van tijd en breuken in het lager onderwijs naar impliciete...

Aanleren van tijd en breuken in het lager onderwijs

Verkennend onderzoek naar impliciete kennis van leerkrachten

Masterproef neergelegd tot het behalen van de graad van master in de pedagogische

wetenschappen, pedagogiek en onderwijskunde

Promotor

Prof. Dr. Martin Valcke

Begeleiders

Hendrik Van Steenbrugge

Elise Burny

Jorien De Meulemeester

20056360

Academiejaar 2009-2010

2

VOORWOORD

Graag nodig ik u uit tot het lezen van mijn masterproef.

In deze masterproef ligt de nadruk op de kennis van leerkrachten lager onderwijs over het

aanleren van tijd en breuken, meer bepaald hun impliciete kennis. Na een ruimer theoretisch kader

wordt in een onderzoek gezocht naar elementen van deze impliciete kennis. Het betreft kwalitatief

onderzoek aan de hand van interviews.

Ik zou van deze gelegenheid ook gebruik willen maken om enkele mensen te bedanken.

Mijn promotor, Martin Valcke.

Mijn begeleiders, Hendrik Van Steenbrugge en Elise Burny, voor alle hulp tijdens het

schrijven van deze masterproef.

De directeur van Vrije Basisschool Scheldewindeke, voor zijn toestemming om mijn

onderzoek te voeren binnen zijn lerarenteam.

Alle leerkrachten van VBS, voor hun deelname aan de interviews, en in het bijzonder de

taakleerkracht, die behulpzaam was bij de planning van de interviews.

Mijn ouders, voor alle steun die ik van hen kreeg, en in het bijzonder mijn mama, die mij

hielp bij het uitschrijven van de interviews.

Christophe, eveneens voor de vele steun en ontspanning.

3

INHOUDSTAFEL

VOORWOORD ........................................................................................... 2

INHOUDSTAFEL ......................................................................................... 3

Deel 1: Theoretisch kader........................................................................ 6

1 KENNIS EN EXPERTISE VAN LEERKRACHTEN .............................................. 6

1.1 De kennisbasis van leerkrachten ......................................................................... 7

1.2 Pedagogical content knowledge (PCK) .................................................................. 8

1.2.1 Wat is PCK? ................................................................................................... 8

1.2.2 Hoe ontwikkelen leerkrachten PCK? ................................................................ 10

1.2.2.1 Invloed van leerlingen .................................................................... 10

1.2.2.2 Invloed van expertise ..................................................................... 10

1.3 Impliciete kennis ............................................................................................. 11

1.3.1 Wat is impliciete kennis? ............................................................................... 11

1.3.2 Hoe impliciete kennis meten? ......................................................................... 12

1.3.3 Overdragen van impliciete kennis ................................................................... 14

1.4 Kennis en expertise met betrekking tot het onderwijzen van wiskunde .................... 14

1.4.1 Model of the Mathematics teacher’s knowledge ................................................. 15

1.4.2 Mathematical proficiency ............................................................................... 16

1.4.3 PCK van wiskundeleerkrachten ....................................................................... 17

2 TIJD & BREUKEN .............................................................................. 18

2.1 Tijd ............................................................................................................... 18

2.1.1 Ontwikkelen van tijdsbegrip ........................................................................... 18

2.1.1.1 Wat kunnen kinderen op welke leeftijd? ............................................ 19

2.1.1.2 De klok lezen, hoe doe je dat? ......................................................... 20

2.1.2 Moeilijkheden en fouten ................................................................................ 20

2.1.2.1 Wat maakt ‘tijd’ zo moeilijk? ........................................................... 20

2.1.2.2 Welke fouten worden gemaakt? ....................................................... 21

2.1.3 Strategieën om problemen te voorkomen ........................................................ 22

4

2.2 Breuken......................................................................................................... 22

2.2.1 Ontwikkelen van begrip over breuken ............................................................. 23

2.2.2 Moeilijkheden en fouten ................................................................................ 23

2.2.2.1 Wat maakt ‘breuken’ zo moeilijk? ..................................................... 23

2.2.2.2 Welke fouten worden gemaakt? ....................................................... 24

2.2.3 Strategieën om problemen te voorkomen ........................................................ 25

3 ONDERZOEKSVRAGEN ........................................................................ 26

Deel 2: Onderzoek ................................................................................. 27

4 METHODOLOGIE ............................................................................... 27

4.1 Participanten .................................................................................................. 27

4.2 Interview ....................................................................................................... 27

4.2.1 Opstellen van het interview ........................................................................... 27

4.2.2 Afnemen van het interview ............................................................................ 28

4.3 Verwerken gegevens ....................................................................................... 28

4.4 Analyse ......................................................................................................... 28

4.5 Beschrijving resultaten .................................................................................... 29

5 RESULTATEN .................................................................................... 30

5.1 Kennis van leerkrachten over leerlingen en instructie ........................................... 30

5.1.1 Leerlingen ................................................................................................... 30

5.1.1.1 Moeilijkheden met tijd en breuken ................................................... 30

5.1.1.2 Oorzaken van moeilijkheden ........................................................... 31

5.1.1.3 Welke leerlingen? .......................................................................... 37

5.1.2 Instructie .................................................................................................... 38

5.2 Ervaring en expertise van de leerkrachten .......................................................... 40

5.3 Lesgeven: aanleren van tijd en breuken ............................................................. 42

6 DISCUSSIE ...................................................................................... 44

6.1 Terugkoppeling naar literatuur .......................................................................... 44

6.1.1 Kennis van leerkrachten over leerlingen en instructie ........................................ 44

5

6.1.1.1 Leerlingen .................................................................................... 44

6.1.1.2 Instructie ..................................................................................... 46

6.1.2 Invloed van jaren ervaring ............................................................................ 48

6.1.3 Lesgeven: aanleren van tijd en breuken .......................................................... 49

6.2 Tekortkomingen onderzoek en suggesties voor verder onderzoek ........................... 50

7 CONCLUSIE ..................................................................................... 51

Deel 3 .................................................................................................... 52

8 LIJST MET FIGUREN ........................................................................... 52

9 LIJST MET TABELLEN ......................................................................... 52

10 BIBLIOGRAFIE ................................................................................. 53

11 BIJLAGEN........................................................................................ 58

11.1 Bijlage 1: Leidraad interview ............................................................................ 58

11.2 Bijlage 2: Interviews ....................................................................................... 60

6

Deel 1: Theoretisch kader

1 KENNIS EN EXPERTISE VAN LEERKRACHTEN

Wat de rol van de leerkracht is en wat het betekent een goede leerkracht te zijn, is onderhevig aan

sociale veranderingen (Labaree, 2000).

Leerkrachten hadden, eind 19de, begin 20ste eeuw, een zendingsopdracht. Zij vervulden een

bemiddelende rol tussen het volk en politieke, ideologische en economische groepen (Aelterman,

Verhoeven, Rots, Buvens, Engels, & Van Petegem, 2002).

Door onzekerheid over de kwaliteit van de leerkrachten, na de tweede wereldoorlog, ontstond een

deprofessionalisering en een standaardisering van hun taken. Dit leidde tot een technisch

instrumentele definiëring van de professionaliteit van de leerkracht (Aelterman, 1995; Aelterman,

Verhoeven, Rots, Buvens, Engels, & Van Petegem, 2002).

In deze traditioneel technisch instrumentele visie worden leerkrachten gezien als uitvoerder van

wat anderen hebben ontworpen (Aelterman, 1999; Aelterman, Verhoeven, Rots, Buvens, Engels, &

Van Petegem, 2002). De leerkracht is “iemand die tussen de kennis en het kind staat” (Aelterman,

1999, p. 19).

De professionaliteit van de leerkracht gaat nu veel verder dan het traditioneel technisch

instrumentele. We gaan naar een verruimde professionaliteitsopvatting, waarin de leerkracht

geacht wordt zelf beslissingen te nemen. Een leerkracht reflecteert op onderwijs- en

leergedragingen en opvoedingssituaties, op basis van vakkennis, pedagogische en

onderwijskundige kennis. Ook mens-, opvoedings- en onderwijsopvattingen spelen hierbij een rol

(Aelterman, 1995; Aelterman, Verhoeven, Rots, Buvens, Engels, & Van Petegem, 2002). De rol van

de leerkracht als overbrenger van kennis veranderde naar de leerkracht als begeleider van de

leerlingen (Korthagen, 2004).

Leerkrachten moeten hun vakexpertise in een pedagogische context plaatsen (Aelterman, 1995).

De kennis van de leerkrachten staat in functie van de context: school, klas en leerlingen

(Aelterman, Verhoeven, Rots, Buvens, Engels, & Van Petegem, 2002).

Wat precies verwacht wordt van de leerkrachten vinden we terug in het ‘Beroepsprofiel van de

leraar’ (Aelterman, Meysman, Troch, Vanlaer, & Verkens, 2008). Het beroepsprofiel werd

ontwikkeld op basis van het verruimde professionaliteitsconcept, dat verder gaat dan de

traditioneel technisch instrumentele visie. Het is een omschrijving van de functies en de taken die

een leerkracht moet vervullen. Ook de daarvoor noodzakelijke kennis, vaardigheden en houdingen

worden erin omschreven. Het beroepsprofiel geeft eigenlijk de ‘ideale’ wijze waarop een leerkracht

moet functioneren (Aelterman, 1998; Aelterman, Verhoeven, Rots, Buvens, Engels, & Van

Petegem, 2002). Het zijn de eisen die de maatschappij en het onderwijs stellen aan de

leerkrachten (Aelterman, Verhoeven, Rots, Buvens, Engels, & Van Petegem, 2002; Aelterman,

Meysman, Troch, Vanlaer, & Verkens, 2008). Deze eisen worden beschreven in tien functies

(Aelterman, Meysman, Troch, Vanlaer, & Verkens, 2008).

7

- De leraar als begeleider van leer- en ontwikkelingsprocessen

- De leraar als opvoeder

- De leraar als inhoudelijk expert

- De leraar als organisator

- De leraar als innovator – de leraar als onderzoeker

- De leraar als partner van ouders/verzorgers

- De leraar als lid van een schoolteam

- De leraar als partner van externen

- De leraar als lid van de onderwijsgemeenschap

- De leraar als cultuurparticipant

Naast deze functies worden in het beroepsprofiel ook nog een aantal beroepshoudingen

voorgeschreven. Leerkrachten hebben beslissingsvermogen, zijn relationeel gericht, kritisch

ingesteld, leergierig, hebben organisatievermogen, zin voor samenwerking,

verantwoordelijkheidszin en zijn flexibel (Aelterman, Meysman, Troch, Vanlaer, & Verkens, 2008).

Leerkrachten zijn dus geen slaafse uitvoerders meer van hoger opgelegde programma’s of

handboeken. Er wordt met andere woorden vertrouwd op de deskundigheid en expertise van de

leerkrachten zelf voor het uitvoeren van hun taken (Aelterman, Meysman, Troch, Vanlaer, &

Verkens, 2008). In dit onderzoek staat dan ook de expertise van leerkrachten centraal.

1.1 De kennisbasis van leerkrachten

De kwaliteit van het onderwijs wordt vooral bepaald door de kwaliteit van de leerkrachten (Wood,

2007). Hierin staat hun kennis centraal. Leerkrachten moeten over verschillende soorten kennis

beschikken en moeten deze kennis op een juiste manier gebruiken. Dit is bepalend voor wat

leerlingen zullen leren op school (Connelly, Clandinin, & He, 1997; Wood, 2007).

