8/19/2019 Aula 1 - Mat. Zero -

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Curso Matemática do Zero

Professor Rodrigo Sacramento

Matemática

Função polinomial do 1° grau ou função afim

Plano cartesiano“O Plano Cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares (dois eixos que formam 4 ângulos de90°) : um horizontal (abscissa) e outro vertical (ordenada)”.

Definição de uma função polinomial do 1°grau ou funçãoafim

É qualquer função f de IR em IR dada por uma lei de formação do tipo f(x) = ax+b ou y = ax+b, em quea e b são números reais dados e a ≠ 0.Sabendo que a é o coeficiente angular ou taxa de variação e ob é o coeficiente linear ou termo independente.

= +

EX.:

1) y = 7x - 4 ( a = 7 e b = - 4 )

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2) y = - 5x + 3 ( a = -5 e b = 3 )

Gráfico de uma função polinomial de 1° grau oufunção afim

O gráfico de uma função afim é uma reta

Observação: Toda função afim é uma reta, mas nem toda reta é uma função afim, pois as

funções do tipo y = b, ou seja, as funções que o coeficiente angular é igual a zero.

Como achar o valor de “b”(coeficiente linear) no gráfico da funçãoy=ax+b?

O valor de b é onde a reta “toca” ou inter cepta o eixo y (eixo das ordenadas).

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Como achar o valor de “a”(Taxa de variação) no gráfico da funçãoy=ax+b?

O “a” é tangente do ângulo de inclinação da reta ( o ângulo de inclinação é o ângulo da direita naparte superior formado pela reta da função e o eixo x ). Com esses dois pares ordenados

( , ) ( , ) podemos achar o “a”,pois ele é:

= =∆∆

=−−

Ex.:

1) O gráfico da função y=ax+b, onde a e b são constantes, passa pelos pontos A(1,6) e B(3,2).Qual étaxa de variação ou coeficiente angular da função?

Resolução:

Com dois pares ordenados da função afim, você consegue achar o valordo “a” e o valor do “b”.

Para achar o “a”, só precisamos de dois pares ordenados da função afim,pois podemos utilizar esse recurso:

=△

△

Com utilizar na prática esse recurso?

Temos dois pares ordenados A(1,6) e B (3,2). Com isso:

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=6 − 21 − 3

= −2

“Se você pegou o primeiro y do ponto A e subtraiu do y do ponto B, então quando fizer o x, temque ser obrigatoriamente na mesma ordem de A para B, porém se pegar o y de B e subtrair do y deA, então deve pegar o x de B e subtrair do x do A ,fazendo isso sempre dará o mesmo resultado .”

=2 − 63 − 1

= −2

Achando o coeficiente angular acabou a questão, pois essa era a pergunta, logo a=-2.

Comentário...Como eu faço para achar o coeficiente linear?

Nós já achamos o coeficiente angular. Então:

= −2 +

Agora é só utilizar um par ordenado qualquer que faça parte dessa função. Utilizaremos A(1,6),lembrando que esse par ordenado está dizendo que x=1 e y=6,então substituindo:

6 = −2.1 + ⟺ 8 = ⟺ = 8

A função é:

= − 2 + 8

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Casos importantes:

a) Função linear

É uma função afim em que b=0, ou seja, y = ax, a ≠ 0, o gráfico passa pela origem (0,0).

b) Função identidade

É uma função afim que apresenta a=1 e b=0, ela fica reduzida a y=x.

(A função identidade é a bissetriz do 1° e 3° quadrantes)

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c) Função constante

Na função constante, como a=0, a expressão y=ax+b fica reduzida a y=b.

d) Translação

f:IR→IR definida por f(x)=x+b para todo x Є IR com a=1 e b≠0(“Simplificando você estará pegando afunção identidade y=x e movimentando ela para cima ou para ba ixo”).

EX.:

1) = + 4

2) = − 6

Valor de uma função afim

( ) = + = +

Lembrando...= ( )

á çã

“Se y está em função de x, quer dizer que y ficará em um lado da igualdade sozinho e o x do outrolado se relacionando com números “. Por exemplo.:

) á çã

= + 7

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) á çã

=4

Ex.:

f (x) = −3x + 5

a) ( 2) = −3. (2) + 5 = −1

b) (−2 ) = −3. ( −2 ) + 5 = 11

Zero da função afim ou Raiz da função afim

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1°grau ( ) = + , ≠ 0, o número real x tal que ( ) = 0.

