Gestar II Mat TP1

7/22/2019 Gestar II Mat TP1

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MATEMTICA

MATEMTICA

TP1

TP1

MatemticanaA

limentaoenosImpostos

Matemtica na Alimentao

e nos Impostos

S i s t e ma N a c i o na l d e F o r m a ode Pr ofissionais da Educ a o Bsic a

IIIIGESTAR


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P r esi dnci a da R epbl i ca

Mi ni st r i o da E ducao

S ecr et ar i a de E ducao B si ca

undo N aci onal de D esenvol vi ment o da E ducao

D i r et or i a de A ssi st nci a a P r ogr amas E speci ai s


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PROGRAMA GESTO DAAPRENDIZAGEM ESCOLAR

GESTAR II

MATEMTICA

CADERNO DE TEORIA E PRTICA 1

MATEMTICA NA ALIMENTAO E NOS IMPOSTOS


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MINISTRIO DA EDUCAOSECRETARIA DE EDUCAO BSICA

FUNDO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAODIRETORIA DE ASSISTNCIA A PROGRAMAS ESPECIAIS

PROGRAMA GESTO DAAPRENDIZAGEM ESCOLAR

GESTAR II

MATEMTICA

CADERNO DE TEORIA E PRTICA 1

MATEMTICA NA ALIMENTAO E NOS IMPOSTOS

BRASLIA2007


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2007 FNDE/MEC

Todos os direitos reservados ao Ministrio da Educao - MEC.Qualquer parte desta obra pode ser reproduzida desde que citada a fonte.

DIPRO/FNDE/MECVia N1 Leste - Pavilho das Metas

70.150-900 - Braslia - DFTelefone (61) 3966-5902 / 5907

Pgina na Internet: www.mec.gov.br

IMPRESSO NO BRASIL


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Apresentao......................................................................................................7

PARTE I

Apresentao das unidades...................................................................................11

Unidade 1:Explorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentao..........13Seo 1: Integrando a matemtica ao mundo real: estudandoproporcionalidade na alimentao dos animais..........................................................15Seo 2: Construo do conhecimento matemtico em ao:

exploraes matemticas no campo conceitual da proporo.......................................22Seo 3: Transposio didtica: convidando os alunosa analisarem matematicamente sua sade..................................................................37

Leituras sugeridas................................................................................................... 43Bibliografia........................................................................................................... 44Texto de referncia Resoluo de problemas...........................................................45Solues das atividades........................................................................................... 55

Unidade 2:Alimentao para a sade ......................................................................59

Seo 1:Situao-problema Alimentao versus carncia alimentar:uma questo meramente biolgica?.........................................................................60Seo 2: Construo do conhecimentomatemtico em ao: nmeros e lgebra...................................................................64Seo 3: Transposio didtica: pesquisando o consumode ferro na nossa alimentao..................................................................................80

Leituras sugeridas................................................................................................... 85Bibliografia........................................................................................................... 86Texto de referncia Teoria dos campos conceituais..................................................87

Solues das atividades........................................................................................... 95Unidade 3: Imposto de Renda e Porcentagem...........................................................101Seo 1: Resoluo de situao-problema: o conceito deporcentagem relacionado ao Imposto de Renda........................................................102Seo 2: Construo do conhecimentomatemtico em ao: porcentagem.........................................................................108Seo 3: Transposio didtica: impostos e porcentagens...........................................129

Leituras sugeridas................................................................................................. 139Bibliografia......................................................................................................... 140

Texto de referncia Currculo de matemtica em rede............................................141Solues das atividades......................................................................................... 149

Sumrio


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Unidade 4: Impostos, grficos, nmeros negativos.....................................................157Seo 1: Resoluo de situao-problema:Impostos e carga tributria Clculos e Porcentagens................................................158Seo 2: Construo do conhecimento matemtico em ao:representao de dados em grficos de barras e circulares.

Nmeros negativos e traado de ngulos.................................................................170Seo 3: Transposio didtica: grficos de barras e circulares,traado de ngulos e nmeros negativos.................................................................182

Leituras sugeridas................................................................................................. 189Bibliografia......................................................................................................... 190Texto de referncia Transposio Didtica:O professor como construtor de conhecimento.......................................................191Solues das atividades......................................................................................... 199

PARTE IISocializando o seu conhecimento e experincias de sala de aula.................................205

PARTE III

Sesso Coletiva 1............................................................................................211Sesso Coletiva 2................................................................................................. 216Anexos.........................................................................................................225


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Apresentao

Caro Professor, cara Professora:Ao iniciar este mdulo importante que voc tenha uma viso mais ampla da propostade Matemtica, como esto estruturados os mdulos em unidades e estes em sees. necessrio, caro professor, que voc v se situando, momento a momento, nos diferentesestgios e circunstncias da proposta.

Primeiro reconhecimento que voc far que a matemtica se apresenta na pro-posta impregnada em diferentes aspectos da vida real e em situaes significativas. Umsegundo reconhecimento imediato da provocao do desenvolvimento dessa viso dematemtica junto aos seus alunos.

Este trabalho foi elaborado, com carinho e muita dedicao, pensando em voc,nos seus interesses, nas suas necessidades e nas suas dvidas e facilidades. A idiacentral que conduziu a produo da equipe foi, a todo momento, que tipo de propostalevar a voc que possa ser de real valor para ajud-lo a melhor desenvolver seu trabalhopedaggico em matemtica nas sries finais do ensino fundamental.

Sem dvida, trata-se de uma proposta muito abrangente quando vemos que sedestina a professores de diferentes regies do nosso Brasil. Por isso, foi importante nossavivncia com formao de professores, nos mais diferentes espaos geogrficos, para quea proposta se aproxime o mximo possvel dos seus interesses e necessidades.

Pensar na qualidade do trabalho pedaggico em sala de aula em Matemtica re-quereu num duplo pensamento: de um lado, no prprio fazer matemtico do professor,ou seja, o quanto de matemtica e que tipo de matemtica precisamos saber para desen-volvermos um bom trabalho; de outro lado, no fazer pedaggico, do como trabalhar amatemtica com nossos alunos.

Essa preocupao fez com que a proposta fosse estruturada a partir de trs eixos:

Conhecimentos matemticos: um convite ao fazer matemtico.

Conhecimentos de Educao Matemtica: um convite leituras, reflexes e dis-

cusses acerca do tema. Transposio Didtica, que implica conhecimentos para a sala de aula.

Cada caderno ser composto de 4 unidades, sendo que em cada unidade vocencontrar conhecimentos relacionados aos trs eixos.

Os conhecimentos matemticos para voc, professor do GESTAR,sero desenvol-vidos em dois momentos:

A Na seo 1 de cada unidade, ao vivenciar a resoluo de uma situao-problema como uma estratgia para mobilizar conhecimentos matemticos j conheci-

dos ou buscar outros que emergem naturalmente no contexto.B Na seo 2, pela construo de conhecimentos matemticos em ao, na qual,

a partir da situao-problema da seo 1, procuraremos buscar e elaborar procedimentose conceitos matemticos envolvidos.


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Os conhecimentos matemticospara os alunos sero desenvolvidos na seo 3.Educar envolve muito mais que preparar uma boa aula, estruturar atividades e apresen-tar um contedo de forma organizada. Voc, professor, precisa estar afiado tambmem outros aspectos da Educao Matemtica: o contrato didtico, as novas dimen-ses do currculo, o papel das interaes dos alunos entre si e com o professor em sua

aprendizagem...So estes assuntos que compem o segundo eixo de estruturamento dos mdulos

de matemtica do GESTAR, o eixo Conhecimentos de Educao Matemtica, e sobreos quais vamos conversar em dois espaos:

A No Texto de Referncia que aparece ao final de cada unidade e

B Em pequenos textos que podem surgir nas sees 2 e 3, que aparecem emquadros com o ttulo Aprendendo sobre Educao Matemtica.

Nestes dois espaos voc vai encontrar estes assuntos sistematizados textualmente.

Mas esperamos que voc aprenda sobre educao matemtica tambm na prtica, aolongo de toda a unidade. Como se dar isto?

Ao iniciarmos cada Unidade com uma situao-problema, j estamos fazendo quevoc vivencie um novo modo de aprender matemtica, a partir de situaes do mundoreal e que, para sua soluo, requerem a busca e a construo de conhecimentos mate-mticos. Essa busca e construo ocorrem, portanto, a partir de necessidades geradaspor uma situao real, e no impostas dentro de uma concepo linear de currculo.

Ou seja, os mdulos do GESTAR fazem uso de teorias de Educao Matemticapara ajud-lo a crescer em sua relao com a matemtica e no modo como voc a utiliza

em sua vida. Vivendo, na prtica, um processo de Educao Matemtica, e aprendendomais sobre essa rea do conhecimento nos quadros e no Texto de Referncia, vocpoder entender e ajudar a construir a Educao Matemtica de seus alunos.

Os conhecimentos relativos ao terceiro eixo de estruturao dos mdulos, a Trans-posio Didtica, aparecem sempre na seo 3. Ela visa a ajud-lo a conhecer e produ-zir situaes didticas que facilitem o desenvolvimento, em sala de aula, de conheci-mentos matemticos vistos nas sees 1 e 2.

Portanto, as sees 1 e 2 so voltadas para o seu processo de Educao Matem-tica. A seo 3 procura ajud-lo em um dos aspectos da Educao Matemtica de seus

alunos: o modo como voc poder fazer, em sala de aula, a Transposio Didtica, doscontedos matemticos que voc trabalhou nas sees 1 e 2.

Ns quatro esperamos fielmente que este caderno provoque momentos de dvidas,desafios, aventuras e, acima de tudo, alegria e satisfao diante da oportunidade deexpandir seus limites realizando novas e interessantes aprendizagens. Um bom trabalhoe at breve!

