Hele getallen

Hele getallen

Hele getallen R

Rekenen-wiskund

e

R

Hele getallenRekenen-wiskund

e

Hele getallen

Petra van den Brom-Snijders

Jos van den BerghOrtwin Hutten Marc van Zanten

Reken-wiskundedidactiek

De driedelige serie Reken-wiskundedidactiek vormt een belangrijke bron voor aanstaande leraren basisonderwijs voor het vak Rekenen-wiskunde. De boeken zijn opgezet vanuit de domeinen van de Kennis-basis: hoe komen ze voor in de realiteit, om welke wiskunde(taal) gaat het en hoe kun je eraan werken in de basisschool. In elk deel is aandacht voor de globale theorie van het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde.

Deze herziene serie Reken-wiskundedidactiek speelt in op de hogere eisen die de Kennisbasistoets stelt aan de professionele gecijferdheid van studenten en houdt tegelijk voldoende rekening met al het overige dat in de Kennisbasis zit: didactiek, leerlijnen en differentiatie.

Hele getallen gaat over ons getalsysteem, eigenschappen van bewerkingen en de wiskundetaal bij hele getallen. De didactiek die beschreven wordt gaat uit van een lange leerlijn die al bij de kleuters begint. Aan bod komen het verwerven van elementair getalbegrip, het leren van de basisbewerkingen, hoofdrekenen, schattend rekenen, kolomsgewijs en cijferend rekenen. Aan het ver-antwoord gebruik van de zakrekenmachine en aan verbanden in relatie tot hele getallen wordt apart aandacht besteed.

Naast de boeken is er een ondersteunende website www.paborekenen.nl met o.a. docenten handreikingen. De serie is ook beschikbaar via de Schooltas-app.

9 789006 955361

website www.paborekenen.nl met o.a. docenten handreikingen. De serie is ook beschikbaar via de Schooltas-app.

Hele getallen1Speelgoed kopen

Elke (8 jaar) en Wouter (5 jaar) hebben spulletjes verkocht voor de ingang van de supermarkt. Na een dag hard werken hebben ze samen € 9,- verdiend. Van dit geld willen ze in de speelgoedwinkel iets kopen. Elke en Wouter kunnen dus ieder voor € 4,50 speelgoed uitzoeken.Oma gaat mee. Maar ze heeft geen zin om voor een heleboel artikelen tegen Wouter te moeten zeggen: ‘Dat is te duur, dat kun jij niet betalen.’ Daarom laat oma hem zien hoe het getal 4 eruitziet op de prijsstickers. Ze zegt: ‘Als alleen dit getal voor de komma staat, mag je me roepen, want dan kun jij het misschien betalen.’Hierop gaat Wouter heel gericht de winkel door, op zoek naar het getal 4. Hij roept zijn oma als hij zeker wil weten of hij een artikel kan betalen.

1.1 Getallen zie je overalProbeer je eens een wereld zonder getallen voor te stellen: we zouden dan niet meer met onze smartphones, tablets en pinautomaten kunnen werken. Ook weten we dan niet hoe laat het is, welke bus we moeten nemen om thuis te komen en hoeveel we moeten afrekenen in de supermarkt. Getallen zijn zo onmisbaar dat het leven zonder getallen onmiddellijk tot stilstand zou

1 Hele getallen

9

15460_Pabo Hele Getallen_01.indd 9 26-02-14 10:00

komen. Zelfs de geluiden uit onze oordopjes en de beelden op beeldscher-men bestaan in onze gedigitaliseerde samenleving in feite allemaal uit getallen. De meeste van die getallen zijn volstrekt onzichtbaar voor de gebruiker (en dat is maar goed ook). Maar het geeft wel aan dat iedere wereldburger basale kennis moet hebben van getallen om onze wereld te kunnen begrijpen.

Krant zonder getallen. Bron: Spelen en goochelen met cijfers (Ball, 2005).

Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organise-ren. Getallen komen in het dagelijks leven in veel verschillende situaties en betekenissen voor.

Getallen in het dagelijks leven.

betekenis van getallen

10


De betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of functie van het getal. Getallen gebruik je bijvoorbeeld om te nummeren, te tellen en om aantallen aan te geven. Zo geeft een telgetal of ordinaal getal de rangorde aan in de telrij (bijvoorbeeld 1, 2, 3, 4, 5), maar ook een nummer: de eerste, de tweede, nummer 3, enzovoort. Een hoeveelheidsgetal of kardinaal getal geeft een bepaalde hoeveelheid aan. Bij een naamgetal heeft het getal vooral een naam: bijvoorbeeld buslijn 4. Dat had net zo goed buslijn 13 kunnen zijn, of buslijn A. Een meetgetal geeft een maat aan: Luuk is vier jaar, van de voordeur tot het tuinhek is vier meter, het is buiten vier graden, doe je sjaal maar om! Een formeel getal is een kaal rekengetal zoals je dat bijvoorbeeld in een rekenopgave tegenkomt: 36 × 125 = 4 500.

1.1.1 GetallenMet de getallen waarmee we tellen (in de wiskunde worden dat de natuurlij-ke getallen genoemd) kun je ook rekenen, bijvoorbeeld optellen en aftrekken. De uitkomsten zijn dan opnieuw natuurlijke getallen, behalve in gevallen als 15 − 47. Kinderen zeggen tegen de juf dat dit niet kan. Dat klopt, tenzij je nieuwe getallen introduceert – negatieve getallen – zodat het weer wel kan. Zo is in de wiskunde dit probleem opgelost.Die notie – in dit voorbeeld het feit dat we 32 tekortkomen – kunnen kinderen heel goed begrijpen, omdat we bijvoorbeeld ook bij temperatuur met getallen onder nul werken en rood staan bij de bank betekent dat je saldo negatief is. De gehele getallen bestaan uit alle natuurlijke getallen en de negatieve gehele getallen (dus het tegenovergestelde van de natuurlijke getallen). Leren rekenen met deze negatieve getallen vindt vooral in de onderbouw van het voortgezet onderwijs plaats. De getallenlijn die naar links uitgebreid wordt met zijn spiegelbeeld helpt daarbij.

Getallenlijn van −6 tot en met 6.

