De uitdijing van het heelal en inflatieVerslag van bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde

27 augustus 2009

Ellen van der Woerd5611806

Bron: NASA en WMAP Science Team

omvang 12 ECuitgevoerd tussen 11 mei 2009 en 22 augustus 2009

Begeleider: Marika TaylorTweede beoordelaar: Kostas Skenderis

Instituut voor Theoretische FysicaFaculteit Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Samenvatting

In deze scriptie kijken we naar de uitdijing van het heelal onder invloed vanverschillende vloeistoffen en onderzoeken we wat inflatie is. We laten zien datuit de Friedmann vergelijkingen volgt dat de uitdijing van het heelal evenredig ismet t2/3(1+ω), waarin ω een constante is die afhangt van de soort vloeistof. Metdit resultaat en verkregen data kunnen we afleiden dat ons heelal drie tijdperkengekend heeft, gedomineerd door straling, materie en de kosmologische constante.Vervolgens laten we zien wat inflatie is en hoe dit de problemen van de hete BigBang kan oplossen.

Inhoudsopgave

1 Inleiding 3

2 Uitdijing van het heelal 42.1 Geometrie van het universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Soorten geometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Metriek voor een constant gekromde ruimte-tijd . . . . . 52.1.3 Volume van een constant gekromde ruimte . . . . . . . . 62.1.4 FLRW metriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.5 Massieve deeltjes in een FLRW gekromde ruimte . . . . . 92.1.6 Licht in een FLRW gekromde ruimte . . . . . . . . . . . . 10

2.2 De Friedmann vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1 Afleiding van de Friedmann vergelijking . . . . . . . . . . 112.2.2 De Hubble parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen . . . . . . . . . . . 132.3.1 Kritische dichtheid en de dichtheidsparameter . . . . . . . 132.3.2 De vloeistof vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3 Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen voor losse

vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.4 Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen voor meer-

dere vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Eigenschappen van ons universum . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Experimentele gegevens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.2 Tijdperken van ons universum . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.3 De leeftijd van ons universum . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Inflatie 293.1 De hete Big Bang theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Problemen met de hete Big Bang theorie . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 Het vlakke universum probleem . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Het horizon probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.3 Het relic probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Inflatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.1 Theorie inflatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Bewegingsvergelijking van het scalarveld . . . . . . . . . . 363.3.3 Oplossing van de bewegingsvergelijking . . . . . . . . . . 37

3.4 Inflatie als oplossing voor het vlakke universum en horizon probleem 403.4.1 Oplossing voor het vlak universum probleem . . . . . . . 413.4.2 Oplossing voor het horizon probleem . . . . . . . . . . . . 41

1

3.5 Inhomogeniteit in de kosmische achtergrondstraling . . . . . . . . 423.5.1 Ontstaan van inhomogeniteit in de kosmische achtergrond-

straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.2 Metingen aan inhomogeniteit van de kosmische achter-

grondstraling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Discussie en Conclusie 46

5 Populair wetenschappelijke samenvatting 47

2

Hoofdstuk 1

Inleiding

Al eeuwen lang is men nieuwsgierig naar het heelal om ons heen. In de tijdvan de oude Grieken dacht men dat de aarde het centrum van het heelal moestzijn. De zon en hemellichamen draaiden om de aarde heen en de sterren warenvaste punten, die heel erg ver weg lagen. Later kwam men erachter dat de aardeniet het centrum is van het heelal, maar om de zon heen draait. Ook de zonbleek geen voorkeursplek te hebben. Ze bevindt zich ergens in een arm van eenspiraalstelsel in een gewoon sterrenstelsel zoals we er vele kennen. Men begonmeer en meer te beseffen hoe immens groot het heelal is.Toen Hubble in 1929 ontdekte dat het heelal uitdijde was een nieuw tijdperkaangebroken voor de kosmologie. Men probeerde uit te vinden hoe deze uitdij-ing in zijn werk ging en de Big Bang theorie werd ontwikkeld. Het doel van dezescriptie is een overzicht geven van de huidige status van de kosmologie. Hierinstaan twee hoofdvragen centraal. Allereerst zal gekeken worden naar hoe deuitdijing van het heelal onder invloed van verschillende vloeistoffen beschrevenkan worden. In het tweede deel wordt gekeken wat de inflatie theorie is. Ditis een exponentiele uitdijing aan het begin van het heelal, die enkele problemenvan de Big Bang theorie moet oplossen.In het eerste deel zullen we eerst de geometrie van de ruimte-tijd beschrijven.Vervolgens leiden we de Friedmann vergelijkingen af die beschrijven hoe hetheelal uitdijt onder invloed van het een vloeistof. Deze vergelijkingen zullen weoplossen voor zowel enkele als meerdere vloeistoffen. Tot slot bekijken we wel-ke van deze theoretische beschrijvingen het beste overeenkomen met ons eigenuniversum.In het tweede deel zullen we sommige problemen van de Big Bang theorie be-schrijven. Vervolgens introduceren we het begrip inflatie en kijken we hoe ditde problemen van de Big Bang kan oplossen. Tot slot beschouwen we hoe dekosmische achtergrondstraling ontstaat met behulp van inflatie.

3

Hoofdstuk 2

Uitdijing van het heelal

2.1 Geometrie van het universum

Een ruimte kan verschillende geometrien hebben. Hij kan vlak zijn, zoals wein het dagelijks leven gewend zijn, maar ook positief of negatief gekromd. Dekromming van de ruimte-tijd kan veel vertellen over de eigenschappen van hetuniversum. In dit eerste deel zullen we eerst de kromming van de ruimte zelfbespreken. Vervolgens wordt er gekeken hoe het universum beschreven kanworden met behulp van een metriek voor een gekromde ruimte-tijd. Tot slotzullen we bekijken hoe deeltjes en licht zich gedragen in een gekromde ruimte-tijd. De meeste vergelijkingen en theorieen die genoemd worden in deze scriptie,zijn op basis van het boek van A. Liddle, An introduction to modern cosmology[5], en notities van M. Taylor [7] [8].

2.1.1 Soorten geometrien

Vlakke geometrie

De geometrie die we in het dagelijks leven het vaakst tegenkomen is de vlakkegeometrie. Deze wordt ook wel Euclidische geometrie genoemd. De regels voordeze geometrie zijn al in de Griekse oudheid door Euclides opgebouwd uit tweeaxioma’s:

1. een rechte lijn is de kortste afstand tussen twee punten;

2. parallelle rechte lijnen blijven op gelijke afstand van elkaar.

Uit deze axioma’s volgen de standaard regels voor de vlakke meetkunde. Zo isde som van de hoeken van iedere willekeurige driehoek 180 en de omtrek vaneen cirkel met straal r gelijk aan 2πr.

Sferische geometrie

Het tweede axioma blijkt niet universeel en geldt alleen voor een vlakke geome-trie. Er zijn niet vlakke geometrien waar parallelle rechte lijnen elkaar snijden.Het makkelijkste voorbeeld is de sferische geometrie. Deze kan het beste voor-gesteld worden als een bol, zoals de aarde. Lijnen die op de evenaar evenwijdig

4

Figuur 2.1: Een sferische, hyperbolische en vlakke geometrie van een tweedi-mensionale ruimte. Bron:[9]

aan elkaar lopen, snijden elkaar op de noord- en zuidpool. Er wordt ook wel ge-zegd dat de ruimte positief gekromd is. Een voorbeeld is te zien in het bovensteplaatje van figuur 2.1.

Hyperbolische geometrie

Behalve een positief gekromde ruimte heb je ook een negatief gekromde ruimte.Hierbij gaan evenwijdige lijnen steeds verder uit elkaar. Dit is lastiger voor testellen dan bij een sferische geometrie, maar een goed voorbeeld is het zadelfiguur. Lijnen die in het midden evenwijdig aan elkaar lopen, lopen verderopsteeds verder uit elkaar. Ook hiervan is een voorbeeld te zien op het middelsteplaatje van figuur 2.1.

2.1.2 Metriek voor een constant gekromde ruimte-tijd

De hierboven genoemde voorbeelden, zijn allemaal voorbeelden van een 2 di-mensionale ruimte. Om de geometrie van het universum te beschrijven is er een4 dimensionale beschrijving van de ruimte-tijd nodig. Deze beschrijving wordtook wel metriek genoemd en laat zien hoe de ruimte-tijd gekromd is; vlak, sfe-risch, hyperbolisch of een combinatie van deze.De metriek is een symmetrische 4×4 matrix gµν , die afhangt van de drie ruimtecoordinaten xi en de tijd coordinaat t. De kromming van de ruimte wordt danbeschreven door

ds2 = gµν(t, x)dxµdxν . (2.1)

De indices worden volgens de Einstein conventie gesommeerd. In deze formulezijn ds en dxµ infinitisimaal klein. Men kan dxµ als een hele kleine meetlat

5

voorstellen. De metriek laat zien hoe deze kleine meetlat gekromd wordt, duswat de daadwerkelijke lengte van de meetlat is.Een bekend voorbeeld is de Minkowski metriek. Hier heeft de metriek constantecomponenten en wordt er gekeken naar de vlakke ruimte coordinaten (x1, x2, x3).

ds2 = dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 (2.2)

Dit is de sterrenkundige conventie, in andere vakgebieden worden de mintekenssoms omgekeerd. Verder is hier c = 1 genomen. Deze conventie zullen we derest van het artikel aanhouden.We kunnen met behulp van de metriek een ruimte beschrijven die enkel eenvlakke, sferische of hyperbolische geometrie heeft. Hiervoor kijken we allereerstalleen naar de ruimtelijke componenten.Bij een vlakke geometrie is de metriek herkenbaar.

dσ20 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2 (2.3)

Hierin is r de radiele component en θ en φ de hoeken die respectievelijk van 0tot π en 0 tot 2π lopen. Het subscript 0 duidt erop, dat de ruimte niet gekromdis. Hieruit volgt de metriek

gµν = diag(1,−1,−r2,−r2sin2θ) (2.4)

Op dezelfde manier is er een metriek voor een constante positieve en negatievegekromde ruimte.

dσ21 = dψ2 + sin2ψ(dθ2 + sin2θdφ2) (2.5)

dσ2−1 = dχ2 + sinh2χ(dθ2 + sin2θdφ2) (2.6)

Hierin zijn θ en φ dezelfde als hierboven, ψ loopt van 0 tot π en χ van 0 tot∞. Het subscript 1 geeft aan dat de ruimte positief gekromd is, −1 dat dezenegatief gekromd is. Deze drie vergelijkingen worden ook wel samengevoegd toteen enkele vergelijking

dσ2k = R2

[dD2 +D2

k(dθ2 + sin2θdφ2)]

(2.7)

Hierin is Dk = (D, sinD, sinhD) en R de totale straal van de ruimte. Hetsubscript k kan de waarden (-1,0,1) aannemen.

2.1.3 Volume van een constant gekromde ruimte

Hoe groot zijn de ruimtes die met de bovenstaande metriek beschreven worden?Het volume van een 3D-ruimte kan berekend worden via de standaard volumeintegraal in bolcoordinaten:

V =∫

D

∫θ

∫φ

dV (2.8)

Wat het volume element is, hangt af van de metriek. Namelijk

dV = (det(gµν))1/2drdθdφ. (2.9)

Waar deze uitdrukking vandaan komt, is te ingewikkeld om hier uit te leggenen wordt besproken in een cursus algemene relativiteitstheorie. Wel kunnen we

6

zien dat de vergelijking klopt voor een vlakke ruimte. We kunnen het volumeelement berekenen met behulp van de Jacobiaan. Het volume element in sferi-sche coordinaten is dV = r2 sin θdrdθdφ. We kunnen dit volume element ookberekenen met de metriek (2.4). Hieruit volgt

dV =((1)(r2)(r2 sin2 θ)

)1/2drdθdφ = r2 sin θdrdθdφ. (2.10)

Dit komt overeen met wat we met de Jacobiaan gevonden hebben.In dit geval van de metriek van (2.7) is het volume element

dV = R3(dD)(Dkdθ)(Dk sin θdφ) = R3D2k sin θ dDdθdφ. (2.11)

Het bereik van D hangt van k af. Als we een positief gekromde ruimte bekijken,loopt D van 0 tot π, terwijl bij een negatief gekromde ruimte D van 0 tot ∞loopt. Voor beide ruimtes is het mogelijk de volume integraal uit te rekenen. Inhet geval van een positief gekromde ruimte is

V =∫ π

D=0

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0

R3 sin2D sin θ dDdθdφ. (2.12)

De hoekintegralen geven de standaard 4π, de integraal reduceert dan tot

V = 4πR3

∫ π

D=0

sin2DdD

= 4πR3

[D

2− 1

4sin 2D

]π

0

= 2π2R3 (2.13)

Evenzo kan de volume integraal van een open metriek berekend worden.

V =∫ ∞

D=0

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0

R3 sinh2D sin θ dDdθdφ

= 4πR3

∫ ∞

D=0

sinh2DdD

= 4πR3

[−D

2+

14

sinh 2D]∞0

→ ∞ (2.14)

Een positief gekromde ruimte heeft dus een eindig volume, daarom worden dezeruimtes ook wel gesloten genoemd. Negatief gekromde ruimtes hebben daaren-tegen een oneindig volume en worden open ruimtes genoemd. Mocht het heelalpositief of negatief gekromd blijken te zijn, dan kan er meteen een uitspraakgedaan worden of het heelal dan wel eindig is of niet.

