Docentencursus

relativiteitstheorie

Vierde collegeMarcel Vonk

5 november 2014

2/87

Inhoud 4e hoorcollege

1. Hoofdpunten eerste drie colleges

2. E=mc2

3. Algemene relativiteit

4. Experimenteel bewijs

5. Lesmateriaal en

voorbeeldopgaven

1. Hoofdpunten eerste drie

colleges

4/87

Eerste hoorcollege

De ruimtetijd, bestaande uit alle

gebeurtenissen, vormt één geheel.

Elke inertiële waarnemer verdeelt

dit geheel op zijn eigen manier in

ruimte en tijd.

5/87

Eerste hoorcollege

Het eindresultaat: in Einsteins

wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:

Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!

6/87

Tweede hoorcollege

Tijdsdilatatie: een klok die in rust

met tijdsintervallen Δt tikt, tikt als

hij met een snelheid v beweegt,

met grotere tijdsintervallen

Δt’ = γ Δt.

7/87

Tweede hoorcollege

Lorentzcontractie: een meetlat

die in rust een lengte L heeft,

heeft als hij met een snelheid v

beweegt een kortere lengte

L’ = L/γ.

8/87

Derde hoorcollege

Lorentztransformaties:

willekeurige ruimtetijdcoördinaten

kunnen we omrekenen met

)('

)('

txx

xtt

9/87

Derde hoorcollege

We hebben gezien waarom lengtes

van bewegende voorwerpen korter

worden (dan meten we AB), maar

tijden op bewegende klokken langer

(dan meten we AC).

10/87

Derde hoorcollege

Ladderparadox: “Iemand rent met een

ladder, die precies in een schuur past,

met enorme snelheid de schuur in.

Past de ladder nog altijd in de

schuur?”

11/87

Derde hoorcollege

12/87

Derde hoorcollege

Beide waarnemers hebben gelijk: de

stilstaande waarnemer meet lengtes

langs t=0, de bewegende waarnemer

langs t’=0.

13/87

Derde hoorcollege

Tweelingparadox: “Ronald reist met

een enorme snelheid naar een ver

sterrenstelsel, keert daar om en reist

met dezelfde snelheid weer terug. Is

Ronald bij terugkomst jonger dan

Frank, of andersom?

14/87

Derde hoorcollege

• Frank ziet Ronald steeds met grote

snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds

klok langzamer lopen, dus Ronald

zou jonger moeten zijn.

• Ronald ziet Frank steeds met grote

snelheid bewegen. Hij ziet Franks

klok langzamer lopen, dus Frank

zou jonger moeten zijn.

15/87

Derde hoorcollege

Nu heeft maar één van de waarne-

mers (Frank) gelijk: de andere

(Ronald) verandert namelijk van

snelheid.

De situatie is dus niet symmetrisch!

16/87

Derde hoorcollege

Ronald slaat als het ware een stuk van

de geschiedenis van Frank over. (In

termen van “gelijktijdigheid”; hij ziet

deze geschiedenis wel.)

2. E=mc2

18/87

E=mc2

Hoe worden snelheden relativistisch

opgeteld? De klassieke optelling werkt

in elk geval niet, want we weten dat

“v+c=c” voor elke v.

19/87

E=mc2

• Een trein rijdt met v=c/3 door het

station.

• Een hardloper loopt met u’=c/3 door

de trein.

• Wat is de snelheid u van de hard-

loper ten opzichte van het station?

20/87

E=mc2

We kunnen dit vraagstuk grafisch

oplossen:

21/87

E=mc2

We kunnen dit vraagstuk grafisch

oplossen:

22/87

E=mc2

We kunnen dit vraagstuk grafisch

oplossen:

c/3 <+> c/3 = 3c/5

23/87

E=mc2

In het werkcollege hebben we dit ook

berekend.

Wie deze methode volgt, kan ook een

algemene formule afleiden:

24/87

E=mc2

Aan het plaatje zien we al dat het

optellen van twee snelheden kleiner

dan c, altijd een nieuwe snelheid

oplevert die kleiner is dan c.

25/87

E=mc2

We kunnen dit ook uit de optelformule

afleiden:

BORD

26/87

E=mc2

Versnellen is niets anders dan steeds

een beetje snelheid bij een bestaande

snelheid optellen.

Conclusie: we kunnen nooit tot boven

de lichtsnelheid versnellen!

27/87

E=mc2

Dat versnellen lastiger wordt bij hoge

snelheden kunnen we begrijpen uit

Einsteins beroemdste formule, E=mc2.

28/87

E=mc2

De afleiding van E=mc2 is enigszins

complex. De formule hoort daarom niet

tot de exameneisen.

