Reële functies en algebra

47
 6 Mechanische vormgevingstechnieken Gemeentelijk technisch instituut Londerzeel 2008-2009 Wiskunde Bartel Willems

Transcript of Reële functies en algebra

Page 1: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 1/47

6 Mechanische vormgevingstechniekenGemeentelijk technisch instituut Londerzeel

2008-2009

Wiskunde

Bartel Willems

Page 2: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 2/47

HOOFDSTUK 0

Inleiding

0.1 Geschiedenis van de analyse 1

De tak van de wiskunde waarin functies en krommen worden bestudeerd, is de analyse . Met namegaat het daarbij om de eigenschappen die te maken hebben met limietprocessen, zoals continuıteit,asymptotisch gedrag, differentieren en integreren.De analyse is een product van vooral Newton en Leibniz in de zeventiende eeuw. Vanuit de Oud-heid waren er wel theorieen die achteraf als voorloper van de analyse kunnen worden opgevat

zoals de uitputtingsmethode voor het berekenen van oppervlaktes en de pogingen van Archimedesom een raaklijn aan zijn spiraal te vinden, maar een complete theorie bestond er niet.

Figuur 1: Isaac Newton Figuur 2: Gottfried Wilhelm Leibniz

De echte uitvinding van de analyse gebeurde door Isaac Newton (in de jaren 1665-1666) en on-afhankelijk daarvan door Gottfried Wilhelm Leibniz (in de periode 1673 - 1676). Zij voegden defundamentele ideeen toe aan de grote hoeveelheid werk die op dit terrein al door voorgangers wasgezet:

• Als eersten onderkenden zij dat de bedachte differentieertechnieken niet alleen op veelter-men van toepassing waren, maar heel breed konden worden ingezet.

1 Bron: http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Onderdelen/Analyse.html

2

Page 3: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 3/47

• Als eersten bedachten zij bruikbare notaties.

• Zij beschreven systematisch de regels die nodig waren voor het vinden van afgeleiden enintegralen.

• Zij zagen als eersten het fundamentele verband in tussen differentieren en integreren: zij

herkenden integreren als het ’omgekeerde van differentieren’. En zij waren de eersten die ditprincipe toepasten op het berekenen van oppervlaktes en inhouden.

De analyse die beiden daarbij ontwikkelden gaat over de de eigenschappen van krommen(grafieken), van raaklijnen, het berekenen van extremen, booglengtes, oppervlaktes onderkrommen, inhouden van omwentelingslichamen, het berekenen van formules voor snelheid enversnelling, en zo meer. Dit alles werd teruggebracht tot twee eenvoudig samenhangendemethoden: het differentieren en het integreren.

Newton ontdekte de theorie het eerst, Leibniz bedacht zijn opzet onafhankelijkvan Newton en publiceerde zijn ideeen het eerst. Helaas ontstond er een pijnlijke ruzie tussen

(aanhangers van) beiden over de vraag wie nu de eigenlijke bedenker van de analyse was.

0.2 Overzicht van deze cursus

In het eerste hoofdstuk van deze cursus gaan we over van gemiddelde veranderingen naarogenblikkelijke verandering. Dit doen we met behulp van het wiskundige begrip limieten, die we

 behandelen met behulp van ons grafisch rekentoestel.De ogenblikkelijke verandering laat ons toe het begrip afgeleide in een punt te definieren,waarmee we een eerste maal de vergelijking van raaklijnen exact kunnen bepalen.

In hoofdstuk twee breiden we het begrip afgeleide verder uit naar afgeleidefuncties, waarbij we ons zullen beperken tot veeltermfuncties. Deze afgeleide functies zullen onsin staat stellen om het stijgen en dalen van functies te onderzoeken en om minima en maxima vanveeltermfuncties te berekenen.Aangezien afgeleiden een hoop toepassingen heeft in uiteenlopende vakgebieden, is een grootdeel van het tweede hoofdstuk gewijd aan het oplossen van vraagstukken.

3

Page 4: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 4/47

HOOFDSTUK 1

Gemiddelde en ogenblikkelijke verandering

1.1 Gemiddelde en lokale helling

Voorbeeld 1.1 Gemiddelde helling: De Col du Tourmalet.

In dit voorbeeld willen we de gemiddelde helling berekenen van de Tourmalet. Het profiel vandeze berg vind je in de onderstaande figuur.

Figuur 1.1: Profiel van de Col du Tourmalet

Gemiddelde helling =het verschil in hoogte

het verschil in horizontale verplaatsing=∆h

∆x=

2115− 647

17200

= 0,0853. . . ≈ 8, 53%.

Dit betekent dat bij een horizontale toename van 100m ongeveer een verticale toename van 8,53m

hoort.

4

Page 5: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 5/47

Om deze gemiddelde helling te berekenen hebben we het profiel van de Tourmalet benaderd dooreen rechte die de voet van de berg verbindt met de top.

De verhouding∆h

∆x=

verticale toename

horizontale toenameis een maat voor de helling.

Dat hebben we al geleerd in het vierde jaar. We leerden ook hoe we de helling van een rechte in eenassenstelsel kunnen meten. Dit wil zeggen dat we met een getal de sterkte van de helling kunnenuitdrukken. Dit getal wordt de richtingsco¨ effici¨ ent of de helling van de rechte genoemd.

• Herinner je je de formule nog om de richtingscoefficient van de rechte door de punten A(x1, y1) en B(x2, y2) te vinden?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• In de figuur rechts zijn drie rechten getekend.

– De rechte a is steiler dan de rechte b. Wat betekent dit voor hun richtingscoefficienten?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– De rechte a stijgt, terwijl c daalt. Hoe kun je dit zien aan de richtingscoefficienten?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De Col du Tourmalet is een bergpas in de Franse Pyreneeen met een rijke geschiede-nis.In 1913, tijdens een zware etappe in de Ronde van Frankrijk, breekt EugeneChristophe de voorvork van zijn fiets in de afdaling van de Col du Tourmalet. Indie tijd moesten alle renners zelf sleutelen aan hun fiets en waren reservefietsen nogverboden. Hij heeft toen de 13 kilometer te voet afgelegd tot het eerste dorp, Sainte-Marie de Campan. Hij vond er een smid waar hij zelf zijn voorvork repareerde, zoalsde reglementen bepaalden. Hij eindigde nog als zevende in de etappe met een achter-stand van 14 uur.

