VLAKKE MEETKUNDE 2studiejaar 1, periode 2, week 1

Modulewijzer en overige belangrijke informatie

84 sbu = 3 ECTS. Dat betekent ongeveer 5 uur huiswerk per week.

Reader: Nummer 103 (€ 27,50).

Zie "extra" materiaal op de website voor aanstaande donderdag!

Werkwijze: Iedere week behandelen we hier wat opdrachten en de nieuwe theorie. Daarna kun je zelf of in groepjes aan de slag met het huiswerk.

We behandelen 2 of 3 paragrafen per les en in totaal 3 hoofdstukken. Kijk in de modulewijzer voor de opdrachten.

Modulewijzer en overige belangrijke informatie

Het is noodzakelijk dat je een geodriehoek en eenvoudige passer hebt voor deze module en iedere les meeneemt.

De module sluiten we af met een schriftelijk tentamen van twee lesuren waarbij de grafische rekenmachine, een passer en geodriehoek zijn toegestaan.

De herkansing is één periode later dan de eerste gelegenheid.

Voor al je vragen, mail naar: b.habraken@fontys.nl

Deze presentaties staan op mijn slideshare: www.slideshare.net/barthabraken

”VOORKENNIS”cirkels

Vlakke figuren

Definitie van een cirkel Definitie van de cirkel:

Alle punten die op gelijke afstand liggen van een punt liggen op een cirkel.

Dit betekent dat als we praten over een punt OP de cirkel, dat dit punt niet IN de cirkel ligt.

op de cirkel

in de cirkel

buiten de cirkel

Definities in een cirkel Een cirkel heeft een middelste punt, dit punt noemen we het middelpunt.

Ieder willekeurig lijnstuk vanuit het middelpunt naar de cirkel, noemen we de straal.

Ieder lijnstuk met zijn begin- en eindpunt op de cirkel noemen we een koorde.

Elke koorde die door het middelpunt gaan noemen we een diameter of middellijn. koorde

HOEKEN IN EEN CIRKEL3-1 Bogen, koorden en hoeken & 3-2 De constante hoek

Een recht verbindingsstuk tussen twee punten op een cirkel noemen we een koorde van de cirkel. Een verbindingsstuk tussen tweepunten op een cirkel over de cirkelnoemen we een cirkelboog.

koorden en cirkelbogen

Koorde AC

Cirkelboog AC

MiddelpuntshoekEen volle hoek is 360∘.

Een hele middelpuntshoek is een volle hoek en dus 360∘.

Ook ∠AMB = 90∘ is een middelpuntshoek.

Bij de hoek hoort één boog. Daarom kunnen webogen ook uitdrukken in graden.

∠AMB = bg AB (links) = 90∘.

We zeggen ook wel dat ∠AMB op boog AB staat of op koorde AB.

360∘M M

A

B

Voorbeeld 1In de cirkel (M, MA) is een onregelmatige vijfhoek ABCDE getekend, zodanig dat ∠AMB = 70∘. Daarnaast geldt ∠A1 = ∠E1 = ∠D1. AC is een middellijn van de cirkel.

Bereken alle hoeken (A t/m E) in deze vijfhoek en leg uit hoe je er aan komt!

|AM| = |BM| (straal cirkel) dus ∠A2 = ∠B1.

∠A2 + ∠B1 = 180∘ - ∠M1 = 180 - 70 = 110∘.

Dus ∠A2 = ∠B1 = 55∘.55

55

Voorbeeld 1|BM| = |CM| (straal cirkel) dus ∠B2 = ∠C1.

∠B2 + ∠C1 = ∠M1. (stelling van de buitenhoek)

∠B2 = ∠C1 = 35∘.

55

5535

35

Voorbeeld 1|AM| = |EM| (straal cirkel) dus ∠A1 = ∠E2. [1]

|EM| = |DM|(straal cirkel) dus ∠E1 = ∠D2. [2]

|DM| = |CM| (straal cirkel) dus ∠D1 = ∠C2. [3]

∠A1 = ∠E1 = ∠D1 (gegeven). [4]

Uit [1], [2], [3] en [4] volgt dat: ∠A1 = ∠E2 = ∠E1 = ∠D2 = ∠D1 = ∠C2. 55

5535

35

*

* ** *

*

Voorbeeld 1De hoekensom van een vijfhoek is 540∘.

De zes onbekende delen van de hoeken zijn samen 540∘ - 180∘ = 360∘.

En dus: ∠A1 = ∠E2 = ∠E1 = ∠D2 = ∠D1 = ∠C2 = 60∘.