Leerkrachten zouden moeten beschikken over een knowledge base for teaching (Shulman, 1987).

Dit zijn de kennis en vaardigheden die een leerkracht nodig heeft om goed te functioneren in de

klas (Wilson, Shulman, & Richert, 1987). Shulman (1987) omschrijft dit als “A codified or codifiable

aggregation of knowledge, skill, understanding, and technology, of ethics and disposition, of

collective responsibility – as well as a means for representing and communicating it.” (Shulman,

1987, p. 4).

Deze kennis wordt voornamelijk gevormd door de kennis en vaardigheden die leerlingen moeten

leren op school; de materialen, zoals het curriculum, die voorhanden zijn in het onderwijs en de

onderwijsstructuren (koepels, netten, scholengemeenschappen, …); literatuur en onderzoek; en de

ervaring uit de praktijk (Shulman, 1987).

8

In de kennisbasis van leerkrachten onderscheidt Shulman (1987) zeven soorten kennis.

- Kennis over het onderwerp

- Pedagogische kennis

- Kennis over het curriculum

- Pedagogical content knowledge

- Kennis over de leerlingen

- Kennis over de context

- Kennis over de doelstellingen

Van de zeven soorten kennis die Shulman (1987) onderscheidt in de kennisbasis van leerkrachten,

worden er drie centraal geacht voor een goede kennisoverdracht van leerkracht naar leerling:

content knowledge, pedagogical knowledge en pedagogical content knowledge (Shulman, 1986).

(Subject matter) content knowledge is de kennis over de inhoud van het onderwerp waarover

wordt onderwezen. Leerkrachten bepalen wat juist en belangrijk is binnen een bepaald

lesonderwerp, maar moeten ook kunnen uitleggen waarom deze zaken van belang zijn en waarom

leerlingen ze moeten kennen.

Pedagogical knowledge is de kennis over de verschillende instructiestrategieën.

Tenslotte moeten leerkrachten ook kennis hebben over specifieke instructiestrategieën om een

bepaald vak of onderwerp te onderwijzen. Dit is wat Shulman (1986) pedagogical content

knowledge noemt. Leerkrachten moeten op zoek gaan naar de meest zinvolle strategieën om iets

aan te leren aan de leerlingen: illustraties, voorbeelden, … die het leren aangenaam en begrijpbaar

maken. De pedagogical content knowledge van leerkrachten is dus een koppeling tussen de

pedagogische kennis van leerkrachten en de kennis die ze hebben over het onderwerp (taal,

rekenen, …) dat wordt onderwezen (Cochran, DeRuiter, & King, 1993). Het begrijpen van de

leerstof op zich is dus niet voldoende. Leerkrachten moeten ook hun leerlingen begrijpen.

Verschillende strategieën, afhankelijk van de mogelijkheden van de leerlingen, hun voorkennis, …

zijn noodzakelijk om de leerstof over te brengen aan de leerlingen zodat zij ze begrijpen (Wilson,

Shulman, & Richert, 1987).

1.2 Pedagogical content knowledge (PCK)

1.2.1 Wat is PCK?

Verschillende studies (Buchmann, 1982, 1984; Doyle, 1986; Feiman-Nemser & Bushmann, 1987;

Reynolds, 1992; Tobin & Garnett, 1988, cf. Cochran, DeRuiter, & King, 1993) wijzen op het belang

van zowel de inhoudelijke kennis als de pedagogische kennis voor goed onderwijs. Shulman (1986;

1987) integreert beide soorten kennis en omschrijft dit als pedagogical content knowledge.

“Pedagogical content knowledge is of special interest because it identifies the distinctive

bodies of knowledge for teaching. It represents the blending of content and pedagogy into

an understanding of how particular topics, problems, or issues are organized, represented,

and adapted to the diverse interests and abilities of learners, and represented for

instruction.” (Shulman, 1987, p. 8)

9

In een andere studie van Shulman (Gudmundsdottir & Shulman, 1987) worden drie soorten kennis

genoemd die een invloed uitoefenen op de PCK. Naast de inhoudelijke kennis en de pedagogische

kennis, moet ook rekening gehouden worden met de kennis die een leerkracht heeft over zijn of

haar leerlingen (knowledge of students). Onder deze kennis wordt bijvoorbeeld de voorkennis van

de leerlingen verstaan.

Pedagogical content knowledge wordt ook omschreven als het vergroten van de subject matter

knowledge met andere vormen van kennis (Wilson, Shulman, & Richert, 1987): kennis over de

leerlingen, het curriculum, de context en pedagogische kennis.

“Pedagogical content knowledge is not simply a repertoire of multiple representations of the

subject matter. It is characterized by a way of thinking that facilitates the generation of

these transformations, the development of pedagogical reasoning.” (Wilson, Shulman, &

Richert, 1987, p. 115)

Dit pedagogisch denken of redeneren is een cyclisch proces (figuur 1) bestaande uit de volgende

elementen: begrijpen, transformatie, instructie, evaluatie, reflectie, om zo terug tot een nieuw

begrijpen te komen.

Figuur 1: Proces van pedagogisch denken

Het proces start met het begrijpen van de inhoud (comprehension). Deze kennis wordt

getransformeerd (transformation): instructiemateriaal wordt bekeken en verschillende manieren

om de leerstof aan de leerlingen te presenteren (vergelijkingen, illustraties, oefeningen, …) worden

gezocht. Deze transformatie zorgt ervoor dat de leerstof wordt aangepast aan de kenmerken van

leerlingen en specifiek aan de leerlingen waaraan les wordt gegeven. Vervolgens komt in het

proces van pedagogisch denken het lesgeven zelf (instruction). Tijdens en na de instructie moet

ook aandacht zijn voor evaluatie (evaluation). Leerkrachten moeten zowel de leerlingen als zichzelf

evalueren. Deze zelfevaluatie komt tot stand door reflectie op het eigen handelen (reflection).

(Nieuw) Begrijpen

Transformatie

InstructieEvaluatie

Reflectie

10

Leerkrachten leren hierdoor uit ervaring. Aan het einde van het proces komen leerkrachten tot een

nieuw of verrijkt begrip (new comprehension) (Wilson, Shulman, & Richert, 1987).

1.2.2 Hoe ontwikkelen leerkrachten PCK?

1.2.2.1 Invloed van leerlingen

Uit onderzoek blijkt dat leerlingen een invloed hebben op de pedagogical content knowledge van

leerkrachten (Park & Oliver, 2008). Park en Oliver (2008) vonden drie manieren waarop leerlingen

invloed uitoefenen op de PCK van leerkrachten.

De subject matter knowledge van leerkrachten wordt verbreed door uitdagende vragen

(challenging questions) die de leerlingen stellen. Omdat de inhoudelijke kennis van leerkrachten

een onderdeel vormt van PCK, vergroot de PCK als de inhoudelijke kennis van de leerkracht

vergroot. Daarnaast beïnvloeden de reacties van leerlingen op de manier waarop de leerkracht de

les aanpakt ook de PCK van de leerkracht. De reacties (geïnteresseerd, leuk, verveeld, …)

beïnvloeden de beslissing van de leerkracht om bepaalde instructiestrategieën te behouden of te

veranderen. Als laatste zorgt de kritische blik van de leerlingen ook voor innovatieve,

vernieuwende ideeën voor instructie in de toekomst. De PCK wordt verruimd met deze nieuwe

ideeën.

1.2.2.2 Invloed van expertise

De expertise van leerkrachten in een bepaald kennisdomein (subject matter content knowledge)

heeft een invloed op de mate van PCK van een leerkracht. Dit blijkt uit een onderzoek van

Schempp, Manross, Tan en Fincher (1998). Hoe meer expertise leerkrachten hebben, hoe groter

hun PCK. Expertise heeft een invloed op bijvoorbeeld het herkennen van problemen bij leerlingen

en daar op een gepaste manier op kunnen reageren.

In deze zelfde studie geven de leerkrachten die betrokken waren in het onderzoek ook aan dat hun

jaren ervaring in het onderwijs bijdragen tot meer expertise.

Ook Gudmundsdottir en Shulman (1987) komen in hun onderzoek tot de conclusie dat er een

verschil is in PCK van ervaren en jonge, onervaren leerkrachten.

Tenslotte zeggen Cochran, DeRuiter en King (1993) eveneens dat het ontwikkelen van PCK samen

hangt met de inhoudelijke kennis en expertise van leerkrachten. Maar ook tijd en ervaring, in de

klaspraktijk met de leerlingen, spelen een belangrijke rol.

11

1.3 Impliciete kennis

Pedagogical content knowledge is een koppeling tussen inhoudelijke en pedagogische kennis. Naast

de inhoudelijke, expliciete kennis, beschikken leerkrachten dus over pedagogische kennis

(Shulman, 1986; 1987). Deze pedagogische kennis wordt ook gezien als praktische kennis van

leerkrachten (Ernest, 1989). Het is de impliciete kennis van leerkrachten die een praktische waarde

heeft (Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995).

Pedagogische kennis wordt beïnvloed door de ervaring en expertise van leerkrachten (Cochran,

DeRuiter, & King, 1993; Schempp, Manross, Tan, & Fincher, 1998). Meer ervaring zorgt voor meer

PCK (Gudmundsdottir & Shulman, 1987). Wat leerkrachten leren uit ervaring, is vaak impliciet

aanwezig (Maas, 2000; Sternberg & Horvath, 1999; Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath,

1995). Meer ervaring zorgt voor meer impliciete kennis (Sternberg & Horvath, 1999).

PCK wordt dus beïnvloed door de impliciete kennis van leerkrachten, die verworven wordt door

ervaring (Maas, 2000).

Het is belangrijk dat beide vormen van kennis, expliciete en impliciete kennis gebruikt worden.

Expliciete kennis is directe kennis. Ze is overdraagbaar via onderwijs, boeken, … en is tegengesteld

aan impliciete kennis (Maas, 2000).

1.3.1 Wat is impliciete kennis?

Impliciete kennis wordt verworven door ervaring. Het is stilzwijgende kennis die meestal onbewust

aanwezig is en ook moeilijk overdraagbaar is naar anderen (Maas, 2000).

“People know more than they can tell.” (Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995,

p. 918)

In de literatuur wordt vaak het begrip tacit knowledge (TK) gehanteerd om te verwijzen naar

impliciete kennis.

“Tacit knowledge has been used to characterize the knowledge gained from everyday

experience that has an implicit, difficult to articulate quality” (Sternberg & Grigorenko,

2001, p. 4)

TK is persoonlijke kennis, die vervat zit in de ervaring. Deze kennis kan niet volledig worden

uitgedrukt (Sternberg & Horvath, 1999). Het is een vorm van procedurele kennis die ons gedrag

stuurt (Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995).

Sternberg en Horvath (1995) omschrijven TK ook als de kennis die we nodig hebben om te slagen

in wat we doen. TK wordt niet expliciet aangeleerd en vaak zelfs niet verwoord. Toch is het

belangrijk deze kennis in acht te nemen om expertise te ontwikkelen en te gebruiken in de

werkelijkheid, in het dagelijks leven (Sternberg & Horvath, 1995).

Impliciete kennis of tacit knowledge kan beschreven worden aan de hand van drie kenmerken: de

structuur, het gebruik en het verwerven van impliciete kennis (Sternberg, Wagner, Williams, &

Horvath, 1995).

