Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische...

31
Domein Meetkunde havo B 4 4 Vectormeetkunde Inhoud 4.1 Vectoren en kentallen 4.2 De vectorvoorstelling van een lijn 4.3 Het inproduct 4.4 Hoeken en lijnen 4.5 Overzicht Bijlage: de GeoGebra-applets bij deze module In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs

Transcript of Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische...

Page 1: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

Domein Meetkunde havo B

444 Vectormeetkunde Inhoud 4.1 Vectoren en kentallen 4.2 De vectorvoorstelling van een lijn 4.3 Het inproduct 4.4 Hoeken en lijnen 4.5 Overzicht Bijlage: de GeoGebra-applets bij deze module

In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs

Page 2: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 2

© cTWO Utrecht 2009 Dit lesmateriaal is ontwikkeld in het kader van de nieuwe examenprogramma’s zoals voorgesteld door de Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs. De gebruiker mag het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven en remixen (afgeleide werken maken) onder de volgende voorwaarden: • Naamsvermelding. De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de

licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met uw werk of uw gebruik van het werk).

• Niet-commercieel. De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.

• Gelijk delen. Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Testversie: jun 2009 Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen van cirkels 1.4 Snijden 1.5 Hoeken 1.6 Overzicht 2 Vectoren en goniometrie 2.1 Vectoren 2.2 Sinus, cosinus en tangens 2.3 De sinusregel 2.4 De cosinusregel 2.5 Overzicht 3 Hoeken en afstanden 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht 4 Vectormeetkunde 4.1 Vectoren en kentallen 4.2 De vectorvoorstelling van een lijn 4.3 Het inproduct 4.4 Hoeken en lijnen 4.5 Overzicht 5 Meetkundige berekeningen 5.1 Van 3D naar 2D 5.2 Hoeken en afstanden in 3D 5.3 Toepassingen 5.4 Overzicht

Page 3: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 3

1 Vectoren en kentallen Verkennen Een vliegtuig verplaatst zich eerst 20 minuten met een snelheid van 300 km/h en een koershoek van 30° t.o.v. het Oosten en vervolgens 50 minuten met een snelheid van 240 km/h en een koershoek van 315° t.o.v. het Oosten. Opgave 1 Hoeveel km heeft het zich naar het Oosten en het Zuiden verplaatst? Uitleg Ga na dat het vliegtuig zich eerst 100 km met een hoek van 30° t.o.v. het Oosten verplaatst en daarna 200 km met een hoek van 315° t.o.v. het Oosten. Noem je de twee snelheden 1v

!!" en 2v

!!", dan zijn de bijbehorende verplaatsingen

1s!!"

= 13 ! 1v!!"

en 2s!!"

= 56 ! 2v!!"

. Die voer je na elkaar uit. Daarbij doorloop je de bijbehorende vectoren na elkaar. Je legt ze “staart aan kop”. Het resultaat is dan een nieuwe vector r

! van startpunt naar eindpunt.

Je hebt beide vectoren 13 ! 1v!!"

en 56 ! 2v!!"

opgeteld.

De resultante is r! = 13 ! 1v

!!" + 56 ! 2v

!!".

Hier heeft 13 ! 1v!!"

een lengte van 100 en een richtingshoek van 30°.

Verder heeft 56 ! 2v!!"

een lengte van 200 en een richtingshoek van 315°. Je kunt van beide vectoren de x-component en de y-component bepalen. Deze componenten noem je de kentallen van de vector. Je gaat daarbij uit van een xy-assenstelsel met de x-as van West naar Oost. Dan is

13 ! 1v!!"

= 100cos(30 )100sin(30 )

! "# $% &

!

! = 50 350

! "# $# $% &

De kentallen van 56 ! 2v

!!" en de resultante r

! kun je nu ook gemakkelijk vinden.

Opgave 2 Bekijk de Uitleg nog eens. a) Laat zien hoe je aan de lengtes van de verplaatsingen komt. b) Bepaal de kentallen van 2v

!!".

c) Bepaal hieruit de kentallen van r!.

d) Welke lengte en welke richtingshoek heeft r!?

Page 4: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 4

Opgave 3 Bereken hoeveel km hetzelfde vliegtuig zich naar het Westen en het Zuiden heeft verplaatst als het eerst 30 minuten met 240 km/h onder 330° t.o.v. het Oosten en vervolgens 40 minuten met een snelheid van 210 km/h en een koershoek van 60° t.o.v. het Oosten vliegt. Theorie *************************************** Een vector v

!" maak je langer (of korter) door hem met een factor k te

vermenigvuldigen. Je noemt dit het scalair product van de vector met k.

Als v!"

= x

y

vv! "# $# $% &

, dan is x

y

k vk v

k v!" #

! = $ %$ %!& '

!".

Als k = "1 dan krijg je "v

!", het tegengestelde van v

!".

Twee vectoren a!"

en b!"

kun je optellen door ze “staart aan kop” te leggen of met behulp van een parallellogramconstructie. Je ziet dat in de figuur. Het resultaat heet de somvector van a

!" en

b!"

. Soms wordt ook het woord resultante gebruikt: r

! = a!"

+ b!"

. De kentallen van somvector r

! ontstaan

door de overeenkomstige kentallen van a!"

en b!"

op te tellen. Twee vectoren a

!" en b

!" kun je aftrekken door gebruik te maken van

( )a b a b! = + !!" !" !" !"

. Je telt dan bij a!"

het tegengestelde van b!"

op. Als je a

!" en "a

!" optelt krijg je de nulvector 0

!". Deze nulvector heeft geen richting

en lengte 0. ********************************************* Voorbeeld 1

Gegeven zijn de vectoren a!"

= 12! "# $% &

en b!"

= 31

! "# $%& '

.

Je kunt nu op twee manieren de vector r! = 0,5a

!" " b!"

tekenen. Je ziet dat in de figuur.

Ga na, dat r! = 0,5 !

12! "# $% &

" 31

! "# $%& '

= 0,5 1 3 2,50,5 2 1 2

! " "# $ # $=% & % &! " "' ( ' (

Page 5: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 5

Opgave 4

Hier zie je de vectoren 12

u!" #

= $ %& '

!" en

23

v ! "= # $% &

!".

a) Teken de vector u v+!" !"

. Gebruik de “staart aan kop” methode.

b) Teken de vector u v+!" !"

. Gebruik een parallellogramconstructie.

c) Teken de vector 2u!"

. d) Teken de vector 2 1,5u v+

!" !".

Gebruik ook nu beide manieren van tekenen van een somvector.

e) Teken de vector 2v!!".

f) Teken de vector 2 ( 2 )u v u v! = + !

!" !" !" !".

Opgave 5 Bepaal van alle vectoren uit opgave 4 de kentallen en bereken hun lengtes. Opgave 6 In een cartesisch assenstelsel Oxy zijn gegeven de punten A, B en C. Deze drie punten liggen niet op één lijn. a) Leg uit waarom AB

!!!" = OB!!!"

" OA!!!"

. b) Leg uit waarom AB

!!!" = "BA

!!!".

c) Leg uit waarom AB!!!"

= AC!!!"

" BC!!!"

. d) Leg uit waarom de afstand tussen A en B gelijk is aan |OB

!!!" " OA!!!"

|.

