Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommenHoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling:...

Vlakke MeetkundeMeetkundige plaatsen en krommen

Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem

Cursus voor de vrije ruimte

Hoofdstuk 1

Meetkundige plaatsen

1.1 Herhaling: analytische meetkunde

1.1.1 Affiene meetkunde

In het affien vlak Π zijn de begrippen van punt en rechte vastgelegd door vier axioma’s.We herhalen:

Π1 Het affien vlak is een oneindige verzameling van punten.

Π2 Een rechte is een oneindige echte deelverzameling van het affien vlak.

Π3 Door twee verschillende punten gaat juist één rechte.

Π4 Door elk punt gaat juist één rechte evenwijdig met een gegeven rechte.

In een affien vlak zijn de volgende begrippen gedefinieerd:

• lijnstukken, vectoren en midden van een lijnstuk M is midden van [AB] als ~MA+~MB = ~o;

• evenwijdige rechten;

• collineaire punten en concurrente rechten;

• veelhoeken waaronder driehoeken, parallellogrammmen, trapezia;

• speciale lijnen in een driehoek: zwaartelijnen;

3

4 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN

• speciale punten in een driehoek: zwaartepunt;

• transformaties: verschuivingen, evenwijdige projecties, homothetiën en evenwijdigespiegelingen.

Analytische uitdrukkingen in het affien vlak

Richting van een rechte

(l,m) is een stel richtingsgetallen van een rechte a 6‖ y (l 6= 0)

⇐⇒ ml

is de richtingscoëfficiënt van a

ω is de richtingscoëfficiënt van a⇐⇒ (1, ω) is een stel richtingsgetallen van a

Zijn A(x1, y1) en B(x2, y2) punten van een rechte a dan geldt

a) ~AB is een richtingsvector van a.

b) ~AB = ~OB− ~OA = (x2, y2)− (x1, y1) = (x2−x1, y2− y1) is een stel richtingsgetallenvan a.

c) y2−y1x2−x1 is de richtingscoëfficiënt van de rechte a op voorwaarde dat x1 6= x2.

Vergelijking van een rechte

De rechte a is bepaald door een stel richtingsgetallen (l,m) en een punt P (x1, y1):

• aO : mx− ly = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;

• De rechte a is het beeld van aO onder een verschuiving met vector (x1, y1).De vergelijking van a is

m(x− x1)− l(y − y1) = 0

De rechte a is bepaald door de richtingscoëfficiënt ω en een punt P (x1, y1).

• aO : y = ωx is de vergelijking van de richtingsruimte van a;


(y − y1) = ω(x− x1)

1.1. HERHALING: ANALYTISCHE MEETKUNDE 5

De rechte a gaat door (x1, y1) en is evenwijdig met b : ux+ vy + w = 0.

• aO : ux+ vy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;


u(x− x1) + v(y − y1) = 0

a = AB met A(x1, y1) en B(x2, y2):

• (x2 − x1, y2 − y1). is een stel richtingsgetallen van a;

• aO : (y2 − y1)x− (x2 − x1)y = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;

• De vergelijking van a is:

(y2 − y1)(x− x1)− (x2 − x1)(y − y1) = 0x1 6=x2⇐⇒ y − y1 =

y2 − y1x2 − x1

(x− x1)

De rechte a is bepaald door zijn doorgangen p en q met resp. de x-as en de y-as.De vergelijking van a is

x

p+y

q= 1.

Bijzondere gevallen:

1. a ‖ y en A(x1, y1) ∈ a dan is de vergelijking van a: x = x1 (y ontbreekt)

2. a ‖ x en A(x1, y1) ∈ a dan is de vergelijking van a: y = y1 (x ontbreekt)

De algemene vergelijking van een rechte a is van de gedaante

ux+ vy + w = 0 met (u, v) 6= (0, 0).

Daarin is de eenvoudige oplossing (v,−u) van a0 : ux+ vy = 0een stel richtingsgetallen van de rechte.


1.1.2 Euclidische meetkunde

In een euclidisch vlak bestaat het scalair product en de daaruit volgende begrippen:

• hoek tussen twee rechten en loodrechte stand van twee rechten;

• afstand tussen twee punten en afstand van een punt tot een rechte;

• middelloodlijn van een lijnstuk, bissectrices van twee rechten en middenparallel vantwee evenwijdige rechten;

• driehoeken: rechthoekige driehoeken, gelijkbenige driehoeken en gelijkzijdige drie-hoeken;

• speciale lijnen in een driehoek: middelloodlijnen, hoogtelijnen, bissectrices;

• speciale punten in een driehoek: hoogtepunt en middelpunt van om- en ingeschrevencirkel;

• ruiten, rechthoeken, vierkanten en cirkels;

• transformaties: loodrechte projecties, loodrechte spiegelingen, rotaties.

Analytische uitdrukkingen in het euclidisch vlak

De volgende analytische uitdrukkingen zijn enkel geldig t.o.v. een orthonormale basis.

Scalair product van twee vectoren

~v1 · ~v2 = (l1,m1) · (l2,m2)⇐⇒ l1l2 +m1m2Is ~v1 = ~v2 = ~v(l,m) dan is

~v2 = ‖~v‖2 = l2 +m2 ⇐⇒ ‖~v‖ =√l2 +m2.

Afstanden

De afstand tussen de punten A(x1, y1) en B(x2, y2):

d(A,B) = ‖ ~AB‖ =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

De afstand van een punt P (x1, y1) tot een rechte a : ux+ vy = w = 0:

d(P, a) =|ux1 + vy1 + w|√

u2 + v2.


Loodrechte stand van twee vectoren

(l1,m1) en l2,m2) zijn de coördinaten van resp. ~v1 en ~v2:

~v1 ⊥ ~v2 ⇐⇒ (l1,m1) · (l2,m2) = 0⇐⇒ l1l2 +m1m2 = 0

Vergelijking van een rechte

De rechte is bepaald door een punt (x1, y1) en een normaalvector (u, v).

• aO : ux+ vy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;


u(x− x1) + v(y − y1) = 0

De rechte is bepaald door een punt (x1, y1) en staat loodrecht op rechte b : ux+vy+w = 0.

• aO : vx− uy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a;


v(x− x1)− u(y − y1) = 0

Loodrechte stand van twee rechten

Gegeven zijn a : u1x+ v1y + w1 = 0 en b : u2x+ v2y + w2 = 0:

a ⊥ b⇐⇒ u1u2 + v1v2 = 0

(l1,m1) en l2,m2) zijn de stellen richtingsgetallen van resp. de rechten a en b:

a ⊥ b⇐⇒ l1l2 +m1m2 = 0

ω1 en ω2 zijn de richtingscoëfficiënten van resp. de rechten a en b

• (1, ω1) en (1, ω2) stellen richtingsgetallen.

• a ⊥ b⇐⇒ 1 + ω1ω2 = 0⇐⇒ ω1ω2 = −1


De formule van Chasles-Möbius en twee interessante eigenschappen

Uit de formule van Chasles Möbius kunnen we twee eigenschappen afleiden die geldig zijnin een driehoek en waarin gebruik gemaakt wordt van een zwaartelijn.In driehoek ABC beschouwen we het midden M van de zijde [AB].De formule van Chasles-Möbius in de driehoek ACM geeft:

~CA = ~CM + ~MA

We kwadrateren beide leden:

( ~CA)2 = ( ~CM)2 + ( ~MA)2 + 2 ~CM · ~MA

m

|CA|2 = |CM |2 + |MA|2 + 2 ~CM · ~MA (1.1)

In driehoek BCM geldt de analoge betrekking. We moeten enkel A vervangen door B.

|CB|2 = |CM |2 + |MB|2 + 2 ~CM · ~MB (1.2)

• Tellen we de betrekkingen 1.1 en 1.2 lid aan lid op en houden we rekening met hetfeit dat |MA| = |MB| = 1

2|AB| dan verkrijgen we:

|CA|2 + |CB|2 = 2|CM |2 + 14|AB|2 + 1

4|AB|2 + 2 ~CM · ( ~MA+ ~MB)

m

|CA|2 + |CB|2 = 2|CM |2 + 12|AB|2 + 2 ~CM · ~o

m

|CA|2 + |CB|2 = 2|CM |2 + 12|AB|2

Hieruit volgt een eigenschap van de lengte van een zwaartelijn van een driehoek:

|CM |2 = 12

(|CA|2 + |CB|2)− 14|AB|2 (1.3)

• Trekken we de betrekkingen 1.1 en 1.2 lid aan lid af en houden we rekening met hetfeit dat |MA| = |MB| dan verkrijgen we:

|CA|2 − |CB|2 = 2 ~CM · ( ~MA− ~MB)

m


|CA|2 − |CB|2 = 2 ~CM · ( ~MA+ ~BM)

m

|CA|2 − |CB|2 = 2 ~CM · ~BA

Hieruit volgt een eigenschap van het verschil van de kwadraten van twee zijden vaneen driehoek:

|CA|2 − |CB|2 = 2 ~MC · ~AB (1.4)

Figuur 1.1: eigenschappen in een driehoek


1.2 Meetkundige plaatsen

Een meetkundige plaats van punten is de verzameling van punten die voldoen aaneen gegeven meetkundige voorwaarde.

We vermelden hier een aantal gekende meetkundige plaatsen:

1. de middelloodlijn van een lijnstuk is de meetkundige plaats van de puntendie op gelijke afstand liggen van de eindpunten van het lijnstuk.

2. de bissectrices van twee snijdende rechten is de de meetkundige plaatsvan de punten die op gelijk afstand liggen van de twee rechten.

3. de middenparallel van evenwijdige rechten is de de meetkundige plaatsvan de punten die op gelijk afstand liggen van de twee rechten.

4. de cirkel is de meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstand liggen vaneen punt.

5. de cirkel is de meetkundige plaats van de punten die een lijnstuk zien onder eenrechte hoek.

Uit deze voorbeelden leiden we af dat een bepaalde verzameling van punten op verschil-lende manieren een meetkundige plaats kan zijn. Een rechte kan bijvoorbeeld een mid-deloodlijn, een bissectrice of een middenparallel zijn maar kan nog op zeer veel anderemanieren bekomen worden als meetkundige plaats. Een cirkel zal ook dikwijls het resul-taat zijn van een meetkundige plaats.

1. Soms kan een meetkundige plaats op meetkundige wijze bekomen worden door zete herleiden tot een gekende meetkundige plaats. Dit laatste vergt een behoorlijkmeetkundig inzicht in figuren. Dat is de mooiste manier om een meetkundige plaatste bepalen.

2. Veelal reikt ons meetkundig inzicht niet ver genoeg en zijn we genoodzaakt demeetkundige plaats door berekening te verkrijgen.

We voeren een assenstelsel in.

We berekenen de vergelijking van de meetkundige plaats t.o.v. dat assen-stelsel.

We geven de meetkundig interpretatie van het resultaat.

In dit hoofdstuk worden twee methodes aangereikt om de vergelijking van een meet-kundige plaats te vinden.

1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 11

(a) De eerste methode is gewoonhet analytisch uitdrukken van de meetkundige voorwaarde. Dit is voor jullieniet nieuw en werd reeds meerdere malen gebruikt, bijvoorbeeld bij het opstel-len van de algemene vergelijking van een cirkel, de vergelijking van de middel-loodlijn van een gegeven lijnstuk, de vergelijkingen van de bissectrices van tweesnijdende rechten, de vergelijking van de middenparallel van twee evenwijdigerechten.

(b) De tweede methode om langs analytische weg een meetkundige plaats te vindenis de methode van de geassocieerde krommen.


1.2.1 Methode I: analytisch uitdrukken van de meetkundige voor-waarde

Bij deze methode geven we aan het punt dat de meetkundige plaats m beschrijft eencoördinaat (x, y) t.o.v. een affien (willekeurige basis) of euclidisch (orthonormale basis)coördinatenstelsel. We zoeken dan het verband tussen x en y zó dat aan de meetkundigevoorwaarde voldaan is.