5

Page 6: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 6/47

Voorbeeld 1.2 Helling in een punt.

Als de grafiek een rechte is, spreken we van de helling. Als de grafiek (van de berg) geen rechteis (zoals bij de Tourmalet) kunnen we enkel spreken van de gemiddelde helling en de helling in een

 punt.

Om de gemiddelde helling tussen twee punten te berekenen, doen we alsof de twee punten meteen rechte lijn verbonden zijn en berekenen we de helling van die verbindingslijn.

• Bereken de gemiddelde helling tussen punt A en punt B.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• In de buurt van het punt B is de helling heel sterk. Hoe kunnen we een beter idee krijgenvan de helling in dat punt?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Een skier ondervindt aan den lijve wat de helling in een bepaald punt is.

• Teken op de grafiek zo goed mogelijk de (richting van de) ski’s van een skier in het punt B.

• Bereken de helling van de ski’s.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Page 7: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 7/47

• Voor het antwoord op de vorige vraag berekenden we de richtingscoefficient van een rechte.Welke rechte? Hoe zouden we die noemen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• De helling van de berg in het punt B i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Besluit:

De gemiddelde helling tussen A en B is gelijkaan de helling van de rechte door de punten Aen B. Dit is de richtingscoefficient van de rechte AB;

De lokale helling (of helling in een punt) is de helling van de raaklijn;om die te berekenen teken je eerst de raaklijn op de figuur.

7

Page 8: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 8/47

1.2 Afgelegde weg en snelheid

Voorbeeld 1.3 Snelheid van een trein

De volgende tabel geeft het verband tussen de tijd (x in seconden) en de afgelegde weg ( y in meter)

van een rijdende trein.

x 0 1 2 3 4 5 . . .

 y 0 30 60 90 120 150 . . .

Als we dit in grafiek zetten krijgen we:

In gelijke tijdsintervallen legt de trein gelijke aftsanden af. We spreken van een eenparige beweging

Bereken de gemiddelde snelheid in de volgende intervallen:

[0, 2]: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[0, 5]: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[1, 4]: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

We merken dat de gemiddelde snelheid constant is, namelijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hoe snel reed de trein na precies 1,24 seconden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

In dit geval kunnen we dus zeggen dat de ogenblikkelijk snelheid gelijk is aan degemiddelde snelheid.

Bepaal de vergelijking van de getekende rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wat merken we op? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Page 9: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 9/47

Voorbeeld 1.4 snelheid van een opgeworpen steen

Een steen wordt verticaal omhoog geworpen.De hoogte van de steen wordt gegeven door f (t) = −5t2 + 20t, waarbij t de tijd in seconden is,gerekend vanaf het begin van de worp, en f (t) de hoogte in meter op het ogenblik t.

Als we de grafiek van f (t) tekenen, krijgen we:

We zien dat de hoogte van de steen eerst toeneemt en daarna afneemt.

We willen nu onderzoeken welke snelheid de steen juist een seconde na de worpheeft.In tegenstelling tot het vorige voorbeeld zal de (ogenblikkelijke) snelheid na een seconde nietgelijk zijn aan de gemiddelde snelheid over een willekeurig tijdsinterval. Om de ogenblikkelijkesnelheid te weten gaan we als volgt te werk:

Eerst berekenen we de gemiddelde snelheid van de steen tijdens een tijdsintervalin de buurt van t = 1.

• Bereken de gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [1, 2].

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Zegt deze gemiddelde snelheid veel over de snelheid op het ogenblik t = 1?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Hoe kunnen we alsmaar betere benaderingen krijgen voor de snelheid op t = 1?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dit gaan we als volgt aanpakken:

We berekenen de gemiddelde snelheid van de steen tussen de waarde t = 1 eneen ogenblik dat daar maar heel weinig van verschilt, namelijk t = 1 + h.1

1

We doen dit hier enkel voor positieve waarden van h. Het is een goede oefening om dezelfde stappen uit te voerenvoor negatieve waarden van h.

9

Page 10: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 10/47

De waarde van h verkleinen we stelselmatig, om op die manier steeds kleineretijdsintervallen te krijgen.

Bereken voor elk van de onderstaande tijdsintervallen de gemiddelde snelheid,

dor de volgende tabel aan te vullen.

hoogte op t = 1 + h hoogteverschil gemiddelde snelheid

Interval h 1 + h f (1 + h) f (1 + h)− f (1) f (1+h)− f (1)h

[1, 2]

[1;1,5]

[1;1,1]

[1;1,01]

[1;1,001]

[1;1,0001]

Als we aan h een steeds kleinere positieve waarde geven, geeft de gemiddelde snelheid in het

tijdsinterval [1, 1 + h], die gelijk is aan f (1+h)− f (1)h , een steeds betere benadering van de ogenblikke-

lijke snelheid van de steen op 1 seconde na de worp.Op grond van de tabel vermoeden we dat deze ogenblikkelijke snelheid 10 m/s is.

We zeggen dat 10 de limietwaarde is van de gemiddelde snelheidf (1 + h)− f (1)

hals h naar 0 gaat.

We noteren dit als limh→0

 f (1 + h)− f (1)

h= 10.

Uiteraard kunnen we deze tabel sneller door ons GRT laten berekenen:We zorgen er eerst voor dat alle lijsten leeg zijn. Druk hiervoor achtereenvolgens op 2ND , + en

kies 4: ClrAllLists . Vervolgens druk je op STAT en kies je 1: Edit.In de lijst L1 plaatsen we de waarden 1 + h (de derde kolom van de tabel hierboven).Gebruik vervolgens de pijltjestoetsen om tot in de titel van lijst L2 te komen. Hier typ je ” (Y1(L1)−Y1(1))/(L1 − 1).2 Dit komt overeen met de laatste kolom van de bovenstaande tabel.

• Bereken op eenzelfde manier de ogenblikkelijke snelheid op 1,5 seconden na de worp.

2 Y1 vind je door achtereenvolgens op VARS te drukken, de tab Y-VARS te kiezen en twee maal 1 te drukken.

10

Page 11: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 11/47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bereken op eenzelfde manier de ogenblikkelijke snelheid op 2 seconden na de worp.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

We zoeken nu een grafische betekenis voor de gemiddelde en de ogenblikkelijke snelheid met behulp van de grafiek van f (t) = −5t2 + 20t

• Kun je de gemiddelde snelheid in het interval [1, 2] bekijken als de richtingscoefficient van

een rechte? Zo ja, teken deze rechte in het blauw.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Van welke rechte is de ogenblikkelijke snelheid dan de richtingscoefficient? Teken dezerechte op de grafiek hierboven in het rood.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bepaal grafisch de ogenblikkelijke snelheid op 0,5 seconden na de worp.

