Goniometrie Complexe Getallen - WordPress.com2010/12/05 · 1.2 De goniometrische getallen 1.2.1 De...

Goniometrie

Complexe Getallen

Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem

Cursus voorLatijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde

en Economie-Wiskunde

Hoofdstuk 1

Goniometrie

1.1 Herhaling

1.1.1 Georienteerde hoeken

We herhalen het begrip van georienteerde hoek maar we geven nu een meer wiskundigedefinitie.

Een isometrie in het vlak is de samenstelling van een eindig aantal spiegelingen. Is hetaantal spiegelingen even dan spreken we van een verplaatsing in het vlak.

Een verschuiving is de samenstelling van twee spiegelingen om parallelle rechten. Eenrotatie is de samenstelling van twee spiegelingen om snijdende rechten. Men kan aantonendat een verplaatsing in het vlak de samenstelling is van een verschuiving en een rotatie.Een isometrie is een afstand-bewarende en hoek-bewarende transformatie van het vlak.

Figuren die in elkaar overgaan door een verplaatsing worden rechtstreeks congruentefiguren genoemd.

Een tweebeen is een koppel halfrechten met een gemeenschappelijk beginpunt. De eerstehalfrechte noemen we het beginbeen en de tweede het eindbeen.

Een georienteerde hoek is een equivalentieklasse van rechtstreeks congruente tweebe-nen, zoals een richting van rechten een equivalentieklasse is van evenwijdige rechten.

Een georienteerde hoek wordt gerepresenteerd door een tweebeen, zoals een richting ge-representeerd wordt door een rechte.

3

4 HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE

1.1.2 De goniometrische cirkel

We beschouwen een eenheidscirkel met x als een vaste halfrechte die we beschouwen hetals beginbeen van elke georienteerde hoek. We bepalen het snijpunt A van het eindbeen lmet de eenheidscirkel. Zo komt met het eindbeen van een georienteerde hoek α een punt Aop de eenheidscirkel overeen en omgekeerd komt met elk punt A op de eenheidscirkel heteindbeen van een georienteerde hoek α overeen. Daarom noemen we deze eenheidscirkelde goniometrische cirkel. We spreken af om het maatgetal van α aan te duiden bijhet eindbeen van deze georienteerde hoek dus bij het corresponderend punt A op degoniometrische cirkel.

Elke georienteerde hoek correspondeert met een georienteerde rechte bepaald door deeenheidsvector ~eα, die de plaatsvector is van het punt op de goniometrische cirkel datovereenkom met α.

1.1.3 Het meten van georienteerde hoeken

1.1.3.1 De zestigdelige graden

Verdelen we de omtrek van de eenheidscirkel in 360 gelijke boogjes dan is de middelpunts-hoek die overeenstemt met zo een boogje de hoekeenheid van 1o. Alle maatgetallen inzestigdelige graden van een georienteerde hoek worden gegeven door een maatgetal pluseen geheel veelvoud van 360.

xo + k.360o : k ∈ Z

1.1.3.2 De radialen

Verdelen we de omtrek van de eenheidscirkel in 2π ' 6, 28 gelijke delen dan is de mid-delpuntshoek die overeenstemt met zo een deeltje de hoekeenheid van 1 radiaal. Allemaatgetallen in radialen van een georienteerde hoek worden gegeven door een maatgetalplus een geheel veelvoud van 2π.

x rad + 2kπ rad : k ∈ Z

Met deze hoekeenheid kunnen we gemakkelijk een verband leggen tussen de lengte vaneen cirkelboog en het maatgetal van de corresponderende middelpuntshoek. Aangeziende omtrek van een cirkel met straal R gelijk is aan 2πR, is de lengte van de boog van 1radiaal gelijk aan de straal R. De lengte van een boog van x radialen (0 ≤ x < 2π) is dangelijk aan xR. In een eenheidscirkel is de lengte van een boog van x radialen gelijk aan x.

1.1. HERHALING 5

Figuur 1.1: boog van 1o boog van 1 radiaal

STELLING 1.1 In een cirkel met straal R staat een middelpuntshoek van x radialen(0 ≤ x < 2π) op een boog waarvan de lengte gelijk is aan xR. In het bijzonder staatbij een eenheidscirkel een middelpuntshoek van x radialen op een boog waarvan de lengtegelijk is aan x.

Figuur 1.2: lengte van een boog


1.1.3.3 Omzetting van zestigdelige graden naar radialen en omgekeerd

Met de regel van drie kunnen heel gemakkelijk overgaan van de zestigdelige graad naarde radiaal en omgekeerd.

360o = 2π rad

m

1o =π

180rad ⇐⇒ 1 rad =

180

π

o

m

xo =π

180x rad ⇐⇒ x rad =

180

πxo

Op de meeste rekenmachines is een toets voorzien voor deze omzetting.

Voorbeeld:72, 5143o = 72o30’51”,4=1,2656 rad.2,5 rad = 143o, 23394488 = 143o14’22”.0,75 rad = 42o, 97183463 = 42o58’18”,6.1 rad = 57o29577951 = 57o17’44”,860o = 1, 047197551 rad.

De bijzondere hoeken zoals 30o, 45o, 60o enz. worden bij voorkeur in radialen geschrevenals resp. π

6, π

4, π

3, enz. i.p.v. als decimaal getal.

OPGAVEN — 1 Teken op een apart blad de goniometrische cirkel (ijk 7 cm) en duid alle specialehoeken aan zowel in graden als in radialen. Voor de hoeken van het derde en vierde kwadrant geef jezowel een positief en negatief maatgetal.

1.1.4 De n verschillende n-de delen van een georienteerde hoek

STELLING 1.2 Elke georienteerde hoek heeft n verschillende n-de delen, die op de go-niometrische cirkel een regelmatige veelhoek n-hoek vormen als n > 2. De twee ver-schillende helften van een georienteerde hoek (n = 2) zijn antisupplementair (diametraaltegenovergesteld).

Bewijs: We beschouwen een georienteerde hoek α, met zijn maatgetallen uitgedrukt inzestigdelige graden:

α = (x+ k.360)o.

1.1. HERHALING 7

We delen α door n: (x+ k.360

n

)o=(xn

)o+ k

(360

n

)o.

Het maatgetal xn

correspondeert met een bepaald punt van de goniometrische cirkel, di.dan een n-de deel van α. De andere n-de delen van α bekomen we door bij de boog vanxn

een geheel veelvoud van het n-de deel van een volledige cirkelomtrek op te tellen. Weverkrijgen alle n-de delen van α door aan k de opeenvolgende waarden tussen 0 en n− 1te geven.

k = 0 =⇒ (xn)o;

k = 1 =⇒ (xn

+ 360n

)o;

k = 2 =⇒ (xn

+ 2360n

)o;...

......

k = n− 1 =⇒ (xn

+ (n− 1)360n

)o.

Voor k = n verkrijgen we weer een maatgetal van het eerste n-de deel, voor k = n + 1een maatgetal van het tweede n-de deel enz... We verkrijgen dus n n-de delen.

Voorbeelden:

• Bepaal de twee helften van 30o.De twee helften van 30o zijn 15o en 15o + 180o = 195o;

• Bepaal de drie derde delen van 75o.De drie derde delen van 75o zijn 25o, 25o + 120o = 145o, 25o + 240o = 265o.

• Bepaal de vijf vijfde delen van de nulhoek 0o. De vijf vijfde delen van 0o zijn 0o,72o, 144o, 216o, 288o.

Voorstelling van de n-hoekMet de computer kunnen we gemakkelijk eender welke regelmatige veelhoek tekenen.Voorbeeld: Stel de 7 7-de delen van de georienteerde hoek 7π

5(in radialen) voor op de

goniometrische cirkel.oplossing: We voeren de volgende vector in:

Vector([cos(π

5+

2kπ

7), sin(

π

5+

2kπ

7)], k, 0, 7)

In het grafisch venster stellen we de optie ’connect’ in bij ’points’. De computer plot degesymplifieerde uitdrukking als een regelmatige 7-hoek.


1.2 De goniometrische getallen

1.2.1 De cosinus

De cosinus is gedefinieerd als scalair product van twee eenheidsvectoren, gerepresenteerdvanuit eenzelfde punt.

cosα = ~e0. ~eα

waarbij α de hoek is ingesloten door de eenheidsvectoren. Dit scalair product is gelijkaan de absis van de projectie van de tweede eenheidsvector op de drager van de eersteeenheidsvector. We representeren deze eenheidsvectoren vanuit de oorsprong en leggen ~e0langs de x-as. De eenheidsvector ~eα bepaalt de hoek α op de goniometrische cirkel.

Figuur 1.3: de cosinus cosA = bc⇐⇒ b = c. cosA

De cosinus van de hoek α is de absis (1ste coordinaatgetal) van de vector ~eα. De cosinuswordt dus afgelezen op de x-as.De cosinus is positief in het eerste en vierde kwadrant (scherpe hoeken in I en IV) ennegatief in het tweede en derde kwadrant (stompe hoeken in II en III).We kunnen al eenvoudige goniometrische vergelijkingen oplossen:

cos(x rad ) = 0⇐⇒ x =π

2+ kπ met k ∈ Z

cos(x rad ) = 1⇐⇒ x = 2kπ met k ∈ Z

1.2. DE GONIOMETRISCHE GETALLEN 9

cos(x rad ) = −1⇐⇒ x = π + 2kπ met k ∈ Z

cos(x rad ) =1

2⇐⇒ x = ±π

3+ 2kπ met k ∈ Z

In een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde steeds de loodrechte projectie van deschuine zijde.De lengte van de rechthoekszijde is gelijk aan het product van de lengte van de schuinezijde met de cosinus van de hoek ingesloten door deze rechthoekszijde en de schuine zijde.(zie tekening)

1.2.2 De sinus

De sinus van de hoek α is de ordinaat (2de coordinaatgetal) van de vector ~eα. De sinuswordt dus afgelezen op de y-as.

Figuur 1.4: de sinus sinA = ac⇐⇒ a = c. sinA

De sinus is positief in I en II en negatief in III en IV.Eenvoudige goniometrische vergelijkingen zijn:

sin(x rad ) = 0⇐⇒ x = kπ met k ∈ Z

sin(x rad ) = 1⇐⇒ x =π

2+ 2kπ met k ∈ Z


sin(x rad ) = −1⇐⇒ x = −π2

+ 2kπ met k ∈ Z

sin(x rad ) = −√

3

2⇐⇒ x = −π

3+ 2kπ ∨ x = −2π

3+ 2kπ met k ∈ Z

1.2.3 De tangens

De tangens van de hoek α is de richtingscoefficient van de vectorrechte met richtingsvector~eα. Beschouwen we de raaklijn aan de eenheidscirkel met vergelijking x = 1 dan lezen wede tangens af als ordinaat (2de coordinaatgetal) van het snijpunt van de vectorrechte metde raaklijn.

Figuur 1.5: de tangens tanA = ab⇐⇒ a = b. tanA

De tangens is positief in I en III en negatief in II en IV.Eenvoudige goniometrische vergelijkingen:

tan(x rad ) = 0⇐⇒ x = kπ met k ∈ Z

tan(x rad ) = 1⇐⇒ x =π

4+ kπ met k ∈ Z

Er geldt:

tanα =sinα

cosα

1.2. DE GONIOMETRISCHE GETALLEN 11

1.2.4 De cotangens

De cotangens van de hoek α is het omgekeerde van de tangens. Beschouwen we de raaklijnaan de eenheidscirkel met vergelijking y = 1 dan lezen we de cotangens af als absis vanhet snijpunt van de vectorrechte met die raaklijn.

Figuur 1.6: de cotangens cotA = ba⇐⇒ b = a. cotA

De tangens is positief in I en III en negatief in II en IV.Eenvoudige goniometrische vergelijkingen:

cot(x rad ) = 0⇐⇒ x =π

2+ kπ met k ∈ Z

cot(x rad ) = −√

3⇐⇒ x =5π

6+ kπ met k ∈ Z

Er geldt:

cotα =cosα

sinα=

1

tanα

1.2.5 De secans en de cosecans

secα =1

cosα

cscα =1

sinα


Figuur 1.7: de secans de cosecans

De secans van een hoek α is het maatgetal van het punt P op de georienteerde rechte,bepaald door de hoek α, waarbij P het snijpunt is van die rechte met de tangensas.

De cosecans van een hoek α is het maatgetal van het punt Q op de georienteerde rechte,bepaald door de hoek α, waarbij Q het snijpunt is van die rechte met de cotangensas.

We herhalen nog eens de grondformules van de goniometrie.

sin2 α + cos2 α = 1

1 + tan2 α =1

cos2 α= sec2 α

1 + cot2 α =1

sin2 α= csc2 α

OPGAVEN — 2 Bewijs deze gondformules op de figuur 1.7.

1.3. DE SOM- EN VERSCHILFORMULES 13

1.3 De somen verschilformules

1.3.1 De verschilformules voor sinus en cosinus

We beschouwen op de goniometrische cirkel de punten A(cos θ1, sin θ1) en B(cos θ2, sin θ2).

De hoek θ1 − θ2 is de hoek ingesloten door de vectoren ~OA en ~OB (zie figuur 1.8).

Figuur 1.8: |AB| op 2 verschillende manieren

We kunnen de afstand |AB| op twee verschillende manieren berekenen

1. met de cosinusregel in de driehoek OAB:

|AB|2 = |OA|2 + |OB|2 − 2|OA| · |OB| cos(θ1 − θ2)

|OA|=|OB|=1

m

|AB|2 = 1 + 1− 2 cos(θ1 − θ2) = 2− 2 cos(θ1 − θ2) (1.1)

2. met de stelling van Pythagoras in de driehoek ABC met (de afstandsformule):

|AB|2 = (cos θ1 − cos θ2)2 + (sin θ1 − sin θ2)

2

= cos2 θ1 − 2 cos θ1 cos θ2 + cos2 θ2 + sin2 θ1 − 2 sin θ1 sin θ2 + sin2 θ2

|AB|2 = 2− 2(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2) (1.2)

Uit 1.1 en 1.2 volgt:

2− 2 cos(θ1 − θ2) = 2− 2(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2)

m

cos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 (1.3)


De verschilformule voor de sinus leiden we af uit de verschilformule voor de cosinus 1.3.

sin(θ1 − θ2) = cos(90o − (θ1 − θ2)) = cos((90o − θ1)− (−θ2))

= cos(90o − θ1) cos(−θ2) + sin(90o − θ1) sin(−θ2)

= sin θ1 cos θ2 − cos θ1 sin θ2.