2.1.4 FLRW metriek

In de kosmologie wordt er vanuit gegaan dat het heelal een constant gekromderuimte is. Dit omdat dit de enige mogelijke ruimtes zijn, die een homogeenen isotroop universum beschrijven. Homogeniteit betekent dat het niet uit-maakt waar in heelal je je bevindt, over ziet het er hetzelfde uit. Isotropie is de

7

Figuur 2.2: Meebewegende coordinaten dijen mee uit met de ruimte. Bron [10]

voorwaarde dat het niet uitmaakt welke kant je opkijkt, elke kant is hetzelfde.Waarnemingen bevestigen dat ons universum nagenoeg homogeen en isotroopis. Het ligt daarom voor de hand het universum met een constant gekromdemetriek te beschrijven.Deze metrieken, die een constant gekromd universum beschrijven worden ookwel FLRW metrieken genoemd. Ze zijn vernoemd naar Friedman, Lemaitre,Robertson en Walker en beschrijven vlakke, open of gesloten ruimtes inclusiefhun verloop in de tijd. Ze hebben de vorm

ds2 = dt2 − a2(t)dσ2k = a2(t)(dη2 − dσ2

k). (2.15)

De functie a(t) is de schaalfactor, deze is zo gedefinieerd dat a(t0) = 1, waarbijt0 de huidige tijd is. Verder is R de huidige straal van het universum. Deschaalfactor kan gezien worden als een maat voor de uitdijing van het heelal.Als a groeit met de tijd betekent dit dat het heelal uitdijt. Als a kleiner wordtmet de tijd zal het heelal daarentegen krimpen.De coordinaat D uit (2.7) is onafhankelijk van de tijd. Als de ruimte uitdijt,dijt het coordinaten stelsel mee uit, zie figuur 2.2. Daarom wordt D ook wel eencomoving coordinaat genoemd. De daadwerkelijke afstand wordt wel groter enwordt gegeven door

D′(t) = a(t)D. (2.16)

In een heelal dat beschreven wordt in comoving coordinaten zullen de melkweg-stelsels op dezelfde coordinaten blijven, alhoewel de daadwerkelijke afstand welverandert. Uit (2.15) volgt dat

dη =dt

a(t). (2.17)

8

η wordt ook wel de conformele tijd genoemd. Om verwarring met de normaletijd t te voorkomen zullen we in het vervolg de volgende conventie gebruiken:

dx

dη= x (2.18)

dx

dt= x′ (2.19)

In sommige teksten wordt precies de tegenovergestelde conventie gebruikt.

2.1.5 Massieve deeltjes in een FLRW gekromde ruimte

Hoe bewegen massieve deeltjes in een gekromde ruimte? Dit is uit te rekenenmet behulp van het actie principe. De actie voor een deeltje met massa m wordtgegeven door

S = −m∫ B

A

ds =∫ B

A

L(f, f ′, t)dt. (2.20)

L(f, f ′, t) is de Lagrangiaan, samen met de Euler-Lagrange vergelijking geeftdeze de bewegingsvergelijking van een deeltje. Bijvoorbeeld een deeltje dat meteen constante θ en φ beweegt. Voor de FLRW metriek geldt dan

ds2 = dt2 − a2(t)dσ2k

= dt2 − a2(t)R2dD2 (2.21)

Dit kunnen we invullen in de actieformule (2.20)

S = −m∫ B

A

√dt2 − a2(t)R2dD2

= −m∫ tB

tA

dt√

1− a2(t)R2D′2 (2.22)

Waarin D′ = dD/dt. Hiermee kunnen we de Euler-Lagrange vergelijking voorD opschrijven.

∂L

∂D=

d

dt

(∂L

∂D′

)(2.23)

∂(−m√

1− a2(t)R2D′2)∂D

=d

dt

∂(−m√

1− a2(t)R2D2)

∂D′

0 =

d

dt

(a2D′√

1− a2D′2

)(2.24)

Integreren van deze laatste vergelijking geeft

C =a2D′√

1− a2D′2. (2.25)

Waarin C een constante is. Hieruit volgt de bewegingsvergelijking voor radieelbewegende deeltjes.

D′ =C

a√a2 + C2

. (2.26)

9

2.1.6 Licht in een FLRW gekromde ruimte

Licht kan zowel als een deeltje als als een golf worden beschreven. Voor eenfoton kunnen we de afstand afleiden die het lichtdeeltje aflegt. Immers voorlicht geldt

ds2 = 0. (2.27)

Dus in de FRLW metriek

ds2 = a2(t)(dη2 − dσ2k) = 0 (2.28)dη2 = dσ2

k (2.29)

Als we een foton bekijken die in radiele richting beweegt zijn θ en φ constant,dus

dη2 = dD2. (2.30)

Integreren van deze vergelijking geeft een afgelegde afstand

∆D = ±∆η = ±∫

dt

a(t). (2.31)

Het teken in de vergelijking geeft aan of naar het verleden of de toekomst gekekenwordt.Licht kan ook beschreven worden als een golf in een uitdijende ruimte. Net zoalsde ruimte als het ware uitgerekt wordt, wordt ook de lichtgolf uitgerekt.

λ(a) = a(t)λ(t0) (2.32)

Hierin is λ(t0) de golflengte die op dit moment wordt uitgezonden en λ(a) deuitgedijde golflengte voor een bepaalde a. De schaalfactor is op zijn beurt weerafhankelijk van de tijd, waardoor berekend kan worden welke golflengte hetlicht op een bepaald tijdstip zal hebben gekregen. In de kosmologie wordt vaakgebruik gemaakt van de term roodverschuiving z. Deze wordt gedefinieerd als

λ(a = 1)λ(a)

=1a

= (1 + z). (2.33)

Des te groter de roodverschuiving van waargenomen sterren, des te kleiner wasde schaalfactor op het moment van emissie. Als we er vanuit gaan dat het heelaluitdijt, betekent dit dat we naar objecten in een ver verleden kijken en dus verterug in de tijd.

2.2 De Friedmann vergelijkingen

Nu we weten hoe een lege ruimte-tijd zich gedraagt, kunnen we kijken hoe dezezich gedraagt onder invloed van een vloeistof. De belangrijkste vergelijkingendie dit fenomeen beschrijven zijn de Friedmann vergelijkingen. Deze beschrijvenhoe het heelal zal uitdijen afhankelijk van de soort deeltjes die zich in het heelalbevinden. De vergelijkingen zijn af te leiden uit de algemene relativiteitstheorievan Einstein. Ik zal hier niet de volledige Einstein vergelijkingen gaan afleiden,maar enkel laten zien hoe uit deze vergelijkingen de Friedmann vergelijkingenvolgen.

10

2.2.1 Afleiding van de Friedmann vergelijking

De Einstein vergelijkingen beschrijven hoe materie de ruimte tijd vervormt. Zezien er als volgt uit

Gµν = −8πGNTµν . (2.34)

Hierin is GN Newtons gravitatie constante, Gµν de Einstein krommings tensoren Tµν de stress energie tensor. De laatste twee zijn 4 × 4 matrices. Beidematrices zijn symmetrisch waardoor een set van 10 onafhankelijke vergelijkingenverkregen wordt. In sommige conventies wordt het minteken weggelaten.Bij de beschrijving van ons universum in de FLRW metriek gaan we er vanuitdat het heelal isotroop is. Bij isotrope vloeistoffen krijgt de stress energie tensorde volgende vorm

Tµν = diag(−ρ, p, p, p), (2.35)

de rest van de componenten zijn 0. Hierin is ρ de energie dichtheid en p dedruk. Dit kan ook geschreven worden als

T 00 = g00T00 = ρ; (2.36)T i

j = gikTkj = −pδij . (2.37)

Hierin is gµν de inverse metriek die gedefinieerd is als

gµνgνρ = δµρ (2.38)

met δij de delta functie.

Als we het universum met een FRLW metriek beschrijven krijgt de Einsteinkrommings tensor de volgende componenten:

G00 = − 3

a2

[(a

a

)2

+k

R2

]; (2.39)

Gij = − 1

a2

[2a

a−(a

a

)2

+k

R2

]δij . (2.40)

Hierin is k dezelfde als in (2.7) en kan de waardes (1, 0,−1) aannemen. Metdeze tensoren krijgen we twee onafhankelijke Einstein vergelijkingen.(

a

a

)2

+k

R2=

8πGN

3a2ρ (2.41)

2a

a−(a

a

)2

+k

R2= −8πGNa

2p (2.42)

Door (2.41) in te vullen in (2.42) kunnen we deze laatste vergelijking herschrijventot

a

a−(a

a

)2

= −4πGN

3a2(ρ+ 3p) (2.43)

We kunnen deze vergelijkingen in plaats van in termen van conformele tijd ηomschrijven naar termen van t. Immers:

a

a=

da

dη

1a

=da

dt≡ aH(a) (2.44)

a

a−(a

a

)2

=d

dη

(a

a

)= a

d

dt

(da

dt

)= a

d2a

dt2(2.45)

11

Waarin H(a) de Hubble parameter is. De Einstein vergelijkingen worden dan

H2(a) +k

a2R2=

8πGN

3ρ; (2.46)

1a

d2a

dt2= −4πGN

3(ρ+ 3p). (2.47)

Deze eerste vergelijking (2.46) wordt meestal de Friedmann vergelijking ge-noemd. Vergelijking (2.47) wordt ook wel de versnellingsvergelijking genoemd.Deze laat zien hoe het universum versnelt afhankelijk van het soort vloeistofdat het bevat.

2.2.2 De Hubble parameter

In (2.44) definieren we de Hubble parameter als

H(a) ≡ 1a

da

dt. (2.48)

Omdat de Hubble parameter enkel van de schaalfactor afhangt, is het een maatvoor de uitdijing van het heelal. De Hubble parameter heeft ook een fysischebetekenis. Het geeft de relatie tussen de afstand waarop objecten zich bevindenen de snelheid waarmee ze van ons vandaan bewegen. Als we er vanuit gaan datobjecten die ver van ons weg staan zich in radiele richting van ons af bewegengeldt

~v = ~r′ = |~r′|r (2.49)

Invullen van vergelijking (2.16) geeft

~v = |(a(t)D)′|r= |a′D|r

= |a′ ra|r

=a′

a~r

= H(a)~r (2.50)

Deze laatste vergelijking is de beroemde wet van Hubble. Hij ontdekte dat melk-wegstelsels zich met een snelheid van ons af bewegen die recht evenredig is metde afstand waarop ze zich bevinden. Op dit moment heeft de Hubble parametereen grootte van H(a = 1) ≡ H0, dit wordt de Hubble constante genoemd. DeHubble constante is een direct meetbare grootheid, hiervoor moeten we enkelbepalen hoe ver bepaalde objecten van ons afstaan en met welke snelheid ze vanons af bewegen. Als we vergelijking (2.46) invullen voor t0, dus a = 1 krijgenwe

H20 +

k

R2=

8πGN

3ρ (2.51)

Metingen van de Hubble constante kunnen ons dus direct wat vertellen overzowel de kromming van de ruimte als de energiedichtheid. Dit wordt verderuitgewerkt in het volgende hoofdstuk.

12

2.3 Oplossingen van de Friedmann vergelijkin-gen

Met behulp van de Friedmann vergelijking kunnen we gaan bepalen hoe het uni-versum zich gedraagt onder invloed van een vloeistof. Voor iedere soort vloeistofkunnen we kijken hoe het universum zich gedraagt, dijt het versneld uit, metconstante snelheid, of krimp het? Voor we dit kunnen doen hebben we eerstnog een aantal extra begrippen nodig. Vervolgens kunnen we de vloeistofver-gelijking gaan afleiden uit de Friedmann vergelijkingen. Tot slot zullen we devloeistof vergelijking oplossen voor verschillende soorten vloeistoffen.

2.3.1 Kritische dichtheid en de dichtheidsparameter

Twee belangrijke begrippen bij het beschrijven van vloeistoffen zijn de kritischedichtheid en de dichtheidsparameter.

Kritische dichtheid ρc

De kritische dichtheid ρc is gedefinieerd als de dichtheid waarbij het universumvlak is, (k = 0). Dit invullen in de Friedmann (2.46)vergelijking geeft

H2(a) =8πGN

3ρc. (2.52)

Als de Hubble constante bekend is, kan hiermee de huidige kritische dichtheidberekend worden.

Dichtheidsparameter Ω

De dichtheidsparameter Ω is de verhouding tussen de dichtheid en de kritischedichtheid gedefinieerd als

Ω ≡ ρ

ρc. (2.53)

Als we dit invullen in (2.46) krijgen we

H2 =8πGN

3ρcΩ−

k

a2r2= H2Ω− k

a2R2, (2.54)

ofwelkR−2 = H2

0 (Ω0 − 1) (2.55)

Hieraan is duidelijk te zien dat als het heelal de kritische dichtheid heeft, dusΩ = 1, dan k = 0 en is het universum vlak. Als we H0 en Ω0 kunnen meten,kunnen we de waarde van k berekenen en weten we hoe de ruimte gekromd is.Uit metingen, zie paragraaf 2.4, blijkt dat Ω0 heel dicht bij 1 zit en dat hetuniversum nagenoeg vlak moet zijn.

