหการเขยนกราฟคาของ y = sin x ในบรเวณ 0 y 1 เทานน



108

ตวอยาง 3.7.2 การใช AspectRatio กาหนดสดสวนความสงตอความกวางของกรอบทเขยนกราฟ



109

ตวอยาง 3.7.3 การกาหนดใหมการขดบนแกนตามตาแหนงทตองการดวยคาสง Ticks ตวอยาง 3.7.4 การกาหนดใหมการขดบนแกนตามตาแหนงทตองการดวยคาสง Ticks และลากเสนกรดตามตาแหนงทตองการดวยคาสง GridLines



110

ตวอยาง 3.7.5 การใช Frame, PlotLabel, FrameLabel, RotateLabel, Axes และ AxesOrigin



111

ตวอยาง 3.7.6 การกาหนดคาเกยวกบ Shading, PlotPoints, Mesh, FaceGrids และ AxesLabel มมมองในทศทางแกน X



112

มมมองในทศทางแกน Y มมมองในทศทางแกน Z



113



114

ตวอยาง 3.7.7 การเขยนกราฟหลายรปพรอมกน ln[1] สงใหเขยนกราฟรปแรก แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร g1 ln[2] สงใหเขยนกราฟรปท 2 แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร g2 ln[3] สงใหเขยนกราฟรปท 3 แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร g3 ln[4] สงใหเขยนกราฟรปท 4 แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร g4

การแสดงผลของกราฟ 4 รปบนสเกลเดยวกนโดยใชคาสง Show

คาสง GraphicsRow แสดงกราฟแบบแยกสเกลและเรยงภาพแนวแถว



115

คาสง GraphicsGrid แสดงกราฟแบบแยกสเกลและเรยงภาพในรปแบบตาราง

คาสง GraphicsColumn แสดงกราฟแบบแยกสเกลและและเรยงภาพแนวดง



116

ตวอยาง 3.7.8 การเขยนกราฟแผนภาพการกระจายของขอมล ListLinePlot ใชเขยนแผนภาพการกระจายแบบโยงเสนระหวางจด



117

นากราฟทง 2 รปแบบแสดงผลพรอมกนบนสเกลเดยวกน



118

ตวอยาง 3.7.9 การเขยนกราฟของฟงกชนและอนพนธพรอมกน



119

3.8 การเขยนกราฟของฟงกชนทนยามโดยนยหรอกราฟของความสมพนธ

การเขยนกราฟของวงร 16x2 +

9y2

= 1 และไฮเพอรโบลา 9

x 2 – 4

y2 = 1

พมพ ContourPlot[{x^2/16+y^2/9==1},{x,–6,6},{y,–4,4}]Shift+ ผลบนจอภาพ

พมพ ContourPlot [{x^2/9–y^2/4==1},{x,–6,6},{y,–4,4}]Shift+ ผลบนจอภาพ



120

กราฟของ 16x2 +

9y2

= 1 ทมการปรบแตงกราฟใหสวยงาม

กราฟของ 9

x 2 – 4

y2 = 1 ทมการปรบแตงกราฟใหสวยงาม



121

กราฟของ 16x2 +

9y2

= 1 และ 9

x 2 – 4

y2 = 1 พรอมกนและปรบแตงกราฟใหสวยงาม



122

3.9 การเขยนกราฟของสมการและการแรเงาในบรเวณทตองการ การเขยนกราฟและแรเงาพนทระหวางเสนโคง y = 2x – 4x + 10 แกน X บนชวง [–2, 4] การเขยนกราฟแบบไมแรเงา

พมพ Plot[{x^2–4*x+10},{x,–2,4},PlotRange–>{{–4,5},{–5,25}}]Shift+ ผลบนจอภาพ

ตอไปเขยนกราฟแบบแรเงาระหวางเสนโคงกบแกน X โดยเพม Options Filling–>Axis

พมพ Plot[{x^2–4*x+10},{x,–2,4},PlotRange–>{{–4,5},{–5,25}},Filling–>Axis]Shift+ ผลบนจอภาพ



123

Options Filling ม 4 แบบคอ Top, Bottom, Axis และ k Filling –> k แรเงาระหวางเสนโคง y = f(x) กบเสนตรง y = k Filling –> Axis แรเงาระหวางเสนโคง y = f(x) กบแกน X Filling –> Top แรเงาระหวางเสนโคง y = f(x) กบคามากสดบนกราฟ Filling –> Bottom แรเงาระหวางเสนโคง y = f(x) กบคาตาสดบนกราฟ



124



125

การแรเงาระหวางเสนโคง 2 เสน Filling –>{1–>{2}} สงใหแรเงาระหวางเสนโคงเสนท 1 (y = sin x) กบเสนโคงเสนท 2 (y = cos x) Filling –>{1–>{2,Yellow}} สงใหแรเงาสเหลองระหวางเสนโคงเสนท 1 (y = sin x) กบเสนโคงเสนท 2 (y = cos x)



126

3.10 การเขยนกราฟของพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง RevolutionPlot3D เปนคาสงเขยนกราฟของพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง y = f(x) รอบเสนตรง

การเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง y = 2x4

บนชวง [0, 2] รอบแกน X



127

การเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง y = 2 sin x บนชวง [0, 2] รอบแกน X



128

กราฟพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง y = 2 sin x บนชวง [0, 2] รอบแกน X มมมอง ViewPoint>Top –



129

กราฟพนผวทเกดจากการหมน



130

กราฟของวงกลมบนระนาบ XY

กราฟพนผวทเกดจากการหมนวงกลมรอบแกน X



131

กราฟพนผวทเกดจากการหมนวงกลมรอบแกน Z



132

3.11 การเขยนกราฟเคลอนไหว (Interactive Graph) Manipulate เปนคาสงเขยนกราฟทมการเปลยนแปลงคาพารามเตอรภายในคาสงได ทาใหกราฟทไดมลกษณะคลายกบเกดการเคลอนไหว Manipulate[Command, Parameter ทเปลยนแปลงขณะเขยนกราฟ] ในตวอยางขางตน Command คอ Plot[Sin[n*t],{t,0,2*Pi}] ซงเปนคาสงเขยนกราฟ y = sin nt จะเหนวาใน Command ระบวา t มคาจาก 0 ถง 2 แตยงไมระบคาของ n ซงเราถอวา n เปนตวพารามเตอรทรอกาหนดเงอนไขในกลมของพารามเตอร ดานทายคาสง Parameter คอ n กาหนดใหมคาจาก 1 ถง 4 เพมคาครงละ 0.5 ภาพของกราฟแรกทไดคอ y = sin t เมอ n = 1 ตอไปใหคลกทเครองหมาย + ตรงทลกศรช (หมายเลข 1 ในรปขางบน) จะไดเมนยอยของการปรบเปลยนคาพารามเตอร



