COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D

Click here to load reader

  • date post

    11-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    235
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D

  • COMPLEXE GETALLEN

    voor Wiskunde D

    Jan van de Craats

    Herziene versie, 6 augustus 2008

  • Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats

    Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit vanAmsterdam en de Open Universiteit

    Copyright c 2007 Jan van de Craats

    All rights reserved.Alle rechten voorbehouden.

    Belangstellenden kunnen dit e-boek gratis downloaden van-af de homepage van de auteur: www.science.uva.nl/craats.Daar wordt ook een lijst van errata en wijzingen bijgehouden.

  • Leeswijzer

    Wiskunde leer je vooral door veel te oefenen. De meeste hoofdstukken van ditboek beginnen daarom met opgaven op de linkerpagina. Je kunt er direct meeaan de slag en zodra je een opgave gemaakt hebt, kun je je antwoord achterincontroleren.

    Op de rechterbladzijden staat de theorie die je nodig hebt om de opgaven links tekunnen maken. Je kunt daar naar behoefte gebruik van maken. Kom je termen ofbegrippen tegen die daar niet verklaard worden, dan kun je via het trefwoorden-register dat achterin het boek staat, de plaats vinden waar die uitleg wel staat.Achterin is ook een formuleoverzicht opgenomen.

    In dit boek werken we met een decimale punt, en niet met een decimale komma,in overeenstemming met wat thans algemeen gebruikelijk is in de internationalewetenschappelijke en technische literatuur.

    Voorkennis en hulpmiddelen

    De voorkennis die je bij dit boek nodig hebt, bestaat hoofdzakelijk uit algebra (let-terrekenen), met name vaardigheid in het werken met tweedegraadsvergelijkin-gen en de abc-formule. Verder moet je bekend zijn met radialen voor hoekmeting,de goniometrische functies sinus, cosinus en tangens en de e-machtfunctie. Als jehoofdstuk 5 gaat bestuderen, moet je ook iets weten over differentiaalrekening.

    Een rekenmachine met grafische mogelijkheden heb je niet nodig; een gewonerekenmachine met daarop wortels, e-machten en goniometrische en inverse go-niometrische functies (sinus, cosinus, tangens, arctangens) is voldoende. Maarbij het merendeel van de opgaven is helemaal geen rekenmachine nodig.

    De benodigde voorkennis is allemaal vwo-B-stof, en dus te vinden in de school-boeken. In een bijlage (bladzijde 65 en verder) vind je een korte samenvattingvan die voorkennis. Die teksten zijn grotendeels ontleend aan het Basisboek wis-kunde van Jan van de Craats en Rob Bosch (Pearson Education Benelux, 2005,ISBN 90-430-1156-8). Daarin vind je desgewenst ook meer details en een grotecollectie oefenopgaven. Op mijn homepage (www.science.uva.nl/craats) kunje ter kennismaking grote delen van dat boek raadplegen.

    bron: www.science.uva.nl/craats

    iii

  • Het Griekse alfabet

    A alfa B beta gamma deltae E epsilon Z zeta H eta theta

    I jota K kappa lambda M mu N nu xio O omicron pi

    P rho sigma T tau upsilon phi X chi psi omega

    iv

    Jan van de Craats: Complexe getallen voor wiskunde D

  • Inhoudsopgave

    Voorwoord 1

    1 Rekenen met complexe getallen 4Wortels uit negatieve getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5De abc-formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Het complexe vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Vermenigvuldigen en delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 De meetkunde van het complexe rekenen 12Complexe getallen als vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Complexe getallen op de eenheidscirkel . . . . . . . . . . . . . . . . 15De formules van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17De (r, )-notatie voor complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . 19De complexe functies e z, cos z en sin z . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3 Wortels en polynomen 24Wat zijn complexe n-demachtswortels? . . . . . . . . . . . . . . . . 25Waarom wortels meerwaardig zijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Over n-demachtswortels en n-degraadspolynomen . . . . . . . . . 29De hoofdstelling van de algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Reele polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    4 Lineaire recursies 36Recursief gedefinieerde rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Lineaire recursies van orde 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39De rij van Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Een oscillerende rij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Een oscillerende rij (vervolg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Samenvallende wortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Lineaire recursies van hogere orde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Realistische modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Een economisch voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    bron: www.science.uva.nl/craats

