HOGERE ZEEVAARTSCHOOL ANTWERPEN

SCHEEPSWERKTUIGKUNDE

Basiselektriciteit

Author:Willem MAES

December 6, 2010

Contents

0.1 INLEIDING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.1 Voorkennis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.2 Boek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.3 Cursus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.4 Voorvoegsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2 STROOM SPANNING EN WEERSTAND . . . . . . . . . . . . . . 70.2.1 Lading,Q (Coulomb, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2.2 Stroom, I (Ampère, A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2.3 Spanning, U of V (Volt,V) . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2.4 Geleidbaarheid, G(Siemens,S) . . . . . . . . . . . . . . . 80.2.5 Weerstand, R [Ohm,Ω] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.2.6 Vermogen, P [Watt, W] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2.7 oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.3 SCHAKELINGEN MET WEERSTANDEN . . . . . . . . . . . . . . 120.3.1 Serieschakeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.3.2 Parallelschakeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130.3.3 Spanningsdeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.4 STELLINGEN EN THEOREMA’S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.4.1 De wetten van Kirchoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.4.2 Het theorema van Thévenin. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.5 CONDENSATOREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190.5.1 Lading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190.5.2 Parallelschakeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.5.3 Serieschakeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

0.6 MAGNETISME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.6.2 Krachtwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.6.3 Elektromagnetische inductie . . . . . . . . . . . . . . . . 270.6.4 Wervelstromen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.6.5 Enkele toepassingen van magnetisme . . . . . . . . . . . 300.6.6 Schakelen van spoelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

0.7 OVERGANGSVERSCHIJNSELEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330.7.1 De RL keten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330.7.2 De RC keten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

List of Figures

1 Een schakeling van weerstanden in serie. . . . . . . . . . . . . . . 122 Twee weerstanden in een parallelschakeling. . . . . . . . . . . . . 133 Stromen in een parallelschakeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Som van stromen in een knooppunt is nul. i1 + i4 = i2 + i3 . . . 155 Som van spanningen in een gesloten lus is nul. v1 + v2 + v3 = v4. 166 equivalent netwerk volgens Thévenin. . . . . . . . . . . . . . . . 167 stap 0: Oorspronkelijk netwerk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 stap 1: De open-klemspanning bedraagt 7,5 Volt. . . . . . . . . . 189 stap 3: De inwendige weerstand bedraagt 2 KΩ. . . . . . . . . . . 1810 Het Thevenin equivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911 Ladingen op een condensator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912 Condensatoren parallelgeschakeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013 Condensatoren in serie geschakeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114 magnetische veldlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315 veldlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516 magnetiseringskarakteristiek voor (links) para-en diamagnetisch

materiaal en (rechts) ferromagnetisch materiaal . . . . . . . . . . 2617 hysteresislus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2718 inductiespanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819 zelfinductie in een winding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2920 wervelstromen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3021 rechterhandregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3122 linkerhandregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3

List of Tables

4

0.1 INLEIDING

0.1.1 VoorkennisDe leerstof in deze module sluit aan op de leerstof uit het secundair onderwijs.Studenten uit het ASO zullen aansluiting vinden bij bepaalde hoofdstukken uithet vak fysica. Studenten met een industrieel technische vooropleiding zullen dezeleerstof mischien al volledig hebben behandeld. Studenten waarvoor deze leerstofnieuw is worden sterk aangemoedigd om deze leerstof goed te doorgronden. Ditis een voorwaarde om de volgende modules succesvol te kunnen volgen.

0.1.2 BoekVolgend boek wordt gedurende de volgende drie jaar gebruikt tijdens de lessenelektriciteit [Wildi, 2006] Electrical Machines, Drives, and Power Systems vanTheodore Wildi ISBN 0-13-196918-8. Het boek kan besteld worden bij alle groteonline uitgeverijen, er zijn ook een aantal exemplaren voor inzage beschikbaar inde biblotheek.

0.1.3 CursusDe cursus en alle bijkomende informatie over de cursus elektriciteit kan u terugvin-den via deze link. http://magelhaes.hzs.be/willem

0.1.4 VoorvoegselsTerra T x109

Giga G x109

Mega M x106

Kilo K x103

- - -milli m x10−3

micro µ x10−6

nano η x10−9

pico p x10−12

In de elektriciteit en electronica verkiezen we het weergeven van getallen met be-hulp van deze voorvoegsels. De wetenschappelijke notitie die bijvoorbeeld in defysica wordt gebruikt komen we in ons vakdomein zelden tegen. Bij een stroomvan 0,012A spreken we dus van 12mA (=12 x 10−3A) in plaats van 1,2 x 10−2A

5

zoals in de natuurkunde gebruikelijk is. We schrijven ook nooit 0, 15mV . Inplaats schrijven we 150µV.

6

0.2 STROOM SPANNING EN WEERSTAND

0.2.1 Lading,Q (Coulomb, C)Een lichaam is negatief elektrisch geladen als het teveel electronen heeft. Eenlichaam is positief elektrisch geladen als het te weinig electronen heeft. De lad-ing die ontstaat door het teveel of te weinig van 1 electron is 1,60217653x10..19C. Elektrische lading kan door direct contact, worden overgebracht van het enelichaam naar het andere lichaam. De coulomb is de grootte van de elektrischelading die, in het vaccuum, op een identieke lading geplaatst op 1 meter af-stand, een afstotingskracht uitoefent van 9 Gnewton. Op deze manier is eencoulomb natuurlijk zeer moeilijk te bepalen, daarom gaan we de coulomb aflei-den van de eenheid van stroomsterkte, nl. de Ampère (A). De definitie van decoulomb is dan: De coulomb is de grootte van de elektrische lading welke ver-plaatst wordt in de dwarsdoorsnede van een geleider in de tijd van 1 secondeals een constante stroom van 1 ampère er doorheen vloeit (1C = 1A.1s).