11

Page 12: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 12/47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Besluit:

De ogenblikkelijke snelheid is de limiet van de gemiddelde snelheid bij steeds kleineretijdsintervallen;

De gemiddelde snelheid over een zeker tijdsinterval is de richtingscoefficient (of dus dehelling) van de verbindingsrechte van het begin- en eindpunt;

De ogenblikkelijke snelheid is de richtingscoefficient van de raaklijn.

12

Page 13: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 13/47

1.3 De vergelijking van de raaklijn in een punt aan een gegeven

kromme

Om de vergelijking van een rechte te bepalen is het voldoende dat we van de rechte

• de coordinaat van een punt A(x1, y1) en de richtingscoefficient m van de rechte kennen.We gebruiken de formule y− y1 = m(x− x1).Oefening: Bepaal de vergelijking van de rechte met richtingscoefficient 3, door het punt A(2,−1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• de coordinaten van twee punten A(x1, y1) en B(x2, y2) van de rechte kennen:

Oefening: Bepaal de vergelijking van de rechte door de punten A(1, 2) en B(−1, 3).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Om de vergelijking van de raaklijn aan een kromme in een punt te bepalen, hebben we (voorlopig)een gegeven te weinig. We kennen enkel de coordinaat van het raakpunt zelf.

Om de raaklijn zelf te bepalen hebben we dus ofwel nog een punt van de raaklijn (wat ons niet zal lukken) ,ofwel de richtingscoefficient van de raaklijn nodig.

Het is die richtingcoefficient die we nu zullen benaderen.

In de onderstaand figuur heeft het punt P als coordinaat P(a, f (a)).We benaderen de richtingscoefficient van de raaklijn t in het punt P aan de grafiek van de functie f  met behulp van een punt Q dat in de buurt van P ligt.

Het punt Q heeft als coordinaat Q(a + h, f (a + h)).

13

Page 14: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 14/47

ricoPQ =f (a + h)− f (a)

a + h− a=

f (a + h)− f (a)

h

In de bovenstaande figuur zien we dat hoe dichter het punt Q bij het punt P ligt, hoe beter derechte PQ de raaklijn t benadert.

Anders gezegd: hoe dichter h bij 0 ligt, hoe beter de rechte PQ de raaklijn t benadert.

We noteren dit als volgt:

rico t = limh→0

 f (a + h)− f (a)

h

Voorbeeld 1.5 Een wiskundig voorbeeld

Gegeven: De grafiek van de functie f (x) = x2 − 1.Gevraagd: De vergelijking van de raaklijn t aan f  in P(2, 3).

O p l o s s i n g : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Page 15: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 15/47

1.4 Marginale kosten

Voorbeeld 1.6 Kosten van een koekjesfabriek.

Een bedrijf produceert o.a. koekjes voor de horeca. Als verpakking gebruikt men zakken van 3kg.De kosten (aankoop ingredienten, productie van de koekjes, verpakking, ...) hangen af van hetaantal zakken koekjes dat wordt gemaakt. Het aantal geproduceerde zakken per uur noteren wemet q.De kosten, uitgedrukt in euro, bij productie van een bepaalde hoeveelheid q noteren we met K(q),waarbij geldt K(q) = 0,01q3 − 0, 6q2 + 13q.

• Bereken de totale kostenstijging bij een productietoename van 30 zakken per uur naar 50zakken per uur. In welke eenheid wordt deze totale kostenstijging uitgedrukt?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bereken de gemiddelde kostenstijging bij een productietoename van 30 zakken per uur naar50 zakken per uur. Dat wil zeggen de kosten die er gemiddeld per zak bijkomen als deproductie stijgt van 30 zakken per uur naar 50 zakken per uur. In welke eenhied wordt dezegemiddelde kostenstijging uitgedrukt?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Page 16: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 16/47

• Kun je op de grafiek een interpretatie geven van deze gemiddelde kostenstijging?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

In de economie hecht men ook betekenis aan de helling van de kostengrafiek in een punt. Dezehelling geeft aan hoe sterk en in welke richting de kosten veranderen als de productie verandert.Dit noemt men de marginale kost MK: het zijn de eerkosten bij een productie van een extra eenheid.Op de grafiek is de marginale kost, net zoals de ogenblikkelijke snelheid in een vorig voorbeeld,de helling van de raaklijn.

• Bepaal grafisch de marginale kost bij een productie van 40 zakken per uur.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Besluit:

De marginale kost is de limiet van de gemiddelde kostenstijging bij steeds kleinere pro-ductietoenamen;

de gemiddelde kostenstijging over een zekere productietoename is de richtingscoefficient

van de verbindingslijn van het begin- en eindpunt;

De marginale kost is de richtingscoefficient van de raaklijn.

16

Page 17: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 17/47

1.5 Oefeningen

1. Bij de aanleg van asfaltwegen laat men om de tweehonderd meter een centimeter ’open’. Bijwarm weer zet asfalt immers uit. Het wegdek zou vervormen als men dergelijke openingenniet voorziet op regelmatige afstanden.

Veronderstel nu dat de strook asfalt bij 10 ◦C een lengte heeft van 200 m. In de zon, bij 40 ◦C,zet ze uit tot een lengte van 200,04 m.Bereken de gemiddelde uitzetting van de strook asfalt.

2. Een auto is aan het remmen. de remweg wordt gegeven door s(t) = 20t− t2, met 0 ≤ t ≤ 10.Hierbij is t de tijd in seconden en s(t) de afgelegde weg in meter.

(a) Bepaal de gemiddelde snelheid tussen de tweede en de vijfde seconde.

(b) Bepaal de gemiddelde snelheid in het interval [1, 1 + h].

(c) Bepaal de ogenblikkelijke snelheid na 4 seconden.

3. Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de gegeven kromme in het punt P. Controleer jeoplossing met je GRT.

(a) y = x2 + 6 P(2,10)

(b) y = x3 − 2x P(0, 0)

4. Een groot bedrijf verkoopt tweedehandswagens. De winst bij de verkoop van q auto’s permaand kunnen we voorstellen door W (q) = −0, 0002q3 + 0,12q2 + 26q.