Om er weer in te komen:

• Bepaal de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(−1, 2) en B(2, 4).Oplossing:

P ∈ m⇐⇒ |PA| = |PB| ⇐⇒ |PA|2 = |PB|2

m(x+ 1)2 + (y − 2)2 = (x− 2)2 + (y − 4)2 ⇐⇒ 6x+ 4y − 15 = 0

• Bepaal de bissectrices van de rechtena : 3x+ 4y = 0 en b : x− y = 2.Oplossing: (De gegeven rechten zijn snijdend omdat de normaalvectoren (3, 4) en(1,−1) niet evenwijdig zijn.)

P ∈ m⇐⇒ d(P, a) = d(P, b)

m

P (x, y) ∈ m⇐⇒ |3x+ 4y|√9 + 16

=|x− y − 2|√

1 + 1

m3x+ 4y√

9 + 16=x− y − 2√

1 + 1∨ 3x+ 4y√

9 + 16= −x− y − 2√

1 + 1

m√

2(3x+ 4y) = 5(x− y − 2) ∨√

2(3x+ 4y) = −5(x− y − 2)m

(3√

2− 5)x+ (4√

2 + 5)y + 10 = 0 ∨ (3√

2 + 5)x+ (4√

2− 5)y − 10 = 0Deze vergelijkingen zijn de vergelijkingen van de bissectrices van a en b.We kunnen hier gemakkelijk aantonen dat de bissectrices loodrecht op elkaar staan.Inderdaad het scalair product van de normaalvectoren is gelijk aan nul.

(3√

2− 5)(3√

2 + 5) + (4√

2− 5)(4√

2 + 5) = 0


• Bepaal de middenparallel van de rechtena : 2x+ 3y − 1 = 0 en b : 4x+ 6y + 5 = 0.Oplossing: (De gegeven rechten zijn evenwijdig omdat de normaalvectoren (2, 3)en (4, 6) evenwijdig zijn.)

P ∈ m⇐⇒ d(P, a) = d(P, b)

m

P (x, y) ∈ m⇐⇒ |2x+ 3y − 1|√4 + 9

=|4x+ 6y + 5|√

16 + 36

m2x+ 3y − 1√

4 + 9=

4x+ 6y + 5√16 + 36

∨ 2x+ 3y − 1√4 + 9

= −4x+ 6y + 5√16 + 36

m√

52(2x+ 3y − 1) =√

13(4x+ 6y + 5) ∨√

52(2x+ 3y − 1) = −√

13(4x+ 6y + 5)

m

(2√

52− 4√

13)x+ (3√

52− 6√

13)y −√

52− 5√

13 = 0

∨ (2√

52 + 4√

13)x+ (3√

52 + 6√

13)y −√

52 + 5√

13 = 0

Omdat√

52 = 2√

13 verkrijgen we

0x+ 0y − 7√

13 = 0 ∨ 8√

13x+ 12√

13y + 3√

13 = 0

m

2x+ 3y +3

4= 0

Deze vergelijking is de vergelijking van de middenparallel van a en b

• Stel de vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M(xo, yo) en straal r.

P ∈ c⇐⇒ |PM | = r ⇐⇒ |PM |2 = r2(r > 0)

m

P (x, y) ∈ c⇐⇒ (x− xo)2 + (y − yo)2 = r2. (1.5)

De vergelijking van de cirkel c(M(xo, yo); r) is:.

x2 + y2 − 2xox− 2yoy + x2o + y2o − r2 = 0


De vergelijking is van de gedaante

x2 + y2 + 2ax+ 2by + c = 0 met (a, b, c) ∈ R

Wordt de vergelijking van een cirkel gegeven in deze gedaante dan kunnen we decoördinaat van het middelpunt en de straal berekenen door het eerste lid te splitsenin onafhankelijke kwadraten om zodoende de gedaante 1.5 te bekomen.

(x2 + 2ax+ a2) + (y2 + 2by + b2) = a2 + b2 − c

m

(x+ a)2 + (y + b)2 = a2 + b2 − c

Deze vergelijking stelt een cirkel voor op voorwaarde dat het tweede lid groter isdan 0. Dit is als de parameters a, b en c voldoen aan de volgende ongelijkheid:

a2 + b2 − c > 0

TAAK ♣ 1 Zoek de vergelijkingen van de bissectrices van het rechtenpaar {a, b} met a : x+2y−6 = 0en b : 5x− 4y + 20 = 0. Construeer de bissectrices en controleer met de berekeningen.opl: (

√41∓ 5

√5)x+ (2

√41± 4

√5)y − 6

√41∓ 20

√5 = 0

♣ 2 Zoek de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(1, 3) en B(−5,−2). Con-strueer de middelloodlijn en controleer met de berekeningen. Opl.: 12x+ 10y + 19

♣ 3 Zoek de vergelijking van de middenparallel van de rechten a : −6x+7y−21 = 0 en b : 6x−7y−28 = 0.Construeer de middenparallel en controleer met de berekeningen. opl.: 6x− 7y − 72 = 0


Nog heel veel nieuwe meetkundige plaatsen:

MEETKUNDIGE PLAATS 1 De meetkundige plaats van de punten die een gegevenlijnstuk zien onder een rechte hoek is een cirkel waarvan het lijnstuk een middellijn is.

Vorig jaar hebben jullie gezien dat elk punt van de cirkel een middellijn ziet onder eenrechte hoek.

1. Tekening van de gegevens

We tekenen het gegeven lijnstuk [AB] met een bepaalde lengte die we voorstellendoor 2r.

2. Speciale punten van de meetkundige plaatsWe bekomen een punt van de meetkundige plaats door een willekeurige rechte a tetrekken door het punt A en dan een loodlijn b te trekken door B loodrecht op a.Het snijpunt van a en b is een punt van de meetkundige plaats.

3. Het coördinatenstelselIn de opgave is er sprake van loodrechte stand dus moeten we een orthonormaalcoördinatenstelsel kiezen. We kiezen de oorsprong O in het midden van lijnstuk[AB] (de punten A en B spelen een evenwaardige rol). We leggen de x-as langs hetlijnstuk [AB] en ijken de x-as zo dat A en B resp. de coördinaten (−r, 0) en (r, 0)krijgen. De y-as gaat door O loodrecht op de x-as.

4. De methode Methode I.Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x1, y1)en we drukken de meetkundige voorwaarde uit. We moeten uitdrukken dat de rechtePA orthogonaal is met rechte PB. Het is voldoende de richtingsvectoren van dezerechten te bepalen en uit te drukken dat hun scalair product gelijk is aan nul.

Richtingsvectoren van ~PA en ~PB zijn resp. (x1 − r, y1) en (x1 + r, y1). De vectorenstaan loodrecht op elkaar als hun scalair product gelijk is aan nul.

P (x1, y1) ∈ m ⇐⇒ ~PA ⊥ ~PB⇐⇒ (x1 − r)(x1 + r) + y21 = 0⇐⇒ x21 − r2 + y21 = 0⇐⇒ x21 + y21 = r2

5. Interpretatie en tekening van de meetkundige plaats

De meetkundige plaats is een cirkel x2 + y2 = r2 met middelpunt in O en straal r.De meetkundige plaats is dus een cirkel waarvan het lijnstuk [AB] een middellijn is.


Figuur 1.2: meetkundige plaats 2

MEETKUNDIGE PLAATS 2 T.o.v. een orthonormale basis beschouwt men de pun-ten A(0, 0), B(0, 2), C(6, 1) en D(3, 5). Bepaal de meetkundige plaats van de punten Pzodanig dat de oppervlakten van de driehoeken PAB en PCD zich verhouden als |AB| en|CD|.

Oplossing:

1. Tekening van de gegevensWe stellen de gegevens voor t.o.v. de gegeven orthonormale basis.

2. Speciale puntenVoor deze meetkundige plaats is het moeilijk vooraf punten te bepalen.

3. Coördinatenstelsel Het coördinatenstelsel is reeds gegeven.

4. Methode Methode I.Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x1, y1)en we drukken de meetkundige voorwaarde uit.

De verhouding van de oppervlakten van driehoeken PAB en PCD is gelijk aan deverhouding van hun basissen |AB| en |CD| op voorwaarde dat ze gelijke hoogtenhebben. Het punt P is dus een punt van de meetkundige plaats op voorwaarde


dat P op gelijke afstand ligt van de rechten AB en CD. De meetkundige plaats isdus de unie van de bissectrices van het rechtenpaar {AB,CD}. Een richtingsvectorvan de rechte CD is (3 − 6, 5 − 1) = (−3, 4). De vergelijking van de rechte CD is4(x− 6) + 3(y − 1) = 0 of 4x+ 3y − 27 = 0.

P (x1, y1) ∈ m ⇐⇒ d(P,AB) = d(P,CD)⇐⇒ |x1| = |4x1+3y1−27|√16+9⇐⇒ 5x1 = 4x1 + 3y1 − 27 ∨ 5x1 = −4x1 − 3y1 + 27⇐⇒ x1 − 3y1 + 27 = 0 ∨ 9x1 + 3y1 − 27 = 0

De bissectices zijn de rechten met vergelijkingen: x−3y+27 = 0 en 9x+3y−27 = 0.

5. Interpretatie en tekening van de meetkundige plaats De meetkundige plaats is deunie van twee rechten die we gemakkelijk kunnen construeren. Dit laat ons toe deresultaten van de berekeningen te controleren.


MEETKUNDIGE PLAATS 3 Bepaal de meetkundige plaats van de punten P waar-voor de som van de kwadraten van de afstanden tot twee vaste punten A en B de constantewaarde k2 heeft.


Oplossing:


We tekenen een lijnstuk met een bepaalde lengte k, alsook een lijnstuk [AB] waarvanwe de lengte gelijkstellen aan 2a.

2. Speciale punten Voor deze meetkundige plaats is het moeilijk reeds een paar puntente bepalen.

3. Coördinatenstelsel Omdat er sprake is van afstanden, moeten we een orthonormalebasis kiezen. We kiezen de x-as langs de rechte AB, de oorsprong O in het middenvan [AB] en de y-as door O loodrecht op de x-as. We nemen de ijk op de x-as zodat de coördinaten van A en B resp. (−a, 0) en (a, 0).

4. Methode Methode I.Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x1, y1)


en we drukken de meetkundige voorwaarde uit.

P (x1, y1) ∈ m ⇐⇒ |PA|2 + |PB|2 = k2⇐⇒ (x1 − a)2 + y21 + (x1 + a)2 + y21 = k2⇐⇒ 2x21 + 2y21 + 2a2 = k2⇐⇒ x21 + y21 = k

2

2− a2

5. Interpretatie De meetkundige plaats is een kromme met vergelijking

x2 + y2 =k2

2− a2

Deze vergelijking stelt een cirkel voor met middelpunt in O en straal√

k2

2− a2 =

12(√

2k2 − 4a2). De gegevens moeten dus van die aard zijn dat de 4a2 < 2k2 ⇐⇒(2a)2 < (

√2k)2 =⇒ 2a <

√2k.

6. Tekening van de meetkundige plaatsOm de straal van de cirkel te construeren, tekenen we een rechthoekige driehoekmet schuine zijde

√2k en rechthoekszijde 2a, die de lengte is van het lijnstuk [AB].

De andere rechthoekszijde is de straal van de cirkel. Met CABRI kunnen goedzien vanaf wanneer we geen cirkel meer krijgen als we de lengte van de lijnstukkenveranderen.

Dankzij de eigenschap 1.1 van een zwaartelijn van een driehoek kunnen we de meetkundigeplaats herleiden tot de cirkel als meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstandliggen van een vast punt.

In driehoek PAB is M het midden van [AB] en er geldt:

|PA|2 + |PB|2 = 2|PM |2 + 12|AB|2

m

|PM |2 = k2

2− 1

4|AB|2

m

|PM | = 12

√2k2 − |AB|2.