2.3.2 De vloeistof vergelijking

Om een oplossing te vinden voor de Friedmann vergelijkingen moet allereersteen relatie gevonden worden tussen de dichtheid ρ, de schaalfactor a en de tijdt. Dit kan met behulp van de vloeistof vergelijking die afgeleid kan worden uit

13

de Friedmann vergelijkingen.Vergelijking (2.47) kunnen we herschrijven in termen van ρ en p door de tijds-afgeleide van (2.46) te nemen. Eerst nemen we de tijdsafgeleiden van de afzon-derlijke delen.

d

dtH2(a) = 2H

d

dt

(1a

da

dt

)= 2H

(− a

′

a2

da

dt+

1a

d2a

dt2

)= −2H

(1a

da

dt

)2

+ 2H1a

d2a

dt2

= −2H3 + 2H1a

d2a

dt2(2.56)

d

dt

k

a2R2= −2

1a

da

dt

k

a2R2

= −2Hk

a2R2(2.57)

d

dt

8πGN

3ρ =

8πGN

3ρ′ (2.58)

Deze resultaten kunnen we invullen in (2.46). Dit geeft

−2H3 + 2H1a

d2a

dt2− 2H

k

a2R2=

8πGN

3ρ′ (2.59)

Herschikken van de termen geeft

2H1a

d2a

dt2=

8πGN

3ρ′ + 2H

(H2 +

k

a2R2

)1a

d2a

dt2=

8πGN

6Hρ′ +

8πGN

3ρ (2.60)

Dit kan weer ingevuld worden in vergelijking (2.47).

8πGN

6Hρ′ +

8πGN

3ρ = −4πGN

3(ρ+ 3p)

ρ′

H+ 2ρ = −(ρ+ 3p)

ρ′ = −3H(ρ+ p) (2.61)

Dit is de vloeistof vergelijking. Deze laat zien dat de verandering in dichtheidafhankelijk is van zowel de schaalfactor, de dichtheid zelf en de druk.

2.3.3 Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen voorlosse vloeistoffen

Als we naar perfecte vloeistoffen kijken, kunnen we de vloeistof vergelijkingoplossen en zo de relatie tussen ρ en a achterhalen. Voor perfecte vloeistoffengeldt p = ωρ, waarin ω een constante is die van het soort vloeistof afhangt. Als

14

we dit invullen in (2.61) verkrijgt men een oplosbare differentiaal vergelijkingvoor ρ

ρ′ = −31a

da

dt(ρ+ ωρ)

ρ′

ρ= −3(1 + ω)

a′

a(2.62)

Integreren van deze laatste vergelijking met respect tot tijd geeft

ln ρ = −3(1 + ω) ln a+ lnCln ρ = lnCa−3(1+ω)

ρ ∝ a−3(1+ω) (2.63)

Hierin is C een willekeurige constante. Hoe de dichtheid van de schaalfactorafhangt is dus afhankelijk van het soort vloeistof.

Nu bekend is hoe ρ van a afhangt, kan met behulp van de Friedmann ver-gelijkingen afgeleid worden hoe a van t afhangt. Invullen van vergelijking (2.47)geeft

1a

d2a

dt2= −4πGN

3(ρ+ 3p)

1a

d2a

dt2∝ −4πGN

3(1 + 3ω)a−3(1+ω) (2.64)

Deze vergelijking kan opgelost worden door invullen van a ∝ tq.

t−qq(q − 1)tq−2 ∝ −4πGN

3(1 + 3ω)t−3q(1+ω)

t−2 ∝ t−3q(1+ω)

−2 = −3q(1 + ω)

q =2

3(1 + ω)(2.65)

Hieruit volgta ∝ t2/3(1+ω). (2.66)

Net als de dichtheid is ook de schaalfactor afhankelijk van de soort vloeistof.

Verschillende soorten vloeistoffen veroorzaken dus een verschillende dichtheiden schaalfactor. De vier belangrijkste perfecte vloeistoffen zijn materie, stra-ling, kromming en de kosmologische constante. Deze worden meestal gebruiktom ons heelal te beschrijven. Je zou ook andere exotische perfecte vloeistoffenkunnen bedenken, maar van deze hebben we geen enkel idee hoe ze eruit zoudenzien. Hieronder zullen we de eigenschappen van de vier belangrijkste perfectevloeistoffen beschouwen.

Materie

Onder materie worden alle niet relativistische massieve deeltjes verstaan. Ditzijn voornamelijk baryonen. De enige stabiele baryonen zijn protonen en neutro-nen. Daarom zal de materie in ons heelal voornamelijk uit deze twee baryonen

15

a

Ρ

L

kromming

straling

materie

Figuur 2.3: De dichtheid afhankelijk van de schaalfactor. Zowel de dichtheidvan materie, straling als kromming neemt af bij een toenemende schaalfactor.De dichtheid van de kosmologische constante blijft daarentegen constant.

t

a

L

kromming

straling

materie

Figuur 2.4: Het verloop van de schaalfactor in de tijd. Bij alle soorten vloei-stoffen neemt de schaalfactor toe, maar de kosmologische constante is de enigedie voor een versnelde toename zorgt.

bestaan. Verder bestaat materie uit niet relativistische elektronen. Maar demassa van een elektron is te verwaarlozen ten opzichte van de massa van hetproton of neutron, waardoor de elektronen relatief weinig invloed hebben. Voormaterie geldt ωm = 0 [7] en dus ρm ∝ a−3. Dit is geplot in figuur 2.3. Verderkan met behulp van formule (2.66) bepaald worden dat de schaalfactor a ∝ t2/3.Het verloop van a in de tijd is geplot in figuur 2.4 Een heelal gevuld met materiezal dus in de loop van de tijd steeds minder snel uitdijen. Dit is logisch als jebedenkt dat de zwaartekracht ervoor zorgt dat de materie elkaar aantrekt. Dezekracht zal de uitdijing steeds meer tegenwerken.

Straling

Straling bestaat uit relativistische deeltjes. Dit kunnen zowel massieve deeltjesmet een hele hoge snelheid zijn, als massaloze deeltjes. Het grootste deel vande straling bestaat uit fotonen. Deze kunnen een reactie aangaan met materie

16

door bijvoorbeeld een elektron te exciteren. Voor straling heeft de constante ωr

de waarde 1/3 [7]. Hieruit volgt dat ρr ∝ a−4 en a ∝ t1/2, zie ook figuur 2.3en 2.4. Hier is te zien dat net als bij materie zal het universum steeds mindersnel uitdijen, maar in verhouding sneller dan bij materie. Ook is te zien datde dichtheid van de straling sneller afneemt dan de materiedichtheid op hetmoment dat het heelal uitdijt.

Kromming

We kunnen de tweede term in de Friedmann vergelijking (2.46) ook beschouwenals een krommings energie dichtheid ρk. Deze is gedefinieerd als

ρk ≡ −3k

8πGNa2R2. (2.67)

Als we dit invullen in (2.46) en de kromming term naar de rechterkant halenkrijgen we

H2(a) =8πGN

3(ρ+ ρk) (2.68)

Hier is duidelijk te zien hoe we de kromming als een dichtheid kunnen be-schouwen. Vergelijking met formule (2.68) laat zien dat de kritische dichtheidρc = ρ+ ρk. Voor de kromming geldt ωk = −1/3 [7] en dus ρk ∝ a−2. Dit geefteen schaalfactor a ∝ t. Een universum dat enkel gekromd is en verder geenmaterie of straling bevat zal dus met constante snelheid blijven uitdijen, zie ookfiguur 2.4. Het verloop van de dichtheid van kromming is te zien in figuur 2.3.Net als bij materie en straling neemt de kromming af bij een uitdijend heelal.

Kosmologische constante

We hebben gezien dat een universum dat uit straling of materie bestaat steedslangzamer gaat uitdijen. Toen Einstein zijn theorie ontwikkelde was de alge-mene opvatting dat het universum statisch was. Om dit probleem op te lossenintroduceerde Einstein een kosmologische constante Λ. De Einstein vergelijkingkrijgt dan de vorm

Gµν = −8πGNTµν − Λgµν . (2.69)

Hieruit kunnen op dezelfde manier als in 2.2.1 de Friedmann vergelijkingenworden afgeleid in termen van conformele tijd:(

a

a

)2

+k

R2=

8πGN

3a2ρ+ a2 Λ

3; (2.70)

2a

a−(a

a

)2

+k

R2= −8πGNa

2p+ a2Λ. (2.71)

Net als bij de kromming kan ook de kosmologische constante beschreven wordenals een energie dichtheid ρΛ. Deze wordt gedefinieerd als

ρΛ =Λ

8πGN(2.72)

Ook dit kan gezien worden als een perfecte vloeistof met ωΛ = −1 [7]. Dedichtheid wordt dan ρΛ ∝ a0 en is dus onafhankelijk van de schaalfactor. Dit

17

is logisch aangezien Λ een constante is, deze zal dus niet veranderen in de tijd,zie ook figuur 2.3. Als we de relatie tussen a en t willen bepalen kunnen wegeen gebruik maken van (2.66), omdat we dan in de macht door 0 moeten delen.Een andere manier om deze relatie af te leiden is met behulp van de vloeistofvergelijking (2.61). Omdat ωΛ = −1 is p = −ρ. Als we dit invullen in (2.61) is

ρ′ = −3H(ρ+ p)= −3H(ρ− ρ)= 0 (2.73)

Dus ρ is een constante. Dit in vullen in de versnellingsvergelijking (2.47) geeft

1a

d2a

dt2= −4πGN

3(ρ+ 3p)

=8πGN

3ρ

= C (2.74)

De oplossingen van deze differentiaalvergelijking zijn a = e±√

Ct. De oplossingmet de negatieve macht is geen fysische oplossing, daarom nemen we a = e

√Ct.

De schaalfactor neemt exponentieel toe met de tijd. Omdat we naar een uni-versum zonder kromming kijken volgt uit (2.46) dat C = H2, dus a = eHt. Dekosmologisch constante zorgt er dus voor dat het universum versneld gaat uit-dijen, zie figuur 2.4. Daarom zou volgens Einsteins theorie een universum metzowel materie als een kosmologische constante statisch kunnen zijn. De vertra-ging in de uitdijing door de materie wordt tegengegaan door de kosmologischeconstante.Toen Hubble ontdekte dat het universum wel degelijk uitdijde met constantesnelheid verwierp Einstein zijn kosmologische constante met de mededeling dathet zijn grootste blunder was. Tegenwoordig hebben we ontdekt dat het univer-sum niet met constante snelheid uitdijt, maar aan het versnellen is. In tegenstel-ling tot een constant uitdijend heelal, kan een versneld heelal niet beschrevenworden zonder de kosmologische constante. Daarom is ook de kosmologischeconstante meegenomen worden in de Friedmann vergelijkingen.

2.3.4 Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen voormeerdere vloeistoffen

Behalve een universum gevuld met een enkel vloeistof element, kunnen we ookeigenschappen bekijken van een universum gevuld met meerdere vloeistoffen.Omdat ook de kromming en de kosmologische constante uit te drukken zijn intermen van energie dichtheid, kunnen we een totale energiedichtheid ρtot defi-nieren. Met behulp van ρtot kunnen we de Friedmann vergelijking herschrijvenenkel in termen van dichtheid en wordt het eenvoudiger de oplossingen van dezevergelijking voor verschillende soorten materie te verkennen. We definieren detotale dichtheid als

ρtot(a) =∑

i

ρi(a) =∑

i

ρi 0a−3(1+ωi). (2.75)

18

Net zoals de dichtheid uit verschillende componenten kan bestaan, kan ook dedichtheidsparameter Ω uit verschillende componenten bestaan;

Ωi =ρi

ρc. (2.76)

We kunnen nu de Friedmann vergelijking (2.70) herschrijven als(a

a

)2

=8πGN

3a2 (ρ+ ρΛ + ρk) (2.77)(

a

a

)2

=8πGN

3a2ρtot (2.78)

Deze vergelijking is gemakkelijk op te lossen als de energie dichtheden bekendzijn. We zullen nu enkele gevallen bekijken waar meerdere vloeistoffen in hetuniversum aanwezig zijn.

Materie en Straling

Allereerst bekijken we een universum dat enkel met materie en straling gevuldis. De ruimte is dus niet gekromd en er is geen kosmologische constante. Stelde huidige dichtheidsparameter voor de straling is Ωr 0. Omdat we een vlakuniversum bekijken, moet gelden Ω = 1 en dus Ωm 0 = 1 − Ωr 0. Met dezegegevens kunnen we de Friedmann vergelijking (2.78) oplossen voor a(η).

(a

a

)2

=8πGN

3a2 (ρr + ρm)(

a

a

)2

=8πGN

3a2(ρr 0a

−4 + ρm 0a−3)

(a

a

)2

=8πGN

3a2(Ωr 0ρc 0a

−4 + (1− Ωr 0)ρc 0a−3)

=8πGN

3ρc 0

(Ωr 0a

−2 + (1− Ωr 0)a−1)

(2.79)

Met behulp van vergelijking (2.52) volgt

a2 = H20 (Ωr 0 + (1− Ωr 0)a) . (2.80)

Deze vergelijking kunnen we oplossen door de standaard oplossing a(η) = Aη2+Bη in te vullen.