(a) Dankzij een handig opgezette reclamecampagne slaagt de firma er in een bepaaldemaand in het verkochte aantal auto’s op te voeren van 200 naar 300.Bereken de gemiddelde winst in die maand.

(b) Bereken de marginale winst bij een maandelijkse verkoop van 300 wagens.

(c) Bereken de marginale winst bij een maandelijkse verkoop van 600 wagens.

(d) Teken met behulp van je GRT de grafiek van de winstfunctie W .Wanneer is de winst maximaal?

17

Page 18: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 18/47

HOOFDSTUK 2

De afgeleide

2.1 De afgeleide in een punt

2.1.1 Definitie

In het vorige hoofdstuk hebben we vier situaties ontmoet die een zekere gelijkenis vertonen. Hetgaat steeds over een maat voor de verandering. In het schema hieronder vatten we de voorbeeldennog eens samen.

Functie Gemiddelde verandering Limietnemen

Ogenblikkelijke verandering

hoogte van de wegin functie van de hor-izontaal afgelegdeweg

gemiddelde helling van deweg = rico van de snijlijn

−→ lokale helling (helling van deski’s) = rico van de raaklijn

functie helling van de verbind-ingslijn

−→ helling van de raaklijn

hoogte van een steen gemiddelde snelheid =

rico van de snijlijn

−→ ogenblikkelijke snelheid =

rico van de raaklijn

totale kostenfunctie gemiddelde kostenstijging= rico van de snijlijn

−→ marginale kost = rico van deraaklijn

Deze vier voorbeelden vertonen een grote overeenkomst: er zit een wiskundig begrip achter.De gemiddelde verandering kunnen we telkens bekijken als de richtingscoefficient van een snijlijnen de ogenblikkelijke verandering kunnen we op de grafiek zien als de richtingscoefficient van deraaklijn.

Deze richtingscoefficient van de raaklijn noemt men in de wiskunde de afgeleide

18

Page 19: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 19/47

van de functie in een punt.

Definitie:

De gemiddelde verandering van een functie f  wordt gegeven door het (differentie-)quoti¨ ent

 f (a + h)− f (a)

h

Dit is een benadering voor de ogenblikkelijke verandering. Deze benadering wordt steeds beter als h → 0.De afgeleide van een functie f  in een punt a, genoteerd f (a), is een maat voor die ogenblikke-lijke verandering. Kort genoteerd:

 f (a) = limh→0

 f (a + h)− f (a)

h

Het differentiequotientf (a + h)− f (a)

hwordt vaak ook kort genoteerd met

∆ y

∆x.

Er is voor f (x) een andere notatie die hierbij aansluit, namelijkdy

dx. Deze notatie biedt het voordeel

dat je kunt aangeven naar welke veranderlijke je moet afleiden. Voor de marginale kost krijgen we

zo bijvoorbeelddK

dq.

2.1.2 Afleiden met het grafisch rekentoestel

Methode 1

Ook op ons grafisch rekentoestel wordt de notatie dydx gebruikt.

Aan de hand van voorbeeld 1.4 (snelheid van een opgeworpen steen) laten we zien hoe je op dattoestel te werk gaat om de afgeleide in een punt te berekenen:De hoogte van de steen wordt gegeven door: f (t) = −5t2 + 20t, waarbij t de tijd in seconden is.

Geef het voorschrift in in het Y= menu en laat de grafiek tekenen.

Kies nu in het menu 2nd CALC de optie 6: dy/dx . Je kunt nu de cursor over de grafiek bewegentot je op de gewenste x-waarde komt, ofwel geef je de juiste x-waarde gewoon in (hier: x = 1). Druk

op ENTER en je krijgt de waarde van de afgeleide in 1.

19

Page 20: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 20/47

• Controleer nu met je rekentoestel de snelheid na 3 sec van de steen uit het derde voorbeeld.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bereken met je rekentoestel met welke snelheid de steen op de grond terechtkomt.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Methode 2

Ook deze methode illustreren we aan de hand van de snelheid van de steen na 1 seconde uit

voorbeeld 1.4.Geef het voorschrift in in het Y= menu en ga naar het hoofdscherm door op 2nd en QUIT te

drukken. Kies vervolgens in het menu MATH de optie 8: nDeriv( .

Typ vervolgens Y1, X, 1). Y1 vind je door in het menu VARS achtereenvolgens Y-VARS 1: Function en 1: Y1 te kiezen.

• Gegeven is de afgelegde weg in functie van de tijd voor een autoritje: s(t) = 150t2 − 50t3 mett ∈ [0, 2] (t in uur en s in km).

– Bereken de gemiddelde snelheid over de hele rit.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Page 21: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 21/47

– Bereken de gemiddelde snelheid tijdens het eerste kwartier van de rit.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Bereken met je grafisch rekentoestel de snelheid op het ogenblik t = 0,25. Het eerstehalfuur van de rit gaat door een bebouwde kom. Is de bestuurder in overtreding?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• De suikerrietfabrikant heeft een wiskundig model van zijn totale kostenfunctie gemaakt. Hijvond K(q) = 0, 0002q3 − 0,12q2 + 26q met q ∈ [0, 600].

– Bereken met je grafisch rekentoestel de marginale kost bij een productie q = 400.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De rietsuiker wordt verkocht tegen 56 fr. per kg. Voor de volgende vraagjes mag je aannemendat alles wat geproduceerd wordt, ook verkocht wordt.

– Bereken de winst W (q) in functie van de geproduceerde hoeveelheid q.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Bereken de gemiddelde winststijging bij een productietoename van 400 naar 500 kg.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Wat zou men bedoelen met marginale winst? Bereken die marginale winst bij eenproductie van 400 kg.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Page 22: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 22/47

2.2 De afgeleide functie van een functie

2.2.1 Inleidend voorbeeld

Al bij al is wat we tot nu toe gedaan hebben een hele hoop gedoe om enkel en alleen maar de

helling van een functie in een punt te berekenen. Elke keer die limiet berekenen m.b.v. onsrekentoestel is telkens veel (en moeilijk) werk. Zouden we dit niet sneller kunnen?

Laten we even de functie f (x) = x2 − 1 van naderbij bekijken.

Met behulp van ons rekentoestel bepalen we de helling in de punten A, B, C, D en E.We berekenen dus achtereenvolgens f (−1), f (0), f (1), f (−2) en f (2). De resultaten noterenwe in onderstaande tabel.

a . . . −2 −1 0 1 2 . . . a

 f (a) . . . . . .