0.2.2 Stroom, I (Ampère, A)Wanneer electronen zich verplaatsen in een elektrische kringloop spreekt men vanelektrische stroom. De elektrische stroom geeft weer hoeveel elektrische ladingzich in een bepaalde tijd verplaatst.

I =dq

dt

[C

s= A]

De richting waarin de elektronen zich verplaatsen noemen we de elektronen-stroomzin. Tegengesteld hieraan is de conventionele stroomzin.

0.2.3 Spanning, U of V (Volt,V)Elektrische spanning is het verschil in elektrisch potentiaal tussen twee punten.Een spanning van 1V treedt op tussen twee punten wanneer 1 joule energie wordtuitgewisseld bij het verplaatsen van een lading van 1 Coulomb.

U =W

Q

Elektrische bronnen hebben aan hun plusklem een hoger potentiaal dan aan hunminklem. Wanneer we nu een verbinding maken tussen de beide polen zal er ten

7

gevolge van het potentiaalverschil een verplaatsing van elektrische lading op gangkomen. Er zal met andere woorden een elektrische stroom vloeien.

0.2.4 Geleidbaarheid, G(Siemens,S)De grootte van de elektrische stroom die er gaat vloeien ten gevolge van eenverbinding tussen twee polen met een elektrisch potentiaalverschil is afhanke-lijk van de kwaliteit van de stof van de verbinding. Sommige stoffen zoals goud,koper, alluminium,... geleiden elektrische stroom goed (geleiders) andere stoffenrubber, pvc, glas,... geleiden de stroom slecht (isolatoren). De geleidbaarheidgeeft aan in welke mate een component de elektrische stroom kan geleiden. Wespreken van een betere geleidbaarheid wanneer er voor eenzelfde spanning (ver-schil van potentiaal) meer stroom vloeit.

G =I

U[A

V= S]

0.2.5 Weerstand, R [Ohm,Ω]Tegengesteld aan de geleidbaarheid geeft de weerstand aan in welke mate eencomponent het vloeien van een elektrische stroom bemoeilijkt. Of met anderewoorden, in welke mate het component een weerstand vormt voor de stroom dieer vloeit bij een bepaalde spanning. De verhouding van de elektrisch aangelegdespanning op de bijhorende stroom blijkt een lineair gedrag te vertonen. Deze wet-matigheid noemen we de wet van Ohm.

I =U

I[A =

V

Ω]

Het quotient van spanning op stroom is dus een constante. Deze constante noe-men we de ohmse weerstand.

R =U

I=

1

G[Ω =

1

S]

De formule van Pouillet en de factoren die de weerstand van een draad bepalen.

• De factorenMen kan experimenteel vaststellen dat de weerstand

– evenredig is met de lengte l van de geleider.

8

– omgekeerd evenredig is met het oppervlak A van de doorsnede van degeleider.

– afhankelijk is van de aard van het metaal.

• Formule van Pouillet en de specifieke weerstand of de resistiviteit. Voor-gaande analyse leidt tot de formule

R = ρl

A

Om rekening te houden met de aard van het metaal wordt gebruik gemaaktvan een evenredigheidsfactor ρ, die functie is van het metaal.ρ stelt bijgevolg de weerstand voor van een draad van 1m lengte en met eendoorsnede van 1 m2. ρ wordt de resistiviteit of de specifieke weerstand vanhet metaal genoemd, en wordt uitgedrukt in Ω.m.

0.2.6 Vermogen, P [Watt, W]Vermogen is de grootheid die de geleverde arbeid per tijdseenheid voorstelt. In hetgeval waarbij een spanningsbron wordt aangesloten over een weerstand en waar-door er dus een elektrische stroom zal vloeien kunnen we het geleverde vermogenberekenen door de aangelegde spanning te vermenigvuldigen met de bekomenstroom.

P = U.I [W = V.A]

Wanneer we de vermogenswet combineren met de wet van ohm krijgen we eenaantal afgeleide formules.

P = U.I = U.U

R=U2

R

P = U.I = I.R.I = I2.R

Bij een dergelijke weerstand zal het geleverde vermogen worden omgezet in warmte.Dit proces noemen we dissiperen. Daarom spreken we hier over het gedissipeerdevermogen.

9

0.2.7 oefeningen1. Een lamp wordt aangesloten aan een gelijkspanning van 220V. Ze neemt

een stroom op van een halve ampère.

• Teken het schema van het circuit.

• Bepaal het vermogen van de lamp.(110W)

• Bepaal de energie ontvangen in 5 uren.(1980 kJ)

• Hoeveel coulomb zijn er door de lamp gegaan gedurende deze 5 uren? (9000C)

2. Een elektrische motor van 7,5 kW wordt gekoppeld aan een gelijkspanningvan 380V.

• Wat is de stroom opgenomen door de motor ? (19,74A)

• Welke lading gaat er doorheen, uitgedrukt in coulomb en Ah, als hijdraait gedurende twee uren ? (142.000 C=39,47 Ah)

3. Een elektrisch apparaat is gekoppeld aan een gelijkspanning van 5 kV. Hetverbruikt 0,72MJ in 2 uur.

• Bereken de stroom door het apparaat in mA. (20 mA)

• Teken het schema van het circuit.

4. Een elektrische radiator is gekoppeld aan een gelijkspanning van 220 V. Hijontwikkelt een vermogen van 1,1 kW. Bepaal

• de weerstand van het toestel.(44Ω)

• de stroom door het toestel.(5A)

• wat er gebeurt met het vermogen als het toestel werkt.

5. Bereken de weerstand van een koperdraad van 1 km lengte en een diametervan 1 mm, ρ = 1, 652.10−8Ω.m. (Antwoord: R=21Ω)

6. Een lange kabel bestaande uit 2 koperen geleiders wordt aan het einde ko-rtgesloten. Aan de andere uiteinden meet men een totale weerstand van100Ω. De diameter van de geleiders bedraagt 1mm. Bereken de lengte vande kabel. (Antwoord: l=2,377 km).