Ana Lcia, Celso, Cristiano e Nilza


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Unidade 1 Unidade 2

Unidade 3 Unidade 4

PARTE I

TEORIA E PRTICA 1


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GESTAR II

TP1 - Matemtica

Caro professor, cara professora:Iniciar novos caminhos sempre um bom momento em nossas vidas. Ainda mais se

comeamos a caminhada com vontade e disposio, esperando encontrar coisas e pes-soas interessantes, que nos ajudaro a aumentarmos nosso conhecimento, modificarmosnossa viso do mundo e desenvolvermos nossas competncias para um saber viver euma atuao profissional melhores.

sempre bom conhecermos, de antemo, a rota que vamos percorrer. No TP1, elacompreende quatro etapas: as Unidades 1, 2, 3 e 4, todas com temas relevantes paranosso viver no mundo atual. Vrios deles articulam-se a Temas Transversais dos Parme-

tros Curriculares Nacionais (PCN) de 5a

a 8a

sries.As unidades so interligadas, duas a duas.

O tema central das duas primeiras a questo da boa alimentao, condioessencial de vida e de sade. A Unidade 1 aborda a alimentao dos animais, em geral.A Unidade 2 aborda a alimentao do ser humano.

J as duas unidades seguintes tratam de impostos, algo de que nenhum cidadoescapa, voc sabia disso? A unidade 3 gira em torno do Imposto de Renda; a Unidade 4,em torno de impostos em geral.

Cada uma delas inicia-se com uma situao-problema relacionada a esses temas.Isso no estimulante? Partir de problemticas importantes e usar a matemtica pararesolver situaes-problema relacionadas, fazendo hipteses, tentativas, remexendo emconhecimentos que j vimos e buscando outros.

Neste TP1, os conhecimentos envolvidos nas situaes-problema e desenvolvidosnas Unidades so bsicos para a matemtica da 5a 8a srie.

Assim, nas Unidades 1 e 2 sero tratados medidas e decimais, reas e volumes,razo, proporcionalidade, escalas, tabelas e grficos e equaes.

Nossa! Mas, se tanta coisa foi tratada nas duas primeiras unidades, talvez seja bomvoltar a alguns deles e discuti-los mais pausadamente, concorda?

o que acontece nas Unidades 3 e 4. Levaremos um tempo, na Unidade 3,esmiuando o conceito de porcentagem, desenvolvendo aspectos novos relacionados a

Vem, vamos embora, que esperar no saberQuem sabe faz a hora, no espera acontecer

Caminhando - Pra No Dizer que No Falei das FloresGeraldo Vandr


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esse conceito. Depois, trataremos dos nmeros racionais e irracionais, propores eregra de trs, razes de semelhana. Na Unidade 4, surgiro grficos no cartesianos,nmeros negativos e ngulos.

Ao final de cada Unidade, temos um presente para voc. Procure um canto solit-

rio e uma hora em que lhe d vontade de pensar sem ningum para atrapalh-lo.Mergulhe no texto de Educao Matemtica do final de cada unidade. Deixe seu pensa-mento ir e voltar do texto para a sua prtica, muitas vezes.

Veja o nome de cada texto :

Resoluo de Problemas.

Teoria dos Campos Conceituais.

Currculo de Matemtica em Rede.

Transposio didtica - O professor como construtor de conhecimento.

No d vontade de abrir logo o presente? Boa caminhada a voc e a ns todos!


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Unidade 1

Vamos desenvolver nossas atividades a partir de um assunto de alta relevncia: anecessidade de uma boa alimentao como condio essencial de vida e de sade.

Assim, voc est recebendo um material cujo objetivo harmonizar os contedos abor-dados neste caderno de Teoria e Prtica (TP) e articular os temas escolhidos na constru-o das situaes-problema e na transposio didtica. Logo, as unidades iniciais desteTP estaro estruturadas em torno da temtica alimentao.

A primeira unidade ser dedicada a situaes que dizem respeito alimentao dosanimais em geral, e explora o quanto um animal come e o quanto precisaria comer parater sade, e explora situaes nas quais a produo de alimentos torna-se um ramo deinteresse tanto da economia como da ecologia.

Na segunda unidade, ser explorado o tema alimentao do ser humano,

mais especificamente as necessidades nutricionais, assim como a carncia de ferrono organismo decorrente de uma m alimentao. Assim, veremos que a qualidadeda alimentao diz respeito no apenas quantidade ingerida, mas tambm quali-dade dos alimentos, em especial seus nutrientes. Esse enfoque ser trabalhado naunidade seguinte quando o tema da situao-problema ser a qualidade da alimenta-o dos brasileiros.

um assunto repleto de conhecimentos no s fsicos e qumicos, mas, comovimos acima, de conceitos matemticos que nos possibilitam uma explorao de situa-es interessantes. Conceitos centrais que sero tratados nesse tema alimentao so

equaes, rea e volume, tratamento de informaes, medidas e decimais (comparaoe operao). Esta unidade est organizada em trs sees:

1. Resoluo de situao-problema

Na resoluo da situao-problema, a partir de um texto sobre a alimentao dealguns animais, poderemos refletir sobre a questo de proporcionalidade apoiadosobre diferentes formas de registro de informaes matemticas, em especial a lingua-gem dos grficos.

Sero vitais conceitos matemticos para a resoluo da situao tais como a idiade escala e, portanto, de razo. A situao-problema ser um bom gancho para umaprimeira explorao de conceitos de porcentagem que sero aprofundados em unidadesposteriores.

Iniciando anossa conversa

Explorando conceitos matemticos

numa discusso sobre alimentaoCristiano Alberto Muniz


16/241TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte I

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2. Construo do conhecimento matemtico em ao

A partir das provocaes iniciadas na situao-problema, em especial envolvendoconceitos matemticos ligados noo de proporcionalidade, voc ter uma importan-te oportunidade, professor, de revisitar alguns conceitos e alguns procedimentos, ou

mesmo construir novos conhecimentos e sistematizar outros, os quais podero, quemsabe, ajudar a conceber formas mais adequadas de resolver a situao-problema pro-posta na seo 1.

A partir dessa situao e do contedo central, teremos a oportunidade de mobilizarconceitos sobre medidas de comprimento, de superfcie, de volume, de massa, de capa-cidade, de tempo, de ngulos, alm da explorao de figuras espaciais. A explorao deorganizao de informaes em tabelas e grficos ser uma constante ao longo da pro-posta desta unidade.

3. Transposio didtica

Aps suas prprias experincias e aventu-ras matemticas propiciadas pelas ativida-des propostas nas sees 1 e 2, hora devoc, professor, pensar na sua prtica desala de aula: do que foi vivenciado, o quepodemos levar para seus alunos, com asdevidas adaptaes?

Continuando a idia de propor ati-vidades, como foi feito nas sees ante-riores, continuare-mos a convid-lo arealizar atividades,mas, agora, dife-rente!!!! As ativida-des so propostas deida sala de aula,para experimentar

tais aventuras mate-mticas junto comos alunos, procurando observar e regis-trar os resultados para uma futura discus-so com os demais professores colegasque tambm participam do GESTAR.

Nesta primeira unidade o convite serde levar para a sala de aula experinciasenvolvendo medidas, organizando as in-formaes em tabelas e grficos. A partir

das informaes obtidas, explorar a idiade valor mdio. A explorao de fr-mulas em situaes significativas para osalunos ser igualmente proposta.

A seo termina com um pequenotexto sobre a noo de esttica que po-der ser levado aos alunos para discus-so da temtica.

Todas as unidades sero seguidas deum Texto de Referncia que tem por ob-jetivo focalizar as bases tericas em Edu-

cao Matemtica que do sustentaoao trabalho e que merece leitura e refle-xo do professor.

Caro professor,no deixe de ler oTexto de Referncia,pois ele muito im-portante na sua for-mao no campo

da Educao Mate-mtica, sendo pro-duzido ou selecionado por ns pensan-do especialmente em voc. Os textostrazem snteses importantes que voc sobteria lendo muitos e variados textos.O nosso texto d a voc uma primeiraviso sobre temas de alta relevnciapara o ensino de matemtica.

Nesta unidade o Texto de Refern-

cia trata da importncia da resoluo desituaes-problema para a aprendizagemsignificativa da matemtica.

Do que foivivenciado, o que

podemos levar paraseus alunos, com as

devidas adaptaes?


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Ao longo desta unidade, esperamos que voc possa estar constituindo conheci-

mentos como:1 Com relao ao seu conhecimento de contedos matemticos:

Identificar os conceitos de volume, de medidas, de tratamento de informaes, denmeros decimais, equaes em que estes possam servir de base para a construo deprocedimentos para tomada de decises e resoluo de situaes-problema inseridos nocontexto de alimentao.

2 Com relao aos seus conhecimentos sobre Educao Matemtica:

Caracterizar situaes-problema, campo conceitual, currculo em rede e o fazer

matemtico do aluno.3 Com relao sua situao em sala de aula:

Conhecer e produzir, com relao aos temas tratados, situaes didticas adequa-das srie em que atua envolvendo medidas, tabelas, grficos e mdias, noo dengulos e figuras geomtricas.

Definindo onosso percurso

Seo 1

Integrando a matemtica ao mundo real:estudando proporcionalidade na alimentao dos animais

Esperamos que ao longo desta seo voc possa, resolvendo uma situao-proble-ma, mobilizar e desenvolver conhecimentos relacionados a:

Reconhecimento da matemtica no mundo dos alimentos e da sade: mobilizarconceitos de nmeros decimais, rea, volume, equaes, porcentagem e medidas naresoluo de situao-problema, permitindo o desenvolvimento de um pensamento crti-

co frente a situaes envolvendo questes de alimentao e sade. Reconhecimento da existncia de um campo conceitual de nmeros e propor-

es numa situao envolvendo o tema alimentao.

Objetivoda seo



Integrando a matemtica ao mundo real: estudando proporcionalidade na alimentao dos animais

Seo1

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Veja o texto abaixo:

Os animais so curiosos pelas suas interessantes dietas e padres de alimentao.Por exemplo, o urso pardo um animal muito temido pelo seu tamanho e fora,ainda que prefira comer frutas. E embora o urso polar possa comer quase 20% do

peso do seu corpo durante uma refeio, ele pode fazer esta refeio de seis em seisdias. Veja a seguir algumas informaes sobre a quantidade de comida que diferentesanimais comem normalmente:

O urso polar macho pode pesar mais do que 680kg e poder comer cerca de 68kgdurante uma refeio de 30 minutos, isto significa que ele necessita em torno de 11kgdirios, j que faz suas refeies a cada seis dias.

Um morcego pesa cerca de 28g e poder comer 28 gramas de comida por dia.

