Faculteit Letteren en Wijsbegeerte

IDENTITEIT IN DE TRACTATUS

Masterproef neergelegd tot het behalen van de graad van Master in de

Wijsbegeerte door Wim Vanrie

(Studentennummer: 00600387)

Promotor: prof. dr. Maarten Van Dyck

Commissarissen: prof. dr. Gertrudis Van de Vijver, prof. dr. Eric Schliesser

Academiejaar 2013-2014

Word count 1: 52819

Word count 2: 55394

i

In zijn Méditations métaphysiques nodigt Descartes ons uit tot een zesdaagse, eenzame

filosofische oefening, in alle rust, met als resultaat het openbloeien van een nieuwe

denkruimte, een intellectuele metamorfose. Ik heb dit nooit begrepen, tot ik een aantal

opeenvolgende dagen doorwerkte aan deze masterproef. Ik raakte doordrenkt van Frege en

de Tractatus en werd plotseling overvallen door een gevoel dat misschien ook hetgene is

dat Descartes zijn lezer wou schenken. Ik kan dit het best omschrijven als een soort quasi-

mystieke ervaring, een ongericht welbehagen waarin de wereld, al was het maar eventjes,

je niet langer als een vreemde aanstaart. Ik vermoed dat Wittgenstein een gelijkaardige

transformatie op het oog heeft wanneer hij stelt dat wie hem begrijpt, de wereld goed ziet

(TLP, 6.54). Het is vanaf dat moment dat mijn fascinatie voor beide denkers zich ontpopte

tot een liefde die sindsdien niet meer verdwenen is. Alsof ze mij voor het eerst in

vertrouwen namen.

Deze masterproef is een poging om het magische dat ik toen bij Frege en Wittgenstein

ontdekt heb, over te dragen. Om een levend werk te presenteren. Met de woorden van

Wittgenstein kan ik zeggen: “Sein Zweck wäre erreicht, wenn es Einem, der es mit

Verständnis liest, Vergnügen bereitete” (TLP, p. 8).

VOORWOORD

ii

Trouw aan mijn onderwerp, zou ik hier moeten zwijgen. Over Lisa. Over Camille, Gloria,

Marie, Suzanne, Nicolas, Pascal, Wim en Xof. Over Marieke.

Ik wil Boris Demarest, Laura Georgescu en Marij Van Strien oprecht bedanken om mij me

als een vis in het water te laten voelen. Onze vele gesprekken waren van onschatbare

waarde, en bovendien onmisbaar voor het tot stand komen van deze masterproef. Boris wil

ik daarbovenop bedanken voor zijn kostbare raadgevingen en suggesties. Hij heeft me

enorm gestimuleerd.

Ik ben professor Van de Vijver, professor Schliesser en professor Van Dyck dankbaar voor

de vele manieren waarop ze mij doorheen mijn opleiding aangevuurd hebben. Er zijn geen

anderen aan wiens oordeel over dit werk ik meer belang hecht.

Professor Van Dyck bedank ik bovendien voor zijn waardevol, gericht advies als promotor.

En voor zijn steun.

Mijn ouders zien mij voor de tweede maal een masterproef indienen. Zij hopen

waarschijnlijk dat het ook de laatste wordt. Ik ben hen nog steeds even dankbaar.

DANKWOORD

iii

Voorwoord ...................................................................................................................................................... i

Dankwoord ..................................................................................................................................................... ii

Inhoudstafel .................................................................................................................................................. iii

Lijst van conventies ....................................................................................................................................... v

Inleiding .......................................................................................................................................................... 1

Hoofdstuk 1: Identiteit bij Frege .................................................................................................................. 4

Het filosofische project van Frege ............................................................................................................... 6

Het Begriffsschrift ....................................................................................................................................... 9

De opzet van het Begriffsschrift .............................................................................................................. 9

Begrifflichen Inhalt ................................................................................................................................ 11

De functionele structuur van het oordeel ............................................................................................... 12

Identiteit in het Begriffsschrift ................................................................................................................... 15

Identiteit als relatie tussen namen .......................................................................................................... 15

De articulatie van het oordeel ................................................................................................................ 17

Semantische stabiliteit ........................................................................................................................... 19

De Grundlagen .......................................................................................................................................... 22

Het getal als abstract object ................................................................................................................... 23

De wet van Leibniz ................................................................................................................................ 26

Het contextprincipe ............................................................................................................................... 27

Het identiteitscriterium in de Grundlagen ............................................................................................. 29

Het Julius Caesar probleem .................................................................................................................. 33

Über Sinn und Bedeutung .......................................................................................................................... 37

De cognitieve waarde van gelijkheden .................................................................................................. 37

Het Ware en het Valse ........................................................................................................................... 40

Funktion und Begriff .................................................................................................................................. 43

Functie en object.................................................................................................................................... 43

De mogelijkheid van een metaperspectief ............................................................................................. 47

Identiteit................................................................................................................................................. 49

De Grundgesetze ....................................................................................................................................... 51

Het formele kader van de Grundgesetze ................................................................................................ 52

Basic Law V ........................................................................................................................................... 53

Het Julius Caesar probleem voor waardenverlopen: het GCP .............................................................. 56

Freges Untergang................................................................................................................................... 60

Besluit ........................................................................................................................................................ 64

Hoofdstuk 2: Identiteit in de Tractatus ...................................................................................................... 67

Het filosofische project van de Tractatus .................................................................................................. 71

De grenzen van het denken .................................................................................................................... 71

Alle filosofie is taalkritiek ..................................................................................................................... 74

INHOUDSTAFEL

iv

Het object in de Tractatus .......................................................................................................................... 76

De substantie van de wereld .................................................................................................................. 77

De analyse van het complex: definite descriptions ................................................................................ 78

Zeigen en Sagen ......................................................................................................................................... 85

Het contextprincipe ................................................................................................................................ 85

Het gebruik ............................................................................................................................................ 87

Het transcendentale niveau (het toonbare) ............................................................................................. 90

Kritiek op de Grundgesetze ................................................................................................................... 91

De picture theory ....................................................................................................................................... 97

De propositie als beeld........................................................................................................................... 97

De articulatie van de propositie: de propositie als feit ......................................................................... 100

De afbeeldingsvorm ............................................................................................................................. 103

Identiteit tussen objecten ......................................................................................................................... 105

De aard van het object ......................................................................................................................... 105

Identiteit is transcendentaal ................................................................................................................. 110

Verwerpen van de wet van Leibniz ..................................................................................................... 113

Identiteit in het symbolisme ..................................................................................................................... 115

Identiteit is geen relatie ........................................................................................................................ 115

Identity vs indiscernibility ................................................................................................................... 117

De conventie van exclusieve variabelen .............................................................................................. 118

Kardinaliteit ......................................................................................................................................... 129

(Equivalentie)klassen ........................................................................................................................... 132

Identiteit in de rekenkunde ....................................................................................................................... 134

De rekenkunde is transcendentaal ........................................................................................................ 134

Sinn en Bedeutung bij rekenkundige identiteit .................................................................................... 136

Besluit ......................................................................................................................................................... 141

Referenties .................................................................................................................................................. 145

v

Ik hanteer de volgende bibliografische conventies:

KRV voor Kritik der Reinen Vernunft (Kant, 1998)

PG voor Prolegomena (Kant, 2012)

BS voor Begriffsschrift (Frege, 1970)

GL voor Grundlagen der Arithmetik (Frege, 1968)

CSB voor Comments on Sinn and Bedeutung (Frege, 1997)

FB voor Funktion und Begriff (Frege, 1997 [1891])

SB voor Über Sinn und Bedeutung (Frege, 1997 [1892])

LR voor Letter to Russell, 22.6.1902 (Frege, 1997 [1902])

GGAb voor Grundgesetze der Arithmetik (editie van Beaney) (Frege, 1997 [1903])

GGAf voor Grundgesetze der Arithmetik (editie van Furth) (Frege, 1964)

PrTLP voor Prototractatus (Wittgenstein, 1971)

LO voor Letters to C.K. Ogden (Wittgenstein, 1973)

NB voor Notebooks 1914-1916 (Wittgenstein, 1998)

PU voor Philosophische Untersuchungen (Wittgenstein, 2006)

TLP voor Tractatus Logico-Philosophicus (Wittgenstein, 2010)

CL voor Wittgenstein in Cambridge (McGuinness, 2012)

Waar van toepassing, hanteer ik paragrafennummers. Verwijs ik in werken met

paragrafennummers naar het paginanummer (bijvoorbeeld als het om een voorwoord gaat),

dan geef ik dit aan. Indien vermeld, voeg ik het paginanummer in oorspronkelijke druk in

na het paginanummer in herdruk. Bij GL zijn deze identiek. Bij CL geef ik eerst het nummer

van de brief, vervolgens het paginanummer. In alle andere gevallen vermeld ik het

paginanummer. Bij KRV hanteer ik de gebruikelijke dubbele verwijzing naar de A-editie

en de B-editie.

In citaten pas ik verzwegen wijzigingen toe in de logische notatie. Wanneer editors

typografische wijzigingen hebben toegepast in bepaalde documenten (bijvoorbeeld

brieven), neem ik deze over zonder ze te vermelden. Op de eerste letter van citaten pas ik

verzwegen wijzigingen toe van kleine letter in hoofdletter (en omgekeerd), om esthetische

en taalkundige redenen.

LIJST VAN CONVENTIES

1

In deze masterproef verdedig ik een specifieke lezing van de manier waarop identiteit

functioneert in de Tractatus. Ik zal aantonen hoe Wittgenstein, vertrekkend van het formele

kader dat Frege in zijn Begriffsschrift en de Grundlagen opbouwt, tot een visie komt op

identiteit die beantwoordt aan dit kader, maar tegelijk op een aantal belangrijke punten

afstand neemt van Frege. De belangrijkste overeenkomst is dat de objecten uit de Tractatus

een analoge logica bezitten als Freges logische objecten, die ze ideaal geschikt maakt om

onderworpen te worden aan identiteit: ze bestaan noodzakelijk, zijn onveranderlijk,

situeren zich buiten ruimte en tijd en vormen een discreet veld. Het belangrijkste verschil

is dat identiteit volgens Wittgenstein in de logica niet als relatie gehanteerd kan worden.

Het is een transcendentaal principe dat de objecten, voorafgaand aan hun materiële

eigenschappen, partitioneert. Hierdoor introduceert Wittgenstein een kloof tussen identiteit

en indiscernibility, terwijl deze volgens Frege samenvielen. Ik zal aantonen hoe deze kloof

van cruciaal belang is om Wittgensteins conventie van exclusieve variabelen (TLP, 5.53),

samen met zijn verwerping van de wet van Leibniz (TLP, 5.5302), te begrijpen. Met name

zal ik beargumenteren dat we (TLP, 5.53) moeten lezen als een principe over

indiscernibility, niet over identiteit, omdat identiteit onze taal overstijgt. Enkel zo kunnen

we (TLP, 5.5302) begrijpen, en enkel zo is (TLP, 5.53) compatibel met het ruimere kader

van de Tractatus. Dit heeft een aantal belangrijke gevolgen rond het uitdrukkingsvermogen

van onze taal, onder meer wat bepaalde mogelijke toestanden en bepaalde vormen van

kardinaliteit betreft. Daarnaast leidt Wittgensteins visie op identiteit tot een verwerping van

klassen als objecten. Wittgenstein verzet zich dus ook tegen de manier waarop Frege

relatieve identiteit (equivalentierelaties) hanteerde om bepaalde objecten

(equivalentieklassen) te funderen in zijn logisch systeem en tegen Freges visie op de

rekenkunde, waarvoor klassen essentieel zijn.

Omdat de verhouding tot Frege zo belangrijk is om Wittgenstein te begrijpen, laat ik de

bespreking van identiteit in de Tractatus voorafgaan door een bespreking van identiteit in

de (vroege) filosofie van Frege. Hierin laat ik alle elementen die nodig zijn voor het tweede

hoofdstuk aan bod komen. Ik zal aantonen hoe Frege, vanuit zijn logicistische project, tot

een bepaald formeel kader komt, sterk geïnspireerd door de wiskunde, waarbinnen noties

als object, concept en identiteit een specifieke vorm krijgen. Freges logica is duidelijk

afgestemd op de logische objecten waar het hem om te doen is. Dit is belangrijk omdat

Wittgenstein net dit fregeaanse kader tracht uit te breiden tot onze gehele taal en de wereld.

INLEIDING

2

Daarnaast zal ik een diagnose leveren van wat er fout gelopen is in de Grundgesetze,

waarbij ik beargumenteer dat identiteit hierbij een belangrijke rol speelt. Eén van Freges

problemen is dat hij relatieve en absolute identiteit onvoldoende uit elkaar hield. In het

tweede hoofdstuk zal blijken hoe Wittgenstein probeert om de belangrijkste problemen uit

Freges denken te vermijden. Wittgenstein is dus sterk beïnvloed door Frege, zowel wat de

gelijkenissen als de verschillen betreft. De juxtapositie met Frege laat toe om de Tractatus

beter te smaken en levert inzicht in de historische oorsprong en inhoud van Wittgensteins

ideeën1.

Zowel Frege als Wittgenstein leveren een identiteitsfilosofie. Identiteit is

alomtegenwoordig en één van de primaire elementen die bepalen hoe ze uiteenlopende

filosofische kwesties aanpakken, zoals de vraag naar objectiviteit, het statuut van de

wiskunde en het opbouwen van een symbolische logica. Bij Frege, en misschien vooral bij

Wittgenstein, zullen we zien hoe identiteit kan fungeren als zwaartepunt waarrond een

denksysteem zich ontwikkelt. Veel van de eigenaardige doctrines van de Tractatus kunnen

teruggevoerd worden tot de visie op identiteit waarvan Wittgenstein vertrekt, gekoppeld

aan de specifieke objectnotie die dit met zich meebrengt. De invloed van Frege speelt hierin

een cruciale rol.

Een werk dat mij erg heeft geholpen om dit duidelijker in te zien, is Différence et répétition

van Deleuze2. Deleuze geeft aan hoe bepaalde opvattingen over representatie, over ons

denken en over de structuur van de wereld samenhangen met een geprivilegieerd statuut

van identiteit. Hij wijst erop hoe een schijnbare evidentie als 𝑎 = 𝑎 er geen hoeft te zijn,

en hoe ze een volledig denksysteem kan beheersen en inperken. Frege en Wittgenstein

zouden voor Deleuze zeker twee mooie voorbeelden zijn van filosofen die gebukt gaan

1 Uiteraard is Frege niet de enige relevante auteur. Op eventueel Russell na, is hij wel zonder twijfel de

belangrijkste. Zoals Wittgenstein zelf schrijft in het voorwoord van de Tractatus: “Nur das will ich erwähnen,

daβ ich den groβartigen Werken Freges und den Arbeiten meines Freundes Herrn Bertrand Russell einen

groβen Teil der Anregung zu meinen Gedanken schulde” (TLP, p. 8). Het contrast kan erop wijzen dat

Wittgenstein Frege boven Russell plaatst. Wat de onderlinge genealogie betreft, is Frege in elk geval primair.

Hoe het ook zij: omwille van het bestek van deze opdracht, heb ik een keuze moeten maken, en die is op

Frege gevallen. Mijn lezing van de Tractatus is zonder twijfel gekleurd door deze keuze. Was ik vertrokken

vanuit Russell, dan zou niet alleen het eerste, maar ook het tweede hoofdstuk er helemaal anders hebben

uitgezien. Los daarvan ben ik er ondertussen van overtuigd dat het onmogelijk is de Tractatus correct te

begrijpen zonder Frege te begrijpen. Dit neemt niet weg dat een grondigere studie van Russell veel nieuwe

elementen zal blootleggen die mij nu ontgaan zijn. 2 Ik moet hier dan ook professor Schliesser bedanken, die dit boek aan bod liet komen in zijn vak

‘Natuurfilosofie’, met ontologische vaagheid als onderwerp. Ook een aantal andere bronnen die daar

behandeld werden, alsook de discussies tijdens de lessen, waren erg behulpzaam. Naast de personen die ik

reeds in mijn dankwoord vermeldde, ben ik ook mijn twee medestudenten, Jan Potters en Hugo Hogenbirk,

erg erkentelijk.

3

onder het juk van identiteit. Ik wil zelfs de hypothese naar voor schuiven dat de Tractatus

het meest consequent en rigoureus uitgewerkte voorbeeld is van een philosophie de

l’identité. Dit kan mogelijks Deleuzes notoire afkeer voor Wittgenstein verklaren3.

Deze masterproef is een exegetisch werk. De vraag waaruit ik vertrokken ben, luidt: wat is

Wittgensteins visie op identiteit in de Tractatus? Dit is nog steeds de vraag waarop ik een

aantrekkelijk en stimulerend antwoord tracht te bieden. Ik hoop daarbij iets te verhelderen,

iets aan te stippen, wat bij een lectuur van het werk doorgaans verborgen blijft, tussen de

mazen van het net glipt als het ware. Een exegese is volgens mij geslaagd indien ze het

gevoel opwekt dat men iets begrijpt waarvan men tegelijk beseft dat het er eigenlijk altijd

al was4.

Bovendien is het bijzonder verhelderend en verrijkend om er getuige van te zijn hoe

bepaalde filosofische problemen zich doorheen de geschiedenis gevormd hebben. Dennett

parafraserend kunnen we zeggen: ‘there is no such thing as history-free philosophy, there

is only philosophy whose historical baggage is taken on board without examination’5. Met

dit werk hoop ik een bijdrage te leveren aan het onderzoek naar die historische bagage.

Uiteraard wat identiteit betreft, maar tegelijk is in de achtergrond, zoals ook blijkt uit het

bovenstaande, een andere vraag voelbaar, die sinds het verschijnen van het Begriffsschrift

alleen maar prangender is geworden: wat betekent het voor een denken om te streven naar

een formalisatie, een formele representatie van datzelfde denken? We zullen zien hoe de

problemen rond identiteit waarmee Frege en Wittgenstein geconfronteerd worden,

samenhangen met hun poging om de logica van ons denken in een formeel systeem te

vatten.

3 Zie het bekende interviewfragment, te bekijken op https://www.youtube.com/watch?v=NgG00VZGP0E. 4 Dat is volgens mij ook wat Deleuze bedoelt wanneer hij schrijft: “Les comptes rendus d’histoire de la

philosophie doivent représenter une sorte de ralenti, de figeage ou d’immobilisation du texte: non seulement

du texte auquel ils se rapportent, mais aussi du texte dans lequel ils s’insèrent. Si bien qu’ils ont une existence

double, et, pour double idéal, la pure répétition du texte ancien et du texte actuel l’un dans l’autre” (Deleuze,

1968, 5). Deze dubbele existentie is wat ervoor zorgt dat een goede exegese altijd charmeert. 5 Het oorspronkelijke citaat luidt: “There is no such thing as philosophy-free science; there is only science

whose philosophical baggage is taken on board without examination” (Dennett, 1995, 21).

4

In dit hoofdstuk zal ik beargumenteren dat het formele kader (uit het Begriffsschrift)

waarbinnen Frege zijn logicistische project tracht door te voeren, een specifieke vorm

oplegt aan identiteit, die gepaard gaat met een even specifieke vorm van voor de noties van

object en concept. De basisingrediënten zijn een holisme en de articulatie van het oordeel

in functie en argument. We zullen zien hoe dit functioneert, en wat de gevolgen zijn.

Ik zal aantonen dat Freges logica afgestemd is op de rekenkunde: objecten, concepten en

identiteit manifesteren zich als wiskundige objecten, wiskundige concepten (functies) en

wiskundige identiteit, met kardinaliteit als intrinsieke eigenschap. Voor empirische

objecten, ingebed in ruimte en tijd, lijkt Freges kader veel minder geschikt. Deze

interesseerden hem dan ook niet, ondanks wat soms aangenomen wordt (omwille van het

misleidende Über Sinn und Bedeutung). Dit is niettemin erg belangrijk, omdat Wittgenstein

Freges logica in de Tractatus net wel zal proberen open te trekken tot de gehele natuurlijke

taal, de gehele wereld.

Ik hanteer een chronologisch overzicht6 van Freges vroege oeuvre, waarin ik de evolutie

van zijn eigen denken, de belangrijkste problemen waarmee hij zich geconfronteerd ziet en

de oplossingen die hij naar voor schuift, tracht te reconstrueren. Frege bewandelt onbekend

terrein. Vooral in de Grundgesetze laat zich dit duidelijk merken. Hij blijkt onvoldoende

gevoelig voor wat we nu het onderscheid tussen relatieve en absolute identiteit zouden

noemen, tussen een equivalentierelatie en de identiteitsrelatie. Dit onderscheid speelt een

cruciale rol in zijn denken, omdat hij het gebruikt om onze kennis van logische objecten te

funderen. In de Grundlagen lukt dit nog, maar in de Grundgesetze gaat Frege ten onder aan

zijn eigen vernieuwingen. Wat hierin een belangrijke rol speelt, is het feit dat Frege, na het

invoeren van betekenis en verwijzing, een metaperspectief inneemt. Ik zal aantonen dat het

precies dit metaperspectief is waar Frege te onvoorzichtig mee omgaat, en dat hem

uiteindelijk in een fatale verwarring gooit.

De rode draad doorheen dit alles is het grote conflict in Freges vroege filosofie: dat tussen

kennis en formalisme. Frege wil de rekenkunde als objectieve wetenschap, maar hij wil ze

tegelijk logisch funderen in een formeel systeem. Alle grote problemen waarmee hij zich

geconfronteerd ziet, zoals de epistemologie van logische objecten of de cognitieve waarde

6 Hier ben ik dank verschuldigd aan professor Van Dyck, om mij ertoe aan te zetten de oorspronkelijke

opbouw van het eerste hoofdstuk te herzien, wat het een stuk eleganter heeft gemaakt.

HOOFDSTUK 1: IDENTITEIT BIJ FREGE

5

van gelijkheden, zijn terug te voeren op de spanning die deze dubbele aspiratie met zich

meebrengt. Identiteit staat centraal in dit conflict: het is met behulp van identiteit dat Frege

de brug meent te kunnen maken, in Basic Law V.

Zoals gezegd, beperk ik me tot Freges vroege filosofie, tot en met de publicatie van het

tweede Volume van de Grundgesetze. Dit zijn de werken die ook voor Wittgenstein

toegankelijk waren toen hij de Tractatus schreef. Ik zal, nadat ik Freges filosofische project

globaal besproken heb, volgende vier fasen overlopen: het Begriffsschrift (1879), de

Grundlagen (1884), de intermediaire essays Über Sinn und Bedeutung (1892) en Funktion

und Begriff (1891)7, en ten slotte de twee volumes van de Grundgesetze (1893/1903). Naast

identiteit zijn de belangrijkste thema’s: de functionele structuur van het oordeel, het

contextprincipe, het alom bekende duo betekenis en verwijzing en Freges dualisme tussen

concept en object.

7 Ik bespreek eerst Über Sinn und Bedeutung omdat ik denk dat het zo makkelijker is om de toedracht van

Funktion und Begriff te begrijpen.

6

Het filosofische project van Frege

Freges filosofie staat tot de publicatie van het tweede Volume van de Grundgesetze volledig

in het teken van één project: het onderzoek naar het epistemologische statuut van de

rekenkunde. Frege heeft, ongetwijfeld geïnspireerd door Kant, altijd drie mogelijkheden

onderscheiden: de rekenkunde omvat empirische kennis, is gegrond in de zuivere

aanschouwing of is zuiver logisch8. Reeds in het Begriffsschrift haalt hij de zoektocht naar

de epistemologische aard van de rekenkunde aan als zijn drijfveer (BS, p. 5) en in de

Grundgesetze stelt hij retrospectief: “With this book I carry out a design that I had in view

as early as my Begriffsschrift of 1879” (GGAf, p. 5, p. viii). Hij heeft zelf nooit9 getwijfeld

aan het correcte antwoord: de rekenkunde is gegrond in de logica, haar wetten zijn

afleidbaar uit logische wetten (GL, §87) (GGAf, §0).

Frege zet zich af tegen Kant, die stelde dat de stellingen van de rekenkunde synthetisch a

priori moeten zijn (KRV, B14). Voor Kant is het één van de centrale aspecten van de

rekenkunde dat ze wel degelijk kennis oplevert10, en dat kan volgens hem enkel als ze

synthetisch is. Vanuit kantiaanse hoek dringt zich dus een prangende vraag op: als de

rekenkunde analytisch is, kan ze dan nog informatief zijn? Als ze gefundeerd is in de logica,

betekent dat dan niet dat ze triviaal is?

Frege is zich bewust van deze kantiaanse bezorgdheid, en schrijft in de Grundlagen dat

Kant de waarde van analytische oordelen onderschatte (GL, §88). Hij hoopt dat zijn werk

“will suffice to put an end to the widespread contempt for analytic judgements and to the

legend of the sterility of pure logic” (GL, §17). Frege wil het conflict tussen kennis en

analyticiteit overwinnen. Het zijn zijn eigen logische innovaties uit het Begriffsschrift die

dit project denkbaar maken.

Vanuit dit globale opzet wordt de epistemologische as in Freges denken primair.

Bijvoorbeeld wat het getal betreft: de vraag wat het getal is, is ondergeschikt aan de vraag

naar het epistemologische statuut van de rekenkunde. Freges ontologie is parasitair op zijn

8 In de Grundlagen blijkt dit heel duidelijk. Ook wanneer hij in de Grundgesetze terugblikt, schrijft hij: “In

my Grundlagen der Arithmetik, I sought to make it plausible that arithmetic is a branch of logic and need not

borrow any ground of proof whatever from either experience or intuition” (GGAf, §0). Voor een ruimere

bespreking van deze link met Kant, zie (Kitcher, 1979). 9 Althans: tot hij de noodlottige brief ontving van Russell (LR). 10 Zoals hij het bijna lyrisch uitdrukt: “Die Mathematik gibt das glänzendste Beispiel, einer sich, ohne

Beihülfe der Erfahrung, von selbst glücklich erweiternden reinen Vernunft” (KRV, A713/B741).

7

epistemologie, waarin de logica uit zijn Begriffsschrift een centrale rol speelt. Deze zal keer

op keer zijn antwoord op epistemologische (en ontologische) vragen onderbouwen11.

Identiteit is in Freges denken een gewichtig concept. Zoals Frege zelf opmerkt, zijn

identiteitsuitspraken “of all forms of proposition, the most typical of arithmetic” (GL, §57).

Bovendien beargumenteert Frege in de Grundlagen dat de rekenkunde, niet minder dan de

logica, ten grondslag ligt aan ons hele denken. Vergelijkend met de axioma’s van de

meetkunde, waarvan de negatie denkbaar is (GL, §14), schrijft hij:

“Can the same be said of the fundamental propositions of the science of number? Here, we

have only to try denying any one of them, and complete confusion ensues. Even to think at

all seems no longer possible. The basis of arithmetic lies deeper, it seems, than that of any

one of the empirical sciences, and even than that of geometry. The truths of arithmetic

govern all that is numerable. This is the widest domain of all; for to it belongs not only the

actual, not only the intuitable, but everything thinkable. Should not the laws of number,

then, be connected very intimately with the laws of thought?” (GL, §14)12.

Frege kleedt dit in als een argument voor zijn logicisme, maar het is evengoed een indicatie

van het feit dat identiteit ten grondslag ligt aan ons denken, gezien de rekenkundige wetten

doorspekt zijn met gelijkheden.

Tegelijk stelt de centraliteit van identiteit in de rekenkunde Frege voor een specifieke

opgave: hij moet erin slagen identiteit op een zodanige manier in te bedden in zijn logisch

systeem, dat (rekenkundige) gelijkheden logisch bewezen kunnen worden. Net zoals het

getal, moet ook identiteit ontkoppeld worden van de aanschouwing. Het moet een logisch

concept worden. Zoals we zullen zien, is het zijn logica uit het Begriffsschrift die dit

mogelijk maakt. Voor Kant was het dit niet, zoals de bekende passage uit de Prolegomena

over de linker- en rechterhand illustreert (PG, §13). Door identiteit logisch te maken, maakt

Frege een zwaarwichtige geste, die is blijven doorwerken. Bijvoorbeeld kan het hele debat

rond vaagheid dat aangewakkerd werd door het notoire (Evans, 1978) gelezen worden als

een debat over het statuut van identiteit binnen de logica13.

11 Daarbij dringt zich de vraag op in hoeverre het Begriffsschrift zelf uit een voorafgaand epistemologisch

vaatje tapt. We zullen een aantal relevante aspecten ontmoeten. 12 Frege lijkt hier te zeggen dat sortals al het denkbare omvatten. Binnen zijn logica is dit inderdaad het geval,

zoals we zullen zien. Dit hangt samen met zijn visie op identiteit. 13 Evans levert in zijn artikel (dat amper één pagina beslaat) een formeel argument tegen ontologische

vaagheid, meerbepaald tegen vage gelijkheden tussen objecten. Zonder Evans’ argument hier te taxeren, wil

8

Freges filosofie, inclusief zijn visie op identiteit, is dus primair gericht op logica en

wiskunde. Zoals Textor het stelt: “Frege’s philosophical theories are to a large extent in the

service of his mathematico-philosophical project. Only if one has this project in view can

one understand his philosophy” (Textor, 2011, 5). Vergeet men dit, dan raakt men al snel

geneigd om Frege bepaalde opvattingen of bekommernissen toe te schrijven die hij zelf

nooit heeft gehad.

Dit betekent niet dat Freges denken geen bredere relevantie kent. Wat Frege zo invloedrijk

maakt, is dat hij bij zijn zoektocht naar een logisch fundament van de rekenkunde logische

vernieuwingen en filosofische ideeën introduceert die een veel bredere toepasbaarheid

bezitten. Het loutere feit dat Freges project uiteindelijk gefaald is, maar dat hij niettemin

geboekt staat als “the grandfather of analytical philosophy” (Dummett, 1991, 112), levert

reeds afdoende getuigenis. We mogen daarbij de rol van Russell en Wittgenstein natuurlijk

niet over het hoofd zien. In het tweede hoofdstuk zullen we zien dat Wittgenstein Freges

filosofie opentrekt op een manier die Frege zelf nooit overwogen heeft.

ik erop wijzen dat de incoherentie die Evans in ontologische vaagheid meent te ontdekken, nauw samenhangt

met een bepaalde visie op de manier waarop identiteit hoort te functioneren in de logica. Het gaat onder meer

om het logische statuut van difference of the discernible (in modale contexten!) en 𝑎 = 𝑎. Evans wijst erop

dat één van de inzetten van het vaagheidsdebat precies dat statuut is van identiteit: wie ontologische vaagheid

accepteert, moet het klassieke identiteitsbegrip verlaten. In dit hoofdstuk zal blijken dat deze manier om over

identiteit, als een logisch concept, na te denken een duidelijke erfenis is van Frege.

9

Het Begriffsschrift

Later in zijn carrière schreef Frege over zijn werk:

“Nearly everything is connected to the Begriffsschrift” (geciteerd in Textor, 2011, 47).

Dit is niet overdreven: het Begriffsschrift vormt de motor van Freges filosofie, op minstens

twee manieren. Ten eerste omdat het hem de broodnodige instrumenten levert om zijn

logicistische project uit te voeren. Zonder het raamwerk van het Begriffsschrift was een

werk als de Grundgesetze volstrekt onmogelijk geweest. Ten tweede omdat dit raamwerk

een verregaande filosofische trekkracht bezit. Het maakt een nieuwe manier van denken

over noties als (onder meer) oordeel, object, functie, getal, alsook identiteit mogelijk.

Zonder overdrijven kunnen we zeggen dat het Begriffsschrift niet alleen een nieuwe

logische en wiskundige ruimte, maar ook een nieuwe filosofische ruimte heeft

opengetrokken14.

Ik zal beginnen met de opzet van het Begriffsschrift, om vervolgens op twee meer

technische aspecten in te gaan: de notie van inhoud en de functionele structuur van het

oordeel. Het Begriffsschrift is een epistemologisch werk dat een holistische visie op logica,

taal en denken in zich draagt. Freges oeuvre kan enkel tegen deze achtergrond begrepen

worden.

Van daaruit zal ik bespreken hoe identiteit in het Begriffsschrift fungeert. Omdat dit erg

belangrijk is, reserveer ik er een aparte sectie voor.

De opzet van het Begriffsschrift

Uit het voorwoord van het Begriffsschrift, Freges eerste grote werk dat hij publiceerde in

1879, blijkt duidelijk zijn queeste om de rekenkunde logisch te funderen. Frege schuift een

onderscheid tussen oordelen naar voor: deze die zuiver logisch bewezen kunnen worden en

deze waarvoor elementen uit de ervaring nodig zijn (BS, p. 5). Hij vervolgt:

“Now, when I came to consider the question to which of these two kinds the judgments of

arithmetic belong, I first had to ascertain how far one could proceed in arithmetic by means

14 Dit is de enige juiste reden om Frege als grondlegger te zien van de analytische wijsbegeerte.

10

of inferences alone, with the sole support of those laws of thought that transcend all

particulars. […] To prevent anything intuitive from penetrating here unnoticed, I had to

bend every effort to keep the chain of inferences free of gaps” (BS, p. 5).

Dit gebeurde volgens de ‘oude’ logica, en Frege schrijft hoe dat laatste ondoenbaar bleek:

de redeneringen werden veel te complex (BS, p. 5-6). Hij vervolgt:

“This deficiency led me to the idea of the present ideography. Its first purpose, therefore, is

to provide us with the most reliable test of the validity of a chain of inferences and to point

out every presupposition that tries to sneak in unnoticed, so that its origin can be

investigated” (BS, p. 6).

Zo zien we heel duidelijk welke de opzet is van het Begriffsschrift: het levert een middel

om zuiver logische redeneringen te representeren, met de zekerheid dat er nergens

onopgemerkt een intuïtief element binnentreedt. Wat gerepresenteerd wordt, is het zuivere

denken. In de natuurlijke taal is dit onmogelijk. Frege vergelijkt de verhouding tussen de

natuurlijke taal en zijn Begriffsschrift met deze tussen het oog en een microscoop: “As soon

as scientific goals demand great sharpness of resolution, the eye proves to be insufficient.

The microscope, on the other hand, is perfectly suited to precisely those goals, but that is

just why it is useless for all others” (BS, p. 6). Wat het Begriffsschrift doet, is de resolutie

verhogen van de weergave van onze denkprocessen, waardoor het ons inzicht levert in de

structuur van ons denken, die in de natuurlijke taal in grote mate verborgen blijft. Het stelt

ons in staat om helder te denken, doordat we verplicht worden om onze eigen

gevolgtrekkingen te ontleden tot in hun minimale logische stappen.

Frege stelt dat het Begriffsschrift nutteloos is voor niet-wetenschappelijke doeleinden. Hij

schrijft: “Because of the range of its possible uses and the versatility with which it can adapt

to the most diverse circumstances, the eye is far superior to the microscope” (BS, p. 6). Wat

Frege zeker niet op het oog heeft, is een formalisering van onze natuurlijke taal als

dusdanig. Hij schrijft: “There are no new truths in my work” (BS, p. 6). Het Begriffsschrift

levert een methode (BS, p. 6) die geschikt is voor bepaalde soorten onderzoek, een bepaald

soort verheldering, maar daarbuiten geen toepassing heeft. Zo helpt het ons te bevrijden

van bepaalde verwarringen:

11

“If it is one of the tasks of philosophy to break the domination of the word over the human

spirit by laying bare the misconceptions that through the use of language often almost

unavoidably arise concerning the relations between concepts and by freeing thought from

that with which only the means of expression of ordinary language, constituted as they are,

saddle it, then my ideography, further developed for these purposes, can become a useful

tool for the philosopher” (BS, p. 7).

Deze belangrijke passage bevat één van de kernpunten van het filosofische project van de

analytische wijsbegeerte. Wittgenstein zal ze in de Tractatus ter harte nemen en een

verregaande reikwijdte aanmeten. Voor Frege blijft het Begriffsschrift echter in de eerste

plaats bedoeld om de rekenkunde te formaliseren en op die manier aan te tonen dat ze

gefundeerd is in logische wetten.

Begrifflichen Inhalt

Het Begriffsschrift dient om logische gevolgtrekkingen helder te representeren. Een voor

de hand liggende stap is dan ook:

“In a judgment I consider only that which influences its possible consequences. Everything

necessary for a correct inference is expressed in full, but what is not necessary is generally

not indicated; nothing is left to guesswork” (BS, §3).

Dit is de inhoud (Begrifflichen Inhalt), Freges vroegste notie van wat later zal splitsen in

betekenis en verwijzing. De nadruk op possible consequences is belangrijk. Wat de inhoud

van een oordeel bepaalt, is het geheel van zijn logische gevolgen15. Dit toont aan dat Frege

een structureel en holistisch denker is: een oordeel, met zijn inhoud, staat nooit op zichzelf,

maar is steeds ingebed in het logische netwerk van mogelijke oordelen. Dat laatste is

primair. Het oordeel ontleent zijn inhoud aan (om Wittgenstein te voorafschaduwen) zijn

structurele plaats binnen de logische ruimte, niet aan (bijvoorbeeld) de atomaire termen

waaruit het opgebouwd is. We denken met zinnen, niet met woorden.

15 De reden dat Frege over mogelijke gevolgen spreekt is dat er eerst een oordeel nodig is opdat een mogelijke

gevolgtrekking ook daadwerkelijk gerealiseerd wordt. Freges Begriffsschrift kan dus gelezen worden als een

poging om onze oordelen zodanig formeel te representeren dat hun logische gevolgen transparant zijn.

Vergelijk: “Daraus ergibt sich, daβ wir auch ohne die logischen Sätze auskommen können, da wir ja in einer

entsprechenden Notation die formalen Eigenschaften der Sätze durch das bloβe Ansehen dieser Sätze

erkennen können” (TLP, 6.122).

12

De functionele structuur van het oordeel

Frege zet zich in het Begriffsschrift af tegen de oude visie op het oordeel als opgebouwd

uit subject en predicaat: “A distinction between subject and predicate does not occur in my

way of representing a judgment” (BS, §3). De reden is eenvoudig: deze distinctie is

inferentieel irrelevant, en behoort dus niet tot de inhoud van het oordeel. Frege geeft het

voorbeeld van “The Greeks defeated the Persians at Plataea” (BS, §3) en “The Persians

were defeated by the Greeks at Plataea” (BS, §3). Wat de logische gevolgen betreft, is er

geen verschil. Sterker nog: elk oordeel kan zodanig geformuleerd worden dat het eenzelfde

predicaat heeft; namelijk ‘⊢’16, wat we kunnen lezen als ‘is een feit’ (BS, §3).

Frege ontkent dat het oordeel een inherente structuur bezit waarvan niet afgeweken kan

worden. Het oordeel vormt, in eerste instantie, een eenheid. Het predicaat beperkt zich tot

het gegeven dat het een oordeel is, maar heeft geen enkele weerslag op de inhoud. Deze

zet, hoe eenvoudig ze misschien mag lijken, betekent de geboorte van Freges nieuwe

logica. Het is Freges holisme dat dit mogelijk maakt, omdat het ervoor zorgt dat de inhoud

van een oordeel niet afhangt van een vaste interne structuur.

Aangezien het oordeel geen intrinsieke structuur meer bezit, kan het op verschillende

manieren ontleed worden. De componenten die daarbij optreden, noemt Frege functie en

argument:

“If in an expression […] a simple or compound sign has one or more occurrences and if we

regard that sign as replaceable in all or some of these occurrences by something else (but

everywhere the same thing), then we call the part that remains invariant in the expression a

function and the replaceable part the argument of the function” (BS, §9).

Het is niet overdreven te stellen dat deze zin de kern van zijn hele logica bevat17. De

gedachte is de volgende: als we proposities als ‘Els drinkt water’, ‘Piet drinkt water’ en

‘Maria drinkt water’ bekijken, zien we een variabel en een constant deel opduiken. We

16 ‘⊢’ is het oordeelsteken: “A judgment will always be expressed by means of the sign ⊢ which stands to the

left of the sign, or the combination of signs, indicating the content of the judgment” (BS, §2). 17 Frege was zich bewust van de kracht van deze innovatie: “I believe that the replacement of the concepts

subject and predicate by argument and function, respectively, will stand the test of time” (BS, p. 7).

13

kunnen ‘Els’, ‘Piet’ en ‘Maria’ beschouwen als argument en ‘𝑥 drinkt water’18 als functie.

Analoog hadden we ook de functie ‘Els drinkt 𝑦’ kunnen distilleren, of ‘𝑥 drinkt 𝑦’19.

Minstens even cruciaal is dat er zich een logisch verschil manifesteert tussen een algemeen

en een singulier oordeel: een uitdrukking als ‘alle getallen’ kan niet als argument

beschouwd worden (BS, §9). De kwantor is geboren en het probleem van multiple

generality20 opgelost.

Frege schrijft:

“The distinction [functie en argument] has nothing to do with the conceptual content; it

comes about only because we view the expression in a particular way” (BS, §9).

De kern van Freges logica schuilt in de manier waarop hij de structuraliteit van het oordeel

opvatte, gekoppeld aan zijn holisme. Het oordeel is niet samengesteld uit vooraf gegeven

delen maar kan daarentegen ontleed worden21. Deze ontleding komt tot stand doorheen de

logische relaties tussen de oordelen onderling. Het is deze manier waarop een oordeel op

verschillende manieren ontleed kan worden in functie en argument, zonder de inhoud te

veranderen, die Freges logica haar grote kracht verleent. Hij illustreert dit met het

ondertussen klassieke voorbeeld:

18 We zien reeds de onverzadigdheid van de functie opduiken die we in Funktion und Begriff zullen

ontmoeten. 19 Of ook: ‘ℱ(Els,water)’ (en aanverwanten), met ℱ een functievariabele. Er is in deze procedure geen

privilege weggelegd voor het argument, noch voor de functie. Ik moet wel een belangrijke opmerking maken:

Frege noemt ‘ℱ’ ook hier het argument (BS, §10). Kijken we echter naar de rest van het Begriffsschrift, dan

zien we dat we dit het best kunnen begrijpen als een manier van spreken. Het is beter om te zeggen dat zowel

functies als argumenten als vervangbaar gezien kunnen worden. In (BS, §11), bijvoorbeeld, onderscheidt

Frege duidelijk het invoeren van een functievariabele van het invoeren van een argumentvariabele, die

heterogene categorieën vormen in het symbolisme. Later, in Funktion und Begriff, zal hij het onderscheid

tussen functie en argument (object) verder uitwerken. 20 Dit betreft genestelde kwantoren. Zinnen als ‘Iedereen wordt door iemand bemind’ dragen een cruciale

dubbelzinnigheid in zich, die binnen Freges formalisme voor het eerst heel duidelijk gearticuleerd kan

worden: het betreft het onderscheid tussen (∃𝑥)(𝑦)(𝑥𝑅𝑦) en (𝑥)(∃𝑦)(𝑦𝑅𝑥). 21 Zoals hij het later zou beschrijven: “My particular conception of logic is initially characterized by the fact

that I put the content of the word ‘true’ at the beginning and let it be followed immediately by the thought

with respect to which the question of truth arises. In other words, I do not begin with concepts out of which

the thought or judgment is composed, but I get to the parts of the thought through the splitting up of the

thought” (geciteerd in Sluga, 1975, 478). Zoals Sluga beargumenteert (Sluga, 1975, 480), zien we kantiaanse

invloeden doorschemeren. Dat eenheid voor veelheid komt, synthese voor analyse, wordt heel duidelijk

gesteld in de Transcendentale Deductie: “Denn wo der Verstand vorher nichts verbunden hat, da kann er auch

nichts auflösen, weil es nur durch ihn als verbunden der Vorstellungskraft hat gegeben werden können”

(KRV, B130).

14

“To consider an example, […] take the proposition that Cato killed Cato. If we here think

of ‘Cato’ as replaceable at its first occurrence, ‘to kill Cato’ is the function; if we think of

‘Cato’ as replaceable at its second occurrence, ‘to be killed by Cato’ is the function; if,

finally, we think of ‘Cato’ as replaceable at both occurrences, ‘to kill oneself’ is the

function” (BS, §9).

Zoals Potter schrijft, vergelijkend met de logica van Kant: “The difficulty was […] that

without the device of variables there could be for Kant (and others of his day) no logical

connection between murder and suicide” (Potter, 2000, 64). Het belang hiervan valt niet te

onderschatten. Het is enkel omwille van het ongekende potentieel dat de logica bij Frege

krijgt dat zijn logicisme, zoals hij het voor het eerst expliciet in de Grundlagen naar voor

zal schuiven, denkbaar wordt.

15

Identiteit in het Begriffsschrift

Frege wil met het Begriffsschrift de rekenkunde logisch funderen. Dit betekent dat ook

identiteit er een plaats in moet krijgen. Frege levert een interessant argument om identiteit

op te nemen in zijn Begriffsschrift, dat recht in de kaarten speelt van zijn logicistische

project: identiteitsoordelen kunnen kennis opleveren, zijn dus epistemologisch relevant en

moeten daarom formeel gerepresenteerd worden. Dit argument keert terug in Über Sinn

und Bedeutung. In het Begriffsschrift brengt het Frege tot een visie op identiteit als relatie

tussen namen. Wat een gelijkheid uitdrukt, is dat twee namen (argumenten)

intersubstitueerbaar zijn salva veritate.

Dat zijn de meer manifeste elementen van Freges visie op identiteit in het Begriffsschrift.

Ik zal deze het eerst bespreken. Daarnaast wil ik beargumenteren dat identiteit ook op een

fundamentelere manier werkzaam is. Freges formalisme als dusdanig steunt reeds op

bepaalde onderliggende identiteitsprincipes.

Er zijn twee aspecten. Ten eerste onderbouwt identiteit het onderscheid tussen functie en

argument, en dus ook de articulatie van het oordeel in functie en argument. Ten tweede

steunt Freges systeem op wat ik semantische stabiliteit zal noemen: het feit dat de inhoud

van een teken identiek blijft doorheen de verschillende oordelen waarin het optreedt. Zelf-

identiteit is hierin een cruciaal aspect.

Zo wordt duidelijk dat Freges denken een identiteitsdenken is: ons denken kan slechts

formeel gerepresenteerd worden indien het past in de vorm van een dergelijk formalisme,

een vorm die er bepaalde identiteitsprincipes aan oplegt. Articulatie en semantische

stabiliteit, die zich in het Begriffsschrift tonen als mogelijkheidsvoorwaarden voor ons

denken, voor inferentie als dusdanig, zijn dat slechts voor zover ons denken inderdaad

formeel gerepresenteerd wordt in het Begriffsschrift.

Identiteit als relatie tussen namen

Over de aard van identiteit als relatie schrijft Frege in het Begriffsschrift:

“Identity of content differs from conditionality and negation in that it applies to names and

not to contents. Whereas in other contexts signs are merely representatives of their content,

so that every combination into which they enter expresses only a relation between their

16

respective contents, they suddenly display their own selves when they are combined by

means of the sign for identity of content; for it expresses the circumstance that two names

have the same content. Hence the introduction of a sign for identity necessarily produces a

bifurcation in the meaning of all signs: they stand at times for their content, at times for

themselves” (BS, §8).

Frege beseft dat dit hem voor een probleem plaatst: “At first we have the impression that

what we are dealing with pertains merely to the expression and not to the thought, that we

do not need different signs at all for the same content and hence no sign whatsoever for the

identity of content” (BS, §8). Frege noemt dit echter meteen een “empty illusion” (BS, §8).

De reden dat identiteit nodig is, is dat:

“The same content can be completely determined in different ways; but that in a particular

case two ways of determining it really yield the same result is the content of a judgment.

Before this judgment can be made, two distinct names, corresponding to the two ways of

determining the content, must be assigned to what these names determine. The judgment,

however, requires for its expression a sign for identity of content, a sign that connects these

two names. From this it follows that the existence of different names for the same content

is not always merely an irrelevant question of form; rather, that there are such names is the

very heart of the matter if each is associated with a different way of determining the

content” (BS, §8).

Identiteit is voor Frege een epistemologisch concept. Het gaat niet om de ontologische

kwestie van het met zichzelf samenvallen van een gegeven inhoud, maar om het

epistemologische probleem van de identificatie van eenzelfde inhoud. Dit is een essentieel

aspect van ons denken, en moet dus formeel uitgedrukt worden. In het Begriffsschrift

situeert Frege deze epistemologische bifurcatie in het teken. Het teken weerspiegelt de

manier waarop een inhoud gepresenteerd wordt. Daarom is identiteit een relatie tussen

namen, omdat het iets moet uitdrukken over die presentatie, en niet over de inhoud zelf. In

Über Sinn und Bedeutung zal hij dit herzien.

De opname van identiteit in het symbolisme is voor Frege onontbeerlijk, gezien hij de

rekenkunde wil funderen. Freges verdediging van de cognitieve waarde van gelijkheden

dient tegen die achtergrond gelezen te worden: het is een verdediging van de cognitieve

waarde van de rekenkunde. Het prototypische voorbeeld is niet dat van de morgenster en

de avondster, maar (om er één te kiezen) van 7 + 5 en 12. Dat blijkt heel duidelijk uit wat

17

Frege doet met identiteit: stellingen bewijzen over de ancestral22, een cruciaal ingrediënt

van zijn logische fundering van de rekenkunde.