Wat hebben we bij een algemeen getal a ingevuld als waarde voor de afgeleide f (a)? . . . . . . . . . . . .

Anders gezegd,

als f (x) = x2 − 1, dan geldt voor elk reeel getal x dat f (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De functie f (x) = . . . . . . . . . noemen we de afgeleide functie van f (x) = x2 − 1.

We noteren f (x) ook vaak als D f (x) of als d f (x)dx .

Definitie:

Stel f  is een reele functie.

Dan noemen we y = f (x) de afgeleide functie van f .

Ander notaties: D f (x) end f (x)

dx

22

Page 23: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 23/47

2.3 Rekenregels voor afgeleiden

Omdat de bovenstaande methode voor het bepalen van de afgeleide functie nogal omslachtigis, stellen we rekenregels op die ervoor zullen zorgen dat we snel de afgeleide functie van eenwillekeurige veeltermfunctie zullen kunnen bepalen.

2.3.1 Afgeleide functie van een constante functie f (x) = c

De grafiek van de functie f (x) = c i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De helling van de grafiek van f (x) is in elk punt gelijk aan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dit wil zeggen dat voor elk reeel getal a, f (a) = . . . .

We stellen vast dat f (x) = . . . .

Als f (x) = c, dan is f (x) = 0

We noteren dat kort als D(c) = 0

2.3.2 Afgeleide functie van de functie f (x) = x

Teken hieronder de grafiek van f (x) = x.

Grafiek van f (x) = x Grafiek van f (x)

De helling van de grafiek van f (x) is in elk punt gelijk aan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dit wil zeggen dat voor elk reeel getal a, f (a) = . . . .

We stellen vast dat f (x) = . . . .

Teken nu de grafiek van f (x).

Als f (x) = x, dan is f (x) = 1

We noteren dat kort als D(x) = 1

23

Page 24: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 24/47

2.3.3 Afgeleide functie van de functie f (x) = x2

Met behulp van ons rekentoestel bepalen we de afgeleide in de punten met x-coordinaat−3,−2,−1,0, 1,2 en 3.We berekenen dus achtereenvolgens f (−3), f (−2), f (−1), f (0), f (1), f (2) en f (3). De

resultaten noteren we in onderstaande tabel.

a . . . −3 −2 −1 0 1 2 3 . . . a

 f (a) . . . . . .

Wat hebben we bij een algemeen getal a ingevuld als waarde voor de afgeleide f (a)? . . . . . . . . . . . .

Anders gezegd,

de functie f (x) = . . . . . . is de afgeleide functie van f (x) = x2.

Als f (x) = x2, dan is f (x) = 2x

We noteren dat kort als D(x2) = 2x

2.3.4 Afgeleide functie van de functie f (x) = x3

Met behulp van ons rekentoestel bepalen we de afgeleide in de punten met x-coordinaat

−3,−2,−1,0, 1,2 en 3.We berekenen dus achtereenvolgens f (−3), f (−2), f (−1), f (0), f (1), f (2) en f (3). Deresultaten noteren we in onderstaande tabel.

a . . . −3 −2 −1 0 1 2 3 . . . a

 f (a) . . . . . .

Wat hebben we bij een algemeen getal a ingevuld als waarde voor de afgeleide f (a)? . . . . . . . . . . . .

Anders gezegd,

de functie f (x) = . . . . . . is de afgeleide functie van f (x) = x3.

Als f (x) = x3, dan is f (x) = 3x2

We noteren dat kort als D(x3) = 3x2

En zo kunnen we natuurlijk bezig blijven. De volgende stap is het zoeken van de afgeleide functievan f (x) = x4. We kunnen dit opnieuw zoals hierboven aanpakken, maar ... misschien kan jij deuitkomst al voorspellen?

24

Page 25: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 25/47

2.3.5 Afgeleide functie van f (x) = xn , met n ∈N

We vatten de voorgaande resultaten samen in een tabel.

 f (x) f (x)

x 1x2 2xx3 3x2

Als hetzelfde systeem zich doorzet is f (x) = . . . . . . . . . de afgeleide functie van f (x) = x4. Ga dit eens na!

Hieruit kunnen we de volgende algemene regel afleiden:

Als f (x) = xn, dan is f (x) = nxn−1

We noteren dat kort als D(xn) = nxn−1

Voorbeelden

D(x7) = 7x6

D(x12) = 12x11

D(12) = 0

Toepassing

Gegeven: de functie f  met voorschrift f (x) = x4.

• Voor welke waarde van x is f (x) = 4?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f  in het gevonden punt (x, f (x)).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Teken ter controle met je GRT de grafiek van f  en van de raaklijn.

25

Page 26: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 26/47

2.3.6 Afgeleide van een veelvoud

Gegeven: f (x) = x2, g(x) = 12 x2 en h(x) = −3x2.

Vul met behulp van je GRT de volgende tabel aan.

afgeleidein -2

afgeleidein -1

afgeleidein 0

afgeleidein 1

afgeleidein 2

afgeleide functie

 f (x) f (x) =

 g(x) g(x) =

h(x) h(x) =

Welk verband bestaat er tussen het voorschrift van f  en van g?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Welk verband bestaat er tussen het voorschrift van f  en van g?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bestaat ditzelfde verband ook tussen het voorschrift van f  en van h?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algemeen

De afgeleide van een veelvoud is gelijk aan het veelvoud van de afgeleide.

We noteren: D(c · f (x)) = c · D( f (x)) of (c · f (x)) = c · f (x)

Voorbeelden

D(5x4) = 5D(x4) = 5 · 4x3 = 20x3

D(−7x) = −7D(x) = −7 · 1 = −7

26

Page 27: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 27/47

2.3.7 Afgeleide van een som

Gegeven: f (x) = x2, g(x) = x3 en s(x) = x2 + x3.

Vul met behulp van je GRT de volgende tabel aan.

afgeleidein -2

afgeleidein -1

afgeleidein 0

afgeleidein 1

afgeleidein 2

afgeleide functie

 f (x) f (x) =

 g(x) g(x) =

s(x) s(x) =

Welk verband bestaat er tussen f (x), g(x) en s(x)?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algemeen

De afgeleide van een som is gelijk aan de som van de afgeleiden.