(2Aη +B)2 = H20

(Ωr 0 + (1− Ωr 0)(Aη2 +Bη)

)4A2η2 + 4ABη +B2 = H2

0

(Ωr 0 + (1− Ωr 0)Aη2 + (1− Ωr 0)Bη

)Hieruit volgen de vergelijkingen

4A2 = H20 (1− Ωr 0)A

4AB = H20 (1− Ωr 0)B

B2 = H20Ωr 0

19

Dus A = 14H

20 (1− Ωr 0) en B = H0

√Ωr 0. De schaalfactor wordt dan

a(η) =14H2

0 (1− Ωr 0)η2 +H0

√Ωr 0η. (2.81)

We kunnen de differentiaal vergelijking (2.80) ook omschrijven naar gewone tijdom te kijken hoe dit universum zich gedraagt in de loop van de tijd. Invullenvan a = aa′ geeft

a2a′2 = H20 (Ωr 0 + (1− Ωr 0)a) . (2.82)

Om de vergelijking op te lossen vullen we in a = tq.

t2qq2t2q−2 = H20Ωr 0t

0 +H20 (1− Ωr 0)tq (2.83)

Op vroege tijdstippen t << 1 is de eerste term aan de rechterkant de overheer-sende term. Dus geldt

t2q+2q−2 = t0;4q − 2 = 0;

q =12. (2.84)

Op latere tijdstippen daarentegen is t >> 1, dus is de tweede term overheersend.Dus

t2q+2q−2 = tq;4q − 2 = q;

q =23. (2.85)

Aan het begin van het universum moet a ∝ t1/2 geweest zijn, terwijl op lateretijdstippen a ∝ t2/3 wordt. Als we kijken naar de resultaten van universa meteen vloeistof component zien we dat a ∝ t1/2 overeen komt met een universumwaarin zich enkel straling bevindt en a ∝ t2/3 met een universum met enkelmaterie. In een universum met beide componenten zal dus in een vroeg stadiumde straling overheersen terwijl in een later stadium de materie het belangrijkstwordt. Dit valt logisch te verklaren als je bedenkt dat de dichtheid van stralingveel sneller afneemt dan die van materie voor dezelfde schaalfactor. In figuur2.5 is de dichtheid van materie en straling te zien als functie van de tijd. In hetbegin overheerst de straling en later de materie, waardoor de dichtheden snellerafnemen.Wanneer vindt de overgang van een door straling beheerst universum naar eenmaterie universum plaats? Dit is op het moment dat de dichtheden van stralingen materie aan elkaar gelijk zijn, dus als

ρr = ρm

ρr 0a−4 = ρm 0a

−3

ρcΩr 0a−4 = ρc(1− Ωr 0)a−3 (2.86)

Omdat we gezien hebben dat de stralingsdichtheid veel sneller afneemt dan demateriedichtheid mogen we aannemen dat Ωr 0 << 1. Dan

Ωr 0a−4 ≈ a−3 (2.87)

Dit is gelijk aan elkaar als a ≈ Ωr 0. Dit is de schaalfactor waarbij de materiezal gaan overheersen in het universum.

20

Figuur 2.5: De dichtheid van materie en straling in een universum met enkeldeze twee componenten. In het begin overheerst de straling en is de schaalfactora ∝ t1/2. Later gaat de materie overheersen op a ≈ Ωr 0 en is de schaalfactora ∝ t2/3.

Materie en de kosmologische constante

In deze sectie beschouwen we een universum met materie en een kosmologischeconstante. Dit is weer een vlak universum, k = 0. Als we de huidige materiedichtheidsparameter definieren als Ωm 0 is ΩΛ 0 = 1 − Ωm 0. Ook hier willenwe een oplossing van de Friedmann vergelijking vinden in termen van a(t). DeFriedmann vergelijking (2.78) is in dit geval(

a

a

)2

=8πGN

3a2(ρm + ρΛ)(

aa′

a

)2

=8πGN

3a2(ρm 0a

−3 + ρΛ 0)(a′

a

)2

=8πGN

3(ρc 0Ωm 0a

−3 + ρc 0ΩΛ 0)

= H20 (Ωm 0a

−3 + (1− Ωm 0))a′

a= H0

√Ωm 0a−3 + (1− Ωm 0) (2.88)

We lossen dit op door in te vullen a(t) = B (sinh(Ct))2/3. Dan

23BC cosh(Ct)(sinh(Ct))−1/3

B(sinh(Ct))2/3= H0

√Ωm 0B−3(sinh(Ct))−2 + (1− Ωm 0)

2C cosh(Ct)3(sinh(Ct))

= H0

√Ωm 0B−3(sinh(Ct))−2 + (1− Ωm 0)

23C cosh(Ct) = H0

√Ωm 0B−3 + (1− Ωm 0)(sinh(Ct))2

21

Als

B =(

Ωm 0

1− Ωm 0

)1/3

(2.89)

dan

23C cosh(Ct) = H0

√(1− Ωm 0)(1 + (sinh(Ct))2

= H0

√(1− Ωm 0) cosh(Ct)

C =32H0

√(1− Ωm 0) (2.90)

Dus

a(t) =(

Ωm 0

1− Ωm 0

)1/3(sinh[

32H0(1− Ωm 0)1/2t]

)2/3

. (2.91)

Deze vergelijking is geplot in figuur 2.6. Hiervoor zijn voor H0 en Ωm 0 dewaardes genomen, die op dit moment overeenkomen met de beste metingenzoals beschreven in paragraaf 2.4.We kunnen deze vergelijking onderzoeken voor het geval de materie overheerst,dus Ωm 0 → 1. In dit geval wordt de term in de sinh klein en voor een kleine xgeldt sinhx = x. De vergelijking wordt dan

a(t) ∝(

Ωm 0

1− Ωm 0

)1/3(32H0(1− Ωm 0)1/2t

)2/3

=(

94H2

0Ωm 0(1− Ωm 0)t2)1/3

= Ct2/3 (2.92)

Dus schaalfactor a wordt steeds kleiner en het heelal krimpt. In de andere limietis de kosmologische constante overheersend en Ωm 0 → 0. In dit geval kunnenwe de sinh benaderen als sinhx = ex/2. De vergelijking wordt dan

a(t) ∝(

Ωm 0

1

)1/3(sinh[

32H0t]

)2/3

= Ω1/3m 0

(e

32 H0t

2

)2/3

=(

Ωm 0

4

)1/3

eH0t

= CeH0t (2.93)

In dit geval zal a exponentieel toenemen met de tijd. Het heelal dijt dus versnelduit. In een heelal waar de materie overheerst, het eerste limiet geval, zal t opeen gegeven moment zo groot worden dat de benadering sinhx = x niet meeropgaat. Dan zal de tweede limiet de overhand nemen en het heelal overheerstworden door de kosmologisch constante. Dit is ook te zien in figuur 2.6. Inhet begin neemt de schaalfactor vertraagd toe, net zoals in een door materieoverheerst heelal. Later neemt de versnelling toe en uiteindelijk krijgt de ploteen exponentiele vorm, de kosmologische constante neemt de overhand.Het moment waarop de kosmologische constante overheersend wordt is als

22

5.0 ´ 109 1.0 ´ 1010 1.5 ´ 1010 2.0 ´ 1010t

0.5

1.0

1.5

a

Figuur 2.6: De schaalfactor uitgezet tegen de tijd voor een universum waarinzich enkel materie en een kosmologische constante bevinden. In het begin wordtde schaalfactor door de materie beheerst en dijt het heelal vertraagd uit. Laterneemt de dichtheid van materie af en neemt de kosmologische constante deoverhand. Het heelal gaat versneld uitdijen.

ρΛ > ρm

ρΛ 0 > ρm 0a−3

ρc 0(1− Ωm 0) > ρc 0Ωm 0a−3

1− Ωm 0

Ωm 0>

1a3(

1− Ωm 0

Ωm 0

)1/3

> (1 + z) (2.94)

We kunnen hiermee een roodverschuiving zΛ definieren waarop de kosmologischeconstante overheersend wordt

(1 + zΛ) =(

1− Ωm 0

Ωm 0

)1/3

. (2.95)

Dit is niet gelijk aan het moment waarop het heelal stopt met krimpen en weergaat versnellen. Dit gebeurt als d2a/dt2 > 0. Dit kunnen we oplossen door deFriedmann vergelijking (2.70) in de versnellingsvergelijking (2.71) in te vullenen deze om te schrijven in termen van a(t).

2a

a−(a

a

)2

+k

R2= −8πGNa

2p+ a2Λ

2a

a− 2

(a

a

)2

+8πGN

3a2ρ+ a2 Λ

3= −8πGNa

2p+ a2Λ

2

(a

a−(a

a

)2)

= −8πGN

3a2(ρ+ 3p) +

23a2Λ

1a

d2a

dt2= −4πGN

3(ρ+ 3p) +

Λ3

(2.96)

23

Als we nu weer kijken naar een k = 0 universum met enkel materie en eenkosmologische constante wordt dit

1a

d2a

dt2= −4πGN

3(ρm 0a

−3) +8πGN

3ρΛ 0

= −4πGN

3(ρc 0Ωm 0a

−3) +8πGN

3ρc 0(1− Ωm 0)

= −H20

2Ωm 0a

−3 +H20 (1− Ωm 0) (2.97)

Dus het universum versnelt als

d2a

dt2= H2

0

(−1

2Ωm 0a

−2 + (1− Ωm 0)a)

> 0

−12Ωm 0a

−2 + (1− Ωm 0)a > 0

(1− Ωm 0)a >Ωm 0

2a2

a3 >Ωm 0

2(1− Ωm 0)

(1 + z) > 21/3

(Ωm 0

(1− Ωm 0)

)−1/3

> 21/3(1 + zΛ) (2.98)

Dit is bij een grotere roodverschuiving, dus zal het universum al beginnen uitte zetten voordat de kosmologische constante gaat overheersen.

2.4 Eigenschappen van ons universum

Nu we gezien hebben hoe een universum met verschillende vloeistofcomponentenzich gedraagt, kunnen we kijken welke van deze beschrijvingen overeenkomt metons eigen universum. Hiervoor moeten we allereerst kijken welke experimentelegegevens we van ons universum hebben. Vervolgens zullen we bekijken metwelke theoretische beschrijving deze gegevens overeenkomen.

2.4.1 Experimentele gegevens

We hebben een aantal belangrijke grootheden behandeld, die direct meetbaarzijn in ons universum. Dit zijn onder andere H0 en Ω0. Een andere meetbaregrootheid in ons universum is de kosmische achtergrondstraling, Cosmic Micro-wave Background (CMB), deze geeft ons informatie over het vroegere heelal.We zullen de verschillende resultaten hieronder behandelen.

Hubble constante H0

We hebben in paragraaf 2.2.2 gezien dat de Hubble parameter wordt gedefinieerdals

~v = H~r. (2.99)

We kunnen de huidige waarde van de Hubble parameter, de Hubble constanteH0, op verschillende manieren meten. Meestal wordt er gebruik gemaakt van de

24

zogenaamde standaard kaarsen. Dit zijn objecten waarvan het spectrum en dehelderheid bekend zijn, omdat ze altijd dezelfde eigenschappen hebben. Doormiddel van metingen aan de roodverschuiving en helderheid van een standaardkaars kunnen respectievelijk de snelheid en de afstand van de kaars bepaaldworden. De Hubble constante is met behulp van deze methode bepaald totH0 =100h kms−1Mpc−1 met h = 0.72± 0.08 [5]. Dat deze waarde zo onnauwkeurigis, komt vooral doordat de standaard kaarsen methode nog erg onnauwkeurig is.Vaak weten we alleen de verhouding in helderheid en dus de verhouding van deafstand tussen objecten en niet de absolute afstand. De helderheid is namelijkniet omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand. Dit komt onderandere doordat het heelal uitdijt en het heelal geen vlakke geometrie hoeft tehebben. Naarmate er betere methodes worden ontwikkeld om de afstand tebepalen, kan de Hubble constante met grotere nauwkeurigheid worden bepaald.Lange tijd was men er van overtuigd dat ons universum met constante snelheiduitdijt. Toen men in 1990 supernovae van het type IA ging bestuderen, konopeens verder gekeken worden dan 4 miljard lichtjaar [3]. Men kwam tot deschokkende ontdekking dat deze objecten zwakker stralen dan verwacht. Ditbetekent dat ze verder weg staan en de Hubble parameter vroeger kleiner moetzijn geweest, dan men had gedacht. Omdat we naar objecten kijken die heel verweg staan, kijken we naar het verleden. Aangezien de Hubble parameter vroegerkleiner was dan gedacht, is ons universum niet constant aan het uitdijen, maaraan het versnellen.

Dichtheidsparameter Ω0

Uit paragraaf 2.3.1 weten we dat de dichtheidsparameter gedefinieerd is als

Ω =ρ

ρc. (2.100)

Om de dichtheidsparameter te bepalen moeten we dus eerst met behulp vanformule (2.52) de kritische dichtheid bepalen. Met de bovengenoemde waardevan H0 is de kritische dichtheid ρc(t0) = 1.88h2 × 1026kgm−3 [5]. Dit is eenenorm kleine dichtheid en komt ongeveer overeen met een melkwegstelsel permegaparsec. In ons universum is dit ongeveer de afstand tussen twee melkweg-stelsels. Om precies te bepalen hoe groot de dichtheidsparameter is, moeten wenaar de dichtheden van alle soorten vloeistoffen in het heelal kijken. Gewonematerie is het makkelijkst om te meten. Een deel van de materie zit in sterrenen een ander deel in gas. Het blijkt dat voor baryonen geldt Ωb 0 = 0.04 [5].Als het universum dus enkel uit baryonen zou bestaan, zou dit betekenen datons heelal niet vlak is maar sterk negatief gekromd. Uit metingen aan onderandere de draaiing van het melkwegstelsel blijkt dat er ook een ander soortmaterie moet bestaan, de zogenaamde donkere materie. Ik zal verder niet opde eigenschappen en ontdekking van deze materie ingaan. Maar wat belangrijkis, is dat uit de metingen volgt dat Ωd 0 = 0.23 [5]. Dit geeft samen ongeveerΩm 0 = 0.27. Dit is nog steeds veel te klein voor een vlak universum.De waarde van ΩΛ kunnen we niet direct meten, omdat we tot nu toe geen ideehebben wat de kosmologische constante eigenlijk is. Toch kunnen we wel watover de grootte zeggen met behulp van de supernovae metingen en kosmischeachtergrond straling. Uit de supernovae metingen blijkt dat het heelal versnelt.We hebben eerder gezien, dat dit in een heelal met enkel materie onmogelijk is.

