Getallenleer hoofdstuk 2 Rekenen in Reële getallen 1. Optelllen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in R a) De som Zelfde toestandsteken (++of--) Behoud het toestandsteken en tel de absolute waarde op.

Verschillend toestandsteken (+-of-+) Neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde. Trek dan de kleinste absolute waarde van de grootste af.

b) Het verschil Het verschil 2 getallen is gelijk aan de som van het eerste getal en het tegengestelde van het tweede getal.

c) Het product De absolute waarde van het product is steeds het proiduct van de absolute waarden van beide getallen. +.+=+ -.-=- +.-=- -.+=-

d) Het quotïent Het quotïent van twee getallen is gelijk aan het product van het eerste en het omgekeerde van het tweede.

2. Eigenschappen van de optelling in R a) De optelling is overal gedefinieerd in R

∀a,b∈ℝ: ∃c∈ℝ: a+b=c

b) De optelling in R is associatief

∀a,b,c∈ℝ: (a+b)+c = a+(b+c)

c) Er bestaat een neutraal element voor de optelling in R namelijk het reëel getal 0

0∈ℝ en ∀a∈ℝ: a+0=0+a

d) Voor de optelling heeft elk getal in R een symmetrisch element

∀a∈ℝ: ∃(-a)∈ℝ: a+(-a)=0=(-a)+a

Eigenschap a,b,c en d kunnen we samenvatten door te zeggen

de verzameling R voorzien van de optelling is een groep Korter R,+ is een groep

e) De optelling is commutatief

∀a,b∈ℝ: a+b=b+a

Eigenschap a,b,c,d en e kunnen we samvatten door te zeggen R,+ is een commutatieve groep

3. Eigenschappen van de vermenigvuldiging in R a) De vermenigvuldiging is overal gedefinieerd in R

∀a,b∈ℝ: ∃c∈ℝ: a.b=c

b) De vermenigvuldiging in R is associatief

∀a,b,c∈ℝ: (a.b).c + a.(b.c)

c) Er bestaat een neutraal element voord de vermenigvuldiging. Namelijk het Reëel getal 1.

1∈ℝ en ∀a∈ℝ: a+1=1+a

d) Elk getal van 0 verschillend heeft een symetrisch element namelijk het omgekeerde getal.

∀a∈ℝ0: ∃(a^-1)∈ℝ0: a.(a^-1)=1=(a^-1).a

We kunnen eigenschap a,b,c en d samenvatten doot R0,.is een groep

e) De vermenigvuldiging is commutatief

∀a,b∈ℝ: a.b=b.a

We kunnen eigenschap a,b,c,d en e samenvatten door R0,. is een commutatieve groep

0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging

0∈ℝ: en ∀a∈ℝ: a.0=0=0.a

3. Een som vermenigvuldigen met een getal In R is de vermenigvuldiging distributief t.o.v. de optelling

∀a,b,c∈ℝ:(a+b).c=a.c+b.c

4. Een verschil vermenigvuldigen met een getal In R is de vermenigvuldiging distributief t.o.v. de aftrekking

∀a,b,c∈ℝ:(a-b).c=a.c-b.c

5. Regels van de haken Haken voorafgegaan door + mag je weglaten. bv: x+(2y+3)=x+2y+3

Haken voorgegaan door - mag je wegl aten mits elke term binnen de haken vervagen wordt door zijn tegengestelde. bv. x-(2y+3)=x-2y-3

6. Een som vermenigvuldigen met een som

∀a,b,c∈ℝ: (a+b)(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d

7. Een product vermenigvuldigen met een getal

∀a,b,c,m∈ℝ:(a.b.c).m=(a.m).b.c

bv. (5.4.3).2=60.2=120 (5.2).4.3=10.4.3=120

8. Een som delen door een getal

∀a,b∈ℝ: ∀c∈ℝ0: (a+b):c=a:c+b:c

bv. (20+3):2=23:2=11,5 20:2+3:2=10+1,5=11,5

9. Een product delen door een getal

∀a,b,c∈ℝ: ∀m∈ℝ0:(a.b.c):m=(a:m).b.c

bv. (20.3):2=60:2=30 (20:2).3=10.3=30

10. Een getal delen door een product

∀m∈ℝ: ∀a,b∈ℝ0:m:(a.b)=(m:a):b

bv. 120:(3.5)=120:15=8 (120:3):5=40:5=8

Let op: a ≠a+a (breuk) b+c b c

13. Machtsverheffing in R a^0= 1 a^1= a a^n= a.a.......a(nfactoren) a^-1 1/a^n a≠0

De tekenregel is het grondtal positief dan is elke macht positief is het grondtal negatief en het exponent even dan is elke macht positief is het grondtal negatief en het exponent oneven dan is elke macht negatief

14. De volgorde van bewerkingen 1° haken 2° machten en wortels 3° delingen en vermenigvuldigen 4° optellen en aftrekken (van links naar rechts)

15. Eigenschappen van machten 5^2 5= grontal 2=exponent

a^q+a^q=a^q+p ∀p,q∈Z a≠0 ∀p,q∈Z a≠0

16. Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal a^p/a^q=a^q-p π^5:π^3=π^5-3 = π^2

17. Macht van een product (a.b.c)^p = a^p.b^p.c^p ∀p∈Z a,b,c≠0 bv. (3V2^2=3^2(V2)^2=9.2=1

18. Macht van een quotiënt (a/b)^p=a^p+b^p ∀p∈Z a,b≠0 bv. V3^2/2^2+3/4

19. Macht van een macht (a^p)^q=a^p.q ∀p,q∈Z a≠0 bv. (π^2)^3=π^2.3=π^6

20. Merkwaardige producten 1. (a.b)(a-b)=a^2-b^2 2. (a+b)^2=a^2+2.a.b+b^2 3. (a+b)^3=a^3+3a^2.b+3a.b^2+b^3

21. Vierkantswortel van een reëel getal definitie: Het reëel getal b is een vierkantswortel van het reëel getal a<=>b^2=a

22. Derde wortel van een reëel getal definitie: Het reëel getal b is een vierkantswortel van het reëel getal a<=>b^2=a

23. Vierkantswortel van een product Va.b.c=Va.Vb.Vc bv. V1600=V16.V100=4.10=40

24. Vierkantswortel van een quotiënt V9/V25=3/5

25. Breuken met een reële teller en noemer Een breuk

We noemen elke uitdrukkking a/b met a∈ℝ en b∈ℝ0 een breuk.

De gelijkheid wordt gedefinieerd zoals in Q: a/b=c/d <=> a.d=b.c

deel de teller en de noemer door hetzelfe getal en je bekomt en gelijke breuk

26. Optellen en aftrekken van reëele breuken Om twee breuken op te tellen of af te trekken moet je ze eerst gelijknamig maken.

27. Delen en vermenigvuldigen met reële breuken Om te delen door een breuk vermenigvuldigen we met de omgekeerde breuk.