29/87

E=mc2

In het kort:

1. Plaats en tijd zijn nauw verbonden;

ze vormen eigenlijk een 4-vector.

2. Ook bij impuls hoort een 4e

component: de energie.

3. Impuls en energie gedragen

zich net als ruimte en tijd als we

aannemen dat energie gegeven

wordt door E = γm0c2.

30/87

E=mc2

Uitschrijven levert

We vinden de bekende formule voor

de kinetische energie terug als eerste

snelheidsafhankelijke correctie op een

constante term: de rustenergie,

E0=m0c2.

E = m0c2 + ½ m0v

2 + kleine correcties

31/87

E=mc2

Dat materie inderdaad een dergelijke

rustenergie bezit, is inmiddels

overtuigend experimenteel bewezen.

32/87

E=mc2

Opmerking 1: m0 in deze formule is de

massa die we in rust meten. In een

willekeurige toestand is de massa die

we meten gelijk aan meff = E/c2 = γm0.

E = m0c2 + ½ m0v

2 + kleine correcties

33/87

E=mc2

Opmerking 2: De vorm E = mc2 is dus

wat verwarrend; hiermee kan ofwel

E = meff c2 bedoeld worden, ofwel

E0 = m0 c2.

E = m0c2 + ½ m0v

2 + kleine correcties

34/87

E=mc2

Ik zal E = γmc2 niet in

detail afleiden; zie daar-

voor bijvoorbeeld het

boekje van Sander Bais.

Wel wil ik laten zien dat we met deze

formule kunnen begrijpen waarom

versnellen tot in de buurt van c steeds

meer moeite kost.

35/87

E=mc2

Dit is eenvoudig in te zien als we de

volgende beweringen combineren:

1. Iets zwaars is moeilijker te versnel-

len dan iets lichts. (Denk aan F=ma.)

36/87

E=mc2

Dit is eenvoudig in te zien als we de

volgende beweringen combineren:

2. Iets wat sneller beweegt heeft meer

energie, dus meer effectieve massa.

E = meff c2

37/87

E=mc2

1. Iets zwaars is moeilijker te versnellen

dan iets lichts.

2. Iets wat sneller beweegt heeft meer

energie, dus meer effectieve massa.

38/87

E=mc2

Versnellen tot boven de lichtsnelheid

lukt inderdaad niet!

3. De algemene

relativiteitstheorie

40/87

Algemene relativiteit

Tot nu toe hebben we het alleen

gehad over waarnemers die eenparig

(met constante snelheid) bewegen.

Maar hoe ervaart een versnelde

waarnemer de ruimtetijd?

41/87

Algemene relativiteit

Het kostte Einstein 10 jaar om de

relativiteitstheorie uit te breiden tot

versnelde waarnemers.

Verrassenderwijs speelt de zwaarte-

kracht daarbij een centrale rol!

42/87

Algemene relativiteit

Centraal in Einsteins redenering staat

het equivalentieprincipe.

Net als bij het relativiteitsbeginsel viel

het Einstein op dat twee ogenschijnlijk

verschillende situaties dezelfde

waarnemingen opleveren.

43/87

Algemene relativiteit

Bekijk een waarnemer in een

stilstaande lift op aarde.

44/87

Algemene relativiteit

In het zwaartekrachtsveld van de

aarde ziet deze waarnemer objecten

met de valversnelling (9,8 m/s2)

omlaag vallen.

Deze valversnelling is voor objecten

van elke massa hetzelfde!

45/87

Algemene relativiteit

Overigens voelen we de “druk” van de

zwaartekracht pas als iets (bijvoor-

beeld de liftbodem) de valversnelling

tegenwerkt.

46/87

Algemene relativiteit

Een waarnemer in een versnelde lift in

de ruimte neemt hetzelfde waar!

47/87

Algemene relativiteit

Einsteins conclusie: zwaartekracht is

experimenteel niet van versnelling te

onderscheiden.

De aanname dat dit algemeen geldig

is, heet het equivalentieprincipe.

48/87

Algemene relativiteit

De kleine lettertjes: de aarde heeft een

radieel zwaartekrachtsveld.

Om de situaties echt identiek te maken

moeten we een parallel zwaartekracht-

veld gebruiken.

49/87

Algemene relativiteit

Wat heeft het equivalentieprincipe voor

gevolgen voor de ruimtetijd?

Laten we weer eens kijken naar het

gedrag van licht. In Newtons wereld-

beeld heeft licht geen massa, en on-

dervindt het dus geen zwaartekracht.

50/87

Algemene relativiteit

Een foton komt een versnellende lift in

de ruimte binnen.

51/87

Algemene relativiteit

Voor de waarnemer in de lift lijkt het

foton een paraboolbaan te beschrijven.

52/87

Algemene relativiteit

De stilstaande waarnemer op aarde

zou dus eenzelfde baan moeten zien.

