Hoe kan een digitaal platform bijdragen ... - Vlakke figuren · meetkunde, meer bepaald: vlakke...

Arens Reno

Bodur Sehide

Celi Mirthe

Hoste Marie

Promotor: Mevrouw Hilde Rabaut

Academiejaar 2017-2018

Professionele Bachelor in het Onderwijs: Kleuteronderwijs en Lager onderwijs

Hoe kan een digitaal platform bijdragen tot het

ontwikkelen van een leertraject rond vormen bij

3- tot 7-jarigen?

Hogeschool Gent

Faculteit Mens & Welzijn

Opleiding Professionele Bachelor in het Onderwijs: Kleuteronderwijs en Lager onderwijs

Campus Ledeganck

K.L. Ledeganckstraat 8 | 9000 Gent

E. [email protected] | W. http://fmw.hogent.be

Arens Reno

Bodur Sehide

Celi Mirthe

Hoste Marie

Promotor: Mevrouw Hilde Rabaut

Academiejaar 2017-2018

Professionele Bachelor in het Onderwijs: Kleuteronderwijs en Lager onderwijs

Hoe kan een digitaal platform bijdragen tot het

ontwikkelen van een leertraject rond vormen bij

3- tot 7-jarigen?

Faculteit Mens & Welzijn

Opleiding Professionele Bachelor in het Onderwijs: Kleuteronderwijs en Lager onderwijs

Campus Ledeganck

K.L. Ledeganckstraat 8 | 9000 Gent

E. [email protected] | W. http://fmw.hogent.be

Academiejaar 2017-2018 Arens Reno, Bodur Sehide, Celi Mirthe en Hoste Marie

Deze bachelorproef mag gebruikt worden indien voldaan wordt aan onderstaande Creative Commons licentie van het niveau:

'Naamsvermelding – Niet-commercieel – Gelijk Delen'.

Ook het logo van HoGent moet behouden blijven.

De volledige licentieovereenkomst kan geraadpleegd worden op:

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/be/legalcode.nl

Voorwoord

Deze bachelorproef gaat over de leerlijn van wiskunde. Wij wilden ons vooral toespitsen op meetkunde, meer bepaald: vlakke figuren. In samenspraak met onze promotor, Hilde Rabaut, kwam de volgende onderzoeksvraag tot stand:

“Hoe kan een digitaal platform bijdragen tot het ontwikkelen van een leertraject rond vormen bij 3- tot 7-jarigen?”

Met dit werkstuk sluiten wij dan ook onze driejarige opleiding ‘bachelor in het kleuteronderwijs/lager onderwijs’ te Gent af.

Onze bachelorproef kon niet verwezenlijkt worden zonder de hulp van meerdere personen. Hiervoor willen wij hen op deze manier even bedanken:

Eerst en vooral onze promotor, Hilde Rabaut, om ons te begeleiden doorheen het hele proces.

Onze praktijkuitvoering was niet mogelijk geweest zonder de hulp van het team uit Basisschool De Letterdoos. Daarom gaat onze dank verder uit naar Lut Expeels, Vicky Van Caelenbergh, Wendy Riobelloolala, Eveline Moentjens, Ria Carette en Kathy Vuylsteke. Zij hebben ervoor gezorgd dat wij de praktijk op een gepaste manier konden uitvoeren door het ter beschikking stellen van hun klassen. Hierbij aansluitend willen we ook de directeur van Basisschool De Letterdoos, Karine Van Acker, bedanken voor de hartelijke ontvangst.

We willen ook onze dank betuigen aan onze vrienden en familie die ons gesteund hebben gedurende deze periode.

Tot slot willen we natuurlijk ook de kleuters danken, zonder hen was de praktijkuitvoering van deze bachelorproef niet mogelijk geweest.

Bedankt, in naam van

Arens Reno, Bodur Sehide, Celi Mirthe en Hoste Marie

Inhoudstafel

Voorwoord ___________________________________________________________ 5

Inhoudstafel __________________________________________________________ 7

Abstract _____________________________________________________________ 9

Inleiding ____________________________________________________________ 10

Probleemstelling _____________________________________________________ 11

Onderzoeksaanpak ___________________________________________________ 12

Literatuuronderzoek ______________________________________________ 13 1 Sarama & Clements _____________________________________________________ 14

1.1 Wie zijn ze en hoe werken ze? _________________________________________ 14 1.2 Het leertraject rond vormen van Sarama & Clements________________________ 15 1.3 Sarama & Clements en de Van Hiele-theorie ______________________________ 16 1.4 Koppelen Sarama & Clements aan de leerlijn _____________________________ 17 1.5 Sarama & Clements en de praktijk ______________________________________ 17

2 Van Hiele ______________________________________________________________ 18 2.1 Historisch belang ____________________________________________________ 18 2.2 Het model _________________________________________________________ 19 2.3 Een voorbeeld van didactische aanpak met de mozaïekpuzzel van niveau 0 naar 1 21 2.4 Kenmerken van het model ____________________________________________ 22 2.5 Kritiek _____________________________________________________________ 22 2.6 Koppelen Van Hiele aan de leerlijn ______________________________________ 22 2.7 Van Hiele en de praktijk ______________________________________________ 23

3 Vygotsky ______________________________________________________________ 24 3.1 Achtergrondinformatie ________________________________________________ 24 3.2 De Zone van de Naaste Ontwikkeling ____________________________________ 24 3.3 Proef _____________________________________________________________ 25 3.4 Koppelen Vygotsky aan de leerlijn ______________________________________ 25 3.5 Vygotsky en de praktijk _______________________________________________ 26

4 Piaget ________________________________________________________________ 27 4.1 De cognitieve ontwikkelingstheorie van Piaget _____________________________ 27 4.2 De ontwikkelingsfasen van Piaget_______________________________________ 29 4.3 Theorie wiskunde leren en het constructivisme ____________________________ 29 4.4 Piaget en het onderzoek naar vlakke figuren (UGent) _______________________ 30 4.5 Koppelen Piaget aan de leerlijn_________________________________________ 31 4.6 Piaget en de praktijk _________________________________________________ 32

5 Uitwerken van de leerlijn __________________________________________________ 33

Praktijk _________________________________________________________ 35 6 Motivatie website ________________________________________________________ 36 7 Methodologie ___________________________________________________________ 36 8 Uitvoering onderzoeksplan en tussentijdse resultaten ___________________________ 36

8.1 Literatuurstudie theorieën _____________________________________________ 36 8.2 Literatuurstudie leerlijn vlakke figuren ____________________________________ 36 8.3 Leerlijn bepalen _____________________________________________________ 37 8.4 Activiteiten bij de leerlijn ______________________________________________ 37 8.5 Filmen ____________________________________________________________ 37 8.6 Website ___________________________________________________________ 38 8.7 Website kenbaar maken ______________________________________________ 38 8.8 Enquête ___________________________________________________________ 38

Conclusie ___________________________________________________________ 40

Bibliografie __________________________________________________________ 41

Bijlagen ____________________________________________________________ 45 Bijlage 1: Enquête ___________________________________________________________ 45 Bijlage 2: Website ___________________________________________________________ 46 Bijlage 3: Resultaten enquête __________________________________________________ 50

Hoe kan een digitaal platform bijdragen tot het ontwikkelen van een leertraject rond vormen bij 3- tot 7-jarigen?

Pagina 9 van 54


Abstract

In Vlaanderen bestaat de noodzaak aan een duidelijke leerlijn rond vlakke figuren voor jonge

kinderen. Dit onderzoek stelt een wetenschappelijk onderbouwde leerlijn voor. Daarnaast

tracht dit onderzoek ook het werkveld te ondersteunen bij het werken aan deze leerlijn. Dit

gebeurt aan de hand van een website met praktijkvoorbeelden, gelinkt aan elk item van de

leerlijn. Zo wordt een leertraject rond vormen gerealiseerd via een digitaal platform. De

leerkrachten waren over het algemeen positief over dit platform. Er werd slechts een klein

deel van de doelgroep, leerkrachten, bereikt.


Pagina 10 van 54


Inleiding

Er is geen uitgewerkte leerlijn rond vlakke figuren binnen wiskunde. Mevrouw Hilde Rabaut heeft ons warm gemaakt voor dit onderwerp tijdens de ‘bachelorproefmarkt’. Dit onderwerp sprak ons heel erg aan, omdat een leerlijn een goede houvast is in de klaspraktijk. Ook in de stages merkten we op dat er weinig gericht rond vlakke figuren wordt gewerkt.

Vorig jaar hebben studenten aan de Universiteit Gent onderzoek gedaan naar de KIWI-test van mevrouw Hilde Rabaut. Dit onderzoek zal de basis vormen om een goede leerlijn uit te werken.


Pagina 11 van 54


Probleemstelling

Momenteel is er geen uitgewerkte leerlijn rond vlakke figuren binnen wiskunde. Hierdoor hebben de leerkrachten geen zicht op wat de opeenvolgende stappen zijn binnen de leerlijn vormen. Ze weten niet wat ze van de leerlingen kunnen verwachten. De leerkrachten kunnen dan ook hun leerlingen onvoldoende begeleiden in de zone van naaste ontwikkeling. Er bestaat ook geen goede didactische tool om aan deze leerlijn te werken. Dit leerplatform heeft als doel om mensen uit het werkveld warm te maken om rond vlakke figuren te werken.


Pagina 12 van 54


Onderzoeksaanpak

Om een antwoord te vinden op de onderzoeksvraag: ‘Hoe kan een digitaal platform bijdragen tot het ontwikkelen van een leertraject rond vormen bij 3- tot 7-jarigen?’, worden volgende stappen ondernomen. Er wordt gestart met literatuuronderzoek naar de theoretische achtergrond over het verwerven van kennis en vaardigheden rond vlakke figuren. Daarnaast wordt ook onderzocht of er reeds onderzoek is gebeurd naar mogelijke leerlijnen. Op basis van deze onderzoeken, de literatuurstudie en het onderzoek naar leerlijnen, wordt een leerlijn bepaald. Een volgende stap is het concretiseren van de leerlijn, door allerlei spelletjes en activiteiten bij deze leerlijn te bedenken. Vervolgens kan er overgegaan worden tot het maken van een website, waarop de leerkrachten de leerlijn en de activiteiten, manieren van aanpak, kunnen terugvinden. Tot slot worden de leerkrachten over de leerlijn vlakke figuren en de mogelijke activiteiten hierbij, geïnformeerd. Om te onderzoeken of het digitale platform een bijdrage is tot het ontwikkelen van een leertraject, wordt gevraagd aan de betrokken leerkrachten om een enquête op de website in te vullen.


Pagina 13 van 54


Literatuuronderzoek


Pagina 14 van 54


1 Sarama & Clements

1.1 Wie zijn ze en hoe werken ze?

Sarama & Clements (Afbeelding 1) zijn twee pedagogen afkomstig uit Amerika. Ze zijn faculteitsleden aan de Universiteit van Buffalo en werken aan de hand van leertrajecten. Leertrajecten bieden de mogelijkheid na te gaan welke doelen er moeten worden gesteld voor de klas en de kleuters. Een leertraject bestaat altijd uit drie delen. Deze delen zijn onvoorwaardelijk met elkaar verbonden. Ze kunnen niet los van elkaar gezien worden:

o Duidelijke, afgebakende doelen die wetenschappelijk vastgelegd zijn.

o De leerlijn: beschrijft het niveau van denken waarop de kleuter staat en het niveau vanwaar het kwam en naar waar het moet. Ieder niveau is een stap verder, gesofisticeerder, diepgaander dan het vorige niveau. Het einde van de leerlijn eindigt in een ‘Big Idea’ (ontwikkelingsdoel).

o De aanpak: Een leertraject beschrijft ook hoe er best wordt gehandeld om de doelen waar de kleuter op het moment ‘rijp’ voor is, te bereiken.

