1

Hoofdstuk 3 : Georinteerde hoeken

1. Orintatie van het vlak

Zie Hb. p.232

Conclusie

Het vlak heeft 2 zinnen : !ft\ De positieve zin of tegenwijzerzin De negatieve zin of wijzerzin t

2. Georinteerde hoek

Zie Hb. p.232-235

Beschouw een hoek met hoekpunt 0, benen a en b en grootte 60. " "- . ':'""'I'-

QA!\...,..b rlbA Notatie : ........ ~ .... p... ........... ~...... . ... \J~ ........................... . ; '-~ I \." 1\~ ~' 1.. ba..,..... 1\e. ~.... 1. ... ~ ....

Twee halfrechten a en b met eenzelfde beginpunt bepalen twee hoeksectoren :

Lii

0

We voeren nu een nieuw hoekbegrip in door aan de benen a en b een volgorde te geven. We krijgen zo eengeorinteerde hoek.

IGevalll : a= eerste been, b = tweede been

Grootte: bO~ Zin: .::t:. Grootte : ~c- Zin : .. :-: .. "' . 0

::;. 1... .. 5.1..~.:t .. ~.9. ....

@eval ~ : b = eerste been, a= tweede been

Besluit c

i

~' Grootte : ~~ Zin : . :t: .. ~--\ 0

=> lb ... O,. :=: :t .. 3./,Q.

j" -o~a (.>

Grootte : . ~ 9 Zin : . :::::. 1- "' I (">

=> .. b, ... D.-. ... ~ .. ::.~9 ..

2

Een georinteerde hoek is bepaald door de volgorde van zijn benen en de grootte van de overeenkomstige hoeksector.

3. Bijzondere georinteerde hoeken

Gestrekte hoek Een punt 0 op een rechte bepaalt op die rechte twee halfrechten a en b. We noe-

""' men de hoekabdan een gestrekte !wek: ,, ..i.;i)O

d ii ---..!..--""'----- 0 De grootte van een gestrekte hoek kun je weergeven door + 180 of- 180.

Nulhoek """' Als twee halfrechten a en b samenvallen, noemen we de hoekabeen nu/hoek. (.~ - Z,t;;,o"' i 3f>O

.:;.. (',;:~- ~0 ;:; 0(;'~0 '< \)----a= i \);-----a= i De grootte van een nulhoek kun je weergeven door oo, + 360 of- 360.

Rechtehoek Een georinteerde hoek waarvan de benen loodrecht op elkaar staan, noemen we een rechte hoek. Is de grootte + 90, dan spreken we van een positieve rechte hoek; is de grootte - 90, dan spreken we van een negatieve rechte hoek.

positieve rechte hoek negatieve rechte hoek

Opmerking Bij de hoeksectoren bestaat ook nog een volle hoek. Bij georinteerde hoeken is dat begrip overbodig: het zou een georinteerde hoek met samenvallende benen zijn, dus een nulhoek.

4. Maatgetallen van de grootte van een georinteerde hoek

270 -90

De hoek a heeft oneindig veel maatgetallen. Als x een maatgetal is van de grootte a van een georinteerde hoek, dan geldt :

c . 0 b - . (j. .. rr .. X. + .. k?. .- ~~0 ...... ~~ .. i..". -, . ~ ... ..

Opmerking

l Ll) ~\. ~toJ... b_:~ '6b 0 {~

~'- c.f o.+b\.....L~\.

3

Het kleinste positieve maatgetal (kpm) van een hoek behoort tot het interval [0, 360[. Het grootste negatieve maatgetal (gnm) van een hoek behoort tot het interval ]-360~ 0]. We vinden beide getallen door aan keen geschikte waarde te geven.

----

4

Voorbeelden 12 . r'! >"Yl Q.. ~'1 fYt

" a kleinste pos maatgetal grootste neg maatgetal

750 + k. 360 3o t .) - ?,3o {i.- ==-6) . ie_ -::;....:J. - 60 + k 360 300 (~;:~} - bO ( k= o)

J- 3Go, c} 5. Scherpe en stompe hoeken

Definitie

Een georinteerde hoek is scherp als het kleinste positieve maatgetal behoort tot het interval ]0, 90[. Een georinteerde hoek is stomp als het kleinste positieve maatgetal behoort tot het interval ]90, 180[,

Voorbeelden [oi 3Go[ a =70 -+ kpm=.'1:o ....

5

7. Goniometrische cirkel y

B'

Definitie

Een goniometrische cirkel is een cirkel met de volgende eigenschappen: heeft als straal de lengte-eenheid b:b'\0...0-L :::. _...\) heeft als middelpunt de oorsprong van een orthonormaal assenstelsel (x, y) is positief georinteerd

Opmerkingen De assen x en y snijden de cirkel in de volgende punten :

. \ ) . '\ ; ) .. A. .{.1.,.0:) ............ B .. { o".:1..; ......... .A ..... t:.~\ .. o. ; ........ ~ ..... ~ 9 ; .. = .. :!.