Getallen in de wereld om je heenDOEL: JEZELF BEWUST WORDEN VAN GETALLEN IN DE WERELD OM JE HEENDe wereld om je heen is vol getallen; het rekenen ligt op straat! Vaak zijn we er ons niet eens van bewust.

verschijningsvormfunctie van

getallentelgetal

ordinaal getaltelrij

hoeveelheidsgetalkardinaal getal

naamgetalmeetgetal

formeel getal

natuurlijk getal

geheel getal

11

1 Hele getallen


Bedenk een aantal voorbeelden van getallen in de wereld om je heen en noteer deze. Ga vervolgens op onderzoek uit. Leg een bepaalde route af, bijvoorbeeld van huis naar je sportclub, stageschool of werk. Noteer de getallen die je op deze route tegenkomt.Maak een analyse van het soort getallen dat je bent tegengekomen. Hierbij kun je onderscheid maken tussen gehele en gebroken getallen. Je kunt ook kiezen voor het maken van onderscheid op basis van de verschijningsvorm van de getallen. Denk aan hoeveelheidsgetal, meetgetal, naamgetal, telgetal of een kaal rekengetal.Wat kun je concluderen naar aanleiding van je onderzoek naar getallen in jouw leefwereld? Welke getallen leven er vooral ‘op straat’ op jouw route?

Extreem zomerweer

Juli warmste maand in driehonderd jaar

Het warme zomerweer van juli heeft vele records gebroken. De aanhoudende hitte is onge-twijfeld aan niemand voorbijgegaan. Overdag en ‘s nachts werd naar verkoeling gezocht. Uitgerekend deze maandag, de laatste dag van de maand, kwam een einde aan de langste hittegolf in dertig jaar. Juli kende twee hittegolven. Alleen tussen vrijdag 7 en vrijdag 14 juli was het iets minder warm.Deze maand begon met een hittegolf in de eerste week. Zaterdag 15 juli was de eerste zo-merse dag van de tweede hittegolf, die maandag na zestien dagen is omgeslagen in normaal Hollands zomerweer. De langste hittegolf die tot nu toe in de boeken werd bijgeschreven, werd gemeten in 1975. Nederland kende toen een periode van achttien dagen. Een hittegolf is een periode van minstens vijf aansluitende dagen met in De Bilt zomerse temperaturenvan 25 graden Celsius of warmer, waarvan zeker drie dagen tropisch zijn, dertig graden Celsius of meer. De laatste Nederlandse zomer met twee hittegolven dateert uit 1948.De temperatuur was deze maand vijf graden hoger dan normaal. In De Bilt werd een ge-middelde temperatuur van 22,3 graden gemeten, tegen normaal 17,4 graden. Door het

12


Bron: de Volkskrant, 1 augustus 2006.

a Wat is een hittegolf?b Als er veel hittegolven zijn in een zomer, is het dan ook (gemiddeld) warmer dan anders?c Is 310 uren zon veel? Hoeveel is dat gemiddeld per dag?d Als het de hele maand juli onbewolkt zou zijn, hoeveel zonuren zijn er dan ongeveer?

BurgerservicenummerHet BSN (BurgerServiceNummer) is een mooi voorbeeld van een systeem dat is bedacht om bij codes die machinaal verwerkt moeten worden, de kans op het maken van fouten te verkleinen door te werken met een controlegetal. Ook op bijvoorbeeld bankbiljetten, paspoorten, ISBN-nummers en streepjes-codes tref je controlegetallen aan.Om aan het controlegetal te komen, ondergaan de cijfers van de code een ingewikkelde bewerking die als uitkomst het controlegetal oplevert. Dat controlecijfer is meestal het laatste cijfer van de code. Hoe dit bij het BSN precies gaat, lees je in het kader.

a Ga na of het getal 079414199 een BSN kan zijn.b Als het getal 99?21248 een BSN is, welk cijfer staat dan op de plaats van het vraagteken?

verbreken van het record van 21,4 graden uit 1994, is juli 2006 de warmste maand sinds het begin van de metingen, dit jaar precies driehonderd jaar geleden.Behalve de warmte zijn ook andere records gebroken. Het aantal zonuren is bijzonder, evenals het aantal zomerse en tropische dagen. Juli 2006 was met gemiddeld 310 uren zon zeer zonnig. Normaal is dat over het hele land 201 uur. Met elf dagen tropische warmte en 26 zomerse dagen worden de records van acht tropische dagen in 1941 en 1994 en 22 zo-merse dagen in 1994 verbroken. De hoogste temperatuur die werd gemeten was in Westdor-pe, Zeeuws-Vlaanderen. Daar werd het op woensdag 19 juli 37,1 graden. Nog net iets min-der warm dan het landelijke warmterecord van 38,6 graden dat in augustus 1944 in Warnsveld in Gelderland werd gemeten.

BurgerServiceNummer

Als het nummer acht cijfers telt, plaats je er eerst een 0 voor zodat je negen cijfers krijgt. Vermenigvuldig nu het eerste cijfer met 9, het tweede cijfer met 8, het derde met 7, en zo verder tot en met het achtste cijfer met 2. Tel vervolgens alle acht uitkomsten bij elkaar op. Deel de uitkomst door 11. De rest die deze deling oplevert, moet het laatste cijfer zijn. Dan is het getal een geldig BSN, anders niet.

13

1 Hele getallen


1.2 Ons getalsysteemGetallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven, bijvoor-beeld in Arabische of in Romeinse cijfers. Het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven, heet talstelsel. Ons getalsysteem is omstreeks 1202 door Leonardo van Pisa (beter bekend als Fibonacci) in West-Europa geïntro-duceerd. Het duurde overigens nog tot de veertiende eeuw voordat het decimale stelsel met de Hindoe-Arabische cijfers door iedereen werd gebruikt. Om vlot te kunnen rekenen met getallen en adequaat reken-wiskun-deonderwijs te kunnen verzorgen, is het handig dat je je bewust bent van de fantastische eigenschappen van ons decimale stelsel.