De afstand van M tot P is constant, dus beschrijft P een cirkel met middelpunt M enstraal 1

2

√2k2 − |AB|2 met k >

√22|AB|.


MEETKUNDIGE PLAATS 4 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoorhet verschil van de kwadraten van de afstanden tot twee gegeven punten A en B de con-stante waarde k2 is.


TAAK ♣ 4 Zoek deze meetkundige plaats met methode I.

Oplossing:


2. Speciale punten


3. Coördinatenstelsel

4. Methode

5. Interpretatie

6. Tekening van de meetkundige plaats

Omwille van een eigenschap 1.2 kunnen we de meetkundige plaats op een eenvoudige wijzeherleiden tot en gekende meetkundige plaats.

In driehoek PAB is M het midden van [AB], P ′ de projectie van P op de zijlijn AB. De

cosinusregel in de rechthoekige driehoek MPP ′ geeft cosα = |MP′|

|MP | waarbij α de hoek isin M .In driehoek PAB geldt:

|PA|2 − |PB|2 = 2 ~AB. ~MP = 2|AB| · |MP | cosα = 2|AB| · |MP ′| = 2 ~AB. ~MP ′

Hieruit volgt

~AB. ~MP ′ =k2

2⇐⇒ ~MP ′.

~AB

2=k2

4⇐⇒ ~MP ′. ~AM = k

2

4

Uit dit laatste volgt dat k2

middelevenredig is tussen |MP ′| en |AM |. Hieruit volgt datP ′ een vast punt is op de zijlijn AB. Het punt P ligt dus op de loodlijn door P ′ op AB.Om P ′ te construeren, trekken we door M de loodlijn op AB en passen hierop |MC| = k

2

af. De loodlijn in C op AC snijdt AB in P ′. (De lengte van de hoogtelijn op de schuinezijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de lengten van de stukkenwaarin ze de schuine zijde verdeelt of het kwadraat van de lengte van de hoogte op deschuine zijde is gelijk aan het product van de lengten van de stukken waarin ze de schuinezijde verdeelt).

Deze beschouwing geldt voor een strikt positief constant verschil k2. Het punt P ′ ligt opde halfrechte ]MB tussen A en M .


MEETKUNDIGE PLAATS 5 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoorde afstand tot een vast punt A gelijk is aan tweemaal de afstand tot een vast punt B.


Oplossing:

1. Tekening van de gegevens We tekenen een lijnstuk [AB] met een bepaalde lengte2a

2. Speciale punten Er zijn twee punten C en D op de rechte AB waarvoor de verhou-

ding van |PA| en |PB| gelijk is aan 2. Het ene punt C ligt binnen het lijnstuk [AB]het ander punt D ligt erbuiten. Om deze punten te tekenen, delen we het lijnstukin drie gelijke delen. Het punt C ligt dan op 2 derden van A en 1 derde van B. Hetpunt D ligt aan de kant van B op een afstand van B gelijk aan de lengte |AB|.

3. Coördinatenstelsel We moeten een orthonormale basis kiezen omdat er in de opgavesprake is van afstanden. Omdat C en D dezelfde rol spelen, kiezen we de oorsprongin het midden van het lijnstuk [CD]. De x-as leggen we langs de rechte AB ende y-as door O loodrecht op AB. We kiezen de ijk op x-as zo dat de absis van Dnegatief is. We noemen a , b, c en d de absissen van resp. A, B, C en D.Er geldt:

~CA = −2 ~CB en ~DA = 2 ~DB


De volgende betrekkingen gelden tussen a, b, c en d:a− c = −2(b− c)a− d = 2(b− d)c+ d = 0

Het stelsel gaat over in een gelijkwaardig stelsel als we de eerste twee vergelijkingeneens lid aan lid van elkaar aftrekken en eens lid aan lid bij elkaar optellen.

2a = 2(c− d)c− d = 4bc+ d = 0

ma = 4bc− d = 4bc+ d = 0

ma = 4bc = 2bc+ d = 0

4. Methode Methode I.Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x1, y1)en we drukken de meetkundige voorwaarde uit.

P (x1, y1) ∈ m ⇐⇒ |PA||PB| = 2⇐⇒ |PA|2 = 4|PB|2⇐⇒ (x1 − a)2 + y21 = 4((x1 − b)2 + y21)⇐⇒ 3x21 + 3y21 + 2(a− 4b)x1 + 4b2 − a2 = 0⇐⇒ 3x21 + 3y21 − 12b2 = 0⇐⇒ x21 + y21 = 4b2

5. Interpretatie en tekening van de meetkundige plaats

De meetkundige plaats is en cirkel x2 + y2 = (2b)2 met middelpunt in O en straal2b. We kunnen gemakkelijk controleren of de cirkel gaat door de punten C en D.


MEETKUNDIGE PLAATS 6 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoorde verhouding van de afstanden tot twee gegeven punten A en B de constante waarde kheeft.


Oplossing:


We tekenen eerst een willekeurige driehoek PAB. De verhouding van de zijden |PA|en |PB| is dan gelijk is aan een bepaalde waarde k.

2. Speciale puntenWe weten dat in een driehoek PAB de binnenbissectrice resp. de buitenbissectricevan de hoek in P de overstaande zijde [AB] inwendig resp. uitwendig verdeelt instukken die zich verhouden als de aanliggende zijden |PA| en |PB|. We construerende bissectrices van de rechten PA en PB. De snijpunten van deze bissectrices metde zijde AB levert de punten C en D op (zie tekening 1.6). Er geldt:

|CA||CB|

=|DA||DB|

=|PA||PB|

= k.

C en D zijn twee speciale punten van de meetkundige plaats.


3. CoördinatenstelselWe kiezen het coördinatenstelsel zoals bij de meetkundige plaats 5.

4. Methode

TAAK ♣ 5 Deze meetkundige plaats is een veralgemening van de meetkundigeplaats 5. Bepaal de vergelijking van deze meetkundige plaats.

Maak hier de berekeningen op analoge wijze als voor de meetkundige plaats 5:

5. Interpretatie


We kunnen meetkundig bewijzen dat de meetkundige plaats de cirkel is waarvan [CD]een middellijn is.Aangezien P het snijpunt is van de bissectrices en de bissectrices loodrecht op elkaar staanis het punt P gelegen op de cirkel met [CD] als middellijn. We moeten nu aantonen datelk punt Q van de cirkel met [CD] als middellijn een punt is van de meetkundige plaats,m.a.w. dat de rechte QC en QD de bissectrices zijn van het rechtenpaar {AQ,BQ}.Daartoe construeren we de loodlijn in C op QC, die QA en QB snijden resp. in K enL. In de gelijkvormige driehoeken ADQ en ACK enerzijds, en driehoeken BCL en BDQanderzijds, gelden de evenredigheden:

|CK||DQ|

=|CA||DA|

en|CL||DQ|

=|CB||DB|

Rekening houdend met |CA||CB| =|DA||DB| volgt hieruit dat |KC| = |CL|.

De rechte QC is middelloodlijn van [KL] en dus ook bissectrice van het rechtenpaar{QK,QL}. De meetkundige plaats is dus de cirkel met [CD] als middellijn. We noemende meetkundige plaats de cirkel van Apollonius bij het lijnstuk [AB] en de verhoudingk.


MEETKUNDIGE PLAATS 7 Gegeven is een vast parallellogram ABCD en een ver-anderlijk punt P . De evenwijdige met BC door P snijdt AB in Q en de evenwijdige metAB door P snijdt BC in R. Bepaal de meetkundige plaats van P als QR parallel is metde diagonaal AC.


Oplossing:

1. Speciale puntenAls de rechte QR samenvalt met AC dan valt het punt P in D. Q en R kunnnenook samenvallen in B. Het punt P valt dan in B. De punten D en B zijn specialepunten van de meetkundige plaats.

2. CoördinatenstelselIn de opgave is geen sprake van loodrechte stand of afstand. We zijn dus niet ver-plicht een orthonormale basis te kiezen. We kiezen een affien coördinatenstelselwaarbij we de oorsprong kiezen in B, de x-as en de y-as leggen langs resp. de speci-ale zijden BA en BC van het parallellogram ABCD. De punten A, C en D krijgenresp. de coördinaten (1, 0), (0, 1), (1, 1).

3. Methode Methode I.Het punt P dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x1, y1).


De richtingscoëfficiënt van AC is gelijk aan −1. De coördinaten van Q en R zijnresp. (x1, 0) en (0, y1).We drukken de meetkundige voorwaarde uit.

RQ ‖ AC ⇐⇒ −y1x1

= −1.

4. InterpretatieDe meetkundige plaats is de rechte met vergelijking y = x di. de andere diagonaalBD van het parallellogram.

5. Tekening

MEETKUNDIGE PLAATS 8 Van een driehoek ABC met zwaartelijn AM zijn dehoekpunten A en B vast en is |AM | = r constant. Bepaal de meetkundige plaats van hethoekpunt C.

Oplossing:

1. Speciale punten

Als M ∈ AB dan C ∈ AB zodat ~CM = ~MB.

2. CoördinatenstelselIn de opgave is sprake van afstand. We zijn dus verplicht een orthonormale basis tekiezen. We kiezen de oorsprong in A, de x-as langs AB en de y-as door A loodrechtop AB. De punten A en B krijgen resp. de coördinaten (0, 0) en (b, 0). Omdat Mhet midden is van [CB] is de coördinaat van M(x+b

2, y2).


3. Methode Methode I.Het punt C dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x, y). Wedrukken de meetkundige voorwaarde uit.

C ∈ m⇐⇒ |AM | = r ⇐⇒ |AM |2 = r2.

m

C(x, y) ∈ m⇐⇒ (x+ b2

)2 + (y

2)2 = r2.

m(x+ b)2 + y2 = (2r)2.

4. Interpretatie

De meetkundige plaats is de cirkel met middelpunt (−b, 0) en straal 2r.

5. Tekening

TAAK ♣ 6

T.o.v. een orthonormale basis is een vast punt A gegeven op de x-as. Een veranderlijkpunt P doorloopt de y-as. De loodlijn in P op AP snijdt de x-as in een punt B. Bepaalde meetkundige plaats van het punt M , zó dat P steeds het midden is van het lijnstuk[BM ]. Teken de meetkundige plaats t.o.v. de gegeven orthonormale basis.

MEETKUNDIGE PLAATS 9 De (niet-ontaarde) ellips is de meetkundige plaats vande punten waarvoor de som van de afstanden tot twee gegeven punten F1 en F2 constantis.

Oplossing:


We tekenen de rechte F1F2 en een lijnstuk [AB] met lengte 2a, die de constante somvan de afstanden is. De afstand tussen de punten F1 en F2 noemen we 2c.

2. Speciale puntenOm punten van de meetkundige plaats te construeren, moeten we twee cirkels trek-ken, een cirkel met middelpunt in F1 en een cirkel met middelpunt F2 en waarvande som van de respectieve stralen r1 en r2 gelijk is aan 2a. De cirkels snijden elkaarop voorwaarde dat 2a ≥ 2c. Elk snijpunt van deze twee cirkels levert een punt opvan de meetkundige plaats.Speciale punten van de meetkundige plaats zijn de punten waarvoor



(a) r1 = r2 = aDeze twee punten liggen op de middelloodlijn van [F1F2] en op een afstand avan F1 en F2.

(b) de cirkels raken aan elkaar.Voor de stralen van inwendig rakende cirkels geldt dat de absolute waarde vanhet verschil van de stralen gelijk is aan de afstand tussen de middelpunten.Als de cirkels elkaar uitwendig raken voldoen de stralen r1 en r2 aan de volgendebetrekkingen: {

r1 + r2 = 2a|r1 − r2| = 2c

Hieruit volgt dat {r1 = a+ cr2 = a− c

∨{r1 = a− cr2 = a+ c

Hieruit volgt dat de grootste straal gelijk is aan a+c en de kleinste straal gelijkaan a − c. Beschouwen we het midden O van het lijnstuk [F1F2] dan liggendeze speciale punten op de rechte F1F2 op een afstand a van O. De afstandtussen deze twee punten is gelijk aan 2a.

