Complexe getallen - Eindhoven University of sterk/2WF07/lala10-H1.pdf Hoofdstuk 1 Complexe getallen...

Click here to load reader

  • date post

    15-Feb-2020
  • Category

    Documents

  • view

    6
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Complexe getallen - Eindhoven University of sterk/2WF07/lala10-H1.pdf Hoofdstuk 1 Complexe getallen...

  • Hoofdstuk 1

    Complexe getallen

    1.1 Rekenen met complexe getallen

    1.1.1 We kunnen reële getallen opvatten als punten van een rechte lijn, de getal- lenrechte. Net zo kunnen we complexe getallen opvatten als punten van het vlak. Om voor punten van het vlak de naam “getallen” waar te maken, moeten we een optelling en een vermenigvuldiging voor punten in het vlak gaan definiëren. In deze paragraaf bespreken we

    • het begrip complex getal,

    • de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen,

    • de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten,

    • quotiënten van complexe getallen,

    • de geconjugeerde van een complex getal,

    • diverse rekenregels,

    • de meetkundige interpretatie van complexe getallen.

    1.1.2 We nemen in het platte vlak een loodrecht assenstelsel. Van dit assenstelsel noemen we de horizontale as de reële as en de verticale as de imaginaire as. Ieder punt in het vlak wordt ten opzichte van dit assenstelsel bepaald door twee coördinaten a en b, die uiteraard reëel zijn. We noemen het punt (a, b) een complex getal, dat we in de regel in plaats van met (a, b) zullen noteren als a+bi. De punten (a, 0) op de eerste as noteren we eenvoudigweg met a en de punten (0, b) op de tweede as met bi. In het bijzonder is i het

    33

  • 34 Complexe getallen

    punt (0, 1). Voor een complex getal gebruiken we vaak de letter z of w. De verzameling complexe getallen wordt aangegeven met C.

    z = a + bi

    a

    bi

    0 reële as

    6

    imaginaire as -

    1.1.3 (Som) We definiëren de som van twee complexe getallen z1 = a1 + b1 i en z2 = a2 + b2 i als volgt:

    z1 + z2 := (a1 + a2) + (b1 + b2)i.

    Bijvoorbeeld is (1 + i) + (−2 + 4i) = −1 + 5i. Optelling van complexe getallen is dus de coördinaatsgewijze optelling in het vlak. Meetkundig is het de bekende vectoroptelling. Door uitschrijven gaan we eenvoudig na dat voor deze optelling van complexe getallen alle rekenregels gelden die we van de optelling van reële getallen kennen. Bijvoorbeeld is de optelling commutatief : voor alle complexe getallen z en w geldt z + w = w + z. De optelling is ook associatief : voor alle complexe getallen z1, z2, z3 geldt (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

    1.1.4 (Product) We definiëren het product van twee complexe getallen z1 = a1 + b1 i en z2 = a2 + b2i door

    z1z2 := (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1) i. Dit lijkt een ingewikkelde formule, maar hij is eenvoudig te onthouden. Werk het product (a1 + b1 i) (a2 + b2 i) uit, gebruik makend van de rekenregels voor reële getallen, en gebruik als extra eigenschap i2 = − 1, dan volgt de formule van het rechterlid. Ga na dat

    (1 + i) (−2 + 4i) = −2 + 4i + (−2)i + i(4i) = −6 + 2i. Vanwege de manier waarop we deze vermenigvuldiging gedefinieerd heb- ben is het niet verwonderlijk dat voor de vermenigvuldiging van complexe getallen en de interactie met de optelling van complexe getallen dezelfde re- kenregels gelden als voor de reële getallen, met de extra eigenschap i2 = − 1. De verificatie hiervan is betrekkelijk veel maar eenvoudig rekenwerk. Naast commutativiteit en associativiteit is de zogenaamde distributiviteit van de vermenigvuldiging over de optelling een voorbeeld van zo’n rekenregel: voor alle complexe getallen z1, z2, z3 geldt z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.

  • 1.1 Rekenen met complexe getallen 35

    1.1.5 (Absolute waarde en argument) Vermenigvuldiging van complexe getal- len heeft ook een meetkundige interpretatie. Daarbij gebruiken we de nu te bespreken absolute waarde en argument, zie verder 1.1.9 en 1.1.12. We kun- nen in het vlak een punt, behalve in Cartesische coördinaten, ook weergeven met poolcoördinaten:

    • de absolute waarde is de afstand tot de oorsprong;

    • het argument is de hoek met de positieve x–as.

    De absolute waarde van het complexe getal z = a + bi (met a en b reëel!) is gelijk aan

    √ a2 + b2. Het argument is slechts op een veelvoud van 2π na

    bepaald. Als we het argument kiezen tussen −π en π dan spreken we van de hoofdwaarde van het argument. De hoofdwaarde van het argument van punten op de negatieve reële as is π. Voor de oorsprong is het argument ongedefinieerd.

    I

    R |z|

    z O arg(z)

    Als een complex getal z absolute waarde |z| en argument ϕ heeft, dan zijn de coördinaten respectievelijk |z| cos ϕ en |z| sinϕ, zodat we dat complexe getal kunnen schrijven als

    z = |z| cos ϕ + i|z| sinϕ, of z = |z|(cos ϕ + i sinϕ).

    1.1.6 Voorbeeld. Het complexe getal i heeft absolute waarde √

    02 + 12 = 1 en argument π/2.

    Het complexe getal −1+ i heeft absolute waarde √

    (−1)2 + 12 = √

    2; de hoofdwaarde van het argument is 3π/4. Het getal is dus ook te schrijven als√

    2 (cos(3π/4) + i sin(3π/4)). Het voordeel van deze schrijfwijze is dat we onmiddellijk zien wat absolute waarde en argument van −1 + i zijn.

