Hoofdstuk 1 LEERLIJNEN GETALLEN - OVSG · Domein 1: GETALLEN Getallenkennis OD ET kleuters...

HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN GETALLENKENNIS 85

Hoofdstuk 1

LEERLIJNEN GETALLEN

100 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN

A Getallenkennis

Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters

lagereschoolkinderen

1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

1.1 TELLEN

1 De leerlingen kunnen:

- de getallenrij akoestisch opzeggen van 1 tot

en met 10; ....................................................

- de mondeling begonnen getallenrij tot en

met 10 verderzetten in klimmende orde: 1,

2, 3, ... 10; ....................................................

- de mondeling begonnen getallenrij tot en

met 10 verderzetten in klimmende orde,

ergens in de rij beginnend: 3, 4, 5, ... 10; .....

- idem, maar in dalende orde.......................... .

2 De leerlingen kunnen van een beperkte

hoeveelheid (£ 5) aangeven hoeveel er zijn

door:

- materieel handelend te tellen (verschuiven,

aanraken, aanwijzen);

OD

1.2

- verinnerlijkt te tellen;

- ineens te overzien (zonder tellen).

3 De leerlingen kunnen met eenheden, twee-

tallen, vijftallen en machten van 10 tellen

en terugtellen in intervallen tussen 0 en:

ET

1.1

10 ..................................................................

20 ..................................................................

100 ................................................................

1 000 .............................................................

10 000 ...........................................................

100 000 .........................................................

1 000 000 ......................................................

1 000 000 000 ...............................................

4 De leerlingen kunnen gestructureerde hoe-

veelheden onmiddellijk herkennen (zien

hoeveel er zijn) en zelf zo'n structuur aan-

brengen in ongestructureerde hoeveelheden

tot en met 20.

HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN GETALLEN BEWERKINGEN 101

Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

1.2 GETALLEN LEZEN EN NOTEREN 1 De leerlingen kunnen de cijfersymbolen

(0,...,9) lezen en schrijven.

2 De leerlingen kunnen natuurlijke getallen

lezen en noteren tot en met

ET

1.5

20 .................................................................

100 ...............................................................

1 000 ............................................................

10 000 ..........................................................

100 000 ........................................................

1 000 000 .....................................................

1 000 000 000 ..............................................

Zij kunnen dat ook met kommagetallen (tot

en met 3 cijfers na de komma). ....................

3 De leerlingen kunnen gehele getallen < 0 lezen,

noteren en interpreteren in concrete situaties

(bv.: lift).

4 De leerlingen kunnen natuurlijke getallen groter

dan een miljard lezen en noteren:

- met cijfers; .....................................

- met machten van 10 (bv. 5 miljard = 5 x 109 ). ...................................

Ze kunnen een beperkt aantal namen van grote getallen hanteren (biljoen, triljoen,..., gogol). ..........................................................

5 De leerlingen kunnen getallen met

Romeinse cijfers lezen en noteren:

- tot en met XII (symbolen I, V, X); ...............

ET

1.7

- grotere getallen met symbolen: L, C, D, M. .

6 De leerlingen kunnen een intuïtieve

breukentaal hanteren:

- de helft, een halve, een vierde (een kwart)

als resultaat van een verdeling in 2 of 4

gelijke delen; ................................................

ET

1.4


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

- als operator: de helft, een vierde (een

kwart) nemen van een hoeveelheid of een

grootheid. .....................................................

7 De leerlingen kunnen de formele

breukentaal (een derde, twee vijfde...)

hanteren:

- breuken lezen en noteren ( 2

1 , ½,

4

3 ,

¾, ...); ..........................................................

ET

1.5

ET

1.6

- de terminologie: stambreuk, breuk, teller,

noemer, breukstreep hanteren. .....................

ET

1.4

8 De leerlingen kunnen de begrippen

natuurlijk getal, kommagetal en gemengd

getal hanteren.

9 De leerlingen kunnen het begrip procent

hanteren en het symbool % lezen en

noteren.

ET

1.3

1.6

10 De leerlingen kunnen het begrip promille

hanteren en het symbool ‰ lezen en noteren.

1.3 GETALLEN VOORSTELLEN EN POSITIESTELSEL


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

1 De leerlingen kunnen in ongestructureerde

hoeveelheden tot 100 een tientallige

structuur aanbrengen en de hoeveelheid als

getal noteren.

2 De leerlingen kunnen, in concrete situaties,

hoeveelheden groeperen met als basis 2, 3, 4, 5... en deze groeperingen verwoorden, tekenen en in het gegeven talstelsel lezen en noteren. Ze beseffen dat de cijfers, die ze daarbij gebruiken, altijd kleiner zijn dan de groeperingsbasis.

ET

1.8


voorstellen met gestructureerd materiaal

(bv. MAB) en voorgestelde getallen

benoemen tot en met:

20 ................................................................

100 ...............................................................

1 000 ............................................................

4 De leerlingen kunnen van elk cijfer in een

gegeven getal de werkelijke waarde

bepalen. Ze doen dit met natuurlijke

getallen tot en met:

ET

1.5

20 ................................................................

100 ..............................................................

1 000 ............................................................

10 000 .........................................................

100 000 ........................................................

1 000 000 .....................................................

1 000 000 000 ..............................................

en met kommagetallen tot 3 cijfers na de

komma.

5 De leerlingen kunnen getallen splitsen en

noteren in een tabel:


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

- met tienen, énen .............................

- met honderden, tienen, énen. ..........

Ze maken daarbij gebruik van de termen en

symbolen :

- D (duizendtal), H (honderdtal), T

(tiental), E (eenheid), ................

- TD (tienduizendtal), t (tiende), h

(honderdste), d (duizendste) .........

- HD (honderdduizendtal) ................

- Md (miljardtal), M (miljoental). ...

6 De leerlingen kunnen getallen omzetten in

de symbolen en omgekeerd

(bv.: 3045 = 3 D + 4 T + 5 E

2 E + 3 d = 2,003) tot en met:

1 000 (enkel natuurlijke getallen) .................

10 000 ..........................................................

100 000 ........................................................

1 000 000 .....................................................

1 000 000 000 ...............................................

7 De leerlingen kunnen op een tekening een

verdeelsituatie weergeven en de

bijpassende breuk noteren. Omgekeerd

kunnen ze bij een gegeven breuk de

verdeelsituatie tekenen en verwoorden.

8 De leerlingen kunnen op gestructureerd

materiaal (bv. honderdveld) een percentage

aanduiden en voorstellen.

ET

1.3

1.4 VERGELIJKEN EN ORDENEN


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

1 De leerlingen kunnen aangeven dat een

hoeveelheid gelijk blijft ook na een

herschikking in de ruimte (conservatie).

OD

1.5

2 De leerlingen kunnen zonder te tellen, maar

door een 1-1-relatie uit te voeren, twee

hoeveelheden vergelijken. Zij kunnen

daarbij de begrippen: (is) meer (dan), (is)

minder (dan),(is) evenveel (als), (is) gelijk

(aan), genoeg, te veel, te weinig, meest,

minst, één meer (dan), één minder (dan),

hoeveel meer, hoeveel minder, veel meer,

veel minder, verschil (tekort, rest,

overschot,...) hanteren.

OD

1.1

3 De leerlingen kunnen een beperkt aantal

hoeveelheden (van identieke of

verschillende elementen) ordenen van klein

naar groot en van groot naar klein.

4 De leerlingen kunnen, als plaats en richting

afgesproken zijn, een rangorde aanduiden

en verwoorden . Ze maken daarbij gebruik

van volgende begrippen:

- rangtelwoorden: eerste, tweede,...,

laatste, voorlaatste, middelste .......

OD

1.3

- volgende, vorige, voor, na, naast,

tussen, boven, onder ......................

- links, rechts ....................................

5 De leerlingen kunnen de conventie hanteren

dat een rangschikking, tenzij anders

afgesproken, verloopt van links naar rechts

en van boven naar beneden.


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>


vergelijken, ordenen en plaatsen op een

getallenas. Zij kunnen een interval bepalen

en vaststellen of een getal al dan niet tot een

gegeven interval behoort in zo'n geordende

rij getallen tot en met:

20 .................................................................

ET

1.5

100 (ook plaatsen in honderdveld) ...............

1 000 ............................................................

10 000 ..........................................................

100 000 ........................................................

1 000 000 .....................................................

1 000 000 000 ..............................................

Ze kunnen dat ook met kommagetallen tot 3

cijfers na de komma.

7 De leerlingen kunnen de symbolen voor

vergelijking van aantallen =, ¹, < en >

hanteren en die koppelen aan de termen: is

evenveel als (gelijk), is niet evenveel als

(verschillend, niet gelijk), is minder dan

(kleiner), is meer dan (groter) .

ET

1.6

8 De leerlingen kennen de symbolen £, ³ en kunnen die koppelen aan de termen: is minder dan of is evenveel als (kleiner of gelijk), is meer dan of is evenveel als (groter of gelijk),

9 De leerlingen kunnen stambreuken (tot en

met noemer 10) ordenen en daarbij

verwoorden dat de breuk kleiner wordt

naarmate de noemer groter wordt.

10 De leerlingen kunnen eenvoudige breuken

ordenen en plaatsen op een getallenlijn.

ET

1.5

11 De leerlingen kunnen eenvoudige breuken

> 1 omzetten in zogenaamde gemengde

getallen en omgekeerd

(bv. 4

3 =

4

11 ).


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

12 De leerlingen kunnen de termen

gelijkwaardige en gelijknamige breuken

correct gebruiken.

ET

1.4

13 De leerlingen kunnen gelijkwaardige

breuken vinden van een gegeven breuk (bv.

met behulp van een verhoudingstabel). Op

grond daarvan kunnen ze een breuk

vereenvoudigen (omzetten in

gelijkwaardige breuk met de kleinste

noemer) of breuken gelijknamig maken om

ze te kunnen ordenen.

ET

1.22

14 De leerlingen kunnen decimale breuken

(noemer is een macht van 10) omzetten in

een kommagetal en omgekeerd

(bv. 100

35 = 0,35) ........................................

ET

1.18

Ze kunnen decimale breuken omzetten in

procenten en omgekeerd

(bv.100

35 = 35 %). .......................................

15 De leerlingen kunnen eenvoudige breuken,

decimale breuken, kommagetallen en

procenten naar elkaar omzetten

(bv. 4

3 =

100

75 = 0,75 = 75 %).

ET

1.18


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

1.5 FUNCTIES VAN GETALLEN 1 De leerlingen weten dat een natuurlijk getal

een hoeveelheid kan aanduiden. Ze

hanteren het begrip 'hoeveel' en geven

daarop een antwoord door te schatten, te

tellen of te rekenen.

ET

1.2

2 De leerlingen weten dat een natuurlijk getal

een rangorde kan aangeven. Ze kunnen de

rangtelwoorden hanteren.

ET

1.2

3 De leerlingen gebruiken een natuurlijk getal

als maatgetal, zowel bij niet-conventionele

(handen, voeten, stappen...) als bij conven-

tionele maateenheden (m, l, kg, ...).

ET

1.2

4 De leerlingen weten dat een natuurlijk getal

ook kan gehanteerd worden om een code

weer te geven.

ET

1.2

5 De leerlingen kunnen de verschillende

functies van natuurlijke getallen in

contexten onderscheiden en verwoorden. Ze

kunnen zelf voorbeelden bedenken bij elke

functie (aantal, maatgetal, rangorde,

code...).

ET

1.2

6 De leerlingen kunnen (mondeling of

schriftelijk) met een breuk weergeven of een

breuk interpreteren als:

ET

1.4

- een deel (stuk) van ........................

- het resultaat van een (ver)deling ....

- een operator ....................................

- een verhouding ..............................

- een getal ( met een plaats op de

getallenas)

- een kans ..........................................

7 De leerlingen kunnen met een procent

weergeven of als een procent interpreteren:

- een verhouding ..............................

- een deel van ...................................

- een kans ..........................................

- een verandering (stijging of daling)

1.6 DELERS EN VEELVOUDEN


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

1 De leerlingen kunnen door manipuleren (bv.

1-1-relatie) de volgende hoeveelheden

verdelen in 2 gelijke groepen (met en

zonder rest):

OD

1.4

- 2, 3, 4, 5 ........................................

- 6, 7, 8, 9, 10 ...................................

- hoeveelheden tussen 10 en 20 .......

2 De leerlingen kunnen in concrete situaties

verdelingen maken van:

- een continue grootheid (bv. een

appel voor 4 kinderen) .................

OD

2.4

- een hoeveelheid, waarbij de

verdeling al dan niet een rest geeft:

( bv. 8 snoepjes voor 3 of 5

kinderen) .......................................

OD

1.4

- een aantal continue grootheden

(bv. 3 koeken voor 2 kinderen) ....

3 De leerlingen kunnen de begrippen (eerlijk

of gelijk) verdelen, halveren, de helft,

verdubbelen, het dubbel, even (paar),

oneven (onpaar), correct hanteren en

toepassen op aantallen:

< 10 .............................................................

< 20 .............................................................

< 100 ...........................................................

< 1 000 .........................................................

> 1 000 ........................................................

4 De leerlingen weten wanneer een natuurlijk

getal een deler is van een ander. Ze weten

dat elk natuurlijk getal 1 en zichzelf als

deler heeft. Ze kunnen, in zinvolle

contexten, alle delers vinden van

natuurlijke getallen:

ET

1.3

< 20 ..............................................................

< 100 ...........................................................

> 100 ...........................................................


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

5 De leerlingen weten dat een natuurlijk getal met juist 2 delers (1 en zichzelf) een priemgetal is en zij kunnen van de getallen £ 100 vinden of het een priemgetal is.

Ze ontwikkelen een procedure om van grotere getallen (> 100) vast te stellen of het een priemgetal is.

6 De leerlingen kunnen van 2 natuurlijke

getallen (£ 100) de gemeenschappelijke

delers vinden en kunnen aangeven wat de

grootste gemeenschappelijke deler is. Ze

verwoorden in welke situaties ze die handig

kunnen gebruiken.

ET

1.19

1.3

Ze kunnen dit ook voor meer dan 2 getallen en/of voor grotere getallen.

7 De leerlingen verwoorden wanneer een

natuurlijk getal een veelvoud is van een

ander. Ze weten dat elk natuurlijk getal een

veelvoud is van 1 en dat elk getal 0 en

zichzelf als veelvoud heeft.

ET

1.3

Ze kunnen enkele veelvouden opsommen

van getallen:

< 10 .............................................................

< 100 ...........................................................

< 1 000 .........................................................


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

8 De leerlingen kennen de kenmerken van

deelbaarheid door:

- 2, 10 ..............................................

ET

1.12

- 4, 5 ................................................

- machten van 10 (100, 1 000...) .....

- 3, 9 ................................................

Ze verwoorden in welke situaties ze die

kenmerken handig kunnen gebruiken (bv.

bij de negenproef).

Ze kunnen vaststellen en verwoorden wanneer een natuurlijk getal deelbaar is door 8, 11, 25. ..............................................

Door combinatie van kenmerken van deelbaarheid kunnen zij ook vaststellen wanneer een getal een veelvoud is van 6 (deelbaar door 2 en 3), 12 (deelbaar door 3 en 4). ............................................................

9 De leerlingen kunnen van 2 natuurlijke

getallen (£ 20) gemeenschappelijke

veelvouden vinden en aangeven welk getal

het kleinste gemeenschappelijk veelvoud is.

Ze kunnen verwoorden in welke situaties ze

die handig kunnen gebruiken.

ET

1.20

1.3

Ze kunnen dit ook voor meer dan 2 getallen en/of voor grotere getallen (> 20).


opsplitsen in priemfactoren en dit als basis gebruiken voor een algoritme om de g.g.d. en het k.g.v. te vinden.


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

1.7 PATRONEN

1 - De leerlingen kunnen een patroon

(in de realiteit gegeven of

getekend) van 2, 3 of 4 elementen,

verderzetten.

- Ze kunnen ook de mondeling

geformuleerde samenstelling van

een patroon van 2, 3 of 4

elementen realiseren.

- De leerlingen kunnen

zelfontworpen en -gerealiseerde

patronen verwoorden.

OD

3.4

2 De leerlingen kunnen in een gegeven reeks

getallen een patroon herkennen, de rij

verder zetten en dit verwoorden bij:

ET

1.12

- een enkelvoudig patroon (bv.

telkens + 4 ); ..................................

een gecombineerd patroon (bv.

telkens +4, dan -3: bv. 1 5 2 6 3 7

...) ...................................................

3 De leerlingen kunnen de regelmaat in een

reeks getallen weergeven via een formule met lettersymbolen en zo enige notie verwerven van het begrip variabele.

1.8 AFRONDEN (HOEVEELHEDEN SCHATTEN)


Domein 1: GETALLEN

Getallenkennis

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j. >

8j.

>

10j.

>

1 De leerlingen kennen hoeveelheidsbegrip-

pen die een benadering van een exact aantal

weergeven: veel, weinig, sommige, geen

(niets), alle(s), allemaal, een beetje, enkele,

een paar, ongeveer, bijna, ruim,... .

OD

1.1

2 De leerlingen kunnen strategieën hanteren

om in ongestructureerde hoeveelheden

structuur aan te brengen om zo tot een

schatting van het aantal te komen.

ET

1.17


afronden naar de dichtstbijzijnde macht van

10 (10, 100, 1 000...).

Zij houden daarbij rekening met het doel

van de afronding en de context om o.m. de

graad van nauwkeurigheid te bepalen.

ET

1.15

4 De leerlingen kunnen kommagetallen en

gemengde getallen afronden naar de

dichtstbijzijnde eenheid, tiende of

honderdste. Zij houden daarbij rekening met

het doel van de afronding en de context om

o.m. de graad van nauwkeurigheid te

bepalen.

ET

1.15

5 De leerlingen kunnen het symbool +

(ongeveer, plusminus) gebruiken om aan te

geven dat het daaropvolgende getal niet

exact maar slechts benaderend de

hoeveelheid weergeeft.

6 De leerlingen hebben enige notie van het

begrip oneindig. Ze weten dat oneindig geen getal is, niettegenstaande er een symbool (¥) voor bestaat. Ze beseffen dat je voor elk gegeven getal een nog groter getal kunt bedenken.


B Bewerkingen

Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.9 BEGRIPSVORMING - REKENTAAL 1 De leerlingen hanteren vlot de rekentaal

i.v.m. bewerkingen:

OD

1.4

ET

1.9

erbij (en) - eraf

samen

bijdoen - wegdoen - afdoen

(bij)krijgen - weggeven

(bij)winnen - verliezen

keer (maal)

Zie ook leerlijnen getallen: 1.4 doel 2, 1.5

doel 1, 1.6 doel 3, 1.8 doel 1.

2 De leerlingen kunnen in concrete situaties

rekenhandelingen uitvoeren m.b.t. het

aantal en de hoeveelheid.

OD

1.4

3 De leerlingen kunnen deze reken-

handelingen verwoorden door gebruik-

making van de juiste begrippen.

(zie leerlijn 1.9 doel 1)

OD

1.4

ET

1.9

4 De leerlingen kunnen volgende begrippen

i.v. m. bewerkingen hanteren:

ET

1.3

1.9

- optellen - aftrekken - vermenigvuldigen -

delen - plus - min - som - verschil -

vermeerderen - verminderen ........................

- quotiënt - deeltal - deler - rest - term -

factor - product - aftrektal - aftrekker -

vergroten - verkleinen .................................

- macht - exponent - wortel - kwadraat. ........

5 De leerlingen kunnen de symbolen - die bij

de rekenhandelingen horen - benoemen,

noteren en hanteren:

+, -, x en :

ET

1.6

1.9

Ö (wortel) en ² (kwadraat)


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.10 OPTELLEN EN AFTREKKEN TOT 10 1 De leerlingen kunnen optellen tot 10.

ET

1.10

2 De leerlingen kunnen bij optellingen,

waarvan de som £ 10, de ontbrekende term

vinden (indirecte sommen of stipsommen).

3 De leerlingen kunnen van een natuurlijk

getal £ 10 een natuurlijk getal aftrekken.

ET

1.10


£10 splitsen in 2 of meer getallen.

Bv. 6 = 3 en 3, 4 en 2, 5 en 1, ...

5 De leerlingen kunnen bij aftrekkingen

waarbij aftrektal en aftrekker £ 10, de

ontbrekende term vinden (indirecte

sommen of stipsommen).

6 De leerlingen kunnen in een vergelijking

met getallen £ 10, ontbrekende symbolen

(vergelijkingssymbool, bewerkingsteken,

getal) invullen.

ET

1.9


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.11 OPTELLEN

1 De leerlingen kunnen twee of meer getallen

optellen:

ET

1.13

- natuurlijke getallen; som £ 20 ....................

- natuurlijke getallen; som £ 100 ..................

- natuurlijke getallen; som £ 1000 ................ ET

1.23

- gelijknamige breuken .................................

- natuurlijke getallen; som > 1000 ................

- natuurlijk getal + kommagetal (of

breuk/gemengd getal) .................................

- kommagetal (of breuk/gemengd getal) +

natuurlijk getal ............................................

- kommagetal (of breuk/gemengd getal) +

kommagetal (of breuk/gemengd getal) ......

- ongelijknamige breuken (gemengde

getallen) ......................................................

2 De leerlingen kunnen bij optellingen,

flexibel en inzichtelijk een doelmatige

oplossingsmethode toepassen, op basis van

inzicht in de eigenschappen van bewerkin-

gen en in de structuur van de getallen.

- het splitsen van getallen ..............................

bv.

47 + 26 = (47 + 20) + 6 = 67 + 6 = 73

/ \

20 6

6 + 7 = (6 + 6) + 1 =12 + 1 = 13

/ \

6 1

(verdubbelregel)

ET

1.11

1.13

1.14

- het aanvullen van getallen (compenseren) ...

bv. 47 + 26 = (47 + 30) - 4 = 77 - 4 =

73

- het toepassen van de commutativiteit

(verwisselregel) ...........................................

bv. 6 + 9 = 9 + 6


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

- het toepassen van de associativiteit

(schakelen) .................................................

bv. (8 + 3) + 4 = 8 + (3 + 4) =

11 + 4 = 8 + 7

- het groeperen van getallen ..........................

bv. 13 + 25 + 17 + 15 =

(13 + 17) + (25 + 15) =

30 + 40 = 70

- gelijknamig maken van breuken. .................

bv. 3

2 +

4

3 =

12

8 +

12

9

ET

1.22

- breuken in kommagetallen omzetten en

omgekeerd ..................................................

bv. 0,25 +4

1 = 0,25 + 0,25

ET

1.18

3 De leerlingen kunnen grote getallen met

eindnullen optellen.

bv. 32 000 + 12 000

ET

1.13

4 De leerlingen zijn in staat tot onmiddellijke

reproductie van correcte resultaten bij

optellingen tot 20.

ET

1.10


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.12 AFTREKKEN

1 De leerlingen kunnen twee of meer getallen

van elkaar aftrekken:

ET

1.13

- natuurlijke getallen £ 20 ..............................

- natuurlijke getallen £ 100 ............................

- natuurlijke getallen £ 1000 ..........................

- gelijknamige breuken .................................. ET 1.23

- natuurlijke getallen > 1000 ..........................

- kommagetal - natuurlijk getal ......................

- natuurlijk getal - kommagetal (of breuk, gemengd getal) ............................................

- kommagetal (of breuk/gemengd getal) - kommagetal (of breuk/gemengd getal) .......

- ongelijknamige breuken (gemengde

getallen) ......................................................

2 De leerlingen kunnen bij aftrekkingen

flexibel en inzichtelijk een doelmatige op-

lossingsmethode toepassen, op basis van

inzicht in de eigenschappen van be-wer-

kingen en in de structuur van de getallen.

- het splitsen van getallen. ..............................

bv. 36 - 28 = (36 - 20) - 8 = 16 - 8 = 8

/ \

20 8

ET

1.11

1.14

- het aanvullen van getallen (compenseren).

bv. 74 - 57 = (74 - 60) + 3 = 14 + 3 = 17

- gelijknamig maken van breuken ..................

- breuken en kommagetallen in elkaar

omzetten .....................................................

3 De leerlingen kunnen grote getallen met

eindnullen van elkaar aftrekken.

bv. 400 - 100

ET

1.13

4 De leerlingen zijn in staat tot onmid-

dellijke reproductie van correcte resul-

taten bij aftrekkingen met getallen tot 20.

ET

1.10

5 De leerlingen zien in dat de aftrekking niet

commutatief is en niet associatief is.

bv. 5 - 3 ¹ 3 - 5

8 - 5 = (8 - 3) - 2 ¹ 8 - (3 - 2)


Domein 1: GETALLEN

OD

ET

kleuters


Bewerkingen

1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.13 MAAL- EN DEELTAFELS TOT 100

1 De leerlingen zien in dat de vermenigvuldiging

een verkorte vorm is van herhaald optellen van

gelijke getallen.

bv. 2 + 2 + 2 = 3 x 2

ET

1.10

1.11

2 De leerlingen zien in dat bij een deling

- een hoeveelheid in gelijke delen verdeeld

wordt (verdelingsdeling)

of

- dat er nagegaan wordt hoeveel keer een

getal in een hoeveelheid gaat

(verhoudingsdeling).

bv. 21 : 7 = 3 want 7 x 3 = 21

21 : 7 = 3 want 7 gaat 3 keer in 21

ET

1.10

1.11

3 De leerlingen kunnen vermenigvuldigingen

verbinden aan de corresponderende delingen.

bv. 3 x 6 = 18 « 18 : 3 = 6

ET

1.10

1.11

4 De leerlingen zijn in staat tot een onmiddellijke

reproductie van correcte resultaten bij tafels

van vermenigvuldiging tot en met de tafel van

10 en de bijhorende deeltafels.

ET

1.10


Domein 1: GETALLEN

OD

ET

kleuters


Bewerkingen

1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.14 VERMENIGVULDIGEN

1 De leerlingen kunnen twee of meer getallen met

elkaar vermenigvuldigen:

ET

1.13

1.14

- natuurlijke getallen; product £ 100 ..........

- natuurlijke getallen £ 100; product £ 1000

- natuurlijke getallen; product ³ 1000 .......

- natuurlijk getal x kommagetal (ook < 1)

(of breuk/gemengd getal) .........................

- kommagetal (ook < 1) (of breuk/gemengd

getal) x natuurlijk getal..............................

ET

1.23

- kommagetal (ook < 1) (of breuk) x

kommagetal (ook < 1) (of breuk)...............

2 De leerlingen kunnen bij een stambreuk als

operator de gelijkwaardigheid hanteren van:

- een breuk x...

- een breuk van ...

- ... delen door de noemer van de

breuk.

bv. 1/3 van 21 = 1/3 x 21 = 21 : 3

3 De leerlingen kunnen bij een breuk als operator

de gelijkwaardigheid hanteren van:

- een breuk x...

- een breuk van ...

- ... delen door de noemer en

vermenigvuldigen met de teller

van de breuk.

bv. 2/3 van 21 = 2/3 x 21 = (21 : 3) x 2


vermenigvuldigen met

- 10 ..............................................................

ET

1.13

- 100 ............................................................

- 1000 ..........................................................

- 10 000 .......................................................

- 100 000. ....................................................


Domein 1: GETALLEN

OD

ET

kleuters


Bewerkingen

1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->


vermenigvuldigen met veelvouden van 10.

ET

1.13

6 De leerlingen kunnen kommagetallen

vermenigvuldigen met machten van 10.

bv. 14,7 x 10

4,7 x 100

14,7 x 1000

ET

1.13

7 De leerlingen kunnen bij vermenigvuldigingen,

flexibel en inzichtelijk een doelmatige

oplossingsmethode toepassen, op basis van

inzicht in de eigenschappen van de

bewerkingen en in de structuur van de getallen.