Bij het beschrijven van een leertraject komen deze drie delen dan ook steeds aan bod (Rabaut, H., 2017-2018).

Afbeelding 1: Sarama & Clements


Pagina 15 van 54


1.2 Het leertraject rond vormen van Sarama & Clements

0 - 2 jaar

Volgens het leertraject van Sarama & Clements kunnen kinderen van 0 tot 2 jaar vormen vergelijken en koppelen aan elkaar. Ze moeten inzien dat een vorm hetzelfde blijft, ongeacht de grootte of hoe deze geplaatst is in de ruimte.

3 - 4 jaar

Op de leeftijd van 3 jaar herkennen en benoemen kinderen een cirkel, vierkant en driehoek.

Op de leeftijd van 3 tot 4 jaar gaan ze een grotere variatie van vormen kunnen vergelijken, ongeacht de grootte en de plaatsing in de ruimte. Ook kunnen ze combinaties van vormen koppelen aan elkaar.

Een kind zegt dat deze twee combinatie van vormen hetzelfde zijn.

Op de leeftijd van 4 jaar benoemen ze vierkanten, driehoeken en soms rechthoeken, die afwijken van hun prototypes.

Bij het construeren van vormen gaan ze delen van vormen manipuleren, zoals een zijde, om een vorm te maken dat lijkt op de figuur.

Bij het vergelijken van vormen gaan ze maar een deel van de vorm onderzoeken, waardoor er fouten worden gemaakt.

“Deze zijn hetzelfde”:

4 - 5 jaar

Op de leeftijd van 4 tot 5 jaar kunnen ze ook de rechthoek herkennen en benoemen, ongeacht de grootte en de plaatsing in de ruimte.

Als het gaat over eigenschappen, herkennen ze hoeken als individuele geometrische objecten.

Tijdens het vergelijken van volledige vormen negeren ze cruciale relaties.

“Deze zijn het hetzelfde”:

Op de leeftijd van 5 jaar herkennen ze meer vormen die op elkaar lijken, zoals de zeshoek, ruit en trapezium.


Pagina 16 van 54


6 - 7 jaar

Op de leeftijd van 6 jaar benoemen ze de meest voorkomende vormen, inclusief een ruit. Hierbij maken ze geen fouten, zoals ovalen als cirkels benoemen.

Op de leeftijd van 7 jaar herkennen en beschrijven ze hoeken in verschillende contexten, bijvoorbeeld er zijn hoeken die scherper of wijder zijn.

Ze identificeren ook vormen op basis van hun kenmerken. “Het maakt niet uit hoe smal het lijkt. Het is een driehoek, omdat de vorm drie zijden en drie hoeken heeft.”

(D. Clements & Sarama, J., 2014)

1.3 Sarama & Clements en de Van Hiele-theorie

Clements, Battista, Sarama & Swaminathan voerden een onderzoek met de Van Hiele-theorie in het achterhoofd. Uit hun onderzoek wordt besloten dat er nog een niveau bestaat voor het eerste Van Hiele-niveau (niveau 0). De onderzoekers benoemden dit als de ‘precognitieve fase’. Kinderen voldoen hier niet aan het eerste niveau van Van Hiele (visualisatie), omdat ze een 2D-figuur niet correct benoemen, desondanks zij wel al bepaalde opvattingen hebben over geometrische figuren. Kinderen die zich binnen het precognitief stadium bevinden, hebben aandacht voor bepaalde kenmerken van een figuur, maar ze kunnen verder geen onderscheid maken tussen gelijksoortige figuren (Clements, Swaminathan, Hannibal & Sarama, 1999). Binnen dit precognitief stadium kunnen kinderen rechthoeken van driehoeken onderscheiden aan de hand van het aantal hoeken. Ze zijn nog niet in staat om onderscheid te maken tussen verschillende vierhoeken. Uit onderzoek bleek ook dat kinderen in het precognitief stadium gemakkelijk figuren herkennen, maar die vergelijken met een visueel prototype en ze alsook zo gaan benoemen (Clements et al., 1999).

Afbeelding 2: Twee driehoeken

Bijvoorbeeld: Een kind kan aangeven dat de linkse figuur (Afbeelding 2) een driehoek is, want het heeft drie rechte lijnen en drie hoeken. De rechtse figuur (Afbeelding 2) is geen driehoek volgens het kind, ook al heeft het ook drie rechte lijnen en drie hoeken. “Het is geen driehoek, omdat het ondersteboven staat.”

Volgens Sarama & Clements moeten kinderen figuren en vormen kunnen identificeren, vergelijken, sorteren en classificeren volgens hun eigenschappen.

Daarna moeten ze de verschillende voorstellingen van vormen en figuren ervaren. Kinderen moeten beseffen dat de ene figuur ook een driehoek is, omdat ze allebei drie zijden en drie hoeken hebben.


Pagina 17 van 54


1.4 Koppelen Sarama & Clements aan de leerlijn

Net zoals Sarama & Clements wordt er een leerlijn uitgebouwd met doelen voor de verschillende leeftijden. Aan deze doelen worden activiteiten gekoppeld, die aan de hand van een website beschikbaar worden gesteld. Hoe deze leerlijn verder invulling krijgt, wordt verder in hoofdstuk 5 besproken.

Volgens Sarama & Clements moeten kinderen ook de verschillende voorstellingen van vormen en figuren ervaren. Dit wordt verwerkt in de activiteiten, die terecht komen op de website.

1.5 Sarama & Clements en de praktijk

Dit verband wordt hierboven besproken in deel 1.4 van deze bachelorproef.


Pagina 18 van 54


2 Van Hiele

Pierre Marie Van Hiele (Afbeelding 3) promoveerde in 1957 met zijn werk ‘De problematiek van het inzicht’. Op hetzelfde moment behaalde ook zijn vrouw, Dina Van Hiele-Geldof (Afbeelding 3), haar doctoraat met haar dissertatie ‘De didactiek van de meetkunde in de eerste klas van het V.H.M.O.’1. Hun werk was op verschillende manieren vernieuwend. Met hun niveautheorie zorgden ze voor een andere kijk op het leren van meetkunde bij kinderen en jongeren (Bastide, 2006). In zijn boek ‘Begrip en inzicht’ van 1973 werkt Pierre Van Hiele deze theorie verder uit.

Waarom deze inzichten zo vernieuwend waren, wordt eerst toegelicht. Daarna worden alle niveaus, volgens het model van Van Hiele, één voor één besproken en met een praktisch voorbeeld uitgelegd. Ook de kenmerken van het model worden toegelicht. Als laatste komt de kritiek op het werk van de Van Hieles aan de beurt.

2.1 Historisch belang

De Van Hieles kenden het werk van Piaget. Piaget beschrijft de opeenvolgende stadia in de ontwikkeling van kinderen. De overgang van het ene stadium naar het andere heeft volgens Piaget enkel met rijping te maken. Dit was in tegenspraak met de theorie en de ervaringen van de Van Hieles. Zij waren ervan overtuigd dat kinderen, ongeacht hun leeftijd, van het ene niveau naar het andere konden overgaan, door goede begeleiding met passend materiaal (Broekman, Verhoef 2010). Hier doet de didactiek dus zijn intrede. Deze gedachte dat kinderen gefaseerd kunnen leren, ongeacht hun leeftijd, is vrij nieuw voor die tijd. Dit sluit ook aan bij het gedachtengoed van Vygotsky, vanuit het Sociaal-Constructivisme. Volgens Vygotsky is het belangrijk om te werken in de zone van naaste ontwikkeling. Dit zorgt er voor dat het kind van het ene niveau overgaat naar het volgende niveau. Hier zit dus een gelijkenis tussen de Van Hieles en Vygotsky. Bij het hoofdstuk over Vygotsky wordt dit verder besproken. Vanuit de optiek dat kinderen kunnen leren, het volgende niveau bereiken, door gepaste begeleiding en instructie, betekent dit ook dat er veel belang gehecht moet worden aan een goede didactiek en inzichtelijk leren (Bastide-van Gemert, 2006).

Sinds de jaren tachtig kreeg het werk van de Van Hieles internationale bekendheid. Hun niveautheorie wordt nog steeds als een basiswerk beschouwd, als het gaat om het leren van meetkunde. De niveautheorie werd door Pierre Van Hiele uitgebreid naar andere domeinen binnen de wiskunde. Als kroon op zijn werk kreeg hij eredoctoraten in Zuid-Afrika en Nieuw-Zeeland.

1 V.H.M.O. = Voorbereidend Hoger en Middelbaar Onderwijs

Afbeelding 3: Pierre en Dina Van Hiele-Geldof bij hun

dubbelpromotie in 1957


Pagina 19 van 54


2.2 Het model

Figuur 1: Van Hieles denkniveaus binnen de meetkunde (Van de Walle, 2014)

Afhankelijk van de bron verschilt het aantal denkniveaus. Als het gaat over de denkniveaus binnen het meetkunde-onderwijs, worden er vijf verschillende niveaus beschreven (Figuur 1). Van Hiele heeft zijn model ook uitgebreid naar andere domeinen van de wiskunde. Hierin beschrijft hij slechts vier niveaus (Alberts e.a., 2005).

In het basisonderwijs komen vooral de eerste drie niveaus aan de orde. Daarom worden deze iets uitvoeriger beschreven.

Het grondniveau of nulniveau is het eerste niveau binnen het meetkundig denken, volgens Van Hiele. Dit niveau wordt ook het visueel niveau genoemd. Het kind herkent de vorm in

z’n totaliteit. Sommige meetkundige figuren zal het kind dan ook juist benoemen, maar hij/zij kan moeilijk antwoord geven op de vraag waarom de figuur een driehoek, vierkant… is. Er worden nog geen kenmerken geformuleerd. Op vragen zoals: “Hoe weet je dat het een vierkant is?” Zal het kind antwoorden: “Het ziet eruit als een raam.” Op dit niveau worden figuren ook vaak fout benoemd. De ‘tekeningen’ A, B, C en D op afbeelding 5 hiernaast, kunnen binnen dit niveau allemaal als driehoeken worden benoemd, terwijl ze dit niet zijn. De figuren E en F kunnen niet als driehoeken worden herkend, omdat ze niet voldoen aan het prototype (Afbeelding 4). Figuur E is smaller en figuur F is geroteerd. Dit komt niet overeen met het mentale beeld dat ze over een driehoek hebben. Kinderen op dit niveau herkennen de prototypes van driehoeken, cirkels en vierkanten. Het kind denkt enkel na over individuele vormen, die hij/zij tracht te benoemen door hun holistische verschijning (prototypes). Een vierkant is voor een kind binnen dit niveau een totaal andere soort vorm, dan een rechthoek. Dit geldt ook voor een ruit en parallellogram.