7. Om een weerstand te maken van 2Ω wordt gebruik gemaakt van een draadvan manganine waarvan ρ = 0, 42.10−6Ω.m. Zijn diameter bedraagt d=0,5mm.Hoelang moet deze draad zijn ? (93,5m)

10

8. Een hoogspanningslijn van 1200 km lengte is samengesteld uit 2 koperengeleiders, elk met een doorsnede van 2cm2. (ρ = 1, 652.10−8Ω.m). Degenerator levert 200 MW bij een spanning van 400 kV. Bereken

• De stroom door de geleiders.(500A)

• de spanningsval op de geleiders (99.120V)

• de beschikbare spanning op het einde van de lijn.(300,880 kV)

• het vermogenverlies op de lijn, evenals het energieverlies per uur.(49,46MW)

• het rendement van het energietransport. (75%)

• indien de generator dezelfde energie zou leveren, maar aan een span-ning van 200 kV, wat zou dan het rendement zijn ? (2%)

• Welke besluiten moeten gekoppeld worden aan de antwoorden e) enf)?

11

0.3 SCHAKELINGEN MET WEERSTANDEN

0.3.1 Serieschakeling.Een serieschakeling is een elektronische configuratie van componenten of deelschake-lingen waarbij de stroom door de individuele componenten of deelschakelingengelijk is, en de spanning over alle deelcomponenten wordt verdeeld.

Analyse

In een schakeling zijn elementen in serie als en alleen als ze door dezelfde stroomworden doorlopen. De stroom in elk van de elementen is dus gelijk aan I = I1 =I2 = ... = In

Figure 1: Een schakeling van weerstanden in serie.

Bij serieschakeling van bijvoorbeeld drie gelijke weerstanden wordt de span-ning over de weerstanden gelijk verdeeld. De spanning over de vervangingsweer-stand is dus driemaal zo groot als die door de individuele componenten. De stroomdoor de vervangingsweerstand is gelijk aan die door de individuele componenten.De weerstand van de vervangingsschakeling is dus driemaal van die van de indi-viduele componenten.

Algemeen geldt:Rtotal = R1 +R2 + ....+Rn

Deze vergelijking kan bewezen worden gebruik makend van de eigenschappenvan de schakeling:

Utotal = U1 + U2 + ....+ Un

Itotal = I1 = I2 = ...In

Door gebruik te maken van de wet van Ohm en de twee bovenstaande vergeki-jkingen kunnen we schrijven dat:

Utotal = R1.I +R2.I + ....+Rn.I

Utotal

I= R1 +R2 + ....+Rn

Rtotal = R1 +R2 + ....+Rn

12

Figure 2: Twee weerstanden in een parallelschakeling.

0.3.2 ParallelschakelingEen parallelschakeling is een elektronische configuratie van componenten of deelschake-lingen waarbij de stroom over de individuele componenten -of deelschakelingen-wordt verdeeld, en de spanning op alle deelcomponenten gelijk is.

Analyse

Figure 3: Stromen in een parallelschakeling.

Door componenten parallel te schakelen, ontstaat een analoog van een nieuwcomponent die wordt voorgesteld door de vervangingsschakeling. Van deze ver-vangingsschakeling kunnen de eigenschappen worden afgeleid uit de individuelecomponentwaarden. De totale stroom in een parallelschakeling is gelijk aan destroom door de verschillende takken van de schakeling heen.

Itotaal = I1 + I2 + ....+ In

De spanning is over ieder deel van de parallelschakeling gelijk.

Utotal = U1 = U2 = .... = Un

Bij parallelschakeling van bijvoorbeeld drie gelijke weerstanden verdeelt de stroomzich gelijkelijk. De stroom door de vervangingsweerstand is dus driemaal zo groot

13

als die door de individuele componenten. De spanning over de vervangingsweer-stand is gelijk aan die van de individuele componenten. De weerstand van devervangingsschakeling is dus een derde van die van de individuele componenten.Algemeen geldt:

1

Rtotal

=1

R1

+1

R2

+ ....1

Rn

De vervangweerstand van een parallelschakeling is dus altijd kleiner dan elkvan de individuele weerstanden. We kunnen deze formule bewijzen door gebruikte maken van de eigenschappen van de schakeling:

Utotal = U1 = U2 = .... = Un

Itotal = I1 + I2 + ....+ In

Door gebruik te maken van de wet van Ohm en de twee bovenstaande formuleskunnen we schrijven dat:

Itotal =U

R1

+U

R2

+ ....+U

Rn

=U

Rtotal

Na vereenvoudigen naar U:

1

Rtotal

=1

R1

+1

R2

+ ....+1

Rn

Indien we slechts twee weerstanden in parallel hebben kunnen we ook schri-jven dat:

Rtotaal =1

1R1

+ 1R1

Vaak wordt de volgende schrijfwijze gebruikt voor parallelschakeling van tweeweerstanden:

Rtotaal =R1.R2

R1 +R2

0.3.3 SpanningsdelerEen spanningsdeler is een schakeling die een elektrische spanning in delen splitst.Het doel is om van een beschikbare spanningsbron, bijvoorbeeld een batterij, eenlagere spanning af te leiden. Dit gebeurt door de spanningsbron over twee of meerin serie geschakelde weerstanden te zetten.

14

0.4 STELLINGEN EN THEOREMA’S

0.4.1 De wetten van Kirchoff.In de elektrotechniek wordt onder de wetten van Kirchhoff een tweetal veel-gebruikte regels verstaan die voortkomen uit de principes van behoud van en-ergie en lading in elektrische kringen. De wetten zijn vernoemd naar de natu-urkundige Gustav Robert Kirchhoff. Deze twee regels werden voor het eerst in1845 beschreven en kunnen worden afgeleid uit de Maxwellvergelijkingen.