- het hanteren van steunpunten .....................

bv. 19 x 7 is één maal 7 minder

dan 20 x 7

ET

1.11

1.13

1.14

- het toepassen van de commutativiteit

(verwisselregel) ..........................................

bv. 3 x 6 = 6 x 3

23 x 3 = 3 x 23

de helft, een halve, een vierde (een kwart) als resultaat van een verdeling in 2 of 4

- het toepassen van de associativiteit

(schakelen) .................................................

bv. 7 x 2 x 5 = 7 x 10 = 70

- het toepassen van de distributiviteit van de

vermenigvuldiging t.o.v. de optelling

(= splitsen van het vermenigvuldigtal of de

vermenigvuldiger) ......................................

bv. 6 x 5 = (5 + 1) x 5 =

(5 x5) + (1 x 5) =

25 + 5 = 30

7 x 124 =

7 x (100 + 20 + 4) =

(7 x 100) + (7 x 20) + (7 x 4) =

700 + 140 + 28 = 868


vermenigvuldiging t.o.v. de aftrekking .....

bv. 9 x 5 = (10 - 1) x 5 =

(10 x 5) - (1 x 5) =

50 - 5 = 45

4 x 73 =

4 x (75 - 2) = (4 x 75) - (4 x 2) =

300 - 8 = 292

- met inzicht vermenigvuldigen met


Domein 1: GETALLEN

OD

ET

kleuters


Bewerkingen

1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

machten en veelvouden van 10 naar

analogie met de tafels ................................

- van een kommagetal een breuk maken en

omgekeerd .................................................

bv. 2 x 0,75 = 2 x 4

3 =

4

6

- van een percentage een breuk of een

kommagetal maken ....................................

bv. 40 % van 20 = 5

2van 20 = 8


vermenigvuldigen met 5; 25 en 50 ....................

De leerlingen kunnen kommagetallen

vermenigvuldigen met 5; 25 en 50 .....................


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.15 DELEN

1 De leerlingen kunnen twee getallen door elkaar

delen:

ET

1.13

- natuurlijke getallen; quotiënt, deler en

deeltal £ 100 ; zonder rest .........................

(60 : 3 / 60 : 20 / 75 : 5 / 75 :25)


deeltal £ 100 ; met rest ..............................

(60 : 7 / 65 : 20 / 45 : 7 / 47 : 25)


deeltal £ 1000 ; zonder rest .......................

(560 : 10 / 560 : 100 / 450 : 9 /

336 : 7 / 388 : 4 / ...)


deeltal £ 1000 ; met rest ............................

(566 : 10 / 566 : 100 / 455 : 9 /

392 : 7 / 378 : 4 / ...)

- natuurlijke getallen delen door: 10 .........

100 .......

1000 .....

Het quotiënt blijft een natuurlijk getal.

- natuurlijke getallen delen door: 10; 100; 1000

Het quotiënt wordt een kommagetal. .........

- kommagetallen delen door: 10; 100 ...........

- natuurlijke getallen delen door 10 000,

100 000, ... ................................................

- kommagetallen delen door 1000, 10 000,

100 000, ... ................................................

- natuurlijke getallen delen door 5 ...........

25; 50...

Het quotiënt blijft een natuurlijk getal.

- natuurlijke getallen delen door: 5; 25; 50 ..

Het quotiënt wordt een kommagetal.

- kommagetallen delen door: 5; 25; 50 .........

- natuurlijke en kommagetallen delen door 0,1 / 0,01 / 0,001 .......................................

- natuurlijk getal : kommagetal of breuk ......

- kommagetal of breuk : natuurlijk getal ......

- kommagetal of breuk : kommagetal of breuk .........................................................


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

2 De leerlingen zien in dat de deling niet

commutatief is ( 6 : 3 ¹ 3 : 6).

ET

1.14

3 De leerlingen zien in dat de deling niet

associatief is

bv. (15 : 3) : 2 ¹ 15 : (3 : 2)

ET

1.14

4 De leerlingen kunnen bij delingen, flexibel en

inzichtelijk een doelmatige oplossingsmethode

toepassen, op basis van inzicht in de

eigenschappen van bewerkingen en in de

structuur van de getallen.

- het hanteren van steunpunten .....................

bv. 6550 : 5 = 2 x (6550 : 10) =

2 x 655 = 1310

ET

1.11

1.13

1.14

- een getal opsplitsen in factoren ..................

bv. 120 : 4 = (120 : 2) : 2 = 60 : 2 = 30


deling t.a.v. de optelling (= splitsen van

het deeltal) .................................................

bv. 75 : 5 = (50 : 5) + (25 : 5) =

10 + 5 = 15


deling t.o.v. de aftrekking ..........................

bv. 45 : 5 = (50 : 5) - ( 5 : 5) =

10 - 1 = 9

395 : 5 = (400 : 5) - (5 : 5) =

80 - 1 = 79

- met inzicht delen in getallen met nullen. ....

bv. 3000 : 15 = 200 ® 30 : 15 = 2 ;

deeltal is 100 keer groter : quotiënt is

ook 100 keer groter.

- het toepassen van de eigenschap 'het quo-

tiënt verandert niet van waarde als men

het deeltal en de deler met eenzelfde getal

vermenigvuldigt of deelt............................

bv. 123 : 5 = 246 : 10 = 24,6

1.16 RELATIE TUSSEN BEWERKINGEN


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1 De leerlingen weten dat optellen en aftrekken

omgekeerde bewerkingen zijn en passen dit toe

als controlemiddel.

ET

1.11

2 De leerlingen weten dat vermenigvuldigen en

delen omgekeerde bewerkingen zijn en passen

dit toe als controlemiddel.

ET

1.11

3 De leerlingen kunnen in sommige zinvolle

contexten gebruikmaken van de relaties tussen

bewerkingen.

bv. winkelsituatie: teruggeven op 1000 fr.

(aftrekking) wordt uitgevoerd door bij te

passen tot 1000 fr.

ET

1.11

4 De leerlingen kunnen in een vergelijking de

ontbrekende symbolen (vergelijkingssymbool,

bewerkingsteken, getal) invullen.

bv. 8 . 6 = 4 . 2

5 De leerlingen weten dat bij een serie

opeenvolgende bewerkingen de

vermenigvuldiging en de deling voorgaan op

de optelling en de aftrekking en dat het gebruik

van haakjes dit kan doorbreken.

ET

1.6

6 De leerlingen weten dat machtsverheffing een

verkorting is van herhaald vermenigvuldigen:

bv. 2³ = 2 x 2 x 2

1.17 WERKEN MET NUMERIEKE VERHOUDINGEN


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1 De leerlingen kunnen een numerieke

verhouding vaststellen, bv. de verhouding

tussen de rode en zwarte kralen is 2 op 3.

ET

1.21

2 De leerlingen beheersen een passende strategie

om verhoudings- en kansproblemen op te

lossen.

bv. schikken in een verhoudingstabel,

opstellen van een rooster

3 De leerlingen kunnen twee of meer numerieke

verhoudingen vergelijken, bv. is de verhouding

3 : 5 gelijkwaardig aan 5 : 7 ? ............................

ET

1.21

Bij gelijkwaardige verhoudingen kunnen zij de

evenredigheidsfactor berekenen,

bv. 5 : 12 en 25 : 60 zijn gelijkwaardig, de

evenredigheidsfactor is 5. ..................................

4 De leerlingen kunnen gelijkwaardige

verhoudingen maken, al dan niet met een

gegeven evenredigheidsfactor. ..........................

ET

1.21

Ze kunnen een verhouding omzetten in een

breuk of een procent en omgekeerd.

Ze kunnen ook een procent berekenen ...............

ET

1.25

5 De leerlingen kunnen bij twee gelijkwaardige

verhoudingen een ontbrekend

verhoudingsgetal (de vierde evenredige)

vinden.

ET

1.21

6 De leerlingen kunnen vaststellen of twee

verhoudingen recht of omgekeerd evenredig

zijn.

7 De leerlingen beseffen dat niet alle verhoudin-

gen lineair zijn.

v. de kans op succes en het aantal pogingen


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.18 TABELLEN EN GRAFIEKEN 1 De leerlingen kunnen 2 (of meer) stapels/rijen

gelijke voorwerpen (bv. brikken melk/choco)

vergelijken naar aantal aan de hand van de

hoogte/lengte van de stapels/rijen, en deze

vergelijking verwoorden.

OD

1.1

2 De leerlingen kunnen 2 (of meer) reeksen

voorwerpen vergelijken naar aantal door de

reeksen voorwerpen te vervangen door

stapels/rijen gelijke blokken, en deze

vergelijking verwoorden.

3 De leerlingen kunnen 2 (of meer) reeksen

voorwerpen vergelijken naar aantal door de

reeksen voorwerpen te vervangen door gelijke

vakken en deze vergelijking verwoorden.

ET

1.8

4 De leerlingen kunnen stapels/rijen schematisch

voorstellen door:

- een symbool in elk corresponderend vak te

tekenen; ......................................................

- slechts één symbool aan de rij te koppelen

(legende). ...................................................

5 De leerlingen kunnen een beeldgrafiek

samenstellen:

- 1 teken = 1 voorwerp; .................................

- 1 teken = het in de legende gegeven aantal

voorwerpen. ...............................................

6 De leerlingen kunnen kwantitatieve gegevens

aflezen op een horizontaal of verticaal

opgebouwde beeldgrafiek en met deze

gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren:

- 1 teken = 1 voorwerp; .................................

- 1 teken = het in een legende gegeven aantal

voorwerpen ................................................


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

7 De leerlingen kunnen reeksen voorwerpen in

een blokgrafiek voorstellen en daarbij de

verschillende reeksen benoemen:

- 1 teken = 1 voorwerp; .................................


voorwerpen; ................................................

- 1 teken = een zelf te bepalen aantal

voorwerpen. ................................................

8 De leerlingen kunnen van een blokgrafiek

kwantitatieve gegevens aflezen en met deze

gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren:

- 1 teken = 1 voorwerp; .................................


voorwerpen. ................................................

9 De leerlingen kunnen zelfopgebouwde

blokgrafieken over dezelfde gegevens

vergelijken en de verschillen interpreteren.

10 De leerlingen kunnen een enkelvoudige tabel

samenstellen.

bv. leerjaar aantal lln.

1 17

2 21

3 24

... ...

11 De leerlingen kunnen van een enkelvoudige

tabel kwantitatieve gegevens aflezen en met

deze gegevens eenvoudige berekeningen

uitvoeren.

12 De leerlingen kunnen een kruistabel (= indeling

op meerdere categorieën) samenstellen.

bv.

leerj. jongens meisjes totaal

1 9 8 17

2 11 10 21

3 12 14 26

...


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

13 De leerlingen kunnen van een kruistabel


gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren.

14 De leerlingen kunnen in een kruistabel

verbanden tussen gegevens ontdekken en

interpreteren.

15 De leerlingen kunnen bij een staafgrafiek (of

histogram) de betekenis van de twee assen

afleiden en vanuit deze gegevens de staven

benoemen.

16 De leerlingen kunnen van een staafgrafiek (of

histogram) de keuze van de intervallen, de

maateenheden, de meetpunten en de verhouding

met de reële kwantitatieve gegevens vaststellen.

17 De leerlingen kunnen van een staafgrafiek (of

histogram) kwantitatieve gegevens aflezen en

met deze gegevens eenvoudige berekeningen

uitvoeren.

18 De leerlingen kunnen een staafgrafiek (of

histogram) samenstellen.

19 De leerlingen kunnen een staafgrafiek (of

histogram) interpreteren.

20 Als in een staafgrafiek een evolutie wordt

weergegeven, kunnen de leerlingen die

ontdekken en verwoorden.

Dit soort staafgrafiek kunnen ze omzetten naar

een lijngrafiek.

21 De leerlingen kunnen van een lijngrafiek de

keuze van de intervallen, de maateenheden en

de verhouding met de reële kwantitatieve

gegevens vaststellen.

22 De leerlingen kunnen van een lijngrafiek


gegevens eenvoudige bewerkingen uitvoeren.

23 De leerlingen kunnen een lijngrafiek

samenstellen.

24 De leerlingen kunnen, bij een lijngrafiek,

schattingen van kwantitatieve gegevens maken

tussen twee meetpunten.

25 De leerlingen kunnen de evolutie die door een

lijngrafiek wordt weergegeven ontdekken,

verwoorden en interpreteren.

ET

5.2*


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

26 De leerlingen kunnen van een cirkelgrafiek (of

sectordiagram) verwoorden dat:

- de oppervlakte van de cirkel het totaal

aanduidt; .....................................................

- de sectoren de delen of percentages van het

geheel aanduiden. .......................................

27 De leerlingen kunnen van een cirkeldiagram (of

sectordiagram) kwantitatieve gegevens aflezen

en met deze gegevens eenvoudige bewerkingen

uitvoeren.

28 De leerlingen kunnen een cirkelgrafiek (of

sectordiagram) tekenen aan de hand van

gegevens.

Op de cirkel is de verdeling gegeven.

29 De leerlingen kunnen het gemiddelde bepalen

van een aantal hoeveelheden aangeboden in een

opsomming, een tabel, een grafiek.

30 De leerlingen kunnen verschillende grafische

voorstellingen van dezelfde gegevens met

elkaar vergelijken en kritisch beoordelen.

ET

5.2*

31 De leerlingen kunnen van een aantal

hoeveelheden, aangeboden in een opsomming, een tabel of een grafiek, de modus en de mediaan bepalen.


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.19 SCHATTEN

1 De leerlingen kunnen het resultaat van een te

maken bewerking schatten.

ET

1.16

2 De leerlingen kunnen schattingsstrategieën vlot

toepassen

ET

1.16

bv.

- bepalen van de beste schatting

5 x 47 ® 5 x 40 of 5 x 50 of 5 x 60 of ...

- groter - kleiner, meer - minder

4200 : 7 = 600 dus 4235 : 7 is meer dan

600

- plaatsen tussen tientallen, honderdtallen,

...

12 x 26 ligt tussen 10 x 20 en 20 x 30

- rekenen met afgeronde getallen

382 + 819 ® 400 + 800

3 De leerlingen maken spontaan een schatting bij

cijferoefeningen en contextopgaven.

ET

1.16

4 De leerlingen hanteren de schatting als een

handig controlemiddel bij cijferoefeningen en

contextproblemen.

bv. bij cijferen: verifiëren of de komma (juist)

geplaatst is.

ET

1.16

5 Indien de schatting te veel afwijkt van het

bekomen resultaat bij cijferoefeningen en

contextproblemen, sporen de leerlingen

spontaan de fout op.

ET

1.16

6 In een bespreking van een opgave, voorgesteld

in vorige doelen, kunnen de leerlingen hun

schatprocedure verwoorden, vergelijken met

andere procedures en de meest effectieve

vinden en toepassen.

7 De leerlingen weten wanneer een exacte of een

geschatte berekening aangewezen is en kunnen

dit toepassen in contexten.

8 De leerlingen kunnen bij schatting de graad van

nauwkeurigheid (te groot, te klein) bepalen en

aanpassen aan de context.


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.20 CIJFEREND OPTELLEN


cijferend optellen.

( max. 5 getallen, som < 10 000 000)

ET

1.24

2 De leerlingen kunnen natuurlijke getallen en

kommagetallen cijferend optellen.

ET

1.24

3 De leerlingen kunnen kommagetallen cijferend

optellen.

ET

1.24


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.21 CIJFEREND AFTREKKEN


cijferend aftrekken.

(aftrektal < 10 000 000 - max. 8 cijfers)

ET

1.24

2 De leerlingen kunnen een natuurlijk getal

cijferend aftrekken van een kommagetal.

3 De leerlingen kunnen kommagetallen cijferend

aftrekken zowel van een natuurlijk getal als

van een kommagetal.

ET

1.24


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.22 CIJFEREND VERMENIGVULDIGEN


vermenigvuldigen met een ander natuurlijk

getal bestaande uit:

ET

1.24

- één cijfer .....................................................

- twee cijfers .................................................

- drie cijfers ..................................................

2 De leerlingen kunnen een natuurlijk getal en/of

kommagetal cijferend vermenigvuldigen met

een ander natuurlijk getal en/of kommagetal

(vermenigvuldiger maximum drie cijfers -

product maximum 8 cijfers).

ET

1.24

3 De leerlingen kunnen bij vermenigvuldigen met

een kommagetal de plaats van de komma

bepalen via een schatting of via de som van het

aantal cijfers na de komma in beide factoren.

4 De leerlingen kunnen de commutativiteit van

de vermenigvuldiging toepassen bij de keuze

van de vermenigvuldiger voor de uitvoering

van het algoritme.


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.23 CIJFEREND DELEN


cijferend delen door:

- een natuurlijk getal van één cijfer tot op 1

nauwkeurig. ..............................................

ET

1.24

- een natuurlijk getal van twee cijfers tot op

1 nauwkeurig .............................................

- een natuurlijk getal van één cijfer tot op

0,1 en 0,01 nauwkeurig (tot op 0,001 nauwkeurig). .............................................

De leerlingen kunnen een kommagetal cijferend

delen door een natuurlijk getal van één cijfer

tot op 1 - 0,1 - 0,01 nauwkeurig (tot op 0,001 nauwkeurig) . .....................................................

De leerlingen kunnen een natuurlijk getal of

kommagetal cijferend delen door :

- een natuurlijk getal bestaande uit meer dan

één cijfer tot op 1 - 0,1 - 0,01 nauwkeurig

(tot op 0,001 nauwkeurig). .......................

- een kommagetal bestaande uit 2 of 3

cijfers tot op 1 - 0,1 - 0,01 nauwkeurig (tot op 0,001 nauwkeurig). ........................

2 De leerlingen kunnen de eigenschap 'het

quotiënt verandert niet van waarde als men het

deeltal en de deler vermenigvuldigt met of

deelt door eenzelfde getal' toepassen om bv. de

komma of de nullen weg te werken.

3 De leerlingen kunnen na de uitvoering van het

algortime van de deling de juiste waarde van

het resterend getal bepalen.

1.24 CIJFEREN ALGEMEEN


Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1 De leerlingen kunnen de getallen van een

cijferoefening ordelijk schikken, waar nodig

aanvullen met nullen en de oefening

zorgvuldig uitwerken.

2 De leerlingen kunnen het resultaat van een

cijferoefening controleren door:

- het resultaat te vergelijken met de

schatting, ...................................................

- de omgekeerde bewerking uit te voeren, ....

- de bewerking uit te voeren met de

zakrekenmachine, ......................................

- het resultaat te toetsen aan de realiteit die

in de context is weergegeven, ....................

- de negenproef toe te passen ........................

en beseffen ook de beperkingen van elk van

deze strategieën.

3 Bij cijferoefeningen kunnen de leerlingen een

ontbrekende term berekenen.

ET

1.11

4 Bij cijferoefeningen kunnen de leerlingen

ontbrekende cijfers in de termen vinden (=

vleksommen)

bv. 6 2 9

x . 5

3 . 4 .

. . 8 7

ET

1.11

5 De leerlingen kunnen reflecteren over de

cijferalgoritmes.

bv. De leerlingen kunnen fouten in eigen of

andermans uitwerking opsporen,

corrigeren en ontwikkelen strategieën om

deze fouten te vermijden.

6 De leerlingen hebben weet van andere

cijferalgoritmes.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN REKENEN TOT 20 125

Domein 1: GETALLEN

Bewerkingen

OD

ET

kleuters


1ste fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.25 DE ZAKREKENMACHINE

1 De leerlingen kunnen de zakrekenmachine aan-

en uitzetten; ze kunnen ermee experimenteren

en exploreren het gebruik ervan.

2 De leerlingen kunnen de volgende toetsen

correct gebruiken:

ET

1.6

+ - = ............................................ 1.26

x ̧ ............................................ 1.27

. (kommatoets) ...........................................

C- en CE-toets ...........................................

% en geheugentoets ..................................

3 De leerlingen weten wanneer ze een

zakrekenmachine zinvol kunnen gebruiken.

4 De leerlingen kunnen verbaal aangeboden

natuurlijke getallen intikken.

ET

1.26

5 Ze kunnen verbaal aangeboden kommagetallen

intikken.

ET

1.26

6 Ze kunnen de zakrekenmachine vlot en correct

gebruiken bij de hoofdbewerkingen met

grotere getallen in zinvolle contexten en/of als

controlemiddel. .................................................

Ze kunnen dit ook met:

- kommagetallen;

- grotere reeksen getallen. ............................

7 Ze kunnen de zakrekenmachine correct

gebruiken bij het omzetten van breuken in

kommagetallen.

ET

1.26

1.27

8 Ze kunnen de zakrekenmachine correct

gebruiken om percentages te berekenen.

ET

1.25

9 Ze kunnen een reeks opeenvolgende bewerkingen (eventueel met haakjes ) correct berekenen met de zakrekenmachine.

10 Ze kunnen met de zakrekenmachine de rest bepalen van een deling.

11 De leerlingen weten dat er verschillende

rekenmachines bestaan en zijn in staat om deze

te exploreren.


Hoofdstuk 2: DIDACTISCHE KATERNEN GETALLEN

1 Rekenen tot 20

1.1 Inleiding

De periode van het aanvankelijk rekenen beschouwen we als die periode waarin het kind leert om

praktisch gebruik te maken van 'getallen en andere rekensymbolen'.

Dit praktisch gebruikmaken van getallen en rekensymbolen onderstelt een voortschrijdend proces

van mathematisering. Bij dit proces wordt er vertrokken van de realiteit en de handelingswereld van

het kind om via materialen (rekenrek, multilinkmateriaal ...), modellen (busmodel, teltrein ...),

schema's (lege getallenlijn ...), tabellen en notatiewijzen uiteindelijk, in een latere fase, tot het

formele rekenen te komen.

Rekenen is mentaal handelen, maar kan (moet kunnen) terugvallen op concreet handelen. Vandaar

het belang van het vertrekken vanuit de realiteit en van het veelvuldig gebruik van materiaal.

Telervaringen sluiten zeer nauw aan bij de leefwereld van het kind. Tijdens het spel van kinderen

wordt er onbewust heel wat geteld.

Het vertrekpunt voor het aanvankelijk rekenen in het eerste leerjaar is dan ook het tellen, maar de

getelde hoeveelheden worden dan wel onmiddellijk gestructureerd.


1.2 Rekenen tot 10

Stappen in het proces

Materialen

Stap 1: Aftellen

Tijdens deze fase leren de kinderen de telwoorden in de

juiste volgorde opzeggen. Er worden geen

hoeveelheden geteld.

De kwantitatieve ordeningsbegrippen: meer, minder,

evenveel, komen tijdens deze fase ook aan bod.

De hoeveelheden worden vergeleken door middel van

de één-één-relatie.

Voor meer suggesties bij deze stap verwijzen we naar

het didactisch katern Ontluikende gecijferdheid waar

zowel op begripsvorming als op tellen dieper wordt

ingegaan.

- liederen en/of versjes

- aftelspelletjes

Stap 2: Resultatief tellen

De kennis van de telrij wordt gekoppeld aan het tellen

van hoeveelheden. (Hoeveel zijn er?)

Het resultatief tellen is zeer complex. Het

moeilijkheidsniveau wordt bepaald door:

- de verinnerlijking: we laten de voorwerpen

manipuleren, vervolgens aanwijzen en ten slotte

tellen met de ogen.

- de organisatie van het materiaal: een geordende rij

is gemakkelijker dan een ongestructureerde hoop.

Dezelfde voorwerpen tellen makkelijker dan

verschillende. Sommige dingen kun je niet

aanraken, andere moet je tellen terwijl ze bewegen.

- de context: hoe dichter de telervaring aansluit bij

de concreet herkenbare situatie, hoe makkelijker;

kleurpotloden in een doos tellen is makkelijker dan

tellen hoeveel appels er getekend staan.

Ook over tellen en resultatief tellen vind je meer in het

didactisch katern Ontluikende gecijferdheid.

- allerlei materialen uit de reële leefsituatie

van de kinderen: kleurpotloden,

speelgoed, dingen uit de poppenkast,

materialen in de kast, de stoelen en

tafels, de jassen aan de kapstok, de

fietsen in het fietsrek, de appels onder

de boom, de kinderen zelf, ...

- schematisch voorgestelde realiteiten

Stap 3: Koppeling symbool - hoeveelheid

We leren de cijfersymbolen aan: de leerling neemt een

gepaste hoeveelheid bij een gegeven cijfer en

omgekeerd.

- concreet materiaal

- schematisch materiaal

(hoeveelheidskaarten)

- symboolkaarten


Stap 4: Hoeveelheden (en hun symbolen)

vergelijken

Al tellend (niet meer door de één-één-relatie) bepaalt

het kind of een hoeveelheid meer of minder is dan een

andere. Er worden ook symbolen (cijfers) vergeleken.

- concreet materiaal

- schematisch materiaal

(hoeveelheidskaarten)

- symboolkaarten

Stap 5: Kleine hoeveelheden 'op zicht' herkennen.

Deze stap is fundamenteel. Het herkennen van kleine

hoeveelheden zonder te tellen is een voorwaarde voor

het automatiseren van de basissommen tot 10. De

hoeveelheden worden gestructureerd aangeboden.

In een latere fase worden de hoeveelheden ook

ongestructureerd aangeboden en door de kinderen zelf

in een vaste structuur gelegd of getekend.

- hoeveelheidskaarten met een structuur

(steeds dezelfde!)

- vijfstructuur

- kwadraat

- domino

- flashkaarten

Stap 6: Splitsen van hoeveelheden

Met concreet materiaal worden de reeds aangeleerde

hoeveelheden en hun symbolen gestructureerd in twee

groepjes.

Het is een zuiver materiële fase: de splitsing wordt

gelegd, verwoord en eventueel genoteerd. Het

automatiseren volgt later.

- concrete materialen

- splitsdozen

Stap 7: Ordenen van de getallen op de getallenlijn

Alle gekende getallen worden geordend van klein naar

groot en gesitueerd op een getallenlijn. De kinderen

leren deze lijn gebruiken als 'telstructuur' Ze leren

door- en terugtellen (van 5 door tot 8, van 8 terug tot

3). Dit door- en terugtellen is een belangrijke

handelingsstructuur voor de latere automatisatie van de

basissommen.

Alle getallen tot 10 worden op dezelfde wijze aangepakt. Uiteindelijk kunnen de kinderen de hoeveelheden tot 10 tellen, benoemen, ordenen en structureren.

- een klassikale 'ballenketting' (een ketting

met ballen i.p.v. kralen)

- een getallenlijn


Stap 8: Omzetten van een handeling in een formule

(HÞF)

We gebruiken getallen niet enkel om hoeveelheden te

benoemen, maar ook (en vooral) om erbij- en eraf-

handelin-gen te ‘mathematiseren’.

De bewerkingssymbolen (+, -) en het gelijkheidsteken

(=) worden in deze fase aangeleerd.

Bij het omzetten van een verhaal in een som en bij het

bedenken van een verhaal bij een som, kan

gebruikgemaakt worden van modellen. Zo een model

moet in een zinvolle context geplaatst kunnen worden.

Een voorbeeld daarvan is het 'busmodel’ of de

‘busverhaaltjes'.

- reële situaties

- prentsituaties

- bus- of treinmodel

- bewerkings- en cijfersymbolen


Stap 9: Automatiseren van de sommen tot 10

De sommen tot 10 moeten vlot uit het hoofd opgelost

kunnen worden. Op zeker moment moeten we dus het

materiaal kunnen weglaten wanneer we sommen gaan

maken.

Om in deze fase tellen te vermijden, laten we de

kinderen met een kralenketting of met een rekenrek

werken. Door het werken met gestructureerde

materialen, groeien vaste getalbeelden en kunnen

kinderen hoeveelheden in één keer identificeren (zie

stap 5). Wij opteren voor materialen met een

vijfstructuur (kralenketting, rekenrek) omdat ze ook

kunnen worden gebruikt bij het rekenen tot 20 en

omdat ze een gemakkelijke overgang naar de

getallenlijn en later ook naar een kralenketting met 100

kralen mogelijk maken. Ook bieden ze het voordeel dat

ze voor kinderen heel gemakkelijk te hanteren zijn. Het

is echter evident dat ook andere materialen (met bv.

een kwadraatstructuur) kunnen worden gebruikt om de

sommen tot 10 stapsgewijs te automatiseren. Wel is het

belangrijk dat de voorstelling van een bepaalde

hoeveelheid (bv. 3) zichtbaar blijft in de volgende

hoeveelheden (bv. in 4, in 6). Bij dominobeelden is dit

niet het geval. Het gebruik van Cuisenaire-staafjes

heeft als nadeel dat het aantal (bv. 5) niet zichtbaar is.

Het getal wordt gekoppeld aan een kleur (bv. 5 is geel)

en een lengte, maar de kinderen zien in de staaf geen '5'

blokjes, eenheden.

Hierna bespreken we aan de hand van het gebruik van

de kralenketting een aantal stappen om de sommen tot

10 stapsgewijs te verinnerlijken.

9.1 De sommen worden volledig materieel op de

kralen-ketting geschoven.