1.2.1 Eigenschappen van het getalsysteemHet Arabische getalsysteem kent een decimale structuur. Decimaal betekent tientallig. Het bestaat uit de cijfers (of cijfersymbolen) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Hiermee kunnen alle getallen geschreven worden door gebruik te maken van de plaats van een cijfer in een getal. Een getal bestaat uit een rijtje cijfer-symbolen; zo bestaat het getal 398 uit de cijfers 3, 9 en 8. De plaats of positie van een cijfer in dit rijtje bepaalt de waarde van het cijfer ( plaatswaarde of positiewaarde). De 3 in 398 is 300 waard, terwijl de 3 in 938 maar 30 waard is.Deze manier van hoeveelheden noteren ( positionele notatie) is kenmerkend voor een positioneel getalsysteem. Er zijn diverse getalsystemen met andere symbolen die (deels) positioneel zijn. Zo gebruikten de Maya’s symbolen voor de getallen 0 t/m 19, die in een positiestelsel gebruikt werden.

Cijfersymbolen van de Maya’s.

In ons getalsysteem neemt het cijfer 0 een belangrijke plaats in. In het getal 7 025 is de 7 7 000 waard. De 0 zorgt voor de correcte positie van het cijfer 7. Zonder de 0 zou er 725 staan. Dus heel precies kun je van 7 025 zeggen dat dit getal bestaat uit zeven duizendtallen, nul honderdtallen, twee tientallen

talstelsel

Arabische getalsysteem

decimaalcijfer

cijfersymboolgetal

plaatswaardepositiewaarde

positionele notatiepositioneel

getalsysteem

Het getal 76.

14


en vijf eenheden. Ofwel: 7 025 = 7 × 1 000 + 0 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1= 7 × 103 + 0 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100.Bij kommagetallen werkt dit als volgt. Het getal 0,25 bestaat uit nul eenhe-den, twee tienden en vijf honderdsten. Ofwel: 0,25 = 0 × 1 + 2 × 1/10 + 5 × 1/100 = 0 × 100 + 2 × 10−1 + 5 × 10−2.

Bundelingsprincipea Dit gedachte-experiment gaat over een denkbeeldige potlodenfabriek. In de potlodenfabriek worden de potloden aan het eind van het productieproces netjes verpakt. Dit gaat als volgt: elke tien potloden gaan naast elkaar in een plat doosje, tien van die doosjes worden gebundeld tot een pakketje, tien van die pakketjes gaan in een kleine doos. Tien kleine dozen gaan in een grote doos, tien grote dozen gaan op een pallet, en zo verder ... Iemand laat 5 032 potloden inpakken.Hoeveel doosjes, pakketjes, kleine dozen, grote dozen en pallets heb je hiervoor nodig?

b Probeer 250 vierkante kaartjes te bundelen in zo weinig mogelijk groepjes van hoogstens vier kaartjes. Bedenk ook een handige notatie. Omdat dit een lastig probleem is, geven we een belangrijke aanwijzing: als je een aantal groepjes van vier hebt gemaakt, vormen vier van die groepjes samen ook weer één groep van (groepjes van) vier!c Bundel de 250 kaartjes opnieuw, nu in bundels van drie.

1.2.2 Andere getalsystemenEr zijn nog andere getalsystemen bekend, zoals het Egyptische getalsysteem.

Het Egyptische getalsysteem.

kommagetal

Egyptische getalsysteem

15

1 Hele getallen


In het dagelijks leven zie je ook nog sporen terug van het Romeinse getal-systeem.

Het Romeinse getalsysteem.

Het Egyptische en het Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van een additief systeem waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door het totaal van de symbolen. Het getal 7 wordt in het Romeinse systeem bijvoorbeeld op de volgende manier weergegeven: VII. De waarde wordt bepaald door de verschillende symbolen bij elkaar te tellen (5 + 1 + 1 = 7). In de tabel zie je de waarde van de Romeinse cijfers.

Romeins cijfer waardeI 1V 5X 10L 50C 100D 500M 1 000

Bij de Romeinen ontbrak een symbool voor 0; in hun systeem was hiervoor geen symbool nodig. Bij het weergeven van een getal in het Romeinse getalsysteem is de volgorde van de cijfers niet willekeurig. De waarden van de losse cijfers worden bij elkaar opgeteld.In het nieuw-Romeinse getalsysteem getalsysteem (in gebruik sinds de middeleeuwen, maar niet echt ingeburgerd geraakt) werd ook gebruikge-maakt van het subtractief principe: als een cijfer met een kleinere waarde voor een cijfer met een hogere waarde staat, zoals bij IX, trekt men de waarde van het eerste cijfer af van de waarde van het tweede cijfer. Het getal 14 werd dus in het oud-Romeinse getalsysteem geschreven als XIIII en in het nieuw-Romeinse getalsysteem als XIV.Een andere afspraak was dat de cijfers V, L en D maar een keer voorkomen in een getal. In het nieuw-Romeins trekt men de waarde van een cijfer af van een cijfer waarvan de waarde vijf of tien keer zo hoog is: dus niet IC maar XCIX. In het nieuw-Romeins kom je wel getallen tegen als MIM en IC.

Bron: Alles telt, groep 8.

Romeinse getalsysteem

additief systeem

subtractief principe

16


Romeins systeemOfschoon de Romeinen niet rekenden met hun getallen, maar deze voorna-melijk gebruikten om hoeveelheden voor te stellen, geven we hier een vermenigvuldigingsopgave om zelf te ervaren hoe lastig het is om te rekenen met dit systeem. Laat zien dat XII × CLVI = MDCCCLXXII.

1.2.3 Andere talstelselsNaast ons decimale (tientallig) talstelsel komen in ons dagelijks leven ook andere talstelsels voor. Zo draait de computerwereld op het binaire [# binaire gestalsysteem] (tweetallig) en hexadecimale (zestientallig) talstelsel. Ook het sexagesimale (zestigtallig) of Babylonische getalsysteem is nog terug te vinden in onze tijd- en hoekmeting.Al deze talsystemen onderscheiden zich van het decimale talstelsel doordat ze een andere basis kennen. Zo kent het binaire talstelsel een tweetallige bundeling: alle getallen worden geschreven met slechts twee cijfers, namelijk 0 en 1. In het hexadecimale talstelsel gaat het om basis zestien en in het sexagesimale talselsel om basis zestig.