25

Figuur 2.7: De resultaten van het Supernova Cosmology Project. Als het heelalvlak is zijn de best overeenkomende resultaten Ωm 0 ≈ 0.3 en ΩΛ ≈ 0.7. Bron[11]

Er moet dus een kosmologische constante zijn die voor de versnelling zorgt. Hoegroot de kosmologische constante is, hangt af van de grootte van de versnelling.Twee afzonderlijke projecten hebben dit gemeten. Het resultaat van het Super-nova Cosmology Project is te zien in figuur 2.7. Als het heelal vlak is komen deresultaten het best overeen met Ωm 0 ≈ 0.3 en ΩΛ ≈ 0.7 [5]. We weten dat hetheelal nagenoeg vlak moet zijn uit de komische achtergrondstraling.

Kosmische achtergrondstraling CMB

In 1965 ontdekte men de kosmische achtergrondstraling. Dit is een straling dieuitgezonden moet zijn door een geıoniseerd heelal. We weten dat, omdat hetheelal uitdijt, de temperatuur vroeger veel hoger moet zijn geweest. Bij een hogetemperatuur hebben fotonen zoveel energie dat ze elektronen kunnen ioniseren.In zo’n geıoniseerde vloeistof kunnen fotonen niet ver reizen, omdat ze telkensweer elektronen tegenkomen waarmee ze een reactie aangaan. Een geıoniseerdheelal is dus ondoorzichtig. Als we straling ontvangen van een geıoniseerd heelalmoet dit dus van het moment geweest zijn, dat het heelal opeens doorzichtigwerd. Uit metingen aan de kosmische achtergrondstraling blijkt dat dit bij eentemperatuur van 3000 K gebeurde [2]. Bij deze temperatuur hebben de foto-nen niet langer genoeg energie om de elektronen te ioniseren en worden atomengevormd. De fotonen worden hierdoor niet langer tegengehouden en kunnenopeens enorm lange afstanden afleggen, het heelal wordt doorzichtig. Dit wordtook wel recombinatie genoemd. Wat wij nu als kosmische achtergrondstraling

26

zien, zijn de fotonen die na de recombinatie opeens vrij konden reizen en ons nubereikt hebben.De kosmische achtergrondstraling vertelt ons dus ten eerste dat we in het be-gin van het universum een periode gehad moeten hebben waarin straling over-heerste. Maar het kan ons ook wat vertellen over de kromming van het heelalen dus over de dichtheidsparameter. Hoe dit kan wordt verder uitgelegd in pa-ragraaf 3.5. We weten uit deze metingen dat het heelal nagenoeg vlak moet zijnnamelijk Ωm 0+ΩΛ = 1.02±0.02 [5]. Dus als Ωm 0 = 0.27, dan ΩΛ = 0.75±0.02.Dit bevestigt het resultaat van de supernovae metingen.

2.4.2 Tijdperken van ons universum

De bovengenoemde metingen aan supernovae en de kosmische achtergrondstra-ling hebben samengevat de volgende resultaten.

• Het heelal is nagenoeg vlak.

• Het heelal dijt versneld uit.

• In het begin van het universum was er een periode waarin straling deoverhand heeft.

• De huidige waarde van Ωm 0 ≈ 0.3.

• De huidige waarde van ΩΛ ≈ 0.7.

Hieruit kunnen we de conclusie trekken dat ons vlakke heelal verschillende peri-odes gekend moet hebben. Uit de kosmische achtergrond straling blijkt dat deeerste periode van het universum overheerst werd door straling. Dit leidde toteen ondoorzichtig geıoniseerd universum. Toen het universum 370.000 jaar oudwas [1] bereikte het door de uitdijing een temperatuur van 3000 K en werd hetuniversum doorzichtig.Omdat de dichtheid van straling sneller kleiner wordt dan de dichtheid vanmaterie, zal op een gegeven moment de materie zijn gaan overheersen in hetuniversum. Dit komt overeen met het resultaat dat we in ons huidige heelalnauwelijks nog straling hebben, terwijl Ωm 0 ≈ 0.3. Behalve materie is er ookeen kosmologische constante. We hebben gezien dat deze constant is in de tijdin tegenstelling tot materie. In de periode na de straling moet de materie dicht-heid dus veel groter geweest zijn ten opzichte van de kosmologische constantedan nu. We kunnen dit daarom de materie periode noemen.Naarmate de dichtheid van materie steeds verder af nam, werd de kosmologischeconstante steeds belangrijker. In ons huidige universum overheerst deze over deandere vloeistoffen en daarom zitten we nu in de kosmologische constante peri-ode. Uit de theorie volgt dat het heelal dan aan het versnellen moet zijn, en ditblijkt ook uit de waarnemingen aan supernovae. Als we er vanuit gaan dat deinvloed van straling verwaarloosbaar klein is, omdat het maar een korte periodeoverheersend is geweest, dan kunnen we door formule (2.95) en (2.98) in te vul-len in (2.91) uitrekenen wanneer het heelal begon met versnellen en wanneer dematerie periode eindigde en de kosmologische periode begon. De kosmologischeconstante wordt overheersend op 9.5 miljard jaar, maar het universum begint almet versnellen op 7.9 miljard jaar, dit is ook te zien in fig 2.6. In de volgendeparagraaf zal blijken dat ons universum ongeveer 13 miljard jaar oud is. Dit zou

27

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0W_m0

1.2 ´ 1010

1.4 ´ 1010

1.6 ´ 1010

1.8 ´ 1010

2.0 ´ 1010

tHjarenL

Figuur 2.8: De leeftijd van het heelal afhankelijk van de dichtheidsparameterΩm 0. Als we aannemen dat Ωm 0 = 0.3 dan is t0 = 13.6 miljard jaar.

betekenen dat we dat we nog maar net de materie periode achter ons hebbengelaten en het kosmologische constante tijdperk zijn binnengetreden.

2.4.3 De leeftijd van ons universum

Met behulp van de bovenstaande informatie kunnen we ook een redelijke schat-ting maken van de huidige leeftijd van het heelal. Hierbij moeten we er rekeningmee houden dat de oudste objecten die we kennen zo’n 13 miljard jaar oud zijn[5]. De leeftijd die we berekenen, moet dus ouder zijn dan 13 miljard jaar. Wehebben gezien dat het grootste gedeelte van de tijd het heelal uit enkel materieen een kosmologische constante bestond. Daarom geeft formule (2.91) een goe-de beschrijving van de ontwikkeling van de schaalfactor in de tijd. Omdat wegedefinieerd hebben dat a(t0) = 1, kunnen we uit deze vergelijking de leeftijdvan het heelal oplossen.

1 =(

Ωm 0

1− Ωm 0

)1/3(sinh[

32H0(1− Ωm 0)1/2t0]

)2/3

(Ωm 0

1− Ωm 0

)1/2

= sinh[32H0(1− Ωm 0)1/2t0]

32H0(1− Ωm 0)1/2t0 = sinh−1

[(1

Ωm 0− 1)1/2

]

t0 =23H−1

0 (1− Ωm 0)−1/2 sinh−1

[(1

Ωm 0− 1)1/2

](2.101)

Als je dit plot als functie van Ωm 0 krijg je de grafiek uit figuur 2.8. Invullenvan de experimentele waarde Ωm 0 = 0.3 geeft t0 = 13.6 × 109 jaar. Dit kloptverbazingwekkend goed met de metingen van de oudste objecten van ons heelal.

28

Hoofdstuk 3

Inflatie

3.1 De hete Big Bang theorie

De metingen aan kosmische achtergrondstraling en standaard kaarsen, zoals be-schreven in paragraaf 2.4, kunnen ons niet alleen wat vertellen over hoe hetheelal uitdijt, maar ook over hoe het heelal ontstaan is. De kosmische achter-grondstraling kan alleen ontstaan zijn als het vroeger heter was. Door uitdijingis ons universum sindsdien afgekoeld. Zoals we gezien hebben is het heelal altijdaan het uitdijen geweest. Er moet dus een beginpunt zijn geweest, waarin hetheelal bestond uit een enkel punt met oneindige dichtheid. Ten tijde van ditbeginpunt was het universum enorm heet. Deze theorie wordt ook wel de heteBig Bang theorie genoemd [2].Er zijn echter problemen met deze hete Big Bang theorie. Een aantal verschijn-selen die we in ons dagelijks universum tegenkomen kunnen we niet verklarenmet enkel de hete Big Bang. Een oplossing voor deze problemen is het invoerenvan een nieuw tijdperk vlak na de Big Bang, inflatie. In dit tijdperk dijt hetheelal korte tijd exponentieel uit. In dit hoofdstuk zullen we allereerst een aantalvan de problemen van de hete Big Bang beschrijven. Vervolgens bekijken we detheoretische beschrijving van inflatie en laten we zien hoe inflatie een oplossingbiedt voor de hete Big Bang problemen. Tot slot bekijken we hoe inflatie eenverklaring kan geven voor de fluctuaties in de kosmische achtergrondstraling.

3.2 Problemen met de hete Big Bang theorie

3.2.1 Het vlakke universum probleem

Uit de huidige metingen blijkt dat Ω heel dicht bij 1 moet liggen (zie paragraaf2.4). Om te kijken hoe zo’n soort heelal zich gedraagt moeten we de vergelijkingvoor Ω herschrijven

Ω−1 =ρc

ρ

=ρ+ ρk

ρ

= 1 +ρk

ρ(3.1)

29

a

Ε

L

straling

materie

Figuur 3.1: De afwijking ε ten opzichte van de schaalfactor. Bij materie enstraling neemt de afwijking toe als het heelal uitdijt, terwijl de kosmologischeconstante voor een exponentieel afnemende ε zorgt.

(3.2)

Invullen van vergelijking (2.67) geeft dan

Ω−1 = 1− 3k8πGNa2R2ρ

. (3.3)

Omdat we een universum beschrijven dat uit perfecte vloeistoffen bestaat, waar-voor geldt p = ωρ en ρ = ρ0a

−3(1+ω), kunnen we dit verder herschrijven als

Ω−1 = 1− 3k8πGNa2R2ρ0a−3(1+ω)

;

= 1− 3k8πGNR2ρ0

a1+3ω. (3.4)

Als Ω = 1 dan moet de tweede term 0 zijn. De a-macht in deze term kan niet 0worden, dus de constante ervoor moet 0 zijn. De tweede term zal daarom altijd0 blijven en Ω = 1.Als Ω daarentegen een kleine afwijking van 1 heeft dan Ω = 1± ε. Dus

ε = ± 3k8πGNR2ρ0

a1+3ω. (3.5)

Voor welke ω wordt deze afwijking kleiner? Dit is het geval als a1+3ω → 0, dus

1 + 3ω < 0

ω < −13

(3.6)

Dus voor een ω < −1/3 zal de afwijking ε kleiner worden en zal Ω naar 1gaan. Als daarentegen ω > −1/3 zal de afwijking steeds groter worden. Alswe ons universum bekijken dat vooral door materie gedomineerd is, is ω = 0.Dit zou betekenen dat we een steeds grotere afwijking van 1 krijgen, zie figuur

30

3.1. Een vlak universum is dan een instabiele oplossing. Maar metingen gevenaan dat we nu nog steeds dicht bij Ω = 1 zitten. Dit kan enkel als Ω eenonwaarschijnlijk kleine afwijking moeten hebben gehad aan het begin van hetuniversum. Om preciezer te zijn: op het moment dat in ons universum zichatoomkernen begonnen te vormen, toen het heelal 100 seconden oud was, moetε ≤ 10−16 zijn geweest [1]. Dit is natuurlijk mogelijk, maar er is een veel groterekans dat er een mechanisme in het vroegere universum geweest is dat Ω naar 1stuurt, bijvoorbeeld een vloeistof met ω < −1/3. In figuur 3.1 is de afwijkingε geplot voor ω = −1, de waarde van de kosmologische constante. In dit gevalwordt de afwijking exponentieel kleiner.

3.2.2 Het horizon probleem

Omdat we informatie maximaal met de lichtsnelheid kunnen verzenden, is er eenmaximale afstand waarover we informatie kunnen verzenden en ontvangen. Ditbetekent dat het mogelijk is dat delen van het universum nog nooit in causaalcontact met elkaar hebben gestaan. Maar in paragraaf 2.4 hebben we geziendat we vanaf alle kanten van de hemel kosmische achtergrondstraling met eennagenoeg homogene temperatuur van 2.725 K ontvangen [2]. Dit valt enkelte verklaren als de kosmische achtergrondstraling ooit in causaal contact heeftgestaan. Om te kijken of dit mogelijk is, moeten we eerst een beschrijvinghebben van de grootte van het universum dat met elkaar in causaal contactstaat. Twee belangrijke begrippen zijn de event horizon en de deeltjes horizon.De event horizon is de grens tussen dat deel van het heelal waarvan we welinformatie kunnen ontvangen en het deel waarmee we nooit in contact kunnenkomen. De deeltjes horizon is de grens tussen het gedeelte van het universumwaarvan het licht al genoeg tijd heeft gehad om ons te bereiken en dat deelwaarvan het licht nog naar ons onderweg is.