Afbeelding 4: Prototype van een driehoek

Afbeelding 5: Hoe benoemen

kinderen op nulniveau deze figuren


Pagina 20 van 54


Het volgende niveau, het eerste niveau in Van Hieles niveautheorie, is dit van de analyse, de beschrijving. Op dit niveau kijken kinderen naar vormen en hun kenmerken. Het kind kijkt niet enkel naar individuele vormen, maar naar groepen van vormen. Ze kunnen de vormen beschrijven aan de hand van hun kenmerken. Een vierkant wordt bijvoorbeeld beschreven als een figuur met vier gelijke hoeken, vier gelijke zijden en even lange diagonalen. Wat het kind echter nog niet kan, is die kenmerken ordenen, waardoor bijvoorbeeld een vierkant ook als rechthoek kan worden gezien (Afbeelding 6). De kenmerken van de figuren worden afzonderlijk bekeken. Zo wordt de overlap in de figuren niet gezien. Op dit niveau zullen kinderen beweren dat een vierkant geen rechthoek is. Om dit te staven zullen ze kenmerken aanbrengen die er

niet wezenlijk toe doen. Ze zullen bijvoorbeeld argumenteren dat een rechthoek één paar lange en één paar korte zijden heeft. Er is dus nog geen sprake van klasse-inclusie (Afbeelding 7). Kinderen zien nog geen samenhang tussen de verschillende kenmerken. Hierdoor kunnen ze het aantal kenmerken niet reduceren. Bijvoorbeeld een figuur (vierhoek) met vier rechte hoeken heeft altijd even lange diagonalen en dit is van toepassing op een rechthoek, maar ook op een vierkant. Kinderen op dit niveau kunnen wel inductief redeneren vanuit voorbeelden met een specifiek kenmerk. Deductief redeneren lukt nog niet, omdat ze de verbanden tussen de kenmerken nog niet begrijpen.

Het tweede niveau, volgens Van Hiele, is abstractie of informele deductie. Op dit niveau worden kenmerken geordend. De leerlingen begrijpen dat kenmerken een onderling verband kunnen hebben en dat een bepaald kenmerk automatisch een ander kenmerk kan impliceren. Een leerling op dit niveau kan dus uitleggen dat een gelijkbenige driehoek symmetrisch is en dat daardoor de twee hoeken aan de basis even groot zijn (Afbeelding 8). De leerlingen ontdekken de relaties tussen de verschillende vormen. Op dit niveau zullen ze ook verwoorden dat vierkanten ook rechthoeken zijn. Hiervoor baseren ze zich op de kenmerken van beide figuren. De leerlingen kunnen de vormen efficiënt beschrijven, zoals in een definitie.

Het derde niveau, volgens Van Hiele, is dit van de deductie. Op dit niveau begrijpen de leerlingen de betekenis van het deductief redeneren. Ze kunnen op deze basis eenvoudige ‘bewijzen’ formuleren. Op dit niveau begrijpen ze definities, axioma’s, werken met ‘onbekenden’. De leerlingen houden zich echter wel nog vast aan de euclidische meetkunde.

Het vierde, het hoogste niveau van Van Hiele, is dit van de integratie. In Engelse literatuur wordt de term ‘rigor’ gebruikt. Dit is het niveau van ‘de wiskundige’. Op dit niveau kan ook de niet-euclidische wiskunde worden bestudeerd.

Afbeelding 6: Op niveau 1 benoemen ze deze figuur enkel als een vierkant, maar niet

als een rechthoek

Afbeelding 8: Gelijkbenige driehoek is symmetrisch en heeft dus twee gelijke hoeken

Afbeelding 7: Op het eerste niveau hebben kinderen nog geen inzicht in klasse-inclusie


Pagina 21 van 54


2.3 Een voorbeeld van didactische aanpak met de mozaïekpuzzel van niveau 0 naar 1

De Van Hieles hadden ook veel aandacht voor het didactische aspect bij het verwerven van de meetkunde. Hieronder staat een voorbeeld uitgeschreven van het werken met de mozaïekpuzzel (Afbeelding 9). Met deze puzzel, ook wel de Van Hiele-mozaïek genoemd, wordt een mogelijke weg van het nulniveau naar het eerste niveau uitgeschreven.

Bij aanvang is het de bedoeling dat kinderen vrij kunnen spelen met deze puzzel. Ze kunnen er zelfgekozen figuren mee leggen, zoals een mens (Afbeelding 10), een huis of abstracte figuren. Tijdens het vrij spel ontdekken de kinderen misschien dat ze met puzzel 5 en 6 hetzelfde maken als puzzel 3. Dan kan er gevraagd worden of ze dit ook kunnen met andere delen van de puzzel. Dit is mogelijk voor alle puzzelstukken, enkel voor 1 en 2 niet. Ze kunnen de puzzelstukken eenvoudig, visueel vergelijken door ze op elkaar te leggen. Om hun bevindingen vast te leggen, kan de opdracht gegeven worden om rond het puzzelstuk een lijn te trekken en daarna de andere stukken erop te tekenen. Zo ontdekken de kinderen dat door twee puzzelstukken samen te leggen, ze niet noodzakelijk één van de puzzels uit de mozaïek krijgen. Met puzzel 5 en 6 kunnen bijvoorbeeld zes verschillende vormen gelegd worden, maar slechts één past op een puzzel van de mozaïek. Laat de kinderen alle mogelijkheden uitproberen. Daarna kunnen puzzels, waarbij twee of meer stukken nodig zijn, geïntroduceerd worden. De parallellogram

kan bijvoorbeeld met de puzzels 2 en 4 op twee verschillende manieren worden gemaakt (Afbeelding 11). Ze kunnen de parallellogram ook met andere puzzelstukken maken, maar hiervoor moeten ze de puzzelstukken soms kantelen. Op deze manier maken kinderen visueel kennis met hoeken en zijden die overeenkomen of aansluiten. Ze doen ook ervaring op in het draaien en kantelen van de puzzelstukken,

naargelang de figuur die ze willen maken. Door met vergrotingen van de mozaïekpuzzel te werken, ontdekken de kinderen dat de zijden veranderen, maar de hoeken gelijk blijven. Het is aan de leerkracht om kinderen uit te dagen om puzzels te maken en bedenken. Kinderen moeten hun bevindingen kunnen delen met de andere kinderen van de groep. Het is de bedoeling dat de leerkracht de figuren ook gaat benoemen en vraagt om gelijkaardige figuren te vormen (Afbeelding 12). Langs deze weg maken kinderen de stap van niveau nul naar het eerste niveau volgens Van Hiele: de analyse (Van Hiele, 1999).

Afbeelding 9: Mozaïekpuzzel bestaande uit 7 stukken

Afbeelding 10: Mensfiguur bestaande uit de 7 stukken van de mozaïekpuzzel

Afbeelding 11: Parallellogram kan o.a. met de puzzels 2 en 4 gemaakt worden

Afbeelding 12: Zoek nog andere rechthoeken


Pagina 22 van 54


2.4 Kenmerken van het model

Dit model, zoals beschreven door de Van Hieles, heeft enkele typische kenmerken. De niveaus zijn hiërarchisch opgebouwd. Ze kennen dus een vaste volgorde. Er kunnen geen niveaus worden overgeslagen. De niveaus worden dus opeenvolgend doorlopen. Om het volgende niveau te bereiken, is passende instructie nodig en dit is onafhankelijk van de leeftijd. De rol van de leerkracht is hierbij heel belangrijk. Elk niveau heeft zijn ‘eigen taal’. Daarom is het belangrijk dat de leerkracht het kind op het juiste niveau aanspreekt. De leerlingen in een verschillend niveau kunnen elkaar niet ‘echt’ begrijpen. Wat impliciet aanwezig is op een vorig niveau, keert expliciet terug op het volgende niveau. Dit is goed zichtbaar gemaakt op het model (Figuur 1 (2.2)). Op het grondniveau zijn ‘classes of shapes’ impliciet aanwezig, maar expliciet op het niveau van de analyse. Om over te gaan van het nulniveau naar het eerste niveau is het belangrijk dat het kind zicht krijgt op groepen met dezelfde vormen. Hiermee wordt intensief gewerkt, zodat het kind naar het volgende niveau, de analyse kan.

2.5 Kritiek

Onderzoek heeft aangetoond dat leerlingen op meerdere niveaus kunnen redeneren. Dit lijkt enigszins tegenstrijdig met de theorie van Van Hiele. Daarnaast evolueren leerlingen op een verschillend niveau voor de verschillende concepten. Een leerling kan op niveau één redeneren voor het concept ‘vierkant’, maar op een hoger niveau voor het concept ‘driehoek’ (Mayberry, 1983).

Onderzoekers hebben ontdekt dat sommige kinderen op het niveau van de visualisatie niet redeneren op een holistische manier, maar zich kunnen focussen op één kenmerk, zoals gelijke zijden. Daarom werden al verschillende suggesties gedaan om met tussenniveaus te werken of het eerste niveau anders te benoemen. Geen van deze suggesties tot aanpassing vonden voldoende weerklank (Battista, 2009).

Een ander punt van kritiek gaat over het sneller introduceren van ‘klasse-inclusie’. Dit zou beter mogelijk zijn door het gebruik van dynamische software. Eén van de redenen om sneller te focussen op klasse-inclusie, is om foute concepten zoveel mogelijk te vermijden. Het blijkt soms heel moeilijk voor leerlingen om deze foute concepten los te laten (de Villiers, 2010).

In Nederland is er een hele discussie over het realistische rekenonderwijs en de rekentoetsen. In deze discussie worden ook regelmatig de Van Hieles vernoemd. Hun theorie wordt van tafel geveegd en zelfs onwetenschappelijk genoemd door Ben Wilbrink. Dit wordt echter weerlegd door Thomas Colignatus, wat eigenlijk een pseudoniem is voor Thomas Cool (Colignatus, 2016).

2.6 Koppelen Van Hiele aan de leerlijn

De leerlijn houdt rekening met de theorie van Van Hiele. Hoe deze leerlijn verder invulling krijgt, wordt verder in hoofdstuk 5 besproken. De gekozen leerlijn is opgebouwd vanuit het herkennen en benoemen van de vormen. Pas later komen de eigenschappen van de figuren aan bod. Dit is ook wat Van Hiele beschrijft in zijn theorie. Volgens Van Hiele herkennen de kinderen aanvankelijk een vorm in zijn totaliteit (visueel niveau). Pas later kunnen ze volgens hem de vormen beschrijven. De kinderen herkennen de vormen aanvankelijk aan de hand van prototypes, het stereotype beeld van deze vorm. Dit is ook wat Van Hiele beschrijft in zijn theorie. In de leerlijn is er dan ook specifiek aandacht voor het herkennen van vormen,


Pagina 23 van 54


die niet beantwoorden aan de stereotypen. De leerlijn start bij het nul-niveau van Van Hiele en beschrijft de leerinhouden, die nodig zijn om de kinderen naar het eerste niveau te brengen. De leerlijn bevat verder wat Van Hiele het beschrijvende niveau (analyse) noemt. De kinderen kunnen op dit eerste niveau werken met kenmerken of eigenschappen van vormen. Ze zijn echter nog niet toe aan klasse-inclusie, volgens Van Hiele. Dit is ook nog niet opgenomen in de leerlijn als te verwerven kennis voor 7-jarigen. Ook dit sluit dus helemaal aan bij de theorie van Van Hiele.