9.2 Een gedeelte van de handeling wordt innerlijk

verricht. Enkel het uitgangsgetal wordt gelegd,

erbij en eraf wordt ‘gekeken’. Verwoording zoals

in 9.1

9.3 De handeling wordt innerlijk verricht. De

kinderen mogen wel naar de kralenketting

wijzen. De verwoording blijft zoals in 9.1

9.4 De kralenketting blijft voor de kinderen liggen.

Er wordt niet meer hardop verwoord. De leerling

verwoordt innerlijk, terwijl hij kijkt. Hij mag wel

gebaren maken om zijn verwoording te

ondersteunen.

9.5 De kralenketting wordt niet meer gebruikt. Er is

wel een groot klassikaal schema van de ketting,

dat biedt visuele ondersteuning, nu echter in

twee dimensies.

9.6 De sommen worden nu volledig mentaal

opgelost.

- kralenketting (met 2 vijfstructuren)

- rekenrek


Stap 10: Automatiseren van de splitsingen tot 10

De automatische kennis van de splitsingen tot 10 is

onontbeerlijk voor het verdere rekenproces.

10.1 Met behulp van de kralenketting wordt een

hoeveelheid gesplitst, de twee termen worden

benoemd en de splitsing wordt genoteerd.

10.2 Zie 10.1 De splitsing wordt niet meer uitgevoerd

op de kralenketting, maar visueel aangeboden in

schematische vorm. De kinderen verwoorden en

noteren in T-schema of als som (9=5+4)

10.3 Zie 10.2 De splitsing wordt niet meer visueel

aan-geboden. De leerling krijgt enkel nog steun

van het volledige (ongesplitste) getal.

10.4 De splitsingen worden volledig mentaal opgelost.

- kralenketting

- rekenrek

- splitsingsdoosjes (met deksel dat in 2

helften opengaat)

Verworven deelvaardigheden

Alhoewel de hierboven beschreven stappen in de realiteit niet ten volle van elkaar te scheiden zijn

en in elkaar overvloeien, moeten we erover waken dat een aantal deelvaardigheden zeker verworven

zijn. Tussentijds kunnen volgende deelvaardigheden worden getoetst:

- kunnen tellen (aftellen en resultatief);

- de koppeling symbool - hoeveelheid beheersen;

- hoeveelheden en hun symbolen kunnen vergelijken;

- kleine hoeveelheden op zicht kunnen herkennen;

- hoeveelheden tot 10 kunnen structureren en splitsen;

- de getallen kunnen ordenen op een getallenlijn;

- een handeling in een formule kunnen omzetten en omgekeerd en daarbij de gepaste cijferen

rekensymbolen kunnen hanteren;

- rekenhandelingen kunnen uitvoeren en verwoorden;

- de sommen (+ en -) en de splitsingen tot 10 geautomatiseerd hebben.


1.3 Rekenen tot 20

Als basis voor het rekenen nemen we het veelvuldige, spontane tellen van kinderen. Rekenen is

immers gebaseerd op tellen. Tellen is het één voor één afgaan van de telrij. Optellen en aftrekken is

het sprongsgewijze tellen waarbij een hoeveelheid in zijn geheel wordt beschouwd (6 is 6 en niet 1,

2, 3, 4, 5, 6). Optellen en aftrekken zijn dus gebaseerd op tellen.

Het bijzondere van ons getalsysteem komt pas tot uiting als we met getallen groter dan 10 gaan

werken. Om het rekenen met getallen groter dan 10 onder de knie te krijgen, moeten kinderen

inzicht verwerven in het positiestelsel. Dit inzicht beduidt dat het kind, bij het structureren van

hoeveelheden in getallen, steeds van maateenheid wisselt na een afgesproken hoeveelheid. Tien

losse blokjes worden een staaf, tien staven worden een plak, tien plakken worden ingewisseld in een

blok enzovoort. Dankzij dit inwisselprincipe kunnen we oneindig grote of oneindig kleine getallen

schrijven met slechts tien symbolen.

Dit inzicht in de getalstructuur hebben we in een later stadium nodig als basis voor het

'hoofdrekenen' en het 'cijferen'.


1.3.1 Getalbegrip tot 20 Stappen in het proces

Materialen

Stap 11: Tellen tot 20

De kinderen leren hoeveelheden tellen tot 20. We

controleren of iedereen de telrij kent.

Dan koppelen we het tellen aan resultatief tellen: tellen

om de hoeveelheid te bepalen. Bij grotere

hoeveelheden kan dit het makkelijkst door de

hoeveelheid te ordenen: we groeperen steeds eerst tien

en tellen dan de rest.

- concrete voorwerpen

- eierdozen van 10

- kralenketting

- rekenrek

- twintigveld met vijfstructuur

Stap 12: Koppelen van symbolen aan getelde

hoeveelheden

De hoeveelheden worden gestructureerd en geteld in

een schema. Onderaan wordt genoteerd wat er gelegd

werd.

De leerlingen gebruiken concreet materiaal (bv. een

volle eierdoos, die dan dichtgaat en een tweede doos

met nog drie losse).

Nadien kan o.a. ook multilink-materiaal gebruikt

worden om het inwisselprincipe te visualiseren (tien

losse blokjes worden samengeklit tot een staaf).

Het lezen en schrijven van tweecijferige getallen

We blijven even stilstaan bij het lezen van

tweecijferige getallen omdat dat in onze taal meer

problemen geeft dan in andere talen. Daarom is het

belangrijk om bij activiteiten er regelmatig op te wijzen

(zelfs in te oefenen), dat wij eerst de losse zeggen en

daarna de groepjes van 10. Van links naar rechts

schrijven we eerst de groepjes van tien en dan de losse.

- eierdozen

- multilink-materiaal

- optima-blokken

- MAB-materiaal (staven, losse)


Stap 13: Hoeveelheden tot 20 vergelijken

Al tellend bepaalt het kind of een hoeveelheid meer of

minder is dan een andere.

Er kunnen concrete hoeveelheden vergeleken worden

en ook de getalsymbolen zelf. In dat laatste geval moet

het kind steeds kunnen teruggrijpen naar concreet

materiaal om deze symbolen voor te stellen.

- hoeveelheidskaarten

- symboolkaarten

Stap 14: Snel herkennen van voorgestructureerde

hoeveelheden

Er worden aan de kinderen voorgestructureerde

hoeveelheden aangeboden (op flashkaarten, op een

bedekbaar transparant, ...)

De hoeveelheden worden echter steeds geordend in 10

en nog losse (die op zich ook gestructureerd zijn).

- flashkaarten

- transparanten

Stap 15: Getallen tot 20 structureren in een tiental

en eenheden

Met materiaal wordt ieder getal systematisch

gestructureerd.

De wijze van structurering is afhankelijk van het

gekozen materiaal, essentieel is evenwel dat steeds een

ordening naar tien wordt gemaakt. In een twintigveld

met vijfstructuur werken, lijkt ons de meest

aangewezen weg. Twee eierdozen van 10 eieren zijn

prachtig en goedkoop materiaal; een kaart met een

eenvoudig raster waarop kinderen hoeveelheden

voorwerpen (bv. blokjes, flippo's, kroonkurken) kunnen

structureren, voldoet ook. De kralenketting met

vijfstructuur is hier iets minder interessant omdat het

structureren in tien en losse hier hoofddoel is. Een

kralenketting met tienstructuur is wel zinvol, vooral

omdat deze ook uiterst nuttig kan worden aangewend

bij het uitbreiden van de getallenrij tot 100.

De structurering in geautomatiseerd (15 is 10 en 5).tien

en losse wordt

- splitskaarten

- rekenrek

- kralenketting

- eierdozen van 10

- twintigveld met vijfstructuur

- T-schema


Stap 16: Opbouwen van de getallenlijn tot 20

De hoeveelheden tot 20 en de symbolen worden

geordend op een getallenlijn.

De leerlingen leren door- en terugtellen op deze lijn.

Het werken met een getallenlijn biedt het voordeel dat

de relatie tussen de getallen verduidelijkt wordt.

Bovendien is de getallenlijn een handig instrument bij

het hanteren van rekenstrategieën, zowel bij optellen en

aftrekken tot 20 en verder.

- getallenlijn

- ballenketting (klassikaal)

De ballenketting (zie ook stap 7) is eigenlijk een

grote klassikale kralenketting, die geleidelijk

met de kinderen opgebouwd wordt. Telkens er

een getal aangeleerd wordt komt er een nieuwe

bal bij op die ketting (op elke bal staat een

cijfersymbool). Tussen elke bal wordt een

wasknijper geplaatst. De ballen kunnen gekleurd

zijn zodat we hier ook weer de vijfstructuur

kunnen inbrengen.

Het is vooral de bedoeling om de gekende

getallen te ordenen op de getallenlijn en om

door- en terug-teloefeningen op deze lijn uit te

voeren. Er moet ook op de wasknijpers gewerkt

worden: de leraar toont een knijper en vraagt

aan de kinderen: 'Hoeveel ballen hebben we

moeten tellen om bij deze knijper te komen?' Dit

soort oefeningen is noodzakelijk om de

volgende stap te zetten naar de getallenlijn

zonder symbolen. Op een bepaald ogenblik

vervangt de leraar de ballen door

symboolkaarten die aan de wasknijpers worden

gehangen. Hij/zij moet deze stap samen met de

kinderen zetten: aan de eerste spijker hadden we

nog geen enkele bal geteld (symboolkaartje 0),

aan de tweede knijper hadden we één bal geteld

(symboolkaartje 1) en zo verder.

De kinderen bouwen een getallenlijn op en

krijgen meteen inzicht in de positie van de nul

op de lijn. Bij het streepje van nul hebben we

immers nog niet geteld.

- kralenketting

Verworven deelvaardigheden

De hierboven beschreven stappen zijn in de realiteit niet ten volle van elkaar te scheiden. Toch moeten we

erover waken dat een aantal deelvaardigheden verworven zijn. Tussentijds kunnen volgende

deelvaardigheden worden getoetst:

- kunnen 'tellen' tot 20;

- de koppeling symbool-hoeveelheid beheersen;

- voorgestructureerde hoeveelheden tot 20 snel kunnen herkennen;

- getallen tot 20 kunnen structureren in een tiental en eenheden;

- een getallenlijn tot 20 kunnen opbouwen.


1.3.2 Bewerkingen tussen 10 en 20

Stap 17: Bewerkingen tussen 10 en 20

17.1 Handelingen uit de realiteit dienen te worden

omgezet in een somnotatie, een formule. Het

busmodel, ook wel buscontexten of busverhalen

genoemd, kan daarbij een belangrijk hulpmiddel

zijn.

Ook een of andere teltrein kan op gelijkaardige

wijze worden aangewend en biedt bovendien

mogelijkheden om de stap naar het meer

schematische twintigveld of het rekenrek te

vergemakkelijken. Deze trein bestaat immers uit

een locomotief en twee wagons met telkens tien

passagiers (houten poppetjes) verdeeld in twee

rijen van vijf.

Nadien wordt gegeneraliseerd via andere verhaaltjes.

Vervolgens wordt de formule uitgerekend met behulp

van de kralenketting, de getallenlijn, het rekenrek of

het twintigveld met vijfstructuur.

Ten slotte worden de somnotaties stapsgewijs

verinnerlijkt.

We illustreren dit aan de hand van het

rekenrek/twintigveld:

- Eerst wordt met het rekenrek/twintigveld

geschoven, eventueel bijgelegd/weggenomen.

De handeling wordt verwoord.

- Het erbij/eraf wordt erbij of eraf 'gekeken'.

- Het materiaal wordt niet meer aangeraakt, de

hele handeling wordt 'gekeken'.

- De opgave wordt opgelost op perceptief niveau

(kijken naar het klassikale rek).

- Mentaal niveau: geen ondersteuning van

materiaal en geen luidop verwoorden meer.

17.2 Optelsommen waarbij de tweede term groter is

dan de eerste.

Dit soort oefeningen wordt steeds opgelost via de

commutativiteit. We laten de kinderen ervaren via

concreet materiaal, busschema, ... dat de termen bij een

optelling verwisseld mogen worden.

- rekenverhalen

- kralenketting

- teltrein

(bv. twee eierdozen met wieltjes)


1.3.3 Bewerkingen met overschrijden van het tiental

Stap 18: Bewerkingen met overschrijden van het

tiental.

De bewerkingen met overschrijding van het tiental tot

twintig zijn een belangrijke stap in het leerproces en

moeten de nodige aandacht krijgen. Dit wil echter niet

zeggen dat de school er niet kan voor opteren om eerst

de getallenrij tot 100 uit te breiden en zelfs optellingen

en aftrekkingen tot 100 binnen hetzelfde tiental (bv. 37

+ 2, 88 - 7) aan te bieden. Het overbruggen doen we

echter grondig tot 20 voor we de andere

overbruggingen aanpakken.

Rekenvaardige kinderen zullen als het ware op een

bijna natuurlijke wijze op zoek gaan naar een strategie

bij het overbruggen van 10. Deze kinderen zullen 7+6

oplossen als 7+3+3 of zullen bijvoorbeeld de

verdubbeling gebruiken en 7+6 oplossen als 6+6+1.

Rekenzwakke leerlingen hebben echter behoefte aan

één vaste basisstructuur. We opteren voor hen voor de

techniek van 'aanvullen tot 10' (8+5=8+2+3) als

basisprincipe.

Daarvoor moet het kind niet alleen de splitsingen van

alle getallen tot 10 blindelings kennen. Het moet ze ook

in zijn geheugen kunnen vasthouden. Het eerste getal

aanvullen tot 10 met het eerste deel van de splitsing en

dan pas de rest van deze splitsing bij 10 voegen. Het

materiaal moet aanzetten tot het sprongsgewijs tellen.

De kralenketting en het rekenrek of het twintigveld met

vijfstructuur blijven het meest aangewezen materiaal

om het splitsen en het sprongsgewijs tellen onder de

knie te krijgen.

Later wordt er overgestapt naar het werken met een

lege getallenlijn. Deze lege getallenlijn is bijna een

natuurlijk vervolg op de kralenketting en is allicht één

van de krachtigste hulpmiddelen bij het rekenen tot 100

(en tot 20).

De voorwaarde om de lege getallenlijn te kunnen

hanteren is echter wel dat het kind de

basisvaardigheden van het splitsen en het

sprongsgewijs tellen bezit.

- kralenketting

- rekenrek


18.1 Vertrekkend vanuit contexten met een

modelfunctie (bv. busmodel of de teltrein) wordt

de handeling omgezet in een formule. Kinderen

zien de dynamische verandering, daardoor

realiseren ze zich wat er gebeurt. Aan de

handeling kunnen kinderen een bepaalde

betekenis koppelen. Ook het nulprobleem

kunnen we binnen deze contexten bevattelijk

maken (0 betekent dat er niemand op de

bus/trein zit, dat er niemand op- of afstapt of dat

iedereen afstapt).

18.2 Gebruikmakend van gestructureerd materiaal

worden de oefeningen opgelost. Door de

structuur kunnen de kinderen het resultaat ineens

'zien'.

18.3 Stapsgewijze verinnerlijken we met behulp van

hetzelfde gestructureerd materiaal.

Als voorbeeld werken we dit hierna uit met

behulp van het rekenrek/twintigveld:

- Eerst wordt met het rekenrek/twintigveld

geschoven, eventueel bijgelegd/

weggenomen. De handeling wordt

verwoord.

- Het erbij/eraf wordt erbij of eraf 'gekeken'.

- Het materiaal wordt niet meer aangeraakt,

de hele handeling wordt 'gekeken'.

- De opgave wordt opgelost op perceptief

niveau (kijken naar het klassikale rek).

- Mentaal niveau: geen ondersteuning van

materiaal en geen luidop verwoorden meer.


Stap 19: Integratie van alle somtypen: gebruik van

de lege getallenlijn

Alle mogelijke sommen tot 20 kunnen nu worden

opgelost. De kinderen gebruiken gestructureerd

materiaal met vijfstructuur.

Daarnaast kunnen zij deze sommen ook oplossen met

behulp van de getallenlijn. Zo worden ze aangespoord

om sprongsgewijze te blijven rekenen en dit met een

hulpmiddel (model) dat ook bij het rekenen tot 100 en

1000 grote diensten zal kunnen blijven leveren.

We vatten de stappen even samen:

- de lege getallenlijn wordt aan de kralenketting

gekoppeld;

- er worden sommen gemaakt met behulp van de

lege getallenlijn: er wordt sprongsgewijze

geteld naar het tiental (rijgmethode);

- sommen tot 20 worden volledig mentaal

opgelost.

- kralenketting (ruiters)

- ballenketting (wasknijpers)

- getallenlijn

Stap 20: Automatiseren van de splitsingen tot 20

De splitsingen tot 20 worden geautomatiseerd.

De automatische kennis van de splitsingen tot 20 is

belangrijk voor het verdere rekenproces.

Zowel de splitsingen zonder brug (type 17 is 4 en 13)

als splitsingen met brug (17 is 8 en 9) komen aan bod.

Deze automatisering gebeurt door dergelijke types

oefeningen geregeld in te oefenen volgens de stappen

die we in 18.3 opsomden.

Een zinvolle oefenvorm is de splitsing die aangeboden

wordt in T-schema.

140 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN

1.4 Besluit

Het proces dat kinderen doormaken bij het leren rekenen is ongetwijfeld een ingewikkeld en

complex proces. Kinderen ontwikkelen bij het rekenen vaak ook eigen strategieën, waarin

wij als leraar niet meteen inzicht hebben. We hebben de didactiek van het rekenen tot twintig

in deze katern in twintig stappen opgedeeld.

We beseffen heel goed dat deze opdeling, zoals elke opdeling, altijd wat kunstmatig zal

blijven en de beschreven stappen in de realiteit niet ten volle van elkaar te scheiden zijn en

in elkaar zullen overvloeien.

Toch hebben we voor deze vorm gekozen omdat we leraren een belangrijk hulpmiddel ter

hand willen stellen.

- Ten eerste verwachten we dat de ingewikkelde rekenprocessen voor leraren op die

manier duidelijker zullen worden.

- Ten tweede hebben we vanuit de zorgverbredingsgedachte leraren een instrument ter

hand willen stellen dat hen kan helpen bij de evaluatie en de remediëring.

Door de indeling in stappen moet het immers mogelijk zijn voor de leraren om in de

meest voorkomende gevallen vrij snel te ontdekken in welke stap van het proces

kinderen vastlopen. Daaraan gekoppeld kan uit deze suggesties opgemaakt worden

met welk soort oefeningen en met welk soort materialen kinderen weer op het juiste

spoor kunnen gezet worden.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN HOOFDREKENEN 141

2 Hoofdrekenen 2.1 Wat is hoofdrekenen?

Hoofdrekenen wordt meer en meer benadrukt in de recente ontwikkelingen van het

reken/wiskundeonderwijs. Hier zijn allerlei redenen voor:

- Hoofdrekenen heeft men in het dagelijkse leven veel meer nodig dan cijferrekenen.

Ondanks het invoeren van de zakrekenmachine blijft het handig de berekening vlug uit het

hoofd te kunnen maken.

- Hoofdrekenen is maatschappelijk heel belangrijk. Personen die vaardig en met inzicht

kunnen hoofdrekenen, winnen aan zelfvertrouwen. Zij krijgen greep op de wiskundige

elementen van hun omgeving.

- Hoofdrekenen helpt bij het maken van een vlugge schatting. Zo'n vlugge schatting geeft ons

onmiddellijk een benaderende uitkomst en geeft meteen een goede controle op de

uitgerekende oplossing. Denk maar aan de correcte plaatsing van de komma in

kommagetallen.

- Hoofdrekenen bevordert de kritische houding ten aanzien van getalsmatige informatie.

- Hoofdrekenen heeft een belangrijke vormende waarde:

- Het leert een verantwoorde keuze te maken bij het kiezen van een

oplossingsmethode. Het probleemoplossend, flexibele denkvermogen wordt

geactiveerd en gestimuleerd.

- Het afwegen tegenover elkaar van mogelijke oplossingswijzen kan bij de leerlingen

de attitude tot stand brengen zich eerst te bezinnen alvorens te beginnen.

- Het individuele denken wordt gestimuleerd. De leerling moet steeds bedacht zijn op

het vinden van kortere en betere oplossingsmethodes.

- Het biedt een enorme hulp bij het cijferen.

- Bij het werken met contexten speelt het hoofdrekenen een zeer belangrijke rol. Bij het

opsporen van een mogelijke oplossingsweg is het zeer handig al hoofdrekenend bij

benadering de gevolgen van een gekozen weg te onderzoeken.

In verband met de term 'hoofdrekenen' zijn er echter verscheidene omschrijvingen en stromingen

aan te geven. Traditioneel werd het hoofdrekenen geïnterpreteerd als het puur rekenen uit het hoofd,

rekenen zonder papier, snel en zonder aarzelingen. Een typische uitwerking hierbij is het

zogenaamde commandorekenen.

In een modernere visie wordt meer aandacht besteed aan het handig werken met structuren van

getallen en hun eigenschappen. Of er gebruik wordt gemaakt van pen en papier, is niet zo

belangrijk.

Wij interpreteren hoofdrekenen als een vorm van rekenen, waarbij de leerling flexibel gebruikmaakt

van:

- bijzonderheden van getallen;

- eigenschappen van bewerkingen;

- relaties tussen getallen;

- relaties tussen bewerkingen.

Hoofdrekenen omschrijven we niet zozeer als rekenen-uit-het-hoofd maar eerder als rekenen-met-

het-hoofd.

Er kan papier worden gebruikt om tussenuitkomsten te noteren of om tekeningen te maken. Elke

leerling kiest zijn eigen werkwijze om de bewerking te zoeken en uit te rekenen. Hiervoor is het

noodzakelijk dat zij varianten van oplossingswegen leren kennen. Rekenvoordelen worden

afgewogen. Er wordt gezocht naar de meest efficiënte werkwijze.


De basis voor hoofdrekenen wordt gelegd in het getallengebied tot 100, waarin geen plaats is voor

cijferen. Dat wil zeggen dat cijferen noch in het eerste noch in het tweede leerjaar expliciet aan bod

komt.

2.2 Voorwaarden

2.2.1 Voorwaarden naar de rekenaar toe

Een goed getalbegrip beheersen

Dit houdt in dat de rekenaar:

- inzicht heeft in de getalopbouw;

- de structuur van de getallenrij kent;

- de rekenaar moet de structuur van de telrij goed kunnen doorzien en zich

gemakkelijk mentaal over die telrij kunnen verplaatsen, daarbij steunend op

de getallenlijn;

- tevens is inzicht in het positiesysteem een voorwaarde;

- in hogere leerjaren houdt het in dat de rekenaar o.a. weet dat:

- 5 % = 5/100 = 0,05

- 20 % = 20/100 = 1/5 = 0,20

- ½ = 5/10 = 50/100 = 0,5

- betekenis kan geven aan het getal en aan de bewerkingen hiermee.

Elementaire vaardigheden bezitten

Het gaat hier dan om:

- het tellen;

- het automatiseren van optellen en aftrekken tot 20;

- het kunnen optellen en aftrekken over het tiental heen;

- het kunnen optellen en aftrekken met zuivere tientallen, honderdtallen, duizendtallen,

... (afhankelijk van de leeftijdsgroep);

- het automatiseren van de tafels (vermenigvuldigingen en delingen);

- het rekenen tot 100;

- het kunnen vermenigvuldigen van bv. 30 x 60 als een afleiding van de

tafelproducten;

- in hogere leerjaren: het kunnen werken met kommagetallen, procenten en breuken in

eenvoudige situaties.

2.2.2 Voorwaarden naar het hoofdrekenonderwijs toe

Gebaseerd op bovenstaande voorwaarden kan een programma 'flexibel hoofdrekenen'

uitgewerkt worden. Ook hierin onderscheiden we enkele belangrijke condities:

- Het hoofdrekenonderwijs moet een belangrijke plaats krijgen in het rekenonderwijs.

De school volgt bewust een leerlijn voor hoofdrekenen, voorziet in voldoende tijd op

de lesroosters en legt de aanpak vast in het schoolwerkplan;

- Het hele schoolteam hanteert dezelfde visie in verband met hoofdrekendidactiek.

Het hele korps stapt af van de idee dat onder hoofdrekenen enkel wordt verstaan: het

uit het hoofd uitrekenen van bewerkingen, met als doel het automatiseren van

elementaire vaardigheden.


- Het moet inzichtelijk worden onderbouwd.

Een voorwaarde om vlot en vaardig te kunnen hoofdrekenen is dat de leerlingen

bewust gebruikmaken van de bijzonderheden van getallen, eigenschappen van de

bewerkingen, relaties tussen getallen en relaties tussen bewerkingen.

- De leerlingen worden begeleid in de richting van een gevarieerd en flexibel rekenen.

Interactief werken is hierbij de aangewezen weg.

De leerlingen ontdekken een brede waaier van oplossingsmogelijkheden.

Passend gebruik van schema's en modellen bevordert eveneens de flexibiliteit.

De verschillende gevolgde werkwijzen worden met de leerlingen besproken en

vergeleken, zodat elke leerling voor zichzelf de meest efficiënte werkwijze kan

kiezen. De gekozen werkwijze kan verschillend zijn voor elke leerling.

Onderzoek wees uit dat kinderen en volwassenen veelvuldig gebruikmaken van

eigen informele oplossingsmethoden. Die zijn niet altijd even effectief of handig.

Het bespreken van die informele strategieën van leerlingen is daarom een noodzaak.

Verschillende oplossingsmogelijkheden moeten worden uitgelokt.

- Elke leraar is ervan overtuigd dat hoofdrekenen in de eerste plaats keuzerekenen is.

De leerlingen kiezen, individueel of met partner(s), de meest efficiënte werkwijze

om een bewerking uit te voeren, afhankelijk van de uit te voeren opdracht en de aard

van de getallen. Op grond van reflectie wordt een keuze gemaakt: hoe zou ik het hier

kunnen doen? Welke weg uit mijn 'arsenaal' leent zich hier het best toe?

Voorbeeld :

11 x 99 = (10 x 99) + (1 x 99) = 990 + 99 = 1089

11 x 99 = 99 x 11 = (100 x 11) - (1 x 11) = 1100 - 11 = 1089

11 x 99 = ...

De gemakkelijkste weg is hier niet voor elke leerling dezelfde.

- De leerlingen worden aangezet via hoofdrekenen de oplossing van hun

rekenproblemen vooraf bij benadering te schatten en achteraf te verifiëren.

- De werksituaties moeten kort en uitnodigend (motiverend) zijn.

Het hoofdrekenen wordt voortdurend gekoppeld aan praktische situaties uit de

ervarings- en belevingswereld van de lerenden.

Het aanbieden van problemen in herkenbare contexten maakt deze problemen

toegankelijk voor de leerlingen en ondersteunt de keuze van efficiëntere

oplossingsmogelijkheden.

Voorbeeld van zo'n context: de afvalberg

In de kring brengt Sandra het probleem ter sprake dat steeds meer kinderen een blikje

cola of limonade of een individueel brik fruitsap meebrengen om 's middags bij hun

boterhammen op te drinken. Er ontstaat een discussie over hoe (on)gezond deze

drankjes zijn, over de hoeveelheid afval dat dit blik of brik oplevert, over recyclage

van afval, over hoe vervelend het is voor kinderen die geen drankje meehebben, ... .

Ze willen weten hoe groot de afvalberg in een schooljaar zou zijn als alle kinderen

van de school alle dagen een blikje zouden meebrengen.

- De leerlingen krijgen voldoende tijd en oefengelegenheid om zich de nieuwe kennis

en inzichten eigen te maken en de vaardigheid te verwerven.

De aangeleerde kennis en de vaardigheden zullen bij de meeste leerlingen pas na veel

training en oefening tot het beschikbare repertorium gaan behoren. Dit integreren

heeft de grootste kans van slagen als de leerlingen gevarieerde oefenvormen


aangeboden krijgen, het geleerde in wisselende situaties wordt gehanteerd en als de

opgaven een beroep doen op die kennis en dat inzicht.

2.3 Vormen van hoofdrekenen

Bij hoofdrekenen wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen het precieze hoofdrekenen en het

schattend rekenen.

- Het precieze hoofdrekenen

Bij het precieze hoofdrekenen dient het eindresultaat 100 % correct te zijn. Soms is dit niet

mogelijk of het kan niet doelmatig worden uitgevoerd. Het resultaat voldoet niet altijd of is

soms minder betekenisvol. Het is een misvatting dat je in situaties die een precieze uitkomst

vergen best de zakrekenmachine inschakelt of een cijferprocedure hanteert. De keuze is

afhankelijk van de getallen.

