Integraalrekening 2

Les 2 DT

Gerard van Alst

April 2015

Doelen

• paragraaf 7.1: partiële integratie: vervolg.• paragraaf 7.2: primitieven van gonio-

functies zoals sin2(x), sin3(x).

Elke les: 5 minuten met 5 vragen over standaardafgeleiden en standaardintegralen

• 1. Wat is de afgeleide van ?• 2. Bereken de afgeleide van • 3. Wat is de primitieve van ?• 4. Wat is de primitieve van ?• 5. Wat is de primitieve van ?

Partiële integratie

Andere schrijfwijze.

• In het boek worden de volgende notaties gebruikt:

• Bij (2) wordt gebruikt: v=g(x) en dv=g’(x)dx.• En ook: u=f(x) en du=f’(x)dx.

Vragen over het huiswerk?

Opgaven.• par. 7.1: 26, 28, 37, 57• Zijn deze gelukt? Anders gaan we ze nu doen!

Partiële integratie

(2)

• Soms is het handig om een rondje te lopen…..

Par. 7.2: primitieven van gonio

• We kijken naar de volgende integralen:• Probeer ze te berekenen:

2 3 2sin( ) cos ( ) , sin ( ) , sin ( )x x dx x dx x dx

Bespreking

2 3 2sin( )cos ( ) , sin ( ) , sin ( )x x dx x dx x dx

De primitieve van sin4(x)

• De primitieve van sin4(x) vinden we als volgt:

• We weten dat cos(2x)=1-2sin2(x), dus• hiermee zien we:2 1 1

2 2sin ( ) cos(2 ),x x

4 2 2 21 1sin ( ) (sin ( )) ( cos(2 ))

2 2x dx x dx x dx

21 1 1( cos(2 ) cos (2 ))4 2 4

x x dx

Vervolg van sin4(x)

• We zien dus dat we sin4(x) terug kunnen brengen tot sin of cos(2x).

2 2

2

1 1 1 1Omdat cos ( ) cos(2 ) is dus ook: cos (2 ) cos(4 ) .

2 2 2 21 1 1 1 1 1 1

We zien dus dat ( cos(2 ) cos (2 )) ( cos(2 ) cos(4 ) )4 2 4 4 2 8 8

3 1 1 3 1 1( cos(2 ) cos(4 )) sin(2 ) sin(4 ) (Ga zel8 2 8 8 4 32

x x x x

x x dx x x dx

x x dx x x x C

f na.)

Opgaven

• §7.2: 7, 13.

Blz. 473

Toelichting

• Denk dus bij de eerste aan: cos3(x) of aan sin2(x)cos(x), bij de tweede aan sin3(x) en bij de laatste aan sin4(x) (zie hiervoor).

Opgaven.

Weten we nog?

2

Bereken tan( ) en cot( ) .

Probeer nu ook: tan ( ) .

x dx x dx

x dx

Huiswerk

• §7.2: 1, 3, 15, 17, 23, 61, 65

Huiswerk

• §7.2: 1, 7, 11, 13, 15, 17, 23, 61, 65.