Post on 22-Jun-2015
description
Docentencursus relativiteitstheorie
Vierde collegeMarcel Vonk
30 oktober 2013
2/87
Inhoud 4e hoorcollege
1.Hoofdpunten eerste drie colleges
2.E=mc2
3.Algemene relativiteit
4.De Ehrenfest-paradox
5.Experimenteel bewijs
6.Voorbeeldopgaven
1. Hoofdpunten eerste drie colleges
4/87
Eerste hoorcollege
De ruimtetijd, bestaande uit alle gebeurtenissen, vormt één geheel. Elke inertiële waar-nemer verdeelt dit geheel op zijn eigen manier in ruimte en tijd.
5/87
Eerste hoorcollege
Het eindresultaat: in Einsteins wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:
Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!
6/87
Tweede hoorcollege
Tijdsdilatatie: een klok die in rust met tijdsintervallen Δt tikt, tikt als hij met een snelheid v beweegt,
met grotere tijdsintervallenΔt’ = γ Δt.
7/87
Tweede hoorcollege
Lorentzcontractie: een meetlat die in rust een lengte L heeft,
heeft als hij met een snelheid v beweegt een kortere lengte
L’ = L/γ.
8/87
Derde hoorcollege
Lorentztransformaties: willekeurige ruimtetijdcoördinaten
kunnen we omrekenen met
)('
)('
txx
xtt
9/87
Derde hoorcollege
We hebben gezien waarom lengtes van bewegende voorwerpen korter worden (dan meten we AB), maar tijden op bewegende klokken langer (dan meten we AC).
10/87
Derde hoorcollege
Ladderparadox: “Iemand rent met een ladder, die precies in een schuur past, met enorme snelheid de schuur in. Past de ladder nog altijd in de schuur?”
11/87
Derde hoorcollege
12/87
Derde hoorcollege
Beide waarnemers hebben gelijk: de stilstaande waarnemer meet lengtes langs t=0, de bewegende waarnemer langs t’=0.
13/87
Derde hoorcollege
Tweelingparadox: “Ronald reist met een enorme snelheid naar een ver sterrenstelsel, keert daar om en reist met dezelfde snelheid weer terug. Is Ronald bij terugkomst jonger dan Frank, of andersom?
14/87
Derde hoorcollege
• Frank ziet Ronald steeds met grote snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds klok langzamer lopen, dus Ronald zou jonger moeten zijn.
• Ronald ziet Frank steeds met grote snelheid bewegen. Hij ziet Franks klok langzamer lopen, dus Frank zou jonger moeten zijn.
15/87
Derde hoorcollege
Nu heeft maar één van de waarne-mers (Frank) gelijk: de andere (Ronald) verandert namelijk van snelheid.
De situatie is dus niet symmetrisch!
16/87
Derde hoorcollege
Ronald slaat als het ware een stuk van de geschiedenis van Frank over. (In termen van “gelijktijdigheid”; hij ziet deze geschiedenis wel.)
2. E=mc2
18/87
E=mc2
Hoe worden snelheden relativistisch opgeteld? De klassieke optelling werkt in elk geval niet, want we weten dat “v+c=c” voor elke v.
19/87
E=mc2
• Een trein rijdt met v=c/3 door het station.
• Een hardloper loopt met u’=c/3 door de trein.
• Wat is de snelheid u van de hard-loper ten opzichte van het station?
20/87
E=mc2
We kunnen dit vraagstuk grafisch oplossen:
21/87
E=mc2
We kunnen dit vraagstuk grafisch oplossen:
22/87
E=mc2
We kunnen dit vraagstuk grafisch oplossen:
c/3 <+> c/3 = 3c/5
23/87
E=mc2
In het werkcollege reken we dit ook op een niet-grafische manier na.
Wie deze methode volgt, kan ook een algemene formule afleiden:
24/87
E=mc2
Aan het plaatje zien we al dat het optellen van twee snelheden kleiner dan c, altijd een nieuwe snelheid oplevert die kleiner is dan c.
