Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 8 oktober 2012
Relativiteitstheorie 2014, hoorcollege 3
71
Docentencursus relativiteitstheorie Derde college Marcel Vonk 30 oktober 2014
-
Upload
marcel-vonk -
Category
Education
-
view
679 -
download
2
description
Docentencursus relativiteitstheorie 2014. Slides bij het derde hoorcollege. Zie http://www.quantumuniverse.nl/docentencursus-relativiteitstheorie-2014
Transcript of Relativiteitstheorie 2014, hoorcollege 3
Docentencursus
relativiteitstheorie
Derde collegeMarcel Vonk
30 oktober 2014
2/71
Planning
Vandaag:
• Afronden speciale relativiteit
• Opgaven
• Ruim de tijd voor voorbereiden
didactiek-presentaties
3/71
Planning
Volgende keer:
• Aanvullende onderwerpen:
algemene relativiteit, E=mc2,
experimenten, …
• Opgaven
• Giuseppe Salvati: relativiteit in de
klas
4/71
Planning
Slotbijeenkomst:
• Presentaties en didactische
discussie
5/71
Inhoud 3e hoorcollege
1. Hoofdpunten eerste twee colleges
2. Lorentztransformaties
3. De ladderparadox
4. De tweelingparadox
1. Hoofdpunten eerste twee
colleges
7/71
Eerste hoorcollege
De ruimtetijd, bestaande uit alle
gebeurtenissen, vormt één geheel.
Elke inertiële waarnemer verdeelt
dit geheel op zijn eigen manier in
ruimte en tijd.
8/71
Eerste hoorcollege
Het eindresultaat: in Einsteins
wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:
Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!
9/71
Tweede hoorcollege
We zagen in een animatie waar de
ruimtetijdlijnen van een bewegende
waarnemer zich bevinden:
10/71
Tweede hoorcollege
De ruimte- en tijdlijnen van een
referentiekader dat met snelheid
v beweegt, staan een afstand
√(1-β2) uit elkaar. (β=v/c)
11/71
Tweede hoorcollege
Aan de hand van een lichtklok zagen
we dat een bewegende klok
langzamer loopt dan diezelfde klok in
stilstand: tijdsdilatatie.
12/71
Tweede hoorcollege
Een klok die in rust met
tijdsintervallen Δt tikt, tikt als hij
met een snelheid v beweegt, met
grotere tijdsintervallen Δt’ = γ Δt.
13/71
Tweede hoorcollege
De evenredigheidsfactor is de
Lorentzfactor:
met β=v/c. Deze factor komt in de
relativiteitstheorie veel voor.
21
1
14/71
Tweede hoorcollege
Verder zagen we dat bewegende
voorwerpen korter zijn dan ze in
stilstand zijn: Lorentzcontractie.
15/71
Tweede hoorcollege
Een intuïtieve manier om de
Lorentzcontractie af te leiden, is aan
de hand van muonen uit de hoge
atmosfeer die ondanks hun korte
vervaltijd het aardoppervlak bereiken.
16/71
Tweede hoorcollege
We kunnen dit resultaat op twee
manieren begrijpen.
1) Tijdsdilatatie: doordat we het muon
zo snel zien bewegen, lijkt zijn “klok”
veel langzamer te lopen. De vervaltijd
lijkt voor ons dus γ maal zo lang.
17/71
Tweede hoorcollege
We kunnen dit resultaat op twee
manieren begrijpen.
2) Lorentzcontractie: voor het muon
zelf is zijn vervaltijd gewoon 2,2 μs.
De op hem af komende atmosfeer lijkt
echter veel dunner.
18/71
Tweede hoorcollege
Een meetlat die in rust een lengte
L heeft, heeft als hij met een
snelheid v beweegt een kortere
lengte L’ = L/γ.
2. Lorentztransformaties
20/71
Lorentztransformaties
We hebben nu ook kwantitatief gezien
wat de effecten van de relativiteits-
theorie op ruimte en tijd zijn.
Lorentzcontractie tijdsdilatatie
21/71
Lorentztransformaties
Aangezien we weten hoe de ruimte-
en tijdlijnen van de bewegende
waarnemer lopen, kunnen we natuur-
lijk ook willekeurige coördinaten van
gebeurtenissen in elkaar omrekenen.
22/71
Lorentztransformaties
Deze Lorentztransformaties behoren
niet tot de exameneisen, maar het kan
voor de docent nuttig zijn ze toch te
kennen:
)('
)('
txx
xtt
23/71
Lorentztransformaties
• De transformaties zijn in deze
eenvoudige vorm geldig als we als
eenheden seconden en licht-
seconden gebruiken.