Het precieze hoofdrekenen kan gestandaardiseerd (gestileerd) aangepakt worden of

gevarieerd (flexibel):

- Het gestandaardiseerd of gestileerd hoofdrekenen

We spreken van gestandaardiseerd hoofdrekenen als rekenaars bewerkingen van een

bepaald type steeds op een bepaalde manier (leren) oplossen. Het is van oudsher de

meest beoefende vorm van hoofdrekenen in de praktijk van het onderwijs.

Deze vorm kan noodzakelijk blijken voor kinderen die moeilijk zelfstandig tot de

oplossing komen. Het mag dan wel niet beperkt worden tot het leren hanteren van

een trucje.

- Het gevarieerd en flexibel hoofdrekenen

Hierbij gaat het niet om een vaste oplossingswijze. Verschillende methodes zijn

mogelijk, afhankelijk van de structuur van de getallen, hun combinaties en hun

bewerkingen.

Om flexibel te kunnen hoofdrekenen moet de rekenaar weten welke oplossingsweg

in welke situatie de meest passende is. Afhankelijk van de situatie, de getallen, het

eigen opgebouwd inzicht, het beheersen van allerlei mogelijke oplossingswegen en

de eigen voorkeur wordt dan gekozen.

- Het schattend rekenen

Bij schattend rekenen werken we met benaderingen, afrondingen, (on)nauwkeurigheden in

toepassingssituaties of met kale bewerkingen.

Als we schattend rekenen, berekenen we niet exact de uitkomst. We gokken ook niet. Aan

de hand van steunpunten bepalen we ongeveer de uitkomst.

We werken dan met grotere gehelen. De rekenaar ziet de getallen achter de cijfers en weet

bv. dat fouten bij het optellen van honderdtallen grotere gevolgen hebben dan fouten met

eenheden.

Schattend rekenen kwam in het vroegere rekenonderwijs nauwelijks voor. Dat kwam omdat

het vanwege het gebrek aan nauwkeurigheid minderwaardig werd geacht. Schatten is vooral

zinvol als het gaat om het ruwweg bepalen van de uitkomst en het globaal controleren van

de uitkomst van een berekening.

Het schattend rekenen geeft inzicht in de bewerkingen.

- Waarom wijkt mijn schatting af?


- Waarom is mijn schatting te groot? Te klein?

Soms is alleen maar schattend rekenen mogelijk omdat bv. de gegevens voor exacte

berekening ontbreken.

In allerlei andere situaties kan het zinvoller zijn enkel een benaderend resultaat te geven,

zoals bv. in de volgende context:

Elk kind van onze klas krijgt elke dag één brikje melk.

Hoeveel brikjes zijn dat dan per dag voor heel onze school?

Per week?

Tot aan Kerstmis?

Tot het einde van het schooljaar?

Is het nodig dat we dat correct aangeven, tot op het brikje?

Kunnen we afronden? 20 kinderen per klas ... 12 klassen ... 5 dagen ... 10 weken ...

40 weken ...

2.4 Precies en flexibel hoofdrekenen

2.4.1 Doelstellingen

Wegen kenbaar maken

De eerste doelstelling bij de didactische aanpak zal erin bestaan de leerlingen een waaier van

keuzemogelijkheden te laten ontdekken en ervaren. Sommige wegen kunnen door de leraar

zelf als aanvulling worden aangereikt, indien ze niet door de leerlingen zelf worden ontdekt.

De leraar zal wel niet opleggen die steeds te hanteren.

Alhoewel in vele gevallen de keuzemogelijkheden zeer groot zijn, kunnen ze toch gebundeld

worden. Een zeer belangrijke taak is dan ook deze basiswerkwijzen te leren kennen.

- Relatie tussen getallen

. 25 % is 25/100 = 1/4 = 0,25

. 25 % nemen van een getal kan bv. door dit getal te delen door 4.

. Vermenigvuldigen met 25 kan worden gevonden door het vermenigvuldigtal

te vermenigvuldigen met 100 en daarna te delen door 4.

. ...

- Inzicht in de structuur van de getallen

. Het splitsen van getallen

484 - 270 = (484 - 200) - 70 = 284 - 70 = 214

. ...

- Toepassen van de eigenschappen van de bewerkingen

. De commutatieve eigenschap (wisselen) kan bij de optelling en de

vermenigvuldiging worden gehanteerd.

a + b = b + a

360 + 2 540 = 2 540 + 360

a x b = b x a

460 x 5 = 5 x 460


. De associatieve eigenschap (schakelen) van de optelling en de

vermenigvuldiging

(a + b) + c = a + (b + c)

(84 + 75) + 25 = 84 + (75 + 25) = 84 + 100 = 184

(a x b) x c = a x (b x c)

(34 x 25) x 4 = 34 x (25 x 4) = 34 x 100 = 100 x 34 = 3400

. De distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling

(aftrekking)

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

7 x 44 = 7 x (40 + 4) = (7 x 40) + (7 x 4) = 280 + 28 = 308

. De distributieve eigenschap van de deling t.o.v. de optelling (aftrekking)

(a + b) : c = (a : c) + (b : c)

848 : 8 = (800 + 48) : 8 = (800 : 8) + (48 : 8) = 100 + 6 = 106

- Toepassen van wiskundige aspecten

. Een som verandert niet van waarde als men bij de ene term een getal bijtelt

dat van de andere term wordt afgetrokken (compenseren).

865 + 398 = (865 - 2) + (398 + 2) = 863 + 400 = 1263

. Een verschil verandert niet van waarde als men aftrektal en aftrekker

vermeerdert of vermindert met hetzelfde getal (compenseren).

387 - 198 = (387 + 2) - (198 + 2) = 389 - 200 = 189

587 - 305 = (587 -5) - (305 - 5) = 582 - 300 = 282

. Een product verandert niet van waarde als men de vermenigvuldiger deelt

door een getal dat met het vermenigvuldigtal wordt vermenigvuldigd en

omgekeerd.

16 x 45 = (16 : 4) x (4 x 45) = 4 x 180 = 720

5 x 48 = (2 x 5) x (48 : 2) = 10 x 24 = 240

. Een quotiënt verandert niet van waarde als men deeltal en deler

vermenigvuldigt met (of deelt door) hetzelfde getal.

840 : 60 = (840 : 10) : (60 : 10) = 84 : 6 = 14

24 : 0,6 = (10 x 24) : (10 x 0,6) = 240 : 6 = 40

Een verantwoorde keuze maken

De volgende doelstelling is dat de leerlingen, als zij over keuzemogelijkheden beschikken,

een persoonlijke maar verantwoorde keuze kunnen maken tussen de respectieve

mogelijkheden.

Dit houdt in dat individuele verschillen worden geaccepteerd en zelfs benut bij het

bespreken van mogelijke oplossingsmethodes.


Interactief onderwijs is dan noodzakelijk.

Interactief leren is een voorwaarde om de leerlingen voldoende gelegenheid te geven tot een

eigen inbreng en tot reflectie op de oplossingsmogelijkheden. Slechts bij een goede

interactie krijgen meer algemene doelstellingen van reken/wiskundeonderwijs een kans:

- reflecteren op eigen wiskundige activiteiten,

- eenvoudige verbanden, regels en structuren opsporen,

- onderzoeks- en redeneerstrategieën in eigen woorden beschrijven en gebruiken.

Het flexibel toepassen van het geleerde en de wendbaarheid van het geleerde binnen het

rekensysteem worden zo ontwikkeld. Het flexibel kunnen gebruiken van kennis en

vaardigheden is noodzakelijk.

2.4.2 Verschillende hoofdrekenactiviteiten

Hoofdrekenen dient niet alleen schriftelijk plaats te vinden, maar vooral ook mondeling

binnen het interactief onderwijs in korte activiteiten van een kwartier.

A Intentionele activiteiten

Bij de intentionele activiteiten ligt het hoofdaccent op het bespreken en vergelijken van

gevolgde oplossingswegen. Het is immers zeer belangrijk dat de leerlingen een brede waaier

ontdekken.

Het is noodzakelijk dat die verschillende gevolgde werkwijzen worden besproken en

beoordeeld, zodat elke leerling voor zichzelf de meest efficiënte werkwijze kan kiezen. Ook

het bespreken van eigen informele strategieën van leerlingen moet kansen krijgen.

De uiteindelijk gekozen werkwijze kan verschillen van persoon tot persoon.

Een passend gebruik van schema's en modellen bevordert de flexibiliteit.

Schriftelijke oefenvormen

- 'sommen'rijtjes

- pijldiagrammen

- machientjes

- getallenmolens

- getallenblokken

- tovervierkanten

- doolhoven

- geheimschriften

- tabellen

- ...

Mondelinge oefenvormen

- aanvullen tot 100, 1000, ...

- kettingsommen

- grenssommen, waarin bepaald wordt of uitkomsten al dan niet binnen bepaalde

grenzen vallen (bv. £ 100 , £ 1000).

- is er een rest?

- ...


B Open vraagstelling

Ook hier zijn schriftelijke en mondelinge oefenvormen mogelijk.

Het berekenen van bv. de afvalberg (voorgesteld bij 2.2.2) is een zeer open vraagstelling.

Ook de leraar weet niet vooraf exact welke sommen daarbij zullen uitgerekend worden.

2.4.3 Specifieke suggesties bij optellen en aftrekken

De leerlijnen 1.11 en 1.12 van het domein GETALLEN geven een mogelijke spreiding aan

voor de respectieve leeftijdsgroepen. Tevens worden enkele strategieën aangeboden.

Hierna geven we een aantal verschillende oplossingsmethoden die kinderen spontaan

gebruiken bij het optellen en aftrekken. In de reële klassituatie komen ze telkens voor binnen

aangereikte contextproblematieken. Contexten brengen immers leerprocessen op gang en de

kinderen abstraheren deze contexten tot bruikbare modellen en schema's. Opgaven worden

dikwijls gemakkelijker doorzien als ze aangeboden worden in een context.

Belangrijk blijft dat aanvankelijk telkens tijd wordt uitgetrokken om een oplossingsweg te

bepalen.

Bij optellingen:

149 + 126 = ?

Geert doet het als volgt:

149 = 100 + 40 + 9

126 = 100 + 20 + 6

149 + 126 = (100 + 100) + (40 + 20) + (9 + 6) =

200 + 60 + 15 =

275

Ann rekent zo:

149 + 126 = 149 + (100 + 20 + 6) =

249 + (20 + 6) =

269 + 6 =

275


Wim doet het nog anders:

149 + 126 = (150 - 1) + (130 - 4) =

150 - 1 + 130 - 4 =

150 + 130 - 1 - 4 =

250 + 30 - 5 =

280 - 5 =

275

Johan volgt deze weg:

149 + 126 = 149 + (130 - 4) =

249 + 30 - 4 =

279 - 4 =

275

Nancy kiest voor deze aanpak:

149 + 126 = (150 - 1) + 126 =

150 + 126 - 1 =

276 - 1 =

275

Bij aftrekkingen:

75 - 38 = ?

Geert doet het zo:

38 = 40 - 2

75 - 38 = 75 - (40 - 2) = 75 - 40 + 2 =

35 + 2 = 37

Ann rekent zo:

75 - (30 + 8) =

75 - 30 - 8 = 45 - 8 = 37

Wim doet het op deze manier:

75 = 80 - 5

75 - 38 = (80 - 5) - 38 = 80 - 38 - 5 = 37

De leraar kan de leerlingen wijzen op een andere aanpak in bepaalde gevallen. Daarom

zetten we die nog even op een rij.


A Het splitsen van getallen

Als de 2 getallen van de bewerking worden gesplitst in (duizendtallen), honderdtallen,

tientallen en eenheden en zo bij elkaar worden opgeteld of van elkaar afgetrokken, spreken

we van een splitsmethode. Deze manier leunt sterk aan bij het cijferrekenen.

Geert volgt deze werkwijze voor de optelling. Hij is flexibel genoeg om bij de aftrekking

een andere strategie te hanteren want het splitsen van het eerste getal geeft problemen bij

aftrekking met overbrugging: 70 - 30 en 5 - 8 ???

B Het rijgen van getallen

Een eenvoudige manier van optellen en aftrekken is die van het aanvullen of rijgen. Hierbij

blijft het eerste getal volledig en het tweede getal wordt daar met sprongen bijgedaan of

afgetrokken.

C De verwisselregel

Op basis van de commutativiteit kan bij optellingen de volgorde van de termen worden

verwisseld

56 + 132 = 132 + 56

D Het schakelen (gebruikmaken van de associativiteit van de bewerking)

E Het groeperen van getallen


2.4.4 Specifieke suggesties bij vermenigvuldigen en delen

Zie de leerlijnen 1.14.7 en 1.15.4.

A De verwisselregel

Op basis van de commutativiteit kunnen de factoren van plaats worden verwisseld. De

verwisselregel kan enkel gehanteerd worden bij de vermenigvuldiging.

6 x 15 = 15 x 6

B Het schakelen

Op basis van de associativiteit kan bij de vermenigvuldiging worden geschakeld.

C Het toepassen van de distributiviteit

D Het toepassen van de verdubbeling en de halvering

Je kan dit interpreteren als een toepassen van de ontbinding in factoren. In plaats van iets in

één keer achtmaal te berekenen, neemt men driemaal het dubbele, wat hetzelfde

eindresultaat geeft.


Delen door 8 kan dan betekenen dat je bv. driemaal achtereenvolgens de helft neemt.

F Flexibel hanteren van de tafelkennis

Dit sluit sterk aan bij het vorige gedeelte. Ook hier kan gesproken worden van een

ontbinden in factoren.

Vermenigvuldigen met 12 kan bv. tot gevolg hebben dat een leerling kiest voor de weg

(afhankelijk van de getallen, de context, de eigen vaardigheid, ...): eerst met 4

vermenigvuldigen en dan nog eens met 3.

2.4.5 Keuzerekenen

Op grond van reflectie wordt een keuze gemaakt.

Het is duidelijk dat om te kunnen kiezen verschillende oplossingswegen moeten gekend zijn. De

didactiek bij hoofdrekenen heeft dus tot doel de leerlingen verschillende mogelijkheden te laten

ontdekken en/of ervaren. Daarna moeten ze de kans krijgen om zelf een verantwoorde keuze te

maken tussen de (vele) benaderingen.

2.4.6 Reflectie

Permanent dient aandacht te worden besteed aan het reflecteren op de gekozen oplossingswijze:

- Kwam ik tot het goede resultaat?

- Koos ik een goede werkwijze?

- Nam ik een korte weg?

- Hoe kon ik het nog vinden?

- ...

Reflectie komt niet enkel achteraf. Het speelt ook een rol in het keuzeproces:

- Welke weg uit mijn 'arsenaal' kan ik hier gebruiken?

- Welke weg is hier de gemakkelijkste? De kortste?

Deze fase wordt in het onderwijs te dikwijls vergeten. Het resultaat wordt wel beoordeeld, maar het

proces wordt te vaak verwaarloosd in de bespreking. Leraren verwijzen dan naar de grote

tijdsinvestering die dat veronderstelt. Bij fouten zal het soms nog wel gebeuren, maar bij een correct

antwoord hoeft het niet meer!

Dit kan worden opgevangen door te werken met partner(s). Hierbij wordt de eigen gevolgde

werkwijze verduidelijkt en vergeleken met de oplossingswijze van de partner. Door hardop met

elkaar na te denken over oplossingen, reflecteer je op de gekozen weg, kun je besluiten trekken en,

zo nodig, nieuwe wegen leren bewandelen.


2.4.7 Plezier

Tijdens deze activiteiten moet de leraar aandacht besteden aan de noodzakelijke vaardigheden bij

hoofdrekenen en schattend rekenen, moet hij oog hebben voor de verscheidenheid in mogelijke

volgwegen, voor het ondersteunend strategiegebruik en voor voldoende en gevarieerde

oefensituaties. Van groot belang is echter ook dat onderwijssituaties worden gecreëerd waarin het

loont en het plezierig is om uit het hoofd te rekenen.

2.4.8 Differentiatie

Ook bij hoofdrekenen is differentiatie noodzakelijk. Minder begaafde leerlingen kiezen één

oplossingswijze, knappe leerlingen kunnen meer werkwijzen toepassen en toelichten.

2.5 Schattend rekenen

Zie de leerlijn 1.19

Als we schattend rekenen, zoeken we niet naar de exacte uitkomst. We zijn echter ook niet aan het

raden. Aan de hand van enkele 'steunpunten' trachten we de uitkomst ongeveer te bepalen.

Schatten is zinvol als het gaat om:

- het ruwweg bepalen van de uitkomst;

- het globaal controleren van de uitkomst van een berekening;

- niet exact bepaalde gegevens, waar het onmogelijk is of absurd om precieze berekeningen te

maken.

"Mijn papa werkt wel 200 uur per week!" zegt Tom tot zijn kameraad.

Kan dat ?

Neen, want in een week zijn er maar 5 werkdagen. Dat zou willen zeggen dat die papa per werkdag gewoonlijk 40 uur werkt en er zijn maar 24 uren. Zelfs als er 10 dagen in een week kon worden gewerkt, was dat nog 20 uur per dag.


Bij het schattend rekenen werken we veel met benaderingen en afrondingen.

- Is het te groot of te klein?

- Is dat mogelijk?

- ...

Hierbij hebben we oog voor het gegeven dat bij grote getallen een afronding tevens een grotere

afwijking van het correcte resultaat tot gevolg heeft. We weten dat bij het afronden naar

honderdtallen de afwijking groter zal zijn dan bij het afronden naar tientallen.

2.5.1 Contexten die uitnodigen tot schatten

Voor de basisschool is het belangrijk dat uiteindelijk de leerlingen weten in welke situaties

schattend rekenen de voorkeur heeft (zie leerlijn 1.19.7) en weten hoe nauwkeurig er moet worden

geschat (zie leerlijn 1.19.8).

Allerlei contexten zullen de rekenaars in contact brengen met dergelijke situaties. Deze moeten

zoveel mogelijk verschillend van aard zijn. De leerlingen moeten ervaren dat schattend rekenen in

heel veel gevallen afdoende en lonend is.

- Moet de behanger exact berekenen hoeveel m papier hij nodig heeft of moet hij het aantal

rollen uittellen?

- ...

Ook de vragenstelling kan uitnodigen tot schattend rekenen:

- Heb ik met mijn briefje van 2 000 BEF voldoende om al de artikelen van dat

boodschappenlijstje te kopen?

- Hoeveel cijfers moeten er in het product van 58 x 9 voorkomen?

- Is 7 x 499 meer of minder dan 4 000?

- ...

Schattend rekenen zou in elke activiteit aan bod dienen te komen. De leraar moet daarom zoeken

naar opgaven die uitnodigen tot het schatten.


2.5.2 Werkwijzen ontwikkelen

Het is nodig bij de leerlingen enkele vaardigheden te helpen ontwikkelen, die het schattend rekenen

ondersteunen. Hierbij denken we dan aan:

- het handig hoofdrekenen;

- het afronden;

- het rekenen met nullen;

- het compenseren;

- het herformuleren van de reken opdracht;

- het vertalen;

- het besef bij de keuze dat de afwijking groter wordt naargelang de afronding:

18 x 983 = ?

18 x 1000 =

20 x 1000 =

Bij 20 x 1000 is de afwijking groter dan bij 18 x 1000.

A Handig hoofdrekenen

Hierbij komt opnieuw ter sprake wat in het vorig hoofdstuk werd voorgesteld bij de

suggesties voor precies en flexibel hoofdrekenen. We denken o.a. aan de volgende

werkwijzen:

- het splitsen van getallen;

- het aanvullen van getallen;

- de verwisselregel;

- het schakelen;

- het toepassen van de distributiviteit;

- het toepassen van de verdubbeling;

- het toepassen van de halvering;

- ...

B Afronden

In heel veel gevallen bepalen de getallen zelf hoe je afrondt. Zo zal 488 meestal worden

afgerond naar 500 en 408 naar 400.

Als we echter 458 ook naar 500 gaan afronden, kan de berekening in bepaalde situaties vrij

grof overkomen. Als we dan nog een hele rij dergelijke afrondingen uitvoeren, is er in die

omstandigheden werkelijk sprake van een 'zeer ruwe' berekening.

Daarom is het belangrijk de leerlingen te laten ervaren dat het afronden niet enkel bepaald

wordt door de grootte van de getallen, maar tevens door de context. Hoe dicht moeten de

ronde getallen liggen waarnaar we afronden? De nauwkeurigheidsgraad wordt bepaald door

de situatie (de realiteit), maar ook door de bewerkingen die je met de afgeronde getallen

uitvoert: 595 afgerond naar 600 geeft een afwijking van 5 bij de som, maar van 1000 bij het

product.

595 + 200 � 600 + 200 = 800

595 x 200 �600 x 200 = 120 000

Het afronden mag grover gebeuren als we al schattend bij de uitkomst van een cijferoefening

willen nagaan of de komma juist geplaatst werd.

Dikwijls maakt men bij het afronden een combinatie van verschillende basiswerkwijzen.

Bv. 194 - 37 =

200 - 40 = 160

Het resultaat van 194 - 37 ligt in de buurt van 160.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN AUTOMATISEREN VAN DE TAFELS 157

C Rekenen met nullen

Rekenen met nullen kunnen we gebruiken als een strategie bij grove schattingen.

Bij de berekening van 600 x 40 kan, naar analogie van de tafels, 6 x 4 x 100 x 10 worden

uitgevoerd om vlug de uitkomst te vinden.

D Compenseren

Bij compenseren gaat het om het aanpassen van de schatting op basis van de veranderingen

die bij het herformuleren of het vertalen zijn aangebracht. Zo is de schatting nauwkeuriger

als we in een product de ene factor wat naar boven en de andere factor wat naar beneden

afronden:

598 x 127

600 x 120

E Herformuleren

Bij het herformuleren worden de numerieke gegevens in een meer hanteerbare vorm

veranderd. Dit gebeurt via afronden (zie hierboven) of door gelijkwaardige vormen te

gebruiken of een combinatie van beide (bv. ¼ in plaats van 0,27).

F Vertalen

Vertalen houdt in dat de wiskundige structuur wordt gewijzigd in een meer hanteerbare

vorm (bv. door gebruik te maken van een gemiddelde of een referentiepunt). Zo wordt de

hoogte van een schoolgebouw geschat op basis van de gekende hoogte van een kamer.

Niet enkel bij het meten komt schattend rekenen ter sprake. Ook bij het schattend benaderen

van een som, een verschil, een quotiënt, een product, ... is het een efficiënte hulp.


3 Automatiseren van de tafels

3.1 Belang van het kennen van de tafels

- Het kennen van de tafels is een echte basisvaardigheid: de tafels onvoldoende beheersen is

een belangrijke bron van fouten bij vermenigvuldigen en delen, zowel bij cijferend als bij

hoofdrekenen.

- Tafelkennis is ook heel belangrijk bij het 'dagelijkse' rekenen. In de realiteit worden

kinderen en volwassenen zeer dikwijls geconfronteerd met de tafels en 'herhaalde

telstructuren': 6 stukken van 5 BEF zijn samen 30 BEF, in het zwembad zwem je 4 lengtes

van 25 meter, 12 maandelijkse afbetalingen van 4500 BEF, ... .

Het kennen van de tafels is dus een vaardigheid die rechtstreeks verband houdt met

integratie in de maatschappij.

3.2 Tafels leren in de vernieuwde rekendidactiek

- In de traditionele rekendidactiek werd elke tafel in zijn geheel aangeboden en werd er zeer

snel overgegaan naar het snel en foutloos opdreunen van de tafelproducten. Had een kind

problemen bij het vinden van het product 8 x 7, dan diende het eerst de tafel van zeven op te

zeggen tot het bij het te zoeken product belandde.

- De vernieuwde rekendidactiek tracht in te spelen op de verschillende oplossingsstrategieën

die kinderen kunnen hanteren bij het oplossen van maal- en deelsommen.

Deze rekendidactiek stuurt niet uitsluitend en direct aan op de reproductie van tafelkennis,

maar probeert dit mede door een proces van kennisopbouw via vaardig rekenen te realiseren.

Kennis van tafels is hier het resultaat van een proces van steeds verdergaande verkorting van

handig rekenen, met als laatste stap het volledig inprenten.

Die verkorting geschiedt onder meer door het efficiënt gebruiken van eigenschappen en

strategieën, het benutten van reeds gekende tafelproducten, het uitbuiten van bepaalde

structuren in het getalsysteem en ... het gericht oefenen. Memoriseren wordt zo het resultaat

van een gefaseerd leerproces.

3.3 Fasen voor het automatiseren van de tafels

We onderscheiden vier fasen, die elk als een apart onderdeel van het volledige leerproces kunnen

worden beschouwd.

3.3.1 Introductiefase

- In deze fase vindt begripsvorming van de bewerkingen plaats.

De belangrijkste aspecten van de operaties komen aan bod.

- De begrippen 'keer' en 'maal' dienen aangebracht en vastgezet te worden, alsook de

begrippen 'vermenigvuldigen met' en 'delen door'.


- In deze fase moet ook reeds het inzicht groeien dat de vermenigvuldiging en de deling

omgekeerde bewerkingen zijn, de vermenigvuldiging en de deling moeten m.a.w. aan elkaar

worden gekoppeld. In latere stadia moet men immers kunnen terugvallen op de

vermenigvuldiging bij de deling.

Aan elke vermenigvuldiging (bv. 3 x 5 = 15; 3 keer 5) kunnen twee delingen worden

gekoppeld; namelijk:

- de verdelingsdeling waarbij gevraagd wordt naar de grootte van de gelijke delen (bv.

15 : 3 = � verdeel 15 in 3 gelijke delen). De verdelingsdeling zal normaliter eerst

aan bod komen omdat men hierbij kan uitgaan van het intuïtieve begrip 'eerlijk

verdelen' dat ook jonge kinderen reeds bezitten;

- de verhoudingsdeling waarbij gevraagd wordt naar het aantal delen

(bv. 15 : 5= � hoeveel keer gaat 5 in 15?). De verhoudingsdeling kan worden

beschouwd als een vorm van verkort aftrekken.

Beide operaties (verdelen in gelijke delen en verkort aftrekken) monden uiteindelijk uit in de

deling. Toch veronderstellen ze andere contexten. Alhoewel sommige methodes ervoor

opteren om slechts één deling (ofwel verdelingsdeling ofwel verhoudingsdeling) te koppelen

aan de vermenigvuldiging, vinden wij het belangrijk om beide vormen aan bod te laten

komen vanuit verschillende contexten om een brede begripsvorming (-vulling) te realiseren.

- Inzicht in de operaties 'vermenigvuldigen' en 'delen' is fundamenteel om de tafels te leren.

Dit alles dient aangebracht te worden in zinvolle situaties, zinvolle contexten.

bv. klaswinkel: 1 doosje kost 4 BEF. Hoeveel kosten 3 doosjes?

2 rijen van 5 conservenblikken. Hoeveel blikken?

10 conservenblikken verdelen in rijen van vijf. Hoeveel rijen?

Jan heeft 24 BEF.

Hoeveel snoepjes van 3 BEF elk kan hij kopen?

opdrachten: ... keer in de handen klappen, ...

... keer op de trom slaan, ... keer een glas vullen en in een kom gieten,

4 keer 5 blokjes leggen, leg ... maal een hoopje van 6, bouw ... keer

een toren van 7 blokken;

bv. verhoudingsdeling: haal telkens 3 blokjes weg, hoeveel keer kan

je er wegnemen? ...

Belangrijk hierbij is het handelen en het verwoorden (van materiële handeling tot mentale

handeling).

- Het verwerven van inzicht gebeurt via allerlei modellen, die iets laten zien van de grond-

structuur van problemen waarin een vermenigvuldiging/deling vervat ligt en maken bepaalde

eigenschappen van de desbetreffende bewerking zichtbaar. Zodoende komen ze zowel het

rekenen als het toepassen ten goede. De keuze van modellen is afhankelijk van de context.

Voor het begrip van de vermenigvuldiging en de deling is het verkennen van een aantal

verschillende modellen heel belangrijk. Hierdoor worden de eigenschappen van deze

bewerkingen duidelijk en leren kinderen het verband zien tussen de vermenigvuldiging en de

deling.


• Groepjesmodel

De structuur van enerzijds een vermenigvuldiging als herhaalde optelling en

anderzijds de deling als verkorte aftrekking (verhoudingsdeling) komt hiermee het

duidelijkst tot uiting.

