Meetkunde - wiswijs...Meetkunde Vlakke MeetkundeRuimtemeetkunde VectorenVergelijking van een rechte...

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde

Meetkunde

1 december 2012

Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde

1 Vlakke MeetkundeVectorenVergelijking van een rechte

2 RuimtemeetkundeVectorenVergelijking van een vlakVergelijkingen van een rechte

Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte

coordinaat van een vector - scalair product van 2 vectoren- evenwijdige vectoren - orthogonale vectoren

A(a1, a2), B(b1, b2) en ~OA = ~a, ~OB = ~b

~OP = ~AB = ~OB − ~OA.coordinaat van vector ~AB en coordinaat van punt P:

(xo , yo) = (b1 − a1, b2 − a2)

scalair product of inproduct: ~a · ~b = a1b1 + a2b2

~a ‖ ~b ⇐⇒ ~a,~b zijn lineair afhankelijk

⇐⇒ rang

[a1 a2b1 b2

]< 2⇐⇒

∣∣∣∣ a1 a2b1 b2

∣∣∣∣ = 0

~a⊥~b ⇐⇒ ~a ·~b = 0⇐⇒ a1b1 + a2b2 = 0⇐⇒∣∣∣∣ a1 a2−b2 b1

∣∣∣∣ = 0

Meetkunde


Afstanden en hoeken

A(a1, a2), B(b1, b2) en ~OA = ~a, ~OB = ~b,P(x1, y1) en de rechte k : ax + by + c = 0

Lengte (norm) van de vector ~OP:∥∥∥ ~OP∥∥∥ =

√x21 + y21

Lengte van lijnstuk [AB]:

|AB| =∥∥∥ ~AB∥∥∥ =

√(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2

Afstand van P tot de k:

|ax1 + by1 + c |√a2 + b2

Hoek γ tussen de vectoren ~a en ~b:

cos γ =~a · ~b

‖~a‖∥∥∥~b∥∥∥ =

a1b1 + a2b2√a21 + a22

√b21 + b22

cos γ > 0⇒ 0o < γ < 90o (γ is scherp)cos γ < 0⇒ 90o < γ < 180o (γ is stomp)

cos γ = 0⇒ γ = 90o (γ is recht)Meetkunde


midden van een lijnstuk - zwaartepunt van een driehoek

A(a1, a2), B(b1, b2), C (c1, c2)

M is het midden van lijnstuk [AB]⇐⇒

2 ~OM = ~OA + ~OB ⇐⇒ ~OM =1

2( ~OA + ~OB)[

xy

]=

1

2·([

a1a2

]+

[b1b2

])=

1

2·[a1 + b1a2 + b2

]Z is het zwaartepunt van driehoek ABC ⇐⇒

3 ~OZ = ~OA + ~OB + ~OC ⇐⇒ ~OZ =1

3( ~OA + ~OB + ~OC )[

xy

]=

1

3·([

a1a2

]+

[b1b2

]+

[c1c2

])=

1

3·[a1 + b1 + c1a2 + b2 + c2

]

Meetkunde


vergelijking van een cirkel

De cirkel c(M; r) is bepaald door zijn middelpunt M(xo , yo) en zijnstraal R

(x − xo)2 + (y − yo)2 = R2.

.

de omgeschreven cirkel van een driehoek. Het middelpunt ishet snijpunt van de middelloodlijnen van twee zijden van dedriehoek.De middelloodlijn van een lijnstuk [AB] is de verzamelingvan de punten die op gelijke afstand liggen van A en van B

de ingeschreven cirkel van een driehoek. Het middelpunt ishet snijpunt van de binnenbissectrices van twee hoeken van dedriehoek.De unie van de bissectrices van een hoek bepaald door tweerechten a en b is de verzameling van de punten die op gelijkeafstand liggen van a en b. (neem dan de binnenbissectrice)