We krijgen als definitie:

“Now let ⊢ (𝐴 ≡ 𝐵) mean that the sign 𝐴 and the sign 𝐵 have the same conceptual content,

so that we can everywhere put 𝐵 for 𝐴 and conversely” (BS, §8).

Frege formuleert hier indiscernibility of identicals. Is er ook identity of indiscernibles? Het

is een stelling die hij nergens bewijst, en ook nergens formuleert. Toch volgt uit zijn notie

van inhoud dat hij ze moet onderschrijven. Immers, de inhoud is datgene wat inferentieel

relevant is. Twee indiscernibles laten exact dezelfde gevolgtrekkingen toe. Bijgevolg

moeten deze dezelfde inhoud bezitten. In de Grundlagen zal Frege identity of indiscernibles

inderdaad expliciet als definitie van identiteit naar voor schuiven.

De articulatie van het oordeel

Textor schrijft over de articulatie van het oordeel:

“What is first, the decomposition of the thought or the inference we draw from it? The

inference cannot be first, for we need to decompose a thought to infer something from it.

But the decompositions of the sentence expressing a thought can also not be first, for

according to Frege one has no reason to decompose a sentence apart from its role in

inference” (Textor, 2011, 89).

Laat me beginnen door op te merken dat deze vraag volgens mij niet helemaal juist gesteld

is: ze houdt onvoldoende rekening met Freges holisme. Dit zorgt ervoor dat er niet iets

eerst moet zijn. Zowel de articulatie van het oordeel als de inferentiële relaties tussen

oordelen kunnen samen voortkomen uit het holistische complex dat onze oordelen vormen.

22 Een eigenschap 𝐹 is 𝑅-hereditary indien (𝑥)(𝑦)((𝐹𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑦) ⊃ 𝐹𝑦). Frege spreekt van “hereditary in the

𝑅-sequence” (BS, §24). Noem een eigenschap 𝐹 een 𝑅-erfenis van 𝑎 indien (𝑥)(𝑎𝑅𝑥 ⊃ 𝐹𝑥). De ancestral

behorend bij de relatie 𝑅 is de relatie 𝑅∗ zodanig dat 𝑎𝑅∗𝑏 als en slechts als 𝑏 elke 𝑅-hereditary 𝑅-erfenis

van 𝑎 bezit. Frege spreekt van “𝑦 follows 𝑥 in the 𝑅-sequence” (BS, §26). Wat daarmee bereikt wordt, is een

eliminatie van het concept ‘enzovoort’ uit de rekenkunde, een concept dat Wittgenstein in de Tractatus

enigszins terug in ere wil herstellen (TLP, 5.2523). Frege zal de ancestral in de Grundlagen en de

Grundgesetze toepassen op de natuurlijke getallen, met de opvolgersrelatie als 𝑅, om inductie logisch te

funderen (GL, §79) (GGAf, §45).

18

Textor presenteert het alsof dit complex stuksgewijze ontstaat door te vertrekken van

bepaalde oordelen, deze te ontleden, en er dan nieuwe uit te produceren via

gevolgtrekkingen. Dit is niet de juiste manier om hierover na te denken.

Niettemin is er wel een belangrijke vraag: hoe is de articulatie van oordelen gefundeerd?

We hebben Freges antwoord al ontmoet:

“The distinction [functie en argument] has nothing to do with the conceptual content; it

comes about only because we view the expression in a particular way” (BS, §9).

Het gaat dus om de apprehensie23. Op zichzelf is deze opmerking onbevredigend: het is

niet duidelijk hoe dit in zijn werk gaat, noch hoe dit uiteindelijk een onderliggend principe

biedt voor die articulatie. Frege gaat er helaas niet dieper op in. We zullen zien dat

Wittgenstein de articulatie op een andere manier grondt.

Wat wel duidelijk is, is dat identiteit hierin een belangrijke rol speelt. De articulatie houdt

een splitsing in in functie en argument, en het is identiteit die deze categorieën scheidt. Om

dit te begrijpen, moeten we kijken naar het axioma over identiteit dat geformuleerd wordt

in oordeel 52:

(𝐹)(𝑐)(𝑑)((𝑐 ≡ 𝑑) ⊃ (𝐹𝑐 ⊃ 𝐹𝑑)) (BS, §20)24.

In het Begriffsschrift zijn er twee soorten variabelen: functievariabelen en

argumentvariabelen. In de ene worden functies ingevuld, in de andere argumenten (proper

names). Hoe worden deze gedifferentieerd? Ricketts levert het antwoord:

“The isolation of proper names is enforced by another mode of inference, the one put

forward in Leibniz’s law. Proper names are terms whose intersubstitution is licensed by the

assertion of simple equations from which generality is absent” (Ricketts, 1985, 5).

23 Zie ook (Textor, 2011, 89) en (Dummett, 1991, 37). 24 Frege hanteert in het Begriffsschrift het teken ‘≡’ voor identity of content. Later, in de Grundgesetze, zou

hij dit assimileren met ‘=’, “since I have persuaded myself that it has in arithmetic precisely the meaning that

I wish to symbolize” (GGAf, p. 6, p. ix). Dit toont hoezeer zijn visie op identiteit gemodelleerd is op de

rekenkunde, zoals ook verderop nog zal blijken.

19

Dat is precies wat oordeel 52 uitdrukt. De gelijkheid filtreert de argumenten uit ‘𝐹𝑐’ en

‘𝐹𝑑’ en de inhoud van de gelijkheid bestaat er net in dat ‘𝑐’ en ‘𝑑’ in alle uitdrukkingen

waarin ze als argument optreden, inwisselbaar zijn. Er is in het Begriffsschrift geen analoge

procedure voor functies. Identiteit scheidt de twee logische categorieën van Freges

systeem: argumenten kunnen het gelijkheidsteken flankeren, functies niet. Dit komt

misschien nog het mooist naar voor in het tweede axioma van identiteit, oordeel 54:

(∀𝑐)(𝑐 ≡ 𝑐) (BS, §21). Argument is datgene wat zicht toont als identiek aan zichzelf. Het

oordeel 𝑐 = 𝑐 levert een canonieke vorm waarin we onmiddellijk argumenten kunnen

herkennen. In latere terminologie: de klasse geassocieerd met de functie 𝑥 = 𝑥 bestaat

precies uit alle objecten.

Het is het vermogen van identiteit om argumenten te isoleren dat haar een verregaande

logische kracht verleent, omdat dit het gebruik van identiteitscriteria mogelijk maakt. Dit

zal verderop duidelijk worden.

Het probleem van de articulatie hangt vast aan de concrete manier waarop Frege in het

Begriffsschrift ons denken wil representeren, met name door oordelen functioneel op te

vatten. Er is een duidelijke invloed van de wiskunde voelbaar. In Funktion und Begriff zal

Frege deze zelf benadrukken: zijn opsplitsing in functie en argument is een veralgemening

van het wiskundige functiebegrip (FB, 137, 12-13).

Semantische stabiliteit

Laat me nog eens terugkeren op oordeel 54:

(𝑐)(𝑐 ≡ 𝑐) (BS, §21).

We moeten dit lezen als een wet van ons denken. In de Grundlagen formuleert Frege ze

expliciet: “Whatever is given to us in the same way is to be reckoned as the same” (GL,

§67). Daar noemt Frege dit een steriel principe (GL, §67). Dat is veelzeggend: oordeel 54

is inferentieel gezien inderdaad steriel, maar de reden is dat het net de ganse inferentiële

praktijk onderbouwt. Het is een mogelijkheidsvoorwaarde voor het Begriffsschrift als

dusdanig.

20

Waar het om gaat, is wat ik semantische stabiliteit wil noemen. Ons denken vooronderstelt

volgens Frege de zelf-identiteit van haar object: we kunnen niet oordelen over een inhoud

die verschilt van zichzelf. Dat is wat oordeel 54 als wet van ons denken uitdrukt. En

eigenlijk nog meer: de inhoud van ‘𝑐’ is niet alleen zelf-identiek binnen een oordeel, maar

blijft ook identiek doorheen de verschillende oordelen waarin 𝑐 optreedt. Dit is een

metaprincipe dat oordeel 54 niet kan uitdrukken (Freges uitspraak uit de Grundlagen doet

dit wel), maar dat voorondersteld wordt door zijn formalisme.

Tegelijk is het een reflectie van een contingente eigenschap van het medium waardoorheen

we onze oordelen uitdrukken: tekens blijven dezelfde, en oordelen worden symbolisch

verbonden doordat ze gemeenschappelijke (onveranderlijke) tekens bevatten. Opdat het

symbolisme adequaat zou zijn, moet de inhoud van het teken diezelfde stabiliteit vertonen,

en dus steeds identiek blijven aan zichzelf. Dit wordt gereflecteerd in die ene eis die steeds

zo sterk benadrukt wordt, onder meer door Frege en Wittgenstein25: een naam, een teken

mag niet dubbelzinnig zijn. Treedt een teken dubbelzinnig op doorheen verschillende

proposities, dan stort elke logische connectie in elkaar 26 . Dat we een teken kunnen

gebruiken zoals Frege dat wil, vooronderstelt dat het telkenmale dezelfde inhoud heeft27.

Ook hier kan de wiskunde als inspiratiebron gezien worden. Wiskundige termen vormen

het prototype van termen waarvan de inhoud identiek blijft doorheen de oordelen waarin

ze optreden. Waar de natuurlijke taal overloopt van ambiguïteiten,

betekenisverschuivingen en dergelijke meer, sluit de wiskunde dit bij voorbaat uit (althans

voor Frege).

Het is belangrijk in te zien dat deze semantische stabiliteit niet vanzelfsprekend is. Binnen

een dynamische structuralistische visie, bijvoorbeeld, is er probleemloos ruimte om te

erkennen dat de inhoud van termen niet identiek blijft doorheen de oordelen waarin ze

optreedt. Een dergelijk diachroon perspectief is in het kader dat Frege aanbiedt, uitgesloten.

25 In de Grundlagen spreekt Frege herhaaldelijk over “the mistake of assigning the same symbol to different

things” (GL, §39). Voor Wittgenstein, zie (TLP, 3.323-3.325). 26 Een toepasselijk voorbeeld is White’s kritiek op Freges notie van identiteit uit het Begriffsschrift, met name

dat ze een use/mention verwarring bevat: “If we adapt Frege’s notation, (52) runs (𝑐 = 𝑑) ⊃ (𝑓(𝑐) ⊃ 𝑓(𝑑)).

Now in this case the ‘𝑐’ of the antecedent is alleged to have a different reference from the ‘𝑐’ of the

consequent, and hence it would appear that unless further explanation is forthcoming we have a formula

employing a sign ambiguously and incapable of being read” (White, 1978, 158). 27 Het is interessant dat bepaalde kritieken op zogenaamde postmoderne denkers terug te voeren zijn tot een

eis van semantische stabiliteit. Zie bijvoorbeeld het Humpty Dumptying van Shackel (Shackel, 2005, 299ff.).

De postmodernist kan op minstens twee manieren reageren: ontkennen dat de onbepaaldheid er is of de

achterliggende eis bekritiseren.

21

Niettemin is dit een belangrijke kwestie. Is bijvoorbeeld de inhoud van mijn naam, Wim,

steeds dezelfde? Als ik spreek over mezelf, spreek ik dan steeds over dezelfde persoon?

Ben ik identiek aan mezelf? Enzovoort.

Dit zijn vragen waar Frege zich niet om bekommerde. Hij wou de rekenkunde funderen.

Door zijn formalisme echter universeel te gaan toepassen, zoals Wittgenstein dat deed in

de Tractatus, worden deze kwesties plotseling erg pregnant. Problemen waar denkers als

Locke en Hume mee worstelden, manifesteren zich opnieuw, ditmaal binnen het fregeaanse

denkkader28. Het is niet toevallig dat identiteit doorheen de tijd en persoonlijke identiteit

twee van de hot topics zijn binnen de hedendaagse debatten (Noonan, 2011). In het tweede

hoofdstuk zullen we zien hoe Wittgenstein deze aanpakt.

28 Het zou interessant zijn om na te gaan in hoeverre de problemen rond identiteit waarmee Locke en Hume

zich geconfronteerd zien eveneens gelieerd zijn aan hun respectievelijk theorieën over de aard van ons

denken.

22

De Grundlagen

Vijf jaar na het Begriffsschrift, in 1884, komt Frege op de proppen met de Grundlagen.

Dummett noemt het zijn magnum opus (Dummett, 1991, 1). De Grundlagen verschilt sterk

van het zeer formele Begriffsschrift 29 . Het is expliciet een filosofisch werk, dat een

filosofische onderbouwing moet leveren van Freges logicistische project. Zoals hij zelf

schrijft:

“I hope I may claim in the present work to have made it probable that the laws of arithmetic

are analytic judgments and consequently a priori. Arithmetic thus becomes simply a

development of logic, and every proposition of arithmetic a law of logic, albeit a derivative

one” (GL, §87).

Freges claim is in essentie dat wiskundig denken formeel gerepresenteerd kan worden

zonder dat aanschouwing of empirie nog een extra rol hoeven te spelen. Tegelijk wil Frege

aantonen dat de rekenkunde objectieve kennis oplevert. Getallen moeten dus logische

objecten30 zijn. We zullen zien hoe Frege de notie van het object inpast in de holistische

epistemologie van het Begriffsschrift: het object neemt de argumentplaats in, is datgene wat

onderworpen is aan identiteit.

Frege ziet zich in de Grundlagen geconfronteerd met de vraag hoe we tot kennis kunnen

komen van getallen, als het niet via de aanschouwing of de empirie is. Freges epistemologie

van de wiskunde combineert zijn holisme, zijn beroemde contextprincipe en het vermogen

van identiteit om objecten te isoleren, om zo met behulp van een identiteitscriterium onze

kennis van logische objecten te funderen. We zullen hier een cruciaal onderscheid zien

opduiken voor Freges denken (dat hem ook nog parten zal spelen), namelijk dat tussen een

equivalentierelatie en de identiteitsrelatie.

29 Dummett schrijft, terecht, dat het een fout is om de Grundlagen los van het Begriffsschrift te zien en

vervolgt: “It is not only that, in §79 of Grundlagen, Frege borrows from Begriffsschrift the celebrated

definition of the ancestral, to yield, in §83, a definition of natural numbers as those objects for which finite

mathematical induction holds good—a definition which Frege saw as serving to eliminate appeals to intuition

or to specifically arithmetical modes of reasoning. It is also that the possibility of completely formalising

mathematical proof underlies the entire programme, as is made clear in §§90 and 91: only by means of a

formalisation that precludes a surreptitious appeal to intuition can we attain certainty that the theorems of

number theory rest on a purely logical foundation” (Dummett, 1991, 12). Zoals ik echter hoop aan te tonen,

gaat de invloed van het Begriffsschrift nog veel verder dan dat. 30 Wat bedoeld wordt, is dat het objecten zijn die we volledig kennen via de logica. Zie (Kitcher, 1979, 260).

Verderop zullen we nog twee dergelijke objecten ontmoeten: het Ware en het Valse.

23

Dit gebruik van een identiteitscriterium lost ook een ander probleem op. Als Frege de

stellingen van de rekenkunde logisch wil bewijzen, moet hij een manier vinden om

gelijkheden te bewijzen. In het Begriffsschrift was deze niet voorhanden: er is geen regel

voor de introductie van identiteit tussen verschillende namen. Oordeel 52 is inferentieel

impotent en oordeel 54 laat enkel toe om identiteit te elimineren. Een identiteitscriterium

is de ideale oplossing voor dit probleem.

Om de introductie van identiteit te rechtvaardigen, heeft Frege tevens een definitie nodig

van identiteit, waarmee de compatibiliteit aangetoond moet worden. Dit is de wet van

Leibniz, identity of indiscernibles. De problemen die dit oproept voor niet-logische

objecten, negeert Frege.

Zoals ik zal aangeven, blijkt uit dit alles nogmaals heel duidelijk dat Freges visie op

identiteit volledig afgestemd is op zijn logicistische project. Ook het gebruik van de wet

van Leibniz illustreert dit.

Ik zal beginnen met Freges visie op het object en zijn notie van het getal als abstract object.

Vervolgens bespreek ik Freges definitie van identiteit. Ik ga verder met het contextprincipe,

om daarna te kijken hoe Frege het inschakelt om via een identiteitscriterium voor getallen

zijn epistemologie van de wiskunde te funderen. Dit plaatst hem voor het zogenaamde

Julius Caesar probleem, waarmee ik deze sectie eindig.

Het getal als abstract object

In de inleiding van de Grundlagen noemt Frege als één van zijn centrale methodologische

principes “never to lose sight of the distinction between concept and object” (GL, p. Xe).

Verderop geeft hij aan hoe we dit onderscheid moeten begrijpen:

“A concept is for me that which can be predicate of a singular judgement-content, an object

that which can be subject of the same” (GL, §66, voetnoot).

Concept en object vormen bij Frege, net als bij Kant, een tandem. Het is dankzij de

functionele structuur van de propositie dat het object (de objectplaats) zich binnen de logica

gaat manifesteren. De syllogistische logica is een logica van concepten, het object treedt er

niet in op. Bij Frege treedt het object, de argumentplaats, op de voorgrond. Een oordeel laat

zich articuleren in functie en argument, het subsumeren van een object onder een concept,

24

zoals ook bij Kant (KRV, A137/B176). Zoals Van de Vijver stelt, kunnen we in het

Begriffsschrift een logisch-symbolische pendant zien van de copernicaanse revolutie:

“Inderdaad kan men stellen dat het predicaat zich hier toont als een vraag die gesteld wordt

aan een ‘werkelijkheid’ die initieel verschijnt als een ‘x’” (Van de Vijver, 2013, 357).

Op deze manier wordt het logisch onderscheid tussen functie en argument uit het

Begriffsschrift tevens een ontologisch onderscheid tussen concept en object31. We moeten

hierbij in het achterhoofd houden dat het onderscheid tussen functie en argument logisch

gedragen werd door identiteit. Het object is datgene waarvan de naam het gelijkheidsteken

kan flankeren. In Funktion und Begriff zal dit nog sterker naar voor komen, onder meer

omdat inhoud dan opgesplitst is in betekenis en verwijzing.

Een belangrijke klasse van objecten, zijn de getallen. Dat getallen objecten zijn, is een

stelling waaraan Frege nooit getwijfeld heeft32. Hij schrijft:

“In arithmetic this self-subsistence comes out at every turn, as for example in the identity

1 + 1 = 2. Now our concern here is to arrive at a concept of number usable for the

purpose of science; we should not, therefore, be deterred by the fact that in the language of

everyday life number appears also in attributive constructions” (GL, §57).

De rekenkunde spreekt over getallen als objecten. Dit wil niets meer zeggen dan dat

getallen in rekenkundige oordelen argumentplaatsen innemen:

“The self-subsistence which I am claiming for number is not to be taken to mean that a

number word signifies something when removed from the context of a proposition, but only

to preclude the use of such words as predicates or attributes, which appreciably alters their

meaning” (GL, §60).

31 Zie ook Ricketts: “To be an object is to be indicated by a first-level variable. So, our grasp of the notion of

an object is exhausted in our mastery of the logical principles in which first-level variables and the associated

proper names figure. Similar remarks hold for concepts. In this way, ontological notions are supervenient on

logical ones” (Ricketts, 1985, 6). 32 Zowel Dummett als Potter verbazen zich over Freges beperkte argumentatie voor deze stelling. “That

thesis, so crucial for Frege’s philosophy of arithmetic, […] remains […] wholly devoid of cogent

justification” (Dummett, 1991, 110); “But what reason do we have to think that numbers are ‘self-subsistent

objects’? This claim is central to Frege’s account. It is therefore astonishing how weak his argument for it is”

(Potter, 2000, 70). Ik probeer een aanzet te geven.

25

Een juiste verheldering van het getalsconcept moet rekening houden met de praktijk van de

rekenkunde. Frege wil de rekenkunde funderen, niet omwentelen. Als zou blijken dat de

rekenkunde niet intact kan blijven, is zijn project niet geslaagd. Dummett verwijt Frege dat

zijn keuze om het predicatieve gebruik van getallen in de natuurlijke taal te negeren, ad

hoc is (Dummett, 1991, 109)33. Ik denk niet dat dit klopt: er is een klasse van proposities

met een geprivilegieerde status: die van de rekenkunde zelf, en daarin treden getallen op in

de objectpositie. Het loutere oordeel ‘2 = 2’ impliceert reeds dat 2 een object is (in de zin

van Frege).

Welk soort objecten zijn getallen? Frege bekritiseert in de Grundlagen de stelling dat

getallen empirische objecten of objecten van de zuivere aanschouwing zijn. De optie die

overblijft, is dat het niet-zintuiglijke objecten zijn, logische objecten. Zoals hij het uitdrukt

in zijn beroemde citaat:

“In arithmetic we are not concerned with objects which we come to know as something

alien from without through the medium of the senses, but with objects given directly to our

reason and, as its nearest kin, utterly transparent to it” (GL, §105).

Frege neemt daarmee afstand van Kant:

“I must also protest against the generality of Kant’s dictum: without sensibility no object

would be given to us. Nought and one are objects which cannot be given to us in sensation”

(GL, §89).

Hij vermeldt dit bijna terloops, als een soort aanhangsel op zijn overige kritieken op Kant,

maar dit is absoluut cruciaal en vormt een breuk met wat misschien wel het meest

fundamentele principe is van de Kritik der reinen Vernunft:

“Ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben, und ohne Verstand keiner gedacht

werden. Gedanken ohne Inhalt sind leer, Anschauungen ohne Begriffe sind blind” (KRV,

A51/B75).

33 Hij schrijft zelfs: “Frege aimed […] to prove a radical adjectival strategy unfeasible, because numbers have

to be recognized as being objects. In this, he utterly failed” (Dummett, 1991, 105).

26

Frege is hier niet blind voor. De grote opdracht waar hij zich in de Grundlagen voor

geplaatst ziet, is het epistemologisch funderen van zijn logische objecten: “How, then, are

numbers to be given to us, if we cannot have any ideas or intuitions of them?” (GL, §62).

Zo meteen zullen we zien hoe Frege dit meent op te lossen.

De wet van Leibniz

In het Begriffsschrift formuleerde Frege twee wetten over identiteit: oordeel 52 en 54. Wat

daar ontbrak, was een definitie van identiteit. Ik heb toen aangegeven dat identity of

indiscernibles er impliciet geldig is. In de Grundlagen neemt Frege dit expliciet als

definitie:

“Now Leibniz’s definition is as follows: ‘Things are the same as each other, of which one

can be substituted for the other without loss of truth’. This I propose as my own definition

of identity” (GL, §65).

Ik zal hiernaar verwijzen als de wet van Leibniz. Een vraag die we ons kunnen stellen, is

of Frege identiteit nog steeds ziet als een relatie tussen namen. Bovenstaande passage

suggereert van niet. Dit is echter een probleem dat ik hier niet in detail kan onderzoeken34.

De wet van Leibniz lijkt eenvoudig, maar er dringen zich al snel problemen op indien men

ze wil toepassen op empirische objecten die zich in ruimte en tijd situeren (en veranderen).

In de Grundlagen schrijft Frege dat “objects […] can change their properties without

preventing us from recognizing them as the same” (GL, §46). Dit is identiteit doorheen de

tijd. Frege vermeldt dit terloops, maar dit is niet zo eenvoudig: in die context treden er rond

de wet van Leibniz allerlei complexe kwesties op rond de ruimte- en tijdsgebondenheid van

eigenschappen. Volgend citaat zou voldoende moeten zijn om dit te illustreren:

“You're performing an amazing trick right now: you're in two places at once. How do you

manage to be down there, near the floor, and yet also be a metre or two up in the air? Well,

it's not so very amazing: your feet are down there on the floor, and your head is up in the

air. Having spatial parts enables you to be in several different places, and to have different

properties in different places: you're cold down there on the tiled floor, and also warm up

34 Zie bijvoorbeeld (May, 2001, 27-28), die overtuigd is van het negatieve antwoord.

27

there by the heater, because your feet are cold and your head is warm. Moreover, having

parts could let you be in the same place as someone else: if you shared a hand with a

conjoined (‘Siamese’) twin, then you could both wear the same glove without jostling for

space” (Hawley, 2010)35.

Het is duidelijk dat dit problemen zijn die Frege niet bezighielden. Zijn objecten, de

getallen, zijn logische objecten, en deze bevinden zich niet in tijd en ruimte36, en zijn

bovendien onveranderlijk. Dat maakt hun identiteit een stuk eenvoudiger. Indiscernibility

is zeer complex voor empirische objecten, maar voor wiskundige objecten komt dit

natuurlijk over: wiskundig gezien, zijn twee wiskundige objecten identiek als ze dezelfde

(relevante) wiskundige eigenschappen hebben 37 . Wiskundige objecten bezitten een

duidelijke, strak omlijnde set eigenschappen op basis waarvan ze geïdentificeerd worden.

Zeker binnen axiomatische theorieën zoals de Peano-rekenkunde is dit duidelijk38. Voor

empirische objecten ligt dit anders: het is veel minder evident vanaf wanneer we over

dezelfde ‘kat’39 mogen spreken als vanaf wanneer we over hetzelfde ‘getal’ mogen spreken,

op basis van de eigenschappen die ze bezitten.

Het contextprincipe

In de inleiding van de Grundlagen formuleert Frege zijn beroemde contextprincipe:

“Never to ask for the meaning of a word in isolation, but only in the context of a

proposition” (GL, p. Xe).

Het is cruciaal dit goed te begrijpen. Om niet te verwarren met zijn latere terminologie, zal

ik opnieuw spreken van inhoud in plaats van betekenis. Frege zelf kadert het

35 Om even de connectie te maken met mijn voorwoord: men kan hier ook aan het morceau de cire denken

van Descartes (Descartes, 2009, 102ff.). 36 Frege beseft heel goed waarom het voor zijn project zo belangrijk is om Mills empiricisme te bekritiseren. 37 Dit is wat het structuralisme in de filosofie van de wiskunde wil uitbuiten. Zie bijvoorbeeld het beroemde

artikel What Numbers Could not Be (Benacerraf, 1965), waarin Benacerraf aangeeft dat het onderscheid

tussen twee verschillende manieren om de natuurlijke getallen als objecten (verzamelingen) te begrijpen,

wiskundig niet relevant is. 38 Merk op dat Frege hier niet over beschikte, maar in de Grundlagen wel aardig in de buurt kwam. Zie

(Dummett, 1991, 12-13) voor een korte bespreking. Het was Dedekind die de rekenkunde als eerste expliciet

axiomatiseerde. 39 Mijn keuze is hier natuurlijk niet toevallig, gezien de identificatie van katten (Tibbles) één van de

paradigmatische problemen is in het vaagheidsdebat, dat weer samenhangt met identiteit. Zie (Noonan, 2011).

28

contextprincipe als een wapen tegen het psychologisme: “If the second principle is not

observed, one is almost forced to take as the meanings of words mental pictures or acts of

the individual mind, and so to offend against the first principle40 as well” (GL, p. Xe).

Beschouw de zin ‘er ligt een appel in de fruitmand’. Wat het contextprincipe stelt, is dat

het woord ‘appel’ enkel betekenis krijgt doorheen het optreden in zinnen zoals deze. We

kunnen niet vragen naar een op zichzelf staande betekenis van ‘appel’, maar slechts kijken

naar de zinnen waarin het woord optreedt. Deze, om het in wittgensteiniaanse termen uit te

drukken, tonen de betekenis van appel, doorheen hun eigen positie binnen het holistische

logische netwerk. Wat het contextprincipe doet, is de inhoud van termen intern maken aan

de taal, zoals deze van oordelen dat ook al was. Frege schrijft: “It is enough if the

proposition taken as a whole has a sense; it is this that confers on its parts also their content”

(GL, §60). Er is geen extern standpunt van waaruit metalinguïstische vragen gesteld kunnen

worden. Zoals Dummett het beschrijft:

“The context principle — as employed in Grundlagen — makes a term’s possession of a

meaning internal to the language: we need only satisfy ourselves that truth-conditions have

been fixed for all the sentences in which the term may occur, and no further question

remains to be settled. In particular, no question can be raised whether it really stands for

anything: the object for which it stands is given to us through our understanding of the term,

which is in turn constituted by our grasp of the senses of sentences containing it” (Dummett,

1991, 206-207)41.

Het contextprincipe is een verlengstuk van Freges holistische epistemologie uit het

Begriffsschrift. Er is geen bottom-up notie van inhoud, waarin de inhoud van een oordeel

ontstaat uit de inhoud van de componenten. Frege is geen atomist. Een woord, een term,

heeft enkel inhoud bij gratie van de inhoud van de oordelen waarin het optreedt en de

manier waarop deze zich logisch verhouden tot elkaar en tot andere oordelen. Vanuit dit

oogpunt is het onmiddellijk duidelijk dat het zinloos is om naar de inhoud te vragen van

een term op zichzelf. Dit zou de inhoud van de term doen voorafgaan aan de oordelen

40 Dat luidt: “Always to separate sharply the psychological from the logical, the subjective from the objective”

(GL, p. Xe). Het psychologisme is altijd één van Freges geliefkoosde vijanden geweest. 41 Het is misschien zinvol op te merken dat Dummett hier een evolutie ondergaan lijkt te hebben ten opzichte

van zijn vroegere werken over Frege. Tenminste, dat is wat ik afleid uit (Sluga, 1975), want ik heb Dummetts

vroeger werken zelf niet gelezen. Als dit klopt, heeft Dummett gaandeweg meer aandacht hebben gekregen

voor de holistische, contextuele aspecten van Freges taalfilosofie. Mogelijk is het net het debat met Sluga dat

hiervoor verantwoordelijk is.

29

waarin hij optreedt. Dergelijke theorieën, die de inhoud van een term zoeken in een

bepaalde mentale associatie (zoals het psychologisme) of een andersoortige op zichzelf

bestaande link, draaien de zaken om.

Het identiteitscriterium in de Grundlagen

Zoals gezien, plaatst Freges visie op het getal als logisch object hem voor een cruciale

vraag:

“How, then, are numbers to be given to us, if we cannot have any ideas or intuitions of

them?” (GL, §62).

Dit is de vraag naar de identificatie van logische objecten en is het fundamentele probleem

van Freges hele filosofie. Zoals hij later in de Appendix van het tweede Volume van de

Grundgesetze zal schrijven, na het ontvangen van Russells brief:

“The prime problem of arithmetic may be taken to be the problem: how do we apprehend

logical objects, in particular numbers? What justifies us in recognizing numbers as objects?

Even if this problem is not yet solved to the extent that I believed it was when I wrote this

volume, nevertheless I do not doubt that the way to a solution has been found” (GGAb, p.

289, p. 265).

Zijn (voorlopig) antwoord vormt zonder twijfel de belangrijkste passage uit de Grundlagen.

Ik geef daarom een close reading.

“Since it is only in the context of a proposition that words have any meaning, our problem

becomes this: To define the sense of a proposition in which a number word occurs” (GL,

§62).

Dit is de kern van Freges epistemologie van de wiskunde uit de Grundlagen. De vraag die

Frege beantwoordt, is: hoe kunnen wij kennis bezitten van objecten los van de ervaring?

Het antwoord luidt: het contextprincipe. We hebben gezien hoe het contextprincipe de

inhoud van termen intern maakt aan de taal. Het is de notie van inhoud als beperkt tot wat

logisch relevant is en dus wat formeel weergegeven kan worden, die Frege toelaat om onze

30

kennis van het getal volledig te funderen in de logica, los van enige ervaring of

aanschouwing. Onze kennis van getallen wordt symbolisch gedragen.

Dummett ziet in Freges toepassing van het contextprincipe het allereerste voorbeeld van de

zogenaamde linguistic turn: “An epistemological problem, with ontological overtones, is

by its means converted into one about the meaning of sentences. […] Frege was the first to

ask a non-linguistic question and return a linguistic answer. If it were on the strength of

Grundlagen, §62 and its sequel alone, he would still deserve to be called the grandfather of

analytical philosophy” (Dummett, 1991, 111-112). Over Dummetts historische claim

spreek ik mij niet uit, maar wat Freges manoeuvre betreft, heeft hij gelijk. Ik heb

aangegeven hoe deze linguistic turn natuurlijk volgt uit zijn Begriffsschrift. Dummett

vervolgt: “He offers no justification for making it, considers no objection to it and essays

no defence of it” (Dummett, 1991, 112). Inderdaad: het is één iets om te zeggen dat de taal

de betekenis van een getalsterm draagt, het is iets anders om te stellen dat de taal ook onze

kennis van het getal uitput42. Elke inbreng van de aanschouwing, bij Kant zo essentieel, is

daarmee definitief uitgeschakeld: getallen zijn volledig abstract geworden.

We zien hoe Frege, op zijn minst wat het getal betreft, zijnsvragen inbedt in het

epistemologische register van schriftuur en taal, zoals Van de Vijver aangeeft (Van de

Vijver, 2013, 358). Een getal is niet iets wat zich op zichzelf, los van ons denken, aan ons

presenteert, maar constitueert zich daarentegen binnen de (formele) structuur van ons

denken.

Frege vervolgt:

“That, obviously, leaves us still a very wide choice. But we have already settled that number

words are to be understood as standing for self-subsistent objects. And that is enough to

give us a class of propositions which must have a sense, namely those which express our

recognition of a number as the same again. If we are to use the symbol 𝑎 to signify an

object, we must have a criterion for deciding in all cases whether 𝑏 is the same as 𝑎, even

if it is not always in our power to apply this criterion” (GL, §62).

Identiteit treedt hier expliciet op de voorgrond als datgene wat objecten isoleert. Opdat iets

een object is, moet voor elk ander object in principe vastliggen of het eraan gelijk is of niet.

Het vermogen van identiteit om argumenten te isoleren, maakt het tot een middel om

42 Ik dank deze opmerking aan professor Van Dyck.

31

nieuwe termen voor objecten op te nemen in het logische netwerk, precies omdat enkel

objecten het gelijkheidsteken kunnen flankeren. Bemerk ook de epistemologische termen

waarin Frege spreekt: het criterium voor een object is de mogelijkheid tot (her)identificatie.

Frege gaat verder:

In our present case, we have to define the sense of the proposition ‘the number which

belongs to the concept 𝐹 is the same as that which belongs to the concept 𝐺’43; that is to

say, we must reproduce the content of this proposition in other terms, avoiding the use of

the expression ‘the Number which belongs to the concept 𝐹’. In doing this, we shall be

giving a general criterion for the identity of numbers” (GL, §62).

Ik zal ‘the number which belongs to the concept 𝐹’ in het vervolg afkorten als ‘𝑛(𝐹)’.

Frege definieert de inhoud van ‘𝑛(𝐹) = 𝑛(𝐺)’ door te stellen dat er een bijectie moet zijn

tussen de objecten die vallen onder 𝐹 en deze die vallen onder 𝐺. Frege benadrukt hierbij:

“We are therefore proposing not to define identity specially for this case, but to use the

concept of identity, taken as already known, as a means for arriving at that which is to be

regarded as being identical” (GL, §63). Het aanvankelijke idee is: als we de inhoud kennen

van ‘𝑛(𝐹) = 𝑛(𝐺)’, en weten wat identiteit is (en dat weten we), dan kunnen we daaruit

de inhoud van ‘𝑛(𝐹)’ en ‘𝑛(𝐺)’ distilleren.

Het identiteitscriterium heeft nog een ander belang: het laat Frege toe om gelijkheden

tussen getallen te bewijzen. De wet van Leibniz verklaart het concept identiteit, maar is

logisch gezien geen werkbare definitie: er is in Freges logica geen manier om te bewijzen

dat twee objecten eraan voldoen. Aangezien hij de wetten van de rekenkunde niettemin wil

afleiden, heeft hij nood aan de introductie van identiteit. Deze wordt geleverd door het

identiteitscriterium voor getallen. De hertaling van ‘𝑛(𝐹) = 𝑛(𝐺)’ kan wel bewezen

worden. Met zijn identiteitscriterium slaat Frege dus twee vliegen in één klap: het laat hem

niet alleen toe getallen in te bedden in zijn logisch systeem, maar bovendien op een

zodanige manier dat er inferenties mogelijk zijn naar gelijkheden tussen getallen.

Frege associeert met elk concept 𝐹 een getal 𝑛(𝐹), met name het aantal objecten die

eronder vallen. Dit betekent dat, voor Frege (althans binnen de sfeer van zijn formele

43 In de aanloop tot deze passage is Frege tot de conclusie gekomen dat “the content of a statement about

number is an assertion about a concept” (GL, §46). De canonieke term voor een getal is op dit punt dus wel

degelijk ‘the number which belongs to the concept 𝐹’ en niet bijvoorbeeld ‘7’, aangezien die laatste nog

gedefinieerd moet worden. Zie ook (Dummett, 1991, 112).

32

logica), elk concept een sortal is en dat elk object onder sortals valt. Of nog anders

uitgedrukt: kardinaliteit is een intrinsieke eigenschap van concepten en objecten. Ik kom

hier nog op terug.

Frege eindigt:

“When we have thus acquired a means of arriving at a determinate number and of

recognizing it again as the same, we can assign it a number word as its proper name” (GL,

§62).

We herkennen semantische stabiliteit. Vooraleer we een naam kunnen geven aan een getal,

er een teken op plakken als het ware, moet er een garantie zijn dat we dit getal telkens

opnieuw kunnen identificeren als hetzelfde.

Frege illustreert zijn procedure aan de hand van een ander concept, dat van de richting van

een rechte. We kunnen ‘de richting van 𝑎 is de richting van 𝑏’ definiëren als ‘𝑎 ∥ 𝑏’44 (GL,

§64). Hij merkt echter op dat dit niet volstaat:

“Our definition affords us the meaning of recognizing this object as the same again, in case

it should happen to crop up in some other guise, say as the direction of 𝑏. But this means

does not provide for all cases. It will not, for instance, decide for us whether England is the

same as the direction of the Earth’s axis—if I may be forgiven an example which looks

nonsensical” (GL, §66).

Dit bezwaar staat bekend als het Julius Caesar probleem, omdat Frege het reeds vroeger in

de Grundlagen aanhaalt met betrekking tot een andere voorgestelde definitie voor het

getalsbegrip, en daar Julius Caesar als voorbeeld hanteert45.

Het volstaat dus niet dat gelijkheden tussen getallen onderling een inhoud hebben. Men zou

kunnen denken dat, als die klasse gelijkheden een inhoud heeft, dat dan de getalstermen

een inhoud hebben en er verder geen werk te verrichten is. Maar dan verliest men opnieuw

44 Deze notatie betekent: 𝑎 is parallel met 𝑏. 45 “But we can never—to take a crude example—decide by means of our definitions whether any concept has

the number JULIUS CAESAR belonging to it, or whether that same familiar conquerer of Gaul is a number or

is not” (GL, §56).

33

het contextprincipe en het daaraan gekoppelde holisme uit het oog. De procedure is niet om

een onafhankelijke inhoud te geven aan een getalsterm op zichzelf (dat kan niet), maar om

ervoor te zorgen dat de getalstermen ingebed raken in het logisch systeem. Dat kan enkel

door ze logisch te laten functioneren, en daarvoor moeten alle gelijkheden een inhoud

krijgen.

Het Julius Caesar probleem

Freges bezorgdheid is de volgende: opdat getalstermen volwaardig logisch functioneren als

objecten, moet elke gelijkheid waarin ze optreden een inhoud hebben. De voorgestelde

definitie is onvoldoende. Zoals Frege schrijft met betrekking tot zijn voorbeeld van

richtingen: “That says nothing as to whether the proposition ‘the direction of 𝑎 is identical

with 𝑞’ should be affirmed or denied, except for the one case where 𝑞 is given in the form

of ‘the direction of 𝑏’. What we lack is the concept of direction” (GL, §66). Anders gezegd:

eerst moeten we kunnen vaststellen dat iets een richting is, vervolgens kunnen we nagaan

om welke richting het gaat.

Freges probleem komt voort uit zijn erkenning van samengestelde namen, waaronder

bijvoorbeeld definite descriptions. Het zijn deze die ervoor zorgen dat objecten ons op

verschillende manieren gegeven kunnen worden, waardoor één identiteitscriterium niet

volstaat. In feite steunt Freges gebruik van het identiteitscriterium hierop, aangezien termen

als ‘𝑛(𝐹) ’ een inhoud krijgen doordat ze bestaande objecten op een nieuwe manier

presenteren. Als dat niet het geval was, zou elk identiteitscriterium nieuwe objecten

scheppen, maar dat is teveel gevraagd:

“Even the mathematician cannot create things at will, any more than the geographer can;

he too can only discover what is there and give it a name” (GL, §96).

Zoals hij elders schrijft: “The definition of an object does not, as such, really assert anything

about the object, but only lays down the meaning of a symbol” (GL, §67). Het

identiteitscriterium zorgt ervoor dat de getalstermen kunnen inhaken in de bestaande

objecten, dat ze tot leven komen.

Waar Frege met het Julius Caesar probleem de vinger op legt, is het onderscheid tussen

een equivalentierelatie en de identiteitsrelatie. Beiden zijn reflexief, symmetrisch en

34

transitief, maar mogen geenszins verward worden. Freges definitie van 𝑛(𝐹) = 𝑛(𝐺) is

een equivalentierelatie tussen concepten, laat me deze noteren als 𝐹 ~ 𝐺. Frege stipuleert

dat 𝐹 ~ 𝐺 als en slechts als er een bijectie is tussen de objecten die onder 𝐹 vallen en deze

die onder 𝐺 vallen. Maar dit volstaat niet om identiteit tussen getallen vast te leggen. Het

enige wat de equivalentierelatie doet, is de concepten partitioneren. Van getallen is hier

geen sprake. Om vanuit een equivalentierelatie tot objecten te komen, moet overgegaan

worden op de equivalentieklassen. Inderdaad, zij �̃� de equivalentieklasse waartoe 𝐹

behoort. Dan is �̃� = �̃� ≡ 𝐹 ~ 𝐺 , en kunnen we definiëren: 𝑛(𝐹) = �̃� . Welnu, dit is

precies wat Frege doet: “The Number which belongs to the concept 𝐹 is the extension of

the concept ‘equal46 to the concept 𝐹’” (GL, §68)47. Bemerk hierin de structuraliteit: ‘𝐹’

vormt een variabele48.

Ik heb reeds gezegd dat kardinaliteit voor Frege een intrinsieke eigenschap is van concepten

en objecten. Zijn conceptuele universum is door en door rekenkundig. Freges definitie van

het getal maakt dit expliciet. Getallen zijn equivalentieklassen bestaande uit alle concepten

met eenzelfde kardinaliteit, en elk concept is geassocieerd met zo’n equivalentieklasse49.

Elk concept is een sortal. Dit hangt sterk samen met Freges visie op identiteit. De notie van

een bijectie tussen concepten (en dus Freges equivalentierelatie tussen concepten) maakt

essentieel gebruik van identiteit (GL, §72), en van het feit dat alle objecten het

gelijkheidsteken kunnen flankeren (en steeds al dan niet identiek zijn). Dit is niets anders

dan zeggen dat alle objecten geteld kunnen worden50. Freges visie op identiteit is cruciaal

46 Equal betekent de reeds aangehaalde “possibility of correlating one to one the objects which fall under the

one concept with those which fall under the other” (GL, §68). 47 Met behulp van deze definitie gaat Frege de getallen recursief opbouwen. Het is niet oninteressant Freges

definitie van 0 te vermelden: “0 is the Number which belongs to the concept ‘not identical with itself’” (GL,

§74). Gelet op (𝑐)(𝑐 ≡ 𝑐) (BS, §21), oordeel 54 van het Begriffsschrift, weten we dat er voor Frege inderdaad

geen enkel object valt onder 𝑥 ≠ 𝑥. Tegelijk mogen we het belang hiervan niet overschatten. Eender welk

concept waaronder geen enkel object valt, is geschikt om 0 te definiëren, zoals bijvoorbeeld ‘rond en

vierkant’. Zelfs in het strak omlijnde systeem van de Grundgesetze (zie verderop) zijn er zo voldoende te

vinden, zoals ‘—𝑥 = ¬𝑥’ of ‘(∃𝛷)(𝛷(𝑥) ∧ ¬𝛷(𝑥))’. 48 De voorbije alinea is sterk beïnvloed door (Geach, 1967) en (Stevenson, 1972). Ik dank Boris Demarest

om mij op de relevantie van het artikel van Geach voor mijn bespreking van Frege te wijzen. De dialectiek

die Frege in de Grundlagen doorvoert kan vergeleken worden met deze tussen Geach en Stevenson. Geach

stelt dat identiteit een relatieve relatie is, die enkel in de vorm ‘is dezelfde 𝐹’ begrepen kan worden (met

andere woorden: enkel relatief aan een bepaalde sortal, Geach spreekt van ‘count noun’). Stevenson merkt

op dat Geach daarmee equivalentierelaties vastlegt, en dat deze ‘opgewaardeerd’ kunnen worden tot identiteit

door over te stappen op de bijhorende equivalentieklassen. Volgende passage, bijvoorbeeld, doet onmiddellijk

denken aan de Grundlagen: “My reply is that these criteria define equivalence relations, but not relations of

identity. They give clear meanings to the relation ‘is the same word-type as’, ‘is the same surman as’, and ‘is

the same rational number as’, which may hold between word-tokens, men, and ordered pairs of integers

respectively, but they do not tell us what it is to be a word-type, a surman, or a rational number” (Stevenson,

1872, 157). 49 Ik zeg hier niet ‘valt onder zo’n equivalentieklasse’ omdat Frege strikt genomen geen ∈-relatie hanteert. 50 Een andere manier om dit uit te drukken is dat Freges objecten discreet zijn.

35

om zijn gebruik van identiteitscriteria te onderbouwen. Merk op dat ook de wet van Leibniz

hier naadloos in past: deze geeft aan dat twee objecten identiek zijn indien ze dezelfde

bijdrage leveren (0 of 1) aan de kardinaliteit van alle sortals.

Men kan een bezwaar formuleren bij Freges definitie van het getal: komt hij uiteindelijk

toch niet met een arbitraire definitie op de proppen, die alle voorbereiding nutteloos maakt

en toch een betekenis geeft aan getalstermen op zichzelf en zo zondigt tegen het

contextprincipe? Neen. Ten eerste is er het punt, dat ook Dummett aanhaalt (Dummett,

1991, 201), dat Freges definitie geïnformeerd is door het opgestelde identiteitscriterium: ze

moet er compatibel mee zijn. Ten tweede wordt helemaal geen op zichzelf staande inhoud

gegeven. Wat Freges definitie doet, is aangeven hoe getalstermen logisch functioneren, met

name op dezelfde manier als de genoemde extensies van concepten. Hij stipuleert de

logische rol die getalstermen innemen.

Frege bedt getalstermen in in het logische netwerk door ze te assimileren aan bepaalde

extensies van concepten die reeds logisch actief zijn: “I assume that it is known what the

extension of a concept is” (GL, §69, voetnoot). Uiteraard is dit een problematische claim,

en in de Grundgesetze zal Frege zijn extensies logisch trachten te funderen. Maar ze is wel

belangrijk om een correct beeld te krijgen van wat er aan de hand is.

Sluga schrijft over de zonet besproken paragrafen uit de Grundlagen:

“I believe it was the issue how the claim that numbers are logical objects should be

reconciled with the contextual principle” (Sluga, 1975, 486).

Als ik hem goed begrijp, doelt Sluga op het schijnbare probleem met Freges expliciete

definitie, dat ik hierboven heb besproken. Toch vind ik dit een eigenaardige stelling, gezien

Frege het contextprincipe net naar voor schuift als toegangsweg tot kennis van logische

objecten. Er is heel duidelijk gebleken dat Frege zonder het contextprincipe volstrekt

hulpeloos zou zijn tegen het psychologisme: enkel door inhoud intern te maken aan de taal,

door de linguistic turn door te voeren, kan Frege een plausibele epistemologie van abstracte

objecten naar voor schuiven. Het Begriffsschrift, om dit nog maar eens te benadrukken, is

hiervoor cruciaal. Zonder zijn nieuwe logica was dit absoluut ondenkbaar: de oude logica

kan nooit zoveel dragen. Dat is ook de reden dat filosofen als Kant en Mill niet anders

konden dan externe bronnen van wiskundige kennis naar voor schuiven. De Grundlagen,

36

hoewel er geen enkele formule in voorkomt, steunt volledig op de kracht van het

Begriffsschrift. In de Grundgesetze zal Frege deze kracht expliciet aan het werk zetten om

zijn filosofische claims uit de Grundlagen hard te maken.

Na de Grundlagen ondergaat Freges denken een belangrijke evolutie. Ik zal deze trachten

weer te geven doorheen een bespreking van twee van zijn bekendste artikels: Über Sinn

und Bedeutung (1892) en Funktion und Begriff (1891). Dit is een noodzakelijke

voorbereiding vooraleer we kunnen overgaan tot de Grundgesetze.

37

Über Sinn und Bedeutung

Freges beroemde essay Über Sinn und Bedeutung (1892) bevat twee centrale elementen:

het introduceren van betekenis en verwijzing om de cognitieve waarde van gelijkheden te

verklaren en het postuleren van het Ware en het Valse als verwijzingen van proposities. Dit

zijn twee zetten die van groot belang zijn voor de Grundgesetze.