4 kersen + 4 kersen of 2 x 4 kersen

8 kersen → Hoeveel groepjes van 4 kersen?

• Dozenstructuur

De dozenstructuur wordt gebruikt om de leerlingen te dwingen groepsgewijs te

tellen. In plaats van zichtbare hoeveelheden worden de leerlingen geconfronteerd met

een schematische voorstelling van dozen, waarop genoteerd staat hoeveel erin zit.

5

5

5

5

→ 4 x 5

De dozenstructuur kan ook worden gebruikt om leerlingen 'eerlijk' te laten verdelen.

Ze kunnen daarbij één voor één, maar ook groepsgewijs verdelen

2 3

2 3

2 3

2 3

← 20 : 4 *

* bv. groepsgewijs verdelen: eerst overal 2 en dan elk nog 3

• Stroken

Hiermee komt het verhoudingsaspect van vermenigvuldigen in beeld. Het

sprongsgewijs tellen kan hiermee worden geoefend.

7

7

7

7

7

4 x 7

• Getallenlijn

Het sprongkarakter van zoveel keer komt in beeld.

Ook hiermee kan het sprongsgewijs tellen handig worden geoefend.

- Elke sprong is 2 meter ver. Jan maakt 5 sprongen → 5 x 2 =

- Elke sprong is 2 meter ver. Jan komt terecht op 10 meter. → 10 : 2 =


• Rechthoek- of oppervlaktemodel

Het herhaald optellen geraakt wat op de achtergrond en het vermenigvuldigen krijgt

nu een geheel eigen status. Een opgave als 4,2 m x 7,3 m i.v.m. oppervlakte

weerspiegelt dit: deze opgave is nog maar moeilijk als herhaald optellen te

interpreteren.

'Puzzelproblemen' dienen als introductie tot het rechthoek- of oppervlaktemodel.

4 rijen van 4 = 4 x 4

Dit model biedt later ook steun bij het introduceren van 'handige' telstrategieën.

bv. de 'verwisselregel' (commutativiteit) wordt hier direct geïllustreerd, dit is niet

het geval met voorgaande modellen, ... .

4 x 5 = 5 x 4

• Kruispuntenmodel

Dit model is bijzonder geschikt om combinatorische problemen te verduidelijken.

Bv. hoeveel combinaties met 4 voorgerechten en 8 hoofdgerechten?


Als criterium voor de modelkeuze geldt de mate waarin een model de eigenschappen

van vermenigvuldigen, die bij het leren van de tafels en het maken van de toepassin-

gen ervan een sleutelrol vervullen, goed zichtbaar maken.

- Verschillende aspecten van de vermenigvuldigings- en delingssituatie (de context, de

formulering die bij de context past, de notatie, het uitrekenen) dienen samen in relatie met

elkaar aangeboden te worden.

- Contexten, situaties zijn belangrijk. We werken eerst concreet, dan schematisch, dan

abstract.

- Gradatie van informele formulering (in de taal van het kind: 9 keer 4, 4 maal 5, 3 groepjes

van 6, ...) naar formele formulering (9 x 4, 4 x 5, 3 x 6, ...). Zo ook van eerlijk verdelen naar

gedeeld door.

- De tafels van vermenigvuldiging en de bijkomende deeltafels dienen met inzicht te worden

aangeleerd.

Inzicht hebben betekent o.m. dat:

• de vermenigvuldiging wordt gezien als een verkorte optelling van gelijke getallen;

• de deling kan worden gezien als een verkorting van herhaald aftrekken;

• voor de juiste bewerking (vermenigvuldiging of deling) wordt gekozen om een

probleem op te lossen;

• in het probleem een vermenigvuldigings- of delingsstructuur wordt herkend;

• de vermenigvuldiging of deling uit het probleem kan worden geïsoleerd;

• men ook eens de omgekeerde weg kan bewandelen: van de abstracte formulering tot

een zinvolle context.

Bv. 3 x 6 = 18 ® vertel daar eens iets bij - schrijf er een kort verhaaltje bij;

• men vermenigvuldigingen kan koppelen aan corresponderende delingen en vice

versa:

3 x 6 = 18 ↔ 18 : 3 = 6 (verdeel 18 in 3 gelijke delen Õ verdelingsdeling)

↔ 18 : 6 = 3 (hoeveel keer gaat 6 in 18 Õ verhoudingsdeling).


3.3.2 Reconstructiefase

- Hoe bijvoorbeeld de tafel van 7 gereconstrueerd en gememoriseerd kan worden, wordt

hieronder weergegeven.

1 x 7 een weetje

2 x 7 verdubbelen; wordt snel een weetje

3 x 7 via (2 x 7) + 7 - één maal meer

4 x 7 verdubbelen van 2 x 7

5 x 7 halveren van 10 x 7; de helft van 70

6 x 7 via (5 x 7) + 7 - één maal meer of verdubbelen van 3 x 7

7 x 7 gevarieerd, snel een weetje

8 x 7 (7 x 7) + 7 of verdubbelen van 4 x 7

9 x 7 (10 x 7) - 7 - één maal minder

10 x 7 door de verwisselregel toe te passen (7 keer 10 = 70) of als een weetje (nul

achter de 7 zetten)

- Uit de hier gegeven opsomming leiden we de belangrijkste onderwijsregel voor de tafels af:

richt de leerlingen op de centrale steunpunten van tweemaal (verdubbelen), tienmaal

en vijfmaal (halveren tienmaal).

Via één-maal-meer en één-maal-minder is dan het grootste deel van de betreffende

getaltafel te bestrijken.

Ook de verwisselregel (3 x 7 = 7 x 3) wordt doeltreffender naarmate de leerlingen meer

tafelkennis bezitten. Door de verwisseleigenschap wordt elke tafel in feite steeds

opengebroken, waardoor de leerlingen flarden van andere tafels van meet af aan

meememoriseren.

- Voor kinderen die daar moeite mee hebben kunnen we het leerproces in een zestal stappen

onderverdelen.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

kapstokproducten

2

3

omdraaien

4

5

één keer meer

6

7

omdraaien

8

9

één keer minder

10

omdraaien

Uit: Vandenbussche, P.


1 Aanleren van de kapstokproducten: deze producten zijn de basis voor het verdere

leerproces. In de bijhorende tabel ziet u deze producten aangeduid:

2 x 1 10 x 1 5 x 1

2 x 2 10 x 2 5 x 2

2 x 3 10 x 3 5 x 3

... ... ...

2 x 10 10 x 10 5 x 10

2 Deze kapstokproducten worden vervolgens uitgebreid door de commutativiteit toe te

passen: via 2 x 6 wordt nu ook 6 x 2 gevonden. Op de tabel ziet u hoe het aantal

producten dat snel kan worden berekend, aangroeit.

3 In een derde stap leren de kinderen de strategie van 'één keer meer' toepassen.

Daarmee kunnen ze de kapstokproducten uitbreiden: van 5 x 3 vinden ze nu ook

6 x 3 (6 x 3 = 15 + 3).

4 De producten die in de derde stap aan de tabel werden toegevoegd, kunnen ook weer

omgedraaid worden. Weer krijgen we een uitbreiding van de 'uitrekenbare'

producten.

5 Via de strategie van 'één keer minder' wordt een product als 4 x 4 berekend: vijf maal

vier is twintig, vier eraf geeft zestien.

6 Nemen we van deze laatste producten ook het omgekeerde, dan blijkt dat vrijwel de

volledige leerstof van de tafels tot 10 'berekend' kan worden via toepassing van

slechts een drietal, nauw aan elkaar verbonden strategieën. Er blijven dan nog vier

producten over, die waarschijnlijk 'ingedrild' zullen moeten worden tijdens de

reproductiefase: 7 x 7; 7 x 8; 8 x 7 en 8 x 8.

3.3.3 Reproductiefase

- In deze fase willen we drie doelen verwezenlijken:

1 Nog bestaande hiaten in het kennisbestand opvullen via gevarieerde

oefenopdrachten.

2 Memoriseren van alle tafels. Uit de opgebouwde kapstokken en het gebruik van

rekenstrategieën zal blijken dat er nog slechts weinig echte 'moeilijke' producten

overblijven.

3 Differentiëren naar opdrachten toe: in remediëringskansen voorzien voor wie nog

hiaten vertoont in zijn/haar kennisbestand.

- Aan te wenden middelen:

• oefenspelen: varianten van bingo, domino, kwartet e.d. om snelheid, handigheid en

kennis te oefenen.

• gevarieerde oefenopdrachten: het maken van tafelproducten wordt verbonden met

een bepaalde opdracht waarin zelfcontrole besloten ligt, bv. het verbinden van

punten, zodat een mooie tekening ontstaat, het kleuren van gebieden, het ontcijferen

van geheimschriften, het doorlopen van doolhoven, ... .

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 165

• het type opdrachten dat vraagt in welke tafels een bepaald getal, bv. 24, voorkomt.

Bij deze type taken kunnen eigenschappen van de producten uit de verschillende

tafels ontdekt worden:

bv. . een oneven product komt uit een 'oneven' tafel, maar als het product

even is, zegt dat over de herkomst uit een even of oneven tafel nog

niets;

. een product dat op een nul eindigt moet uit de tafel van tien of vijf

komen: eindigt het op vijf, dan kan het uit de tafel van vijf of uit een

andere oneven tafel komen;

. ...

De verwisseleigenschap (commutativiteit) van de vermenigvuldiging gaat door dit

type opgave echt leven voor het kind.

• Tafeldictee of andere vormen van mondelinge lesjes stimuleren het memoriseren.

• De computer opent nieuwe mogelijkheden en kansen: tafels oefenen al dan niet in

spelvorm, met remediëringskansen (bv. onder de vorm van visuele modellen en

schema's), ... .

3.3.4 Fase van consolidatie en uitbreiding

- Het maken van toepassingen gebeurt in alle fasen. In de fase van uitbreiding gaat het echter

speciaal om toepassingen die al wat buiten het besloten terrein van de tientafels liggen en in

de richting van het hoofdrekenen en het cijferen gaan.

De toepassingen krijgen gestalte in allerlei contexten. Eventueel kan er gebruikgemaakt

worden van de modellen.

Tracht als leraar toepassingssituaties aan te wenden waarbij de antwoorden context-afhan-

kelijk zijn (zie didactisch katern contexten).

- Ook in hogere leerjaren moet geregeld aandacht besteed worden aan consolidatie en

uitbreiding. Dit kan bv. door contexten aan te bieden waarbij de oplossing van het probleem

een decimaal getal is; bv. een wandelroute van 26 kilometer wordt in één dag in 4 gelijke

etappes afgelegd. Hoe lang is ieder stuk? (6,5).


4 Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten

Inleiding

In dit katern zullen we enige aanwijzingen geven hoe een leergang breuken kan opgezet worden

vanuit een concrete basis van realistische contexten. Het zijn deze contexten die het inzicht kunnen

bevorderen en de samenhang met verhoudingen, kommagetallen en procenten duidelijker maken.

In de basisschool wordt het onderdeel ‘breuken’ als een van de moeilijkste ervaren. Dit heeft o.m. te

maken met het feit dat in de traditionele breukendidactiek de begripsvorming verwaarloosd of te

eenzijdig benaderd wordt en meestal helemaal los van het werken met verhoudingen,

kommagetallen en procenten. Op deze wankele basis wordt dan vrij vlug doorgestoten naar het

formele rekenen met breuken. Voor heel wat leerlingen krijgen de rekenregels die ze dan niet

kunnen doorgronden de status van magische trucjes, die ze al gauw door elkaar gaan haspelen of

slechts fragmentarisch kunnen toepassen.

Het hoeft dan ook niet te verwonderen dat we in elk onderdeel van dit katern de nadruk zullen

leggen op de begripsvorming.

4.1 Breuken

4.1.1 Ontwikkeling van het breukbegrip

De traditionele breukendidactiek benadrukt het deel-geheelaspect in het breukbegrip. In dat verband

spreekt men zelfs van ‘echte’ breuken (deel van één geheel) en ‘onechte’ breuken (groter dan één

geheel). Met dat laatste hebben de kinderen dan conceptueel uiteraard veel moeite. Deze didactiek,

met als concrete basis de versneden taart (breuken als cirkelsectoren), veronachtzaamt de wijze

waarop breuken in de realiteit ontstaan: als resultaat van een eerlijke verdeling of als een verfijning

bij het meten (met niet-conventionele maten). We richten ons eerst op deze twee bronnen van de

breuken.

A Eerlijk verdelen

Het eerlijk verdelen waarbij iedereen een (zo) gelijk (mogelijk) aandeel krijgt, behoort zeker en vast

tot de wereld van het kind, ook reeds van kleuters. Soms levert zo’n eerlijke verdeling een rest op

waar je mee blijft zitten: bv. bij de verdeling van 9 snoepjes, knikkers, flippo’s, kleurpotloden, ...

onder 4 kinderen. In andere gevallen kan die rest vermeden worden door te snijden of te breken: bv.

bij de verdeling van 6 appels, bananen, koekjes, pizza’s, pannenkoeken, wafels, chocoladerepen ...

onder 4 kinderen. Het eerste breukbegrip ontstaat dan als een beschrijving van de bekomen delen:

één en een halve appel, één en twee kwart pizza’s, ... . In veel gevallen levert de beschrijving van

deze verdeelresultaten zogenaamd gemengde getallen op, bestaande uit een geheel gedeelte en een

breukgedeelte. Begripsmatig is dat voor kinderen geen probleem, het kan wat lastiger zijn wanneer

ze eraan toe zijn om de verkregen resultaten ook wiskundig te noteren: anderhalf wordt dan 1 1/2,

1 2/4 ... . Over deze notatiewijze bestaan nogal wat misverstanden. We gaan er dus even op in, maar

eerst willen we erop wijzen dat het noteren van de breuk pas komt nadat kinderen veelvuldig ver-

delingen in de realiteit of schematisch (op tekeningen) hebben uitgevoerd en in woorden

beschreven:


6 pannenkoeken verdeeld over 4 kinderen

� � � � ∅ ∅ elk kind één hele en één halve, anderhalve pannenkoek

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ elk kind 3 halve pannenkoeken

� � � � ⊕ ⊕ elk kind 1 en 2 kwart pannenkoeken

⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ elk kind 6 kwart pannenkoeken

Uit het voorbeeld met de pannenkoeken blijkt ook dat in dit soort verdeelsituaties niet alleen het

breukbegrip zelf opgebouwd wordt maar ook de relatie (gelijkwaardigheid) tussen bv. 1 1/2, 3/2, 1

2/4, 6/4, ...,omdat verschillende oplossingen van het verdeelprobleem door de kinderen kunnen

aangedragen worden.

Notatie van gemengde getallen

Vanuit de formele benadering en de gerichtheid op het wiskundig systeem vinden we in de meeste

wiskundemethodes in Vlaanderen een soort ontkenning van het bestaan van (uit de realiteit

gegroeide) gemengde getallen. Wanneer men deze toch tegenkwam, dienden ze genoteerd als een

rationeel getal (verhouding tussen 2 gehele getallen): 3/2, 6/4, ... of als een bewerking tussen een

geheel getal en een rationeel getal: 1 + 1/2, 1 + 2/4 ... . Het plusteken tussen het gehele en

breukgedeelte werd verantwoord vanuit de idee dat later, in het secundair onderwijs, de kinderen

twee opeenvolgende getallen als een vermenigvuldiging dienden te interpreteren: 3 5/8 zou dan 3 x

5/8 betekenen. Dit slaat uiteraard nergens op. Dit zou betekenen dat de notatie 57 zou moeten

gezien worden als 5 x 7 i.p.v. als zevenenvijftig. In de algebraïsche notatie wordt het teken voor de

vermenigvuldiging slechts weggelaten als er geen dubbelzinnigheid mogelijk is:

bv. ab = a x b

7y = 7 x y.

Wanneer 34 als 3 x 4 gezien moet worden zullen we een notatie als 3 x 4, 3.4 of 3(4) gebruiken.

Aangezien we vierendertig als 34 noteren en niet als 30 + 4, kunnen we ook twee en een half blijven

noteren als 2 ½ en niet als 2 + 1/2.

Overigens zijn gemengde getallen bevattelijker dan rationele getallen. Om een idee te krijgen van

hoe groot 16/3 bv. is (waar plaats je dat getal op een getallenlijn?), zal je dat quasi automatisch

omzetten naar een gemengd getal: 5 1/3 zegt meer, het ligt tussen 5 en 6. Het is dus een goede

gewoonte om de kinderen breuken met een grotere teller dan noemer, te laten omzetten in gemengde

getallen opdat die breuken voor hen meer betekenis zouden krijgen. Dat is vooral van belang in

latere stadia van het breukenonderwijs, bij het uitvoeren van bewerkingen (naakt of in context). Bij

elk resultaat van een bewerking met breuken moeten kinderen zich nog iets kunnen voorstellen, het

mag geen ondoorzichtig gegoochel met cijfers boven en onder de breukstreep worden.


B Breuken als verfijnde maten

Hans stapt de lengte van de klas af. Bij zijn twaalfde stap komt zijn voet tegen de muur terecht. “11

stappen en nog wat” zegt hij. We concentreren ons op het “nog wat”-gedeelte. De meeste kinderen

schatten dat op iets meer dan een halve stap.

Vanuit de meetactiviteit komen deze kinderen tot de ervaring dat een voorafgekozen maateenheid

vaak niet volstaat om een reëel voorwerp te meten, dat de maat verfijnd moet worden. Vertrekkend

van dit gegeven kunnen we van de stappen van Hans een strook maken en op die strook verdere

verfijningen aanbrengen, bv. via een aantal keren halveren van de maateenheid (in twee vouwen van

de strook):

De lengte van de klas wordt nu bepaald op 11 5/8 stap van Hans. Zoals bij de verdeelsituaties

komen we weer op gemengde getallen uit, nu als beschrijving van het meetresultaat. En ook hier

krijgen we onmiddellijk zicht op de relaties tussen de breuken (5/8 is iets meer dan ½, 1/4 = 2/8 ...).

Het meten met stroken is daarmee ook een goede introductie van de breuk als getal, met een plaats

op de getallenlijn. Met het strokenmodel in het achterhoofd zullen de kinderen in een later stadium

van hun leerproces breuken kunnen situeren op de getallenlijn, eventueel zelf onderverdelingen

aanbrengen op de strook (die nu een lijnstuk geworden is):

Plaats 3/5 en 1 6/10 op de getallenlijn.


De overschakeling van het in-woorden-beschrijven van de delen naar de formele breuknotatie is ook

handig te maken binnen het taartmodel: Ik snij een taart (breukstreep) in 5 stukken (noemer: zo’n

stukje noem ik dan een vijfde) en ik neem er 2 van (teller): 2/5.

Een nadeel van de eigen identiteit van elke (stam)breuk binnen het geheel is wel dat de breuken dan

te vlug als onbenoemde getallen beschouwd worden die enkel tussen 0 en 1 te situeren zijn. Het

verdient dus aanbeveling om naast het deel-geheelaspect bij de begripsvorming ook de andere

aspecten uit te werken en in de aanvangsfase de breuken te benoemen: 2/5 taart, 1 ½ appel, 11 5/8

stap of strook, ... . De verwijzing naar concrete realiteiten is in deze fase nog te belangrijk.

D De breuk als operator

De idee van de breuk als operator ontstaat op een vrij natuurlijke manier: van het ‘ver-delen’ naar

het deel van een geheel, naar het deel van een aantal. Als we een appel in twee verdelen krijgen we

twee halve appels. De helft van een appel is een halve appel. Als we 4 snoepjes in twee verdelen

krijgt ieder ook de helft. De helft van die 4 snoepjes is twee. Het weergeven van de verdeeloperatie

als een stambreuk van één geheel of van een aantal is niet zo’n groot probleem voor kinderen van 6

à 7 jaar. Ook de latere uitbreiding naar breuken met een teller groter dan 1, lukt nog wel: in een

rolletje snoep zitten er 20. Mirko heeft er op één dag al 3/4 van opgegeten. Hoeveel zijn er dat? De

redenering dat 3 vierde 3 keer een vierde of de som van 1/4 + 1/4 + 1/4 is wordt hier door de

kinderen gevolgd. Dus 3/4 van 20 is 3 x 5 of 5 + 5 + 5 = 15.

Het conceptueel probleem ligt vooral in de gelijkschakeling van ‘deel van een aantal’ met de

vermenigvuldiging: 3/4 (deel) van 20 is hetzelfde als 3/4 x 20. Deze formalisering is ver van

evident: intuïtief lijkt een deel nemen van iets en iets zoveel keer nemen niet direct hetzelfde. We

kunnen hierbij best weer met gemengde getallen werken in een voorstelbare context.

Voorbeeld: De piste rond het voetbalveld is 400 m. De atleten lopen er 2 en een halve keer rond.

Hoeveel m lopen ze? 2 1/2 x 400 m = 1.000 m.

Hiermee leggen we de verbinding tussen de helft (van een ronde) van 400 m en 1/2

keer (maal) die 400 m.

Daarna kunnen we dat met getallen (onbenoemd):

1 1/2 keer 12 = 1 keer 12 + 1/2 (keer of de helft van) 12

= 12 + 6 = 18.

Pas als deze verbinding goed gelegd is gaan we in de klas door elkaar een ‘deel van een aantal’

noteren als de breuk maal dat aantal : 1/3 van 12 = 1/3 x 12 = 4.

E Verhoudingen en kansen

Numerieke verhoudingen komen eerst aan bod als zoveel op (van) zoveel. Bij een kralenketting is 1

op 4 kralen een rode, 4 van die 10 eieren zijn bruin, er zijn nog 3 van de 8 plaatsen leeg in dat

minibusje. Bij de verwoording kan aandacht gegeven worden aan 1 op 4, 1 van de 4, 1/4 van de

kralen zijn rood.

Globaal schattend kan de verhoudingentaal en de breukentaal al verbonden worden: Ik heb al 43

bladzijden van mijn boek gelezen (in totaal 121 bladzijden). Welk deel is dat ongeveer? ongeveer

1/3 ...

Verhoudingen komen ook vrij vroeg in beeld via toepassingssituaties waarin de recht-evenredigheid

een rol speelt: met z’n drieën hebben we een hele fles limonade uitgedronken. Hoeveel limonade

hebben we nodig om de dorst van heel de klas te lessen (24 kinderen)? Ruilsituaties (met of zonder

geld) zijn ook op verhoudingen gebaseerd: één potlood voor 5 flippo’s. Wat krijg ik voor 15

flippo’s? Het vlees staat 570 BEF per kg. Hoeveel betaal ik voor 200 g ...? Bij dit soort situaties kan

eventueel de verhoudingstabel al geïntroduceerd worden die dan weer van nut zal zijn om verdeel-.

170 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN situaties en breuken die daarbij ontstaan te vergelijken (zie 1.2.1)

gewicht

1 kg

2 kg

200 g

prijs

570 fr.

1 140 fr.

114 fr.

Ook het begrip ‘kans’ verschijnt eerst als een verhouding: Als ik bij een spel met dobbelstenen

minstens 3 moet gooien om nog te kunnen winnen, heb ik 4 kansen op 6 om dat te doen. Een kans

noteren als breukvorm komt in een latere fase, bv. via 1 kans op 2 dat het nieuwe kindje in mama

haar buik een jongetje is. De kans op een jongen is ½ (en dus levert ca. de helft van de geboortes

een jongen op). De relatie tussen kans en de werkelijkheid is echter een zeer lastige. Slechts bij zeer

grote aantallen komen kans en realiteit bij elkaar. Het is de ervaring van kinderen dat ze vaak meer

dan 6 keer moeten gooien met de dobbelsteen om bv. een zes te gooien. Of dat ze in hun gezin met

3 meisjes zijn ... . Hoe zit dat dan met die kans van ½ voor jongens en 1/6 om een 6 te gooien? Met

kinderen van 10 à 12 jaar kan hierover al gereflecteerd worden, maar over de betekenis van kans en

waarschijnlijkheid bestaan ook bij volwassenen nog veel misverstanden, die we in de basisschool

zeker niet allemaal uit de weg zullen ruimen: bv. als je twee keer gooit, heb je dan dubbel zoveel

kans om minstens één 6 te gooien?

(die kans is 11/36 en niet 2/6 : kans op een 6 enkel de eerste keer : 1/6 x 5/6 (kans op geen zes) =

5/36

kans op een 6 enkel de tweede keer: 5/6 x 1/6 = 5/36

kans op 2 zessen: 1/6 x 1/6 = 1/36

kans op (minstens) 1 keer zes bij twee keer gooien is 5/36 + 5/36 +

1/36 = 11/36)

F Breuk als getal

We vertrekken met breuken als benoemd getal: 2 1/2 banaan, 3/4 appel, 1/2 reep chocolade, 2 1/4

meetstrook... . Zoals we eerder al stelden kan de associatie van de serie meetstroken naar de

getallenlijn gemakkelijk gelegd worden. Waar we op de bovenste tekening nog 3 ½ strook situeren,

gaan we op de onderste het getal 3 ½ plaatsen.

Maar de breuk als (onbenoemd) getal met een plaats op de getallenlijn komt niet in de aanvangsfase

van de vorming van het breukbegrip. Breuken ordenen op een getallenlijn kan pas als de

gelijkwaardigheid tussen bv. 2/3, 4/6, 6/9, ... ook duidelijk geworden is, nadat breuken herhaaldelijk

vergeleken zijn. Dat vergelijken vormt dan weer de aanzet tot bewerkingen met breuken, in de

eerste plaats de aftrekking: als we een verschil gevonden hebben, willen we ook wel weten hoe

groot dat verschil is ... .


4.1.2 Bewerkingen met breuken

A Vergelijken, aftrekken en optellen

Voor de basisoperaties van het vergelijken van breuken, het verschil bepalen tussen 2 breuken en

breuken optellen kan men vertrekken vanuit verschillende contexten die dan als model kunnen

gehanteerd worden in de verdere leergang. We geven twee voorbeelden. Het ene gebaseerd op

verhoudingen, het andere op deel-geheelaspect.

- De pizzacontext en de verhoudingstabel In een pizzarestaurant zijn er tafels met 4 stoelen. Voor de 4 kinderen aan tafel bestellen we maar

3 pizza’s, want het zijn grote. De kinderen aan de tafel verdelen die eerlijk.

Een andere groep schuift 2 tafels bij elkaar, die krijgen 6 pizza’s voor 8 kinderen. Is dat

evenveel? Hoeveel krijgt elk? Zijn er nog tafelschikkingen waar ze evenveel krijgen?

In verhoudingstabel: Pizza’s

3 6

Kinderen

4 8

Deze tabel is links en rechts uitbreidbaar om de verschillende vragen op te lossen: naar rechts

krijg je gelijkwaardige verhoudingen. Naar links (hoeveel krijgt elk) komt de breuk tevoorschijn:

P

3/4

3

6

9

12

15

K

1

4

8

12

16

20

Bij de volgende stap gaan we ons richten op het verschil: 3 pizza’s voor 4 kinderen aan tafel 1, 2

pizza’s voor 3 aan tafel 2. Wie krijgt meest?

Hoeveel meer?

tafel 1 P

3

6

9

K

4

8

12

tafel 2 P

2

4

6

8

K

3

6

9

12

De verhoudingstabellen worden voortgezet tot we een vergelijkbare situatie vinden.

Die vergelijkbaarheid ontstaat eerst in de teller: aan tafel 1 6 pizza’s voor 8 kinderen, aan tafel 2

evenveel voor 9 kinderen. Dan weten we al dat men aan tafel 1 wat meer krijgt. Om te vinden

hoeveel meer moet de verhoudingstabel nog wat voortgezet worden, tot het aantal kinderen (de

noemer) gelijk is.

Aan tafel 1: 9 pizza’s voor 12 kinderen, aan tafel 2 maar 8 pizza’s voor 12 kinderen. Als we in


beide gevallen de pizza’s stuksgewijze verdelen krijgt de 1ste groep elk 9/12 pizza, de tweede

groep 8/12. Aan tafel 1 hebben ze dus 1/12 pizza meer.

In formele breukentaal (gelijknamig maken) wordt dit

3/4 - 2/3 = 9/12 - 8/12 = 1/12.

Hoeveel pizza heeft iemand gegeten als hij eerst aan tafel 1 zat en daarna aan tafel 2? Het ge-

lijknamig maken van de op te tellen breuken verloopt dan op dezelfde manier als bij het vinden

van het verschil. Aan tafel 1: 9/12 pizza en dan nog 8/12 pizza aan tafel 2; samen 17/12 of 1 5/12

pizza, dat is iets minder dan anderhalve pizza.