133

บนจอภาพจะเหนเมนยอยในกรอบของภาพ เลอนแถบสไลด (หมายเลข 1 ในรปขางบน) ไปไวขวาสด คา n จะกลายเปน 4 และจะไดกราฟดงน คลกทปม จะไดภาพเคลอนไหวบนจอภาพ



134

หนาทของปมตาง ๆ 1. แสดงตวพารามเตอรทใชควบคมการแสดงผลของกราฟ 2. แถบสไลดเพอ เพม/ลด คาพารามเตอรซงจะ เพม/ลด คาตามทกาหนดไวในคาสง 3. เปลยนแปลงคาพารามเตอรโดยการพมพตวเลข 4. ปมเพมคาพารามเตอร เพมทละคาตามทกาหนดไวในคาสง 5. แสดงภาพเคลอนไหว หรอ สงใหหยดแสดงการเคลอนไหว 6. ปมลดคาพารามเตอร ลดทละคาตามทกาหนดไวในคาสง 7. เพมความเรวของการเคลอนไหว 8. ลดความเรวของการเคลอนไหว 9. เปลยนทศทางของการเคลอนไหว ซายไปขวา ขวาไปซาย หรอ ซายไปขวาและขวาไปซายสลบกน 10. ปม เปด/ปด เมนยอยของการแสดงภาพเคลอนไหว



135

การเขยนกราฟเคลอนไหวแบบมตวพารามเตอร 2 ตว เชนการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก y = amp sin(nt) เมอเวลา t อยบนชวง [0, 2] และม n, amp เปนตวพารามเตอร

ตวอยางกราฟทเปลยน n เปน 4 และ amp เปน 10



136

การเขยนกราฟเคลอนไหวแบบมตวพารามเตอร 3 ตว เชนการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก y = amp sin(nt + w) เมอเวลา t อยบนชวง [0, 2] และม n, amp, w เปนตวพารามเตอร {{n, 2},1,4,0.5} n มตงแต 1 ถง 4 เพมคาครงละ 0.5 และกราฟรปแรกใชคา n = 2 {{amp,6},2,10,2} amp มตงแต 2 ถง 10 เพมคาครงละ 2 และ เรมกราฟรปแรกเมอ amp = 6 {{w, },0,2,

4 } w มตงแต 0 ถง 2 เพมคาครงละ

4 และ เรมกราฟรปแรกเมอ w =



137

ประยกตคาสง Manipulate กบการเขยนเสนโคงปฏบตการแผนการสมตวอยาง (Operating characteristics curve for sampling plan หรอ OC curve) ให ความนาจะเปนทสนคาแตละชนชารด = t โรงงานสงสนคามาจานวนมาก ทาการตรวจสอบคณภาพของบางสวนเพอพจารณาวาจะยอมรบสนคาทนามาสงทงหมดหรอไม โดยทาการสมตวอยางสนคา n ชน ขอตกลง ระหวางฝายโรงงานทนาสนคามาสง กบ ฝายตรวจรบ คอ ถาพบสนคาชารดไมเกน c ชน แลวจะยอมรบสนคาทงหมด ให X = จานวนสนคาชารดทได เพราะฉะนน X = 0, 1, 2, ... , n และ X เปนตวแปรสมทวนาม P(X = x) = x n xn t (1 t)x

= PDF[BinomialDistribution[n, t], x] เพราะวา ถาพบสนคาชารดไมเกน c ชน แลวจะยอมรบสนคาทงหมด เพราะฉะนน P(ยอมรบสนคาทงหมด) = P(X c)

=

c

x 0 P(X = x)

ให P[t,n, c] = P(ยอมรบสนคาทงหมด) = P(ตรวจสอบของ n ชน พบของชารดไมเกน c ชน ขณะทสดสวนของชารดเทากบ t)

เพราะฉะนน P[t, n, c] =

c

x 0 P(X = x)

=

c

x 0 x n xn t (1 t)x

=

c

x 0 PDF[BinomialDistribution[n, t], x]

กราฟของ y = P(t, n, c) เรยกวา โคงปฏบตการแผนการสมตวอยาง (Operating characteristics curve for sampling plan หรอ OC curve)



138

กราฟ OC–curve 1 เสนมคาพารามเตอร 2 ตวคอ n และ c

Line Input[1] กาหนดสตร P[t_, n_, c_] Line Input[2] Plot[P[n,t,n,c],{t,0,1]}] เปนคาสงเขยนกราฟมตวพารามเตอร 2 ตว คอ n, c {{n, 10},1,100,1} n มตงแต 1 ถง 100 เพมคาครงละ 1 และกราฟรปแรกใชคา n = 10 {{c, 2},1,n,1} c มตงแต 1 ถง n เพมคาครงละ 1 และกราฟรปแรกใชคา c = 2



139

กราฟ OC–curve 2 เสนมคาพารามเตอร 3 ตวคอ n, c1 และ c2

Line Input[3] Plot[{P[t,n,c1],{t,0,1]], P[t,n,c2],{t,0,1]}} เปนคาสงเขยนกราฟ 2 เสน {{n, 10},1,100,1} n มตงแต 1 ถง 100 เพมคาครงละ 1 และกราฟรปแรกใชคา n = 10 {{c1, 1},1,n,1} c1 มตงแต 1 ถง n เพมคาครงละ 1 และกราฟรปแรกใชคา c1 = 1 {{c2, 2},1,n,1} c2 มตงแต 1 ถง n เพมคาครงละ 1 และกราฟรปแรกใชคา c2 = 2



140

กราฟ OC–curve 2 เสนมคาพารามเตอร 4 ตวคอ n1, n2, c1 และ c2

Line Input[4] Plot[{P[t,n1,c1],{t,0,1]], P[t,n2,c2],{t,0,1]}}] เปนคาสงเขยนกราฟ 2 เสน {{n1, 10},1,100,1} n1 มตงแต 1 ถง 100 เพมคาครงละ 1 และกราฟรปแรกใชคา n1 = 8 {{n2, 8},1,100,1} n2 มตงแต 1 ถง 100 เพมคาครงละ 1 และกราฟรปแรกใชคา n2 = 10 {{c1, 1},1,n1,1} c1 มตงแต 1 ถง n1 เพมคาครงละ 1 และกราฟรปแรกใชคา c1 = 1 {{c2, 2},1,n2,1} c2 มตงแต 1 ถง n2 เพมคาครงละ 1 และกราฟรปแรกใชคา c2 = 2

บทท 4 การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica

ในบทนจะเปนการใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica เชนการพมพสตร การนาสตรเกากลบมาใชใหม การอางองถงผลลพธเพอนากลบมาใชใหม การบนทกแฟมขอมล การปรบแตงการแสดงผลตวเลข การใชฟงกชนสาเรจรปทมในโปรแกรม Mathematica เชน ฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนลอการทม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