De verschilformules voor cosinus en sinus zijn:

cos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2

sin(θ1 − θ2) = sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1(1.4)

1.3.2 De verschilformule voor de tangens

Uit de formules 1.4 volgt de verschilformule voor de tangens. Als θ1 − θ2 6= 90o + k180o

kunnen we beide vergelijkingen lid aan lid door elkaar delen.

tan(θ1 − θ2) =sin(θ1 − θ2)

cos(θ1 − θ2)

=sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1

cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2

Zijn θ1 6= 90o + k180o en θ2 6= 90o + k180o dan kunnen we teller en noemer delen doorcos θ1. cos θ2.

tan(θ1 − θ2) = =sin θ1 cos θ2−sin θ2 cos θ1

cos θ1 cos θ2cos θ1 cos θ2+sin θ1 sin θ2

cos θ1 cos θ2

=sin θ1 cos θ2cos θ1 cos θ2

− sin θ2 cos θ1cos θ1 cos θ2

cos θ1 cos θ2cos θ1 cos θ2

+ sin θ1 sin θ2cos θ1 cos θ2

=sin θ1cos θ1

− sin θ2cos θ2

1 + sin θ1cos θ1

sin θ2cos θ2

=tan θ1 − tan θ2

1 + tan θ1 tan θ2

De verschilformule voor de tangens is

tan(θ1 − θ2) = tan θ1−tan θ21+tan θ1. tan θ2

(1.5)

1.3. DE SOM- EN VERSCHILFORMULES 15

1.3.3 De somformules

De somformules voor sinus, cosinus en tangens bekomen we door in de verschilformules−θ2 te vervangen door θ2 en rekening te houden met het feit dat de cosinussen vantegengestelde hoeken gelijk zijn en de sinussen en tangensen van tegengestelde hoeken,tegengesteld zijn. De somformules zijn:

cos(θ1 + θ2) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2

sin(θ1 + θ2) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1

tan(θ1 + θ2) =tan θ1 + tan θ2

1− tan θ1. tan θ2

(1.6)

Toepassing:

∀θ 6= π4

+ kπ ∧ θ 6= π2

+ kπ :

tan(45o + α) =1 + tanα

1− tanα

(1.7)

OPGAVEN — 3 Bereken de sinus en de cosinus van 75o en 15o.

4 Bereken de hoek tussen de rechten 3x− y = 5 en x+ 2y − 1 = 0.

5 Bereken

a. cos(45o + α); b. sin(60o − α); c. cot(α− 330o); d. sin(285o + α);

6 Bereken zonder rekentoestel sin(α + β) en tan(α + β) als sinα = 1√5, cotβ = 3 en als α en β allebei

tot het eerste kwadrant behoren.

7 Bereken zonder rekentoestel cos(α − β) als sinα =√

32 , cosβ = 1√

2en als α behoort tot het tweede

kwadrant en β tot het vierde kwadrant behoort.

8 Bewijs dat

(i) sin(α+ β + γ) = sinα cosβ cos γ + cosα sinβ cos γ + cosα cosβ sin γ − sinα sinβ sin γ;

(iii) cot(θ1 + θ2) = cot θ1. cot θ2−1cot θ1+cot θ2

(iv) sinA. sin(B − C) + sinB. sin(C −A) + sinC. sin(A−B) = 0.

9 Bereken zonder rekentoestel α+ β als tanα = 3 en tanβ = 13 .

10 Bereken cos(α− β) als sinα+ sinβ = a en cosα+ cosβ = b.


11 Bewijs dat cos2 α− 2 sinβ cosα sin(α+ β) + sin2(α+ β) = cos2 β.

12 * Bereken sin2(α+ β) + p. sin(α+ β). cos(α+ β) + q. cos2(α+ β) als tanα en tanβ oplossingen zijnvan de vierkantsvergelijking x2 + px+ q = 0.

13 * Bewijs dat in een rechthoekige driehoek ABC, met a, b en c de overstaande zijden van resp. dehoeken A, B en C, geldt: als a = 90o dan sin(B − C) = b2−c2

a2 en cos(B − C) = 2b.ca2 ;

14 * Gegeven is een driehoek ABC, a, b en c zijn de overstaande zijden van resp. de hoeken A, B enC. Bewijs:

(i) a(cosB. cosC + cosA) = b(cosC. cosA+ cosB) = c(cosA. cosB + cosC);

(ii) sin2A+ sin2B = sin2 C + 2 sinA. sinB. cosC;

(iii) sin2A+ sin2B + sin2 C = 2 + 2 cosA. cosB. cosC;

(iv) cot A2 + cot B2 + cot C2 = cot A2 . cot B2 . cot C2 ;

(v) sin2 A2 + sin2 B

2 + sin2 C2 = 1− 2 sin A

2 . sinB2 . sin

C2 ;

(vi) a2−b2c2 = sin(A−B)

sin(A+B) ;

(vii) tanA+ tanB + tanC = tanA. tanB. tanC.

GON-CO HUISTAAK 1 1. Bereken zonder rekentoestel de tangens en de cotangens van 105o en165o. Is er een verband tussen de 4 resultaten onderling. Duid het waarom van dit verband aan.

2. Berekena. tan(210o − α) b. cos(195o − α)

3. Gegeven 0o < α < 90o en 90o < β < 180o; sinα = 0, 8 en sinβ = 1213 .

Bereken zonder rekentoestel: cos(α+ β), csc(α− β) en cot(α+ β).In welk kwadrant ligt (α+ β) en waarom? (zonder rekentoestel)

4. Bewijs dat cos2 α+ cos2 β + cos2(α+ β) = 1 + 2 cosα. cosβ. cos(α+ β). Schrijf deze identiteit opeen andere manier als α en β hoeken zijn van een driehoek.

5. Bewijs dat tanα−tan βtanα+tan β = sin(α−β)

sin(α+β) .

6. * Gegeven is een driehoek ABC, a, b en c zijn de overstaande zijden van resp. de hoeken A, B enC. Tip: vervang C

2 door een uitdrukking met A en B.Bewijs: tan A

2 · tan B2 + tan B

2 · tan C2 + tan C

2 · tan A2 = 1;

Oplossingen:

3) sin 75o = cos 15o =√

24 (1 +

√3), cos 75o = sin 15o =

√2

4 (√

3− 1); 4) θ = 81, 87o;5) a.

√2

2 (cosα− sinα), b. 12 (√

3 cosα− sinα), c.√

3−tanα√3 tanα+1

, d.√

24 ((√

3− 1) sinα− (√

3 + 1) cosα).

6) sin(α+ β) = 1√2⇒ α+ β = 45o, tanα = 1; 7) −

√2

4 ((√

3 + 1) = cos 165o ⇒ α− β = 165o;

9) 90o of −90o; 10) a2+b2

2 − 1; 12) Tip: werk met S en P van de wortels van x2 + px+ q, res.=q;

1.4. DE EERSTE FORMULES VAN SIMPSON (1710-1761) 17

1.4 De eerste formules van Simpson (1710-1761)

We bekomen de formules van Simpson door in elk van de volgende stelsels de twee formulesopeenvolgend eens lid aan lid op te tellen en eens lid aan lid van elkaar af te trekken.{

sin(θ1 + θ2) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1

sin(θ1 − θ2) = sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1

en {cos(θ1 + θ2) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2

cos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2

De eerste formules van Simpson zijn

sin θ1. cos θ2 = 12(sin(θ1 + θ2) + sin(θ1 − θ2));

sin θ2. cos θ1 = 12(sin(θ1 + θ2)− sin(θ1 − θ2));

cos θ1. cos θ2 = 12(cos(θ1 + θ2) + cos(θ1 − θ2));

sin θ1. sin θ2 = −12(cos(θ1 + θ2)− cos(θ1 − θ2)).

(1.8)

De eerste formules van Simpson zetten het product van een sinus en een cosinus om in desom van twee sinussen, het product van twee cosinussen om in de som van twee cosinussenen tenslotte het product van twee sinussen om in het verschil van twee cosinussen.

OPGAVEN — 15 Bewijs dat:

(i) sin(30o + x) + sin(30o − x) = cosx;

(ii) cosx+ cos(120o + x) + cos(120o − x) = 0;

(iii) sin(x+ y). cos y − sin(x+ z). cos z = sin(y − z). cos(x+ y + z);

(iv) sinx. sin y + sin z. sin(x+ y + z) = sin(x+ z). sin(y + z).

(v) sin(α+ β). sin(α− β) = sin2 α− sin2 β;

(vi) cos(α+ β) sin(α− β) = sinα. cosα− sinβ. cosβ.


1.5 De tweede formules van Simpson

We verkrijgen de tweede formules van Simpson door in de eerste formules van Simpsonde volgende substitutie door te voeren:{

θ1 + θ2 = αθ1 − θ2 = β

m{θ1 = α+β

2

θ2 = α−β2

De tweede formules van Simpson zijn:

sinα + sin β = 2 sin α+β2. cos α−β

2;

sinα− sin β = 2 sin α−β2. cos α+β

2;

cosα + cos β = 2 cos α+β2. cos α−β

2.

cosα− cos β = −2 sin α+β2. sin α−β

2

(1.9)

De tweede formules van Simpson zetten een som of een verschil van twee sinussen om inhet product van een sinus en een cosinus, een som van twee cosinussen in het product vantwee cosinussen en een verschil van twee cosinussen in het product van twee sinussen.

Opmerking: De eerste en tweede formules zijn nuttig om bvb. vergelijkingen op te lossen(ontbinden in factoren) en om integralen te berekenen (product schrijven als een som –zie later).

OPGAVEN — 16 Bewijs dat:

(i) sin 20o sin 40o sin 60o sin 80o = 316

(ii) sin p+sin qsin p−sin q = tan p+q

2

tan p−q2

;

(iii) sin p±sin qcos p+cos q = tan p±q

2 ;

(iv) tanα+ tanβ = 2 sin(α+β)cos(α+β)+cos(α−β) ;

(v) (sinx− sin y)2 + (cosx− cos y)2 = 4 sin2 x−y2 ;

(vii) sin(x+ y) = cos(x− y)− (cosx− sinx)(cos y − sin y).

1.5. DE TWEEDE FORMULES VAN SIMPSON 19

17 Herleid tot een product:

(i) sin 78o + sin 42o;

(ii) sinx+ sin 2x+ sin 3x;

(iii) sinx+ cosx;

GON-CO HUISTAAK 2 1. Bewijs dat sin 7π12

sin 7π24

sin 5π24

= 2+√

38

.

2. Bewijs dat cos(x+ 4y). sin 2y + cos(x+ y). sin y = cos(x+ 3y). sin 3y.

3. Bewijs dat tanα± tan β = sin(α±β)cosα. cosβ

.

4. sin(α+β)+sin(α−β)sin(α+β)−sin(α−β)

= tanαtanβ

.

5. Herleid tot een product: cos 70o + cos 470o


1.6 De verdubbelingsformules

Stellen we in de somformules 1.6 op pagina 15 θ1 = θ2 dan verkrijgen we de verdubbe-lingsformules:

cos 2θ = cos2 θ − sin2 θsin 2θ = 2 sin θ cos θ

(1.10)

∀θ 6= π

2+ kπ : tan 2θ =

2 tan θ

1− tan2 θ(1.11)

In de tweede formule van 1.10 kunnen we de cosinus ook uitdrukken in alleen een sinus ofalleen een cosinus. We gebruiken daarvoor de grondformule sin2 θ + cos2 θ.

cos 2θ = 2 cos2 θ − 1cos 2θ = 1− 2 sin2 θ

(1.12)

We kunnen de formules 1.10 omvormen door in de tweede leden te delen doorsin2 θ + cos2 θ = 1:

cos 2θ = cos2 θ−sin2 θcos2 θ+sin2 θ

sin 2θ = 2 sin θ cos θcos2 θ+sin2 θ

We delen in de tweede leden van beide identiteiten teller en noemer door cos2 θ.

∀θ 6= π

2+ kπ :

cos 2θ =1− tan2 θ

1 + tan2 θ

sin 2θ =2 tan θ

1 + tan2 θ

(1.13)

Al deze formules kunnen we gebruiken als we willen overgaan van een hoek naar de halvehoek. Merk op dat we hierbij overgaan van een eerste graad naar een tweede graad.Dus overgaan naar een halve hoek betekent de graad verhogen.

Het is ook nuttig deze formules zo om te vormen zodat we gemakkelijk kunnen overgaanvan de hoek naar de dubbele hoek en zodoende de graad te verlagen.In de formules 1.12 lossen we de identiteiten op naar resp. cos2 θ en sin2 θ.

cos2 θ =cos 2θ + 1

2

sin2 θ =1− cos 2θ

2

(1.14)

Delen we de twee identiteiten lid aan lid door elkaar dan krijgen we:

∀θ 6= π

2+ kπ : tan2 θ =

1− cos 2θ

1 + cos 2θ(1.15)

1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES 21

We kunnen de formules 1.13 ook nog als volgt schrijven:

∀θ 6= π + 2kπ :

cos θ =1− tan2 θ

2

1 + tan2 θ2

sin θ =2 tan θ

2

1 + tan2 θ2

(1.16)

Stellen we tan θ2

= t dan verkrijgen we de zogenaamde t-formules:

cos θ =1− t2

1 + t2

sin θ =2t

1 + t2

(1.17)

OPGAVEN — 18 Bereken zonder rekentoestel sin 2α, cos 2α en tan 2α in elk van de volgende gevallen:

a. sinα = 45 en α ligt in het eerste kwadrant;

b. cosα = − 513 en α ligt in het tweede kwadrant;

c. tanα = 2−√

3 en α ligt in het derde kwadrant;

19 Herleid tot een product: a) sin 12o + sin 48o + sin 81o − sin 9o b) 2 +√

3 sinα+ cosα..

20 Op een voetstuk van 2m hoog staat een beeld van 3m hoog. Op welke afstand moet men gaan staanom het voetstuk en het beeld onder eenzelfde hoek te zien.

21 Bewijs de volgende identiteiten:

a. cosα+ 2 cos 2α+ cos 3α = 4 cos 2α cos2 α2

b. tan x+y2 + tan x−y

2 = 2 sin xcos x+cos y ;

c. tan α2 = sin 2α

1+cos 2α .cosα

1+cosα ;

d. 1−tan2 αcos 2α = sec2 α;

e. cos3 α+ sin3 α = (cosα+ sinα)(1− 12 sin 2α);

f. cos2(α+ β) + cos2(α− β)− cos 2α. cos 2β = 1;

g. sinα+cosαsinα−cosα = cos 2α

sin 2α−1 ;

h. cos4 α− sin4 α = cos 2α;

i. 4(cos6 α+ sin6 α) = 1 + 3 cos2 2α;


22 Bewijs de volgende identiteiten:

a. sin2 2α− sin2 α = sin 3α. sinα;

b. tanα− cotα = −2 cot 2α;

c. cos 2α = cot2 α−1cot2 α+1 = 1

1+tanα. tan 2α ;

d. sin 2α = tan 2α. tanαtan 2α−tanα = cos2(45o − α)− sin2(45o − α);

e. tan(45o + α)− cot(45o + α) = 2 tan 2α;

f. cos 4α+ 4 cos 2α+ 3 = 8 cos4 α;

g. 1+sin 2αcos 2α = tan(45o + α);

h . sinα+ sinβ + sin γ − sin(α+ β + γ) = 4 sin α+β2 . sin β+γ

2 . sin γ+α2 ;

23 Bereken zonder rekentoestel sin 2(α + β) als α en β in het eerste kwadrant liggen en als sinα = 12

en sinβ = 13 .