53/87

Algemene relativiteit

• Onder de invloed van de zwaarte-

kracht beweegt alles in gekromde

banen.

• De kromming van de baan hangt

niet af van eigenschappen van het

voorwerp zoals zijn massa.

De kromming door de zwaarte-

kracht lijkt dus een eigenschap

te zijn van de ruimtetijd zelf!

54/87

Algemene relativiteit

Einstein ontdekte dat het inderdaad

mogelijk is om de zwaartekracht te

beschrijven als een kromming van de

ruimtetijd.

55/87

Algemene relativiteit

In een zwak zwaartekrachtsveld (zoals

op de aarde) reproduceert zijn theorie

nauwkeurig de zwaartekrachtswet van

Newton.

56/87

Algemene relativiteit

Zwaartekracht is dus niets anders dan

een versnelling die ontstaat door de

kromming van de ruimtetijd.

Let op: zwaartekracht is versnelling,

maar niet alle versnelling komt door de

zwaartekracht!

57/87

Algemene relativiteit

Zwaartekracht is niet van

versnelling te onderscheiden.

Zwaartekrachtsversnelling is

niets anders dan gekromde

ruimtetijd.

4. Experimenteel bewijs van de

relativiteitstheorie

59/87

Experimenteel bewijs

Een aantal experimenten zijn we al

eerder tegengekomen:

1) Experimenten zoals dat van

Michelson en Morley tonen aan dat

de lichtsnelheid waarnemeronaf-

hankelijk is.

60/87

Experimenteel bewijs

Een aantal experimenten zijn we al

eerder tegengekomen:

2) Hafele en Keating stuurden in 1971

atoomklokken mee met interconti-

nentale vliegtuigen, en controleer-

den zo de tijdsdilatatie.

61/87

Experimenteel bewijs

Een aantal experimenten zijn we al

eerder tegengekomen:

3) Dat muonen hoog uit de dampkring

de aarde bereiken is een test voor

tijdsdilatatie en Lorentzcontractie.

62/87

Experimenteel bewijs

Een aantal experimenten zijn we al

eerder tegengekomen:

4) De equivalentie van massa en

energie, E=mc2, blijkt uit allerlei

kernfusie- en kernsplijtingsexperi-

menten.

63/87

Experimenteel bewijs

Een eerste test voor het gekromd zijn

van de ruimtetijd werd in 1919

uitgevoerd door Arthur Eddington.

64/87

Experimenteel bewijs

Hij reisde naar Afrika om een totale

zonsverduistering waar te nemen.

65/87

Experimenteel bewijs

Door het afbuigen van licht in een

zwaartekrachtsveld zien we bij zo’n

verduistering sterren op een andere

plaats aan de hemel staan.

66/87

Experimenteel bewijs

Eddington vond de juiste afbuiging.

Tegenwoordig zien we hetzelde effect

op nog veel spectaculairder wijze:

gravitatielenzen.

67/87

Experimenteel bewijs

Een ander bewijs voor de kromming

van de ruimtetijd zien we aan de baan

van de planeet Mercurius. Deze baan

vertoont periheliumprecessie.

68/87

Experimenteel bewijs

Dit effect was al in 1859 opgemerkt

door Urbain Le Verrier. Het kon niet

verklaard worden door de invloed van

andere planeten of de vorm van de

zon.

69/87

Experimenteel bewijs

De relativiteitstheorie gaf wel de juiste

“voorspelling” voor de grootte van de

precessie.

70/87

Experimenteel bewijs

Tenslotte: om GPS te laten werken

moet rekening worden gehouden met

de kromming van de ruimtetijd.

71/87

Experimenteel bewijs

Zie voor nog meer voorbeelden

bijvoorbeeld de lijsten op Wikipedia.

5. Lesmateriaal en

voorbeeldopgaven

73/87

Lesmateriaal

1) In de NiNa-module gebaseerd op

het boek van Sander Bais staat een

groot aantal opgaven.

http://www.nieuwenatuurkunde.nl/disclaimer/46

74/87

Lesmateriaal

2) VirginiaTech heeft een website met

zo’n 20 leuke voorbeeldopgaven.

http://www.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/practice/

75/87

Lesmateriaal

3) Googelen op iets als “special

relativity exercises” geeft de nodige

losse opgaven.

http://www.google.com/

76/87

Lesmateriaal

4) Nieuw lesmateriaal ontwikkeld in

samenwerking met De Praktijk:

http://www.quantumuniverse.nl/lesmateriaal-

relativiteitstheorie

77/87

Lesmateriaal

5) Meld u ook vooral aan op het forum

om gedachten met collega’s uit te

wisselen:

http://www.quantumuniverse.nl/forum