De assen x en y verdelen het vlak in vier gebieden, we noteren :t. 1 :::n:Tl!l. ,.. IY.-: .... De vier bogen [:AB J.[BA'J.[A_7EiJ,[rA J van de cirkel noemen we het .. ~~~.

L .. . #l. --' .

6

Conclusie

Met de grootte a van een georinteerde hoek komt op een goniometrische cirkel precies n punt P overeen en omgekeerd (P =het beeldpunt van de grootte a van die hoek).

Bijzondere gevallen nulhoek of volle hoek: beeldpunt= .. f\ ..

l gestrekte hoek : beeldpunt = .. \:\ ..

positieve rechte hoek ( + 90) : beeldpunt = .. B . . }

negatieve rechte hoek(- 90): beeldpunt= .B ..

Opmerking

Als het beeldpunt P van de grootte a van een georinteerde hoek tot een kwadrant behoort, zeggen we kort dat a tot dat kwadrant behoort. Voor vb.l op p.5 noteren we . /i...~ . .::t ... ; voor vb.2 op p.5 noteren we . ;i.,.. k.. :Ii:...

...... -...

,Hoofdstuk 4 : Goniometrische getallen

1. Sinus en cosinus van een (georinteerde) hoek

1.1. Instap

Gegeven : een goniometrische cirkel

Gevraagd : Teken een hoek a in het 1 e kwadrant

1

'/

Noem P het beeldpunt van a op de gonime1rische cirkel en noem Q en R de voetpunten van de loodlijnen uitPop x eny. Uit de definities voor sina en cos a van vorigjaar volgt (AOPQ is rechthoekig):

= ......................................................................................................................................................

cos a = .. ~ ...... :z. ... t9G. ! .... ;; ... \.Q.~L,,.::;..lQ.~..\. .. ;; ... aJi?.S.~';\ .. :k(;M\. .. 1?. ............. .. SZ toPI -"'

= .................................................................................................................................................

Conclusie

( ' ) , .. , ' D . ~ i?:-.~ ~ SI!. w.d.s1.. ... ~~ .... 1..Ql~ ... r. ......................... .

1.2. Defmitie en voorstelling in de goniometrische cirkel y

lL

J[

Definitie

cos a is het eerste cordinaatgetal of de abscis van het beeldpunt van a op de goniometrische cirkel. sin a is het tweede cordinaatgetal of de ordinaat van het beeldpunt van a op de goniometrische cirkel.'

Opdracht

Maak opdracht 1

Opmerking

Sin a en cos a zijn rele geta}len. We noemen ze goniometrische getallen van a.

1.3. Teken van cos a en sin a y

cos a sin a

2

1.4. Bijzondere waarden . oo- !1 cos -

cos 90 = ~o ..... cos 180 = .:-:-.~ ... cos 270 = .J:L ..

1.5. Interval

cosae G~.-!! 7.A .. l .. sin a e [.--: . .(\ ., .. ~L] ..

sin0= .. Q ....

sin 90 == IL. ... . 180- 0 Slll - . . 270-- ~ Slll -

3

l tJ. .. )OOl\0.-

Opdracht 1

Gegeven : een goniometrische cirkel.

Gevraagd: a) teken een hoek in het 1 e kwadrant en duid de sinus en cosinus van deze hoek aan. b) teken een hoek in het 2e kwadrant en duid de sinus en cosinus van deze hoek aan. c) teken een hoek in het 3e kwadrant en duid de sinus en cosinus van deze hoek aan. d) teken een hoek in het 4e kwadrant en duid de sinus en cosinus van deze hoek aan.

Oplossing a)

Oplossing c)

Oplossing b) 'I

'.L

Oplossing d)

2. Tangens en cotangens van een (georinteerde) hoek

2.1. Instap

Gegeven : een goniometrische cirkel

Gevraagd : Teken een hoek a in het 1 e kwadrant

4

y

Noem P het beeldpunt van a op de gonimetrische cirkel en noem Q en R de voetpunten van de loodlijnen uit P op x en y. Uit de definitie voor tana van vorigjaar volgt:

tana .Q~.r~~ J\ .. ~ .. (.J~"')Y.j.d;::..., .............................................. .. ~~"-~~~

= \fG.\ ~ toRI ::: ~ ~ !>;'""'""' 1 .................. ................. .. ............................... ~ .......................................................... . t()G( i \OG< l ~ ;...

We voeren dit jaar nog een nieuw begrip in : de cotangens van een (georinteerde) hoek :

cota =.

5

6 2.3. Gevolgen van de definitie

Tan a. en cot a. zijn elkaars omgekeerde. Dat betekent, op voorwaarde dat ze bestaan : 1

cota=--tana

1 tana=--

cota

2.4. Teken van tan a. en cot a.

1 tana cota = tana --= 1

tana

Tan a. is het quotint van sin a. en cos a.. Je vindt dus het teken van tan a. door de tekenregel voor de deling toe te passen. Het teken van cot a. vind je op een analoge manier.

