Beschrijving Leerdoelen

ln de ee6te vier hooÍdstukken gaat het

niet zo zeer om de toepasbaarheid van

eeh deelvan de vlàkke meetkunde, maar

om de samenhang binnen dat gebied.

Eigenschappen van meetkundjge figuren

worden in stellingen verwoord en je leert

hoeje zo'n stelling kuntbewijzen- Deze

stelling kun je dan weer gebruiken bil

een volgend bewijs.

Er wordt vee I aa ndacht besteed aan

tlvee problemen:

. hoe pakje een bewi;s aan?

. hoe schriifje een bewijs op?

ln dit hooÍdstuk gaat hetvoornamelijk

om de eigenschappen van speciale

driehoeken envierhoeken,

eigenschappen die je voor een groot

deel al in de onderbouw hebt leren

kennen. lo de volgende hoofdstukk€n

zalhet redeneren metbehulp van

afstanden, speciale lijnen (zoals

bijvooÍbeeld de middelloodlijn) en

.irkek aan bod komen.

De laatste paíagraaÍ i9 een ee6te

kennismaking met Cabri, een teken-

programma waarmee ie allerlej

meetkundige figuren kunt tekenen en

onderzoeken

. Je kuntaan de hand van enkele

gegevens over een driehoek nagaan

oÍ de driehoek te construeren is

. Je kuntvan tr,vee driehoeken

zeggen of ze congÍuent zijn.

. Je kunt aanlonen dat Evee

verscfi illende definities hetzelfde type

vierhoek vàstleggen.

. Je leert een bewjjs geitÍucturcerd

op te schriiven.

. le leert hoe je een meetkundig

probleem kunt aanpakken om een

bewijs te lev€ren.

. le kuht driehoeken, vierhoeken en

biizondere lijnen daarin constÍueren

met Cabri.

I

. 10 slu

Benodigdheden

. Cahri

vooÍkennis

. Bijzondere lijnen ih een

dÍiehoekrhoogtelijn,

zwaartelijn, bissedri.e,

middelloodlijn.

. BijzonderevieÍhoeken:

vierkant, ruit, rechthoek,

parallellogram, vlieger en

trapezium

,L

È

HooÍ^tuk Ml Definities en eigenschappen 15

t-1

IOrdenen

Er zijn verschillende soorten vierhoeken. Je kunteen ordening aanbrengeu door op een bepaaldeeigenschap te letten. Dat kan bijvoorbeeld zijn:. het aantal s)rynmet eassen. het aantal evenwijdige zijden. bijzonderheden van de diagonalen.

Je ziet hierboven zestien vierhoeken.Met symbolen is aangegeven dat zijden even lang ofevenwijdig zijn en dat hoeketr even gÍoot oÍ rechtzln.Je kurrt deze vierhoeken ordenen op basis van hunsymmetrie-eigenschappen,Welke vieÍhoeken hebben precies éért symmetrieas?Hoe worden ze genoemd?Er zijn ook vierhoeken met twee ofmeersymmet eassen.Welke zijn dat en hoe worden ze genoemd?

l-2 Je kunt de zestien vierhoeker ook irdelen op basisvan het aantal evenwijdige zijdea.Vul de tabel hiernaast in.

Hieronder staal uitspraken over vierhoeken. Ga nawelke waar zijn. Als je denkt dat een uitspraak nietwaar is, zoek dan onder de zestien vierhoeken éénvierhoek waarvoor de beu,ering det k-topt.í Als twee oveEtaande zijden van eell vierhoekeven lang zijn, dan is de vierhoek eenparallellogram.2 Als drie hoeken van een vierhoek elk 90 " zijn, danis de vierhoek een rechthoek.3 Als twee ovefitaatrde hoekel van een vierhoekek q0'zijn. dan is de vierhoek een rJieger.

De diagonalen van een vierhoek kunnen bijzondereeigenschappen hebben.Teken een trapezium waarvan de diagonalen evenlang zijn.Van welke van de zestien vierhoeken zijn dediagonalen even lang?In welke van de zestien vierhoeken snijden dediagonalen elkaar loodrecht?Teken een trapezium waarvan de diagonalen elkaarloodrecht snijden.In welke van de zestien vierhoeken delen beidediagonalen elkaar middendoor?Kun je alle vierhoeken van opdracht e één specifiekenaam geven?