4.1 การกาหนดผลการคานวณใหแสดงผลลพธตามทตองการ โปรแกรม Mathematica สามารถกาหนดการแสดงผลการคานวณไดหลายแบบเชน

ตวอยางการคานวณ คาอธบาย

เมอไมกาหนดเงอนไขการแสดงผล โปรแกรมจะแสดงผลในรปแบบเศษสวน

ถาตวเลขทคานวณมจดทศนยม แลวผลการคานวณทไดจะแสดงผลเปนเลขทศนยม

ม //N ทายสตร จะเปนการบงคบใหแสดงผลเปนเลขทศนยม



142

N[M, k] คาสงแสดงผล M เปนเลขทศนยมทมเลขนยสาคญ k ตว และ M ตองไมมพจนของเลขทศนยม ตวอยางเชน N[22./7,15] จะแสดงผลเหมอน 22./7

NumberForm[สตร, k] คาสงแสดงผลเปนเลขทศนยมทมตวเลขนยสาคญ k ตว

ScientificForm[x, k]

แสดงผลเปน N m10 โดยท N มตวเลขนยสาคญ k ตว

EngineeringForm[x, k] แสดงผลเปน N m10 โดยท N มตวเลขนยสาคญ k ตว และ 3 หาร m ลงตว



143

4.2 การนาผลการคานวณเกามาใชใน Line Input ใหม การนาผลการคานวณเกาทเคยคานวณไวแลวกลบมาใชใหม มวธทาดงน วธท 1 ใชการอางถงดวยสญลกษ %, %%, %%% , ... เชน % หมายถงผลการคานวณลาสดยอนหลง 1 ขนตอน %% หมายถงผลการคานวณลาสดยอนหลง 2 ขนตอน %%% หมายถงผลการคานวณลาสดยอนหลง 3 ขนตอน วธท 2 %k หมายถงผลการคานวณจาก Line Output ตวท k วธท 3 ใชการอางถงดวย Out[k] หมายถงผลการคานวณใน Line Output[k]

พมพ ความหมาย

เรมตนการคานวณเพอเตรยม Line In และ Line Out

ไวอางอง

ใน Line Input[3] 5 + % คอการบวก 5 ดวยผลลพธลาสดจาก Out[2]

ใน Line Input[4] 35 + %% คอการบวก 35 ดวยผลลพธยอนหลง 2 ขนตอน ซงในตวอยางนคอ 20 จาก Out[1]

ใน Line Input[5] คอการบวก 5 ดวยผลลพธจาก Out[2]

ใน Line Input[6] คอการบวก 5 ดวยผลลพธจาก Out[1]

ผลการคานวณอางองจากคาทไดจาก Line Output[1]

ผลการคานวณอางองจากคาทไดจากคาทไดลาสดจาก Line Out[7] + คาจาก Line Output[3]



144

4.3 การ copy สตร และ การ paste สตร การทางานใน Window notebook ของโปรแกรม Mathematica มสงทเราพมพพขอมลเขาไปและมสงทโปรแกรม Mathematica แสดงผลการคานวณเกดขนระหวางการทางานเราสามารถ Copy ผลการคานวณหรอสตรตาง ๆ บนจอภาพไปใชงานตอได จากตวอยางตอไปนมบรเวณทสาคญเชน 1. สญลกษณทบอกวาเรากาลงทางานใน Window notebook ของ Mathematica 2. ชอแฟมขอมล notebook (*.nb) ของ Mathematica ในกรณทเขาใหมและยงไมไดบนทกแฟม Mathematica จะตงชอชวคราววา Untitled–1 3. การนาแฟมเกามาแกไขหากยงไมไดบนทก Mathematica จะเตอนเราดวยเครองหมายดอกจน เหนอชอ 4. Line Input[...] เปนบรเวณทเราพมพคาสงตาง ๆ เพอการคานวณ 5. สญลกษณวงเลบทคลม Line Input[...] ภายในสญลกณแบบนเราสามารถแกไขสตรในบรรทดนนและสงคานวณใหมได หมายเหต เมอแกไขและสงคานวณ Mathematica จะถอวา Line Input นนเปน Line Input ใหมลาสด ขอใหสงเกตทหมายเลข Line Input[...] 6. สญลกษณวงเลบทคลม Line Input[...] และ Line Output[...] ทอยในชดเดยวกน 7. สวนของ Line Input 8. สวนของ Line Output (หมายเหต ในสวนของ Line Output จะแกไขสตรไมได)



145

การ Copy สตรมขนตอนดงน ขนท 1 คลกเมาสทวงเลบหมายเลข 5 จะขนแถบสดาดงรป ทาการ copy โดยการกด Ctrl + C ขนท 2 คลกเมาสในบรเวณใตบรรทด Out[2] กด Ctrl + V แลวกด Shift+ สงทเรา copy จะถก Paste เพอจะไดทาการแกไขเปน Line Input ใหมตอไป



146

4.3 การบนทกแฟม Notebook.nb จากตวอยางการทางานใน Window Notebook ดงภาพ การ Save แฟม Notebook มขนตอนดงน ขนท 1 คลกคาสง File



147

ขนท 2 คลกเลอกคาสงยอย Save จะไดเมนยอยของการบนทกแฟมขอมล ขนท 3 พมพชอแฟมเชน ch_04_01



148

ขนท 4 คลกแปนคาสง Save โปรแกรมจะทาการบนทก Notebook เปนชอ ch_04_01.nb จะเหนวาตรงชอเดม Untitled–1* เปลยนเปน ch_04_01.nb



149

4.4 การเปดแฟม Notebook.nb ขณะทางานใน Window Notebook ครงแรก การเปดแฟมขอมลมขนตอนดงน ขนท 1 คลกคาสง File



150

ขนท 2 เลอกคาสงยอย Open จะไดเมนยอยของการเปดแฟมขอมล ขนท 3 ในชอง File name: ใหพมพชอ Notebook ch_04_01



151

ขนท 4 คลกปมคาสง Open จะไดแฟม ch_04_01.nb ทบนทกไวขนมาบนจอภาพ หมายเหต เมอเปดแฟม Notebook เขามาใหมโปรแกรม Mathematica ยงไมเตมหมายเลข Line Input และ Line Output ให



152

การสงใหแฟม Nptebook ทเปดขนมาใหมทาการคานวณมขนตอนดงน ขนท 1 เลอกคาสง Evaluation ขนท 2 คลกท Evaluate Notebook



153

จะไดผลการทางานของ Notebook พรอมทงหมายเลข Line Input และ Line Output ดงน



154

4.5 ฟงกชนสาเรจรปทางคณตศาสตรและฟงกชนอน ๆ ทสาคญ 4.5.1 ฟงกชนทางคณตศาสตร

ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน Abs[z] คาสมบรณของ z หรอ คาสมบรณของจานวนเชงซอน z