Geschiedenis van tijdsindelingTijdens de Franse Revolutie (eind achttiende eeuw) werd het metrieke stelsel ingevoerd. Kenmerkend voor het metrieke systeem is dat elke eenheid in stappen van tien groter of kleiner wordt. Tijdens de invoering van dit stelsel werd een dag verdeeld in tien uur, een uur in honderd minuten en een minuut in honderd seconden, waarmee het een tijdsindeling in het zestigtal-lig stelsel moest vervangen. Deze verandering was echter wereldwijd niet populair en is niet lang in gebruik geweest.

Abacus

Om te rekenen gebruikten de Romeinen een ingenieus rekenapparaatje, de abacus. Dit apparaatje heeft navolging gevonden bij diverse andere volken. In sommige Aziatische landen wordt er nog mee gerekend.

Romeinse (links) en Japanse abacus.

binaire gestalsysteemhexadecimale getalsysteemsexagesimale getalsysteemBabylonische getalsysteem

metrieke stelsel

17

1 Hele getallen


Bundelingsprincipea Laat zien dat 250 in het viertallig stelsel 3322 is.b Laat zien dat 250 in het drietallig stelsel 100021 is.

Omrekenena Hoeveel (tientallig) is het cijfer 5 in het zestallige getal 531 waard?b Schrijf de decimale getallen 53 en 106 binair.c Schrijf de decimale getallen 53 en 106 octaal.d Schrijf de binaire getallen 100111 en 1001110 decimaal.e Schrijf de binaire getallen 100111 en 1001110 octaal.f Schrijf de octale getallen 567 en 5670 decimaal.g Schrijf de octale getallen 67 en 107 hexadecimaal.h Schrijf het zestallige getal 1000 tientallig.i Schrijf het tientallige getal 1 000 zestallig. Of: wat is het duizendste zestallige getal?j Schrijf het zestallige getal 1000 octaal.k Hoeveel is 36 (tientallig) in het zestallige stelsel? l Hoeveel is 36 (tientallig) in het tweetallige stelsel?m Hoeveel is 36 (tientallig) in het achttallige stelsel?n Welk getal is het zestigtallige getal 123 in ons tientallige stelsel?o Welk getal is het zestigtallige getal 23 in ons tientallige stelsel?p Welk getal is het zestientallige getal 123 in ons tientallige stelsel?q Welk getal is het zestientallige getal 23 in ons tientallige stelsel?

Rekenen in andere stelselsa Bereken 5 × 5 in het achttallige stelsel.b De cijfers in het hexadecimale stelsel zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E en F. Bereken A + B. c Bereken binair: 1 010 + 1 101 1 010 × 1 101 111 111 + 1

Doordenkersa Zijn priemgetallen geschreven in andere talstelsels ook priem?b Wat betekent in een willekeurig getalstelsel ‘achter een getal een 0 toevoegen’?c In welk getalstelsel geldt: 1/10 = 0,1?d In welk getalstelsel geldt 1/6 = 0,1252525…?e In welk getalstelsel geldt 1/5 = 0,33333…?

18


1.3 Eigenschappen van getallenHele getallen hebben verschillende, bijzondere eigenschappen, die we hierna toelichten.

1.3.1 DeelbaarheidSplitsen en ontbinden zijn belangrijke vaardigheden bij het rekenen met hele getallen. Bij ontbinden kun je handig gebruikmaken van de deelbaarheid van getallen. Als je bijvoorbeeld weet dat 171 deelbaar is door 9, is de ontbin-ding 9 × 19 snel gevonden.Een getal is deelbaar door een ander getal als de rest bij de deling gelijk is aan 0. Het gemakkelijkst op te sporen zijn de getallen die deelbaar zijn door 10: deze eindigen immers allemaal op een 0. Denk maar aan de tafel van 10. Ook deelbaarheid door 5 is eenvoudig: een getal is deelbaar door 5 als het getal eindigt op een 5 of een 0.

Deelbaar door 100a Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door 100?30 100 – 5 200 – 2 501 – 1 025 – 1 250 – 7 325 – 73 250 – 732 500 – 73 275b En welke door 25?c En welke door 125?

Deelbaar door 2 en door 4De getallen die deelbaar zijn door 2 – ook wel de even getallen genoemd – zijn evenals de getallen die deelbaar zijn door 10 en door 5, eenvoudig op te sporen. Als je kijkt naar de tafel van 2 zie je dat de eindcijfers 0, 2, 4, 6 en 8 zich steeds herhalen. Je kunt dat ook anders bekijken. Omdat 10, 100, 1 000, enzovoort deelbaar zijn door 2, is elk getal dat eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8 dat ook. Bijvoorbeeld: als je 356 opvat als 350 + 6, zie je dat het eerste stuk (350) te delen is door 2 omdat 350 een tienvoud is. Het laatste stuk (6) is ook te delen door 2, omdat het een van de getallen 2, 4, 6 of 8 is.Eenzelfde redenering kun je volgen voor de deelbaarheid door 4. Omdat 100 deelbaar is door 4 (100 = 4 × 25), zijn 1 000, 10 000, enzovoort dat ook. Om te weten of het getal 356 deelbaar is door 4, hoef je dus alleen maar te weten of 56 deelbaar is door 4, want van 300 weten we het al (300 = 4 × 25 × 3). En dat is zo, want 56 = 4 × 14. Met andere woorden: voor de deelbaar-heid door 4 let je op de laatste twee cijfers van het getal. Of – beter gezegd – op het getal dat gevormd wordt door de laatste twee cijfers. Is dat getal deelbaar door 4, dan is het oorspronkelijke getal ook deelbaar door 4, anders niet.Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door 4?97 333 792 – 444 888 486 – 123 456

19

1 Hele getallen


Deelbaarheid door 8Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door 8?634 904 – 125 – 1 024 – 2 048 – 123 568 – 456 168

Deelbaarheid door 3a Welke getallen uit het volgende rijtje zijn deelbaar door 3?1 – 11 – 111 – 1 111 – 11 111 – 111 111

b Stel je een getallenstrook voor met drie kleuren: rood, wit en blauw. Welke kleur heeft 3 256?

c En welke kleur heeft 5 127?d Stel je voor dat je sprongen maakt van 10, te beginnen bij 10. Welke kleuren kom je tegen?e Stel je voor dat je sprongen maakt van 100, te beginnen bij 100. Welke kleuren kom je tegen?f Vul de volgende kleurenopteltabel verder in.