We noteren: D( f (x) + g(x)) = D f (x) + Dg(x) of ( f (x) + g(x)) = f (x) + g(x)

VoorbeeldenD(x3 − x + 7) = D(x3) + D(−x) + D(7) = 3x2 − D(x) + 0 = 3x2 − 1D(4x5 + 4x− 12) = D(4x5) + D(4x) + D(−12) = 4D(x5) + 4D(x) + 0 = 4 · 5x4 + 4 · 1 = 20x4 + 4

ToepassingVan een hoog dak wordt op tijdstip t = 0 een vuurpijl verticaal omhoog geschoten.

De hoogte van de vuurpijl wordt beschreven door de functie h met voorschrift h(t) =−5t2 + 25t + 30, met h in meter en t is seconden. Met welke snelheid werd de vuurpijlafgeschoten?Oplossing: We weten dat de snelheid de afgeleide is van de hoogte naar de tijd, dus v(t) = h(t).h(t) = (−5t2 + 25t + 30) = −10t + 25.De vuurpijl wordt afgeschoten op t = 0, dus we berekenen v(0) = h(0) = 25.Antwoord: De vuurpijl werd met een snelheid van 25 meter per seconde afgeschoten.

27

Page 28: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 28/47

2.4 Grafiek en de afgeleide functie

2.4.1 Stijgen en dalen van een functie f 

We bekijken de grafiek van de functie f  met voorschrift f (x) = −0, 1x3 + 0, 6x2 + 2.

StijgenAls we de grafiek van de functie f  bekijken in het interval [1, 4] doorlopen van links naar rechts,dan zullen met toenemende  x-waarden ook de overeenkomstige functiewaarden f (x) toenemen.We zeggen: de functie f  stijgt  in het interval [1, 4].

Uit de grafiek van f  kunnen we afleiden dat de helling van de kromme in elkpunt met x-coordinaat in het interval [1, 4[ strikt positief  is.Bijgevolg is de afgeleide van de functie f  in elke x-waarde van het interval [1, 4[ strikt positief.

We schrijven: f (x) > 0 voor x ∈ [1, 4[=⇒ f  is stijgend in [1, 4[.

DalenAls we de grafiek van de functie f  bekijken in het interval [4, 7] doorlopen van links naar rechts,dan zullen met toenemende  x-waarden de overeenkomstige functiewaarden f (x) afnemen.We zeggen: de functie f  daalt  in het interval [4, 7].

Uit de grafiek van f  kunnen we afleiden dat de helling van de kromme in elkpunt met x-coordinaat in het interval ]4, 7] strikt negatief  is.

Bijgevolg is de afgeleide van de functie f  in elke x-waarde van het interval ]4, 7] strikt negatief.

We schrijven: f (x) < 0 voor x ∈]4, 7] =⇒ f  is stijgend in ]4, 7].

AlgemeenVoor een functie f  in een interval [a, b] geldt:

• f (x) > 0 voor x ∈ [a, b] =⇒ f  is stijgend in [a, b]

• f (x) < 0 voor x ∈ [a, b] =⇒ f  is dalend in [a, b]

28

Page 29: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 29/47

VoorbeeldBepaal waar de functie f (x) = x2 − 2x respectievelijk stijgt en daalt.OplossingOmdat de functie f  stijgt als f (x) > 0 en daalt als f (x) < 0, kunnen we uit het tekenschema vande afgeleide functie f  aflezen waar de functie f  stijgt of daalt.

• Bereken de afgeleide functie van f (x) = x2 − 2x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bereken de nulwaarde van f (x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Stel het tekenschema op van f (x)

x . . .

 f (x) . . .

• Uit het tekenschema van f  leiden we af waar f  stijgt of daalt.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Schematisch stellen we dit resultaat voor met de volgende tabel.

x . . .

 f (x) . . .

 f (x)

• Ter controle teken je de grafiek van f (x) met je GRT.

29

Page 30: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 30/47

2.4.2 Merkwaardige punten en de afgeleide functie

We weten dat een functie f (x) stijgt als f (x) > 0 en dat f (x) daalt als f (x) < 0.Welke betekenis heeft f (a) = 0 voor de grafiek van f  in het punt (a, f (a))?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De volgende figuren tonen de vier mogelijkheden die zich kunnen voordoen.

Grafiek 1

x a

 f (x) − 0 + f (x) minimum

Grafiek 2

x a

 f (x) + 0 −

 f (x) maximum

Grafiek 3

x a

 f (x) − 0 −

 f (x) buigpunt

Grafiek 4

x a

 f (x) + 0 + f (x) buigpunt

Voor alle waarden van x waarvoor f (x) = 0, is de helling van de grafiek in het punt (x, f (x))gelijk aan nul.

Bijgevolg kunnen we met de nulwaarden van de afgeleide functie f  de extrema(minimum en maximum) en de buigpunten van f  opsporen.

• Voor een minimum zal de functie f  in de nulwaarde van f  ovegaan van dalend naar stijgend.

• Voor een maximum zal de functie f  in de nulwaarde van f  ovegaan van stijgend naar dalend.

• Voor een buigpunt is er geen overgang van stijgend (of dalend) naar dalend (of stijgend): de

functie f  blijft varder stijgen (of dalen).

30

Page 31: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 31/47

VoorbeeldBepaal de eventuele minima, maxima en buigpunten van f (x) = x3 − 3x2

Oplossing 

• Bereken de afgeleide functie f 

(x) van f (x).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bereken de nulwaarde van f (x).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Stel het tekenschema van f (x) op. Vul aan met het stijgen en dalen van f .

• Antwoord.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Page 32: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 32/47

2.5 Toepassingen op afgeleiden

2.5.1 Snelheid

In de volgende figuur is een gedeelte van een wielerwedstrijd

voorgesteld. Op de x-as lezen we de tijd in minuten af, op de y-asde afstand (een eenheid is 500 meter).De afstand die twee renners afleggen is gegeven door s1(t) = 2t2

en s2(t) = t3 − 2t2 + 4t.Opgave:

1. Druk de snelheden v1 en v2 van de beide lopers uit in t.

2. Hoe snel rijdt de tweede renner na 1 minuut? En na 2 minuten?Wat was zijn beginsnelheid?

3. Op welk moment rijden ze even hard?Hoe zien we dat op de grafiek?

Oplossing:

1. We weten dat de snelheid gelijk is aan de afgeleide van de afgelegde weg. Dus:

v1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Snelheid na 1 minuut = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Snelheid na 2 minuten = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Beginsnelheid = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Ze rijden beiden even snel als v1 = v2, dus als

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Op de grafiek zien we dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Page 33: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 33/47

2.5.2 Regressie

Een moeder heeft op een aantal tijdstippen de lengte van haar kind gemeten. De resultaten vindenwe in de volgende tabel.

leeftijd x (in maanden) 18 20 24 25 27 30 32lengte y (in cm) 76,2 78,3 80,6 81,3 82,1 83,6 84,1

• Bereken in welke periode het kind relatief het snelst gegroeid is.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Schat de lengte van het kind na 21 maanden.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Teken met je GRT de puntenwolk van de gegevens en bepaal de best passende regressielijn. Methode:Zorg dat alle lijsten leeg zijn door op 2ND MEM te drukken en 4:ClrAllLists te kiezen.