หมายเหต กด EsciiEsc จงจะไดสญลกษณ

Arg[z] คาอารกวเมนตของจานวนเชงซอน z

Re[z] Im[z] Conjugate[z]

สวนจรง สวนจนตภาพ และคาสงยคของ z

Exp[x] เอกซโพเนนเชยลฟงกชน ( xe )

Ceiling[x] จานวนเตมทเลกทสดทมคามากกวาหรอเทากบ x

Round[x] การปดเศษจานวนจรง x ใหเปนตวเลขจานวนเตมทใกลทสด



155

Floor[x] จานวนเตมทใหญทสดทมคานอยกวาหรอเทากบ x

Log[x] Log[x] คอคาลอกาลทมฐาน e ของ x

Log10[x] Log10[x] คอคาลอกาลทมฐาน 10 ของ x

Log[b, x] Log[b, x] คอคาลอกาลทมฐาน b ของ x

Mod[x, y] เศษเหลอจากการหาร x ดวยจานวนเตม y

Sign[x] เทากบ 1 ถา x 0 และเทากบ –1 ถา x 0 และ Sign[0] = 0

Sqrt[x] รากท 2 ของ x



156

Sin[x] Cos[x] Tan[x] Sec[x] Csc[x] Cot[x]

ฟงกชนตรโกณมต

ArcSin[x] ArcCos[x] ArcTan[x] ArcSec[x] ArcCsc[x] ArcCot[x]

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

Sinh[x] Cosh[x] Tanh[x] Sech[x] Csch[x] Coth[x]

ฟงกชนไฮเพอรโบลก

ArcSinh[x] ArcCosh[x] ArcTanh[x] ArcSech[x] ArcCsch[x] ArcCoth[x]

ฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน



157

4.5.2 คาสงเกยวกบการจดรปพชคณต

ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน Apart[f(x)] เขยนเศษสวนของพหนามในรปแบบผลบวกของเศษสวนยอย

Together[f(x)] รวมเทอมผลบวกของเศษสวนยอยใหอยในรปพหนาม )x(q)x(p

Simplify[f(x)] จดรปแบบพชคณตใหเปนรปแบบอยางงาย

Expand[f(x)] ExpandAll[f(x)]

กระจายสตรของฟงกชน

Expand[f(x), Trig – True] กระจายสตรของฟงกชนตรโกณมต กระจายสตรของฟงกชนทกเทอมทปรากฏ



158

ComplexExpand[f(x)] กระจายสตรของฟงกชนเชงซอน

Collect[f(x)] จดรปแบบพชคณตโดยการกระจายตามพจนของตวแปรทกาหนด

Factor[f(x)] แยกตวประกอบ

Factor[f(x),Trig – True] แยกตวประกอบฟงกชนตรโกณมต



159

Cancel[f(x)] หาผลหารของพหนาม

Denominator[f(x)]

ใชในการหาพหนามเฉพาะพจนทเปนตวสวนของ f(x)

Numerator[f(x)]

ใชในการหาพหนามเฉพาะพจนทเปนตวเศษของ f(x)

TraditionalForm[f[x]]

ใชแสดงสตร f(x) ใหสวยงาม



160

4.5.3 คาสงเกยวกบผลบวกและผลคณ

ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน 1. Sum[f[i], {i, a, b}] 2. Sum[f[i], {i, a, b, c}] 3. Sum[f[i, j], {i, a, b, c}, {j, d, e, k}]

1. หาผลรวม f(i) โดย i เปลยนคาจาก a ถง b 2. หาผลรวม f(i) โดย i เปลยนคาจาก a ถง b เพมคาครงละ c 3. หาผลรวม f(i, j) โดย i เปลยนคาจาก a ถง b เพมคาครงละ c และ j เปลยนคาจาก d ถง e เพมคาครงละ k

1. Product[f[x], {x, a, b} 2. Product[f[x], {x, a, b, c} 3. Product[f[x, y], {x, a, b, c}, {j, d, e, k}

1. หาผลคณ f(x) โดย x เปลยนคาจาก a ถง b 2. หาผลคณ f(x) โดย x เปลยนคาจาก a ถง b เพมคาครงละ c 3. หาผลคณ f(x, y) โดย x เปลยนคาจาก a ถง b เพมคาครงละ c และ y เปลยนคาจาก d ถง e เพมคาครงละ k



161

4.5.4 คาสงกหนดสตรฟงกชน และการหาลมต อนพนธ และอนทกรลของฟงกชน

ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน

1. f[x_]:=...

2. f[x]/.xa 3. f[a]

1. f[x_]:=... เปนการกาหนดสตรฟงกชน 2. คานวณคา f(a)

หมายเหต ไดจากการพมพ – และ 3. f[a] คาสงคานวณคา f(a)

1. Composition[f, g,

...][x]

2. Nest[f, x, n]

1. ฟงกชนประกอบของ f, g, ...

2. ฟงกชนประกอบ ( f...ff )(x) n ครง



162

Limit[f[x], xa] )x(flimax

Limit[f[x], xa , Direction1]

)x(flimax

Limit[f[x], xa , Direction–1]

)x(flimax

f [x], f [x], f [x], ... f (x), f (x), f (x), ... ตามลาดบ

หมายเหต สญลกษณ " ; " ทาย Line Input เปนการกาหนดใหทาการคานวณแตยงไมตองแสดงผล จากตวอยางขางตน Line Input[12] จะรบคาของสตรไวและไมพมพ Line Output[12]



163

D[f, x] D[f, {x, k}]

D[f, x] อนพนธอนดบทหนงของ f เทยบกบ x D[f, {x, k}] อนพนธอนดบท k ของ f เทยบกบ x

Dt[f, x]

คาอนพนธเชงรวม

ผลทไดคอ d

dt( 2x 3y ) = 2x 3y dx

dt + 3 2x 2y

dydt

และ ddx

( 2x 3y ) = 2x 3y + 3 2x 2ydydx

สญลกษณการคานวณ

ใชหาอนพนธและอนพนธยอย



164

Integrate[f[x], x] อนทกรลไมจากดเขต dx )x(f

Integrate[f[x], {x, a, b}]

อนทกรลจากดเขต dx )x(fb

a

NIntegrate[f[x], {x, a, b}]

การประมาณคา dx )x(fb

a ออกมาเปนคาตวเลข



165

4.5.5 คาสงเกยวกบผลการแปลงลาปลาซ ผลการแปลง Z–Transform และพหนามเทยเลอร

ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน LaplaceTransform[f[x], x, s]

ผลการแปลงลาปลาซของ f(x)

InverseLaplaceTransform[F[s], s, x]

ผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s)

Series[f[x], {x, a, n}] พหนามเทยเลอรของ f รอบจด x = a ดกรไมเกน n



166

ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน ZTransform[u[n], n, z] ผลการแปลง Z–transform ของ u(n)

Inverse ZTransform[f[z],z,n] ผลการแปลง Z–transform F(s)

หมายเหต f(z) = n

n 0u(n) z

จะไดวา ZTransform[(u(n)] = f(z) และ InverseZTransform[f(z)] = u(n) ตวอยางเพมเตม



167

4.5.6 คาสงหารากสมการ

ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน Solve[equ1==equ2] หารากของสมการ equ1 = equ2

Solve[{equ1==equ2, equ3==equ4, ...}]

หาผลเฉลยของระบบสมการ equ1 = equ2, equ3 = equ4, ...