+ R W B

R W

W

B

Deelbaar door 6Maak een honderdveld en kleur alle tweevouden rood. Kleur vervolgens alle drievouden geel.

De vakjes die je zowel geel als rood kleurde zijn oranje geworden, en dat zijn precies alle zesvouden. Het deelbaarheidskenmerk voor deling door 6 luidt dus als volgt: het getal moet even zijn en de som van de cijfers moet deelbaar zijn door 3. Van 356 zie je meteen dat het even is, maar het is geen drievoud, want 3 + 5 + 6 = 14.

20


Deelbaar door 9De deelbaarheid door 9 ziet er precies hetzelfde uit als de deelbaarheid door 3. Tel alle cijfers van het getal op. Is de uitkomst deelbaar door 9, dan is het oorspronkelijke getal ook deelbaar door 9, anders niet.Marieke heeft ontdekt dat 12 het kleinste getal is dat je kunt delen door 1, 2, 3 en 4. Je kunt 12 natuurlijk ook nog delen door 6 en door 12, maar die passen niet meer in het rijtje.a Welk getal tussen 1 600 en 1 700 kun je delen door 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 én 8? b Is dat ook het kleinste getal met die eigenschap?c Welk getal is het kleinste getal dat je kunt delen door 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 én door 10?

1.3.2 PriemgetallenEen priemgetal is een getal dat alleen zichzelf en het getal 1 als deler heeft. Zo’n getal wordt ook wel een strookgetal genoemd. Als je het zou leggen of tekenen in een rechthoek, kan dat alleen maar als een strook waarvan één zijde gelijk is aan 1, zoals het getal 7 hieronder.

Getallen kun je ontbinden in factoren. Ontbinden is het zoeken naar getallen die met elkaar vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal opleveren. Je rekent dan uit door welke priemgetallen je het getal kunt delen. Zo kun je het getal 85 ontbinden in de priemfactoren 5 en 17. Zowel 5 als 17 hebben geen andere delers dan zichzelf en 1.

GGD en KGV GGD staat voor grootste gemene deler. Het gaat om de grootste getal dat deler is van twee of meer gehele getallen. Zo is de grootste gemene deler van 36 en 54 gelijk aan 18. Het getal 36 kun je immers delen door 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 en 36, en het getal 54 kun je delen door 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 en 54. Bij het zoeken naar de grootste gemene deler kun je gebruikmaken van ontbinden in priemfactoren.

priemgetal

ontbinden in factoren

GGDgrootste gemene

deler

ontbinden in priemfactoren

21

1 Hele getallen


KGV staat voor kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat veelvoud is van twee of meer getallen. Bijvoorbeeld: het kleinste gemene veelvoud van 6 en 15 is 30. 30 kun je immers delen door 6 en door 15, en er is geen kleiner getal met die eigenschap.

Voorbeeld GGD

Bepaal GGD (24,92).24 = 2 × 2 × 2 × 392 = 2 × 2 × 23Gelijke priemfactoren zijn 2 × 2. De rest kun je schrappen (er is geen overeenkomst tussen deze getallen). De grootste gemeenschappelijke deler vind je dan door de overeenkomstige priemfactoren met elkaar te vermenig-vuldigen, in dit geval dus 2 × 2.Dus GGD (24,92) = 4.

KGVkleinste gemene

veelvoud

Voorbeeld: tegels in een vierkant

Je hebt tegels van 14 bij 26 cm. Hoeveel tegels heb je minimaal nodig om er een vierkant mee te leggen?26 = 2 × 13 en 14 = 2 × 7.Nu is 7 × (2 × 13) = 13 × (2 × 7).Je legt 7 tegels in de lengte tegen elkaar, dat is 7 × 26 = 182 cm. En je maakt 13 van die rijen in de breedte: 13 × 14 = 140 + 42 = 182 cm.En dat is ook het kleinste vierkant dat je zo kunt beleggen.Het getal 182 = 7 × (2 × 13) is het KGV van 14 en 26.

Voorbeeld: vereenvoudig de breuk 2 940 / 3 150 zo ver mogelijk

Om uit te vinden welke gemeenschappelijke factoren teller en noemer bezitten, gaan we eerst op zoek naar die factoren.2 940 = 2 × 1 470 = 22 × 735 = 22 × 3 × 245 = 22 × 3 × 5 × 49 = 22 × 3 × 5 × 72.3 150 = 2 × 1 575 = 2 × 3 × 525 = 2 × 32 × 175 = 2 × 32 × 5 × 35 = 2 × 32 × 52 × 7.GGD (2 940,3 150) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210, dus 2 940 / 3 150 = 210 × 14 / 210 × 15 = 14/15.Even controleren op je rekenmachine. Klaar!

22


1.3.3 Volmaakte getallenEen volmaakt getal is een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf. Zo is het getal 6 een volmaakt getal. Als je de delers optelt (1, 2 en 3), kom je op het getal 6 uit. De enige twee volmaakte getallen onder de 100 zijn 6 en 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14). Het volgende volmaakte getal is 496. Dit is eenvoudig te controleren.

1.3.4 Figurale getallenFigurale getallen zijn getallen die je in een stippenpatroon kunt leggen, zoals een driehoek, vierkant, piramide of kubus. Zo heb je driehoeksgetallen, rechthoeksgetallen (de hoeveelheid kan in een rechthoekig patroon worden uiteengelegd) en vierkantsgetallen (ook wel kwadraten genoemd: de stippen vormen een vierkant). Een vierkantsgetal is een bijzonder rechthoeksgetal: namelijk als beide zijden van de rechthoek gelijk zijn. Ook kun je aan een driedimensionaal bouwsel denken, zoals een kubus ( kubusgetallen) of een piramide ( piramidegetallen).

Driehoeksgetallen. Bron: RekenWijzer, p. 19 (Van den Bergh et al., 2012).

VolmaaktLaat zien dat 496 een volmaakt getal is.

StippenpatronenWe bekijken twee soorten fi gurale getallen: V-getallen en W-getallen.

V-getallen.