Meetkunde


collineaire punten - oppervlakte parallellogram en driehoek

A(a1, a2), B(b1, b2), C (c1, c2), D(d1, d2)A,B,C zijn collineair ⇐⇒ ~AB, ~AC zijn lineair afhankelijk

⇐⇒∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2

∣∣∣∣ = 0⇐⇒

∣∣∣∣∣∣a1 a2 1b1 b2 1c1 c2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

ABCD is een parallellogram ⇐⇒{

~AB = ~DCA,B,C niet collineair

Oppervlakte van het parallellogram ABCD is

|∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2

∣∣∣∣ | = |

∣∣∣∣∣∣a1 a2 1b1 b2 1c1 c2 1

∣∣∣∣∣∣ |Oppervlakte van de driehoek ABC is 1

2 van de inhoud vanparallellogram ABCD.

Meetkunde


rechte door de oorsprong-richtingsgetallen-normaalvector

De rechte met vergelijking ax + by = 0 is de verzameling van allevectoren die orthogonaal zijn met (a, b) en evenwijdig met (−b, a).

(a, b)⊥(x , y)⇔ ax + by = 0⇔∣∣∣∣ x y−b a

∣∣∣∣ = 0⇔ (x , y) ‖ (−b, a)

Voor de rechte ax + by = 0 en voor elke rechte evenwijdig metdeze rechte is

~p(−b, a) een richtingsvector

(−b, a) een stel richtingsgetallena−b de richtingscoefficient

~n(a, b) een normaalvector

Meetkunde


algemene vergelijking van een rechte enparametervoorstelling van een rechte

Algemene vergelijking van een rechte is van de gedaanteax + by + c = 0 met (a, b) 6= (0, 0).We kunnen dit opvatten als een stelsel met 1 vergelijking, 2onbekenden en met rang gelijk aan 1.De oplossingen zijn van de gedaante[

xy

]= r

[b−a

]+

[a1a2

]⇐⇒

[x − a1y − a2

]= r

[b−a

]Dit is een parametervoorstelling van de rechte met parameter rwaarbij (b,−a) een richtingsvector is van de rechte en (a1, a2) eenpunt van de rechte.Als (x , y) een oplossing is dan zijn de vectoren (x − a1, y − a2) en(b,−a) lineair afhankelijk (zie volgende dia).

Meetkunde


rechte door een punt met een bepaalde richting

Rechte k door het punt A(a1, a2) en

1 met richtingcoefficient ω: y − a2 = ω(x − a1)

2 met normaalvector (a, b): a(x − a1) + b(y − a2) = 03 met stel richtingsgetallen of richtingsvector ~p(ρ1, ρ2):

dan is (ρ2,−ρ1) normaalvector: ρ2(x − a1)− ρ1(y − a2) = 0

P(x , y) ∈ k ⇐⇒ ~AP en ~p zijn lineair afhankelijk

⇐⇒∣∣∣∣ x − a1 y − a2

ρ1 ρ2

∣∣∣∣ = 0⇐⇒

∣∣∣∣∣∣x y 1a1 a2 1ρ1 ρ2 0

∣∣∣∣∣∣ = 0

4 evenwijdig met de rechte ax + by + c = 0:a(x − a1) + b(y − a2) = 0

5 loodrecht op de rechte ax + by + c = 0:b(x − a1)− a(y − a2) = 0

6 evenwijdig met de x-as: y = a27 evenwijdig met de y-as: x = a1

Meetkunde


rechte door twee punten

Rechte door 2 6= punten A(a1, a2) en B(b1, b2) is de rechtedoor punt A(a1, a2) en met richtingsvector~AB(b1 − a1, b2 − a2)