24 Bereken zonder rekenmachine de goniometrische getallen van 22o30′ en 7o30′.

25 Bereken zonder rekentoestel tan α2 als tanα = 2−

√3.

26 Bereken zonder rekentoestel sin α2 , cos α2 en tan α

2 als

a. cosα = 725 ;

b. sinα = − 13 ;

c. cosα =√

5−14 .

27 Als α+ β + γ = π2 , bewijs dan dat:

tanα. tanβ + tanβ. tan γ + tan γ. tanα = 1.

28 Als α+ β + γ = 0, bewijs dan dat:

tanα+ tanβ + tan γ = tanα. tanβ. tan γ.

29 Bereken tanα in functie van tanβ als

cos 2α =cos 2β − r

1− r cos 2β.

30 Bewijs datcos 13α. cosα

cos 3α+ cos 5α= −1

2als α = π

17 .


31 Als in een driehoek ABC geldt dat sinA+ sinB = 2 sinC, dan is tanA. tanB = 13 .

32 * Zijn A, B en C de hoeken van een driehoek, en a, b en c de resp. de overstaande zijden bewijs dande volgende identiteiten:

(i) sinA+ sinB + sinC = 4 cos A2 . cos B2 . cos C2 ;

(ii) ab+c = sin A

2

cos B−C2

;

(iii) cosAsinB. sinC + cosB

sinC. sinA + cosCsinA. sinB = 2;

(iv) tanA+tanBsin 2C = tanB+tanC

sin 2A = tanC+tanAsin 2B ;

33 * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B en C van de hoeken aan

1 + cos 6A+ cos 6B + cos 6C = 0.

Wat is er bijzonder aan deze driehoek? Indien een driehoek gelijkbenig is met tophoek A, en indien dehoeken van de driehoek voldoen aan de bovenstaande betrekking, wat weet je dan over de hoeken van dedriehoek.

34 * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B en C van de hoeken aan

sin2A+ sin2B + sin2 C = 2.

Wat is er bijzonder aan deze driehoek? Als bovendien de hoeken een rekenkundige rij vormen (metA < B < C) wordt gevraagd hoe de zijden zich verhouden.

35 * De maatgetallen van de zijden a, b en c van een driehoek zijn drie opeenvolgende termen van eenrekenkundige rij. De grootste hoek en de kleinste hoek zijn resp. A en C.Bewijs dat :

4(1− cosA).(1− cosC) = cosA+ cosC.

36 * Bewijs: 16 cos2 θ. sin3 θ = 2 sin θ + sin 3θ − sin 5θ;

37 * Indien A, B en C de hoeken voorstellen van een driehoek ABC dan geldt: 2 sin2A + 2 sin2B −2 sin2 C = 4 sin2A. sin2B − sin 2A. sin 2B;

38 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.

a. Toon aan dat uittanC =

sin 2A− sin 2Bcos 2A+ cos 2B

volgt dat de driehoek rechthoekig is;

b. Als de driehoek rechthoekig is, is de betrekking uit (a) dan geldig.



a. Toon aan dat uit

tan 2A =sin(B − C)− sin(B + C)cos(B − C) + cos(B + C)

volgt dat de driehoek gelijkbenig is;

b. Als de driehoek gelijkbenig is, is de betrekking uit (a) dan geldig.


a. Toon aan dat uit

(cosA− C

2+ sin

B

2).(cos

B

2− tan

C

2. sin

B

2) = cos

B

2+ sin

A− C2

volgt dat de driehoek gelijkbenig is;

b. Als de driehoek gelijkbenig is, is de betrekking uit (a) dan geldig.


a. Toon aan dat uitsin(2B − 4A)− sin 6B + sin(2B − 4C)− sin 2B = 0

volgt dat de driehoek rechthoekig is;

b. Als de driehoek rechthoekig is, is de betrekking uit (a) dan geldig;

c. Omschrijf zo eenvoudig mogelijk de verzameling driehoeken waarvoor (a) geldt.


a. Toon aan dat4− cos 2(B − C) + 2 cos 4A+ 4 cos 2A = 0

geldt in elke gelijkzijdige driehoek;

b. Als de betrekking geldt volgt daar dan uit dat de driehoek gelijkzijdig is?

c. Beschrijf zo eenvoudig en concreet mogelijk de verzameling driehoeken waarvoor de betrekkinggeldt.

43 * Geef een ontbinding in factoren van de volgende determinanten

a.

∣∣∣∣∣∣1 sinA sin2A1 sinB sin2B1 sinC sin2 C

∣∣∣∣∣∣ b.

∣∣∣∣∣∣cos 2A cosA sin2 A

2

cos 2B cosB sin2 B2

cos 2C cosC sin2 C2

∣∣∣∣∣∣


Oplossingen:18) a. sin(2α) = 24

25 , cos(2α) = − 725 , tan(2α) = − 24

7 , b. sin(2α) = − 120169 , cos(2α) = − 119

169 , tan(2α) = 120119 ,

c. sin(2α) = 12 , cos(2α) = −

√3

2 , tan(2α) =√

33 ; 19) cos 18o(1 + 2

√2 sin 18o); 20)

√20 = 4, 47;

23) 118 (7√

3 + 4√

2) = 0, 99;24) sin 22, 5o = 1

2

√2−√

2 = 0, 38, cos 22, 5o = 12

√2 +√

2 = 0, 92, tan 22, 5o =√

2− 1 = 0, 41.

sin 7, 5o = 12

√2−

√2 +√

3 = 0, 131, cos 7, 5o = 12

√2 +

√2 +√

3 = 0, 99, tan 7, 5 =

q2−√

2+√

3q2+√

2+√

3=

(2√

2−√

3− 1)(2 +√

3) = 0, 132.25) tan α

2 = (±2√

2−√

3− 1)(2 +√

3);26) sin α

2 = ± 35 , cos α2 = ± 4

5 , tan α2 = ± 3

4 ,sin α

2 = cos α2 = ±√

2±1√6

, tan α2 = −

√2−1√2+1

= −0, 172 of tan α2 = −

√2+1√2−1

= −5, 83,

sin α2 = ± 10−2

√5

4 = 0, 588, cos α2 = ± 1+√

54 = 0, 809, tan α

2 = ±√

5− 2√

5 = ±0, 72729) tan2 α = 1+r

1−r tan2 β

GON-CO HUISTAAK 3 1. Bewijs dat (2 sinα + sin 2α). tan α2

= 2 sin2 α.

2. Bewijs dat sin2(π8

+ α2)− sin2(π

8− α

2) = sinα√

2.

3. Bewijs dat sin2 2α+4 sin2 α−4sin2 2α−4 sin2 α

= cot4 α;

4. Bewijs dat 1 + cosα + cos 2α = cosα.(2 cosα + 1).

5. Bewijs dat sin 3α. sinα = sin2 2α− sin2 α

6. Bereken sin α2, cos α

2en tan α

2als tanα = −12

5en α behoort tot het tweede kwadrant

II. Stel α, α2, en de goniometrische getallen daarvan voor op de goniometrische cirkel.

GON-CO HUISTAAK 4 1. * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, Ben C van de hoeken aan

sinA =sinB + sinC

cosB + cosC.

Wat is er bijzonder aan deze driehoek?

2. * Bereken tan(α + β) als gegeven is dat sinα + sin β = m en cosα + cos β = n.

3. * Van de maatgetallen A, B en C van de hoeken in een driehoek weet men dat tan A2,

tan B2

en tan C2

drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij. Toon aandat dit dan ook het geval is voor cosA, cosB en cosC.


1.7 De formules voor 3θ

GON-CG I groepswerk 1 Bewijs de volgende formules

cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θsin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ

(1.18)

tan 3θ = 3 tan θ−tan3 θ1−3 tan2 θ

(1.19)

OPGAVEN — 44 Bewijs de volgende identiteiten

(i) 3 sinα− sin 3α = 2 sinα.(1− cos 2α);

(ii) sin 3αsinα −

cos 3αcosα = 2;

(iii) cos 3α = 4 cosα. cos(60o + α). cos(60o − α);

(iv) 3 sin 2α− 4 sin 2α1+cot2 2α = sin 6α.

45 Herleid tot een product:

a. cosα+ 2 cos 2α+ cos 3α;

b. 4 sin2 α. cos 3α+ 4 cos2 α. sin 3α.

46 * Als in een driehoek ABC de hoek A het dubbele is van de hoek B, dan is a2 = b.(b + c). Bewijsdat.

47 * Als A, B en C de hoeken zijn van een driehoek en als geldt dat

sin(A+B

2) = n sin

B

2

toon dan aan dattan

A

2tan

C

2=n− 1n+ 1

.

1.8 Wiskunde-Cultuur

SIMPSON Thomas was een Engels wiskundige van 1710 tot 1761. Hij leefde als we-ver in behoeftige omstandigheden, studeerde autodidactisch wiskunde en publiceerde in1737 “A new treatise of fluxions”. In 1743 verkreeg hij erkenning door zijn benoemingtot hoogleraar aan de militaire academie te Woolwich. Hij schreef over kansrekening,levensverzekering, algebra, meetkunde en trigonometrie.

Hoofdstuk 2

Complexe getallen

2.1 Het veld van de reele getallen

In de verzameling van de reele getallen hebben we twee bewerkingen gedefinieerd, nl.de optelling en de vermenigvuldiging. Voor deze bewerkingen voldoet de verzamelingvan de reele getallen aan een reeks eigenschappen. De eigenschappen vatten we samendoor te zeggen dat de structuren R,+ en R, . commutatieve groepen zijn. Voor de tweebewerkingen samen geldt de distributieve eigenschap. Dit alles wordt nog eens kortergeformuleerd door te zeggen dat R0,+, . een veld is.

R,+ is een commutatieve groepR0, . is een commutatieve groepDe optelling is distributief t.o.v. het product

⇐⇒ R,+, . is een veld

Deze eigenschappen maken het mogelijk om vlot te rekenen, eerstegraadsvergelijkingenop te lossen, enz.. Dit rekenen komt voort uit werkelijke problemen, doch R is slechtseen HULPMIDDEL bestaande uit denkbeeldige getallen. Bijvoorbeeld het getal π kanniemand ooit exact voorstellen. Het is ook niet nodig. Als een ingenieur met π werkt, danis het zelfs belachelijk met meer dan twee cijfers na de komma te werken. Want op heteind wordt alles nog eens met een veiligheidsfactor 2 of 3 vermenigvuldigd en dan doet eencijfertje op de derde rang na de komma er niet toe. Dus zou je zeggen, we hebben genoegmet de rationale getallen. Ook dit is alleen in ons verbeelding mogelijk. We kunnen zeimmers nooit allemaal opschrijven.Maar zoals gezegd, het veld van de reele getallen is een handig hulpmiddel om berekenin-gen uit te voeren. Er bestaan echter problemen die gemakkelijker met andere velden op

27

28 HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN

te lossen zijn. Bijvoorbeeld het veld {0, 1} met de bewerkingen gedefinieerd als volgt:

0 + 0 = 0 0.0 = 00 + 1 = 1 0.1 = 01 + 0 = 1 1.0 = 01 + 1 = 0 1.1 = 1

Dit veld wordt veel gebruikt in de informatica en computerwetenschappen of in de logica.

Als 1 staat voor oneven en 0 voor even dan is voldaan aan de bovenstaande rekenregelsvoor een veld. Ga dat na.

We kunnen de ”+” ook beschouwen als de exclusieve ”of” en ”.” als ”en”.

Voor andere problemen hebben we nog andere velden nodig, of zou het gemakkelijker zijneen ander veld te kennen.Net zoals het voor sommige problemen interessant is om over oneindig doorlopende niet-repeterende decimale vormen te beschikken, is het voor andere problemen handig eenvierkantswortel uit −1 te hebben. Bijvoorbeeld om aan de uitdrukking x2 + 1 = 0 eenzinnige betekenis te geven. Deze uitdrukking is syntactisch goed gevormd in de stan-daardtaal van de algebra, maar er voldoet klaarblijkelijk geen enkel standaardgetal aan.Wij hebben dus een ding nodig, dat vermenigvuldigd met zichzelf, −1 oplevert.We hebben gezien dat we de verzameling van de reele getallen op een georienteerde rechtemet oorsprong O kunnen afbeelden. Elk reeel getal correspondeert met een vector gere-presenteerd door het puntenkoppel met O als eerste punt en het beeld van het reeel getalals tweede punt. Vermenigvuldigen met −1 kan nu worden voorgesteld door een rotatieom O over 180o van het genoemde puntenkoppel. Dit brengt ons op het idee een denk-beeldige eenheid i in te voeren, gedefinieerd door i2 = −1, en vermenigvuldiging met i alseen rotatie over 90o te interpreteren (daar immers ’tweemaal vermenigvuldigen met i‘eenrotatie over 180o moet opleveren). Op die manier komen wij aan een lijn van denkbeeldigegetallen (iy), producten van reele getallen y met i, die door O gaan en loodrecht op derechte van de reele getallen staat. Zo kunnen we de punten van een vlak voorstellen dooreen denkbeeldige getallen van de vorm x+ iy. In dit model kunnen wij ons er gemakkelijkvan overtuigen dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van deze denkbeeldigegetallen, die we complexe getallen zullen noemen, overeenstemt met het uitvoeren vanwelbekende operaties met vectoren en met lineaire afbeeldingen (rotaties). In volgendeparagraaf zullen we op zoek gaan naar een goede wiskundige definitie om te komen toteen veld, dat bovendien het veld van de reele getallen omvat.

2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 29

2.2 Het veld van de complexe getallen

2.2.1 Homothetie en reeel getal

We hebben gezien dat het vermenigvuldigen van een matrix met een scalaire matrix ophetzelfde neerkomt als het vermenigvuldigen van die matrix met een scalair.Beschouwen bvb. het product[

r 00 r

]·[a c eb d f

]=

[ra rc rerb rd rf

]= r ·

[a c eb d f

]

In het vlak ΠO kiezen we een orthonormale basis (~e1, ~e2) en beschouwen we een plaats-vector van een punt met coordinaat (x, y).