    1.1.7 (Reële en imaginaire deel) Als z = a + bi met a, b ∈ R, dan heten a en b respectievelijk het reële deel van z, genoteerd door Re(z), en het imaginaire deel van z, genoteerd door Im(z). Re en Im zijn dus afbeeldingen van C

  • 36 Complexe getallen

    naar R. Merk op dat het imaginaire gedeelte van een complex getal reëel is! De volgende eigenschappen volgen direct uit de definities:

    Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2), Re(z1z2) = Re(z1)Re(z2) − Im(z1)Im(z2), Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2), Im(z1z2) = Re(z1)Im(z2) + Im(z1)Re(z2).

    Uit de absolute waarde en het argument van een complex getal z kunnen we eenvoudig het reële en imaginaire gedeelte vinden:

    Re(z) = |z| cos(arg(z)), Im(z) = |z| sin(arg(z)).

    Omgekeerd vinden we uit het reële en imaginaire gedeelte de absolute waarde van z met de formule

    |z| = √

    Re(z)2 + Im(z)2 .

    Vaak denkt men dat (de hoofdwaarde van) het argument gegeven wordt door de formule

    arg(z) = arctan ( Im(z)

    Re(z)

    )

    .

    Dit is juist als Re(z) > 0, maar in het algemeen onjuist. Ga dit zelf na aan de hand van het complexe getal −1 − i. De volgende (niet zo belangrijke) formule is wel correct als z niet op de negatieve reële as ligt:

    arg(z) = 2 arctan Im(z)

    |z| + Re(z) .

    1.1.8 (Driehoeksongelijkheid) De absolute waarde heeft de volgende eigenschap:

    |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.

    Deze eigenschap staat bekend als de driehoeksongelijkheid. Zie verder Op- gave 6.

    1.1.9 (Absolute waarde en argument: rekenregels) Beschouw twee complexe getallen z1 en z2 met poolcoördinaten (|z1|, ϕ1) en (|z2|, ϕ2), respectievelijk. Dan geldt

    z1 = |z1| cos ϕ1 + i |z1| sinϕ1, z2 = |z2| cos ϕ2 + i |z2| sinϕ2,

  • 1.1 Rekenen met complexe getallen 37

    waaruit volgt:

    z1z2 = |z1| |z2| (

    (cos ϕ1 cos ϕ2 − sinϕ1 sinϕ2) + i(cos ϕ1 sinϕ2 + cos ϕ2 sinϕ1)

    )

    = |z1| |z2| (

    cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2) )

    .

    Hieruit volgen de volgende twee belangrijke formules (mod=modulo):

    |z1 z2| = |z1| |z2|, arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2π).

    (1.1)

    Door herhaald toepassen van deze regels vinden we voor n complexe getallen z1, z2, . . . , zn:

    |z1 z2 · · · zn| = |z1| |z2| · · · |zn|, arg(z1 z2 · · · zn) = arg(z1) + arg(z2) + · · · + arg(zn) (mod 2π).

    (1.2)

    Zijn z1, z2, . . . , zn alle gelijk aan het getal z, dan vinden we:

    |zn| = |z|n, arg(zn) = n arg(z) (mod 2π).

    (1.3)

    1.1.10 (Het quotiënt) Voor ieder complex getal z 6= 0 bestaat ook ‘1/z’. Immers, 1/z dient te voldoen aan

    z (1/z) = 1,

    dus wegens formule (1.1) aan

    |z| |1/z| = |1| = 1 , arg(z) + arg(1/z) = arg(1) = 0,

    zodat we 1/z in poolcoördinaten kunnen definiëren door ∣

    1 z

    ∣ = 1|z| ,

    arg(1/z) = − arg(z).

    Het quotiënt z/w van twee complexe getallen (met w 6= 0) definiëren we nu als het product

    z (1/w).

    In termen van poolcoördinaten volgt met formule (1.1) voor het quotiënt:

    |z/w| = |z|/|w|, arg(z/w) = arg(z) − arg(w) (mod 2π). (1.4)

  • 38 Complexe getallen

    Voor dit quotiënt gelden de gebruikelijke rekenregels; zo is bijvoorbeeld

    z1 z2

    w1 w2

    = z1w1 z2w2

    .

    We kunnen van 1/z ook het reële en imaginaire deel opsporen. Stel z = a+bi met a, b ∈ R en niet beide nul. Dan is

    1

    z =

    1

    a + bi =

    a − bi (a + bi)(a − bi) =

    a − bi a2 + b2

    .

    Ga na dat 1

    3 + 4i =

    3 − 4i 25

    en dat 1 + i

    2 + 3i =

    5 − i 13

    .

    1.1.11 (De geconjugeerde) Als z = a + bi met a, b ∈ R een complex getal is, dan heet a−bi de geconjugeerde van z, ook genoteerd als conj(z) of z̄. Conjugeren is dus spiegelen t.o.v. de reële as. Ieder van de volgende eigenschappen kan eenvoudig nagegaan worden, meetkundig of door “invullen”.

    Re(z) = Re(z̄), Im(z) = − Im(z̄), Re(z) = 12(z + z̄), Im(z) = 12i(z − z̄), |z| = |z̄|,

    arg(z) = − arg(z̄), z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1 · z2, z + z̄ = 2 Re(z), z z̄ = |z|2.

    Merk op dat uit de laatste formule volgt

    1

    z =

    |z|2 ,

    in overeenstemming met 1.1.10. We vinden dus 1/z door eerst te spiegelen t.o.v. de x–as en dan door |z|2 te delen.

    1.1.12 (Meetkundige interpretatie) Laat z = a+bi en w = c+di twee complexe getallen zijn. De absolute waarde |z−w| heeft als meetkundige interpretatie de afstand van z