Er is nog een ander cíterium waarop je kunt lettenbij vierhoeken: ligger alle vier hoekpunten op eencirkel of niet?Hieronder zijn zes soortel vieÍhoeken genoemd.Geef aan bij welke sooÍende hoekpunten steeds opeen cirkel liggen.a rechthoekb ruitc vierkantd vlieger

e Eapeziumf parallellogram

Hoofdstuk Ml DeÍinities en eigenschappen 17

. . "rR n.ví,//wílry zíy.an víctl'o*-

wléín per

n w laÍw

t-4

t-5

Hoofdstuk Ml Definities en eigenschaPpen 18

1-1 Driehoeken construeren

Etke driehoek heeft drie zijden en drie hoeken. Somsligt een driehoek eenduidig vast alsje de grootte vandrie van deze elementen weet. soms niet.

Kun je een driehoek construeren waarvan de zijdende lengten 3 cm, 7 cm en 11 cm hebben? Zo ja,consÍÍueer zo'n driehoek. Zo nee, waarom niet?

Van een driehoek zijn de zijden respectievelijk 7 cm,5 cm en 9 cm lang.ConstÍueeÍ met passer en geodriehoek dezedriehoek.Vergelijk je driehoek met die van je klasgenoten.Zifuze gdrjkz

Van driehoek ,4 BC is gegeven dat 2,4 = 50".l-8 = 30'en de lengte van zijde,4B is 5 cm.Teken een driehoek,4BC die aan de gegevensvoldoet.Hoe groot is lC? Meet ook de lengten van deandere twee zijden en vergelijk je driehoek met dievan je klasgeooten. Zijn ze gelijk?Teken driehoek DEF waarvan gegeven is: de lengtevan DE is 5 cm, de lengte van EFis 4 cm enzE = 60'. Vergelijk je driehoek met die van jeklasgenoten. Zijn ze gelijk?

Een driehoek ABC is alleen te construeren als tweevan de zijden samen langer zijn dan de derde zijde.Hiemaast zie j e hoe de driehoeksongeliikheid tt deIijst van stellingen en defrities geformuleerd is.Hierbii betekent lÀBl de lengte van liinstuk.4B.

Twee &iehoeken,4BC en DEF heten gelilk ofGongruent als aan de volgende voorwaaÍden isvoldaan:lABl= lDEl, lACl= lDFt, lBcl-lEF,1A-LD.LB=LEetLC=LFDe notalie voor conglueole driehoekeD isLABC = LDEF

*íehoeksongelijkheidAls drie punten 4,8 en C niet op één

lijn liggen dan geldtlrol + lrcl > lrcl

Hoofdsnk M1 Definities en eigenschappen 19

$ Van driehoek KLM is gegeveo, dat LK = 30',lKLl=6cmetlLMl=4ca;t..-- a Laat zien dat er twee niet gelijke driehoeken zijn diehieraan voldoen.

b Als ZKniet 30" maar 90o is en LM)=8cm,zrlÍteÍdan nog steeds twee verschillende driehoekenmogelijk?

c En als gegeven is dat )KLl= 6 cm, tK =30" et1M = 57 "'?

conqruenÍe driehoeken

Twee díiehoeken zijn congruent als ze geliik hebben:. de dtie zijden (ZZ4. twee zijden en de ingesloten hoek (zH4

een zijde en de twee aànliggende hoek€n (HZH)

een zijde, een aanligg€nde hoek en dèoverstaahde hoek (zHtwee zijden en de reóte hoek tegenover een vande zijden lzzR).

Dit zijn de vijf congÍuentiegevallen.Dat betekent ook in elk van deze gevallen is dedriehoek eenduidig te construeíen,

5 Van driehoek,4BC is gegeven dat 1,4 = 83 ",ABI = 7 gm ., 1a6 5 cm.

a Met welk conguentiegeval heb je hier te maken?b Teken driehoek,4BC.

ft Uià-umt ri" je hoe de oude G ekeÍr met passer enliniaal de bissectrice vart een hoek construeerden.Leg uit, met behulp van congruente driehoeken, datde getekende groene lijn de hoek inderdaad in tweeeven grote hoeken veÍdeelt.