25/87
E=mc2
We kunnen dit ook uit de optelformule afleiden:
BORD
26/87
E=mc2
Versnellen is niets anders dan steeds een beetje snelheid bij een bestaande snelheid optellen.
Conclusie: we kunnen nooit tot boven de lichtsnelheid versnellen!
27/87
E=mc2
Dat versnellen lastiger wordt bij hoge snelheden kunnen we begrijpen uit Einsteins beroemdste formule, E=mc2.
28/87
E=mc2
De afleiding van E=mc2 is enigszins complex. De formule hoort daarom niet tot de exameneisen.
29/87
E=mc2
In het kort:
1. Plaats en tijd zijn nauw verbonden; ze vormen eigenlijk een 4-vector.
2. Ook bij impuls hoort een 4e component: de energie.
3. Impuls en energie gedragen zich net als ruimte en tijd als we aannemen dat energie gegeven wordt door E = γm0c2.
30/87
E=mc2
Uitschrijven levert
We vinden de bekende formule voor de kinetische energie terug als eerste snelheidsafhankelijke correctie op een constante term: de rustenergie, E0=m0c2.
E = m0c2 + ½ m0v2 + kleine correcties
31/87
E=mc2
Dat materie inderdaad een dergelijke rustenergie bezit, is inmiddels overtuigend experimenteel bewezen.
32/87
E=mc2
Opmerking 1: m0 in deze formule is de massa die we in rust meten. In een willekeurige toestand is de massa die we meten gelijk aan meff = E/c2 = γm0.
E = m0c2 + ½ m0v2 + kleine correcties
33/87
E=mc2
Opmerking 2: De vorm E = mc2 is dus wat verwarrend; hiermee kan ofwel E = meff c2 bedoeld worden, ofwel E0 = m0 c2.
E = m0c2 + ½ m0v2 + kleine correcties
34/87
E=mc2
Ik zal E = γmc2 niet indetail afleiden; zie daar-voor bijvoorbeeld het boekje van Sander Bais.
Wel wil ik laten zien dat we met deze formule kunnen begrijpen waarom versnellen tot in de buurt van c steeds meer moeite kost.
35/87
E=mc2
Dit is eenvoudig in te zien als we de volgende beweringen combineren:
1. Iets zwaars is moeilijker te versnel-len dan iets lichts. (Denk aan F=ma.)
36/87
E=mc2
Dit is eenvoudig in te zien als we de volgende beweringen combineren:
2. Iets wat sneller beweegt heeft meer energie, dus meer effectieve massa.
E = meff c2
37/87
E=mc2
1. Iets zwaars is moeilijker te versnellen dan iets lichts.
2. Iets wat sneller beweegt heeft meer energie, dus meer effectieve massa.
38/87
E=mc2
Versnellen tot boven de lichtsnelheid lukt inderdaad niet!
3. De algemene relativiteitstheorie
40/87
Algemene relativiteit
Tot nu toe hebben we het alleen gehad over waarnemers die eenparig (met constante snelheid) bewegen. Maar hoe ervaart een versnelde waarnemer de ruimtetijd?
41/87
Algemene relativiteit
Het kostte Einstein 10 jaar om de relativiteitstheorie uit te breiden tot versnelde waarnemers.
Verrassenderwijs speelt de zwaarte-kracht daarbij een centrale rol!
42/87
Algemene relativiteit
Centraal in Einsteins redenering staat het equivalentieprincipe.
Net als bij het relativiteitsbeginsel viel het Einstein op dat twee ogenschijnlijk verschillende situaties dezelfde waarnemingen opleveren.
43/87
Algemene relativiteit
Bekijk een waarnemer in een stilstaande lift op aarde.
44/87
Algemene relativiteit
In het zwaartekrachtsveld van de aarde ziet deze waarnemer objecten met de valversnelling (9,8 m/s2) omlaag vallen.