Wat de exegese van Frege betreft, is Über Sinn und Bedeutung veruit zijn meest besproken

werk. Dat is niet toevallig: het essay bevat een karrenvracht aan suggestieve ideeën, deels

omdat Frege zijn geliefkoosde domein van de wiskunde en de logica verlaat voor de

natuurlijke taal. Niettemin is het belangrijk te beseffen dat de focus op natuurlijke taal voor

een stuk schijn is: zijn ware bekommernis blijft de rekenkunde. Wat Über Sinn und

Bedeutung ook moge suggereren, de natuurlijke taal (met de morgenster en de avondster

voorop) is nooit Freges primaire bekommernis geweest51. Ze dient hem slechts tot middel

om zijn twee innovaties plausibel te maken, zodat hij ze in de Grundgesetze kan toepassen

in zijn formeel systeem.

De cognitieve waarde van gelijkheden

Über Sinn und Bedeutung opent met de vraag naar de aard van identiteit:

“Equality [voetnoot: I use this word in the sense of identity and understand ‘𝑎 = 𝑏’ to

have the sense of ‘𝑎 is the same as 𝑏’ or ‘𝑎 and 𝑏 coincide’] gives rise to challenging

questions which are not altogether easy to answer. Is it a relation? A relation between

objects, or between names or signs of objects?” (SB, 151, 25).

Interessant is de manier waarop Frege deze vraag beantwoordt. Hij neemt als premisse52

dat ‘𝑎 = 𝑎’ en ‘𝑎 = 𝑏’ een verschillende cognitieve waarde hebben (SB, 151, 25) en wil

dit gegeven verklaren. Frege is listig: hij staaft dit aan de hand van het voorbeeld dat het

elke dag dezelfde zon is die opkomt (SB, 151, 25). Daarna is er nog een meetkundig

51 Interessant is de volgende observatie van Textor, op basis van het ruimere oeuvre van Frege: “Surprisingly,

then, Frege himself emerges as a source of a strong argument against the application of sense and reference

to shared natural language proper names” (Textor, 2011, 176). Dit betekent uiteraard niet dat het niet zinvol

is om Freges suggesties verder uit te werken. 52 “𝑎 = 𝑎 and 𝑎 = 𝑏 are obviously statements of differing cognitive value” [mijn cursivering ] (SB, 151,

25).

38

voorbeeldje (SB, 152, 26) en ook de morgenster en avondster ontbreken natuurlijk niet op

het appel (SB, 152, 27).

Maar dat is allemaal naast de kwestie. Uiteraard levert het kennis op om te weten te komen

dat de morgenster dezelfde is als de avondster. Dat de meetkunde synthetisch is, en dus

kennis bevat, is eveneens een stelling die Frege onderschrijft (GL, §14). Maar Frege wil

zijn argumenten toepassen op de logica en de rekenkunde. Wat die betreft, is het niet zo

evident dat ‘𝑎 = 𝑎’ en ‘𝑎 = 𝑏’ verschillende cognitieve waarde hebben. Wittgenstein zal

Frege in de Tractatus onder meer net op dit punt aanvallen. Frege verzwijgt handig de

kwestie waar het hem uiteindelijk om te doen is.

Bovendien is het nog de vraag in hoeverre Freges vergelijking wel opgaat. Zoals ik heb

aangegeven, is het allesbehalve evident om Freges invulling van identiteit toe te passen op

empirische objecten zoals de morgenster en de avondster 53 . Frege gaat zich nooit

confronteren met deze problemen, omdat ze hem niet interesseren.

Hoe het ook zij, Frege opteert voor het eerste alternatief: identiteit is een relatie tussen

objecten. Hij herziet dus zijn visie uit het Begriffsschrift. Zijn bezwaar is: “In that case the

sentence 𝑎 = 𝑏 would no longer be concerned with the subject matter, but only with its

mode of designation” (SB, 152, 26). Een uitspraak als ‘de morgenster is de avondster’ is in

dit geval geen astronomische propositie. Wat beweerd wordt, is dat de namen ‘morgenster’

en ‘avondster’ eenzelfde inhoud hebben, wat hoogstens een filologische stelling is. De

kwestie is niet dat dit louter conventioneel is, maar wel dat het de verkeerde kennis

meedeelt54.

Frege lost zo een probleem van zijn theorie over identiteit uit het Begriffsschrift op: dat ze

een use/mention verwarring bevat (White, 1978, 158) 55 . In de inleiding van de

Grundgesetze gaat Frege de formalisten zelf verwijten dat ze “knead sign and thing

signified indistinguishably together” (GGAf, p. 10, p. xiii).

Vanuit zijn nieuwe visie moet Frege een nieuwe verklaring bieden voor de cognitieve

waarde van gelijkheden, want als relatie tussen objecten lijkt identiteit triviaal: “Now if we

53 Voldoen de morgenster en de avondster aan de wet van Leibniz? 54 Ik sluit me hier aan bij Mendelsohn: “It might be arbitrarily agreed that ‘𝑎’ names 𝑎 and arbitrarily agreed

that ‘𝑏’ names 𝑏, yet although ‘𝑎’ and ‘𝑏’ name the same thing, it would be a flagrant intensional fallacy to

conclude that it was arbitrarily agreed that ‘𝑎’ and ‘𝑏’ name the same thing. […] It is hardly credible that

Frege would commit just this kind of error in, of all places, SR” (Mendelsohn, 1982, 294). 55 Hierboven reeds geciteerd.

39

were to regard equality as a relation between that which the names ‘𝑎’ and ‘𝑏’ designate, it

would seem that 𝑎 = 𝑏 could not differ from 𝑎 = 𝑎” (SB, 151, 26).

Welnu: “A difference can arise only if the difference between the signs corresponds to a

difference in the mode of presentation56 of the thing designated” (SB, 152, 27). Het grote

verschil met vroeger, zoals Heck aangeeft (Heck, 2003, 102), is de lokalisering van die

mode of presentation: het betreft niet het teken, maar de inhoud van het teken. Frege stelt

het als volgt: “[The content] has now split for me” (GGAf, p. 6, p. x). Inderdaad:

“It is natural, now, to think of there being connected with a sign (name, combination of

words, written mark), besides that which the sign designates, which may be called the

Bedeutung of the sign, also what I should like to call the sense of the sign, wherein the

mode of presentation is contained” (SB, 152, 26-27).

Zo wordt verklaard hoe ‘𝑎 = 𝑏’ tegelijk objectief kan zijn en cognitieve waarde bezitten.

De verwijzingen van ‘𝑎’ en ‘𝑏’ zijn eenzelfde object, maar de betekenissen verschillen en

stemmen overeen met de twee verschillende manieren waarop dit object wordt

gepresenteerd. Dat deze verschillende betekenissen overeenstemmen met eenzelfde object,

is een oordeel dat onze kennis uitbreidt. Dit is dezelfde epistemologische bekommernis als

uit het Begriffsschrift, die voor Frege moet verzekeren dat de rekenkunde kennis oplevert.

Het is onnodig te wijzen op de ongekende invloed die deze zet van Frege in de filosofie

heeft gehad. Ze vormt een mooi voorbeeld van de manier waarop nadenken over abstracte

onderwerpen, zoals de cognitieve waarde van logische gelijkheden, kan leiden tot inzichten

die een veel bredere relevantie in zich dragen57.

Frege maakt in Über Sinn und Bedeutung opnieuw essentieel gebruik van de gedachte dat

objecten ons op verschillende manieren gepresenteerd kunnen worden door samengestelde

56 In het Begriffsschrift ging het om een “mode of determination” (BS, §8), een term die ook in Über Sinn

und Bedeutung opduikt. 57 Ik kan de complexiteit van de openingsparagrafen van Über Sinn und Bedeutung niet volledig recht doen.

Thau en Caplan menen zelfs dat Frege zijn theorie uit het Begriffsschrift nooit fundamenteel herzien heeft:

identiteit is voor hem altijd een metalinguïstische relatie gebleven (Thau & Caplan, 2001). Ik sluit me evenwel

aan bij (Heck, 2003) en acht deze visie onhoudbaar. Wie de Grundgesetze aandachtig leest, kan er niet

onderuit dat het ondubbelzinnig een relatie tussen objecten betreft. Er is hier een interessante asymmetrie.

Uitspraken als “rather I should only have designated the truth-value of ‘2 + 3 = 5’’s denoting the same as

‘2 = 2’” (GGAf, §5) kunnen een ‘objectivistische’ lezing krijgen, maar het is niet mogelijk om “the function

of two arguments 𝜉 = 𝜁 always has as value a truth-value, viz., the True if and only if the 𝜁-argument

coincides with the 𝜉-argument” (GGAf, §20) een metalinguïstische lezing te geven. Merk op dat argumenten

wel degelijk objecten zijn (GGAf, §1).

40

namen. Namen moeten een interne structuur in zich kunnen dragen die de mode of

presentation weerspiegelt. Ze zijn, om het anders uit te drukken, niet de kleinste

betekenisdragende elementen, zoals dat in de Tractatus wel het geval zal zijn. Enkel zo is

de cognitieve waarde van identiteitsuitspraken verklaarbaar.

Hoe belangrijk samengestelde namen voor Frege zijn, komt verder naar voor bij het tweede

belangrijke onderwerp van Über Sinn und Bedeutung, waaraan het grootste deel ervan

gewijd is: de verwijzing van proposities. Hierbij introduceert hij wat we zijn oerobjecten

zouden kunnen noemen: het Ware en het Valse.

Het Ware en het Valse

Verderop in Über Sinn und Bedeutung stelt Frege zich de vraag naar de betekenis en

verwijzing van proposities. Als betekenis schuift Frege de gedachte naar voor, die hij

omschrijft als “its objective content, which is capable of being the common property of

several thinkers” (SB, 156, 32, voetnoot).

Wat is de verwijzing? Frege merkt op dat iedereen die een propositie op een ernstige manier

voor waar of vals houdt, iedereen die op een ernstige manier oordeelt, een verwijzing

toeschrijft aan alle namen in die propositie (SB, 157, 33-34). Dat we ons niet tevreden

stellen met de betekenis, wijst erop dat we ook voor de propositie zelf een verwijzing

verwachten (SB, 157, 33). Welnu:

“But now why do we want every proper name to have not only a sense, but also a

Bedeutung? Why is the thought not enough for us? Because, and to the extent that, we are

concerned with [the] truth-value [of a sentence]” (SB, 157, 33).

En dus, besluit Frege, moeten we de waarheidswaarde van een propositie erkennen als zijn

verwijzing, en deze is ofwel het Ware, ofwel het Valse (SB, 157-158, 34). Het Ware en het

Valse zijn objecten (SB, 158, 35) die ons onmiddellijk gegeven zijn bij gratie van onze

oordeelsactiviteit als dusdanig (SB, 158, 34). Al wie denkt, is eraan gebonden.

De rest van Über Sinn und Bedeutung is niets anders dan één lange verdediging van de

these dat proposities verwijzen naar de waarheidswaarden58, zoals Frege zelf aangeeft (SB,

171, 49-50).

58 May ziet Über Sinn und Bedeutung in de eerste plaats als een “‘existence proof’ of senses” (May, 2001,

52), door aan te tonen, aan de hand van de indirecte rede, dat betekenissen verwijzingen kunnen zijn. Ik denk

41

Men kan zich vragen stellen bij het poneren van het Ware en het Valse, twee objecten die

een cruciale rol spelen in de Grundgesetze. Freges argument is in essentie het volgende:

“By combining subject and predicate, one reaches only a thought, never passes from a sense

to its Bedeutung, never from a thought to its truth-value. One moves at the same level but

never advances from one level to the next. A truth-value cannot be a part of a thought, any

more than, say, the Sun can, for it is not a sense but an object” (SB, 158, 35).

De gedachte en de waarheidswaarde vormen twee heterogene registers. Enkel het oordeel

kan de kloof overbruggen: “Judgements can be regarded as advances from a thought to a

truth-value” (SB, 159, 35). Dat enkel een oordeel een waarheidsclaim bevat, daarin kan ik

Frege volgen. Maar hoe zetten we van hieruit de stap dat het Ware en het Valse twee

objecten zijn? Wat Frege doet in Über Sinn und Bedeutung, is aantonen dat zijn aanname

niet onmiddellijk tot absurditeiten leidt, meer niet.

Eén element dat zeker meespeelt, is Freges preoccupatie met het rijk der verwijzingen59. In

zijn Comments on Sinn and Bedeutung60 schrijft hij: “The laws of logic are first and

foremost laws in the realm of Bedeutungen and only relate indirectly to sense. If it is a

question of the truth of something — and truth is the goal of logic — we also have to inquire

after Bedeutungen” (CSB, 178, 133). Proposities moeten dus wel een verwijzing hebben.

De optie die Frege over het hoofd ziet, en die Wittgenstein zal opnemen in de Tractatus, is

dat de relatie tussen een propositie en het rijk der verwijzingen van een ander type is dan

deze tussen naam en verwijzing. Het feit dat Frege vertrekt van samengestelde namen, zal

hier zeker toe bijgedragen hebben.

Niettemin is het slechts door naar Funktion und Begriff en de Grundgesetze te kijken, dat

men ten volle kan begrijpen waarom het voor Frege zo belangrijk is dat proposities

verwijzen naar het Ware en het Valse. Ik zal hier dus nog op terug komen.

niet dat dit een juiste lezing is. Ten eerste geeft Frege dit nergens zelf aan, wat verbazend zou zijn als dit het

centrale doel is van zijn essay. Bovendien definieert Frege de gedachte van een propositie als “its objective

content” (SB, 156, 32, voetnoot). Hij wekt niet de indruk dat dit argumentatie behoeft. Dat er zoiets is als

objectieve betekenis, is voor Frege in feite evident vanuit het loutere feit dat we communiceren met elkaar:

“For one can hardly deny that mankind has a common store of thoughts which is transmitted from one

generation to another” (SB, 154, 29). Ten tweede ziet Frege de indirecte rede als een probleem voor zijn

centrale stelling dat proposities verwijzen naar hun waarheidswaarde (SB, 171, 49-50). Het is die claim die

onder druk staat. 59 Een term die Frege zelf bezigt (CSB, 178, 133) en die ik ook nog zal hanteren. 60 Geschreven kort na Über Sinn und Bedeutung, vermoedelijk rond 1891-1892. Zie de toelichting van

Beaney (Beaney, 1997, 172).

42

Dit alles zorgt ervoor dat identiteit een nog centralere rol krijgt. Niet alleen namen

verwijzen naar objecten die identiek kunnen zijn, ook proposities doen dat. Proposities zijn

namen. Dit maakt het probleem van de cognitieve waarde van identiteitsuitspraken

bijzonder acuut. Immers, zeggen dat 𝑝 en 𝑞 waar zijn, is niets anders dan zeggen dat beiden

verwijzen naar het Ware, en dus is 𝑝 = 𝑞.

43

Funktion und Begriff

Hoewel Über Sinn und Bedeutung Freges bekendste essay is, is Funktion und Begriff

(1891) fundamenteler voor zijn eigen denken. Samen met het Begriffsschrift en de

Grundlagen, bevat het de belangrijkste ideeën die spelen in de Grundgesetze.

In Funktion und Begriff zet Frege zijn nieuwe begrippen functie, concept en object uiteen,

die voortkomen uit de invoering van betekenis en verwijzing. Hierdoor krijgen de

identiteitsprincipes die ophangen aan Freges formalisme (articulatie en semantische

stabiliteit) een nieuwe, meer ontologisch getinte geldigheid. Bovendien zal de wet van

Leibniz een nieuw contextprincipe voor verwijzingen onderbouwen.

Uit Funktion und Begriff blijkt heel duidelijk hoe het steevast de wiskunde is die Frege

inspireert. De functionele structuur van de propositie, met het Ware en het Valse als

belangrijkste functiewaarden, wordt rechtstreeks ontleend aan de wiskundige functie.

Een cruciaal nieuw element in Freges latere denken, is het zich openen van een

metaperspectief van waaruit Frege spreekt over de verwijzing van namen. Ik ga hier kort

op in. In de Grundgesetze zal Frege dit metaperspectief voortdurend innemen.

Functie en object

In het Begriffsschrift schreef Frege over het onderscheid tussen functie en argument: “The

distinction has nothing to do with the conceptual content; it comes about only because we

view the expression in a particular way” (BS, §9). Vanaf Funktion und Begriff wordt de

propositie letterlijk opgesplitst in functie en argument: Frege gaat de functionele structuur

overdragen op het rijk der verwijzingen.

Dit leidt tot Freges beroemde stelling dat “a function itself must be called incomplete, in

need of supplementation, or unsaturated” [mijn cursivering] (FB, 133, 6). Frege inspireert

zich op de wiskundige functie. Uitdrukkingen als ‘2 ∙ 13 + 1’, ‘2 ∙ 43 + 1’, ‘2 ∙ 53 + 1’

verwijzen naar waarden van eenzelfde functie. “From this we may discern that it is the

common element of these expressions that contains the essential peculiarity of a function”

(FB, 133, 6)61. We kunnen dit noteren als ‘2 ∙ ( )3 + ( )’ (FB, 133, 6). De onverzadigdheid

komt mooi naar voor:

61 We zien Freges holisme naar voor treden. In de Tractatus gaat Wittgenstein zich hierop inspireren bij zijn

notie van het symbool (Ausdruck): “Der Ausdruck setzt die Formen aller Sätze voraus, in welchen er

vorkommen kann. Er ist das gemeinsame charakteristische Merkmal einer Klasse von Sätzen” (TLP, 3.311).

44

“The two parts into which a mathematical expression is thus split up, the sign of the

argument and the expression of the function, are dissimilar; for the argument is a number,

a whole complete in itself, as the function is not” (FB, 134, 7).

De uitdrukking voor een functie moet altijd argumentplaatsen bevatten die ingevuld moeten

worden (FB, 134, 8)62.

Vervolgens breidt Frege dit uit door ook functies toe te laten die de waarheidswaarden, het

Ware en het Valse, als waarden bezitten, zoals 𝑥2 = 1 (FB, 137, 13). Deze functies

worden vervolledigd tot een propositie, zoals ‘32 = 1’. Dit brengt hem tot zijn invulling

van het concept:

“We thus see how closely that which is called a concept in logic is connected with what we

call a function. Indeed, we may say at once: a concept is a function whose value is always

a truth-value” (FB, 139, 15).

We zien waarom het zo belangrijk is dat het Ware en het Valse objecten zijn. Als Frege

concepten als functies wil opvatten, moeten ze objecten afbeelden op andere objecten. Maar

welke objecten zouden dit kunnen zijn? De waarheidswaarden zijn veruit de meest voor de

hand liggende keuze63.

Tot nu toe beperkte Frege zich tot de wiskunde, maar deze procedure geldt ook voor

proposities in het algemeen:

“Statements in general, just like equations or inequalities or expressions in Analysis, can

be imagined to be split up into two parts; one complete in itself, and the other in need of

supplementation, or unsaturated. […] Here too I give the name ‘function’ to the Bedeutung

of the unsaturated part” (FB, 139, 17)64.

62 Zoals hij het in de Grundgesetze uitdrukt: “An isolated function-letter without a place for an argument is a

monstrosity” (GGAb, §147, voetnoot). Merk op dat hij deze in het Begriffsschrift wel nog hanteerde, zie

bijvoorbeeld (BS, §10). Vergelijk: “Eine Funktion kann darum nicht ihr eigenes Argument sein, weil das

Funktionszeichen bereits das Urbild seines Arguments enthält und es sich nicht selbst enthalten kann. […]

Hiermit erledigt sich Russells Paradox” (TLP, 3.333). 63 Ook Thau en Caplan zijn hier attent op: “So Frege’s defense of this claim in ‘Sence and Reference’ is

crucial to his over-all project of grounding arithmetic in logic; for, if it turns out that the customary referent

of a sentence isn’t its truth-value, his explanation of what concepts are is incorrect and, hence, his account of

what numbers are is incomplete” (Thau & Caplan, 2001, 199). Ze putten evenwel nog niet de rol van het

Ware en het Valse in de Grundgesetze uit. 64 Textor levert volgende kritiek: “Frege wants to say that some function-expressions refer to concepts and

that concepts require completion by objects. But if the gap in ‘… > 0’ can be filled by expressions that do

45

Frege merkt op dat hij het domein van functies heeft uitgebreid: “Not merely numbers, but

objects in general, are now admissible [as arguments]” (FB, 140, 18). Hij vervolgt:

“When we have thus admitted objects without restriction as arguments and values of

functions, the question arises what it is that we are here calling an object. I regard regular

definition as impossible, since we have here something too simple to admit of logical

analysis. It is only possible to indicate what is meant. Here I can only say briefly: an object

is anything that is not a function, so that an expression for it does not contain any empty

place” (FB, 140, 18)65.

Wat we hier zien werken, is wat Morris correspondence of grammar noemt: “The different

grammar of different categories of linguistic expressions must be matched by differences

between the entities with which they are correlated” (Morris, 2008, 94). Het object is bij

Frege een grammaticale categorie. In de Appendix van het tweede Volume van de

Grundgesetze karakteriseert Frege objecten als “possible arguments for any first-level

function” (GGAb, 282, 255).

We zien opnieuw hoe fundamenteel het Begriffsschrift is voor Freges denken. Merk

nogmaals op dat het prototype van een functie waarin objecten ingevuld kunnen worden,

𝑥 = 𝑥 is. De scheiding tussen concept en object is voor Frege absoluut. Een concept is geen

object: “Objects and concepts are fundamentally different and cannot stand in for one

another” (CSB, 130). Wat ze scheidt, is identiteit: “Identity […] can only be thought of as

holding for objects, not concepts” (CSB, 175, 131).

not refer to objects, why should one take it to refer to such a concept?” (Textor, 2011, 100). Textors

tegenvoorbeelden zijn echter frasen die niet ‘complete in itself’ zijn, zoals “Either 1 < 0 or 1” (Textor,

2011, 100). Binnen de propositie ‘Either 1 < 0 or 1 > 0 ’ hebben ‘… > 0’ en ‘Either 1 < 0 or 1’

helemaal geen verwijzing (noch betekenis). In formele notatie komt dit mooi naar voor: 𝑅(1,0) ∨ 𝑅(0,1) met

𝑅 de relatie ‘strikt kleiner dan’. Welk deel zou Textor afzonderen? 65 Proops merkt op: “The trouble with this claim is that it aspires to a kind of generality that, according to

Frege, does not exist. For, as we have already noted, Frege has no general conception of ‘being a function’

but only of ‘being an 𝑛-level function of 𝑚 arguments,’ for particular 𝑛 and 𝑚” (Proops, 2013, 91-92). Dit

klopt: ook variabelen voor functies moeten de argumentplaatsen indiceren, waardoor er geen algemene

variabele is voor functies. Mogelijk is dit de reden waarom Frege zelf aangeeft geen definitie te presenteren.

Er is zelfs nog een verder probleem: door te schrijven ‘anything that is not a function’, lijkt Frege een

variabele te introduceren die over zowel functies als objecten loopt, wat niet mogelijk is.

46

Wat nieuw is tegenover de Grundlagen, is dat objecten nu vastliggen als verwijzingen van

termen, niet hun inhoud. Dit is een gewichtige verandering binnen Freges project, als we

ons het fundamentele vraagstuk van zijn logicisme herinneren:

“How, then, are numbers to be given to us, if we cannot have any ideas or intuitions of

them?” (GL, §62).

In de Grundlagen lag de oplossing in het leveren van een inhoud voor getalstermen. Door

de opsplitsing van inhoud in betekenis en verwijzing, is dit raamwerk verdwenen. Wat nu

gegarandeerd moet worden, is dat getalstermen een verwijzing hebben. Dit is een probleem

van een heel andere orde. We zullen in de volgende sectie zien hoe Frege dit trachtte op te

lossen.

Wanneer Frege in Funktion und Begriff voor het eerst het Ware en het Valse naar voor

schuift als waarden van functies, schrijft hij:

“The objection here suggests itself that ‘22 = 4’ and ‘2 > 1’ nevertheless tell us quite

different things, express quite different thoughts [ook al hebben ze dezelfde

waarheidswaarde]; but likewise ‘24 = 42’ and ‘4 ∙ 4 = 42’ express different thoughts;

and yet we can replace ‘24 ’ by ‘4 ∙ 4 ’, since both signs have the same Bedeutung.

Consequently, ‘24 = 42’ and ‘4 ∙ 4 = 42’ likewise have the same Bedeutung. We see

from this that from identity of Bedeutung there does not follow identity of the thought” (FB,

138, 13-14).

We zien de bekommernis uit Über Sinn und Bedeutung duidelijk naar voor treden. Mits

einige overdrijving kunnen we zeggen dat heel Über Sinn und Bedeutung zich aankondigt

in deze passage. Bemerk dat er geen hemellichamen te bespeuren zijn.

We kunnen Über Sinn und Bedeutung nu beter begrijpen. Het is Freges visie op het concept

als functie die hem ertoe brengt om de waarheidswaarden als twee objecten apart te zetten:

het zijn functiewaarden. Maar zoals we zien in bovenstaande passage, beseft Frege dat zijn

vroegere notie van inhoud niet volstaat om zijn functionele visie op het concept te

ondersteunen, omdat de waarheidswaarden veel te ongedifferentieerd zijn: dat een

propositie verwijst naar het Ware of het Valse, zegt nauwelijks iets over zijn inferentiële

rol. Naast die inferentiële rol, die bepaald wordt door de betekenis (de gedachte), moet de

47

verwijzing (de waarheidswaarde) apart gezet worden. Het rijk van verwijzingen ontstaat in

Freges denken niet zozeer als een rijk van onafhankelijk bestaande empirische objecten die

door de namen uit onze taal benoemd worden, maar veeleer als, zoals Van de Vijver schrijft,

“een orde van geldigheid die betrekking heeft op het gegeven dat iets waar of dat iets

onwaar is” (Van de Vijver, 2013, 360).

De mogelijkheid van een metaperspectief

Het introduceren van betekenis en verwijzing betekent een revolutie in Freges filosofie.

Door de waarheidswaarde apart te zetten, ontstaat de mogelijkheid van een metaperspectief

(Ricketts, 1985, 9). Voorheen was dit uitgesloten: de inhoud was volledig intern aan de

taal. Vanaf nu, echter, spreekt Frege voortdurend over de verwijzingen van namen. Ook

zijn behandeling van de indirecte rede verraadt het innemen van een metaperspectief: de

betekenis van een woord kan optreden als verwijzing van een ander woord (SB, 154, 28).

Dummett schrijft, vergelijkend met de Grundlagen:

“In Grundgesetze, all is different. There there is the sharpest distinction between the object-

language, which in this case is Frege’s formal language, and the metalinguistic stipulations,

stated in German, of the intended references of expressions of the formal language”

(Dummett, 1991, 193).

Frege gaat in de Grundgesetze voortdurend verwijzingen (het Ware en het Valse) opleggen

aan uitdrukkingen. Het contrast met het Begriffsschrift is groot. Daar is er nergens sprake

van een metataal die zich gaat bemoeien met de inhoud van de oordelen. Wat het

Begriffsschrift doet, is het logische netwerk articuleren waarbinnen de inhoud zich op

holistische wijze manifesteert. Zoals Ricketts het mooi beschrijft:

“There is no standpoint from which to ask whether the thoughts expressed by the statements

of language really represent reality, whether they are really true or false. Similarly, there is

no standpoint from which to ask whether the statements of language really do express

thoughts. Here there is only the work of disambiguation, amplification and clarification.

This task requires no metaperspective. It proceeds rather by replacing existing expressions

of thoughts with more perspicuous expressions” (Ricketts, 1985, 8).

48

In de Grundgesetze is die gedachte verdwenen. Dit zorgt ervoor dat de noties van object en

functie een andere lading krijgen: het betreft entiteiten uit het rijk der verwijzingen die

toegankelijk zijn vanuit een metaperspectief.

Ricketts heeft een interessante visie op deze overgang die de moeite loont om voluit te

citeren:

“One the one hand, Frege takes definite descriptions unequivocally to play the logical role

of proper names. On the other hand, he has to concede that if there is no 𝐹 or more than

one, then nothing is identical with the 𝐹—that is, ‘the 𝐹’ means nothing. The case of

predicates is even more significant. Concepts are true or false of each object; and predicates

mean concepts. Frege recognizes that on his view of concepts many of the predicates of

everyday language, including even some from elementary arithmetic, cannot be taken to

have a meaning. Frege cannot dismiss sentences that contain improper definite descriptions

or defective predicates as empty noises, as failing to express thoughts. He comes instead to

maintain that, as these statements contain names that do not mean anything, the thoughts

they express are neither true nor false. Here we find an ineliminable use of the predicate

‘true,’ one that bespeaks occupation of the semantic perspective that Frege’s underlying

view of judgment [uit het Begriffsschrift en de Grundlagen] excludes. Frege realizes that

from this vantage point the representational character of thought and language can be

intelligibly questioned” (Ricketts, 1985, 9).

Ik ben onvoldoende op de hoogte van het precieze verloop van Freges intellectuele evolutie

tussen de Grundlagen en de Grundgesetze om deze visie te beoordelen. Maar ze is in elk

geval bijzonder interessant. Hetgeen Frege volgens Ricketts ertoe brengt een

metaperspectief in te nemen, is precies het feit dat zijn visie op concepten (als sortals) te

nauw is voor ons natuurlijk taalgebruik. Frege moet kunnen differentiëren tussen concepten

die in zijn logisch systeem ingebed kunnen worden en deze die hieraan weerstaan. Dit doet

hij door die laatste een verwijzing te ontzeggen, en dit opent een metaperspectief. Iets

analoog geldt voor objecten: namen die geen vaststaande bijdrage leveren tot de

kardinaliteit van Freges sortals, die zich met andere woorden niet eenduidig laten vatten

onder concepten (geen eenduidige functiewaarde opleveren), bezitten geen verwijzing.

Voorbeelden zijn fictieve entiteiten, zoals Odysseus (SB, 157, 32-33).

49

Identiteit

Identiteit onderbouwt nog steeds de articulatie van het oordeel (de propositie) in functie

(concept) en argument (object). Ook semantische stabiliteit blijft aanwezig, maar nu gaat

het om de stabiliteit van de verwijzing, van het object. Vanaf Funktion und Begriff is het

de verwijzing die onderworpen is aan de vorm van het symbolische systeem en de

identiteitsprincipes die eraan vasthangen.

De specifieke aard van concepten blijft bewaard: aangezien een concept elk object op het

Ware of het Valse afbeeldt, is het nog steeds een sortal, met als kardinaliteit de kardinaliteit

van de deelverzameling van het domein (i.e. de objecten) die op het Ware wordt afgebeeld.

Objecten blijven onderworpen aan Freges strikte notie van identiteit. Ze blijven discreet.

Dat Freges noties van concept, object en identiteit afgestemd zijn op de wiskunde wordt in

Funktion und Begriff alleen maar duidelijker.

Frege behoudt zijn definitie van identiteit, maar past ze aan aan zijn nieuwe terminologie:

“We say that an object 𝑎 is equal to an object 𝑏 (in the sense of completely coinciding with

it) if a falls under every concept under which 𝑏 falls, and conversely” (CSB, 175, 131).

Dit is opnieuw de wet van Leibniz, met een belangrijk gevolg: twee verwijzingen zijn

identiek indien hun intersubstitutie geen invloed heeft op de verwijzing van de proposities

waarin ze optreden. Met andere woorden: de verwijzing van een naam is niets anders dan

zijn bijdrage tot de waarheidswaarde van de proposities waarin hij optreedt. Er is niets meer

dan dat. Ook de notie van verwijzing blijft gedragen door de taal en voldoet aan het

contextprincipe. Dummett noemt dit de semantic value van een term (Dummett, 1976, 459).

Tegelijk, echter, denkt Dummett dat er meer is dan dat:

“Frege had specific views about what the reference of the expressions of various types was

to be taken to be. The two most important are that the reference of a sentence is its truth-

value, and that of a name its bearer (if any)” (Dummett, 1976, 459).

Dat eerste is correct, maar is compatibel met de semantic value. Voor het tweede is het niet

helemaal duidelijk naar welk extra ingrediënt Dummett op zoek is. Immers: de wet van

Leibniz impliceert dat er niets meer is aan een verwijzing dan zijn semantic value, de

50

bijdrage tot de waarheidswaarden van proposities. Om het technisch uit te drukken: is 𝒞 de

verzameling van concepten, dan is een verwijzing een afbeelding van 𝒞 in {𝑊, 𝑉}, de

verzameling van het Ware en het Valse. Dit kan compatibel zijn met een name/bearer

realisme, maar er is niets wat Frege hiertoe hoeft te drijven66. Dummett lijkt dit gevolg van

de wet van Leibniz over het hoofd te hebben gezien.

Dummett stelt dat Frege het contextprincipe later verlaten heeft, omdat “Frege was

unwilling to admit any logically significant distinction between expressions save those that

showed a difference of type; so sentences, when no longer thought of as comprising a

separate logical type, could no longer be allotted any distinguished role” (Dummett, 1976,

457). Dummett vergeet dat Freges apart zetten van concepten ervoor zorgt dat proposities

wel degelijk een speciale rol spelen67.

Een ander gevolg van het introduceren van verwijzingen is dat identiteitscriteria niet langer

een legitiem middel vormen om nieuwe namen te introduceren:

“Given the Bedeutung of an expression and of a part of it, obviously the Bedeutung of the

remaining part is not always determined. So we may not define a symbol or word by

defining an expression in which it occurs, whose remaining parts are known” (GGAb, §66).

Gegeven een concept en een waarheidswaarde, is er een resem aan verwijzingen die deze

waarheidswaarde opleveren indien het concept (dat een functie is) erop inwerkt. Er is

slechts één soort definitie toegelaten: “Any definition must […] contain a single sign, and

fix the Bedeutung of this sign” (GGAb, §66). Frege voegt eraan toe “So long as the

Bedeutung of a word or symbol is not completely defined, or known in some other way,

the word or symbol may not be used in an exact science—least of all with a view to further

development of its own definition” (GGAb, §57). Ironisch genoeg, echter, zal Frege in de

Grundgesetze zelf doen wat hij verbiedt, in Basic Law V.

66 Voor het debat of Frege nu een realist of transcendentaal idealist was, zie (Dummett, 1976), (Sluga, 1977)

en (Resnik, 1979). Dummett bepleit een realisme, Sluga een transcendentaal idealisme en Resnik schuift een

compromis naar voor: Frege is geëvolueerd van een transcendentaal idealisme naar een realisme. Dit debat

draait precies rond het statuut van verwijzingen in relatie tot het contextprincipe. 67 Zie (Sluga, 1977, 238) voor een uitgebreider wederwoord.

51

De Grundgesetze

De Grundgesetze, gepubliceerd in twee volumes in 1893 en 1903, moest het sluitstuk

vormen van Freges logicistische project. Hij gebruikt er zijn Begriffsschrift en de inzichten

uit zijn intermediaire essays om de filosofische stellingen uit de Grundlagen als het ware

in de praktijk om te zetten. Met de Grundgesetze wil Frege een definitieve logische

fundering van de rekenkunde leveren. Centraal staan de waardenverlopen (een

veralgemening van extensies):

“The courses-of-values are […] extremely important […]; in fact, I define Number itself as

the extension of a concept [analoog als in de Grundlagen], and extensions of concepts are

by my definitions courses-of-values. Thus we just cannot get on without them” (GGAf, p.

6, p. x).

Frege moet de waardenverlopen logisch funderen. Dat is wat hij probeert te doen met Basic

Law V. Dit axioma en hetgeen Frege ermee hoopt te bereiken vormt één van de meest

fascinerende aspecten van zijn vroegste werk. Zoals bekend leidt het tot de inconsistentie

van zijn systeem. Tegelijk vormt het de kristallisatie van verschillende prominente aspecten

van Freges denken. Die combinatie maakt het erg hypnotiserend.

Ik heb reeds aangekondigd dat Frege zich in de Grundgesetze volop nestelt in het

metaperspectief dat geopend werd na zijn introductie van het onderscheid tussen betekenis

en verwijzing. Frege gaat verwijzingen stipuleren. Dit metaperspectief heeft belangrijke

implicaties voor identiteit: het wordt een zuiver formele aangelegenheid. Onder meer door

dit onvoldoende te beseffen, werkt Frege zichzelf in de nesten.

Ik zal beginnen met een aantal algemene opmerkingen over het formele kader van de

Grundgesetze. Daarna ga ik meer concreet in op Basic Law V. Er ontstaat een nieuwe versie

van het Julius Caesar probleem, dat niet langer op dezelfde manier als in de Grundlagen

opgelost kan worden. Frege tracht het te beantwoorden met een formele versie van het

contextprincipe, het GCP, waar ik dieper op zal ingaan. We zullen zien dat Frege zondigt

tegen principes die hij zelf in de Grundgesetze formuleert. Eén van de cruciale punten is

dat Frege het onderscheid tussen een equivalentierelatie en de identiteitsrelatie uit het oog

gaat verliezen, precies het onderscheid waar hij in de Grundlagen nog alert voor was. De

reden dat hij doet alsof er geen vuiltje aan de lucht is, is dat hij dacht over een

52

consistentiebewijs te beschikken. Ik zal dit kort bespreken, en eindigen met een

behandeling van het mislukken van Freges project.

Het formele kader van de Grundgesetze

Het formalisme waarmee Frege in de Grundgesetze de rekenkunde wil funderen, is dat van

het Begriffsschrift. Wat belangrijk is, is de manier waarop hij dit doet. In het Begriffsschrift

en de Grundlagen werkt Frege vanuit een verhelderingsopzet. Het Begriffsschrift wil

bestaande logische inferenties helder representeren, en in de Grundlagen wil Frege deze

verheldering toepassen op wiskundige redeneringen. Het is indicatief hoe Frege in de

Grundlagen de wiskundige taal niet apart zet: hij bespreekt het getal zoals het optreedt in

onze gehele natuurlijke taal, zowel in wiskundige als ‘alledaagse’ uitspraken. Het Julius

Caesar probleem, zoals oorspronkelijk geformuleerd, is daar een mooie illustratie van.

In de Grundgesetze is dit verdwenen. De radicaal verschillende methodiek kan alleen maar

opvallen. Frege bekommert zich helemaal niet meer om de natuurlijke taal, maar gaat hij

daarentegen eigenhandig en bottom-up, definitie per definitie, een logisch systeem

opbouwen waarin de gewenste stellingen bewezen worden. In het tweede hoofdstuk zullen

we zien dat dit ook Wittgenstein niet ontgaan is, en dat hij zich tegen deze werkwijze verzet.

Waar ik hier op wil focussen, zijn de gevolgen voor identiteit. Frege blijft in de

Grundgesetze de wet van Leibniz naar voor schuiven als definitie van identiteit:

“If Γ is the same as Δ, then Γ falls under every concept under which Δ falls; […] But also

conversely; if Γ = Δ is the false, the not every statement that holds for Δ also holds for Γ”

(GGAf, §20).

Er duikt evenwel een addertje op: over welke concepten gaat het hier? Aangezien de

Grundgesetze een geïsoleerd formeel systeem vormt, luidt het antwoord: de concepten uit

de Grundgesetze. Maar dat betekent dat identiteit volledig losgekoppeld is van de

gebruikelijke ontologische betekenis 68 . Identeit wordt gereduceerd tot

68 Een mooie illustratie van de gevolgen van een louter formele invulling van identiteit, zijn de niet-standaard

modellen van de Peano rekenkunde: het domein van objecten ligt niet langer vast. Men kan antwoorden dat

Frege een tweede-orde logica hanteerde, en dit probleem dus niet had. Dit zou te snel zijn: Frege hanteert een

substitutionele interpretatie van de kwantoren (GGAf, §20). Ik heb hiermee niet gezegd dat Freges systeem

niet-standaard modellen had. Het had er immers geen enkele. Waar ik op wil wijzen, is dat Freges methode

kan leiden tot niet-standaard modellen, een mogelijkheid die hij zelf zeker had willen uitsluiten.

53

intersubstitueerbaarheid binnen het formele systeem van de Grundgesetze. Vermoedelijk

bedoelt Frege het niet zo en wou hij wel degelijk het volwaardige concept van identiteit

hanteren, maar zijn praktijk verraadt hem.

Opnieuw kan het artikel van Geach helpen om dit te verhelderen. Zoals gezegd bepleit

Geach daar dat enkel relatieve identiteit, van de vorm ‘is the same 𝐹’, zinvol is (Geach,

1967, 3). Ik wil hier nu niet ingaan op de argumentatie van Geach, maar wel op één van de

centrale aspecten van zijn visie op identiteit: de theorie-relativiteit ervan. Geach noemt een

relatie die relatieve identiteit instantieert een ‘𝐼-predicable’ (Geach, 1967, 4). Hij schrijft:

“However, if we consider a moment, we see that an 𝐼-predicable in a given theory 𝑇 need

not express strict, absolute, unqualified identity; it need mean no more than that two objects

are indiscernible by the predicables that form the descriptive resources of the theory”

(Geach, 1967, 5).

Dit is precies wat er bij Frege gebeurt in Basic Law V.

Een tweede gevolg is dat identiteit ook de gebruikelijke epistemologische lading verliest.

Er is geen sprake van identificatie van een object, het gaat slechts om een formele

vaststelling. Freges logische systeem heeft haar objectieve inhoud, de epistemologische

draagwijdte die voor Frege zo belangrijk was, verloren. Het gaat om niets meer meer dan

een leeg formalisme. De inconsistentie wijst hierop, maar zelfs als deze er niet was, zou

Frege niet in zijn opzet geslaagd zijn.

Frege wil twee ambities realiseren: het funderen van de rekenkunde als objectieve

wetenschap en het formeel bewijzen van rekenkundige stellingen uit puur logische wetten.

De ware tragiek van Freges denken schuilt niet in de inconsistentie van zijn systeem, maar

in zijn worsteling om deze twee aspiraties te verzoenen. Uiteindelijk vervalt Frege in de

Grundgesetze, zonder het zelf te beseffen, in het inhoudsloze formalisme dat hij zelf zo

verafschuwde.

Basic Law V

In Funktion und Begriff bespreekt Frege de notie van een waardenverloop van een functie,

in de eerste plaats voor wiskundige functies. Hij observeert dat we vaak uitdrukken dat

twee functies voor alle argumenten dezelfde waarden hebben, zoals in ‘𝑥2 − 4𝑥 = 𝑥(𝑥 −

4)’. Welnu:

54

“But we can also say: ‘the value-range of the function 𝑥(𝑥 − 4) is equal to that of the

function 𝑥2 − 4𝑥, and here we have an equality between value-ranges. The possibility of

regarding the equality holding generally between values of functions as a [particular]

equality, viz. an equality between value-ranges is, I think, indemonstrable, it must be taken

to be a fundamental law of logic” (FB, 135, 9-10).

Dit is meteen een formulering van de beruchte Basic Law V. We hebben reeds gezien dat

Frege de notie van functie in Funktion und Begriff uitbreidt tot functies van eender welk

object naar eender welk ander object, zodat concepten functies worden van objecten naar

waarheidswaarden en proposities ontleed kunnen worden in een concept en een object

waarop het inwerkt. Op die manier krijgt ook de notie van waardenverloop (oorspronkelijk

enkel van toepassing op wiskundige functies) een analoge verbreding: elke functie 𝛷(𝜉)

heeft een waardenverloop, dat Frege noteert als 𝜀�̀�(𝜀) (FB, 137, 12) 69 . Is 𝛷(𝜉) een

concept, dan noemen we 𝜀�̀�(𝜀) de extensie van 𝛷(𝜉).

Laat ons nu kijken naar de Grundgesetze. Het allereerste wat Frege over waardenverlopen

zegt, is het volgende:

“I use the words ‘the function 𝛷(𝜉) has the same course-of-values as the function 𝛹(𝜉)’

generally to denote the same as the words ‘the functions 𝛷(𝜉) and 𝛹(𝜉) have always the

same value for the same argument’” (GGAf, §3).

Verderop wordt dit geformaliseerd als Basic Law V (GGAf, §20):

(𝛷)(𝛹) ((𝜀�̀�(𝜀) = �̀�𝛹(𝛼)) = ((𝑥)(𝛷(𝑥) = 𝛹(𝑥)))) 70.

Basic Law V levert de broodnodige regel voor de introductie van identiteit in bewijzen. Het

is Freges nieuwe antwoord op de vraag naar de identificatie van logische objecten, de

centrale vraag uit zijn filosofie:

69 Bemerk hoe, zoals Frege voorschrijft, de argumentplaats van 𝛷 expliciet aangeduid wordt. 70 Strikt genomen beantwoordt mijn notatie niet aan Freges eisen, omdat ik bij de universele kwantificaties

over 𝛷 en 𝛹 geen argumentplaatsen aangeef. Wat er zou moeten staan, is (𝛷(𝜉))(𝛹(𝜁))(… ). Ik heb hier

elders ook al tegen gezondigd en zie dit bij mezelf voor de vingers. Frege wist duidelijk heel goed waarom

hij schematische letters gebruikte in plaats van kwantoren, zie (BS, §11). Omwille van de transparantie, acht

ik het gepast om de kwantoren expliciet te maken.

55

“If there are logical objects at all — and the objects of arithmetic are such objects — then

there must also be a means of apprehending, of recognizing, them. This service is performed

for us by the fundamental law of logic that permits the transformation of an equality holding

generally into an equation. Without such a means a scientific foundation for arithmetic

would be impossible” (GGAb, §147).

Dit is een belangrijke passage, die goed aangeeft hoe centraal Basic Law V is voor Freges

project. Het is nuttig nogmaals te wijzen op het belang van de samengestelde namen. Het

is het feit dat de functies 𝛷(𝜉) en 𝛹(𝜉) optreden als betekenisdragende, variabele

componenten, dat Basic Law V zijn kracht geeft.

Tegelijk is het duidelijk dat Basic Law V een identiteitscriterium is voor waardenverlopen.

Maar daarnet hebben we gezien dat Frege een dergelijke fundering van objecten in de

Grundgesetze niet langer toelaat. De verwijzingen van termen moeten expliciet

gedefinieerd worden, maar dat is niet wat Frege met de waardenverlopen doet. Frege zelf

levert als excuus dat Basic Law V een logische wet is (GGAb, §146), maar het is moeilijk

hem daarbij welgezind te blijven. Logische wetten, aldus Frege in de inleiding van de

Grundgesetze, “stipulate the way in which one ought to think” (GGAf, 12, xv). In welke

zin Basic Law V hieraan beantwoordt, is niet duidelijk.

De manier waarop Basic Law V functioneert is exact dezelfde als een identiteitscriterium.

Frege doet niets anders dan waardenverlopen logisch funderen met een identiteitscriterium,

net zoals hij in de Grundlagen deed voor getallen. En net zoals in de Grundlagen, staat

Frege voor een probleem:

“[Basic Law V] by no means fixes completely the denotation of a name like ‘𝜀�̀�(𝜀)’. We

have only a means of always recognizing a course-of-values if it is designated by a name

like ‘𝜀�̀�(𝜀)’, by which it is already recognizable as a course-of-values. But we can neither

decide, so far, whether an object is a course-of-values that is not given us as such, and to

what function it may correspond” (GGAf, §10).

Dit is niets anders dan het Julius Caesar probleem. We zien ook hoe Frege blijft spreken

in dezelfde epistemologische termen van identificatie als voorheen, alsof er geen vuiltje

aan de lucht is. Maar laat me nog eens volgende passage aanhalen:

56

“So long as the Bedeutung of a word or symbol is not completely defined, or known in

some other way, the word or symbol may not be used in an exact science—least of all with

a view to further development of its own definition” (GGAb, §57).

Plaatsen we de twee bovenstaande citaten naast elkaar, dan kan het alleen maar opvallen

hoe flagrant Frege zijn eigen principe overtreedt. De reden dat hij zich veilig waande, is

vermoedelijk dat hij dacht over een consistentiebewijs te beschikken. Ik bespreek het

straks.

Het Julius Caesar probleem voor waardenverlopen: het GCP

Frege merkt op dat, gegeven een bepaalde set verwijzingen voor de canonieke namen voor

waardenverlopen, Basic Law V geldig blijft onder eender welke permutatie van die

verwijzingen (GGAf, §10). We zien hier opnieuw het onderscheid tussen

equivalentierelaties en de identiteitsrelatie opduiken. In feite bepaalt Basic Law V slechts

een equivalentierelatie ~ tussen functies, als volgt:

(𝛷)(𝛹) ((𝛷(𝜀) ∼ 𝛹(𝛼)) = ((𝑥)(𝛷(𝑥) = 𝛹(𝑥)))).