Page 6: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 6

Neem nu aan dat A(0,2), B(5,3) en C(3,6). e) Laat ook zien dat de uitspraken in a), b), c) en d) kloppen door met de

kentallen van de vectoren te werken. Opgave 7 Vectoren worden in de natuurkunde gebruikt om krachten weer te geven. Gegeven zijn twee krachten die op een lichaam werken. 1F

!!" heeft een grootte van

10 N en 2F!!"

heeft een grootte van 8 N. De hoek tussen beide krachten is 30°. a) Waarom is het voor het berekenen van de resultante van deze krachten van

belang dat ze hetzelfde aangrijpingspunt hebben? b) Teken de resultante R

!" van deze beide krachten.

c) Bereken de lengte van R!"

met behulp van de cosinusregel. Je kunt die lengte ook berekenen met behulp van kentallen als je een assenstelsel invoert. Neem het aangrijpingspunt van beide vectoren als oorsprong en leg de x-as langs vector 1F

!!".

d) Welke kentallen hebben beide vectoren nu? e) Bereken nu de kentallen van de somvector en de lengte van de somvector.

Ga na, dat je hetzelfde vindt als bij c). Opgave 8 Vector a

!" heeft een lengte van 5 en een richtingshoek van 35°.

Vector b!"

heeft een lengte van 4 en een richtingshoek van 110°. a) Teken in een assenstelsel de vectoren a

!", b!"

en a!"

+ b!"

. b) Bereken de kentallen van a

!" + b!"

. c) Bereken de lengte en de richtingshoek van a

!" + b!"

. Verwerken Opgave 9 Gegeven zijn de vectoren:

125

a ! "= # $% &

!",

1517

b!" #

= $ %& '

!",

58

c!" #

= $ %& '

!,

05

d ! "= # $%& '

!",

130

e ! "= # $% &

!" en

1325

f ! "= # $%& '

!

Bereken nu de kentallen en de lengtes van de vectoren: a) a

!" + b!"

b) b

!" " 2c

!

c) 5d!"

+ e!"

" f!

d) 0,5b!"

+ 1,5 f!

Opgave 10 Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel de punten A(10,20), B(15,20), C(16,22) en D(14,23). Bewijs met behulp van vectoren dat vierhoek ABCD een vlieger is.

Page 7: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 7

Opgave 11 Laurel en Hardy Een bekende stomme film is die waarin Stan Laurel en Oliver Hardy een piano vervoeren. Ze staan daarin ieder aan een kant tegen de piano te duwen. Oliver merkt dat er geen beweging in komt, dus hij gaat van opzij duwen. Ze duwen beiden met een kracht van 6 N. Hier zie je in de linkerfiguur een bovenaanzicht van de situatie.

a) Teken op het werkblad de richting waarin de piano volgens jou gaat

bewegen, aangenomen dat de wrijving met de vloer in alle richtingen even groot is.

b) Beiden gaan daarna de piano duwen volgens het bovenaanzicht dat je in de rechter figuur ziet. Oliver duwt nu twee keer zo hard als Stan. Maak zelf een bovenaanzicht van deze situatie. Neem voor de hoek tussen beide krachten 30°. Teken ook nu weer de richting waarin de piano gaat bewegen.

Opgave 12 Route in fjord Een vrachtboot S ligt voor de ingang van een fjord. Hij moet naar de haven H om te lossen. Eén hokje is 500 m bij 500 m. a) Teken een route met zo weinig

mogelijk koerswijzigingen. b) Meet de richtingshoek van de vector

van S naar H en vergelijk die met de som van de richtingshoeken van de routevectoren. Welke conclusies kun je trekken? Hoe zit dat met de lengtes van de betrokken vectoren?

c) Leg uit waarom in dit voorbeeld de somvector aan de éne kant wel en aan de andere kant toch ook weer niet als resultante van de delen gezien kan worden.

Opgave 13 Hellend vlak Een blok hout ligt op een hellend vlak. Het ondervindt een zwaartekracht van 500 N (newton). Bij welke hellingshoek van dit hellend vlak begint het blok naar beneden te glijden als de maximale wrijvingskracht van 200 N is? (In de figuur zijn alle krachten in honderdtallen N gegeven.)

Page 8: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 8

2 Vectorvoorstelling van een lijn Verkennen Punt A beweegt in de richting van vector

r!=21! "# $% &

.

Op t = 0 zit punt A in B(0,2). Op t = 1,5 zit punt A in (3;3,5). Vector OB

!!!" wordt voorgesteld door p

!".

Opgave 14 a) Teken zelf de situatie voor t = 2, t = 3, t = 0,5 en t = "1. b) Hoe komt het dat de eindpunten A van de vectoren v

!" = p!"

+ t ! r! allemaal

op dezelfde rechte lijn liggen? Uitleg 1 Als je de vector r

! langer maakt zie je punt A over een rechte lijn bewegen.

Bij elk punt A hoort een plaatsvector v!"

= p!"

+ t ! r! die overeen komt met de

coördinaten van het punt. Elk punt A(x,y) van de lijn uit de figuur is het eindpunt van de vector

xy

! "# $% &

= 02! "# $% &

+ t ! 21! "# $% &

Dit noem je een vectorvoorstelling van de lijn waar A op ligt. r! is een richtingsvector en p

!" is een plaatsvector van de lijn.

Elke rechte lijn is zo te beschrijven met behulp van een vectorvoorstelling. Je zult in de volgende opgaven zien dat er voor elke lijn verschillende vectorvoorstellingen mogelijk zijn. Opgave 15 Bekijk de Uitleg. a) Geef de coördinaten van de punten van de getekende lijn waarvoor t = 4,

t = "2, t = 0 en t = 1,5. b) Welke waarde heeft t in het punt (22,13)? Opgave 16 Ga nog steeds uit van de lijn door ("4,0) en (0,2). Punt A beweegt over die lijn. a) Op t = 0 zit het punt A in ("2,1) en op t = 1 zit A in (0,2).

Welke vectorvoorstelling kun je nu maken voor deze rechte lijn? b) Op p = 0 zit A in ("4,0) en op p = 1 zit A in (0,2).

Welke vectorvoorstelling kun je maken voor deze lijn? c) En welke vectorvoorstelling hoort er bij q = 0 in (2,3) en q = 1 in (0,2)?

Page 9: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 9

Opgave 17 Gegeven is de lijn l door de punten ("3,5) en (7,0). Punt P beweegt over lijn l. Op t = 0 zit P in ("3,5) en op t = 5 zit P in (7,0). a) Teken l in een cartesisch assenstelsel. b) Wat is de richtingsvector van deze lijn? c) Welke vectorvoorstelling past bij de beschreven situatie? Een ander punt Q beweegt ook over lijn l. Op t = 0 zit dit punt in ("1,4) en op t = 5 zit Q in (4;1,5). d) Bewegen beide punten even snel? e) Op welk tijdstip vallen beide punten samen? Opgave 18

Gegeven is de lijn l door de vectorvoorstelling xy

! "# $% &

= 04

! "# $% &

+ t ! 31

! "# $%& '

.

a) Wat is de richtingsvector van deze lijn? b) Teken l in een cartesisch assenstelsel.

c) Waarom is xy

! "# $% &

= 33! "# $% &

+ t ! 62

! "# $%& '

ook een goede vectorvoorstelling voor

deze lijn? d) Je weet dat elke rechte lijn kan worden beschreven door een vergelijking.