Stroomwet van Kirchhoff

Figure 4: Som van stromen in een knooppunt is nul. i1 + i4 = i2 + i3

Uit het principe van behoud van elektrische lading volgt de eerste wet vanKirchhoff, ook wel de Stroomwet van Kirchhoff genoemd. In elk knooppunt ineen elektrische kring is de som van de stromen die in dat punt samenkomen gelijkaan de som van de stromen die vanuit dat punt vertrekken, we krijgen dus i1+i4 =i2 + i3. Hierbij is de afspraak dat inkomende stromen positief worden geteld enuitgaande stromen negatief. Het knooppunt kan stroom opslaan noch afgeven.

Spanningswet van Kirchhoff

Uit het principe van behoud van energie volgt de tweede wet van Kirchhoff, ookwel de Spanningswet van Kirchhoff genoemd. De som van de elektrische potenti-aalverschillen (rekening houdend met de richting) in elke gesloten lus in een kringis gelijk aan nul. Hier dus U = V b − V a. Tekenconventie: Een spanningsbronwordt negatief gerekend als ze de stroom wil laten vloeien in tegengestelde richt-ing van de lus. Een spanningsval wordt positief gerekend als ze optreedt in de

15

Figure 5: Som van spanningen in een gesloten lus is nul. v1 + v2 + v3 = v4.

richting van de rondgangspijl. De richting in een lus wordt bij conventie gekozenen staat los van de lusonderdelen. Het is praktischer om steeds dezelfde richting(bijvoorbeeld rechtsom) te kiezen binnen een lus. De tekens worden dan positiefof negatief bepaald per spanningsbron.

0.4.2 Het theorema van Thévenin.Volgens de Stelling van Thevenin is in een lineair elektrisch netwerk elke combi-natie van spannings- en stroombronnen met weerstanden op twee aansluitpuntenelektrisch equivalent aan één (ideale) spanningsbron met één weerstand in serie.Dit theorema was eerder in 1853 ontdekt door de Duitse onderzoeker Hermannvon Helmholtz, maar werd in 1883 herontdekt door de Franse ingenieur LéonCharles Thévenin (1857-1926).Elk lineair netwerk met spanningsbronnen, stroombronnen en weerstanden

Figure 6: equivalent netwerk volgens Thévenin.

of impedanties is equivalent aan een spanningsbron ter waarde van de openklemspanning in serie met een weerstand of impedantie ter waarde van deinwendige weerstand of impedantie.

16

Berekening

De grootte van de vervangende spanningsbron en zijn serieweerstand worden alsvolgt bepaald:

1. de waarde van de spanningsbron is de spanning op de aansluitpunten zonderverbinding. In praktijk gebeurt dat met toepassing van de spanningsdeler.

2. de vervangende serieweerstand is de open klemspanning gedeeld door dekortsluitstroom. In praktijk gebeurt dat met opeenvolgende toepassing vanserieschakeling en parallelschakeling van weerstanden of impedanties.

Voorbeeld

Om het gebruik van de stelling te verduidelijken volgt een voorbeeld. Om deschakeling hieronder te analyseren, bestaat de eerste stap erin om de open klemspan-ning te bepalen. De volgende stap is om de inwendige weerstand te bepalen.Daaruit volgt het Thévenin equivalent.

Figure 7: stap 0: Oorspronkelijk netwerk.

• In het voorbeeld bepalen we de open klemspanning VAB of Uth:

VAB = V1.R2 +R3

(R2 +R3) +R4

VAB = 15V.1KΩ + 1KΩ

(1KΩ + 1KΩ) + 2KΩ

VAB = 15V.1

2= 7.5V

17

Figure 8: stap 1: De open-klemspanning bedraagt 7,5 Volt.

(R1 wordt hierbij natuurlijk niet meegenomen omdat we over A en B de’open-klem’ spanning uitrekenen, waardoor er geen stroom door de weer-stand R1 zal lopen)

• Vervolgens bepalen we de inwendige weerstand RAB of Rth:

RAB = R1 + [1

R2 +R3

+1

R4

]

RAB = 1KΩ + [1

1KΩ + 1KΩ+

1

2KΩ

RAB = 2KΩ

Figure 9: stap 3: De inwendige weerstand bedraagt 2 KΩ.

18

Figure 10: Het Thevenin equivalent.

0.5 CONDENSATOREN

0.5.1 Lading.

Figure 11: Ladingen op een condensator.

Een condensator kan elektrische lading opslaan. Dit vermogen wordt de ca-paciteit van de condensator genoemd en uitgedrukt in de eenheid farad (symboolF). Een condensator die een lading bevat van 1 coulomb terwijl er een spanningvan 1 volt over de platen staat, heeft een capaciteit van 1 farad.

Het verband tussen de capaciteit C van de condensator in farad, de lading Qin coulomb op de condensator, de spanning U in volt over de condensator wordtgegeven door

C =Q

U

ofQ =

C

U

De energie in Joule van de opgeladen condensator is te berekenen met de definitievan spanning als energie per lading (1V = 1J/1C). Energie is dan spanning maallading. Als we een optelling doen over alle lading met een integraal vinden we

19

Eopgeslagen =∫ Q

q=0Udq

=∫ Q

q=0

Q

Cdq

=1

2.Q2

C

=1

2CU2

=1

2UQ

0.5.2 ParallelschakelingVoor de vervangingscapaciteit Cp bij parallelle schakeling (naast elkaar) van ncondensatoren met capaciteiten C1, ..., Cn worden de afzonderlijke capaciteitenopgeteld omdat de spanningen over de condensatoren gelijk zijn maar de ladingzich verdeelt. De formule wordt als volgt afgeleid. Voor de afzonderlijke conden-satoren geldt in het algemeen

Figure 12: Condensatoren parallelgeschakeld.