Om van hieruit tot objecten, de waardenverlopen, te komen moet opnieuw de overgang

gemaakt worden tot de equivalentieklassen. Zij 𝛷(𝜀)̃ de equivalentieklasse geassocieerd

met 𝛷(𝜀) , dan is 𝛷(𝜀)̃ = 𝛹(𝛼)̃ ≡ (𝑥)(𝛷(𝑥) = 𝛹(𝑥)) , en kunnen we definiëren:

𝜀�̀�(𝜀) = 𝛷(𝜀)̃ . Wat bedoelt Frege nu met zijn opmerking? Een permutatie van de

verwijzingen betekent een permutatie van de equivalentieklassen. Normaliter nemen we als

verwijzing van 𝜀�̀�(𝜀) de equivalentieklasse waarin 𝛷(𝜀) optreedt, 𝛷(𝜀)̃ . Maar je zou

𝜀�̀�(𝜀) evengoed kunnen laten verwijzen naar de equivalentieklasse geassocieerd met een

andere functie 𝛹(𝛼), dus 𝛹(𝛼)̃. De enige eis die in Basic Law V uitgedrukt wordt is dat,

indien 𝛷(𝜀) ∼ 𝛹(𝛼) (wat betekent dat beiden tot dezelfde equivalentieklasse behoren), de

termen 𝜀�̀�(𝜀) en �̀�𝛹(𝛼) dan ook dezelfde verwijzing moeten hebben (en omgekeerd),

maar het doet er niet toe welke dit is (het kan dus zelfs de maan zijn). Er worden enkel

relatieve verhoudingen geëist, geen absolute. Anders uitgedrukt: er is niets dat vastlegt dat

57

(𝛷)(𝛷(𝜀) ∈ 𝜀�̀�(𝜀))71 moet gelden. Er is een duidelijke kloof tussen de equivalentierelatie

uitgedrukt in Basic Law V en de identiteitsrelatie. We zien opnieuw de kwestie opduiken

die naar voor komt in (Geach, 1967) en (Stevenson, 1972).

Tot daar de gelijkenis met de Grundlagen, er zijn echter ook belangrijke verschillen. In de

Grundlagen lostte Frege dit probleem op door zijn getallen expliciet gelijk te stellen aan

bepaalde equivalentieklassen. Maar dat is nu net wat hij in de Grundgesetze niet langer kan

doen. Equivalentieklassen zijn waardenverlopen72, en moeten dus even goed eerst door

Basic Law V gefundeerd worden. De procedure die ik hierboven geschetst heb, werkt in de

Grundgesetze niet, omdat Frege niet beschikt over de benodigde equivalentieklassen. Hij

kan niet langer terugvallen op een vooraf gegeven domein van bestaande objecten. De

waardenverlopen moeten allemaal tegelijk uit de grond gestampt worden, om het zo te

zeggen.

Frege beseft dat Basic Law V niet volstaat om zijn namen voor waardenverlopen van een

verwijzing te voorzien, en beseft dat hij dit niet kan oplossen zoals in de Grundlagen.

Bijgevolg moet hij een ander antwoord zoeken:

“How may this indefiniteness be overcome? By its being determined for every function

when it is introduced, what values it takes on for courses-of-values as arguments, just as

for all other arguments” (GGAf, §10).

Frege stelt dat de verwijzingen van de namen van waardenverlopen bepaald zullen zijn als

elke functie welbepaalde waarden heeft voor waardenverlopen als argument. Dit is een

herkauwing van het contextprincipe. Dummett doopt het GCP, voor generalised context

principle (Dummett, 1991, 212): “A singular term of the formal language has reference if

the result of inserting it into the argument-place of any functional expression of the

language has a reference” (Dummett, 1991, 212). De achterliggende gedachte is duidelijk:

de functie van de verwijzingen is het bijdragen aan waarheidswaarden van proposities.

71 We zien hier ook mooi de zelf-referentie naar voor komen die aan de basis ligt van Russells paradox. Merk

evenwel op: er is in Freges systeem geen propositie die inhoudelijk overeenstemt met 𝛷(𝜀) ∈ 𝜀�̀�(𝜀). Maar

de waardenverlopen, net omdat ze ontspringen uit een equivalentierelatie tussen functies, gedragen zich wel

zo, en dit volstaat. In de Appendix van het tweede Volume van de Grundgesetze kan men zien hoe Russells

paradox in Freges systeem formeel afgeleid wordt (GGAf, p. 130ff., p. 256ff.). 72 Het is misschien nuttig Freges expliciete definitie uit de Grundlagen op te frissen: “The Number which

belongs to the concept 𝐹 is the extension of the concept ‘equal to the concept 𝐹’” (GL, §68). Een extensie

van een concept is een waardenverloop.

58

Indien de termen voor waardenverlopen deze rol volledig vervullen, kan er verder niets

geëist worden: ze bezitten dan een volwaardige verwijzing73.

Op het eerste zicht is dit een onschuldig principe, het komt overseen met het

contextprincipe voor verwijzingen zoals ik het hierboven heb geformuleerd. Dat stelde dat

er niet meer is aan de verwijzing van een naam dan de bijdrage van die naam tot de

waarheidswaarden van de proposities waarin hij optreedt. De verwijzing van een term

wordt volledig bepaald door de verwijzingen van alle proposities waarin deze term

optreedt.

Het probleem is echter de manier waarop Frege het GCP gebruikt74. Om het GCP, zoals

Frege het inschakelt, adequaat weer te geven, zou er eigenlijk moeten staan: ‘A singular

term of the formal language has reference if the result of inserting it into the argument place

of any functional expression of the language has been given a reference’. En dit maakt al

het verschil van de wereld. Wat Frege niet doet, is vaststellen dat alle uitdrukkingen waarin

namen voor waardenverlopen optreden een verwijzing hebben, en daaruit afleiden dat ook

die namen een verwijzing hebben. Hij gaat daarentegen waarheidswaarden stipuleren voor

alle proposities waarin namen voor waardenverlopen optreden, en daaruit afleiden dat ook

die namen een verwijzing hebben. Maar deze manier om namen van een verwijzing te

voorzien, is leeg. In de Grundlagen steunt Freges gebruik van het contextprincipe om

namen een verwijzing (een inhoud) te geven erop dat een naam ingebed wordt in een reeds

functionerend holistisch logisch systeem. Zij krijgt dan een verwijzing (een inhoud) van

bovenaf, bij gratie van dit systeem. Maar in de Grundgesetze is er geen sprake van een

reeds functionerend systeem. De Grundgesetze zijn een logisch geval van von

Münchhausen die zich bij zijn eigen haren uit het moeras trekt: de verwijzing van de namen

van waardenverlopen moet verzekerd worden door hetzelfde logisch systeem dat bottom-

up opgebouwd wordt vanuit die namen voor waardenverlopen. Daarom is het zo belangrijk

om een domein vast te leggen van een formeel systeem.

73 Het is interessant dit te vergelijken met Wittgensteins versie van het scheermes van Ockham: “Wenn sich

alles so verhält als hätte ein Zeichen Bedeutung, dann hat es auch Bedeutung” (TLP, 3.328). Ik kom hier in

het tweede hoofdstuk op terug. 74 Dummett schrijft: “The context principle allows us to ascribe a reference to mathematical terms provided

that we have fixed the truth-conditions of sentences in which they occur; but Frege was completely mistaken

about how we can go about fixing such truth-conditions” (Dummett, 1991, 234). Om een consistent systeem

te verkrijgen, moet erg omzichtig omgesprongen worden met het GCP. En daarmee is nog niets gezegd over

de inhoud van dit systeem.

59

De ironie is dat Frege vermoedelijk gedacht zal hebben zich te kunnen beroepen op een

voorafgaande intuïtie van waardenverlopen. Dat lijkt de enige manier om het statuut van

Basic Law V als logische wet te verklaren.

Er zijn in de Grundgesetze slechts twee objecten die Frege onproblematisch kan aannemen:

het Ware en het Valse. De manier waarop Frege deze inschakelt in zijn oplossing voor het

Julius Caesar probleem, is illustratief. Wat, gelet op het GCP, moet gebeuren, is het

vastleggen van de waarden van alle functies. Ik ga voorbij aan de technische details, deze

zijn niet nodig om mijn punt te maken. Waar Frege uiteindelijk op uitkomt, is de situatie

waarin hij slechts één functie hoeft te beschouwen: identiteit (GGAf, §10)75. Hij gaat dus

terugvallen op Basic Law V. Welnu: “Since up to now we have introduced only the truth-

values and courses-of-values as objects, it can only be a question of whether one of the

truth-values can perhaps be a course-of-values” (GGAf, §10). Frege leidt af dat “it is always

possible to stipulate that an arbitrary course-of-values is to be the True and another the

False” (GGAf, §10). Frege gaat hier dus, net als in de Grundlagen, een expliciete definitie

doorvoeren: het Ware is de extensie van alle concepten waaronder enkel het Ware valt, en

analoog voor het Valse (GGAf, §10)76. Maar dit volstaat niet om zijn probleem op te lossen.

Frege heeft hiermee twee verwijzingen vastgelegd, maar de overige blijven even

onbepaald. Naast het Ware en het Valse, bezit Frege geen verdere houvast.

Enerzijds lijkt Frege te beseffen dat Basic Law V slechts een equivalentierelatie vastlegt

tussen waardenverlopen. Anderzijds gaat Frege voortdurend doen alsof hij wel degelijk

over volwaardige (absolute) identiteit beschikt. We kunnen besluiten dat Frege in de

Grundgesetze onvoldoende gevoelig is voor het onderscheid tussen een equivalentierelatie

en identiteit. Of anders gezegd, in de termen van Geach: voor het onderscheid tussen

relatieve en absolute identiteit. Wat Frege inspireert, is de wet van Leibniz: “Just as proper

names can replace one another salva veritate, so too can concept words, if their extension

is the same” (CSB, 173, 128). Maar het is niet omdat bepaalde termen intersubstitueerbaar

zijn binnen een bepaalde theorie (dit is relatieve identiteit), dat ze ook (absoluut) identiek

zijn. Frege beseft niet dat relatieve identiteit binnen het systeem van de Grundgesetze

75 Men kan de Grundgesetze niet lezen zonder dat het opvalt hoe alles telkens opnieuw rond die ene,

schijnbaar zo triviale, relatie lijkt te draaien. Dat hoeft ook niet te verbazen: doordat Frege er te achteloos

mee omspringt, krijgt identiteit in zijn logisch systeem een kracht die het niet kan bezitten. 76 May schat Frege verkeerd in: “In Grundgesetze, §10, Frege shows that truth-values can be reduced to

certain courses-of-values; so taken, Frege only introduces one novelty to his ontology, not two” (May, 2001,

45, voetnoot). Wat gebeurt, is net het omgekeerde: bepaalde waardenverlopen kunnen gereduceerd worden

tot waarheidswaarden.

60

verschilt van absolute identiteit. Dit zorgt ervoor dat hij denkt dat de tandem van Basic Law

V en het GCP volstaat voor absolute identiteit. Dit was een illusie.

Freges Untergang

Frege dacht inductief te kunnen bewijzen dat alle namen uit zijn systeem een verwijzing

hebben. In (GGAf, §§29-30) levert hij de criteria die gerespecteerd moeten worden bij het

opstellen van nieuwe namen en de voorwaarden opdat deze een verwijzing hebben, waarbij

hij het GCP hanteert (GGAf, §29)77. In (GGAf, §31) levert hij het bewijs dat elke term wel

degelijk een verwijzing heeft. Hij beschrijft zijn procedure als volgt:

“We start from the fact that the names of truth-values denote something, namely, either the

True or the False. We then gradually widen the sphere of names to be recognized as

succeeding in denoting by showing that those to be adopted, together with those already

adopted, form denoting names by way of the one’s appearing at fitting argument-places of

the other” (GGAf, §31)78.

Het Ware en het Valse spelen hier een cruciale rol. Zijn inductieve procedure werkt enkel

indien hij kan vertrekken vanuit een set gegeven verwijzingen, waaruit de rest

ge(re)construeerd wordt. Deze zijn het Ware en het Valse. Zoals Potter schrijft: “The

project could not even begin to be plausible if it were not for his supposition that what

sentences refer to are truth-values, for it is this that allows him to take their references to

be antecedently known” (Potter, 2000, 111).

Ik beweer natuurlijk niet dat er geen alternatieve werkwijze is, uiteraard wel (anders

spraken we vandaag nog steeds over het Ware en het Valse). Maar de manier waarop Frege

de Grundgesetze opbouwt, is ondenkbaar zonder deze twee logische oerobjecten. En

uiteindelijk betekenen ze ook zijn ondergang, want ze brengen hem tot zijn inductief

consistentiebewijs dat hem ervan overtuigde dat Basic Law V wel degelijk correct was.

77 “A proper name has a denotation if the proper name that results from that proper name’s filling the

argument-places of a denoting name of a first-level function of one argument always has a denotation, and if

the name of a first-level function of one argument that results from the proper name in question’s filling the

𝜉-argument-places of a denoting name of a first-level function of two arguments always has a denotation, and

if the same holds also for the 𝜁-argument-places” (GGAf, §29). 78 In Über Sinn und Bedeutung vinden we hier reeds een voorafspiegeling van: “A logically perfect language

(Begriffsschrift) should satisfy the conditions, that every expression grammatically well constructed as a

proper name out of signs already introduced shall in fact designate an object, and that no new sign shall be

introduced as a proper name without being secured a Bedeutung” (SB, 163, 41).

61

Vandaag weten we dat dit niet het geval was: zijn consistentiebewijs moet een fout

bevatten.

Vooraleer ik daarop inga, wil ik opmerken dat, zelfs als Freges system consistent was

geweest, het Julius Caesar probleem nog niet was opgelost: we weten niet of Julius Caesar

een waardenverloop is of niet. De nieuwe zet van Frege is om zich enkel te bekommeren

om een beperkt domein, waarover hij zelf de controle uitoefent: het bestaat uit de

waarheidswaarden en waardenverlopen, dat zijn de enige verwijzingen die optreden. Dit is

echter uitstel van executie, zoals ook Potter opmerkt: de rekenkunde wordt uiteindelijk

ingebed in de natuurlijke taal, waarna het Julius Caesar probleem zich terug opdringt in

zijn oorspronkelijke versie (Potter, 2000, 108). Dit wordt bijzonder acuut als we in de

Grundgesetze lezen: “For [greater than zero] to be a proper concept, it would have to be

determinate whether, e.g., the Moon is greater than zero” (GGAb, §62). Is het in de

Grundgesetze bepaald of de maan een waardenverloop is? We kunnen Frege zelf

parafraseren: “Naturally no one is going to confuse [the moon] with [the extension of a

concept]; but that is no thanks to our definition” (GL, §67). Freges formeel systeem kan

niet ontsnappen uit de isolatie waarin hij het zelf geworpen heeft. Dit is, zoals reeds gezegd,

de ware tragiek van Freges denken.

Maar laat ons toch eens kijken wat er precies fout is gelopen. Er zijn verscheidene

invalshoeken mogelijk79. Ik focus op de rol van identiteit. Frege meent met Basic Law V

gegarandeerd te hebben dat alle namen van waardenverlopen een verwijzing hebben:

“By our stipulations [i.e. Basic Law V en het stipuleren van het Ware en het Valse als

extensies], a denotation is assured in every case for a proper name of the form ‘Γ = Δ’, if

‘Γ’ and ‘Δ’ are fair course-of-values-names [i.e. van de vorm ‘𝜀�̀�(𝜀)’ waarbij ‘𝛷(ξ)’ een

verwijzing heeft] or names of truth-values” (GGAf, §31).

79 De meest courante benadering is waarschijnlijk deze die aangeeft dat er inconsistente eisen opgelegd

worden aan de kardinaliteit van het domein: als er 𝑛 objecten zijn, dan zijn er 𝑛𝑛 functies. Maar aangezien

elke functie geassocieerd is met een object (zijn waardenverloop), moet 𝑛𝑛 ≤ 𝑛. Dat kan enkel als 𝑛 = 1,

maar 𝑛 > 1 omwille van het Ware en het Valse. Contradictie. Zie bijvoorbeeld (Potter, 2000, 114). Een

andere publiekslieveling is het feit dat, door met elke functie een waardenverloop te associëren die dan zelf

als argument kan optreden van die functie, er zelfreferentiële uitspraken ontstaan. Dat is wat in Russells

paradox mooi naar voor komt. Dummett levert een meer gesofisticeerde diagnose: het is Freges

onvoorzichtige hantering van tweede-orde kwantificatie, gecombineerd met Basic Law V, die hem

uiteindelijk de das om doet (Dummett, 1991, 217ff.).

62

Frege is te enthousiast. Zijn procedure om te garanderen dat ‘𝜉 = 𝜁’ een verwijzing heeft,

werkt niet: de toepassing van Basic Law V is circulair. Laat ons ze nog eens opfrissen:

(𝛷)(𝛹) ((𝜀�̀�(𝜀) = �̀�𝛹(𝛼)) = ((𝑥)(𝛷(𝑥) = 𝛹(𝑥)))).

De waarheidswaarde van ‘𝜀�̀�(𝜀) = �̀�𝛹(𝛼)’ wordt gelijkgesteld aan de waarheidswaarde

van een universele identiteitsuitspraak waarin gekwantificeerd wordt over het volledige

domein, dus ook over waardenverlopen. In het rechterlid kunnen dus opnieuw

identiteitsuitspraken tussen waardenverlopen optreden, die dan opnieuw aan de hand van

Basic Law V getoetst moeten worden, waardoor het hele mechanisme al snel implodeert80.

Zoals Dummett schrijft: “Frege’s stipulations are not well founded: the truth-value of an

identity-statement cannot be construed as depending only on the references of less complex

terms or on the truth-values of less complex sentences” (Dummett, 1991, 221-222). Het is

nuttig dit opnieuw in termen van equivalentierelaties te bekijken. Zoals ik hierboven heb

aangegeven, heeft Basic Law V eigenlijk deze vorm:

(𝛷)(𝛹) ((𝛷(𝜀) ∼ 𝛹(𝛼)) = ((𝑥)(𝛷(𝑥) = 𝛹(𝑥)))).

Hier is er geen probleem, omdat het linkerlid goed gedefinieerd is. Maar omdat Frege de

equivalentierelatie 𝛷(𝜀) ∼ 𝛹(𝛼) wil vervangen door de identiteit 𝜀�̀�(𝜀) = �̀�𝛹(𝛼) tussen

objecten (tussen waardenverlopen), raakt hij in de problemen. Want de formule die nu in

het linkerlid staat, is een formule die ook in het rechterlid kan optreden, als één van de

geïnstantieerde gelijkheden.

Dat is het specifieke aan de waardenverlopen: de equivalentierelatie op basis waarvan hun

identiteit vastegelegd moet worden, is zodanig dat de identiteit tussen waardenverlopen

reeds optreedt in de definitie van die equivalentierelatie, omwille van de universele

kwantor. Bij de getallen was dit niet zo: het concept van een bijectie tussen concepten, kan

onafhankelijk van de identiteit tussen getallen gedefinieerd worden.

Er is ook een technische reden waarom het GCP op zichzelf reeds prima facie verdacht is:

als het niet op de één of andere manier in toom wordt gehouden, leidt het tot een explosie

80 Ik onthoud me van de technische details. Zie bijvoorbeeld (Dummett, 1991, 220-222).

63

van het domein. Het GCP stelt dat we een term van een verwijzing kunnen voorzien door

alle proposities waarin hij optreedt van een verwijzing te voorzien. Dit is hetzelfde als

zeggen: door voor elk concept vast te leggen of het die term afbeeldt op het Ware of het

Valse. Maar dit betekent dat, als er 𝑛 concepten zijn, we daarmee 2𝑛 objecten tot leven

kunnen wekken, wat tot de gebruikelijke paradoxen leidt rond de kardinaliteit van het

domein. Conclusie: je kan niet vrijblijvend verwijzingen van proposities stipuleren. Merk

op dat Basic Law V hier helemaal los van staat.

Een hedendaagse lezer van de Grundgesetze vraagt zich onwillekeurig af waarom Frege de

inconsistentie in zijn systeem nooit gezien (of vermoed) heeft. Dat is echter enkel het geval

omdat het net Freges gefaalde project is dat doorgewerkt heeft in alle logica en wiskunde

die na hem gekomen is, waaruit gevoeligheden gegroeid zijn (niet in het minst rond het

onderscheid tussen objecttaal en metataal en alles wat daarbij komt kijken, zoals het

vastleggen van een domein, alsook de logica van recursieve procedures81) die Frege, toen

hij zijn Grundgesetze schreef, niet bezat. In zijn antwoord op Russells beroemde brief, toont

hij zich onmiddellijk attent op de fout die hij gemaakt heeft:

“It seems accordingly that the transformation of the generality of an equality into an

equality of value-ranges (§9 of my Grundgesetze) is not always permissible, that my law V

(§20, p. 36) is false, and that my explanations in §31 do not suffice to secure a Bedeutung

for my combinations of signs in all cases. I must give some further thought to the matter”

(LR, 254, 213).

Deze further thought zouden hem brengen tot een totale omwenteling in zijn filosofie, die

buiten het bestek valt van deze masterproef.

81 Ik dank Boris Demarest om mij op dit laatste aspect te wijzen.

64

Besluit

In dit besluit wil ik proberen een aantal lijnen te trekken doorheen dit eerste hoofdstuk, bij

wijze van synthese en als voorbereiding op het tweede hoofdstuk. Het is nuttig om de

belangrijkste punten even op een rijtje te hebben, vooraleer we bekijken wat er in de

Tractatus allemaal gebeurt.

Frege wil de rekenkunde funderen in de logica. Zijn grote droom, zo zouden we kunnen

zeggen, is aantonen dat de rekenkunde analytische kennis oplevert. Het merendeel van de

proposities uit de rekenkunde zijn gelijkheden tussen getallen. Frege moet dus twee zaken

logisch zien te funderen: identiteit en het getal. Identiteit moet een logisch concept worden,

en getallen moeten logische objecten worden. Het centrale probleem van Freges filosofie

is: hoe kunnen we kennis bezitten van logische objecten? Met andere woorden: hoe kan de

schijnbare kloof tussen analyticiteit en informativiteit, tussen formalisme en kennis, die

voor Kant nog absoluut was, overbrugd worden? Deze spanning vibreert doorheen Freges

hele vroege oeuvre.

Freges geheime wapen, waar zijn voorgangers zoals Kant en Mill niet over beschikten, is

zijn nieuwe logica uit het Begriffsschrift. Frege vertrekt hierbij van een holisme, wat hem

toelaat om de traditionele subject-predicaat structuur te verlaten: het oordeel bezit geen

intrinsieke structuur, maar kan ontleed worden in functie en argument. Op deze manier

wordt het object (dat de argumentplaats inneemt), de objectsvariabele en bijgevolg ook

identiteit op de voorgrond geplaatst.

Freges formalisme is niet neutraal. Naast het feit dat het semantische stabiliteit

vooronderstelt, legt het een bepaalde vorm op aan noties als object, concept en identiteit.

Deze vorm is volledig afgestemd op logica en wiskunde. Objecten verschijnen als stabiele,

zelf-identieke. Oordelen zijn gearticuleerd in functie en argument, in concept en object, en

deze kunnen zonder uitzondering verenigd worden: elk object laat zich onderwerpen aan

elk concept (wat telkens ofwel het Ware ofwel het Valse oplevert). Omdat die articulatie

bovendien onderbouwd wordt door identiteit, zijn Freges objecten discreet. Identiteit, als

de equivalentierelatie, partitioneert de objecten in singletons. Het gevolg is dat alle

concepten bij Frege sortals zijn. Kardinaliteit is intrinsiek aan zowel concept (elk concept

bezit een kardinaliteit) als object (elk object draagt precies 0 of 1 bij aan de kardinaliteit

van elk concept). De wet van Leibniz, Freges definitie van identiteit, sluit hier naadloos bij

65

aan, door de band tussen concept en object helemaal te sluiten: in zekere zin is het object

niets anders dan de concepten waaronder het valt.

Wil men de wet van Leibniz toepassen op empirische objecten, ingebed in ruimte en tijd,

dan brengt dit allerlei moeilijke problemen met zich mee. Frege maakt zich hier niet druk

om. Voor zijn objecten, de wiskundige, is de wet van Leibniz ideaal: ze bezitten een strak

omlijnde set van eigenschappen en zijn bovendien onveranderlijk. Hetzelfde geldt voor

Freges ruimere formele kader: het is volledig toegespitst op de wiskunde. Rekenkundige

concepten zijn sortals, waartoe elk getal al dan niet behoort. Logische objecten zijn

discreet. In het tweede hoofdstuk zullen we zien hoe Wittgenstein Freges kader probeert

open te trekken naar de gehele natuurlijke taal als dusdanig. Dit zal niet zonder slag of stoot

kunnen gebeuren. Tegelijk zullen we zien dat Wittgenstein een aantal lessen probeert te

trekken uit wat er bij Frege zoal fout is gelopen.

Vanuit dit kader presenteert Frege zijn epistemologie van de rekenkunde. Zijn holisme

brengt hem tot het contextprincipe, dat stelt dat namen hun inhoud verkrijgen doorheen de

proposities waarin ze optreden (die zelf ingebed zijn in het holistische logische netwerk).

Zo kan Frege onze kennis van logische objecten onderbouwen: het volstaat dat

getalstermen functioneren binnen het logische netwerk, wat betekent dat ze onderworpen

moeten zijn aan identiteit. Freges oplossing is ingenieus: hij definieert een

equivalentierelatie tussen concepten, waarvan de bijhorende equivalentieklassen de

getallen zijn. Deze equivalentierelatie levert een identiteitscriterium voor getallen.

Frege steunt hier nog op het bestaan van extensies van concepten. In de Grundgesetze wil

hij ook deze, ruimere klasse van logische objecten funderen. In de overgang tussen

Grundlagen en Grundgesetze vindt een belangrijke verschuiving plaats in Freges denken:

door zijn onderscheid tussen betekenis en verwijzing, opent zich de mogelijkheid van een

metaperspectief van waaruit verwijzingen opgelegd worden aan termen. In de

Grundgesetze zal Frege dit metaperspectief volop innemen: zijn logisch systeem wordt

bottom-up, via definities die verwijzingen vastleggen, opgebouwd.

Het is Basic Law V die de waardenverlopen (waartoe extensies behoren) moet funderen.

Net als in de Grundlagen, gaat het om een equivalentierelatie tussen concepten. Maar deze

keer kan Frege niet langer overgaan op de equivalentieklassen, omdat deze zelf

waardenverlopen zijn. Freges oplossing is het GCP, maar hierbij maakt hij een denkfout,

door relatieve (theoriegebonden) identiteit en absolute identiteit te verwarren. Het tragische

gevolg is dat Frege gevangen raakt binnen een betekenisloos formalisme, iets wat hij zelf

66

zo verafschuwde. De inconsistentie van zijn systeem is zout op de wonde. Frege slaagt er

niet in de kloof tussen kennis en formalisme te dichten.

Freges denken is opvallend strak en helder. Niemand met enig gevoel voor wiskundige

esthetiek kan onaangeroerd blijven bij het lezen van de Grundgesetze. Dummett noemt

Frege “the greatest philosopher of mathematics yet to have written” (Dummett, 1991, 321),

en daar valt zonder twijfel iets voor te zeggen.

67

In 191382 schreef Wittgenstein aan Russell:

“Identity is the very Devil and immensely important; very much more so than I thought. It

hangs—like everything else—directly together with the most fundamental questions,

especially with the questions concerning the occurrence of the same argument in different

places of a function” (NB, 123)83.

Het is een citaat dat men misschien niet zou verwachten, gezien identiteit niet onmiddellijk

een onderwerp is dat geassocieerd wordt met de Tractatus. Het boek staat veeleer bekend

om zaken als de picture theory, de gestrenge notie van onzin, de mystieke passages naar

het einde toe en Wittgensteins notoire erkenning van de zelfondermijnende aard ervan in

(TLP, 6.54). Wat ik in dit hoofdstuk wil doen, is Wittgensteins uitspraak zo ernstig

mogelijk nemen. Ik toon aan dat de visie op identiteit in de Tractatus wel degelijk

belangrijk en diepgaand is, very much more so dan men doorgaans misschien pleegt te

denken en dat verschillende aspecten van de Tractatus vanuit dit kader beter begrepen

kunnen worden. De Tractatus vormt een prachtvoorbeeld van wat Deleuze een philosophie

de l’identité zou noemen.

Dit gebeurt in een aantal stappen. Na kort het filosofische project van de Tractatus uiteen

te zetten, bespreek ik Wittgensteins theorie van het object: de objecten vormen de

substantie van de wereld. Ik beargumenteer dat de objecten van de Tractatus erop

afgestemd zijn om ingebed te worden in een fregeaans formalisme met bijhorende

fregeaanse identiteit. Alle problemen die Freges visie met zich meebrengt indien het

domein van de wiskunde verlaten wordt, tracht Wittgenstein op te vangen door zijn

objecten een aard te geven die sterk verwant is aan de logische objecten: ze bestaan

82 Het zou heel interessant zijn te kunnen zien hoe Wittgensteins denken doorheen de jaren voorafgaand aan

de Tractatus geëvolueerd is. Dat is nu enigszins mogelijk (uit de Notebooks blijkt duidelijk dat de expliciet

ontologische kwesties rond objecten, feiten, de wereld en dergelijke meer een latere bekommernis zijn, alsook

de meer mystieke onderwerpen van de Tractatus), maar helaas zijn ook een deel van de notitieboeken (op

zijn vraag) verbrand, waardoor we geen duidelijk zicht hebben op zijn intellectueel traject. Ik verwijs naar de

inleiding van de Prototractatus van von Wright en (Potter, 2013) voor een historische kadering van de

beschikbare en ontbrekende documenten. 83 Dit is geen geïsoleerde uitspraak. Iets vroeger had Wittgenstein reeds dezelfde zinsnede aan Russell

geschreven: “Identity is the very Devil!” (CL, 23, 47). Aan Moore schreef hij: “Identity plays hell with me!”

(CL, 24, 48).

HOOFDSTUK 2: IDENTITEIT IN DE TRACTATUS

68

noodzakelijk, zijn onveranderlijk, bevinden zich buiten ruimte en tijd en vormen een

discreet veld. Dit is nodig, omdat de logica van de wereld volgens Wittgenstein fregeaans

is.

Deze objectnotie, die voor Wittgenstein een mogelijkheidsvoorwaarde is voor ons denken

als dusdanig, plaatst hem voor de cruciale vraag van de Tractatus: hoe is er een logisch

verband tussen onze proposities en die objecten? Ik bespreek de verschillende aspecten van

dit verband: de analyse van definite descriptions, het contextprincipe, Wittgensteins notie

van gebruik en ten slotte de picture theory. Ik toon aan hoe Wittgensteins theorie over de

logica van onze taal verbonden is met zijn specifieke visie op het object. We zullen zien

hoe Wittgenstein opnieuw een aantal problemen uit Freges denken vermijdt: er is in de

Tractatus geen mogelijkheid om een formeel systeem op te bouwen zoals in de

Grundgesetze. Er is enkel de natuurlijke taal die ons gegeven is.

Vanuit dit ruimere kader keer ik terug op identiteit. Ik stel dat identiteit in de Tractatus een

transcendentaal principe is dat de individuatie van objecten (de articulatie van de substantie

van de wereld) fundeert. Dit leidt tot een verwerping van de wet van Leibniz: identiteit is

in de Tractatus een bruut feit dat het hele systeem onderbouwt. Individuatie komt voor

kwalificatie.

Daarna zal ik een grondige studie doorvoeren van de (TLP, 5.53ff.), waarin besproken

wordt welke rol identiteit (het gelijkheidsteken) kan spelen in het symbolisme. We zullen

zien hoe deze passages enkel begrepen kunnen worden tegen de ruimere achtergrond van

Wittgensteins visie op identiteit. Ik zal beargumenteren dat (TLP, 5.53), het principe dat

identiteit moet elimineren uit het symbolisme, gelezen moet worden als een principe over

indiscernibility, niet identiteit, omdat enkel indiscernibility toegankelijk is voor onze taal

(en de wereld). Dit is de enige lezing die compatibel is met het ruimere kader van de

Tractatus en met Wittgensteins verwerping van de wet van Leibniz in (TLP, 5.5302). Ik

zal aantonen dat dit belangrijke gevolgen heeft voor het vermogen van onze taal om het

bestaan van objecten, bepaalde mogelijke toestanden en om bepaalde kardinaliteiten uit te

drukken. Dit zorgt er tevens voor dat er in de Tractatus een totale scheiding is tussen

relatieve en absolute identiteit. Het gebruik van equivalentierelaties om objecten

(equivalentieklassen) te introduceren, wordt door Wittgenstein verworpen. Sterker nog: er

zijn in de Tractatus geen klassen tout court. Wittgenstein, om het zo te zeggen, ontmijnt

Basic Law V volledig.

Ik eindig met een bespreking van identiteit in de rekenkunde. Wittgenstein schuift wat ik

een transcendentaal logicisme zal noemen naar voor: de wetten van de rekenkunde zijn

69

mogelijkheidsvoorwaarden voor ons denken. Rekenkundige gelijkheden zijn geen zinvolle

proposities, maar tonen bepaalde aspecten van de logica van onze taal. Wittgenstein doet

recht aan Freges stelling dat we niet buiten de rekenkunde kunnen denken, maar zet zich af

tegen Freges visie op de inhoud van de rekenkunde. Dit hangt samen met zijn visie op

identiteit en de bijhorende verwerping van klassen als objecten.

Doorheen dit hoofdstuk zal duidelijk blijken hoezeer Wittgenstein een intellectuele

erfgenaam is van Frege. Dit betekent niet dat Wittgenstein geen afstand neemt van Frege

op een aantal belangrijke punten. Het is net de dialectiek tussen Frege en Wittgenstein die

helderheid kan scheppen rond een aantal op het eerste zicht eigenaardige aspecten van de

de Tractatus, zoals bijvoorbeeld de aard van de objecten. Wittgenstein toont zich als

iemand die Frege heel goed begrepen had, en die goed besefte wat er bij Frege was

misgelopen. Rond het merendeel van de hoofdthema’s uit het eerste hoofdstuk, zal

Wittgenstein Frege niet volgen: de logica van betekenis en verwijzing (deze overlappen in

de Tractatus niet langer), het statuut van het object (alle objecten zijn enkelvoudig), de

methodologie van de Grundgesetze (er is geen metaperspectief), het gebruik van

identiteitscriteria om nieuwe namen voor objecten te introduceren (Basic Law V kan niet

eens geformuleerd worden). Toch blijft de Tractatus door en door fregeaans, niet in het

minst omwille van de holistische, inferentialistische visie op taal, vergezeld door het

contextprincipe. Wittgenstein zal in het voorwoord van de Philosophische Untersuchungen

schrijven dat dit werk enkel begrepen kan worden door het naast de Tractatus te plaatsen

(PU, p. 10). Van de Tractatus kunnen we zeggen dat het enkel begrepen kan worden naast

het (vroege) oeuvre van Frege.

Bij een bespreking van de Tractatus neemt men doorgaans de picture theory als focaal

punt. Ik kies voor een andere invalshoek door te vertrekken van Wittgensteins notie van

het object. Op deze manier wordt de rol van identiteit in de Tractatus beter in het licht

geplaatst, evenals hoe de picture theory (en andere aspecten van de Tractatus) ermee

samenhangt. Ik hoop een verrijkende blik te bieden op de Tractatus, die daarom niet

inhoudelijk incompatibel hoeft te zijn met de alternatieve aanpakken.

Een ander voordeel is dat deze werkwijze toelaat om de aard van Wittgensteins project

helderder in beeld te brengen. Een focus op de picture theory dreigt al snel

psychologistische connotaties te krijgen: het gaat over hoe wij beelden maken. Maar daar

is het Wittgenstein nooit om te doen. De Tractatus is een werk over de logica van ons

70

denken, van onze taal en van de wereld. Deze logica staat volledig los van psychologische

vraagstukken, maar ook van concrete epistemologische vraagstukken over kennis. De enige

(maar tevens essentiële) manier waarop kennis in de Tractatus aan de orde is, is dat

Wittgenstein de mogelijkheidsvoorwaarden van ons denken onderzoekt.

Vooraleer ik verder ga, moet ik kort een ander punt aanraken. In The New Wittgenstein

(Crary & Read, 2000) wordt een nieuwe, therapeutische lezing van de Tractatus

verdedigd84. Alles draait rond:

“Meine Sätze erläutern dadurch, daβ sie der, welcher mich versteht, am Ende als unsinnig

erkennt, wenn er durch sie—auf ihnen—über sie hinausgestegen ist. (Er muβ sozusagen die

Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.)

Er muβ diese Sätze überwinden, dann sieht er die Welt richtig” (TLP, 6.54).

De gedachte die filosofen als Diamond en Conant in dit werk naar voor schuiven, is dat we

(TLP, 6.54) zo gestreng mogelijk moeten opvatten: de Tractatus bestaat (grotendeels) uit

onzin, die niets uitdrukt. Dit is de zogenaamde austere view of nonsense: er is maar één

soort onzin, de proposities van de Tractatus verschillen niet van ‘blie bloe bla’ (Crary &

Read, 2000, 12).

Vanuit deze optiek moeten we de Tractatus niet lezen als een poging om een bepaalde

theorie over de wereld en taal uiteen te zetten, maar daarentegen als een therapeutische

oefening om ons de zinloosheid van elke dergelijke poging te doen inzien (Diamond, 2000,

160). Dit plaatst het werk in een heel ander daglicht.

In deze masterproef ga ik voorbij aan dit debat85 en hanteer ik de klassieke (ik zou bijna

zeggen: ambachtelijke) aanpak. Ik zal de proposities uit de Tractatus dus at face value

nemen. Ook voor aanhangers van The New Wittgenstein blijft dit belangrijk, omdat zij zich

(in hun therapeutische rol) niet kunnen ontslaan van de taak zich in te leven in de positie

van iemand die wel denkt dat de Tractatus een inhoudsvolle, coherente filosofische theorie

tracht aan te dragen.

84 Dit klopt niet helemaal: deze interpretatie werd reeds vroeger aangedragen, maar in The New Wittgenstein

wordt ze meer systematisch gepresenteerd doorheen verschillende artikels en wordt ze ingebed in een ruimere

blik op Wittgensteins oeuvre. Zodoende vormt dit boek het ideale vertrekpunt om ermee vertrouwd te raken,

en heeft het het debat aangezwengeld. 85 Zie bijvoorbeeld (Hacker, 2000), (Proops, 2001) en (Sullivan, 2002) voor kritieken op de nieuwe

interpretatie.

71

Het filosofische project van de Tractatus

Om de Tractatus te begrijpen, is het cruciaal te weten wat Wittgenstein er mee wil

bereiken86. In het voorwoord lezen we:

“Das Buch behandelt die philosophischen Probleme und zeigt—wie ich glaube—daβ die

Fragestellung dieser Probleme auf dem Miβverständnis der Logik unserer Sprache beruht.

Man könnte den ganzen Sinn des Buches etwa in die Worte fassen: Was sich überhaupt

sagen läβt, läβt sich klar sagen; und wovon man nicht reden kann, darüber muβ man

schweigen” (TLP, p. 8).

Het onderwerp van het boek is: dat wat zich laat zeggen. Omdat we de logica van onze taal

onvoldoende begrijpen, ontstaan verwarringen, die zich kristalliseren in de filosofie. Wat

Wittgenstein in de Tractatus wil doen, is de logica van de taal blootleggen. De draagwijdte

hiervan mag niet onderschat worden: wat Wittgenstein aanbiedt, is de fundamentele aard

van onze taal als zodanig (en meer).

In deze sectie leg ik uit hoe we dit project moeten begrijpen. Vastleggen wat zich laat

zeggen, betekent voor Wittgenstein even goed vastleggen wat zich laat denken: “Der

Gedanke ist der sinnvolle Satz” (TLP, 4). Het gaat hem dus ten gronde om de logica van

ons denken, waarvan Wittgenstein de grenzen wil uittekenen. Nadat ik dit besproken heb,

ga ik in op Wittgensteins karakterisering van zijn eigen filosofie als taalkritiek.

De grenzen van het denken

Wittgenstein vervolgt het voorwoord met:

“Das Buch will also dem Denken eine Grenze ziehen, oder vielmehr—nicht dem Denken,

sondern dem Ausdruck der Gedanken: Denn um dem Denken eine Grenze zu ziehen,

müβten wir beide Seiten dieser Grenze denken können (wir müβten also denken können,

was sich nicht denken läβt).

Die Grenze wird also nur in der Sprache gezogen werden können und was jenseits der

Grenze liegt, wird einfach Unsinn sein” (TLP, p. 8).

86 Waarbij ik dus voorbijga aan het debat rond The New Wittgenstein.

72

Wittgenstein wil in de Tractatus paal en perk stellen aan wat we de proliferatie van ons

denken zouden kunnen noemen. Men moet dit in zijn volle gestrengheid opvatten: wat

voorbij de grenzen van het denken ligt, is, letterlijk, onzin (niet denkbaar).

Deze grenzen worden bepaald door de logica: “Wir können nichts Unlogisches denken,

weil wir sonst unlogisch denken müβten” (TLP, 3.03)87. Wittgenstein inspireert zich op

Frege, die in de Grundgesetze schrijft dat de logische wetten “prescribe universally the way

in which one ought to think if one is to think at all” [mijn cursivering] (GGAf, p. 12, p. xv).

Dit is een epistemologisch vraagstuk, maar het is belangrijk om er het juiste statuut aan te

geven. Wittgenstein is niet bekommerd om wat we kunnen weten, noch om hoe we

denken88. Waar het om gaat, is de logica die ons denken onderbouwt, die ons denken

mogelijk maakt. Deze logica is volledig onafhankelijk van contingenties, ze gaat eraan

vooraf:

“Die ‘Erfahrung’, die wir zum Verstehen der Logik brauchen, ist nicht die, daβ sich etwas

so und so verhält, sondern, daβ etwas ist: aber das ist eben keine Erfahrung.

Die Logik ist vor jeder Erfahrung—daβ etwas so ist.

Sie ist vor dem Wie, nicht vor dem Was” (TLP, 5.552).

Op geen enkel moment in de Tractatus verlaat Wittgenstein zijn zoektocht naar de logica

van ons denken.

Dat Wittgenstein het denken enkel meent te kunnen begrenzen doorheen de taal, is

belangrijk. We zien de linguistic turn van Frege terugkeren. Dit is de enige plausibele

manier: in het denken kunnen we nooit voorbij de grens raken, kunnen we de grens

überhaupt niet denken: “Was wir nicht denken können, das können wir nicht denken” (TLP,

5.61)89. De taal, echter, laat dit wel toe. De reden is niet dat we kunnen uitdrukken wat we

87 Iets poëtischer: “Man sagte einmal, daβ Gott alles schaffen könne, nur nichts, was den logischen Gesetzen

zuwider wäre.—Wir könnten nämlich von einer ‘unlogischen’ Welt nicht sagen, wie sie aussähe” (TLP,

3.031). 88 “Die Psychologie ist der Philosophie nicht verwandter als irgendeine andere Naturwissenschaft.

Erkenntnistheorie ist die Philosophie der Psychologie. Entspricht nicht mein Studium der Zeichensprache

dem Studium der Denkprozesse, welches die Philosophen für die Philosophie der Logik für so wesentlich

hielten? Nur verwickelten sie sich meistens in unwesentliche psychologische Untersuchungen und eine

analoge Gefahr gibt es auch bei meiner Methode” (TLP, 4.1121). Wittgenstein neemt Freges anti-

psychologisme over. Het is interessant dat Wittgenstein zich in zijn latere werk veelvuldig zou gaan

bezighouden met de filosofie van de psychologie. 89 Bemerk de poëtische schoonheid van het feit dat Wittgenstein, om één van zijn centrale punten te

communiceren, een tautologie gebruikt. Voor een uitstekende studie van de literaire (aforistische) aspecten

van de Tractatus en het filosofisch belang ervan, verwijs ik naar (Nordmann, 2005).

73

niet kunnen denken, dat kunnen we niet: “Wir können also auch nicht sagen, was wir nicht

denken können” (TLP, 5.61). De reden is dat de symboliek, als materieel systeem, een

amorfe massa van tekenreeksen vormt waarbinnen een algemene vorm omlijnd kan worden

waaraan elke propositie moet voldoen. Dat is wat (TLP, 6) verwezenlijkt. Deze vorm

aangeven in het denken is niet mogelijk, omdat elke gedachte eraan voldoet. De

materialiteit van de taal, echter, laat ons wel toe een grens aan te geven, precies op dat

materieel niveau. Cruciaal is: “Im Satz drückt sich der Gedanke sinnlich wahrnehmbar aus”

(TLP, 3.1). Wittgenstein was zich volop bewust van de materialiteit van de taal, en buitte

deze verder uit in zijn picture theory, zoals we zullen zien.

Wittgensteins onderzoek naar de aard van ons denken beperkt zich niet tot ons denken: het

is tevens een onderzoek van de aard van de wereld. In zijn Notebooks schrijft Wittgenstein

op een bepaald moment:

“Ja, meine Arbeit hat sich ausgedehnt von den Grundlagen der Logik zum Wesen der Welt”

(NB, 79).

Zowel taal, denken als wereld delen eenzelfde logica: “Das Wesen des Satzes angeben,

heiβt, das Wesen aller Beschreibung angeben, also das Wesen der Welt” (TLP, 5.4711).

Deze gedachte is fundamenteel voor de hele Tractatus90.

Wittgensteins project is, los van de fregeaanse inspiratie, van kantiaanse signatuur 91 .

Grenzen vormen een centrale notie in Kants transcendentale project. Niettemin krijgen deze

bij Wittgenstein een radicaal verschillende invulling. Bij Kant is er voorbij de grens wel

degelijk iets dat geconceptualiseerd kan worden, bij Wittgenstein niet. Worden we verleid

om te denken van wel, dan maken we, zoals Moore het uitdrukt, “the error of misconstruing

limits as limitations” (Moore, 2013, 244).

90 De vraag dringt zich op wat primair is: de wereld of het denken? Is Wittgenstein een realist of een idealist?

Ik zal niet expliciet ingaan op deze vraag, maar mijn onderzoek is hiervoor zeker niet irrelevant. (Moore,

2013) en (Sullivan, 2013) bediscussiëren in hoeverre Wittgenstein in de Tractatus een transcendentaal idealist

is. 91 Het is niet helemaal duidelijk in welke mate Wittgenstein tijdens het schrijven van de Tractatus was

blootgesteld aan Kant. In elk geval had hij tijdens zijn adolescentie Die Welt als Wille und Vorstellung van

Schopenhauer gelezen (Monk, 1991, 18). Tijdens de Eerste Wereldoorlog sprak hij met zijn vrienden over

Kant (McGuinness, 2005, 252-253). Freges bewondering voor Kant zal bij Wittgenstein vermoedelijk ook

niet zonder effect gebleven zijn.

74

Alle filosofie is taalkritiek

Wittgenstein schrijft in de Tractatus:

“Alle Philosophie ist ‘Sprachkritik’ […]. Russells Verdienst ist es, gezeigt zu haben, daβ

die scheinbare logische Form des Satzes nicht seine wirkliche sein muβ” (TLP, 4.0031)92.

Met zijn taalkritiek wil Wittgenstein de logica van onze taal blootleggen. Hij schrijft zich

volop in in het fregeaanse verhelderingsproject:

“Der Zweck der Philosophie ist die logische Klärung der Gedanken.

Die Philosophie ist keine Lehre, sondern eine Tätighkeit.

Ein philosophisches Werk besteht wesentlich aus Erläuterungen.

Das Resultat der Philosophie sind nicht ‘philosophische Sätze’, sondern das Klarwerden

von Sätzen.

Die Philosophie soll die Gedanken, die sonst, gleichsam, trübe und verschwommen sind,

klar machen und scharf abgrenzen” (TLP, 4.112).

Dit doet sterk denken aan het Begriffsschrift, waarover Frege ook schreef: “There are no

new truths in my work” (BS, p. 6). De Tractatus kan gelezen worden als een uitbreiding

van de filosofie van het Begriffsschrift93 en de Grundlagen. Wat Frege deed voor de

rekenkunde, zo zouden we kunnen zeggen, wil Wittgenstein doen voor de taal als zodanig.

Het gaat hierbij altijd om de natuurlijke taal, die ons gegeven is als één groot holistisch

complex.

De logica ervan is niet manifest, we moeten de oppervlaktegrammatica wantrouwen:

“Es ist menschenunmöglich, die Sprachlogik aus [die Umgangssprache] unmittelbar zu

entnehmen.

Die Sprache verkleidet den Gedanken. Und zwar zo, daβ man nach der äuβeren Form des

Kleides, nicht auf die Form des bekleideten Gedankens schlieβen kann” (TLP, 4.002).

92 In de Notebooks lezen we: “Distrust of grammar is the first requisite for philosophizing” (NB, 106). 93 Er valt iets voor te zeggen dat de Tractatus, nog veel meer dan Frege zelf, de filosofische consequenties

van het Begriffsschrift duidelijk maakt.

75

Dit is een wantrouwen dat bij Frege minder aanwezig was, zoals duidelijk naar voor komt

bij zijn notie van het object, in feite een grammaticale categorie (correspondence of

grammar). Het is Russells analyse van definite descriptions die Wittgensteins ogen heeft

geopend, zoals we verderop zullen zien.

Wittgenstein wil geen ideale taal ontwerpen. Dat is wat Russell niet begrepen had94 toen

hij in zijn inleiding op de Tractatus schreef:

“Mr Wittgenstein is concerned with the conditions for a logically perfect language—not

that any language is logically perfect, or that we believe ourselves capable, here and now,

of constructing a logically perfect language, but that the whole function of language is to

have meaning, and it only fulfils this function in proportion as it approaches to the ideal

language which we postulate” (Wittgenstein, 2005, 8)95.

