1

Rijen en Reeksen DTLes 6

Gerard van Alst

Jan 15

2

Stof

• Stof les 6 (zie modulewijzer):

6 Dealternerende reekstest; absolute en relatieve convergentie

§11.5 tot aan Estimating Sums;§11.6 tot aan Ratio Test

 §11.5: 2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 17.§11.6: 1, 4, 5, 11, 12.

3

Doelen

• Alternerende reeksen.• Absolute en relatieve convergentie.• Beslissen tussen verschillende testen op

convergentie van een reeks.

4

Bespreking huiswerk

• Opgaven huiswerk par. 11.4 : opgaven 5, 8, 28.

• En opgaven waar vragen over zijn.

5

Alternerende reeksen

• Voorbeeld: bn = .

• We krijgen dan: 1- • Waarom is dit convergent?

6

• In het boek wordt aangetoond dat de rij s2, s4, s6, … stijgend en begrensd is, en ook dat s1, s3, s5,… dalend en begrensd is en dat ze convergeren naar dezelfde limiet s: dus sn is convergent met limiet s.

7

Opgave alternerende reeksen.

• Laat zien dat convergent is. ( 1)

ln( )

n

n

8

Absolute convergentie en ratio-test (par. 11.6)

9

Voorwaardelijke convergentie en absolute convergentie

• Als een rij alternerend is en voorwaardelijk (of relatief) convergent (dus niet absoluut convergent), dan is de som van de positieve termen oneindig en de som van de negatieve termen oneindig: bijv. 1-

• De volgorde is hierbij erg van belang: als we de volgorde veranderen, kan de som (de limiet van partiële sommen) een andere worden: zo is bijv. 1 een convergente reeks met een andere som, ongeveer 1,038…… (oorsp.reeks: 0,693..)

10

Opgaven

• Opgave 1.• Laat zien dat absoluut

convergeert.• Opgave 2.• Laat m.b.v. ratio-test zien dat

convergent is.

(zie opgave 23 van par. 11.3)

2

cos( )

1

n

n

2

n

n

e

11

Generalisatie

• Ik laat zien dat voor a>1 geldt: is convergent (voor elke k).

• In het bijzonder is = 0 voor elke a>1 en willekeurige k.

k

n

n

a

12

Opgaven.

• §11.5: 4, 7, 8.• §11.6: 4, 5, 11

13

Huiswerk

• Maak opgaven huiswerk:• §11.5: 2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 17.• §11.6: 1, 4, 5, 11, 12.