C1 =Q1

U1,Q2

U2, ..,

Qn

Un,

over alle condensatoren staat dezelfde spanning

U1 = U2 = ... = Un = U

zodat de totale capaciteit Cp van de parallele condensatoren samen geldt

Cp =Qtot

Utot

=Qtot

U=

∑ni=1Q1

U

of

Cp = C1 + C2 + ....+ Cn

20

0.5.3 Serieschakeling

Figure 13: Condensatoren in serie geschakeld.

Bij de serieschakeling is de lading Q bij elke condensator in serie hetzelfde,de spanningen U daarentegen moeten worden opgeteld:

Qtot = Q1 = Q2 = ... = Qn

maarUtot = U1 + U2 + ...+ Un

De vervangingscapaciteit Cs bij serieschakeling (achter elkaar) van n conden-satoren met capaciteiten C1,C2,..,Cn, wordt analoog aan parallelle weerstandenberekend als de inverse van de som van de inversen van de afzonderlijke ca-paciteiten. Dit is een gevolg van het optellen van de spanningen U van iederecondensator. We krijgen

1

Cs

=n∑

i=1

1

Ci

Uitgewerkt voor twee in serie geschakelde condensators geeft dit

Cs =C1.C2

C1 + C2

0.6 MAGNETISME

0.6.1 InleidingMagnetisme is een eigenschap die bepaalde stoffen bezitten om andere lichamenaan te trekken en die duidelijk verschillend zijn van cohesie-,adhesie-, elektro-statische en gravitatiekrachten.

We hebben duidelijk weer te maken met een krachtwerking zoals in het gevalvan elektrische ladingen. In het geval van ladingen hadden we te maken met eenelektrisch veld, nu hebben we te maken met een magnetisch veld. In het geval vangelijknamige polen stoten deze mekaar af en verschillende polen trekken mekaaraan,zoals het geval was met elektrische ladingen. Wat daarentegen duidelijk ver-schilt met de elektrische lading is dat men twee verschillende elektrische ladingen

21

steeds duidelijk kan aanwijzen en deze dus afzonderlijk kan terugvinden, maar inhet geval van magnetische polen zal men steeds beide tesamen terugvinden en dusbestaan afzonderlijke polen niet. Men heeft steeds een zuidpool en een noordpool.

0.6.2 KrachtwerkingIn het geval van magnetische polen hebben we te maken met een krachtwerkingen weerom heeft men deze krachtwerking in een formule gegoten. Deze formuleis, niet verwonderlijk, sterk gelijkend op deze van de elektrische krachtwerking.

F =m1m2

4πµr2

mi : magnetische poolsterkteµ : magnetische permeabiliteitr : onderlinge afstand

De magnetisch permeabiliteit is gelijk aan het produkt van de permeabiliteitvan het vacuum µ0 en de relatieve permeabiliteit µr. De relatieve permeabiliteitis een stofconstante en hangt dus af van het gekozen materiaal, de permeabiliteitvan het vacuum is een constante gelijk aan 4π10−7 H/m.

De éénheid van poolsterkte is de Weber (Wb).

De Weber is de sterkte van een magneetpool, die in het vacuum, op eenandere magneetpool, geplaatst op één meter afstand, een kracht uitoefent van107/16π2 newton.

Magnetisch veld

We hebben reeds gezien dat er een krachtveld bestaat tussen magnetische polen.Dus moet in de nabijheid van een pool een krachtenveld heersen. Dit veld noemtmen het magnetisch veld. Dit veld kan aanschouwelijk gemaakt worden doorzogenaamde veldlijnen welke steeds van noord naar zuid lopen.

Magnetische veldsterkte

De kracht die een magneetpool in een magnetisch veld ondervindt is niet overaleven groot en hangt dus af van de plaats.

De magnetische veldsterkte in een punt van een magnetisch veld is de krachtuitgeoefend op een elementaire magnetische pool geplaatst in dat punt.

Indien we het magnetisch veld van één enkele magneetpool, met sterkte m,beschouwen wordt de veldsterkte voorgesteld volgens

22

Figure 14: magnetische veldlijnen

H =m

4πµr2

H wordt weergegeven door A/m en is een vectoriele grootheid.

Magnetische inductie

De magnetische inductie is het verschijnsel van het magnetiseren van magnetischematerialen onder invloed van externe magnetische velden.

Deze inductie wordt voorgesteld door B = µH met als éénheid Tesla (T) ofweber per vierkante meter (Wb/m2).

Magnetische flux

We beschouwen een oppervlak loodrecht op de veldlijnen van een uniform mag-netisch veld met veldsterkte M. De magnetische flux is het aantal veldlijnen doorheendat oppervlak. Φ = B.A met als éénheid de weber.

Elektromagnetisme

Iedere stroom wekt een magnetisch veld op en zoals we later zullen zien zal eenveranderend magnetisch veld een spanning opwekken. Deze verschijnselen vallenonder de studie van het elektromagnetisme. Dit wil zeggen dat als een stroom eenmagnetisch veld opwekt er ook een verband moet zijn tussen beide. Dit verbandwordt weergegeven door Fm = w.I . Fm is de magnetomotorische kracht en w ishet aantal windingen van de spoel waar de stroom doorloopt. De veldsterkte H dieuit deze magnetomotorische kracht voortvloeit wordt voorgesteld door H = dFm

dl.

23

Magnetische weerstand

Tussen oorzaak (Fm) van het magnetisch veld en gevolg ( krachtlijnen of eenflux) bestaat er steeds een verband. Dit verband is de magnetische weerstand ofreluktantie Rm en wordt weergegeven door de wet van Hopkinson.