Integendeel: “Alle Sätze unserer Umgangssprache sind tatsächlich, so wie sie sind, logisch

vollkommen geordnet” (TLP, 5.5563)96. Er is maar één taal die begrensd wordt, we zoeken

“die Grenzen der Sprache (der Sprache, die allein ich verstehe)” (TLP, 5.62)97. Onze taal

is logisch al volmaakt, net zoals de wereld dat is. In de Grundgesetze ontwikkelde Frege

een artificiële taal, waardoor hij in de problemen raakte. Wittgenstein trekt hieruit een

belangrijke les: waar het om gaat, waar het om moet gaan, is de logica van de natuurlijke

taal, zoals die ons gegeven is. We zouden kunnen zeggen dat Russell het transcendentale

karakter van de Tractatus onvoldoende begrepen heeft.

94 Zoals ook Ramsey opmerkt in zijn review (Ramsey, 1923, 465). Het is een teken van Ramseys genialiteit

hoe diep zijn inzicht in de Tractatus reeds was, zo kort na de publicatie ervan. Merk op dat hij zijn bespreking

schreef vooraleer hij Wittgenstein bezocht in Oostenrijk (LO, 82). 95 Wittgenstein schreef, in zijn typische stijl, in 1920 aan Russell: “You see, when I actually saw the German

translation of the Introduction, I couldn’t bring myself to let it be printed with my work. All the refinement

of your English style was, obviously, lost in the translation and what remained was superficiality and

misunderstanding” (CL, 82, 119). 96 In de Letters to Ogden legt Wittgenstein verder uit: “By this [i.e. 5.5563] I meant to say that the propositions

of our ordinary language are not in any way logically less correct or less exact or more confused than

propositions written down, say, in Russell’s symbolism or any other ‘Begriffsschrift’. (Only it is easier for us

to gather their logical form when they are expressed in an appropriate symbolism.)” (LO, 50). 97 Er was in de literatuur onenigheid over de vraag of het nu gaat om de enige taal die ik begrijp, of de taal

die enkel ik begrijp. Anscombe was overtuigd van de tweede optie (Anscombe, 1959, 167, voetnoot). Ik zeg

dat er onenigheid was, omdat Lewy ondubbelzinnig heeft aangetoond dat Anscombe het bij het verkeerde

eind had: Wittgenstein zelf stelde ‘the only language which I understand’ als Engelse vertaling voor (Lewy,

1967, 419-420).

76

Het object in de Tractatus

Het bekendste aspect van de Tractatus is de picture theory. Als iemand vooraf één element

van het boek kent, zal het vaak dit zijn (eventueel samen met de laatste propositie).

Daarnaast kondigt het voorwoord een studie van de logica van onze taal aan. Wie het werk

een eerste keer leest, staat dan ook een grote verrassing te wachten, want de Tractatus opent

met een kurkdroge ontologische theorie over de structuur van de wereld, over feiten,

connecties en objecten.

Dit is echter niet toevallig. Wittgensteins visie op het object, op de objecten als substantie

van de wereld, is fundamenteel aan zijn systeem. Net als bij Frege zijn objecten de

verwijzingen van namen, maar de aard van de objecten en die namen wordt grondig

herzien: het gaat niet langer om een grammaticale categorie. Tegelijk vertonen

Wittgensteins objecten een sterke gelijkenis met Freges logische objecten (de objecten waar

het Frege feitelijk om te doen was). De objecten van de Tractatus zijn volledig afgestemd

op het fregeaanse formalisme: ze bestaan noodzakelijk, zijn zelf-identiek en onveranderlijk.

In zekere zin bevinden ze zich ook buiten ruimte en tijd, zoals we later zullen zien. Omdat

de logica van de wereld een fregeaanse logica is, moeten de objecten wel deze aard bezitten.

Dit betekent dat de objecten uit de Tractatus ideaal zijn om onderworpen te worden aan

identiteit als logisch concept, zoals het bij Frege verscheen. Om Wittgensteins visie op

identiteit ten volle te begrijpen, moeten we eerst de aard van zijn objecten begrijpen, en de

manier waarop deze figureren in de verdere aspecten van de Tractatus, zoals de picture

theory.

In deze sectie zal ik de belangrijkste eigenschappen van de objecten uit de Tractatus

bespreken, maar ik kan deze nog niet ten volle beargumenteren. Daarvoor moet ik eerst een

aantal andere aspecten van het werk behandelen. Ik spaar de argumentatie dus grotendeels

voor later, maar het is belangrijk om bij het vervolg de aard van de objecten indachtig te

zijn.

Omdat de objecten uit de Tractatus sterk verwant zijn aan Freges logische objecten, staan

ze tegelijk erg ver van de wereld (onze wereld) waarvan ze de substantie zijn. Het centrale

probleem van de Tractatus is: hoe kan er een logisch verband zijn tussen onze proposities

en deze objecten? Met andere woorden: hoe kan representatie logisch gefundeerd worden?

Het merendeel van het boek is gewijd aan het oplossen van dit probleem, dat net omwille

van de specifieke aard van de objecten zo prangend is.

77

Een eerste stap is de analyse van het complex, waarin Russells analyse van definite

descriptions een centrale rol speelt. Dit lost bovendien een belangrijk probleem op rond

identiteit dat automatisch voortvloeit uit het raamwerk van het Begriffsschrift en de

Grundlagen, namelijk identiteit tussen empirische objecten.

De substantie van de wereld

De objecten vormen de substantie van de wereld:

“Es ist offenbar, daβ auch eine von der wirklichen noch so verschieden gedachte Welt

Etwas—eine Form—mit der wirklichen gemein haben muβ” (TLP, 2.022).

“Diese feste Form besteht eben aus den Gegenständen” (TLP, 2.023).

“Die Substanz ist das, was unabhängig von dem was der Fall ist, besteht” (TLP, 2.024).

Dit is meteen een erg sterke eigenschap: de objecten bestaan noodzakelijk. Wittgenstein

koppelt dit aan een andere eigenschap: ze zijn enkelvoudig (2.02-2.021). Wat noodzakelijk

bestaat, kan niet samengesteld zijn, omdat samengestelde entiteiten (complexen)

afhankelijk zijn van een bepaalde contingente compositie van bestanddelen98. Dit is een

eerste overeenkomst tussen Freges logische objecten en de objecten uit de Tractatus die

meteen erg dankbaar is binnen een fregeaans formalisme: we moeten ons nooit zorgen

maken om de vraag of de verwijzing van een naam wel bestaat. Wittgenstein vermijdt

daarmee één van de gevaren van de Grundgesetze, met name een explosie van het domein.

In de Tractatus ligt het domein voor eens en voor altijd vast.

De objecten zijn ook zelf-identiek. Doorheen de Tractatus vermeldt Wittgenstein een aantal

keer gelijkheid tussen objecten99, en deze geldt eerst en vooral tussen een object en zichzelf.

Zelf-identiteit is ook een belangrijke eigenschap van de logische objecten van Frege.

Bovendien zijn de objecten onveranderlijk. Dit is het minst duidelijk uit de tekst, maar ik

zal verderop beargumenteren dat dit de enige mogelijkheid is. Dit hangt bovendien samen

met Wittgensteins visie op causaliteit en persoonlijke identiteit. Onveranderlijkheid is een

derde gelijkenis met de logische objecten.

98 Was die compositie niet contingent, dan zou het complex toch enkelvoudig zijn, aangezien het enkel zinvol

is om van bestanddelen te spreken, indien deze ontkoppeld kunnen worden. Zoals Wittgenstein in de

Notebooks schrijft: “Und diese Teile sind dann wirklich unzerlegbar, denn weiter zerlegte wären eben nicht

DIESE” (NB, 63). 99 Bijvoorbeeld: (TLP, 4.1211), (TLP, 4.243), (TLP, 5.53), (TLP, 5.5303).

78

Deze aspecten zorgen ervoor dat de objecten uit de Tractatus ideaal geplaatst zijn om te

figureren in een fregeaans formalisme en onderworpen te worden aan identiteit. Er is geen

probleem rond semantische stabiliteit, en er is geen conflict tussen identiteit en verandering.

Zoals verderop duidelijker zal blijken, zijn de objecten bovendien, net als bij Frege,

discreet. Ze vormen, zo zou je kunnen zeggen, een maximaal stabiel fundament om een

systeem op te bouwen. En dat is precies wat Wittgenstein zal doen.

Tegelijk staan deze objecten mijlenver af van ‘naïeve’ empirische entiteiten zoals boeken,

katten, bomen, enzovoort. Er wordt vaak opgemerkt dat Wittgenstein nergens een

voorbeeld geeft van een object. De reden is eenvoudig: hij kent er geen100.

Dit zorgt voor een verdere verwantschap met Freges logische objecten. De centrale vraag

van Freges filosofie was: hoe kunnen wij kennis bezitten van logische objecten (GL, §62)?

Het centrale probleem van de Tractatus is: hoe kan er een logisch verband zijn tussen onze

proposities en de objecten? Wittgenstein moet de kloof tussen onze proposities (de

proposities uit de natuurlijke taal) en de objecten overbruggen. Net als Frege zal

Wittgenstein hierbij gebruik maken van het contextprincipe, zoals we verderop zullen zien.

De analyse van het complex: definite descriptions

Wittgenstein schrijft:

“Jede Aussage über Komplexe läβt sich in eine Aussage über deren Bestandteile und in

diejenigen Satze zerlegen, welche die Komplexe vollständig beschreiben” (TLP, 2.0201)

Hij is ervan overtuigd dat termen voor complexen zich zodanig laten uitanalyseren dat

uiteindelijk enkel namen overblijven die verwijzen naar objecten (TLP, 3.2). Deze analyse

is bovendien uniek (TLP, 3.25).

De onderliggende zorg is er één rond de betekenis van onze proposities. In de Notebooks

schrijft Wittgenstein:“Alles, was ich will, ist ja nur vollständige Zerlegtheit meines Sinnes”

(NB, 63), en verderop: “Die Forderung der einfachen Dinge ist die Forderung der

100 Frascolla levert een fenomenalistische lezing van de ontologie van de Tractatus: “The stream of

phenomena, the given, is constituted by existing phenomenal complexes (phenomenal facts) which can be

analysed in repeatable qualitative parts (qualia, in Goodman’s sense)” (Frascolla, 2007, 78). Die laatste zijn

dan de objecten. Volgens hem had Wittgenstein dus wel een specifieke klasse objecten voor ogen. Deze visie

hoeft niet incompatibel te zijn met de inhoud van dit hoofdstuk.

79

Bestimmtheit des Sinnes” (NB, 63). In de Tractatus wordt dit: “Die Forderung der

Möglichkeit der einfachen Zeichen ist die Forderung der Bestimmtheit des Sinnes” (TLP,

3.23). White legt dit mooi uit:

“It must be possible to spell out the sense of a proposition in such a way as to show explicitly

the range of specific situations that would make it true — in fact to represent it as a vast

disjunction of utterly specific claims, each of which picks out a specific situation that, were

it to occur, would make the proposition true” (White, 2006, 56-57).

Bondiger uitgedrukt: “Lack of specificity is a feature of our language, not of the world”

(White, 2006, 56). Deze volledige specificiteit van betekenis is volgens Wittgenstein enkel

mogelijk indien er enkelvoudige objecten bestaan, in termen waarvan deze specifieke

toestanden die een propositie waarmaken, beschreven kunnen worden. In de Prototractatus

elaboreert Wittgenstein nog op (TLP, 3.23), die daar nummer 3.20101 heeft:

“Die Analyse der Zeichen muβ einmal zu einem Ende kommen, weil die Zeichen, wenn sie

überhaupt etwas ausdrücken sollen, auf eine für allemal fertige Weise bedeuten müssen”

(PrTLP, 3.20102).

“Man könnte die Bestimmtheit auch so fordern: Wenn ein Satz sinn haben soll, so muβ

vorerst die syntaktische Verwendung jedes seiner Teile festgelegt sein. — Man kann z.B.

nicht erst nachträglich daraufkommen, daβ ein Satz aus ihm folgt. Sondern, welche Sätze

aus ihm folgen muβ vollkommen feststehen, ehe dieser Satz einen Sinn haben kann”

(PrTLP, 3.20103).

Ik ga niet dieper in op dit argument voor het bestaan van de enkelvoudige objecten. De

centrale vraag is: moet de betekenis van onze proposities wel exact bepaald zijn? In zijn

latere werk zal Wittgenstein dit herzien. Maar ook in de Notebooks worstelt Wittgenstein

hiermee (NB, 59ff.). Op een bepaald moment komt hij heel dicht bij het verwerpen van

deze eis (NB, 67-68)101, wat van de Tractatus een heel ander werk had kunnen maken.

101 Bijvoorbeeld: “Wenn der Satz ‘das Buch liegt auf dem Tisch’ einen klaren Sinn hat, dann muβ ich, was

immer auch der Fall ist, sagen können, ob der Satz wahr oder falsch ist. Es könnten aber sehr wohl Fälle

eintreten, in welchen ich nicht ohne weiteres sagen könnte, ob das Buch noch ‘auf dem Tisch liegend’ zu

nennen ist. Also?” (NB, 67).

80

De empirische objecten waarover we in onze proposities spreken, zoals de morgenster en

de avondster, zijn dus complexen die zich laten uitanalyseren. De vraag is dan hoe deze

analyse plaatsvindt, welke haar logica is. Een aanzet tot het antwoord is Russells analyse

van definite descriptions uit zijn artikel On Denoting. Dit is een eerste stap in het funderen

van het logische verband tussen onze proposities en de objecten, die aantoont hoe namen

kunnen optreden in proposities die feiten afbeelden.

Frege zag definite descriptions als een zoveelste voorbeeld van namen die verwijzen naar

een object. Russell stelt een andere aanpak voor: definite descriptions vormen geen

“genuine constituents” (Russell, 1905, 482) en verwijzen dus niet. Ze moeten daarentegen

uitgeanalyseerd worden. Een uitspraak als ‘𝑎 is de 𝐹’ is eigenlijk van de vorm:

𝐹𝑎 ∧ (𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑎).

Hierin treedt geen naam meer op die zou overeenkomen met ‘de 𝐹’. Ook een uitspraak als

‘de 𝐹 is de 𝐺’ laat zich op deze manier uitanalyseren:

(∃𝑥) (𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑥 ∧ (𝑦)((𝐹𝑦 ∨ 𝐺𝑦) ⊃ 𝑦 = 𝑥)).

Of ‘de F is G’:

(∃𝑥)(𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑥 ∧ (𝑦)(𝐹𝑦 ⊃ 𝑦 = 𝑥)).

Dit levert Wittgenstein de nodige instrumenten om proposities over complexen logisch te

verbinden met proposities over objecten. Termen voor complexen, hoewel ze zich lijken te

gedragen als namen van objecten, zijn eigenlijk bundels van definite descriptions die

uitgeanalyseerd kunnen worden, totdat er enkel nog (echte) namen voor objecten

overblijven. Wittgenstein schrijft:

“Der Satz, welcher vom Komplex handelt, steht in interner Beziehung zum Satze, der von

dessen Bestandteil handelt.

81

Der Komplex kann nur durch seine Beschreibung gegeben sein, und diese wird stimmen

oder nicht stimmen. Der Satz, in welchem von einem Komplex die Rede ist, wird, wenn

dieser nicht existiert, nicht unsinnig, sondern einfach falsch sein” (TLP, 3.24) 102.

Dit is een duidelijke echo van On Denoting. Wittgenstein keert zich tegen Frege en sluit

zich aan bij Russell. De morgenster, de avondster, zijn complexen, geen objecten. Omdat

termen van complexen uitgeanalyseerd worden, komen we uiteindelijk altijd uit op

datzelfde vaste domein van objecten. In 1913 schreeft Wittgenstein aan Russell: “Ich will

nur noch sagen, daβ Deine Theorie der ‘Descriptions’ ganz zweifellos richtig ist” (NB, 128).

Het gebeurt zelden dat Wittgenstein zich met dergelijke bewoordingen over een ander zijn

theorieën uitlaat, zeker als het logica betreft.

Nordmann schrijft:

“While he sometimes appears to require that simple objects would have to be discovered

through a drawn-out logical analysis (and that logically simple objects should be physically

simple, too), I adopt for present purposes his suggestion that the simplicity of objects is

relative to the state of affairs in which they occur” (Nordmann, 2005, 69, voetnoot).

Deze ‘suggestion’ vindt Nordmann in volgend fragment uit de Notebooks:

“Es scheint, daβ die Idee des EINFACHEN in der des Komplexen und in der Idee der Analyse

bereits enthalten liegt, zo zwar, daβ wir ganz absehend von irgendwelchen Beispielen

einfacher Gegenstände oder von Sätzen, in welche von solchen die Rede ist, zu dieser Idee

kommen und die Existenz der Einfachen Gegenstände als eine logische Notwendigkeit—a

priori—einsehen” (NB, 60).

Als de enkelvoudigheid relatief was, is het niet duidelijk waarom Wittgenstein belang zou

hechten aan het komen tot het idee van enkelvoudige objecten los van voorbeelden: elke

toestand zou enkelvoudige objecten bevatten, namelijk deze die enkelvoudig zijn relatief

aan deze toestand. De enkelvoudigheid van objecten is in de Tractatus absoluut, niet

102 We zien hier Wittgensteins antwoord op wat Quine in zijn beroemde artikel On What There Is het

probleem van Plato’s Beard noemt (Quine, 1948, 21). In essentie betreft het de vraag: hoe kunnen we spreken

over objecten die niet bestaan (zoals eenhoorns). Wittgensteins antwoord luidt: we spreken nooit over niet-

bestaande objecten, enkel over niet-bestaande complexen. Ook Quine grijpt terug naar Russell, maar slaat

een andere route in.

82

relatief. Wittgenstein verbindt deze enkelvoudigheid heel duidelijk met het eindpunt van

de analyse, bijvoorbeeld in (TLP, 3.2-3.201). Dit kan niet zomaar aan de kant gezet worden

zoals Nordmann dat doet. Ook het apart zetten van connecties als verbindingen van

(enkelvoudige) objecten (TLP, 2.0272ff.) wijst erop dat enkelvoudigheid niet relatief kan

zijn: anders zouden connecties en toestanden samenvallen103. Dat de connecties logisch

onafhankelijk zijn (TLP, 2.061-2.062), wordt dan een absurditeit. Tenslotte bestaat de

substantie van de wereld, die opgebouwd is uit de enkelvoudige objecten, onafhankelijk

van wat het geval is (TLP, 2.024). Ook dit kan enkel indien de enkelvoudigheid absoluut

is.

De stelling dat termen voor complexen analyseerbaar zijn, is cruciaal voor de Tractatus.

Russell zelf schrijft in zijn artikel Knowledge by Acquaintance and Knowledge by

Description:

“Common words, even proper names, are usually really descriptions. That is to say, the

thought in the mind of a person using a proper name correctly can generally only be

expressed explicitly if we replace the proper name by a description” (Russell, 1910, 114).

Het is nu de vraag of het op deze manier wel mogelijk is om het logisch potentieel van

proposities adequaat te verklaren104.

Wat het nog lastiger maakt, is het feit dat Wittgenstein nergens aangeeft hoe dit precies in

zijn werk zou gaan. Het is prima facie nochtans allerminst duidelijk hoe een propositie als

‘het boek ligt op de tafel’ volledig uitgeanalyseerd moet worden, en of Russells apparaat

wel volstaat. De volgende passage uit de Notes on Logic (1913) is veelzeggend:

“Every statement about apparent complexes can be resolved into the logical sum of a

statement about the constituents and a statement about the proposition which describes the

complex completely. How, in each case, the resolution is to be made, is an important

103 Deze terminologie zal verderop verduidelijkt worden. Niettemin leek het mij nuttig, voor de cognoscendi,

om Nordmanns bezwaar hier reeds te behandelen. 104 Voor een invloedrijke kritiek op Russells theorie van definite descriptions, waarin de onderliggende

kwesties rond de aard van taal duidelijk naar voor komen, zie (Strawson, 1950). De belangrijke laatste zin

luidt: “Neither Aristotelian nor Russellian rules give the exact logic of any expression of ordinary language;

for ordinary language has no exact logic” (Strawson, 1950, 344). Russell reageert in (Russell, 1957). Merk

op dat Russell stelt het niet oneens te zijn met die uitspraak van Strawson (Russell, 1957, 389). Daarmee zien

we een belangrijk onderscheid tussen Russell en Wittgenstein: Russell meent dat de syntax van de natuurlijke

taal gewijzigd moet worden (Russell, 1957, 387), Wittgenstein wil de natuurlijke taal verklaren. Ik benadruk

nogmaals het belang van (TLP, 5.5563), hierboven reeds aangehaald.

83

question, but its answer is not unconditionally necessary for the construction of logic” (NB,

101).

Men zou kunnen zeggen dat Carnap dit in de Aufbau effectief zal trachten uit te voeren.

We hebben gezien hoe Freges filosofie niet echt uitgerust was om identiteit tussen

empirische objecten te behandelen. De analyse van definite descriptions levert een

oplossing. Gelijkheden tussen complexen zijn altijd van de vorm ‘𝑎 is de 𝐹’ of ‘de 𝐹 is de

𝐺 ’ en deze laten zich uitanalyseren. Identiteit tussen empirische objecten wordt bij

Wittgenstein een soort quasi-identiteit. In de analyse van quasi-identiteit duikt identiteit

nog steeds op, maar deze is nu gereduceerd tot identiteit tussen objecten. Tegelijk wordt

identiteit zo zeer pregnant, aangezien eenvoudige proposities als ‘het boek ligt op de tafel’

(dus ook proposities zonder quasi-identiteit) doorspekt blijken te zijn met gelijkheden.

Zoals reeds aangegeven past het gereduceerde type identiteit ideaal binnen een fregeaans

kader.

Komt quasi-identiteit overeen met relatieve identiteit? Met andere woorden: wat is het

statuut van ‘𝑎 is dezelfde 𝐹 als 𝑏’? Indien 𝑎 en 𝑏 objecten zijn, is dit gewone identiteit, die

behandelt wordt in (TLP, 5.53), zoals we verderop uitgebreid zullen bespreken105. Indien

het gaat om complexen, dan moet dit opnieuw uitgeanalyseerd worden. Hoe dit precies

moet gebeuren, is wederom niet duidelijk. Waar het om gaat, is een bepaalde relatie tussen

complexen (een equivalentierelatie). Een plausibele aanzet106, is dat deze uitspraak zich

opsplitst in 𝐹𝑎 (of 𝐹𝑏), in de analyse van 𝑎 als complex107, de analyse van 𝑏 als complex,

en het uiteindelijke gelijkstellen van de objecten die het eindpunt vormen van beide

analyses, wat dan weer identiteit is tussen objecten. Hoe het ook zij, bij ‘de 𝐹 is de 𝐺’ moet

er iets analoog gebeuren. We kunnen dus besluiten dat relatieve identiteit zich inderdaad

toont als een vorm van quasi-identiteit.

Ik heb reeds volgende passage aangehaald:

105 Om hier reeds het antwoord te geven: de propositie ‘𝐹𝑎 ∧ 𝐹𝑏 ∧ 𝑎 = 𝑏’ wordt gereduceerd tot ‘𝐹𝑎 ∧ 𝐹𝑎’. 106 Ik maak mij geen illusies over de talrijke problemen die hier optreden. Het is duidelijk dat Wittgensteins

weigering om zijn notie van analyse verder uit te werken, één van de grootste problemen is met de Tractatus.

Ik pretendeer hier niet beter te doen. Dat is ook niet mijn opzet. Gelet op de serieuze moeilijkheden, kunnen

we vermoeden waarom hij dit achterwege heeft gelaten. Om te beginnen is het al niet duidelijk wat de aard

is van de verzameling objecten waaruit een complex, zoals bijvoorbeeld ‘dit boek’, opgebouwd is. Ligt deze

vast? Of is het boek robuust genoeg om hierin wijzigingen te ondergaan? Dit is belangrijk voor de analyse

van quasi-identiteit. 107 Zoals beschreven in (TLP, 2.0201) en (TLP, 3.24) hierboven.

84

“Alle Philosophie ist ‘Sprachkritik’. […] Russells Verdienst ist es, gezeigt zu haben, daβ

die scheinbare logische Form des Satzes nicht seine wirkliche sein muβ” (TLP, 4.0031).

Wittgenstein verwijst hier naar Russells behandeling van definite descriptions, die een

prachtvoorbeeld vormt van de taalkritiek die Wittgenstein wil doorvoeren. Russell heeft als

het ware een tipje van de sluier opgelicht waarachter het wezen van de wereld schuilgaat.

Voor een diepgaande bespreking van Russells Verdienst, zie (Kremer, 2012).

85

Zeigen en Sagen

De visie op taal die Wittgenstein in de Tractatus presenteert, is door en door fregeaans.

Wittgenstein neemt zowel Freges holisme als het bijhorende contextprincipe over, twee

fundamentele aspecten uit het Begriffsschrift en de Grundlagen, en voegt er elementen aan

toe. Zo krijgt het contextprincipe in de Tractatus een ontologische spiegeling in de manier

waarop objecten optreden in feiten. Het holisme uit zich dan weer in Wittgensteins notie

van gebruik, een logisch concept dat cruciaal is om de Tractatus te begrijpen. Beiden zijn

hoofdingrediënten van het logisch verband tussen onze proposities en de objecten. Het

contextprincipe verklaart hoe het logisch verband tussen naam en object (de verwijzing) tot

stand komt en het gebruik levert de holistische achtergrond waartegen alles plaatsvindt,

datgene wat proposities als het ware tot leven wekt.

Net als in de Grundlagen is er in de Tractatus geen zinvolle metataal. Dit is het onderscheid

tussen het zegbare en het toonbare. Er is een kloof tussen wat de taal kan zeggen en wat ze

vooronderstelt, het transcendentale. Dat laatste kan niet gezegd worden, maar toont zich.

Dat de taal kan zeggen, impliceert reeds dat een aantal mogelijkheidsvoorwaarden voldaan

zijn.

Het contextprincipe

Een van de belangrijkste proposities uit de Tractatus is een herneming van Freges

contextprincipe:

“Nur der Satz hat Sinn; nur im Zusammenhange des Satzes hat ein Name Bedeutung” (TLP,

3.3).

Net als bij Frege, houdt het contextprincipe in dat een naam op zichzelf geen verwijzing

heeft, en dat het dus ook geen zin heeft om naar die verwijzing te vragen vanuit een

metaperspectief, buiten de context van een propositie. Laat staan dat er sprake zou zijn van

een mentale act, zoals Conant opmerkt:

“To think that one can fix the meanings of names by means of such an act just is to think

that one can fix their meanings prior to and independently of their use in propositions; and

it is just this psychologistic conception of meaning that Frege’s and early Wittgenstein’s

86

respective versions of a context principle are concerned to repudiate” (Conant, 2000, 210,

voetnoot 80).

De verwijzing van een naam komt voort uit de proposities waarin ze optreedt, en staat er

niet los van. De propositie is hierin primair. Dit is in de Tractatus ook de enige

mogelijkheid. De objecten van de Tractatus zijn entiteiten waar wij helemaal geen toegang

tot hebben. Mocht er een op zichzelf staande link zijn tussen naam en object, zou het

onverklaarbaar zijn hoe deze tot stand komt en hoe wij deze in onze proposities kunnen

aanwenden. De connectie moet op een andere manier gefundeerd zijn. Het contextprincipe

levert het antwoord: het zijn onze proposities zelf die de verwijzingen vastleggen. De

bovenbouw bepaalt de onderbouw.

Dit uit zich ook in Wittgensteins notie van het symbool, dat hij als volgt definieert:

“Ausdruck ist alles, für den Sinn des Satzes wesentliche, was Sätze miteinander gemein

haben können” (TLP, 3.31). Een symbool is altijd slechts “das gemeinsame

charakteristische Merkmal einer Klasse von Sätzen” (TLP, 3.311). Het kan dus evenmin

los gezien worden van de proposities waarin het optreedt. Wittgenstein breidt het

contextprincipe uit voor symbolen: “Der Ausdruck hat nur im Satz Bedeutung” (TLP,

3.314)108.

Het contextprincipe krijgt in de Tractatus tevens een ontologische invulling, in de structuur

van de wereld. Wittgensteins ontologie kent een strikte scheiding tussen objecten en de

connecties en feiten waarin ze optreden. Objecten vormen connecties (Sachverhalt) (TLP,

2.01) en het bestaan van een set connecties is een feit (Tatsache) (TLP, 2). Naast de

bestaande connecties (de feiten), zijn er ook toestanden (Sachlage), die we als mogelijke

feiten kunnen karakteriseren109. De wereld bestaat uit feiten, niet uit objecten (TLP, 1.1).

De Tractatus is geen atomistisch werk: primair zijn proposities en feiten. Wat overeenkomt

met de connecties, zijn elementaire proposities (TLP, 4.21). Wat overeenkomt met feiten

in het algemeen, zijn proposities. Alle proposities zijn waarheidsfuncties van elementaire

proposities (TLP, 5).

108 Voor een heel verhelderende uiteenzetting van de notie van symbool uit de Tractatus, verwijs ik naar

(Floyd, 2001, 166ff.). Ik zal Floyd nog citeren. Ik ben professor Van Dyck dankbaar om mij te wijzen op dit

artikel. 109 Wittgenstein doet dit nooit expliciet, maar het blijkt afldoende uit onder meer (TLP, 2.014), (TLP, 2.202)

en (TLP, 3.02).

87

Objecten zijn enkelvoudig, maar niet zelfstandig. “Es ist dem Ding wesentlich, der

Bestandteil eines Sachverhaltes sein zu können” (TLP, 2.011). Wittgenstein legt de link

tussen object en naam expliciet:

“Das Ding ist selbständig, insofern es in allen möglichen Sachlagen vorkommen kann, aber

diese Form der Selbständigkeit ist eine Form des Zusammenhangs mit dem Sachverhalt,

eine Form der Unselbständigkeit. (Es ist unmöglich, daβ Worte in zwei verschiedenen

Weisen auftreten, allein und im Satz)” (TLP, 2.0122)110.

De objecten zijn ons niet op zichzelf gegeven, maar enkel doorheen de feiten (mogelijke

toestanden) waarvan ze deel uitmaken. Net zoals de naam enkel betekenis heeft binnen de

propositie, zou je kunnen zeggen dat het object enkel bestaat binnen het feit (binnen een

mogelijke toestand). Er is een zekere analogie met het Ding an sich: objecten verschijnen

ons op een bepaalde gemedieerde manier en het is niet mogelijk om verder te kijken dan

dat. “Ein Satz kann nur sagen, wie ein Ding ist, nicht was es ist” (TLP, 3.221)111.

We zien dat Wittgenstein de kantiaanse beweging (copernicaanse revolutie) die Van de

Vijver waarnam bij Frege (Van de Vijver, 358, 2013) in de Tractatus repliceert en

bovendien een ontologische geldigheid verleent. Het contextprincipe wordt in de Tractatus

volop een logisch principe, dat niet alleen de logische aard van de link tussen naam en

object specifieert, maar zelfs de structuur van de wereld onderbouwt.

Het gebruik

Er is in de Tractatus geen zinvolle metataal. We kunnen van bovenaf geen betekenis

opleggen aan onze proposities, laat staan een verwijzing aan namen (waar we überhaupt

geen toegang toe hebben). Maar wat geeft onze proposities dan betekenis? Het antwoord

hierop is Wittgensteins notie van het gebruik:

“Was in den Zeichen nicht zum Ausdruck kommt, das zeigt ihre Anwendung. Was die

Zeichen verschlucken, das spricht ihre Anwendung aus” (TLP, 3.262).

110 In de Prototractatus legt Wittgenstein nog expliciet de link met het contextprincipe: “Das kommt darauf

hinaus, daβ, im Falle Namen in- und auβerhalb des Satzverbandes Bedeutung hätten, es so zu sagen, nicht zo

verbürgen wäre, daβ sie in beiden Fällen wirklich dasselbe, im selben Sinne des Wortes, bedeuten” (PrTLP,

2.0122). 111 In hoeverre de mystieke passages uit de Tractatus dit gemedieerde perspectief mogelijk overstijgen, is een

vraag waar ik niet op kan ingaan.

88

“Um das Symbol am Zeichen zu erkennen, muβ man auf den sinnvollen Gebrauch achten”

(TLP, 3.326).

Men moet niet vragen naar de verwijzing van een naam, maar kijken hoe ze gebruikt wordt.

Wittgenstein neemt Freges holisme over:

“Obwohl der Satz nur einen Ort des logischen Raumes bestimmen darf, so muβ doch durch

ihn schon der ganze logische Raum gegeben sein.

(Sonst würden durch die Verneinung, die logische Summe, das logische Produkt, etc.

immer neue Elemente—in Koordination—eingeführt.)

(Das logische Gerüst um das Bild herum bestimmt den logischen Raum. Der Satz

durchgreift den ganze logischen Raum.)” (TLP, 3.42).

Alle informatie over de propositie en haar bestanddelen wordt gedragen door haar

structurele plaats binnen de logische ruimte, haar logische verhouding ten aanzien van de

andere proposities112. De verwijzing van een naam wordt enkel en volledig bepaald door

zijn optreden binnen proposities. Er is niets meer dan dat. Het heeft geen enkele zin om te

vragen naar de verwijzing van een naam, de betekenis van een propositie. We moeten

steeds in het achterhoofd houden dat Wittgenstein op zoek is naar de logica van onze

natuurlijke taal, die gegeven is als één holistisch, betekenisvol complex. Het gebruik slaat

op de structurele plaats die een propositie binnen dat holistische complex inneemt.

Wittgenstein geeft dit mooi aan in een eigen versie van het scheermes van Ockham:

“Wird ein Zeichen nicht gebraucht, so ist es bedeutungslos. Das ist der Sinn der Devise

Occams.

(Wenn sich alles so verhält als hätte ein Zeichen Bedeutung, dann hat es auch Bedeutung)”

(TLP, 3.328).

112 Laat me dit illustreren met een voorbeeld: dat uit ‘de broek ligt in de wasmand’ volgt dat ‘twee

broekspijpen liggen in de wasmand’, toont dat een broek twee broekspijpen bevat . Dat daaruit niet volgt dat

‘er ligt iets met mouwen in de wasmand’, toont dat een broek geen mouwen heeft. Een volledige analyse van

onze proposities moet alle dergelijke eigenschappen blootleggen. Wittgenstein geeft zelf een abstracter

voorbeeld: “Daβ man aus (𝑥)(𝐹𝑥) auf 𝐹𝑎 schlieβen kann, das zeigt, daβ die Allgemeinheit auch im Symbol

‘(𝑥)(𝐹𝑥)’ vorhanden ist” (TLP, 3.1311). Zoals White schrijft: “The structures that Wittgenstein argued for,

which are not visible in the written sentence, are manifest in the application of language — e.g. our abilities

to recognize valid inferences from our propositions, or to recognize in the concrete case that a particular

situation is one that makes what has been said true” (White, 2006, 68-69).

89

Het is door het gebruik dat een teken betekenis krijgt. En omgekeerd: wordt het teken

gebruikt, dan heeft het betekenis. We kunnen dit ook zien als Wittgensteins versie van het

GCP: indien een naam ingebed is in het logische netwerk, indien deze gebruikt wordt in

betekenisvolle proposities, dan heeft ze een verwijzing. Het belangrijke verschil is dat de

achtergrond waartegen Wittgenstein het GCP formuleert, geen artificieel opgebouwd

formalisme is, maar de natuurlijke taal.

Het is belangrijk in te zien dat het gebruik een logisch concept is. Het heeft niets te maken

met psychologie, met hoe wij over onze taal nadenken of hoe wij onze proposities concreet

gebruiken. Het gaat erom dat er taal is. Zoals Wittgenstein schrijft:

“Der Mensch besitzt die Fähigkeit Sprachen zu bauen, womit sich jeder Sinn ausdrücken

läβt, ohne eine Ahnung davon zu haben, wie und was jedes Wort bedeutet.—Wie man auch

spricht, ohne zu wissen, wie die einzelnen Laute hervorgebracht werden.

Die Umgangssprache ist ein Teil des menschlichen Organismus und nicht weniger

kompliziert als dieser” (TLP, 4.002).

Net zoals we niet weten waarom of hoe ons hart klopt, weten we niet waarom of hoe onze

taal representeert. De verwijzing van een naam is voor Wittgenstein volop een logisch

probleem, dat enkel epistemologisch genoemd kan worden in zoverre het te maken heeft

met de logica van de taal en ons denken. Al onze proposities zijn waarheidsfuncties van de

elementaire proposities, en gebruiken dus namen, ook al beseffen wij dit niet. Op die

manier, en enkel op die manier, krijgen de namen een verwijzing. De doctrine van de

Tractatus is, zo zou je kunnen zeggen, dat er enkel use is, en geen mentioning113. De

gedachte dat onze proposities impliciet allerlei namen bevatten, is Frege volledig vreemd,

omdat hij vanuit een meer epistemologische oriëntatie nadenkt over de propositie.

Het is een mythe dat Wittgenstein pas later aandacht heeft gekregen voor het gebruik van

woorden en zinnen: reeds in de Tractatus staat dit volledig op de voorgrond (weliswaar op

113 Is er zoiets als usage to mention? Neen. We kunnen over een word-token spreken, als zijnde een complex,

maar daarmee reiken we niet tot het symbool. Er is in de Tractatus geen enkele mogelijkheid tot semantic

ascent. Wat wel mogelijk is, zijn psychologistische uitspraken. We kunnen bijvoorbeeld onderzoek doen naar

het verband tussen bepaalde fysiologisch-neurologische toestanden (inclusief zintuigelijke perceptie) en het

uitstoten van bepaalde klanken (à là Word and Object van Quine), of bepaalde grammaticale regulariteiten

vaststellen. Maar dat vertelt ons niets over logica (dit is het anti-psychologisme dat Wittgenstein overneemt

van Frege). Dit is een gevolg van: “Sachlagen kann man beschreiben, nicht benennen” (TLP, 3.144). Ik dank

professor Van Dyck voor het opwerpen van deze vraag.

90

een andere manier). Dit is bovendien een schadelijke mythe, want ze maakt een correct

begrip van de Tractatus volstrekt onmogelijk.

Het transcendentale niveau (het toonbare)

In 1919 schreef Wittgenstein aan Russell:

“Now I’m afraid you haven’t really got hold of my main contention, to which the whole

business of logical propositions is only a corollary. The main point is the theory of what

can be expressed (gesagt) by propositions — i.e. by language — (and, which comes to the

same, what can be thought) and what can not be expressed by propositions, but only shown

(gezeigt); which, I believe, is the cardinal problem of philosophy” (CL, 63, 98)114.

Laat ons proberen om beter te doen. Het loutere gegeven dat er proposities zijn, hangt vast

aan allerlei logische eigenschappen van taal en wereld. Deze logica gaat alle contingenties

vooraf (TLP, 5.552). Dit niveau, het niveau van alles wat voorondersteld wordt door onze

taal en ons denken, het niveau van de mogelijkheidsvoorwaarden van onze praktijk, is wat

Wittgenstein (niet zo verrassend) transcendentaal noemt: “Die Logik ist transzendental”

(TLP, 6.13)115. We kunnen er niet zinvol over spreken, omdat elk spreken, elke propositie

reeds deze logica veronderstelt. Dat is wat Wittgenstein zelf zijn grondgedachte noemt:

“Mein Grundgedanke ist, daβ die ‘logischen Konstanten’ nicht vertreten. Daβ sich die

Logik der Tatsachen nicht vertreten läβt” (TLP, 4.0312).

We zien het bovenvermelde kardinale probleem van de filosofie terugkeren: het

onderscheid tussen wat gezegd en getoond kan worden. Wat we kunnen zeggen, is wat we

met proposities uitdrukken. Maar doorheen deze praktijk manifesteert zich een ander

niveau, de logica ervan, de logica die deze praktijk überhaupt mogelijk maakt. Deze toont

zich.

114 Terzijde opgemerkt: ik denk dat we Wittgensteins claim dat dit onderscheid het hoofdprobleem is van de

filosofie, ernstig moeten durven nemen (en durf is zeker nodig). 115 Of Wittgensteins karakterisatie van ethiek en esthetiek als transcendentaal (TLP, 6.421) zich ook op deze

manier laat begrijpen, kan ik hier niet nagaan. Laat me enkel dit zeggen: indien het metafysisch subject, als

grens van de wereld (TLP, 5.632), een mogelijkheidsvoorwaarde is voor die wereld (eventueel vergelijkbaar

met het kantiaanse ‘Ik denk’), en indien ethiek verband houdt met het feit dat er een wereld is, met het niet-

toevallige, het mystieke (TLP, 6.44), met de feiten als opgave (TLP, 6.4321), dan lijkt een bevestigend

antwoord mogelijk.

91

Het tonen is een holistische notie, die geschiedt doorheen het gebruik van proposities. Wat

getoond wordt, toont zich in het holistische logische netwerk, niet in apart beschouwde

proposities. Het is de natuurlijke taal als geheel die toont. De scheiding tussen het toonbare

en het zegbare is bovendien strikt: “Was gezeigt werden kann, kann nicht gesagt werden”

(TLP, 4.1212). Een praktijk kan niet instaan voor haar eigen mogelijkheidsvoorwaarden.

Kremer schrijft:

“We should not read talk of ‘showing,’ and correlatively of ‘perceiving,’ ‘seeing,’

‘recognizing,’ that which is shown, on the model of a relation between a subject and some

ineffable fact-like entity (‘that 𝑝 is shown to 𝑆,’ ‘𝑆 perceives that 𝑝[’]). This form of the

idea of showing is exactly what the Tractatus wants to teach us to abandon. Rather we

should read talk of ‘showing,’ and correlatively ‘seeing,’ on the model of the demonstration

of a technique, and the uptake required to understand the demonstration. In essense, my

suggestion is that one who ‘sees’ that which is shown, is simply one who ‘knows how to

go on’” (Kremer, 2002, 297).

Ik ben het volmondig eens met het eerste deel van dit citaat. Het tonen is, zoals we

ondertussen verwachten, een logisch concept, geen psychologisch. In het tweede deel lijkt

Kremer te suggereren dat het ‘zien’ van datgene wat getoond wordt een voorwaarde is voor

het gebruik. Dat kan echter niet kloppen, omdat het tonen pas mogelijk is doorheen het

gebruik. Het gebruik en het tonen zijn onlosmakelijk verbonden: zonder gebruik is er niets

om te tonen, en datgene wat getoond wordt, zijn de mogelijkheidsvoorwaarden voor het

gebruik. Het is mogelijk dat Kremer hier niets anders heeft willen zeggen. In dat geval kan

ik hem volledig volgen.

Kritiek op de Grundgesetze

Om Wittgensteins positie beter te begrijpen, is het nuttig in te gaan op de kritiek die hij

levert op de Grundgesetze. Nadat hij zijn consistentiebewijs heeft gepresenteerd, stelt Frege

in de Grundgesetze dat al zijn proposities niet alleen een verwijzing hebben, maar ook een

betekenis:

92

“However, not only a denotation, but also a sense, appertains to all names correctly formed

from our signs. Every such name of a truth-value expresses a sense, a thought. Namely, by

our stipulations it is determined under what conditions the name denotes the True. The

sense of this name—the thought—is the thought that these conditions are fulfilled” (GGAf,

§32).

Wittgenstein richt zijn pijlen op deze claim:

“Der Satz ist der Ausdruck seiner Wahrheitsbedingungen.

(Frege hat sie daher ganz richtig als Erklärung der Zeichen seiner Begriffsschrift

vorausgeschikt. Nur ist die Erklärung des Wahrheitsbegriff bei Frege falsch: Wären ‘das

Wahre’ und ‘das Falsche’ wirklich Gegenstände und die Argumente in ¬𝑝 etc., dann wäre

nach Freges Bestimmung der Sinn von ‘¬𝑝’ keinswegs bestimmt.)” (TLP, 4.431).

Frege definieert de functie ‘¬’ als volgt:

“The value of the function ¬𝜉 shall be the False for every argument for which the value of

the function —𝜉 is the True; and shall be the True for all other arguments” (GGAf, §6).

“—Δ is the True if Δ is the True; on the other hand it is the False if Δ is not the True”

(GGAf, §5).

De betekenis van ‘¬𝑝’ is dus dat ‘𝑝’ niet verwijst naar het Ware. Maar dat is nu net geen

betekenis. Betekenis staat bij Frege los van verwijzing, zoals we hebben gezien: deze

vormen heterogene registers. Door terug te werken van verwijzing naar betekenis, zondigt

Frege hiertegen. De betekenis van ‘𝑝’ duikt niet op in de betekenis van ‘¬𝑝’, enkel de

verwijzing. Zoals Anscombe terecht opmerkt: “On Frege’s own principles you do not

specify a sense by specifying a reference” (Anscombe, 1959, 107). Freges stipulatie van

zijn betekenissen is dus incoherent.

Frege verwart waarheidscondities met verwijzingscondities. Doorlopen we Freges

recursief opgebouwde waarheidscondities, dan zal het resultaat altijd een lijst zijn van

vereiste verwijzingen van namen. Maar daarin treedt nergens een structuur op, een feit. Dat

is de essentie van Wittgensteins kritiek op Frege. Een lijst van verwijzingen zegt

uiteindelijk niets:

93

“Der Satz ist kein Wörtergemisch.—(Wie das musikalische Thema kein Gemisch von

Tönen.)

Der Satz ist artikuliert” (TLP, 3.141).

In de Tractatus zijn het de elementaire proposities die garanderen dat onze proposities wel

degelijk betekenis hebben. Proposities in het algemeen zijn waarheidsfuncties, en

uiteindelijk dus ook niets meer dan een oplijsting van waarheidswaarden, maar dan wel

waarheidswaarden van elementaire proposities, en niet verwijzingen van namen. En die

elementaire proposities stellen wel degelijk feiten voor, met name connecties. Waar

Wittgenstein onder meer de vinger op legt, is het aparte statuut van de waarheid van een

propositie, die zich niet laat reduceren tot het bezitten van een bepaalde verwijzing. Zoals

Diamond schrijft in haar uitgebreide bespreking van Wittgensteins kritiek op Frege:

“Wittgenstein’s view is that expressions which have that such-and-such is so as their sense

cannot be names of truth-values” (Diamond, 2010, 579).

Dit alles komt voort uit Freges poging om zijn logisch systeem bottom-up op te bouwen.

We hebben gezien hoe deze procedure in spanning is met de filosofie uit het Begriffsschrift

en de Grundlagen. Wittgenstein sluit ze in de Tractatus uit. Er is enkel de natuurlijke taal,

die ons reeds gegeven is. Freges poging om vanuit een metaperspectief verwijzingen vast

te leggen, betekent dat hij de natuurlijke taal verlaat, en zorgt ervoor dat zijn systeem

betekenisloos wordt. De Grundgesetze is voor Wittgenstein een accident de parcours,

waarin Frege zijn meest waardevolle inzichten uit het Begriffsschrift en de Grundlagen

loochende. Wittgenstein heeft weinig geduld met pogingen om regels op te leggen aan het

symbolisme. In 1919 schrijft hij in een brief aan Russell:

“You cannot prescribe to a symbol what it may be used to express. All that a symbol CAN

express, it MAY express. This is a short answer but it’s true!” (CL, 63, 99).

In de Tractatus lezen we:

“Jetzt verstehen wir auch unser Gefühl: daβ wir im Besitze einer richtigen logischen

Auffassung seien, wenn nur einmal alles in unserer Zeichensprache stimmt” (TLP, 4.1213).

94

“Nun wird klar, warum man oft fühlte, als wären die ‘logischen Wahrheiten’ von uns zu

‘fordern’: Wir können sie nämlich insofern fordern, als wir eine genügende Notation

fordern können” (TLP, 6.1223)116.

Het enige wat je kan doen, is symbolen op de juiste manier gebruiken, een correct

symbolisme hanteren. Daarin toont zich wat de regels willen uitdrukken. Er is geen

onderscheid tussen het juist en fout gebruik van een symbool, er is enkel het onderscheid

tussen een symbool en een dood teken. In een regel zou je iets willen uitdrukken over een

symbool, een bepaalde grens trekken in het correcte gebruik ervan. Maar elk symbool is

correct gebruikt, het loutere feit dat het een symbool is, draagt dit reeds in zich. “Ein

mögliches Zeichen, muβ auch bezeichnen können. Alles was in der Logik möglich ist, ist

auch erlaubt” (TLP, 5.473). We hebben reeds gezien dat Wittgenstein in de Tractatus een

heel eigen, logische invulling geeft aan het scheermes van Ockham. Hij doet dit zelfs nog

een tweede keer:

“Occams Devise ist natürlich keine willkürliche, oder durch ihren praktischen Erfolg

gerechtfertigte Regel: Sie besagt, daβ unnötige Zeicheneinheiten nichts bedeuten.

Zeichen, die Einen Zweck erfüllen, sind logisch äquivalent, Zeichen die keinen Zweck

erfüllen, logisch bedeutungslos” (TLP, 5.47321).

Wat Wittgenstein bedoelt, is niets anders dan dat een teken niet verkeerd gebruikt kan

worden. Elk gebruik is, qua gebruik, altijd al logisch gerechtvaardigd. Is een propositie

ingebed in onze taal, dan zijn er geen verdere eisen te vervullen.