3. CoördinatenstelselIn de opgave is sprake van afstand. We zijn dus verplicht een orthonormale basis te


kiezen. De punten F1 en F2 spelen dezelfde rol. We kiezen de oorsprong O in hetmidden van [F1F2], de x-as leggen we langs F1F2 en de y-as langs de middellodlijnvan [F1F2]. De punten F1 en F2 hebben resp. de coördinaten (c, 0) en (−c, 0).


P (x1, y1) ∈ m⇐⇒ |PF1|+ |PF2| = 2a⇐⇒ r1 + r2 = 2a

We kwadrateren beide leden en we krijgen

(r1 + r2)2 = 4a2 ⇐⇒ r21 + r22 + 2r1r2 = 4a2

⇐⇒ 2r1r2 = 4a2 − r21 − r22

We gaan nog eens beide leden kwadrateren en we krijgen

4r21r22 = (4a

2 − (r21 + r22))2

m16a4 − 8a2(r21 + r22) + (r21 + r22)2 − 4r21r22 = 0

m16a4 − 8a2(r21 + r22) + (r41 + r42 + 2r21r22 − 4r21r22) = 0

m16a4 − 8a2(r21 + r22) + (r41 + r42 − 2r21r22) = 0

m16a4 − 8a2(r21 + r22) + (r21 − r22)2 = 0

m16a4 − 8a2((x1 + c)2 + y21 + (x1 − c)2 + y21) + ((x1 + c)2 + y21 − (x1 − c)2 − y21)2 = 0

m16a4−8a2(2x21 +2y21 +2c2)+(4x1c)2 = 0⇐⇒ 4a4−2a2(2x21 +2y21 +2c2)+4x21c2 = 0We rangschikken de termen naar x21 en y

21:

(a2 − c2)x21 + a2y21 = a2(a2 − c2)

Daar a ≥ c kunnen we stellen a2 − c2 = b2 en de voorwaarde wordt:

b2x21 + a2y21 = a

2b2


Bij deze berekeningen moeten we bij de tweede maal dat we kwadrateren, rekeninghouden met de voorwaarde

2a2 − (x21 + y21 + c2) ≥ 0

m

x21 + y21 ≤ 2a2 − c2

m

x21 + y21 ≤ a2 + b2

5. InterpretatieDe meetkundige plaats is de kromme met vergelijking

b2x2 + a2y2 = a2b2

mx2

a2+y2

b2= 1

die we de (niet-ontaarde) ellips noemen. De punten F1 en F2 worden de brand-punten van de ellips genoemd.

6. Tekening Op de tekening kunnen we de betekenis zien van a, b en c. 2a en 2bnoemen we resp. de grote as van de ellips en de kleine as van de ellips. Ergeldt steeds dat a > b. In de limiet als a = b is dan is de ellips een cirkel waarvanhet middelpunt samenvalt met de samenvallende brandpunten (c = 0).

MEETKUNDIGE PLAATS 10 De (niet-ontaarde) hyperbool is de meetkundige plaatsvan de punten waarvoor de absolute waarde van het verschil van de afstanden tot tweegegeven punten F1 en F2 constant is.

TAAK ♣ 7 Bepaal deze meetkundige plaats naar analogie met de meetkundige plaats9


MEETKUNDIGE PLAATS 11 De (niet-ontaarde) parabool is de meetkundige plaatsvan de punten waarvoor de afstand tot een punt gelijk is aan de afstand tot een rechte.


Oplossing:

1. Tekening van de gegevens : We tekenen de rechte d en het punt F , de afstand vanhet punt tot de rechte d noemen we p.

2. Speciale puntenOm punten van de meetkundige plaats te construeren, moeten een cirkel tekenenmet middelpunt F en straal r en een rechte die evenijdig is met d op een afstandr van d. De cirkel snijdt de rechte op voorwaarde dat de straal r groter is dan dehelft van de afstand p. Elk snijpunt van de cirkel en de rechte levert een punt opvan de meetkundige plaats.Een speciaal punt van de meetkundige plaats is het punt waarvoor de rechte raaktaan de cirkel. Dit is het punt dat gelegen is op de loodlijn uit F op d en op eenafstand p/2 van F en van d.

3. Coördinatenstelsel : In de opgave is sprake van afstand. We zijn dus verplicht eenorthonormale basis te kiezen. We kiezen de oorsprong O in het speciaal punt, de


x-as brengen we aan door F loodrecht op d, de y-as langs de loodlijn door O op dex-as. Het punt F heeft de coördinaat (p

2, 0) en de rechte d heeft vergelijking x = −p

2.


P (x1, y1) ∈ m⇐⇒ |PF | = d(P, d)⇐⇒√

(x1 −p

2)2 + y21 = x1 +

p

2

(x1 −p

2)2 + y21 = (x1 +

p

2)2 ⇐⇒ (x1 −

p

2)2 − (x1 +

p

2)2 + y21 = 0⇐⇒

(x1 −p

2− x1 −

p

2)(x1 −

p

2+ x1 +

p

2) + y21 = 0⇐⇒

(−2p2

)(2x1) + y21 = 0⇐⇒ −2px1 + y21 = 0

5. Interpretatie : De meetkundige plaats is de kromme met vergelijking

y2 = 2px

die we de (niet-ontaarde) parabool noemen. Het punt F wordt het brandpuntvan de parabool genoemd en d de richtlijn van de parabool.

6. Tekening : Op de tekening kunnen we de betekenis zien van p. Als we door F eenloodlijn trekken op de x-as dan is 2p de koorde van de parabool afgesneden door dieloodlijn. 2p geeft aan hoe breed de parabool is. We noemen 2p de hoofdparametervan de parabool.

OPGAVEN — 8 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(−4, 0) en B(0, 3) gegeven. Bepaal demeetkundige plaats van het hoekpunt C van driehoek ABC als de oppervlakte van de driehoek constantis en gelijk aan k2. Kies voor k een waarde en teken de meetkundige plaats.

9 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(2, 0) en B(2, 6) gegeven. Bepaal de meetkundigeplaats van het punt P waarvoor |PA|2 − |PB|2 = 50.

10 T.o.v. een orthonormale basis zijn het punt A(4,−2) gegeven alsook de rechte a : 4x − 3y + 5 = 0.Bepaal de meetkundige plaats van het punt P zo dat |PA| = d(P, a).

11 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvan de som van de kwadraten van de afstanden tottwee gegeven punten A en B gelijk is aan de van de kwadraten van de afstanden tot twee andere gegevenpunten C en D. Tip: kies de x-as door de middens M en N van resp. [AB] en [CD] en de oorsprong inhet midden van [MN ].


12 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvan de absolute waarde van het verschil van deafstanden tot twee orthogonale rechten gelijk is aan 5.

13 De bovenste twee punten C en D van een rechthoekige kantelpoort ABCD rollen over twee railsCC ′ en DD′. die evenwijdig zijn met het horizontaal vlak van de vloer. De onderste twee punten A en Bvan die poort rollen in twee verticale geleiders AD en BC. Het handvat bevindt zich in het midden vande poort; Welke baan beschrijft het handvat indien de poort kantelt van haar verticale stand tot haarhorizontale stand.

14 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(−a, 0) en B(a, 0) gegeven. Bepaal de meetkundigeplaats van het punt P waarvoor |PA| · |PB| = a2. Teken deze meetkundige plaats met de computer. Dekromme die je bekomt, noemt het lemniscaat van Bernoulli.

15 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvan het verschil van de afstanden tot twee vastesnijdende rechten constant is. (Tip: Kies de bissectrices van de geg. rechten tot x-as en y-as en noem hetverschil van de afstanden k. De rechten hebben dan vergelijking van de gedaante y = ωx en y = −ωx.Ga dan tewerk zoals in oef 12.)

16 Vier punten A, B, C en D zijn gegeven. Bepaal de meetkundige plaats van de punten P waarvoorde oppervlakten van de driehoeken PAB en PCD gelijk zijn. (Kies een willekeurige orthonormale basis,de rechten hebben een vgl ux+vy+w=0.)

17 T.o.v. een affien assenstelsel (x-as niet noodzakelijk loodrecht op y-as) is P (p, 0) een veranderlijkpunt op de x-as en Q(0, q) een veranderlijk punt op de y-as.Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt van driehoek OPQ als

1. p+ q = k met k ∈ R;

2. pq = k met k ∈ R;

3. het midden van [PQ] op de vaste rechte ux+ vy = w = 0 ligt.

Voor deze oefening maak je gebruik van het feit dat het zwaartepunt op 1/3 ligt van O op de zwaartelijnen[0P ] en [OQ].

18 Gegeven is een vaste driehoek ABC en een veranderlijk punt P . Men trekt de loodlijn in A op PA,in B op PB en in C op PC. Bepaal de meetkundige plaats van P als de drie loodlijnen concurrent zijn.(veel rekenwerk)

19 Uit een veranderlijk punt P trekt men aan elk van de vaste cirkels c en c′ een raaklijn. De raakpuntenzijn A en A′. Bepaal meetkundige plaats van P als |PA| = |PA′|. Om de berekeningen eenvoudiger temaken, moet eerst meetkundig geredeneerd worden vooraleer aan het rekenen te gaan.

20 Op een vaste rechte a ligt een vast punt A en op de vaste rechte b loodrecht op a ligt een veranderlijkpunt B. Op de evenwijdige met a door B neemt men het punt P zó dat |PB| = |AB|. Bepaal demeetkundige plaats van het punt P .


Oplossingen:8. 3x − 4y + 12 ± 2k2; 9. y = 436 ; 10. par.met as ⊥ a : 9x

2 + 24xy + 16y2 − 240x + 130y + 475;11. rechte ⊥ MN ; 12. 4 halve rechten ‖ met bissectrices dr de punten van de rechten die op een af-stand 5 van de andere rechte liggen.; 13. kwart cirkel: M=midden v [DC], R =halve hoogte poort;14. (x2 + y2)2 + 2a2(y2 − x2) = 0; 15. 4 halve rechten ‖ met x en y door de 2 punten van de enegegeven rechte die op een afstand k liggen van de andere rechte (dus op elke rechte 2 punten);.16. 2rechten dr het snijpunt vd AB en CD (⊥ op elkaar als |AB| = |CD|; .17. 1.x + y = k/2, 2. x = ky, 3.3ux+ 3vy + 2w = 0, di een rechte parallel met ux+ vy + w = 0; 18. We kiezen de x-as langs AB en dey-as door C loodrecht op AB. We ijken zodanig dat C de coördinaat (0, 1) heeft. De coördinaten vanA en B noemen we resp. (a, 0) en (b, 0). De meetkundige plaats is de cirkel met middelpunt (a+b2 ,

1+ab2 )

en straal 12√a2 + b2 + a2b2 + 1, di. de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. Dit kan ook meetkundig

beredeneerd worden. Om te tekenen stel a = −1 en b = 2.19. We kiezen de x-as langs de centraal van de twee cirkels, de y-as door het middelpunt van de cirkelc loodrecht op de centraal en het middelpunt van c′ geven we de coördinaat (1, 0). De stralen van de

cirkels c en c′ zijn resp. R en R′. De meetkundige plaats is de rechte x = R2−R′2+1

2 . Deze rechte wordtde machtlijn van de cirkels genoemd.20. We kiezen De x-as langs a en de y-as langs b. We kiezen de ijk zodanig dat het punt A de coördinaat(1, 0) heeft. De meetkundige plaats is een hyperbool x2 − y2 = 1.

LIN.AL. HUISTAAK 1 1. T.o.v. een affien assenstelsel (x-as niet noodzakelijk lood-recht op y-as) zijn de punten A(2,−3) en B(−4, 1) gegeven. Bepaal de meetkundigeplaats van het punt P zodat de richtingscoëfficiënt van de rechte AP het dubbele isvan de richtingscoëfficiënt van de rechte BP .