Welke vergelijking hoort bij deze rechte lijn? e) Hoe kun je de richtingscoëfficiënt van de lijn uit de richtingsvector afleiden? Uitleg 2

Bekijk nog eens de lijn l met vectorvoorstelling xy

! "# $% &

= 02! "# $% &

+ t ! 21! "# $% &

Elke rechte lijn kan worden beschreven door middel van een vergelijking. Je kunt een bij l passende vergelijking vinden door uit de kentallen van de richtingsvector af te leiden dat de richtingscoëfficiënt van de lijn 12 is. Immers “2 naar rechts en 1 omhoog” geeft dezelfde richting aan als “1 naar rechts en 12 omhoog”. Omdat l ook door het punt (0,2) gaat is de bijbehorende vergelijking y = 12 x + 2. Elk punt A op de lijn heeft coördinaten (0 + 2t,2 + t). Je kunt gemakkelijk nagaan dat deze coördinaten voor elke waarde van t ook aan de vergelijking voldoen. Vergelijking en vectorvoorstelling zijn beide geschikte manieren om een lijn te beschrijven.

Page 10: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 10

Opgave 19 Bekijk Uitleg 2. a) Leg uit hoe je de vergelijking van de lijn kunt maakt. b) Controleer dat de punten die horen bij t = 0, t = 1, t = 2,5 en t = "2 ook

inderdaad aan de vergelijking van de lijn voldoen. c) Laat zien dat A(2t,2 + t) voor elke t aan de vergelijking voldoet. Opgave 20

Gegeven is de lijn l door de vectorvoorstelling xy

! "# $% &

= 14

! "# $% &

+ t ! 25!" #

$ %& '

.

a) Stel bij deze lijn een vergelijking op. b) Stel bij deze lijn een andere vectorvoorstelling op en laat zien dat ook uit

deze vectorvoorstelling dezelfde vergelijking voor de lijn volgt. Theorie*************************************** Je ziet hier hoe je de plaats een willekeurig punt A dat over een rechte lijn beweegt door t te variëren kunt beschrijven met twee vectoren: ! een plaatsvector p

!"

! een richtingsvector r! (bij

t = 1) Neem lijn l door B("1,2) met

r! =

21! "# $% &

.

Naar elk punt A(x,y) van l wijst een vector xy

! "# $% &

= 12!" #

$ %& '

+ t ! 21! "# $% &

Dit noem je een vectorvoorstelling van de lijn l. De plaatsvector is een vector vanuit O(0,0) naar een punt B op de lijn, de richtingsvector ligt op de lijn. Uit een vectorvoorstelling kun je een vergelijking van lijn l afleiden. Door de kentallen van de richtingsvector op elkaar te delen vind je dat de richtingscoëfficiënt van de lijn 12 is. De bijbehorende vergelijking is y = 12 x + 2 1

2 . *********************************************

Page 11: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 11

Voorbeeld 1 Stel een vectorvoorstelling op van de lijn door P("2,3) en Q(4,0). Maak vervolgens vanuit de vectorvoorstelling een vergelijking van lijn PQ. Uitwerking: Kies bijvoorbeeld:

! als plaatsvector OP!!!"

= 23!" #

$ %& '

! als richtingsvector PQ!!!"

= 63

! "# $%& '

Eventueel kun je de richtingsvector nog korter maken door beide kentallen door 3 te delen. De vectorvoorstelling wordt dan: xy

! "# $% &

= 23!" #

$ %& '

+ t ! 21

! "# $%& '

Bij deze richtingsvector hoort een richtingscoëfficiënt van 1

2! = "0,5.

De vergelijking van de lijn wordt dan y = "0,5x + b. Omdat de lijn door P("2,3) gaat, geldt 3 = "0,5 ! "2 + b en dus b = 2. De vergelijking van lijn PQ wordt: y = "0,5x + 2. Opgave 21 Stel een vectorvoorstelling op van de lijn door P("3,0) en Q(2,5). Opgave 22 Gegeven is de lijn l door A("2,5) en B(1,"1). a) Stel een vectorvoorstelling van l op. b) Bereken de richtingscoëfficiënt van l. c) Stel een vergelijking op van l. Opgave 23 Gegeven is de lijn l met vergelijking 4x + 3y = 6. a) Bepaal twee punten op deze lijn en stel met behulp daarvan een

bijpassende vectorvoorstelling op. b) Bepaal vanuit de gegeven vergelijking de richtingscoëfficiënt en laat zien

dat die past bij de in a) gevonden richtingsvector. Opgave 24

Teken de lijn l met vectorvoorstelling xy

! "# $% &

= 23!" #

$ %& '

+ t ! 21! "# $% &

en de lijn m door

(0,6) die loodrecht staat op l. Welke richtingsvector heeft m? Stel een bijpassende vectorvoorstelling voor m op.

Page 12: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 12

Voorbeeld 2

Gegeven zijn de lijnen l: xy

! "# $% &

= 23!" #

$ %& '

+ p ! 21! "# $% &

en m: xy

! "# $% &

= 04

! "# $% &

+ q ! 31

! "# $%& '

.

Bereken het snijpunt van beide lijnen. Uitwerking: Elk punt van l heeft de coördinaten ("2 + 2p,3 + p). Elk punt van m heeft de coördinaten (3q,4 " q). Voor het snijpunt geldt daarom "2 + 2p = 3q en 3 + p = 4 " q. Dit is een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Zo’n stelsel kun je oplossen. Ga na, dat je vindt: p = 1 en q = 0. Het snijpunt is daarom (0,4). Opgave 25 Bekijk Voorbeeld 2. a) Los zelf het stelsel vergelijkingen op. b) Wat doe je met de gevonden waarden van p en q om het snijpunt te

vinden? Opgave 26 Bereken de snijpunten van de lijnen l en m als:

a) l: xy

! "# $% &

= 15!" #

$ %& '

+ p ! 23

! "# $%& '

en m: xy

! "# $% &

= 02

! "# $%& '

+ q ! 31! "# $% &

b) l: 2x + y = 6 en m: xy

! "# $% &

= 41! "# $% &

+ q ! 14!" #

$ %& '

c) l: xy

! "# $% &

= 15!" #

$ %& '

+ p ! 23

! "# $%& '

en m is de x-as

Voorbeeld 3 Bereken de snijpunten van de lijn door P(–2,3) en Q(4,0) en de cirkel met middelpunt M(5,2) en straal 10 . Uitwerking: Een mogelijke vectorvoorstelling van lijn PQ is: xy

! "# $% &

= 23!" #

$ %& '

+ t ! 21

! "# $%& '

Zie Voorbeeld 1.

De cirkel heeft vergelijking (x " 5)2 + (y " 2)2 = 10.

Voor een punt (x,y) op lijn PQ geldt: (x,y)=("2 + 2t,3 " t).

Vul je dit voor x en y in de cirkelvergelijking in, dan krijg je (2t " 7)2 + (1 " t)2 = 10 en dus t 2 " 6 t + 8 = 0. Dit geeft t = 2 of t = 4. De twee punten zijn (2,1) en (6,"1).