~n(b2 − a2,−(b1 − a1)) is normaalvector:(b2 − a2)(x − a1)− (b1 − a1)(y − a2) = 0

P(x , y) ∈ AB ⇐⇒ ~AP en ~AB zijn lineair afhankelijk

⇐⇒∣∣∣∣ x − a1 y − a2b1 − a1 b2 − a2

∣∣∣∣ = 0⇐⇒

∣∣∣∣∣∣x y 1a1 a2 1b1 b2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

Rechte bepaald door zijn doorgangen met x-as en y-asA(p, 0) en B(0, q):

x

p+

y

q= 1

Meetkunde


rechte AB als evenwijdige met OP of als rechte door Amet normaalvector ~ON - loodlijn op AB door A

Figuur :Meetkunde


onderlinge ligging van twee rechten - bespreken vanoplosbaarheid van een (2× 2)-stelsel

Stelsel met de vergelijkingen van twee rechten k en m:{k : ax + by + c = 0m : a′x + b′y + c ′ = 0

1 k ∩m = S : een oplossing als

rang

[a ba′ b′

]= 2⇔

∣∣∣∣ a ba′ b′

∣∣∣∣ 6= 0

2 k ‖ m als rang

[a ba′ b′

]= 1⇔

∣∣∣∣ a ba′ b′

∣∣∣∣ = 0

1 k ∩m = φ: geen oplossingen als rang

[a b ca′ b′ c ′

]= 2

2 k = m: ∞1 oplossingen als rang


]= 1

Meetkunde


concurrente rechten - coexistentievoorwaarde van een(3× 2)-stelsel

Stelsel van de vergelijkingen van drie rechten k, m en n:k : ax + by + c = 0m : a′x + b′y + c ′ = 0n : a′′x + b′′y + c ′′ = 0

k, m en n zijn concurrent ⇐⇒

het stelsel oplosbaar

rang

a ba′ b′

a′′ b′′

= 2

⇐⇒

∣∣∣∣∣∣a b ca′ b′ c ′

a′′ b′′ c ′′

∣∣∣∣∣∣ = 0

rang

a ba′ b′

a′′ b′′

= 2

Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte

coordinaat van een vector - scalair product en vectorieelproduct van 2 vectoren - evenwijdige vectoren -orthogonale vectoren

A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) en ~OA = ~a, ~OB = ~b

~OP = ~AB = ~OB − ~OA.coordinaat van vector ~AB en coordinaat van punt P:(xo , yo , zo) = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)

scalair product of inproduct: ~a · ~b = a1b1 + a2b2 + a3b3

vectorieel product ~n⊥~a en ~n⊥~b

~a× ~b = ~n =

(∣∣∣∣ a2 a3b2 b3

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a3 a1b3 b1

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2

∣∣∣∣)~a ‖ ~b ⇐⇒ ~a,~b zijn lineair afhankelijk

⇐⇒ rang

[a1 a2 a3b1 b2 b3

]< 2⇐⇒ ~a× ~b = ~o

~a⊥~b ⇐⇒ ~a · ~b = 0⇐⇒ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Meetkunde


afstanden en hoeken

A(a1, a2, a3) met ~OA = ~a en B(b1, b2, b3) met ~OB = ~b,P(x1, y1, z1) en het vlak α : ax + by + cz + d = 0

Lengte (norm) van de vector ~OP:∥∥∥ ~OP∥∥∥ =

√x21 + y21 + z21

Lengte van lijnstuk [AB]:

|AB| =∥∥∥ ~AB∥∥∥ =

√(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + (a3 − b3)2

Afstand van P tot het vlak α:

|ax1 + by1 + cz1 + d |√a2 + b2 + c2

Hoek γ tussen de vectoren ~a en ~b:

cos γ =~a · ~b

‖~a‖∥∥∥~b∥∥∥ =

a1b1 + a2b2 + a3b3√a21 + a22 + a23

√b21 + b22 + b23

cos γ > 0⇒ 0o < γ < 90o (γ is scherp)cos γ < 0⇒ 90o < γ < 180o (γ is stomp)

cos γ = 0⇒ γ = 90o (γ is recht)Meetkunde


midden van een lijnstuk - zwaartepunt van een driehoek -zwaartepunt van een viervlak

A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3), D(d1, d2, d3)