Rm =Fm

Φ

24

Vorm van de veldlijnen rond een stroomvoerende geleider

De magnetische veldlijnen rond een rechte stroomvoerende geleider zijn concen-trische cirkels. De draairichting op de cirkel wordt gegeven door de geleider inde rechterhand te nemen en de duim in de richting van de stroom te houden. Devingers die de geleider vasthouden geven de draairichting aan van het veld.

Figure 15: veldlijnen

Magnetisch gedrag

De studie van magnetisch gedrag zou ons te ver leiden in de moderne fysica enis trouwens voorwerp van onderzoek in tal van domeinen in de fysica. Het komterop neer dat de draai- en tolbeweging (elektronspin)van elektronen rond de kernhiervoor mee verantwoordelijk zijn. Wat voor ons echter wel van belang is, is dater verschillende soorten magnetisch gedrag bestaan afhankelijk van het materiaal.Op gebied van magnetische materialen onderscheiden we drie types.

• Diamagnetische materialen, die zich magnetiseren in tegengestelde zin vanhet extern veld en waarbij µr iets kleiner is dan 1.

25

• Paramagnetische materialen, die zich magnetiseren in dezelfde zin als hetextern veld en waarbij µr iets groter is dan 1.

• Ferromagnetische materialen, die in dezelfde zin magnetiseren als het ex-tern veld en waarbij µr veel groter is dan 1 en waar de magnetisering zichniet lineair gedraagt.

Bovendien vertonen de ferromagnetische materialen zich ook nog eens in ver-schillende klassen

• Hardmagnetische materialen:Deze zijn moeilijk te magnetiseren en te de-magnetiseren en worden toegepast voor de vervaardiging van permanentemagneten.

• Zachtmagnetische materialen:Deze worden relatief gemakkelijk gemagne-tiseerd en gedemagnetiseerd en worden toegepast als kernmateriaal in spoe-len en elektrische machines.

Magnetisering

Zoals gezegd zal ferromagnetisch materiaal zich niet lineair gedragen als het ge-magnetiseerd wordt. Magnetisatie wordt weergegeven in een magnetisatiecurvedie de inductie B weergeeft in functie van het veld H. Deze curve wordt ook weleens de BH karakteristiek genoemd.

Figure 16: magnetiseringskarakteristiek voor (links) para-en diamagnetisch mate-riaal en (rechts) ferromagnetisch materiaal

Als we de veldsterkte vermeerderen en verminderen als we de magnetiser-ingskarakteristiek voor ferromagnetisch materiaal opnemen en we drijven het ma-teriaal steeds sterk in verzadiging krijgen we onderstaande grafiek. Deze grafiekis duidelijk gesloten en noemt men ook de hysteresislus.

We drijven het materiaal tot in punt d en we keren terug door de stroomzinom te keren, dan zien we dat de curve niet terugkeert volgens de oorspronkelijke

26

Figure 17: hysteresislus

curve maar een hogere inductie bezit voor eenzelfde veld.Blijven we de stroom indezelfde zin vergroten tot in punt d′ en keren de stroom daarna terug om zien wedat hetzelfde verschijnsel zich voordoet maar in tegengestelde zin. Er ontstaat duseen gesloten kromme, die men hysteresislus noemt. De oppervlakte is evenredigmet wat men het hysteresisverlies noemt. Dit is het verlies te wijten aan op-warming van het materiaal als het een volledige magnetisering en demagnetiseringdoorloopt in de twee mogelijke stroomzinnen in een geleider.

Wat opvalt is dat er een inductie blijft bestaan als het veld gelijk is aan nul.Dit noemt men remanente inductie.Deze inductie is belangrijk bij het opstartenvan elektrische machines.

Analoog blijft er een veld bestaan als de inductie gelijk is aan nul. Dit noemtmen het coërcitief veld.

0.6.3 Elektromagnetische inductieZoals reeds gezegd zal een verandering van magnetisch veld een spanning op-wekken. Deze spanning noemt men inductiespanning. Dit verschijnsel werd ont-dekt door Faraday in 1831.

27

Inductieverschijnsel

We nemen één winding en we brengen een magneet naar de winding toe.Defluxverandering door het naderen van de de magneet zal een inductiespanningin de winding teweeg brengen. Deze inductiespanning zal zo gericht zijn datde fluxverandering teniet gedaan wordt,met andere woorden de flux in dewinding zal zijn oorspronkelijke waarde proberen te behouden.

Tweede kurketrekkerregel van Maxwell: De schroef van een kurketrekkerwordt gericht in de zin van de flux, wanneer de flux stijgt, schroeft men de kur-ketrekker uit, wanneer de flux daalt, schroeft men de kurketrekker in.De beweg-ingszin van het handvat levert de zin van de opgewekte induktie-emk.

OPGELET:DE WINDING REAGEERT ALS BRON .

Figure 18: inductiespanning

De grootte van die spanning wordt berekend met de wet van Lenz.

e = −N dΦ

dt

N: aantal windingendΦ: verandering van magnetisch velddt: verandering van tijd

Zelfinductieverschijnsel

Een stroom doorheen een spoel, geheel vrij van magnetische interactie, zal zelfeen veld, dus flux, opwekken als de stroom doorheen die spoel verandert. Hierzal men moeten rekening houden met de toestand van de spoel. Deze zal mee inrekening moeten worden gebracht bij het berekenen van de zelfinductiespanning.

e = −Ldidt

28

Dus nu is niet een verandering van veld maar een verandering van stroom oorzaakvan inductiespanning.

De zelfinductiecoefficient wordt als volgt berekend

e = −N dΦ

dt

= −N d(SB)

dt

= −N d(SµH)

dt

= −N d(SµNI/l)

dt

= (−N2Sµ/l)di

dt

Dus de zelfinductiecoefficient wordt voorgesteld door

L =N2Sµ

l

N: aantal windingenµ : magnetische permeabiliteitS: oppervlakte van de doorsnede van de spoell: lengte van de spoel

Figure 19: zelfinductie in een winding

0.6.4 WervelstromenWervelstromen zijn stromen die ontstaan in geleidende materialen waarin mag-netische fluxveranderingen optreden.