Deze valversnelling is voor objecten van elke massa hetzelfde!
45/87
Algemene relativiteit
Overigens voelen we de “druk” van de zwaartekracht pas als iets (bijvoor-beeld de liftbodem) de valversnelling tegenwerkt.
46/87
Algemene relativiteit
Een waarnemer in een versnelde lift in de ruimte neemt hetzelfde waar!
47/87
Algemene relativiteit
Einsteins conclusie: zwaartekracht is experimenteel niet van versnelling te onderscheiden.
De aanname dat dit algemeen geldig is, heet het equivalentieprincipe.
48/87
Algemene relativiteit
De kleine lettertjes: de aarde heeft een radieel zwaartekrachtsveld.
Om de situaties echt identiek te maken moeten we een parallel zwaartekracht-veld gebruiken.
49/87
Algemene relativiteit
Wat heeft het equivalentieprincipe voor gevolgen voor de ruimtetijd?
Laten we weer eens kijken naar het gedrag van licht. In Newtons wereld-beeld heeft licht geen massa, en on-dervindt het dus geen zwaartekracht.
50/87
Algemene relativiteit
Een foton valt een versnellende lift in de ruimte binnen.
51/87
Algemene relativiteit
Voor de waarnemer in de lift lijkt het foton een paraboolbaan te beschrijven.
52/87
Algemene relativiteit
De stilstaande waarnemer op aarde zou dus eenzelfde baan moeten zien.
53/87
Algemene relativiteit
• Onder de invloed van de zwaarte-kracht beweegt alles in gekromde banen.
• De kromming van de baan hangt niet af van eigenschappen van het voorwerp zoals zijn massa.
De kromming door de zwaarte-kracht lijkt dus een eigenschapte zijn van de ruimtetijd zelf!
54/87
Algemene relativiteit
Einstein ontdekte dat het inderdaad mogelijk is om de zwaartekracht te beschrijven als een kromming van de ruimtetijd.
55/87
Algemene relativiteit
In een zwak zwaartekrachtsveld (zoals op de aarde) reproduceert zijn theorie nauwkeurig de zwaartekrachtswet van Newton.
56/87
Algemene relativiteit
Zwaartekracht is dus niets anders dan een versnelling die ontstaat door de kromming van de ruimtetijd.
Let op: zwaartekracht is versnelling, maar niet alle versnelling komt door de zwaartekracht!
57/87
Algemene relativiteit
Zwaartekracht is niet van versnelling te onderscheiden. Zwaartekrachtsversnelling is niets anders dan gekromde
ruimtetijd.
4. De Ehrenfest-paradox
59/87
De Ehrenfest-paradox
Een van de redeneringen die Einstein hielp bij het vinden van de algemene relativiteitstheorie was de zogenaamde Ehrenfestparadox.
60/87
De Ehrenfest-paradox
Neem een schijf met straal r, en breng op vaste onderlinge afstand marke-ringen op de rand aan. Laat de schijf vervolgens ronddraaien met een bepaalde constante hoeksnelheid ω.
61/87
De Ehrenfest-paradox
De markeringen ondervinden Lorentz-contractie, maar de straal niet. Hoe is dit te rijmen met het feit dat de omtrek van een cirkel L=2πr is?
62/87
De Ehrenfest-paradox
Een eerste uitdaging is om de paradox goed te formuleren. Bij het opspinnen zal de schijf namelijk uitdijen; een effect dat de redenering flink kan verwarren.
63/87
De Ehrenfest-paradox
Laten we daarom een schijf nemen die al draait. De stilstaande waarnemer heeft dan geen enkele reden om te vermoeden dat L=2πr niet geldt.
64/87
De Ehrenfest-paradox
Voor de meebewegende waarnemer staan de markeringen verder uit elkaar, maar is r hetzelfde. Voor hem geldt dus kennelijk L>2πr!