12

Structuur van impliciete kennis

Impliciete kennis is procedurele kennis. Het is kennis over de actie (action-oriented

knowledge). Deze kennis gaat over ‘knowing how’: als … dan … ( ‘knowing that’:

declaratieve kennis) (Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995). Het is kennis over

hoe je te gedragen. Het is contextspecifieke kennis over wat te doen in een bepaalde

situatie (Sternberg & Grigorenko, 2001). Deze kennis wordt spontaan gebruikt. We moeten

niet eerst nadenken, maar weten spontaan hoe we bepaalde handelingen moeten

uitvoeren. Vaak zijn we er ons ook niet van bewust dat we die kennis hebben (van Houten,

2004).

Waarom impliciete kennis gebruiken?

Impliciete kennis heeft een praktische waarde. Het bereiken van een doel wordt door deze

kennis ondersteund (Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995). Impliciete kennis

geeft richting aan ons denken, voelen en handelen (Swart, 2009). We gebruiken impliciete

kennis om praktische, alledaagse problemen op te lossen. Ook leer je, uit eigen ervaring,

wat het meest effectief is in een bepaalde situatie (Sternberg & Grigorenko, 2001).

Hoe impliciete kennis verwerven?

Impliciete kennis wordt verworven zonder directe hulp van anderen. Ze wordt verworven

door jezelf, door eigen ervaringen (Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995). We

verwerven deze kennis via praktische, alledaagse problemen. “Experience is the best

teacher.” (p. 10) Omdat het verwerven van impliciete kennis niet wordt ondersteund (door

bronnen zoals bijvoorbeeld instructie) blijft het vaak ook onbesproken, ondanks het belang

van deze kennis voor succes (Sternberg & Grigorenko, 2001).

Uit onderzoek (Wagner, 1987) blijkt dat TK groter wordt naarmate de ervaring die iemand

heeft in zijn of haar job. Toch blijkt niet enkel de ervaring op zich belangrijk te zijn voor het

verwerven van TK. Hoe we deze ervaring gebruiken om kennis te verwerven is vooral van

belang (Sternberg & Horvath, 1999).

Kennis die voldoet aan deze drie kenmerken “Action-oriented knowledge, acquired without direct

help from others, wich allows individuals to achieve goals they personally value” (p. 916) wordt

tacit of impliciet genoemd (Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995).

1.3.2 Hoe impliciete kennis meten?

Onderzoek over hoe we impliciete kennis kunnen meten is eerder zeldzaam. Ook al is er steeds

meer aandacht voor de waarde van impliciete kennis als voorspeller van succes, het meten ervan

blijft een probleem (Insch, McIntyre, & Dawley, 2008).

Sternberg et al. (2001) stelt domeinspecifieke tests voor om impliciete kennis te meten. In deze

tests wordt gevraagd om verschillende mogelijke oplossingen, voor een bepaald probleem, te

13

rangschikken. Op basis van die rangschikking wordt de mate van impliciete kennis bepaald

(Sternberg & Horvath, 1995; Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995).

Deze tests werden uitgevoerd bij psychologen, managers, militaire leiders en verkopers. Ze tonen

allemaal dat impliciete kennis belangrijk is voor de mate van expertise waarover iemand beschikt.

Hoewel impliciete kennis van leerkrachten nog niet echt werd gemeten, is er toch een vermoeden

dat ook hier impliciete kennis belangrijk is voor de mate van expertise van een leerkracht

(Sternberg & Horvath, 1995).

Probleem bij deze tests is dat het niet altijd duidelijk is welke aspecten van de job moeten worden

gekozen om impliciete kennis te meten (Sternberg & Grigorenko, 2001).

Insch, McIntyre en Dawley (2008) gaan impliciete kennis van studenten meten aan de hand van

drie dimensies. Zoals figuur 2 toont, gaat het over cognitieve (kennis over het zelf), technische

(kennis over de taken) en sociale (kennis over andere mensen) vaardigheden.

‘Het zelf’, ‘de taken’ en ‘de anderen’ zijn ook de drie domeinen die Wagner (1987) onderscheidt.

Figuur 2: Multidimentionele structuur tacit knowledge (Insch, McIntyre, & Dawley, 2008, p. 565)

Aan de hand van verschillende hypotheses wordt nagegaan of studenten die sterk zijn in deze

vaardigheden betere resultaten zullen behalen (higher academic performance) dan leerlingen met

zwakke vaardigheden. Uit het onderzoek blijkt dit inderdaad te kloppen. Studenten die hoog scoren

op deze vaardigheden, behalen betere resultaten. Deze tests zijn wel steeds heel domeinspecifiek

(Insch, McIntyre, & Dawley, 2008).

14

1.3.3 Overdragen van impliciete kennis

Het is moeilijk om impliciete kennis over te dragen naar anderen, vaak ook omdat mensen zich niet

bewust zijn van deze kennis (Maas, 2000; Sternberg & Grigorenko, 2001; Sternberg & Horvath,

1995; Sternberg & Horvath, 1999; Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995). Toch kan

impliciete kennis expliciet worden (Sternberg & Horvath, 1999).

Nonaka en Takeuchi (1997) onderscheiden vier processen van kennisoverdracht.

- Socialisatie: impliciete kennis impliciete kennis

- Externalisatie: impliciete kennis expliciete kennis

- Combinatie: expliciete kennis expliciete kennis

- Internalisatie: expliciete kennis impliciete kennis

Omdat hier gekeken wordt naar hoe impliciete kennis kan worden overgedragen, wordt dieper

ingegaan op het proces van socialisatie en externalisatie.

Via socialisatie wordt impliciete kennis overgedragen van de ene persoon naar de andere. Hierbij

worden ervaringen uitgewisseld, maar zonder tussenkomst van taal. Socialisatie vindt plaats door

waarneming, imitatie, oefening, meelopen in de praktijk, … De impliciete kennis van iemand wordt

gedeeld door middel van interactie met de ander (Nonaka & Takeuchi, 1997).

Via externalisatie wordt impliciete kennis expliciet gemaakt. Impliciete kennis wordt

overgedragen door middel van taal, tijdens gesprekken. Wat iemand doet wordt bijvoorbeeld

geëxpliciteerd door erover in gesprek te gaan. Het expliciteren van impliciete kennis gebeurt in de

vorm van metaforen, concepten, hypothesen of modellen. Metaforen zijn “een manier om het één

op te merken of het intuïtief te begrijpen door iets anders symbolisch voor ogen te halen” (p. 79).

Ook analogieën, waarbij het bekende gebruikt wordt om het onbekende te begrijpen, worden

gebruikt om de moeilijk over te dragen kennis te verwoorden (Nonaka & Takeuchi, 1997).

Aandacht voor het expliciet maken van impliciete kennis ondersteunt leraren in hun professionele

ontwikkeling. Leraren ontwikkelen het vermogen om actief kennis te (re)construeren en toe te

passen. Reflecteren op het concrete professionele handelen is hierbij van groot belang (Stigter,

2007).

1.4 Kennis en expertise met betrekking tot het onderwijzen van wiskunde

Ook de kwaliteit van wiskundeonderwijs wordt bepaald door de kennis van de leerkrachten.

“Teachers’ mathematical knowledge for teaching positively predicted student gains in

mathematics achievement.” (Hill, Rowan, & Ball, 2005, p. 399)

Uit een onderzoek naar de wiskundige kennis van studenten in de lerarenopleiding lager onderwijs

in Vlaanderen (Verschaffel, Janssens, & Janssen, 2005) blijkt dat de studenten laag scoren op

inhoudelijke kennis. Aan het begin van de opleiding spreekt men zelfs van een “problematisch

niveau van wiskunde van studenten die leraar lager onderwijs willen worden” (p. 59). Op het einde

van hun opleiding werden de studenten opnieuw getest. Deze scores waren beter dan die aan het

15

begin van de opleiding, maar studenten blijven toch laag scoren op inhoudelijke kennis over

wiskunde.

Specifiek voor het onderwijzen van wiskunde kan gezegd worden dat het begrijpen van de

wiskundige begrippen/concepten door de leerkracht op zich niet voldoende is. Wil een leerkracht

goed onderwijs voorzien aan zijn of haar leerlingen, dan is het ook belangrijk dat de leerkracht

weet hoe de wiskundige begrippen het best worden uitgelegd en aangeleerd aan de leerlingen

(Krauss, et al., 2008). Een goede leerkracht beschikt dus over zowel inhoudelijke als pedagogische

kennis (pedagogical content knowledge) voor het onderwijzen van wiskunde (Shulman, 1986;

1987). Met deze kennis worden de beste strategieën gekozen om de leerstof over te brengen aan

de leerlingen. Hierbij moet rekening worden gehouden met de leerlingen zelf, zodat de leerstof

voor hen begrijpbaar wordt (Wilson, Shulman, & Richert, 1987).

1.4.1 Model of the Mathematics teacher’s knowledge

Ernest (1989) ontwikkelde een model voor de wiskundige kennis van leerkrachten dat ingaat op de

verschillende vormen van kennis die een leerkracht nodig heeft voor het onderwijzen van wiskunde

(figuur 3).

Een eerste kennisvorm die aan bod komt in dit model is de kennis van wiskunde zelf (knowledge of

mathematics). Zonder deze kennis kan geen wiskunde worden onderwezen. Deze kennis vormt ook

een belangrijke basis voor de pedagogische kennis van een leerkracht. Kennis van de wiskunde is

noodzakelijk om de juiste keuzes te maken voor het aanleren van concepten, theorieën, … aan de

leerlingen. Maar ook kennis over andere onderwerpen of vakken (knowledge of other subject

matter) is niet onbelangrijk in het onderwijzen van wiskunde. Wiskundige concepten kunnen

worden uitgelegd met en toegepast in concrete voorbeelden. Hierdoor leren leerlingen de

relevantie van wiskunde.

Ten tweede moeten leerkrachten ook weten hoe ze wiskunde moeten aanleren aan de leerlingen

(knowledge of teaching mathematics). Ernest (1989) maakt hier een onderscheid tussen (1)

pedagogische kennis (pedagogical knowledge of mathematics): weten op welke manier je kennis

moet overbrengen opdat de leerlingen het kunnen begrijpen, en (2) kennis over het curriculum

(curriculum knowledge of mathematics).

Daarnaast is ook kennis over klasorganisatie (knowledge of organisation for teaching mathematics)

belangrijk. Geef je instructie aan de hele klas? Gaan leerlingen individueel aan de slag? Werken ze

in groepen? Dit zijn zaken waar een leerkracht aandacht voor moet hebben.

Verder gaat het model van Ernest (1989) in op het belang van de context (knowledge of the

context of teaching). Leerkrachten moeten hun leerlingen kennen (knowledge of students), als

groep en als individu. Ook het beleid van de school, andere leerkrachten, beschikbare materialen,

… (knowledge of school context) hebben een invloed op het gedrag van de leerkrachten. Deze

kennis over de context (leerlingen en school) is heel bepalend voor de aanpak van de leerkracht.

Als laatste is er nog de algemene kennis over onderwijs (knowledge of education). Leerkrachten

16

moeten kennis hebben van onderzoek en literatuur over onderwijs. Zo kunnen ze nadenken en

reflecteren over hun eigen ervaringen.

Al deze verschillende kennisvormen die Ernest (1989) in zijn model opneemt hebben een invloed

op de manier waarop leerkrachten wiskunde aanleren aan hun leerlingen. Deze verschillende

vormen van kennis kunnen worden opgesplitst in twee categorieën: theoretische kennis en

praktische kennis. Hierbij vormt de theoretische kennis de basis voor de praktische kennis (Ernest,

1989).