We laten de scalaire matrix inwerken op de kolommatrix

[xy

]waarvan de kolomvector

overeenstemt met de plaatsvector (x, y). Daartoe vermenigvuldigen we de kolommatrixlinks met de scalaire matrix. [

r 00 r

].

[xy

]=

[rxry

]

Met de kolommatrix

[rxry

]stemt de vector (rx, ry) overeen.

De scalaire matrix zet (x, y) om in r(x, y).Merken we op dat de eerste kolomvector van de scalaire matrix overeenstemt met hetbeeld (r, 0) van (1, 0) en de tweede kolomvector met het beeld (0, r) van (0, 1).

De scalaire matrix

[r 00 r

]beeldt (1, 0) af op (r, 0). Het koppel (r, 0) gelegen op de x-as

is de meetkundige voorstelling van het reeel getal r uit de scalaire matrix. Op die manierlaten we de scalaire matrix overeenstemmen met het reeel getal r.Omgekeerd zal het punt (r, 0) van de x-as het reeel getal r voorstellen dat met een scalairematrix overeenkomt. We noemen de x-as de reele getallenas.

We kunnen gemakkelijk aantonen dat de verzameling van de scalaire matrices voor deoptelling en de vermenigvuldiging een veld vormt.

Het veld van de reele getallen kan volledig geıdentificeerd worden met het veld van descalaire matrices (isomorfe velden: elementen en bewerkingen stemmen overeen).


2.2.2 Rotatie over 90o en imaginair getal ı

1. RotatieWe beschouwen de goniometrische cirkel. Als we de plaatsvector van het punt (1, 0)resp. de plaatsvector van het punt (0, 1) laten draaien over een hoek θ dan krijgenwe de plaatsvector (cos θ, sin θ) resp. de plaatsvector (− sin θ, cos θ).

We beschouwen de matrix [cos θ − sin θsin θ cos θ

](2.1)

en laten hem inwerken op de kolommatrices

[10

]en

[01

]. Daartoe maken we het

product

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]·[

1 00 1

]=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

].

De matrix 2.1 zet (1, 0) resp. (0, 1) om in (cos θ, sin θ) resp. (− sin θ, cos θ).De matrix 2.1 stelt een rotatie voor over de hoek θ.

2. Rotatie over 90o en definitie van imaginair getal ı

Als we de plaatsvector van het punt (1, 0) resp. de plaatsvector van het punt (0, 1)laten draaien over een hoek van 90o dan krijgen we de plaatsvector (0, 1) resp. deplaatsvector (−1, 0).De matrix [

0 −11 0

].

stelt de rotatie over 90o voor en beeldt (1, 0) af op (0, 1). Het koppel (0, 1) is demeetkundige voorstelling van het zogenaamd imaginair getal ı.


2.2.3 Directe gelijkvormigheid en complex getal

1. Samenstelling van rotatie en homothetieDe samenstelling van een rotatie en een homothetie noemen we een directe gelijk-vormigheid. We laten op een plaatsvector (x, y) een rotatie gevolgd door eenhomothetie inwerken.We verkrijgen het product[r 00 r

]·([ cos θ − sin θ

sin θ cos θ

]·[xy

].)

=([ r 0

0 r

]·[

cos θ − sin θsin θ cos θ

])·[xy

]=

[r cos θ −r sin θr sin θ r cos θ

]·[xy

]

De matrix

[r cos θ −r sin θr sin θ r cos θ

]=

[a −bb a

](2.2)

stelt de samenstelling voor van een homothetie met centrum O (lineaire homothetie)en factor r en een rotatie om O (lineaire rotatie) over de hoek θ.

2. Definitie van een complex getal

We kijken met welk punt in het vlak de matrix 2.2 overeenkomt. Daartoe laten wede matrix inwerken op (1, 0).[

a −bb a

]·[

10

]=

[ab

]

We zien dat de matrix 2.2 (1, 0) omzet in (a, b) = (r cosα, r sinα). De matrix 2.2stelt het punt (a, b) voor in het vlak. We zouden aan dat punt (a, b) een getal willenhechten.

We gaan de matrices van de gedaante 2.2 schrijven als de som van twee matrices(somontbinding) als volgt[

a −bb a

]=

[a 00 a

]+

[0 −bb 0

]=

[a 00 a

]+

[b 00 b

].

[0 −11 0

]↓ ↓ ↓a b ı

(2.3)


We laten de matrix uit 2.3 overeenstemmen met het complex getal

z = a+ bi met a, b ∈ R

in gewone schrijfwijze van het complex getal en

z = r cosα + ir sinα = r(cosα + i sinα)

in goniometrische schrijfwijze van het complex getal.

3. Het complex getallenvlak van Gauss

In het vlak wordt een complex getal a + ıb voorgesteld door het koppel (a, b). Wenoemen het vlak waar de complexe getallen worden voorgesteld, het complexgetallenvlak van Gauss.

4. Modulus en argument van een complex getalWe noemen r de modulus van het complex getal en θ het argument van hetcomplex getal, waarbij geldt

r ≥ 0 ∧ 0o ≤ θ < 360o.

Met symbolen :r = |z|

enθ = arg(z).

Met DERIVE vinden we modulus en argument met resp. |z| = abs(z) en arg(z) =phase(z) De verzameling van de complexe getallen stellen we voor door C.

Opmerking: Het argument θ wordt ofwel uitgedrukt in graden ofwel in radialen.Werken we met de functie y = arctanx dan moeten we de hoeken uitdrukken inradialen.


5. Reeel gedeelte en imaginair gedeelte van een complex getalWe noemen a het reeel gedeelte van het complex getal z en b het imaginairgedeelte van het complex getal z.

a = Re(z) en b = Im(z). (2.4)

De reele en imaginaire gedeelten van een complex getal zijn ook te bepalen metDERIVE met dezelfde notaties als in 2.4

Bijzondere complexe getallen:

* Is het imaginair gedeelte gelijk aan nul dan is het complex getal een reeel getal.

x+ 0i = x ∈ R

De verzameling van de reele getallen is een deelverzameling van de verzamelingvan de complexe getallen.

R ⊂ C.

In het complex getallenvlak van Gauss worden de reele getallen voorgesteld opde x-as.

– De positieve reele getallen hebben als argument 0.

θ = 0

is de vergelijking in poolcoordinaten van de positieve halve x-as (zie ver-der).

– De negatieve reele getallen hebben als argument 180o.

θ = 180o

is de vergelijking in poolcoordinaten van de negatieve x-as.

* Is het reeel gedeelte gelijk aan nul dan noemen we het complex getal bi eenzuiver imaginair getal.In het complex getallenvlak van Gauss worden zuiver imaginaire getallen voor-gesteld op de y-as.De zuiver imaginaire getallen hebben een argument 90o en −90o.

–θ = 900

is de vergelijking in poolcoordinaten van de positieve y-as.

–θ = −900

is de vergelijking in poolcoordinaten van de negatieve y-as.


6. Overgangsformules van goniometrische naar gewone schrijfwijze van een complex getal{a = r cos θb = r sin θ

(2.5)

Voorbeelden:

• Is |z| = 2 en arg(z) = 150o dan is het complex getal

z = 2 cos 150o + 2 sin 150oi = 2(−√

3

2) + 2(

1

2i) = i−

√3.

• Is |z| = 34

en arg(z) = 210o dan is het complex getal (Vul zelf in).

z = · · ·

Stel het complex getal voor in het complex getallenvlak van Gauss.

• Is |z| = 12

en arg(z) = −45o dan is het complex getal (Vul zelf in).

z = · · ·

Stel het complex getal voor in het complex getallenvlak van Gauss.


7. Overgangsformules van gewone naar goniometrische schrijfwijze van een complex getalUit het stelsel 2.5 kunnen we r berekenen in functie van a en b. Daartoe eliminerenwe θ. We kwadrateren in de twee vergelijkingen beide leden en tellen de bekomenvergelijkingen lid aan lid op.

r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = a2 + b2 ⇐⇒ r2 = a2 + b2.

Uit het stelsel 2.5 kunnen we θ uitdrukken in functie van a en b. Daartoe eliminerenwe r. We delen beide vergelijking lid aan lid door elkaar.

tan θ =b

a.

Uit tan θ = ba

volgt θ = θ0(= arctan ba) of θ = θ0 + π(= arctan b

a+ π) al naar gelang

de ligging van het punt (a, b) in het vlak.

(a) θ = θ0(= arctan ba) als het punt (a, b) gelegen is in het eerste en vierde kwadrant

van het vlak.

(b) θ = θ0 +π(= arctan ba

+π) als het punt (a, b) gelegen is in het tweede en derdekwadrant van het vlak.

Voorbeelden:

• Voor het complex getal 1 + i geldt|1 + i| =

√2 en arg(1 + i) = 45o.

De goniometrische schrijfwijze is1 + i =

√2(cos 450 + i sin 45o).

• Voor het complex getal −1 + i geldt| − 1 + i| =

√2 en arg(−1 + i) = 135o.

De goniometrische schrijfwijze is−1 + i =

√2(cos 1350 + i sin 135o).

• Voor het complex getal 3− 4i geldt|3− 4i| = · · ·en arg(3− 4i) = · · ·De goniometrische schrijfwijze is3− 4i = · · ·Vul zelf in. Maak een tekening.

• Voor het complex getal −5− 6i geldt| − 5− 6i| = · · ·en arg(−5− 6i) = · · ·De goniometrische schrijfwijze is−5− 6i = · · ·Vul zelf in. Maak een tekening.


Figuur 2.1: Voorstelling van deze complexe getallen in getallenvlak van Gauss

8. Gelijkheid van twee complexe getallenUit de gelijkheid van matrices volgt de volgende stelling:

STELLING 2.1 Twee complexe getallen zijn gelijk aan elkaar als de reele gedeeltengelijk zijn aan elkaar en de imaginaire gedeelten gelijk zijn aan elkaar.

a+ bi = c+ di⇐⇒ a = c ∧ b = d.

Dit volgt uit de gelijkheid van de corresponderende matrices van die complexe ge-tallen.

Opmerking: Dit is zoals de gelijkheid van koppels.

(a, b) = (c, d)⇐⇒ a = c ∧ b = d.


2.2.4 Toegevoegd complexe getallen

2.2.4.1 Definitie

Een speciale transformatie van matrices is de permutatie die een vierkante matrix afbeeldtop zijn getransponeerde. We bepalen nu de getransponeerde matrix van de matrix diehet complex getal a+ ib bepaalt.[

a −bb a

]t=

[a b−b a

]−→ a− bi

Een matrix transponeren betekent voor het corresponderend complex getal het imaginairgedeelte van teken veranderen. De operator “transponeren” bij matrices noemen we bijde complexe getallen “complex toevoegen”.Het toegevoegd complex getal van a+ ib is het complex getal a− ib.We noteren

a+ bi = a− bi.

2.2.4.2 Eigenschappen

1. Het complex toegevoegde van een reeel getal is dat reeel getal zelf.Bewijs: Een reeel getal correspondeert met een scalaire matrix, die een symmetrischematrix is. De getransponeerde van een symmetrische matrix is gelijk aan de matrixzelf.

z = z ⇐⇒ z ∈ R.

2. Het complex toegevoegde van een zuiver imaginair getal is het tegengesteld complexgetal dat tevens zuiver imaginair is.

3. Toegevoegd complexe getallen liggen symmetrisch t.o.v. de x-as. Toegevoegd com-plexe getallen bezitten tegengestelde argumenten en hebben dezelfde modulus.

OPGAVEN — 48 Bepaal het complex getal waarvan het argument en de modulus hieronder gegevenstaan. Bepaal tevens het toegevoegd complex getal en stel beide voor in het complex getallenvlak vanGauss.

a. θ = 3π4 rad , r =

√2 b. θ = 11π

6 rad , r = −3 c. θ = −2π3 rad , r = 1

d. θ = 7π6 rad , r =

√3 e. θ = 7π

4 rad , r = − 1√2

f. θ = −5π3 rad , r = 4

g. θ = −5π6 rad , r = − 1√

3h. θ = −π

6 rad , r = −2 i. θ = 2π3 rad , r = 1

2

49 Bepaal de goniometrische schrijfwijze van de volgende complexe getallen. Bepaal tevens het toege-voegd complex getal en stel beide getallen voor in het complex getallenvlak van Gauss.

a. 2 + 3i b. −√

2−√

2i c. 2i d. −2 + 2√

3ie. 1 +

√3i f. 13 + 5i g. 4 + 3i h. −0.8 + 0.6i


Oplossingen:49 a. 0, 98rad,

√13; b. 5π/4rad, 2; c. π/2rad, 2; d. 2π/3rad, 4; e. π/3rad, 2; f. 0, 367rad,

√194; g.

0, 635rad, 5; h. 2, 40rad, 1;

2.2.5 Poolcoordinaat van een punt in het vlak

• DefinitieBeschouwen we de goniometrische schrijfwijze van een complex getal x + iy =r(cos θ+ i sin θ) dan komt met dat complex getal het koppel (r cos θ, r sin θ) overeen.De ligging van het punt P (x, y) in het complex getallenvlak wordt volledig bepaalddoor het argument θ en de modulus r.Het argument θ is de hoek die de vector ~OP (x, y) insluit met de positieve x-as (ro-tatiehoek).

De modulus r is de norm (lengte) van de vector ~OP (x, y).We noemen het koppel (θ, r) een poolcoordinaat van het punt (x, y).Voor θ mogen we elk maatgetal van de georienteerde hoek geven.Is een punt gegeven door middel van zijn poolcoordinaat dan kunnen we het puntvoorstellen in het vlak als we beschikken over de oorsprong O, die we de pool noe-men, en de positieve halve x-as, die we de poolas noemen. De y-as hoeft niet gete-kend te worden tenzij we een verband willen leggen met de cartesische coordinaat.

Opmerking:

– Een punt heeft oneindig veel poolcoordinaten.Bij de goniometrische schrijfwijze van een complex getal hebben we voor r debeperking gemaakt dat r ≥ 0. Voor de poolcoordinaat van een punt latenwe ook negatieve waarden van r toe, maar dan moeten we de hoek θ daaraanaanpassen om hetzelfde punt te behouden.

Voorbeeld: De koppels

(π

3, 2) (

4π

3,−2) (

7π

3, 2) (

−5π

3, 2) (

−2π

3,−2)

zijn verschillende poolcoordinaten van hetzelfde punt.

– Voor beschrijving van krommen in poolcoordinaten is het nodig dat we voor θalle maatgetallen kunnen beschouwen uitgedrukt in radialen omdat ze aanlei-ding geven tot oneindig veel verschillende punten in het vlak bv. bij de verge-lijking van een spiraal (zie later).