Event horizon

We kunnen de grootte van de event horizon berekenen. Deze hangt af van deschaalfactor. Dit kan kwalitatief ingezien worden, door te bedenken dat op hetmoment dat het heelal uitdijt het licht een steeds grotere afstand af moet leggenom ons te bereiken. Terwijl het licht onderweg is wordt de afstand tussen hetobject dat het licht uitzendt en ons steeds groter. Uiteindelijk kan deze afstandzoveel groter worden, dat het licht ons nooit meer kan bereiken. De ’snelste’informatiedrager is licht, dus als we de event horizon willen beschrijven, moetenwe naar fotonen kijken. Uit vergelijking (2.31) weten we dat fotonen die meteen constante θ en φ gaan, een maximale afstand

r =∫ ∞

t0

dt

a(t)(3.7)

kunnen afleggen. Laten we dit eens uitrekenen voor een heelal dat enkel uitmaterie en een kosmologische constante bestaat. In dit geval kunnen we deFriedmann vergelijking schrijven als

a2 = H20

(Ωm 0a+ (1− Ωm 0)a4

). (3.8)

31

We schrijven dit om naar de variabele x = 1/a. Dus dan da = (−1/x2)dx. Ditgeeft ons

a =da

dη= a

da

dt=−1x3

dx

dt(3.9)

Dit invullen in vergelijking (3.8) geeft

1x6

(dx

dt

)2

= H20

(Ωm 0x

−1 + (1− Ωm 0)x−4)

dx

dt= H0

√Ωm 0x5 + (1− Ωm 0)x2

dt =dx

H0x√

Ωm 0x3 + (1− Ωm 0)(3.10)

Hiermee is de maximale afstand die een foton kan afleggen uit te drukken in x.

r =∫ 1

0

xdx

H0x√

Ωm 0x3 + (1− Ωm 0)

=∫ 1

0

dx

H0

√Ωm 0x3 + (1− Ωm 0)

(3.11)

Dit is de grootte van de event horizon voor een bepaalde x(t). Als deze afstandeindig is voor alle t > t0 is er ook een toekomstige event horizon. Bij de eventhorizon van (3.11) is dit ook het geval. Want omdat x ≥ 0 en Ωm 0 < 1 is√

Ωm 0x3 + (1− Ωm 0) > 0. De intergraal zal daarom nooit ∞ worden voor0 < x < 1 en de event horizon zal ook in de toekomst eindig zijn. Het zal dusnooit mogelijk zijn het hele universum te bereiken.

Deeltjes horizon

Behalve de event horizon is er ook een deeltjes horizon. Dit is de grootste afstandwaarvan het licht ons tot nu toe heeft kunnen bereiken. De deeltjes horizon isgelijk aan de conformele tijd η sinds het begin van het universum. Dus

η0 =∫ t0

t=0

dt′

a(t′). (3.12)

Als weer enkel naar perfecte vloeistoffen gekeken wordt, kan bepaald wordenhoe η van de schaalfactor a afhangt. Namelijk

η =∫ t

0

dt

a(t)

∝∫ t

0

t−2/3(1+ω)dt

∝ t−2/3(1+ω)+1

∝ a−1a3(1+ω)/2

∝ a(1+3ω)/2 (3.13)

Dus des te groter ω des te groter wordt de deeltjes horizon. Een andere manierom de deeltjes horizon te beschrijven is met behulp van de Hubble lengte. Deze

32

a

Η

L

straling

materie

Figuur 3.2: De grootte van de deeltjeshorizon in een uitdijend heelal. Bij materieen straling neemt de horizon toe, terwijl bij de kosmologische constante dedeeltjes horizon afneemt.

is gedefinieerd als Ha. Allereerst willen we weten hoe deze van a afhangt.

Ha =da

dt

∝ d

dtt−2/3(1+ω)

∝ t2/3(1+ω)−1

∝ a1a−3(1+ω)/2

∝ a−(1+3ω)/2 (3.14)

Vergelijking met vergelijking (3.13) geeft ons

(Ha)−1 ∝(a−(1+3ω)/2

)−1

= a(1+3ω)/2 ∝ η. (3.15)

De deeltjes horizon is dus gelijk aan de inverse Hubble lengte.We kunnen bekijken wat er met deze deeltjes horizon gebeurt voor een univer-sum met verschillende vloeistoffen. In een materie gevuld universum is ω = 0 ende deeltjes horizon is dan η ∝ a1/2, zie figuur 3.2. Dit betekent dat de uitdijingvan de deeltjes horizon langzamer gaat dan de uitdijing van het heelal, er is duseen steeds kleiner deel van het universum dat in staat is ons te bereiken.Als het universum vooral uit straling bestaat dan is ω = 1/3 en is de deeltjeshorizon η ∝ a. Dit betekent dat als het heelal uitdijt, de deeltjes horizon metdezelfde hoeveelheid uitdijt, dus we staan altijd met een even groot deel van hetuniversum in causaal contact.In het extreme geval bevat het universum enkel een kosmologische constante.In dit geval is ω = −1 en de deeltjes horizon η ∝ a−1. Dus terwijl het heelaluitdijt, krimpt de deeltjes horizon.Hieruit volgt dat als we eenmaal een deeltjes horizon hebben die kleiner is danhet universum, we nooit meer informatie kunnen ontvangen uit het gehele uni-versum.

33

Causaal contact van de kosmische achtergrondstraling

Als we willen weten of de kosmische achtergrondstraling ooit met elkaar incausaal contact heeft gestaan, moeten we naar de deeltjes horizon kijken. Inparagraaf 2.4 hebben we gezien dat het universum in het begin overheerst werddoor straling en daarna voor de grootste tijd door materie. Voor beiden geldtdat de deeltjeshorizon groeit met respectievelijk η ∝ a en η ∝ a1/2. Dit bete-kent dat wat nu binnen onze deeltjeshorizon valt tijdens de recombinatie buitende horizon lag. Het blijkt dat van de achtergrondstraling die we nu ontvangenslechts delen ter grootte van 1 aan de hemel in causaal contact met elkaarstonden [2]. Het is dus onmogelijk dat zich een thermisch equilibrium heeft in-gesteld met de hete Big Bang theorie. Toch is de temperatuur van de kosmischeachtergrondstraling nagenoeg homogeen. Er moet dus een andere verklaringzijn.

3.2.3 Het relic probleem

Een laatste probleem is dat er bij de Big Bang een hoop deeltjes zouden moetenzijn ontstaan, die in ons huidige universum niet meer voorkomen, zoals het gra-vitino en magnetische monopolen. Dit zijn niet relativistische deeltjes, dus uitde voorgaande theorie blijkt dat ze uiteindelijk zouden moeten gaan dominerenover straling. Dat ze niet in ons huidige universum aanwezig zijn, betekent datze op een bepaalde manier uit ons universum moeten zijn verdwenen. Ik zal ditprobleem verder niet uitwerken.

3.3 Inflatie

Om deze problemen op te lossen werd het idee van inflatie geıntroduceerd (Guth1981; Albrecht en Steinhardt 1982; Linde 1982, 1983). Inflatie is een korteperiode aan het begin van het universum waarin het enorm versneld uitdijde.In 10−35 seconden groeide het heelal van 10−26 meter naar ongeveer 1 meter [1].In deze sectie zullen we allereerst naar de theoretische beschrijving van inflatiekijken, vervolgens zullen we de bewegingsvergelijking afleiden en deze oplossenvoor een bepaalde potentiaal.

3.3.1 Theorie inflatie

Voor inflatie is een versnelling van de uitdijing van het heelal nodig, dus moetgelden d2a/dt2 > 0. Voor de tweede Friedmann vergelijking (2.47) geldt dan

0 <1a

d2a

dt2= −4πGN

3(ρ+ 3p). (3.16)

Ofwel(ρ+ 3p) < 0. (3.17)

Omdat we er vanuit gaan dat een vloeistof per definitie een positieve dichtheidheeft, moet p < 0 en p < −1/3ρ. Dit komt neer op ω < −1/3.De vloeistof die voor inflatie zorgt, is het inflaton. Deze heeft een scalarveld

34

φ(t) en een potentiaal V (φ). Voor de dichtheid en druk geldt dan

ρ =12

(dφ

dt

)2

+ V (φ) (3.18)

p =12

(dφ

dt

)2

− V (φ) (3.19)

[2]. De eerste term in (3.18) kan gezien worden als de kinetische energie ende tweede term als potentiele energie. Om aan de voorwaarde van (3.17) tevoldoen, moet gelden

12

(dφ

dt

)2

+ V (φ) +32

(dφ

dt

)2

− 3V (φ) < 0

2(dφ

dt

)2

− 2V (φ) < 0

V >

(dφ

dt

)2

. (3.20)

Dus als de potentiele energie twee keer zo groot is als de kinetische energiekan het scalarveld een negatieve druk uitoefenen en voor een versnelde uitdijingzorgen.We gaan er vanuit dat in het begin van het universum het scalarveld alle anderevloeistoffen overheerste. Een universum enkel gevuld met het scalarveld φ geeftde volgende Friedmann vergelijkingen(

a

a

)2

+k

R2=

8πGN

3a2

(12φ′2 + V

)(3.21)

2(a

a

)−(a

a

)2

+k

R2= −8πGNa

2

(12φ′2 − V

)(3.22)

Door de eerste vergelijking in te vullen in de tweede vind je

2(a

a

)− 2

(a

a

)2

= 8πGNa2

(−1

2φ′2 + V − 1

6φ′2 − 1

3V

)(a

a

)−(a

a

)2

= 4πGNa2

(−4

6φ′2 +

23V

)1a

d2a

dt2=

−8πGN

3(φ′2 − V

)(3.23)

Dit is de versnellingsvergelijking voor een universum met een scalarveld.Wat kan het inflaton voor soort vloeistof zijn? Als we kijken naar de vloeistoffenuit paragraaf 2.3.3 is de kosmologische constante de enige waarvoor geldt ω <−1/3. In de kosmologie wordt dan ook vaak ω = −1 gekozen om inflatie tebeschrijven [8]. Dit betekent echter niet dat dit de enige oplossing is. Ditzullen we ook zien bij het oplossen van de bewegingsvergelijking in de volgendeparagraaf.Als ω echter wel gelijk is aan −1 dan kunnen we bepalen in welke mate hetheelal zal versnellen. Immers we hebben gezien dat voor een universum metenkel een kosmologische constante geldt

a(t) ∝ eHt. (3.24)

35

Als we (3.21) beschouwen voor een vlak heelal kunnen we H bepalen. Immers(3.21) wordt dan

H2 =8πGN

3

(12φ′2 + V

). (3.25)

Omdat we er vanuit gaan datω = −1

geldt

ω =ρ

p=

12φ′2 + V

12φ′2 − V

= −1. (3.26)

Hieruit volgt V 12φ′2, de potentiele energie moet groter zijn dan de kinetische

energie. Dit betekent dat het scalarveld maar langzaam verandert. De inflatiedie hiermee beschreven wordt, wordt daarom ook wel slow-roll inflatie genoemd[2]. Als we dit invullen in (3.25) krijg je de zogenaamde slow-roll aproximatie

H2 ≈ 8πGN

3V. (3.27)

waaruit volgt

a(t) ≈ e

√8πGN

3 V t. (3.28)

Deze slow-roll inflatie komt niet alleen voor bij ω = −1, maar altijd als dezogenaamde slow-roll parameters ε(φ) en η(φ) aan de volgende voorwaardenvoldoen [6]

ε(φ) 1 (3.29)|η(φ)| 1 (3.30)

Waarbij de parameters gedefinieerd zijn als

ε(φ) =1

16πGN

(1V

∂V

∂φ

)2

(3.31)

η(φ) = 8πGN1V

∂2V

∂φ2(3.32)

Als uiteindelijk de kinetische energie groter wordt dan de potentiaal en niet meeraan de slow-roll condities wordt voldaan, komt inflatie tot een eind. Dit gebeurtbijvoorbeeld als de potentiaal een minimum bereikt, die nagenoeg gelijk aan 0is. In dit geval gaat de slow-roll parameter ε(φ) naar oneindig. Aan het eind vaninflatie moet het heelal weer voldoen aan het standaard Big Bang model. Ditproces wordt ook wel reheating genoemd. Hierbij moet het inflaton vervallen inde deeltjes die we kennen in de vorm van straling [2].

