131030 hoorcollege 4

Docentencursus relativiteitstheorie

Vierde collegeMarcel Vonk

30 oktober 2013

2/87

Inhoud 4e hoorcollege

1.Hoofdpunten eerste drie colleges

2.E=mc2

3.Algemene relativiteit

4.De Ehrenfest-paradox

5.Experimenteel bewijs

6.Voorbeeldopgaven

1. Hoofdpunten eerste drie colleges

4/87

Eerste hoorcollege

De ruimtetijd, bestaande uit alle gebeurtenissen, vormt één geheel. Elke inertiële waar-nemer verdeelt dit geheel op zijn eigen manier in ruimte en tijd.

5/87

Eerste hoorcollege

Het eindresultaat: in Einsteins wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:

Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!

6/87

Tweede hoorcollege

Tijdsdilatatie: een klok die in rust met tijdsintervallen Δt tikt, tikt als hij met een snelheid v beweegt,

met grotere tijdsintervallenΔt’ = γ Δt.

7/87

Tweede hoorcollege

Lorentzcontractie: een meetlat die in rust een lengte L heeft,

heeft als hij met een snelheid v beweegt een kortere lengte

L’ = L/γ.

8/87

Derde hoorcollege

Lorentztransformaties: willekeurige ruimtetijdcoördinaten

kunnen we omrekenen met

)('

)('

txx

xtt

9/87

Derde hoorcollege

We hebben gezien waarom lengtes van bewegende voorwerpen korter worden (dan meten we AB), maar tijden op bewegende klokken langer (dan meten we AC).

10/87

Derde hoorcollege

Ladderparadox: “Iemand rent met een ladder, die precies in een schuur past, met enorme snelheid de schuur in. Past de ladder nog altijd in de schuur?”

11/87

Derde hoorcollege

12/87

Derde hoorcollege

Beide waarnemers hebben gelijk: de stilstaande waarnemer meet lengtes langs t=0, de bewegende waarnemer langs t’=0.

13/87

Derde hoorcollege

Tweelingparadox: “Ronald reist met een enorme snelheid naar een ver sterrenstelsel, keert daar om en reist met dezelfde snelheid weer terug. Is Ronald bij terugkomst jonger dan Frank, of andersom?

14/87

Derde hoorcollege

• Frank ziet Ronald steeds met grote snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds klok langzamer lopen, dus Ronald zou jonger moeten zijn.

• Ronald ziet Frank steeds met grote snelheid bewegen. Hij ziet Franks klok langzamer lopen, dus Frank zou jonger moeten zijn.

15/87

Derde hoorcollege

Nu heeft maar één van de waarne-mers (Frank) gelijk: de andere (Ronald) verandert namelijk van snelheid.

De situatie is dus niet symmetrisch!

16/87

Derde hoorcollege

Ronald slaat als het ware een stuk van de geschiedenis van Frank over. (In termen van “gelijktijdigheid”; hij ziet deze geschiedenis wel.)

2. E=mc2

18/87

E=mc2

Hoe worden snelheden relativistisch opgeteld? De klassieke optelling werkt in elk geval niet, want we weten dat “v+c=c” voor elke v.

19/87

E=mc2

• Een trein rijdt met v=c/3 door het station.

• Een hardloper loopt met u’=c/3 door de trein.

• Wat is de snelheid u van de hard-loper ten opzichte van het station?

20/87

E=mc2

We kunnen dit vraagstuk grafisch oplossen:

21/87

E=mc2


22/87

E=mc2


c/3 <+> c/3 = 3c/5

23/87

E=mc2

In het werkcollege reken we dit ook op een niet-grafische manier na.

Wie deze methode volgt, kan ook een algemene formule afleiden:

24/87

E=mc2

Aan het plaatje zien we al dat het optellen van twee snelheden kleiner dan c, altijd een nieuwe snelheid oplevert die kleiner is dan c.

25/87

E=mc2

We kunnen dit ook uit de optelformule afleiden:

BORD

26/87

E=mc2

Versnellen is niets anders dan steeds een beetje snelheid bij een bestaande snelheid optellen.

Conclusie: we kunnen nooit tot boven de lichtsnelheid versnellen!

27/87

E=mc2

Dat versnellen lastiger wordt bij hoge snelheden kunnen we begrijpen uit Einsteins beroemdste formule, E=mc2.

28/87

E=mc2

De afleiding van E=mc2 is enigszins complex. De formule hoort daarom niet tot de exameneisen.

29/87

E=mc2

In het kort:

1. Plaats en tijd zijn nauw verbonden; ze vormen eigenlijk een 4-vector.

2. Ook bij impuls hoort een 4e component: de energie.

3. Impuls en energie gedragen zich net als ruimte en tijd als we aannemen dat energie gegeven wordt door E = γm0c2.

30/87

E=mc2

Uitschrijven levert

We vinden de bekende formule voor de kinetische energie terug als eerste snelheidsafhankelijke correctie op een constante term: de rustenergie, E0=m0c2.