• Enkele eenvoudige vergelijkingen in poolcoordinaten

In poolcoordinaten kunnen we de volgende krommen eenvoudig schetsen:


Figuur 2.2: r = θ, r = 2πθ

en r = 10θ

* De cirkel met middelpunt in de pool en straal R: r = R;

* Een vectorrechte: θ = θ1 (als we ook negatieve modulussen toelaten);

* Een spiraal van Archimedes: r = aθ met a ∈ R0;

* Een hyperbolische spiraal: r = aθ

met a ∈ R0.


2.2.6 De som van complexe getallen

2.2.6.1 Definitie

STELLING 2.2 De som van twee matrices, die elk corresponderen met een complexgetal is de matrix van een complex getal.

Bewijs: Inderdaad, de som[a −bb a

]+

[c −dd c

]=

[a+ c −b− db+ d a+ c

]=

[a+ c −(b+ d)b+ d a+ c

]levert de matrix op van het complex getal (a+ c) + i(b+ d).

De som van twee complexe getallen is het complex getal dat we bekomen door reelegedeelten op te tellen en de imaginaire gedeelten op te tellen.

Met symbolen: (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

2.2.6.2 Eigenschappen van de som van complexe getallen

1. De som van twee complexe getallen is weer een complex getal.

2. De som van complexe getallen is associatief. Inderdaad, dit volgt uit het feit dat desom van matrices associatief is.

3. Het neutraal element voor de optelling van matrices is de nulmatrix, die overeen-komt met het complex getal 0.

4. De tegengestelde matrix van [a −bb a

]is de matrix [

−a −(−b)−b −a

]Hieruit volgt dat de complexe getallen a + bi en −a − bi tegengestelde complexegetallen zijn.Tegengestelde complexe getallen liggen symmetrisch t.o.v. de oorsprong.

5. De som van matrices is commutatief voor de optelling. Daaruit volgt dat de somvan complexe getallen ook commutatief is voor de som.


Uit deze vijf eigenschappen volgt:De structuur C,+ is een commutatieve groep voor de optelling (additieve groep).

Opmerking: Vanaf nu mogen we het (+) teken in de notatie van een complex getal a+bials een somteken beschouwen. Het complex getal a+ bi is de som van het reeel getal a enhet zuiver imaginair getal bi.

2.2.7 Verschil van twee complexe getallen

Omdat elk complex getal een tegengesteld complex getal heeft kunnen we het verschil vantwee complexe getallen definieren.Het verschil van twee complexe getallen is gelijk aan de som van het eerste complex getalen het tegengestelde van het tweede complex getal.

(a+ bi)− (c+ di) = (a+ bi) + (−c− di) = a− c+ (b− d)i.

Opmerking: De som en het verschil van twee complexe getallen is zoals de som enhet verschil van twee koppels. Ook het tegengestelde van een complex getal is zoals hettegengestelde van een koppel.

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

(a, b)− (c, d) = (a− c, b− d)

−(a, b) = (−a,−b)

Belangrijk gevolg: Omdat de som en verschil van complexe getallen overeenkomt metde som en verschil van de corresponderende koppels zijn we in de mogelijkheid de somen verschil van complexe getallen in het vlak uit te voeren zoals de som en verschil vanvectoren.

OPGAVEN — 50 Maak de som van de complexe getallen en construeer het allemaal in het complexgetallenvlak van Gauss.

a. 2 + 3i en −1 + 2i c. 1 + 3i en 1− 3i e.√

2− i en√

2 + 2ib. 5i en −5 d. 1 + i en i f. −4i en 2i

51 Bepaal het tegengestelde complex getal van het complex getal z met arg(z) = θ en met |z| = r.

a. θ = π4 rad , r =

√2; b. θ = π rad , r = −3; c. θ = 2π

3 rad , r = −3.

52 Bepaal argument en modulus van het complex getal dat de som is van twee complexe getallen metargumenten resp. θ1 en θ2 en moduli resp. r1 en r2.


a. θ1 = 0 rad , r1 = 1; θ2 = π rad , r2 = 1 ;

b. θ1 = −π3 rad , r1 = 4; θ2 = −π6 rad , r2 = −2;

c. θ1 = 11π4 rad , r1 =

√2; θ2 = 5π

4 rad , r2 = 13 ;

53 Bepaal argument en modulus van het complex getal dat de som is van twee complexe getallencontroleer op een tekening.a. 1 +

√3i en −3− 3i; b. −4 en −1 +

√3i; c. 1−

√3i en 2− 2i.

Oplossingen:50 a. 1 + 5i; c. 2; e. 2

√2 + i; b. −5 + 5i; d. 1 + 2i; f. −2i.

51 a. (−1,−1); b. (−3, 0); c. (−3/2, 3√

3/2); d. (−5,−3); e. (√

3,√

3); f. (0, 3/2)52 a. r = 0; b. (2−

√3, 1− 2

√3), (2, 47;−83, 790); c. (−1−

√2/6, 1−

√2/6), (1, 45; 148, 260)

53 a. (√

16− 6√

3, 212o22′25′′) = (2, 36; 212o22′25′′); b. (√

28, 160o53′36′′) = (5, 29; 160, 89o); c. (4, 78;−51o12′21′′);

2.2.8 Afstand tussen twee complexe getallen

De afstand tussen twee complexe getallen z1 en z2 is

|z1 − z2|.

1. Met de gewone schrijfwijze.Is z1 = x1 + iy1 en z2 = x2 + iy2 dan is

z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2)

en daaruit volgt

|z1 − z2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

Dit is de uitdrukking voor de afstand tussen de punten (x1, y1) en (x2, y2).

2. Met de goniometrische schrijfwijze.Is z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) en z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) dan kunnen we de afstandtussen de twee beeldpunten P1 en P2 van deze complexe getallen berekenen door testeunen op de cosinusregel in de driehoek OP1P2.

|P1P2|2 = |OP1|2 + |OP2|2 − 2|OP1|.|OP2|. cos(θ1 − θ2)

|z1 − z2| =√r21 + r2

2 − 2r1r2 cos(θ2 − θ1). (2.6)

OPGAVEN — 54 Bereken de afstand tussen de complexe getallen van opgave 50.


GON-CO HUISTAAK 5 1. Gegeven zijn de complexe getallenz1 = −2 + i en z2 = 3i− 4.

(a) Stel z1 en z2 voor in het complexe getallenvlak van Gauss;

(b) Bepaal de modulus en het argument van beide complexe getallen;

(c) Construeer z = z1 + z2 en bereken z;

(d) Bepaal modulus en argument van z en geef de goniometrische schrijfwijze vanz;

(e) Bereken de afstand tusen z1 en z2.

2. Los de volgende vergelijking op naar z:

z + 3z = (2 + i√

3)|z|.

Stel de oplossingen voor in het complex getallenvlak van Gauss.


2.2.9 Het product van complexe getallen

2.2.9.1 Definitie

STELLING 2.3 Het product van twee matrices die elk corresponderen met een complexgetal is de matrix van een complex getal.

Bewijs: Inderdaad, het product[a −bb a

].

[c −dd c

]=

[ac− bd −ad− bcad+ bc ac− bd

]=

[ac− bd −(ad+ bc)ad+ bc ac− bd

](2.7)

levert terug een matrix op van een complex getal.

Het product van twee complexe getallen wordt als volgt gedefinieerd:

(a+ bi).(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i

Bijzonder geval:i2 = −1

We kunnen dit ook berekenen via matrices.[0 −11 0

]2

=

[0 −11 0

]·[

0 −11 0

]=

[−1 00 −1

].

Hieruit volgt dat i2 = −1.

2.2.9.2 Argument en modulus van het product van twee complexe getallen

Het product van twee complexe getallen in goniometrische gedaante is

r1(cos θ1 + i sin θ1).r2(cos θ2 + i sin θ2) =

= r1r2 [(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)]

= r1r2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)) (2.8)

Uit de formule 2.8 volgt de stelling


STELLING 2.4 1. De modulus van het product van twee complexe getallen is gelijkaan het product van de moduli.

2. Het argument van het product van twee complexe getallen is gelijk aan de som vande argumenten.

Met symbolen :|z1 · z2| = |z1| · |z2|

arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2).

Uit het feit dat bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen de argumentenworden opgeteld, volgt de stelling:

STELLING 2.5 Als een complex getal z vermenigvuldigd wordt met een complex getalmet argument θ1 en modulus r1 dan wordt in het vlak de plaatsvector van z gedraaid overde hoek θ1 en vermenigvuldigd met r1.

Opmerkingen:

• Zoals een homothetie gemakkelijk kan beschreven worden door met een reeel getalte vermenigvuldigen zo kan een rotatie over een hoek θ zeer gemakkelijk beschrevenworden door te vermenigvuldigen met een complex getal waarvan het argumentgelijk is aan θ en de modulus gelijk is aan 1. Het beeld onder een rotatie met hoekθ van een complex getal z is het complex getal

z.(cos θ + i sin θ)

In het bijzonder betekent vermenigvuldigen met i een rotatie uitvoeren over 90o

wanti = cos

π

2+ i sin

π

2

Het beeld van (x, y) onder een rotatie over 90o is (−y, x) want

(x+ iy).i = −y + ix

• Door middel van het product van complexe getallen zouden we een product vankoppels kunnen definieren.

• De scalaire vermenigvuldiging van koppels betekent voor de complexe getallen eenspeciaal geval van product van complexe getallen, nl. van een reeel getal en eencomplex getal.


• Het product van twee complexe getallen komt niet overeen met het scalair productvan twee vectoren. Het scalair product van twee vectoren is een reeel getal, terwijlhet product van twee complexe getallen weer een complex getal is. Beschouwen wetwee vectoren ~v1(θ1, r1) en ~v2(θ2, r2) dan is het scalair product:

~v1.~v2 = r1 cos θ1.r2 cos θ2 + r1 sin θ1.r2 sin θ2

= r1r2(cos θ1. cos θ2 + sin θ1. sin θ2)= r1r2 cos(θ1 − θ2).

OPGAVEN — 55 Bepaal het beeld van de volgende complexe getallen voor een lineaire rotatie overθ.

a. − 2 θ = 60o b. 1 + i θ = −60o c. 2 + 3i θ = 60o

d. − 2 + 5i θ = 120o e. 3i θ = 330o f. − i− 2 θ = 240o

56 Teken de volgende complexe getallen als het punt P het complex getal z voorstelt en z modulus 1heeft.

a. − 3iz b. (i− 1)z c. (3i+ 2)z

d. i+ 2z e. (z − 2)(i− 1) f. (1 + i)z − 1− 2i

2.2.9.3 Eigenschappen van het product van complexe getallen

1. Het product van twee complexe getallen is weer een complex getal.

2. Het product van complexe getallen is associatief. Dit volgt uit het feit dat hetproduct van matrices associatief is.

3. Het neutraal element voor de vermenigvuldiging is het getal 1 dat correspondeertmet de eenheidsmatrix die neutraal element is voor de vermenigvuldiging van ma-trices.

4. Voor de inverse matrix A−1 van een matrix A geldt

A−1 · A = I

als hij bestaat. De voorwaarde daartoe is dat rangA = 2. Deze voorwaarde isvervuld als (a, b) 6= (0, 0). Het corresponderend complex getal is dan verschillendvan nul.De inverse matrix van de (niet-singuliere) matrix[

a −bb a

]waarvoor (a, b) 6= (0, 0)


is de matrix

1

a2 + b2

[a b−b a

]=

1

a2 + b2

[a −(−b)−b a

]−→ 1

a2 + b2(a− bi) (2.9)

Hieruit volgt de stelling

STELLING 2.6 Het omgekeerde van een complex getal verschillend van nul is hettoegevoegd complex getal gedeeld door de het kwadraat van de modulus.

Met symbolen:

z−1 =z

|z|2=

1

a2 + b2(a− bi).

Als we het omgekeerd complex getal nemen van een complex getal in goniometrischegedaante dan verkrijgen we:

1

r2(r cos θ − ir sin θ) =

1

r(cos(−θ) + i sin(−θ))

1

r(cos θ + i sin θ)=

1

r

(cos(−θ) + i sin(−θ)

).

Hieruit besluiten we de stelling

STELLING 2.7 Het omgekeerd complex getal van het complex getal ( 6= 0) metmodulus r en argument θ is het complex getal met modulus 1/r en argument −θ.

met symbolen:| z−1 |=| z |−1

arg(z−1) = −arg(z).

5. Het is gemakkelijk aan te tonen dat het product van matrices behorende bij complexegetallen commutatief is. Hieruit volgt dat het product van complexe getallen ookcommutatief is.

Uit deze vijf eigenschappen van het product volgt:De structuur C0, . is een commutatieve groep voor de vermenigvuldiging (multiplicatievecommutatieve groep).

Voor de optelling en de vermenigvuldiging van complexe getallen geldt de distributieveeigenschap. Dit volgt onmiddellijk uit het feit dat de optelling en de vermenigvuldigingvan matrices distributief is.

We besluiten:

De structuur C,+, . is een veld, waarvan het veld R,+, . een deelveld is.


2.2.10 Het quotient van twee complexe getallen

Vermits elk complex getal verschillend van nul een omgekeerde heeft voor het productkunnen we het quotient definieren van twee complexe getallen. Het quotient van tweecomplexe getallen is het product van het eerste getal en het omgekeerde van het tweedecomplex getal. Vermits het product van complexe getallen commutatief is kunnen we hetquotient als volgt schrijven

(a+ bi)1

c+ di=

1

c+ di(a+ bi) =

a+ bi

c+ di

We kunnen dit quotient in de gedaante x+ iy brengen.

1. Met cartesische coordinaten

a+bic+id

= (a+ bi) c−dic2+d2

= (a+bi)(c−di)c2+d2

= ac+bd+i(bc−ad)c2+d2

2. Met goniometrische schrijfwijzeVoor het quotient van twee complexe getallen in goniometrische gedaante geldt:

r1(cos θ1 + i sin θ1)

r2(cos θ2 + i sin θ2)= r1(cos θ1 + i sin θ1)

1

r2(cos θ2 + i sin θ2)

= r1(cos θ1 + i sin θ1)1

r2

(cos(−θ2) + i sin(−θ2)

)=

r1r2

(cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)

). (2.10)

Uit 2.10 volgt de stelling:

STELLING 2.8 (a) De modulus van het quotient van twee complexe getallen isgelijk aan het quotient van de moduli.

(b) Het argument van het quotient van twee complexe getallen is gelijk aan deverschil de argumenten.

Met symbolen : ∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

argz1

z2

= arg(z1)− arg(z2).


2.2.11 Praktisch rekenwerk in het veld van de complexe getallen

We hoeven geen formules van buiten te leren om het product van twee complexe getallenuit te voeren of om het omgekeerd complex getal te bepalen.

* We kunnen het product van twee complexe getallen berekenen door gebruik te makenvan de distributieve eigenschap geldig in het veld van de complexe getallen.