NSolve[equ1==equ2] หารากของสมการ equ1 = equ2 และแสดงคาเปนเลขทศนยม



168

NSolve[{equ1==equ2 , equ3==equ4, ...}]

หาผลเฉลยของระบบสมการ equ1 = equ2, equ3 = equ4, ... และแสดงผลเปนเลขทศนยม

NRoots[equ1== equ2, x]

หารากของสมการ equ1 = equ2

FindRoot[equ1== equ2, {x, 0x }]

หารากของสมการพหนาม equ1 = equ2 โดยมจดเรมตนของการประมาณคารากท x = 0x

Reduce[equ1== equ2]

คนหาความเปนไปไดของผลเฉลยของสมการ



169

Eliminate[equ1== equ2 && equ1==equ2, ตวแปรทตองการขจด]

จดรปพชคณตเพอขจดตวแปรทไมตองการและเหลอไวเฉพาะตวแปรทตองการ

y = 2x และ y = x + 1 ... (1)

2y = (x + 1) 2 จาก (1))

= 2x + 2x + 1 = y + 2(y – 1) + 1 จาก (1) = 3y – 1

–3y + 2y = –1 ผลทได



170

4.5.7 คาสงในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

DSolve[equ1==equ2, y[x], x] หาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

DSolve[equ1==equ2, equ3==equ3, ... , y[x], x] หาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ

บทท 5 การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica

การแกปญหาทางดานคณตศาสตรทมขนตอนการทางานหลายขนตอน เราสามารถนาคาสง ของโปรแกรม Mathematica มารวมกนเพอเขยนเปนโปรแกรมเพอประยกตใชงานได ในบทนเราจะนาปญหาคณตศาสตรบางปญหามาเขยนเปนโปรแกรมเพอใชงาน โดยขอเรมจากแผนภมสายงาน

เรมตน

กาหนดคาตาง ๆ ของตวแปร

คานวณคาตาง ๆ ตามสตร

แสดงผลการคานวณ

จบการทางาน

เราสามารถนามาประยกตกบการคานวณทางคณตศาสตรได ตวอยางเชน โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวดาน a, b และ c โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด โปรแกรมหารากสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน โปรแกรมหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธโดยวธของออยเลอร



172

โปรแกรม 1 การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวของดาน a, b, c สวนของ INPUT คอ การกาหนดคา a, b, c สวนประมวลผล คอ การคานวณคา s และ area สวนแสดงผล คอ การพมพคา area ขนตอนการเขยนโปรแกรมมดงน

ขนท 1 เขาสการทางานของ Mathematica หมายเหต เพอใหผลของการพมพและขอความทปรากฏเหมอนกบคาแนะนาในหนงสอขณะน ขอให ปด การทางานของ Mathematica กอน แลวจง เปด เขามาใหม

ขนท 2 พมพโปรแกรมดวยคาสงตาง ๆ ตามทตองการ

พมพ ผลบนจอภาพ a:=3;

หมายเหต 1. กด เพอขนบรรทดใหม โดยไมคานวณ 2. สญลกษญ ln[..] ยงไมม เพราะวายงไมไดสงคานวณ

ขอสงเกต 1. ม * ทชอ Untiled–1* 2. Curser รอทบรรทดถดไป โดยยงไมคานวณ



173

b:=4;

c:=5;

s:=(a+b+c)/2; area:=Sqrt[s*(s–a)*(s–b)*(s–c)];

areaShift+ ขอสงเกต 1. ln[2] คอ b:=4; ln[3] คอ c:=5; : ln[6] คอ area ไมแสดงสญลกษญ line Input ออกมา

ผลการคานวณทได คอ area มคาเทากบ 6

หมายเหต แนะนาให Save Notebook ชอ Findarea.nb



174

แกไขคา a, b, c ใหมเชน a:=10, b:=8, c:=6 แลวกด Shift+ จะไดผลการคานวณใหมดงน การเขยน Module หรอ Function Programming ของโปรแกรม Mathematica จากตวอยางโปรแกรมขางตนจะเหนวามการรบคา 3 คา คอ a, b, c และแสดงผล 1 คา คอ area เราสามารถปรบเปลยนการทางานของโปรแกรมขางตนใหเปน Function Programming ซงในโปรแกรม Mathematica เรยกวา Module ไดดงน



175

โปรแกรม 2 การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด หมายเหต เมอกาหนดจดยอดของสามเหลยม ABC เปน A( 0x , 0y ), B( 1x , 1y ), C( 2x , 2y )

พนทสามเหลยม ABC = 12

det( x x y y1 0 1 0 x x y y2 0 2 0

)

= 12

( 1y – 0y )( 2x – 0x ) – ( 1x – 0x )( 2y – 0x ) โปรแกรมการหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด เปลยนพกดของจดยอดเปน A(0, 0), B(12, 0) และ C(0, 15)



176

คาสงทควรทราบเพอใชในการเขยนโปรแกรมของ Mathematica

คาสง รปแบบและหนาท (*............*) Remark ของโปรแกรมซงไมมการคานวณทบรรทด Remark

(*.............This is a remark...........*) Print[...] ใชพมพ ขอความ ตวแปร

Do Do[คาสง, {imax}] ทางานทกาหนดซา imax ครง Do[คาสง(i), {i, imax}] ทางานทกาหนดซาตามคาของ i ตงแต 1 ถง imax และ i เพมคาครงละ 1 Do[คาสง(i), {i, imax, d}] ทางานทกาหนดซาตามคาของ i ตงแต 1 ถง imax และ i เพมคาครงละ d Do[คาสง(i, j), {i, imax}, {j, jmax] ทางานทกาหนดซาตามคาของ i ตงแต 1 ถง imax และ i เพมคาครงละ 1 และ j ตงแต 1 ถง jmax และ j เพมคาครงละ 1



177

While While[เงอนไข 1, คาสง 1] ถา เงอนไข 1 เปนจรง ใหทางานตามคาสง 1 ถา เงอนไข 1 เปนเทจ ใหออกจาก Loop While