!7a Ga voor de opdrachten 2, 3 en 4 na welkecongÍuentiegevalletr je daar bent tegergekomel.

b Leg uit dat het geval ZHH te herlLeiden valt totHZH.c Is het ook mogeliLjk om iahet geval ZZH decongruentie van twee driehoeken aan te tonen?

1-2 Stellingen

Op basis van voorbeelden of tekenirgen kun je eenbepaalde eigenschap vermoeden. Met een bewijskun je je vermoeden bevestigen. Daarna kunje deeigenschap formuleren als een ware bewering. Zo'nware bewering wordt stelling genoemd.Op de bladzijden 27G-274 vind je een lijst vanstellingeq etr definities die je mag gebruiken bij hetbewijzen van andere eigenschappen. Je verwijst rraareeIl stelling door de cuGief gedrukte stellingtitel tetroemen.

In dit hoofdstuk gaat het alleen om stellingen op debladzijdet2T0 er2i71. Sommige van deze stellingengaje zelf bewijzen.

De stelling hiemaast kenje al lang. Je gaat hem nubewijzen.Teken een willekeurige driehoek,4BC en een hulp-lijn door C evenwijdig aan,48.Kijk in de lijst van stellingen en definities bij'Hoeken, lijnen en afstanden', Welke stellingenhebben betrekking op evenwijdige lijnen?Geef in de tekening gelijke hoeken met hetzelfdesymbool aan.Onder 'Hoeken,lijneII er afstanden' staat eendefritie die je bij het bewijs kunt gebruiken. Geefhet bewijs.

De zojuist bewezen stelling kun je gebruiten bij hetbewijs van de stelling hiemaast. Je moet wel ee6teen geschikte hulplijn kiezen.Neem onderstaaad schema oveÍ en \Trl het verder in.Gegeven: Vierhoek,4BCDTe bewijzen: LA + ...... = ......Bewijs:

Hoe schriif ie een bewiis op?1 Schrijf de gegevens op achteÍ Gegeven.2 Schrijf op wat je moetbevrijzeÍ\ achter Te beta)ijzen.3 Geef het bewijs achteÍ Belrrj,r.

Hoofdstuk M1 DeÍinities en eigenschappen 20

hoekenson d eho*ln een driehoek is de som van dehoekèn'180'.

hoekensom vierhoek

ln een vieÍhoek is de som vah dehoeken 360'.

Hoofd.stuk M1

VoorbeeldIn de flguuÍ hieÍnaast geldt:. A-4BC is gelijkbenig met tophoek C. lAPl = IBQBewijs dat drie hoek PQCgelijkbenig is.

Gegeven: AABCis gelijkbenig met tophoek Cer lPAl = lQBlTebewljzen: LPQC is gelijkbenig.

Gebruik bii het opschrijven van een bewijs destructuur hiemaast. Rechts van de accolade, achteÍhet implicatieteken +, zieje de conclusie diegetÍokken wordt op basis van wat er links van deaccolade staat. Tussen de haakjes staan nadeÍemotiYaties.Je slotconclusie moet overeenkomen met wat tebewijzen wal

10a Teken een driehoek,4BC en verlengzljde AB brj B.Behalve ZB, binaen de driehoek zieje nu ook eetrhoek -B2 buiter de driehoek.

b Bewijs dat 2,4 + LC = LBz

Stelling van de buitenhoekVoor elke driehoek geldt dat een buitenhoek gelijk isaan de som van de niet-aanliggende binaelhoeken.

Definities en eigenschappen 2Í

c

Ií] )tAPl = lQ Bl lgegeven) ) - LAPC = ABQC lzH4121IAC = BC tgegevenl.J

l2l -+ lPCl -lQCl,dus APQCis gelijkbenig.

()It )J

Sl t In de figuur hieruaast is BD de bissectrice van ZB enDE de bissectÍice van 18D,4Bew\js dat LB ED = 1A + I LB + + LC

Hoofdsnk Ml DeÍinities en eigenschappen 22

1-3 Een bewijs

Het is moeilijk om voor een bewijs onmiddellijk degoede weg te vinden. Het helpt vaak als je vanuittwee kanten redenee .