(a+ bi).(c+ di) = ac+ (ad+ bc)i+ bdi2 = ac− bd+ (ad+ bc)i.

* Vermits het product van complexe getallen commutatief is mogen we het omgekeerdevoor het product van het complex getal a+ ib als volgt noteren

1

a+ bi

We kunnen dat complex getal ook rechtstreeks bepalen door de deling uit te voeren.Om de deling uit te voeren moeten we een trucje toepassen. In feite is i2 = −1, dussymbolisch kunnen we i =

√−1 zetten en dan passen we de regel toe om een wortel

uit de noemer te verdrijven door te vermenigvuldigen met de toegevoegde term. Ditkomt er dus op neer teller en de noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegdcomplex getal.

1a+bi

= ( 1a+b√−1

)

= ( a−b√−1

(a+b√−1)(a−b

√−1)

)

= a−bi(a+bi)(a−bi)

= a−bia2+b2

= aa2+b2

− ba2+b2

i

OPGAVEN — 57 Bepaal het complex getal dat gelijk is aan het product en het quotient zijn van tweecomplexe getallen behorende bij de matrices.

a. 1 +√

3i en −3− 3i; b. −4i en −1 +√

3i; c. 1−√

3i en 2− 2i.

58 Bepaal het complex getal dat gelijk is aan het product en het quotient zijn van de twee complexegetallen met argumenten resp. θ1 en θ2 en moduli resp. r1 en r2.

a. θ1 = 0 rad , r1 = 1; θ2 = π rad , r2 = 1;

b. θ1 = −π3 rad , r1 = 4; θ2 = −π6 rad , r2 = −2;

c. θ1 = 11π4 rad , r1 =

√2; θ2 = 5π

4 rad , r2 = 13 ;

59 Bepaal modulus en argument van de twee complexe getallen alsook hun product en quotient. Con-troleer de formules van de stellingen 2.4 en 2.8.


a. 2 + 3i, −1 + 2i;

b. 1 + 3i, 1− 3i;

c.√

2− i,√

2 + 2i.

60 Construeer het product en het quotient van de volgende complexe getallen (moduli mogen berekendworden) en controleer door berekening.

a. 1 + i, i−√

3;

d. −6 + 8i, 2 + i;

e. 3− 4i, 1 +√

3i;

f. 1 + i, i;

g. 5i, −5.

61 Bepaal het product en het quotient van de volgende complexe getallen en stel het allemaal voor inhet complex getallenvlak van Gauss met passer en geodriehoek.

a. 2(cos 60o + i sin 60o), − cos 20o − i sin 20o;

b.√

2(cos 135o + i sin 135o), − cos(−50o) + i sin 50o;

c. cos 200o + i sin 200o, 8(cos(−20o)− i sin 20o);

d. 2(cos 75o + i sin 105o), 12 (− cos 15o + i sin 15o);

e. −3(cos(−90o) + i sin 90o), 23 (cos 12o + i sin 12o);

f.√

2(cos 45o + i sin 315o),√

2(cos 15o − i sin 15o);

62 Bereken de volgende quotienten op twee manieren (met cart. en poolcoord.).

a. 1+i1−i b.

√3+i

1+√

3ic. 4−6i√

2+√

2i

d. 52−i e. 11−3i

5+7i

63 Wanneer is het quotient van twee complexe getallen

(i) reeel;

(ii) zuiver imaginair.

64 Los de volgende matriciele vergelijking op naar X:[2− i 1

2 4

]−[X

[1 + i 1

3 1− i

]]t [ −i 3−2i 1

]−1

=[

4 43 0

]


65 * Zijn u, v ∈ C met reeel gedeelte negatief (Re(u) < 0, Re(v) < 0), dan geldt

|v − uv + u

| < 1.

Bewijs dat.

Oplossingen:57 a. 6

√2(cos 75o − i sin 75o),

√2

3 (cos 195o + i sin 195o); b. 8(cosπ/3 − i sinπ/3); c. 4√

2(cos 105o −i sin 105o);

GON-CO HUISTAAK 6 Gegeven zijn de complex getallen z1 met modulus 1 enargument θ en z2 = 4i− 3. Gevraagd:

1. Kies een beeldpunt voor z1 in het complex getallenvlak van Gauss. Neem geenspeciale waarde voor het argument van z1.

2. Construeer z1 · z2;

3. Teken 2z1 en 1 + z21 ;

4. Leid uit de tekening af waarom 2z11+z21

een reeel getal is;

5. Toon aan dat het reeel gedeelte van 11+z1

onafhankelijk is van θ. Welke is de waardevan dat reeel gedeelte.

PROEFHERHALINGSTOETS

Gegeven zijn de complexe getallen z1 = 1+i1−i en z2 =

√2

1−i .Gevraagd:

1. modulus en argument van z1 en z2;

2. de voorstelling van z1 en z2 in het complex getallenvlak van Gauss;

3. construeer z = z1 + z2 en leid uit de figuur af welk complex getal z is in de gedaantea+ ib. Geef tevens modulus en argument van z;

4. leid uit de tekening de waarde af van tan 3π8

. Verifieer deze waarde op de tangensas.


2.3 Stellingen i.v.m. complexe toevoeging

STELLING 2.9 De complexe toevoeging is een permutatie in de verzameling van decomplexe getallen die de som in een som omzet en een product in een product.

We noemen de complexe toevoeging daarom een automorfisme van C (isomorfisme ineen verzameling).

Bewijs: Voor het transponeren van matrices gelden de eigenschappen:

(A+B)t = At +Bt (2.11)

en

(A.B)t = Bt.At (2.12)

De eigenschappen 2.11 en 2.12 gelden ook voor de complexe toevoeging van complexegetallen.

z1 + z2 = z1 + z2

z1.z2 = z2.z1 = z1.z2.

We formuleren deze eigenschappen ook met woorden:Het complex toegevoegde van de som van twee complexe getallen is gelijk aan de som vande complex toegevoegden van de twee complexe getallen.Het complex toegevoegde van het product van twee complexe getallen is gelijk aan hetproduct van de complex toegevoegden van de twee complexe getallen.

STELLING 2.10 Het product van een complex getal en zijn toegevoegd complex getal isreeel.

Bewijs: Het product van een matrix en zijn getransponeerde is een symmetrische matrix.Inderdaad,

(A.At)t = (At)t.At = A.At

Is de matrix van een complex getal symmetrisch dan is die matrix een scalaire matrix.Inderdaad, [

a −bb a

]is symmetrisch als b = −b. Als een reeel getal gelijk is aan zijn tegengestelde dan is hetgelijk aan nul.

2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL 53

Voor complexe getallen betekent dit dat het product van een complex getal met zijntoegevoegde een reeel getal is. We kunnen dit ook gemakkelijk inzien als we het productuitvoeren van een complex getal en zijn toegevoegd complex getal.

z.z = (a+ bi)(a− bi) = a2 + b2 ∈ R+

Als toepassing hiervan kunnen we het omgekeerde complex getal bepalen.

1

z=

z

z.z=

a− bia2 + b2

.

STELLING 2.11 De som van twee toegevoegd complexe getallen is een reeel getal.

Bewijs:z + z = (a+ bi) + (a− bi) = 2a ∈ R.

OPGAVEN — 66 Toon aan dat de vergelijking

(z −m)(z −m) = R2

de vergelijking voorstelt van een cirkel straal R en met m het complex getal dat het middelpunt Maanduidt (m ∈ C, R ∈ R+).

67 Teken de beeldpunten van de volgende complexe getallen als P het beeldpunt is van het complexgetal z met modulus gelijk aan 1.

a. z b. z.z c. i.z

d. z2.z e. z.z2 f. (1− 2i)z

g. z + z h. 2z − 2z i. z − (1 + i).z

2.4 Machten van een complex getal

2.4.1 De formule van de Moivre voor gehele exponenten

STELLING 2.12

∀n ∈ N : (r cos θ + ir sin θ)n = rn(cosnθ + i sinnθ)

We tonen deze formule aan met een bewijs door volledige inductie. Zo een bewijs bestaatuit twee delen:


• We tonen aan dat de formule geldig is voor n = 1. Inderdaad, stellen we in deformule n = 1 dan is de formule geldig:

(r cos θ + ir sin θ)1 = r1(cos 1.θ + i sin 1.θ)

• We tonen aan dat als de formule geldig is voor n ze ook geldig is voor n+ 1.Gegeven: (r cos θ + ir sin θ)n = rn(cosnθ + i sinnθ)Te bewijzen: (r cos θ + ir sin θ)n+1 = rn+1

(cos(n+ 1)θ + i sin(n+ 1)θ

)Bewijs: We vertrekken van het eerste lid en proberen het tweede lid te bekomen.

(r cos θ + ir sin θ)n+1 = (r cos θ + ir sin θ).(r cos θ + ir sin θ)n

geg.= (r cos θ + ir sin θ).rn.(cosnθ + i sinnθ)

prod. inC= r.rn

(cos(θ + nθ) + i sin(θ + nθ)

)= rn+1

(cos(n+ 1)θ + i sin(n+ 1)θ

)�

STELLING 2.13

∀n ∈ N : (r cos θ + ir sin θ)−n = r−n(

cos(−nθ) + i sin(−nθ))

Bewijs: We vertrekken van het eerste lid en proberen het tweede lid te bekomen.

(r cos θ + ir sin θ)−n =((r cos θ + ir sin θ)−1

)n(def. v. neg. macht)

=(r−1(

cos(−θ) + i sin(−θ)))n

(omgek. v.e. compl. get.)

= (r−1)n(

cos(−nθ) + i sin(−nθ))

(voorgaande stelling)= r−n

(cos(−nθ) + i sin(−nθ)

)Uit de stellingen 2.12 en 2.13 volgt

∀z ∈ Z : (r cos θ + ir sin θ)z = rz(cos zθ + i sin zθ)

Dit is de formule van de Moivre voor gehele exponenten.

Deze formule geeft ons een eenvoudige methode ter hand om een complex getal tot gelijkwelke gehele macht te verheffen. We moeten eerste het complex getal in goniometrischegedaante brengen.

Voorbeelden:

• (1 + i)6 = (√

2)6(cos 45o + i sin 45o)6 = 8(cos 270o + i sin 270o) = −8i.


•(4 + 3i)−5 = (5(cos(36o52′11, 63′′) + i sin(36o52′11, 63′′)))−5

= 13125

(cos(184o20′58, 15′′)− i sin(184o20′58, 15′′))= 10−5(−31, 9 + 2, 4i)

OPGAVEN — 68 Bereken

a. (i− 1)10 b. (−√

33 − i)

8 c. (√

6 + i√

2)12

d. (√

5+i√

155 )6 e. ( 1−i

2 )−8 f. ( 1√6− i√

2)8

g. (−√

2− i√

6)−7 h. ( i−√

32 )−13 i. ( 2

3 i)−6

69 Bereken op zo eenvoudig mogelijke manier zonder computer

1. 1+i+i2+i3+i4+i5

1+i 2.[ √

3−i1−√

3i

]1070 Bewijs met de formule van de Moivre voor n ∈ Z dat

zn = zn.

71 Gegeven is het complex getal z met modulus 1 en argument θ. Bepaal de modulus en het argumentvan

a. z3 − z b. z5 + z c. z4 + z2

d. z + 1z e. zn + 1

zn f. zn − z

72 Twee complexe getallen z1 en z2 zijn wortels van de vergelijking

3z.z + 2(z − z) = 12 + 4i.

(i) Bepaal z1 en z2;

(ii) In het complex getallenvlak van Gauss zijn P en Q de beeldpunten van resp. z1 en z2. We noemen

R het beeldpunt van het complex getal (1 +√

3)i. Toon aan dat de hoek P∧R Q recht is;

(iii) Druk z201 en z20

2 uit in de gedaante a+ ib.

73 Druk (1+i√

3)13

(√

3−i)8 uit in de vorm p+ iq met p, q ∈ R.

74 Als z = cos θ + i sin θ, bewijs dan dat voor n ∈ N,

zn + z−n = 2 cos(nθ);

zn − z−n = 2i sin(nθ).

75 * Bereken:

(−1 + i

√3

2)3m+2 + (

−1− i√

32

)3m+2 met m ∈ Z


Oplossingen:

68: a. −32i; b. 128/81(1 + i√

3); c. 86; d. 64/125; e. 16; f. −8/81(1 + i√

3); g. 2−11,5(−1 + i√

3); h.−1/2(i+

√3); i. −729/64; 72: (i) i±

√3; (iii) 219(−1 + i

√3), −219(1 + i

√3).

GON-CO HUISTAAK 7 1. Bereken op zo een eenvoudig mogelijke manier zondercomputer:

1. ( i1+i

+ 1i

+ 2i−1

)2 3. (1+i)7+(1−i)72

2. i−1 + i−57 + i32 + i−11 4. (7 + i)(1 + 2i)(7− i)(1− 2i)

2.4.2 Binomiaalvergelijkingen

Een binomiaalvergelijking is een vergelijking van de gedaante

azn + b = 0, met a ∈ C0, b ∈ C.

m

zn = − ba

met a ∈ C0, b ∈ C. (2.13)

We drukken z en − ba

uit in goniometrische gedaante:

z = r(cos θ + i sin θ) en − b

a= r1(cos(θ1 + k · 360o) + i sin(θ1 + k · 360o))

De vergelijking 2.13 wordt van de gedaante:(r(cos θ + i sin θ)

)n= r1(cos(θ1 + k · 360o) + i sin(θ1 + k · 360o))

m Form. v.de Moivre

rn(cosnθ + i sinnθ) = r1(cos(θ1 + k · 360o) + i sin(θ1 + k · 360o))

Hieruit volgt wegens de gelijkheid van complexe getallen dat{rn = r1nθ = θ1 + k · 360o

⇐⇒{r = n√r1

θ = θ1n

+ k · 360o

n

Omdat een georienteerde hoek juist n verschillende n-de delen heeft(voor k ∈ {0, 1, . . . , n− 1}) krijgen we voor z juist n mogelijkheden die vervat zijn in devolgende formule:

z = r(cos θ + i sin θ) = n√r1

(cos(

θ1

n+ k · 360o

n) + i sin(

θ1

n+ k · 360o

n)

)


De oplossingen van de binomiaalvergelijking zn = − ba

zijn de n n-de machtswortels uithet complex getal − b

a.