2. Een punt A ligt op een afstand a van een rechte r. Een lijnstuk BC met vastelengte 2a, glijdt over r. Wat is de meetkundige plaats van het middelpunt van deomgeschreven cirkel van driehoek ABC?

3. Een lijnstuk, met constante lengte, schuift met zijn eindpunten over de coördinaatassenvan een rechthoekig assenkruis. Bepaal de meetkundige plaats van een bepaald puntvan het lijnstuk.

4. T.o.v. een orthonormale basis doorloopt een punt P de ellips x2

a2+ y

2

b2= 1.

P ′ en P ′′ zijn de loodrechte projecties van P op resp. de x-as en de y-as.Bepaal de meetkundige plaats van

(a) het midden van [OP ];

(b) het midden van [P ′P ];

(c) het zwaartepunt van driehoek PP ′P ′′.

5. Bepaal de meetkundige plaats van de zwaartepunten van de driehoeken met dezelfdebasis [BC] en gelijke oppervlakte.


1.2.2 Methode II: methode van de geassocieerde krommen

Deze methode steunt op het principe van de eliminatie van één of meerdere parameters.We illustreren dat met enkele voorbeelden.

• We hernemen de parabool van bladzijde 32We werken t.o.v. het coördinatenstelsel dat we op bladzijde 32 gekozen hebben. Bijdeze methode kiezen we een parameter, dit is een veranderlijk reëel getal die wehechten aan een veranderlijk element uit de opgave. Hier kiezen we afstand van hetpunt P van de meetkundige plaats tot het punt F of tot de rechte d als parameter ennoemen hem r. Een punt P van de meetkundige plaats ligt enerzijds op de cirkel metmiddelpunt F en straal r en anderzijds op de rechte d′ parallel met d en op de afstandr van d (d′ ligt samen met F aan dezelfde kant van d). Geven we aan de parameterr een andere waarde dan verkrijgen we een andere cirkel en een andere rechte enbijgevolg twee andere punten van de meetkundige plaats. De cirkel en de rechte diebehoren bij eenzelfde parameterwaarde noemen we geassocieerde krommen vande meetkundige plaats. Hier zal voor geen enkele waarde van de parameter degeassocieerde krommen oneindig veel gemeenschappelijke punten hebben. Hier zijner hoogstens twee gemeenschappelijke punten per stel geassocieerde krommen.

De gemeenschappelijke punten van geassocieerde krommen leveren punten op van demeetkundige plaats

Het stelsel {(x− p

2)2 + y2 = r2

x = r − p2

is het stelsel geassocieerde krommen.

We zoeken nu de nodige en voldoende voorwaarde waaraan de coördinaat (xo, yo)van een punt moet voldoen opdat het de coördinaat zou zijn van een punt van demeetkundige plaats.

Opdat het punt met coördinaat (xo, yo) een punt zou zijn van de meetkundige plaatsm moet er een parameterwaarde ro bestaan zodat er geldt{

(xo − p2)2 + y2o = r

2o

xo = ro − p2

Dit betekent dat het volgend stelsel oplosbaar is met r als onbekende:{(xo − p2)

2 + y2 = r2

xo = r − p2⇐⇒

{r2 = (xo − p2)

2 + y2

r = p2− xo


De oplossing voor r uit de tweede vergelijking moet voldoen aan de eerste vergelij-king. Er moet dus gelden:

(p

2− xo)2 = (xo −

p

2)2 + y2

m

y2o = 2pxo.

Deze laatste betrekking drukt de nodige en voldoende voorwaarde uit waaraan(xo, yo) moet voldoen opdat er in het stelsel een gemeenschappelijke r-waarde zoubestaan. Dit is dus de nodige en voldoende voorwaarde opdat (xo, yo) de coördinaatzou zijn van een punt van de meetkundige plaats. Bijgevolg is y2 = 2px de vergelij-king van de meetkundige plaats.

De vergelijking van de meetkundige plaats werd bekomen door de parameter r teelimineren uit het stelsel geassocieerde krommen.

De vergelijking y2 = 2px noemen we de eliminant van het stelsel geassocieerdekrommen.

Figuur 1.10: meetkundige plaats 11 met de methode van de geassocieerde krommen


• We hernemen de meetkundige plaats 1.Een punt van de meetkundige plaats wordt bekomen door een rechte m door A tesnijden met een rechte door B loodrecht op m. De geassocieerde krommen zijn dustwee rechten resp. door A en door B loodrecht op elkaar. We kiezen als parameterde richtingscoëfficiënt ω van de veranderlijke rechte m door A. m heeft een verge-lijking van de gedaante y = ω(x − 1). De vergelijking van de rechte m⊥ door Bloodrecht op m is y = − 1

ω(x + 1). Elke waarde van ω levert juist één snijpunt op

van de geassocieerde krommen m en m⊥ dat een punt is van de meetkundige plaats.Het stelsel {

y = ω(x− 1)y = − 1

ω(x+ 1)

⇐⇒{

(x− 1)ω = y−yω = x+ 1

is dus een stelsel geassocieerde krommen met parameter ω. Elimineren we ω uit hetstelsel dan verkrijgen we de vergelijking van de gevraagde meetkundige plaats. Deeliminant is ∣∣∣∣ (x− 1) y−y x+ 1

∣∣∣∣ = 0⇐⇒ x2 + y2 = 1De eliminant is de vergelijking van een cirkel met middelpunt in de oorsprong enstraal 1.



Eliminatie van twee parametersHet kan voor de eliminatie soms handiger zijn te werken met twee parameters. Tussen dietwee parameters bestaat dan wel en verband. We moeten dan twee parameters eliminerenuit drie vergelijkingen. Daartoe lossen we de twee parameters op uit het stelsel geasso-cieerde krommen en substitueren deze waarden dan in de betrekking die het verbanduitdrukt tussen de twee parameters. We illustreren met voorbeelden:


MEETKUNDIGE PLAATS 12 T.o.v. een affien coördinatenstelsel zijn gegeven depunten A(0, a) en B(0, b). Op de x-as bewegen de punten Q(q, 0) en R(r, 0) zodanig dat1q

+ 1r

= k, waarbij k een gegeven constante is. Bepaal de meetkundige plaats van hetsnijpunt P van AQ en BR.


Oplossing:


2. Speciale puntenWe onderzoeken of de punten Q en R kunnen samenvallen. Als Q = R dan geldt

1

q+

1

q=

1

k⇐⇒ q = 2

k

Het is dus mogelijk dat Q en R samenvallen. Aangezien de gegeven punten A en Bverschillend verondersteld worden, snijden ze elkaar op de x-as in het punt ( 2

k, 0),

dat een speciaal punt is van de meetkundige plaats. De geassocieerde krommenvallen samen indien Q en R samen vallen in de oorsprong wat onmogelijk is (q 6= 0en r 6= 0).

3. Coördinatenstelsel Dit is gegeven.


4. Methode We kiezen de methode II omdat een punt van de meetkundige plaatsbekomen wordt als snijpunt van twee rechten.

De absissen q en r van de veranderlijke punten van de x-as zijn twee parameters.Deze parameters zijn afhankelijk van elkaar, ze zijn verbonden door de betrekking1q

+ 1r

= k.De geassocieerde krommen zijn de rechten AQ en BR met respectieve vergelijkingen:

x

q+y

a= 1 en

x

r+y

b= 1.

Om de meetkundige plaats te vinden moeten we de parameters q en r eliminerenuit het stelsel:

xq

+ ya

= 1xr

+ yb

= 11q

+ 1r

= k

Hier is het aangewezen 1q

en 1r

uit de eerste twee vergelijkingen op te lossen en tesubstitueren in de derde vergelijking. Zo verkrijgen we:

a− yax

+b− yxb

= k

mx = 0 ∨ kabx+ (a+ b)y = 2ab.

De mogelijkheid x = 0 bekomen we voor de parameterwaarden q = 0 en r = 0.Deze mogelijkheid moet dus uitgesloten worden.

5. InterpretatieDe meetkundige plaats is een rechte, nl. de rechte met vergelijking

kabx+ (a+ b)y = 2ab.

6. Tekening van de meetkundige plaatsWe kunnen de meetkundige plaats tekenen op voorwaarde dat we twee punten ken-nen van de meetkundige plaats. We kennen alvast voor een bepaalde stand van Qen R een punt. We zien aan de vergelijking van de rechte dat het snijpunt met dey-as het punt (0, 2ab

a+b) is, dat onafhankelijk is van de waarde van k. We tekenen de

meetkundige plaats in DERIVE. We kiezen A, B, R en Q zoals op de figuur 1.12op bladzijde 40. We laten DERIVE het punt (0, 2ab

a+b) = (0, 24

11) plotten. Dit punt

verbinden we met het snijpunt van de twee rechten.

De parameter treedt op met goniometrische getallenIn dat geval beschouwen we de twee goniometrische getallen van de parameter als tweeverschillende parameters waartussen een verband bestaat aangegeven door een formulevan de goniometrie. Hiervan volgt een voorbeeld.


MEETKUNDIGE PLAATS 13 In een trapezium ABCD zijn de hoekpunten A en Bvast en zijn de evenwijdige zijden AD en BC veranderlijk met |BC| = p en |AD| = qconstant.Bepaal de meetkundige plaats van

a. het snijpunt van de diagonalen van het trapezium ABCD.

b. het midden van de zijde [CD].


Oplossing:

a. 1. Tekening van de gegevens We tekenen het lijnstuk [AB] en om de bereke-

ningen een weinig te vereenvoudigen nemen we de lengte van [AB] gelijk aan2.

2. Speciale puntenAls punten D en C op de rechte AB vallen dan hebben we geen trapeziummeer. Bovendien vallen de diagonalen samen. De gemeenschapelijke puntenvan deze geassocieerde krommen zijn geen punten van de meetkundige plaatsmaar vormen het singulier parasitisch deel van de meetkundige plaats.

3. CoördinatenstelselWe kiezen de x-as langs AB en de y-as door het midden van [AB] en loodrechtop de x-as. Omdat we de afstand tussen de punten A en B gelijk aan 2 gekozenhebben, hebben de punten A en B resp. de coördinaten (−1, 0) en (1, 0).


4. Methode Methode II: een punt van de meetkundige plaats is het snijpunt vantwee rechten.

(a) Keuze van de parameterOmdat de richting van de evenwijdige rechten AD en BC veranderlijk is,kiezen we als parameter de hoek α die deze rechten insluiten met de posi-tieve x-as.Het stelsel coördinaatgetallen van de punten C(xc, yc) en D(xd, yd), uitge-drukt met de hoek α, is{

xc = p cosα + 1yc = p sinα

en

{xd = q cosα− 1yd = q sinα

(b) Stelsel geassocieerde krommen Het stelsel geassocieerde krommen DB enAC is { x−1

q cosα−2 =y

q sinαx+1

p cosα+2= y

p sinα

Dit stelsel is lineair stelsel in twee onbekenden sinα en cosα, die beschouwdworden als twee verschillende parameters en die verbonden zijn door degrondformule

sin2 α + cos2 α = 1.

(c) Singulier deel

De x-as (y = 0) ingeval sinα = 0 en dit is voor de waarden van deparameter α = 0o of α = 180o.

(d) Eliminatie van de parametersWe lossen het stelsel op naar cosα door beide vergelijkingen lid aan liddoor elkaar te delen. Uit één van de vergelijkingen berekenen we dan sinα.We verkrijgen: {

cosα = (q+p)x+p−qpq

sinα = (q+p)ypq

De parameter α is geëlimineerd als we de waarden van sinα en cosα in-vullen in de grondformule.(

(q + p)x+ p− q)2

p2q2+

(q + p)2y2

p2q2= 1

We delen in beide termen van het eerste lid teller en noemer door (p+ q)2

We verkrijgen de vergelijking:(x+ p−q

p+q

)2p2q2

(p+q)2

+y2

p2q2

(p+q)2

= 1


m(x− q−p

p+q

)2(pqp+q

)2 + y2( pqp+q

)2 = 1.5. Interpretatie

De eliminant stelt een cirkel voor met middelpunt ( q−pq+p

, 0) en straal pqp+q

.


b. Voor de meetkundige plaats van het midden gaan we op analoge wijze tewerk. Wekiezen hetzelfde coördinatenstelsel, methode II en dezelfde parameter α.