MATHEMATICS TEACHER’S KNOWLEDGE, BELIEFS AND ATTITUDES (ERNEST, 1989)

Theoretische kennis Praktische kennis

- Knowledge of mathematics

- Knowledge of other subject matter

- Knowledge of education

- Knowledge of teaching mathematics

Pedagogical knowledge of

mathematics

Curriculum knowledge of

mathematics

- Knowledge of organisation for teaching

mathematics

- Knowledge of the context of teaching

Knowledge of students

Knowledge of school context

Inhoudelijke kennis Pedagogische kennis

PCK Figuur 3: Kennis die een leerkracht nodig heeft voor het onderwijzen van wiskunde

1.4.2 Mathematical proficiency

In Adding It Up (National Research Council, 2001) worden de belangrijke elementen voor

leerkrachten omschreven als de bekwaamheid voor het onderwijzen van wiskunde (mathematical

proficiency). Bekwame leerkrachten beschikken over

- conceptueel begrip van de inhoudelijke kennis,

- instructiestrategieën,

- strategische vaardigheden,

- aanpassingsvermogen, en

- productieve voorbereidingen.

(National Research Council, 2001, p. 380)

Deze mathematical proficiency geldt eigenlijk voor iedereen die wiskunde leert. Leerlingen hebben

deze vijf componenten dus ook nodig.

17

Voor leerkrachten betreft het de kennis van de wiskunde zelf en kennis over de leerlingen. Deze

moeten met elkaar worden verbonden en gebruikt worden in de klaspraktijk (National Research

Council, 2001). Inhoudelijke en pedagogische kennis moeten met elkaar verbonden worden

(Cochran, DeRuiter, & King, 1993). Hierin moeten leerkrachten gewoontes in instructie verwerven,

zoals het beginnen van de les of het gepast reageren op misvattingen van leerlingen. Leerkrachten

moeten de beste instructiestrategie kiezen tijdens het lesgeven. Hoe meer routine ze hebben in

verschillende instructiestrategieën, hoe flexibeler en gepaster leerkrachten kunnen optreden.

Leerkrachten moeten ook in staat zijn om te gaan met instructieproblemen. Wat weten leerlingen

(niet)? Hoe moet ik als leerkracht antwoorden op een vraag van een leerling? Leerkrachten moeten

competenties ontwikkelen om antwoorden te vinden op deze en andere vragen. Ze moeten

problemen analyseren en mogelijke manieren bedenken om er gepast op te reageren. Leerkrachten

moeten ook reflecteren op hun eigen handelen. Ze moeten hun eigen handelen durven aanpassen

en verbeteren. Tenslotte leren leerkrachten ook door het analyseren van alles wat in hun klas

gebeurt. Op basis van deze analyse leren ze over wiskunde zelf, over hun leerlingen en over hun

eigen handelen in de praktijk.

Al deze elementen dragen bij tot de bekwaamheid van een leerkracht om leerlingen wiskunde te

onderwijzen (National Research Council, 2001).

1.4.3 PCK van wiskundeleerkrachten

Zoals eerder gezegd integreert Shulman (1986; 1987) de inhoudelijke en pedagogische kennis van

leerkrachten in pedagogical content knowledge. Krauss, et al. (2008) geven een omschrijving

specifiek voor de mathematical pedagogical content knowledge. Deze omvat de kennis van

leerkrachten over de leerlingen en over de instructiestrategieën (pedagogische kennis). Beide

kennisvormen worden ook door Shulman (1986; 1987) belangrijk geacht als componenten van

kennis van een goede leerkracht. Naast deze twee componenten voegen Krauss, et al. (2008) ook

de kennis over de waarde van oefeningen en opdrachten voor leerlingen toe als een specifieke

component voor mathematical pedagogical content knowledge.

18

2 TIJD & BREUKEN

Gedurende het volledige lager onderwijs ervaren leerlingen moeilijkheden met wiskunde in het

algemeen (Van Steenbrugge, Valcke, & Desoete, 2010).

Er wordt gekozen om binnen de wiskunde verder in te gaan op de onderdelen tijd en breuken.

Tijd komt aan bod in elk leerjaar van het lager onderwijs. Ook breuken is leerstof voor elk leerjaar,

uitgezonderd het eerste leerjaar (VVKBaO, 1998).

Daarnaast wordt voor deze aspecten van wiskunde gekozen omdat ze beide ervaren worden als

moeilijke onderwerpen, zowel door leerlingen als door leerkrachten.

Onderzoek van Van Steenbrugge, Valcke en Desoete (2010) toont dit aan. Volgens de

leerkrachten, bevraagd in dit onderzoek, zorgen breuken voor leermoeilijkheden in elk leerjaar van

het lager onderwijs. Moeilijkheden met tijd situeren zich, volgens dit onderzoek, van het eerste tot

het vijfde leerjaar (Van Steenbrugge, Valcke, & Desoete, 2010).

2.1 Tijd

Het begrijpen van het tijdsconcept en het leren omgaan met conventionele systemen om tijd te

hanteren, zoals klokken en kalenders, maken deel uit van het curriculum van het lager onderwijs in

Vlaanderen (VVKBao, 1998). Concreet komt het tijdsconcept aan bod in de lessen wiskunde en

wereldoriëntatie en zijn vooral leren kloklezen en het leren gebruiken van een kalender belangrijke

doelen voor kinderen in de lagere school.

Hoewel het tijdsconcept slechts weinig aandacht krijgt in wetenschappelijk onderzoek, tonen

verschillende studies aan dat tijd een erg complex gegeven is voor kinderen. Tijd is een abstract

concept dat geen concrete, tastbare representatie kent en daardoor moeilijk te vatten is voor

kinderen (Friedman & Laycock, 1989; Siegler & McGilly, 1989). Bovendien tonen verschillende

studies aan dat het begrijpen van het tijdsconcept en het verwerven van vaardigheden zoals

kloklezen een werk van lange adem zijn (Case, Sandieson, & Dennis, 1986; Friedman & Laycock,

1989; Griffin, Case, & Sandieson, 1992; Siegler & McGilly, 1989; Vakali, 1991; Williams, 2004).

2.1.1 Ontwikkelen van tijdsbegrip

Het kloklezen en ontwikkelen van tijdsbegrip is niet gemakkelijk en vraagt heel wat tijd bij

kinderen (Dawson, n.d.; Williams, 2004). De ontwikkeling van tijdsbesef hangt ook sterk samen

met de ontwikkeling van taal (Dawson, n.d.). Kinderen moeten begrippen leren als gisteren,

morgen, overmorgen, … (Ethridge & King, 2005).

Daarnaast blijkt uit onderzoek van Burny, Valcke en Desoete (submitted) dat er een sterke relatie

bestaat tussen wiskunde en het leren kloklezen. Kinderen met rekenmoeilijkheden hebben ook

moeilijkheden met het leren kloklezen. Het ontwikkelen van competenties om te kunnen kloklezen

19

verloopt trager bij kinderen met rekenmoeilijkheden dan bij andere kinderen. Deze kinderen met

rekenmoeilijkheden presteren ook lager op kloklezen (Burny, Valcke, & Desoete, submitted).

Ook uit onderzoek van Andersson (2008) blijkt dat kinderen met rekenmoeilijkheden minder goed

presteren op kloklezen (zowel analoog als digitaal) dan kinderen uit de controlegroep, zonder

rekenmoeilijkheden.

Kinderen leren ‘tijd’ kennen door activiteiten waarin de klok een belangrijke rol speelt. Maar ook

directe instructie (onderwijs) heeft een belangrijke invloed op het leren kloklezen of het begrijpen

van de kalender. Kinderen leren de klok lezen van hun ouders, broers of zussen, leerkrachten, …

(Williams, 2004)

2.1.1.1 Wat kunnen kinderen op welke leeftijd?

Kinderen beginnen met het leren van lijstjes: de dagen van de week en de maanden van het jaar.

Om te bepalen welke dag drie dagen na een andere dag komt, moeten ze dus het lijstje overlopen.

Wat moeilijk is, is de verbale lijst achterstevoren te gebruiken en dus terug te denken in de tijd, in

het verleden. Als kinderen ouder worden ontwikkelen en gebruiken ze een visuele voorstelling van

de kalender waarmee ze de relatieve afstand tussen dagen kunnen bepalen, zonder te moeten

tellen. Deze voorstellingsstrategie gebruiken kinderen pas vanaf de leeftijd van tien jaar (Friedman,

1986; Friedman, 1990).

Volgens Williams (2004) kan driekwart van de zesjarigen (eerste leerjaar) tijd op de analoge klok

tot op het uur correct aflezen, ongeveer een derde tot op het half uur en een zesde tot op het

kwartier nauwkeurig. Kinderen van zeven en acht jaar (tweede leerjaar) hebben geen problemen

meer met het lezen van de analoge klok tot op het uur en half uur. Vanaf acht en negen jaar

(derde leerjaar) lezen kinderen de tijd tot op het kwartier en vijf minuten nauwkeurig. Kloklezen

tot op één minuut nauwkeurig wordt steeds beter als het kind de leeftijd van negen/tien jaar heeft

(Andersson, 2008; Friedman & Laycock, 1989; Siegler & McGilly, 1989; Williams, 2004).

Kloklezen tot op het uur blijkt dus het gemakkelijkst te zijn, gevolgd door kloklezen tot op het half

uur, tot op vijf minuten en tot op één minuut nauwkeurig (Siegler & McGilly, 1989).

Het uur aflezen van een digitale klok blijkt minder moeilijk dan van een analoge klok (Friedman &

Laycock, 1989; Siegler & McGilly, 1989). Uit onderzoek van Friedman en Laycock (1989) blijkt dat

kinderen het kloklezen van een digitale klok sneller onder de knie hebben dan kloklezen van een

analoge klok. Leerlingen van het tweede leerjaar zouden de tijd zowel tot op het uur, half uur, als

de minuut nauwkeurig kunnen aflezen van een digitale klok.

Onderzoek geeft aan dat het lezen van een digitale klok veel sneller verworven wordt dan het

aflezen van een analoge klok omdat de cognitieve processen en strategieën die gepaard gaan met

digitaal kloklezen veel meer lijken op hoofdrekenen. Het uur en de minuten worden op een digitale

klok immers weergegeven als getallen. Bij analoge klokken is dat veel minder het geval (Friedman

& Laycock, 1989; Siegler & McGilly, 1989).

20

2.1.1.2 De klok lezen, hoe doe je dat?

Tijd kan worden uitgedrukt op twee verschillende manieren voor de twee verschillende soorten

klokken. We kunnen van een analoge klok de tijd absoluut, maar ook relatief aflezen. Hetzelfde

kunnen we van een digitale klok. Zoals figuur 4 toont zijn er dus vier types kloklezen.

Analoog Digitaal

Relatief

Kwart voor vier

Kwart voor vier

Absoluut

3 uur 45 (minuten)

3 uur 45 (minuten)

Figuur 4: Vier types kloklezen

Absolute en relatieve tijdsuitdrukking

Beide tijdsuitdrukkingen geven hetzelfde tijdstip, maar verschillen in conceptueel denken. Bij een

absolute tijdsuitdrukking wordt de tijd uitgedrukt in het aantal uur en het aantal minuten. Absolute

tijd wordt dus gewoon uitgedrukt in cijfers, terwijl relatieve tijd gezien wordt in relatie tot een

ander tijdstip, een referentiepunt. In het Nederlands wordt zowel het uur als het half uur gebruikt

als referentiepunt. Bij een relatieve tijdsuitdrukking wordt eerst gekeken naar het aantal minuten,

in relatie (voor of over) tot het referentiepunt (vorige of volgende uur of half uur) (Williams, 2004).