Page 13: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 13

Opgave 27 Schrijf de berekening in Voorbeeld 2 zelf uitgebreid uit. Opgave 28

Bereken de snijpunten van de lijn l met vectorvoorstelling xy

! "# $% &

= 27! "# $% &

+ t ! 103

! "# $% &

en de cirkel c met middelpunt M(12,10) door P(9,6). Opgave 29 Lijn l gaat door A("12,17) en B(5,0) en lijn m gaat door C("3,5) en D(9,11). a) Bereken het snijpunt van l en m door vectorvoorstellingen van beide lijnen

te gebruiken. b) Bereken het snijpunt van l en m door vergelijkingen van beide lijnen te

gebruiken. c) Bereken het snijpunt van l en m door van l een vergelijking en van m een

vectorvoorstelling te gebruiken. Verwerken Opgave 30 Maak bij de volgende lijnen een passende vectorvoorstelling: a) de lijn l door P("20,45) en Q(30,15); b) de lijn m met vergelijking 2x " 5y = 10; c) de lijn n door P("20,45) en loodrecht op m; d) de x-as; e) de lijn p met vergelijking x = 2. Opgave 31 Bereken de snijpunten van a) de lijn l door P("20,45) en Q(30,15) en de lijn m: 2x " 5y = 10 b) de lijn n die bestaat uit alle punten A(4 " 2t,3t) en de lijn m c) de lijn n en de x-as d) de lijn l en de cirkel c met als middelpunt het midden van PQ en straal

5 13 . Opgave 32 De punten O(0,0), A(8,2) en B(4,10) zijn de hoekpunten van #OAB. a) Stel een vectorvoorstelling op van de zwaartelijn door O. b) Stel een vectorvoorstelling op van de middelloodlijn van OA. c) Bereken het snijpunt van deze twee lijnen. d) Toon aan dat de zwaartelijnen in deze driehoek door één punt gaan. Opgave 33 Raaklijn aan een cirkel (1) Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 = 13 met daarop het punt P(2,3). De raaklijn in P aan deze cirkel staat loodrecht op de staal OP. a) Welke vector hoort bij deze straal? b) De richtingsvector van de lijn staat loodrecht op die vector. Welke

richtingsvector heeft de raaklijn in P dus? c) Stel een vectorvoorstelling van de raaklijn in P aan c op.

Page 14: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 14

Opgave 34 Raaklijn aan een cirkel (2)

Gegeven zijn de lijn lp met vectorvoorstelling xy

! "# $% &

= 03! "# $% &

+ t ! 1p

! "# $% &

en de cirkel c

met vergelijking x2 + y2 = 8. De lijn lp raakt cirkel c. Bereken de mogelijke waarden van p. Opgave 35 Botsing? Twee punten A en B bewegen in een cartesisch assenstelsel volgens een rechte lijn. Op t = 0 zit punt A in (0,4) en punt B in (6,0). Op t = 5 zit punt A in (10,6) en punt B in (11,4). a) Bereken het snijpunt S van de banen die deze punten doorlopen. b) Botsen deze punten in S?

Page 15: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 15

3 Inproduct Verkennen Hier zie je in een bovenaanzicht hoe iemand een lorrie van A naar B trekt met een trekkracht van 10 N. Als de vector F

!" die de trekkracht voorstelt dezelfde

richting heeft als de afgelegde weg s!, dan is de arbeid W die wordt verricht

gelijk aan W = |F!"

| ! | s!

|. De afgelegde weg is 20 m. Dit betekent dat de kracht een arbeid van W = 10 ! 20 = 200 Nm verricht.

Maar hoe zit dit als de trekkracht niet dezelfde richting heeft als de afgelegde weg, m.a.w. als degene die de lorrie trekt naast het spoor loopt? Ga er van uit dat de trekkracht en de afgelegde weg gelijk blijven. Alleen maakt de kracht nu een hoek met de bewegingsrichting.

Opgave 36 Bekijk de figuur. Kies de richting van de afgelegde weg als positieve x-richting. a) Waarom verricht nu alleen xF

!!", dus de x-component van F

!", arbeid?

b) Laat zien dat de grootte van xF!!"

inderdaad ongeveer 9,6 N en dat de verrichte arbeid ongeveer 192,4 Nm is.

c) Is deze arbeid W zelf ook een vector? d) Leg uit waarom W = |F

!"| ! | s

!| ! cos(!) als ! de hoek is die F

!" met s

!

maakt. Uitleg |F!"

| ! | s!| ! cos(!) heet het inproduct van de vectoren F

!" en s

! als beide een

hoek ! met elkaar maken. De bijbehorende schrijfwijze is: F

!" ! s!

. Het inproduct van deze vectoren is zelf geen vector, maar een getal. Als F

!" en s

! dezelfde richting hebben is F

!" ! s! = |F

!"| ! | s

!| want cos(0°) = 1.

Page 16: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 16

In het algemeen geldt voor het inproduct van twee vectoren a

!" en b

!" die een hoek " met

elkaar maken: a!"

! b!"

= | a!"

| ! |b!"

| ! cos(") Kies je een geschikt cartesisch assenstelsel, dan kun je twee vectoren a

!" en b

!" met kentallen

beschrijven. En daarmee kun je eenvoudig een manier afleiden om het inproduct van twee vectoren vanuit de kentallen te berekenen.

Neem a!"

= x

y

aa

! "# $# $% &

en b!"

= x

y

bb

! "# $# $% &

.

In de figuur zie je a!"

, b!"

en a!"

" b!"

getekend. De eindpunten van a!"

en b!"

zijn A en B, het beginpunt van beide vectoren is P. In #PAB geldt de cosinusregel: AB2 = PA2 + PB2 " 2 ! PA ! PB ! cos(") Nu is: ! AB2 = |a

!" " b

!"|2 = (ax " bx)2 + (ay " by)2

! PA2 = ax2 + ay

2 ! PB2 = bx

2 + by2

Als je dit in de cosinusregel invult en wat rekenwerk doet, krijg je: 2axbx + 2ayby = 2 2 2

x ya a+ 2 2x yb b+ cos(")

Delen door 2 en bedenken dat 2 2x ya a+ =|a

!"| en 2 2

x yb b+ =|b!"

| levert op:

|a!"

| ! |b!"

| ! cos(") = axbx + ayby

Kennelijk is het inproduct van twee vectoren a!"

= x

y

aa

! "# $# $% &

en b!"

= x

y

bb

! "# $# $% &

ook gelijk

aan axbx + ayby. Je hoeft alleen maar de overeenkomstige kentallen te vermenigvuldigen en de twee uitkomsten op te tellen om het inproduct van beide vectoren te krijgen. Opgave 37

Bekijk de Uitleg. Neem nu de vectoren a!"

=23!" #

$ %& '

en b!"

=21! "# $% &

.

a) Bereken de lengtes en de richtingshoeken van beide vectoren. b) Bepaal nu de hoek " tussen beide vectoren en bereken het inproduct met

behulp van a!"

! b!"

= | a!"

| ! |b!"

| ! cos("). c) Bereken het inproduct beide vectoren ook door de overeenkomstige

kentallen te vermenigvuldigen en op te tellen.

Page 17: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 17

Opgave 38 Je hebt in de voorgaande opgave het inproduct a

!" ! b!"

berekend van de vectoren

a!"

= 23!" #

$ %& '

en b!"

= 21! "# $% &

.

Nu weet je ook dat a!"

! b!"

= | a!"

| ! |b!"

| ! cos(") waarin " de hoek tussen a!"

en b!"

is. Bereken daarmee de hoek " tussen beide vectoren en laat zien dat je hetzelfde vindt dan in opgave 37b. Opgave 39

Neem a!"

= 15

! "# $%& '

en b!"

= 32

!" #$ %!& '

.

a) Bereken het inproduct van beide vectoren. b) Gebruik dit inproduct om de hoek " tussen a

!" en b

!" te berekenen.

Opgave 40

Neem a!"

= x

y

aa

! "# $# $% &

en b!"

= x

y

bb

! "# $# $% &

en laat zelf met behulp van de cosinusregel zien

dat a!"