Dus:∠A = 115∘.

∠B = 90∘.

∠C = 95∘.

∠D = ∠E = 120∘.

55

5535

35

60

60 6060

60

60

OmtrekshoekEen hoek waarvan het hoekpunt niet het middelpunt van de cirkel is, maar ook op de cirkel ligt noemen we een omtrekshoek.

Welke vermoeden krijg je:

P

A

B

OmtrekshoekStelling van de omtrekshoek:Een omtrekshoek is half zo groot als de bijbehorende middelpuntshoek.

Gegeven: middelpuntshoek AMB enomtrekshoek APB.

Te bewijzen: ∠AMB = 2∠APB

Bewijs:

P

A

B

M 21

2

1

34

D

Voorbeeld 2Bewijs dat in de gegeven situatie geldt: ∠AMB = 2∠APB. Bewijs: |AM| = |PM| (straal cirkel) en dus ∠P1 = ∠A2 [1] ∠M4 = ∠P1 + ∠A2 (stelling van de buitenhoek) [2] Uit [1] en [2] volgt: ∠M4 = 2∠P1 [3] Analoog valt te bewijzen dat: ∠M3 = 2∠P2 [4] Uit [3] en [4] volgt: ∠AMB = 2∠APB ☐

P

A

B

M 21

2

1

34

D

Gegeven is ∆ABC met de omgeschreven cirkel. Het middelpunt M van deze cirkel ligt op zijde AB van de driehoek. Bewijs dat ∆ABC rechthoekig is. Gegeven: ∆ABC met de omgeschreven cirkel waarvan het middelpunt M op zijde AB ligt.

Te bewijzen: ∠C = 90∘ Bewijs:

Een speciale omgeschreven cirkel...

Bewijs: |AM| = |CM| (straal cirkel) en dus ∠CAM = ∠ACM [1] |BM| = |CM| (straal cirkel) en dus ∠CBM = ∠BCM [2] ∠BAC + ∠ACB + CBA = 180∘ (hoekensom ∆) en dus: ∠BAC + ∠ACM + ∠BCM + ∠CBA = 180∘ [3] Uit [1], [2] en [3] volgt: ∠BAC + ∠BAC + ∠CBA + ∠CBA = 180∘ Dus: ∠BAC + ∠CBA = 90∘ [4] Uit [3] en [4] volgt dat ∠ACB = 90∘ en dusis ∆ABC rechthoekig. ☐

Een speciale omgeschreven cirkel (alternatief op opdracht 9)

Als in driehoek ABC ∠C rechthoekig is, dan ligt C op een cirkel met middellijn AB.

De stelling van Thales

Voorbeeld 3Gegeven is een cirkel met daarin de koorden AB en CD met gelijke lengte. Bewijs dat geldt: ∠AMB = ∠CMD. (Gegeven, te bewijzen) Bewijs: |AM| = |CM| (straal cirkel) |BM| = |DM| (straal cirkel) |AB| = |CD| (gegeven)

⇒ ∆ABM ≅ ∆CDM (ZZZ) dus ∠AMB = ∠CMD ☐

}⇒

BOOG EN KOORDEJe hebt dus zojuist zelf bewezen dat bij twee gelijke koorden gelijke middelpuntshoeken horen. In het begin van deze les hebben we gezien dat we de bogen (bij een koorde) uitdrukten in graden (de boog was gelijk aan de bijbehorende middelpuntshoek). We kunnen daarom ook zeggen dat bij twee gelijke koorden gelijke bogen horen. Dus in de figuur bij voorbeeld 3 (zie je werkblad) geldt ook bg AB (links) = bg CD (rechts).

De constante hoekWat is de omgekeerde stelling van Thales? Als punt C op een cirkel ligt met middellijn AB, dan is driehoek ABC rechthoekig. Maakt het uit waar op de cirkel punt C ligt? NEE! Maar wat als de hoek nu niet 90∘, maar 50∘? De stelling van de constante hoek:Verschillende hoeken op dezelfde boog hebben dezelfde grootte.

hoek tussen koorde en raaklijnOok de hoek tussen een koorde en een raaklijn is gelijk aan de bij die koorde horende omtrekshoek. Ofwel alle punten M die aan dezelfde kant van PQ liggen, zodat de hoek constant blijft,liggen op een cirkelboog die door P, M en Qgaat. De meetkundige plaats van de constantehoek is dus een cirkelboog. (Let op:dit moet twee kanten op bewezen worden.)

Huiswerk

Maken:

§3-1 opdrachten 1 t/m 8,

§3-2 opdrachten 9 t/m 16.