M is het midden van [AB]⇔ 2 ~OM = ~OA+ ~OB ⇔ ~OM = 12( ~OA+ ~OB) x

yz

=1

2·

a1a2a3

+

b1b2b3

=1

2·

a1 + b1a2 + b2a3 + b3

Z is het zwaartepunt van driehoek ABC ⇐⇒

3 ~OZ = ~OA+ ~OB + ~OC ⇐⇒ ~OZ =1

3( ~OA+ ~OB + ~OC) x

yz

=1

3·

a1a2a3

+

b1b2b3

+

c1c2c3

=1

3·

a1 + b1 + c1a2 + b2 + c2a3 + b3 + c3

Z is het zwaartepunt van viervlak ABCD ⇐⇒

4 ~OZ = ~OA+ ~OB + ~OC + ~OD ⇐⇒ ~OZ =1

4( ~OA+ ~OB + ~OC + ~OD) x

yz

=1

4·

a1 + b1 + c1 + d1a2 + b2 + c2 + d2a3 + b3 + c3 + d3

Meetkunde


vergelijking van een boloppervlak of sfeer

Vergelijking van een sfeer S(M; r) met middelpunt M(xo , yo , zo)en straal R is√

(x − xo)2 + (y − yo)2 + (z − zo)2 = R

Het middelpunt van de omgeschreven sfeer van een viervlak ishet snijpunt van de middenloodvlakken van drie ribben vanhet viervlak die niet in eenzelfde zijvlak liggen.Het middenloodvlak van een lijnstuk [AB] is de verzamelingvan de punten die op gelijke afstand liggen van A en B.

Het middelpunt van een sfeer die raakt aan twee snijdendevlakken ligt in een bissectorvlak van de snijdende vlakken.De unie van de bissectorvlakken van twee snijdende vlakkenis de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggenvan de twee snijdende vlakken.

Meetkunde


collineaire punten - parallellogram en zijn oppervlakte

A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C (c1, c2, c3), D(d1, d2, d3)

A,B,C zijn collineair ⇐⇒ ~AB, ~AC zijn lineair afhankelijk

⇐⇒ rang

[b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3

]< 2

ABCD is een parallellogram ⇐⇒{

~AB = ~DCA,B,C niet collineair

Oppervlakte van een parallellogram ABCD is∥∥∥ ~AB × ~AC

∥∥∥ =√∣∣∣∣ b2 − a2 b3 − a3c2 − a2 c3 − a3

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣ b3 − a3 b1 − a1c3 − a3 c1 − a1

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2

∣∣∣∣2= |AB||AC | sin γOppervlakte van een driehoek ABC is 1

2 van de oppervlakte vanhet parallellogram ABCD.

Meetkunde


coplanaire punten - parallelleppipedum, viervlak en huninhoud

A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3), D(d1, d2, d3)

A,B,C zijn coplanair⇐⇒ ~AB, ~AC , ~AD zijn lin afh⇐⇒

rang

b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3d1 − a1 d2 − a2 d3 − a3

< 3⇐⇒

∣∣∣∣∣∣b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3d1 − a1 d2 − a2 d3 − a3

∣∣∣∣∣∣ = 0⇐⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3 1b1 b2 b3 1c1 c2 c3 1d1 d2 d3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Inhoud van een parallellepipedum geconstrueerd met de drie lin. onafh.vectoren ~AB, ~AC en ~AD is |( ~AB × ~AC) · ~AD| =

|

∣∣∣∣∣∣b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3d1 − a1 d2 − a2 d3 − a3

∣∣∣∣∣∣ | = |∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3 1b1 b2 b3 1c1 c2 c3 1d1 d2 d3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ |Inhoud van een viervlak ABCD is 1

6van de inhoud van het parallellepipedum

geconstrueerd met de drie lin. onafh. vectoren ~AB, ~AC en ~AD.Meetkunde


vlak door de oorsprong - normaalvector - richtingsvectoren

Het vlak met vergelijking ax + by + cz = 0 is de verzameling vanalle vectoren die orthogonaal zijn met (a, b, c).