- De chocoladereepcontext (deel van geheel - deel van aantal) Wouter en Willem hebben elk een reep chocolade gekregen. Wouter eet de helft op, Willem een

derde. Hoe ziet die reep eruit waar je zowel 1/2 als 1/3 kunt van nemen? Hoeveel stukjes heeft

die? Kinderen van een vierde leerjaar vinden gauw dat een reep met 6 stukjes daar best bij past.

Wouter

½ reep: 3 van de 6 stukjes

Willem

1/3 reep: 2 van de 6 stukjes

Het verschil is 1 stukje (1 van de 6 stukjes, dus 1/6).

Samen hebben ze 5 stukjes opgegeten (5 van de 6 stukjes of 5/6)

Om te kunnen vergelijken, verschil en som bepalen, kunnen we dus altijd op zoek gaan naar een

passende verdeling in onze chocoladereep of -plak (als we meer stukjes nodig hebben).

Wie heeft het meest chocolade gegeten deze week? Wouter 3/5 van een plak, Willem 5/8 plak.

Een plak van 40 stukjes kan je zowel in 5 als in 8 verdelen.

Willem heeft dan 5 keer 1/8 plak verorberd, dat is 5 keer 5 stukjes of 25 stukjes van de 40; 25/40


plak.

Wouter at 3 keer 1/5, 3 x 8 stukjes of 24/40. Willem heeft 1 stukje van zo’n 40-plak meer

gegeten, het verschil is 1/40.

Het eindpunt is ook hier na het gelijknamig maken (zoek een geschikte reep of plak) het formele

noteren: 5/8 - 3/5 = 25/40 - 24/40 = 1/40. Uiteindelijk mondt een dergelijk opgebouwde

leergang uit in het herkennen van de gelijke noemer (40) als kleinste gemeenschappelijk

veelvoud van de aparte noemers: 5 en 8. Maar door deze opbouw kunnen ook kinderen die aan

die formalisatie niet toe zijn op hun niveau - bv. met behulp van het chocoladereepmodel -

dezelfde breukproblemen oplossen als de andere leerlingen in de klas.

B Vermenigvuldigen en delen

De vermenigvuldiging van een breuk met een natuurlijk getal hebben we reeds aangegeven bij de

omzetting van ‘een deel van een aantal’ naar ‘breuk x aantal’ (zie 4.1.1 D: breuk als operator).

Een breuk delen door een natuurlijk getal is een voortzetting van verdeelsituaties: Er is reeds een

halve taart op, nog 4 kinderen willen een stuk; hoeveel krijgt ieder? Op dat moment weten de

leerlingen al dat ‘delen door 4', ‘1/4 van’ en ‘1/4 x’ hetzelfde betekenen.

1/2 : 4 = 1/4 x 1/2 (breuk maal stambreuk)

Dit kan weer met het chocoladerepenmodel benaderd worden.

Een reep van 8 stukjes kan ik eerst in 2 en dan nog eens in 4 verdelen.

1/2 reep is 4 stukjes, 1/4 van 1/2 reep is 1 stukje (van de acht, dus 1/8).

De onderverdeling van de chocoladeplakken is verder ook bruikbaar als veralgemening van het

rechthoeksmodel van de vermenigvuldiging, waardoor ‘breuk x breuk’ altijd te visualiseren is. Deze

didactische aanpak kan veel verhelderen voor kinderen en zo ‘breuk x breuk’ toch toegankelijk

maken voor hen hoewel we het in onze leerlijn enkel als uitbreidingsdoel opnamen (leerlijn 1.14,

doel 1, zesde gedachtestreepje)

Hoeveel is twee derde van driekwart (2/3 x 3/4 ?)

1/4 2/4 3/4

Een plak van 12 stukjes kan eerst in 3 en dan in 4 verdeeld

worden. De vermenigvuldiging 2/3 x 3/4 levert 6 van de 12

stukjes op, dat is de helft: 2/3 x 3/4 = 6/12 = 1/2.

Langs deze weg kan de algemene regel (vermenigvuldig de noemers en de tellers met elkaar)

geleidelijk ontdekt worden.

Het formele delen door een breuk (met het ‘trucje’: vermenigvuldig met het omgekeerde) zouden

we willen reserveren voor het voortgezet onderwijs. Delen door een breuk kan wel als

verhoudingsdeling in voorstelbare contexten die ook oplosbaar zijn zonder een ‘deling’ uit te

voeren: bv.

- Ik heb eindjes touw nodig van 3/4 m. Op mijn bol zit 12 m.

Hoeveel stukken touw kan ik daaruit snijden?

- Een wijnfles (0,7 l) wordt op tafel gezet. Hoeveel glazen van ongeveer 1/8 liter kan ik vullen met

een fles?

174 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN - Mijn papa heeft onze tuin afgepast en kwam rond in 120 stappen. Een stap van mij is slechts 2/3

van die van mijn vader. Hoeveel passen heb ik nodig om rond de tuin te gaan?

- Ik heb 3 repen chocolade. Als ik halve repen wil uitdelen, hoeveel kinderen kan ik dan gelukkig

maken? En als ik stukken van 1/3 reep ga uitdelen?

Bij dat laatste voorbeeld kan je weer met ondermaten werken.

Het probleem 3 : 1/2 of 3 : 1/3 wordt dan weer omgezet in een verdeling van gehele stukjes.

(1/3 reep is 2 stukjes; 3 repen is 18 stukjes)

3 : 1/3 wordt dan (in stukjestaal) : Hoeveel keer kan ik 2 stukjes uit 18 stukjes nemen?

18 : 2 = 9

3 : 1/3 = 9

Deze situatie met repen en stukjes (als ondermaat) is ook op een soort dubbele getallenlijn neer te

zetten om het verband tussen de gehelen en breuken (repen) aan de ene kant en de gehele getallen

die een hulpmiddel voor berekeningen vormen (de stukjes) aan de andere kant duidelijk aan te

geven

4.2 Kommagetallen

Kommagetallen kunnen via drie verschillende wegen geïntroduceerd worden bij de leerlingen: als

voortzetting van het positiestelsel van ons getalsysteem, als andere schrijfwijze van tiendelige

breuken (1/10, 1/100, 1/1000,...), als verfijning van maateenheden. We denken dat de instap via

meetcontexten meest aangewezen is, omdat daarbij de band met de realiteit een inzichtelijke

begripsvorming best kan ondersteunen.

4.2.1 Begripsvorming

Kinderen worden in hun dagelijks leven met kommagetallen geconfronteerd als benoemde

maatgetallen: op een brikje appelsap staat 0,2 l, een fles limonade bevat 1,5 l, de kilometerteller van

zijn fiets geeft aan dat iemand 3.78 km van school woont, ze zien dat in de garage waar papa tankt

een liter benzine 37,08 fr. kost ... . De invoering van de euro zal trouwens het werken met

kommagetallen in geldcontexten wellicht vlugger in de kinderwereld brengen dan nu met de op de

achtergrond geraakte centiemen.

Lengtemeting is door haar visueel karakter de meest concrete instap voor kinderen. Als we bv. in de

turnles noteren hoe ver iedereen uit de klas kan springen, hebben we een schat aan gegevens


waarmee in de rekenles kan gewerkt worden.

176 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN Vanuit de notatie in m en cm gaan we over naar een nieuwe notatie: Elke sprong 3 m en 12 cm; we

noteren 3,12 m en plaatsen dat op onze grote ‘springmeter’ in de klas.

Door met de m en de cm te werken gaan we onmiddellijk 2 cijfers na de komma noteren. Dit maakt

het mogelijk om van bij de aanvang de notatiewijze van 3 m en 8 cm (de sprong van Joeri) als

probleem te stellen:

De sprong van Jo was 3 m en 80 cm � 3,80 m.

De sprong van Joeri was 3 m en 8 cm: kunnen we dat noteren als 3, 8m? Onmiddellijk komt de

plaatswaarde van de cijfers (naar analogie met de gehele getallen) in het vizier. De 8 van Jo’s

sprong is 80 cm of 8 dm waard. Die van Joeri is maar 8 cm waard. Die mag dus niet op dezelfde

plaats staan. Die moet op de plaats van de cm. We lossen dat op door 3,08 m te noteren.

Van bij de aanvang verbinden we de benoemde maatgetallen met de positiewaarde. Bij de overgang

naar onbenoemde kommagetallen leggen we dan de band met de tiendelige breuken. Moeten we na

de eenheid verfijnen, dan krijgen we in het positiestelsel tienden

(1 dm is 1/10 m, is 0,1 m) en honderdsten (1 cm is 1/100 m, is 0,01 m):

m

dm

cm

T

E

t

h

3,

0

8

Als de leerlingen na deze instap nog materialiseringen nodig hebben voor de positiewaarde van het

gedeelte na de komma, kunnen we daar de abacus bij gebruiken. Hebben ze dat ook nodig voor de

relatie met tiendelige breuken, dan kan het MAB-materiaal misschien dienstig zijn, al moeten we

opletten voor verwarring als de kinderen dat materiaal ook op vroegere leeftijd op een andere

manier gebruikten (het blok als 1000, de plak als 100, ...).

Binnen de meetcontext kan ook van bij de aanvang van de leergang kommagetallen de band gelegd

worden met de gewone breuken: 3,50 m is 3 m en 50 cm, is 3 ½ m; 250 g is 1/4 kg, is 0,250 kg; 0,2

l is 2 dl (of 20 cl), is 1/5 l ... .


In de fase van de begripsvorming (en ook later nog) zal de leraar bijzondere aandacht moeten

schenken aan twee sterke foutenbronnen bij het werken met kommagetallen: het asymmetrisch

karakter van de kommagetallen en de kommascheiding.

- asymmetrie t.o.v. de komma:

Hiermee wordt bedoeld dat de tientallen en de tienden, de honderdtallen en de honderdsten, ... in

het positiestelsel niet symmetrisch staan t.o.v. de komma, maar wel t.o.v. de eenheden.

Dit kan tot misverstanden aanleiding geven in bv. 233,087 : de 7 betekent 7 honderdsten (3

plaatsen na de komma geeft honderdsten, want 3 plaatsen vóór de komma zijn honderdtallen).

Deze foutenbron speelt echter niet zo’n grote rol als de kommascheiding.

- kommascheidingsfout:

Hiermee wordt bedoeld dat de getallen voor en achter de komma als een zelfstandigheid worden

opgevat en behandeld.

Bv. 0,3 is kleiner dan 0,12 want 3 is kleiner dan 12

3,8 ¹ 3,80 want 8 ¹ 80

3,14 + 2,4 = 5,18 want 14 + 4 = 18

Deze veelvoorkomende fout hangt samen met de manier waarop kommagetallen meestal gelezen

worden:

3,14 als “drie komma veertien”;

2,4 als “twee komma vier”.

Vandaar dat in de fase van de begripsvorming deze (later niet te ontlopen) courante leeswijze

beter kan vermeden worden. Aanvankelijk zal men bij het lezen van kommagetallen aandacht

geven aan de plaatswaarde en bv. 3,14 lezen als “3 en 14 honderdste” of “3 en één tiende en 4

honderdste”.

Oefeningen in het vergelijken en ordenen van kommagetallen (met plaatsing op getallenas) zijn

in deze fase van belang.

Bv. - Schrijf van klein naar groot:

0,3 0,237 0,24 0,23 1/4

- Welk getal ligt net tussen 1,4 en 1,5 ?

4.2.2 Rekenen met kommagetallen

Algemeen kunnen we hierbij stellen dat schatten op grond van afrondingen, en dus hoofdrekenen,

belangrijker is dan het hanteren van strikte rekenregels bij het cijferen. Didactisch is het

aangewezen de rekenregels (bv. over de plaats van de komma) te laten ontdekken i.p.v. ze vooraf te

geven en dan in oefeningen te laten toepassen. Ook hier staat een meer inzichtelijke opbouw op de

voorgrond.

Het praktisch belang van cijferen met kommagetallen neemt trouwens af door het gebruik van de

zakrekenmachine.

178 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN A Optellen en aftrekken

Bij het optellen en aftrekken van kommagetallen is de grote moeilijkheid dat men de bewerkingen

moet uitvoeren met de plaatswaarde van de cijfers in het achterhoofd. Bij hoofdrekenen zal men dus

vooral de kommascheidingsfout moeten vermijden, bv. door te herformuleren: 3,37 - 1,7 als 3,37 -

1,70. Bij het cijferen is het vooral een kwestie van ervoor te zorgen de getallen zo te schikken dat de

overeenkomstige posities onder elkaar staan.

Om het inwisselen inzichtelijk te laten verlopen kan men teruggrijpen naar de abacus en een

positiekaart. Geleidelijk aan evolueert dit naar ordelijk schikken (komma’s onder elkaar eventueel

aanvullen met nullen achteraan) zonder hulpmiddelen.

Voorbeeld: 1,675 + 1,49

abacus positiekaart ordelijke schikking

1, 6 7 5

+1, 4 9 (0)

+

1

,

4

9

(0)

3, 1 6 5

uit: Streefland, 1995, p.42

“Abacus en positiekaart zijn beide gericht op het uitstellen van het inwisselen en de overdracht,

wat de belasting van het werkgeheugen sterk vermindert.

Op de abacus kan men naar believen de komma op de gewenste plaats aanbrengen. Beide

hulpmiddelen staan in dienst van de inzichtelijke onderbouwing, gebaseerd op maatverfijning en

het benadrukken van de samenhang in een kommagetal.”


B Vermenigvuldigen en delen

Bij het vermenigvuldigen en delen van kommagetallen met natuurlijke getallen loert de

kommascheidingsfout ook altijd om het hoekje:

2,24 x 5 = 10,120 (2 x 5 is 10 en 24 x 5 is 120)

8,24 : 4 = 2,6 (8 : 4 is 2 en 24 : 4 is 6)

Bij het aanvankelijke hoofdrekenen kunnen we dan ook best het kommagedeelte benoemen: 2 m en

180 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN 24 cm x 5 of 2 en 24 honderdsten x 5 omdat dan de plaatswaarde van de verkregen getallen

expliciet in rekening gebracht wordt: 5 keer 24 cm is 120 cm, is 1,20 m; 5 x 24 honderdsten = 120

honderdsten of 1,20; dat mag ik niet schrijven als 0,120 want dat zijn 120 duizendsten of 12

honderdsten... .

De kommaplaatsingsregel bij het (cijferend) vermenigvuldigen hoeft niet vooraf gesteld. We

vertrekken van een schatting. Bv. we zoeken de oppervlakte van een kamer van 3,8 m op 5,2 m. Dat

is ongeveer 4 m op 5 m, dus zowat 20 m². Uitrekenen (zonder komma’s) levert:

3 8

x 5 2

7 6

1 9 0 0

1 9 7 6

Gezien de schatting van 20 zullen we de komma na de 9 plaatsen: 19,76 m². Dit kan ook door de m

in dm om te zetten. 38 dm x 52 dm is 1976 dm² (zonder komma’s). En nadien herleiden (1 m = 10

dm, 1 m² = 100 dm²) : 3,8 m x 5,2 m = 19,76 m²

Door eerst te schatten of via herleiden te werken vermijdt men blind toepassen van de regel: tel het

totaal aantal cijfers na de komma in beide getallen, het product heeft evenveel cijfers na de komma

als dat totaal.

De rekenregels bij het delen door kommagetallen, in het bijzonder het wegwerken van de komma in

de deler, dienen voorbereid door het vermenigvuldigen en delen met machten van 10, het ontdekken

van de daarmee samenhangende regels voor kommaverschuiving (102 : 10 = 10,2 3,62 x 100 =

362 ...) en door de deling op te vatten als een verhouding. Via de verhoudingstabel vinden we dat

3,7 : 10 gelijkwaardig is aan 37 : 100 ... .

Deze voorbereiding zal het mogelijk maken 8 : 0,4 inzichtelijk om te zetten naar 80 : 4.

Het werken met uitsluitend natuurlijke getallen in de lagere leerjaren heeft bij de meeste kinderen de

opvatting doen ontstaan dat vermenigvuldigen altijd betekent “groter maken” en dat delen een

verkleinend karakter heeft. Naast kommascheiding kunnen veelvoorkomende fouten als 0,4 x 0,2 =

0,8 of 5 : 0,1 = 0,5 ook met deze misvatting te maken hebben. Daarom is het nodig aan het

vermenigvuldigen en delen met kommagetallen kleiner dan 1 apart aandacht te besteden.

Verbinding met breuken < 1 is hierbij ook belangrijk; 3 : 0,5 is 3 : 1/2, te vertolken als hoeveel

stukken van een half kan ik uit bv. 3 volledige repen chocolade halen? Het quotiënt 6 is duidelijk

groter dan het deeltal 3.

Bij die relatie tussen breuken en kommagetallen zal men dan ook nog oog moeten hebben voor

fouten die ontstaan uit een soort gelijkstellen van de komma met de breukstreep: 1,4 = 1/4 , 3/8 =

3,8 e.d..


4.3 Procenten

Procenten (zoveel op honderd) vormen een soort standaardbreuk of -verhouding. Ze beschrijven

deel-geheelrelaties of veranderingssituaties (toename of afname, geheel plus- of min-deel) of fun-

geren daarbij als operator. Percentages komen in het dagelijks leven zeer veel voor, leiden daar als

het ware een eigen leven, maar worden niet altijd correct gebruikt omdat ze soms moeilijk te vatten

zijn. We geven eerst een overzicht van de verschillende situaties, met telkens een voorbeeld.

1 Deel-geheelrelaties

Geheel Deel Procent

a. Becker heeft in de eerste set 28 van de 35 28 ?

35 eerste opslagen goed geslagen.

Wat is zijn % geslaagde 1ste services?

b. In een potje jam zit 40 % vruchten. 450 g ? 40%

Hoeveel is dat in een pot van 450 g?

c. Jan besteedt 5 % van zijn spaargeld aan ? 550 F 5%

een nieuwe cd van 550 fr. Hoeveel spaar-

geld had hij?

2 Geheel min of plus deel

(Begin) (Eind) (Verandering)

a. Een fiets kostte eerst 5 000 fr., nu 4 200 fr. 5 000 4 200 ?

Hoeveel % ging eraf?

b. Een krant van 30 fr. wordt 10 % duurder. 30 ? 10%

Hoeveel moet ik nu betalen?

c. Een auto kost 450 000 fr., 25 % BTW in- ? 450 000 25%

begrepen. Hoeveel kost die zonder BTW?

In een didactische opbouw zullen we er rekening moeten mee houden dat deze problemen sterk

verschillen in moeilijkheidsgraad: veranderingssituaties zijn moeilijker dan deel-

geheelbeschrijvingen; het zoeken van het geheel of terugkeren naar de beginsituatie is moeilijker

dan het deel of % opsporen ... . Als vertrekpunt kunnen we best 1a-situaties nemen, waarbij we

verschillende verhoudingen willen vergelijken. Het is omwille van die vergelijking dat de noodzaak

van een normering wordt aangevoeld, een beetje zoals bij de overstap van meten met

onconventionele naar geijkte maateenheden.

De start kan bijvoorbeeld liggen bij een probleem als dit:

De griepepidemie heeft ook in onze school toegeslagen: 7 van de 25 kinderen van ons 5de leerjaar

zijn ziek. Meester Patrick hoorde deze morgen van de juffen van het eerste dat er bij hen al 10 van

de 40 kinderen ziek zijn. Waar zijn er nu procentueel gezien de meeste zieken? Bij het zoeken van

de percentages (hoeveel zouden er ziek zijn op 100) kan de verhoudingstabel weer dienstig zijn:

182 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN 5de leerjaar 28 %

ziek

7 14 28

Tot.

25 50 100

1ste leerjaar 25 % ziek

10 5 25

Tot.

40 20 100

Het is belangrijk om van bij de aanvang de verbinding te leggen met breuken en kommagetallen.

Deze kunnen zeer bruikbaar zijn bij berekeningen, als het percentage als operator gehanteerd wordt:

- 25 % van 4 800 F is 1/4 van 4 800 fr.

- 40 % van 450 g is 4/10 (2/5) van 450 g of 450 g x 0,4

Als deze gelijkwaardigheid goed functioneert kan die flexibel ingezet worden bij het oplossen van

problemen. Dan moeten we slechts zeer zelden teruggrijpen naar de dwangmatige 1%-regel : 40 %

van 450 g ?

� 1 % = 450 g

100

40 % = 450 g x 40

100

Bij problemen van groei of afname moeten we speciaal aandacht vestigen op de asymmetrie: bv. een

verdubbeling betekent een toename met 100 %, een halvering betekent echter een afname met 50 %!

Dit probleem kunnen we aan de orde stellen via de context van het kopieerapparaat. We beschikken

over twee kopieën in de verhouding 4 : 5 (de paperclip is op het ene blad 5 cm lang, op het andere 4

cm). De vraag is: op welk % was het apparaat ingesteld? We weten wel niet welk blad het origineel

was.

Sommige kinderen nemen het kleinste als origineel. 4 cm is dan de beginsituatie of 100 %. 5 cm

(een verschil van 1 cm = 1/4 of 25%) is de eindsituatie. We krijgen dus een toename van 25 %. Het

apparaat was ingesteld op 125 %. De groep die het andere standpunt innam (5 cm is het origineel =

100 %), vindt een verschil van 1 cm = 1/5 of 20 %. Voor hen was het apparaat ingesteld op 80 %.


begin

eind

verandering

= 100 % 4 cm

= 100 % 5 cm

5 cm

4 cm

+ 25 %

- 20 %

In dit geval kan je kiezen wat je als 100 % beschouwt. In het probleem van de auto zonder BTW

(2 c) is dat niet zo. Het probleem is wel al half opgelost als je daar het correcte standpunt inneemt:

450 000 F is 125 %. We moeten dus niet 1/4 van 450 000 fr. aftrekken, maar 1/5.

Een andere kwestie die in de eindfase van de basisschool aandacht zal moeten krijgen, is het

samenstellen van percentages. Er kan gerekend worden met percentages van een percentage, bv. :

On-geveer 60 % van de Vlamingen gaat jaarlijks op vakantie. 40 % daarvan gaat naar het

buitenland. Hoeveel zijn er dat?

Iets anders is het (vaak ten onrechte) optellen van percentages. We moeten kinderen daar ook mee

confronteren om ze de waarde van statistische argumenten kritisch te leren bekijken.

Bv. In het eerste leerjaar kampt ongeveer 15 % van de kinderen met leesproblemen.

En 10 % heeft last met rekenen. Zo’n kwart van de leerlingen riskeert dus al te moeten

overzitten in het eerste leerjaar! Mag je die conclusie hier trekken?

Zicht op de relativiteit van het begrip percentage moet in elk geval tot de doelstellingen van het

basisonderwijs behoren. Een stijging van 2 naar 3 of van 1 000 naar 1 500 is telkens 50 %. Om daar

echt de betekenis van te vatten zullen we toch naar de context moeten kijken ... . En 5 % (van wat?)

is natuurlijk niet altijd kleiner dan 10 % (van iets anders?).

Omwille van deze relativiteit is het beter procenten niet als een getal op te vatten (met een plaats op

de getallenas). Getallen hebben immers een absolute waarde. Die kunnen ook altijd opgeteld

worden ... .

4.4 Verhoudingen

In elk van de vorige onderdelen kwam de idee van verhoudingen reeds aan de orde. We zouden

kunnen stellen dat verhoudingen het fundament vormen voor het werken met breuken,

kommagetallen en procenten, als een rode draad door die leergangen lopen en er samenhang aan

geven. Dit zou misschien kunnen suggereren dat het werken met verhoudingen beperkt is tot

numerieke verhoudingen.

De eerste ervaringen en noties van verhouding worden door kinderen nochtans opgedaan met

visueel waarneembare dingen, en niet zozeer met getallen. Het gaat dan vooral over vergroten en

verkleinen, vergelijken van speelgoedautootjes met echte, van poppen met mensen, van foto’s met

de werkelijkheid of van foto’s in verschillende formaten van dezelfde werkelijkheid. Allerlei

sprookjes en verhalen (Kleinduimpje en de reus, Nils Holgersson, Gulliver, ...) kunnen aanleiding

zijn tot verkenningen op dit terrein vanaf de kleuterleeftijd. Een bezoek aan Mini-Europa of

Madurodam, het maken van een kijkdoos, een maquette, een situatie in de zandtafel ... breidt de

ervaringskennis die kinderen ook buiten de school opdoen uit. Het is niet onbelangrijk om dit niet-

numerieke spoor bij de verhoudin-gen ook in latere fasen van de basisschool te blijven uitbouwen in

het kader van de leergangen meten en meetkunde (werken rond gelijkvormigheid, schaalrekenen,

schaduwmodel voor hoogteberekening, grafieken, ...).


In onderstaande figuur zien we een overzicht van de verhoudingsproblemen die in de basisschool

aan de orde zijn (numeriek en niet-numeriek).

Uit: Van den Heuvel-Panhuizen, 1990, p 24

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN TABELLEN EN GRAFIEKEN 183

Heel wat verhoudingsproblemen kunnen opgelost worden met behulp van een verhoudingstabel.

Die biedt het voordeel van een grotere flexibiliteit dan bv. de regel van drie, waarbij de vierde

evenredige altijd gezocht werd via de verhouding t.a.v. de eenheid: In het snoepwinkeltje om de

hoek kan ik 12 snoepjes kopen voor 20 fr.. Ik heb 50 fr. op zak. Zal ik heel de klas (28 kinderen)

kunnen trakteren voor mijn verjaardag?

regel van drie : 12 snoepen kosten 20 fr.

1 snoep kost 20 : 12 = 1,666...fr.

28 snoepen kosten 28 x 1,666...fr. = 46,648...fr.

Verhoudingstabel:

sn.

12

24

6

30

fr.

20

40

10

50

De leerlingen kunnen zelf bepalen hoeveel en welke stappen ze nodig hebben om het probleem op

te lossen. Ze kunnen ook een eenvoudigere versie van de tabel hanteren (dubbele getallenlijn). Bv.

bij een grenswisselkantoor krijg je voor 100 BEF 5 gulden (f). Wat staat er voor de Nederlanders

(hoeveel BEF voor 100 f ?)

BEF 100 200 2000 of BEF 100 1000 2000

f 5 10 100 f 5 50 100

Meer formele kenmerken van het verhoudingsrekenen (bv. uit de gelijkwaardigheid

a/b = c/d volgt ad = bc en vice versa) zouden we willen reserveren voor het voortgezet onderwijs.

Wel tot het perspectief van de basisschoolleerling behoort het zinvol samenstellen van ‘nieuwe’

grootheden op basis van verhoudingen:

bv.: - snelheid als verhouding tussen afstand en tijd;

- bevolkingsdichtheid als verhouding tussen aantal (inwoners) en oppervlakte;

- ‘sterkte’ van de koffie: verhouding schepjes koffie en water;

- ‘zoetheid’ van de limonade: verhouding lepels stroop en water;

- dichtheid (soortelijk gewicht): verhouding tussen massa (gewicht) en volume.

In de derde graad zullen we kinderen ook confronteren met verhoudingen die niet noodzakelijk

rechtevenredig en lineair zijn: vinden we een verhoudingsrelatie tussen lengte en gewicht van

mensen, tussen oppervlakte en omtrek van figuren, tussen de zijde van een vierkant en de

oppervlakte, tussen het aantal mensen dat een werk uitvoert en de tijd die dat vergt, ... . Het gaat hier

om relaties die de leerlingen wel eens op het verkeerde been kunnen zetten en daardoor aanzetten

tot bespreking en reflectie, een kans bieden op verdieping van inzicht. Niet onbelangrijk dus, maar

misschien niet meer weggelegd voor alle leerlingen.

Wel voor iedereen is het voortdurend leggen van het verband tussen de in dit katern besproken

onderdelen: via de verhoudingen de samenhang en gelijkwaardigheid verankeren met breuken,

kommagetallen en procenten.


5 Tabellen en grafieken

5.1 Inleiding

Met tabellen en grafieken worden hoeveelheden, reeksen hoeveelheden en verhoudingen grafisch

weergegeven.

De begrippen 'grafiek' en 'diagram' worden wisselend gebruikt.

'Grafiek' is een algemene en overkoepelende term voor een grafische voorstelling van gegevens.

We kunnen daarmee continue (snelheid, tijd, afstand, ...) en discontinue grootheden (aantallen,

hoeveelheden) voorstellen.

In de basisschool worden door middel van tabellen en grafieken vooral kwantitatieve gegevens

gevisualiseerd.