A abelha rainha pesa cerca de 0,113 grama mas poder comer cerca de 9 gramas

de comida por dia quando est pondo ovos. Em mdia, um tigre pesa cerca de 227kg e pode comer cerca de 35kg de carnenuma nica refeio. Em compensao, os tigres esperam vrios dias para atacar umanimal e fazer uma nova refeio, ento ele utiliza, em mdia, 6,4kg de comida paramanter sua energia corporal.

Em mdia uma hmster fmea pesa cerca de 100g e consome cerca de 11g decomida por dia.

Um elefante normalmente pesa 4,1 toneladas e come cerca de 180kg de comidapor dia.

Em mdia um beija-flor pesa cerca de 3,1g e deve comer cerca de 10 minutosdurante um dia. O beija-flor dever consumir aproximadamente 2g de comida por dia.

(Traduo livre Animals as our Companions, Words Largest Math, NCTM)

Resoluo de situao-problema:proporcionalidade na alimentao dos animais

Voc acredita nisto? Que uma abelha rai-nha pode comer mais que um elefante? Maisque um urso polar ou tigre? E mais, ummorcego come mais do que um elefante,tambm.

Ento a manchete ao lado precisa seranalisada com cuidado, j que a abelhacome mais do que o urso se estabelecer-mos uma relao entre o peso daquilo quecome com o seu peso.


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Explorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentao

Unidade

1

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Atividade 1

Vamos analisar os dados construindo um grfico de barras no qual uma das barras

apresente o peso mdio do animal (para cada um apresentado no texto) e a outra, aquantidade de comida de que ele precisa diariamente.

Ao fazer as representaes voc deve ter observado que, por estar trabalhando comanimais de tamanhos to diferentes, fica difcil apresentar num mesmo eixo de sistema decoordenadas o peso de todos os animais (por exemplo, o peso do elefante e o daabelha). Dessa forma, seria interessante agruparmos os animais maiores em um grupo eos menos pesados em outro grupo.

Com os animais separados em dois grupos, pode-se fazer uma representao grfi-ca em quilos e outra em gramas. Dessa forma, estaremos utilizando escalas diferentes.

Articulandoconhecimentos

Escala: pode ser definida com uma razo entre dois nmeros, dois valores oumedidas. A escala dada por um nmero, indicando a relao entre os dois termosconsiderados, e desprovido de uma grandeza, sendo portanto um nmero puro, indicaquantas vezes um est em relao ao outro. A escala muito usada no desenho, comoem redues e ampliaes, em croquis, plantas e mapas, muito til em navegao e nascincias de forma geral. Nas artes, na msica, na culinria e no artesanato encontramosa presena da escala, apesar de muitas vezes as pessoas no tomarem conscinca de talpresena e de sua importncia.

A representao grfica de escalas uma constante no nosso dia-a-dia, ou seja,sobretudo nos mapas e em plantas, nos quais, por meio da definio de segmentos e suamedio, podemos encontrar a relao existente nas distncias no desenho com as

Peso

Animal

Animais maiores Animais menores

Urso polar Morcego

Tigre Abelha rainha

Elefante Hmster

Beija-flor




Seo1

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Para uma melhor idia de esca-la, caso tenha dvidas sobre o seu con-

ceito, mea com uma rgua centime-trada (graduada em centmetros e emmilmetros) o desenho da figura aolado, e reproduza a tartaruga aumen-tando proporcionalmente trs vezessuas dimenses. Assim, diramos quea escala seria de 1:3, ou seja, cadacentmetro do desenho abaixo repre-sentar 3 centmetros do seu desenho.

distncias reais. Um uso mais complexo das escalas est presente nos grficos, muitopresente hoje nas mdias, sendo importante ao leitor crtico levar em conta as escalasutilizadas para que possa ter uma compreenso adequada do fenmeno representadograficamente.

Nos mapas antigos observa-se que as escalas utilizadas no respeitam as reaisproporcionalidades das diferentes regies, apresentando um desequilbrio entre asdimenses. Esse desequilbrio tem um forte cunho poltico, uma vez que a represen-tao influenciada mais pelas condies econmicas e polticas do que pelas decunho geofsico.

A escala enquanto razo e sua representao grfica ser objeto de estudo aolongo deste programa do GESTAR.


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Unidade

1

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Atividade 2

Refaa a representao dos grficos em escalas diferentes, apropriados a cada

um deles.

Veja que o desenho em escalas diferentes nos permite melhor analisar os resultadose os dados. Observando os grficos, comparando a quantidade de comida com o pesodo animal, responda s perguntas:

1 Qual animal come mais?

2 Qual animal come menos?

3 Dentre os animais menores, qual come mais? E menos?

4 Dentre os animais maiores, qual come mais? E menos?

Voc pode perceber que fazer essa anlise em relao representao grfica no ainda uma tarefa simples, pois a comparao deve ser feita observando-se a diferenaentre o peso do animal e o quanto come. Ento qual seria uma estratgia melhor paraanalisar os dados? Uma boa estratgia usar uma mesma comparao vlida para osanimais, tal como comparar a diferena em relao a 100kg para os animais mais pesa-dos e 100g para os animais menores.




Seo1

20

Claro que essa comparao poderia ser feita em relao a 1.000kg (ou 1.000g) ou10kg (ou 10g). Isso vai depender do referencial que se queira. Compararemos em rela-o a 100, uma vez que na matemtica j temos o conceito porcentagem que representauma comparao em relao a 100.

Atividade 3

Vamos organizar os dados acima em uma tabela para podermos analisar melhor.Na primeira coluna, coloque o peso mdio de cada animal; na segunda, o quanto decomida precisa aproximadamente por dia; na terceira coluna, tente fazer o clculo men-talmente e registre. Na ltima coluna, use uma calculadora e calcule qual porcentagemrepresenta um dia de alimentao a partir do seu peso.

Veja o primeiro exemplo:

Ateno!

Caro professor, esperamos que tenha notado que os dados da alimentao dos ani-mais referem-se a doses dirias; porm, no caso do tigre, isso no verdade, o quevai influenciar nas respostas. Caso no tenha prestado ateno a esse fato, volte

situao e verifique os dados de cada animal.

ANIMAL PESO MDIO COMIDA/DIA % ESTIMADO PORCENTUAL

Urso polar 680kg 11kg 1,5%

Morcego

Abelha rainha

Tigre

Hmster

Elefante

Beija-flor

A porcentagem um conceito que mostra uma razo e ser objeto de estudo aolongo deste TP e em outras unidades dos demais Cadernos de Teoria e Prtica.



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Unidade

1

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Agora seria interessante fazermos um grfico de coluna, no qual o eixo horizontal(das abscissas) registre os diferentes tipos de animais da tabela, e no eixo vertical (dasordenadas) sejam registradas as porcentagens. Para tanto, importante que no eixovertical o intervalo de valores (entre o mximo e o mnimo) possibilite que consideremostodos os valores percentuais encontrados na tabela anterior.

Atividade 4

Quanto de comida voc come por dia em relao ao seu peso? Que tal voc fazeruma estimativa do quanto voc come?

Faa tambm a anlise de seu estado de sade relacionando a proporo entre oseu peso e a quantidade de comida consumida diariamente por voc. Quanto qualida-de da nossa alimentao, isso ser tema de discusso na Unidade 2 deste TP. Conside-rando essa razo entre o que voc come e seu peso corporal, podemos dizer que voccome proporcionalmente como um elefante, tigre, urso, hmster, beija-flor, morcego ouabelha rainha?

Caro professor, devemos perceber que as atividades iniciais desta Unidade noslevam a tratar de um conjunto de conceitos matemticos que aparecem nas situaese no processo de resoluo integrada, de tal modo que um conceito perpassa outro,com procedimento envolvendo mais do que uma nica idia matemtica. Tal fato ficamais evidenciado ao vermos que, ao trabalharmos com propores, acabamos porlidar com idias de mltiplos, ordem de grandeza, razes, diviso, escalas, medidas,fracionamentos do inteiro e representaes grficas, dentre outros. Esses conceitosmatemticos coexistem em situaes de proporcionalidade, todos eles articuladosentre si. Essa coexistncia entre os conceitos e as situaes determina o que defini-mos como campo conceitual. Um campo conceitual composto por um conjunto de

conceitos que se entrelaam de forma que um conceito delineia e implica outro. Umcampo conceitual permite ao professor constatar de que forma e em que medida agirsobre um conceito (por exemplo, tratar o conceito proporo) implica agir sobreoutros a ele conectados, como o de multiplicao.

Aprendendo sobre Educao Matemtica



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Seo 2

Construo do conhecimentomatemtico em ao: exploraesmatemticas no campo conceitual da proporo

Esperamos que ao longo desta seo voc possa:

Revisitar seus conceitos de medidas, rea, volume, mdia, grficos, frmu-las e equaes.

Caracterizar campo conceitual.

Objetivoda seo

A situao-problema proposta na seo anterior permitiu que voc utilizasse vriosconceitos e temas matemticos. Assim a matemtica foi utilizada como uma ferramentapara interpretar e resolver a situao.

A proposta deste curso que os temas matemticos sejam trabalhados em REDE.Assim os contedos no seguiro, a priori, a ordem curricular a que estamos acostumados.

Nesta segunda seo estaremos estudando mais profundamente alguns temas mate-

mticos que voc utilizou para resolver a situao-problema. Alguns temas voc, inclusi-ve, deve trabalhar com seus alunos em sala de aula. Portanto, o momento de reverconceitos, reforar definies e, assim, poder at mesmo reformular algumas das suasprticas. Bom trabalho!

Ao final desta seo voc dever:

ter estudado unidades de medidas de superfcie e capacidade, observando suas rela-es e aplicabilidade;

caracterizar a utilizao mais adequada de alguns grficos estatsticos para apresenta-o de resultados.

Atividade 5

O Brasil possui uma grande criao de bovinos. Um dos motivos para isso , almde um clima e relevo altamente favorveis, a existncia de grandes reas para formaode pastos. Segundo informaes conseguidas na internet, um boi deve pesar de 400kg a480kg para ser abatido, e em poca de seca ele deve comer de 20kg a 25kg dirios deuma mistura feita de cana-de-acar e uria.

Analisando o peso mximo de 480kg e a alimentao diria de 25kg, quais dosanimais analisados na atividade 1 comem proporcionalmente o que o boi consome pordia em relao ao seu peso?