E = m0c2 + ½ m0v2 + kleine correcties

31/87

E=mc2

Dat materie inderdaad een dergelijke rustenergie bezit, is inmiddels overtuigend experimenteel bewezen.

32/87

E=mc2

Opmerking 1: m0 in deze formule is de massa die we in rust meten. In een willekeurige toestand is de massa die we meten gelijk aan meff = E/c2 = γm0.


33/87

E=mc2

Opmerking 2: De vorm E = mc2 is dus wat verwarrend; hiermee kan ofwel E = meff c2 bedoeld worden, ofwel E0 = m0 c2.


34/87

E=mc2

Ik zal E = γmc2 niet indetail afleiden; zie daar-voor bijvoorbeeld het boekje van Sander Bais.

Wel wil ik laten zien dat we met deze formule kunnen begrijpen waarom versnellen tot in de buurt van c steeds meer moeite kost.

35/87

E=mc2

Dit is eenvoudig in te zien als we de volgende beweringen combineren:

1. Iets zwaars is moeilijker te versnel-len dan iets lichts. (Denk aan F=ma.)

36/87

E=mc2

Dit is eenvoudig in te zien als we de volgende beweringen combineren:

2. Iets wat sneller beweegt heeft meer energie, dus meer effectieve massa.

E = meff c2

37/87

E=mc2

1. Iets zwaars is moeilijker te versnellen dan iets lichts.

2. Iets wat sneller beweegt heeft meer energie, dus meer effectieve massa.

38/87

E=mc2

Versnellen tot boven de lichtsnelheid lukt inderdaad niet!

3. De algemene relativiteitstheorie

40/87

Algemene relativiteit

Tot nu toe hebben we het alleen gehad over waarnemers die eenparig (met constante snelheid) bewegen. Maar hoe ervaart een versnelde waarnemer de ruimtetijd?

41/87


Het kostte Einstein 10 jaar om de relativiteitstheorie uit te breiden tot versnelde waarnemers.

Verrassenderwijs speelt de zwaarte-kracht daarbij een centrale rol!

42/87


Centraal in Einsteins redenering staat het equivalentieprincipe.

Net als bij het relativiteitsbeginsel viel het Einstein op dat twee ogenschijnlijk verschillende situaties dezelfde waarnemingen opleveren.

43/87


Bekijk een waarnemer in een stilstaande lift op aarde.

44/87


In het zwaartekrachtsveld van de aarde ziet deze waarnemer objecten met de valversnelling (9,8 m/s2) omlaag vallen.

Deze valversnelling is voor objecten van elke massa hetzelfde!

45/87


Overigens voelen we de “druk” van de zwaartekracht pas als iets (bijvoor-beeld de liftbodem) de valversnelling tegenwerkt.

46/87


Een waarnemer in een versnelde lift in de ruimte neemt hetzelfde waar!

47/87


Einsteins conclusie: zwaartekracht is experimenteel niet van versnelling te onderscheiden.

De aanname dat dit algemeen geldig is, heet het equivalentieprincipe.

48/87


De kleine lettertjes: de aarde heeft een radieel zwaartekrachtsveld.

Om de situaties echt identiek te maken moeten we een parallel zwaartekracht-veld gebruiken.

49/87


Wat heeft het equivalentieprincipe voor gevolgen voor de ruimtetijd?

Laten we weer eens kijken naar het gedrag van licht. In Newtons wereld-beeld heeft licht geen massa, en on-dervindt het dus geen zwaartekracht.

50/87


Een foton valt een versnellende lift in de ruimte binnen.

51/87


Voor de waarnemer in de lift lijkt het foton een paraboolbaan te beschrijven.

52/87


De stilstaande waarnemer op aarde zou dus eenzelfde baan moeten zien.

53/87


• Onder de invloed van de zwaarte-kracht beweegt alles in gekromde banen.

• De kromming van de baan hangt niet af van eigenschappen van het voorwerp zoals zijn massa.

De kromming door de zwaarte-kracht lijkt dus een eigenschapte zijn van de ruimtetijd zelf!

54/87


Einstein ontdekte dat het inderdaad mogelijk is om de zwaartekracht te beschrijven als een kromming van de ruimtetijd.

55/87


In een zwak zwaartekrachtsveld (zoals op de aarde) reproduceert zijn theorie nauwkeurig de zwaartekrachtswet van Newton.

56/87


Zwaartekracht is dus niets anders dan een versnelling die ontstaat door de kromming van de ruimtetijd.