1. Speciale punten Als punten D en C op de rechte AB vallen dan hebben zeals absis resp. −1 + q en 1 + p in geval α = 0o en −1 − q en 1 − p in gevalα = 180o. Het midden van [CD] heeft dan resp. de absis p+q

2en −p+q

2. Deze

twee punten zijn geen punten van de meetkundige plaats.Als AD en BC loodrecht staan op AB dan ligt het midden van [DC] op dey-as en heeft als ordinaat p+q

2of −p+q

2.

2. Stelsel geassocieerde krommenx = (p+q) cosα

2

y = (p+q) sinα2

sin2 α + cos2 α = 1

3. Eliminaie van de parametersWe elimineren cosα en sinα uit het stelsel: De eliminant is

4x2

(p+ q)2+

4y2

(p+ q)2= 1⇐⇒ x2 + y2 =

(p+ q2

)2.

4. Interpretatie De meetkundige plaats is een cirkel met de oorsprong als mid-

delpunt en straal p+q2

. We merken op dat de vier speciale punten, punten zijnvan deze cirkel. De punten op de x-as moeten we echter uitsluiten. Zij vormeneen parasitisch deel van de meetkundige plaats. Een parasitisch deel van demeetkundige plaats is een deel van de meetkundige plaats die niet voldoetaan alle meetkundige voorwaarden maar die deel uitmaakt van het resultaatdat we bekomen na algebräısch bepalen van de meetkundige plaats.


MEETKUNDIGE PLAATS 14 T.o.v. een orthonormale basis is het punt A(1, 0) ge-

geven en bewegen de punten B en C op de y-as zodanig dat ~OB. ~OC = 2. In B trekt mende loodlijn op AB, in C de loodlijn op AC. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpuntvan deze loodlijnen.


Oplossing:


2. Speciale punten

Naarmate C (B) nadert naar de oorsprong, zal B (C) naderen naar +∞ op de y-as.De loodlijnen op AB en AC naderen tot rechten die parallel zijn met resp. x-as (y-as) en y-as (x-as). De punten B en C kunnen niet samenvallen met de oorsprong.De punten B en C vallen samen als de ordinaat gelijk is aan ±

√2. De rechten AB en

AC vallen samen met de rechte met richtingsvector (1,∓√

2). De loodlijnen vallenbijgevolg ook samen met de rechte x∓

√2(y ∓

√2) = 0⇐⇒ x∓

√2y + 2 = 0. We

krijgen voor deze twee standen van de punten B en C ineens oneindig veel puntenvan de meetkundige plaats. Deze delen van de meetkundige plaats zijn singulieredelen van de meetkundige plaats. Een singulier deel van een meetkundigeplaats is een deel van de meetkundige plaats waarvoor geassocieerde krommensamenvallen of gedeeltelijk samenvallen. Voor één parameterwaarden verkrijgen weineens oneindig veel punten van de meetkundige plaats.


3. Coördinatenstelsel Is reeds gegeven.

4. Methode Methode II: een punt van de meetkundige plaats is het snijpunt van tweerechten.

(a) Keuze van de parameter

We kiezen de ordinaat van B als parameter r. De ordinaat van C is dan 2r.

(b) Stelsel geassocieerde krommen

De vectoren ~BA(1,−r) en ~CA(1,−2r) zijn normaalvectoren van de respectieve

loodlijnen. Het stelsel geassocieerde krommen is

x− r(y − r) = 0x− 2

r(y − 2

r) = 0

mx− ry + r2 = 0x− 2

ry + 4

r2= 0

We rangschikken de vergelijkingen naar r.

r2 − yr + x = 0xr2 − 2yr + 4 = 0

(c) Eliminatie van de parameters

Om r te elimineren vatten we r2 en r op als twee parameters X en Y waartusseneen verband bestaat nl. Y 2 = X.We verkrijgen het stelsel {

X − yY + x = 0xX − 2yY + 4 = 0

i. Als

∣∣∣∣ 1 −yx −2y∣∣∣∣ 6= 0⇐⇒ y(2− x) 6= 0 is het stelsel een stelsel van Cramer

met één oplossing voor X en Y . De oplossing is{X = 2Y = x+2

y

Deze oplossingen voldoen aan Y 2 = X ⇐⇒(x+2y

)2= 2 =⇒ 2+x = ±

√2y

Deze vergelijkingen bekomen we voor slechts 2 waarden van de parameterr nl. r2 = 2 ⇐⇒ r =

√2 ∨ r = −

√2. Deze vergelijkingen stellen dus het

singulier deel voor van de meetkundige plaats.


ii. Als

∣∣∣∣ 1 −yx −2y∣∣∣∣ = 0 ⇐⇒ y(2 − x) = 0 dan heeft het stelsel oneindig

veel oplossingen. Dit betekent dat elke oplossing voor r van de eerstevergelijking ook oplossing is van de tweede vergelijking en dit voor oneindigveel waarden van r. De voorwaarde daartoe is dat x = 2 (y 6= 0).

5. Interpretatie De vergelijkingen 2 +x = ±√

2y zijn de vergelijkingen van het singu-lier deel van de meetkundige plaats. De eigenlijke meetkundige plaats is de rechteevenwijdig met de y-as x = 2.


We kunnen de meetkundige plaats ook vinden op meetkundige wijze. We tekenen ~AB′ =2 ~AB en ~AC ′ = 2 ~AC. Het snijpunt van B′C ′ met de X-as is A′ en ~AA′ = 2 ~AO. Uit~OB. ~OC = 2 volgt ~A′B′. ~A′C ′ = 8. Noemen we a′′ het punt met absis 3 dan geldt:

~A′A. ~A′A′′ = 8.

Het punt A′ heeft de macht 8 t.o.v. de cirkel door de punten C ′, B′, A en A′′. Het middel-punt van deze cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de koorden [AB], [AC ′] en[AA′′]. Dit snijpunt is tevens een punt van de meetkundige plaats. De middelpunten vanalle cirkels voor veranderlijke B en C liggen op de middelloodlijn van het vaste lijnstuk[AA′′]. Dit is de rechte door het punt met absis 2 van de x-as en parallel met de y-as. Demeetkundige plaats is de rechte x = 2.


MEETKUNDIGE PLAATS 15 Van een cirkel c beschouwt men twee loodrechte mid-dellijnen x en y. Een veranderlijk punt P van de cirkel wordt loodrecht op x en y gepro-jecteerd. De projecties worden resp. P ′ en P ′′ genoemd. Zoek de meetkundige plaats vanhet midden van [P ′P ′′].


Oplossing:


2. Speciale punten


4. Methode





5. InterpretatieDe meetkundige plaats is een cirkel met middelpunt O en straal gelijk aan de helftvan de straal van de gegeven cirkel.



MEETKUNDIGE PLAATS 16 Gegeven een cirkel c met straal r en een verander-lijke rechte m door een vast punt A. Bepaal de meetkundige plaats van het midden vanhet snijpuntenpaar van m en de cirkel c

a. als het punt A buiten de cirkel ligt;

b. als het punt A op de cirkel ligt.


Oplossing:


2. Speciale punten


4. Methode




(c) Singulier deel

(d) Eliminatie van de parameters

5. Interpretatie


Meetkundige oplossingWe verbinden het middelpunt M van de cirkel met het punt M ′ van de meetkundigeplaats, dit is het midden van de koorde afgesneden door de rechte m. De straal naarhet midden van een koorde staat loodrecht op die koorde. Het punt van de meetkundigeplaats ziet het vaste lijnstuk [MA] onder een rechte hoek. De punten van de meetkundigeplaats liggen dus op een cirkel met middellijn [AM ].


MEETKUNDIGE PLAATS 17 Door het hoekpunt O van een gegeven rechthoek OABCgaan twee veranderlijke rechten OD en OE, die orthogonaal zijn. De rechte OD snijdt dezijlijn AB in D; de rechte OE snijdt de zijlijn BC in E. Bepaal de meetkundige plaatsvan:

a. het midden M van het lijnstuk [DE];

b. de projectie van O op DE.


Oplossing:

a. 1. Tekening van de gegevens

2. Speciale punten


4. Methode





5. Interpretatie


Meetkundige oplossing: Het midden M van het lijnstuk [DE] is het middelpunt vande cirkel door de punten O, B, E en D. De koorde [OB] is vast en gemeenschappelijkvoor alle cirkels bij veranderlijke E en D. De middelpunten van al de cirkels liggendus op de middelloodlijn van het lijnstuk [OB]. De meetkundige plaats van hetmidden M van [ED] is dus de middelloodlijn van [OB].

b. De meetkundige plaats is de rechte AC (diagonaal van de rechthoek OABC). Ditis niet zo eenvoudig meetkundig in te zien. Je kan dit tweede deel met één van deanalytische methodes verifiëren.


2. Speciale punten



4. Methode




5. Interpretatie



MEETKUNDIGE PLAATS 18 Door een punt A van een gegeven cirkel (M ; r) trektmen twee veranderlijke rechten p en q die een constante hoek van 45o insluiten. Dierechten snijden de cirkel nog in twee punten P en Q. Bepaal de meetkundige plaats vanhet midden C van het lijnstuk [PQ].


Oplossing: De meetkundige oplossing ligt zo voor de hand dat het tijdverspilling is omde meetkundige plaats nog eens op analytische wijze te zoeken.

Meetkundige oplossing: De omtrekshoek P∧A Q = 45o en de corresponderende middel-

puntshoek P∧M Q = 90o. Hieruit volgt dat |PQ| een vaste waarde heeft, nl. |PQ| =

√2r.

Hieruit volgt dat |MC| =√22r. De meetkundige plaats van C is een cirkel met middelpunt

M en straal√22r.


MEETKUNDIGE PLAATS 19 Gegeven twee vaste punten A(a, 0) en B(b, 0) en eenveranderlijk punt C(0, t) in een orthonormale basis. In A trekt men de loodlijn op ACen in B de loodlijn op BC. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van dezeloodlijnen.


Oplossing:


2. Speciale punten


4. Methode





(d) Singulier deel

5. Interpretatie


Meetkundige oplossing: De punten A, B, C en P liggen op eenzelfde cirkel met middellijn[CP ]. Het lijnstuk [AB] is een vaste koorde voor alle cirkels bij veranderlijke C. Demiddelpunten van alle cirkels liggen op de middelloodlijn van [AB]. De projectie P ′ vanP op AB is vast voor veranderlijke C. Noemen we M ′ het midden van [AB], dan geldt:

2|CM | = |CP | ⇐⇒ 2|OM ′| = |OP ′|

⇐⇒ 2 |OA|+ |OB|2

= |OP ′| ⇐⇒ |OP ′| = |OA|+ |OB|.

De punten P liggen dus op de loodlijn op AB door het punt (a+ b, 0). Deze redenering isgeldig als de twee loodlijnen verschillend zijn. De loodlijnen vallen samen met de X-as alshet punt C het oneigenlijk punt is van de y-as. Voor deze stand van C vinden we ineensoneindig veel punten van de meetkundige plaats. Dit deel van de meetkundige plaats ishet singulier deel van de meetkundige plaats.


MEETKUNDIGE PLAATS 20 Een veranderlijke rechte, loodrecht op de schuine zij-de BC van een rechthoekige driehoek ABC, snijdt de zijlijn AB in een punt D en dezijlijn AC in een punt E. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van de rechtenBE en CD.