Detalhe...

f (x) = 0 ⇔ ax + b = 0 ⇒ x = −ba

Então a solução da equação do 1°grau é x = − .

Ex.:

Qual a raiz da função = 4 + 1 0 ?

“Quando pedir o valor da raiz é só zerar o y e achar o valor de x”

0 = 4 + 10 ⟺ −10 = 4 ⟺ −2,5 = = −2,5

= {−2,5 }

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Comentário...

Qual é a função desse gráfico?

Resolução:

= +

= + 2 , pois a reta está interceptando o eixo y no ponto 2.

O 4 onde a reta está tocando o eixo x é a raiz. Lembrando que raiz é o valor de x quando y = 0.Então:

0 = . 4 + 2 ⟺ −4 = 2 ⟺ = −24

= −12

= −12

+ 2

Dica para o Enem:Um motorista de táxi cobra uma taxa de R$ 3,00 pela “ bandeirada” mais R$ 2,00 por quilômetrorodado. Assim, o preço de uma corrida por quilômetros ficará:

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0 Km - Preço: 2.0+3 = 3

1 Km - Preço: 2.1+3 = 5

4 km - Preço: 2.4+3 = 11

X km - Preço: 2.X+3

P = 2x+3 ou y = 2x+3

“Observe que o coeficiente linear é um valor fixo, então em um problema de função afim ocoeficiente linear é aquele valor que não sofre alteração, porém o coeficiente angular sofre alteração,por exemplo, na questão acima conforme aumenta à quilometragem, o coeficiente angular émultiplicado por ela. Fique atento que nos exercícios do Enem deste material teremos questões que

utilizarão essa dica.”

No dia a dia...Ao abastecer um carro de corrida, os mecânicos perceberam que o tanque continha 8 litros decombustível. A bomba injetava 3 litros de gasolina por segundo. Observe:

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0 segundo - Volume: 3.0+8 = 8

1 segundo - Volume: 3.1+8 = 11

2 segundos -Volume: 3.2+8 = 14

t segundos - Volume: 3.t+8

Lembrando que teremos um limite, pois o tanque tem uma determinada capacidade e outras

limitações também para essa função, mas a intenção é mostrar como surge uma funçãonaturalmente.

Importante para o Enem:As variações da função afim são proporcionais, possibilitando ser resolvida por regra de três.

Na prática para o Enem:1) Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10°C foi aquecida até 30°C. O gráfico anteriorrepresenta a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calculeem quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0°C.

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a) 1 minb) 1 min 5 seg

c) 1 min e 10 seg

d) 1 min e 15 seg

e) 1 min e 20 seg

2) ( Enem 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outromunic í pio. Para isso, foi aberta uma licita ção na qual concorreram duas empresas.

A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km constru í do (n), acrescidos de um valor fixo de

R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km constru í do (n),acrescidos de um

valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padr ão de qualidade dos

servi ços prestados, mas apenas uma delas poder á ser contratada.

Do ponto de vista econ ômico, qual equa ção possibilitaria encontrar a extens ão da rodovia que

tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?

a) 100n + 350 = 120n + 150b) 100n + 150 = 120n + 350

c) 100(n + 350) = 120(n + 150)

d) 100(n + 350 000) = 120(n +150 000)

e) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)

3)(Enem 2014) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja,sempre a mesma quantidadede um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar,leva sempre R$ 6,00

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a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesasextras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia

aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata paracomprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada. A quantia queessa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era:a) R$ 166,00.b) R$ 156,00.c) R$ 84,00.d) R$ 46,00.e) R$ 24,00.

4) (Enem 2011) O saldo de contrata ções no mercado formal no setor varejista da regi ão

metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contrata

ções deste setor no m

ês de

fevereiro com as da janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880

605 trabalhadores com carteira assinada.

Dispon í vel em: http://www.folha.uol.com.br

Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado)

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis

primeiros meses do ano.

Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no

setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, aexpress ão alg ébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é:

a) y = 4 300x

b) y = 884 905 x

c) y = 872 005 + 4 300x

d) y = 876 305 + 4 300x

e) y = 880 605 + 4 300x

Gabarito:1) D 2) A 3) B 4) C