In de latere schoolloopbaan (secundair onderwijs) zal men hieraan een specifieke vulling geven: de

functies.

5.2 Kleuterschool

Kleuters kunnen reeds geconfronteerd worden met voorstellingen van tabellen en grafieken.

In de kleuterschool visualiseren we op vele manieren aantallen in concreto. Het gaat dan om

handelingen waarbij een stuk realiteit aan bod komt.

Zo kunnen de kleuters een stapel maken van al de melkbrikken die in onze klas nodig zijn.

Daarnaast komt de stapel met de chocobrikken. De kleuters zien welke stapel het hoogst is en

relateren dit aan 'meer'. Ze verwoorden dat ook. Er zijn meer kinderen die choco drinken dan

kinderen die melk drinken want de stapel met de chocobrikken is hoger. Er wordt in de klas minder

melk gedronken door de kinderen want de stapel met de melkbrikken is lager of kleiner.

In plaats van in de hoogte kan er ook in de lengte gewerkt worden. Dan zullen daarbij passende

begrippen gebruikt worden.

Rekenkundige begrippen als 'hoog, laag, hoger, lager, kort, lang, korter, langer, meer, minder ...'

functioneren.

Dit stapelen doen kleuters dikwijls spontaan. Duploblokken worden per kleur gesorteerd en er wordt

per kleur een toren gemaakt.

Er zijn meer gele dan groene blokken want de gele toren is hoger. Er zijn minder groene dan gele

blokken want de groene toren is niet zo hoog als de gele toren.

Kleuters kunnen gelijkvormige en evengrote voorwerpen al handelend vergelijken en de daarbij

horende rekentaal functioneel gebruiken.

In een volgende stap gebruiken we gelijkvormige en even grote blokken als symbool voor een

product. De witte blokken stellen de melkbrikken voor. De blokken met een andere kleur stellen de

chocobrikken voor. Hierbij wordt de één-één-relatie veelvuldig gelegd.


5.3 Lagere school

5.3.1 Een graduele opbouw

- Concrete handelingen

De concrete handelingen zoals beschreven in de kleuterschool blijven uiteraard ook in de lagere

school doorlopen. Dit handelen blijft steeds de eerste fase.

- Het beelddiagram

Huisdieren van kinderen in onze klas

Wat Sinterklaas bracht ...

Uit: van Dam, 1984

Het beelddiagram is eigenlijk een tabel, waarbij in plaats van met getallen de aantallen weer te

geven, de aantallen door middel van beelden (afbeeldingen) worden weergegeven.

In een eenvoudige vorm correspondeert één beeld met één reëel object. In een meer complexe

vorm staat één beeld voor verschillende objecten. Deze gradatie vinden we ook terug in de

leerlijn 'Tabellen en grafieken' (leerlijn.1.18 doelstelling 5).

- Het blokdiagram

Punten behaald bij het spel

Resultaten van 10 minuten rondjeslopen

Uit: van Dam, 1984

Het blokdiagram is eigenlijk een beelddiagram waarin het beeld vervangen wordt door een blok.

Ieder blokje stelt één object voor en stemt daarin overeen met het eenvoudig beelddiagram.

De blokken kunnen zowel horizontaal als verticaal worden geordend.


spelers gespeeld

gewonne

n

verloren

Johnny 20x

12x

8x

20x

4x

16x

De rijbenoeming wordt nu een kolombenoeming. Vanuit de aangebrachte blokjes is op

eenvoudige wijze een schaalverdeling op één van de assen aan te brengen.

- De enkelvoudige tabel

Uit: van Dam, 1984

De enkelvoudige tabel heeft nog een sterke overeenkomst met de beeldgrafiek. De beelden

worden echter vervangen door getallen. Soms wordt een bijkomende regel toegevoegd.

De enkelvoudige tabel deelt in naar één categorie.

Dit soort tabellen biedt de gelegenheid om het turven overzichtelijk te maken en samen met de

leerlingen te zoeken naar de handigste oplossing om te turven: het doorkruisen van vier verticale

streepjes om het aantal 5 weer te geven.

- De kruistabel

Vier op een rij ...

Uit: van Dam, 1984

De kruistabel onderscheidt zich van de enkelvoudige tabel door een indeling op verschillende

categorieën.

In plaats van rijen die moeten gekozen worden, moet voor de betekenis van de cellen nu op twee

zaken worden gelet: de rijen de kolomopschriften.

Bij de totalen zijn rij-, kolom- en een algemeen totaal te onderscheiden.


- Het staafdiagram of het histogram

Aantal keren nachtvorst per maand

Inwonersaantallen

Uit: van Dam, 1984

Ook het staafdiagram (of het histogram) bouwt verder op het blokdiagram.

In de staaf zijn nu niet meer de eenheden te onderscheiden. Voor het aflezen van de hoogte (van

het aantal) moet nu naar de schaalverdeling op de verticale as worden gekeken.

Staven kunnen aaneen of los van elkaar worden getekend.

- De lijngrafiek

Een lijngrafiek geeft steeds een ontwikkeling weer. Meetpunten worden verbonden ook al

worden de tussenliggende punten niet gemeten.

De lijn wordt aangewend als hulpmiddel om te laten zien welke punten bij elkaar horen.

Voor de betekenis van de meetpunten moet op de horizontale x-as en de verticale y-as worden

gekeken. Een rooster als achtergrond kan dit aflezen vergemakkelijken.

Meestal worden de meetpunten extra gemerkt.

De verwijzingen op de x-as staan nu recht onder de meetpunten. Hier zit een wezenlijk verschil

met het blok- en staafdiagram waar de verwijzingen onder de blokken en onder de staaf staan.


Aantal nieuwgebouwde huizen

De productie van granen en maïs

Uit: van Dam, 1984

Lijngrafieken met meer dan één lijn zijn geschikt voor vergelijkingen.

- Het cirkeldiagram of het sectordiagram

Verdeling van de leden van de vier sportverenigingen naar leeftijd

Het aantal auto's in de 'Schoolstraat'

A 06.00 u. C 16.00 u.

B 08.00 u. D 19.00 u. Uit: van Dam, 1984

Het cirkeldiagram of het sectordiagram kenmerkt zich door het ontbreken van een

schaalverdeling waarop absolute aantallen vermeld worden.

Wel kunnen bijkomend verhoudingen met getallen worden weergegeven.


Bij het cirkeldiagram duidt de oppervlakte van de cirkel het totaal aan. De sectoren geven de

aandelen of percentages van het geheel weer.

Aansluitend hierop verwijzen we naar het didactisch katern met betrekking tot breuken (4.1.1C:

de breuk als deel van een geheel).

Wanneer de leerlingen in de basisschool zelf een cirkeldiagram maken, zal de verdeling op de

cirkelomtrek gegeven worden.

Recente computerprogramma's maken het mogelijk de meeste diagrammen in perspectief weer te

geven. Gegevens die verzameld worden in de klas, kunnen bij wijze van spreken onmiddellijk in

een diagram gebracht worden. Daarbij kunnen de leerlingen verschillende voorstellingen met

elkaar vergelijken.


- Een schematische voorstelling

De schematische voorstelling van deze graduele opbouw zien we aldus:

Volgorde

diagrammen en grafieken

tabellen

1

2

3

4

5

6

7

8

concreet handelen

het beelddiagram

het blokdiagram

het staafdiagram

de lijngrafiek

het cirkeldiagram

de enkelvoudige tabel

de kruistabel

5.3.2 De didactische stappen

De logisch opeenvolgende stappen bij de opbouw zijn: van de concrete situatie over de tabel en het

diagram naar de formule. Hierbij onthouden we dat de formule niet meer behoort tot de leerstof

voor de basisschool.

De didactische stappen bij de opbouw zullen eerder zijn:

1 de concrete situatie;

2 de diagrammen;

3 de tabellen;

4 de formule.

Zoals reeds eerder beschreven gaan het beelden het blokdiagram de tabellen vooraf. Men dient

eerst dit soort diagrammen te kunnen lezen vooraleer men komt tot het maken, het lezen en het

interpreteren van tabellen.

Ook hier zijn de didactische stappen duidelijk te onderscheiden:

1 het maken van diagrammen;

2 het lezen van de diagrammen;

3 het interpreteren van de diagrammen.

De verhouding die men kiest tussen de reële gegevens en de verticale en de horizontale as van de

lijngrafiek maakt het mogelijk visuele indrukken te manipuleren. Het is zeker nuttig leerlingen van

de derde graad hiermee ervaringen te laten opdoen.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN CIJFERALGORITMEN 191

De afbeelding bovenaan lijkt een weergave van het profiel van een parcours van een rit uit de Ronde

van Frankrijk met aankomst op een steile alpencol.

De afbeelding onderaan zou eerder het profiel weergeven van de Ronde van Vlaanderen met de

aanloop naar en de top van de Muur van Geraardsbergen.

In ieder geval ziet de tweede voorstelling van het aantal uitsluitingen uit de werkloosheid in België

in de aangegeven periode er minder dramatisch uit dan de eerste voorstelling (Uit Heyerick, 1995).

Wanneer men kruistabellen heeft gemaakt kan men ook het staafdiagram, de lijngrafiek en het

cirkeldiagram verder uitwerken.

6 Cijferalgoritmen

6.1 Inleiding

In het leven gebruiken we vaak 'algoritmen' om problemen op te lossen. Een algoritme is een

oplossingsmethode die uit een vaste rij elementaire handelingen bestaat. Wanneer ik deze handelin-

gen in de goede volgorde uitvoer dan 'leidt' het algoritme me tot een zekere oplossing van het

probleem. Je vindt algoritmen in een kookboek, een knutselboek, een telefooncel, ... .

Mensen maken graag gebruik van algoritmen. Ze geven zekerheid. Wanneer je ze veel gebruikt

'moet je zelfs niet meer nadenken' over de te zetten stappen.

Op school leren we kinderen vanaf het derde leerjaar algoritmen aan om te rekenen. Kenmerkend

bij het gebruik van deze algoritmen is dat hoofdzakelijk gewerkt wordt met de losse cijfers van het

getal. Vandaar ook de naam 'cijferen'. Wanneer leerlingen van de lagere school cijferen zou men de

handelingen die ze uitvoeren, als volgt kunnen omschrijven.

Het cijferen geschiedt:

- schriftelijk: je kan je werk overlezen en eventueel verbeteren;

- gestandaardiseerd: ieder volgt dezelfde werkwijze;

- met verkortingen: kleine stappen worden samengevoegd tot één grote;

- efficiënt: de procedure is zo opgesteld dat ze rechtstreeks naar een oplossing leidt;

- automatisch: inzicht in wat men doet is niet meer nodig;

- symbolisch: er wordt gecijferd met getallen die niet noodzakelijk een reële situatie

moeten beschrijven;

- algemeen: waar mogelijk wordt de procedure gebruikt voor alle mogelijke getallen,

ongeacht hun grootte;

- onnatuurlijk: de procedure wijkt vaak sterk af van de wijze waarop je spontaan het

rekenprobleem zou oplossen;

- positioneel: men werkt met E, T, H, D enzovoort, zonder dat men zich daar

voortdurend van bewust is;

- routineus: men streeft naar het vlot hanteren van de procedure, zonder nog bij elke

stap te moeten nadenken.

Bovenstaande opsomming geeft niet aan hoe leerlingen leren cijferen. Het is een aanduiding van

het cijferen op het moment dat de procedure volledig verworven is. Er werd reeds verschillende

malen gewezen op het gevaar van het vroegtijdig aanleren van cijfertechnieken. Het moet nogmaals

onderstreept worden dat het aanleren van technieken niet het eerste en enige doel is van het

rekenonderwijs.

Vooraleer het leerproces van de cijferalgoritmen kan worden aangevat, moet de leerling een aantal

basisvaardigheden verworven hebben.

Ten eerste moet hij inzicht hebben in de context waarin de cijferprocedure kan worden toegepast

(wanneer optellen, delen, ... ?).

Daarnaast moet de leerling, afhankelijk van de procedure, voldoende inzicht hebben in het

getalsysteem (positiewaarde, wisselprincipe, functie van de nul).

Ten slotte moet de leerling de verschillende deelstappen van het algoritme op vrijwel automatisch

niveau kunnen uitvoeren (schattend rekenen, werken met 'nullen', tafels, ...). Getallen met een nul

behoren immers tot de realiteit en kunnen dan ook het vertrekpunt zijn. Je koopt in een supermarkt

toch niet enkel de producten die geen nul in hun prijs hebben!


In dit katern wordt dieper ingegaan op het leerproces van het cijferen. Uitgaande van inzicht in een

oplossingsprocedure zal het kind via stapsgewijze verkorting 'zijn cijferalgoritme' zelf ontwikkelen.

Invloed van cultuur

Het is een misvatting te denken dat de cijferalgoritmen die we gebruiken unieke, universele en

onveranderlijke modellen zijn. Binnen de 'rekenkunde' is er waarschijnlijk geen enkel onderdeel dat

zo sterk cultureel bepaald wordt als het cijferen. Je kan voor elke hoofdbewerking vrij makkelijk

verschillende procedures terugvinden die op een bepaalde plaats, op een bepaald moment algemeen

worden gebruikt. Nemen we bijvoorbeeld het algoritme voor een staartdeling, dan vinden we in

verschillende landen ook verschillende procedures, die soms sterk afwijken van wat bij ons

gangbaar is.

194194194194 OVSGOVSGOVSGOVSG----LEERPLAN WISKUNDELEERPLAN WISKUNDELEERPLAN WISKUNDELEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLENDOMEIN 1: GETALLENDOMEIN 1: GETALLENDOMEIN 1: GETALLEN

Het zal duidelijk zijn dat niet alle procedures even makkelijk toe te passen zijn.

Algemeen geldt dat naarmate de procedure korter wordt, ze verderaf staat van het doorzichtige

'logische' rekenen. Het algoritme zoals het in Joegoslavië wordt gebruikt is zeker moeilijk aan te

leren. De tussenuitkomsten worden bijna volledig weggelaten. De procedure is zeer kort en

abstract. Het is niet makkelijk om in dit deelalgoritme de oorspronkelijke 'verdeelhandeling' terug te

vinden.

Wanneer we kinderen bepaalde procedures willen aanleren, moeten we ons de vraag stellen in

welke mate deze procedures een verkorte weergave moeten zijn van de oorspronkelijke

rekenhandeling.

Een leerlijn 'staartdelingen'

Bij wijze van voorbeeld bepreken we hier twee verschillende invalshoeken bij het aanleren van het

algoritme. Eerst bespreken we een werkwijze die snel leidt naar het vertrouwde en verkorte

'standaardalgoritme'. Centraal bij deze aanpak staat het inzicht in het positiesysteem en het werken

met gestructureerd rekenmateriaal. Vervolgens bespreken we een methode die niet rechtstreeks leidt

tot het toepassen van een standaardprocedure. Bij deze werkwijze moeten de leerlingen zelf de

‘verkortingen’ binnen het algoritme ontdekken. Deze werkwijze steunt eerder op het inzicht in de

reële verdeelhandelingen dan op het inzicht in de eigenlijke structuur van het getalsysteem.

6.2 Delen

6.2.1 Werkwijze 1: progressieve complicering Via inzicht in het positiesysteem naar de standaardprocedure

Het inzicht in ons tiendelig positiesysteem staat bij deze werkwijze centraal. Het kind moet dit

inzicht hanteren bij het opbouwen van het cijferalgoritme. Groot knelpunt is het gepast kunnen

wisselen van maateenheden uit het deeltal. Net als bij de optelling, aftrekking en vermenigvuldiging

wordt de volledige procedure opgebouwd met behulp van de positiekaart en het MAB-materiaal.

Stap 1: Schattend rekenen

Stap 2: Manipuleren van gestructureerd materiaal en voorstellen op de positiekaart

(HET : E , zonder wisselen bij het begin)

De leerlingen hebben in een voorgaande fase ondervonden dat het zeer moeilijk wordt om

onderstaande oefeningen 'uit het hoofd' te berekenen. Een nieuwe schrijfwijze wordt door de leraar voorgesteld. Het deeltal wordt 'geanalyseerd' en gelegd met MAB-materiaal.

Vervolgens werken de leerlingen de deling volledig uit met het MAB-materiaal. Ze delen

eerst de 'honderden', dan de 'tienen' en ten slotte de 'enen'. Soms zullen ze de rest van de

honderden of tienen moeten 'wisselen' om verder te kunnen werken. Het is van wezenlijk

belang dat de leerling de bewerking ook volledig kan uitvoeren met het MAB-materiaal.

De volledige bewerking wordt genoteerd in een voorgestructureerd schema, een 'posi-

tiekaart'.


H T E

5

4

8

3

-

3

H

T

E

2

4

1

8

2

-

2

4

0

8

-

6

2

Stap 3: Manipuleren van gestructureerd materiaal waarbij de deler bestaat uit één cijfer en

er van meet af aan moet worden gewisseld

Op dezelfde wijze worden nu oefeningen aangeboden en verwerkt waarbij van meet af

aan moet 'gewisseld' worden. De steun van het MAB-materiaal blijft in deze fase

onmisbaar.

H T E

1

8

9

4

-

1

6

H

T

E

2

9

4

7

-

2

8

1

Stap 4: Manipuleren van gestructureerd materiaal (de deler bestaat uit één cijfer, nullen in

deeltal of quotiënt, met wisselen)

Noodgedwongen zal in een aparte stap aandacht moeten besteed worden aan het werken

met nullen in deler en quotiënt. De leerlingen moeten 'weten' dat, vóór ze gaan

inwisselen, een 0 in het quotiënt moet geschreven worden wanneer een bepaalde

hoeveelheid niet kan verdeeld worden. De functie van de nul 'als plaatshouder' is voor

vele leerlingen zó abstract dat ze in een aparte stap specifieke oefening nodig hebben om

het inzicht te verwerven. De notatie in het positieschema helpt het kind bij deze fase.

H T E

9

0

8

3

-

9

H

T

E

0

0

3

0

2

-

0

0

8

-

6

2

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN CIJFERALGORITMEN 197 Stap 5: Uitbreiden in de getallenrij, afbouwen van het gebruik van het MAB-materiaal

Stelselmatig wordt de procedure toegepast met grotere deeltallen. Het gebruik van het

MAB-materiaal wordt stilaan afgebouwd. Uiteindelijk kunnen de leerlingen de procedure

(het wisselen) verwoorden zonder het materiaal. De oefening wordt genoteerd in het

positieschema.

Stap 6: Gebruik van het positieschema bij delingen met twee cijfers in de deler

Dit is voor vele leerlingen een zeer moeilijke stap. Steeds doen we een beroep op inzicht in

het wisselprincipe. Zo moeten leerlingen 8 duizenden en 0 honderden samen nemen tot 80

honderden. Deze moeten dan verdeeld worden in 33. Het schatten van de (deel)uitkomst

wordt steeds belangrijker. Enkel op die wijze kan worden voorkomen dat leerlingen 'nullen'

in het quotiënt vergeten, of dat het notatieschema erg slordig en onoverzichtelijk wordt.

Het manipuleren van materiaal in deze fase is niet meer noodzakelijk. De leerling moet

voldoende inzicht hebben in de structuur van de positiekaart vooraleer hij aan deze stap

kan beginnen.

D

H

T

E

8

0

5

9

33

-

6

6

D

H

T

E

1

4

5

2

4

4

-

1

3

2

1

3

9

-

1

3

2

7

Stap 7: Delingen zonder positieschema

Uiteindelijk wordt het positieschema weggelaten. De notatie van het deelalgoritme wordt dus

'verkort' tot zijn bekende vorm.

Besluit bij werkwijze 1

Zoals gesteld beschrijft deze leerlijn in zeven grote stappen een leerproces dat gebaseerd is op het

inzicht in het positiesysteem en het inwisselen van onze getallen. De procedure wordt aangeboden

door de leraar. De leerlingen moeten deze procedure leren reproduceren. De opbouw van de leerlijn

wordt gekenmerkt door een progressieve complicering:

- de gebruikte getallen in deeltal en deler worden steeds groter;

- de uit te voeren handelingen worden complexer (eerst zonder wisselen, dan met wisselen, de rol

van de nul, ...);

- de leerlingen kunnen het algoritme op zich niet flexibel aanpassen: van meet af aan wordt de

standaardprocedure gehanteerd.

Het verloop van het leerproces (en de eventuele differentiatie) is gebaseerd op:

- het al dan niet gebruiken van het rekenmateriaal;

- het al dan niet gebruiken van het positieschema;

- het stelselmatig compliceren van de te verwerken getallen.


6.2.2 Werkwijze 2: progressieve schematisering

Via inzicht in de verdeelhandeling naar een verkorte deelprocedure

Deze werkwijze vertrekt van totaal andere uitgangspunten dan de bovenstaande. Het kind leert een

algemene procedure waarmee het vanaf het begin reeds alle mogelijke verdelingen kan oplossen.

Gaandeweg zal het zelf de noodzaak van een verkorting van deze, soms zeer uitgebreide, procedure

ervaren. De mate van verkorting hangt af van zijn eigen rekenvaardigheden en van zijn inzicht in

het getalsysteem. Niet zozeer het wisselprincipe van ons getalsysteem staat centraal, maar wel het

logisch kunnen werken met 'mooie getallen' en het schattend kunnen rekenen. Deze procedure leidt

niet rechtstreeks naar het bekende deelalgoritme. Zij biedt de leerling een open structuur aan

waarmee alle verdeelsituaties kunnen worden opgelost.

Stap 1: Schattend rekenen

Stap 2: Werken met materiaal en met een verdeeltabel (alle mogelijke getallen, deler niet

groter dan 10)

De leerlingen lossen alle mogelijke verdeelsituaties op. Ze leren daarbij een soort

'verdeeltabel' hanteren. Deze tabel wordt als steun gebruikt om de uitgevoerde

'verdeelhandeling' te noteren. Uiteraard wordt in deze fase steeds 'materieel' verdeeld.

Om praktische redenen kan in deze stap de grootte van de deler beperkt blijven tot een

getal kleiner dan 10. De lengte van de oplossing wordt bepaald door de leerling zelf. Ze is

afhankelijk van het inzicht in het getalsysteem en van de rekenvaardigheden van de

individuele leerling.

349

Jan

Rik

Mia

Dirk

Eva

-

100

20

20

20

20

20

249

-

100

20

20

20

20

20

149

-

100

20

20

20

20

20

49

-

25

5

5

5

5

5

24

-

20

4

4

4

4

4

4

69

69

69

69

69

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN CIJFERALGORITMEN 199 Stap 3: Verdelingen noteren in een 'verdeeltabel'

Dezelfde werkvorm als in stap 2

Het effectief werken met materiaal wordt nu vervangen door de schematische werkwijze in

de verdeeltabel. De leerling kan de verdeling verwoorden zonder steun van de materiële

handeling. De oplossing kan nog steeds zeer uitvoerig zijn.

Stap 4: Verkorting van het verdeelschema

De leerlingen ervaren zelf de noodzaak tot een verkorten van het schema. Zeker bij grote

delers (tot 100) wordt duidelijk dat ze in het schema steeds hetzelfde schrijven. Vandaar

dat dit schema ook verkort kan worden. Je noteert dan gewoon in hoeveel keer we het

deeltal moeten verdelen (hoeveel kolommen je eigenlijk zou moeten trekken in één keer!).

1427

55

-

550

10

877

-

550

10

327

-

275

+ 5

52

25

Stap 5: Verkorting van de rekenstappen

Vanaf nu wordt systematisch gewerkt aan het verkorten van de rekenoperaties. Deze

verkorting kan de evolutie van de rekenvaardigheden van de leerling volgen. De leerling

wordt aangezet tot het nemen van zo groot mogelijke 'happen' van het deeltal (rekenen met

duizenden, honderden, tienen, ...) Toch blijft dit verkorten afhankelijk van de

mogelijkheden van ieder kind. De kennis van de tafels, het kunnen vermenigvuldigen met

veelvouden van tien en het cijfermatig kunnen aftrekken zijn basisvoorwaarden om deze

procedure vlot en verkort te kunnen toepassen.

Besluit bij werkwijze 2

Het bovenstaande maakt duidelijk dat de leerprocedure voor het aanleren van een algoritme sterk

wordt bepaald door het gekozen uitgangspunt.

Bij werkwijze 2 wordt de leerlijn

- gebaseerd op het inzicht in de verdeelhandeling;

- gekenmerkt door een constructief proces van de leerlingen (aansluitend bij de visie in de

eindtermen). De leerling bepaalt in belangrijke mate zelf hoe hij de verdeling oplost.

De procedure sluit zeer nauw aan bij de functionele verdeelhandeling. Het aldus verkregen

algoritme is niet erg verkort. De rekenweg is minder gestandaardiseerd dan deze van werkwijze 1.

Dit algoritme behoudt daarentegen een erg transparante structuur:

- de kinderen weten op elk moment heel duidelijk waarmee ze bezig zijn;

- de deelstappen zijn eerder inzichtelijk dan automatisch van aard;


- de leerlijn wordt gekenmerkt door een progressieve schematisering: van in het begin kan

het algoritme worden toegepast op alle mogelijke oefeningen, gaandeweg 'ontdekt' het kind

alle mogelijke verkortingen.

Deze werkwijze lijkt zeer waardevol voor leerlingen die moeite hebben met het inzicht in het

wisselprincipe. Vooral wanneer gekozen wordt voor een elementaire behandeling van

cijferalgoritmen als rekentechniek, en voor een vroegtijdig en functioneel gebruik van de

zakrekenmachine bij het werken met grote decimale getallen, kan deze werkwijze een te overwegen

alternatief zijn voor de meer 'traditionele' didactiek van werkwijze 1.

6.2.3 Conclusies bij werkwijze 1 en werkwijze 2

Hoe korter het algoritme hoe verder weg het ligt van de eigenlijke handeling die eraan ten grondslag

ligt. Bij het kiezen van een didactische leerweg voor het aanleren van een algoritme zal met dit

principe rekening gehouden moeten worden.

De beschreven werkwijzen hebben beide voor- en nadelen.

- Zo sluit werkwijze 2 zeer direct aan bij de eigenlijke 'verdeelhandeling' en kan ze

ogenblikkelijk worden toegepast in alle mogelijke situaties. Het probleem is echter dat deze

werkwijze niet echt leidt tot een 'verkort deelalgoritme' zoals we het reeds jaren kennen.

Werkwijze 2 kan je ook niet zo eenvoudig gaan toepassen bij het werken met decimale getallen.

- Werkwijze 1 heeft als grote voordeel dat het uiteindelijk leidt tot een procedure waarmee je alle

mogelijke problemen kan oplossen. Doordat de procedure vrij sterk verkort is, behoeft dit

algoritme een langere en minder 'doorzichtige' leerweg.

Welk uitgangspunt ook gekozen wordt, steeds zal vertrokken moeten worden van de zeer concrete

materiële rekenhandeling. Zowel bij een leerlijn gebaseerd op 'inzicht in het wisselsysteem' als bij

een leerlijn gebaseerd op 'inzicht in de verdeelhandeling', wordt vertrokken van een inzichtelijke

benadering.

6.3 Optellen en aftrekken met behulp van een cijferalgoritme

Bij het aanleren van de cijfertechniek voor optellingen en aftrekkingen hanteren we steeds deze

handelwijze:

1 de oefening leggen met MAB-materiaal

of

de oefening leggen op de lusabacus;

2 de oefening noteren op de positiekaart;

3 de oefening noteren in een ruitjesschrift als 'echte' cijferoefening.

De keuze of gewerkt wordt met de lusabacus of met het MAB-materiaal is afhankelijk van het

schoolteam. Werken met MAB-materiaal is voor vele leerlingen op dit moment een vertrouwd iets.

Het materiaal geeft duidelijk de tiendelige structuur van ons getalsysteem weer.

Om problemen met de lege positie (zoals met 0) te voorkomen, kan het materiaal worden gelegd op

een voorgestructureerd 'legblad' waarbij de leerling gedwongen wordt om de honderden, de tienen

en de enen op een eigen plaats te leggen. Dit legblad sluit zodoende aan bij wat wordt genoteerd op

de positiekaart.

De abacus geeft ons het probleem van de 0 niet. Je ziet bij het getal 708 ogenblikkelijk dat op de

staaf van de tienen geen kralen worden gelegd. Toch is het werken met de (lus)abacus niet altijd een

makkelijke zaak. Bij de aftrekking is het wisselen vaak een omslachtige handeling : je moet één

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN CIJFERALGORITMEN 201 kraal wisselen voor tien andere kralen, die bij de lusabacus aan de achterkant van de abacus te

vinden zijn.