Analoge en digitale klok

Een analoge klok wordt ook anders gelezen dan een digitale klok. bij een analoge klok moeten de

wijzers op de juiste manier begrepen worden. Je moet weten dat de kleine en de grote wijzer

respectievelijk het uur en de minuten aanduiden. Bij een digitale klok moeten gewoon de getallen

worden afgelezen die het uur en de minuten aangeven (Korvorst, Roelofs, & Levelt, 2007).

2.1.2 Moeilijkheden en fouten

Voor heel wat kinderen zorgt het leren kloklezen voor moeilijkheden (van Galen & Peltenburg,

2008). Ook de kalender blijkt geen gemakkelijke materie te zijn voor kinderen (Kelly, Miller, Fang,

& Feng, 1999).

2.1.2.1 Wat maakt ‘tijd’ zo moeilijk?

Tijd is een complex concept (Kelly, Miller, Fang, & Feng, 1999). Tijd is vaag, sociaal geconstrueerd

en abstract (Ethridge & King, 2005).

21

Om te beginnen bestaat de analoge klok uit een combinatie van twee verschillende schalen. De

kleine en de grote wijzer duiden elk iets anders aan. De kleine wijzer is de urenwijzer en geeft dus

het uur aan. Deze wijzer draait helemaal rond in twaalf uur. De grote wijzer is de minutenwijzer,

die ronddraait in zestig minuten (van Galen & Peltenburg, 2008).

Ook hebben de andere elementen op een analoge klok verschillende betekenissen. De getallen

(van 1 tot 12) geven de uren aan en de streepjes tussen de getallen duiden de minuten aan.

Bepaalde elementen krijgen zelfs meerdere betekenissen. De getallen 3, 6, 9 en 12 bijvoorbeeld

hebben drie betekenissen: ze staan voor 3, 6, 9 en 12 uur, maar eveneens voor 15, 30, 45 en 60

minuten, en tenslotte ook nog voor het eerste, tweede, derde en vierde kwartier (Williams, 2004).

De wijzers duiden ook twee keer per dag het zelfde uur aan (van Galen & Peltenburg, 2008).

Kinderen hebben eveneens moeilijkheden met de abstracte concepten. Ze hebben het moeilijk om

bepaalde concepten te begrijpen die gebruikt worden bij de kalender: gisteren, vandaag, morgen,

dagen van de week, maanden, … Ook al begrijpen kinderen wat het verleden is en wat de

toekomst, ze hebben toch soms moeilijkheden met de begrippen gisteren en morgen (Ethridge &

King, 2005).

Dat er moeilijkheden zijn met de dagen van de week en de maanden wordt volgens Kelly, Miller,

Fang en Feng (1999) beïnvloed door de structuur van ons kalendersysteem. In ons

kalendersysteem zijn de dagen van de week afgeleid van de namen van de planeten. Wij gebruiken

dus een lijst met namen, in tegenstelling tot de Chinese kalender waar gebruik wordt gemaakt van

een numerieke structuur voor de dagen en maanden. Maandag = 1, Dinsdag = 2, … De Chinese

kalender geeft dus onmiddellijk informatie over de hoeveelste dag of maand en hoeveel

dagen/maanden er tussen twee dagen/maanden liggen, door de numerieke benoeming. Dit maakt

het ‘rekenen’ met dagen gemakkelijker (Kelly, Miller, Fang, & Feng, 1999).

Kloklezen is ook moeilijk omdat het samen hangt met verschillende andere aspecten van wiskunde.

Kloklezen vergt getallenkennis, procedurele kennis, rekenfeiten en ruimtelijk inzicht. Kinderen die

hier dus problemen mee hebben, ervaren ook moeilijkheden met de klok (Burny, Valcke, &

Desoete, submitted).

Ook Friedman en Laycock (1989) en Siegler en McGilly (1989) concluderen dat kloklezen

vaardigheden vergt die gelijkenissen vertonen met andere wiskunde.

2.1.2.2 Welke fouten worden gemaakt?

Uit onderzoek van Korvorst, Roelofs en Levelt (2007) blijkt dat er meer fouten gemaakt worden bij

de relatieve benoeming van een analoge klok dan van een digitale klok. De minste fouten worden

gemaakt bij absolute tijdsuitdrukking van de digitale klok.

Wat opvalt is dat er meer fouten gemaakt worden bij een tijdstip in de tweede helft van het uur,

dus als de grote wijzer aan de linker kant van de klok staat (Siegler & McGilly, 1989).

Williams (2004) verkaart dit door de gelijkenissen die er zijn tussen absolute en relatieve tijdsduur

in het eerste half uur (bijvoorbeeld één uur tien en tien over één). Ook het referentiepunt blijft hier

het zelfde. Dit is niet meer het geval in de tweede helft van het uur. Daar zijn geen gelijkenissen

22

meer tussen absolute en relatieve tijdsuitdrukking (één uur vijftig wordt tien voor twee). We

moeten nu achteruit tellen met de minuten en het referentiepunt verandert naar het volgende uur

(Williams, 2004).

Sommige kinderen maken ook fouten doordat ze de uren- en minutenwijzer verwisselen. Dit kan

een fout zijn in de perceptie van welke wijzer nu de kleinste is en welke de grootste, maar de fout

kan ook liggen bij een verkeerde associatie tussen uren, minuten en de kleine en grote wijzer

(Siegler & McGilly, 1989).

2.1.3 Strategieën om problemen te voorkomen

Het onderwijzen heeft een belangrijke invloed op de ontwikkeling van het tijdsbegrip bij kinderen

(Dawson, n.d.).

van Galen en Peltenburg (2008) geven de tip om het leren kloklezen te beginnen met een klok met

maar één wijzer, de kleine wijzer. Zo leren kinderen eerst de functie van die wijzer kennen. Het

lijkt ook aan te raden kinderen eerst het uur aan te leren, dan het halfuur en tenslotte ook de klok

leren lezen tot op de minuut nauwkeurig (Williams, 2004).

Tijd leren vraagt veel oefening en herhaling (Williams, 2004; Dawson, n.d.). Het is ook belangrijk

verschillende soorten oefeningen te maken zodat er voor iedereen wel een oefening bij is die hem

of haar beter ligt (prentjes ordenen, tijdslijn, klok tekenen, …) (Dawson, n.d.).

Leren kloklezen moet en mag ook niet beperkt worden tot de rekenles. De tijd kan overal en altijd

geleerd worden, bijvoorbeeld met een klok in de klas (van Galen & Peltenburg, 2008). De kalender

ophangen in de klas kan leerlingen ook helpen bij het leren (Ethridge & King, 2005).

Bij het leren van de kalender is het eveneens zinvol om te verwijzen naar data en activiteiten die

betekenisvol zijn voor de kinderen zelf, zoals bijvoorbeeld hun verjaardag (Ethridge & King, 2005).

Dit geldt ook voor de indeling van de dag (opstaan, middagmaal, …) (Williams, 2004).

2.2 Breuken

Het leren kennen van breuken en het gebruiken van deze breuken in verschillende soorten

oefeningen, maken deel uit van het curriculum van het lager onderwijs in Vlaanderen (VVKBao,

1998). Concreet komt het concept breuken aan bod in de lessen wiskunde en staan vooral het

herkennen en gebruiken van breuken (op verschillende manieren), de terminologie, het vergelijken

en ordenen van breuken en bewerkingen met breuken, centraal.

23

2.2.1 Ontwikkelen van begrip over breuken

Kinderen hebben niet veel ervaring met breuken buiten de school, en zeker minder dan met

natuurlijke getallen. Maar toch hebben de meeste kinderen wel informele ideeën over verdelen en

delen. Zij hebben een idee van iets eerlijk delen, met vriendjes bijvoorbeeld. Dit idee van eerlijk

delen kan worden gebruikt om kinderen te leren delen in gelijke delen. Instructie over breuken

moet voortbouwen op de informele kennis die de kinderen reeds hebben (National Research

Council, 2001).

2.2.2 Moeilijkheden en fouten

“Fractions are one of the more difficult topics in elementary arithmetic.” (Leinhardt &

Smith, 1985, p. 247)

“Breuken zijn bij uitstek de moeilijkste leerstof op de basisschool” (Aharoni, 2009, p. 162)

2.2.2.1 Wat maakt ‘breuken’ zo moeilijk?

Kinderen hebben moeilijkheden met breuken omdat breuken complex zijn (Bezuk & Cramer, 1989;

Leinhardt & Smith, 1985).

Om te beginnen kan wat kinderen al geleerd hebben hen in de war brengen: “What is known can

be a barrier to later learnings” (p. 342). Kennis over de natuurlijke getallen kan een barrière

vormen voor het leren van breuken (Hartnett & Gelman, 1998). De principes van de natuurlijke

getallen gelden immers niet altijd bij breuken (Bezuk & Cramer, 1989; Hartnett & Gelman, 1998).

Als eerste is er een verschil tussen natuurlijke getallen en breuken in hun representatie. Natuurlijke

getallen worden voorgesteld door één getal, terwijl breuken worden gerepresenteerd door twee

getallen die gescheiden worden door een lijn (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Ook kunnen breuken

niet geordend worden op basis van tellen, wat we wel doen bij natuurlijke getallen (Hartnett &

Gelman, 1998; Stafylidou & Vosniadou, 2004). 31 is bijvoorbeeld kleiner dan

21 , terwijl 3 wel

groter is dan 2. Kinderen moeten dus leren dat hoe meer delen er zijn bij breuken, hoe kleiner elk

deel zal zijn. Als breuken een gelijke noemer hebben, mogen kinderen hun eerder geleerde

regeltjes wel toepassen. 75 is bijvoorbeeld groter dan

72 , want 5 is groter dan 2 (Bezuk & Cramer,

1989).

Ten derde verschillen breuken van natuurlijke getallen doordat er bij breuken geen ‘kleinste’ getal

is. Als laatste zijn er ook duidelijke verschillen tussen de bewerkingen met natuurlijke getallen en

bewerkingen met breuken (Stafylidou & Vosniadou, 2004).

Kinderen moeten ook leren dat er tussen twee natuurlijke getallen (bijvoorbeeld 0 en 1) oneindig

veel getallen liggen, die kunnen worden voorgesteld door breuken (Hartnett & Gelman, 1998).

24

1 0

43

Kieren (1976; 1980) onderscheidt in het concept breuken vijf subconstructen. Een breuk als deel-

geheel, ratio of verhouding, operator, quotiënt en hoeveelheid. Breuken zijn complex en kinderen

hebben er moeilijkheden mee door deze verschillende subconstructen (Kieren, 1976; 1980).

Een breuk als deel-geheel subconstruct duidt één of meer delen aan van een geheel dat verdeeld

is in een aantal gelijke delen. Bij het ratio subconstruct is de breuk een vergelijking tussen twee

hoeveelheden. Een breuk kan ook dienen als operator, om bewerkingen uit te voeren. De breuk,

als operator subconstruct, vergroot of verkleint een getal. Bij het quotiënt subconstruct is de

breuk het resultaat van een deling. Bij het laatste subconstruct geeft de breuk een getal, een

hoeveelheid, dat de afstand vanaf een bepaald punt aanduidt op een getallenas (Lamon, 1999).

De vijf subconstructen toegepast op de breuk 43

geeft het volgende (National Research Council,

2001).

- Deel-geheel: 3 van de 4 gelijke delen.