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Unidade

1

23

Atividade 6

Falar sobre a alimentao de bovinos uma questo sria, dado que esse um tipo

de carne que ns consumimos com muita freqncia. Por exemplo, voc sabia que adoena denominada de vaca louca surgiu porque os criadores de bovinos comearama usar restos de carne de bois na alimentao do gado?

O boi um animal que tipicamente se alimenta de vegetais, herbvoro. Para agilizara sua engorda, os criadores acrescentam carne na dieta dos animais, proporcionando umaengorda mais rpida. Porm, por ser um animal no adaptado a esse tipo de alimentao,os bovinos comearam a apresentar algumas anomalias, como a doena da vaca louca.

Por isso, todo cuidado na criao e confinamento dos animais importantssimo.Por exemplo, qual seria uma rea ideal para o confinamento bovino para uma criao de

100 animais?Intuitivamente, qual rea voc consideraria suficiente? Vamos pensar:

Qual rea voc acha que cada animal precisaria para seu bom desenvolvimentonum processo de confinamento? Quanto de comprimento e largura voc acha que o boipode ter? Qual rea ocuparia esse boi? Deveria existir uma rea livre para eles deitarem?Mos obra! Faa os clculos!

Veja algumas orientaes sobre o confinamento de bovinos:

As instalaes para confinamento de bovinos de corte devem ser bastante sim-ples, funcionais, principalmente visando s dificuldades ainda existentes no Brasilpara a prtica, de modo que um investimento inicial alto, com instalaes sofistica-das, colocaria em risco o sucesso do empreendimento. Ressalta-se aqui que, nemsempre, sofisticao se traduz em praticidade. Tem sido observado em determinadasregies do pas aproveitamento de galpes ociosos (em determinada poca do ano)como local para beneficiamento de cereais, abrigo para animais etc., com bom resul-tado econmico para a finalidade proposta, de acordo com a regio.

Dependendo do nmero e do tipo de animais, do regime de alimentao, doperodo do confinamento, existem diversos sistemas de confinamento, a cu aberto,

parcialmente coberto, fechado ou curral coberto.Sistema a Cu Aberto: Esse sistema consiste de instalaes simples, nas quais os

bebedouros e os cochos podem ser distribudos ao longo das cercas ou dentro doscurrais (no centro), dependendo do tamanho e da localizao, a fim de facilitar omanejo da alimentao. A rea prxima aos cochos e bebedouros deve ser revesti-da, de alguma forma, para impedir a formao de lama, dificultando, assim, oacesso dos animais.

A rea necessria para esse sistema de confinamento de 10m2 a 14m2 poranimal. A prtica ensina que no se deve encerrar mais que 150 a 200 animais por

instalao ou piquete.Sistema Parcialmente Coberto: As caractersticas desse sistema so as mesmas do

curral a cu aberto, com exceo dos cochos para a alimentao, que so cobertos,



Construo do conhecimento matemtico em ao: exploraes matemticas no campo conceitual da proporo

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24

e uma cobertura de cama para os animais, que pode ser prxima aos cochos. Acobertura do cocho deve ter pelo menos 3,5m de largura, com o objetivo de projetaruma proteo sobre o calamento.

Sistema Fechado ou Curral Coberto: Nesse sistema, os animais so confinados

no sentido restrito da palavra, ou seja, so colocados em pequenas reas, limitando-se a se movimentar entre a procura de alimento e gua. A rea necessria para essetipo de confinamento de 4m2 por animal, com p direito nas coberturas de 3,5m a4 metros. A altura do cocho deve ser de 60cm a 70cm.

Observao: denominado de p direito a medida da altura interna de umaconstruo, ou seja, medindo por dentro do cmodo, a altura entre o piso e o teto. Otermo usado em engenharia, arquitetura e construo civil, e muito comum novocabulrio dos mestres-de-obra, pedreiros etc.

Atividade 7

Os resultados encontrados neste texto esto compatveis com a sua previso? Olevantamento que voc fez est mais prximo de qual tipo de confinamento?


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Um elemento interessante na formao de um confinamento o cocho para que oanimal possa comer ou beber gua (apesar de que gua seja muito restrita para animaisem engorda). Se todos os cem animais fossem comer ao mesmo tempo, qual seria ocomprimento necessrio do cocho?

Atividade 8

Se cada animal em p pode medir at 1m de largura, qual seria o comprimentonecessrio do cocho?

1m x 100 seriam necessrios 100m de cocho. Porm, se o cocho estiver internoao curral, o animal pode usar os dois lados. Isto reduziria nosso clculo pela metade, ouseja, 50m de cocho. Ser que dentro da rea de curral pensada acima, haveria espaopara esse cocho?

Para criar 100 bois em confinamento aberto com rea mnima de 10m2, ento sernecessrio um curral de 1.000m2.

Se for construdo um cocho de 50m de comprimento com uma rea livre paralocomoo do animal (veja figura), qual seria o comprimento mnimo para completar os10.000m2?

Ao construir esse cocho de 50m, qual ser o seu volume total do interior, sabendo-

se que a altura deva ser de 40cm? Vamos pensar em um cocho com as seguintespropores:




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O conceito do clculo do volume similar ao do clculo da rea. Enquan-to o clculo da rea tem como objetivosaber quantos quadrados de 1m de ladocabem na superfcie, calcular o volume

significa determinar quantos cubos de 1mde aresta cabem no espao. Veja a figuraao lado.

Tal atividade pode ser realizada comos blocos do material dourado montes-soriano, lembrando que o grande cubotem 10cm de aresta sendo, portanto, umexemplo de 1 decmetro cbico, enquantoa unidade, ou seja, o pequeno cubo, tem1cm de aresta, sendo, portanto, um exem-

plo de 1 centmetro cbico.

Para calcular o volume basta utilizar o conceito multiplicativo. Se na base cabem 5quadrados de 1cm2 e na largura cabem 4, ento na base cabem 20 quadrados. Serepetirmos esses 20 quadrados 5 vezes, j que cabem 5 quadrados na altura, completa-mos 100 quadrados. Logo, o volume total do dado de 100cm3.

Lembre-se de que a rea diz respeito a uma medida de um espao bidimensional,representado por uma superfcie, enquanto o volume diz respeito a um espao trimensi-onal. Para determinarmos a rea temos de ter conhecimento de duas dimenses, normal-mente denominadas de largura e comprimento. Para determinarmos o valor de um

volume, necessitamos de trs dimenses; alm das presentes na superfcie, temos deconhecer a altura. Essas idias sero exploradas em unidades posteriores e nos prxi-mos TP e, em especial, naquele que tratar privilegiadamente dos espaos e das formas.


Um recado para

sala de aula

Esse trabalho com a relao entre o cm3 e o dm3, assim como deste com o m3, emsala de aula deve ser mais cauteloso. Devemos buscar propor vivncias com embalagensde 1dm3, ou seja, uma caixa cbica de 1dm de aresta, preenchendo-a com pequenosobjetos de 1cm3 para o qual a unidade do material dourado montessoriano serve muitobem. A relao milesimal entre as duas unidades de volume deve ser descoberta pelosalunos ao tentarem estimar quantas unidades de 1cm3 so necessrias para preencher atotalidade do volume maior.

O mesmo deve ser feito na relao entre 1m3

e o dm3

. Para tanto, convidar os alunosa, em equipes, construrem em papelo um cubo de 1m de aresta, e depois estimarquantos dm3 sero necessrios para preench-lo, lembrando novamente do material doura-do, no qual a unidade de milhar um bom referencial para a visualizao do dm 3.

1dm3

1cm3


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Ento, depois de compreender o conceito de volume, podemos calcular o volumedo cocho multiplicando as suas dimenses. Faa o clculo.

O volume do cocho :

Atividade 9

Para o cocho que voc determinou na atividade anterior, quanto de gua necessrio para ench-lo? Quantas caixas dgua de 1000l seriam necessrias paraench-lo?

Voc j deve saber que existe uma relao entre as medidas de volume quetm como unidade padro o m3 e as medidas de capacidade que tm como unida-de padro o litro. Existe uma relao direta entre as duas unidades: o litro e amedida de volume expressa em dm3. Qual essa relao? Como descobri-la e levarmeus alunos a encontrar a correspondncia entre o volume e a capacidade?

Para comprovar isso, mea um 1 litro de areia ou serragem em uma garrafa ou emum medidor. Depois construa um cubo com cada aresta medindo 10cm de lado, ou seja,1dm. Despeje a areia contida no litro no cubo. O que voc vai observar? Que tal fazer

essa atividade com os seus alunos?

A partir da descoberta realizada, outras relaes podem ser estabelecidas; por exem-plo, 1.000 litros equivalem a _______ m3. Ento, se uma caixa dgua tem um volumede 1.000 litros, ou seja, uma caixa dgua que seja um cubo de arestas iguais a 1m,quantas caixas cheias seriam necessrias para encher o cocho? _________________

O litro uma medida de capacidade de um recipiente utilizada para medir quantocabe, por exemplo, numa garrafa, piscina, caixa dgua, botijo de gs etc.

Veja: importante que voc, professor, entenda o conceito de volume, pois muitos

alunos decoram como calculamos o volume sem compreender o seu porqu. Se enten-de esse raciocnio, o aluno pode usar o mesmo conceito para o clculo de diversosvolumes, inclusive de slidos tais como: pirmide, cone, cilindro etc.







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Ento, para determinar o espao interno de recipientes, podemos usar as medidasde capacidade e de volume.

Voc pode perceber que uma das unidades mais presentes em nosso cotidiano omililitro (ml). Observe as embalagens de alimentos, de remdios, os produtos de higiene

pessoal e os produtos de limpeza: como so indicadas as capacidades?

Atividade 10

Voc conta com gua encanada na sua casa? Se sim, pegue a conta de gua da suacasa e vamos analisar. Se voc mora em prdio, normalmente a conta de gua conjun-ta para todos os moradores. Pea essa fatura emprestada ao seu sndico para poderrealizar essa atividade.

Se voc no conta com gua encanada, voc pode pedir emprestada uma conta deum amigo ou conhecido.

Quanto custa cada litro de gua que voc utiliza na sua casa? Voc sabe?