W-getallen.

a Wat is het tiende V-getal?b Laat zien dat het honderdste V-getal 101 + 100 is.c 37 vogels vliegen in V-formatie. Welk V-getal vormen zij?d Het eerste en het derde V-getal zijn samen het vierde driehoeksgetal. Laat dit zien.e Wat is het tiende W-getal?f Een W-getal is één minder dan een dubbel V-getal. Laat dit zien.

volmaakt getal

fi guraal getaldriehoeksgetal

rechthoeksgetalvierkantsgetal

kwadraat

kubusgetalpiramidegetal

23

1 Hele getallen


Vierkanten in vierkanten

a In de figuur zie ik 64 vierkanten en nog 1 groot vierkant, samen 65 vierkanten. Maar nu zie ik er eigenlijk nog veel meer. Jij ook? Hoeveel precies?b Je kunt het ook eerst in het klein doen. Hoeveel vierkanten zie je in de volgende figuur?

c Hoe zit dit als je het aantal vierkanten wilt tellen in een rechthoek, zoals in de volgende figuur?

24


Stapelen in de supermarkt In de supermarkt kom je wel eens mooie stapelingen van blikken tegen, zoals in de volgende figuur.

a Stel je voor dat op de onderste rij 20 blikken staan. Hoeveel blikken telt de stapel dan in totaal?b Hoeveel sinaasappels zijn nodig om deze fraaie sinaasappelpiramide te bouwen?

Wie inziet dat elke laag van deze stapel sinaasappels evenveel sinaasappels telt als er blikken waren bij vraag b, kan hiermee zijn voordeel doen.c Hoeveel blokjes zijn nodig om deze piramide te bouwen?

Deelbaarheida Als je drie opeenvolgende positieve gehele getallen met elkaar vermenig-vuldigt, is de uitkomst altijd deelbaar door 6. Laat dit zien.b Als je vijf opeenvolgende positieve gehele getallen met elkaar vermenig-vuldigt, is de uitkomst altijd deelbaar door 120. Laat dit zien.

25

1 Hele getallen


Toepassen GGD en KGVa Hans en Renée maken samen een wandeling. Ze lopen gelijk op. Hans loopt met stappen van 75 cm en Renée legt 65 cm af met één stap. Ze beginnen tegelijk met hun rechtervoet; ze beginnen dus ‘in de pas’. Na hoeveel stappen van ieder zijn ze weer even ‘in de pas’?b De achtervolging begon op het moment dat de inbreker 27 passen had gedaan. De getrainde agent deed vijf passen, terwijl de inbreker er acht deed. Maar de passen van de agent waren veel groter. Twee van zijn passen waren even lang als vijf passen van de inbreker. Na hoeveel passen van de agent en van de inbreker werd deze laatste in de kraag gevat? (Naar een opgave uit: Dr. Last-Post (z.j.). Het grote puzzelboek van Dr. Last-Post. Amsterdam: G.W. Breughel.)c Een fabrikant van thee heeft drie verschillende kubusvormige blikken van 6, 10 en 15 cm. Voor het transport ontwerpt hij een kubusvormige kist, die geschikt is voor alle blikken. Wat is de kleinste maat van deze kist?d De getallen 207, 318 en 503 geven bij deling door een bepaald geheel getal telkens dezelfde rest. Welk geheel getal is dat?e Bereken de volgende kleinste gemene veelvouden. KGV (20,45) KGV (54,18) KGV (35,81,270) KGV (28,105) KGV (1 925,420)f Bereken de volgende grootste gemene delers. GGD (20,45) GGD (54,18) GGD (35,81,270) GGD (28,105) GGD (1 925,420)

Priemgetallena Neem in gedachten een getal dat deelbaar is door 6, dus een zesvoud. Noem het getal gemakshalve z. Laat zien dat de getallen z, z + 2, z + 3 en z + 4 geen van alle priemgetallen kunnen zijn.b Welke van de volgende getallen zijn priemgetallen? 71 – 91 – 101 – 121 – 221 – 323 – 2 009c Welke getallen tussen 60 en 69 zijn priem?d 37 is priem. Geldt nu ook dat 137, 237, 337, 437, enzovoort priem zijn? Waarom wel of niet?

Extraa Van twee onbekende getallen is bekend dat het KGV 60 en het GGD 12 is. Wat is het product van die twee getallen? Weet je nu ook welke twee getallen dit zijn?

26


b Twee autobussen, A en B, vertrekken gelijktijdig van een busstation. Bus A rijdt heen en weer in 70 minuten, bus B doet 50 minuten over een ronde. Over hoeveel minuten treffen ze elkaar voor het eerst weer bij het busstation?c Een verpakkingsbedrijf moet uit 34 650 potten jam en 36 300 blikjes vis zoveel mogelijk gelijke pakketten samenstellen. Hoeveel pakketten zijn dat en wat is de inhoud van één pakket? Gebruik je rekenmachine indien gewenst.d Een rechthoekig bouwterrein heeft afmetingen 585 m bij 825 m. Het terrein wordt verdeeld in zo groot mogelijke vierkante vakken met afmetin-gen van een geheel aantal meters. Hoeveel vakken telt die verdeling?e Een rechthoekig bouwterrein heeft afmetingen 585 m bij 825 m. Het terrein wordt verdeeld in zo groot mogelijke rechthoekige vakken met afmetingen van een geheel aantal meters. Hoeveel vakken telt die verdeling?f Vereenvoudig de breuk 1 950 / 2 475 zo ver mogelijk.g Vereenvoudig de breuk 27/2560 zo ver mogelijk.h In een parkeergarage is plaats voor 854 personenauto’s. Eén bus neemt de plaats in van zes personenauto’s. Stel dat de parkeerplaats vol staat met bussen.1 Hoeveel bussen staan er?2 Hoeveel personenwagens kunnen er nog bij?

Figurale problemenWaar of niet waar? Laat zien!a Er zijn priemgetallen die ook driehoeksgetal zijn.b Er zijn vierkantsgetallen die ook priemgetal zijn.c Er zijn driehoeksgetallen die ook vierkantsgetal zijn

1.4 Basisbewerkingen

1.4.1 BetekenisDe betekenissen van de basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvul-digen en delen kunnen uit allerlei (dagelijkse) situaties worden afgeleid. Optellen kan de betekenis hebben van samen nemen, aanvullen of toevoe-gen. Aftrekken kan de betekenis hebben van eraf halen of wegnemen, verschil bepalen, wegdenken (‘ik steek zeven vingers op, hoeveel niet?’) en aanvullen.

betekenis van basisbewerkingen

optellenaftrekken

27

1 Hele getallen


Bron: Rekenrijk, groep 4.