    v

  • 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 54Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Lineaire differentiaalvergelijkingen van orde 2 . . . . . . . . . . . . 57Positieve discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Discriminant nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Negatieve discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde . . . . . . . . . 63Realistische modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    Voorkennis 65Hoekmeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65De sinus, de cosinus en de tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Grafieken van goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Optelformules en dubbele-hoekformules . . . . . . . . . . . . . . . 67Exponentiele functies en de e-macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Raaklijn en afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    Gonio gemakkelijk gemaakt 70Antwoorden 71Trefwoordenregister 77

    vi

    Jan van de Craats: Complexe getallen voor wiskunde D

  • Voorwoord

    Complexe getallen worden in vrijwel alle toepassingen van de wiskunde ge-bruikt. Met name in de betavakken, de techniek, de informatica en de econo-metrie. Je komt ze bijvoorbeeld tegen in de electrotechniek, de mechanica, detheoretische natuurkunde, de regeltechniek en de systeemtheorie, maar ook inde theorie van micro- en macro-economische modellen. In veel van de ons om-ringende landen is het onderwerp complexe getallen daarom een onderdeel vanhet middelbare-schoolcurriculum in de B-richtingen. Ook in ons land zou dat eengoede zaak zijn. Zo ver zijn we nog niet, maar in het nieuwe vak Wiskunde Dvoor vwo is complexe getallen wel een aanbevolen keuze-onderwerp. Dit boekis bedoeld als studiemateriaal daarbij.

    Rekenen en toepassingenIn de eerste drie hoofdstukken worden de basisprincipes van het rekenen metcomplexe getallen uitgelegd. De hoofdstukken 4 en 5 geven toepassingen op hetgebied van de lineaire recurrente betrekkingen en de lineaire differentiaalverge-lijkingen, onderwerpen die van belang zijn voor de economie, de econometrie,de exacte vakken en de techniek. Ze kunnen onafhankelijk van elkaar wordengelezen; wie ze allebei bekijkt, zal het opvallen dat de gebruikte methodes vooreen groot deel overeenstemmen.

    Spannende formulesAls je met complexe getallen gaat werken, kom je mysterieuze zaken tegen. Jeontdekt dan bijvoorbeeld dat

    37 een getal is waar je echt mee kunt rekenen.

    En dat een vierkantsvergelijking met een negatieve discriminant toch twee op-lossingen heeft. Je leert ook dat elk complex getal precies zeven zevendemachts-wortels heeft. Je maakt kennis met i 2 = 1 en met andere spannende formuleszoals

    e i = cos + i sin of e i + 1 = 0

    Rekenen in het complexe vlakComplexe getallen zijn mysterieus, zeker voor de niet-ingewijde. Maar niet zomysterieus dat je je er niets bij voor kunt stellen. Want net zoals je je reele ge-tallen kunt voorstellen als punten op een lijn (de reele getallenlijn), zo kun je jecomplexe getallen voorstellen als punten in het vlak: het complexe vlak. Daar-

  • Voorwoord

    mee krijgen complexe getallen een meetkundige betekenis die het rekenen ermeeaanschouwelijk maakt en daardoor enorm verduidelijkt.

    Hoofdtekst en toepassingenDe hoofdtekst van dit boek bestaat uit de hoofdstukken 1, 2 en 3. Iedereen dieiets van complexe getallen wil weten, moet dat gedeelte, inclusief de opgaven,volledig doorwerken. De hoofdstukken 4 en 5 leggen daarna de wiskundige ba-sis voor allerlei toepassingen die zowel voor de economische als voor de beta-vervolgopleidingen van groot belang zijn. Maar bovendien zijn het mooie, af-geronde stukken wiskunde met een duidelijke probleemstelling en een volledigeuitwerking. Ik geef in de tekst echter alleen maar een hint van enige toepassings-gebieden. De toepassingen zelf laat ik aan de vervolgopleidingen over. Dezehoofdstukken zijn zeer geschikt om als basis te dienen voor een praktische op-dracht of een profielwerkstuk.

    Bij deze herziene versieOp eerdere versies van deze tekst heb ik veel reacties gehad van docenten en an-dere belangstellenden. Naar aanleiding daarvan heb ik een ingrijpende revisieuitgevoerd: het oorspronkelijke hoofdstuk 2 is volledig herschreven en de an-dere hoofdstukken zijn op kleine punten aangepast. Alle hoofdstukken wordennu afgesloten met een samenvatting, en er is een bijlage toegevo