For For[start, test, incr, body]

start การกาหนดคาตวแปรเรมตน test เงอนไขในการทางาน ถา เงอนไข เปนเทจ ใหออกจากลป For incr การเพมคาของตวแปร body กลมคาสงของการทางาน



178

If If[test, command1, command2] เมอ test คอ เงอนไข ถา เงอนไข test เปนจรง ใหทา command1 ถา เงอนไข test เปนเทจ ใหทา command2

ตวอยางการนยามสตร f(x) = 2

3

x if x 0 x if 0 x 3x if x 3



179

โปรแกรม 3 การหาราก f(x) = 0 โดยใชสตรของนวตน f (x )nx xn 1 n 'f (x )n

เมอกาหนดคาเรมตน 0x การหารากของสมการ f(x) = 2x – 2, 0x = 1 ผลการทางานของโปรแกรม เปรยบเทยบกบ 2 คอ



180

โปรแกรม 4 การหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธ dydx

= f(x, y) และ y( 0x ) = 0y การหาคาประมาณของ y(c) โดยวธของออยเลอร

ให dydx

= xy และ y(1) = 1 จงหาคาประมาณของ y(1.5) ผลการทางานของโปรแกรม

บทท 6 การคานวณระดบ ม. ปลาย

ดวยโปรแกรม Mathematica ในบทนจะเปนการนาความสามารถของโปรแกรม Mathematica มาใชในการคานวณเพอเสรมการเรยนการสอนคณตศาสตรระดบมธยมศกษาตอนปลาย

6.1 เสรมการคานวณคณตศาสตร 1 6.1.1 การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และหารากท 2

บทท 6 การคานวณระดบ ม. ปลาย ดวยโปรแกรม Mathematica


182

6.1.2 การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา และสรางตารางฟงกชน



183

6.1.3 การเขยนกราฟฟงกชน



184

6.1.4 การเปลยนตวเลขระหวาง เลขฐาน 2 เลขฐาน 16 และ เลขฐาน 10



185

6.1.5 การแยกตวประกอบและการกระจายพหนาม



186

6.1.6 การหารากของสมการ



187

6.2 เสรมการคานวณคณตศาสตร 2 6.2.1 การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร และไฮเพอรโบลา การเขยนกราฟวงกลม 2x + (y + 3) 2 = 16

การเขยนกราฟพาราโบลา x = 2y



188

การเขยนกราฟวงร 25x 2 +

16y2

= 1

การเขยนกราฟไฮเพอรโบลา 9

y2 –

4x 2 = 1



189

6.2.2 การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot



190

6.2.3 กราฟของฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot



191



192

6.2.4 การหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ความแปรปรวน สวนเบยงเบนมาตรฐาน

หมายเหต ในกรณทขอมลบางตวเปนเลขทศนยม ผลการคานวณจะแสดงเปนเลขทศนยม

หมายเหต Variance[x] =

n 2i

i = 1(x x)

n 1



193

6.3 เสรมการคานวณคณตศาสตร 3 6.3.1 การคานวณคาฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม



194

6.3.2 การเขยนกราฟของ y = xe , y = xa และ y = xalog



195



196

3. การทาตารางคาของฟงกชนลอการทมและฟงกชนเอกซโพเนนเชยล



197

6.3.4 การคานวณคาฟงกชนตรโกณมตผกผน arcsin, arccos, arctan, arcsec, arccosec, arccot



198

6.3.5 กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน



199



200

6.3.6 การคานวณเกยวกบเมทรกซ การบวกเมทรกซ การคณเมทรกซ สเกลารคณเมทรกซ คากาหนดของเมทรกซ หมายเหต A*B เปนการคณของสมาชกทมตาแหนงตรงกน A.B เปนการคณแบบเมทรกซ



201

6.3.7 การหาผลเฉลยของระบบสมการ



202

6.4 เสรมการคานวณคณตศาสตร 4 6.4.1 การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร



203

6.4.2 การคานวณเกยวกบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรงและสวนจนตภาพ



204

6.4.3 การหาคาสถตของขอมล



205

6.5 เสรมการคานวณคณตศาสตร 5 6.5.1 การหาลมตของลาดบ



206

6.5.2 การหาผลบวกของอนกรม และสตรผลบวกของอนกรม



207

6.5.3 การหาลมตและอนพนธของฟงกชน และการเขยนกราฟของ f, f , f พรอมกน



208



209

6.5.4 การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และการหาพนทระหวางเสนโคง



210



211

6.6 เสรมการคานวณคณตศาสตร 6 6.6.1 การคานวณคา n!, r

n P , rn C และการกระจายทวนาม



212

6.6.2 กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล

x y 1 3 4 18 10 32 14 33 18 35



213



214

6.6.3 การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล ตวอยางขอมล

x y 1 3 4 18 10 32 14 33 18 35

สมการเสนตรงคอ ycap(x) = 7.36475 + 1.79098x

คาพยากรณของ y เมอ x = 4 คอ 14.5287



215



216

6.7 Mathematica กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance ขอสอบ Entrance สามารถหาคาตอบไดดวยโปรแกรม Mathematica ตวอยางเชน

ขอสอบคณตศาสตร 1 มนาคม 2546 ขอ 18

x 0lim 3x

1 [ x1 – X1 – )x1)(x1( 2 + )x1)(x1( 2 ]

มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2.

41

3. 12

4. 1 การคานวณดวยโปรแกรม Mathematica เพราะฉะนนตอบขอ 3.



217

ขอสอบคณตศาสตร 2 มนาคม 2546 ขอ 11 ถา 1

1 sin x + 1

1 sin x = 8 โดยท x

23

แลว sin x + cos 2x + tan 3x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2

13 2. 2

13

3. 2

13 4. 2

13 การคานวณดวยโปรแกรม Mathematica เพราะฉะนนตอบขอ 3.