Opbouw van het onderdeel optellen en aftrekken

Bij het werken met MAB, abacus en positiekaart zijn twee werkwijzen bekend. Een eerste manier is

om het wisselen uit te stellen tot de hele oefening 'gelegd' is. Hieronder zie je een voorbeeld van dit

uitgesteld wisselprincipe (zie ook 4.2.2 rekenen met kommagetallen).

H

T

E

H

T

E

+

7

1

6

6

1

9

-

5

2

1

4

2

5

8

12

10

5

2

0

4

12

5

8

13

0

4

2

10

4

12

5

9

3

0

2

6

7

Je kan ook onmiddellijk wisselen. Hoewel deze werkwijze aanvankelijk misschien niet zo

overzichtelijk is, sluit ze beter aan bij de uiteindelijke cijfertechniek waar we naartoe willen. Het

volgende voorbeeld toont de techniek van het onmiddellijk wisselen aan.

H

T

E

H

T

E

10

1

1

4

0

12

+

7

1

6

6

1

9

-

5

2

1

4

2

5

9

13

10

2

6

7

Nadien wordt deze notatie verkort, zodat ze al zeer nauw aansluit bij de uiteindelijke cijfertechniek:

H

T

E

H

T

E

10

1

1

-

-

10

+

7

1

6

6

1

9

-

5

2

1

4

2

5

9

3

0

2

6

7

Op deze wijze proberen we het inzicht in het cijferalgoritme zo goed mogelijk te ontwikkelen. Niet

ieder kind in de klas zal op hetzelfde ogenblik op dezelfde manier de som kunnen oplossen.

Gestreefd moet worden naar de mogelijkheid om te differentiëren op handelingsniveau.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN CIJFERALGORITMEN 203 De twee voorgestelde werkwijzen, met al dan niet onmiddellijk inwisselen, kunnen ook

gecombineerd worden. Je kan bv. met concreet materiaal het wisselen uitstellen, nadien noteren op

de positiekaart wat er gebeurd is en daar dan wel onmiddellijk inwisselen. Eens het concreet

materiaal (MAB, abacus) niet meer nodig is, werken we uitsluitend op de positiekaart met

onmiddellijk inwisselen.

6.4 Vermenigvuldigen met behulp van een cijferalgoritme

Net als bij de tafels bekijken we de 'grotere' vermenigvuldigingen steeds als een herhaalde optelling.

We vertrekken dan ook van een optelling met verschillende gelijke getallen. Vooraleer we echter

het algoritme voor de vermenigvuldiging aanbieden, moeten leerlingen vlot kunnen

vermenigvuldigen met veelvouden van 10.

Dit is essentieel omdat bij een oefening als 54 x 23 de leerling moet inzien dat het resultaat van 54

x 20 steeds eindigt op een 0. Dit inzicht zal dan gebruikt worden bij het aanleren van het

cijferalgoritme waarbij vermenigvuldigd wordt met meer dan één cijfer. Zoals gezegd starten we de

leergang om te komen tot het vertrouwde cijferalgoritme, met een optelling.

D

H

T

E

1

1

2

2

2

1

1

1

6

6

6

4

4

4

3 keer

6

4

19

12

U merkt dat de leerling hier het voor hem vertrouwde algoritme van de optelling (met

onmiddellijk inwisselen) kan toepassen. De enige wijziging ten opzichte van de optelling is de

toevoeging naast het algoritme van het maalteken en het aantal keer dat het getal opgeteld

moet worden.

D

H

T

E

2

1

2

.

.

2

1

.

.

1

6

.

.

6

4

.

.

4

x 4

8

6

25

16

Natuurlijk moeten we deze notatiewijze verkorten wanneer we verschillende (7 of 8) getallen

moeten optellen. We doen dit dan door puntjes te zetten. We kunnen aan het getal naast de oefening

toch zien hoeveel keer we elk cijfer moeten nemen.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN ZAKREKENMACHINE 203

De volgende stap brengt ons dan al heel dicht bij het eigenlijke cijferalgoritme. Je merkt dat we op

deze wijze proberen het algoritme van de vermenigvuldiging inzichtelijk aan te leren. De leerling

moet maximaal zijn bestaande kennis van de optelling kunnen gebruiken bij het aanleren van de

vermenigvuldiging.

D

H

T

E

2

1

x

2

1

6

4

4

8

6

25

16

Een andere benadering leunt vooral aan bij het hoofdrekenen. Aanvankelijk wordt gewerkt met de

reële waarden van de cijfers en alle tussenproducten worden genoteerd. Latere verkortingen zullen

erin bestaan het aantal tussenproducten te verminderen (bv. eerst 4 x 43 en dan 50 x 43).

D

H

T

E

x

4

5

3

4

+

2

1

1

0

1

6

5

0

2

0

0

0

4 x 3

4 x 40

50 x 3

50 x 40

2

3

2

2

6.5 Besluit

Het blijft enorm belangrijk dat de leerlingen, vooraleer ze aan het rekenen slaan, zich afvragen of

het in de gegeven situatie aangewezen is van exact of bij benadering uit te rekenen.

Vereist de situatie een exact resultaat, dan moet een procedure gekozen worden: hoofdrekenen,

cijferen of gebruik van de zakrekenmachine.

Wordt gekozen voor cijferen, dan wordt de procedure uitgevoerd op niveau van verkorting en

abstractie waar de leerling aan toe is (bv. met of zonder materialen, met of zonder positiekaart, met

veel of weinig tussenresultaten).Er wordt bij de leerlingen een gerichtheid ontwikkeld om het

resultaat van elke cijferoefening te controleren door: een proef, het uitrekenen op de

zakrekenmachine, nagaan van de realiteitswaarde, vergelijken met een schatting, ... .


7 De zakrekenmachine

7.1 Inleiding

Reeds in de vroegste tijden gebruikte de mens lichaamselementen bij het tellen en het rekenen. Zelfs

in ons taalgebruik vinden we daarvan aanwijzingen terug. Denken we maar aan 'een teentje’

knoflook en 'een handvol' noten.

Bij het tellen van het aantal dagen die liggen tussen twee opgegeven data zullen velen onder ons

gaan 'vingertellen'.

Illustreren de gegeven voorbeelden niet het gebruik van 'machines' die we steeds bij de hand

hebben?

Werd het gebruik van dergelijke machines overgedragen vanuit een toenmalige maatschappelijke

evolutie of omwille van het praktisch nut ervan?

Thans wordt het gebruik van de zakrekenmachine gestimuleerd vanuit de maatschappelijke evolutie.

Het praktisch gebruik ervan zal een aantal rekenhandelingen vereenvoudigen en ons sneller het

(juiste) resultaat geven.

Het gebruik van de zakrekenmachine (ZRM) in de basisschool wekt bij sommige leraren en ouders

nogal wat aversie op. Ze vrezen immers dat het gebruik van de zakrekenmachine ertoe zal leiden dat

kinderen minder rekenvaardig worden, zowel in hoofdrekenen als in cijferend rekenen.

De voornamelijk Amerikaanse onderzoeksresultaten m.b.t. de rekenvaardigheid en het gebruik van

de ZRM tonen aan dat leerlingen die vanaf hun eerste schooldag met de ZRM hebben gewerkt geen

nadeel ondervonden in hun rekenvaardigheid.

Dit wordt elders bevestigd. Op voorwaarde dat het hoofd- en cijferrekenen blijvend wordt geoefend,

geeft het gebruik van de ZRM geen nadeel.

Gebruik van de ZRM heeft te maken met situaties waarin zinvol van het apparaat gebruik kan

worden gemaakt. En dit zinvol leren gebruiken is een taak van het onderwijs.

Het geïntegreerd opnemen van de ZRM in het onderwijs biedt ons inziens ook meer duidelijkheid

over het gebruik ervan naar de praktijk toe. Daarmee wordt het gebruik van de ZRM minder als iets

vrijblijvends ervaren.

Door het regelmatig gebruik wordt de ZRM, door de onmiddellijke controle, zelfs een hulpmiddel

bij het hoofdrekenen.

De zakrekenmachine kan, door verantwoord gebruik, ertoe bijdragen om het zinloos en buiten-

gewoon tijdrovend mechanisch cijferen om te buigen tot tijdwinst voor zinvolle probleemgerichte

rekentoepassingen.

Het Instituut voor Onderwijsonderzoek (RION) van de Rijksuniversiteit van Groningen begeleidde

gedurende twee jaar een grootschalig experiment m.b.t. het gebruik van de ZRM in de groepen 7 en

8 van de basisschool (Edelenbos, P., Harskamp, E.G., 1988).


Zij besluiten:

- het is hoopgevend dat de leerlingen sneller inzicht krijgen in de plaatswaarde in

kommagetallen;

- de leerlingen leren beter schatten;

- het oplossen van toepassingsopgaven verbetert;

- (al dan niet zelfontdekte) oplossingsstrategieën worden met meer inzicht toegepast.

De uitvoering van allerhande bewerkingen kan door gebruik te maken van de ZRM feilloos

verlopen.

Dit moet vooral zwakke rekenaars stimuleren. Het verminderen van het aantal rekenfouten zal hun

zelfvertrouwen weer opvijzelen en de aversie die vanuit het cijferen tegen rekenen is ontstaan, kan

verdwijnen. Het toestel geeft vertrouwen en kan aldus motiverend werken.

Het beheersen van een aantal basisvaardigheden blijft noodzakelijk:

- inzicht in de wereld van de getallen;

- inzicht in het positiestelsel;

- kennis van de basisbewerkingen;

- inzicht in de relaties tussen de bewerkingen.

De betere leerlingen worden aangezet om te experimenteren en te controleren.

Voor het vraagstukkenonderwijs kan de ZRM een grote verlichting betekenen. Er is dan zeker

tijdwinst. Die tijd kan besteed worden aan het zoeken naar oplossingswegen en het bespreken ervan.

We dienen de zakrekenmachine te zien als de 'snelle rekenaar'.

De ZRM kan in de basisschool goed worden gebruikt om:

- kale sommen (388 x 433) uit te rekenen;

- de berekening van sommen te controleren;

- de geschatte uitkomst te controleren;

- het inzicht in de rekenvaardigheid te verdiepen;

- het uitrekenen van ingewikkelde cijferopgaven;

- het werken met heel kleine of heel grote getallen;

- het uitrekenen van redactieopgaven.

7.2 Functies (gebruiksmogelijkheden) van de zakrekenmachine

7.2.1 De ZRM als ’experimenteermiddel’

Na het oefenen van wat bedieningsaspecten kan je een aantal dingen ontdekken:

- wat is 'ON-OFF' of 'AAN-UIT'? Dat is nieuwe rekentaal;

- deze nieuwe rekentaal vinden we ook terug bij o.a. './.';

- de punt vervangt op een ZRM de komma;

- symbolen verdwijnen bij het intoetsen van nieuwe gegevens;

- de bewerkingstekens verschijnen niet op het scherm;

- de ZRM breekt af of rondt af: 2/3 = 0,6666666 of 0,6666667;

- op de ZRM is ½ + ½ niet gelijk aan 1, wel aan 0,75.

Hoe komt dat?

- hoeveel cijfers na de komma in de oefening: 2,14 x 3,08?

- ...


7.2.2 De ZRM als 'snelle rekenaar'

De ZRM kan worden gebruikt om kale sommen snel en correct uit te rekenen.

Om de ZRM als handige rekenaar te gebruiken, moet je wel weten welke bewerkingen of reeks van

bewerkingen je moet uitvoeren. Je moet eveneens weten hoe je die reeks bewerkingen op de ZRM

(handig) kunt uitvoeren.

Dat geldt ook ten aanzien van het hoofdrekenen. Soms gaat het hoofdrekenen sneller dan het

gebruiken van de ZRM.

Stellen wij ter illustratie deze voorbeelden naast elkaar:

4 x 9 x 25 =

6 x 9 x 0 x 5 x 10 =

23,9 x 43 =

Je moet je de eenvoudige bedieningsaspecten eigen maken. Dit wil nog niet zeggen dat je alle

rekenproblemen zomaar oplost. Er is vooreerst een preoperationele (voorbereidende) activiteit

nodig: bedenken wat je moet berekenen.

Je moet inzicht hebben in de aard van de opgave om zinvol van de ZRM gebruik te maken.

Leerlingen leren snel dat je als gebruiker bedieningsfouten kunt maken. Dat is een zinvolle

aanleiding om vooraf al enigszins in te schatten wat het resultaat kan zijn:

3 x 44 x 8 ----> tussen 120 x 8 en 150 x 8

3 x 37 x 8 ----> 8 x 120

Toch kan de ZRM niet alles. Er is de beperkte capaciteit en getallen boven 9 999 999 worden niet

meer weergegeven. Dit geeft ons de mogelijkheid om, wanneer we werken met grote getallen,

handig te groeperen (bv.: nullen laten wegvallen en splitsen).

Bv. 75 579 x 125 125 kan worden gesplitst in 100 en 25. 100 x 75 579 kan gemakkelijk

door hoofdrekenen worden uitgerekend. 75 579 x 25 wordt

uitgerekend met de ZRM.

De ZRM kan de vlotte en foutloze rekenaar zijn op voorwaarde dat er voldoende inzicht is in de

getallen- en bewerkingswereld en in het gebruik van het apparaat.

Wat is het meest? 16

15of

17

16? De kinderen kunnen vlug opmerken dat beide breuken 1 deel minder

zijn dan één geheel. Ze kunnen nu de vraag stellen: 'Wat zou nu groter zijn:

16

11 of

17

11 ?' Nu kunnen ze een beroep doen op hun ervaring met stambreuken om te weten wat

meer of minder is:16

1 of

17

1. Bij stambreuken geldt immers: 'hoe groter de noemer, hoe kleiner de

waarde van de breuk'. Dus 16

11 is kleiner dan

17

11 of

16

15is kleiner dan

17

16. Nadien kan snel en

foutloos gecontroleerd worden met de ZRM.


7.2.3 De ZRM als 'controlemiddel'

Het gebruik van de ZRM maakt het mogelijk het resultaat van uit het hoofd berekende opgaven snel

te controleren.

Deze controle kan ook worden uitgevoerd na het cijferen.

Het stelt ons tevens in staat onze schatting te controleren:

Bv. 5043 x 45,2 = schatting: 5000 x 40 = 200 000

5000 x 50 = 250 000

De ZRM wordt dan het controlemiddel van een rekenprocedure.

Zo kan je bij de controle van een deling het quotiënt nog eens vermenigvuldigen met de deler.

Bij delen met 'rest' geeft de ZRM de rest niet aan. Je krijgt een kommagetal. Je moet je realiseren

wat daar de betekenis van is. Je kan een manier bedenken om met de zakrekenmachine de rest te

berekenen of te controleren.

Bv. 5043 : 11 delen tot op één nauwkeurig

Op de zakrekenmachine verschijnt als quotiënt: 458.45454

Het quotiënt is dus 458. Om de rest te berekenen trekken we het quotiënt (458) af. Op de

ZRM verschijnt nu: 0.45454. We vermenigvuldigen met 11. We zien op de ZRM: 4.99994.

We weten dat de rest 5 is.

7.2.4 De ZRM als 'ontdekker en inzichtgevend hulpmiddel'

De reeds verworven rekenkundige kennis kan verdiept worden.

De relatie tussen de breuk, de deling, het decimaal getal en het procent is hiervan een voorbeeld.

Door experimenteren zullen de leerlingen een aantal aspecten van de leerstof en van het apparaat

zelf kunnen ontdekken.

Specifieke functies (o.a. de geheugentoets) en rekenprocedures (percentberekening bijvoorbeeld)

kunnen worden aangewend.

De ZRM is hier het middel tot het ontdekken of het realiseren van bepaalde rekenrelaties.

In de 'breukenwereld' vinden we voorbeelden om de ZRM te gebruiken bij het ontdekken of het

realiseren van bepaalde rekenrelaties.

Hoe reken je bijvoorbeeld ½ + 1/4 uit?

Op het toetsenbord vind je ½ en 1/4 niet! En toch kan je het op de ZRM uitrekenen.

De breuk moet dan in 'machinetaal' worden omgezet: ½ wordt 1:2 en 1/4 zie je als 1:4.

Als som vind je evenmin een breuk, maar een kommagetal. De relatie tussen breuken en delingen en

breukgetallen en kommagetallen wordt hier onderwerp van gesprek. Hoe zit dat nu eigenlijk? En

hoe interpreteer je ten slotte de uitkomst weer als een breuk?

Meer complexe breukopgaven kunnen ook via de ZRM worden opgelost.

Neem bijvoorbeeld volgende breuksom: 3/8 + 5/13

Zal de som groter zijn dan 1? Waarom wel of waarom niet?

Zal de som groter zijn dan ½? Waarom wel of waarom niet?

Door de breuken gelijknamig te maken komt men via hoofdrekenen tot de oplossing 104

79. Dit


betekent dat de uitkomst tussen100

70 en

100

80ligt.

Bij het uitrekenen van het antwoord op de ZRM krijg je als uitkomst: 0,7596153.

Nu kan je in een leergesprek verder ingaan op de betekenis van het getal en op de relatie tussen

kommagetallen en breuken.

Een tekening kan hier voor de nodige ondersteuning zorgen:

Deze afbeelding leert ons dat 5/12 iets meer is dan 3/8. Dan zal 5/13 ongeveer even groot zijn als

3/8.

Op die manier kom je uit op ongeveer 6/8 of 3/4. Dat is 0,75, te vergelijken met de uitkomst op de

ZRM. Het inzicht in de relatie tussen breuken en kommagetallen wordt hier door het gebruik van de

ZRM verdiept.

7.2.5 De ZRM in toepassingssituaties en als middel om strategieën te doorzien

Hierbij denken we vooral aan realistische contextopgaven. De denkweg wordt niet gehinderd door

de complexiteit van de bewerkingen en er kan heel wat tijdwinst geboekt worden.

Waar koop ik het voordeligst twee jassen?

In een kledingzaak kost een jas 7340 BEF en krijg ik op de tweede jas 30 % korting.

In een andere zaak kost elke jas 5000 BEF.

Denken we aan de ZRM als een middel om strategieën te doorzien, dan speelt naast de grootte van

de getallen zeker de uit te voeren bewerking ook een rol.

Hoe krijg je 709 op het venster van je ZRM zonder de 0-toets aan te raken (bv. 711 - 2).

Maak van 1594 het getal 994 zonder het venster van de ZRM eerst leeg te maken.

Wat gebeurt er als je met de ZRM 18 x 36,50 doet?

Wat is juist? 39 x 99 = (39 x 100) - 1 of (39 x 100) - 39

Controleer!


7.2.6 De ZRM als 'spelletjesbron' via inzicht in de getallen

Talrijke rekenspellen kunnen via de ZRM worden uitgevoerd.

Volgende strategiespelen kunnen hierbij als voorbeeld volstaan:

1 Joris begint met 2 en vermenigvuldigt de uitkomst steeds met 2.

Griet begint bij 80 en telt steeds 80 bij de uitkomst.

Wie zal het eerst over de 1000 zijn?

2 Doelschieten

7.3 De zakrekenmachine neemt niet de plaats in van het rekenen

Het resultaat van een bewerking op een ZRM moet steeds worden beoordeeld. De uitkomst moet

m.a.w. worden gecontroleerd.

Deze controle kan gebeuren aan de hand van:

- een schatting

en/of

- de werkelijkheidswaarde van wat berekend wordt.


7.3.1 Controle aan de hand van een schatting

Om eventuele bedieningsfouten onmiddellijk op te merken, dienen wij een benaderende

uitkomst te kennen.

Voorbeeld: 706 x 98,7 =

De schatting levert ons deze gegevens:

- 706 x 98,7 zal ongeveer (700 x 100) 70 000 zijn

- én we hebben zeker één cijfer na de komma.

Deze schatting is nodig om op te merken dat het product 7501,2 bijvoorbeeld veroorzaakt is

door een toetsfout (het vergeten van de 0 in 706).

Krijgen we als resultaat 6968,22 dan leert de schatting ons opnieuw dat er iets mis is gegaan

(9,87 ingetoetst i.p.v. 98,7).

69 682,2 is de juiste uitkomst.

Dit resultaat is vrij betrouwbaar vermits

- het kort bij de geschatte 70 000 ligt;

- er slechts 1 cijfer na de komma is.

7.3.2 Controle aan de hand van de werkelijkheidswaarde van wat berekend wordt

Voorbeeld: Een winkelier betaalt voor een karton (12 stuks) 'erwtjes en wortelen'

312 BEF.

Hij verkoopt ze tegen 36,50 BEF het stuk. Bereken zijn winst!

Bekom je als resultaat 1210 BEF winst dan voel je onmiddellijk aan dat een dergelijke winst

niet aanvaardbaar is.

Je gaat dus opnieuw rekenen. Ditmaal bekom je 12,10 BEF als winst. Dit resultaat is

eveneens twijfelachtig. De winkelier verkoopt 12 blikken en verdient slechts 12,10 BEF. Dat

is amper 1 BEF per blik.

Vanuit deze logische gedachtegang dringt een derde berekening zich op. Ditmaal bekom je

een winst van 121 BEF. Dat is ongeveer 10 BEF per blik ... en dat is realistisch.

De controle door het maken van een schatting en het nagaan van de werkelijkheidswaarde

gaan hand in hand.

7.4 De zakrekenmachine en zorgverbreding

Wat kan de ZRM betekenen voor het onderwijs aan zwakke rekenaars in de basisschool?

De vraag heeft twee aspecten:

- kunnen zwakke rekenaars in de basisschool steun hebben aan de ZRM?

- hoe kan het rekenonderwijs met behulp van de ZRM worden ingericht?


We vinden dat het gebruik van de ZRM (eindterm 1.26) ook geldt voor zwakrekenende kinderen.

Het is van belang dat kinderen vertrouwen krijgen in hun eigen mogelijkheden om rekenopgaven op

te lossen met behulp van de basisvaardigheden en rekenstrategieën.

Willen kinderen echter voldoende zelfvertrouwen krijgen bij het gebruik van de ZRM dan zullen ze

daarmee een aantal ervaringen moeten opdoen.

Vaardigheid met de ZRM geeft deze leerlingen de mogelijkheid te kiezen tussen een mentale

oplossing of een oplossing met behulp van de ZRM. De leerlingen moeten uiteindelijk zelf

bepalen welke werkwijze de meest efficiënte is.

Het aanleren en oefenen van basisvaardigheden met de getallen tot 20 kan de zwakke rekenaar al

voor problemen plaatsen.

Ondanks een gerichte didactiek en een aangepaste training vallen op dat onderdeel al een aantal

kinderen uit. Oorzaken van dit uitvallen kunnen zitten in het tempo en in het onvoldoende een

beroep kunnen doen op het geheugen.

Wanneer deze leerlingen de basisvaardigheden uiteindelijk beheersen, hebben zij soms al een

behoorlijke achterstand opgelopen. Bovendien blijft het toepassen van de verworven vaardigheden

meestal een probleem.

Voor sommige leerlingen kan de ZRM een uitkomst bieden. Er zijn leerlingen die een behoorlijk

inzicht hebben in de rekenbewerkingen maar niet zo snel de uitkomst van een som (re)produceren.

De tafels zijn niet paraat gekend of ze hebben moeite met de overschrijdingen.

Op een dergelijk moment zou de ZRM een passend hulpmiddel kunnen zijn omdat pen en papier (en

soms de vingers) tijdrovend zijn.

Om welke reden de zwakke rekenaars ook gebruikmaken van de ZRM, zij zullen aan zekere

voorwaarden moeten voldoen:

- kunnen optellen en aftrekken tot en met 10;

- inzicht hebben in de getallen tot 100;

- inzicht hebben in de positiewaarde van de cijfers in een getal;

- inzicht hebben in de keuze van verschillende bewerkingen en de notatie ervan.

Wij gaan ervan uit dat bij gebruik van de ZRM eerst wordt geschat. Voor zwakke rekenaars is het

schatten een moeilijke opgave. Daarnaast kan voor hen als controlemiddel ingebouwd worden dat

de opgave tweemaal wordt ingetoetst. De eerste keer zal de bewerking de volle aandacht krijgen en

wordt de oplossing vergeleken met de schatting. De tweede keer ligt de nadruk op het controleren

en het vergelijken van de gevonden oplossing.

Omdat de ZRM het vaak (te) moeilijk cijferwerk overneemt, ontstaat er meer gelegenheid om

aandacht te besteden aan de oplossingsstrategieën. Kinderen raken soms weer gemotiveerd als zij de

zakrekenmachine mogen gebruiken. De ZRM geeft kinderen vaak weer plezier in rekenen.

Omdat zwakke rekenaars ook geheugenproblemen kunnen hebben, zullen zij vergeten wat ze al

hebben ingetoetst. Om dat te vermijden, zullen ze de te maken som eerst op een blad noteren en

eventueel doorstrepen wat al is uitgevoerd.

Bij deze kinderen zullen wij tijd moeten besteden aan datgene wat er allemaal gebeurt wanneer zij

iets met de toetsen doen


Volgend schema kan hen daarbij helpen:

ik toets

op het scherm zie ik ... ON

0 verschijnt

5

0 verdwijnt, 5 verschijnt

+

5 blijft

6


=


Ondertussen verwoorden de leerlingen wat de ZRM doet.

Wij menen te mogen stellen dat de ZRM ook past in het rekenonderwijs aan zwakke kinderen. Zij

vervangt echter de essentiële elementen uit het aanvankelijk en voortgezet rekenonderwijs niet,

maar vult die aan en verrijkt zo het rekenonderwijs.

Het goed kunnen rekenen met behulp van de ZRM is een relevante maatschappelijke vaardigheid

die inmiddels bijna net zo gewoon is als het kunnen draaien of intoetsen van een telefoonnummer.

7.5 Aanbevelingen

Voor het begin van het rekenonderwijs met de zakrekenmachine moet worden nagegaan in hoeverre

leerlingen aan een aantal rekenvoorwaarden voldoen, zoals voldoende kennis van de

basisautomatismen en inzicht in de plaatswaarde van de cijfers. Dat wil niet zeggen dat de

leerlingen niet voordien reeds het apparaat kunnen exploreren en leren kennen. Maar dat is nog geen

doelgericht onderwijs met de zakrekenmachine.

We gaan ervan uit dat de leerlingen steeds de som uit het hoofd uitrekenen of schatten alvorens de

ZRM wordt gebruikt.

De school schaft de zakrekenmachines aan en beperkt zich tot één type. Naderhand kan de

confrontatie met andere types ook zeer boeiend zijn.

Bij het bepalen van het type dient het schoolteam zich af te vragen welke voorwaarden aan de ZRM

moeten worden gesteld.

Volgende voorwaarden kunnen richtinggevend zijn:

- een goed afleesbaar toetsenbord,

- de meest noodzakelijke toetsen voor de hoofdbewerkingen,

- licht terugverende toetsen zodat de leerling voelt dat de toets werd ingedrukt,

- zonnecellen besparen op energie en batterijen.


7.6 Tot slot

Inpassing van de zakrekenmachine in het basisonderwijs eist een zorgvuldige analyse van de

mogelijke gebruikswijzen en van de methodische opbouw van bepaalde leerstof.

Bepaalde ervaringen met de zakrekenmachine hebben niettemin al aangetoond, dat er op dit gebied

mogelijkheden zijn. In het algemeen blijkt dat kinderen gemakkelijk en gemotiveerd met de ZRM

werken.

Gesteld kan worden dat de ZRM ten aanzien van verschillende knelpunten van het reken-

wiskundeonderwijs een rol kan spelen:

- bij het vergroten van de toepasbaarheid, doordat het rekenen zelf minder problemen oplevert

en het gebruik van 'moeilijke getallen' geen extra moeilijkheden geeft;

- bij het verminderen van de tijd die voor het cijferen wordt ingeruimd; te denken valt dan met

name aan het cijferen met erg grote getallen;

- bij het handig rekenen en schatten, via het handig en bewust hanteren van 'rekenwijzen' op

de ZRM;

- bij het hanteren van relaties tussen breuken, kommagetallen en procenten.

Hoofdstuk 1 LEERLIJNEN GETALLEN - OVSG · Domein 1: GETALLEN Getallenkennis OD ET kleuters...

Documents

Transcript of Hoofdstuk 1 LEERLIJNEN GETALLEN - OVSG · Domein 1: GETALLEN Getallenkennis OD ET kleuters...