! b!"

= ax ! bx + ay ! by. Theorie ************************************** Onder het inproduct of inwendig product van de vectoren a

!" en b

!" versta je

a!"

! b!"

= | a!"

| ! |b!"

| ! cos(") waarin " de hoek tussen a

!" en b

!" is.

Als beide vectoren in een cartesisch assenstelsel zitten, dan kun je ze met hun

kentallen beschrijven: a!"

= x

y

aa

! "# $# $% &

en b!"

= x

y

bb

! "# $# $% &

.

In dat geval is het inproduct te berekenen door de overeenkomstige kentallen te vermenigvuldigen en het resultaat op te tellen: a!"

! b!"

= ax ! bx + ay ! by Dit betekent dat |a

!"| ! |b

!"| ! cos(") = ax ! bx + ay ! by.

Hiervan kun je goed gebruik maken bij het berekenen van de hoek " tussen a!"

en b

!". Belangrijk is nog dat van twee onderling loodrechte vectoren het inproduct

altijd 0 is omdat de hoek tussen beide 90° is. *********************************************

Page 18: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 18

Voorbeeld

Bereken de hoek tussen de vectoren a!"

= 14

! "# $%& '

en b!"

= 32

!" #$ %!& '

.

Uitwerking: Natuurlijk kan dit met de cosinusregel. Maar het inproduct is ook een handig hulpmiddel. Ga na, dat a

!" ! b!"

= 1 ! "3 + "4 ! "2 = 5 Verder is a

!" ! b!"

= |a!"

| ! |b!"

| ! cos("), dus 5 = 17 ! 13 ! cos(").

Voor de hoek " tussen beide vectoren geldt: cos(") = 517 13!

.

En dus is " $ 70,3°. Opgave 41

Bereken de hoek tussen a!"

= 14!" #

$ %& '

en b!"

= 32

! "# $%& '

in één decimaal nauwkeurig.

Opgave 42 Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel de punten A(10,20), B(15,20), C(16,22) en D(14,23). Bereken met behulp van vectoren de hoeken van vierhoek ABCD. Opgave 43

Gegeven: 125

a ! "= # $% &

!",

1536

b!" #

= $ %& '

!",

62,5

c ! "= # $% &

!,

05

d ! "= # $%& '

!",

130

e ! "= # $% &

!" en

1024

f ! "= # $%& '

!.

Van welke van deze vectoren is het inproduct gelijk aan het product van hun lengtes? Hoe kun je dat aan hun kentallen zien? Opgave 44

Gegeven: 125

a ! "= # $% &

!",

1536

b!" #

= $ %& '

!",

62,5

c ! "= # $% &

!,

05

d ! "= # $%& '

!",

130

e ! "= # $% &

!" en

1024

f ! "= # $%& '

!.

Van welk van deze vectoren is het inproduct 0? Hoe kun je dat aan hun kentallen zien? Opgave 45 Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel de punten A(10,20), B(15,20), C(16,22) en D(14,23). Toon aan dat vierhoek ABCD een vlieger is door te laten zien dat beide diagonalen loodrecht op elkaar staan en dat diagonaal AC de andere diagonaal doormidden deelt. Verwerken Opgave 46

Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen a!"

= 25!" #

$ %& '

en b!"

= 31! "# $% &

Page 19: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 19

Opgave 47 Bereken in graden nauwkeurig de hoeken van #PQR als P("5,10), Q(7,7) en R(0,12). Opgave 48 Bootje in sloot Een bootje wordt door een jongen en een twee keer zo sterke man door het midden van een sloot getrokken. De jongen en de man lopen ieder aan een andere kant van de sloot. De boot blijft in het midden van de sloot varen. De man trekt met een kracht van 10 N en onder een hoek van 20° met de vaarrichting. a) Laat in een bovenaanzicht de vectoren zien die de twee trekkrachten

voorstellen. b) Welke arbeid verrichten beiden samen als ze het bootje 1 km voorttrekken? c) Verrichten ze beiden evenveel arbeid? Opgave 49 Gelijkbenige driehoek Elke gelijkbenige driehoek kan door een goede keuze van het assenstelsel de hoekpunten A("a,0), B(a,0) en C(0,c) hebben (a en c beide positief). Toon met behulp van het inproduct aan dat de zwaartelijn uit C bissectrice is van %C.

Page 20: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 20

4 Hoeken en lijnen Verkennen Je hebt leren werken met het inproduct om hoeken tussen vectoren te berekenen. Opgave 50

Teken de lijnen l: xy

! "# $% &

= 23!" #

$ %& '

+ p ! 21! "# $% &

en m: xy

! "# $% &

= 04

! "# $% &

+ q ! 31

! "# $%& '

in een

cartesisch assenstelsel. a) Welke vectoren bepalen de richting van deze lijnen? b) Bereken de hoek tussen de in a) bedoelde vectoren. c) Is de hoek die beide lijnen met elkaar maken automatisch gelijk aan deze

hoek? Uitleg 1 De hoek tussen twee lijnen bereken je door de hoek tussen hun richtingsvectoren te berekenen. Dat doe je met het inproduct van beide richtingsvectoren. Afhankelijk van je keuze van de richtingsvectoren krijg je meteen de gewenste scherpe hoek of juist een stompe hoek. In dat laatste geval moet je die stompe hoek nog omrekenen naar de bijpassende scherpe hoek. Als die hoek 90° is, dan staat de richtingsvector van de éne lijn loodrecht op die van de andere. Je zegt dan dat de éne richtingsvector een normaalvector van de andere lijn is. Controleer met het inproduct dat een lijn met

richtingsvector ab

! "# $% &

als normaalvector ba

! "# $%& '

(of veelvoud hiervan) heeft.

Met behulp van een normaalvector bepaal je snel een vectorvoorstelling van een loodlijn door een bepaald punt op een gegeven lijn. Opgave 51

Gegeven zijn de lijnen l: xy

! "# $% &

= 21!" #

$ %& '

+ p ! 31! "# $% &

en m: xy

! "# $% &

= 01

! "# $%& '

+ q ! 23

! "# $%& '

a) Bereken met behulp van het inproduct de hoek tussen beide richtingsvectoren.

b) Is deze hoek gelijk aan de hoek tussen l en m? Licht je antwoord toe.

Page 21: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 21

Opgave 52

Gegeven zijn de lijnen k: xy

! "# $% &

= 21!" #

$ %& '

+ p ! 31!" #

$ %& '

en m: xy

! "# $% &

= 01

! "# $%& '

+ q ! 21

! "# $%& '

a) Bereken met behulp van het inproduct de hoek tussen beide richtingsvectoren.

b) Is deze hoek gelijk aan de hoek tussen l en m? Leg uit waarom. Opgave 53

Gegeven is de lijn k: xy

! "# $% &

= 21!" #

$ %& '

+ t ! 31!" #

$ %& '

.

a) Welke normaalvector heeft k? b) Stel een vectorvoorstelling op van de lijn door O en loodrecht op k. Uitleg 2 Bijzonder handig is het dat de normaalvector van een lijn gemakkelijk uit de vergelijking ervan is af te lezen. In de figuur zie je de lijn l: "x + 3y = 5.

Een normaalvector is n!"

= 13!" #

$ %& '

.