Oplossing:


2. Speciale punten


4. Methode





5. Interpretatie


Meetkundige oplossing: In driehoek ECB zijn ED en AB hoogtelijnen. De rechte door Cen het snijpunt van de hoogtelijnen ED en AB is tevens een hoogtelijn (de hoogtelijnenin een driehoek zijn concurrent). Hieruit volgt dat de rechte CD loodrecht staat op BE.Het snijpunt van CD en BE ziet [BC] onder een rechte hoek. Het snijpunt ligt dus opde cirkel met middellijn [BC] en dit voor een veranderlijke loodlijn op de schuine zijde.Deze cirkel gaat ook door A, want de driehoek ABC is rechthoekig in A. De meetkundigeplaats is de omgeschreven cirkel van de driehoek ABC.

OPGAVEN — 21 Elimineer de parameter t of a uit de volgende stelsels en geef de meetkundigeinterpretatie.

a.

{y − tx = 0x − t = 0 b.

{tx+ 2ty − 3 = 0

(t+ 1)x− y + t = 0 c.{y = x+ ay = (x+ a)2 − 1

22 We beschouwen een vaste cirkel c(M, r) met middellijn [A,B]. Een rechte m verplaatst zich even-wijdig met AB en snijdt de cirkel in de punten D en C zodat ABCD een trapezium vormt. Bepaal demeetkundige plaats van het snijpunt van AD en MC.

23 Elimineer de parameters a en b uit de volgende stelsels en geef een meetkundige interpretatie.

a.

bx + y = aax − z = −bay + bz = 1

b.

ax = 1− bx = a− ba+ b = 2

c.

x− a = kxy = −k(y − b)m2 = a2 + b2


24 Gegeven twee verschillende punten A en B van de x-as. Op de y-as variëren twee punten D en C zo,dat de oorsprong het midden blijft van het lijnstuk [DC]. Zoek de meetkundige plaats van het snijpuntvan BD en AC.

25 Op de x-as beschouwt men de vaste punten A(1, 0) en A′(−1, 0). Op de y-as veranderen de puntenB en C zo, dat de ordinaat van C steeds het dubbele is van die van B. Zoek de meetkundige plaats vanhet snijpunt van AB en A′C.

26 Een veranderlijke evenwijdige met de zijlijn BC van een driehoek ABC snijdt de zijlijnen AB enAC resp. in de punten D en E. De rechte m1 gaat door D en is loodrecht op AB; de rechte m2 gaatdoor E en is loodrecht op AC. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van m1 en m2.

27 T.o.v. een orthonormale basis beschouwt men de vaste punten A(a, b), B(c, d) en het veranderlijkpunt C(λ, 0). Door het snijpunt D van de rechte AC met de y-as trekt men de rechte r evenwijdig metAB. De rechte AB is niet evenwijdig met één der coördinaatassen. Bepaal de meetkundige plaats vanhet snijpunt P van de rechte r met de rechte BC.

28 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(3, 0) en B(−3, 0) gegeven. Een punt P doorloopt derechte 3x+ 2y − 12 = 0. In de driehoek PAB wordt een vierkant ingeschreven, waarvan één zijde op dedrager van AB ligt. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van het vierkant.

29 Op de zijde BC van een vaste driehoek ABC neemt men de punten Q en R zó dat C het midden isvan [QR]. Men verbindt Q met A en R met het midden S van [AC]. Bepaal de meetkundige plaats vanhet snijpunt P van QA en RS.

30 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(2, 2) en B(−2, 2) gegeven. Op de y-as neemt meneen veranderlijk punt C. Bepaal de meetkundige plaats van het hoogtepunt van de driehoek ABC.

31 De driehoek ABC is rechthoekig in C. De zijde AB is veranderlijk maar heeft een vaste richting.Buiten de driehoek construeert men de vierkanten CADE en CBFG. Bepaal de meetkundige plaats vanhet snijpunt van AF en BD.

32 T.o.v. een orthonormale basis beschouwt men de kubische parabool y = x3. Om het punt A(1, 1)van deze kromme wentelt een veranderlijke rechte d die de kromme nog snijdt in B en C. Bepaal demeetkundige plaats van het midden van BC.

33 Elimineer θ uit de volgende stelsels

a.

{sinθ + cosθ = p

cosecθ − secθ = q b.{

xcosθ + ysinθ = a−xsinθ + ycosθ = b

c.

{bcos2θ + asin2θ = csinθacos2θ − bsin2θ = ccosθ d.

{x = acosθy = bsinθ

e.

{x = r − rsinθy = r − rcosθ f.

{xcosθ = a

y = btgθ


Oplossingen:

24. x = 2aba+b ; 25. x = −13 , x-as als singulier, niet-parasitisch deel voor B = C;

26. (b+ c)y + (bc+ a2)x− a2(b+ c) = 0 (x-as langs BC, y-as dr. A ⊥ op BC;27. y = dxc−a , sing.:y =

(b−c)x+ad−bca−c ; 29.

30. De parabool y2 = 2x, gaat door A en B; 31. De rechte door O loodrecht op AB; 32. x = −1/2.33. a. 4(2− p2) = q2(p2 − 1)2;

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 34 Elimineer de parameter p uit de volgende stelsels en geefde meetkundige interpretatie.

a.

{x = 1−p

2

1+p2

y = p1+p2b.

{2(y − 2) + px = 02(y2 − x2) + pxy = 0

35 Elimineer de parameters p en q uit de volgende stelsels en geef een meetkundige interpretatie.

a.

1p +

1q = x

p2 + q2 = yp+ q = y − pq

b.

p2 − 5p+ x = 0p+ q = 2q2 + 3q + x− 6 = 0

36 Gegeven is het vaste punt A(2, 2) en een veranderlijk punt B van de y-as. De rechte die B methet midden van [OA] verbindt, snijdt x in C. Door C trekt men de rechte d parallel met OA. Zoek demeetkundige plaats van het snijpunt van AB en d.

37 Een punt P doorloopt de drager van de zijde AB van een driehoek ABC. De punten Q en R zijnde orthogonale projecties van P op de zijden AC en BC. Bepaal de meetkundige plaats van het middenvan QR.

38 Op de x-as van een orthonormale basis liggen de vaste punten (a, 0) en (b, 0) en op de y-as ligthet veranderlijk punt C(0, k). Men bepaalt de beelden A′ van A en B′ van B door de homothetie metcentrum O en verhouding r. Door A′ trekt men de loodlijn a op CA en door B′ de loodlijn op CB.Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van a en b.

39 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(a, 0) en B(0, b) gegeven. Op de x-as beweegt eenpunt C en op de y-as beweegt een punt D zó dat de lijnstukken [AC] en [BD] dezelfde lengte hebben.Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van de rechten AD en BC.

40 T.o.v. een orthonormale basis beschouwen we de parabool met vergelijking y = ax2. Een verander-lijke rechte m parallel met de y-as snijdt de parabool in een punt P . Bepaal de meetkundige plaats vanhet snijpunt van m en de loodlijn in de oorsprong op op.

41 T.o.v. een affien coördinatenstelsel gaat een veranderlijke rechte r door een vast punt A(x1, y1). Derechte r snijdt de x-as in B en de y-as in C. De rechte die B verbindt met het midden van het lijnstuk[OA], snijdt de y-as in D. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt P van de rechte r en deevenwijdige door D aan OA.


42 De basis AB van een trapezium is vast. De opstaande zijden AC en BD zijn veranderlijk zó dat|AC| = 2|BD|. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van de opstaande zijden.

43 T.o.v. een orthonormale basis is gegeven de ellips:

x2

a2+y2

b2= 1

De raaklijn t in een punt P aan de ellips snijdt de x-as en de y-as resp. in de punten Q en R. Door Qtrekt men de rechte q parallel met de y-as en door R de rechte r parallel met de x-as. De kruiskrommeis de meetkundige plaats van het snijpunt S van q en r als P de ellips doorloopt.

Oplossingen:

36. x = 2y met x = y als singulier deel; 37. 2(a+ b)(ab+ 1)x+ 2(a2 + b2 + 2a2b2)y = 4a2b2 + (a+ b)2;

38. x = r(a+ b); 39. x− y = a− b en x+ y = a+ b met bx+ ay − ab = 0 als singulier deel.40. y = −1/a met x = 0 als singulier deel; 41. y = 2y1x1 x met y =

y1x1x als singulier deel (voor O ∈ r );

42 cirkel van Apollonius met straal 2/3, het middelpunt ligt aan de kant van B op een afstand van A

gelijk aan 4|AB|/3.43 De cartesische vergelijking van de kruiskromme is: a2y2 + b2x2 = x2y2.. De x-as en de y-as zijn

symmetrieassen, de oorsprong is een punt van symmetrie.

De kruiskromme gaat door de oorsprong. We snijden de kromme met de rechte y = ωx.

De vergelijking in x is: (a2ω2 + b2)x2 − ω2x4 = 0.. De oorsprong is een gëısoleerd dubbelpunt (acnode)

1.3 Wiskunde-Cultuur

Apollonius van Perga (Zuidwest-Turkije) is een Grieks wiskundige van ca 260 v. C totca 190 v. C, een jongere tijdgenoot van Eratosthenes en Archimedes. In zijn hoofdwerk de’Conica‘, in acht boeken, vatte hij de resultaten samen van zijn voorgangers Menaechmus,Euclides en Archimedes en gaf een volledigere en algemenere theorie, uitgaande van dedefinitie van kegelsneden als de krommen waarin een vlak een scheve cirkelkegel snijdt.Aan deze krommen gaf Apollonius de naam ellips, parabool en hyperbool, dwz. de de-fecte, aangepaste en overschietende krommen, naar eigenschappen die gelden voor dezekrommen in het euclidisch vlak. Drie van zijn boeken werden in de achste, negende eeuwvertaald in het Arabisch. Dit afschrijven en vertalen heeft menig Grieks werk, dat inhet oorspronkelijk verloren is geraakt, voor ons behouden. Van de Arabische wiskundigeMohammed (9de eeuw) is het woord algebra (Al jabr) afgeleid. Apollonius beoefende ookde astronomie en ontwikkelde de leer der epicykels.

Hoofdstuk 2

Krommen

2.1 Poolvergelijking van een kromme

2.1.1 Definitie van poolcoördinaat van een punt in het vlak

Beschouwen we het punt P (x, y) t.o.v. een cartesisch coördinatenstelsel in het euclidischvlak (orthonormale basis). De ligging van het punt P (x, y) wordt volledig bepaald door θen r. De hoek θ is de scherpe of de stompe georiënteerde hoek die de rechte OP insluit metde positieve halve x-as (rotatiehoek met beginbeen de positieve halve x-as). De oriëntatievan de rechte OP wordt aangegeven door de hoek θ. De reële waarde r is de absis van hetpunt P op de georiënteerde rechte OP (lengte van de vector ~OP (x, y) met een plusteken

of een minteken al naargelang de zin van ~OP dezelfde is van de georiënteerde rechte aldan niet).We noemen het koppel (θ, r) een poolcoördinaat van het punt P .Voor de georiënteerde hoek θ mogen we elk maatgetal geven.De poolcoördinaat van een punt wordt volledig bepaald t.o.v. een polair coördinatenstelsel

Figuur 2.1: Poolcoördinaat van een punt P

63

64 HOOFDSTUK 2. KROMMEN

dat bestaat uit de zogenaamde pool O en de positieve halve x-as, die we de poolas noe-men. De y-as moet enkel beschouwd worden als we het verband willen leggen met decartesische coördinaat.

Verband tussen poolcoördinaat en cartesische coördinaat van een puntZijn r en θ gegeven dan zoeken we x en y met de volgende formules:{

x = r cos θy = r sin θ

Zijn x en y gegeven dan zoeken we r en θ met de volgende formules:{r2 = x2 + y2

tan θ = yx

Opmerkingen:

• Een punt heeft oneindig veel poolcoördinaten.