2.7 Van Hiele en de praktijk

Het belang van het aanbieden van materialen en daar gesprekken over te voeren, is volgens Van Hiele essentieel. Jonge kinderen kunnen vormen, zoals een driehoek wel benoemen, maar ze kunnen niet sluitend verwoorden waarom het een driehoek is. Deze jonge kinderen maken ook fouten wanneer de voorgestelde figuur niet beantwoordt aan het prototype van de vorm. (Voor een driehoek is dit prototype een gelijkbenige driehoek, waarbij de basis ongeveer even lang is als de schuine, gelijke zijden.) Van Hiele stelt dat het de leerkracht is, die de kinderen naar een hoger niveau kan brengen. Dit doet de leerkracht door gericht aan de slag te gaan met allerlei vormen, waarbij de kinderen de eigenschappen leren kennen en benoemen. Zo leren de kinderen om de vormen juist te beschrijven en te ordenen.


Pagina 24 van 54


3 Vygotsky

3.1 Achtergrondinformatie

Lev Semjonovitsj Vygotsky (Afbeelding 13), beter gekend als Vygotsky, was in de woorden van Peter E. Langford een van de bekendste en meest invloedrijke Russische psychologen van de 20ste eeuw (Langford, P. E., 2005).

Vygotsky toonde aan dat de ontwikkeling van elk kind anders is, dan wat de geschiedenis vertelt. Volgens hem hadden voorgaande onderzoekers het ontwikkelen onderschat. Niet elk kind is gelijk, dus niet elke ontwikkeling loopt hetzelfde.

3.2 De Zone van de Naaste Ontwikkeling

Eén van zijn bekendste theorieën: ZNO/ZPD, ‘zone van de naaste ontwikkeling’/‘zone of proximal development’. De definitie in het boek ‘Groot Worden’ luidt als volgt:

De zone van de naaste ontwikkeling is de afstand tussen het feitelijke ontwikkelingsniveau zoals vastgesteld door middel van probleemoplossen door het kind zonder hulp uitgevoerd, en het potentiële ontwikkelingsniveau als vastgesteld door probleemoplossen onder volwassen begeleiding of begeleiding door meer gevorderde leeftijdsgenoten. (Struyven, K., Beaten, M., Kyndt, E., & Sierens, E., 2009)

Een manier van de ZNO is ‘scaffolding’. Dit betekent dat de leerkracht of een andere persoon de leerling ondersteunt, door het geven van hints, bij het bereiken van iets dat op een hoger niveau ligt (Wij leren, 2017). Bij proeven, uitgevoerd door studenten aan de Universiteit Gent, werd ontdekt op welk ontwikkelingsniveau de kinderen zitten in verband met 2D-vormen. Hierop kan dus verder gebouwd worden door in de zone van de naaste ontwikkeling te werken.

Werken in de ZNO betekent het inspelen op het ontwikkelingsniveau van kinderen. Hiervoor is een andere persoon noodzakelijk. Deze ander is geen willekeurig persoon, maar iemand die capabeler is dan de leerling in kwestie. Hij/zij moet meer kunnen dan de leerling, zodat de persoon een hulp kan zijn. Er wordt rekening gehouden met wat de kinderen al kunnen en kennen, maar er wordt gehandeld naar het verdere ontwikkelingsniveau, zodat het kind kan blijven ontwikkelen. Het is dus belangrijk om te kijken naar wat het kind kan leren (StiBCO, 2017).

Ook is het de bedoeling om kinderen al spelend te laten leren. Zo komen kinderen zelf tot ontdekking en wordt hun denken verruimd.

Afbeelding 13:

Vygotsky


Pagina 25 van 54


3.3 Proef

De proef die regelmatig terugkomt in verschillende bronnen (UK & K-State University. sd) is de vormendoos (Afbeelding 14). In deze proef is het de bedoeling dat het kind alle vormen in de doos krijgt, door ze in de juiste opening te plaatsen. De kinderen slagen er niet altijd in, alle vormen vanaf het begin in de doos te krijgen. Hier wordt dan ingespeeld in de ZNO. Een volwassene of een ‘peer’ met een verder ontwikkeling, toont aan en verwoordt hoe de doos in elkaar zit. Het kind zal de informatie opnemen en verwerken, waardoor hij/zij waarschijnlijk de andere vormen in de doos krijgen. Door de tip die wordt gegeven, kan het kind zelfstandig verder werken.

Afbeelding 14: De Vormendoos

Dit komt ook ter sprake in de ‘Onderzoeksopdracht Geometrie in het kleuteronderwijs’ (Bogaert J., Brisard R., Calcoen M., Cornelise E., Dewitte M., 2016 – 2017). Zij koppelen de theorie van Vygotsky in hun onderzoek op twee manieren:

Enerzijds geeft de leerkracht hints en ondersteunend materiaal. De kleuters hadden reeds al achtergrondinformatie meegekregen.

Anderzijds tonen de leerlingen in de resultaten een cognitieve groei, waar de jongste kleuters meer moeite hadden met de proef dan de oudste kleuters.

Tot slot, hoe wordt Vygotsky gelinkt met het werken rond 2D- en 3D-vormen. Dit zal vooral gebeuren door instructie (Rabaut, H., (2016-2017). Kinderen leren uit sociale ervaringen. Instructie leidt tot het communiceren of in interactie gaan met elkaar. Hier wordt er ingespeeld op de zone van de naaste ontwikkeling. De kleuter wordt geholpen door middel van instructie, waardoor hij/zij dan zelfstandig aan de slag kan gaan.

3.4 Koppelen Vygotsky aan de leerlijn

Het is de bedoeling dat de kinderen de opdracht begrijpen, instructie is hierdoor belangrijk. Door interactie kan er worden gewerkt in de zone van de naaste ontwikkeling. Door te communiceren kan de kleuter geholpen worden, dit door verbale of non-verbale hints. Het kind wordt geholpen om een stap verder te gaan in zijn ontwikkeling. Door dit te blijven doen, zal hij/zij de opdracht zelfstandig kunnen uitvoeren. Het is hierbij dan ook belangrijk dat er wordt afgeweken van de prototypes. Er wordt gestart met het aanleren van de prototype figuren en hiervan afwijken is dan al een stap in de ZNO. Hoe deze leerlijn verder invulling krijgt, wordt verder in hoofdstuk 5 besproken.


Pagina 26 van 54


3.5 Vygotsky en de praktijk

Wat er van Vygotsky zijn theorie wordt meegenomen naar de praktijk, is vooral de instructie. Door de instructie wordt de opdracht duidelijk en weet het kind wat de bedoeling is. Deze kan aangepast worden van kind tot kind. De ene heeft meer uitleg nodig dan de andere. Door deze sociale ervaring leert hij/zij sneller en door hulp zal het gemakkelijker worden om zelfstandig de opdracht uit te voeren. Zelfstandigheid komt enkel tot stand door zelf te proberen met of zonder aanzet van een ander.

Bij Van Hiele werd dit ook aangegeven. In zijn theorie geeft hij een aantal denkniveaus aan dat het kind zal doorlopen. Hier komt de zone van naaste ontwikkeling van Vygotsky ter sprake, het kind ondersteunen om een volgend niveau te bereiken. Door de ZNO toe te passen, zullen kinderen de denkniveaus van Van Hiele bereiken.


Pagina 27 van 54


4 Piaget

4.1 De cognitieve ontwikkelingstheorie van Piaget

Jean Piaget (1896-1980) (Afbeelding 15) is een Zwitserse psycholoog en filosoof. Op 21-jarige leeftijd doctoreerde hij in de biologie. Na zijn doctoraat was hij geïnteresseerd in de ontwikkeling van de taal en het denken bij kinderen. Hierdoor ging hij psychologie studeren in Parijs en nadien werkte hij als onderzoeker aan het ‘Institut Jean-Jacques Rousseau’, het gerenommeerde Instituut voor Pedagogische Wetenschappen in Genève, voor de rest van zijn leven.

Hij deed vele observaties bij kinderen. Hierdoor ontwierp hij zijn theorie over de cognitieve ontwikkeling. Er kwam veel kritiek op zijn onderzoeksmethode. In het kader van zijn onderzoek deed hij vooral inhoudelijke analyses over hoe kinderen allerlei problemen aanpakken, doorheen hun ontwikkeling. Hij bedacht die verschillende problemen zelf. Hij koos slechts voor een beperkt aantal proefpersonen. Eerst waren het vooral zijn eigen drie kinderen. Het was eigenlijk ook niet echt Piagets bedoeling om een objectief en representatief onderbouwde theorie uit te werken. Hij richtte zich vooral tot de filosofie: de kwaliteit nagaan van het soort kennis die wij verwerven, door een grondige analyse te maken van de ‘instrumenten’ (de cognitieve mogelijkheden), die we in de loop van het leven ontwikkelen om kennis te verwerven (Craeynest, 2013).

Piaget schetste een duidelijk beeld over zijn onderzoek. Vooral op vlak van de kinderpsychologie zorgde hij voor een gigantisch werk. Door zijn observaties en testen toonde hij aan, dat een kind een aparte denkwereld heeft. Piaget toonde aan dat kinderen actieve bezige wezens zijn, die explorerend leren in plaats van een volwassene, die hen de nodige leerstof overbrengt. In principe zien we vandaag dat denkbeeld van Piaget terug in het onderwijs. Er wordt overgestapt van ‘leerkrachtgestuurd onderwijs’ naar meer ‘leerlinggestuurd onderwijs’. De leerlingen in de klas maken gebruik van ontdekkend leren en de leerkracht houdt rekening met de krachtige leeromgeving in functie van dit leren.

Piagets theorie werd inhoudelijk ook bekritiseerd. Als reactie werd ook met tegenonderzoek gestart. Ondanks het tegenonderzoek van toen, blijft de theorie van cognitieve ontwikkeling tot op vandaag een waardevolle bron. Het wordt nog steeds veelvuldig gebruikt, onder meer bij het uitschrijven van leerprogramma’s voor het basisonderwijs en bij het beoordelen van de schoolse leeractiviteiten (Craeynest, 2013).

Piaget besloot om uit te zoeken welke cognitieve instrumenten de mens achtereenvolgens ontwikkeld om problemen op te lossen en de weg te vinden in vele andere situaties. Hierdoor is het onderscheid tussen inhoud, functie en structuur van de cognitie of intelligentie van belang. De theorie van Piaget sluit helemaal aan bij de structuur: het ‘hoe’. Wat hij voor ogen hield, was een universeel kader uit te tekenen wat betreft de ontwikkeling van de cognitieve structuren, waarmee we werken (Craeynest, 2013).

Afbeelding 15: Jean

Piaget


Pagina 28 van 54


Verschillende, nog hedendaagse begrippen, vinden hun oorsprong in de theorie van Piaget:

o Inhoud en functie van intelligentie

De inhoud van de intelligentie is vernoemd naar de vele concrete inzichten en vaardigheden die een persoon op een bepaald moment bezit: wat hij allemaal weet en kan.

De functie van de intelligentie is universeel. Het doel van cognitieve activiteiten is om ervoor te zorgen dat er een betere adaptatie of aanpassing blijft tussen het individu en zijn omgeving. Gedurende de hele levensloop verandert die adaptatiefunctie niet (Piaget spreekt van een ‘invariant’). Bij elke levensfase blijft het doel als volgt: vlotter overweg kunnen met een bepaald stuk omgeving.

o Cognitieve structuren

Bij de cognitieve structuren wordt er dieper ingegaan op de kwalitatieve veranderingen die de mensen in de loop van de ontwikkeling ondergaan. In de theorie van Piaget gaat het ook vooral om deze cognitieve structuren. Deze structuren kunnen ook benoemd worden als ‘onzichtbare hersenprogramma’s’.