- Ratio: 3 rode auto’s voor elke 4 groene auto’s.

- Operator: 43 van 12, is 9.

- Quotiënt: 3 gedeeld door 4.

- Hoeveelheid:

Breuken zijn ook abstract. Een breuk geeft de relatie weer tussen de delen en het geheel, en

relaties zijn abstract (Aharoni, 2009).

Breuken zijn eveneens moeilijk omdat in een breuk twee getallen worden gebruikt om één

hoeveelheid aan te duiden. Ook kunnen breuken met verschillende getallen toch dezelfde

hoeveelheid aanduiden. 21

en

84 zijn bijvoorbeeld breuken met verschillende getallen die toch

dezelfde hoeveelheid, de helft van het geheel, voorstellen (Leinhardt & Smith, 1985).

2.2.2.2 Welke fouten worden gemaakt?

Aanvankelijk worden vaak fouten gemaakt omdat kinderen er wel van uit gaan dat een getal

gevormd wordt door dingen bij elkaar op te tellen. Daardoor gaan ze dus denken dat 41 groter is

dan 21 omdat 4 groter is dan 2. De principes die de waarde of grootte van een breuk bepalen zijn

echter niet dezelfde als bij de natuurlijke getallen (Hartnett & Gelman, 1998).

Veel kinderen blijven dus eigenlijk wel de principes van natuurlijke getallen gebruiken en daardoor

maken ze fouten (National Research Council, 2001).

Kinderen maken ook fouten omdat ze een breuk zien als twee onafhankelijke natuurlijke getallen

en niet als de relatie tussen teller en noemer (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Ze moeten een breuk

leren zien als één getal en niet als twee verschillende getallen (National Research Council, 2001).

25

2.2.3 Strategieën om problemen te voorkomen

Bij het aanleren van breuken zijn visuele voorstellingen heel belangrijk (Bezuk & Cramer, 1989). Er

moet gewerkt worden met materialen om nieuwe wiskundige concepten aan te leren (Hartnett &

Gelman, 1998).

“One very good way for students to develop the meaning of fractional numbers is to use

concrete materials.” (May, 1995, p. 26)

Kinderen moeten oefenen met concrete voorbeelden en tekeningen (Aharoni, 2009). Deze helpen

het idee van breuken te begrijpen. Voorstellingen zouden in elk leerjaar moeten worden gebruikt

om verschillende elementen van breuken aan te leren. Een gekende voorstelling zijn bijvoorbeeld

de breukencirkels, zoals in figuur 5 (Bezuk & Cramer, 1989).

Figuur 5: Breukencirkels

Behr, Lesh, Post en Silver (1983) raden aan om verschillende voorstellingen te gebruiken. Meer

dan één voorstelling gebruiken zou het begrip van de leerlingen verbeteren en het abstracte idee

van breuken bevorderen, los van een bepaalde grootte of vorm van de voorstelling.

May (1995) raadt aan om kinderen zelf de voorbeelden en materialen te laten verdelen. Door het

zelf te doen, zullen kinderen meer leren dan door er gewoon naar te kijken. Ook het gebruiken van

voorwerpen uit de werkelijkheid: een doos eieren bijvoorbeeld, of een pizza, de 24 uren in een

dag, … zijn heel goede voorbeelden (May, 1995).

Het leren van de begrippen en relaties van breuken is eveneens belangrijk (Bezuk & Cramer,

1989). Zeker het begrijpen van het concept ‘geheel’ is belangrijk (Stafylidou & Vosniadou, 2004).

Het kennen van de begrippen is noodzakelijk vóór kinderen bewerkingen met breuken uitvoeren.

Deze bewerkingen zouden pas mogen aangeleerd worden als leerlingen de begrippen en relaties

goed onder de knie hebben (Bezuk & Cramer, 1989).

26

3 ONDERZOEKSVRAGEN

Uit het theoretisch kader weten we dat leerkrachten hun leerlingen moeten kennen. Ze moeten hun

leerlingen begrijpen, rekening houden met hun voorkennis en mogelijkheden (Ernest, 1989;

Shulman, 1986; Shulman, 1987; Krauss, et al., 2008). Deze kennis is bepalend voor de

instructieaanpak (Ernest, 1989). Leerkrachten moeten die instructiestrategieën kiezen die de

leerstof begrijpbaar maakt voor de leerlingen (Shulman, 1986; 1987). Ze moeten dus weten op

welke manier je kennis moet overbrengen zodat de leerlingen het begrijpen (Ernest, 1989).

Daarom wordt in een eerste onderzoeksvraag nagegaan wat leerkrachten weten over hun

leerlingen en wat ze weten over hun instructie.

Verschillende auteurs (Maas, 2000; Sternberg & Horvath, 1999) geven aan dat impliciete kennis

wordt verworven door ervaring. Het is niet iets wat je kan leren uit boeken, maar enkel door jezelf,

door eigen ervaringen (Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995). Hoe meer ervaring iemand

heeft, hoe groter de mate van impliciete kennis zou zijn (Wagner, 1987).

In een tweede onderzoeksvraag wordt nagegaan op welke manier het aantal jaar ervaring van

leerkrachten in het onderwijs een invloed heeft op hun impliciete kennis.

In de literatuur wordt ten slotte ook aangegeven dat impliciete kennis het gedrag stuurt

(Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995). Impliciete kennis heeft invloed op en geeft

richting aan ons handelen (Swart, 2009; van Houten, 2004).

Daarom wordt in een laatste onderzoeksvraag nagegaan op welke manier de impliciete kennis van

leerkrachten een invloed heeft op hun manier van lesgeven.

Samengevat geeft dit onderzoek een antwoord op de volgende drie onderzoeksvragen.

1. Wat weten leerkrachten over hun leerlingen en over hun instructie?

2. Op welke manier heeft het aantal jaar ervaring van leerkrachten in het onderwijs een

invloed op hun impliciete kennis?

3. Op welke manier heeft de impliciete kennis van leerkrachten een invloed op hun manier

van lesgeven?

Deze onderzoeksvragen worden schematisch voorgesteld in figuur 6.

Impliciete kennis

Instructiestrategie elf Leerlingen

Ervaring & Expertise

Lesgeven: aanleren van tijd en breuken

Figuur 6: Onderzoeksvragen

27

Deel 2: Onderzoek

4 METHODOLOGIE

Met deze verkennende studie wordt onderzoek verricht naar elementen van impliciete kennis van

leerkrachten lager onderwijs over het aanleren van de onderwerpen tijd en breuken. Er worden

kwalitatieve gegevens verzameld aan de hand van interviews.

4.1 Participanten

Elf leerkrachten uit de Vrije Basisschool Scheldewindeke (VBS) namen deel aan het onderzoek. Dit

betekent dat er voor bijna elk leerjaar twee leerkrachten werden geïnterviewd. De leerkrachten

hadden gemiddeld 15,45 jaar ervaring in het onderwijs (SD = 9,09) en 11,09 jaar ervaring in het

huidige leerjaar (SD = 7,91). In tabel 1 worden de gegevens per leerkracht weergegeven.

Interview Geslacht Klas Ervaring in onderwijs Ervaring in huidige klas

1 Vrouw 6de leerjaar 17 jaar 8 jaar



4 Man 2de leerjaar 21 jaar 19 jaar




8 Man 5de leerjaar 33 jaar 22 jaar

9 Vrouw 5de & 6de leerjaar 12 jaar 10 jaar

10 Vrouw 1ste leerjaar 26 jaar 25 jaar

11 Vrouw 1ste leerjaar 14 jaar 11 jaar

Tabel 1: Participanten

4.2 Interview

4.2.1 Opstellen van het interview

Aan de hand van het theoretisch kader werden een aantal vragen opgesteld als leidraad bij de

interviews (bijlage 1). Deze vragen zijn flexibel en kunnen tijdens het interview worden aangepast

en aangevuld. Er wordt dus gebruik gemaakt van een halfgestructureerd individueel face-to-face

interview. Daarbij liggen de onderwerpen en belangrijkste vragen vast, maar blijft er wel ruimte

om van de vragenvolgorde of vragenformulering af te wijken (Baarda, de Goede, & Teunissen,

2005).

Het interview bestaat uit vier delen. Enkele algemene gegevens over de leerkracht, vragen over

tijd, dezelfde reeks vragen over breuken en als laatste nog een aantal algemenere vragen over het

lesgeven.

28

4.2.2 Afnemen van het interview

De interviews werden allemaal afgenomen op de school, tijdens een vrij moment van de leerkracht.

De algemene gegevens werden door de leerkracht zelf ingevuld, de andere vragen werden gesteld

en beantwoord in een gesprek tussen de leerkracht en de onderzoeker.

Bij de leerkrachten van het eerste leerjaar valt het stuk over breuken weg omdat dit nog niet aan

bod komt in het eerste leerjaar (VVKBaO, 1998).

De duur van de interviews is vooral afhankelijk van de leerkrachten. Het interview met de

leerkrachten van het eerste leerjaar duurde gemiddeld 14 minuten en 48 seconden. Het interview

met de andere leerkrachten duurde gemiddeld 24 minuten en 7 seconden.

Om de gesprekken zo vlot mogelijk te laten verlopen en de betrouwbaarheid van de interviews te

waarborgen, werden alle interviews digitaal opgenomen (Billiet & Waege, 2003).

4.3 Verwerken gegevens

De interviews werden, met toestemming van de leerkracht, opgenomen op mp3. Daarna werden de

gesprekken zo letterlijk mogelijk uitgetypt (bijlage 2). Het zijn deze uitgeschreven interviews die

werden gebruikt voor verdere analyse.

4.4 Analyse

Om de gegevens, verzameld aan de hand van interviews, te analyseren wordt vaak gewerkt met

codes (Baarda, de Goede, & Teunissen, 2005). De interviews werden verschillende malen

doorgelezen en ingedeeld in fragmenten die een code toegekend kregen. Deze code verwijst naar

het onderwerp waarover in dat fragment gesproken wordt. Het gaat bijvoorbeeld over de code

‘moeilijkheden leerlingen tijd’ of ‘instructiestrategieën breuken’. Daarna werden uit de verschillende

interviews de fragmenten met een zelfde code geknipt en samen in een Word-document geplaatst.

Dit geeft een overzicht van wat alle leerkrachten zeggen over een bepaald onderwerp. Nadien werd

elke code meer in detail bekeken en werd gezocht naar welke specifieke informatie de leerkrachten

over de verschillende onderwerpen geven. Ook deze informatie kreeg een code toegekend.

Daarnaast werden de kwalitatieve gegevens gekwantificeerd. Voor elke code werd geteld hoeveel

leerkrachten iets over deze code vertellen tijdens het interview. Deze kwantitatieve gegevens

worden weergegeven in diagrammen.

Voor bepaalde analyses werden eveneens binnen de interviews verschillende codes met elkaar

vergeleken. Zo werden bijvoorbeeld de gebruikte instructiestrategieën vergeleken met de, door de

leerkracht, aangegeven moeilijkheden van de leerlingen. Ook om de relatie tussen ervaring en

expertise en andere factoren na te gaan, werd binnen de interviews naar resultaten gekeken (tabel

3).

29

4.5 Beschrijving resultaten

In een eerste deel worden de resultaten over moeilijkheden bij tijd en breuken beschreven. Deze

beschrijving geeft een globaal beeld per graad van wat, volgens de bevraagde leerkrachten,

moeilijk is bij tijd en breuken voor de leerlingen.