Let op: zwaartekracht is versnelling, maar niet alle versnelling komt door de zwaartekracht!

57/87


Zwaartekracht is niet van versnelling te onderscheiden. Zwaartekrachtsversnelling is niets anders dan gekromde

ruimtetijd.

4. De Ehrenfest-paradox

59/87

De Ehrenfest-paradox

Een van de redeneringen die Einstein hielp bij het vinden van de algemene relativiteitstheorie was de zogenaamde Ehrenfestparadox.

60/87


Neem een schijf met straal r, en breng op vaste onderlinge afstand marke-ringen op de rand aan. Laat de schijf vervolgens ronddraaien met een bepaalde constante hoeksnelheid ω.

61/87


De markeringen ondervinden Lorentz-contractie, maar de straal niet. Hoe is dit te rijmen met het feit dat de omtrek van een cirkel L=2πr is?

62/87


Een eerste uitdaging is om de paradox goed te formuleren. Bij het opspinnen zal de schijf namelijk uitdijen; een effect dat de redenering flink kan verwarren.

63/87


Laten we daarom een schijf nemen die al draait. De stilstaande waarnemer heeft dan geen enkele reden om te vermoeden dat L=2πr niet geldt.

64/87


Voor de meebewegende waarnemer staan de markeringen verder uit elkaar, maar is r hetzelfde. Voor hem geldt dus kennelijk L>2πr!

65/87


In een vlakke ruimte geldt altijd dat L=2πr. In een gekromde ruimte echter niet!

Sferisch,

L<2πr

66/87


In een vlakke ruimte geldt altijd dat L=2πr. In een gekromde ruimte echter niet!

Hyperbolisch,

L>2πr

67/87


De meebewegende waarnemer ervaart de ruimtetijd dus alsof die gekromd is. Dat is niet zo vreemd, want deze waarnemer is versneld.

68/87


Met de algemene relativiteitstheorie kunnen we precies de waargenomen kromming uitrekenen, en die komt exact overeen met de gevonden waarde voor L.

6. Experimenteel bewijs van de relativiteitstheorie

70/87

Experimenteel bewijs

Een aantal experimenten zijn we al eerder tegengekomen:

1) Experimenten zoals dat van Michelson en Morley tonen aan dat de lichtsnelheid waarnemeronaf-hankelijk is.

71/87



2) Hafele en Keating stuurden in 1971 atoomklokken mee met interconti-nentale vliegtuigen, en controleer-den zo de tijdsdilatatie.

72/87



3) Dat muonen hoog uit de dampkring de aarde bereiken is een test voor tijdsdilatatie en Lorentzcontractie.

73/87



4) De equivalentie van massa en energie, E=mc2, blijkt uit allerlei kernfusie- en kernsplijtingsexperi-menten.

74/87


Een eerste test voor het gekromd zijn van de ruimtetijd werd in 1919 uitgevoerd door Arthur Eddington.

75/87


Hij reisde naar Afrika om een totale zonsverduistering waar te nemen.

76/87


Door het afbuigen van licht in een zwaartekrachtsveld zien we bij zo’n verduistering sterren op een andere plaats aan de hemel staan.

77/87


Eddington vond de juiste afbuiging. Tegenwoordig zien we hetzelde effect op nog veel spectaculairder wijze: gravitatielenzen.

78/87


Een ander bewijs voor de kromming van de ruimtetijd zien we aan de baan van de planeet Mercurius. Deze baan vertoont periheliumprecessie.

79/87


Dit effect was al in 1859 opgemerkt door Urbain Le Verrier. Het kon niet verklaard worden door de invloed van andere planeten of de vorm van de zon.

80/87


De relativiteitstheorie gaf wel de juiste “voorspelling” voor de grootte van de precessie.

81/87


Tenslotte: om GPS te laten werken moet rekening worden gehouden met de kromming van de ruimtetijd.

82/87


Zie voor nog meer voorbeelden bijvoorbeeld de lijsten op Wikipedia.

6. Voorbeeldopgaven

84/87

Voorbeeldopgaven

1) In de NiNa-module gebaseerd op het boek van Sander Bais staat een groot aantal opgaven.

http://www.nieuwenatuurkunde.nl/disclaimer/46

85/87

Voorbeeldopgaven

2) VirginiaTech heeft een website met zo’n 20 leuke voorbeeldopgaven.

http://www.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/practice/

86/87

Voorbeeldopgaven

3) Googelen op iets als “special relativity exercises” geeft de nodige losse opgaven.

http://www.google.com/

87/87

Voorbeeldopgaven

4) Op quantumuniverse.nl kunnen we voorbeeldopgaven verzamelen – stuur de uwe vooral in!

http://www.quantumuniverse.nl/

131030 hoorcollege 4

Education

Transcript of 131030 hoorcollege 4