116 Men moet die laatste zin goed begrijpen: logische waarheden kunnen we niet eisen, en een toereikende

notatie dus ook niet. Dit is opnieuw de reden waarom Wittgenstein geen ideale taal will ontwerpen. In zijn

Notebooks schrijft Wittgenstein: “Meine Schwierigkeit ist nur eine—enorme—Schwierigkeit des Ausdrucks”

(NB, 40). Wat we kunnen doen, is een bepaalde notatie gebruiken, maar deze in regels trachten vast te leggen,

is zinloos, en leidt tot onvolmaakte systemen zoals die van Frege en Russell (TLP, 3.325). Wittgenstein legt

dit erg krachtig uit in wat voor mij één van de mooiste proposities is uit de Tractatus, de moeite om voluit te

citeren: “Es gibt gewisse Fälle, wo man in Versuchung gerät, Ausdrücke von der Form 𝑎 = 𝑎 oder 𝑝 ⊃ 𝑝

u. dgl. zu benützen. Und zwar geschieht dies, wenn man von dem Urbild: Satz, Ding, etc. reden möchte. So

hat Russell in den Principles of Mathematics den Unsinn 𝑝 ist ein Satz in Symbolen durch 𝑝 ⊃ 𝑝

wiedergegeben und als Hypothese vor gewisse Sätze gestellt, damit deren Argumentstellen nur von Sätzen

besetzt werden könnten. (Es ist schon darum Unsinn, die Hypothese 𝑝 ⊃ 𝑝 vor einen Satz zu stellen, um

ihm Argumente der richtigen Form zu sichern, weil die Hypothese für einen Nicht-Satz als Argument nicht

falsch, sondern unsinnig wird, und weil der Satz selbst durch die unrichtige Gattung von Argumenten

unsinnig wird, also sich selbst ebenso gut, oder so schlecht, vor den unrechten Argumenten bewahrt wie die

zu diesem Zweck angehängte sinnlose Hypothese.)” (TLP, 5.5351).

95

Is er dan geen onderscheid tussen een ‘goed’ en een ‘slecht’ gebruik?117 Het is opnieuw

belangrijk erop te wijzen dat Wittgenstein enkel bekommerd is om de logica van onze taal,

los van contingente psychologische factoren. En logisch gezien is er pas sprake van

gebruik, als de bewuste proposities wel degelijk betekenis hebben en zodoende ingebed

zijn in het logische netwerk. In de logica is er geen slecht gebruik. Psychologisch gezien is

er wel een vorm van slecht gebruik, waarbij men niet beseft dat bepaalde woorden geen

betekenis hebben. Het is de taak van de filosofie om dit bloot te leggen (TLP, 4.112, 6.53).

Frege hoopte met een identiteitscriterium de brug te dichten tussen kennis en formalisme.

In de Tractatus stelt dit probleem zich niet, omdat er geen apart formeel systeem is. Onze

natuurlijke taal is formeel, zonder dat we dit beseffen. Dat is het grote verschil met Russell,

die ook formalisatie nastreefde, maar daarmee de natuurlijke taal dacht te moeten verlaten

(Russell, 1957, 387). Voor Wittgenstein is het verlaten van de natuurlijke taal uitgesloten

en absurd. Het juiste filosofische vraagstuk is hoe onze proposities erin slagen de

werkelijkheid af te beelden, niet hoe we een artificiële taal kunnen ontwerpen die dit doet.

Een artificiële taal kan dit ook niet doen, omdat ze niet gebruikt wordt. Eenmaal gebruikt,

is ze onderdeel van de natuurlijke taal, onderworpen aan net dezelfde logica.

Sterker nog: het is niet mogelijk een artificiële taal te ontwerpen die proposities expliciet

presenteert in hun algemene vorm, als waarheidsfuncties van elementaire proposities. De

reden is dat we daarvoor over namen zouden moeten beschikken die verwijzen naar de

objecten, maar dat doen we niet. Eén van Wittgensteins brieven aan Russell illustreert dit

mooi:

“[Russell:] ‘… But a Gedanke is a Tatsache: what are its constituents and components, and

what is their relation to those of the pictured Tatsache?’ [Wittgenstein:] I don’t know what

the constituents of a thought are but I know that it must have such constituents which

correspond to the words of Language. Again the kind of relation of the constituents of

thought and of the pictured fact is irrelevant. It would be a matter of psychology to find it

out” (CL, 63, 98-99).

De opzet van een identiteitscriterium om nieuwe namen voor objecten te introduceren of

om objecten logisch te funderen, is volledig misplaatst. Het domein van objecten ligt altijd

al vast en is voor ons ontoegankelijk. Identiteit verliest elke dergelijke epistemologische

117 Ik dank professor Van Dyck voor het opwerpen van deze vraag.

96

geladenheid, en betreft enkel de logica van de taal en de wereld. Er is in de Tractatus geen

toegestane manier om namen te isoleren, deze functioneren enkel binnen zinvolle

proposities. Zoals Ricketts schrijft: “Wittgenstein […] rejects Frege’s view of names,

especially Frege’s reliance on Leibniz’s law to isolate proper names” (Ricketts, 1985, 9-

10).

We moeten wel oppassen niet te verwarren met quasi-identiteit tussen complexen. Daar

heeft Wittgenstein wel een plaats voor het introduceren van nieuwe (quasi-)namen, via

definities. Dit betreft de manier waarop identiteit functioneert in het symbolisme van de

Tractatus, wat ik verderop zal bespreken. Ik zal daar ook dieper ingaan op het statuut van

equivalentierelaties in de Tractatus, die aan de basis lagen van Freges identiteitscriteria.

97

De picture theory

De picture theory is het laatste element dat nodig is om Wittgensteins theorie van de

propositie te vervolledigen. We weten reeds hoe proposities over feiten namen bevatten,

dat toont de analyse van definite descriptions. We weten hoe de verwijzing van die namen

tot stand komt: dit gebeurt door hun optreden in proposities (het contextprincipe) die zelf

een structurele plaats bekleden binnen het holistische netwerk dat onze taal uitmaakt

(gebruik). Blijft één vraag: wat is een propositie? Hoe kan er een logisch verband zijn tussen

een propositie en een feit? Wat is betekenis? De picture theory biedt hier een antwoord op.

Wat centraal staat, is de articulatie van de propositie. Proposities, zo stelt Wittgenstein,

kunnen enkel een betekenis bezitten indien ze dezelfde structuraliteit vertonen als de

toestand die ze representeren. De kern van de picture theory is de manier waarop hij de

articulatie fundeert.

Ik zal eerst ingaan op Wittgensteins opvatting over het beeld, waarin die eis van

structuraliteit naar voor komt. Vervolgens zullen we zien hoe Wittgenstein deze eis

inwilligt. Dit heeft een aantal gevolgen die samenhangen met het onderscheid tussen het

toonbare en het zegbare, waar ik mee eindig.

De propositie als beeld

Wittgenstein vertrekt in de Tractatus van een algemene theorie van representatie, van wat

hij een beeld noemt, om deze vervolgens toe te passen op taal. Een beeld bestaat uit

elementen die zich op een bepaalde manier tot elkaar verhouden, het bezit een bepaalde

structuur (TLP, 2.15). Wittgenstein noemt het beeld “ein Modell der Wirklichkeit” (TLP,

2.12)118. Men denke bijvoorbeeld aan een maquette, of een tactische bespreking aan de

hand van speelgoedsoldaatjes op een landkaart. Zoals Wittgenstein verderop over de

propositie zal zeggen, wordt in het beeld een toestand experimenteel samengesteld (TLP,

4.031).

Deze twee niveaus samen, element en structuur, geven het beeld zijn representationele

kracht: “Daβ sich die Elemente des Bildes in bestimmter Art und Weise zu einander

118 Dit is één van de punten waar Wittgenstein duidelijk beïnvloed is door Hertz’ Prinzipien der Mechanik.

Het is misschien niet irrelevant dat Wittgenstein, vooraleer hij zich aan filosofie wijdde,

ingenieurswetenschappen en aeronautica studeerde (Monk, 1991, 27-28). Ik bedank professor Van Dyck voor

deze suggestie.

98

verhalten, stellt vor, daβ sich die Sachen so zu einander verhalten” (TLP, 2.15). De

structuraliteit is essentieel. Wat met het beeld overeenstemt, is een mogelijke toestand

(TLP, 2.11). Wat met de elementen overeenstemt, zijn de objecten (TLP, 2.131). De

betekenis van het beeld is de voorgestelde toestand (TLP, 2.221). Is deze een bestaande

toestand, dan is het beeld waar, anders is het vals (TLP, 2.222). Betekenis en waarheid zijn

niet te scheiden van elkaar. Alles wat betekenis heeft, is waar of vals. En die waarheid of

valsheid is volledig extern aan het beeld (TLP, 2.224). Anders gezegd: al wat we van een

beeld kunnen vragen, is dat het betekenis heeft, dat het een beeld is. De rest is aan de

werkelijkheid (TLP, 2.223).

Belangrijk is dat enkel de elementen van het beeld rechtstreeks gecorreleerd zijn met de

realiteit, met de objecten. Wittgenstein vergelijkt het beeld met een meetlat die aan de

werkelijkheid wordt aangelegd waarvan enkel de uiterste punten deze raken (TLP, 2.1512,

2.15121). De structuur van het beeld, de verhouding van de elementen, is dus vrij, niet

gebonden aan de feiten, enkel ingeperkt door de intrinsieke logische mogelijkheden van de

elementen tout court. “Das Bild stellt eine mögliche Sachlage im logischen Raume dar”

(TLP, 2.202). Dat is wat ons toelaat om foute beelden te maken: “Das Bild stellt sein Objekt

von auβerhalb dar […], darum stellt das Bild sein Objekt richtig oder falsch dar” (TLP,

2.173). Dit heeft een belangrijk gevolg: “Ein a priori wahres Bild gibt es nicht” (TLP,

2.225). Bij een a priori waar beeld ‘𝑝’ zou het loutere feit dat ‘𝑝’ een beeld is reeds 𝑝

impliceren, het beeld zou dus iets afbeelden wat er niet onafhankelijk van is. Maar het is

net essentieel aan het beeld dat het een mogelijke toestand van buitenaf voorstelt. Er is nog

een andere manier om dit te kaderen: als ‘𝑝’ a priori waar is, dan is ‘¬𝑝’ a priori vals. Dat

wil zeggen dat ‘¬𝑝’ geen mogelijke toestand is, wat betekent dat ‘¬𝑝’ helemaal geen beeld

is. Als echter ‘𝑝’ een beeld is, dan ook ‘¬𝑝’. Dus kan ‘𝑝’ geen beeld zijn.

Wat nu met de propositie? Proposities zijn beelden (TLP, 4.01). De cruciale eigenschap

van het beeld, en van de propositie, is de structuraliteit, de articulatie. Dat is wat proposities

hun representationele kracht geeft. Wittgenstein geeft dit mooi aan in:

“Nicht: ‘Das komplexe zeichen “𝑎𝑅𝑏” sagt, daβ 𝑎 in der Beziehung 𝑅 zu 𝑏 steht’, sondern:

Daβ ‘𝑎’ in einer gewissen Beziehung zu ‘𝑏’ steht, sagt, daβ 𝑎𝑅𝑏” (TLP, 3.1432)119.

119 Ook de reeds aangehaalde (TLP, 3.141) en (TLP, 3.144) zijn hier relevant.

99

Wat in de propositie correspondeert met de objecten (dus de elementen van de propositie

als beeld), zijn de namen (TLP, 3.22). Net als de objecten, zijn namen enkelvoudig (TLP,

3.202). Er zijn in de Tractatus geen samengestelde namen. “Die Gegenstände kann ich nur

nennen” (TLP, 3.221), en dus niet: beschreiben. Merk op dat, aangezien de objecten

noodzakelijk bestaan, alle namen in de Tractatus rigid designators zijn.

Waar Frege op alle niveaus zowel een betekenis als verwijzing poneerde, gaat Wittgenstein

deze volledig opsplitsen. Enkel namen hebben een verwijzing, enkel proposities hebben

een betekenis120. Alle proposities zijn waarheidsfuncties van elementaire proposities. Dit

is de algemene vorm van de propositie (TLP, 6). Wat daarbuiten valt, is geen propositie en

heeft dus geen betekenis, het is onzinnig. Op deze manier heeft Wittgenstein de

aangekondigde grens van het denken getrokken.

Wat is het verschil met Frege? Welnu, precies dat er bij Wittgenstein geen enkele ruimte is

om aan een beeld (propositie) op te leggen welke zijn waarheidswaarde is. Opdat er sprake

kan zijn van een propositie, moet er betekenis zijn, en daarmee ligt de waarheidswaarde

meteen ook vast. Een omgekeerde route, waarbij de waarheidswaarde gestipuleerd wordt,

en daar een betekenis uit zou moeten volgen, is volgens Wittgenstein absurd. Waarheid

zegt niets over betekenis. In die zin kunnen we het probleem met Freges theorie ook

aanstippen met een beroemd citaat van Russell uit On Denoting: “There is no backward

road from denotations to meanings, because every object can be denoted by an infinite

number of different denoting phrases” (Russell, 1905, 487).

Blijft één cruciale vraag: waar komt de articulatie vandaan? Hoe is ze gefundeerd? Wat

geeft proposities hun structuraliteit? De manier waarop Wittgenstein dit probleem oplost,

betekent een revolutie ten aanzien van Frege en Russell.

120 Wittgenstein spreekt in de Tractatus ook van de Bedeutung van andere tekens dan namen, bijvoorbeeld in

(TLP, 5.31). Kremer stelt voor: “Meaning, in general, is use or function in language, and the representing of

objects is only one specific form of meaning” (Kremer, 2002, 284). Ik kan het daarmee eens zijn. Het

belangrijke punt blijft dat namen en proposities een verschillende logica hebben, die overeenkomt met het

fregeaanse onderscheid tussen verwijzing en betekenis. Deze logica wordt inderdaad in beide gevallen

geactiveerd door het gebruik. Ook als Wittgenstein de term Bedeutung in deze brede betekenis hanteert, blijft

het niettemin zo dat enkel namen verwijzen (bedeuten in de nauwe betekenis) en enkel proposities een

betekenis hebben.

100

De articulatie van de propositie: de propositie als feit

In zijn Notes on Logic schreef Wittgenstein:

“Frege said ‘propositions are names’; Russell said ‘propositions correspond to complexes’.

Both are false; and especially false is the statement ‘propositions are names of complexes’”

(NB, 97).

Proposities beelden feiten af, en moeten daartoe eenzelfde structuraliteit bezitten als deze

feiten. Waaraan danken ze deze structuraliteit? Wittgensteins antwoord is even briljant als

het eenvoudig is: proposities zijn feiten121. Wittgenstein maakt optimaal gebruik van de

materialiteit van de taal:

“Das Satzzeichen besteht darin, daβ sich seine Elemente, die Wörter, in ihm auf bestimmte

Art und Weise zueinander verhalten.

Das Satzzeichen ist eine Tatsache” (TLP, 3.14).

We kunnen spreken van een propositioneel materialisme. Dit laat hem toe allerlei

problemen waar Russell en Frege mee worstelden, op te lossen122. Het impliceert dat de

propositie niet langer een mysterieuze entiteit is van een verschillende orde dan hetgene

waarmee ze, via haar betekenis, verbonden is. Zowel de propositie als haar betekenis zijn

toestanden, mogelijke configuraties van objecten. De propositie, de taal, is volop deel van

de wereld.

Het logisch verband tussen een propositie en een feit wordt zo volstrekt vanzelfsprekend:

het gaat om twee feiten die eenzelfde structuur vertonen. Wat Wittgenstein doet, is de

articulatie van de propositie herleiden tot een ontologische kwestie. Bij Frege was ze

gegrond in het holistische netwerk van onze oordelen en was dit volop een

epistemologische kwestie. Bij Wittgenstein is het de structuraliteit van de propositie als feit

die hiervoor zorgt. Omdat feiten gearticuleerd zijn, zijn proposities dat ook. Er is dus een

externe factor in het spel: de feiten waarop onze proposities zich enten, zijn reeds

gearticuleerd.

121 Wittgenstein drukt dit mooi uit in zijn Notes on Logic: “Propositions are themselves facts: that this inkpot

is on this table may express that I sit in this chair” (NB, 97). In de Tractatus volgt dit uit (TLP, 2.141) en

(TLP, 4.01). 122 Zie (Candlish & Damnjanovic, 2012, 65ff.) voor een overzicht.

101

Men zegt wel eens dat de Tractatus een isomorfisme poneert tussen taal en wereld. Het

gaat zelfs nog verder: er wordt een automorfisme geponeerd van de wereld in zichzelf, van

de taal in zichzelf. Taal en wereld zijn, op een heel fundamentele manier, één123. Dit komt

heel mooi naar voor in een opmerking die Anscombe aanhaalt in haar boek:

“Giancarlo Colombo, S.J., the Italian translator of the Tractatus, commented on

Wittgenstein’s theory of the ‘isomorphism’, as it is called, between language and the world,

that it was difficult to see why a described fact should not be regarded as itself a description

of the proposition that would normally be said to describe it, rather than the other way

around” (Anscombe, 1959, 67).

Het antwoord is dat dit precies het punt is dat Wittgenstein wil maken, de kern van zijn

picture theory124.

Elk feit ligt dus als het ware klaar als een potentiële propositie. Wat het feit activeert, is het

gebruik, de inbedding in onze taal. Wittgenstein schrijft: “Das angewandte, gedachte,

Satzzeichen ist der Gedanke” [mijn cursivering] (TLP, 3.5). Elk feit kan een Satzzeichen

zijn:

“Wir benützen das sinnlich wahrnehmbare Zeichen (Laut- oder Schriftzeichen etc.) des

Satzes als Projektion der möglichen Sachlage.

Die Projektionsmethode ist das Denken des Satz-Sinnes” (TLP, 3.11).

In de Prototractatus vinden we een cruciale aanvulling:

“Die Projektionsmethode ist die Art und Weise der Anwendung des Satzzeichens” (PrTLP,

3.12).

123 Het speciale vermogen van de mens ligt volgens Wittgenstein dus niet in het produceren van taal, maar in

het projecteren van feiten in andere, reeds bestaande, feiten. Dit werpt een nieuw licht op: “Die

Umgangssprache ist ein Teil des menschliches Organismus” (TLP, 4.002). Ik verlaat hier het bereik van deze

masterproef, maar eventueel kan men uit de Tractatus trachten een bepaalde antropologische visie te

distilleren op het ontstaan van taal, dat zich zal situeren in het leggen van symbolische connecties, los van het

spreken. Ikzelf ben evenwel niet in staat in te schatten of er hier nog nieuwe inzichten te vinden zijn. 124 Dit levert volgens mij ook de sleutel om één van de meest cryptische proposities uit de Tractatus te

begrijpen: “Es ist aber klar, daβ ‘A glaubt, daβ 𝑝’, ‘A denkt 𝑝’, ‘A sagt 𝑝’ von der Form ‘“𝑝” sagt 𝑝’ sind:

Und hier handelt es sich nicht um eine Zuordnung von einer Tatsache und einem Gegenstand, sondern um

die Zuordnung von Tatsachen durch Zuordnung ihrer Gegenstände” (TLP, 5.542). Dit zou ons hier echter te

ver leiden.

102

“Die Anwendung des Satzzeichens ist das Denken seines Sinnes” (PrTLP, 3.13).

Dat de articulatie van de propositie ontologisch gegrond is, betekent dat het object (en dus

identiteit) niet alleen fundamenteel is voor de wereld, maar ook voor de taal. We zien hoe

Wittgenstein feit, gebruik, denken, propositie allemaal met elkaar verbindt. Ik ben het dan

ook eens met Floyd wanneer ze schrijft:

“I believe that Wittgenstein himself draws no hard and fast distinction between what is

articulated and articulation, between what is exhibited by a sign and the sign doing the

exhibiting, between thought and thinking. Symbols and expressions are aspects or patterns

of the uses of signs in thinking: propositions, senses, and thoughts are nothing but

appropriate uses of particular propositional signs, and propositional signs are perceptible

facts on which we operate” (Floyd, 2001, 156).

Er dringt zich een vraag op. Eén van de centrale aspecten van het Begriffsschrift was dat

het oordeel geen inherente articulatie bezit: het kan op verschillende manieren ontleed

worden, zonder dat de inhoud verandert. In de Tractatus lijkt dit te verdwijnen: als de

articulatie van de propositie teruggaat op de propositie als feit, bezit die slechts één

structuur die bovendien inherent is.

Dat klopt, maar is geen probleem. Wittgensteins theorie van de ontleding van de propositie

in functie en argument situeert zich in de (TLP, 3.3ff.), waar hij zijn notie van symbool

bespreekt. Daar beschrijft Wittgenstein de ontleding in functie en argument:

“[Der Ausdruck] wird also dargestellt durch die allgemeine Form der Sätze, die er

charakterisiert.

Und zwar wird in dieser Form der Ausdruck konstant und alles übrige variabel sein” (TLP,

3.312).

Belangrijk voor het probleem dat we hier bespreken, is dat het symbool een materiële

drager heeft, het teken (TLP, 3.32). Dat er verschillende ontledingen mogelijk zijn, wordt

verklaard door het feit dat de propositie als feit wel degelijk één enkele structuur heeft,

maar dat de componenten van die structuur zich op verschillende manieren laten

combineren tot symbolen, die elk voor een eigen ontleding zorgen. In 𝑎𝑅𝑏 is de

verzameling van tekens die als symbool opgevat kunnen worden:

103

{𝑎, 𝑅, 𝑏, 𝑎𝑅, 𝑅𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑎𝑅𝑏}, zeven in totaal. Er is dus wel degelijk een inherente structuur,

maar die structuur bepaalt de minimale componenten die op verschillende manieren

samengenomen kunnen worden om zo verschillende ontledingen te bekomen. Dat we de

propositie zo kunnen ontleden, steunt op de inherente structuur. Bij Frege was dit eigenlijk

niet anders.

De afbeeldingsvorm

Elk beeld bezit, naast een structuur, ook een bepaalde vorm. Deze vorm is de mogelijkheid

van zijn structuur (TLP, 2.15). Beeld en afgebeelde moeten een gemeenschappelijke vorm

bezitten:

“Das Bild kann jene Wirklichkeit abbilden, deren Form es hat.

Das räumliche Bild alles Räumliche, das farbige alles farbige, etc.” (TLP, 2.171)125.

Dit betekent dat enkel mogelijke toestanden afgebeeld kunnen worden. Bovendien is er één

vorm die alle beelden moeten bezitten, de logische vorm (TLP, 2.18). Dit is niets anders

zeggen dan dat elk beeld zelf een feit is, dat de structuur van de elementen van het beeld

altijd mogelijk is. Dit alles geldt ook voor proposities: elke propositie bezit de logische

vorm, is een feit en dus een mogelijke toestand. Is dit niet het geval, dan is er geen sprake

van een structuur, dus ook niet van een betekenis en dus ook niet van een propositie. Een

voorbeeld is ‘𝑝 ∧ ∃𝑥’, dit is wat Wittgenstein een louter “Wörtergemisch” zou noemen

(TLP, 3.141)126.

Wittgenstein stelt nu:

“Seine Form der Abbildung aber kann das Bild nicht abbilden; es weist sie auf” (TLP,

2.172).

125 Merk op dat een beeld op allerlei manieren ‘ruimtelijk’ (of iets anders) kan zijn. Tijdsintervallen tussen

geluiden kunnen in principe ook afstanden tussen objecten voorstellen. Of omgekeerd, zoals Wittgensteins

voorbeeld van de grammofoonplaat aantoont (TLP, 4.014). 126 In feite ga ik een beetje te snel. Dat ik ‘𝑝 ∧ ∃𝑥’ kan noteren, toont reeds aan dat ook dit een feit is, dat dus

een bepaalde structuur bezit. Er kan dus betekenis aan gegeven worden, maar niet op de gebruikelijke manier.

In hoeverre Wittgenstein in de Tractatus de overtreding van logische syntax (naast het foutief toekennen van

betekenis) als een mogelijke vorm van onzin ziet, is onderwerp van debat. Zie bijvoorbeeld (Witherspoon,

2000) en (Hacker, 2000). De propositie waarrond de discussie zich centreert, is (TLP, 5.4733).

104

De afbeeldingsvorm is de mogelijkheid van de structurele samenhang van de elementen

van het beeld (TLP, 2.15), met andere woorden: de mogelijkheid van het beeld als feit.

Maar die mogelijkheid is niet zegbaar, ze behoort tot het domein van de logica, dus het

toonbare. Dat een feit mogelijk is, wordt getoond door het feit zelf. Als ik zeg ‘𝑝 is

mogelijk’, dan toont de mogelijkheid van 𝑝 zich in het loutere optreden van 𝑝 in mijn

uitspraak, niet door wat ik er zogezegd over zeg. Als ik zeg ‘𝑝 is onmogelijk’, dan toont dit

even goed of even slecht de mogelijkheid van ‘𝑝’. We zien de eigenheid van de picture

theory naar voor treden: net omdat de propositie zelf een feit is, draagt zij de mogelijkheid

van de voorgestelde toestand reeds in zich. Er vallen geen verdere vragen te stellen.

We hebben nu de nodige achtergrond doorwerkt om Wittgensteins visie op identiteit te

kunnen bespreken. Tot hiertoe is identiteit weinig aan bod gekomen, maar daar zal nu

verandering in komen. Vanuit deze achtergrond zou de centrale (transcendentale) rol die

identiteit in de Tractatus inneemt, duidelijker naar voor moeten komen, wat ons toestaat

om een dieper inzicht te verkrijgen in Wittgensteins visie op identiteit.

105

Identiteit tussen objecten

In het begin van dit hoofdstuk heb ik de specifieke aard van de objecten uit de Tractatus

besproken, die sterk lijken op Freges logische objecten. Vervolgens hebben we gezien hoe

Wittgenstein in de Tractatus een antwoord biedt op de vraag die hieruit ontstaat, met name

naar het logisch verband tussen onze proposities en die objecten. Het merendeel van de

Tractatus is een poging om Wittgensteins theorie van het object te verenigen met het

gegeven dat onze proposities de wereld representeren.

Maar waar komt die theorie van het object vandaan? In deze sectie zal verder duidelijk

worden hoe de verwantschap met logische objecten ervoor zorgt dat de objecten uit de

Tractatus bijzonder geschikt zijn om gevat te worden binnen een fregeaanse logica met

fregeaanse identiteit.

Daartoe keer ik allereerst terug op de aard van die objecten, zoals beloofd. Ik zal aantonen

waarom de objecten in de Tractatus noodzakelijk bestaan, onveranderlijk zijn en zich

buiten ruimte en tijd situeren. Dit lost alle problemen waarmee een fregeaanse logica (een

fregeaans formalisme) kampt, op: semantische stabiliteit is onmiddellijk verzekerd, er is

geen conflict tussen zelf-identiteit en verandering, noch zijn er problemen rond identiteit in

ruimte en tijd. De zelf-identiteit zal in de volgende sectie nog verder aan bod komen.

Daarna ga ik dieper in op identiteit zelf. Ik zal aantonen dat identiteit, net als de logica, in

de Tractatus een transcendentaal statuut heeft. De reden is dat identiteit de articulatie van

de substantie van de wereld onderbouwt. Omdat die substantie fundamenteel is voor

Tractatus, ligt identiteit aan de basis van het systeem van de Tractatus. Vervolgens

bespreek ik een belangrijk gevolg: het verwerpen van de wet van Leibniz.

De aard van het object

Het object, zo kunnen we zeggen, is een nexus van mogelijke toestanden:

“Es ist dem Ding wesentlich, der Bestandteil eines Sachverhaltes sein zu können” (TLP,

2.011).

“Jedes Ding ist, gleichsam, in einem Raume möglicher Sachverhalte. Diesen Raum kann

ich mir leer denken, nicht aber das Ding ohne den Raum” (TLP, 2.013).

“Wenn ich den Gegenstand kenne, so kenne ich auch sämtliche Möglichkeiten seines

Vorkommens in Sachverhalten.

106

(Jede solche Möglichkeit muβ in der Natur des Gegenstandes liegen.)

Es kann nicht nachträglich eine neue Möglichkeit gefunden werden” (TLP, 2.0123).

Elk object bezit essentieel de mogelijkheid om in bepaalde toestanden op te treden. Deze

mogelijkheden vormen het domein van de logica. Samen bepalen alle objecten alle

mogelijke toestanden:

“Sind alle Gegenstände gegeben, so sind damit auch alle möglichen Sachverhalte gegeben”

(TLP, 2.0124).

De substantie van de wereld, de objecten, constitueren een veld van mogelijke toestanden.

Dat is wat Wittgenstein de logische ruimte noemt, bijvoorbeeld in (TLP, 2.11). Deze

logische ruimte ligt voor eens en voor altijd vast: “Der Gegenstand ist das Feste,

Bestehende; die Konfiguration ist das Wechselnde, Unbeständige” (TLP, 2.0271). Dat is

de reden dat de objecten noodzakelijk bestaan, Wittgenstein erkent geen contingente

mogelijkheden:

“Es erschiene gleichsam als Zufall, wenn dem Ding, das allein für sich bestehen könnte,

nachträglich eine Sachlage passen würde.

Wenn die Dinge in Sachverhalten vorkommen können, so muβ dies schon in ihnen liegen.

(Etwas Logisches kann nicht nur-möglich sein. Die Logik handelt von jeder Möglichkeit

und alle Möglichkeiten sind ihre Tatsachen.)” (TLP, 2.0121).

Wittgenstein vermijdt hiermee Freges problemen uit de Grundgesetze rond theorie-

relativiteit. Net als logische objecten, worden de objecten uit de Tractatus gekenmerkt door

het feit dat ze één strak omlijnde set van (mogelijke) eigenschappen bezitten, die voor eens

en voor altijd vastligt. Het systeem van de Tractatus is allesomvattend, er zijn geen

verrassingen (TLP, 6.1251). In de Tractatus is er enkel absolute identiteit. Verderop ga ik

dieper in op Wittgensteins visie op equivalentierelaties in de Tractatus.

Waarom moet er zo’n substantie van de wereld bestaan? Dat geeft Wittgenstein aan in zijn

notoire substance argument:

107

“Jede Aussage über Komplexe läβt sich in eine Aussage über deren Bestandteile und in

diejenigen Sätze zerlegen, welche die Komplexe vollständig beschreiben” (TLP, 2.0201)

“Die Gegenstände bilden die Substanz der Welt. Darum können sie nicht zusammengesetzt

sein” (TLP, 2.021).

“Hätte die Welt keine Substanz, so würde, ob ein Satz Sinn hat, davon abhängen, ob ein

anderer Satz wahr ist” (TLP, 2.0211).

“Es wäre dann unmöglich, ein Bild der Welt (wahr oder falsch) zu entwerfen” (TLP,

2.0212).

Er zijn al vele liters inkt gevloeid over deze bijzonder cryptische zinnen. Het basisidee is

duidelijk: zonder substantie zou representatie onmogelijk zijn. Maar over Wittgensteins

precieze gedachtegang heerst discussie. De canonieke interpretatie127 is dat hij erop wijst

dat een propositie over een complex slechts betekenis heeft als het mogelijk is dat het

complex bestaat, als het complex een bepaalde (mogelijke) samenstelling van bestanddelen

is, die zelf al dan niet complex zijn. Zijn deze bestanddelen complex, dan moet het ook

voor hen mogelijk zijn dat ze bestaan, dus moeten zij op hun beurt samengesteld zijn uit

verdere bestanddelen. Indien er enkel complexen bestonden, dan zou deze afhankelijkheid

nooit eindigen, waardoor het altijd contingent is of een propositie betekenis heeft. Maar dat

is onaanvaardbaar. Er is een externe houvast nodig, en deze wordt gegeven door de

objecten. Ze geven ons het broodnodige fundament om onze proposities uit op te bouwen.

Ik kan niet ingaan op de details van het substance argument. Feit is dat Wittgenstein zijn

visie op het object noodzakelijk achtte. Zoals Morris schrijft: “Why, then, does

Wittgenstein hold the views which he presents about the nature of reality in these early

sections of the Tractatus? Ultimately, because he thinks they are required by the very

possibility of language: he thinks that language would not even have been possible if the

world had not been as he presents it as being in these early sections” (Morris, 2008, 23).

Het volgende punt is de onveranderlijkheid van de objecten. Wittgenstein vermijdt hiermee

een conflict tussen zelf-identiteit en veranderlijkheid. Wat ondertussen duidelijk is, is dat

hun vorm niet verandert: de mogelijke connecties waarin ze kunnen optreden, liggen voor

eens en voor altijd vast. Naast zijn vorm, wordt een object gekarakteriseerd door welke van

die mogelijke connecties daadwerkelijk bestaan, wat Wittgenstein zijn materiële

127 Zie bijvoorbeeld (White, 2006, 42-44) en (Morris, 2008, 355-363). Er zijn ook afwijkende lezingen, zie

opnieuw (Morris, 2008, 355-363), alsook (Morris, 2008, 39-50) en (Zalabardo, 2012).

108

eigenschappen noemt (TLP, 2.0231). Verandering zou dus verandering betekenen qua

materiële eigenschappen, wat zou betekenen dat bepaalde connecties beginnen of

ophouden te bestaan.

Dit gebeurt echter niet. Beschouw volgende proposities:

“Die Gesamtheit der bestehenden Sachverhalte ist die Welt” (TLP, 2.04)

“Die Gesamtheit der bestehenden Sachverhalte bestimmt auch, welche Sachverhalte nicht

bestehen” (TLP, 2.05)

“Die Angabe aller wahren Elementarsätze beschreibt die Welt vollständig. Die Welt ist

vollständig beschrieben durch die Angaben aller Elementarsätze plus der Angabe, welche

von ihnen wahr und welche falsch sind” (TLP, 4.26).

Als connecties konden beginnen en ophouden te bestaan, dan werd de wereld niet volledig

beschreven door een opgave van de bestaande connecties, aangezien deze dan zouden

kunnen veranderen.

Er is nog een tweede bezorgdheid: misschien kunnen connecties intern veranderen? Dit is

echter incompatibel met de Bestimmtheit des Sinnes die voor Wittgenstein zo belangrijk is

(TLP, 3.23): een connectie moet één precieze situatie zijn die exact bepaald is en er op deze

manier voor zorgt dat alle logische gevolgen van onze proposities ondubbelzinnig

vastliggen (PrTLP, 3.20103). Als connecties zouden veranderen, dan gold dit niet langer.

Wat op het eerste zicht roet in het eten zou gooien, is de tijd. Immers, als connecties niet

beginnen of ophouden te bestaan, wil dat dan niet zeggen dat ze ofwel altijd bestaan, ofwel

nooit, en zorgt dit niet voor een al te statische visie die niet te rijmen valt met de dynamiek

van de wereld? De sleutel is:

“Raum, Zeit und Farbe (Färbigkeit) sind Formen der Gegenstände“ [mijn cursivering]

(TLP, 2.0251).

Tijd is een vorm van de objecten. Dit betekent dat de objecten niet bestaan in de tijd, maar

dat tijd één van de materiële eigenschappen is die de connecties vastleggen. De connecties

zijn tijdsgebonden. Dat ‘𝐹𝑎 op tijdstip 𝑡’, is waar of vals, en het verstrijken van de tijd

verandert daar niets aan. Hetzelfde geldt, mutatis mutandis, voor ruimte. Wittgenstein

vermijdt dus niet alleen het probleem van verandering, hij vermijdt het probleem van

identiteit binnen ruimte en tijd tout court, door zijn objecten buiten ruimte en tijd te

109

situeren. Ruimte en tijd zijn contingente aspecten van de toestanden waarin objecten

optreden.

We vinden verdere bevestiging in Wittgensteins visie op causaliteit. Wittgenstein schrijft

enerzijds:

“Aus dem Bestehen oder Nichtbestehen eines Sachverhaltes kann nicht auf das Bestehen

oder Nichtbestehen eines anderen geschlossen werden” (TLP, 2.062).

“Die Ereignisse der Zukunft können wir nicht aus den gegenwärtigen erschlieβen.

Der Glaube an den Kausalnexus ist der Aberglaube” (TLP, 5.1361)128.

Het eerste leidt enkel tot het tweede indien de connecties wel degelijk zodanig zijn dat ze

niet bestendig zijn doorheen de tijd, dat ze gebonden zijn aan specifieke tijdsmomenten.

Elders schrijft Wittgenstein dat “dem ‘Ablauf der Zeit’” (TLP, 6.3611) niet bestaat.

Nordmann denkt dat Wittgenstein in de Tractatus helemaal geen behandeling geeft van

feiten uit het verleden of de toekomst:

“What makes a statement about the future into a hypothesis is that, within the framework

of the Tractatus, we cannot specify its truth-conditions, in other words, it has no

determinate meaning and marks only what we do not know” (Nordmann, 2005, 132).

Nordmann lijkt hier het feit dat de toekomst niet voorspeld kan worden te verwarren met

het feit dat we de waarheidsvoorwaarden van proposities over de toekomst niet kennen.

Het is niet omdat ik niet weet of de zon morgen zal opkomen (TLP, 6.36311), dat ik niet

weet wat het geval moet zijn opdat ze zou opkomen. Nordmann stelt:

“For the Tractatus, the world that we can know, that we can speak about truthfully, is the

world as it is, the world at present. Its future and past are mere hypothesis—to say that the

sun will rise tomorrow has no truth-conditions, no meaning in a world that is all that is the

case” (Nordmann, 2005, 132-133)129.

128 De volgende verduidelijking uit de Letters to Ogden is niet onbelangrijk: “I didn’t mean to say that the

belief in the causal nexus was one amongst superstitions but rather that superstition is nothing else than the

belief in the causal nexus” (LO, 31). 129 Ware het niet dat Wittgenstein in de Tractatus notoir zelfbewust is over de onzinnigheid van zijn eigen

uitspraken, had ik hier kunnen toevoegen dat Nordmann niet kan zeggen wat hij wil zeggen: om aan te geven

dat ik de waarheidscondities niet ken van het feit dat de zon morgen opkomt, moet ik zinvol spreken over het

110

Hij maakt hier dezelfde fout. Voor Nordmann is de wereld in de Tractatus een bijzonder

dynamische wereld: aangezien het enkel gaat over de wereld zoals ze nu is, verandert ze

voortdurend. Maar dan keert zijn eigen argument zich tegen hem. Immers, dit zou

betekenen dat als ik zeg ‘het boek ligt op de tafel’, ik daarmee enkel gezegd heb dat het

boek nu op de tafel ligt. Ik ken de waarheidsvoorwaarden niet van de propositie dat het

boek ook over een paar seconden nog op de tafel ligt. Als onze proposities een dermate

vliedend karakter hebben, is het niet langer duidelijk hoe we überhaupt nog zinvol kunnen

spreken met elkaar (net hetgeen Wittgenstein wil verklaren). Geen enkele propositie kan

ooit nog geverifieerd worden!

Ik heb reeds aangehaald dat tijd volgens Wittgenstein een vorm is van de objecten (TLP,

2.0251), wat aanduidt dat tijd één van de aspecten is van de toestanden waarin objecten

optreden. Nordmann verwijst naar Wittgensteins stelling dat er geen voortschrijden is van

de tijd (TLP, 6.3611), maar dat kan gelezen worden als het feit dat verschillende

tijdsmomenten geen causale samenhang bezitten, wat niet hetzelfde is als zeggen dat de

wereld geen tijdelijk karakter heeft.

Wittgensteins visie op het object confronteert hem met het probleem van persoonlijke

identiteit. Het subject is toch wel bestendig? Ik kan hier niet dieper ingaan op Wittgensteins

visie op het subject, die niet makkelijk te doorgronden is. Ze situeert zich hoofdzakelijk in

de (TLP, 5.6ff.). Waar ik enkel op wil wijzen, is dat Wittgensteins notie van het object, met

bijhorende visie op causaliteit, geen bestendig subject in de wereld toelaat. Als er

persoonlijke identiteit is, dan moet deze verwezen worden naar het transcendentale niveau.

Dat is wat Wittgenstein, zonder dat ik me uitspreek over de verdere details, in deze passages

doet: “Das Subjekt gehört nicht zur Welt, sondern es ist eine Grenze der Welt” (TLP,

5.632).

Identiteit is transcendentaal

De substantie van de wereld is transcendentaal, een mogelijkheidsvoorwaarde voor ons

denken (TLP, 2.0211-2.0212). Een cruciale eigenschap van de substantie is dat ze

feit dat de zon morgen opkomt. Maar dat kan enkel als de propositie dat de zon morgen opkomt een beeld is,

en dus waarheidscondities heeft.

111

gearticuleerd is in afzonderlijke objecten. Wat is het statuut van deze articulatie, van de

(numerieke) individuatie van de objecten?

We hebben gezien dat de objecten samen de vaste vorm van de wereld vastleggen, de

logische ruimte. Belangrijk is dat die vorm de wereld voorafgaat:

“Die Substanz der Welt kann nur eine Form und keine materiellen Eigenschaften

bestimmen. Denn diese werden erst durch die Sätze dargestellt—erst durch die

Konfiguration der Gegenstände gebildet” (TLP, 2.0231).

Wittgenstein scheidt individuatie van kwalificatie. In de wereld treden de objecten in

allerlei verschillende feiten op, en daardoor onderscheiden ze zich in de wereld en de taal.

Maar opdat ze zich zo kunnen onderscheiden, moeten ze reeds onderscheiden zijn130. Dat

Wittgenstein deze registers wel degelijk apart zet, blijkt duidelijk uit:

“Zwei Gegenstände von der gleichen logischen Form sind—abgesehen von ihren externen

Eigenschaften—von einander nur dadurch unterschieden, daβ sie verschieden sind” (TLP,

2.0233).

De articulatie van de substantie kan niet verklaard worden op basis van de vorm van de

objecten. Dit is het punt in de Tractatus waar identiteit optreedt als transcendentaal principe

dat de volledige theorie over taal en wereld onderbouwt. Enkel identiteit partitioneert de

objecten. Wittgensteins denken is fundamenteel een identiteitsdenken omdat zijn hele

theorie over taal, wereld, representatie, zijn hele logica gefundeerd is op een a priori,

noodzakelijk bestaand, discreet veld van vaste objecten die onderworpen zijn aan een

strikte, fregeaanse notie van identiteit. Daarom zijn Wittgensteins objecten zo verwant aan

logische objecten. Dat is volgens hem de enige manier waarop ons denken mogelijk is. Zijn

130 Ik kan het niet nalaten Deleuze te citeren: “Il faut montrer non seulement comment la différence

individuante diffère en nature de la différence spécifique, mais d’abord et surtout comment l’individuation

précède en droit la forme et la matière, l’espèce et les parties, et tout autre élément de l’individu constitué.

L’univocité de l’être, en tant qu’elle se rapporte immédiatement à la différence, exige que l’on montre

comment la différence individuante précède dans l’être les différences génériques, spécifiques et même

individuelles — comment un champ préalable d’individuation dans l’être conditionne et la spécification des

formes, et la détermination des parties, et leurs variations individuelles” [mijn cursivering] (Deleuze, 1968,

56-57). Deze eis van een champ préalable d’individuation vertoont een opvallende parallel met de substantie

van de wereld uit de Tractatus (waarmee ik niet gezegd heb dat er geen verschillen zijn). In hun globale opzet

lijken beide werken onverzoenbaar, maar ik denk dat een grondige vergelijking (Deleuze zou waarschijnlijk

liever spreken van een differentiëring) erg interessant zou kunnen zijn om deze (het moet gezegd, opake)

boeken beter te begrijpen.

112

fregeaanse logica eist dit. De hele Tractatus ademt dit transcendentaal karakter van

identiteit, dat ons denken begrenst, uit.

Een mogelijk bezwaar is dat (TLP, 2.0233) enkel spreekt over verschil tussen objecten.

Misschien verschillen ze wel zonder zelf-identiek te zijn? Dit wordt echter weerlegd door

de passages waarin Wittgenstein gelijkheid tussen objecten vermeldt. Bijvoorbeeld:

“So zeigt ein Satz ‘𝐹𝑎’, daβ in seinem Sinn der Gegenstand 𝑎 vorkommt, zwei Sätze ‘𝐹𝑎’

und ‘𝐺𝑎’, daβ in ihnen beiden von demselben Gegenstand die Rede ist” (TLP, 4.1211).

Het object waarnaar in beide proposities verwezen wordt is hetzelfde, dus ook zelf-identiek.

Ik denk niet dat het denkkader van Wittgenstein er één was waarin de zelf-identiteit van

objecten überhaupt open stond voor discussie. Dat is precies de reden dat identiteit in de

Tractatus transcendentaal is, onzegbaar:

“Von zwei Dingen zu sagen, sie seien identisch, ist ein Unsinn, und von Einem zu sagen, es

sei identisch mit sich selbst, sagt gar nichts” (TLP, 5.5303).

Merk op dat Wittgenstein ‘𝑎 = 𝑏’ en ‘𝑎 = 𝑎’ een verschillend statuut toekent. Het eerste

is onzin, en staat daarmee gelijk met bijvoorbeeld religieuze uitspraken over God. Het

tweede zegt niets, maar dat is een eigenschap van tautologieën en contradicties, een

eigenschap van de logica, die transcendentaal is. Ook (TLP, 5.53), die we verderop zullen

bespreken, wijst er duidelijk op dat objecten zelf-identiek zijn131. Een laatste tegengewicht

wordt geboden door:

“Ebenso wollte man ‘Es gibt keine Dinge’ ausdrücken durch ‘¬(∃𝑥)(𝑥 = 𝑥)’. Aber selbst

wenn dies ein Satz wäre,—wäre er nicht auch wahr, wenn es zwar ‘Dinge gäbe’, aber diese

nicht mit sich selbst identisch wären?” (TLP, 5.5352).

Erkent Wittgenstein de mogelijkheid dat de objecten niet identiek zijn aan zichzelf? Neen.

Zijn punt is: als men identiteit opvat als een relatie tussen objecten, dan is het mogelijk dat

objecten niet identiek zijn aan zichzelf, omdat alle relaties contingent zijn. We moeten

131 Dat ik zal betogen dat (TLP, 5.53) indiscernibility betreft, verandert hier niets aan, omdat deze

indiscernibility contingent is. Ook als er sprake is van slechts één indiscernible, is (TLP, 5.53) geldig, en

impliceert het zelf-identiteit.

113

(TLP, 5.5352) net lezen als een extra bevestiging van het feit dat (zelf-)identiteit een

transcendentaal statuut krijgt.

Dit alles roept de vraag op wat er nu primair is: de objecten of de feiten? Bij mijn bespreking

van het contextprincipe heb ik gezegd dat de Tractatus geen atomistisch werk is, dat de

feiten primair zijn, en dat de objecten zich manifesteren doorheen de feiten waarin ze

optreden. Maar hier lijken de objecten primair te zijn, gezien feiten slechts kunnen bestaan

omdat de wereld een substantie heeft.

De sleutel ligt in het transcendentale statuut van de objecten. De taal bestaat primair uit

proposities, de wereld uit feiten. Maar dat de taal bestaat, dat de wereld bestaat,

veronderstelt dat deze proposites zich laten uitanalyseren in elementaire proposities en dat

de feiten uitgeanalyseerd kunnen worden in connecties, waarin de enkelvoudige namen en

objecten optreden. We moeten een onderscheid maken tussen wat Wittgenstein in (TLP,

2.0231) de vorm van de wereld en de materiële eigenschappen noemt. Wat de materiële

eigenschappen betreft, zijn de proposities en feiten primair. Het is doorheen het

analyseproces dat de materiële eigenschappen van de objecten zich tonen, als eindpunten

van de analyse in de elementaire proposities en de connecties. Er is hier geen atomisme.

Gaat het er echter om dat de wereld is, dan zijn de objecten, als substantie van de wereld

die enkel een vorm en geen materiële eigenschappen bepalen, primair, omdat ze als vorm

voorondersteld worden. Deze dubbelheid is cruciaal om de kracht van de theorie die

Wittgenstein in de Tractatus uiteenzet, ten volle te kunnen appreciëren.

Verwerpen van de wet van Leibniz

Identiteit articuleert de substantie van de wereld: de logische vorm volstaat niet (TLP,

2.0233). Als een object volledig bepaald werd door zijn logische vorm132, zou de substantie

veel te dun bezaaid zijn om de wereld te kunnen gronden. Er is een apart principe nodig dat

objecten met eenzelfde logische vorm differentieert, en dat is identiteit.

Dit heeft een belangrijk gevolg: identiteit is in de Tractatus een bruut feit, dat niet verder

gekarakteriseerd kan worden. Reeds vroeg in de Tractatus verwerpt Wittgenstein de wet

van Leibniz:

132 Het is een niet-triviale vraag of alle objecten dezelfde vorm hebben. Ik kan ze hier niet beantwoorden.

114

“Entweder ein Ding hat Eigenschaften, die kein anderes hat, dann kann man es ohne

weiteres durch eine Beschreibung aus den anderen herausheben, und darauf hinweisen;

oder aber, es gibt mehrere Dinge, die ihre sämtlichen Eigenschaften gemeinsam haben,

dann ist es überhaupt unmöglich auf eines von ihnen zu zeigen.

Denn, ist das Ding durch nichts hervorgehoben, so kann ich es nicht hervorheben, denn

sonst ist es eben hervorgehoben” (TLP, 2.02331)133.