De overige resultaten worden meer in detail besproken. Daarbij wordt ook aangegeven hoeveel

leerkrachten een bepaald resultaat aanhalen tijdens het interview.

Om de beschrijving van de resultaten te verduidelijken, wordt gebruik gemaakt van citaten uit de

interviews.

30

5 RESULTATEN

5.1 Kennis van leerkrachten over leerlingen en instructie

Uit de verschillende interviews kan informatie gehaald worden over aspecten rond het aanleren van

tijd en breuken. Het gaat onder andere over hoe goed leerkrachten hun leerlingen kennen en of ze

hun instructie aanpassen aan deze kennis.

5.1.1 Leerlingen

5.1.1.1 Moeilijkheden met tijd en breuken

Leerkrachten zijn in staat duidelijk aan te geven waar leerlingen vooral moeilijkheden mee hebben,

bij het leren van tijd en breuken. Deze moeilijkheden en fouten zijn gebonden aan het leerjaar,

maar toch blijven dezelfde moeilijkheden wel terugkomen.

Voor tijd gaat het in de eerste graad vooral over problemen met allerlei begrippen: dagen van de

week, maanden, gisteren, eergisteren, morgen en overmorgen, …

Ook in de tweede graad blijven begrippen moeilijk voor sommigen. Problemen met het kloklezen

zelf komen ook vooral hier voor, zowel met analoge als digitale klok of met de overgang tussen

beiden. Tijdsverschillen berekenen en het berekenen van het aantal dagen ‘van … tot (en met)’ of

‘tussen’ blijkt eveneens moeilijk te zijn.

Met deze berekeningen blijven de leerlingen ook moeilijkheden hebben in de derde graad.

Ook voor breuken werd gevraagd naar de moeilijkheden die leerlingen ondervinden.

In het tweede leerjaar blijken de leerlingen nauwelijks fouten te maken met breuken.

In het derde en vierde leerjaar, tweede graad, ontstaan wel problemen rond breuken. Vooral met

het interpreteren van de breuk en het maken van de juiste verdeling hebben kinderen het moeilijk.

Daarnaast hebben ook veel leerlingen moeilijkheden met het vergelijken van verschillende soorten

breuken.

Dit blijft, naast de problemen met bewerkingen en het situeren op een getallenas, ook moeilijk in

de derde graad.

Leerkrachten hebben dus kennis over waar de moeilijkheden zitten in de leerstof. Wat hier echter

vooral interessant is, is of leerkrachten ook kunnen aangeven wat de oorzaken zijn van de fouten

die leerlingen maken. Deze vraag blijkt vaak moeilijker te beantwoorden. Zoals aangegeven in

figuur 7 en 8, hebben leerkrachten toch kennis over bepaalde factoren die het leren van tijd en

breuken moeilijk maken.

31

5.1.1.2 Oorzaken van moeilijkheden

Factoren moeilijkheden tijd

Figuur 7: Factoren moeilijkheden tijd

Uit de verschillende interviews blijkt dat ‘inzicht’ een belangrijke factor is bij rekenen, ook om tijd

te begrijpen. Negen van de elf leerkrachten geeft ‘inzicht’ als een bepalende factor voor het al dan

niet begrijpen van de leerstof. Kinderen moeten inzicht hebben in de klok, in de tijd. Kinderen met

een zwak inzicht hebben dan ook moeite met kloklezen en andere aspecten van tijd, zoals de

kalender. Deze leerlingen gaan ook nog geen verbanden leggen.

Wij leggen verbanden, zoals in november hebben we over Wapenstilstand gesproken… 1 en

2 november, oké, wij leggen direct dat verband, maar zij gaan niet direct dat verband

leggen, dat is … ze hebben daar echt geen enkel zicht op. (interview 4)

Hoewel Wapenstilstand gevierd wordt op 11 november, en 1 en 2 november feestdagen zijn van

Allerheiligen en Allerzielen, maakt dit citaat wel duidelijk dat er een verband kan gelegd worden

tussen gebeurtenissen (feestdagen) en de maanden van de kalender.

Naast het inzicht dat leerlingen nodig hebben om de leerstof te begrijpen, heeft één leerkracht het

ook over het ‘tijdsbesef’ van de leerlingen.

Je hebt echt kinderen die geen tijdsbesef hebben en die daar heel veel moeite mee hebben.

Mijne zoon is ook zo, die is nu … die zit in het eerste middelbaar, maar die vraagt dus nog,

welke dag zijn wij morgen of vandaag? Dat is onge… Je kunt dat niet … hij weet wel de

volgorde van de week en zo, maar welke dag we zijn op dat moment, ja, neen … (interview

3)

Zeven van de elf leerkrachten geeft onder meer aan dat het dagelijks leven eveneens een rol

speelt. Het al dan niet aan bod komen van tijd of tijdsbegrippen in het dagelijks leven zou een

oorzaak kunnen zijn van bepaalde moeilijkheden. Kinderen zijn het niet gewoon om begrippen als

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Inzicht Tijdsbesef Dagelijks leven

Abstract gemakzuchtig Taal

Aantal leerkrachten

32

‘semester’, ‘trimester’, … te gebruiken. Zaken die niet veel voorkomen in onze dagelijkse taal zijn

voor kinderen vaak moeilijker om te leren. Dit geldt ook voor het kloklezen. Kinderen die in het

dagelijks leven meer geconfronteerd worden met de digitale klok, hebben daar over het algemeen

minder moeilijkheden mee. Ook het omgekeerde kan gezegd worden. Wie elke dag op een analoge

klok het uur leest, zal dit sneller onder de knie hebben. Daarbij komt ook nog dat we in het

dagelijks leven de analoge klok vaak niet tot op de minuut nauwkeurig, zelfs niet tot op vijf

minuten nauwkeurig gaan aflezen. Vijf voor half vijf wordt in spreektaal vaak ‘bijna half vijf’. Dit

zou het kloklezen voor bepaalde kinderen moeilijker maken, doordat ze het niet gewoon zijn. Het is

gemakkelijker om zaken te begrijpen die ook veel gebruikt worden.

En de dagen van de week, die worden meer gezegd hé. Maandag, dinsdag, … dat wordt

veel gezegd, maar dat van een maand wordt minder gezegd, dat komt minder … in de

dagdagelijkse omgangstaal bij de mensen ook worden de dagen van de week heel veel

genoemd, maar maanden worden minder vernoemd. Zo zie je dat ook bij de klok. Wij gaan

nooit ons klok zeggen in digitaal, dat is een taal die we niet gebruiken. Daardoor hebben ze

daar ook meer last mee, omdat dat minder aan bod komt, of helemaal niet. (interview 4)

Moeilijkheden ontstaan mede doordat tijd abstract is voor de leerlingen. Vijf van de elf leerkrachten

halen dit aan tijdens het interview. Tijdsbegrippen zijn niet concreet. Je kan een maand

bijvoorbeeld niet vastpakken. Ook voor kloklezen is dit het geval: een uur, een minuut, … Of

vooruit denken in de tijd, is niet evident voor een kind. Tijd is een abstract concept. Doordat dit zo

abstract is hebben kinderen vaak problemen om het zich te kunnen voorstellen.

Het aantal dagen van een maand, voor hen is dat heel abstract en verstaan echt niet

waarom het de ene keer dertig is en de andere keer eenendertig. (interview 7)

Drie van de elf leerkrachten legt de oorzaak van de fouten tevens bij het gemakzuchtig zijn van de

leerlingen. Ze willen te snel zijn of lezen hun opgave niet goed. Leerlingen moeten de moeite doen

om in stappen te werken. Ze moeten het stappenplan volgen, maar nemen daar vaak niet de tijd

voor. Ze willen te vlug zijn en maken daardoor fouten. Fouten die ze niet zouden maken als ze de

tijd zouden nemen om de oefening met tussenstappen te maken.

Verder wijzen vier leerkrachten op de ‘taal’. Het gaat soms over begrippen die de kinderen niet

gebruiken of waarvoor kinderen een andere benaming hebben. Dit is bijvoorbeeld het geval voor

‘kwart over’. Kinderen gaan ‘kwart na’ gebruiken in plaats van ‘kwart over’. Nog bij het kloklezen is

het zo dat wij in onze taal aflezen naar het volgende uur.

Bijvoorbeeld half 9, dat is ook een typische fout die ze blijven houden, half 9 … dus die 9

uur … en ze gaan dan digitaal schrijven 09:30u. Dat is verkeerd interpreteren, die 09:30u,

dat dat half 10 is. Dat is ook een typische fout en ik denk dat dat ook is, gewoon door …

dat is taal hé … half 9, dat dat logisch is dat je dan denkt als kind, 9 uur 30. (interview 5)

33

Factoren moeilijkheden breuken

Figuur 8: Factoren moeilijkheden breuken

In figuur 8 wordt getoond wat volgens de leerkrachten de oorzaken zijn van de moeilijkheden die

leerlingen ervaren bij breuken. Hier gaat het wel slechts om negen leerkrachten. De twee

leerkrachten van het eerste leerjaar werden immers niet bevraagd over breuken.

Ook hier speelt het inzicht van de leerlingen weer een belangrijke rol in het al dan niet begrijpen

van de leerstof rond breuken. Zes van de negen leerkrachten haalt dit aan tijdens het interview.

Leerlingen met een zwak inzicht zullen ook problemen hebben met breuken. Leerlingen met minder

inzicht kunnen het zich vaak ook moeilijker voorstellen.

In vier van de negen interviews geeft de leerkracht aan dat veel van de moeilijkheden

samenhangen met het voorstellingsvermogen van de leerlingen. Het is belangrijk bij breuken dat

kinderen zich dat kunnen voorstellen. In het begin worden breuken vaak wel visueel voorgesteld,

met concreet materiaal of schematisch. Maar het is uiteindelijk de bedoeling dat leerlingen zich zelf

(mentaal) iets kunnen voorstellen bij wat een bepaalde breuk betekent. Ontbreekt dit vermogen

tot voorstellen, dan komen ze vaak in de problemen. Voorstellingen bij breuken zijn ook heel

belangrijk om het concreter te maken. Zonder voorstellingen blijven breuken veel te abstract voor

de leerlingen.

Omdat ze zich dat moeilijk kunnen voorstellen. Dat ze eigenlijk nog altijd die breukentafel,

die breukstaven zouden nodig hebben eigenlijk. (interview 9)

Slechts twee leerkrachten schrijven de moeilijkheden echter toe aan het feit dat breuken abstract

zijn. Van deze abstractie is zeker sprake als de noemer van de breuk verschilt van het aantal delen

waarin het geheel is verdeeld.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Inzicht Dagelijks leven Abstract Voorstellings‐vermogen

Analogie

Aantal leerkrachten

34

Het is veel gemakkelijker als het over achtsten gaat en er zijn ook acht stukjes, anders is

het veel abstracter. (interview 6)

Zes leerkrachten duiden ook hier, bij breuken, weer op de factor ‘dagelijks leven’. Breuken worden

zelden gebruikt in het dagelijks leven. Kinderen komen hier eigenlijk nauwelijks mee in contact. Dit

is volgens deze leerkrachten wat breuken zo moeilijk maakt. Kinderen zijn het niet gewoon om met

breuken te werken, er is te weinig een link met het dagelijks leven. Zoals in interview 5 gezegd

wordt: breuken zijn voor kinderen een ‘ver van mijn bed show’.