Vermenigvuldigen kan de betekenis hebben van herhaald optellen, opper-vlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen maken en op schaal vergroten. Zo is de oppervlakte van een tennisveld voor dubbelspel 24 m × 11 m.Ook de bewerking delen heeft verschillende betekenissen. Delen kan de betekenis hebben van herhaald aftrekken, opdelen of uitdelen (groepjes maken) en verdelen (een verdeling aanbrengen). Een voorbeeld van delen in de betekenis van opdelen: in een doosje passen vier dobbelstenen. Hoeveel doosjes kun je maken van zestien dobbelstenen? Hoeveel keer vier past in zestien? Een voorbeeld van delen in de betekenis van (eerlijk) verdelen is de volgende situatie.

Vijf kinderen verdelen 45 knikkers. Hoeveel knikkers krijgt ieder kind?

1.4.2 Eigenschappen Bij het rekenen met getallen kan je gebruikmaken van diverse eigenschappen van bewerkingen. Wie deze eigenschappen op een fl exibele wijze kan inzetten, heeft daar profi jt van. Zo kun je bij optellen en vermenigvuldigen gebruikmaken van de commutatieve of wisseleigenschap, waarbij je de termen (bij optellen) of factoren (bij vermenigvuldigen) mag verwisselen:8 + 5 = 5 + 88 × 5 = 5 × 8De wisseleigenschap geldt duidelijk niet voor aftrekken en delen.

vermenigvuldigen

delen

commutatieve eigenschap

wisseleigenschap

28


Ook kun je bij optellen en vermenigvuldigen gebruikmaken van de associa-tieve eigenschap (schakeleigenschap):16 + (4 + 5) = (16 + 4) + 5(16 × 4) × 5 = 16 × (4 × 5)Bij optellen of vermenigvuldigen van drie of meer getallen kun je kiezen welke getallen je eerst optelt of vermenigvuldigt.

Bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kun je ook gebruikmaken van de distributieve of verdeeleigenschap:3 × 14 = 3 × (10 + 4) = 3 × 10 + 3 × 4 = 30 + 12 = 4231 936 : 8 = (32 000 − 64 ) : 8 = 32 000 : 8 − 64 : 8 = 4 000 – 8 = 3 992Let op: wat niet mag is bijvoorbeeld 60 : (2 + 3) = 60 : 2 + 60 : 3, zoals je gemakkelijk kunt narekenen.

Tot slot kun je de inverse relatie tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen benutten:56 : 8 = 7 want 7 × 8 = 5617 − 9 = 8 want 8 + 9 = 17

Eigenschappen van bewerkingen toepassenReken uit door gebruik te maken van eigenschappen van getallen en eigenschappen van bewerkingen.

a 17 × 37 − 74b (7 × 17,3) + 51,9c 104 × 104d 103 × 103e 97 × 97f 99 × 99g 958 × 1 001h 1 001 × 234i 863 863 : 1 001j 101 101 : 1 001 k (23 × 15) − 45l (8 × 17) + (13 × 8)m (53 × 17) − (17 × 13)n (17 × 25) + (11 × 75)o 7 700 : 175 p 50 : 6 + 50 : 3

associatieve eigenschap

distributieve eigenschap

verdeeleigenschap

inverse relatie

Voorbeeld

8 × 0,123 × 0,25 = 8 × 0,25 × 0,123 = 2 × 0,123 = 0,246799 × 81 = 800 × 81 − 81 = 800 × 80 + 800 − 81 = 64 000 + 719 = 64 719

29

1 Hele getallen


q 24 : 5 + 24 : 20r 35 : 8 + 35 : 56s 46 × 44 − 47 × 43t 46 : 43 − 47 : 44u 46 + 44 × 47 + 43v (46 + 44) × (47 + 43)w (46 − 43) : (47 − 44)

1.5 Wiskundetaal bij hele getallen

1.5.1 Uitspraak hele getallenGetallen kunnen worden aangeduid in cijfersymbolen en met woorden. Daarbij is het van belang om je te realiseren dat in het Nederlands de volgorde van noteren in cijfersymbolen verschilt van de volgorde van uitspreken en schrijven in woorden. Je schrijft 52 (eerst een 5 en dan een 2), maar je zegt tweeënvijftig. Je schrijft 163, maar je spreek het uit als honderd-drieënzestig. Uitzondering hierop is de uitspraak van bijvoorbeeld veel jaartallen. Zo wordt het jaartal 1963 vaak uitgesproken als negentiendrieën-zestig. Maar het jaartal 2015 wordt (meestal) niet uitgesproken als twintigvijf-tien maar als tweeduizend vijftien.Als je getallen in woorden uitspreekt, geldt de systematiek van het decima-le positionele getalsysteem. Die is echter niet consistent: na twintig komt eenentwintig, na duizend komt duizend een. Opvallend is de rij van de tientallen: tien, twintig (geen tweetig), dertig (geen drietig), veertig (niet viertig), vijftig, zestig, zeventig, tachtig (!), negentig, honderd (en niet tientig zoals je jonge kinderen wel eens hoort zeggen). Als je goed nadenkt over de telwoorden uit de telrij en de systematiek van het decimale positionele getalsysteem vallen je vast meer uitzonderingen op. Door-gaans worden grote getallen uitgesproken van links naar rechts in groepjes van drie cijfers. Elk groepje wordt uitgesproken als driecijferig getal, gevolgd door de vermenigvuldigingsfactor die met hun positie overeen-komt: 143 893 125 wordt dan honderddrieënveertigmiljoenachthonderd-drieënnegentigduizend honderdvijfentwintig. Opvallend is ook dat getallen als 1 561 op twee manieren worden uitgesproken: als vijftienhonderdeen-enzestig en als duizend vijfhonderdeenenzestig. Bij veel getallen tussen 1 101 en 9 999 wordt een groepering gebruikt van twee cijfers (de eerste uitspraak in het vorige voorbeeld), of er wordt geen gebruikgemaakt van een groepering (de tweede uitspraak). Getallen zonder honderdtallen worden niet gegroepeerd; zo is het altijd tweeduizend drieëntwintig (2 023) en niet twintighonderddrieëntwintig.

uitspraak

30


getal in cijfersymbolen wetenschappelijke notatie uitspraak

1 000 000 1 × 106 miljoen1 000 000 000 1 × 109 miljard

1 000 000 000 000 1 × 1012 biljoen1 000 000 000 000 000 1 × 1015 biljard

1 000 000 000 000 000 000 1 × 1018 triljoen1 000 000 000 000 000 000 000 1 × 1021 triljard

1 000 000 000 000 000 000 000 000 1 × 1024 quadriljoen1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1 × 1027 quadriljard

De uitspraak van grote getallen.