Merk op dat de kentallen van deze normaalvector precies de coëfficiënten van x en y in de gegeven vergelijking zijn. Je hoeft daarvoor niet eerst de richtingscoëfficiënt en de richtingsvector van de lijn te bepalen, maar kunt de normaalvector rechtstreeks uit de vergelijking van de lijn aflezen. Opgave 54 Neem de lijn l: "x + 3y = 5. a) Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn. b) Bepaal een bijpassende richtingsvector. c) Stel een complete vectorvoorstelling van l op. d) Bepaal de normaalvector vanuit de richtingsvector van l. Komt je antwoord

overeen met dat in Uitleg 2? Opgave 55

Gegeven lijn m: xy

! "# $% &

= 01

! "# $%& '

+ t ! 21

! "# $%& '

.

a) Bepaal de richtingsvector en de normaalvector van m. b) Leg uit hoe je nu gemakkelijk de vergelijking van m kunt maken. c) Maak nu ook zo handig mogelijk de vergelijking van de loodlijn p door (2,3)

op m.

Page 22: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 22

Theorie*************************************

Onder de hoek tussen twee lijnen versta je de scherpe hoek die beide lijnen met elkaar maken. Je kunt die hoek berekenen door de hoek tussen beide richtingsvectoren te berekenen. Als die hoek ! is, is de hoek tussen beide lijnen de kleinste van de hoeken ! en 180° " !.

Een normaalvector is een vector die loodrecht staat op een gegeven lijn.

Een lijn met richtingsvector r! = x

y

rr

! "# $# $% &

heeft normaalvector n!"

= y

x

r

r

!" #$ %$ %& '

of een

veelvoud ervan.

Een lijn met vergelijking ax + by = c heeft

! een normaalvector ab

! "# $% &

! een richtingsvector ba!" #

$ %& '

Hiermee kun je gemakkelijk van vergelijkingen naar vectorvoorstellingen overschakelen en omgekeerd.

********************************************* Voorbeeld 1 Bereken de hoek die de lijn l: 4x + 3y = 12 maakt met de lijn m door de punten A(–2,1) en B(4,3). Uitwerking De snelste manier om een richtingsvector van l te vinden is het aflezen van een normaalvector uit de vergelijking.

Die normaalvector is 43! "# $% &

, dus een richtingsvector van l is 34!" #

$ %& '

.

Van lijn m vind je een richtingsvector vanuit de twee punten waar hij door gaat.

Een richtingsvector van m is 4 23 1! !" #

$ %!& ' =

62! "# $% &

.

Met behulp van het inproduct van beide richtingsvectoren vind je de hoek ertussen. Het wordt een stompe hoek van ongeveer 108,4°. Ga dit zelf na. En ga ook na, dat de hoek tussen beide lijnen dus ongeveer 71,6° is. Opgave 56 Bereken de hoek die de lijnen p: x " 2y = 8 en q: 5x + 3y = 10 in graden nauwkeurig. Opgave 57 Bereken de hoek die de lijn door A(0,4) en B(5,0) maakt met de lijn door C(0,"2) en D("10,0).

Page 23: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 23

Opgave 58 Gegeven is de lijn PQ door P("5,3) en Q(1,1) en punt A(4,8). a) Stel een vectorvoorstelling op van de lijn l door A en loodrecht op PQ. b) Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de lijnen PQ en l. c) Bereken nu de afstand van A tot lijn l. Voorbeeld 2 Stel een vergelijking op van de raaklijn r in het punt P(3,5) aan de cirkel c: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 13. Uitwerking Ga na, dat de vector van het middelpunt M(1,2) naar punt P een normaalvector van de raaklijn is.

Dus is de normaalvector van de raaklijn MP!!!"

= 3 15 2!" #

$ %!& ' =

23! "# $% &

.

De vergelijking van de raaklijn is daarom van de vorm 2x + 3y = c. Omdat hij door P(3,5) gaat is 2 · 3 + 3 · 5 = c, dus c = 21. Dus r heeft vergelijking 2x + 3y = 21. Opgave 59 Stel een vergelijking op van de raaklijn r in het punt P(4,3) aan de cirkel c met vergelijking x2 + y2 = 25. Opgave 60 Stel een vergelijking op van de raaklijn r in het punt P(4,3) op de cirkel c met middelpunt M(2,1). Verwerken Opgave 61 De drie lijnen l: x + 3y = 6, m: 4x " y + 2 = 0 en n: x + y = 6 sluiten een driehoek ABC in. Bereken de hoeken van deze driehoek in graden nauwkeurig. Opgave 62 Driehoek PQR is gegeven door P("5,10), Q(7,7) en R(0,12). a) Bereken de coördinaten van het zwaartepunt (het snijpunt van de drie

zwaartelijnen) van deze driehoek. b) Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen de hoogtelijn door P en de

zwaartelijn door P. Driehoek KLR is gegeven door K("3,5) en L(6,14). c) Het snijpunt van de drie middelloodlijnen van #KLR is het middelpunt van

de omgeschreven cirkel. Stel een vergelijking van die cirkel op. d) Bereken de hoek waaronder die cirkel de y-as snijdt. Opgave 63 Bereken de afstand tussen de lijnen p: 2x + 3y = 6 en q: 2x + 3y = 8.

Page 24: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 24

Opgave 64 Cirkel aan gegeven raaklijn (1) Een cirkel c met het middelpunt op de y-as raakt de lijn l: x + 3y = 6 in het punt P(3,1). Bereken het middelpunt en de straal van die cirkel. Opgave 65 Lijnen die gegeven lijn onder bepaalde hoek snijden Stel vergelijkingen op van de twee lijnen door (0,2) die de lijn l: x + 3y = 6 snijden onder een hoek van 60°.

Page 25: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 25

Overzicht Je hebt nu alle theorie van het onderwerp “Vectormeetkunde” doorgewerkt. Het is nu tijd om een overzicht over het geheel te krijgen. Begrippenlijst 41: somvector, resultante — scalair product — nulvector 42: richtingsvector, plaatsvector, vectorvoorstelling van een lijn 43: inproduct van twee vectoren 44: normaal en normaalvector van een lijn — hoek tussen twee lijnen Activiteitenlijst 41: vectoren meetkundig optellen, aftrekken, scalair vermenigvuldigen — vectoren optellen, aftrekken, scalair vermenigvuldigen vanuit kentallen 42: vectorvoorstelling van een lijn opstellen — vectorvoorstellingen omzetten in vergelijkingen en omgekeerd 43: het inproduct van twee vectoren berekenen, ook vanuit de kentallen — het inproduct gebruiken om hoeken tussen twee vectoren te berekenen — het inproduct gebruiken om loodrechte stand aan te tonen 44: het werken met vectoren en hun inproduct toepassen op het berekenen van hoeken in de vlakke meetkunde — werken met normaalvectoren om het rekenwerk te vereenvoudigen Opgave 66 Samenvatten Maak een samenvatting van dit onderwerp door bij elk van de genoemde begrippen een omschrijving of een voorbeeld te geven en bij elk van de genoemde activiteiten een voorbeeldberekening te geven. Toetsen Opgave 67

Gegeven zijn de lijnen l: xy

! "# $% &

= p12!" #

$ %& '

en m: xy

! "# $% &

= 14

! "# $% &

+ q32!" #

$ %& '

.

a) Bereken de hoek tussen beide lijnen. b) Bereken de coördinaten van het snijpunt S van beide lijnen. c) Bereken de afstand van punt P(0,10) tot lijn m. Opgave 68 De lijn l met vergelijking x + y = 4 snijdt de cirkel c: (x " 4)2 + (y " 2)2 = 10 in de punten A en B. Punt A heeft positieve coördinaten. De raaklijn in A en de raaklijn in B aan cirkel c snijden elkaar in punt S. a) Bereken de coördinaten van S. b) Bereken de grootte van de hoeken van vierhoek ASBM, waarin M het

middelpunt van cirkel c is.