Opmerking

tan a :::. ~\.. V... ~.,.

V

cota

Cot a. is het omgekeerde van tan a.. Omdat een getal en zijn omgekeerde altijd he1zelfde teken hebben, hebben cot a. en tan a. altijd he1zelfde teken.

2.5. Bijzondere waarden

cot0= ./ ........................ .

tan90= / ................................. . cot90= .a ..................... .

tan 180 = .9. ....................................... . cot 180 ::::: ./ ...................... .

tan 270 = .1 .................................. . cot 270 = .0 ................... .

2.6. Interval

tanaE .. Gl ........... . c,otaE .JR ............. .

2. 7. Meetknndiee voorstelline van tan a en cot a

Gegeven : goniometrische cirkel hoek a met beeldpunt P

y

6

We tekenen door A een as evenwijdig metdey..:. as en op dezelfde manier georinteerd : dit is de tangens- as. Het snijpunt van de tangens -as met het tweede been van a hoemen we S. Dan is : tana = y -cordinaat of ordinaat van S. We tekenen door B een as evenwijdig met de x- as en op dezelfde manier georinteerd : dit is de cotangens- as. Het snijpunt van de cotangens -as met het tweede been van a noemen we T. Dan is : cota =x- cordinaat of abscis van T.

Opdracht

Maak opdracht 2

Opdracht2

Gegeven : een goniometrische cirkel.

Gevraagd: a) teken een hoek in het 1 e kwadrant en duid de tangens en cotangens van deze hoek aan. b) teken een hoek in het 2e kwadrant en duid de tangens en cotangens van deze hoek aan. c) teken een hoek in het 3e kwadrant en duid de tangens en cotangens van deze hoek aan. d) teken een hoek in het 4e kwadrant en duid de tangens en cotangens van deze hoek aan.

Oplossing a) y

Oplossing c)

'J 'l

Oplossing b) 'I

Oplossing d)

...--...

!'"'

KONINKliJK

Atheneum Tienen

Extra oefening Georinteerde hoeken

1.. Gegeven: a= -959

a) Geef kpm: ...-t2.A

b) Geef gnm: _ Q..~

~ ~~ J. p, ~~~ \). k.. p. m g. nm

4 =-+c " ~. ?:.G-o l ~Sc -t .;1-10 I -~~" ~- .... i -9;{. - ;t "t :?>Go l_G~

99

Opgave4

. .

Voorelkehoek a geldt sfu2 a + cos2 a ::: L B~wijsdit ...

c -1

y B 1

D-l

A 1 x

Bewijs:. P(CO">)(}VY..o() ~ P1 (G

Opgave5

- : ., ~ . .

Oplossing:

.r'\.

.:.. : .. :. :-:.,_.:_. ..

'1 '2..o( (..()') o( + 1')\.M. = 1 ( 1)1. -t 1)1;~ t.ol = .., \,3

.i -t 0A.tol. = 1 g

'l . 1 ~ /'fiJVI. 0( = - -~

y

x

Opgave6

(Jegeven : .sin ~ = ~0,8

Oplossing: (.()!) z. d. --\-

4:) :nl.d.. -t ~) t. (..0') r}.. +

~) 1. W),j.. --

"-:) ~ u:v} tJ... =

. ... . . : . :- -~ -. . . . ...... :; .. .

y

p.,

.. G~yt~agd : . cos .a

~'i." =-1 ' ) 2. \- o, 8 = 1

~ ~~ = 1 ?\-o16lf

o 1 3~

x

~d=-0} 8 (0

=) r:1 6 m

~-----------------------------------------------------------------------------------

-.. _ :' .... <

Opgave9

. .

Van eenho~k krljg j een grii}inetrisch getal. Teken zijn beldptint o cirkelen bepaalde hoek door meting. . . . Geef alle mog~lijke oplossingen. ontroleer je oplossmgenmet de. .

sin a:= 0,3

' 1.0

:~

Opgave 11

OF ot~-11i 0

(ol GI)

CJY>"ot. "'"ty.N.."-,;. -= 1 *' u:nt,;.-+ Co,s)t..:: 1 ~') etnt.rl. -+o1'Lt::. -1 t.;;.) c..1-ot:::-'\-o1&'i ) W>~ ::o736

... ... ... .. ... . .

. sin a = .,;.l >eil a jn het 4de kwadrant . . .... 4 . ': . . . . . . .

u:n."rJ.+~t..o ~\-L.= t ~ ()/. - 2.

t?V....... - --3

2. 2{5 -= --rs s

.. t ' (;:) ~ rJ.:: -1- '1 ~:> }'W..l.oL- _[ 3 - 9

,J.' ]f ;:;;) ?M i)( < 0 ....-f' ~ fi. :: - {I.

---= 'l 3

3

/~ .. < ___ )

...