Soms gebruikt Piaget de termen ‘schema’ en ‘structuur’ door elkaar. De betekenissen van termen worden als volgt uitgelegd: aan de basis van een specifieke vaardigheid ligt een ‘schema’. Een kind dat kan lopen, beschikt over het ‘loopschema’: een programma in zijn hersenen zorgt er blijkbaar voor dat het zich op twee benen kan voortbewegen.

Bijvoorbeeld: een cognitieve ‘structuur’ kan opgevat worden als een georganiseerd geheel van een reeks uiteenlopende schema’s. Zo’n structuur zou er bijvoorbeeld in kunnen bestaan dat het kijk-, het grijp-, en het loopschema (gericht kunnen kijken naar iets, de hand ernaar uitsteken en er naartoe kunnen lopen) op een bepaald moment geïntegreerd worden tot de meer omvattende sensomotorische vaardigheid om naar een verderop gelegen stuk speelgoed te lopen en het vast te pakken (Craeynest, 2013).

o Adaptatie via assimilatie en accommodatie

Wat Piaget wou aangeven met assimilatie en accommodatie heeft te maken met de adaptatie. De functie van intelligentie diende om op elke leeftijd te zorgen voor een betere aanpassing of adaptatie van het individu aan zijn omgeving en omgekeerd. Die voortdurende aanpassing kan gebeuren op twee manieren: het individu past zich aan, aan de omgeving, accommodatie, of het individu verandert zelf de omgeving, zodat die tegemoet komt aan de noden of kenmerken van het individu, assimilatie.

o Equilibratie en organisatie

Volgens Piaget is het van belang voor de cognitieve ontwikkeling dat beide processen, assimilatie en accommodatie, met elkaar in evenwicht zijn. Het opnemen, assimileren, van dingen uit de buitenwereld, mag niet zomaar gebeuren. Er moet eerst gekeken worden in hoeverre het aanpassen, accommoderen, is gebeurd. Het telkens opnieuw op elkaar afstemmen van assimilatie en accommodatie, noemt Piaget het ‘equilibratieproces’. Naast dit proces heeft Piaget het ook over de organisatie. Hiermee bedoelt hij dat het onderling samenvoegen van uiteenlopende schema’s kan leiden tot meer complexere structuren.


Pagina 29 van 54


4.2 De ontwikkelingsfasen van Piaget

Piaget staat bekend als een ontwikkelingspsycholoog die de ontwikkeling van het kind in verschillende fases verdeelt (George, 2017). De eerste fase noemt hij de sensomotorische fase, waarbij het kind ontwikkelt tot twee jaar oud. Tijdens deze fase worden de zintuigen ontwikkeld en kan het kind de aanwezigheid van objecten pas beseffen als hij die visueel kan waarnemen. Hier past het kind de cognitieve schema’s aan, door de interacties met de omgeving (Verhulst, 2005).

Daarna volgt de tweede ontwikkelingsfase, die hij de pre-operationele fase noemt. Deze fase loopt door tot het kind zeven jaar wordt. Het kind staat hierbij centraal en de fijne motoriek ontwikkelt verder. Egocentrisme krijgt een hoogtepunt, waarbij het denken ook wordt beïnvloed. Op die manier raken de kinderen geconcentreerd op de informatie, die een heel belangrijke rol speelt voor hen (Verhulst, 2005). In deze fase denkt het kind helemaal onlogisch en onsystematisch. Het kind kan geen logische denkstrategieën gebruiken. Het herkennen van bepaalde gekende figuren lukt snel, maar de abstracte voorbeelden, zoals driehoeken en cirkels zijn moeilijk om te herkennen. Even later in deze fase leert het kind wel de topologische figuren (topologie is een deel van de wiskunde dat zich bezighoudt met de eigenschappen van de ruimte, die bewaard blijven bij continue vervorming – Encyclo.nl). Nog verder maakt het kind ook kennis met gebogen en rechte lijnen of voorwerpen. Deze kan hij onderscheiden (George, 2017).

Wanneer het kind tussen de zeven en elf jaar wordt, zit het kind in de concreet operationele fase. Het kind begint logischer na te denken, maar toch beperkt het zich tot concreet waarneembare feiten (Verhulst, 2005). Volgens George (2017) kunnen kinderen de kenmerken van complexere figuren onderscheiden en mentale beelden construeren vanaf zeven jaar (concreet operationele fase). In tegenstelling tot Verhulst (2005) wordt dit anders beschreven. Hij geeft aan dat een kind vanaf elf jaar zich in de formeel operationele fase bevindt. In deze fase kan je het logisch denken op abstract niveau herkennen. Naast het concreet waarneembare wordt het hypothetische ook aangekaart bij dit logische denken.

4.3 Theorie wiskunde leren en het constructivisme

Piaget onderzocht hoe de kinderen, meer bepaald kleuters, in eerste instantie wiskunde leerden. Ieder mens verzamelt informatie over de wereld en de manier waarop elke mens dit doet, beschrijft Piaget. De kennis die elke mens ontwikkelt of verwerft, wordt doorlopen in een bepaald proces. Het kind pikt alles rondom zich op en koppelt de nieuwe gegevens aan de aanwezige kennis. Kortom de werkelijkheid wordt steeds vergeleken met de kennis over de wereld en constant bijgestuurd. Uiteindelijk krijgt elk kind een abstract beeld, waarbij er in minder mate rekening wordt gehouden met subjectiviteit. Piaget benoemt dit als ‘constructivisme’.

Het constructivisme is de leerpsychologie achter natuurlijk leren. Het constructivisme gaat ervan uit dat het verwerven van kennis en vaardigheden niet zozeer het gevolg is van een directe overdracht van kennis door de docent, maar eerder het resultaat van denkactiviteiten van de studenten zelf. De studenten leren door de nieuwe informatie te verbinden aan datgene wat ze al weten (Kallenberg, 2014).


Pagina 30 van 54


4.4 Piaget en het onderzoek naar vlakke figuren (UGent)

Bij de testen, van de studenten van de Universiteit Gent, rond driehoeken kwam het egocentrisme bij peuters aan bod. Dit onderzoek werd door enkele studenten aan de

Universiteit Gent uitgevoerd en toonden aan dat Piaget dit bewijs al voorlegde. De peuters werden gevraagd of een stomphoekige driehoek een driehoek was, maar gaven een negatief antwoord. Ze beschouwden tijdens de test een driehoek met een stompe hoek, niet als een driehoek. Wanneer er gevraagd werd waarom het geen driehoek was, konden de peuters er niet op antwoorden. De onderzoekers vroegen of ze dat antwoord gaven, omdat de

driehoeken te lang waren, toen zeiden ze “ja”. Dit toont aan dat de kinderen zich tot één specifiek kenmerk richten, namelijk de lengte van de zijden. Wanneer ze dezelfde oefening in de eerste kleuterklas maakten, kregen de onderzoekers hetzelfde antwoord. Hier legden de kleuters uit dat ze de stomphoekige driehoek niet als een driehoek zagen, omdat de zijden lang waren. De reden hiervoor was dat de ‘strepen’ anders waren (Afbeelding 16).

In de tweede kleuterklas gaven de kinderen zelf aan dat de zijden te lang zijn. Toch werden de stomphoekige driehoeken niet als driehoeken aanvaard door de kleuters, terwijl ze ook gezien moeten worden als driehoeken.

In de derde kleuterklas werd er geen rekening meer gehouden met de zijden van de driehoek. De kleuters benoemden de stomphoekige driehoeken ook als driehoeken. Dit is de grote verandering in gedachte die ook voortbouwt in het eerste leerjaar. Op die manier wordt aangetoond dat de kinderen zich vanaf de derde kleuterklas zich niet meer richten tot één kenmerk: de lengte van de zijden. Daarnaast wordt geconstateerd dat het egocentrisme bij de kinderen verdwijnt vanaf de derde kleuterklas.

In het onderzoek van de studenten van Universiteit Gent wordt ook nog het volgende geconstateerd:

Tijdens het eigen onderzoek waren de kinderen bij alle klassen in het kleuteronderwijs aan het spelen tijdens een specifiek ‘klasmoment’ toen de onderzoekers aankwamen. Tijdens dit klasmoment van een half uur zijn de ouders van de kinderen aanwezig om zo samen op een goede en leuke manier de dag te starten. Binnen dit half uur staat bijvoorbeeld zelfontdekkend leren centraal. Wat opviel was dat de kleuters uit alle kleuterklassen in bepaalde hoeken constructies aan het maken waren met onder andere blokken. Deze constructies varieerden van torens tot huisjes of fantasierijke constructies. Deze kinderen bevinden zich allen in het topologische stadium. Fysieke ervaringen staan centraal. Hoe ouder het kind, hoe concreter en realistischer de constructies. Het is echter moeilijker om tot dergelijke bevindingen te komen in het eerste leerjaar. Tijdens het bezoek van de onderzoekers werd geen info verkregen omtrent deze thematiek. Na herhaaldelijk vragen om meer info bij de klasleerkracht, kregen de onderzoekers echter geen extra informatie. Conclusies kunnen hier dan ook niet worden getrokken.

Volgens Piaget gaat het om de fysieke ervaring van geometrische figuren in de eerste fase. De kinderen ontwikkelen hun eigen belevingswereld en dit draagt bij tot hun eigen welbevinden. Zo werken de kinderen met concreet materiaal, bijvoorbeeld spelletjes, ontdekking, manipulatie…

Afbeelding 16: Indeling van de

driehoeken, 2014


Pagina 31 van 54


4.5 Koppelen Piaget aan de leerlijn

Er wordt geopteerd voor een leerlijn die op verschillende vlakken raakpunten heeft met de theorie van Piaget. Hoe deze leerlijn verder invulling krijgt, wordt verder in hoofdstuk 5 besproken. De gekozen leerlijn bouwt aan cognitieve structuren: bij het construeren van een vlakke figuur, bijvoorbeeld de rechthoeken worden er uiteenlopende schema’s gehanteerd. Deze schema’s zijn: het kijk, het beweeg- en ligschema. Bij het filmpje (bij de constructie van figuren) is er te zien dat de kinderen van het eerste leerjaar de vorm (rechthoek) samen op de grond construeren.

Met de leerlijn leren de kinderen het concept ‘vlakke figuren’ assimileren en accommoderen. Als oudere kinderen een constructie moeten maken van een driehoek, dan gebruiken ze een touw dat ze omvormden tot een driehoek. Dit is een voorbeeld van accommodatie. Het touw werd omgevormd, zodat het een driehoek wordt. Bij assimilatie kunnen we zeggen dat de kinderen de vlakke figuren al kunnen benoemen, door het zien van concreet materiaal. Indien ze een andere afbeelding krijgen, zoals bij de opdracht met het herkennen van figuren, die afwijken van hun prototypes, dienen de kinderen de juiste benaming te geven aan de figuren, die afwijken van hun prototypes (driehoek, cirkel, rechthoek, vierkant).

Zowel het construeren van vlakke figuren, accommodatie, en het benoemen van deze figuren, assimilatie, moet in evenwicht lopen volgens Piaget. Dit is het ‘equilibratieproces’. Wanneer een kind een figuur construeert, door uiteenlopende schema’s toe te passen, begint het kind eigenlijk meer complex te werken, bijvoorbeeld een constructie van een figuur met verschillende materialen.