SpraakverwarringIn Angelsaksische landen gebruikt men het woord ‘billion’ waar wij in het Nederlands ‘miljard zeggen’, en ‘trillion’ waar wij ‘biljoen’ bedoelen. Zoek eens uit voor welke andere woorden in de tabel een vergelijkbaar vertaalpro-bleem kan ontstaan en waar dat vandaan komt.

1.5.2 Relaties tussen getallen en hoeveelhedenOm de relatie tussen getallen en hoeveelheden aan te duiden, kun je de volgende begrippen gebruiken: ‘meer’, ‘minder’, ‘evenveel’, ‘bijna’, ‘ruim’, ‘afgerond’, ‘ongeveer’ en ‘gemiddeld’. Hierbij dient opgemerkt te worden dat de betekenis van die begrippen allemaal verschillend is. Zo kun je zeggen dat er ongeveer 10 000 bezoekers waren op het festival. Dit kunnen dan meer of minder bezoekers geweest zijn dan 10 000. Als je echter zegt dat er bijna 10 000 bezoekers zijn geweest, weet je dat er minder (en niet meer) dan 10 000 bezoekers zijn geweest. En bij ruim 10 000 bezoekers zijn het er zeker meer geweest.

Afgerond, ongeveer en gemiddeld

a In een populair vakantiepark waren in de afgelopen vakantieperiode ongeveer 550 gezinnen aanwezig. Hoeveel kinderen waren er toen ongeveer, schat je?b Een jaar eerder waren er 516 gezinnen en in totaal 803 kinderen. Lag dit laatste aantal boven of onder het Europese gemiddelde?

Gezinsgrootte boven Europees gemiddelde

Vrouwen krijgen tegenwoordig op steeds latere leeftijd hun eerste kind. Dit heeft ook ster-ke invloed op het aantal kinderen per gezin. Het gemiddelde aantal kinderen in een Neder-lands gezin is op dit moment 1,7. Hoewel dit laag lijkt, is dit zelfs nog boven het Europese gemiddelde (1,54 kind per gezin).

31

1 Hele getallen


VoetbaleftalDe gemiddelde leeftijd van een voetbalelftal plus coach is 26 jaar. Als je de coach niet meetelt, daalt de gemiddelde leeftijd naar 24 jaar. Hoe oud is de coach?

1.5.3 De taal van bewerkingenEen bewerking bestaat uit verschillende termen en functies. De termen zijn vaak getallen, maar kunnen ook letters zijn (x, y) en de functies geven aan wat er met die termen gebeurt, zoals + voor optellen en − voor aftrekken. Om de hoofdbewerkingen te beschrijven in woorden of met symbolen heb je verschillende mogelijkheden.

optelling aftrekking vermenigvuldiging deling som van 8 en 4 is8 en 4 is samen8 plus 4 is8 erbij 4 is8 + 4 =

verschil van 8 en 4 is8 min 4 is8 eraf 4 is8 − 4 =

product van 8 en 4 is8 maal 4 is8 keer 4 is8 × 4 =

quotiënt van 8 en 4 is8 gedeeld door 4 is8 : 4 =

8 en 4 heten termen

8 en 4 heten termen8 is het aftrektal4 is de aftrekker

8 en 4 heten factoren8 is de vermenigvul-diger4 is het vermenigvul-digtal

8 en 4 heten factoren8 is het deeltal4 is de deler

Verschillende manieren om de hoofdbewerking te beschrijven.

Ook kun je aangeven welk getal een operator is en welk getal een operand. De operator (het woord is afkomstig uit het Latijn en betekent ‘bewerker’) bewerkt de operand (‘degene die bewerkt moet worden’). Zo is in de uitdrukking 6 × 3 het getal 6 de operator en het getal 3 de operand.Als je een getal herhaaldelijk met zichzelf vermenigvuldigt, kun je dit schrijven als een macht. 2 × 2 × 2 × 2 wordt bijvoorbeeld kort geschreven als 24 en 3 × 3 kun je korter schrijven als 32.Een bijzonder symbool is het =-teken. Dit symbool betekent dat aan beide zijden van dit teken een gelijkheid wordt weergegeven, dus dat beide zijden tot het hetzelfde getal zullen leiden. Zodra je die betekenis kent, worden veel opgaven een stuk gemakkelijker (denk maar aan 6 + ? = 19), maar zul je ook niet meer zo snel schrikken van uitdrukkingen als 37 = 30 + 7 of 40 + 5 = 50 − 5. In het verlengde hiervan zijn de symbolen ≈ (ongeveer), < (kleiner dan) en > (groter dan) te plaatsen. Ook deze symbolen zeggen iets over de hoeveelheid aan de ene kant van het teken ten opzichte van de hoeveelheid aan de andere kant van het teken.

term

somverschilproductquotiënt

aftrektalaftrekker

vermenigvuldigervermenigvuldigtal

deeltaldeler

operatoroperand

macht

=-teken

32


Ontbinden in factorenSchrijf je antwoord als in 196 = 22 × 72.a Ontbind in factoren: 200 – 201 – 202 – 203 – 204 – 205.b Ontbind in factoren: 241 – 242 – 243 – 244 – 245 – 246 – 247 – 248.c Ontbind in factoren: 1 000 – 2 miljoen – 5 quadriljoen. Even snel hoofdrekenena Bereken uit het hoofd: 1 234 miljoen + 726 miljoen 2 2 miljoen × 3 miljoen 3 5 miljard × 5 miljard 4 144 triljoen : 36 biljoen 5 32 triljard : 2 miljoen : 2 miljardb Wat is de rest bij deling van 6 miljoen door: 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 8 – 9 – 7 – 11. rest bij deling

33

1 Hele getallen


Hele getallen

Documents

Transcript of Hele getallen