Complexe getallen Jaap Top - University of · PDF file 2014. 12. 2. · getallen die...

Click here to load reader

  • date post

    23-Aug-2021
  • Category

    Documents

  • view

    6
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Complexe getallen Jaap Top - University of · PDF file 2014. 12. 2. · getallen die...

uit een tekst (1893) na diens overlijden geschreven door
Heinrich Weber,
uitvoeriger historie en meer/andere toepassingen:
F. van der Blij, J. van der Craats, H.J.A. Duparc, J.T. Fokkema,
A.W. Grootendorst en J.A. van Maanen,
Vacantiecursus 1983 Complexe getallen, CWI Syllabus 15 (1987).
http://www.math.rug.nl/∼top/CWISyllabus15.pdf
6
7
Zo loste hij vergelijkingen als de volgende op:
x3 = 21x+ 20.
x3 = (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
= 3ab(a+ b) + a3 + b3
= 3abx+ a3 + b3.
Bij ons: a, b leveren een oplossing als ab = 7 en a3 + b3 = 20.
10
(x3 = 21x+ 20 volgens Tartaglia, vervolg.)
Oplossing(en): x = a+ b waarbij ab = 7 en a3 + b3 = 20.
De condities impliceren a3b3 = 73 en a3 + b3 = 20,
dus a3, b3 zijn de twee oplossingen van X2 − 20X + 73 = 0.
Wortelformule: = −3× 182, dus oplossingen 10± 9 √ −3.
11
(x3 = 21x+ 20 volgens Tartaglia, vervolg.)
Oplossing(en): x = a + b met, na eventueel a en b omwisselen,
ab = 7 en a3 = 10 + 9 √ −3.
Dit levert (zie verderop!) drie mogelijkheden:
• a = −2 + √ −3, dan b = 7/a = −2−
√ −3 en x = a+ b = −4;
• a = 5 2 + 1
2 − 1 2
• a = −1 2 −
2 + 3 2
53 = 21× 5 + 20 en (−1)3 = 21× (−1) + 20.
Dus ondanks dat de methode ”niet bestaande” getallen gebruikt,
leidt het tot correcte antwoorden (en niet alleen in dit voor-
beeld!).
13
algebrasch, als uitdrukkingen a+ b √ −1 met reele a, b;
meetkundig, als punten met coordinaten (a, b) in het xy-vlak.
14
Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a+ bi, met a en b reele getallen, en i een nieuw symbool.
Is z = a+ bi een complex getal, dan heet a ∈ R het reele deel van z en b ∈ R het imaginaire deel van z. Notatie Re(z) := a resp. Im(z) := b.
De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C.
Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di
complexe getallen zijn. Dan
z + w = (a+ bi) + (c+ di) := (a+ c) + (b+ d)i
en
15
We vatten R op als een deel van C, door r ∈ R te zien als het
complexe getal r + 0i.
getallen die we de zuiver imaginaire getallen noemen. Dit zijn
de complexe getallen van de vorm 0 + bi. Zo’n zuiver imaginair
getal schrijven we kortweg als bi.
De rekenregels zeggen in het bijzonder dat (bi)(di) = −bd, dus
het product van twee zuiver imaginaire getallen is een reeel getal.
Voor b = d = 1 staat hier dat i2 = −1.
Dus i is een wortel uit −1. Leonhard Euler (1707–1783) voerde
de notatie i in.
16
Elk complex getal z 6= 0 heeft een inverse; dat is een w ∈ C zodat zw = 1. Deze inverse wordt, net als in het reele geval,
geschreven als z−1. Er geldt
(a+ bi)−1 = a
zoals je nagaat door met a+ bi te vermenigvuldigen.
Dit stelt ons in staat om complexe getallen op elkaar te delen:
z/w = z · w−1 (mits w 6= 0).
17
De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is
het complexe getal genoteerd als z, gegeven door
z := a− bi.
Merk op dat voor elke z = a + bi 6= 0 het product zz = a2 + b2
een positief reeel getal is. Er geldt
1
z =
z
zz