Er is niets dat twee verschillende objecten met eenzelfde vorm belet om dezelfde materiële

eigenschappen te bezitten. Twee objecten die in onze wereld verschillende eigenschappen

bezitten, hadden dezelfde eigenschappen kunnen bezitten. Alle materiële eigenschappen

zijn contingent, alle connecties zijn onafhankelijk van elkaar (TLP, 2.061). Er is enkel

afhankelijkheid voor zover bepaalde objecten binnen eenzelfde connectie optreden. Tussen

connecties is er totale arbitrariteit.

Zodoende poneert Wittgenstein een scheiding tussen numerieke identiteit en (totale)

kwalitatieve identiteit. Er is wel difference of the discernible, maar geen identity of

indiscernibles134. Het verwerpen van de wet van Leibniz heeft belangrijke gevolgen voor

de rol die identiteit speelt in het symbolisme.

133 Men kan (TLP, 2.02331) ook nog op een andere manier lezen, als een reductio van verschillende

indiscernibles: aangezien we ze niet kunnen onderscheiden, zijn ze er ook niet. Zoals we verderop zullen zien,

klopt dit in zekere zin: binnen onze wereld, binnen onze taal, zijn ze er inderdaad niet. Maar dat is

onvoldoende voor idenity of indiscernibles, precies omdat identiteit transcendentaal is, en dus de taal

overstijgt. Los van mijn uitwijding hieronder, wordt in (TLP, 5.5302), die verderop nog aan bod zal komen,

helemaal duidelijk dat Wittgenstein de wet van Leibniz verwerpt. Ik dank Boris Demarest om me op dit punt

te wijzen. 134 Voor een beroemd later argument tegen identity of indiscernibles, zie (Black, 1952). Black beschrijft een

mogelijke wereld waarin twee numeriek verschillende objecten indiscernible zijn.

115

Identiteit in het symbolisme

Identiteit is transcendentaal, en dus onzegbaar. Wittgenstein verwerpt de wet van Leibniz

als ontologisch principe, en dus ook als poging om identiteit te definiëren in het

symbolisme. Identiteit is ineffable. Tegelijk moet Wittgenstein een manier vinden om zijn

symbolische logica te verzoenen met de onzegbaarheid van identiteit. In de analyse van

definite descriptions duiken voortdurend gelijkheden op. Deze moeten een adequate

behandeling krijgen.

Wittgenstein gebruikt hiervoor een metaprincipe, zijn conventie van exclusieve variabelen

(TLP, 5.53). Ik zal echter beargumenteren dat het niet identiteit kan zijn waar het rond

draait, maar dat het om indiscernibility gaat. De reden is dat, zoals Wittgenstein aangeeft

in (TLP, 2.02331), er een beperking is op de mogelijkheid om verschillende objecten in de

taal (of de wereld) te onderscheiden.

Dit heeft gevolgen voor het uitdrukkingsvermogen van onze taal, het onderscheid tussen

het zegbare en het toonbare. Meer specifiek heeft Wittgensteins visie op identiteit een

weerslag op de zegbaarheid van het bestaan van objecten, van bepaalde mogelijke

toestanden en van kardinaliteiten. Hieruit valt een belangrijke filosofische les te trekken:

een visie op identiteit en de rol van identiteit in het symbolisme hangt samen met wat

Wittgenstein het kardinale probleem van de filosofie noemde, het onderscheid tussen het

zegbare en het toonbare (CL, 63, 98).

Een laatste gevolg, vooraleer we over gaan tot de rekenkunde, is dat er in de Tractatus geen

ruimte is voor klassen, en dus ook niet voor het introduceren van nieuwe namen voor

objecten via equivalentierelaties (identiteitscriteria). Er is in de Tractatus een totale

scheiding tussen absolute en relatieve identiteit.

Identiteit is geen relatie

We weten ondertussen dat identiteit geen relatie kan zijn tussen objecten. Als identiteit een

relatie was tussen objecten, zou dit betekenen dat we ze kunnen uitdrukken in een

propositie. Maar proposities representeren feiten, en deze zijn altijd contingent, terwijl de

identiteit tussen twee objecten noodzakelijk waar of vals is. Een propositie als ‘𝑎 = 𝑎’ kan

helemaal niet gebruikt worden, en dus is het geen propositie, verwijst ‘𝑎’ er zelfs niet in.

116

Gelijkheden tussen namen135 sneuvelen onder Wittgensteins versie van het scheermes van

Ockham.

Wittgenstein schrijft:

“Daβ die Identität keine Relation zwischen Gegenständen ist, leuchtet ein136. Dies wird sehr

klar, wenn man z.B. den Satz ‘(𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑎)’ betrachtet. Was dieser Satz sagt, ist

einfach, daβ nur 𝑎 der Funktion 𝐹 genügt, und nicht, daβ nur solche Dinge der Funktion 𝐹

genügen, welche eine gewisse Beziehung zu 𝑎 haben.

Man könnte nun freilich sagen, daβ eben nur 𝑎 diese Beziehung zu 𝑎 habe, aber um dies

auszudrücken, brauchen wir das Gleichheitszeichen selber” (TLP, 5.5301).

Bemerk dat Wittgensteins voorbeeld precies het soort propositie is dat opduikt bij definite

descriptions. Dat identiteit geen relatie is, betekent dat het geen relatie is. Dit betekent ook

dat identiteit niet gereduceerd kan worden tot een andere relatie. Het zijn dergelijke

pogingen die Wittgenstein hier bekritiseert. Zeggen dat alleen objecten aan 𝐹 voldoen die

in een bepaalde relatie 𝑅 tot 𝑎 staan, is niets anders dan een poging doen om identiteit te

reduceren tot 𝑅. De laatste zin wijst niet op de nutteloosheid van (𝑥)(𝑥 = 𝑎 ⊃ 𝑥 = 𝑎),

zoals White denkt (White, 1978, 167), maar integendeel op de hopeloze circulariteit van

een dergelijke procedure. Immers, opdat 𝑅 identiteit kan vervangen, mag enkel 𝑎 in de

relatie 𝑅 tot 𝑎 staan, en dat zouden we moeten uitdrukken als (𝑥)(𝑥𝑅𝑎 ⊃ 𝑥 = 𝑎), waarin

identiteit alsnog op een irreduciebele manier opduikt.

Vanuit deze optiek hoeft het niet te verbazen dat Wittgenstein vervolgt met:

“Russells Definition von ‘=’137 genügt nicht; weil man nach ihr nicht sagen kann, daβ zwei

Gegenstände alle Eigenschaften gemeinsam haben. (Selbst wenn dieser Satz nie richtig ist,

hat er doch Sinn.)” (TLP, 5.5302).

De wet van Leibniz is precies zo’n poging om identiteit te reduceren tot een andere relatie.

Dit is evengoed een kritiek op Frege. Zo meteen ga ik dieper in op deze belangrijke

propositie.

135 Zoals steeds mogen we niet verwarren met quasi-identiteit. 136 Wittgenstein richt zich met deze zin (vermoedelijk) op typische wijze tot de openingsparagraaf van Über

Sinn und Bedeutung. 137 Het gaat wel degelijk om de wet van Leibniz. Zie propositie 13.01 uit de Principia Mathematica en de

bijhorende commentaar (Whitehead & Russell, 2009, 176).

117

Identity vs indiscernibility

Wittgenstein verwerpt elke poging om identiteit te reduceren tot een bepaalde relatie,

waaronder de wet van Leibniz. Tegelijk schrijft hij, zoals we reeds gezien hebben:

“Entweder ein Ding hat Eigenschaften, die kein anderes hat, dann kann man es ohne

weiteres durch eine Beschreibung aus den anderen herausheben, und darauf hinweisen;

oder aber, es gibt mehrere Dinge, die ihre sämtlichen Eigenschaften gemeinsam haben,

dann ist es überhaupt unmöglich auf eines von ihnen zu zeigen” (TLP, 2.02331).

Hij erkent dat twee dingen die hun eigenschappen delen niet onderscheiden kunnen worden.

Objecten treden enkel op in feiten en proposities, waardoor twee objecten met precies

dezelfde materiële eigenschappen zich in deze feiten en proposities niet differentiëren. Hun

numeriek verschil situeert zich voorbij het zegbare. Wat de taal betreft, wat de wereld

betreft, zijn deze objecten gelijkwaardig, ze zijn indiscernible.

In de taal is er dus hoogstens sprake van indiscernibility. Het is in de vorm van die

indiscernibility dat Wittgenstein gelijkheden opneemt in zijn systeem, met name in

definities. Hier hanteert hij de wet van Leibniz als metalinguïstisch principe:

“Gebrauche ich zwei Zeichen in ein und derselben Bedeutung, so drücke ich dies aus, indem

ich zwischen beide das Zeichen ‘=’ setze.

‘𝑎 = 𝑏’ heiβt also: das Zeichen ‘𝑎’ ist durch das Zeichen ‘𝑏’ ersetzbar.

(Führe ich durch eine Gleichung eine neues Zeichen ‘𝑏’ ein, indem ich bestimme, es solle

ein bereits bekanntes Zeichen ‘𝑎’ ersetzen, so schreibe ich die Gleichung—Definition—

(wie Russell) in der Form ‘𝑎 = 𝑏 Def.’. Die Definition ist ein Zeichenregel.)” (TLP, 4.241).

“Ausdrücke von der Form ‘𝑎 = 𝑏’ sind also nur Behelfe der Darstellung; sie sagen nichts

über die Bedeutung der Zeichen ‘𝑎’, ‘𝑏’ aus” (TLP, 4.242).

Dat laatste is belangrijk. In onze taal wordt deze procedure voortdurend toegepast:

“Die Zusammenfassung des Symbols eines Komplexes in ein einfaches Symbol kann durch

eine Definition ausgedrückt werden” (TLP, 3.24).

118

Merk op dat het gaat om tekens in het algemeen, niet om definities van namen (nogmaals:

zo kunnen we er geen geven) 138 . Wat zo’n definitie uitdrukt, is dat twee tekens

intersubstitueerbaar zijn salva veritate. Dit is indiscernibility, geen identiteit. Het is ook de

enige manier waarop Wittgenstein het introduceren van nieuwe tekens in de taal toelaat,

niet via identiteitscriteria, maar via expliciete definities, die tekenconventies vastleggen139.

De conventie van exclusieve variabelen

We mogen het gelijkheidsteken dus gebruiken bij definities. Maar dit zijn metalinguïstische

conventies. Duikt identiteit dan nergens op in onze taal? Jawel, zelfs voortdurend, bij de

analyse van definite descriptions. We krijgen proposities van de vorm:

(∃𝑥)(∃𝑦)(𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦 ∧ (𝑧)(𝐹𝑧 ⊃ 𝑧 = 𝑥) ∧ (𝑧)(𝐺𝑧 ⊃ 𝑧 = 𝑦) ∧ 𝑥 = 𝑦).

Empirische quasi-identiteit wordt gereduceerd tot identiteit tussen objecten. White merkt

een asymmetrie op met andere relaties. Daar wordt het gebruik binnen kwantoren verklaard

aan de hand van het gebruik buiten kwantoren (White, 1978, 167). Als ik zeg (∃𝑥)(𝑥𝑅𝑎)

dan wil dat zeggen dat er een object 𝑏 is zodat 𝑏𝑅𝑎 , waarbij 𝑏𝑅𝑎 geen verdere uitleg

behoeft. Bij identiteit gebeurt net het omgekeerde: ‘𝑎 = de 𝐹’ wordt verklaard door een

uitdrukking waarbij het gebruik van identiteit binnen kwantoren fundamenteel is. Dit zorgt

ervoor dat gelijkheden nooit geïsoleerd optreden, maar altijd binnen complexere

proposities. Bovendien gaat het steeds om identiteit tussen variabelen140.

Wittgensteins oplossing is relatief eenvoudig. De eerste stap is de eliminatie van

gelijkheden tussen namen. Zoals gezegd moeten we deze enkel beschouwen binnen

complexere proposities. Een dergelijke gelijkheid is ofwel noodzakelijk waar ofwel

noodzakelijk vals en daarom kan deze altijd geëlimineerd worden141:

138 Hier zien we dus ook een voorbeeld van Wittgensteins brede hantering van de term Bedeutung, dat ik

hierboven besproken heb. 139 Zoals Frege het naar eigen zeggen zelf wou in de Grundgesetze (GGAb, §66). Wittgenstein kende deze

passage, hij verwijst er expliciet naar in (TLP, 5.451). 140 Bij ‘𝑎 = de 𝐹’ lijkt ‘𝑎 = 𝑥’ op te treden (wat geen gelijkheid is tussen variabelen). Dit kan echter verholpen

worden door de volgende analyse te hanteren: 𝐹𝑎 ∧ ¬(∃𝑥)(∃𝑦)(𝐹𝑥 ∧ 𝐹𝑦 ∧ ¬(𝑥 = 𝑦)). 141 Staat er een negatie van een gelijkheid, dan moeten de rechterleden van de kolommen omgewisseld

worden. Bijvoorbeeld: 𝑝 ⊃ ¬(𝑎 = 𝑎) ≡ ¬𝑝 en 𝑝 ⊃ ¬(𝑎 = 𝑏) ≡ 𝑝 ∨ ¬𝑝.

119

𝑝 ∨ (𝑎 = 𝑎) ≡ 𝑝 ∨ ¬𝑝,

𝑝 ∧ (𝑎 = 𝑎) ≡ 𝑝,

𝑝 ⊃ (𝑎 = 𝑎) ≡ 𝑝 ∨ ¬𝑝,

(𝑎 = 𝑎) ⊃ 𝑝 ≡ 𝑝,

𝑝 ∨ (𝑎 = 𝑏) ≡ 𝑝,

𝑝 ∧ (𝑎 = 𝑏) ≡ 𝑝 ∧ ¬𝑝,

𝑝 ⊃ (𝑎 = 𝑏) ≡ ¬𝑝,

(𝑎 = 𝑏) ⊃ 𝑝 ≡ 𝑝 ∨ ¬𝑝.

De volgende stap zijn gekwantificeerde uitspraken. Beschouw bijvoorbeeld de propositie

die uitdrukt dat er precies één 𝐹 is:

(∃𝑥)(𝐹𝑥) ∧ (𝑥)(𝑦)((𝐹𝑥 ∧ 𝐹𝑦) ⊃ (𝑥 = 𝑦)).

Wat ons aanbelangt, is het tweede lid van de conjunctie. In de Tractatus is dit een

waarheidsfunctie van elementaire proposities. Klassiek zou het gaan om een

waarheidsfunctie van alle instantiaties waarin de variabelen 𝑥 en 𝑦 vervangen zijn door

namen, met andere woorden om proposities van de vorm (𝐹𝑎 ∧ 𝐹𝑎) ⊃ (𝑎 = 𝑎) of

(𝐹𝑎 ∧ 𝐹𝑏) ⊃ (𝑎 = 𝑏). Maar hieruit kan het gelijkheidsteken geëlimineerd worden op basis

van bovenstaande regels. Wat daarbij opvalt, is dat de instantiaties opgesplitst worden in

twee klassen. In het eerste geval krijgen we de tautologie 𝐹𝑎 ∨ ¬𝐹𝑎 en in het tweede geval

¬(𝐹𝑎 ∧ 𝐹𝑏) . Dat betekent dat de enige relevante instantiaties deze zijn waarin

verschillende namen worden ingevuld, de rest zijn tautologisch en leveren geen bijdrage.

Belangrijk nu, is dat dit bij alle logische operatoren zo is, zoals we zien uit bovenstaand

overzicht van de eliminatieregels. Eén kolom is tautologisch of contradictorisch, de andere

is betekenisvol. Dit betekent dat de functie van het gelijkheidsteken niet ligt in een bepaalde

feitelijke eis, maar daarentegen in het vastleggen van de relevante instantiaties van de

variabelen: ofwel verschillende namen, ofwel dezelfde. Net als definite descriptions, zijn

gelijkheden incomplete symbols die geëlimineerd kunnen worden. Laat me nog een

voorbeeld geven:

(∃𝑥)(∃𝑦)(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥 = 𝑦).

We krijgen instantiaties van de vorm 𝑎𝑅𝑎 ∧ 𝑎 = 𝑎 en 𝑎𝑅𝑏 ∧ 𝑎 = 𝑏 die herschreven

kunnen worden als 𝑎𝑅𝑎 en 𝑎𝑅𝑏 ∧ ¬𝑎𝑅𝑏 . Die laatste is contradictorisch, dus enkel

120

instantiaties van de vorm 𝑎𝑅𝑎 kunnen de propositie waarmaken. Het gelijkheidsteken legt

vast dat de variabelen door dezelfde namen vervangen moeten worden.

Wittgenstein heeft gezien hoe gelijkheden in gekwantificeerde uitspraken altijd optreden

als elimineerbare componenten: hun ware functie schuilt in het vastleggen van

instantiatieregels voor variabelen. En dat kan ook zonder gelijkheidsteken, door deze regel

als het ware te institutionaliseren tot een metaprincipe:

“Gleichheit des Gegenstandes drücke ich durch Gleichheit des Zeichens aus, und nicht mit

Hilfe eines Gleichheitszeichens. Verschiedenheit der Gegenstände durch Verschiedenheit

der Zeichen” (TLP, 5.53)142.

Met andere woorden: willen we onze variabelen door dezelfde namen vervangen, dan

drukken we dit niet uit met een gelijkheid, maar eenvoudigweg door dezelfde variabele te

gebruiken. Willen we onze variabelen door verschillende namen vervangen, dan drukken

we dit uit door verschillende variabelen te gebruiken. Doet het er niet toe, dan nemen we

de disjunctie van beide gevallen. Het oude (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑥𝑅𝑦) wordt (∃𝑥)(𝑥𝑅𝑥) ∨

(∃𝑥)(∃𝑦)(𝑥𝑅𝑦) (TLP, 5.532)143.

Er is nog een meer triviale klasse proposities die opgevangen moet worden: deze waarin

een gelijkheid toegevoegd wordt aan een relatie tussen twee namen 𝑎𝑅𝑏. Er zijn twee

mogelijkheden: 𝑎𝑅𝑏 ∧ (𝑎 = 𝑏) of 𝑎𝑅𝑏 ∧ ¬(𝑎 = 𝑏). Wanneer de bovenstaande regel van

kracht is, laten ze zich herschrijven als 𝑎𝑅𝑎 en 𝑎𝑅𝑏 (TLP, 5.531). Dit impliceert een eis

aan het symbolisme: verschillende namen hebben niet eenzelfde verwijzing144. Het gaat

dus niet enkel om variabelen. Niettemin doopte Hintikka dit de “exclusive interpretation of

142 Muehlmann stelt: “5.53 should read: Identity of object I express by identity of symbol, and not by using a

sign for identity. Difference of objects I express by difference of symbols” (Muehlmann, 1969, 230). Eén van

de problemen hiermee is dat variabelen geen symbolen zijn. Zie (Floyd, 2001, 166ff.). Een ander punt is dat

gelijkheid van symbolen reeds gelijkheid van objecten impliceert. Hier wordt het criterium dus redundant.

Muehlmann schrijft verder: “The symbol/sign distinction (in at least its core meaning) is the same as the more

familiar type/token distinction” (Muehlmann, 1969, 229-230). Dit klopt niet. Het teken is zelf een type: “‘A’

ist dasselbe Zeichen wie ‘A’” (TLP, 3.203). Zie ook (Potter, 2000, 165). Zowel symbool als teken omvatten

een type/token onderscheid. 143 De twee bovenstaande voorbeelden worden getransformeerd in (∃𝑥)(𝐹𝑥) ∧ ¬(∃𝑥)(∃𝑦)(𝐹𝑥 ∧ 𝐹𝑦) (TLP,

5.5321) en (∃𝑥)(𝑥𝑅𝑥) (TLP, 5.532). 144 Dit lijkt in te gaan tegen Wittgensteins gebruik van definities. Omdat deze definities echter

metalinguïstische conventies zijn die wij vastleggen, is er geen gevaar: wij kennen geen namen, en dus kunnen

we er ook niet voor zorgen dat verschillende namen toch eenzelfde verwijzing hebben. Bovendien: zelfs als

dit toch kon gebeuren, zou dat Wittgensteins basisidee niet ondermijnen, er zouden alleen een extra clausule

ingelast moeten worden in (TLP, 5.53) zodanig dat er geen equivalente namen gebruikt mogen worden waar

we verschil van object willen uitdrukken.

121

variables” 145 (Hintikka, 1956, 226). En deze laat Wittgenstein uiteindelijk toe om te

zeggen:

“Das Gleichheitszeichen ist also kein wesentlicher Bestandteil der Begriffsschrift” (TLP,

5.533).

Met zijn exclusieve interpretatie van variabelen legt Wittgenstein de vinger op een

belangrijk logisch onderscheid dat vaak uit het oog verloren wordt: dat tussen 𝑎𝑅𝑎 en 𝑎𝑅𝑏.

Zoals Floyd schrijft: “Wittgenstein sharply distinguishes between the role of the

Satzvariabele ‘𝑥 loves 𝑦’ and that of the Satzvariabele ‘𝑥 loves 𝑥.’ […] Thanks to the

restrictions on instantiation Wittgenstein imposes on the variable, on his view Harry’s

loving Harry can have nothing to do, logically speaking, with the proposition expressed by

‘(∃𝑥)(∃𝑦)(𝑥 loves 𝑦),’ as it does for both Frege and for Russell” (Floyd, 2001, 163).

Wittgenstein plaatst dus vraagtekens bij Freges geliefkoosde voorbeeld ‘Cato killed Cato’.

Zeker gezien zijn visie op objecten, is dit onderscheid erg belangrijk. In de connectie

hangen objecten samen als de schakels van een ketting (TLP, 2.03). Dit kan enkel als het

gaat om verschillende objecten. Wittgensteins ontologie is een extra reden waarom het erg

belangrijk is dat (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑥𝑅𝑦) geen betrekking heeft op 𝑥𝑅𝑥 , omdat die laatste in

bepaalde randgevallen onzinnig is. Zie ook (Daniels & Davison, 1973, 236).

Het hanteren van Wittgensteins conventie is geen verplichting. Men mag identiteit

gebruiken om aan te geven welke instantiaties van variabelen beschouwd worden, ook al

leidt dit snel tot verwarringen. Wat belangrijk is, is dat een eliminatie van het

gelijkheidsteken mogelijk is:

“Eine besondere Bezeichnungsweise mag unwichtig sein, aber wichtig ist es immer, daβ

diese eine mögliche Bezeichnungsweise ist. Und so verhält es sich in der Philosophie

145 In feite de “weakly exclusive interpretation of bound variables” (Hintikka, 1956, 230). Hintikka schrijft:

“Hence the result we have just proved shows that everything expressible in terms of the inclusive quantifiers

and identity may also be expressed by means of the weakly exclusive quantifiers without using a special

symbol for identity” (Hintikka, 1956, 235). Dit lijkt Wittgensteins stelling te ontkrachten, in de zin dat

bijvoorbeeld (𝑥)(𝑥 = 𝑥) schijnbaar wel ‘vertaalbaar’ is in Wittgensteins notatie, zoals Slater denkt (Slater,

2007). Maar dat is enkel het geval als men toelaat dat (𝑥)(𝑥 = 𝑥) vertaald wordt door (𝑥)(𝑇(𝑥)) met 𝑇(𝑥)

een tautologie, bijvoorbeeld 𝐹𝑥 ∨ ¬𝐹𝑥. Aangezien Hintikka enkel geïnteresseerd is in logische equivalentie,

volstaat dit voor hem, en meer heeft hij nooit bedoeld. Maar dit is geen bezwaar tegen Wittgenstein, zoals

Slater denkt. Wittgenstein wil aantonen dat het gebruik van identiteit als betekenisvolle relatie tussen objecten

illusoir is en dat een propositie als (𝑥)(𝑥 = 𝑥) helemaal geen rol speelt in de logica. Hintikka’s

vertaalprocedure doet niets om dit te ontkrachten, integendeel.

122

überhaupt: Das Einzelne erweist sich immer wieder als unwichtig, aber die Möglichkeit

jedes Einzelnen gibt uns einen Aufschluβ über das Wesen der Welt” (TLP, 3.3421).

Identiteit is geen relatie. Waar het gelijkheidsteken op een significante manier gebruikt

wordt, in connectie met andere proposities, is het elimineerbaar. Waar het gebruikt wordt

alsof het identiteit uitdrukt, gaat het om pseudo-proposities die op hun beurt geëlimineerd

worden uit het symbolisme:

“Und nun sehen wir, daß Scheinsätze wie: ‘𝑎 = 𝑎’, ‘(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑐) ⊃ (𝑎 = 𝑐)’,

‘(𝑥)(𝑥 = 𝑥)’, ‘(∃𝑥)(𝑥 = 𝑎)’, etc. sich in einer richtigen Begriffschrift gar nicht

hinschreiben lassen” (TLP, 5.534).

Dat dit voor Wittgenstein schijnproposities zijn, is reeds duidelijk. Wittgenstein mikt

daarmee in de eerste plaats op het gebruik van identiteit om existentie uit te drukken. In

een brief aan Russell uit 1913 schrijft Wittgenstein:

“Ein Satz wie ‘(∃𝑥)(𝑥 = 𝑥)’ zum Beispiel ist eigentlich ein Satz der Physik. Der Satz

‘(𝑥)(𝑥 = 𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝑦 = 𝑦)’ ist ein Satz der Logik; es ist nun Sache der Physik zu sagen,

ob es ein Ding gibt. Dasselbe gilt vom infinity axiom; ob es ℵ0 dinge gibt, das zu

bestimmen ist Sache der Erfahrung (und die kann es nicht entscheiden)” (NB, 127).

Merk op dat zijn voorbeeld van een logische propositie niet langer geoorloofd is. Het

belangrijke punt is dat logica niets kan zeggen over existentie. In de Tractatus lezen we:

“Damit erledigen sich auch alle Probleme, die an solche Scheinsätze [deze uit (TLP, 5.534)]

geknüpft waren.

Alle Probleme, die Russells Axiom of Infinity mit sich bringt, sind schon hier zu lösen.

Das, was das Axiom of Infinity sagen soll, würde sich in der Sprache dadurch ausdrücken,

daβ es unendlich viele Namen mit verschiedener Bedeutung gäbe” (TLP, 5.535)146.

146 Marion ziet hierin een indicatie dat Wittgenstein in de Tractatus een actuele oneindigheid zou accepteren

(Marion, 1998, 34). Hij heeft daarbij onvoldoende oog voor de voorwaardelijke manier waarop Wittgenstein

spreekt. Wittgenstein wijst op de correcte interpretatie van het Axiom of Infinity: het is geen logische stelling,

maar iets wat zich enkel kan tonen. Daarmee is niets gezegd over de waar- of valsheid ervan. Zo meteen ga

ik dieper in op kardinaliteit in de Tractatus.

123

We begrijpen ondertussen vanwaar dit komt: Wittgensteins objecten bestaan noodzakelijk.

Wittgenstein wil in de Tractatus af van het complexe web rond bestaan en niet-bestaan van

objecten en de bijhorende problemen rond aboutness. Wat interessant is, is het bestaan van

feiten, van complexen, die niet onderworpen zijn aan een aboutness relatie, maar aan een

structurele isomorfie.

Wittgensteins conventie van exclusieve variabelen lijkt eenvoudig en praktisch, maar er is

een spanning met de rest van de Tractatus. Wittgenstein spreekt in (TLP, 5.53) over

gelijkheid van objecten. We hebben echter gezien hoe identiteit tussen objecten zich in de

taal niet kan manifesteren. Zijn twee namen indiscernible, dan zijn ze wat de taal betreft

equivalent. Gelijkheid van teken kan niet de lading dragen die Wittgenstein er in (TLP,

5.53) aan lijkt te willen geven147. Ik haalde reeds volgende propositie aan:

“So zeigt ein Satz ‘𝐹𝑎’, daβ in seinem Sinn der Gegenstand 𝑎 vorkommt, zwei Sätze ‘𝐹𝑎’

und ‘𝐺𝑎’, daβ in ihnen beiden von demselben Gegenstand die Rede ist” (TLP, 4.1211).

Hoe kunnen proposities tonen dat er van hetzelfde object sprake is, veeleer dan dat er sprake

is van indiscernibles148?

Een eerste optie is om te stellen dat er ook voor indiscernibles verschillende namen zijn.

Met andere woorden: de logica van onze taal is zodanig dat de namen die optreden in onze

uitgeanalyseerde proposities, zodanig zijn dat ze altijd naar precies één object verwijzen,

ook al zijn er meerdere objecten met de bewuste eigenschappen. Deze wordt in de literatuur

vaak opgenomen. Bijvoorbeeld Daniels en Davison schrijven over twee indiscernibles:

“The objects designated by ‘𝑎1’ and ‘𝑎2’ don’t differ in material properties at all. But they

are different. They have different names in a perspicuous language” (Daniels & Davison,

1973, 238). Eerder schreven ze: “If a perspicuous language is to mirror reality, each object

in reality must have a counterpart, a name, in the language” (Daniels & Davison, 1973,

235). Muehlmann zegt hetzelfde (Muehlmann, 1969, 229).

147 Ik zal me hier niet bezighouden met de vraag of ik Wittgensteins eigen visie vertegenwoordig of niet. Ik

zal een bepaalde lezing van (TLP, 5.53) beargumenteren die volgens mij de enige is die compatibel is met

de rest van de Tractatus. Er zijn zaken die erop wijzen dat Wittgenstein het ook zo bedoeld heeft, er zijn

zaken die erop wijzen van niet. In dat laatste geval heeft hij iets over het hoofd gezien. 148 Analoge opmerkingen gelden voor (TLP, 4.243).

124

Ik zie echter niet in hoe dit binnen het systeem van de Tractatus bereikt kan worden. Ze

verliezen het contextprincipe uit het oog. Dit legt vast dat de verwijzing van een naam tot

stand komt doorheen de proposities waarin ze optreedt, die proposities die gebruikt worden.

Het maximaal haalbare, is dat de verwijzing van een naam die set materiële eigenschappen

moet bezitten die correspondeert met de proposities waarin ze optreedt. Indien er twee

objecten zijn met dezelfde eigenschappen, is er geen enkele manier om daar bovenop nog

te bepalen dat de naam naar dit object verwijst en geen ander. De Tractatus is erg begaan

met semantische stabiliteit, maar tegelijk is indiscernibility de maximale stabiliteit die

bereikt kan worden. Onze taal kan geen indiscernibles onderscheiden, en hoeft dat ook niet

te doen om de wereld, de feiten, te beschrijven. Daniels en Davison beseffen dat (TLP,

2.02331) een probleem vormt voor hun interpretatie, en stellen een herformulering voor:

“In the middle sentence, we read Wittgenstein as meaning ‘… there are several things that

have the whole set of their properties in common, in which case it is quite impossible to

indicate one of them by a property in which it differs from the others. For if there is no such

property, I cannot distinguish it by such a property…’” (Daniels & Davison, 1973, 228).

Maar daarmee hebben ze niet aangetoond hoe er een manier van onderscheiden is voorbij

de materiële eigenschappen. Elke onafhankelijke, op zichzelf staande link tussen naam en

object wordt uitgesloten door het contextprincipe.

Dit roept nog een ander punt op: indien 𝑎 en 𝑏 twee indiscernibles zijn, dan is het wel

mogelijk dat 𝐹𝑎 ∧ ¬𝐹𝑏. Maar dit is een propositie die niet tot onze taal behoort, omdat er

in onze taal geen onderscheid is tussen een naam voor 𝑎 en één voor 𝑏. Dit betekent dat

onze taal niet alle mogelijke connecties kan afbeelden en dat dit bovendien een contingent

aspect is van onze taal, aangezien het ervan afhangt of er verschillende indiscernibles zijn.

Dit is echter geen probleem. Wittgenstein beweert nergens dat onze taal alle mogelijke

connecties kan afbeelden. Ze moet slechts de feiten kunnen beschrijven. En in die feiten

onderscheiden indiscernibles zich evenmin.

Sterker nog: vanuit de theorie van de Tractatus, valt te verwachten dat het

uitdrukkingsvermogen van onze taal contingent is. Aangezien de betekenis van een

propositie gebonden is aan de structuur van die propositie als feit, bepaalt het geheel aan

feiten in de wereld ook de uitdrukkingsmogelijkheden van de proposities in die wereld. We

lezen: “Die Gesamtheit der Sätze ist die Sprache” (TLP, 4.001). Deze Gesamtheit is

contingent. De vorm van de taal ligt vast, haar inhoud niet. Er is overigens nog een manier

waarop mogelijkheden zich aan onze wereld kunnen onttrekken: het is mogelijk dat, voor

125

een object 𝑎, geen enkele mogelijke connectie waarin 𝑎 optreedt, bestaat. In dat geval is 𝑎

volstrekt ontoegankelijk voor onze wereld en dus ook voor onze taal149.

We hoeven er dus niet van uit te gaan dat onze taal alle mogelijke connecties tussen de

objecten kan afbeelden. Dit brengt ons tot de tweede mogelijkheid: we kunnen (TLP, 5.53)

herlezen zodat het niet gaat om identiteit van objecten, maar indiscernibility 150 . De

relevante relatie tussen namen is niet die van identieke verwijzing, maar van

intersubstitueerbaarheid salva veritate, dus van indiscernibility van verwijzing. Op deze

manier krijgt (TLP, 5.53) een natuurlijke lezing, die ook beter overeenstemt met de geest

ervan. Wat we immers willen uitdrukken in (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑥𝑅𝑦) is niet dat er twee objecten

voldoen aan 𝑅 die misschien discernible zijn of misschien niet, maar dat er twee objecten

voldoen aan 𝑅 die wel degelijk discernible zijn. Als ik zeg: ‘er liggen twee boeken op tafel’,

dan wil ik niet de mogelijkheid open laten dat de objecten in deze wereld toevallig die

materiële eigenschappen hebben die ervoor zorgen dat er twee boeken op tafel liggen die

ik niet kan onderscheiden. Interpretatoren als Daniels en Davison slagen er niet in om hier

recht aan te doen. Merk op dat het bezwaar dat er zich per definitie geen twee objecten op

dezelfde plaats kunnen bevinden, niet werkt: de connecties zijn onafhankelijk van elkaar

(TLP, 2.061).

Men zou kunnen opwerpen dat de conventie van exclusieve variabelen, onder deze

interpretatie, niet hanteerbaar is voor ons. Als we alle namen mogen invullen voor

variabelen, is er geen probleem. Maar als we enkel namen mogen invullen die discernible

zijn, rijst de vraag hoe we dit überhaupt kunnen controleren. Als 𝑎𝑅𝑏 een propositie is,

maakt deze (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑥𝑅𝑦) dan waar of niet? Hoe kan ik weten of de namen ‘𝑎’ en ‘𝑏’

aan de conventie voldoen?

Dit is een belangrijk bezwaar, omdat het helpt een aantal zaken scherper te stellen. Merk

op dat het niet vasthangt aan de nieuwe interpretatie van (TLP, 5.53). Controleren of twee

namen naar verschillende objecten verwijzen, is minstens even moeilijk als controleren of

ze naar discernible objecten verwijzen (in de Tractatus is dat eerste zelfs onmogelijk).

149 Het zou interessant zijn om te kijken welke modale logica overeenstemt met het systeem van de Tractatus.

In termen van Kripke semantics zien we dat de accessibility relation onze wereld niet noodzakelijk met alle

andere verbindt: daarvoor is het op zijn minst nodig dat alle objecten in onze wereld discernible zijn. We

kunnen ook het volgende opmerken: ze is niet symmetrisch, aangezien we de indiscernibility van discernibles

kunnen denken, maar niet omgekeerd. 𝑆5 krijgen we dus alvast niet. 150 De opmerking die ik hierboven maakte over een potentieel conflict tussen de conventie van exclusieve

variabelen en Wittgensteins gebruik van het gelijkheidsteken in definities, kan hieraan aangepast worden.

126

Sterker nog, dit bezwaar hangt niet eens vast aan de conventie van exclusieve variabelen.

Als ik de propositie (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑥𝑅𝑦 ∧ ¬(𝑥 = 𝑦)) hanteer, zonder conventie, is het even

moeilijk na te gaan of 𝑎𝑅𝑏 ∧ ¬(𝑎 = 𝑏).

Maar dat volstaat. Telkens als over de Tractatus gesproken wordt in termen van ‘hoe kan

ik weten’, ‘moeilijk na te gaan’, en dergelijke meer, is er iets misgelopen. De conventie is

geen richtlijn voor ons, het is een explicitatie van de logica van kwantificatie. Ze legt uit

hoe de analyse van definite descriptions logisch werkt, en dus hoe mijn proposities als ‘het

boek ligt op de tafel’ logisch functioneren. Eén van de cruciale aspecten daarbij is het

logisch verband tussen een gekwantificeerde propositie en de instanties die deze waar of

vals kunnen maken. De conventie van exclusieve variabelen legt uit hoe dat logisch

verband begrepen moet worden bij proposities waar gelijkheden in opduiken: het gaat niet

om identiteit, maar om een bepaalde regulatie van de instantiaties.

Van hieruit moeten we nog eens terug kijken naar (TLP, 5.5302). Daar schrijft Wittgenstein

over de propositie dat twee objecten alle eigenschappen gemeen hebben: “Selbst wenn

dieser Satz nie richtig ist, hat er doch Sinn” (TLP, 5.5302). Deze zou er dan vermoedelijk

als volgt uit zien:

(∃𝑥)(∃𝑦)(𝐹)(𝐹𝑥 ≡ 𝐹𝑦).

Ik zal deze propositie afkorten als ‘𝐿(𝑥, 𝑦)’151 . Stelt men dat er in de Tractatus wel

verschillende namen zijn voor indiscernibles, dan zal 𝐿(𝑥, 𝑦) waar zijn voor die namen, en

dus niet altijd vals. Passen we echter de aangepaste conventie van exclusieve variabelen

toe, dan is 𝐿(𝑥, 𝑦) inderdaad altijd vals, gezien er discernibles ingevuld moeten worden

voor 𝑥 en 𝑦. Maar dan is er een ander probleem: 𝐿(𝑥, 𝑦) lijkt nu geen propositie meer te

zijn, precies omdat 𝐿(𝑥, 𝑦) noodzakelijk vals is, aangezien er enkel discernibles ingevuld

mogen worden.

Dit bezwaar klopt echter niet. Zijn 𝑎 en 𝑏 discernibles, dan is (𝐹)(𝐹𝑎 ≡ 𝐹𝑏) vals, maar

niet noodzakelijk vals. Het is mogelijk dat 𝑎 en 𝑏 indiscernible zijn. 𝐿(𝑥, 𝑦) is dus wel

degelijk zinvol, en vals. We zien een cruciaal aspect van (TLP, 5.53) opduiken, namelijk

dat het een metaprincipe is. Indien (TLP, 5.53) verkeerd werd opgevat, zou men het kunnen

151 Ik zal spreken over het ‘altijd vals’ zijn (en aanverwanten) van 𝐿(𝑥, 𝑦). Dat is om de nogal vermoeiende

zinsnede ‘vals voor alle mogelijke instantiaties van de variabelen 𝑥 en 𝑦’ (en aanverwanten) te vermijden.

Het is duidelijk dat dit is wat Wittgenstein bedoelt.

127

begrijpen als dat we identiteit kunnen elimineren door 𝑥 = 𝑦 te vervangen door

(𝐹)(𝐹𝑥 ≡ 𝐹𝑦). Dan zou 𝐿(𝑥, 𝑦) gegeven worden door:

(∃𝑥)(∃𝑦)(¬(𝐹)(𝐹𝑥 ≡ 𝐹𝑦) ∧ (𝐺)(𝐺𝑥 ≡ 𝐺𝑦)).

Dit is wel degelijk een contradictie (en dus zinloos), maar geen correcte weergave van wat

𝐿(𝑥, 𝑦), met de aangepaste conventie van exclusieve variabelen, uitdrukt. (𝐹)(𝐹𝑎 ≡ 𝐹𝑏)

zegt niet dat 𝑎 en 𝑏 indiscernible zijn, dit wordt getoond door het feit dat het om

verschillende namen gaat. We kunnen dit ook als volgt uitdrukken: (TLP, 5.53) moet de re

gelezen worden. Het gaat niet om ‘als in 𝐿(𝑥, 𝑦) discernibles worden ingevuld, is 𝐿(𝑥, 𝑦)

vals’ (wat een noodzakelijke waarheid is), maar ‘𝐿(𝑥, 𝑦) is vals voor de discernibles die

ingevuld worden’ (wat contingent is).

Dit is belangrijk. Men zou kunnen denken, eenmaal we ontdekt hebben dat (TLP, 5.53)

geen identiteit betreft, maar indiscernibility, we de conventie van exclusieve variabelen niet

langer nodig hebben omdat indiscernibility wel zegbaar is: we kunnen 𝑥 = 𝑦 vervangen

door (𝐹)(𝐹𝑥 ≡ 𝐹𝑦). Deze procedure werkt niet. Een contingente relatie kan de functie van

identiteit niet overnemen. De reden is net bovenstaand onderscheid tussen de de dicto en

de re lezing van (TLP, 5.53). Bij identiteit is dit onderscheid er niet, omdat het een

noodzakelijke relatie is: ‘als in 𝐿(𝑥, 𝑦) differents worden ingevuld, is 𝐿(𝑥, 𝑦) vals’ en

‘𝐿(𝑥, 𝑦) is vals voor de differents die ingevuld worden’ zijn equivalent. Bij een contingente

relatie is het er wel.

Ik besluit dat mijn lezing van (TLP, 5.53) de enige is die recht kan doen aan Wittgensteins

karakterisering van 𝐿(𝑥, 𝑦) als altijd vals, maar zinvol. Men zou nog kunnen opwerpen dat

Wittgenstein in (TLP, 5.5302) voorwaardelijk spreekt: “Selbst wenn [mijn cursivering]

dieser Satz nie richtig ist, hat er doch Sinn” (TLP, 5.5302). Eventueel kan men dit lezen

als: zelfs als ze altijd vals was geweest, had ze nog betekenis. Maar ze is niet altijd vals. Dit

maakt deze opmerking echter moeilijk te plaatsen. Het is evident dat 𝐿(𝑥, 𝑦) niet altijd waar

is. Dus als ze soms waar was, was ze trivialerwijs zinvol. Het geval dat ze altijd vals is,

krijgen we er dan gratis bij. Nee, wat 𝐿(𝑥, 𝑦) zo interessant maakt, is net dat ze altijd vals

is, maar toch zinvol. Want het is net feit dat ze altijd vals is, dat mensen als Russell en

Frege ertoe brengt om de wet van Leibniz als definitie te nemen van identiteit. Wat

Wittgenstein hier doet, is aangeven in welke mate hun intuïtie klopt, maar ook in welke

mate diezelfde intuïtie ze in de luren heeft gelegd, door hen te doen denken dat identiteit

128

definieerbaar is. Dat is ook wat Wittgensteins visie op de wet van Leibniz zo interessant

maakt. Wittgenstein tracht te manoeuvreren tussen de Scylla van de Grundgesetze (het

onvoorzichtig hanteren van identiteit als een relatie) en de Charybdis van de (zeker binnen

de Tractatus) absurde gedachte dat twee indiscernibles verschillende namen hebben in onze

taal (waar komen die vandaan?152).

Ik eindig deze paragraaf door de confrontatie aan te gaan met een andere visie. In zijn paper

'Tractatus 5.5302': A Case of Mistaken Identity vertrekt Rosenkrantz van de gedachte dat

“in the Tractatus, Wittgenstein aims to design an ‘ideal’ or ‘logically perfect’ language”

(Rosenkrantz, 2009, 176). Volgens Rosenkrantz formuleert Wittgenstein in (TLP, 5.53) een

voorwaarde op zo’n ideale taal, namelijk dat “no entity be represented by more than one

sign” (Rosenkrantz, 2009, 179). Hij ziet hierin ook de reden voor (TLP, 5.533)153: in een

ideale taal met precies één naam voor elk object, is er geen gelijkheidsteken meer nodig:

“A language without co-referring signs is one that has no need of an identity sign”

(Rosenkrantz, 2009, 181). Dit maakt de inzet van de bewuste passages rond identiteit

relatief eenvoudig: identiteit verdwijnt vanzelf uit de ideale taal die Wittgenstein voor ogen

heeft.

Rosenkrantz mist echter een aantal zaken. Ten eerste probeert Wittgenstein in de Tractatus

geen ideale taal te ontwerpen. Hij probeert de logica van onze taal te verhelderen. Ten

tweede negeert Rosenkrantz het belangrijkste gebruik van identiteit, met name in de analyse

van definite descriptions. Rosenkrantz doet alsof identiteit geen nut heeft in een ideale taal

zoals hij die in de Tractatus meent terug te vinden. Maar dat is niet het geval. Ook in een

dergelijke taal moeten we nog steeds kunnen uitdrukken dat ‘de 𝐹 is 𝐺’, of ‘er is precies

één 𝐹 ’. Het is hier dat Wittgensteins eliminatie van identiteit zo belangrijk is, en

Rosenkrantz ziet dit volledig over het hoofd. Ten derde: ook binnen Rosenkrantz’ ideale

taal zou het nog steeds zinvol kunnen zijn dat ‘𝑎 = 𝑏’. Het is niet omdat we voor elk object

precies één naam hebben, dat het geen betekenis heeft om te zeggen dat twee objecten gelijk

zijn. Het is net het statuut van dergelijke uitspraken waar Wittgenstein mee worstelt in zijn

behandeling van identiteit en de wet van Leibniz. Rosenkrantz beseft niet dat zijn ideale

152 Vergelijk: “You talk as if naming an object and then thinking about it were the easiest thing in the world.

But it isn’t so easy. Suppose I tell you to name any spider in my garden: if you can catch one first or describe

one uniquely you can name it easily enough. But you can’t pick one out, let alone ‘name’ it, by just thinking”

(Black, 1952, 157). 153 Laat me die even opfrissen: “Das Gleichheitszeichen ist also kein wesentlicher Bestandteil der

Begriffsschrift” (TLP, 5.533).

129

taal zelf ophangt aan een bepaalde visie op identiteit. Alles waar Wittgenstein in de

Tractatus voor vecht, om het zo te zeggen, wordt door Rosenkrantz als onproblematisch

aangenomen.

Rosenkrantz schrijft: “Wittgenstein’s claim is that identity is not a part of the ultimate

furniture of the world” (Rosenkrantz, 2009, 177). Rosenkrantz leidt dit af uit (TLP, 5.533).

Maar het feit dat iets niet gezegd kan worden, is in de Tractatus geenszins een indicatie dat

het niet behoort tot ‘the ultimate furniture of the world’. Wittgenstein schrijft evengoed:

“Daraus ergibt sich, daβ wir auch ohne die logischen Sätze auskommen können, da wir ja

in einer entsprechenden Notation die formalen Eigenschaften der Sätze durch das bloβe

Ansehen dieser Sätze erkennen können” (TLP, 6.122).

Omdat Wittgensteins ideale taal geen gelijkheidsteken nodig heeft, stelt Rosenkrantz dat

“whatever may be at issue in 5.5302, it is not identity” (Rosenkrantz, 2009, 181). Opnieuw

lijkt hij niet te beseffen dat in (TLP, 5.5302) net het statuut van identiteit, van het object,

waarop zijn eigen ideale taal gebaseerd is, op het spel staat. Rosenkrantz besluit: “Thus,

properly glossed, Wittgenstein’s discussion of identity comes close to saying that the claim

that identity is nothing follows from the construction of an ideal language” (Rosenkrantz,

2009, 183). Maar hij vraagt zich nergens af wat er nodig is opdat zo’n ideale taal überhaupt

mogelijk zou zijn, noch zegt hij duidelijk wat het dan betekent dat identiteit ‘nothing’ is.

Rosenkrantz stelt verder: “Individuation—not identity—is what is at issue in 5.5302”

(Rosenkrantz, 2009, 185). Dat individuatie een bekommernis is bij (TLP, 5.5302), daar ben

ik het mee eens. Maar hoe Rosenkrantz identiteit en individuatie zomaar van elkaar meent

los te kunnen trekken, is mij een raadsel. Opnieuw: het is net de verhouding tussen identiteit

en individuatie waar Wittgenstein in de Tractatus mee worstelt.

Kardinaliteit

Kardinaliteit is in de Tractatus erg belangrijk. Dit hangt samen met Wittgensteins

bezorgdheid rond de Bestimmtheit des Sinnes en de enkelvoudige, discrete objecten die

nodig zijn om deze te verzekeren:

“Am Satz muβ gerade soviel zu unterscheiden sein, als an der Sachlage die er

darstellt.

Die beiden müssen die gleiche logische (mathematische) Mannigfaltigkeit besitzen”

(TLP, 4.04)

130

“Diese mathematische Mannigfaltigkeit kann man natürlich nicht selbst wieder

abbilden. Aus ihr kann man beim Abbilden nicht heraus” (TLP, 4.041)154.

Elke propositie, elk feit bezit een multipliciteit (een kardinaliteit), met name het aantal

verschillende namen (verschillende discernibles) die erin optreden. Dat Wittgenstein het

werkwoord ‘unterscheiden’, kan gezien worden als extra indicatie dat hij discernibles in

gedachten heeft. De objecten uit de Tractatus zijn, net als de logische objecten van Frege,

discreet, telbaar155. Zoals Wittgenstein aangeeft, behoort die multipliciteit echter tot het

onzegbare.