29

Deze stromen zullen zoals bij het hysteresisverschijnsel het materiaal opwar-men en dienen ze zoveel mogelijk vermeden te worden.Dit probleem stelt zichexpliciet in de bouw van transformatoren die daarom gelamelleerd worden.

Het verschijnsel werkt als volgt,men heeft een gesloten keten vermits men invol materiaal werkt. Als men een wisselend veld opwekt zullen er zich induc-tiespanningen voordoen. Vermits men in vol materiaal een gesloten keten kancreëren zullen deze spanningen stromen opwekken die dit materiaal opwarmen endus ongewenst zijn.

Figure 20: wervelstromen

0.6.5 Enkele toepassingen van magnetismeElektrische generator

Als we een geleider in een magnetisch veld bewegen of we veranderen een mag-netisch veld rond een geleider, er wordt steeds een inductiespanning opgewekt.Stel nu dat men een draad legt op een rotor en deze draait rond in het magnetischveld dan zal door het veranderend magnetisch veld in deze draad een inducties-panning opgewekt worden. Dit is nu het basisprincipe van een elektrische gen-erator. De zin van de spanning bekomt men met behulp van de rechterhandregel,de grootte door een kleine berekening.We doen de berekening voor één windingin een constant veld. We bewegen de winding loodrecht op het veld.

E = −d(BS)

dt= −d(Blx)

dt= −Bldx

dt= −Blv

palm veldlijnen (B)duim snelheid (v)vingers geinduceerd EMK (E)

Opgelet: de drie componenten moeten loodrecht op elkaar staan.

30

Figure 21: rechterhandregel

Elektrische motor

Als een geleider stroom voert, zal er ten gevolge van deze stroom een magnetischveld opgewekt worden. Als we dus een stroomvoerende geleider in een mag-netisch veld aanbrengen zal er ook een krachtwerking optreden. Stel nu datmen een stroomvoerende geleider op een rotor aanbrengt en deze rotor in eenmagnetisch veld plaatst dan zal ten gevolge van deze krachtwerking de rotordraaien.Dit is de basiswerking van een elektrische motor.

Deze kracht noemt men de Lorentzkracht en de grootte ervan is F = Bli. Dezin ervan wordt gegeven door de linkerhandregel.

Ook in dit geval moeten enkel de loodrechte componenten in rekening ge-bracht worden.

Figure 22: linkerhandregel

31

palm veldlijnen (B)vingers stroom (i)duim kracht(F)

0.6.6 Schakelen van spoelenSerieschakeling

Als we elementen serie schakelen in een elektrisch circuit blijft de stroom doorheende elementen gelijk en de spanningen worden over de elementen verdeeld.

U = Ldi

dt= L1

di

dt+ L2

di

dt

DusLdi

dt= (L1 + L2)

di

dtHieruit volgt dat L = L1 + L2 of meer algemeen

Ls =n∑

k=1

Lk

Parallelschakeling

In het geval dat we n spoelen parallel schakelen wordt de stroom verdeeld en despanning over elke component is dezelfde.

U = Ldi

dt

U1 = L1di1dt

U2 = L2di2dt

di1dt

+di2dt

=di

dtU1

L1

+U2

L2

=U

L

Vermits U = U1 = U2 geldt dat

1

L=

1

L1

+1

L2

Meer algemeen wordt dit1

Lp

=n∑

k=1

1

Lk

32

0.7 OVERGANGSVERSCHIJNSELEN

Als we een condensator of een spoel in een elektrisch circuit schakelen zullen dezebij in- of uitschakelen hoge stromen of spanningen veroorzaken in dit circuit. Naverloop van tijd zal dit overgangsverschijnsel echter niet meer merkbaar zijn enreageren ze respectievelijk als een open keten of een kortsluiting. Het is daaromnuttig om eens te kijken wat er nu eigenlijk gebeurt in zo’n RC of RL circuit.

0.7.1 De RL ketenInschakelen van een keten met spoel

In dit circuit zien we drie componenten namelijk een bron, een spoel en eenweerstand. We passen hier de spanningswet van Kirchoff op toe, m.a.w de span-ning geleverd door de bron wordt opgenomen deels door de spoel en deels doorde weerstand.

U = UR + UL

= Ri+ Ldi

dt

De oplossing van deze differentiaalvergelijking bestaat uit twee delen namelijk

Algemene oplossing: Dit is de oplossing van de differentiaalvergelijking als debronspanning gelijk is aan 0. Dit is de homogene oplossing of homogeendeel. Dit is een oplossing van de vorm eat.

33

Bijzondere oplossing: Dit is de oplossing van de differentiaalvergelijking als debronspanning verschillend is van nul en is in ons geval dus een constantespanning. Dit noemt men de particuliere oplossing of particulier deel. Ditis een oplossing van de vorm B (constante).