Como fazer para calcular matematicamente o consumo de gua e o seu customonetrio mensal? Como faz-lo? Caso no saiba, procure pesquisar junto aos colegas.Descreva as diferentes etapas necessrias do procedimento para se chegar ao valor daconta de gua-esgoto.

O consumo de gua marcado pelo hidrmetro, que instalado em todos osestabelecimentos comerciais e residenciais que dispem de gua encanada. O hidr-metro mede o volume de gua em metros cbicos. Assim que voc puder, d umaolhada no hidrmetro da sua casa ou no da sua escola.

Toda conta de gua possui um campo com o registro de quantos m3 de gua soutilizados por ms. Procure o campo em que essa medida est registrada e faa atransformao em litros.

Resposta:Encontre agora o valor da sua conta pelo seu consumo em litros/ms.

Resposta:


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Quanto custa um banho que voc toma? E o do seu filho, se voc tiver? Voc jpensou sobre isso?

Que tal descobrir quanto de gua voc gasta em um banho? Voc tem alguma idiade como pode fazer isso?

gua do chuveiroem 1 minuto

Tempo mdiodo seu banho

Volume de guausada em um banho

X =

Calcule, agora, o custo do seu banho:

Volume de guausada em um

banho

Custo/litrode gua

Custo total do banhoX =

Professor veja a quantidade de temas matemticos que voc precisou para resolveressa atividade: rea, volume, capacidade, relao entre unidades de volume e capacida-de, e medidas de tempo e valores monetrios. Veja como possvel, realmente, em umasituao simples, trabalhar tantos temas em rede. Dessa maneira no precisamos ficarpreocupados sobre se esse tema daquela srie ou no. Assim, trabalhamos com umcurrculo em rede. Para finalizar a atividade, voc poder levantar algumas perguntaspara seus alunos:

a) Quantas caixas dgua voc usa por ms para tomar banho diariamente?

b) Se reduzir 1 minuto no seu banho, quanto posso economizar financeiramente porms?

c) Considerados todos os membros da minha casa, quanto gastamos de banho por ms?

d) Para lavar as louas, quanto gastamos de gua? (Faa o mesmo procedimento.)

Atividade 11

A alimentao dos bovinos deve seguir uma certa proporcionalidade para garantir aengorda e a sua sade. Por exemplo, muitos criadores preferem usar na alimentao dos

seus animais a cana-de-acar, pelo seu custo baixo. Porm, quando usada isoladamen-te, a cana no satisfaz o mnimo de protena exigido para a sade dos bovinos. Isso podeser corrigido misturando-se uria e sulfato de amnio. Essa mistura usada na alimentaodos animais tem baixo custo para os criadores.





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Veja como feita a mistura:

Misture 9kg de uria com 1kg de sulfato de amnia. Ensaque e guarde em local seco.

Na primeira semana de adaptao do animal com o tipo de alimentao, procedaassim: misture 500g da mistura acima em 4 litros de gua e despeje sobre 100kg de cana

picada (que foi colocada no coxo de alimentao).

Na segunda semana, misture 1kg da mistura nos mesmos 4 litros de gua e despejesobre 100kg de cana picada.

O consumo da mistura pelo bovino livre mas, segundo estudos, o animal conso-me de 20kg a 25kg dirios da alimentao.

Vamos determinar qual porcentagem representa cada ingrediente na misturatotal. Depois, calcule quanto isso representa na alimentao do animal, conside-rando que ele consome 20kg dirios da mistura. Para organizar os dados, elabore

uma tabela:Considere que na primeira fase so necessrias 500g da mistura para 100kg de

cana-de-acar. Ento, com os 10kg da mistura ensacada (segundo a receita), seroutilizados 2.000kg de cana-de-acar. Na segunda fase, utilizado 1kg para 100kgde cana. Assim com os 10kg da mistura, sero necessrios 1.000kg de cana.

Voc pode ver que a tabela d uma viso geral da alimentao do animal. Mas,assim apresentados, esses dados podem parecer complicados para um leigo e possvelque no se perceba, realmente, a situao. Por isso, na organizao de dados muitocomum a sua apresentao em forma de grfico . Assim, poderemos ter uma visomelhor e mais geral. O profissional poder ter uma noo da dimenso que muitas vezesapenas os nmeros no do num primeiro momento.

Portanto, no qualquer tipo de representao grfica que poder ser utilizadapara anlise. Isso vai depender da pergunta a que se deseja responder. Vamos ver algu-mas dessas possibilidades:

1. Se pretendemos analisar quanto representa cada ingrediente na alimentaototal do animal:

Ingrediente Quantidade Porcentagem Quantidade diria

1a fase 2a fase 1a fase 2a fase 1a fase 2a fase

Uria 9kg 0,45%x20= 0,09 kg

ou 90 g

0,89%x20

= 0,178 kg

ou 178 g

Sulfato deamnia

1kg

Cana-de-acar

2.000kg 1.000kg

Total 2.010kg 1.010kg


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Nesse caso, a interpretao que se deseja fazer est relacionada com o todo. Pre-tende-se ter uma anlise visual em relao ao todo. O melhor a utilizar talvez seja ogrfico circular.

Vamos fazer esse grfico para a alimentao na primeira fase do processo de mistu-

ra para a alimentao dos bois.Sabe-se que uma volta completa em torno de um ponto representa 360o; ento, se

a uria representa 0,45% da alimentao, 0,45% de 360o igual a 1,62o, pois:

0,45% de 360 = 0,45/100 x 360 = 1,62

Para medir ngulos, assim como as medidas de tempo, utiliza-se a base sexagesi-mal, ou seja, 60. As razes histricas sobre tal opo encontram-se em textos sobre ahistria da geometria; sobre a construo histrica de ngulos, so encontradas notexto de Antnio Jos Lopes, Um ngulo mais do que duas semi-retas de mesmaorigem (ver em http://www.tvebrasil.com.br/salto/gq/gqtxt3.htm). A idia de ngulopode estar associada noo de inclinao, abertura, rota, desvio e mudana dedireo, caminho, curvas, rotao, regio compreendida entre duas retas concorrentesno colineares, entre outras idias. A idia de ngulo agudo central na construo doconceito de ngulo.

H uma forte associao da medida do ngulo com o crculo. A partir de umasobreposio da origem do ngulo com o centro da circunferncia, podemos dividir estaem partes iguais, utilizando cada regio circular como unidade de medida para o ngu-lo. Alguns dos sistemas de medida de ngulos so aqueles que tomam por base:

O grado: a circunferncia dividida em 400 partes.

O radiano: a circunferncia dividida por arcos de mesmo comprimento que oseu raio.

O grau: a circunferncia dividida em 360 partes.

O grado e o radiano (este segundo valendo aproximadamente 57), apesar depouco presentes em contextos culturais, so muito utilizados em matemtica, sobretudono campo da trigonometria (objeto de estudo escolar principalmente no ensino mdio eno ensino superior). J o sistema de medida de ngulos em graus bem freqente emsituaes mais usuais fora da escola.

A histria diz que a opo pelo sistema tem por base duas razes principais:

A sua associao ao movimento dos astros, em especial do planeta Terra, que definemmovimentos circulares, e usados para as antigas navegaes;

o uso do sistema sexagesimal, base 60, utilizado por muitos povos antigos, como osegpcios, em funo do grande nmero de divisores que ele possui. Se dividirmos acircunferncia em 360 partes iguais, isso aumenta a possibilidade de encontrarmos divi-ses exatas.





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Em funo disso, mesmo havendo outros sistemas para medir ngulos, no ensinofundamental praticamente assume-se que a unidade de medida padro de ngulo ograu. Seus submltiplos so: minutos e segundos.

Assim:

1 grau (1o) = 60 minutos

1 minuto (1) = 60 segundos

Dessa forma, a mudana de unidade do ngulo diferente da decimal. Enquantona decimal voc precisa de 10 unidades para passar para a unidade seguinte, nos sub-mltiplos dos ngulos, precisamos de 60 unidades para alcanarmos a unidade posterior.

Quando representamos 1,62o, veja que usamos depois da vrgula uma representa-o decimal. Se quisssemos transformar para minutos e segundos, 1,62o seria represen-tado assim: 1o3712. Vamos estudar essas transformaes mais profundamente em uni-

dades posteriores.Para resolver esta atividade, a representao em decimal ser suficiente.

Procure junto aos seus alunos dividir o crculo em partes iguais, por exemplo:quatro partes, dez partes, doze partes, vintes partes e, por ltimo, trinta e seis partes.

Voc pode medir ngulos com essas partes, em especial explorando a utilizao demedidas e construes utilizando:

circunferncia dividida em 4 partes: cada uma denominada de ngulo reto;

circunferncia dividida em 36 partes: cada uma corresponde a 10.

Isso permite aos alunos ter uma viso mais real das unidades. Quando chega a 10,tendo-o em suas mos, pode ter uma viso, antes mesmo de manipular o transferidor, doquanto corresponde a 1.

Essas divises podem ser associadas s fraes, e permitem um trabalho curricular-mente mais bem integrado.

Para mais idias consulte o livro paradidtico ngulos, dos autores Imenes, Jakuboe Lellis, da Editora Atual.

Faa agora o clculo de quantos graus representam o sulfato de amnio e a cana.

Sulfato de amnia:

Cana:Utilizando o transferidor, faa a marcao dos pontos. Como a parte que repre-

senta a mistura (sulfato de amnia e uria) muito pequena, no grfico circular, junteos dois valores:

Um recado parasala de aula


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O transferidor oinstrumento usadopara medir ngulos.Voc pode encontr-

lo em formatos de360o e 180o.

Para medir um n-gulo preciso colocaro ponto central do trans-feridor no vrtice de umdos lados do ngulo ali-nhado com o 0o.

Observe que no centro do transferidor h um ponto. Esse ponto o centro dongulo. Alinhe o zero do transferidor com o 0o marcado no crculo acima. Depoismarque o ngulo na direo do aumento da contagem do transferidor.

Com o grfico pronto voc pode ter uma noo melhor do que representa cadaingrediente na refeio do bovino.

2. Qual a relao que existe entre os ingredientes em cada estgio de preparao daalimentao dos bois?

Nesse caso a melhor representao grfica a se utilizar ser o grfico de barras oude colunas, pois torna mais fcil visualizar as relaes.