(a, b, c)⊥(x , y , z)⇐⇒ ax + by + cy = 0

Voor het vlak ax + by + cz = 0 en elke vlak evenwijdig met ditvlak is

~n(a, b, c) een normaalvector.

elke oplossing (x , y , z) van ax + by + cz = 0 de coordinaatvan een richtingsvector.

Meetkunde


algemene vergelijking van een vlak enparametervoorstelling van een vlak

Algemene vergelijking van een vlak is van de gedaanteax + by + cz + d = 0 met (a, b, c) 6= (0, 0, 0).We kunnen dit opvatten als een stelsel met 1 vergelijking, 3onbekenden en met rang gelijk aan 1.De oplossingen zijn van de gedaante x

yz

= r

b−a0

+s

c0−a

+ a1

a2a3

⇔ x − a1

y − a2z − a3

= r

b−a0

+s

c0−a

Dit is een parametervoorstelling van het vlak met parameters r

en s waarbij (b,−a, 0) en (c, 0,−a) twee lineair onafhankelijkerichtingsvectoren zijn van het vlak en (a1, a2, a3) een punt van hetvlak.Als (x , y , z) een oplossing is dan zijn de vectoren(x − a1, y − a2, z − a3), (b,−a, 0) en (c , 0,−a) lineair afhankelijk(zie volgende dia).

Meetkunde


vlak bepaald door een punt en een richting

Vlak α door het punt A(a1, a2, a3) en

1 mt normaalvector (a, b, c) of evenwijdig mt vl ax + by + cz + d = 0:a(x − a1) + b(y − a2) + c(z − a3) = 0

2 met 2 lin. onafh. richtingsvectoren ~p(p1, p2, p3) en ~q(q1, q2, q3) :

vlak gaat dr A en heeft normaalvector (~n⊥~p en ~n⊥~q)

~n = ~p × ~q =

(∣∣∣∣ p2 p3q2 q3

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ p3 p1q3 q1

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ p1 p2q1 q2

∣∣∣∣):∣∣∣∣ p2 p3q2 q3

∣∣∣∣ (x−a1)+

∣∣∣∣ a3 a1q3 q1

∣∣∣∣ (y−a2)+

∣∣∣∣ a1 a2q1 q2

∣∣∣∣ (z−a3) = 0

P(x , y , z) ∈ α⇐⇒ ~AP, ~p en ~q zijn lineair afhankelijk⇐⇒∣∣∣∣∣∣x − a1 y − a2 z − a3p1 p2 p3q1 q2 q3

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1a1 a2 a3 1p1 p2 p3 0q1 q2 q3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

3 evenwijdig met het (x , y)-vlak: z = a34 evenwijdig met de (y , z)-vlak: x = a15 evenwijdig met het (z , x)-vlak: y = a2

Meetkunde


vlak bepaald door twee punten en met een richtingsvector

Vlak dr A(a1, a2, a3) en B(b1, b2, b3) en rv ~p(p1, p2, p3).

vlak gaat dr A en heeft normaalvector ~n = ~AB × ~pP(x , y , z) ∈ α⇐⇒ ~AP, ~AB en ~p zijn lineair afhankelijk⇐⇒∣∣∣∣∣∣x − a1 y − a2 z − a3b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3

p1 p2 p3

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1p1 p2 p3 1b1 b2 b3 1p1 p2 p3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Vlak door A en B en evenwijdig met de x-as ((1, 0, 0) is rv):een normaalvector is(∣∣∣∣ b2 − a2 b3 − a3

0 0

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ b3 − a3 b1 − a10 1

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a21 0

∣∣∣∣) =

(0, b3 − a3,−(b2 − a2)).De x-term ontbreekt in de vergelijking

analoog voor een vlak evenwijdig met de y -as en een vlakevenwijdig met de z-as.