3.3.2 Bewegingsvergelijking van het scalarveld

Net zoals we een bewegingsvergelijking voor een deeltje in een gekromde ruimtehebben bekeken, kunnen we ook een bewegingsvergelijking afleiden voor hetscalarveld φ(t). Hiermee kunnen we bijvoorbeeld beschrijven hoe het inflatonzich over de potentiaal beweegt. De actie is in het geval van het scalarveld

S =∫dV

(12

(dφ

dt

)2

− V (φ)

). (3.33)

36

Invullen van het volume element (2.11) geeft

S =∫D2

kdDdΩ∫dta(t)3

(12

(dφ

dt

)2

− V (φ)

). (3.34)

Hieruit volgt de Euler-Lagrange vergelijking

∂

∂φ

∫D2

kdDdΩa(t)3

(12

(dφ

dt

)2

− V (φ)

)=

d

dt

∂

∂φ′

∫D2

kdDdΩa(t)3

(12

(dφ

dt

)2

− V (φ)

)(3.35)

De ruimte coordinaten zijn constanten in de vergelijking dus de vergelijkingreduceert tot

−a(t)3 ∂V∂φ

=d

dt

(a3φ′

)= 3a2a′φ′ + a3φ′′

−∂V∂φ

= 3a′

aφ′ + φ′′

= 3Hφ′ + φ′′ (3.36)

Dit is de bewegingsvergelijking voor een scalarveld φ(t). Ook op deze vergelij-king kunnen we de slow-roll condities toepassen. Omdat het scalarveld maarlangzaam verandert is de laatste term verwaarloosbaar. De slow-roll approxi-matie van de bewegingsvergelijk is daarom ook

−∂V∂φ

≈ 3Hφ′. (3.37)

3.3.3 Oplossing van de bewegingsvergelijking

Of de bewegingsvergelijking analytisch oplosbaar is, hangt af van de potentiaal.In de meeste gevallen blijkt de vergelijking niet analytisch oplosbaar en moetmen benaderingen gebruiken. Een potentiaal waarvoor de bewegingsvergelijkingwel analytisch oplosbaar is, is

V (φ) = V0e−√

2n φ (3.38)

waarin V0 en n constanten zijn [6]. We kunnen een oplossing voor a(t) en φ(t)uit de bewegingsvergelijking en Friedmann vergelijkingen afleiden als we eenvlak heelal k = 0 beschouwen.Allereerst lossen we de bewegingsvergelijking op. De bewegingsvergelijking voorde potentiaal (3.38) wordt

−∂V∂φ

= 3Hφ′ + φ′′

− ∂

∂φV0e

−√

2n φ = 3

a′

aφ′ + φ′′

V0

√2ne−√

2n φ = 3

a′

aφ′ + φ′′ (3.39)

37

We kunnen deze vergelijking oplossen door aan te nemen dat a = catβ en φ =

cφ ln(γt), waarbij ca, cφ, β en γ constanten zijn. Dit geeft

V0

√2n

(γt)−√

2n cφ = 3

βtβ−1

tβcφt− cφt2

V0

√2nγ−√

2n cφt−

√2n cφ = 3βcφt−2 − cφt−2

V0

√2nγ−√

2n cφt−

√2n cφ = (3β − 1)cφt−2. (3.40)

De machten van t moeten gelijk zijn, dus

−√

2ncφ = −2

cφ =√

2n (3.41)

Dit invullen geeft

V0

√2nγ−2t−2 = (3β − 1)

√2nt−2

3β − 1 = V0n−1γ−2

ofwel

γ−2 =(3β − 1)n

V0(3.42)

We hebben nu een relatie tussen de constanten β en γ gevonden. Dit kunnenwe verder oplossen door deze resultaten in te vullen in de eerste Friedmannvergelijking (2.46), waarbij we een vlak heelal (k = 0) beschouwen.

H2 =8πGN

3ρ

β2t−2 =8πGN

3

(12φ′2 + V

)=

8πGN

3

(12c2φt

−2 + V0e−√

2n cφln(γt)

)=

8πGN

3(nt−2 + V0γ

−2t−2)

=8πGN

3t−2

(n+ V0

(3β − 1)nV0

)β2 = 8πGNnβ

β(β − 8πGNn) = 0 (3.43)

Dus β = 0 of β = 8πGNn. Om erachter te komen welke oplossing de juiste ismoeten we de tweede Friedmann vergelijking (3.23) invullen.

1a

d2a

dt2=

−8πGN

3(φ′2 − V

)1cttβ

ctβ(β − 1)tβ−2 =−8πGN

3

(c2φt

−2 − V0e−√

2n cφln(γt)

)38

β(β − 1)t−2 =−8πGN

3t−2

(2n− V0γ

−2)

β(β − 1) =−8πGN

3

(2n− V0

(3β − 1)nV0

)β(β − 1) =

−8πGN

3(3n− 3βn)

β(β − 1) = 8πGNn (β − 1)β = 8πGNn (3.44)

Hieruit volgt dat β = 0 geen geldige oplossing is en dus β = 8πGNn. Hieruitvolgt met behulp van (3.42) dat

γ−2 =(3β − 1)n

V0

=(24πGNn− 1)n

V0

γ =

√V0

(24πGNn− 1)n(3.45)

In dit geval hebben we dus een schaalfactor a ∝ t8πGN n, die veroorzaakt wordtdoor het scalarveld

φ =√

2n ln

(√V0

24πGNn− 1)nt

). (3.46)

Als we dit scalarveld als een perfecte vloeistof beschouwen, moet volgens (2.66)gelden a ∝ t2/3(1+ω). Dit geeft

23(1 + ω)

= 8πGNn

1 + ω =1

12πGNn

ω =1

12πGNn− 1. (3.47)

Voor n→∞ is dit gelijk aan de kosmologisch constante. Maar n kan ook anderewaarden aannemen zolang maar ω < −1/3. Dus als

112πGNn

− 1 < −1/3

12πGNn > 3/2

n >1

8πGN(3.48)

ofwel

n >n

β

β > 1 (3.49)

Dit is logisch als je bedenkt dat we een versnellend heelal beschrijven met a ∝ tβ .Om een beter inzicht te krijgen in hoe deze potentiaal en scalarveld eruit zien zijn

39

t

HΦ¢¢L2

V

Figuur 3.3: Schematische weergave van de potentiaal en het scalarveld voorV (φ) = V0e

−√

2n φ. Dit is een van de weinige potentialen waarvoor de bewe-

gingsvergelijking exact oplosbaar is.

ze schematisch geplot in figuur 3.3. Hierin is duidelijk te zien dat de kinetischeenergie altijd kleiner is dan de potentiele energie. In dit geval zal er daaromnooit een eind komen aan de periode van inflatie.Dit is ook te zien als je de slow-roll parameters beschouwt. Deze zijn

ε(φ) =1

16πGN

−√

2nV0e

−√

2n φ

V0e−√

2n φ

2

=1

8πGNn=

1β

(3.50)

η(φ) = 8πGN2V0e

−√

2n φ

nV0e−√

2n φ

=16πGN

n. (3.51)

Beiden zijn onafhankelijk van φ en dus van de tijd. Omdat ε = 1/β en β > 1is aan de eerste slow-roll conditie voldaan. De tweede slow-roll parameter kanomgeschreven worden tot η = 128π2G2

N/β. Omdat GN 1 is ook aan detweede slow-roll conditie voldaan. Aangezien beiden slow-roll parameters nietafhankelijk zijn van φ zullen ze altijd aan de slow-roll condities blijven voldoen.Er komt nooit een einde aan de inflatie. Omdat we dit einde wel nodig hebbenvoor een beschrijving van ons universum is de potentiaal (3.38) geen populairmodel voor de beschrijving van inflatie. Hoe bij andere modellen een einde aande inflatie komt wordt verder besproken in paragraaf 3.5.2.

3.4 Inflatie als oplossing voor het vlakke univer-sum en horizon probleem

Met behulp van inflatie kunnen de problemen uit paragraaf 3.2 worden opge-lost. We zullen hier enkel de oplossing van het vlakke universum en het horizonprobleem bespreken. De oplossing van het relic probleem zullen we niet bespre-ken. De oplossing van deze laatste komt er op neer dat de dichtheid van dedeeltjes, die ontstaan zijn bij de Big Bang, maar we nu niet meer waarnemen,door inflatie enorm verdund is.

40

3.4.1 Oplossing voor het vlak universum probleem

In vergelijking (3.6) hebben we gezien dat de dichtheidsparameter naar 1 gaatvoor een ω < −1/3. Dit is precies gelijk aan de voorwaarde (3.17). De vloeistofdie voor inflatie zorgt, zorgt er dus tegelijkertijd voor dat het universum steedsvlakker wordt. Omdat inflatie maar een hele korte periode in ons universumbeschrijft moet de dichtheidsparameter heel snel naar 1 gegaan zijn.Als we inflatie beschrijven met ω = −1, dan reduceert vergelijking (3.5) tot

ε ∝ a−2 (3.52)

Omdat het heelal onder deze vloeistof uitzet met eHt, zie paragraaf 2.3.3, wordtdit

ε ∝ e−2Ht (3.53)

De afwijking neemt dus exponentieel af, zoals ook te zien is in figuur 3.1, ende dichtheidsparameter zal zo dicht bij 1 komen, dat we nu nog steeds in eennagenoeg vlak universum leven.Een ander voorbeeld is de potentiaal uit paragraaf 3.3.3. Hier hebben we ge-vonden in (3.47) dat geldt

ω =1

12πGNn− 1 =

23β− 1. (3.54)

Dit invullen in (3.5) geeft

ε = ± 3k8πGNR2ρ0

a2/β−2. (3.55)

Omdat uit voorwaarde (3.49) volgt β > 1 geldt voor de a-macht 2/β − 2 < 0.Dus de afwijking ε gaat naar 0, waardoor een vlak universum ontstaat.

3.4.2 Oplossing voor het horizon probleem

Voor de deeltjeshorizon hebben we gezien dat geldt η ∝ a(1+3ω)/2. Tijdensinflatie is ω < −1/3 dus

η < a(1−1)/2 = a0 (3.56)

De horizon blijft constant of wordt kleiner. In het geval van een kosmologischeconstante geldt zelfs η ∝ a−1, zoals we in paragraaf 3.2 gezien hebben. Ookhebben we gezien dat in dit geval geldt a ∝ eHt en dus

η ∝ e−Ht (3.57)

De deeltjes horizon wordt exponentieel kleiner. Hierdoor kan het universumeerst in causaal contact hebben gestaan, waarbij zich een thermisch evenwichtheeft ingesteld. Later, tijdens de inflatie, werd de deeltjeshorizon steeds kleineren stonden delen van het universum niet langer met elkaar in causaal contact.Maar omdat het thermisch evenwicht zich al had ingesteld, zullen deze delenwel dezelfde temperatuur houden. Het universum had hierdoor ten tijde van derecombinatie een homogene temperatuur. Omdat de deeltjes horizon nu weersteeds groter wordt onder invloed van materie, komen de delen die vroeger ookal in causaal contact hebben gestaan, nu weer binnen de horizon.

41

Ook hier is de potentiaal uit paragraaf 3.3.3 een voorbeeld waarbij de deeltjes-horizon krimpt. Immers invullen van (3.47) geeft voor de deeltjeshorizon

η ∝ a(1+2/β−3)/2 = a1/β−1. (3.58)

Omdat weer β > 1 is de a-macht 1/β − 1 < 0 en krimpt de deeltjeshorizon inde loop van de tijd.

3.5 Inhomogeniteit in de kosmische achtergrond-straling

Een belangrijke reden om inflatie in te voeren was de thermische homogeniteitvan de kosmische achtergrondstraling. Toch blijkt de kosmische achtergrond-straling kleine temperatuur fluctuaties te hebben. Deze zijn te zien in figuur3.4. Ook dit kan verklaard worden met behulp van inflatie.

3.5.1 Ontstaan van inhomogeniteit in de kosmische ach-tergrondstraling

Hoe kunnen de fluctuaties in de kosmische achtergrondstraling zijn ontstaan?Men zou verwachten dat irregulariteiten niet zomaar uit het niets kunnen ont-staan. Ook hier blijkt inflatie weer de oplossing te bieden. De enige theoriedie we kennen waarin iets uit het niets kan ontstaan is de quantummechanica.Door middel van het Heisenbergs onzekerheidsprincipe

∆t∆E ≥ ~2

(3.59)

kan in vacuum een deeltjespaar gecreeerd worden. Voor meer informatie overhet onzekerheidsprincipe zie [4]. Dit deeltjespaar kan maar een korte tijd be-staan en zal normaal gezien snel weer annihileren. Maar tijdens inflatie dijthet heelal zo snel uit dat de deeltjeshorizon exponentieel kleiner wordt. Het isdaarom mogelijk dat het gecreeerde deeltjespaar uit causaal contact raakt enniet meer kan annihileren, omdat ze buiten elkaars horizon zitten. Hierdoorontstaan er losse deeltjes ofwel kleine irregulariteiten. Op een meer mathema-tische beschrijving van dit quantummechanische proces zal ik niet in gaan enkan men vinden in [1]. De losse deeltjes vormen kleine fluctuaties in een vlak-ke achtergrond. Door gravitationele instabiliteit worden deze kleine fluctuatiessteeds groter. Plekken waar net wat meer materie zit, zullen door middel van degravitatiekracht andere materie aantrekken. Hierdoor wordt de dichtheid steedsgroter, waardoor ook de zwaartekracht weer groter wordt. Er ontstaan steedsgrotere fluctuaties in de dichtheid, waaruit zich uiteindelijk sterrenstelsels enclusters van sterrenstelsels vormen.De temperatuurfluctuaties die wij in de kosmische achtergrondstraling zien, ko-men voort uit dezelfde dichtheidsfluctuaties. Vlak voor de recombinatie was ereen enorme wisselwerking tussen de fluctuaties. Aan de ene kant was er de gravi-tatiekracht die de fluctuaties groter maakte, zoals hierboven beschreven. Maaraan de andere kant bestond het heelal vooral uit straling die een tegengestel-de druk uitoefende, waardoor de gravitatiekracht werd tegengegaan. Hierdoorontstond er een vloeistof die een soort oscillerende beweging uitvoerde. Na de

42

Figuur 3.4: De temperatuurfluctuaties in de kosmische achtergrondstraling. Detemperatuurfluctuaties hebben een bereik van ±200 microKelvin. Bron: [12]

recombinatie viel de druk van de straling weg en konden de fluctuaties ineen-storten onder de gravitatiekracht. Wat wij als kosmische achtergrondstralingzien is het laatste moment van de vloeistof, waardoor de oscillerende bewegingkleine irregulariteiten inzitten. Wij zien dit als een temperatuursverschil omdatde fotonen die uit een gebied met grotere dichtheid moeten komen een groteregravitatiekracht te overwinnen hebben. Hierdoor verliezen ze meer energie enkrijgen ze een lagere temperatuur dan fotonen die uit een gebied met lageredichtheid komen [2].