O grfico circular permite que voc faa uma interpretao de cada parte (ouseja, quantidade de amnia, uria e cana) em relao ao todo (toda a mistura). Poroutro lado, o grfico de barras ou colunas permite a voc analisar cada parte emrelao s outras partes.

Construa o grfico de barras usando o referencial abaixo, com cores diferentes paracada estgio.

Sugesto: como a quantidade de uria e sulfato muito pequena em relao quantidade de cana-de-acar, faa um outro grfico apenas com as quantidades deuria e de sulfato.

Amnia

Uria

Cana

100%




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Observe que, no grfico de barras ou colunas, para se determinar o total serpreciso somar as partes.

Atividade 12

Os animais, na engorda, no podem ficar privados de alimentao. Os criadoresdevem estar sempre atentos reposio da mistura. Um criador fez a seguinte anotaosobre a quantidade de alimentos colocada nos cochos durante uma semana:

DIA QUANTIDADE (kg)

Domingo 980

Segunda-feira 1.050

Tera-feira 1.055

Quarta-feira 1.100

Quinta-feira 974

Sexta-feira 920

Sbado 1.021

Para poder interpretar esses dados, a representao grfica pode nos auxiliar. Po-rm, o grfico circular ou de barras no conveniente nesse caso. Podemos usar ogrfico de linhas, em que no eixo horizontal dispomos os dias da semana e no eixovertical, a quantidade de alimento seguindo uma escala.

Qtdekg

Dias da semana

Amnia

Uria100%


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Utilizando o grfico feito, crie trs questes que poderiam ser respondidas somentepela anlise visual dos dados apresentados no grfico. Bom trabalho!

Como voc observou, nas atividades at aqui propostas tanto nesta seo como naseo da situao-problema, esto envolvidas noes importantes sobre a melhor utiliza-o de grficos. Os dados podem ser organizados sob diversas formas e cada uma delastem um impacto diferente na imagem da informao apresentada. Alm disso, cada uma

estar mais de acordo com uma dada perspectiva ou adequada para um tipo de respostaque se pretende ter.

Voc observou na situao-problema a importncia do uso de diferentes escalaspara apresentar os dados e quo importante foi essa adequao de escalas para a melhorcompreenso dos dados. O uso adequado dos grficos para o tratamento de informa-es um item de grande importncia no ensino de estatstica.

Ainda podemos lanar mo de computadores que aumentam consideravelmente aspossibilidades de interpretao e anlise dos dados. Existem hoje programas, tais como oprograma computacional Excel, que podem ser muito teis para o tratamento das infor-

maes, permitindo a estruturao, o registro e as investigaes dos dados mais rapida-mente em vrias categorias e, ainda, tornando possvel organizar os dados numa grandediversidade de formas.

Num campo conceitual os conceitos aparecem de forma integrada e articulada, e

nas situaes-problema os conceitos so, na verdade, elementos de um mesmo cam-po: uns do vida e sentido aos outros. Se assumimos essa perspectiva terica, que tempor base a Teoria dos Campos Conceituais do pesquisador francs Grard Vergnaud,no podemos conceber a idia de um currculo escolar de Matemtica que trate dosconceitos de forma isolada, fragmentada, distantes uns dos outros. Dessa forma, umaconcepo de currculo que contempla essa possibilidade de trabalhar os conceitosde forma integrada, sem destruir as conexes que os articulam, seria a de um currcu-lo em rede, que, dentre outras caractersticas (que trataremos ao longo da formao),possibilita tratar do conhecimento numa viso mais integrada e holstica, levando emconta que uma dada situao permite explorar uma multiplicidade de conceitos eprocedimentos que se articulam entre si, permitindo ver o conhecimento matemticono como algo estanque e esttico, mas conceber e representar o conhecimentocomo algo dinmico, interativo e complexo, fazendo que o conhecimento trabalhadopela escola esteja mais prximo dos modelos da vida real.

Aprendendo sobre Educao Matemtica




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Resumindo

Nesta seo voc estudou temas relacionados a medidas e tratamento de in-

formao.

Volume: O conceito do clculo do volume similar ao do clculo da rea.Enquanto o clculo da rea tem como objetivo saber quantos quadrados cabem nasuperfcie, calcular o volume significa determinar quantos cubos cabem no slido.Portanto, para determinar o volume de um paraleleppedo basta multiplicar as suastrs dimenses.

Relao entre unidade de volume e capacidade: 1 litro equivale a 1dm3.

Tratamento de informao:

Vimos neste TP quatro tipos de representao grfica para diferentes objetivos:

para anlise da parte com o todo: recomenda-se o grfico circular;

para anlise da relao entre as partes: recomendam-se grficos de barras oucolunas;

para anlise do crescimento ou diminuio em relao ao tempo: recomenda-se ogrfico de linhas.


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Seo 3

Transposio didtica: convidando osalunos a analisarem matematicamente sua sade

Com relao sua atuao em sala de aula, voc poder conhecer, nesta seo:

Como desenvolver junto aos seus alunos uma situao-problema que permita trans-ferir para a sala de aula as vivncias realizadas na resoluo da situao proposta naseo 1.

Como explorar uma frmula matemtica. Como coletar informaes e organiz-las em tabelas.

Como explorar a idia de valor mdio.

Objetivoda seo

Que tal fazer as atividades 1 e 2 da seo 1 com os seus alunos? Amplie o texto,cole no mural da sua sala e no diga nada por alguns dias. Apenas tente ouvir oscomentrios dos alunos e procure incit-los discusso sobre o assunto. Depois leve otexto da atividade 1 e discuta questes relativas organizao dos dados para anlise, necessidade de usar uma escala e ao papel da porcentagem nessa interpretao.

Em seguida, pea para os alunos anotarem o quanto comem em mdia por dia.Pea que faam tal anotao durante uma semana, assim voc pode introduzir oconceito de mdia.

Depois dos resultados em mo, faa a interpretao e pea que os alunos relacio-nem o quanto comem com os dados relativos aos animais.

Pea aos alunos para analisarem o quanto comem diariamente. Pode ser que,num determinado dia, um aluno tenha comido mais como um tigre, e, em outros,como um hmster.

Atividade 13

Levar uma balana para a sala de aula e verificar o quanto pesa o que cada umcome na merenda escolar quando ela composta de arroz/feijo, e/ou macarro e/oulegumes, mingau, angu etc. Fazer uma tabela por grupo de 6 alunos cada. Calcular opeso mdio de quanto come cada aluno no grupo.

A partir do valor mdio do grupo, considerando as mdias dos demais grupos,

discutir uma forma de determinar quanto cada um come, em mdia, na turma.

Determinada a mdia da turma, explorar:

Cada aluno deve verificar se come mais ou menos que a mdia da turma.



Transposio didtica: convidando os alunos a analisarem matematicamente sua sade

Seo3

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No grupo, construir estratgia para registrar come x a mais que a mdia oucome x a menos que a mdia (o que pode ser o incio para o uso dos sinaispositivo e negativo).

Realizar uma anlise das incidncias tais como: os que esto com consumo abaixo da

mdia so na sua maioria meninos ou meninas, os que esto com consumo acima damdia em sua maioria so os mais altos e/ou mais gordos e/ou mais velhos?

Fazer uma tabela relacionando o peso de quanto come cada aluno com o peso decada aluno. Discutir com os alunos (se possvel construindo um grfico relacionandomassa de alimento x massa corporal) se podemos ou no estabelecer relao de depen-dncia entre essas variveis.

Fazer um levantamento de quanto pesam os pratos de merenda de alguns adultospresentes na escola, bem como de alguns professores e funcionrios. Registrar em tabelae calcular quanto consome em mdia um adulto, buscando relacionar o quanto come

um adulto em relao a: idade;

sexo;

peso;

signo do zodaco;

natureza de trabalho que realiza na escola.

A idia de correlao entre as variveis pode ser a explorada, por exemplo: o

quanto uma pessoa come sofre influncia do horscopo? Quais so as variveis quepodem, a, serem consideradas?

Usando a frmula abaixo, define o peso ideal, cada aluno deve fazer seuclculo, e depois registrar em grfico os resultados de toda a turma, identificando ondice mdio da turma, os que esto bem abaixo e os que esto bem acima desse ndice.Para tanto, fornecemos abaixo a frmula e os significados dos ndices por intervalos.Discuta com sua turma como se aplica essa frmula e ressalte a necessidade de serealizar a medida da altura e do peso de cada um.

O ndice de Massa Corporal1

Esse ndice pode ser obtido dividindo-se o peso corporal pelo quadrado da altura em metros.Por exemplo: uma pessoa que pese 67kg e mea 1,64m, tem um IMC de 24,9kg/m2 (67divididos pelo quadrado de 1,64).

1. Fonte: http://www.maxway.com.br/Emagrec2.htm

NDICE DE MASSACORPORAL

=PESO em kg

[ALTURA (em metros)]2


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A aplicao dessa formula um mtodo eficaz e prtico para se avaliar o grau derisco associado obesidade. Os estudos populacionais mostram que o menor risco demortalidade corresponde faixa de IMC que vai dos 20kg/m2 aos 25kg/m2. Entre 25 e 30j se observa um aumento do risco. Os pacientes que a se situam so rotulados comosobrepesados ou com excesso de peso. Entre 30 e 35, considera-se obesidadeleve, entre 35 e 40, obesidade moderada, e acima de 40, obesidade mrbida.Abaixo dos 20kg/m2 tambm se observam maiores ndices de mortalidade, principalmen-te por doenas pulmonares e desnutrio. Esto nessa faixa, por exemplo, os portadores

de anorexia nervosa (perda de apetite por problemas psicolgicos). A faixa ideal, portan-to, situa-se entre 20kg/m2 e 25kg/m2.

Analisar o comportamento desse grfico em relao variao do ndice mdio daturma, sobretudo discutindo o seu significado: na maioria dos casos na nossa turmaestamos precisando ganhar ou perder peso? Por que esse fato est ocorrendo? Qual osignificado sociocultural disso e o que fazer para mudar essa realidade no mbito danossa escola? Questionar se essa frmula funcionaria bem para avaliar o desenvolvimen-to de jovens e crianas ou se aplicvel mais para o adulto.