In de praktijk kan hiermee snel een quotient van complexe getallen
in de vorm a+ bi geschreven worden.
18
Voorbeelden:
1
= 2− i
= (3 + 5i)(1− i)/2 = 4 + i.
19
Deze algebrasche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli
(1526–1572), die probeerde iets zinvols te maken van de vreemde
methoden van Tartaglia en diens tijdgenoten.
20
Je kan op een meetkundige manier naar C kijken door z = a+ bi
te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R2. Optellen in C is
zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi
optellen bij c+ di is het optellen van de vectoren met beginpunt
(0,0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d).
Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a,−b), dus
het spiegelen in de x-as.
We spreken van het complexe vlak.
21
De formule z · z = a2 + b2 als z = a+ bi laat zien, dat z · z gelijk is
aan het kwadraat van de afstand tussen (0,0) en (a, b). Kortom,
met
wordt een reeel getal gedefinieerd dat in het meetkundige plaatje
de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de abso-
lute waarde van z. Voor reele z stemt dit overeen met de gewone
absolute waarde.
Er geldt |zw| = |z| · |w| en |z + w| ≤ |z|+ |w|.
22
Door z ∈ C (mits z 6= 0) te delen door z’n absolute waarde |z|, houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit
ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1.
Elk punt op die cirkel heeft coordinaten (cos α, sin α) waarbij α
de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van
de positieve reele as (x-as).
De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie:
arg(z).
Er geldt z = r · (cos α+ (sin α)i) waarbij r = |z| en α = arg(z).
23
De accountant/boekhouder Jean Robert Argand (1768–1826)
uit Parijs schreef in 1806 een boek over het meetkundig inter-
preteren van C. Het complexe vlak heet ook wel het Argand
diagram.
Iets eerder, op 20 juni 1805 presenteerde William Morgan (de
grondlegger van het moderne actuariaat, 1750–1833) voor de
Royal Society in Londen het werk van de Franse priester Adrien-
Quentin Buee (1748–1826) die vanwege de Franse Revolutie
naar Engeland was gevlucht. Onderwerp: meetkundig inter-
preteren van negatieve getallen en complexe getallen.
De Noorse landmeter Caspar Wessel (1745–1818) gaf al in 1799
dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens...
24
Buee vermeldt dat al eerder, in 1750, H. Kuhn (wiskundeleraar uit Danzig) een meetkundige interpretatie van complexe getallen gaf.
Buee is laatdunkend (“Ik denk niet dat ik hoef te praten over . . . . . . omdat hij daar veronderstelt dat
√ −1 = −
√ 1”), hij noemt
“Mr. Khun” (verkeerde naam), en hij verwijst naar het derde nummer van de “Memoires de Petersbourg” (verkeerde tijd- schrift).
Toch had deze leraar het prima begrepen. Euler schreef hem in 1735 een serie brieven, bij gebrek aan een adres maar naar de Danzigse burgemeester C.L.G. Ehler gestuurd. Onderwerp: hoe maak je, uitgaande van de natuurlijke getallen, achtereenvol- gens de negatieve, de rationale, reele, en uiteindelijk complexe. Vergelijk met Kroneckers uitspraak!
25
26
28
Notatie: eαi := cos α+ (sin α)i. Dit is het complexe getal op de
eenheidscirkel, met argument gelijk aan α.
Merk op: e0i = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht
is e0 = 1.
den gebruikt, laat zien