We kunnen de n n-de machtswortels uit een complex getal r(cos θ + i sin θ) als volgtnoteren: (

r(cos θ + i sin θ)) 1

n(r(cos θ + i sin θ)

) 1n = n√r(cos

θ

n+ i sin

θ

n)

Op die manier hebben we de formule van de Moivre uitgebreid voor rationale exponenten.De formule van de Moivre voor rationale exponenten is

∀q ∈ Q : (r cos θ + ir sin θ)q = rq(cos qθ + i sin qθ)

I.v.m. de voorstelling in het complex getallenvlak van Gauss van de wortels uit een complexgetal kunnen we de volgende stelling formuleren:

STELLING 2.14 Een complex getal heeft juist n verschillende n-de machtswortels. Debeeldpunten van die wortels vormen een regelmatige veelhoek beschreven in een cirkel metstraal gelijk aan de reele n-de machtswortel uit de modulus.

Bijzonder geval: Elk complex getal heeft juist twee tegengestelde vierkantswortels.

Voorbeelden:

• z2 = −1 +√

3i

z2 = −1 +√

3i ⇐⇒ z2 = 2(

cos(120o + k.360o) + i sin(120o + k.360o))

⇐⇒ z =√

2(cos 120o+k.360o

2+ i sin 120o+k.360o

2))

⇐⇒ z =√

2(

cos(60o + k.180o) + i sin(60o + k.180o)

De twee vierkantswortels uit −1 +√

3 zijn de waarden van z voor de opeenvolgendewaarden k = 0 en k = 1 corresponderend met de twee helften van de georienteerdehoek 120o.

z1 =

√2

2(1 + i

√3), z2 = −

√2

2(1 + i

√3).

Het is soms mogelijk de twee wortels uit een complex getal op andere wijze te vinden.We proberen het complex getal te schrijven als een volkomen kwadraat. We passendit toe op het vorig voorbeeld.

−1 +√

3i = 12(−2 + 2

√3i) = 1

2(1 + 2

√3i− 3)

= 12(1 + 2

√3i+ (

√3i)2) = 1

2(1 +

√3i)2


• z3 + 8 = 0

z3 = −8 ⇐⇒ z3 = 8(cos(180o + k.360o) + i sin(180o + k.360o))⇐⇒ z = 2(cos 180o+k.360o

3+ i sin 180o+k.360o

3)

⇐⇒ z = 2(cos(60o + k.120o) + i sin(60o + k.120o))

De drie derde machtswortels uit −8 zijn de waarden van z voor de opeenvolgendewaarden k = 0, k = 1 en k = 2 corresponderend met de drie derde delen van degeorienteerde hoek 180o.

z0 = 1 + i√

3, z1 = −2, z2 = 1− i√

3.

Merk op dat deze binomiaalvergelijking een reele en twee toegevoegd complexe op-lossingen bezit. Een reeel getal heeft juist drie derde machtswortels, een reele entwee toegevoegd complexe derdemachtswortels.We kunnen de veelterm z3 + 8 ontbinden in drie lineaire factoren.

z3 + 8 = (z − z1)(z − z2)(z − z3) = (z + 2)(z − 1− i√

3)(z − 1 + i√

3).

waarbij(z − 1− i

√3)(z − 1 + i

√3) = z2 − 2z + 4.

z2 − 2z + 4 is onontbindbaar in R.

• z4 = −1− 2√

2i

z4 = 3(cosα + i sinα)⇐⇒ z =4√

3(cosα

4+ i sin

α

4)

De vier vierde delen van α zijn 250o31′43,6′′+k.360o

4voor k = 0, 1, 2, 3.

z0 =4√

3(cos 62o37′56′′ + i sin 62o37′56′′) = 0, 605 + 1, 68i)

z1 =4√

3(cos 152o, 631 + i sin 152o, 631) = −1, 169 + 0, 605i)

z2 =4√

3(cos 242o, 632 + i sin 242o, 632) = −0, 605− 1, 169i)

z3 =4√

3(cos 332o, 631 + i sin 332o, 631) = 1, 169− 0, 605i)

• z5 = 1z5 = 1 ⇐⇒ z5 = cos k.360o + i sin k.360o

⇐⇒ z = cos k.360o

5+ i sin k.360o

5

De vijf vijfde machtswortels uit 1 zijn:

z0 = 1, z1 = cos 72o + i sin 72o, z2 = cos 144o + i sin 144o,


Figuur 2.3: de 5 5de machtswortels uit 1

z3 = cos 216o + i sin 216o, z4 = cos 288o + i sin 288o

We kunnen nu ook de veelterm z5−1 ontbinden in lineaire en kwadratische factoren.

z5 − 1 = (z − 1)(z4 + z3 + z2 + z + 1)

De vorm z4 + z3 + z2 + z+ 1 is wederkerig. Aangezien z = 0 geen oplossing kan zijnvan z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 is deze vergelijking gelijkwaardig met

z2 + z + 1 +1

z+

1

z2= 0

m

z2 +1

z2+ z +

1

z+ 1 = 0

Stel z + 1z

= Z dan is z2 + 1z2

= Z2 − 2.De vergelijking wordt

Z2 + Z − 1 = 0⇐⇒ Z =−1±

√5

2

z +1

z=−1±

√5

2


m

z2 − −1±√

5

2z + 1 = 0

De vier complexe oplossingen zijn

z1,2 =1

4(−1±

√5 + i

√10± 2

√5)

en

z3,4 =1

4(−1±

√5− i

√10± 2

√5)

Hieruit kunnen we afleiden dat

cos 72o =

√5− 1

4

en

sin 72o =

√10 + 2

√5

4.

Merk op dat de ontbinding in factoren in R van z5 − 1 gelijk is aan

z5 − 1 = (z − 1)(z2 − −1 +√

5

2z + 1)(z2 − −1−

√5

2z + 1).

Construeer met deze resultaten een regelmatige vijfhoek.

OPGAVEN — 76 Los de volgende binomiaalvergelijkingen in C op

a. z2 = 8 + 6i e. z6 = −i i. z3 = 1+ii−√

3m. z4 = 8− 8i

√3

b. z2 = 16 +

√23 i f. 8z6 + 27 = 0 j. (i− 1)z4 + 1 = 0 n. z2 = 6−7i

3+4i

c. z2 = −5− 12i g. 32z5 − 4− i = 0 k. z5 − 32i = 0 o. z3 − 125 = 0d. z2 = 7− 2i h. z4 = −16 l. 4z4 = i p. (2 + 3i)z3 = 125

77 * Los de volgende vergelijking op

1 + (cosx+ i sinx).(cos 2x+ i sin 2x) · · · (cosnx+ i sinnx) = 0.

78 * Bewijs dat de som van de n n-de machtswortels uit 1 gelijk zijn aan nul. Bewijs dat elke wor-tel een natuurlijke macht is van een andere wortel. Bewijs tevens dat ze een groep vormen voor devermenigvuldiging (cyclische groep van de orde n).

79 * Men stelt de drie wortels van z3 = 1 voor door 1, α en β. Bewijs dat

(i) α2 = β, β2 = α, 1 + α+ β = 0;


(ii) (1 + α)3 + (1− α+ α2)3 = −9;

(iii)

∣∣∣∣∣∣1 α α2

α α2 1α2 α 1

∣∣∣∣∣∣ = 0.

80 *

(i) Bepaal de derdemachtswortels uit −1 op twee verschillende manieren;

(ii) Toon aan dat als een van de complexe wortels wordt voorgesteld door λ (∈ C) de andere gelijk isaan −λ2;

(iii) Bewijs dat (X + λY − λ2Z)(X − λ2Y + λZ) = X2 + Y 2 +Z2− Y Z +ZX +XY met X,Y, Z ∈ R.

81 * We noemen z1, z2, . . . ,zn de n n-de machtswortels uit een complex getal Z. Is w een n-demachtswortel uit een complex getal W dan zijn z1.w, z2.w, . . . , zn.w de n n-de machtswortels uit W .Bewijs.Bereken de zesdemachtswortels uit 81 door toepassing van deze eigenschap, alsook de derde machtswortelsvan (2 + i)3.

82 * Bereken 1 + z + z2 + · · ·+ z49 als z = 12 (1 +

√3i) op zo een kort mogelijke manier.

83 * Zij p, q en −i de drie oplossingen van de volgende vergelijking over C: x3 = i. Toon aan, en ditzonder p en q expliciet te bepalen, dat

(i) pq = −1;

(ii) p2 + q2 = 1;

(iii) ∀k ∈ N0 : p6k + q6k = 2(−1)k.

GON-CO HUISTAAK 8 1. Gegeven is de vergelijking in C: z8 = −8− 8√

3i.

(a) Bepaal zonder computer de oplossingen van de gegeven vergelijking;

(b) Construeer de oplossingen en verifieer met de berekeningen.

2. Gegeven is de vergelijking in C: z7 = 128(3− 4i).

(a) Bepaal de oplossingen van de gegeven vergelijking en gebruik de computer omde oplossingen in de gedaante a + ib te brengen. Rond af op 1 cijfer na dekomma;

(b) Laat de computer de oplossingen tekenen.


2.5 Hoofdstelling van de complexe algebra

2.5.1 Oplosbaarheid van een vierkantsvergelijking in C

Met vierkantsvergelijking in C bedoelen we dat de coefficienten complexe getallen zijn,die in het bijzonder ook allemaal reeel kunnen zijn.

STELLING 2.15 Elke vierkantsvergelijking heeft ofwel twee verschillende oplossingenofwel twee samenvallende oplossingen over C.

Bewijs:

A. We beschouwen een algemene vierkantsvergelijking in R

az2 + bz + c = 0 met a 6= 0

en brengen deze vergelijking in de volgende gedaante

a(z2 +b

az +

b2

4a2) + c− b2

4a= 0

m

a(z +b

2a)2 − b2 − 4ac

4a= 0

m

(z +b

2a)2 =

b2 − 4ac

4a2

Aangezien de coefficienten van de vierkantsvergelijking reele getallen zijn is de discri-minant ook een reeel getal. Al naargelang het teken van de discriminant b2−4ac = Dkrijgen we de volgende gevallen:

1. D 6= 0

a. D > 0

z +b

2a= ±√D

2am

z1,2 =−b±

√D

2aHet eerste lid van de kwadratische vergelijking kan ontbonden worden intwee reele lineaire factoren.

az2 + bz + c = a(z − z1)(z − z2)

2.5. HOOFDSTELLING VAN DE COMPLEXE ALGEBRA 63

b. D < 0

z +b

2a= ±i

√−D

2a

m

z1,2 =−b± i

√−D

2a

Het eerste lid van de kwadratische vergelijking kan ontbonden worden intwee complexe lineaire factoren.

az2 + bz + c = a(z − z1)(z − z2)

2. D = 0

z =−b2a

Het eerste lid van de kwadratische vergelijking is een volkomen kwadraat.

az2 + bz + c = a(z +b

2a)2

Besluit: Heeft een vierkantsvergelijking in R een complexe worteldan is het toegevoegd complex getal eveneens een wortel.

B. Beschouwen we de vierkantsvergelijking in C\R dan kunnen we de resultaten uit A.gebruiken maar dan moeten we de twee complexe vierkantswortels uit het complexegetal D berekenen met de formule van de Moivre. Elke vierkantsvergelijking kanontbonden worden in twee lineaire complexe factoren.

OPGAVEN — 84 Los de volgende vergelijkingen op in C en geef een ontbinding in factoren van decorresponderende veelterm.

a. z2 − 4z + 5 = 0 e. z2 − 3iz − 25− 15i = 0b. z2 − 6z + 13 = 0 f. 2iz2 + (2− 7i)z = 4i− 1c. 9z2 − 6z + 10 = 0 g. (1 + 2i)z2 + (3− 9i)z − 10 + 10i = 0d. z2 + (1− i)z = i h. z2 + 2iz − 9− 6i = 0

85 Toon aan dat de vierkantsvergelijking az2 + bz + c = 0 door een substitutie van de vorm Z = z + kkan herleid worden tot een binomiale vergelijking.

86 Welke twee complexe getallen hebben als som 3(1 + i) en als product 5i?

Oplossingen:86d. discr=(1 + i)2; e. discr=(10 + 3i)2; f. discr=(3− 2i)2; h. discr=(6 + 2i)2;?? 2+i en 1+2i.


2.5.2 Ontbinding van een veelterm in C

We weten dat een veelterm met reele coefficienten in R kan ontbonden worden in eenproduct van lineaire en kwadratische factoren. In C kan elke kwadratische factor op zijnbeurt ontbonden worden in twee complexe lineaire factoren. Elke veelterm over R is dushet product van lineaire factoren. We hebben dus:

STELLING 2.16 (Hoofdstelling van de Algebra, Deel I) Elke reele veelterm is hetproduct van lineare complexe factoren.

Algemener nog geldt er:

STELLING 2.17 (Hoofdstelling van de Algebra, Deel II) Elke complexe veeltermis het product van lineaire complexe factoren.

Voorbeelden:

• De veelterm z3 + 2z2 + 2z + 1 heeft steeds een reeel nulpunt. Hier is dit nulpuntgelijk aan −1. De veelterm is deelbaar door z + 1.

z3 + 2z2 + 2z + 1 = (z + 1)(z2 + z + 1).

De kwadratische factor z2 + z + 1 is niet te ontbinden in R. De oplossingen in Cvan de kwadratische vergelijking z2 + z + 1 zijn

z1,2 =−1±

√3i

2

De ontbinding van de veelterm over C is

z3 + 2z2 + 2z + 1 = (z + 1)(z − −1 + i√

3

2)(z − −1− i

√3

2).

• De veelterm z4+1 heeft geen reele nulpunten en is in R te ontbinden in twee factorenvan de tweede graad.

z4 + 2z2 − 2z2 + 1 = (z2 + 1)2 − 2z2 = (z2 + 1−√

2z)(z2 + 1 +√

2z).

De oplossingen van de kwadratische vergelijkingen z2−√

2z+1 = 0 en z2+√

2z+1 =0 zijn resp.

z1,2 =

√2

2(1± i) en z3,4 =

√2

2(−1± i)


z4 + 1 = (z −√

2

2(1 + i))(z −

√2

2(1− i))(z −

√2

2(−1 + i))(z −

√2

2(−1− i))

We kunnen deze veelterm ook rechtstreeks ontbinden in C.

z4 + 1 = z4 − i2 = (z2 − i)(z2 + i)

Elk complex getal is te schrijven als het kwadraat van een ander complex getal. Zokunnen we i als volgt schrijven:

i =(1 + i)2

2en − i =

(1− i)2

2

z4 + 1 = (z2 − (1+i)2

2)(z2 − (1−i)2

2)

= (z − i+12

)(z + i+12

)(z − 1−i2

)(z + 1−i2

).

Dit leidt dus tot hetzelfde resultaat.

STELLING 2.18 Heeft een reele veeltermvergelijking in een onbekende een complexewortel z dan is het complex toegevoegde z ook een wortel.

Bewijs: Is z een complexe wortel van de veeltemvergelijking anxn+an−1x

n−1 + · · ·+a2x2 +

a1x+ a0 = 0, dan geldt

anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a2z2 + a1z + a0 = 0.