Introduzir as variaes desse ndice de acordo com o desenvolvimento do indiv-

duo, conforme tabelas abaixo: o ndice de massa corporal por faixas de risco;

as tabelas de peso e altura.

Apesar de muito sujeitas a erros, as tabelas de peso e altura ainda so largamenteutilizadas em todo o mundo para estimar-se o peso ideal. Elas so derivadas de dadosobtidos por companhias de seguro americanas, que as desenvolveram a partir da ob-servao de dados de mortalidade e longevidade de sua populao segurada. Ospesos chamados de ideais so, na verdade, mdias das faixas de peso ideal paracada grupo etrio analisado. As tabelas abaixo mostram os pesos de referncia para

cada um desses grupos. Reparem que na tabela dos indivduos mais idosos esses pesosj so bem mais altos.

ALTURA (em metros) PESO para homens (em kg) PESO para mulheres(em kg)

1,47 - 51,7

1,50 - 52,8

1,52 - 53,9

1,55 - 55,3

Pesos de referncia para adultos entre 20 e 55 anos

A unidade kg/m2 indica a quantidade de massa concentrada em uma dada superfcie.

Pode-se expressar como sendo massa por superfcie.





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Os mtodos utilizados para o clculo do peso ideal de adultos no so adequadospara indivduos em fase de crescimento. Nesses casos, o mtodo mais prtico baseado

na utilizao de grficos de peso e altura em funo da idade, conforme demonstradona figura a seguir. Por exemplo, se uma menina apresenta uma altura de 1,45 metro eest pesando 53kg, para sua idade, de 10 anos e 9 meses, a estatura de 1,45 metro acoloca um pouco acima da linha mdia de crescimento, chamada de percentil 50. Oponto situado no percentil equivalente a esse na curva de peso seria o seu peso tericoideal, correspondendo, no caso, a cerca de 38kg. Se dividirmos o peso atual pelo pesoideal e multiplicarmos esse resultado por 100, chegaremos ao percentual do peso dacriana em relao ao peso ideal. Nesse exemplo teramos 53 / 38 = aproximadamente1,4 x 100 = 140; ou seja, essa menina estaria com 140% do seu peso ideal, ou com umexcesso de 40%, ou 15kg.

Aproveitar para discutir a noo/conceito de ndice enquanto razo. Observar queno momento em que comparamos nossa razo peso/altura com os ndices que definemos intervalos de obesidade, acabamos por fazer uma proporcionalidade entre nossoestado fsico com uma outra razo considerada como ideal.


ALTURA(em metros) PESO para homens (em kg) PESO para mulheres(em kg)

1,57 60,3 56,7

1,60 61,2 58,0

1,63 62,4 59,4

1,65 63,5 60,8

1,68 64,9 62,1

1,70 66,2 63,5

1,73 67,6 64,9

1,75 68,9 66,2

1,78 70,3 67,6

1,80 71,9 69,0

1,83 73,9 -

1,85 75,3 -

1,88 76,9 -

1,91 78,9 -Clculo de peso ideal para crianas e adolescentes


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Discutir essa noo de esttica e sade com os alunos sobre a noo e valor socialdo tipo fsico bonito ou belo de um jovem garoto ou garota, refletindo sobre suacoincidncia ou no com o que considerado como bom ndice pela frmula. Discu-tir a variao da noo de beleza fsica ao longo da histria da humanidade e emdiferentes culturas nos tempos atuais.

Podemos agora voltar a discutir a relao entre a ingesto de alimentos, e, portanto,de energia, procurando estabelecer uma lgica entre energia absorvida e energia consu-mida como fator determinante, no apenas de sade fsica, mas tambm de esttica ebeleza corporal. A beleza que encontramos na natureza essencialmente traduzida por

relaes de proporcionalidade.Podemos entender por que, segundo o grego Pitgoras (VI sculo AC) e seus segui-

dores, toda coisa sendo nmero. Para os pitagricos, o prprio Universo parecia regidopelas relaes numricas, que permitem ao homem ver toda a harmonia, equilbrio eregularidade que rege toda criao divina. Essa harmonia era chamada de msica dasesferas, harmonia silenciosa, a harmonia sendo a unificao do diverso e colocao emconcordncia o discordante ou ainda ajustamento, reunio, acordo das partes como todo.

As leis numricas da harmonia, uma vez formuladas, sero generalizadas a todas asrepresentaes de tudo aquilo que consideramos belo. Aspropores sendo, ento, no

sentido largo, relaes entre nmeros, significaria a busca de uma proporo JUSTA.Na proporcionalidade matemtica encontraramos explicao e compreenso humanaspara a harmonia do Universo, ou seja, de toda e qualquer criao divina.

Toda uma tradio artstica das formas tambm fundada sobre mesma idia deharmonia (como o caso da simetria, do grego symmetria, que significa JUSTA PROPOR-O). Conta-se, por exemplo, de Alberti (1404-1472), humanista e arquiteto italiano,que, dirigindo uma construo, teria dito: a menor alterao desacordaria toda msi-ca... e mais, que as propores pelas quais a harmonia dos sons toca nosso ouvido soexatamente as mesmas que agradam ao nosso esprito.

Da mesma maneira, a diviso de um segmento em mdia e extrema razo (con-ceitos matemticos aplicados engenharia e arquitetura) permite, a partir dos termosextremos, constituir uma proporo qualificada pelo monge italiano Luca Pacioli (1445-1514) de razo urea, magnificamente ilustrada por Leonardo da Vinci, na sua obra DivinaProporo (1509), contribuindo ao conhecimento desse apogeu da esttica, pois essarazo conduz definio do famoso nmero de ouro. At nossos dias, a ltima notcia deum sistema de propores (Le Modulor) aquele do arquiteto Le Corbusier (1887-1965).

Friamente definida por Euclides no seu muito clebre V Livro dos Elementos, aspropores constituram durante toda a Idade Mdia um corpo de saber autnomo edistinto da geometria e da aritmtica. Levado at um grau de sutileza a qual ns mal

imaginamos hoje. Mas, divinos ou musicais, uma vez colocadas como referncia estti-ca, em todos os tempos dominaram os espritos dos artistas, tanto aqueles que quiseram aelas se conformar como aqueles que quiseram neg-las como contrrio ao desenvolvi-mento, fantasia de um mundo vivo.





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Resumindo

No eixo de Educao Matemtica, alm da experincia de realizar atividades

propostas na seo 1 junto com seus alunos e tambm explorar a atividade envolven-do medidas do corpo, voc teve oportunidade de refletir, ler, sistematizar algunsaspectos sobre campo conceitual, currculo em rede e representao grfica.

Nesse incio do programa de Matemtica do GESTAR, consideramos muito, muitomesmo, importante que voc faa uma primeira leitura e reflexes sobre a importn-cia da resoluo de situaes-problema para a aprendizagem matemtica. Para tanto,preparamos especialmente para voc um Texto de Referncia, o qual esperamos quevoc leia com ateno e faa a atividade de reflexo que segue o texto. As atividadesjunto ao Texto de Referncia tm por objetivo ajud-lo na reflexo do tema.


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Leituras sugeridas

BRASIL. Ministrio da Educao e do Desporto. Parmetros Curriculares Nacionais. 1996.disponvel em:

DANTE, L. R. Didtica da resoluo de problemas de matemtica. tica, 1991.NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. Normas para o Currculo e aavaliao em matemtica escolar. Associao de professores de Matemtica de Portu-gal,1989.

IFRAH, Georges. Os nmeros: a histria de uma grande inveno. Rio de Janeiro: Glo-bo, 1989.

IMENES, Luis Mrcio. Os nmeros na histria da civilizao. So Paulo: Scipione, 1993.

PERIDICOS:

BOLEMA - BOLETIM DE EDUCAO MATEMTICA. Departamento de Matemtica UNESP, 1989. p.178.

BOLETIM DO GEPEM. Rio de Janeiro: Grupo de Estudos e Pesquisas em EducaoMatemtica Universidade Santa rsula.

BOLETIM INFORMATIVO DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAO MATEMTI-CA. Disponvel em:

CADERNOS DE EDUCAO MATEMTICA. So Paulo.EDUCAO MATEMTICA EM REVISTA. SBEM.

FOLHETIM DE EDUCAO MATEMTICA .Bahia:Univ. Estadual de Feira de Santana NEMOC Ncleo de Educao Matemtica Omar Catunda Dep. de Cincias Exatas.

NEWSLETTER UFPR GPHM Grupo de Pesquisa em Histria da Matemtica Dep.de Matemtica. Curitiba.

PRO-POSIES. Campinas: 1993 v.4, n.1.

REVISTA DO GEEMPA: Grupo de Estudos sobre Educao, Metodologia de Pesquisa eAo. Porto Alegre.

RPM REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMTICA. So Paulo: SBM.

TEMAS & DEBATES. Sociedade Brasileira de Educao Matemtica.

ZETETIK: Faculdade de Educao UNICAMP. Campinas.



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IMENES, Luiz Incio; JAKUBO, Jos; LELLIS, Marcelo. ngulos. So Paulo: Atual, 1985.

LESTER, F. O que aconteceu investigao em resoluo de problemas de matemtica?

A situao nos Estados Unidos. Em: FERNANDES, D.; BORRALHO, A.; AMARO, G.(org.) Resoluo de Problemas: Processos cognitivos, concepes de professores e de-senvolvimento curricular. Lisboa: Instituto de Inovao Educacional, 1994.

POLYA, George. A arte de resolver problemas.Rio de Janeiro: Intercincia, 1978. dispo-nvel em:

LOPES, Antnio Jos. Um ngulo mais do que duas semi-retas da mesma origem.Disponvel em:

Bibliografia


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Texto de referncia

Resoluo de problemasAna Lcia Braz Dias

O grande objetivo da escola preparar o aluno para resolver situaes problemti-cas que ele encontra em seu cotidiano e que encontrar em sua vida adulta. Espera-seque cada rea da aprendizagem escolar contribua para este objetivo.

A matemtica tambm pode contribuir para a resoluo de situaes problemticas.

Por exemplo, certo que os conhecimentos construdos sobre nmeros e opera-es, sobre as formas, sobre medies, sobre a organizao e a interpretao da informa-o quantitativa podero ser necessrios nesta tarefa.