Druk vervolgens op STAT , kies 1:Edit en vul de lijst met leeftijden in in L1 en de lijst metlengtes in L2.

Druk op 2ND STATPLOT , druk op ENTER om Plot1 te activeren en kies het eerste

type (zie figuur). Vervolgens dien je enkel nog juist in te zoomen (druk ZOOM en kies9: ZoomStat ) en je ziet de gevraagde puntenwolk.

De best passende lijn die de puntenwolk het best benadert, is een parabool. Om devergelijking van deze tweedegraadskromme te vinden, gebruiken we opnieuw onsrekentoestel.

Druk op STAT , kies voor de tab CALC en vervolgens voor 4: Quadreg . Typ Y1 om de

33

Page 34: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 34/47

gevraagde kromme in de lijst met functies te krijgen.

• Bereken de afgeleide functie van de hierboven verkregen functie.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Toon aan dat het kind sneller groeit op zijn 18 maanden dan op zijn 20 maanden.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Page 35: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 35/47

2.5.3 Extremumproblemen

Voorbeeld 2.1 Op wandel

Een wandelaar maakt een tocht in een licht heuvelachtig gebied. Het profiel van

een heuvel waarop hij wandelt, is te beschrijven met een functe met als voorschrift H (x) = −21x3 + 65x2 + 100 voor 0 < x < 3.Hierbij is H  uitgedrukt in meter en x in kilometer. Voor x = 0 en x = 3 ben je aan beide kantenaan de voet van de heuvel.Waar ligt het hoogste punt van de beklimming?

• Om ons een idee te vormen van het probleem, tekenen we de kromme met onze GRT.

• Om het hoogste punt van de heuvel te bepalen, zoeken we het maximum van de functie H (x) met behulp van de afgeleide functie van H .

 H (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 H (x) bereikt zijn maximum als . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Antwoord: Het hoogste punt van de beklimming ligt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Page 36: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 36/47

Voorbeeld 2.2 Zoveel mogelijk taartjes

Uit een vouwkarton dat de vorm heeft van een vierkant met zijde 27cm, wordt een achthoekigtaartdoosje zonder deksel gemaakt zoals aangegeven in de figuur.

Hoe hoger het doosje wordt, hoe kleiner de oppervlakte van het grondvlak. Voor welke afmetingenzal de inhoud van het doosje het grootst zijn?

• Bepaal de oppervlakte A van het grondvlak in functie van x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bepaal de hoogte h van het doosje in functie van x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bepaal de inhoud V van het doosje in functie van x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bepaal de x-waarde waarvoor de inhoud maximaal is en geef die maximale inhoud.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Page 37: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 37/47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Antwoord: De inhoud is maximaal als . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Page 38: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 38/47

2.6 Oefeningen

Oefeningen bij 2.1

1. Een functie f  is gegeven door haar grafiek. De raaklijn in het punt P(a, f (a)) is ook getekend.

Bepaal telkens f (a).

38

Page 39: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 39/47

2. Gegeven zijn de grafieken van de functies f  die elk aan een van de volgende voorwaardenvoldoen. Welke voorwaarden horen bij welke grafiek?

(a) f (−3) > 0 en f (0) = 0 en f (3) < 0

(b) f (−3) > 0 en f (0) < 0 en f (3) < 0

(c) f (−3) < 0 en f (0) = 0 en f (3) > 0(d) f (−3) > 0 en f (0) = 0 en f (3) > 0

(e) f (−3) < 0 en f (0) > 0 en f (3) < 0

Grafiek 1

Grafiek 3

Grafiek 2

Grafiek 4

Grafiek 5

39

Page 40: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 40/47

Oefeningen bij 2.2

1. Gegeven zijn de grafieken van vier functies en hun corresponderende afgeleide functies.Welke grafieken horen bij elkaar? Verklaar je keuze.

1 2 3 4

a b c d

2. Gegeven zijn de grafieken van vier parabolen en de grafieken van vier rechten. Elke rechtis de grafiek van de afgeleide van een van de parabolen. Welke rechte hoort bij welkeparabool? Verklaar je keuze.

40

Page 41: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 41/47

3. Gegeven zijn de grafieken van enkele functies (a, b, c, d, e en f ) en de bijhorende afgeleidefuncties (i, ii, iii, iv, v en vi). Welke grafieken horen bij elkaar?

Functie a

Functie b

Functie c

Functie d

Functie e

Functie f 

Functie i

Functie ii

Functie iii

Functie iv

Functie v

Functie vi

41

Page 42: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 42/47

Oefeningen bij 2.3

1. Bereken de afgeleide functie van:

(a) f (x) = 3x5 + 2x2 − 11x + 4

(b) f (x) = 5x

7

− 13(c) f (x) = x10 + 12x3 − 125

(d) s(t) = −5t2 + 3t− 9

(e) h(q) = q4 − 5q3 + 8q− 4

2. Bereken

(a) D

32 x2 + 1

5 x− 13

(b) D(x5 − 4x + 12x3 − 7x2 + 4x− 5)

(c) D(x12 − 4x6 + 10)

3. De afgeleide van een veelvoud is het veelvoud van de afgeleide. De afgeleiden van een somis de som van de afgeleiden.Is de afgeleide van een product ook het product van de afgeleiden? Met andere woorden, isD( f (x) · g(x)) = D f (x) ·Dg(x)?Ga dit na met behulp van je GRT a.d.h.v. f (x) = x3 en g(x) = (x2 + 2x).