)('
)('
txx
xtt
24/71
Lorentztransformaties
• Als we meters en seconden
gebruiken verschijnt een aantal
extra factoren c.
)('
)('
txx
xtt
25/71
Lorentztransformaties
• Als we meters en seconden
gebruiken verschijnt een aantal
extra factoren c.
)('
)/(' 2
tvxx
cxvtt
26/71
Lorentztransformaties
• Een voordeel van deze vorm is dat
we voor lage snelheden de Galileï-
transformaties terug zien.
)('
)/(' 2
tvxx
cxvtt
BORD
27/71
Lorentztransformaties
• Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie
zijn twee speciale gevallen van
deze vergelijking.
)('
)('
txx
xtt
BORD
28/71
Lorentztransformaties
Een veel voorkomende verwarring: als
ruimte en tijd zo symmetrisch
voorkomen…
Hoe kan het dan dat tijd oprekt en
ruimte krimpt?
)('
)('
txx
xtt
29/71
Lorentztransformaties
Het antwoord zien we het duidelijkst in
een plaatje:
AB geeft de lengtecontractie weer, AC
de tijdsdilatatie.
30/71
Lorentztransformaties
Om AD te meten zouden we een
nogal vreemd experiment moeten
verzinnen, waarin de bewegende
waarnemer als zijn klok tikt ook iets op
een andere plaats laat gebeuren.
31/71
Lorentztransformaties
Dit experiment zou het “tijds-
equivalent” van het meten van
Lorentzcontractie zijn.
32/71
Lorentztransformaties
Willekeurige ruimtetijdcoördina-
ten kunnen we omrekenen met
)('
)('
txx
xtt
3. De ladderparadox
34/71
De ladderparadox
Om tijdsdilatatie en Lorentzcontractie
beter te begrijpen zullen we twee
bekende paradoxen bekijken.
De eerste is de zogenaamde ladder-
paradox.
35/71
De ladderparadox
“Iemand rent met een ladder, die
precies in een schuur past, met
enorme snelheid de schuur in. Past de
ladder nog altijd in de schuur?”
36/71
De ladderparadox
37/71
De ladderparadox
• Vanuit de rennende waarnemer
gezien wordt de schuur korter, en
past de ladder dus niet.
• Vanuit de stilstaande waarnemer
gezien wordt de ladder korter, en
past de ladder dus ruim.
Hoe kan dit?
38/71
De ladderparadox
Dat er geen tegenspraak is, zien we
als we het ruimtetijddiagram bekijken.
39/71
De ladderparadox
• Om te bepalen of de ladder past,
moeten we tegelijkertijd de positie
van zijn begin- en eindpunt meten.
40/71
De ladderparadox
• Maar... Elke waarnemer heeft zijn
eigen notie van gelijktijdigheid!
41/71
De ladderparadox
• Het “passen” van de ladder is dus
niet iets wat waarnemeronaf-
hankelijk gedefinieerd kan worden.
42/71
De ladderparadox
• De bewegende waarnemer meet
bijvoorbeeld AC, en ziet dat de
ladder inderdaad niet past.
43/71
De ladderparadox
• De stilstaande waarnemer meet
bijvoorbeeld AB, en ziet dat de
ladder inderdaad wel past.
44/71
De ladderparadox
Toch lijkt er nog iets vreemds aan de
hand: wat gebeurt er als de
stilstaande waarnemer, zodra de
ladder in de schuur is, snel de deuren
sluit?
45/71
De ladderparadox
Ook deze vraag kunnen we beant-
woorden met een ruimtetijddiagram:
46/71
De ladderparadox
• De stilstaande waarnemer ziet bij
gebeurtenis (A) de achterkant van
de ladder de schuur in vliegen, en
sluit de deuren.
47/71
De ladderparadox
• Bij (B) botst vervolgens de voorkant
van de ladder tegen de dichte
voordeur van de schuur.
48/71
De ladderparadox
• Voor de meebewegende waarne-
mer is deze gebeurtenis gelijktijdig
met (C) – voor hem is de achter-
kant van de ladder nog buiten.
49/71
De ladderparadox
• De meebewegende waarnemer ziet
de ladder dus samengeperst
worden tot bij (A) ook de achterkant
de schuur in vliegt.
50/71
De ladderparadox
• Kunnen we geen ladder maken die
“oneindig stijf” en dus niet samen te
persen is?