De leerlijn speelt in op de verschillende ontwikkelingsfasen van Piaget. De ontwikkelingsfasen van Piaget kunnen verduidelijkt worden door de leerlijn te bekijken vanuit verschillende leeftijden (jonge tot oudere kinderen). Bij de eerste fase, sensomotorische fase: 0-2 jaar, ontwikkelt het kind zijn zintuigen. Bijvoorbeeld: Het kind grijpt naar een blok met de vorm van een driehoek. Zo raakt het kind een concreet materiaal aan. Bij de tweede fase, pre-operationele fase: 2-7 jaar, denkt het kind egocentrisch. Het naleggen van een vlakke figuur met blokjes gebeurt vanuit het eigen perspectief. Er wordt geen rekening gehouden met de andere. Bij de derde fase, concreet operationele fase: 7-11 jaar, tracht het kind logisch na te denken, door bijvoorbeeld de vlakke figuren die bij elkaar horen, samen te leggen. De laatste fase, formeel operationele fase: vanaf 11 jaar, kenmerkt zich door het logisch denken op abstract niveau, waarbij de kinderen bijvoorbeeld verschillende vlakke figuren van elkaar kunnen onderscheiden door de eigenschappen te kennen.

De leerlijn is volgens het constructivisme opgebouwd. Het heeft een opbouwend kenmerk. Er wordt stapsgewijs gewerkt om kennis bij te schaven. Bij de jonge kinderen gebeurt het herkennen en benoemen van figuren door middel van concreet materiaal: blokjes, figuren, krijt… Als herkennen en benoemen beter lukt, wordt er overgegaan naar het benoemen van de eigenschappen en uiteindelijk het construeren van vlakke figuren.

De taal wordt ook gestimuleerd in deze leerlijn. Volgens Piaget leren kinderen door eerst zelf te ontdekken. Vanaf de leeftijd van 7 jaar, de concreet operationele fase, beginnen de kinderen de termen (rechthoek, vierkant, cirkel, ruit, trapezium…) te hanteren, die ze ook vaker te horen krijgen van de klasleerkracht.

Door rekening te houden met de verschillende aspecten van de theorie van Piaget, is de leerlijn zo uitgewerkt dat er voldoende gedifferentieerd kan worden. Vanwege de verschillende opdrachten binnen de leerlijn, geeft het een aanleiding tot differentiëren. Het herkennen, benoemen en construeren van vlakke figuren, wordt doorlopen binnen de ontwikkelingsfasen van elk kind apart.


Pagina 32 van 54


4.6 Piaget en de praktijk

Dit verband wordt hierboven besproken in deel 4.5 van deze bachelorproef.


Pagina 33 van 54


5 Uitwerken van de leerlijn

Om de leerlijn te ontwerpen wordt gebruik gemaakt van het onderzoek, gevoerd in samenwerking met Universiteit Gent. Tijdens het academiejaar 2016-2017 voerden een 50-tal studenten, 3e bachelor onderwijskunde, een onderzoek naar de kennis over vormen van 3- tot 7-jarigen. Hierbij onderzochten deze studenten per twee, één kind.

De test bestond uit verschillende delen. Het eerste deel bestond uit het herkennen van tekeningen. De kinderen zien een prent en duiden bij de volgende prenten aan waar ze nog zoiets zien.

Vervolgens ging de test over naar het benoemen en herkennen van een cirkel, driehoek, vierkant en rechthoek. Hierbij krijgen ze eerst een vorm te zien, bijvoorbeeld een cirkel. Daarna krijgen ze allemaal verschillende vormen te zien. Hierbij moeten ze aanduiden welke vormen een cirkel zijn en vertellen waarom het wel of niet een cirkel is. Zo benoemen ze bepaalde eigenschappen van de verschillende vormen.

Na deze testen krijgen ze verschillende materialen, zoals blokjes en touwen. Hierbij was het de bedoeling dat ze een cirkel, driehoek, vierkant en rechthoek reconstrueren.

Uit deze verschillende onderzoeken werd onderstaande leerlijn gegenereerd. De stippellijnen zijn een aanzet om aan dat specifiek doel te werken. De volle lijnen zijn de doelen, specifiek voor die leeftijd.

Herkennen en benoemen:

De kinderen kunnen… Jongste kleuters

Oudste kleuters

Eerste leerjaar

1.1 … de geometrisch figuren cirkel, vierkant en driehoek herkennen.

1.2 … de geometrische figuren cirkel, vierkant en driehoek benoemen.

1.3 … de geometrische figuur rechthoek herkennen.

1.4 … de geometrische figuur rechthoek benoemen.

1.5 … de geometrische figuur ruit en trapezium herkennen.

1.6 … geometrische figuren die afwijken van hun prototypes herkennen.

1.7 … geometrische figuren die afwijken van hun prototypes benoemen.


Pagina 34 van 54


Eigenschappen:


Oudste kleuters

Eerste leerjaar

2.1 … de begrippen ‘lang’ en ‘kort’ gebruiken.

2.2 … de begrippen ‘schuin’, ‘recht’ en ‘hoek’ gebruiken.

2.3 … de begrippen ‘zijde’, ‘open’, ‘gesloten’ en ‘gebogen’ gebruiken.

2.4 … verklaren waarom een figuur tot een bepaalde categorie behoort op basis van zijn eigenschappen.

2.5 … inzien dat de eigenschappen van een figuur niet veranderen als deze afwijken van hun prototypes (o.a. oriëntatie of grootte)

2.6 … twee geometrisch figuren onderscheiden op basis van hun eigenschappen.

2.7 … geometrische figuren vergelijken en classificeren volgens hun eigenschappen.

2.8 … evenwijdigheid, loodrechte stand en spiegelbeelden ontdekken in de omgeving.

Construeren:


Oudste kleuters

Eerste leerjaar

3.1 … de geometrische figuren cirkel, vierkant en driehoek construeren.

3.2 … de geometrische figuren rechthoek construeren.

3.3 … de geometrische figuren ruit en trapezium construeren.

(Studenten Universiteit Gent, Faculteit Psychologie

en Pedagogische Wetenschappen, prof. dr. Martin Valcke 2016-2017)


Pagina 35 van 54


Praktijk


Pagina 36 van 54


6 Motivatie website

In Vlaanderen is er nog geen duidelijke leerlijn over vlakke figuren. De leerplandoelen uit de verschillende onderwijskoepels schieten hierin te kort. Dit zorgt ervoor dat veel leerkrachten te weinig gericht kunnen werken rond vormen. Daarom is het belangrijk om een leerlijn kenbaar te maken aan het onderwijsveld, zodat deze zicht krijgt op hoe deze leerlijn kan worden opgebouwd. Daarnaast kunnen de leerkrachten ook de individuele vorderingen van hun leerlingen goed in kaart brengen en hun aanbod zo beter afstemmen op de zone van naaste ontwikkeling. Om dit te doen, lijkt een website een uitstekend middel. Op die website staat niet enkel de leerlijn met leeftijdsindicatie, maar er zijn ook filmpjes die verduidelijken hoe aan de leerlijn kan worden gewerkt.

Ontwikkelde website: https://leerlijnvormen.wordpress.com/

7 Methodologie

Bij dit onderzoek wordt gebruik gemaakt van literatuurstudie. De literatuurstudie bestaat uit onderzoek naar bestaande theorieën rond het opbouwen van kennis en vaardigheden over vlakke figuren. Een ander deel van de literatuurstudie bestaat uit het onderzoek naar reeds bestaande literatuur over mogelijke leerlijnen. Op basis van deze literatuurstudie zal een leerlijn vormen vooropgesteld worden.

Om de leerlijn kenbaar te maken aan het onderwijsveld, wordt een website gemaakt. Deze website moet de vooropgestelde leerlijn verduidelijken. Daarom is het belangrijk om filmpjes uit de praktijk te hebben. De filmpjes worden gemaakt in basisschool De Letterdoos.

Een groep leerkrachten wordt geïnformeerd over de leerlijn in een pedagogische vergadering of teamvergadering. Aansluitend wordt ook gevraagd of ze de enquête willen invullen.

8 Uitvoering onderzoeksplan en tussentijdse resultaten

8.1 Literatuurstudie theorieën

De literatuurstudie start met de vraag over hoe jonge kinderen kennis verwerven en opbouwen rond vlakke figuren. Sarama & Clements, Piaget, Vygotsky en Van Hiele geven hier gepaste antwoorden op. In deze bachelorproef is over elk van hen een hoofdstuk geschreven.

8.2 Literatuurstudie leerlijn vlakke figuren

Studenten van de Universiteit Gent deden reeds onderzoek naar een mogelijke leerlijn rond vlakke figuren. Dit onderzoek gebeurde onder leiding van professor Valcke en dr. De Backer. Uit dit onderzoek werd een leerlijn weerhouden om verder mee te werken.

https://leerlijnvormen.wordpress.com/


Pagina 37 van 54


8.3 Leerlijn bepalen

De vooropgestelde leerlijn rond vlakke figuren wordt getoetst aan de wetenschappelijke literatuur van onder andere Sarama & Clements, Van Hiele, Vygotsky en Piaget. In de vooropgestelde leerlijn komen drie grote luiken aan bod: herkennen en benoemen, eigenschappen en construeren. Dit sluit ook aan met wat er in de literatuur te lezen is. Kinderen starten bijvoorbeeld altijd vanuit het herkennen en benoemen van de figuren, in de eerste plaats de driehoek, de cirkel en het vierkant. De eigenschappen van deze figuren komen pas later aan de orde.

8.4 Activiteiten bij de leerlijn

De gekozen activiteiten moeten aansluiten bij de kleuterdidactiek. Hierbij wordt er gekozen voor actieve werkvormen. De kinderen werken altijd eerst met concreet materiaal, daarna pas op schematisch niveau. Het is ook belangrijk dat kinderen eerst werken vanuit lichamelijke ervaringen. In de gekozen activiteiten is er ook aandacht voor coöperatieve werkvormen. Er wordt ook getracht om de activiteiten speels te houden door o.a. liedjes in te zetten.

Er werden activiteiten bepaald voor de jongste kleuters, oudste kleuters en kinderen van het eerste leerjaar:

De jongste kleuters

o Figuren lopen o Knippen o Werken met losse materialen

De oudste kleuters + 1ste leerjaar

o Vormen-placemat o Voeldoos o Vormenmassage o Doe mij na o Kimspel o Vormen zoeken o Matrix o Zoektocht door de klas o Zijden tellen – open/gesloten o Logiset o Gelijk-ongelijk o Vormen maken o Wij zijn vormen o Werken met losse materialen

8.5 Filmen

Basisschool De Letterdoos gaf de toestemming om de activiteiten in de praktijk uit te proberen en te filmen. Deze activiteiten werden voor de drie leeftijdscategorieën gefilmd.


Pagina 38 van 54


8.6 Website

Bij het ontwikkelen van de website wordt gebruiksvriendelijkheid en overzichtelijkheid voorop gesteld. De gebruiker moet met slechts enkele muisklikken de gewenste informatie kunnen vinden. Er wordt ook gekozen om te werken met filmmateriaal, omdat dit voor veel gebruikers toegankelijker is dan geschreven tekst. Onder het tabblad ‘leerlijn vlakke figuren’ komt de gebruiker op de volledige leerlijn terecht. Door op een item van de leerlijn te klikken, komt de bezoeker van de website op een mogelijke activiteit terecht. Daarnaast is er ook vaak een filmpje van het onderzoek van de Universiteit Gent terug te vinden. De website is ook nog verder aangevuld met mogelijke apps en online spelletjes.

