Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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Email:

Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br

PRÉ-CÁLCULO

AULA

ONZE

TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

Transformações Elementares

Os gráficos de muitas funções podem ser

considerados como originados de gráficos

mais básicos, como resultado de uma ou mais

transformações elementares.

As transformações elementares aqui

consideradas são translação, dilatação e

contração, e reflexão em relação a um eixo

coordenado.

TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

Função Básica

Para estudarmos as transformações, vamos

considerar a seguinte função básica e seu

respectivo gráfico:

xfy

TRANSLAÇÃO VERTICAL

.

,0,

unidadeskcimapara

otransladadxfydemesmooé

kparakxfydegráficoO

.

,0,

unidadeskbaixopara

otransladadxfydemesmooé

kparakxfydegráficoO

TRANSLAÇÃO VERTICAL

Exemplo:

Considerando a função básica do exemplo

anterior, faça o gráfico de y = f(x) + 2.

SOLUÇÃO

Nesse caso, basta

transladar duas unidades

para cima

TRANSLAÇÃO VERTICAL

Exercício 1:

Considerando a função básica do exemplo

anterior, faça o gráfico de y = f(x) – 2,5.

SOLUÇÃO

TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

Dilatação e Contração Verticais

O gráfico de y = af(x), para a > 1, é o mesmo de

y = f(x) dilatado, em relação ao eixo y, por um

fator a.

O gráfico de y = af(x), para 0< a < 1, é o mesmo

de y = f(x) contraído, em relação ao eixo y, por

um fator a.

DILATAÇÃO E CONTRAÇÃO VERTICAIS

Exemplo

Para a função básica do exemplo, faça o gráfico

de y = 2f(x).

SOLUÇÃO

Nesse caso, há uma

dilatação em relação ao

eixo y

DILATAÇÃO E CONTRAÇÃO VERTICAIS

Exercício 2

Para a função básica do exemplo, faça o gráfico

de y = (1/3)f(x).

SOLUÇÃO

TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

Translação Horizontal

O gráfico de y = f(x + h), para h > 0, é o mesmo

de y = f(x) transladado à esquerda h unidades.

O gráfico de y = f(x – h), para h > 0, é o mesmo

de y = f(x) transladado à direita h unidades.

TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

Exemplo

Para a função básica do exemplo, faça o

gráfico de y = f(x + 2).

SOLUÇÃO

Nesse caso, há uma

TRANSLAÇÃO à

esquerda de 2 unidades.

TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

Exercício 3

Para a função básica do exemplo, faça o

gráfico de y = f(x -1).

SOLUÇÃO

DILATAÇÃO E CONTRAÇÃO HORIZONTAIS

O gráfico de y = f(ax), para a > 1, é o mesmo

de y = f(x) contraído em relação ao eixo x, por

um fator a.

O gráfico de y = f(ax), para 0 < a < 1, é o

mesmo que y = f(x) dilatado em relação ao

eixo x, por um fator 1/a.

TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

Exemplo

Para a função básica do exemplo faça o gráfico

de y = f(2x).

SOLUÇÃO

Nesse caso, há uma

CONTRAÇÃO em relação

ao eixo x.

TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

Exercício 4

Considerando a função básica do exemplo, faça

o gráfico de f(x) = f(1/2 x).

SOLUÇÃO

REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UM EIXO COORDENADO

O gráfico de y = - f(x) é o mesmo de y = f(x)

refletido pelo eixo x.

O gráfico de y = f(-x) é o mesmo de y = f(x)

refletido pelo eixo y.

REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UM EIXO COORDENADO

Exemplo

Para a função básica do exemplo, faça o gráfico

de y = -f(x).

SOLUÇÃO

Nesse caso, há uma

REFLEXÃO pelo eixo x.

TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

Exercício 5

Para a função básica do exemplo, faça o gráfico

de y = f(-x).

SOLUÇÃO

FIM

DA

AULA

ONZE