We veronderstellen een oplossing van de vorm

i = Aeat +B

.We vullen deze oplossing in om de onbekenden A,C en a te vinden. We

bekomen de vergelijking

Aeat(La+R) +RB = U

Opdat dit de oplossing zou zijn van de differentiaalvergelijking moet deze vergeli-jking voor alle waarden van de tijd opgaan dus moeten de verschillende coefficien-ten ieder op zich 0 zijn. Zo bekomen we het stelsel vergelijkingen

La+R = 0

RB − U = 0

Daaruit volgt a = RL

en B = UR

. Hiermee hebben we slechts twee van de drieonbekenden. Er onbreekt nog een onbekende namelijk A. Om deze onbekende teberekenen moeten we wat men noemt een randvoorwaarde invoeren. Hiertoe steltmen dat in een spoel de stroom niet onmiddellijk kan veranderen. De spoel trachtde flux zo constant mogelijk te houden, m.a.w. de verandering van flux wordttegengewerkt.Wiskundig geformuleerd stelt men i(t=0)=0. Zo verkrijgt men bi-jkomende vergelijking

i = 0 = Ae0 +U

Rwaaruit volgt

A = −UR

Door de gevonden constanten in te vullen krijgt men de vergelijkingen voorstroom en spanning. Voor de stroom krijgt men i = U

R(1 − e−

RL

t) en voor despanning over de spoel UL = Ue−

RL

t

Onderstaande grafiek geeft weer wat er in de tijd gebeurt bij inschakelen vaneen RL keten. We zien duidelijk dat na verloop van tijd er geen spanning meerstaat over de spoel en dat de volledige spanning over de weerstand staat. In hetbegin echter staat de volle spanning over de spoel.

De factor RL

noemt men de tijdsconstante van het systeem, en geeft weer hoesnel, of hoe traag, dit systeem reageert. τL = L

R

34

Uitschakelen van een keten met spoel

Onderstaande figuur geeft het schema van het uitschakelen van een RL keten.

Als we een RL keten uitschakelen krijgen we volgende differentiaalvergelijk-ing.

Ldi

dt+Ri = 0

die op dezelfde manier kan worden opgelost als in vorige paragraaf.De rand-voorwaarde is fysisch dezelfde namelijk de flux blijft constant op tijdstip nul,wiskundig wordt dit i(t = 0) = U

R. Makkelijker is echter de methode van de

35

scheiding der veranderlijken toe te passen. De oplossingen worden

i =U

Re−

RL

t

enUL = −Ue−

RL

t

Deze vergelijkingen leveren onderstaande grafieken op.

36

0.7.2 De RC ketenInschakelen van een keten met condensator

Het inschakelen van een circuit met condensator komt er fysisch op neer dat meneen condensator gaat opladen. Om een RC circuit op te lossen gebruiken wedezelfde techniek als met een RL circuit.

We hebben een spanning UC over de condensator waarvoor geldt

C =q

UC

Anders gesteld is q = c.UC .De ogenblikkelijke stroom is

i =dq

dt= C

duC

dt

Anders gezegd is de stroom evenredig met de verandering van de spanning.Ditkan nog anders gesteld worden namelijk

uC =1

C

∫i dt.

De spanningsvergelijking wordt dan

U = UC + UR

Als we dan de spanningen in functie van de stroom invullen, wordt dit op zijnbeurt

U =1

C

∫i dt+Ri

37

Dit is een integro-differentiaalvergelijking die niet eenvoudig oplosbaar is.Daaromzullen we de zaken pragmatisch aanpakken. We nemen de eerste afgeleide naarde tijd van elke term in de vergelijking en daaruit volgt dan volgende vergelijking

Rdi

dt+

i

C=dU

dt= 0

Deze differentiaalvergelijking is op te lossen met de methode van de scheiding derveranderlijken.

di

i= − 1

RCdt

lni+ A = − 1

RCt

lni+ lnK = − 1

RCt

i = Kexp(− t

RC)

Het enige probleem dat nog overblijft is de constante K. Hiertoe hebben weopnieuw een randvoorwaarde nodig. Men stelt dat de spanning over de conden-sator niet plots kan veranderen dus op tijdstip nul bij het begin van de oplading isde spanning nul. In wiskundige termen UC(t = 0) = 0. Dus op t=0 hebben we

U − UC = Ri0

Met UC = 0 wordt dit U = Ri0 of i0 = UR

.Dit alles invullen in de oplossing vande differentiaalvergelijking levert op

i0 = Ke0 =U

R

De oplossing voor de stroom wordt dus

i =U

Rexp(− t

RC)

Voor de spanning over de condensator bekomen we dan

UC = U(1− exp(− t

RC))

De term RC noemt men de tijdsconstante van de RC keten en geeft weer hoesnel de condensator opgeladen (of ontladen) wordt.

τC = RC

38

Ontladen van condensator

Het ontladen van een condensator komt erop neer dat we kunnen zeggen dat we decondensator gaan gebruiken als bron, daar na opladen de condensator vol ladingzit zoals een batterij na opladen. Dit geeft volgende differentiaalvergelijking

−UC = Ri

ofRi+

1

C

∫i dt = 0

of zoals in vorige paragraaf na afleiden naar de tijd van elke component in devergelijking

Rdi

dt+

i

C= 0

Dit is dezelfde vergelijking als het laadproces en geeft dan ook dezelfde oploss-ing, enkel de randvoorwaarde zal verschillen. Nu is op tijdstip t = 0 de con-densator volgeladen en staat de volledige bronspanning over zijn klemmen, dusUC(t = 0) = U . Op t = 0 wordt dit in termen van stroom −UC = Ri0 ofi0 = −U

RDit levert volgende oplossing op voor de stroom bij ontladen

i = −URexp(− t

RC)

en voor de spanning over de condensator krijgen we dan

UC = Uexp(− t

RC)

Grafisch wordt dit

39

De tijdsconstante

De tijdsconstante drukt in beide gevallen hetzelfde uit namelijk de reactiesnelheidvan het circuit. Als we eens kijken naar het tijdsverloop, met andere woordenhoever is de keten reeds geevolueerd in zijn overgangsverschijnsel dan stellen wevast dat voor de stroom in een RL circuit bij inschakelen we na verloop van ééntijdsconstante we vinden

i = I(1− exp(−ττ

) = I(1− exp(−1)) = I(0.63)

ofwel de stroom is met 63 procent toegenomen sinds het sluiten van de keten.

40

Bibliography

[Wildi, 2006] Wildi, T. (2006). Electrical Machines, Drives, and Power Systems.Pearson Prentis Hall, sixth edition. ISBN 0-13-196918-8.

41