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Matemática 

Matemática II

Ano acadêmico 2015

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Matemática

Integral definida

Ano acadêmico 2015

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Integral definida. 

• Área sob uma curva – Se existe, dizemos que f inte!ráve" em

#a,b$%

 – &uando a fun'(o f cont)nua e n(o*ne!ativa em #a,b$,

a de+ni'(o da inte!ra" de+nida coincide com ade+ni'(o da área% ortanto, neste caso, a inte!ra"

de+nida a área da re!i(o sob o !rá+co

de f de -a. at -b.%

 – /bserva'(o semre que uti"izamos #a,b$ suomos a b%

• Se a3b, ent(o se a inte!ra" 4

direita existir

• Se a6b e f7a8 existir, ent(o,

∫ b

a

dx x f     )(

∫ b

a

dx x f     )(

∫ ∫    −=a

b

b

a

dx x f  dx x f     )()(

0)(   =∫ a

a

dx x f  

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Integral definida. 

9ota'(o ara a Inte!ra" :e+nida

( )b

a f x dx∫ 

"imite suerior deinte!ra'(o

Simbo"o deInte!ra'(o7inte!ra"8

;imite inferior de inte!ra'(o

inte!rando

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Integral definida. 

• roriedades – 18 =%f7x8 inte!ráve" em #a,b$ e

 – 28

 – >8

 – ?8 f7x8 @ !7x8 inte!ráve" e

 – 58

 – 8 Se f7x8 ≤ !7x8 e a ≤ b, ent(o

∫ ∫ =b

a

b

a

dx x f  k dx x f  k    )(.)(.

∫    =a

a

dx x f     0)(

∫ ∫ −=b

a

a

b

dx x f  dx x f     )()(

∫ ∫ ∫    +=+b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f  dx x g  x f     )()()]()([

∫ ∫ ∫ +=b

a

c

a

b

cdx x f  dx x f  dx x f     )()()(

∫ ∫ ≤b

a

a

b

dx x g dx x f     )()(

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Integral definida. 

• Beorema Cundamenta" do Dá"cu"o – Se C7x8 uma rimitiva de f no interva"o #a,b$,

ent(o

)()()()(   a F b F  x F dx x f  

b

a

b

a   −==∫ 

Exemplo : Calcular

∫ 1

0

2dxx

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Integral definida. 

Exemplo : Calcular

∫ 

1

0

2dxx

3

x 3

3

1

3

0

3

1

3

xdxx

1

0

31

0

2 =   

   −=

=∫ 

Uma primitiva de f(x) = x2 é como vimo! "(x) =

 #!!im:

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Integral definida. 

EFEM;/

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Integral definida. C$lculo de $rea!. 

C%&CU&' E %E#*

1.º caso

∫ =  b

adx)x(f A

 # $rea e!t$ toda acima do eixo x ou !e+a f(x) ≥ , para todo x ∈ -a /

ent0o

" : -a / R  e f(x) ≥ , ∀ x ∈ -a /.

a b

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Integral definida. C$lculo de $rea!.

 Exemplo: #c1ar a $rea limitada pela curva = x3 4 5x6 peloeixo 7 e pela! reta! x = , e x = 2.

Solução:  A =∫    +2

0

23 )3(   dx x x

 

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Integral definida. C$lculo de $rea!.

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Integral definida. C$lculo de $rea!.

Exemplo :Calcular a $rea limitada pela curva = 8 x6 4 5x 8 9 peloeixo 7 no intervalo - 5 /.

Solução: 

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Integral definida. C$lculo de $rea!.

3.º caso

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Integral definida. C$lculo de $rea!.

 # regi0o cu+a $rea ;ueremo! calcular e!t$ !ituadaentre dua! curva!.

4.º caso

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Integral definida. C$lculo de $rea!.

Exemplo 4: AcHar a área "imitada e"as curvas 6xJ e 6 x%

π  /

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Integral definida. Exerc

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Integral definida. Exerc

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Integral definida. Exerc

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Integral definida. Exerc

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Integral definida. Exerc

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Matemática 

Matemática II

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