218

ขอสอบคณตศาสตร 1 มนาคม 2545 ขอ 2 2sin 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบเทาใด

การคานวณดวยโปรแกรม Mathematica เพราะฉะนน 2sin 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบ 0.5

บทท 7 การคานวณระดบอดมศกษา

ดวยโปรแกรม Mathematica การเรยนในระดบอดมศกษามปญหาทางดานการคานวณมากมาย หากนกเรยนนสต นกศกษา หรอ ผสอน ไดนาความสามารถของโปรแกรม Mathematica มาใชในการคานวณกจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ในบทนจงไดยกตวอยางการคานวณทางคณตศาสตรระดบอดมศกษา จาแนกเปนกลมตาง ๆ ดงน 1. แคลคลส 2. สมการเชงอนพนธ 3. การวเคราะหเชงตวเลข 4. พชคณตเชงเสน 5. สถตและความนาจะเปน 6. คณตศาสตรขนสง

7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวยโปรแกรม Mathematica

7.7.1 การคานวณคาลมต

บทท 7 การคานวณระดบอดมศกษาดวยโปรแกรม Mathematica


220

7.7.2 การกาหนดสตรฟงกชน การหาอนพนธ อนพนธอนดบสง และอนพนธยอย



221

7.1.3 การหาอนทกรลแสดงผลการคานวณเปนสตรและเปนตวเลข



222

7.1.4 กราฟของฟงกชน f, f และ f



223

7.1.5 การหาผลบวกรมนน (Riemann sum) การหาผลบวกรมนนของ f(x) = 2x – 4x + 6 บนชวง [1, 3] เปลยนคา n = 1000

เพราะฉะนน คาของ dx)6x4x( 23

1 = 4.666666



224

7.1.6 การหาพหนามเทยเลอรของฟงกชน การหาพหนามเทยเลอรของ sin(x), arctan(x), cos(x), ln(x)



225

7.1.7 การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว การเขยนกราฟของ r = 4 cos(2t), r = 4 + 4 cos(2t) และ r = 1 + cos t, r = sin t



226

7.1.8 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรกใน 2 มต การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก r(t) = (t, 2t ) บนชวง [0, 5]



227

7.1.9 การเขยนกราฟในระบบพกดฉาก 3 มต กราฟของพนผว z = 2x – 2y



228

7.1.10 การเขยนกราฟของสมการพาราเทตรกใน 3 มต กราฟของสมการพาราเมตรก r(t) = (4 cos t, 4 sin t, t) บนชวง [0, 4]



229

7.1.11 การเขยนกราฟแบบแรเงาและการหาพนท



230

7.1.12 การเขยนกราฟของพนผวทเกดจากการหมน การหาปรมาตรและพนทผว



231

หมายเหต การหมนเสนโคง f(x) = 2)2x(4 บนชวง [0, 4] รอบแกน X จะไดอาณาบรเวณเปนทรงกลมรศม r = 2

ปรมาตรทเกดจากการหมน = dx)]x(f[ 4

0

2 = 3

32

สตรปรมาตรทรงกลม = 2r 34 =

332

พนทผวทเกดจากการหมน = dx )]x(f[1 )x(f 24

0

2' = 16

สตรพนทผวทรงกลม = 4 2r = 16



232

7.1.13 การหาคาตาสดของฟงกชน การหาคาตาสดของ f(x) = 2x + 2x – 3 เพราะฉะนน f(–1) = –4 เปนคาตาสด หมายเหต FindMinimun[f, {x, a}] เปนคาสงหาคาตาสดของ f(x) รอบ ๆ จด x = a



233

7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวยโปรแกรม Mathematica 7.2.1 กราฟของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก



234

7.2.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

dtdx – 2xt = t

การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ x(t) + 4 x(t) = 0 ตวอยางเพมเตม



235

7.2.3 การหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน การหาคา L{sin(x)} =

2s1

1

และ 1L {

2s1

1

} = sin x




236

7.2.4 การหาผลการแปง Z transform และ Inverse Z transform

f(z) =

n

n 0u(n) z




237

7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวยโปรแกรม Mathematica 7.3.1 การประมาณเสนโคง y(x) ทผานจด ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny ) การหาพหนามทผานจด (1, 2), (2, 5), (3, 13), (4, 20) เพราะฉะนนพหนามทผานจด (1, 2), (2, 5), (3, 13), (4, 20) คอ 10 –

231 x +

217 2x – 3x

การหาพหนามทผานจด (2, 5), (5, 7), (7, 10), (9, 12), (11, 15) เพราะฉะนนพหนามทผานจด 5 จดทกาหนดใหคอ

12169 –

2161841 x +

54133 2x –

21655 3x +

1061 4x



238

7.3.2 การหารากของสมการ การหารากของสมการ 2x – 5 = 0 การหารากของสมการ sin x – cos x = 0 เพราะฉะนนรากสมการ sin x – cos x = 0 คอ 0.785398 =

4




239

7.3.3 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนและไมเชงเสน การหาผลเฉลยของระบบสมการ x + y + z = 12 x – y + z = 4 x + y – z = 2

เพราะฉะนนผลเฉลยคอ x = 3, y = 4 และ z =5 การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 2y = 25 x + y = 7

รากของสมการคอ (x, y) = (3, 4), (4, 3)




240

7.3.4 การประมานคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy

และผานจด ( 0x , 0y ) โดยวธของออยเลอรทปรบปรงแลวทมสตร

1ny = ny + 2h (f( nx , ny )+ f( 1nx , ny + hf( nx , ny ))

เมอ h = n

xc 0 , 1nx = nx + h

การหาคาประมานคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy

และผานจด (0, 0) หมายเหต ผลเฉลยแทจรงคอ y(x) = xe – x – 1 เพราะฉะนนคาจรง y(1) = 0.718282



241

7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวยโปรแกรม Mathematica

7.4.1 การคานวณเกยวกบเมทรกซ



242

7.4.2 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง ของเมทรกซ การหาสมการลกษณะเฉพาะ คาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ A =

3104

คาเจาะจงคอ 3, 4 โดยมเวกเตอรเจาะจงเปน (0, 1), (1, 1) ตามลาดบ



243

7.4.3 การหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถวทสมมลกบ A และ Rank(A)



244

7.4.4 การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R โดยใชกระบวนการของ Gram – Schmidt การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 2R จากมลฐาน { 1v = (1, 1), 2v = (0, 1) } มลฐานเชงตงฉากปกตคอ {( 1

2, 1

2), (– 1

2, 1

2)}

การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R จากมลฐาน { 1v = (1, 1, 1), 2v = (0, 1, 1), 3v = (0, 0, 1)}

มลฐานเชงตงฉากปกตคอ {( 13

, 13

, 13

), (– 23

, 16

, 16

), (0, – 12

, 12

)}




245

7.4.5 การแปลงเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซเฉยง (Orthogonal Diagonalization) ตวอยางเชน ให A = 3 2

2 3

การหา P ททาให TP AP เปนเมทรกซเฉยง

เพราะฉะนน P = 1 12 2

1 12 2

ทาให TP AP = 5 00 1



246

7.4.6 LU–decomposition ให A เปนเมรกซ การหาเมทรกซสามเหลยมลาง (L) และเมทรกซสามเหลยมบน (U) ททาให A = LU



247

7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวยโปรแกรม Mathematica

7.5.1 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม



248

หมายเหต b(x, n, p) = xnx )p1(p)!xn(!x

!n

เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม

ln[2] เปนการกาหนดสตรเพอใชงาน ln[4] นาฟงกชนสาเรจรปของ Mathematica มาใชงาน PDF[BinomialDistribution[n, p], x] คอ xnx )p1(p