Page 26: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 26

c) Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op één cirkel liggen. Toon aan dat vierhoek ASBM een koordenvierhoek is.

Opgave 69 Gegeven zijn de punten O(0,0), A(5,1) en C(1,5). Vlieger OABC heeft een oppervlakte van 64 roostereenheden. Bereken de coördinaten van punt B. Opgave 70 De lijn m raakt de cirkel c: x2 + y2 = 8 in het punt (2,2).

De cosinus van de hoek die de lijn lp: xy

! "# $% &

= 03! "# $% &

+ t ! 1p

! "# $% &

maakt met m is 15

.

Bereken p. (Bron: HAVO examen wiskunde in 1980, eerste tijdvak) Opgave 71 Ten opzichte van een cartesisch assenstelsel Oxy zijn gegeven de lijn k met vergelijking x + 2y = 10 en voor elke reële waarde van p de lijn lp met

vectorvoorstelling xy

! "# $% &

= 51

! "# $%& '

+ t ! 3p

! "# $% &

.

a) Bereken de hoek die k en l1 met elkaar maken. b) De lijn l4 raakt een cirkel c met middelpunt (1,"3).

Stel een vergelijking van c op. c) De lijn m is het beeld van k bij draaiing om O over 90°.

Voor welke p geldt dat het snijpunt van k en m op lp ligt? (Bron: HAVO examen wiskunde in 1981, eerste tijdvak) Opgave 72 De punten A(7,0) en B(4,3) liggen in een cartesisch assenstelsel Oxy. a) Stel een vergelijking op van de cirkel c1 met middelpunt O die lijn AB raakt. b) De cirkel c2 gaat door O, A en B.

Stel een vectorvoorstelling op van de raaklijn in O aan c2. c) Op het lijnstuk AB ligt het punt P zo, dat %AOP = %POB.

Bereken de coördinaten van P. (Bron: HAVO examen wiskunde in 1982, eerste tijdvak) Opgave 73 Gegeven zijn ten opzichte van een cartesisch assenstelsel de punten A(2,"3) en

voor elke waarde van p de lijn lp met vectorvoorstelling xy

! "# $% &

= 3p

! "# $% &

+ t ! 21

! "# $%& '

.

a) De punten A en A’ zijn elkaars spiegelbeeld ten opzicht van l1. Bereken de coördinaten van A’.

b) Lijn lp snijdt de x-as in een punt B en de y-as in een punt C zo, dat de oppervlakte van driehoek BCO gelijk is aan 25. Bereken p.

c) Voor welke waarden van p ligt het snijpunt van lp en de lijn met vergelijking 2x + 3y = 9 in het vierde kwadrant?

(Bron: HAVO examen wiskunde in 1986, eerste tijdvak)

Page 27: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 4 – Vectormeetkunde 27

Toepassen Opgave 74 De rechte van Euler De beroemde wiskundige Leonhard Euler (1707 – 1783) toonde aan dat in elke driehoek het snijpunt H van de hoogtelijnen, het snijpunt Z van de zwaartelijnen en het snijpunt M van de middelloodlijnen op één lijn liggen. Die lijn heet de rechte van Euler. Neem de driehoek ABC met A("2,0), B(4,0) en C(0,6). Toon aan dat de drie genoemde punten inderdaad op één lijn liggen in deze driehoek en stel een vergelijking van die lijn op. * Je bewijst dit voor elke driehoek als je A(a,0), B(b,0) en C(0,c) neemt. Durf je die uitdaging aan? Opgave 75 Schuurdeur In een grote schuur wordt een schuurdeur gemaakt. De deur wordt 3 m breed en aan de zijkanten 2 m hoog. De bovenkant is een cirkelboog. In vooraanzicht van de schuur kun je onder andere zien, dat hij in het midden 5 m hoog is en aan de zijkanten 2 m hoog. De schuur is 10 m breed en de schuurdeur komt precies in het midden. Voor het gemak is een assenstelsel aangebracht. Op de twee plaatsen waar de cirkelboog op de rechtop staande balken links en rechts van de deur komt te rusten, zijn de raaklijnen (stippellijnen) aan de cirkelboog evenwijdig met de dakhelling. a) Bereken de coördinaten van het middelpunt van de cirkel waar de

cirkelboog een deel van is. b) Bereken de lengte van de cirkelboog. c) Bereken de totale oppervlakte van deze deur.

Page 28: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

Domein Meetkunde Havo B H.4: Vectormeetkunde

§1 1. Oosten: 228,0 km Zuiden: 91,4 km 2a) -

b) !!"

#$$%

&

'=

21202120

2v

c) !!"

#$$%

&

'+=

2100502100350r

d) 7,245=r , hoek=338,2o

3. westen: 70360 !! Zuiden: 37060+! 4. -

5a) !!"

#$$%

&51

, lengte = 26

b) idem

c) !!"

#$$%

&'42

, lengte = 52

d) !!"

#$$%

&

2181

, lengte = 4173

e) !!"

#$$%

&''64

, lengte = 132

f) !!"

#$$%

&''45

, lengte = 41

6e) !!"

#$$%

&=15

AB , !!"

#$$%

&=43

AC , !!"

#$$%

&'=

32

BC

26=AB

7a) - b) - c) 380164+=R

d) !!"

#$$%

&=010

1F , !!"

#$$%

&=

434

2F

e) !!"

#$$%

& +=43410R , 380164+=R

8a) -

b) !!"

#$$%

&++

=+)110sin(4)35sin(5)110cos(4)35cos(5

oo

oo

ba

c) 2,7=+ba , richtingshoek=67,6o

9a) !!"

#$$%

&'223

b) !!"

#$$%

&'15

c) !!"

#$$%

&00

d) !!"

#$$%

&' 2912

10. !!"

#$$%

&=26

AC , !!"

#$$%

&'=31

BD , BDAC !

5== ABAD , 5== BCDC

11. 12. 13. 23,6o

§2 14a) (4,3) , (6,5) , (1,2!) , (-2,1) b) - 15a) (8,6) , (-4,0) , (0,2) , (1,2!) b) t=11

16a) !!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&(=!!"

#$$%

&12

12

tyx

b) !!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&(=!!"

#$$%

&24

04

pyx

c) !!"

#$$%

&''

(+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&12

32

qyx

17a) -

b) !!"

#$$%

&510

c) !!"

#$$%

&'

(+!!"

#$$%

&'=!!"

#$$%

&510

53

tyx

d) nee e) 9

2=t

Page 29: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

18a) !!"

#$$%

&'

=13

.. lvr

b) (3,3) ligt op l ,

!!"

#$$%

&' 26

en !!"

#$$%

&'13

hebben dezelfde

richting c) 43

1 +!= xy

d) !!"

#$$%

&'

=13

.. lvr of !!"

#$$%

&'

=26

.. lvr

31

62

31.. !=== !!

lcr

19a) !!"

#$$%

&=12

.. lvr , 21.. =lcr

b) - c) (0,2) , (2,3) , (5,4!) en (-4,0)

Deze punten voldoen aan de vergelijking.

d) )2,2( ttA + invullen in 221 += xy

Zodat : 222 21 +!=+ tt .Dit klopt!