Meetkunde


vlak bepaald door drie niet collineaire punten

Vlak door 3 nt coll ptn A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3),C (c1, c2, c3) is vl dr pt A(a1, a2, a3) en met 2 lin onafh rv~AB(b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3) en ~AC (c1 − a1, c2 − a2, c3 − a3)

vlak gaat door A en heeft normaalvector ~n = ~AB × ~ACP(x , y , z) ∈ vlak(ABC )⇐⇒~AP, ~AB en ~AC zijn lineair afhankelijk ⇐⇒∣∣∣∣∣∣x − a1 y − a2 z − a3b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1a1 a2 a3 1b1 b2 b3 1c1 c2 c3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Vlak bepaald door zijn doorgangen met decoordinaatassen A(p, 0, 0), B(0, q, 0) en C (0, 0, r):

x

p+

y

q+

z

r= 1

Meetkunde


onderlinge ligging van twee vlakken

Stelsel met de vergelijkingen van twee vlakken α en β:{α : ax + by + cz + d = 0 ~n = (a, b, c)

β : a′x + b′y + c ′z + d ′ = 0 ~n′ = (a′, b′, c ′)

1 α ∩ β = s: ∞1 opl. als rang


]= 2 (~n, ~n′ lin.

onafh. )richtingsvector van s is:

~n × ~n′ =

(∣∣∣∣ b cb′ c ′

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ c ac ′ a′

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a ba′ b′

∣∣∣∣)(dit is een oplossing van het corresponderend homogeen stelsel)

2 α ‖ β als rang


]= 1 (~n, ~n′ lin. afh. )

1 α ∩ β = φ als rang

[a b c da′ b′ c ′ d ′

]= 2

2 α = β: ∞2 oplossingen als rang

[a b c da′ b′ c ′ d ′

]= 1

Meetkunde


vergelijkingen van een rechte in verschillende gedaanten

De vergelijkingen van de rechte in de vorm van een stelsel:De rechte k als doorsnede van 2 vlakken met normaalvectorenresp. ~n(a, b, c) en ~n′(a′, b′, c ′) met ~n × ~n′ = (ρ1, ρ2, ρ3) 6= (0, 0, 0):{

ax + by + cz + d = 0a′x + b′y + c ′z + d ′ = 0

en rang


]= 2

Parametervoorstelling van de rechte (oplossingen van het stelsel): xyz

= r

ρ1ρ2ρ3

+

a1a2a3

⇐⇒ x − a1

y − a2z − a3

= r

ρ1ρ2ρ3

Vergelijkingen van de rechte in de vorm van een evenredigheid

x − a1ρ1

=y − a2ρ2

=z − a3ρ3

= r als ρ1 6= 0, ρ2 6= 0, ρ3 6= 0

Met A(a1, a2, a3) ∈ k en ~p(ρ1, ρ2, ρ3) een richtingsvector van k

Meetkunde


rechte door een punt en met een bepaalde richting

Rechte k door het punt A(a1, a2, a3) en1 ‖ met ~p(ρ1, ρ2, ρ3) of ⊥ op α : ρ1x + ρ2y + ρ3z + d = 0:

P(x , y , z) ∈ k ⇐⇒ ~AP en ~p zijn lineair afhankelijk⇐⇒

rang

[x − a1 y − a2 z − a3ρ1 ρ2 ρ3

]< 2

ρ1 6=0,ρ2 6=0,ρ3 6=0⇐⇒

x − a1ρ1

=y − a2ρ2

=z − a3ρ3

2 evenwijdig met k :

{ax + by + cz + d = 0a′x + b′y + c ′z + d ′ = 0

:{a(x − a1) + b(y − a2) + c(z − a3) = 0a′(x − a1) + b′(y − a2) + c ′(z − a3) = 0

3 evenwijdig met het (x , y)-vlak:

{z = a3x−a1ρ1

= y−a2ρ2

4 evenwijdig met de z-as:

{x = a1y = a2

5 analoog voor de andere coordinaatvlakken en coordinaatassen.Meetkunde


Onderlinge ligging van twee rechten -coexistentievoorwaarde van een (4× 3)-stelsel

Meetkundige behandeling voor de onderlinge ligging (met richtingsvectoren en

punten) staat tussen haakjes.

k en m zijn geven door een stelsel vergelijkingen.

k :

{a1x + b1y + c1z + d1 = 0 (~p is rv van k)a′1x + b′1y + c ′1z + d ′1 = 0 (A is pt van k)

m :

{a2x + b2y + c2z + d2 = 0 (~q is rv van m)a′2x + b′2y + c ′2z + d ′2 = 0 (B is pt van m)

Het stelsel met de vier vergelijkingen heeft1 rang gelijk aan drie (~p, ~q lin. onafh.) en is

1 onoplosbaar dan zijn k en m kruisend (~p, ~q, ~AB lin. onafh.)

2 oplosbaar dan zijn k en m snijdend (~p, ~q, ~AB lin. afh.)2 rang gelijk aan twee (~p, ~q lin. afh.) en is

1 onoplosbaar dan zijn k en m strikt evenwijdig (~p, ~AB lin.onafh.)

2 oplosbaar dan zijn k en m samenvallend (~p, ~AB lin. afh.).

Meetkunde


Onderlinge ligging van een rechte en een vlak -oplosbaarheid van een (3× 3)-stelsel

Meetkundige behandeling voor de onderlinge ligging (met richtingsvectoren en

punten) staat tussen haakjes.

Vlak α : ax + by + cz + d = 0 (~n(a, b, c) nv van α) en rechte

k :

{a1x + b1y + c1z + d1 = 0 (~p is rv van k)a′1x + b′1y + c ′1z + d ′1 = 0 (A is pt van k)

Het stelsel met 3 vergelijkingenax + by + cz + d = 0a1x + b1y + c1z + d1 = 0a′1x + b′1y + c ′1z + d ′1 = 0

heeft:

1 rang gelijk aan drie (~p 6⊥ ~n) en is altijd oplosbaar met 1oplossing, de rechte snijdt het vlak in 1 punt

2 rang gelijk aan twee (~p⊥~n) en is1 onoplosbaar dan is de rechte strikt evenwijdig met het vlak

(A 6∈ α)2 oplosbaar dan ligt de rechte in het vlak (A ∈ α)

Meetkunde


Opstellen van vergelijking van rechte in het vlak en vlak inde ruimte

Heeft men twee punten A en B van de rechte of van het vlak danis ~AB een richtingsvector van de rechte of van het vlak.

Rechte in het vlak: zoeken naar een punt A(a1, a2) en naar eennormaalvector (a, b): vergelijking is a(x − a1) + b(y − a2) = 0Heeft men een richtingsvector ~p(ρ1, ρ2) dan is eennormaalvector ~n: ~n⊥~p dus (a, b) = (ρ2,−ρ1).

Vlak in de ruimte: zoeken naar een punt A(a1, a2, a3) en naareen normaalvector (a, b, c): vergelijking isa(x − a1) + b(y − a2) + c(z − a3) = 0Heeft men twee lin. onafh. richtingsvectoren ~p(p1, p2, p3) en~q(q1, q2, q3) dan is een normaalvector ~n: ~n⊥~p en ~n⊥~q dus

(a, b, c) = ~p × ~q =

(∣∣∣∣ p2 p3q2 q3

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ p3 p1q3 q1

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ p1 p2q1 q2

∣∣∣∣):

Meetkunde

Meetkunde - wiswijs...Meetkunde Vlakke MeetkundeRuimtemeetkunde VectorenVergelijking van een rechte...

Documents

Transcript of Meetkunde - wiswijs...Meetkunde Vlakke MeetkundeRuimtemeetkunde VectorenVergelijking van een rechte...