Op de zijde,4B van A,4BC ligt punt P en op de zijdeBC ligt punt 0 zo dat BPI = lBQl. Uit P wordt deloodlijn op BCneergelaten. Deze snijdt BC in puntÀ. Uit Q wordt de loodlijn reergelaten op AB.Dezesnijdt,4B in punt ?. S is het snijpunt van P.R en 07.Je gaat bewijzen dat lPSl = OSIlíaak een tekeoing en zet de gegevens er in.AIs je meteen een bevrijs ziet, geef dat dar.Je gaat eelst vanuit de gegevens zoeken.Je weet dat BPI=lBQletLPRB= LQTB =9O"Valt er hier al iets af te leidenl Misschiencongruentie? Op grond van welk congruentiegeval?Je gaat Du zoeken vanuit hetgene dat je moetbewijzen.IPS = lQSl als APST = AQSR. Wat moet je hiervoorbewijzen ? Welke stelling heb je nodig?Om het bewijs te leveren gaje een plan maken.Hiervoor moet je een verband leggen tussenjeantwoorden uit opdracht b en opdracht c. Doe dit.Schrijf het bewijs dat lPSl - lQSl netjes op.

Hoe pakie een bewiis aan?í VeÍkennen Maak een tekening met de gegeyenserin. Dit heet eetr analysefiguur. Misschien zie je nuat hoe je bewijs eruit moet zien. Geef dit. Ande$ gaje naaÍ stap 2.2 AnalyseÍen Het analyseren bestaat uit ddeonderdelen:. Vooruitdenken Probeer uit de gegevens een enander af te leiden.. Terugdenken BedeDk uit hetgene dat bewezen moetwordeu wat de voorgaande stap kan zijn geweest.. Plan maken Probeer een verband te leggen tussende resultaten van het vooruitdenken eII hetteÍugdenken.3 Bewijs geven Noteer het bewijs volgens hetbewijsschema.

aanpakken

$rz gegeven

u?

?

1l

te bewijzen

2 AnalyseÍenVooruitdeflkenÍerugdenken

3 Eewiis geven

Gegeve'r2 Te bewijzen

I Verkennen

3 Bèwijs

Hoofdstuk M1 DeÍinities en eigenschappen 23

VoorbeeldD ehoek,4BC is eer gelijkbenige driehoek mettop,4. Punt P ligt op de deellijnvat t-A.LrLjt CPsnijdt ,48 in À en lijn B P sníjdt AC ín Q.Bewijs dat lÀBl = lQcl

l VerkennenDe gegevens zijn met kleur en synbolen in detekeniug gezet. EÍ zijn veel driehoeken in de figuur,misschien zijn er wel congruente bij?2 Analyseren. VooruitdenkenUit de gegevens volglmeÍeeÍL dat LAPB = AAPC(ZHZ) et ook AAMB = AAMC (ZHZ),maatbijvoorbeeld niet dat

^-RPB = ^QCP Ik weet nu

wel val meerdere hoeken in de figuur dat ze gelijkzijn. Misschien valt de congruentie van twee andered ehoeken te bewijzen?. TerugdenkenIk moet bewijzen dat IRB = )QCl.Deze zijdenspelen een rol in ÀRBP en

^QCP, maar ook in

I,RBC et L,QCB.Met welk van deze paren kom ikverder?. Plan makenUit het vooruitdenlen rveet ik dat A-4PB = LAPCdrs lPBl= lPCl en LABP = 1ACP. Yefier isLP,= LP, Tou.t"ruande hoeken).Dus AÀBP = AQCP (1lZlí). Dat is dus hetgeschikte paar driehoeken !

3 Bewiis gevenNu rog het bewijs netjes opschrijven; zie opdracht 13.

' ,l3 Schdjf het bewijs uit bovenstaand voorbeeld netjesen volledig op.Maak eerst een schematisch overzicht zoals hetschema naast opdracht 12.

14 Yierhoek ABCD is eeo trapezium met AB ll CD.De diagonalen ÀC en -BD snijden elkaar in punt.§.Verder is gegeven dat l,4§l = lBSlTe bewiizen: lDSl = lc.9la Verken het probleem en geef een bewijs als je datdirect ziet.

b Maak een aaalyse.c Sch jf het bewijs netjes uit.

íts ttadje bij de opdrachten 12 en 14 meer aau hetvooruitdenken ofjuist meer aan het terugdenken?