8.7 Website kenbaar maken

Wanneer de website klaar was, wordt er gestart met het informeren van de leerkrachten over deze leerlijn rond vlakke figuren en de bijhorende website. Dit gebeurt slechts in een beperkt aantal scholen: Gemeentelijke Basisschool De Vlinderdreef, Basisschool De Letterdoos, Basisschool De Muze en Freinetschool De Vlieger.

8.8 Enquête

De enquête bestaat uit vijf vragen. Van deze vragen zijn er vier meerkeuzevragen op een vier tot zes puntenschaal. Daarnaast is er ook één open vraag.

Er zijn weinig reacties op de enquête. Dit was ook te verwachten, omdat de presentatie van de leerlijn met bijhorende website, in slechts vier scholen plaats vond. Met deze enquête werden eenendertig mensen persoonlijk aangesproken. Op 26 mei 2018 zijn er vierentwintig reacties, want ondertussen werd de website ook al via sociale media verspreid.

Dit zijn de resultaten van de enquête op 26 mei 2018:

Vraag 1: ‘Hoe gemakkelijk is het om de informatie te vinden die u zoekt op onze website?’ (schaal: uitermate gemakkelijk, zeer gemakkelijk, niet erg gemakkelijk en helemaal niet gemakkelijk)

92% van de bevraagden antwoorden met uitermate gemakkelijk of zeer gemakkelijk.

Vraag 2: ‘Hoe duidelijk is de informatie die beschikbaar is op onze website?’ (schaal: uitermate duidelijk, zeer duidelijk, redelijk duidelijk, niet erg duidelijk en helemaal niet duidelijk)

71% van de bevraagden antwoorden met uitermate duidelijk of zeer duidelijk

Vraag 3: ‘Wat van onze site gaat u gebruiken in uw klaspraktijk/school?’ (open vraag)

87% van de bevraagden antwoorden hierop positief. De antwoorden varieerden van leerlijn tot activiteiten en apps.

Vraag 4: ‘Was u, over het algemeen gezien tevreden of ontevreden over onze website?’ (schaal: uitermate tevreden, tamelijk tevreden, enigszins tevreden, niet tevreden en niet ontevreden, redelijk ontevreden en uitermate ontevreden)

92% van de bevraagden antwoorden met uitermate tevreden of tamelijk tevreden.


Pagina 39 van 54


Vraag 5: ‘Hoe waarschijnlijk is het dat u onze website aanbeveelt aan anderen?’ (schaal: uitermate waarschijnlijk, zeer waarschijnlijk, redelijk waarschijnlijk, niet erg waarschijnlijk en helemaal niet waarschijnlijk)

63% van de bevraagden antwoorden met uitermate waarschijnlijk of zeer waarschijnlijk.


Pagina 40 van 54


Conclusie

Er werd vertrokken vanuit de duidelijke vaststelling dat er in Vlaanderen geen leerlijn rond vlakke figuren bestaat. Daarom was het belangrijk om een leerlijn voor vlakke figuren voorop te stellen en deze ook te toetsen aan de wetenschappelijke literatuur. In het tweede deel van dit onderzoek werd getracht de leerlijn te concretiseren, om zo leerkrachten over deze leerlijn te kunnen informeren. Hierbij werd een digitaal platform aangeboden waar ze de leerlijn en passende activiteiten, manieren van aanpak, kunnen terugvinden.

Met dit onderzoek werd aangetoond dat het digitaal platform, de website, de drie elementen uit een leertraject direct kan koppelen. Een leertraject bestaat uit wetenschappelijk onderbouwde doelen. De leerlijn binnen het leertraject beschrijft de opeenvolgende stappen die moeten doorlopen worden. Daarnaast is er binnen het leertraject ook een manier van aanpak terug te vinden. Deze drie elementen uit een leertraject werden in de website gerealiseerd.

Het werkveld, de betrokken leerkrachten, reageerde ook bijzonder positief. Uit de reacties werd duidelijk dat zowel de gradueel opgebouwde leerlijn, als de mogelijke aanpak geapprecieerd werden. Jammer dat het aantal leerkrachten dat bereikt werd, met ons onderzoek en de bijhorende leerlijn met website, bijzonder klein was. Daarom zal de website ook nog verder via sociale media worden verspreid.


Pagina 41 van 54


Bibliografie

Artikels uit tijdschriften:

Alberts, G. & Kaenders, R. (2005). Ik liet de kinderen wél iets leren. Nieuw Archief voor Wiskunde, 5/6, p.247-251.

Broekman, H. G. & Verhoef, N.C. (2010). Honderd jaar Van Hiele. Euclides, 85(5), p.203-206.

Broekman, H. & Verhoef, N.C. (2012). Een leven lang wiskundig denken. Nieuw Archief voor Wiskunde 5/13, p.121-124.

Mayberry (1983). The van Hiele Levels of Geometric Thought in Undergraduate Preservice Teachers. Journal of Research in Mathematics Education, 14(1), p.58-69.

Nelissen, J. (2006). Elke positieve actie begint met critiek – Hans Freudenthal en de didactiek van de wiskunde. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen 23, nr 1&2, p.65-68.

Nelissen, J.M.C. (2008). Intuïtie: over intuïtie en probleemoplossen. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 27(1), p.3-13.

Van Hiele, P. M. (1999). Developing Geometric Thinking through Activities That Begin with Play. Teaching Children Mathematics (6), p.310-316.

Verhoef, N.C. (2012). Je zult eerst moeten ontdekken hoe leerlingen denken. Nieuw Archief voor Wiskunde 5/13, p.54-58.

Boeken, cursussen, papers, eindwerken:

Bastide-van Gemert, S. L. (2006). Elke positieve actie begint met critiek: Hans Freudenthal en de didactiek van de wiskunde, Rijksuniversiteit Groningen.

Battista, M. (2009). Heighlights of Research on Learning School Geometry, Understanding Geometry for a Changing World, Seventy-first yearbook, National Council of Teachers of Mathematics, p.91-108, Reston.

Bogaert J., Brisard R., Calcoen M., Cornelise E. & Dewitte M. (2016-2017). Onderzoeksopdracht, Geometrie in het kleuteronderwijs.

Clements, D.H., Swaminathan, S., Hannibal, M.A.Z. & Sarama, J. (1999). Young children’s concepts of shape. Journal for research in Mathematics Education.

Craeynest P. (2013). Psychologie van de levensloop, inleiding in de ontwikkelingspsychologie, Acco.

D. Clements & Sarama, J. (2014). Learning and teaching early math: the learning trajectories approach. Oxford, Routledge.

De Ridder, I., Vanwalleghem, S. (2009-2010). Realistisch rekenen in de klas. Een studie naar het handelen van leerkrachten in het vierde leerjaar. Faculteit Psychologie en Pedagogische Wetenschappen, Universiteit Gent.

de Villiers, M. (2010). Some Reflections on the Van Hiele theory, Mathematics Education, University of KwaZulu-Natal, South Africa.

Feldman, R. S. (2016). Ontwikkelingspsychologie, 3/e. Pearson Benelux B.V.

Hof, F., Dupont, S. & Eijmaal-Kroonbergs, F. (2015). Van Hiele levels applied to solving combinatorial reasoning problems. Universiteit Twente.


Pagina 42 van 54


Langford, P. E. (2005). Vygotsky’s developmental and educational psychology. New York: Psychology Press.

Ministry of education. (2006). A Guide to Effective Instruction in Mathematics. Ontario.

Rabaut H. (2014-2015) Verkennend literatuuronderzoek naar wiskunde in het kleuteronderwijs. Cursus Bachelor in onderwijs, kleuteronderwijs, Hogeschool Gent, Campus Ledeganck.

Rabaut, H. (2016-2017). Krachtig leren 10: focus (leer- en) ontwikkelingskansen onderzoeken. Cursus 2de bachelor in onderwijs, kleuteronderwijs, Hogeschool Gent, Campus Ledeganck.

Rabaut, H. (2017-2018). Krachtig leren: wiskunde in de kleuterklas 1. Cursus 1ste bachelor in onderwijs, kleuteronderwijs, Hogeschool Gent, Campus Ledeganck.

Storm, K.R. (2012). Hoe schat de wiskundedocent het begripsniveau van zijn leerlingen? Eindhoven University of Technology.

Struyven, K., Beaten, M., Kyndt, E., & Sierens, E. (2009). Groot worden. Tielt: Lannoo.

Valcke, M., De Backer, L., Adelhof, W., De Clercq, E., Dhaenens, M., Verthé, M., Haentjens, S., Putzeys, K., Masschelin, L., Sohier, L., Herremen, N., Hurkmans, B. & Van Muylem, F. (2016-2017). Onderzoeksopdracht: Geometrie in het kleuteronderwijs (groep 3). Universiteit: Gent.

Valcke, M., De Backer, L., Asselman, M., Bekaert, M., Comeyne, S., De Deckere, S., De Vriendt, J., El Attar, N., Hugelier, M., Luyckx, K., Plompen, F. & Van Gijsegem, J. (2016-2017). Onderzoeksopdracht: Geometrie in het kleuteronderwijs (groep 2). Universiteit: Gent.

Valcke, M., De Backer, L., Bogaert, J., Brisard, R., Calcoen, M., Comelise, E., Dewitte, M., Droissart, J., Lamon, F., Van den Abeele, L., Van der Heyden, J. & Van Laere, J. (2016-2017). Onderzoeksopdracht: Geometrie in het kleuteronderwijs (groep 4). Universiteit: Gent.

Valcke, M., De Backer, L., Bouzar, K., Lobeau, P., Van Raemdonck, M., Lamberts, E., Weverbergh, F., Meulemans, S., Verhelst, E., Van Den Heuvel, S., Roels, P. & Gardeyn, S. (2016-2017). Onderzoeksopdracht: Geometrie in het kleuteronderwijs (groep 5). Universiteit: Gent.

Valcke, M., De Backer, L., Ophalvens, I., Schamp, P., Van Hoe, A., Hoornaert, K., Cloet, J., Roose, E., Van Schoors, R., Landrieu, Y., Thieren, F. & Verslype, E. (2016-2017). Onderzoeksopdracht: Geometrie in het kleuteronderwijs (groep 1). Universiteit: Gent.

Vygotsky, L. (1978). Mind in Society. Cambridge: Harvard University Press.

Vygotsky, L. (1978). The Collected Works of L. S. Vygotsky: Problems of the Theory and History of Psychology v. 3. Springer Science + Business Media.