Dat onze taal niet verder reikt dan indiscernibility, toont onmiddellijk aan waarom “es ist

unsinnig, von der Anzahl aller Gegenstände zu sprechen” (TLP, 4.1272): wat zich aan ons

presenteert als één, hoeft dat niet te zijn. Maar ook de multipliciteit van een propositie kan

enkel getoond worden.

Dit werpt licht op een mogelijk bezwaar tegen de conventie van exclusieve variabelen: ze

lijkt existentie niet helemaal uit de logica te bannen. Beschouw de proposities:

(∃𝐹)(∃𝑥)(𝐹𝑥),

(∃𝐹)(∃𝐺)(∃𝑥)(∃𝑦)(𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦),

(∃𝐹)(∃𝐺)(∃𝐻)(∃𝑥)(∃𝑦)(∃𝑧)(𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑧), enzovoort.

Zo vinden we voor elk natuurlijk getal 𝑛 een propositie die waar is als en slechts als er ten

minste 𝑛 objecten zijn. Als de objecten noodzakelijk bestaan, zouden dit bovendien

noodzakelijke waarheden zijn, wat uitgesloten is. Het probleem is in feite nog ernstiger:

eender welke propositie waarin 𝑛 verschillende variabelen opduiken, impliceert volgens de

conventie dat er minstens 𝑛 objecten bestaan.

Dit bezwaar is misplaatst. Het punt is dat deze proposities niet langer zeggen dat er minstens

𝑛 objecten bestaan. Ze tonen het. Wittgenstein schreef in 1919 aan Russell:

154 In de Notebooks lezen we: “Der Sinn des Satzes muβ im Satze in seine einfachen Bestandteile zerlegt

erscheinen—. Und diese Teile sind dann wirklich unzerlegbar, denn weiter zerlegte wären eben nicht DIESE.

Mit anderen Worten, der Satz läβt sich eben dann nicht mehr durch einen ersetzen, welcher mehr Bestandteile

hat, sondern jeder, der mehr Bestandteile hat, hat auch nicht diesen Sinn” (NB, 63). 155 Met Freges concepten als sortals komen hier de symbolen en de geassocieerde Satzvariabelen overeen

waarin namen ingevuld kunnen worden. Zo is 𝑥𝑅𝑎 een symbool, waarvan de kardinaliteit, zo zouden we

kunnen zeggen, het aantal namen is die een ware propositie opleveren. Ik verwijs opnieuw naar (Floyd, 2001,

166ff.) voor een uitstekende bespreking van de noties van symbool en Satzvariabele.

131

“Just think that, what you want to say by the apparent proposition ‘there are 2 things’ is

shown by there being two names which have different meanings (or by there being one

name which may have two meanings). A proposition, e.g. 𝐹(𝑎, 𝑏) or

(∃𝐹)(∃𝑥)(∃𝑦)(𝐹(𝑥, 𝑦)) doesn’t say that there are two things, it says something quite

different; but whether it’s true or false, it SHOWS what you want to express by saying: ‘there

are 2 things’” (CL, 63, 99).

Dat (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑥𝑅𝑦) toont dat er minstens twee objecten zijn. Dat doet 𝑎𝑅𝑏 overigens even

goed. Er is hier niets bezwaarlijk aan. Als ik zeg dat het boek op de tafel ligt, toont dit ook

het bestaan van een reeks objecten die gestructureerd zijn tot het boek. Wittgenstein heeft

er geen probleem mee dat onze proposities bepaalde veronderstellingen in zich dragen over

het aantal objecten. Wat hij wil tegengaan, zijn pogingen om rechtstreeks uitspraken te

doen over het aantal objecten, om logische proposities over het aantal objecten te

formuleren, zoals bijvoorbeeld (∃𝑥)(𝑥 = 𝑥).

Daarmee is evenwel nog niet het probleem opgelost dat bovenstaande proposities

noodzakelijke waarheden lijken te zijn: (∃𝐹)(∃𝐺)(∃𝑥)(∃𝑦)(𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦) kan onmogelijk

vals kan zijn in een wereld met ten minste twee objecten. En aangezien het aantal objecten

in de substantie van de wereld noodzakelijk vastligt, zou dit een noodzakelijke waar- of

valsheid worden. Hier kan de nieuwe interpretatie van (TLP, 5.53) opnieuw soelaas bieden.

Immers, (∃𝐹)(∃𝐺)(∃𝑥)(∃𝑦)(𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦) wordt niet waargemaakt door het feit dat er twee

objecten zijn, maar door het feit dat er in onze wereld twee discernibles zijn. En dat is wel

een contingentie. De mogelijke connecties die in de wereld geactualiseerd worden, kunnen

zodanig zijn dat alle objecten die zich daadwerkelijk manifesteren in de wereld 156 ,

indiscernible zijn.

Zelfs (∃𝐹)(∃𝑥)(𝐹𝑥) is contingent: het is mogelijk dat geen enkele connectie bestaat. Er is

in Wittgensteins ontologie niets dat de connecties in het bestaan trekt157.

Wat wel mogelijk is, is spreken over kardinaliteiten van concepten, zoals bij Frege.

Wittgenstein geeft dit aan in: “So kann man z.B. nicht sagen ‘Es gibt Gegenstände’, wie

man etwa sagt ‘Es gibt Bücher’” (TLP, 4.1272). Een propositie als ‘er bestaan 3 mensen’

156 Ik herinner aan de hierboven besproken mogelijkheid dat, voor een object 𝑎, geen enkele van de mogelijke

connecties waarin 𝑎 optreedt, in onze wereld bestaat. 157 Dit is één invalshoek om de volgende propositie te begrijpen: “Nicht wie die Welt ist, ist das Mystische,

sondern daβ sie ist” (TLP, 6.44).

132

is zinvol en wordt herleid tot ‘er bestaan drie complexen die mens zijn’. De reden dat deze

wel betekenisvol is, is dat het gaat om quasi-identiteit tussen complexen.

Tegelijk is het belangrijk ook hier de beperkingen van in te zien. Nadat Wittgenstein

geschreven heeft dat het zinloos is te spreken over het aantal voorwerpen, voegt hij toe:

“Dasselbe gilt von den Worten ‘Komplex’, ‘Tatsache’, ‘Funktion’, ‘Zahl’, etc.” (TLP,

4.1272). We kunnen dus ook niet spreken over het aantal complexen als dusdanig, dit zal

zich opnieuw tonen. Merk ook op dat we niet kunnen spreken over het aantal bestanddelen

van een complex, want dat is net de multipliciteit van een toestand.

(Equivalentie)klassen

Hoe zit het in de Tractatus met equivalentierelaties? Uiteraard bestaan er reflexieve,

symmetrische en transitieve relaties. Ik heb reeds aangegeven dat relatieve identiteit gezien

kan worden als een geval van quasi-identiteit. Maar daar stopt het ook meteen. In de

Tractatus is er geen mogelijkheid om zo’n equivalentierelatie als het ware te hypostaseren

tot nieuwe objecten, de equivalentieklassen. Er zijn geen klassen. Er is in de Tractatus een

totale scheiding tussen relatieve en absolute identiteit. Absolute identiteit is

transcendentaal, onzegbaar, situeert zich voorbij de grenzen van de taal. Relatieve identiteit

situeert zich binnen de taal. Omdat identiteit geen relatie is in Wittgensteins symbolisme,

kan de brug tussen relatieve en absolute identiteit niet gemaakt worden. Er is dus ook geen

ruimte om via identeitscriteria (relatieve identiteit) nieuwe namen voor objecten te

introduceren (absolute identiteit).

Een gevolg hiervan is dat er in de Tractatus geen klassen zijn tout court. De logica van

klassen maakt essentieel gebruik van identiteit, alleen al om gelijkheid van klassen te

definiëren (via gelijkheid van hun elementen). Dit betekent dat er ook geen ruimte is voor

bijecties tussen klassen, en dus vervalt Freges getalbegrip: “Die Theorie der Klassen ist in

der Mathematik ganz überflüssig” (TLP, 6.031). Het is niet toevallig dat Wittgenstein, in

het exemplaar van de Tractatus in het bezit van Ramsey, naast (TLP, 6.031) het woord

‘identity’ genoteerd heeft (Lewy, 1967, 422). Ramsey, in zijn bespreking van de Tractatus,

was zich zelf ook onmiddellijk bewust van de ernstige implicaties van het elimineren van

identiteit:

“Incidentally this rejection of identity may have serious consequences in the theory of

aggregates and cardinal number; it is, for example, hardly plausible to say that two classes

133

are only of equal number when there is a one-one relation whose domain is the one and

converse domain the other, unless such relations can be constructed by means of identity”

(Ramsey, 1923, 475).

Na de Tractatus zou er een erg interessant debat volgen tussen Wittgenstein en Ramsey

over identiteit. Hoewel Ramsey Wittgensteins kritiek op de wet van Leibniz aanvaardde,

trachtte hij identiteit op een andere manier terug binnen te smokkelen. Zie (Fogelin, 1983),

alsook (Marion, 1998, 48-72), die mijns inziens een terechte kritiek levert op Fogelins

bespreking.

Van hieruit kunnen we dieper ingaan op Wittgensteins visie op de rekenkunde.

134

Identiteit in de rekenkunde

We eindigen waar we bij Frege begonnen zijn: de rekenkunde. Wittgenstein presenteert een

visie op de rekenkunde die op bepaalde punten overeenkomt met Frege maar er op andere

punten radicaal van verschilt. Zijn afwijkende visie op identiteit ligt aan de basis, want deze

impliceert dat rekenkundige gelijkheden alvast geen zinvolle proposities kunnen zijn, zoals

Frege dacht. Rekenkundige identiteit is geen identiteit tussen objecten, maar daarentegen

een manifestatie van bepaalde logisch-syntactische eigenschappen van onze taal.

Wittgenstein koppelt hieraan een kritiek op Freges toepassing van het onderscheid tussen

betekenis en verwijzing voor rekenkundige proposities.

Waar Wittgenstein het wel mee eens is, is dat de rekenkunde fundamenteel is aan ons

denken. Ze is, net als de logica, transcendentaal. Er zijn geen rekenkundige proposities,

omdat elke propositie reeds de rekenkunde vooronderstelt.

Ik beperk me tot de achterliggende filosofische visie op de rekenkunde die blijkt uit de

Tractatus. Voor de technische aspecten vormt (Frascolla, 1994, 1-41) een uitstekende

behandeling.

De rekenkunde is transcendentaal

Trouw aan zijn eigen opvattingen, vertrekt Wittgenstein van het gebruik van rekenkundige

proposities:

“Im Leben ist es ja nie der mathematische Satz, den wir brauchen, sondern wir benützen

den mathematischen Satz nur, um aus Sätzen, welche nicht der Mathematik angehören, auf

andere zu schlieβen, welche gleichfalls nicht der Mathematik angehören.

(In der Philosophie führt die Frage ‘wozu gebrauchen wir eigentlich jenes Wort, jenen Satz’

immer wieder zu wertvollen Einsichten.)” (TLP, 6.211)158.

158 Het is bijzonder significant dat we in de Prototractatus in de plaats volgende proposities terugvinden: “Im

leben ist es ja nie der logische Satz, den wir brauchen, sondern wir benützen den logischen Satz nur um aus

Sätzen welche nicht der Logik angehören auf andere zu schlieβen die gleichfalls nicht der Logik angehören”

(PrTLP, 6.122); “In der Philosophie führt die Frage ‘Wozu gebrauchen wir eigentlich jenes Wort, jenen Satz’

immer wieder zu wertvollen einsichten” (PrTLP, 6.1221). Dit geeft aan dat logica en wiskunde voor

Wittgenstein, ondanks een aantal belangrijke verschillen, een gelijkaardig statuut hebben ten aanzien van

onze taal. Dat laatste principe, overigens, doordesemt Wittgensteins filosofie van begin tot einde.

135

Het gevolg is dat rekenkundige proposities op zichzelf geen betekenis hebben:

“Die Sätze der Mathematik sind Gleichungen, also Scheinsätze” (TLP, 6.2).

“Der Satz der Mathematik drückt keinen Gedanken aus” (TLP, 6.21).

Vergelijkingen, dus pseudo-proposities. Aangezien wiskundige proposities identiteit

uitdrukken, kunnen ze geen betekenis hebben. Tegelijk beseft Wittgenstein dat een

eliminatie van het gelijkheidsteken hier niet mogelijk is: in de rekenkunde is het

fundamenteel. Dit toont dat de rekenkunde zich niet op het niveau van het zegbare situeert,

maar daarentegen, net als de logica, transcendentaal is:

“Die Logik der Welt, die die Sätze der Logik in den Tautologien zeigen, zeigt die

Mathematik in den Gleichungen” (TLP, 6.22).

Wittgenstein zet in de Tractatus een visie op rekenkunde uiteen waarin de operatie centraal

staat: “Die Zahl ist der Exponent einer Operation” (TLP, 6.021). Wat rekenkundige

stellingen weergeven, is hoe bepaalde successieve toepassingen van operaties tot eenzelfde

resultaat leiden. ‘2 + 3 = 5’ toont dat als ik een operatie eerst twee keer, en dan drie keer

toepas, ik hetzelfde resultaat krijg als wanneer ik hem vijf keer toepas. Zo kunnen we

bijvoorbeeld zien dat ¬¬(¬¬¬𝑝) = ¬¬¬¬¬𝑝159.

De rekenkundige gelijkheid is, net als de stellingen van de logica, een “mechanisches

Hilfsmittel” (TLP, 6.1262) dat ik bovenhaal wanneer mijn gesprekspartner een bepaalde

formele gelijkenis tussen twee proposities over het hoofd heeft gezien. “Die Mathematik

ist eine logische Methode” (TLP, 6.2), ze helpt om de aandacht te vestigen op één specifiek

formeel aspect. Dit is Wittgensteins verklaring van de toepasbaarheid van de

rekenkunde160 . Zowel logica als rekenkunde geven bepaalde eigenschappen weer van

successieve toepassingen van operaties. Waar het bij de logica gaat om eigenschappen van

bepaalde operaties, gaat het in de rekenkunde om eigenschappen van operaties in het

algemeen.

159 Wittgenstein legt zelf deze link tussen logische operaties en de rekenkunde: “Es ist eine Eigenschaft der

Bejahung, daβ man sie als doppelte Verneinung auffassen kann. Es ist eine Eigenschaft von ‘1+1+1+1’, daβ

man es als ‘(1+1)+(1+1)’ auffassen kann” (TLP, 6.231). 160 Potter stelt: “Wittgenstein’s concern was solely with explaining the application of mathematics, since he

took this to be the only thing about mathematics which could be explained” (Potter, 2000, 181). Dit klopt

niet: Wittgenstein sluit zich in de Tractatus wel degelijk aan bij Freges (belangrijke) stelling dat de

rekenkunde fundamenteel is aan ons denken.

136

Nu begrijpen we ook waarom Wittgenstein zegt dat “die Allgemeinheit, welche wir in der

Mathematik brauchen, nicht die zufällige ist” (TLP, 6.031). Rekenkundige stellingen tonen

iets wat geldt voor alle operaties en alle argumenten (basissen) waarop deze toegepast

worden. Ze tonen bepaalde logisch-syntactische eigenschappen van de taal als zodanig.

Rekenkunde manifesteert zich, net zoals de logica, doorheen het gebruik van de taal. Dit

laat Wittgenstein toe één van de belangrijkste filosofische vraagstukken over de wiskunde

als volgt te beantwoorden:

“Die Frage, ob man zur Lösung der mathematischen Probleme die Anschauung brauche,

muβ dahin beantwortet werden, daβ eben die Sprache hier die nötige Anschauung liefert”

(TLP, 6.233).

Onze taal, onze proposities, vooronderstellen de rekenkunde. Wat dat betreft, sluit

Wittgenstein zich aan bij Frege: de rekenkundige wetten zijn wetten buiten dewelke geen

denken mogelijk is. Maar dat betekent bij Wittgenstein dat ze geen zinvolle proposities

zijn, en dus dat de rekenkunde geen wetenschap is, net zomin als de logica dat is. We

zouden Wittgensteins visie op rekenkunde een transcendentaal logicisme 161 kunnen

noemen. Er is bij Wittgenstein geen ruimte voor zoiets als analytische kennis162, waarnaar

Frege de volledige eerste fase van zijn filosofische carrière op zoek was. Frege sloeg hier

het toonbare en het zegbare door elkaar.

Sinn en Bedeutung bij rekenkundige identiteit

Het is opvallend dat er maar één plaats is in de Tractatus waar Wittgenstein expliciet ingaat

op Freges onderscheid tussen verwijzing en betekenis, namelijk bij zijn bespreking van de

rekenkunde. Wittgenstein geeft daarmee aan heel goed begrepen te hebben waar Freges

ware bekommernissen lagen. We lezen:

“Frege sagt, die beiden Ausdrücke haben dieselbe Bedeutung, aber verschiedenen Sinn.

161 Frascolla spreekt van “a kind of logicism” (Frascolla, 1994, 37). Ik denk dat het bijvoeglijk naamwoord

‘transcendentaal’ zeker gepast is. 162 Als het woord kennis hier überhaupt gepast is, dan zal het, zoals Kremer aangeeft, moeten gaan om een

soort “[knowing] how to go on” (Kremer, 2002, 297).

137

Das Wesentliche an der Gleichung ist aber, daβ sie nicht notwendig ist, um zu zeigen, daβ

die beiden Ausdrücke, die das Gleichheitszeichen verbindet, dieselbe Bedeutung haben, da

sich dies aus den beiden Ausdrücken selbst ersehen läβt” (TLP, 6.232).

Net zoals in de logica het geval is (TLP, 6.113), kan de waarheid van rekenkundige

stellingen gezien worden aan de uitdrukkingen zelf. Wat a posteriori proposities betreft

(proposities met een betekenis), erkent Wittgenstein dat gelijkheden informatief kunnen

zijn. Maar in de mate dat ze dat zijn, laten ze zich uitanalyseren in een vorm waaruit het

gelijkheidsteken verdwijnt.

Maar hier gaat het om rekenkundige stellingen. Om Wittgenstein beter te begrijpen, is het

zinvol om opnieuw de theorie van definite descriptions toe te passen. In pakweg de

gelijkheid ‘ 7 + 5 = 12 ’ is ‘ 12 ’ een enkelvoudige naam en is ‘ 7 + 5 ’ een definite

description. De gelijkheid heeft dus de vorm ‘12 = de 𝐹’. We krijgen:

𝐹(12) ∧ (𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝑥 = 12).

Maar wat is 𝐹𝑥 anders dan ‘𝑥 = 7 + 5’? Wat betekent het om ‘een’ 7 + 5 te zijn? Frege

zal zeggen: extensie zijn van een concept 𝛷 dat gelijktallig is met het concept ‘natuurlijk

getal kleiner dan 7 + 5’ (GL, §79). Maar dat is bij Frege net zeggen: ‘gelijk zijn aan 7 +

5’. We verkrijgen dus:

12 = 7 + 5 ∧ (𝑥)(𝑥 = 7 + 5 ⊃ 𝑥 = 12).

Maar nu volgt het tweede lid van de conjunctie uit het eerste. We krijgen opnieuw de

oorspronkelijke gelijkheid, de analyse doet ons terug op het beginpunt uitkomen.

Gaat het om een empirisch begrip dan zal 𝐹(𝑥) één of andere empirische beschrijving zijn

waaraan 𝑥 moet voldoen en die niet formeel te herleiden is tot het identiek zijn aan een

bepaald object. Maar bij een wiskundige uitdrukking als ‘7 + 5’ bepaalt die uitdrukking

zelf om welk object het gaat. De kloof tussen betekenis en verwijzing die Frege naar voor

schuift, houdt wel steek voor (schijnbare) namen van empirische objecten, maar niet voor

namen uit de rekenkunde. Dit laat Wittgenstein toe te schrijven:

“Die Identität der Bedeutung zweier Ausdrücke läβt sich nicht behaupten. Denn um etwas

von ihrer Bedeutung behaupten zu können, muβ ich ihre Bedeutung kennen: und indem ich

138

ihre Bedeutung kenne, weiβ ich, ob sie dasselbde oder verschiedenes bedeuten” (TLP,

6.2322).

Wittgenstein beschuldigt Frege ervan de specificiteit van gelijkheden tussen rekenkundige

objecten niet ingezien te hebben: de namen voor deze objecten dragen reeds alle informatie

in zich om te beslissen of de gelijkheid geldt of niet.

Waar Frege net zijn uiterste best doet om rekenkundige stellingen stap voor stap te bewijzen

uit logische grondbeginselen met volstrekte gestrengheid, herleidt Wittgenstein hun

‘bewijs’ tot de apperceptie.

Morris verwijt Wittgenstein dat “he has a tendency […] to overstate this: he has a tendency

to slide from thinking that if logical form lies in the symbols themselves it must be very

easily visible in those symbols” (Morris, 2008, 246). Ik denk dat dit misplaatst is.

Wittgenstein is niet begaan met ons vermogen om aan een gelijkheid direct haar correctheid

in te zien, maar met de logische aard van zo’n vergelijking, die zodanig is dat ze alle nodige

informatie in zich draagt. Morris leest Wittgenstein te psychologistisch. Frascolla heeft

Wittgenstein wel correct begrepen: “Indeed, only the empirical limitations of our skill in

grasping the relations holding between forms make it indispensable to resort to equations

and to arithmetical calculus. The very existence of mathematics is due only to these

limitations” (Frascolla, 1994, 32). Dat laatste moet opgevat worden als verwijzend naar het

bestaan van onze wiskundige praktijk, niet naar de rekenkunde als transcendentaal.

Wat de inhoud van de rekenkunde betreft, gaat Wittgenstein dus lijnrecht in tegen Frege.

Wiskunde spiegelt de logica van de wereld, maar zegt daarmee niets over die wereld. Langs

de ene kant zou Frege gelukkig zijn met de Tractatus: de wiskunde is fundamenteel voor

ons denken. Langs de andere kant zou Frege bezwaar hebben tegen de gedachte dat er geen

domein is waarover wiskundige proposities ons kennis opleveren. Het is enigszins ironisch

dat Wittgenstein, wiens objecten zo’n sterke gelijkenissen vertonen met Freges logische

objecten, er toe komt om het bestaan van net die logische objecten waar Frege zo aan

gehecht was (getallen, waardenverlopen), te verwerpen.

Er is een andere kwestie rond (TLP, 6.2322) die ik kort moet aanraken. Verschillende

commentatoren, waaronder Moore en Kremer, denken dat Wittgenstein het hier niet alleen

over rekenkundige gelijkheden heeft, maar over eender welke identiteit qua Bedeutung

139

(waarbij Bedeutung in de reeds besproken brede zin opgevat moet worden, dus als gebruik)

(Moore, 2013, 245) (Kremer, 2002, 286ff.).

Ik sluit dit niet uit, en Kremer geeft een plausibele uiteenzetting waarom identiteit qua

Bedeutung zich steeds zal manifesteren in het gebruik, en hoe we het (Duitstalige) kennen

waarover Wittgenstein spreekt niet te naïef psychologistisch mogen opvatten. De logische

aard van het gebruik indachtig, is het duidelijk dat een gelijkheid qua Bedeutung geen

onderdeel is van de taal (dit is opnieuw Wittgensteins scheermes van Ockham). Zoals reeds

besproken: Wittgenstein laat dit enkel toe als definitie, als tekenregel.

Toch moeten we beseffen dat (TLP, 6.2322) allereerst gericht is op de rekenkunde. Daar

houdt ze ook het meeste steek, omdat er daar wel degelijk gelijkheden zijn waarvan

Wittgenstein de logische aard nog moet verklaren. De andere gelijkheden zijn elders

uitgebreid aan bod gekomen, en in feite reeds geëlimineerd163. Dat (TLP, 6.2322) zich ook

voor die gevallen laat interpreteren, is interessant, is ook niet toevallig, maar is niettemin

niet essentieel.

Ook al kent Wittgenstein de rekenkunde een cruciale rol toe in zijn systeem, de wiskunde

als wetenschap, zoals wiskundigen ze beoefenen, komt er bekaaid uit. Zoals Ramsey

schreef: “I do not see how this account can be supposed to cover the whole of mathematics”

(Ramsey, 1923, 475). Tenzij hier een mouw aan gepast kan worden, zou iemand als Frege

de repercussies van de filosofie van de Tractatus op de wiskunde dan weer wel als reductio

gezien hebben van Wittgensteins systeem.

Toch is het belangrijk dat Wittgenstein erin slaagt om de wiskunde, hoe verarmd ook, op

een elegante en coherente manier een plaats te geven binnen zijn ruimere filosofie, en dit

op alle vlakken: taalfilosofie, epistemologie, ontologie, … Wittgenstein vervult daarmee

een opgave waar vele anderen zich op stukbijten. Maar er valt een prijs te betalen: de

wiskunde krijgt een erg deflationistische behandeling. Als wiskunde zich beperkt tot wat

Wittgenstein in de Tractatus presenteert, kunnen we de faculteit Wetenschappen min of

meer opdoeken.

Alhoewel, we hoeven Wittgenstein niet te lezen als iemand die abstracte wiskunde uitsluit,

maar wel als iemand die haar ware aard wil blootleggen, haar logisch statuut. Wiskunde is

163 Eén van de zwakkere punten in Kremers interpretatie is dat hij (TLP, 6.2322) koste wat kost wil toepassen

op de gelijkheden uit (TLP, 4.241), Wittgensteins definities. Maar die laatste zijn volledig conventioneel, dus

is het moeilijk om daar een diepere logische inhoud, verbonden met het gebruik, uit te halen. Wat

rekenkundige gelijkheden in de Tractatus speciaal maakt, is dat ze niet conventioneel zijn, en toch niets

zeggen (zoals de stellingen van de logica).

140

geen wetenschap, zoals Frege dacht. Maar eenmaal men dit beseft, is er geen verbod op

wiskunde. Niemand kan belet worden om deel te nemen aan een bepaalde praktijk: een

dergelijk moralisme is Wittgenstein vreemd164. Als een wiskundige, die bewust is van de

ware aard van zijn bezigheid, deze niettemin wil verder zetten, om welke reden dan ook,

valt daar niets tegen in te brengen.

164 Zoals bijvoorbeeld duidelijk blijkt uit Monks biografie, maar ook reeds uit de Tractatus zelf, zie

bijvoorbeeld het voor Wittgensteins ethiek absoluut cruciale: “Die Tatsachen gehören alle nur zur Aufgabe,

nicht zur Lösung” (TLP, 6.4321).

141

We zijn doorheen deze masterproef getuige geweest van een, volgens mij fascinerende,

dialectiek tussen Frege en Wittgenstein over het concept identiteit, dat voor beiden een

fundamenteel concept vormt van de logica, ook al elimineert Wittgenstein het

gelijkheidsteken uit zijn symbolisme (TLP, 5.533).

In het eerste hoofdstuk hebben we gezien hoe Frege te werk ging om de rekenkunde logisch

te funderen. Het vertrekpunt is zijn nieuwe logica uit het Begriffsschrift. Deze giet onze

oordelen in één specifieke vorm, met name deze van een ontleding in functie en argument,

concept en object. De manier waarop Frege deze categorieën formeel laat functioneren (zijn

formele machinerie, zo je wil), brengt een bepaalde visie op de logica van concepten,

objecten en identiteit met zich mee, waaraan deze onderworpen worden. Freges formalisme

is afgestemd op de logica en de rekenkunde: de objecten die hij ermee wil behandelen zijn

logische objecten, de concepten logische (rekenkundige) concepten (functies). Identiteit is

identiteit tussen logische objecten, gekristalliseerd in de wet van Leibniz. Frege gaat zijn

formeel systeem nooit trachten toe te passen op de natuurlijke taal, dat is ook nooit zijn

bedoeling geweest.

Het is tegen de achtergrond van dit fregeaanse formalisme dat de Tractatus zich situeert.

Wittgenstein, in tegenstelling tot Frege, onderzoekt wel de logica van de natuurlijke taal,

van de wereld. In de Tractatus wil hij deze blootleggen, in de stijl van het fregeaanse

verhelderingsproject uit het Begriffsschrift. Het gaat om een fregeaanse logica,

onderworpen aan hetzelfde formele kader (dezelfde formele machinerie). Dit zorgt ervoor

dat Wittgenstein in de Tractatus enkel objecten kan toelaten die beantwoorden aan de eisen

van dit kader. Centraal hierin staat identiteit: als de objecten op dezelfde manier als Freges

logische objecten onderworpen zijn aan identiteit, erdoor gepartitioneerd worden in een

discreet veld met de gepaste eigenschappen, dan kunnen ze volwaardig functioneren binnen

de logica die volgens Wittgenstein de wereld onderbouwt. Dat is precies wat er gebeurt:

Wittgenstein presenteert een visie op het object als enkelvoudig, noodzakelijk bestaand,

onveranderlijk en zich situerend buiten ruimte en tijd.

Dit is het ontologische vertrekpunt van de Tractatus dat Wittgenstein doorheen het hele

werk tot in zijn volle consequenties zal doorvoeren. Eerst brengt dit hem tot het centrale

vraagstuk van de Tractatus: het logisch verband tussen de objecten en onze proposities. De

analyse van definite descriptions toont hoe namen optreden in proposities die feiten

afbeelden. Het contextprincipe legt de aard uit van de link tussen naam en object, de aard

BESLUIT

142

van de verwijzing. Het gebruik constitueert het holistische netwerk waarin proposities zich

situeren. De picture theory, tenslotte, beantwoordt de vraag naar de aard van proposities:

het zijn feiten. Betekenis is een structurele gelijkenis tussen feiten.

Eenmaal dit kader geïnstalleerd is, gaat Wittgenstein het overal toepassen, wat hem leidt

tot het verwerpen van causaliteit, het verwerpen van het bestaan van het subject, het

verwerpen van de wet van Leibniz, het schrappen van identiteit uit het symbolisme, het

verwerpen van klassen, en het bestempelen van een resem proposities als onzinnig,

waaronder niet in het minst rekenkundige gelijkheden.

Dit alles wordt onderbouwd door identiteit als transcendentaal principe dat de substantie

van de wereld partitioneert. Deze visie op identiteit zorgt bovendien voor een cruciale

splitsing van identiteit en indiscernibility. Die eerste is transcendentaal, die laatste is

zegbaar. Dit roept verdere kwesties op rond het uitdrukkingsvermogen van onze taal.

Omdat identiteit verschoven wordt voorbij de grenzen van de taal, gebeurt hetzelfde met

bepaalde kardinaliteiten. Een ander gevolg is het verwerpen van equivalentieklassen.

We hebben dus gezien hoe Wittgenstein in de Tractatus het formele kader van Frege

overneemt, maar tegelijk ook een aantal ingrijpende wijzigingen doorvoert. Wittgenstein

vermijdt de problemen waar Frege mee geconfronteerd werd. Hij vertrekt van een vast

domein van objecten waarvan alle mogelijke eigenschappen (connecties) reeds vastliggen.

Er kunnen in de Tractatus geen verrassingen (TLP, 6.1251) optreden. Samen met de

gegeven totaliteit van objecten, vertrekt Wittgenstein van een gegeven holistische taal, de

natuurlijke taal. Opnieuw zijn er, in zekere zin, geen verrassingen. Een artificiële taal houdt

in de Tractatus geen steek. Dat is één van de redenen waarom Wittgenstein geen metataal

toelaat: er is maar één taal, die zich in één vlak situeert. Freges methodologie uit de

Grundgesetze, die uiteindelijk leidde tot een inhoudsloos formalisme, wordt door

Wittgenstein verworpen. Wittgenstein verwerpt ook Freges gebruik van identiteit. Het

vaste domein van objecten brengt een totale scheiding van relatieve identiteit en absolute

identiteit met zich mee. Er zijn equivalentierelaties in de Tractatus, maar deze kunnen niet

langer gehypostaseerd worden zoals Frege dat deed, met Basic Law V als het belangrijkste

voorbeeld. Relatieve identiteit, zo kunnen we zeggen, is absoluut relatief, kan niet

getransformeerd worden in absolute identiteit. Identiteit kan niet als logische relatie

gebruikt worden, ook niet in de vorm van de wet van Leibniz. Het is voor Wittgenstein een

bruut concept, dat zich niet verder laat analyseren. Tegelijk betekent het verwerpen van de

wet van Leibniz niet dat onze taal namen bevat voor verschillende indiscernibles. Vanuit

143

Wittgensteins holisme is dit een absurditeit. Daarom is het zo belangrijk dat de combinatie

tussen (TLP, 5.53) en (TLP, 5.5302) op de juiste manier gelezen wordt. (TLP, 5.53) betreft

indiscernibility, geen identiteit. Alleen zo kan Wittgensteins stelling dat de wet van Leibniz

altijd vals, maar zinvol is (TLP, 5.5302), begrepen worden. Alleen zo doet (TLP, 5.53)

recht aan de natuurlijke taal. Alleen zo past (TLP, 5.53) binnen het ruimere kader van de

Tractatus.

Wat dit alles toont, is hoe incontournable identiteit is voor een denken dat zichzelf wil

formaliseren. De loutere geste van het trachten vatten van ons denken binnen een formeel

systeem, onderwerpt dit denken aan bepaalde identiteitsprincipes die zich overal laten

voelen. Dat is één van de belangrijke punten die Deleuze in Différence et répétition wil

maken, en die we bij Frege en Wittgenstein duidelijk geïllustreerd zien. Freges formalisme,

waarbinnen oordelen gerepresenteerd worden door functionele uitdrukkingen, bestaande

uit concept en object, legt aan deze objecten bepaalde eisen op. Het absolute minimum is

semantische stabiliteit: het object van ons denken moet een zekere stabiliteit vertonen,

anders kan dit niet adequaat formeel gerepresenteerd worden. Een naam moet zijn

verwijzing behouden doorheen de proposities waarin hij optreedt. Dit zorgt onmiddellijk

voor moeilijke kwesties rond verandering en identiteit doorheen ruimte en tijd.

Hoe ernstig deze kwesties zijn, wordt in de Tractatus duidelijk. Wat het werk onder meer

zo interessant maakt, is dat het enerzijds een indrukwekkende krachtinspanning vormt om

dit project, het karakteriseren van ons denken als onderworpen aan een formele logica, tot

een goed einde te brengen, maar tegelijk aantoont welke begrenzingen165 vasthangen aan

het kader waarbinnen het opereert. Het is net omdat Wittgenstein een tot in zijn radicale

consequenties doorgevoerde poging levert, dat de limieten ervan heel duidelijk zichtbaar

worden. Later zou hij ontkennen dat ons denken onderworpen is aan één enkele logica, laat

staan dat het adequaat geformaliseerd kan worden, zie bijvoorbeeld (PU, §65). Ik zou

daarom graag eindigen met de volgende reminiscentie van Norman Malcolm:

“Also he told me once that he really thought that in the Tractatus he had provided a

perfected account of a view that is the only alternative to the viewpoint of his later work”

(Malcolm, 1958, 69).

165 In hoeverre ik grenzen met begrenzingen, limits met limitations verwar, is een (belangrijke) vraag die ik

hier in het midden laat. Laat me ook nog eens opmerken dat ik voorbijga aan The New Wittgenstein: daar

krijgt dit een heel ander statuut.

144

Wat mij betreft, en ik hoop dat met deze masterproef enigszins geplausibiliseerd te hebben,

moeten we Wittgenstein hier ernstig nemen.

145

Anscombe, G. E. M. (1959). An Introduction to Wittgenstein's Tractatus. London:

Hutchinson University Library.

Beaney, M. (Ed.). (1997). The Frege Reader. Oxford: Blackwell Publishers.

Benacerraf, P. (1965). What Numbers Could not Be. The Philosophical Review, 74(1),

47-73.

Black, M. (1952). The Identity of Indiscernibles. Mind, 61(242), 153-164.

Candlish, S., & Damnjanovic, N. (2012). The Tractatus and the Unity of the Proposition.

In J. L. Zalabardo (Ed.), Wittgenstein's Early Philosophy (pp. 64-98). Oxford:

Oxford University Press.

Carnap, R. (2005 [1928]). The Logical Structure of the World and Pseudoproblems in

Philosophy (R. A. George, Trans.). Chicago and La Salle, Illinois: Open Court.

Cecchetto, C., Chiechia, G., & Guasti, M. T. (Eds.). (2001). Semantic Interfaces:

Reference, Anaphora and Aspect. Stanford: CSLI Press.

Conant, J. (2000). Elucidation and nonsense in Frege and early Wittgenstein. In A. Crary

& R. Read (Eds.), The New Wittgenstein (pp. 174-217). Abingdon & New York:

Routledge.

Crary, A., & Read, R. (Eds.). (2000). The New Wittgenstein. Abingdon & New York:

Routledge.

Daniels, C. B., & Davison, J. (1973). Ontology and Method in Wittgenstein's Tractatus.

Noûs, 7(3), 233-247.

Deleuze, G. (1968). Différence et Répétition. Paris: Presses Universitaires de France.

Dennett, D. C. (1995). Darwin's Dangerous Idea: Evolution and the Meanings of Life.

New York: Simon & Schuster.

Descartes, R. (2009 [1647]). Méditations métaphysiques. Paris: Flammarion.

Diamond, C. (2000). Ethics, Imagination and the method of Wittgenstein's Tractatus. In

A. Crary & R. Read (Eds.), The New Wittgenstein (pp. 149-173). Abingdon &

New York: Routledge.

Diamond, C. (2010). Inheriting from Frege: the work of reception, as Wittgenstein did it.

In M. Potter & T. Ricketts (Eds.), The Cambridge Companion to Frege (pp. 550-

601). Cambridge: Cambridge University Press.

Dummett, M. (1976). Frege as a Realist. Inquiry, 19, 455-468.

Dummett, M. (1991). Frege: Philosophy of Mathematics. London: Duckworth.

REFERENTIES

146

Evans, G. (1978). Can There Be Vague Objects? Analysis, 38(4), 208.

Floyd, J. (2001). Number and Ascriptions of Number in Wittgenstein's Tractatus. In J.

Floyd & S. Shieh (Eds.), Future Pasts: The Analytic Tradition in Twentieth-

Century Philosophy (pp. 145-191). Oxford: Oxford University Press.

Floyd, J., & Shieh, S. (Eds.). (2001). Future Pasts: The Analytics Tradition in Twentieth-

Century Philosophy. Oxford: Oxford University Press.

Fogelin, R. (1983). Wittgenstein on Identity. Synthese, 56(2), 141-154.

Frascolla, P. (1994). Wittgenstein's Philosophy of Mathematics. London & New York:

Routledge.

Frascolla, P. (2007). Understanding Wittgenstein's Tractatus. Abingdon & New York:

Routledge.

Frege, G. (1964 [1893/1903]). The Basic Laws of Arithmetic (M. Furth, Trans. M. Furth

Ed.). Berkeley, Los Angeles, London: University of California Press.

Frege, G. (1968 [1884]). The Foundations of Arithmetic (J. L. Austin, Trans.). Oxford:

Basil Blackwell.

Frege, G. (1970 [1879]). Begriffsschrift, a formula language, modeled upon that of

arithmetic, for pure thought. In J. van Heijenoort (Ed.), Frege and Gödel: two

fundamental texts in mathematical logic (pp. 1-82). Cambridge (Mass.): Harvard

University Press.

Frege, G. (1997). Comments on Sinn and Bedeutung. In M. Beaney (Ed.), The Frege

Reader (pp. 172-180). Oxford: Blackwell Publishers.

Frege, G. (1997 [1891]). Function and Concept. In M. Beaney (Ed.), The Frege Reader

(pp. 130-148). Oxford: Blackwell Publishers.

Frege, G. (1997 [1892]). On Sinn and Bedeutung. In M. Beaney (Ed.), The Frege Reader

(pp. 151-171). Oxford: Blackwell Publishers.

Frege, G. (1997 [1902]). Letter to Russell, 22.6.1902. In M. Beaney (Ed.), The Frege

Reader (pp. 253-254). Oxford: Blackwell Publishers.

Frege, G. (1997 [1903]). Grundgesetze der Arithmetik, Volume II. In M. Beaney (Ed.),

The Frege Reader (pp. 258-289). Oxford: Blackwell Publishers.

Geach, P. (1967). Identity. The Review of Metaphysics, 21(1), 3-12.

Hacker, P. M. S. (2000). Was he trying to whistle it? In A. Crary & R. Read (Eds.), The

New Wittgenstein (pp. 353-388). Abingdon & New York: Routledge.

147

Hawley, K. (2010). Temporal Parts. In E. N. Zalta (Ed.), The Stanford Encyclopedia of

Philosophy (Winter 2010 Edition). Retrieved from

http://plato.stanford.edu/archives/win2010/entries/temporal-parts/.

Heck, R. G. (2003). Frege on Identity and Identity-Statements: A Reply to Thau and

Caplan. Canadian Journal of Philosophy, 33(1), 83-102.

Hertz, H. (1899 [1894]). The Principles of Mechanics Presented in a New Form (D. E.

Jones & J. T. Walley, Trans.). New York: MacMillan.

Hintikka, J. (1956). Identity, Variables, and Impredicative Definitions. The Journal of

Symbolic Logic, 21(3), 225-245.

Kant, I. (1998 [1781/1787]). Kritik der reinen Vernunft. Hamburg: Felix Meiner Verlag.

Kant, I. (2012 [1783]). Prolegomena (J. Veenbaas & W. Visser, Trans.). Amsterdam:

Boom.

Kitcher, P. (1979). Frege's Epistemology. The Philosophical Review, 88(2), 235-262.

Kremer, M. (2002). Mathematics and Meaning in the Tractatus. Philosophical

Investigations, 25(3), 272-303.

Kremer, M. (2012). Russell's Merit. In J. L. Zalabardo (Ed.), Wittgenstein's Early

Philosophy (pp. 195-240). Oxford: Oxford University Press.

Lewy, C. (1967). A Note on the Text of the Tractatus. Mind, 76(303), 416-423.

Malcolm, N. (1958). Ludwig Wittgenstein: A Memoir. London: Oxford University Press.

Marion, M. (1998). Wittgenstein, Finitism, and the Foundations of Mathematics. Oxford:

Clarendon Press.

May, R. (2001). Frege on Identity Statements. In C. Cecchetto, G. Chierchia, & M. T.

Guasti (Eds.), Semantic Interfaces: Reference, Anaphora and Aspect (pp. 1-50).

Stanford: CSLI Press.

McGuinness, B. (2005 [1988]). Young Ludwig: Wittgenstein's Life 1889-1921. Oxford:

Clarendon Press.

McGuinness, B. (Ed.). (2012). Wittgenstein in Cambridge: Letters and Documents 1911-

1951. Chichester: Wiley-Blackwell.

Mendelsohn, R. L. (1982). Frege's Begriffsschrift Theory of Identity. Journal of the

History of Philosophy, 20(3), 279-299.

Monk, R. (1991 [1990]). Ludwig Wittgenstein: The Duty of Genius. London: Vintage

Books.

148

Moore, A. W. (2013). Was the author of the Tractatus a transcendental idealist? In P.

Sullivan & M. Potter (Eds.), Wittgenstein's Tractatus (pp. 239-255). Oxford:

Oxford University Press.

Morris, M. (2008). Routledge Philosophy Guidebook to Wittgenstein and the Tractatus.

Abingdon & New York: Routledge.

Muehlmann, R. (1969). Russell and Wittgenstein on Identity. The Philosophical

Quarterly, 19(76), 221-230.

Noonan, H. (2011). Identity. In E. N. Zalta (Ed.), The Stanford Encyclopedia of

Philosophy (Summer 2011 Edition). Retrieved from

http://plato.stanford.edu/archives/win2011/entries/identity/.

Nordmann, A. (2005). Wittgenstein's Tractatus. Cambridge: Cambridge University Press.

Potter, M. (2000). Reason's Nearest Kin. Oxford: Oxford University Press.

Potter, M. (2013). Wittgenstein's pre-Tractatus manuscripts: a new appraisal. In P.

Sullivan & M. Potter (Eds.), Wittgenstein's Tractatus (pp. 13-39). Oxford: Oxford

University Press.

Potter, M., & Ricketts, T. (Eds.). (2010). The Cambridge Companion to Frege.

Cambridge: Cambridge University Press.

Proops, I. (2001). The New Wittgenstein: A Critique. European Journal of Philosophy, 9,

375-404.

Proops, I. (2013). What is Frege's 'concept horse problem'? In P. Sullivan & M. Potter

(Eds.), Wittgenstein's Tractatus (pp. 76-96). Oxford: Oxford University Press.

Quine, W. V. (1948). On What There Is. Review of Metaphysics, 2, 21-38.

Quine, W. V. (1960). Word and Object. MIT University Press.

Ramsey, F. P. (1923). Tractatus Logico-Philosophicus. by Ludwig Wittgenstein; Bertrand

Russell. Mind, 32(128), 465-478.

Resnik, M. D. (1979). Frege as idealist and then realist. Inquiry, 22, 350-357.

Ricketts, T. G. (1985). Frege, The Tractatus, and the Logocentric Predicament. Noûs,

19(1), 3-15.

Rosenkrantz, M. (2009). 'Tractatus 5.5302': A Case of Mistaken Identity. History of

Philosophy Quarterly, 26(2), 175-188.

Russell, B. (1905). On Denoting. Mind, 14(56), 479-493.

Russell, B. (1910). Knowlegde by Acquaintance and Knowledge by Description.

Proceedings of the Aristotelian Society, 11, 108-128.

Russell, B. (1957). Mr. Strawson on Referring. Mind, 66(263), 385-389.

149

Schopenhauer, A. (2012 [1818/1844]). De Wereld als Wil en Voorstelling (H. Driesen,

Trans.). Amsterdam: Wereldbibliotheek.

Shackel, N. (2005). The Vacuity of Postmodernist Methodology. Metaphilosophy, 36(3),

295-320.

Slater, B. H. (2007). The Central Error in the Tractatus. In P. Lang (Ed.), Wittgenstein

Jahrbuch (pp. 57-66). Frankfurt am Main.

Sluga, H. D. (1975). Frege and the Rise of Analytic Philosophy. Inquiry, 18, 471-498.

Sluga, H. D. (1977). Frege's Alleged Realism. Inquiry, 20, 227-242.

Stevenson, L. (1972). Relative Identity and Leibniz's Law. The Philosophical Quarterly,

22(87), 155-158.

Strawson, P. F. (1950). On Referring. Mind, 59(235), 320-344.

Sullivan, P. (2002). On Trying to be Resolute: A Response to Kremer on the Tractatus.

European Journal of Philosophy, 10, 43-78.

Sullivan, P. (2013). Idealism in Wittgenstein: a further reply to Moore. In P. Sullivan &

M. Potter (Eds.), Wittgenstein's Tractatus (pp. 256-270). Oxford: Oxford

University Press.

Sullivan, P., & Potter, M. (Eds.). (2013). Wittgenstein's Tractatus. Oxford: Oxford

University Press.

Textor, M. (2011). Routledge Philosophy Guidebook to Frege on Sense and Reference.

London and New York: Routledge.

Thau, M., & Caplan, B. (2001). What's Puzzling Gottlob Frege? Canadian Journal of

Philosophy, 31(2), 159-200.

Van de Vijver, G. (2013). Frege en Lacan: een transcendentale denklijn.

Psychoanalytische Perspectieven, 31(4), 353-369.

van Heijenoort, J. (Ed.). (1970). Frege and Gödel: two fundamental texts in mathematical

logic. Cambridge (Mass.): Harvard University Press.

White, R. M. (1978). Wittgenstein on Identity. Proceedings of the Aristotelian Society,

78, 157-174.

White, R. M. (2006). Wittgenstein's Tractatus. London & New York: Continuum.

Whitehead, A. N., & Russell, B. (2009 [1910]). Principia Mathematica: Volume One.

Merchant Books.

Witherspoon, E. (2000). Conceptions of nonsense in Carnap and Wittgenstein. In A.

Crary & R. Read (Eds.), The New Wittgenstein (pp. 315-349). Abingdon & New

York: Routledge.

150

Wittgenstein, L. (1971). Prototractatus (D. F. Pears & B. F. McGuinness, Trans. B. F.

McGuinness & T. Nyberg Eds.). London: Routledge & Kegan Paul.

Wittgenstein, L. (1973). Letters to C. K. Ogden (G. H. von Wright Ed.). Oxford: Basil

Blackwell.

Wittgenstein, L. (1998). Notebooks 1914-1916 (G. H. von Wright & G. E. M. Anscombe

Eds.). Malden, Oxford & Victoria: Blackwell Publishing.

Wittgenstein, L. (2005 [1922]). Tractatus Logico-Philosophicus. Abingdon & New York:

Routledge.

Wittgenstein, L. (2006 [1953]). Filosofische onderzoekingen (M. Derksen & S. Terwee,

Trans.). Amsterdam: Boom.

Wittgenstein, L. (2010 [1922]). Tractatus logico-philosophicus. Amsterdam:

Athenaeum―Polak & Van Gennep.

Zalabardo, J. L. (2012). Reference, Simplicity, and Necessary Existence in the Tractatus.

In J. L. Zalabardo (Ed.), Wittgenstein's Early Philosophy (pp. 119-150). Oxford:

Oxford University Press.

Zalabardo, J. L. (Ed.). (2012). Wittgenstein's Early Philosophy. Oxford: Oxford

University Press.