4. Bereken de afgeleide functie van:

(a) f (x) = x3(x2 + 2x)

(b) g(x) = x(x + 1)(x + 3)

(c) h(x) = (2x + 1)2

5. Bepaal de afgeleide van de functie f  in a, b en c.

(a) f (x) = 3x2 − 1 a = 0 b = −1 c = 14

(b) f (x) = −x2 + 5x + 2 a = 0 b = 3 c = − 12

(c) f (x) = x(x3 + 2x− 4) a = 0 b = −2 c = 12

6. Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de gegeven kromme in het punt P. Controleer jeoplossing met je GRT.

(a) y = x2 − 5x + 6 P(2, 0)

(b) y = x3 + 4x− 2 P(0,−2)

(c) y = 3x2 − 4 P(1 , . . .)

7. In welke punten van de grafiek van f  is de raaklijn:

• evenwijdig met de x-as?

• evenwijdig met de rechte y = x?

(a) f (x) = 3x2 + 2x− 1

(b) f (x) = x3 − x + 1

8. Gegeven is de functie f (x) = x2 + mx− 5 met m ∈ R. Voor welke waarde van m is de raaklijn

aan f  in het punt P(1, f (1)) horizontaal?

42

Page 43: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 43/47

Oefeningen bij 2.4

1. Gegeven zijn de afgeleide functies van f . Voor welke waarden van x hebben de functies f een maximum of een minimum?

(a) f (x) = x(x− 3)

(b) f (x) = (x− 1)(4− x)

(c) f (x) = −x(x + 2)2

2. Bepaal de extrema¨en eventuele buigpunten van de gegeven functies f .

(a) f (x) = −x3 − 6x2

(b) f (x) = x3 − 2x2 + x− 1

(c) f (x) = −x4 + x3

3. We weten dat de grafiek van een tweedegraadsfunctie f (x) = ax2 + bx + c een parabool is.

Toon met behulp van afgeleiden aan dat de x-coordinaat van de top van deze parabool gelijkis aan − b2a .

Oefeningen bij 2.5

1. Een voorwerp wordt verticaal omhooggeworpen met een snelheid van 5 m/s.

(a) Bereken de snelheid van het voorwerp na 3 seconden als h(t) = v0t− 0, 5 gt2.

(b) Aan welke snelheid raakt het voorwerp de grond?

2. Een balk heeft een vierkant als grondvlak. De totale lengte van de ribben is 100m. Bepaal

algebraısch het maximale volume van de balk.

3. Boer Teun heeft ezels en paarden.  Jammer genoeg vechten ze voortdurend. Daarom besluit de boer om twee even grote afsluitingen naast elkaar te zetten: eenvoor de ezels en een voor de paarden.Hij heeft voor precies 1200 euro draad gekocht aan een prijs van3 euro per meter. Bereken de afmetingen van elke afsluiting, alswe weten dat de totale oppervlakte zo groot mogelijk moet zijn.Bepaal ook die oppervlakte.

4. Uit een rechthoekig stuk karton van 60 cm lang en 30 cm breed, snijden we 6 vierkantjes

weg zoals aangegeven op de volgende figuur. Met het overblijvende deel maken we eentaartjesdoos met deksel.

Bepaal de afmetingen van de taartjesdoos met de grootst mogelijke inhoud die we op deze

manier kunnen maken. Bereken ook die inhoud.

43

Page 44: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 44/47

5. De grote markt van Emvee is een perfect vierkant met een zijde van 100 meter.Op de figuur vind je het ontwerp van de nieuwe inrichting van het plein.Voor de aanleg van de grote markt wordt gekozen uit drie soorten materiaal:

• De grijze vierkanten kosten   15 per m2.

• De witte vlakken kosten 

10 per m2

.

• Het centrale vierkant kost   25 per m2.

Het budget van de stad is beperkt en dus moet voor de goedkoopste oplossing gekozenworden. Hoe breed moeten de witte paden zijn opdat de kostprijs zo laag mogelijk ligt?

6. In een stad doet zich een ongeval voor in een chemische fabriek. Het aantal personen dat lastheeft van ongemakken zoals buikloop, duizeligheid en hoofdpijn, wordt voorgesteld doorhet functievoorschrift n(t) = 4t3 − 330t2 + 7200t met 0 ≤ t ≤ 40 waarbij t het aantal dagenvoorstelt na het plaatsvinden van de ramp en n(t) het bijhorend aantal slachtoffers.

(a) Bepaal door berekening in welke periode het aantal slachtoffers toeneemt, en wanneerhet aantal slachtoffers afneemt.

(b) Na hoeveel dagen is het aantal slachtoffers maximaal? Hoeveel slachtoffers zijn er dan?

44

Page 45: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 45/47

Inhoudsopgave

0 Inleiding 2

0.1 Geschiedenis van de analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

0.2 Overzicht van deze cursus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Gemiddelde en ogenblikkelijke verandering 4

1.1 Gemiddelde en lokale helling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Afgelegde weg en snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 De vergelijking van de raaklijn in een punt aan een gegeven kromme . . . . . . . . . 13

1.4 Marginale kosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 De afgeleide 18

2.1 De afgeleide in een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Afleiden met het grafisch rekentoestel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 De afgeleide functie van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Inleidend voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Rekenregels voor afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Afgeleide functie van een constante functie f (x) = c . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2 Afgeleide functie van de functie f (x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3 Afgeleide functie van de functie f (x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.4 Afgeleide functie van de functie f (x) = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.5 Afgeleide functie van f (x) = xn, met n ∈N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.6 Afgeleide van een veelvoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

45

Page 46: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 46/47

2.3.7 Afgeleide van een som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Grafiek en de afgeleide functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Stijgen en dalen van een functie f  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.2 Merkwaardige punten en de afgeleide functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Toepassingen op afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.1 Snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.2 Regressie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.3 Extremumproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

46

Page 47: Reële functies en algebra

5/10/2018 Re le functies en algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/reele-functies-en-algebra 47/47

Bronnen

[1.] http://www.uitwiskeling.be. Werkbladen en ander materiaal, nummer 17/1 (december 2000)

[2.] R. ROTTIERS, J. CASTEELS, e.a, Delta T 5/6 Beknopte analyse - Veeltermfuncties. Leuven, 1994.

[3.] G. FINOULST, G. GIJBELS, e.a. Pienter vijfde jaar - leerboek rijen en afgeleiden. Wommelgem 2004.

[4.] M. COENEGRACHTS, G. GIJBELS, e.a. Leerwerkschrift re¨ ele functies en algebra voor het vijfde jaar. Wommelgem 2004.

47