Mas o que dizer da prpria disposio para se resolver problemas, da capacidade

de interpretar um problema, de examinar informaes diversas e decidir quais so rele-vantes para a soluo, de delinear estratgias de soluo e de tomar decises importantesao longo do processo?

Ou sobre a capacidade argumentativa de defender uma idia logicamente a partirde informao coletada da realidade e tratada matematicamente?

O ensino de matemtica deveria ser capaz de levar os alunos a desenvolver estashabilidades. Afinal, ao longo dos sculos, para qu se tem desenvolvido a matemtica,seno com o objetivo de resolver problemas e de defender idias?

A linha de pesquisa e a proposta pedaggica denominada Resoluo de Proble-mas, que teve muitos adeptos nos anos 90, popularizou o termo resolver problemas noensino de matemtica. Quase todo professor de matemtica afirma usar a metodologiade resoluo de problemas em sala de aula.

Mas comum haver equvocos quanto ao que foi realmente o movimento deResoluo de Problemas e do que se tratava.

Neste texto, vamos discutir dois aspectos relacionados a esse tema.

Primeiro, vamos discutir a Resoluo de Problemas como foi preconizada nosanos 90;

Depois, vamos comparar a proposta do GESTAR que estaremos chamando deResoluo de Situaes-Problema com as vrias vertentes da Resoluo de Problema,

Resoluo de problemas uma linha de pesquisae uma proposta pedaggica

Uma pergunta incial: O que um problema? Nem sempre a palavra problema

utilizada com o mesmo sentido por diferentes pessoas. At mesmo professores e educa-dores matemticos apresentam definies diferentes.

s vezes eles utilizam termos adicionais para ressaltar certas caractersticas do queest sendo considerado um problema:



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problemas abertos(com mais de uma resposta possvel),

problemas de dois ou mais passos(requerendo duas ou mais operaes para sua soluo),

problemas realistas(contextualizados em situaes reais),

problemas no-rotineiros, problemas-processo(enfatizando que o real problema encontrar o caminho dasoluo, e no a resposta),

problemas-desafio,

problemas mal-estruturados(que no contm em seu enunciado todas as informa-es necessrias para sua resoluo).

Desse modo, as definies de problema na literatura especializada variam quantoa alguns fatores:

Alguns autores consideram importante que os problemas admitam vrias solues ouque requeiram a tomada de deciso quanto a algumas de suas condies para que umasoluo seja definida. Outros j aceitam chamar de problema aqueles para os quais hajaresposta bem definida qual o professor espera que os alunos cheguem.

Para alguns educadores, os problemas propostos aos alunos devem ser contextualiza-dos em situaes reais. Outros admitem problemas puramente matemticos.

Em nenhum destes casos, porm, a resoluo de problemas se reduz utilizaoou aplicao imediata de resultados apresentados em aula.

Entretanto, h pontos sobre os quais os autores concordam que devem se aplicar atodos os problemas.

Pontos que se aplicam a todos os problemas

A soluo no evidente, nem o caminho para ela. O problema prope um desafioou leva a conflitos cognitivos. Em um problema no possvel tirar concluses, descobririmediatamente as operaes a fazer ou dar solues de cara. A pessoa que o resolvefaz um esforo cognitivo para saber como proceder.

Um problema requer um processo de resoluo, que envolve mais de uma ao:

vrias operaes, ou uma cadeia lgica de argumentos, ou vrios procedimentos diferen-tes, como a organizao dos dados, o desenho de diagramas, ou a tentativa de generali-zao de algo que se percebe ser vlido para alguns casos particulares.

Os obstculos ou desafios colocados em um problema exigem uma reorganizao dosconhecimentos anteriores, que levam a pessoa que o resolve a assimilaes e adaptaesem seus esquemas mentais ou seja, a novas aprendizagens.

O enunciado de um problema no induz nem o mtodo, nem a soluo (nada dequestes intermedirias que preparem o caminho, nem palavras-chave como junte,ao todo).

A pessoa a quem o problema se apresenta deve perceb-lo como um dilema a serresolvido e deve estar envolvido com sua resoluo. isto que faz o problema serproblema dele, faz com que ele se engaje em sua resoluo, e no simplesmente oignore, ou tente resolv-lo sem convico.


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Problemas para uns e no para outros

Vemos que, dentro de um grupo de alunos, uma atividade pode ser um problema paraalguns, enquanto que para outros essa mesma atividade pode no ser um problema. Ofato de no constituir problema pode ocorrer porque:

alguns alunos j tm em suas estruturas mentais o caminho de encontrar a resposta,

outros podem no se incomodar com a presente falta de soluo para a problemtica.

E mesmo dentre aqueles para os quais uma situao um problema, a formana qual cada um interage com o problema varia, em funo dos conhecimentosprvios que cada um tem, da imagem que cada um faz sobre sua prpria capacida-de em produzir uma soluo, e ainda, o interesse e o significado que cada umatribui experincia.

Uma analogia com uma situao fora da matemtica: em um passeio a umacachoeira desconhecida por todos do grupo da excurso, entrar em um ribeiro podeser um problema tanto para aqueles que sabem nadar mas que desconhecem asforas e direes da correnteza e a existncia de rochedos naquele ribeiro emparticular como para aqueles que no sabem nadar.

Do mesmo modo que ocorre na vida, tambm com os problemas que apresenta-mos a nossos alunos em sala de aula os indivduos apresentam diferentes conhecimentosprvios, fazendo que um mesmo problema se apresente de forma bem diferente de uma

pessoa para outra.

Problemas versus exerccios

Muitos professores pensam que a realizao de exerccios onde os alunos aplicam umconceito que acabaram de estudar se encaixa dentro da proposta pedaggica de resolu-o de problemas. Isto no verdade.

Os professores que acham que problemas so sinnimos de exerccios pro-pem a realizao de exerccios aps suas exposies tericas, para os alunos treina-

rem ou praticarem procedimentos anteriormente mostrados. As nicas aes exerci-das pelos alunos neste tipo de atividade so a imitao, a repetio e, s vezes, amemorizao.

O que uma atividade de resoluo de problemas?

Para que haja autntica atividade de resoluo de problemas, necessrio que haja:

um verdadeiro problema, que satisfaa os pontos levantados;

elaborao de estratgias de soluo (e no a imitao de um exemplo);

uma indefinio inicial, da parte de quem resolve o problema, quanto aos conheci-mentos matemticos que ele dever mobilizar no processo de resoluo;

a validao da soluo.



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Pode envolver tambm:

a idealizao e realizao de experincias;

a construo de novos conhecimentos matemticos;

a atividade de socializao, com argumentao quanto a estratgias a serem tomadas ea justificativa de aes escolhidas.

O que a metodologia de Resoluo de Problemas?

Quando foram publicados os Parmetros Curriculares Americanos, ao final dos anos 80,dizendo que a resoluo de problemas deveria ser o principal objetivo do ensino dematemtica, desencadeou-se um grande movimento em torno da Resoluo de Problemas.

Houve vrias interpretaes diferentes em torno de como se incorporaria a resolu-

o de problemas em sala de aula, dentro e fora dos Estados Unidos.Surgiram basicamente trs formas diferentes de se entender a resoluo de proble-

mas e seu papel no ensino de matemtica1:

ensinar para a resoluo de problemas,

ensinar sobre resoluo de problemas e

ensinar via resoluo de problemas.

No ensino de matemtica para a resoluo de problemas, a meta final que osalunos sejam capazes de resolver certos problemas, ento o contedo matemtico

ensinado para este fim.

No ensino sobre resoluo de problemas, a forma como se procurou alcanar a metade resolver problemas foi comentando com os alunos o processo de resoluo de proble-mas: suas fases, estratgias comumente utilizadas, posturas que se deve ter para conseguirresolver problemas. Os professores que utilizam esta estratgia basearam-se muito no livroA arte de resolver problemas, de George Plya (1945/1973) (veja quadro).

1 Schroeder, T. L. & Lester, F. K. Developing understanding in mathematics via problem solving. In: Paul R. Trafton & Albert P. Shult(Orgs.). New directions for elementary school mathematics 1989 Yearbook, p. 31-42. Reston, VA: National Council of Teachersof Mathematics, 1989.

Primeiro

preciso compreender o problema

Compreenso do problema

Nesta fase, importante indagar: qual a in-cgnita? Quais so os dados? Qual a condi-o? A condio imposta suficiente, insufici-ente, excessiva ou contraditria?

Desenhar uma figura e adotar uma notaoadequada tambm ajudam.


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Segundo

Encontre a conexo entre os dadose a incgnita

Estabelecimento de um plano

Perguntas que ajudam: j viu esse problemaantes, ou sob uma forma ligeiramente diferente?Conhece um teorema ou uma propriedade que

poderia ser til? Se voc no consegue resolvero problema proposto, resolve primeiro algumproblema correlacionado, ou uma mais espec-fico, ou parte do problema: para isso, mantmapenas uma parte da condio. Verifica se vocj utilizou todos os dados e a condio.

Terceiro

Executa o seu plano

Execuo do plano

Nesta etapa, verifica se cada passo est correto.

Quarto

Examina a soluo obtida

Retrospectiva

Verifica o resultado, o raciocnio feito. V seseria possvel chegar ao resultado por um ca-minho diferente. Finalmente, v se possvelutilizar o resultado, ou o mtodo, para outrosproblemas

Ensinar via resoluo de problemas significa considerar o problema como um ele-mento disparador de um processo de construo do conhecimento matemtico. Ou seja,problemas visam contribuir na formao dos conceitos antes mesmo de sua apresentao

em linguagem matemtica. a necessidade de resolver o problema que leva o aluno ase apropriar, sozinho ou coletivamente, dos instrumentos intelectuais necessrios cons-truo de uma soluo.

Isto no significa que o problema seja utilizado apenas como um ponto de partidamotivador que gera a exposio dos conceitos necessrios sua soluo.

A resoluo do problema, nesta abordagem, o prprio caminho ao longo do qualos conceitos vo sendo construdos. na ao de resolver um problema particular queconhecimentos e procedimentos so elaborados.

A institucionalizao destes conhecimentos (reconhecimento pelo grupo, generali-

zao,) que ocorre aps a resoluo do problema.

2 Lester, F. O que aconteceu investigao em resoluo de problemas de matemtica? A situao nos Estados Unidos.

Gestar II Mat TP1

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