20a) 431 +!= xy

b) vb : !!"

#$$%

&'(+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&26

19

pyx

21. !!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&(=!!"

#$$%

&11

03

tyx

22a) !!"

#$$%

&'

(+!!"

#$$%

&'

=!!"

#$$%

&21

11

tyx

b) 2.. !=cr c) 12 +!= xy 23a) (0,-2) en (3,-2)

!!"

#$$%

&'

(+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&43

20

: tyx

l

b) 34.. !=lcr , 23

4 +!= xy

24. !!"

#$$%

&'=21

.. mvr

!!"

#$$%

&'(+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&21

60

: tyx

m

25a) - b) Waarden van p en q invullen in

vectorvoorstelling van l resp. m 26a) 2=p , 1=q , snijpunt )1,3( ! b) 2

11!=q , snijpunt )5,5( 21 !

c) 35=p , snijpunt )0,2( 3

1

27. - 28. 25)10()12(: 22 =!+! yxc ..521,0!t geeft (7,2 ; 8,6) ..478,1!t geeft (16,8 ; 11,4)

29. AB : !!"

#$$%

&'

(+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&11

05

tyx

5+!= xy

CD : !!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&(=!!"

#$$%

&12

53

pyx

21

21 6+= xy

Snijpunt )6,1(!

30a) !!"

#$$%

&'

(+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&35

330

: tyx

l

b) !!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&(

=!!"

#$$%

&25

20

: pyx

m

c) !!"

#$$%

&'

(+!!"

#$$%

&'

=!!"

#$$%

&52

50

: qyx

n

d) !!"

#$$%

&'=!!"

#$$%

&(

01

: tyx

asx

e) !!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&=

10

02

:2 pyx

x

31a) Snijpunt )12,35( b) 17

18!=t , snijpunt )3,5( 173

171 !

c) Snijpunt )0,2(! d) (-10,6 ; 39,3) en (20,5 , 20,7)

32a) !!"

#$$%

&'=!!"

#$$%

&11

tyx

b) !!"

#$$%

&'

(+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&41

14

: tyx

l

c) Snijpunt )3,3( 52

52

d) !!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&10

04

pyx

!!"

#$$%

&'

(+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&12

52

qyx

Snijpunt )4,4(

Page 30: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

33a) !!"

#$$%

&32

b) !!"

#$$%

&' 23

c) !!"

#$$%

&'

(+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&23

32

tyx

34. 241

81 ==p , 24

181 !=!=p

35a) Snijpunt )6,14( 1514

32S

b) Nee, A enB niet gelijktijdig in S

§3 36a) xF heeft dezelfde richting als de afgelegde weg.

b) NF ox 6,9..612,9)60cos(10 !="=

c) - 37. - 38. )cos(5131 !""=#="ba o1,97=!

39a) yx eeb 23 !!=

b) 7=!ba c) o6,67=! 40. - 41. 11!="ba o7,137=! 42. oA 9,36=! , oC 90=! oDB 6,116=!=!

43. a en c , deze vectoren zijn gelijk- gericht , kentallen zijn hetzelfde positieve veelvoud van elkaar.

44. a en b , a en f

c en b , c en f

!!"

#$$%

&=

2

1

pp

p en !!"

#$$%

&=

2

1

qq

q

qp ! als !!"

#$$%

&

2

1

qq

een veelvoud is

van !!"

#$$%

&' 1

2

pp

45. !!"

#$$%

&=26

AC , !!"

#$$%

&'=31

BD

Inproduct = 0 , dus loodrecht

!!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&13

2010

: tyx

AC

)21,14( 21

21S ligt halverwege BD

S ligt ook op AC : 211=t

46. )cos(10291 !""=#="ba o93=! 47. oP 36=! , oQ 22=! , oR 123=! 48a) Jongen trekt onder een hoek van

43,160..o met de vaarrichting b) )..160,43cos(5)20cos(10 ooR += zodat : ...044,13=R Arbeid = 13.044 Nm c) nee

49. Zwaartelijn heeft !!"

#$$%

&'

=10

..vr

CA heeft !!"

#$$%

&''

=ca

vr ..

CB heeft !!"

#$$%

&'

=ca

vr ..

cca

ca

=!!"

#$$%

&'

(!!"

#$$%

&'

=!!"

#$$%

&''

(!!"

#$$%

&' 1

010

Inproduct gelijk, dus hoeken gelijk, zodat bissectrice.

§4 50a) !!"

#$$%

&12

en !!"

#$$%

&'13

b) 45o

c) Nee, hoek tussen lijnen moet scherp zijn en niet stomp

51a) 45o b) Ja, hoek is scherp 52a) 171,9o

b) nee , oml 1,8),( =!

53a) !!"

#$$%

&31

b) !!"

#$$%

&'=!!"

#$$%

&31

tyx

Page 31: Domein Meetkunde - rshmath.nl · Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde 1 Analytische meetkunde 1.1 Coördinaten in het vlak 1.2 Vergelijkingen van lijnen 1.3 Vergelijkingen

54a) 31.. =lcr

b) !!"

#$$%

&=13

.. lvr

c) !!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&13

21

tyx

d) !!"

#$$%

&'=31

n , ja

55a) !!"

#$$%

&'

=12

.. mvr , !!"

#$$%

&=21

n

b) 22 =+ yx c) 12: =! yxp 56. oqp 6,85),( =! 57. 27,3o

58a) !!"

#$$%

&'+!!"

#$$%

&=!!"

#$$%

&31

84

: tyx

l

b) ),1( 54

53S

c) 10),( 512== ASlAd

59. 2534: =+ yxr 60. 7: =+ yxr 61. oA 94=! , oB 27=! , oC 59=! 62a) )9,( 3

232Z

b) 58o c) 338

327226172

261 53)4()(: =!+! yxc

d) oasyc 6,585),( =!" 63.

132

64. )8,0( !M , 90=r 65. 63)356( =++ yx 63)356( =+! yx

§5 66. - 67a) 29,4o b) )7,3( 2

1!S

c) 247),( 133=mPd

68a) )3,1(A , )1,5( !B Raaklijnen : xy 3= , 3

231 2!= xy

)3,1( !!S b) oS 1,53=! , oM 9,126=! oBA 90=!=!

c) Middelpunt: ),1( 21

21 !

halverwege MS A, S, B en M liggen op cirkel

212

212

21 12)()1(: =++! yxc

69. )32,32( !!B (pijlpuntvlieger) )32,32(B

70. 3=p , 31=p

71a) 45o b) 4)3()1(: 22 =++! yxc c) 102: !=! yxm snijpunt )6,2(! 3!=p 72a) 2

1221 24: =+ yxc

b) ),3( 21

21

2 !M

!!"

#$$%

&'=!!"

#$$%

&71

tyx

c) )1,5( 43

41P

73a) )4,5(' 51

53A

b) )0,23( pB + , )1,0( 21+pC

25123 21

21 =+!+!= ppopp

216!=p , 2

13=p c) snijpunt )34,69( !! pp x>0 , y<0, dus 4

3<p 74. )2,( 32Z , )1,0( 3

1H , )2,1( 31M

Rechte van Euler: 311+= xy

74* ),( 33cbaZ + , ),0( c

abH ! ),( 22

2

ccabbaM ++

!!"

#$$%

&++

''abcbcac

HMHZ32

Dus H , Z en M op één lijn 75a) ),0( 2

1!M

218=r

b) 2,32 m c) 6,38 m2