3.5.2 Metingen aan inhomogeniteit van de kosmische ach-tergrondstraling

De kosmische achtergrondstraling kan ons dus wat vertellen over hoe de gra-vitatiekracht en druk met elkaar in wisselwerking waren ten tijde van de re-combinatie. Omdat dit afhankelijk is van een aantal kosmologische parameterswaaronder de kromming van ruimte-tijd, kunnen de fluctuaties ons vertellen inwat voor soort heelal we leven. Het is daarom erg belangrijk om de fluctuatiesgoed te kunnen beschrijven. Een dichtheidsfluctuatie wordt beschreven als

δρ(t, x) ≡ ρ(t, x)− ρ(t). (3.60)

Hierin is ρ(t, x) de dichtheid op positie x en ρ(t) de gemiddelde dichtheid [2].Waar men in de kosmologie vooral naar kijkt, is het gemiddelde verschil in dicht-heid tussen twee verschillende posities met onderlinge afstand ∆x. Omdat wegeen dichtheid maar temperatuur meten, kunnen we in plaats van dichtheids-fluctuaties temperatuurfluctuaties beschrijven

∆T (θ, φ) ≡ T (θ, φ)− T0. (3.61)

Hierin is T (θ, φ) de gemeten temperatuur op de positie (θ, φ) aan de hemel en isT0 de gemiddelde temperatuur. We kunnen op dezelfde manier als Fourier series

43

de temperatuurfluctuatie expanderen in een sferisch harmonische expansie

∆T (θ, φ) =∑l,m

almYlm(θ, φ). (3.62)

Waarin Ylm de zogenoemde sferische harmonischen zijn. Deze sferische har-monischen vormen een orthogonaal stelsel die vibratie in een bolschil kunnenbeschrijven net zoals de Fourier ontwikkeling de vibratie van een snaar beschrijft.De coefficienten alm geven de grootte van de vibraties voor verschillende l en maan en zijn daarom een maat voor de grootte van de onderlinge temperatuur-fluctuaties als functie van de afstand. Omdat we naar het gemiddeld verschilwillen kijken, is er de grootheid angular power spectrum ingevoerd, gedefinieerdals

Cl ≡1

2l + 1

∑m

|alm|2 (3.63)

Het kwadraat van de coefficienten wordt genomen, omdat anders de fluctuatieszouden uitmiddelen en het angular power spectrum standaard 0 zou worden.De index l is een maat voor de afstand waarop we de fluctuaties vergelijken.Des te groter l, des te kleiner is de afstand. Ongeveer geldt dat de hoekafstand180/l is. Voor l = 1 kijk je dus naar een afstand van 180, dit wordt ook wel dedipool genoemd. Het blijkt dat de dipool van de kosmische achtergrondstralinggeheel te wijten is aan de beweging van de aarde ten opzichte van de zon en dezon ten opzichte van ons melkwegstelsel [5]. Deze dipool wordt dan ook vaakniet meegenomen in berekeningen en in plaatjes van de kosmische achtergrond-straling zoals figuur 3.4. Deze is al gecorrigeerd voor de dipool. Behalve meten,kunnen we de angular power spectrum ook berekenen. Het resultaat hangt afvan de kosmologische parameters die je gebruikt. Overeenkomst tussen dezeberekeningen en metingen kunnen dan ook een sterke aanwijzing zijn, dat onskosmologisch model de correcte is. De precieze berekening van Cl is enorm inge-wikkeld en kan enkel met de computer worden uitgerekend. Het resultaat is tezien in figuur 3.5 samen met de gemeten waarden. Het is opvallend dat de geme-ten waarden goed overeenkomen met de theoretische voorspelling. De plaats envorm van de pieken hangen samen met de eigenschappen van ons heelal. Zo isde positie van de eerste piek een maat voor de kromming van het heelal. Samenmet metingen aan standaard kaarsen is dit een sterke aanwezig dat ons heelaler inderdaad zo uit ziet als in paragraaf 2.4 beschreven staat.Ook is in figuur 3.5 te zien dat voor grote l de metingen niet meer overeen komenmet de voorspellingen. Huidig onderzoek richt zich vooral op precieze metingenvan dit gedeelte van het spectrum. Dit gebeurt onder andere met de Planck sa-telliet. Hoe preciezer we dit deel van het spectrum kunnen bepalen, des te beterwe de kosmologische parameters kunnen bepalen en een inflatie model kunnenopstellen. Ook is dit nodig om de potentiaal van scalarveld te kunnen bepalen.Deze kunnen we niet uniek bepalen en wordt daarom vaak maar gepostuleerd.Tegenwoordig zijn er aanwijzingen dat de snaar theorie uitkomst moet biedenin dit probleem. In de snaar theorie zou de potentiaal af te leiden zijn, omdater veel meer condities zijn voor de potentiaal dan in quantum velden theorie [2].Behalve de zoektocht naar de precieze vorm van de potentiaal zijn er nog eenhoop andere onopgeloste problemen in de kosmologie. Zo heeft men geen enkelidee wat het inflaton en de kosmologische constante precies zijn. Een anderonderwerp waar nog veel onderzoek naar gedaan wordt is de periode van rehea-ting, waarbij inflatie overgaat op de standaard Big Bang theorie. Men probeert

44

Figuur 3.5: Het angular power spectrum. De vorm van het spectrum kan onswat vertellen over de eigenschappen van ons heelal. Bron: [12]

uit te zoeken hoe het scalarveld vervalt en de straling periode begon. Omdatmen geen idee heeft wat het inflaton precies is, weet men ook niet hoe dezeprecies kan vervallen in stralingsdeeltjes. Een theorie is dat op het moment dathet inflaton een minimum in de potentiaal bereikt heeft en de kinetische energiegroter wordt dan de potentiaal het inflaton een oscillerende beweging in de po-tentiaal put gaat maken. Pas als het universum ouder wordt dan de vervaltijdvan het inflaton, zou het inflaton stoppen met deze oscillerende beweging envervallen naar een ander deeltje.Dit is nog maar een klein deel van de onopgeloste problemen in de kosmolo-gie. Men hoopt in de toekomst onder andere met behulp van string theorie enverbeterde meetapparatuur antwoord te krijgen op al deze vragen.

45

Hoofdstuk 4

Discussie en Conclusie

We hebben gezien dat ons nagenoeg vlakke universum verschillende tijdperkenheeft gekend. Na de hete Big Bang was er een korte periode van inflatie. In-flatie wordt veroorzaakt door een scalarveld, het inflaton. Doordat het heelalin deze periode versneld uitdijde worden de problemen van het vlakke univer-sum en de kosmische achtergrondstraling opgelost. Na inflatie kwam een korttijdperk waarin straling het heelal domineerde. Het restant hiervan valt nog tezien in de kosmische achtergrondstraling. In deze periode dijde het heelal uitmet a ∝ t1/2. Toen de dichtheid van straling sterk verdund was nam materiede overhand en ging de uitdijing met a ∝ t2/3. Tegenwoordig zitten we in eenuniek tijdperk, het tijdperk van de kosmologische constante. Inmiddels is ookde materie dichtheid zo sterk verdund, dat de uitdijing vooral beınvloed wordtdoor de kosmologische constante en versneld uitdijt.Metingen aan de kosmische achtergrondstraling en standaard kaarsen laten ziendat we op de goede weg zitten met de theorie. Toch zijn er ook nog vele vragenonbeantwoord. We hebben een theorie die inflatie beschrijft, maar we hebbengeen enkel idee wat het inflaton is. Als we meer weten over de eigenschappenvan het inflaton moet het mogelijk worden het proces van reheating beter te be-schrijven. Ook weten we niet wat de vorm van de potentiaal V (φ) is, waardoordeze vaak gepostuleerd wordt. Er zijn aanwijzingen dat het mogelijk is dezepotentiaal af te leiden met behulp van snaar theorie.Een andere richting van onderzoek richt zich op de eigenschappen van de kosmo-logische constante. Ook hiervan hebben we eigenlijk geen idee wat voor vloeistofhet precies is enkel dan dat we er de term donkere energie voor gebruiken. Totslot wordt er steeds betere meetapparatuur ontwikkeld, waardoor we steeds meerinzicht krijgen in de eigenschappen van ons universum. Er is dus nog een hoopte ontdekken in de kosmologie.

46

Hoofdstuk 5

Populair wetenschappelijkesamenvatting

Ons universum is een immens onvoorstelbaar iets. Al eeuwenlang probeert mente ontdekken hoe het precies in elkaar zit. Het begon met de oude Grieken dieeen model van de aarde en de zon maakten. Later ontdekte men dat de aardeom de zon heen moest draaien net als alle andere planeten. Langzamerhandwerd het melkwegstelsel ontdekt en weer later andere sterrenstelsels. Het heelalbleek groter dan men ooit had kunnen denken.In 1929 kwam Hubble tot een bijzondere ontdekking. Het heelal was aan hetuitdijen. Tot dan toe had men gedacht dat het universum een statisch geheelwas. Hierdoor brak een nieuw tijdperk aan voor de kosmologie, de richting bin-nen de sterrenkunde die onderzoek doet naar de uitdijing en het verleden vanhet heelal. Men ging onderzoek doen naar hoe de uitdijing precies in zijn werkging en wat voor gevolg dit had voor de geschiedenis van het universum. Wantals het heelal aan het uitdijen was, moest het vroeger veel kleiner zijn geweesten dus een beginpunt hebben gehad, de Big Bang.Uiteindelijk kwam Alexander Friedmann met een wiskundige beschrijving vande uitdijing van het heelal. Hij leidde zijn zogenaamde Friedmann vergelijkingenaf van de speciale relativiteitstheorie van Einstein. De Friedmann vergelijkingenbeschrijven hoe het heelal uitdijt afhankelijk van de vloeistof waarmee het heelalgevuld is.Er zijn een aantal belangrijke vloeistoffen in ons heelal: materie, straling en dekosmologische constante. Materie zijn vooral neutronen en protonen, deze zijnook de basis voor alle materie die we in het dagelijks leven tegenkomen. Stralingzijn alle deeltjes die met de snelheid van het licht bewegen, zoals fotonen. Dekosmologische constante is een vloeistof waarvan we eigenlijk niet weten wathet is. Het wordt ook wel eens donkere energie genoemd. De kosmologischeconstante is ingevoerd door Einstein. Deze vloeistof kan er namelijk voor zor-gen dat het heelal versneld gaat uitdijen, terwijl materie en straling dat nietkunnen.Met behulp van metingen aan sterrenstelsels die heel ver weg liggen en de kos-mische achtergrondstraling, een overblijfsel uit het hele vroege heelal, is men totde ontdekking gekomen dat het universum verschillende periodes gekend heeft.In dit project heb ik met behulp van de Friedmann vergelijkingen berekend wel-

47

Figuur 5.1: De geschiedenis van het heelal. Bron: NASA en WMAP ScienceTeam.

ke periodes dit kunnen zijn geweest. Door een vergelijking met verschillendemeetresultaten te maken, heb ik een model voor de geschiedenis van het heelalgemaakt.Helemaal in het begin was er een hele korte periode van inflatie. Hierin groeidehet heelal enorm snel. Daarna ging de straling overheersen. Hierdoor was hetheelal een ondoorzichtige brij van heel snel bewegende deeltjes. Toen de deel-tjes langzamer gingen bewegen kon materie worden gevormd en was de materieperiode aangebroken. Zowel in de straling als in de materie periode ging hetheelal steeds langzamer uitdijen.Maar toen het heelal op ongeveer twee derde van zijn huidige leeftijd was braker een nieuw tijdperk aan, de kosmologische constante periode. Ook al wetenwe niet precies wat de kosmologische constante is, deze vloeistof heeft er voorgezorgd dat ons heelal weer steeds sneller gaat uitdijen. Op dit moment, zoeen 13 miljard jaar na de Big Bang, leven we nog steeds in de kosmologischeconstante periode.Sinds Hubble de ontdekking deed dat het heelal uitdijde zijn we dus al veel teweten gekomen over ons heelal. Maar er zijn ook nog veel onopgeloste proble-men. Zo wordt er veel onderzoek gedaan naar wat de kosmologische constanteprecies is. Ook is het nog niet duidelijk hoe inflatie precies ontstaat. Er is dusnog een hele hoop te ontdekken over ons heelal.

48

Bibliografie

[1] Daniel Baumann. On the quantum origin of structure in the inflationaryuniverse. arXiv:0710.3187v1, 2007.

[2] Daniel Baumann en Hiranya V. Peiris. Cosmological inflation: Theory andobservations. arXiv:0810.3022v1, 2008.

[3] C. de Jager. De versnelde uitdijing van het heelal. Zenit, (12):502–505, 1999.

[4] David J. Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics. Pearson educationinternational, second edition, 2005.

[5] Andrew Liddle. An Introduction to Modern Cosmology. Wiley, 2007.

[6] Andrew Liddle en David Lyth. Cosmological Inflation and Large-ScaleStructure. Cambridge University Press, 2000.

[7] Marika Taylor. The acceleration of the Universe. Unpublished notes.

[8] Marika Taylor. Inflation. Unpublished notes.

Illustraties

[9] http://www.urania.be/sterrenkunde/images/kromming.jpg, 7 juli 2009.

[10] Manuel Oppenoorth en Julia Attevelt. Cosmological Inflation. 2009.

[11] http://www.cesr.fr/ pvb/MAX/science/SN fg2.gif, 8 juli 2009.

[12] NASA en WMAP Science Team. http://map.gsfc.nasa.gov, 8 juli 2009.

49