65/87
De Ehrenfest-paradox
In een vlakke ruimte geldt altijd dat L=2πr. In een gekromde ruimte echter niet!
Sferisch,
L<2πr
66/87
De Ehrenfest-paradox
In een vlakke ruimte geldt altijd dat L=2πr. In een gekromde ruimte echter niet!
Hyperbolisch,
L>2πr
67/87
De Ehrenfest-paradox
De meebewegende waarnemer ervaart de ruimtetijd dus alsof die gekromd is. Dat is niet zo vreemd, want deze waarnemer is versneld.
68/87
De Ehrenfest-paradox
Met de algemene relativiteitstheorie kunnen we precies de waargenomen kromming uitrekenen, en die komt exact overeen met de gevonden waarde voor L.
6. Experimenteel bewijs van de relativiteitstheorie
70/87
Experimenteel bewijs
Een aantal experimenten zijn we al eerder tegengekomen:
1) Experimenten zoals dat van Michelson en Morley tonen aan dat de lichtsnelheid waarnemeronaf-hankelijk is.
71/87
Experimenteel bewijs
Een aantal experimenten zijn we al eerder tegengekomen:
2) Hafele en Keating stuurden in 1971 atoomklokken mee met interconti-nentale vliegtuigen, en controleer-den zo de tijdsdilatatie.
72/87
Experimenteel bewijs
Een aantal experimenten zijn we al eerder tegengekomen:
3) Dat muonen hoog uit de dampkring de aarde bereiken is een test voor tijdsdilatatie en Lorentzcontractie.
73/87
Experimenteel bewijs
Een aantal experimenten zijn we al eerder tegengekomen:
4) De equivalentie van massa en energie, E=mc2, blijkt uit allerlei kernfusie- en kernsplijtingsexperi-menten.
74/87
Experimenteel bewijs
Een eerste test voor het gekromd zijn van de ruimtetijd werd in 1919 uitgevoerd door Arthur Eddington.
75/87
Experimenteel bewijs
Hij reisde naar Afrika om een totale zonsverduistering waar te nemen.
76/87
Experimenteel bewijs
Door het afbuigen van licht in een zwaartekrachtsveld zien we bij zo’n verduistering sterren op een andere plaats aan de hemel staan.
77/87
Experimenteel bewijs
Eddington vond de juiste afbuiging. Tegenwoordig zien we hetzelde effect op nog veel spectaculairder wijze: gravitatielenzen.
78/87
Experimenteel bewijs
Een ander bewijs voor de kromming van de ruimtetijd zien we aan de baan van de planeet Mercurius. Deze baan vertoont periheliumprecessie.
79/87
Experimenteel bewijs
Dit effect was al in 1859 opgemerkt door Urbain Le Verrier. Het kon niet verklaard worden door de invloed van andere planeten of de vorm van de zon.
80/87
Experimenteel bewijs
De relativiteitstheorie gaf wel de juiste “voorspelling” voor de grootte van de precessie.
81/87
Experimenteel bewijs
Tenslotte: om GPS te laten werken moet rekening worden gehouden met de kromming van de ruimtetijd.
82/87
Experimenteel bewijs
Zie voor nog meer voorbeelden bijvoorbeeld de lijsten op Wikipedia.
6. Voorbeeldopgaven
84/87
Voorbeeldopgaven
1) In de NiNa-module gebaseerd op het boek van Sander Bais staat een groot aantal opgaven.
http://www.nieuwenatuurkunde.nl/disclaimer/46
85/87
Voorbeeldopgaven
2) VirginiaTech heeft een website met zo’n 20 leuke voorbeeldopgaven.
http://www.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/practice/
86/87
Voorbeeldopgaven
3) Googelen op iets als “special relativity exercises” geeft de nodige losse opgaven.
http://www.google.com/
87/87
Voorbeeldopgaven
4) Op quantumuniverse.nl kunnen we voorbeeldopgaven verzamelen – stuur de uwe vooral in!
http://www.quantumuniverse.nl/