51/71
De ladderparadox
• Nee: de schokgolf van de botsing rechts
beweegt met hooguit de lichtsnelheid
door de ladder heen – het duurt dus
even voor de achterkant “weet” dat de
voorkant stilstaat!
52/71
De ladderparadox
• Uiteindelijk bereikt de schokgolf
natuurlijk de voorkant van de ladder
wel, en zal de ladder in stukken uit
elkaar spatten.
4. De tweelingparadox
54/71
De tweelingparadox
Een tweede paradox geeft meer
inzicht in de tijdsdilatatie: de
tweelingparadox.
55/71
De tweelingparadox
“Ronald reist met een enorme snelheid
naar een ver sterrenstelsel, keert daar
om en reist met dezelfde snelheid
weer terug. Is Ronald bij terugkomst
jonger dan Frank, of andersom?
56/71
De tweelingparadox
• Frank ziet Ronald steeds met grote
snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds
klok langzamer lopen, dus Ronald
zou jonger moeten zijn.
• Ronald ziet Frank steeds met grote
snelheid bewegen. Hij ziet Franks
klok langzamer lopen, dus Frank
zou jonger moeten zijn.
57/71
De tweelingparadox
De situatie lijkt volkomen symme-
trisch, maar is dat niet!
We hebben het tot nu toe alleen over
bewegingen met constante snelheid
gehad, maar hier is meer aan de
hand: Ronald keert namelijk om, en
verandert zijn snelheid.
58/71
De tweelingparadox
Hoewel “snelheid relatief is” (we
kunnen niet definiëren wie beweegt en
wie stilstaat) is verandering van
snelheid dat niet!
We kunnen zonder problemen
ontdekken wie er van snelheid
verandert en wie niet.
59/71
De tweelingparadox
Frank verandert niet van snelheid, dus
zijn waarnemingen zouden juist
moeten zijn. Ronald moet bij thuis-
komst jonger zijn. Hoe kunnen we dit
uit Ronalds perspectief begrijpen?
60/71
De tweelingparadox
Wederom helpt een ruimtetijddiagram
om de oplossing te begrijpen.
61/71
De tweelingparadox
• De steile groene lijn is een tijdlijn
van Ronald op de heenreis. De
vlakke groene lijn is een van zijn
ruimtelijnen.
62/71
De tweelingparadox
• Deze ruimtelijn gaat door de
gebeurtenis “Ronald keert om”. De
onderste rode stip (op Franks
wereldlijn) is dus voor Ronald
hiermee gelijktijdig.
63/71
De tweelingparadox
• De steile blauwe lijn is een tijdlijn
van Ronald op de terugreis. De
vlakke blauwe lijn is een van zijn
ruimtelijnen.
64/71
De tweelingparadox
• Deze ruimtelijn gaat ook door de
gebeurtenis “Ronald keert om”. De
bovenste rode stip (op Franks
wereldlijn) is dus voor Ronald
hiermee gelijktijdig.
65/71
De tweelingparadox
• Kortom: zodra Ronald omkeert
“slaat hij een stuk van Franks
geschiedenis over”. Dit is de reden
dat Frank voor hem bij terugkomst
ouder is.
66/71
De tweelingparadox
• Opmerking (1). Als Ronald vertraagt
en weer versnelt in plaats van
abrupt omkeert, zal zijn ruimtelijn
snel “over de missende
geschiedenis heen zwiepen”.
67/71
De tweelingparadox
• Opmerking (2a). Ronald krijgt de
“gemiste” geschiedenis van Frank
wel te zien: het licht daarvan
beweegt immers naar hem toe.
68/71
De tweelingparadox
• Opmerking (2b). Alleen als Ronald
corrigeert voor de lichtsnelheid
merkt hij dus dat hij een stuk
geschiedenis overslaat.
69/71
De tweelingparadox
• Opmerking (3). Hoewel de
verandering van snelheid hier een
centrale rol speelt hoeven we niets
te weten over versnelling of de
algemene relativiteitstheorie!
70/71
Volgende keer…
• E=mc2 en de lichtsnelheid
• Algemene relativiteitstheorie
• Experimenteel bewijs
71/71
Presentaties
• Groepjes van drie docenten
• Ieder presenteert 10 minuten
• “Voorbeeldles”: kies elk een lastig
begrip en leg het uit zoals in de klas.
• De andere docenten uit het drietal
spelen de leerlingen en komen met
vragen / problemen.
• Presentaties op slotbijeenkomst.