Websites:

A. & E. Television Networks, Jean Piaget Biography. Geraadpleegd op 22 januari 2018 via https://www.biography.com/people/jean-piaget-9439915

Baby Bio. Houten Vormendoos Everearth. Geraadpleegd op 25 januari 2018 via https://babybio.nl/produit/houten-vormendoos-everearth/

Ben Wilbrink. Rekenproject: Niveautheorie van de Van Hieles. Geraadpleegd op 21 oktober 2017 via http://benwilbrink.nl/literature/hiele.htm

https://www.biography.com/people/jean-piaget-9439915

http://benwilbrink.nl/literature/hiele.htm


Pagina 43 van 54


Bronso. Socioculturele theorie van Vygotsky. Geraadpleegd op 25 januari 2018 via https://www.bronso.be/blog/psychologie/socioculturele-theorie-van-vygotsky

CDM. (sd). Play: The work of Lev Vygotsky. 25 januari 2018 via http://www.childdevelopmentmedia.com/articles/play-the-work-of-lev-vygotsky/

Chapter 17. Geometric Thinking and Geometric Concepts. Geraadpleegd op 21 oktober 2017 via http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/pdfs/session9/vand.pdf

Clement, M., & Laga, L. Leren en hoe leren ondersteunen. Steekkaarten doceerpraktijk. Garant. Geraadpleegd op 26 januari 2018 via https://www.kuleuven.be/onderwijs/steekkaarten/leeractiviteiten/leren-en-hoe-leren-ondersteunen.pdf

Constructivisme. Geraadpleegd op 16 oktober 2017 via https://onderwijs-door-de-eeuwen-heen2.wikispaces.com/Constructivisme

Grotendorst, A. Zone van de naaste ontwikkeling - Vygotsky. Geraadpleegd op 27 januari 2018 via http://canonvanhetleren.overmanagement.net/canon/zone-van-de-naaste-ontwikkeling-vygotsky-2/

Hans Freudenthal en de didactiek van de wiskunde. Geraadpleegd op 21 oktober 2017 via http://www.rug.nl/research/portal/files/14570490/c7.pdf

Honderd jaar Van Hiele deel 1 en 2. Geraadpleegd op 24 oktober 2017 via http://epdoc.utsp.utwente.nl/79984/ (PDF)

Hurst, M. Lev Vygotsky's Theory of Cognitive Development. Geraadpleegd op 20 januari 2018 via http://study.com/academy/lesson/lev-vygotskys-theory-of-cognitive-development.html

ICT Platform. Matrix. Geraadpleegd op 22 mei 2018 via http://www.ict-platform.be/telletterspel/matrix.html

Indeling van de driehoeken. Geraadpleegd op 22 januari 2017 via https://digitale-gereedschapskist.webnode.be/driehoeken/indeling-van-de-driehoeken/

Koops, E. Karl Marx (1818-1883) – Grondlegger van het communisme. Geraadpleegd op 20 januari 2018 via https://historiek.net/karl-marx-grondlegger-communisme/64916/

Marguerite Mason. The Van Hiele Levels of Geometric Understanding. Geraadpleegd op 28 oktober 2017 via http://www.cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/view/96 (PDF)

McLeod, S. Lev Vygotsky. Geraadpleegd op 23 december 2017 via https://www.simplypsychology.org/vygotsky.html

Minipret. Ruimtewezens Vormen. Geraadpleegd op 22 mei 2018 via http://www.minipret.nl/spel/Ruimtewezens-Vormen.html

Minipret. Vormen Slepen 2. Geraadpleegd op 22 mei 2018 via http://www.minipret.nl/spel/Vormen-Slepen-2.html

Minipret. Vormen Slepen. Geraadpleegd op 22 mei 2018 via http://www.minipret.nl/spel/Vormen-Slepen.html

Natalie Creed. Introduction to Geometry. Geraadpleegd op 28 oktober 2017 via https://nataliecreedteachingandlearning.weebly.com/geometry.html

Spekschoor, S. Apps om de vormen te leren. Geraadpleegd op 22 mei 2018 via https://www.hipenhot.nl/apps-om-de-vormen-te-leren/

http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/pdfs/session9/vand.pdf

https://www.kuleuven.be/onderwijs/steekkaarten/leeractiviteiten/leren-en-hoe-leren-ondersteunen.pdf

https://www.kuleuven.be/onderwijs/steekkaarten/leeractiviteiten/leren-en-hoe-leren-ondersteunen.pdf

https://onderwijs-door-de-eeuwen-heen2.wikispaces.com/Constructivisme

https://onderwijs-door-de-eeuwen-heen2.wikispaces.com/Constructivisme

http://www.rug.nl/research/portal/files/14570490/c7.pdf

http://epdoc.utsp.utwente.nl/79984/

http://study.com/academy/lesson/lev-vygotskys-theory-of-cognitive-development.html

http://study.com/academy/lesson/lev-vygotskys-theory-of-cognitive-development.html

https://digitale-gereedschapskist.webnode.be/driehoeken/indeling-van-de-driehoeken/

https://digitale-gereedschapskist.webnode.be/driehoeken/indeling-van-de-driehoeken/

http://www.cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/view/96

https://www.simplypsychology.org/vygotsky.html

https://nataliecreedteachingandlearning.weebly.com/geometry.html

https://www.hipenhot.nl/apps-om-de-vormen-te-leren/


Pagina 44 van 54


Stevens, L. De zone van de naaste ontwikkeling. Geraadpleegd op 25 januari 2018 via http://www.taalvormingentaaldrukken.nl/ATK/ATK110.htm

StiBCO. De zone van de naaste ontwikkeling. Geraadpleegd op 25 januari 2018 via https://www.stibco.nl/index.php/mogelijkheden/zno-stibco-emiel?showall=1

StiBCO. Sociaal constructivisme. Geraadpleegd op 25 januari 2018 via https://www.stibco.nl/index.php/mogelijkheden/sociaal-constructivisme

StiBCO. Vygotsky en sociale cognitie. Geraadpleegd op 25 januari 2018 via https://www.stibco.nl/index.php/mogelijkheden/sociaal-constructivisme/42-stibco/visie/121-vygotsky-en-sociale-cognitie

Techniekonderwijs. Hoofdstuk 2 - Het kind: psychologische en pedagogische overwegingen. Geraadpleegd op 27 januari 2018 via http://www.earlytechnicaleducation.org/nl2/hof2p4nl.htm

Thomas Colignatus. Gaat leren van concreet naar abstract, of andersom? Geraadpleegd op 21 oktober 2017 via http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2015-09-22-Van-concreet-naar-abstract.html

Thomas Colignatus. Meta-opmerkingen over psychologie, wiskunde en onderwijs in wiskunde. Geraadpleegd op 21 oktober 2017 via http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2016-01-17-Meta-opmerkingen-over-psychologie-en-wiskunde.pdf (PDF)

Thomas Colignatus. Pierre Van Hiele, David Tall and Hans Freudenthal: Getting the facts right. Geraadpleegd op 21 oktober 2017 via https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1408/1408.1930.pdf (PDF)

Topologie. Geraadpleegd op 22 januari 2018 via http://www.encyclo.nl/begrip/topologie

Uijenkruijer, J., Huilmand, M., Eilander, N., Langstraat, I., Compeer, S., & Munneke, L. Lev Vygotsky. Geraadpleegd op 27 januari 2018 via https://kijkopleren0910.wikispaces.com/Lev+Vygotsky

UK & K-State University. (sd). Helping Social Learning Theory Along. Geraadpleegd op 25 januari 2018 via http://www2.ca.uky.edu/hes/fcs/keys/helping_social_learning_along.pdf

Wij leren. Scaffolding. Geraadpleegd op 25 januari 2018 via https://wij-leren.nl/scaffolding.php

Wikipedia. Lev Vygotsky. Geraadpleegd op 26 december 2017 via https://en.wikipedia.org/wiki/Lev_Vygotsky

Wikispaces. Lev Vygotsky. Geraadpleegd op 26 december 2017 via https://onderwijs-door-de-eeuwen-heen2.wikispaces.com/Lev+Vygotsky

Wil Oonk. De verbeelding van het mathematisch-didactisch denken. Geraadpleegd op 28 oktober 2017 via http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/6645.pdf (PDF)

Wortel drie. Ruben. Geraadpleegd op 22 mei 2018 via http://worteldrie.com/kids/ruben.html

Youtube. Van Hiele PPT voice mp4. Geraadpleegd op 20 oktober 2017 via https://www.youtube.com/watch?v=lJ0h6iq4AHU

Andere:

Liesje De Backer, e.a.: Filmpjes website: Universiteit Gent.

http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2015-09-22-Van-concreet-naar-abstract.html

http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2015-09-22-Van-concreet-naar-abstract.html

http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2016-01-17-Meta-opmerkingen-over-psychologie-en-wiskunde.pdf

http://thomascool.eu/Papers/AardigeGetallen/2016-01-17-Meta-opmerkingen-over-psychologie-en-wiskunde.pdf

https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1408/1408.1930.pdf

http://www.encyclo.nl/begrip/topologie

https://onderwijs-door-de-eeuwen-heen2.wikispaces.com/Lev+Vygotsky

https://onderwijs-door-de-eeuwen-heen2.wikispaces.com/Lev+Vygotsky

http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/6645.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=lJ0h6iq4AHU


Pagina 45 van 54


Bijlagen

Bijlage 1: Enquête

1. Hoe gemakkelijk is het om de informatie te vinden die u zoekt op onze website?

o Uitermate gemakkelijk o Zeer gemakkelijk o Niet erg gemakkelijk o Helemaal niet gemakkelijk

2. Hoe duidelijk is de informatie die beschikbaar is op onze website?

o Uitermate duidelijk o Zeer duidelijk o Redelijk duidelijk o Niet erg duidelijk o Helemaal niet duidelijk

3. Wat van onze site gaat u gebruiken in uw klaspraktijk/school?

4. Was u, over het algemeen gezien tevreden of ontevreden over onze website?

o Uitermate tevreden o Tamelijk tevreden o Enigszins tevreden o Niet tevreden en niet ontevreden o Redelijk ontevreden o Uitermate ontevreden

5. Hoe waarschijnlijk is het dat u onze website aanbeveelt aan anderen?

o Uitermate waarschijnlijk o Zeer waarschijnlijk o Redelijk waarschijnlijk o Niet erg waarschijnlijk o Helemaal niet waarschijnlijk


Pagina 46 van 54


Bijlage 2: Website

Website: https://leerlijnvormen.wordpress.com/

https://leerlijnvormen.wordpress.com/


Pagina 47 van 54



Pagina 48 van 54



Pagina 49 van 54



Pagina 50 van 54


Bijlage 3: Resultaten enquête

Resultaten op 26 mei 2018:


Pagina 51 van 54



Pagina 52 van 54


Antwoorden vraag 3:

- De leerrijke activiteitjes

- Leerlijn eerste leerjaar

- Ik ga in de klas de ‘iPad-apps’ uitproberen

- De websites

- De spelletjes

- De leerlijn, gelinkt met de spelletjes (aan de theorie) + ik ben benieuwd naar de bachelorproef

- De leerlijn en sommige praktijkvoorbeelden

- Ik hou het in mijn achterhoofd

- Niet erg veel

- De oefeningen

- Het kan door de zorgjuf gebruikt worden als observatie

- De praktische opdrachten

- Alles

- De leerlijn

- De spelletjes met de losse materialen

- De ideeën zijn zeer leuk en zeer gestructureerd

- Alles, de doelen en de leuke filmpjes als inspiratie

- Ik hoop dat de site blijft bestaan. Het is altijd een leuke manier van inspiratie op doen

- Korte en lange touwen knippen

- Praktijk

- Concrete activiteiten (zie filmpjes)

- Sorry, kan momenteel geen filmpjes zien, enkel foto’s. Vind het persoonlijk zéér schools, denk dat er veel leukere manieren zijn om te werken met vormen. Toch heel erg bedankt voor de moeite en het feit dat jullie dit willen doen.

- De spelen

- (1 persoon heeft het niet ingevuld)


Pagina 53 van 54



Pagina 54 van 54


Hoe kan een digitaal platform bijdragen ... - Vlakke figuren · meetkunde, meer bepaald: vlakke...

Documents

Transcript of Hoe kan een digitaal platform bijdragen ... - Vlakke figuren · meetkunde, meer bepaald: vlakke...