Nemen we van beide leden het complex toegevoegde dan verkrijgen we

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a2z2 + a1z + a0 = 0

m eig. v. compl. toev. v. lin. comb.

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a2z2 + a1z + a0 = 0

m 0, an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ R

anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a2z2 + a1z + a0 = 0.

De laatste gelijkheid drukt uit dat z oplossing van de veeltermvergelijking

anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a2z2 + a1z + a0 = 0.

�


OPGAVEN — 87 Los de volgende vergelijkingen op in C en geef een ontbinding in lineaire factorenvan de corresponderende veelterm. Geef tevens de ontbinding in R.

a. z4 + 4z3 + 19z2 − 4z − 20 = 0 j. 2z3 − z2 + 2z − 1 = 0b. 3z3 + z2 + 12z + 4 = 0 k. 4z4 − 15z2 − 4 = 0c. 3z5 + 2z4 + 24z3 + 16z2 − 27z − 18 = 0 l. iz3 + 3z2 − 3iz + 7 = 0d. z6 − 2z5 + 6z4 − 4z3 + 9z2 − 2z + 4 = 0 m. z2 − 3z + 1 + 3i = 0e. z2 − z + 4− 2i = 0 n. z2 + (1− 2i)z + 1 + 5i = 0f. (1 + i)z2 + (3− 7i)z − 10 = 0 o. z18 − a18

g. 6z3 + 7z2 − 7z + 6 = 0 p. z3 + 2z + i = 0h. z3 + 3z2 + 4z + 2 = 0 q. iz3 − (2i− 2)z2 − 3z + i+ 1 = 0i. −iz3 + 3z2 + 3iz − 1 = 0 u. z6 + z3 + 1 = 0

88 Bepaal alle veeltermen van de vierde graad met reele coefficienten die als nulpunten 1, 2, −1 + 2ihebben. Geef de ontbinding van deze veeltermen zowel in C als in R.

89 Ontbind de volgende veeltermen in factoren van tweede graad met reele coefficienten.

a. 16z4 + 9 c. z4 + 7z2 + 16

90 Bepaal a, b, c en d zodanig dat

z4 + z3 − 12z2 + az + 16 = (z2 + bz + c)(z2 + dz + c).

91 Gegeven is de veelterm

v(x) = x3 + (m+ 2i)x2 − (1 + (8 + 2m)i)x− 5m.

Gevraagd:

(i) Toon aan dat 2 + i een nulpunt is van v(x);

(ii) Bepaal m zodat minstens een nulpunt van v(x) zuiver imaginair is;

(iii) Bereken voor die waarde van m de andere nulpunten van v(x).

92 Gegeven de complexe getallen z1 = 1 + i√

3 en z2 = 1− i√

3.

(i) Bepaal de beeldpunten van z1 en z2 in het complex getallenvlak van Gauss en construeer hetbeeldpunt z1 + z2;

(ii) Bepaal een vierkantsvergelijking met reele coefficienten die z1 als oplossing bezit;

(iii) Bepaal de reele constanten a en b indien de vergelijking z3 + z2 +az+ b = 0, z1 als oplossing bezit.

93 De complexe getallen z1 en z2 zijn de oplossingen van de vierkantsvergelijking z2 + z+ 1 = 0, zo datIm(z1) > Im(z2).

(i) Druk z1 en z2 uit in goniometrische gedaante;

(ii) Stel de beeldpunten van z1, z2 en 1 voor in het complex


(iii) Bepaal |z2 − z1| en arg(z1 − z2);

(iv) Bepaal Re(z1 + z2) en Im(z1 + z2);

(v) Toon aan dat z31 = z3

2 = 1; getallenvlak van Gauss.

94 Gegeven is de reele veelterm

v(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx+ d.

(i) Bepaal de waarden van a, b, c, d ∈ R zo dat tegelijk voldaan is aan:v(x) heeft een zuiver imaginair nulpunt,v(x) heeft twee reele nulpunten die elkaar tegengesteld zijn,Het product van de nulpunten van v(x) is − 48,De som van de nulpunten van v(x) is 3.

(ii) Bepaal voor de in (i) gevonden waarden van de parameters a, b, c en d de ontbinding van v(x) inzijn lineaire of kwadratische factoren.

95 * Gegeven is de reele veelterm

v(x) = x6 + a5x5 + a4x

4 + a2x2 + a1x− 405.

(i) Bepaal de waarden van a5, a4, a2, a1 ∈ Z0 zo dat tegelijk voldaan is aan: v(x) heeft een nulpunt van de gedaante a+ bi ∈ C, met a, b ∈ Z0,v(x) heeft een nulpunt van de gedaante ci, met c ∈ Z0,v(x) heeft twee tegengestelde gehele nulpuntn;

(ii) Bepaal voor de in (i) gevonden waarden van de parameters a1, a2, a4 en a5 de ontbinding vanv(x) in zijn lineaire complexe factoren.

96 * Zij n ∈ N, n ≥ 1, gegeven

(i) Los op in C:x2n + xn + 1 = 0;

(ii) Beeld de oplossingen van de vergelijking uit (i) af in het complex getallenvlak van Gauss in hetgeval n = 4.

97 * De complexe getallen z1 en z2 zijn de oplossingen van de vierkantsvergelijking z2 + z + 1 = 0, zodat Im(z1) > Im(z2). Stel in het complex getallenvlak de verzameling van de getallen z voor, waarvoor|z − z1| = |z − 1|.


GON-CO HUISTAAK 9 1. Gegeven de veelterm V (x) = 2x4−4x3+28x2−36x+90

(a) Los de vergelijking V (x) = 0 op in C wetende dat 1 + 2i een oplossing is;

(b) Geef een ontbinding in factoren van V (x) in R en in C.

2. Gegeven: V (z) = z3 + z2 + (i− 1)z + 2 + 2i.

(i) Toon aan dat z1 = −2 een oplossing is van V (z) = 0;

(ii) Los de vergelijking V (z) = 0 op in C;

(iii) Stel de oplossingen z1, z2 en z3 voor in het complex getallenvlak van Gauss doorresp. de punten A, B en C. Welke soort driehoek is de driehoek (A B C)?

(iv) Stel 2z1, 2z3 voor in het complexgetallenvlak van Gauss door resp. de puntenD en E.Bereken z1 + 2z2 + 2z3. Wat is de meetkundige betekenis van deze som voorde driehoek (A D E).

proefherhalingstoets 1 Gegeven is de reele veelterm

v(x) = x5 + ax3 + bx2 + cx+ d.

(i) Bepaal de waarden van a, b, c, d ∈ R zo dat tegelijk voldaan is aan:v(x) is deelbaar door x3 − 5x2 + 11x− 15,v(x) heeft twee reele nulpunten die elkaar tegengesteld zijn,Het product van de nulpunten van v(x) is 90;

(ii) Bepaal voor de in (i) gevonden waarden van de parameters a, b, c en d de ontbindingvan v(x) in zijn lineaire of kwadratische factoren.

2.6 Wiskunde-Cultuur

Rafaele BOMBELLI, de laatste der grote Bolognese wiskundigen van de zestiende eeuw,zag het probleem van de oplossingen van een derdegraadsvergelijking onder ogen. In 1572verscheen een boek waarin hij een theorie van imaginaire en complexe getallen uiteenzet.

2.6. WISKUNDE-CULTUUR 69

Hij schreef√

0− 9 (letterlijk R[0m9], R voor radix, m voor meno) voor onze 3√−1 = 3i.

Bombelli’s boek werd veel gelezen, we weten dat het gebruikt werd door STEVIN, doorLEIBNIZ (1646-1716) en door EULER (1707-1783). Aan Bombelli is zodoende te dankendat de imaginaire getallen iets van hun bovennatuurlijk karakter kwijtraakten, al duur-de het tot de negentiende eeuw voor complexe getallen hun geheimzinnige waas geheelverloren en hun normale plaats in de wiskunde konden innemen. In de eerste helft vande negentiende eeuw stelde GAUSS (1777-1855) een rekenkunde der complexe getallenop. Hierbij ontstond een nieuwe theorie van priemgetallen, waarin 3 een priemgetal blijftmaar 5 = (1 + 2i)(1− 2i) niet langer priem is. Het getal 1 + 2i is een complex priemgetal.Met behulp van deze nieuwe getallentheorie kon Gauss vele duistere punten van de reelerekenkunde ophelderen. Gauss nam de geheimzinnigheid rond complexe getallen weg doorte laten zien hoe complexe getallen door punten in het ‘vlak van Gauss’ kunnen wordenvoorgesteld.

Het is wel merkwaardig dat de complexe getallen het eerst zijn ingevoerd in de studievan de derdegraadsvergelijkingen, op die plaats waar reele oplossingen bestaan, doch invermomde gedaante optreden, en niet in de studie van kwadratische vergelijkingen, waarwe ze tegenwoordig gewoonlijk het eerst tegenkomen.

Het veld van de complexe getallen is gesloten, d.w.z. dat iedere algebraısche vergelijkingmet complexe coefficienten al zijn oplossingen heeft binnen het veld van de complexegetallen.

De Engelse wiskundige HAMILTON (1805-1865) gaf aan koppels reele getallen de rol vancoordinaten van vectoren. Zo gaan de bewerkingen met koppels over in operaties metvectoren. Het meetkundig optellen, aftrekken, roteren, verlengen, verkorten enz. van vec-toren kan dan worden vervangen door algebraısche bewerkingen met complexe getallen.Nu kan de vraag gesteld worden of het niet mogelijk is drietallen, viertallen te construerendie op analoge wijze aanleiding geven tot een ‘algebra’ van ruimtelijke vectoren (die dusniet in een vlak liggen)?De optelling van drietallen levert wat dat betreft geen problemen op. De optelling vandrietallen correspondeert inderdaad met het optellen van vectoren in de driedimensioneleruimte. Maar het gelukte Hamilton niet zodanige regels voor de vermenigvuldiging opte stellen dat hierdoor, net als bij de complexe getallen, een rotatie en een strekking vande vectoren werd weergegeven. Uiteindelijk besefte hij dat dit niet kon, aangezien voorde karakterisering van een dergelijke operatie geen drie maar vier getallen nodig zijn: deas van rotatie vergt twee getallen, de rotatiehoek en de strekking van de vector nog eenstwee.In 1843 introduceerde Hamilton dan ook de idee van het ‘quaternion’ a + bi + cj + dk,opgevat als combinatie van een scalair met een driedimensionale vector (deze termen zijnvan hem). De aanschouwelijkheid van dit hybride object leverde weliswaar moeilijkhedenop, maar het alternatief - een vierdimensionale vector - was geheel uitgesloten in zijn


opvatting van meetkunde als wetenschap van zuivere ruimte-aanschouwing!Hoe komen we aan rekenregels voor de vermenigvuldiging van quaternionen? Naar ana-logie met complexe getallen, lijkt het zinvol te eisen dat de vermenigvuldiging van tweecomplex geconjugeerde (complex toegevoegde bij complexe getallen) een reeel getal ople-vert, aldus:

(a+ bi+ cj + dk)(a− bi− cj − dk) = a2 + b2 + c2 + d2

De inval waardoor Hamilton de grote doorbraak bewerkstelligde, was nu dat hij inzagdat bij de berekening van bovenstaand product de verschillende volgorden waarin deimaginaire getallen verschijnen uit elkaar moeten worden gehouden, aldus:

bc(ij + ji) + bd(ik + ki) + cd(jk + kj) = 0

hetgeen een identiteit is wanneer

ij = −ji ∧ ki = −ik ∧ jk = −kj

Eenmaal zover konden de regels voor de vermenigvuldiging van quaternionen wordengevonden:

ij = −ji = k ∧ ki = −ik = j ∧ jk = −kj = i ∧ i2 = j2 = k2 = −1

Hiermee had Hamilton de “Principle of Permanence” ver achter zich gelaten: de algebravan quaternionen blijkt niet-kommutatief te zijn.Men ziet gemakkelijk in dat operaties zoals optellen, verlengen en roteren van vectorenin de ruimte kunnen worden voorgesteld als vermenigvuldigingen met een quaternion.Immers de vergelijking:

(a+ bi+ cj + dk)(xi+ yj + zk) = x′i+ y′j + z′k

levert, na berekening van het linkerlid en gelijkstelling van overeenkomstige termen, eenstelsel van vier vergelijkingen in vier onbekenden a, b, c en d op, dat juist een oplossingheeft.Het product van twee quaternionen is weer een quaternion, waarvan het scalaire deelovereenstemt met wat wij het scalair product noemen en het vectordeel met wat hetvectorieel product (wij hebben dat nog niet gedefinieerd) wordt genoemd (maar met eenmin-teken ervoor).

Inhoudsopgave

1 Goniometrie 3

1.1 Herhaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Georienteerde hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 De goniometrische cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Het meten van georienteerde hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3.1 De zestigdelige graden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3.2 De radialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3.3 Omzetting van zestigdelige graden naar radialen en omgekeerd . . . . . . 6

1.1.4 De n verschillende n-de delen van een georienteerde hoek . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 De goniometrische getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 De cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 De sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 De tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4 De cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5 De secans en de cosecans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 De somen verschilformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 De verschilformules voor sinus en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 De verschilformule voor de tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 De somformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 De eerste formules van Simpson (1710-1761) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 De tweede formules van Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 De verdubbelingsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7 De formules voor 3θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

71

72 INHOUDSOPGAVE

2 Complexe getallen 27

2.1 Het veld van de reele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Het veld van de complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Homothetie en reeel getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Rotatie over 90o en imaginair getal ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3 Directe gelijkvormigheid en complex getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.4 Toegevoegd complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.4.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.5 Poolcoordinaat van een punt in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.6 De som van complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.6.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.6.2 Eigenschappen van de som van complexe getallen . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.7 Verschil van twee complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.8 Afstand tussen twee complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.9 Het product van complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.9.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.9.2 Argument en modulus van het product van twee complexe getallen . . . . 44

2.2.9.3 Eigenschappen van het product van complexe getallen . . . . . . . . . . . 46

2.2.10 Het quotient van twee complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.11 Praktisch rekenwerk in het veld van de complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Stellingen i.v.m. complexe toevoeging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4 Machten van een complex getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.1 De formule van de Moivre voor gehele exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.2 Binomiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5 Hoofdstelling van de complexe algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.1 Oplosbaarheid van een vierkantsvergelijking in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.2 Ontbinding van een veelterm in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.6 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Goniometrie Complexe Getallen - WordPress.com2010/12/05 · 1.2 De goniometrische getallen 1.2.1 De...

Documents

Transcript of Goniometrie Complexe Getallen - WordPress.com2010/12/05 · 1.2 De goniometrische getallen 1.2.1 De...