Voorbeeld: De koppels

(π

3, 2) (

4π

3,−2) (7π

3, 2) (

−5π3

, 2) (−2π

3,−2)

zijn verschillende poolcoördinaten van hetzelfde punt.

• Voor beschrijving van krommen in poolcoördinaten is het nodig dat we voor θ allemaatgetallen kunnen beschouwen uitgedrukt in radialen omdat ze aanleiding geventot oneindig veel verschillende punten in het vlak bv. bij de vergelijking van eenspiraal (zie later).

2.1.2 Scalair product in poolcoördinaten

Het scalair product van twee vectoren ~v1 en ~v2 is het reëel getal dat we bekomen doorhet product te maken van de normen van de beide vectoren en de cosinus van de hoek θingesloten door de twee vectoren.

Met symbolen:~v1.~v2 = ‖~v1‖‖~v2‖ cos θ

We beschouwen de punten A en B met resp. de poolcoördinaten (θ1, r1) en (θ2, r2). De

hoek θ1 − θ2 is de hoek ingesloten door de vectoren ~OA en ~OB.

~OA · ~OB = ‖ ~OA‖‖ ~OB‖ cos(θ1 − θ2) = r1r2 cos(θ1 − θ2)

2.1. POOLVERGELIJKING VAN EEN KROMME 65

2.1.3 Afstand in poolcoördinaten

Om de afstand tussen tywee punten uit te drukken in poolcoördinaten, kunnen we gebruikmaken van de cosinusregel in de driehoek OAB.

|AB|2 = |OA|2 + |OB|2 − 2|OA| · |OB| cos(θ1 − θ2)

|OA|=|OB|=1m

|AB|2 = r21 + r22 − 2r1r2 cos(θ1 − θ2) (2.1)

Figuur 2.2: scalair product en afstand in poolcoördinaten

2.1.4 Eenvoudige vergelijkingen in poolcoördinaten

In poolcoördinaten kunnen we de volgende krommen eenvoudig schetsen:

* De cirkel met middelpunt in de pool en straal R: r = R;

* Een vectorrechte: θ = θ1 (als we ook negatieve r-waarden toelaten);

* Een spiraal van Archimedes: r = aθ met a ∈ R0;

* Een hyperbolische spiraal: r = aθ

met a ∈ R0.


2.1.5 Poolvergelijking van een rechte

Figuur 2.3: de poolvergelijking van een rechte

In het euclidisch vlak is een rechte volledig bepaald door een punt en een normaalvector.Beschouwen we een rechte a niet gaande door de pool O. Is het punt A(θ0, r) het voetpuntvan de loodlijn uit de pool O op de rechte a dan is (θ0), r0 de poolcoördinaat van eennormaalvector ~n van de rechte a alsook de poolcoördinaat van een punt van de rechte a.We gaan nu de nodige en voldoende voorwaarde zoeken waaraan de poolcoördinaat (θ, r)van een punt P moet voldoen opdat het op de rechte a zou gelegen zijn.

P (θ, r) ∈ a ⇐⇒ ~AP ⊥ ~n⇐⇒ ~AP .~n = 0⇐⇒ ( ~OP − ~OA). ~OA = 0⇐⇒ ~OP . ~OA− ( ~OA)2 = 0⇐⇒ rr0 cos(θ − θ0)− r20 = 0r0 6=0⇐⇒ r cos(θ − θ0)− r0 = 0

De poolvergelijking van een rechte a is van de gedaante

r cos(θ − θ0)− r0 = 0

We lossen een vergelijking in poolcoördinaten meestal op naar r, dan hebben we de voer-straal van een punt van de rechte in functie van de hoek die deze voerstraal insluit metde positieve x-as.

r =r0

cos(θ − θ0).


Met deze gedaante sluiten we de waarde van θ uit waarvoor

cos(θ − θ0) = 0⇐⇒ θ = θ0 + 90o.

Deze waarde van θ levert het oneigenlijk punt van de rechte a op.

Bijzondere gevallen:

* Rechte parallel met de poolas

De normaalvector van de rechte sluit een hoek van 90o in met de poolas.

θ0 = 90o

r =r0

cos(θ − 90o).

De algemene vergelijking van een rechte parallel met de poolas is

r =r0

sin θ.

* Rechte orthogonaal met de poolas

De normaalvector van de rechte sluit een hoek van 0o in met de poolas.

θ0 = 0o

r =r0

cos θ.

Dit is de algemene vergelijking van een rechte orthogonaal met de poolas.

OPGAVEN — 44 Bepaal de vergelijking van de rechte met normaalvector (135o, 2) en door het punt(135o, 2)

45 Bepaal de vergelijking van de rechte met normaalvector (210o, 1) en door het punt (210o,−2)

46 Teken de rechten met volgende poolvergelijking

a. r = 4cos(θ−60o) ;

b. r = − 3sin θ ;

c. r =√2

cos(θ+15o) ;

d. r = −1√3 cos(θ−315o) ;

e. r = − 43 cos(θ+102o) .

f. r = 6cos θ+

√3 sin θ

.


2.1.6 Poolvergelijking van een cirkel

1. Het middelpunt van de cirkel ligt in de oorsprongDe vergelijking is

r = R.

Merk op dat de vergelijking van de eerste graad is en dat in tegenstelling met devergelijking van een cirkel in cartesische coördinaten die steeds van de tweede graadis.

Figuur 2.4: poolvergelijking van een cirkel

2. De cirkel C(M ;R) gaat niet door O en M 6= OIs M(r0, θ0) (r0 6= 0) het middelpunt van een cirkel C in poolcoördinaten en R destraal dan geldt:

P (θ, r) ∈ C ⇐⇒ |PM |2 = R2⇐⇒ r2 + r20 − 2rr0 cos(θ − θ0) = R2

De algemene vergelijking van een cirkel in poolcoördinaten is

r2 + r20 − 2rr0 cos(θ − θ0) = R2.

Betekenis van de vergelijking van de cirkel in poolcoördinaten: Omeen poolcoördinaat van een punt te bepalen van C geven we aan θ een waarde θ1en berekenen we uit de poolvergelijking de corresponderende r-waarde. Dit komt er


op neer dat we de snijpunten zoeken van de cirkel met de rechte aO : θ = θ1.Dit levert het volgend stelsel op:{

r2 + r20 − 2rr0 cos(θ − θ0) = R2θ = θ1

⇐⇒{r2 − 2(r0 cos(θ1 − θ0))r + r20 −R2 = 0θ = θ1

De eerste vergelijking van het laatste stelsel is een kwadratische vergelijking in r.Met elke waarde θ1 van θ vinden we ofwel twee verschillende reële r-waarden, tweesamenvallende r-waarden of twee toegevoegd imaginaire r-waarden al naar gelangde discriminant van de kwadratische vergelijking. Deze |r|-waarden zijn dan de af-standen van de snijpunten van aO met de cirkel.

Figuur 2.5: de raaklijnen uit een punt aan een cirkel

Raaklijnen uit de oorsprong aan de cirkel:De bovenstaande beschouwing laat ons ook toe de raaklijnen te vinden uit O aan eencirkel. We bepalen dan de θ-waarden waarvoor de discriminant van de kwadratischevergelijking gelijk is aan nul.

r20 cos2(θ − θ0)− (r20 −R2) = 0

m

cos2(θ − θ0) =r20 −R2

r20

m

cos(θ − θ0) = ±√r20 −R2r0


m

θ = θ0 + arccos(±√r20 −R2r0

) + 2kπ ∧ θ = θ0 − arccos(±√r20 −R2r0

) + 2kπ

De vier mogelijkheden voor θ zijn twee aan twee antisupplementair en corresponde-ren dus met slechts twee raaklijnen aan de cirkel.

3. De cirkel gaat door OGaat de cirkel door de oorsprong dan is de afstand van het middelpunt tot O gelijkaan de straal R van de cirkel.

m(θ0, R)

Stellen we in de vergelijking van de cirkel r0 = R dan verkrijgen we

r2 +R2 − 2rR cos(θ − θ0) = R2 ⇐⇒ r2 − 2rR cos(θ − θ0) = 0.

De algemene vergelijking van een cirkel door de oorsprong is

r = 2R cos(θ − θ0).

De onbekende r treedt nu niet in het kwadraat op. Elke rechte θ = θ1 door deoorsprong snijdt de cirkel nog een tweede maal in een punt waarvoor de r-waardeonmiddellijk volgt uit de vergelijking na substitutie van θ door θ1, nl.

r1 = 2R cos(θ1 − θ0).

De raaklijn in de oorsprong aan de cirkel vinden we door de r-waarde van het tweedesnijpunt gelijk aan nul te stellen. Dan geldt er:

cos(θ1 − θ0) = 0⇐⇒ θ1 = 90o + θ0.

Dit is de waarde van θ waarvoor r gelijk is aan nul. De raaklijn staat bij een cirkelinderdaad loodrecht op de straal naar het raakpunt.

TAAK ♣ 47 Geef een vergelijking in poolcoördinaten van een cirkel niet door de oor-sprong. Bepaal de vergelijkingen in poolcoördinaten van de raaklijnen uit O aan de cirkel.Stel alles voor in figuur 2.5.

♣ 48 Geef een vergelijking in poolcoördinaten van een cirkel door de oorsprong. Bepaalde vergelijkingen in poolcoördinaten van de raaklijn in O aan de cirkel. Stel alles voor infiguur 2.6.


Figuur 2.6: poolvergelijking van een cirkel door de oorsprong

2.1.7 Poolvergelijking van een niet-ontaarde kegelsnede

STELLING 2.1 De meetkundige plaats van het punt P waarvoor de verhouding van deafstanden tot een gegeven punt F en een gegeven rechte d een gegeven constante is, is een(reële niet-ontaarde) kegelsnede, waarvan F een brandpunt is en d de overeenkomstigerichtlijn.

De constante verhouding e > 0 van de afstand van een punt van een kegelsnede tot eenreëel brandpunt en tot de overeenkomstige richtlijn wordt de excentriciteit van dekegelsnede genoemd.Naargelang de reële niet-ontaarde kegelsnede een ellips, een parabool of een hyperbool is,geldt voor de excentriciteit 0 < e < 1, e = 1, e > 1.

We beschouwen enkel eenvoudige poolvergelijkingen van niet-ontaarde reële kegelsneden.Daartoe kiezen we een speciaal polair coördinatenstelsel. De pool leggen we in een reëelbrandpunt F van de kegelsnede.

F = O

Noem D de projectie van F op zijn richtlijn d. De poolas x leggen we langs de as vande kegelsnede door dit brandpunt F . We oriënteren x in de zin van het punt D naar hetbrandpunt F . Is ~e een eenheidsvector van x dan is

~DF = q~e.

waarin q > 0 de afstand voorstelt tussen het brandpunt F en de richtlijn d.

We noemen G en P ′ de voetpunten van de loodlijnen uit P op resp. d en x.

~GP = ~DF + ~FP ′ = (q + r cos θ)~e =⇒ |GP | = |q + r cos θ|


Figuur 2.7: poolvergelijking van een niet-ontaarde kegelsnede opstellen

We gaan nu met poolcoördinaten uitdrukken dat een punt P (θ, r) een punt is van K.

P (θ, r) ∈ K ⇐⇒ |PF |d(P, d)

=|PF ||GP |

= e⇐⇒ rq + r cos θ

= e

Omdat de excentriciteit een positieve grootheid is, moeten r en q+ r cos θ hetzelfde tekenhebben.

• Als P en F aan dezelfde kant liggen van de richtlijn dan is q+ r cos θ > 0 en moetenwe r > 0 kiezen.

– Is θ een scherpe hoek (in I en IV) (F ligt tussen D en P ′) dan is r cos θ > 0.q + r cos θ > 0 drukt de som uit: |DF |+ |FP ′| = |GP |.

– Is θ een stompe hoek (in II en III) (P ′ ligt tussen D en F ) dan is r cos θ < 0q +

Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommenHoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling:...

Documents

Transcript of Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommenHoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling:...