)!xn(!x!n



249

7.5.2 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซอง

หมายเหต ฟงกชน p(x, ) มคาเทากบ !x

e x เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง ln[1] เปนการกาหนดสตรเพอใชงาน ln[3] นาฟงกชนสาเรจรป PDF[PoissonDistribution[], x] ของ Mathematica มาใชงาน

PDF[PoissonDistribution[], x] คอ !x

e x



250

7.5.3 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปกตและตวแปรสมปกตมาตฐาน ตวแปรสมปกต X มคาเฉลย และความแปรปรวน 2

ตวแปรสมปกต X มฟงกชนความนาจะเปน f(x) = 2)

x(

e 2

1

PDF[NormalDistribution[, ], x] คอฟงชนกความนาจะเปน f(x) = 2)

x(

e 2

1

PDF[NormalDistribution[0, 1], z] คอฟงชนกความนาจะเปนของตวแปรสมปกตมาตรฐาน CDF[NormalDistribution[0, 1], k] = P(– Z k) InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], A] = คา k บนแกน Z ททาให P(– Z k) = A Z(A) = คาวกฤต Az บนแกน Z (แกนนอน) ททาให P(Z Az ) = A Pvalue(k) = P(Z k )



251

หมายเหต PDF[NormalDistribution[, ], x] คอ 2)

x(

e 2

1



252



253



254

7.5.4 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมท t ระดบขนความเสร v ตวแปรสมท t ระดบขนความเสร v มฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน

f(t, v) = 21 2

) t 1 ( )

2(

)2

1(

PDF[StudentTDistribution[v], t] คอฟงชนกความนาจะเปน f(t, v) CDF[StudentTDistribution[v], k] = P(– t k) InverseCDF[StudentTDistribution[v], A] = คา k บนแกน t ททาให P(– t k) = A T(A) = คาวกฤต At บนแกนท (แกนนอน) ททาให P(t At ) = A Pvalue(k) = P(t k )



255



256



257



258

7.5.5 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร v ตวแปรสมไคสแควร 2 ระดบขนความเสร v มฟงกชนความนาจะเปน

f(x, v) = 2x 1

2

2

ex

)2

(2

1

PDF[ChiSquareDistribution[v], x] คอฟงชนกความนาจะเปน f(x, v) CDF[ChiSquareDistribution[v], k] = P(0 2 k) InverseCDF[ChiSquareDistribution[v], A] = คา k บนแกน 2 ททาให P(0 2 k) = A Chisquare(A) = คาวกฤต 2

A บนแกนไคสแควร (แกนนอน) ททาให P( 2 2A ) = A

Pvalue(k) = P( 2 k )



259



260



261



262

7.5.6 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมเอฟ (F) ระดบขนความเสร 1 และ 2 ตวแปรสมเอฟ (F) ระดบขนความเสร 1 และ 2 มฟงกชนความนาจะเปน

h(f, 1 , 2 ) = 2

2 1

2

121

1 21

21

2

121

) f1 ( ) 2

( ) 2

(

f ) ( ) 2

(

PDF[FRatioDistribution[ 1 , 2 ], x] คอฟงชนกความนาจะเปน h(f, 1 , 2 ) CDF[FRatioDistribution[ 1 , 2 ], k] = P(0 F k) InverseCDF[FRatioDistribution[ 1 , 2 ], A] = คา k บนแกน F ททาให P(0 F k) = A F(A) = คาวกฤต Af บนแกนเอฟ (แกนนอน) ททาให P(F Af ) = A Pvalue(k) = P(F k )



263



264



265



266

7.5.7 การหาสมการถดถอย สมประสทธสหสมพนธ และการเขยนแผนภาพกระจายขอมล กาหนดขอมล

x y 4.3 126 4.5 121 5.9 116 5.6 118 6.1 114 5.2 118 3.8 132 2.1 141 7.5 108



267



268



269



270



271



272

7.5.8 กราฟของแผนภาพการกระจายบนกราฟสเกล (X, Y), (X, ln Y), (ln X, Y) และ (ln X, ln Y) กาหนดขอมล

x y 79 255 128 2732 355 5915 595 7231 950 7525

ListPlot เปนคาสงเขยนกราฟของ ( ix , iy ), i = 1, 2, 3, 4, 5 บนสเกล (X, Y) สเกลบนแกนนอนเปนคาของ X บนชวง [0, 1000] สเกลบนแกนตงเปนคาของ Y บนชวง [0, 7525]



273

ListLogPlot เปนคาสงเขยนกราฟของ ( ix , ln iy ), i = 1, 2, 3, 4, 5 บนสเกล (X, ln Y) สเกลบนแกนนอนเปนสเกลปกต X สเกลบนแกนตงเปนสเกล ln Y ListLogLinearPlot เปนคาสงเขยนกราฟของ (ln ix , iy ), i = 1, 2, 3, 4, 5 บนสเกล (ln X, Y) สเกลบนแกนนอนเปนสเกล ln X สเกลบนแกนตงเปนสเกลปกต Y



274

ListLoglogPlot เปนคาสงเขยนกราฟของ (ln ix , iy ), i = 1, 2, 3, 4, 5 บนสเกล (ln X, ln Y) สเกลบนแกนนอนเปนสเกล ln X สเกลบนแกนตงเปนสเกล ln Y



275

การเขยนแผนภาพการกระจายโดยการเปลยนตวแปร (U = X, V = ln Y) บนสเกล (U, V)



276

การเขยนแผนภาพการกระจายโดยการเปลยนตวแปร (U = ln X, V = Y) บนสเกล (U, V)



277

การเขยนแผนภาพการกระจายโดยการเปลยนตวแปร (U = ln X, V = ln Y) บนสเกล (U, V)



278

7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวยโปรแกรม Mathematica 7.6.1 การหาอนทกรลจากดเขตและอนทกรลไมจากดเขต



279

7.6.2 การหาสตรอนพนธของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ



280

7.6.3 กราฟของฟงกชนแกมมา (Gamma function) และการคานวณคาฟงกชนแกมมา



281

7.6.4 ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) และ กราฟของฟงกชนเบสเซล หมายเหต BesselJ[v, x] คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 1 อนดบ v BesselY[v, x] คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 2 อนดบ v



282



283

7.6.5 การหาอนพนธอนดบสงและอนพนธยอย

ตวอยางเชน x24)x(dx

d 43

3 , 3234

2

2yx12)yx(

x

, yx6)yx(

y

4342

2

และ 22342

3yx36)yx(

xy



284

7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn



285



286

คู่มือโปรแกรมtdumrong/book/Mathematica_09... · 2017. 1. 6. ·...

Documents

Transcript of คู่มือโปรแกรมtdumrong/book/Mathematica_09... · 2017. 1. 6. ·...