(cos α+ (sin α)i) · (cos β+ (sin β)i) = cos(α+β) + (sin(α+β))i.
Oftewel: eαi · eβi = eαi+βi.
29
Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = |z| en s = |w| en
α = arg(z) en β = arg(w). Dan
z · w = r · eαi · s · eβi = rs · e(α+β)i.
Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waar-
den) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen.
30
Voor z = a+ bi schrijven we ez = ea+bi := ea · ebi.
Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven ebi.
Voor b = 0 is dat de gewone, reele ea.
Er geldt ez+w = ez · ew.
Voor a = 0 en b = π staat er eπi = cos π + (sin π)i = −1, dus
eπi + 1 = 0.
ez = lim n→∞(1 +
n )n.
Invullen z = ix met x reeel, en gebruiken dat 1 ≈ cos(x/n) en
x/n ≈ sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de “formule
van de Moivre”
tot de conclusie eix = cos(x) + i sin(x).
Zie scholierentijdschrift ‘Pythagoras’, april 2011 (“De mooiste
formule ooit”).
Voorbeeld: los op a3 = 10 + 9 √ −3.
a×a×a is: hoek arg(a) met 3 vermenigvuldigen, absolute waarde
|a| tot de derde macht nemen.
Hier: |a|3 = √
102 + 3 · 92 = √
343, dus |a| = √
√ 3) ≈ 1.0004 rad,
Dan a ≈ √
2
√ −3, en dat blijkt zelfs een exacte
oplossing te zijn. De andere twee oplossingen horen bij de overige
mogelijkheden voor arg(a).
Voorbeeld: de cosinusregel.
a2 = |beαi − c|2 = (beαi − c)(be−αi − c) = b2 + c2 − bc(eαi + e−αi) = b2 + c2 − 2bc cos α.
35
(H.W. Lenstra, Leiden) Zie http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/
Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een Droste effect als er een reeel getal r 6= ±1 is zodat de figuur onder vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat.
37
Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt overgevoerd onder vermenigvuldigen met r · eαi.
Voorbeeld: Escher’s Prentententoonstelling (1956), waarbij r ≈ 22,6 en α ≈ 2,75.
38
Gehelen van Gauss: Z[i], alle m+ ni met m,n ∈ Z.
Met z, w ∈ Z[i] zijn ook z ± w en z · w in Z[i].
De enige z ∈ Z[i] waarvoor ook 1 z ∈ Z[i], zijn 1,−1, i,−i.
‘Priemen van Gauss’ zijn de m + ni ∈ Z[i] die niet verder te
ontbinden zijn: m + ni 6= 1,−1, i,−i en als m + ni = z · w voor
zekere z, w ∈ Z[i], dan zit ofwel z, ofwel w in {1,−1, i,−i}.
Voorbeeld: 1 + i, 3, 2 + i, 1 + 2i, 7, 11, 2 + 3i, 4 + i zijn
priemen van Gauss.
Ter gelegenheid van het International Congress of Mathemati-
cians in Amsterdam in 1954, liet de wis– en natuurkundige Balthasar
van der Pol (1889–1959) door linnenfabrikant E.J.F. van Dis-
sel & Zn (Eindhoven) servetten maken met priemen van Gauss
erop.
40
de gehelen van Gauss een rol.
Basis: tan(π/4) = 1, dus π/4 = arctan(1). Nu nog die arctan-
gens nauwkeurig benaderen...
(een meetkundige reeks).
Hiervan de primitieve:
arctan(x) = x− 1
James Gregory (1638–1675).
43
Voorbeeld: 100 termen geeft π ≈ 3,1316 · · ·, 1000 termen geeft π ≈ 3,1406 · · ·, 10000 termen geeft π ≈ 3,14149 · · ·.
De gebruikte reeks convergeert erg langzaam.
Een oplossing hiervoor bedacht de Engelse sterrenkundige John
Machin (1680–1751).
Omdat vermenigvuldigen van complexe getallen o.a. betekent:
hoeken optellen, is dus
5 − 4
5(16 55 − 4
2395)− 1 7(16
57 − 4 2397) + . . .
Iets na 1700 vond Machin hiermee ruim 100 decimalen van π,
dat kan met minder dan 80 termen van de reeks. 45
Kwadraten van Gauss