Wij werken niet in breuken in het dagelijks leven, bij niets. Geef mij 31 van de pizza, dat

zeg je niet als je pizza aan het eten bent. Geef mij de helft of geef mij nog een stuk. Je

denkt wel na als je met zoveel personen bent om de taart te verdelen, maar dan ga je niet

zeggen wie moet er 32 van de taart hebben. Dus breuken worden jammer genoeg, sluiten

absoluut niet aan. (interview 1)

Drie leerkrachten geven tenslotte aan dat leerlingen fouten maken omdat ze redeneren naar

analogie met vroeger geleerde rekenoefeningen. Bij het vergelijken van breuken met dezelfde

noemer, is de breuk met het grootste getal in de teller ook de grootste breuk. Bij stambreuken is

dit echter omgekeerd. Hoe groter daar het getal in de noemer, hoe kleiner de breuk. Dit strookt

niet met wat kinderen altijd geleerd hebben. Ook bij het delen van een breuk door een natuurlijk

getal maken leerlingen fouten omdat ze redeneren zoals ze altijd geleerd hebben. Om een breuk te

delen door een natuurlijk getal moet je echter gaan vermenigvuldigen.

104 ,

102 , … het grootste getal geeft de grootste breuk, en bij stambreuken is het

omgekeerd. Hoe kleiner uw dinges hoe groter uw breuk en dat … ja het is logisch dat ze die

fout maken. (interview 2)

Als je bijvoorbeeld 94 moet delen door 3, moet je eigenlijk je noemer gaan

vermenigvuldigen. En voor kinderen is dat eigenlijk niet vrij logisch. (interview 8)

35

Andere beïnvloedende factoren

Figuur 9: Anderen beïnvloedende factoren

Tijdens de interviews gaven de leerkrachten ook nog een aantal andere factoren aan die een

invloed hebben op de prestaties van de leerlingen. Intelligentie, thuissituatie, interesse,

ontwikkeling en persoonlijke aanleg zouden kunnen bepalen of een leerling al dan niet

moeilijkheden ervaart met het verwerven van bepaalde leerstof, met het leren van tijd en breuken.

Door hoeveel leerkrachten elke factor werd aangehaald, is terug te vinden in figuur 9.

Meer dan de helft, zeven van de elf leerkrachten, ziet dat de invloed van thuis niet onbelangrijk is.

Dit geldt zeker voor het aanleren van tijd. Voor het aanleren van breuken is de thuissituatie minder

bepalend. Één leerkracht heeft het bijvoorbeeld wel over het spel ‘trivial persuit’.

Die stukjes die ze tot een geheel moeten zien. Diegene die het dan wel breed hebben thuis,

gaan dat spel hebben en zien ‘Ik ontbreek nog twee van de zes stukken en mijn cirkel is

rond, ik moet nog twee vragen …’. In die zin kan het wel ook een rol spelen. (interview 1)

Voor tijd zijn veel leerkrachten ervan overtuigd dat ouders daarin een grote rol spelen. Op

oudercontacten wordt er zelfs op gewezen dat het belangrijk is dat daar thuis ook op wordt

geoefend. De leerkracht in interview 4 spreekt over een wisselwerking tussen de klas en thuis. Je

merkt verschillen tussen leerlingen waar thuis aandacht is voor de tijd. Ouders die af en toe aan

hun kinderen vragen hoe laat het is, een klok plaatsen in de slaapkamer, een uur afspreken om

naar televisie te mogen kijken, … Als er thuis aandacht voor is, als ook ouders daar thuis mee

bezig zijn, hebben leerlingen daar op school veel minder problemen mee, hebben ze dat sneller

onder de knie. De invloed van thuis is dus belangrijk.

Je hebt ouders die al van heel vroeg als ze kleuter zijn zeggen ‘nog drie keer slapen en dat

…’ of die systemen thuis hebben om af te spreken. Of je hebt ouders die kinderen thuis al

de klok leren lezen, voor televisie enzo bijvoorbeeld. En kinderen dan heb je er ook die

daar niet mee in contact komen. (interview 10)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Intelligentie Thuissituatie Interesse Ontwikkeling (rijpheid)

Persoonlijke aanleg

Aantal leerkrachten

36

Naast het al dan niet oefenen met de kinderen thuis, speelt ook de achtergrond van de ouders een

rol. Dit zowel bij tijd als bij breuken.

Kinderen die nog terecht kunnen bij hun ouders met hun huiswerk en anderen waar de

leerprestaties van de ouders ook niet zo schitterend zijn. Dan staan de kinderen er weer

alleen voor. Dat is ook wel een invloed eigenlijk. Die geraken dan thuis in de knoop, want

die mensen proberen dat op hun manier, maar dat is dan een helemaal andere manier.

(interview 1)

Vier leerkrachten wijzen op intelligentie van de leerlingen als beïnvloedende factor. Kinderen die

minder begaafd zijn, hebben meer moeilijkheden om de leerstof van tijd en breuken te verwerken.

Één leerkracht heeft het ook over de interesse van het kind.

Sommige kinderen willen al vanaf de tweede kleuterklas de klok leren lezen. (interview 10)

Zes leerkrachten geven aan dat de ontwikkeling van het kind evenzeer een rol speelt. Soms zijn

kinderen gewoon nog te jong of niet rijp genoeg om bepaalde leerstof te begrijpen. Het gebeurt

vaak dat kinderen in het tweede leerjaar met iets heel wat moeilijkheden hebben, terwijl dat dit

eens ze in het derde leerjaar zitten heel wat vlotter gaat. Het is ook zo dat naarmate kinderen

ouder worden, ze meer abstracte dingen gaan begrijpen. Voor sommige leerlingen is het soms

gewoon te vroeg om hen dingen aan te leren. In het begin van het eerste leerjaar bijvoorbeeld heb

je kinderen die nog erg ‘kleuterachtig’ zijn. Zij zijn nog niet schoolrijp, en dan is het moeilijk om

hen bijvoorbeeld de begrippen overmorgen en eergisteren aan te leren. Even wachten en de

kinderen tijd geven zich te ontwikkelen kan hier wel helpen.

Wat ik dan doe, is soms eens een tijdje laten bezinken, en dan na een periode weer

herhalen. En ondertussen zijn de kinderen soms ook al iets rijper geworden. Dat vind ik wel

belangrijk als leerkracht dat je kijkt naar die evolutie van het kind. Ja, september of

februari … in het derde leerjaar, is zes maand … En zeker bepaalde kinderen die zwakker

zijn voor rekenen zie je wel evolueren. Oké, ze staan wel soms nog aan de staart van de

klas, maar dat ze toch rijper worden om dergelijke leerstof te begrijpen. (interview 5)

Tenslotte spreken vier van de elf leerkrachten nog over ‘persoonlijke aanleg’. Het ene kind verschilt

van het andere, en het ene kind heeft meer moeilijkheden dan het andere. Sommige kinderen

hebben een goed geheugen, anderen hebben een brede algemene kennis, … Het is dus ook

kindgebonden. De ene is goed in sport, de andere in tekenen, nog een andere in taal, en een

andere in rekenen. Deze verschillen van persoon tot persoon hebben ook een invloed op de

moeilijkheden die leerlingen al dan niet ervaren.

Je hebt kinderen die zich vanalles goed kunnen voorstellen, en bij die gaat dat vlotter gaan.

En je hebt kinderen die dat dan helemaal niet kunnen. (interview 4)

37

5.1.1.3 Welke leerlingen?

Zowel voor tijd als voor breuken zijn de leerkrachten die werden geïnterviewd het niet eens over

welke leerlingen nu juist moeilijkheden hebben met tijd of met breuken. Zijn dat de leerlingen die

over het algemeen zwakker zijn voor wiskunde, of niet?

Figuur 10: Leerlingen moeilijkheden tijd Figuur 11: Leerlingen moeilijkheden breuken

Voor tijd (figuur 10) zeggen zeven van de elf leerkrachten dat de leerlingen die in het algemeen

zwak zijn ook met tijd moeite hebben. Leerlingen die problemen hebben met bewerkingen,

vraagstukken, getallenkennis, … hebben het vaak met alle delen van rekenen moeilijk. De overige

vier leerkrachten spreken dit echter tegen. Meetkunde (tijd) zou iets helemaal anders zijn dan

werken met getallen.

Je hebt kinderen die heel goed zijn met getallen, maar ze komen aan meetkunde en ze

blokkeren precies dan. (interview 2)

Een andere leerkracht haalt aan dat de moeilijkheden bij tijd eerder te maken hebben met taal. Het

zwakker zijn in taal met de verschillende begrippen.

Ik heb zo iemand in mijn achterhoofd maar die is wel heel sterk in gewoon optelsommen en

aftrekken en optellen en zo van die dingen, maar dan heeft hij meer problemen met dat.

Maar als je dan kijkt naar zijn resultaten voor taal, dan zijn die wel duidelijk een stuk

minder dan rekenen. (interview 7)

Voor breuken (figuur 11) zeggen zes leerkrachten dat het ook hier de algemeen zwakkere

leerlingen zijn. Twee leerkrachten zeggen dat dit niet zo is, en één leerkracht weet het niet. Deze

leerkracht is dan ook nog maar net gestart met voor het eerst breuken aan te leren aan kinderen.

Volgens de meeste leerkrachten zijn het dus de leerlingen die algemeen zwak zijn voor wiskunde.

Het zijn diegene die geen wiskundig inzicht hebben. Dit inzicht is bepalend voor alle aspecten van

de wiskunde, ook voor breuken. Breuken heeft ook te maken met hoofdrekenen, tafels en

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Tijd

Aantal leerkrachten

Zwakke lln

Geen zwakke lln

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Breuken

Aantal leerkrachten

Zwakke lln

Geen zwakke lln

Geen idee

38

delingen, … Leerlingen die daar moeilijkheden mee hebben, ervaren dus ook problemen met de

leerstof van breuken.

81

over zetten naar 1000, dat heeft met hoofdrekenen uiteindelijk al te maken. Vandaar, je

vraag of dat diegene zijn die ook moeilijkheden hebben. Eigenlijk wel, want hier is het maal

dat ze moeten doen. Dus diegene die over wiskundige lijn helemaal, die kunnen dat ook

niet. (interview 1)

Toch blijkt deze redenering niet te gelden voor alle klassen. Het zijn niet altijd de hele zwakke

leerlingen die moeilijkheden hebben met breuken. Ook leerlingen die het goed doen voor

hoofdrekenen, bewerkingen, cijferen, … kunnen toch problemen hebben met het oplossen van

breuken.

Neen, dat is zeer raar. Ik heb een meisje dat zeer goed is in rekenen en ze kan dat nu niet

onthouden precies. En twee jongens die zwak zijn voor rekenen, kunnen die breuken

perfect. En al de rest daar hebben ze moeite mee. Ja, ik heb er een die algemeen zwak is,

ja, breuken is voor hem ook moeilijk. Maar anders zit er zo geen lijn in. (interview 2)

5.1.2 Instructie

Welke instructiestrategieën gebruiken leerkrachten om hun leerstof begrijpbaar te maken voor de

leerlingen? Doorheen de verschillende leerjaren worden, voor het aanleren van tijd en breuken,

vaak dezelfde instructiestrategieën gebruikt.

Voor het aanleren van tijd gaat het hoofdzakelijk over het gebruiken van tussenstappen,

voorbeelden aanhalen uit de leefwereld van de kinderen, werken met concreet materiaal,

schematische voorstellingen en het (dagelijks) herhalen van de leerstof.

Bij breuken is het zich kunnen voorstellen heel belangrijk: concreet, schematisch en in gedachten.

Ook verwoorden en vaak herhalen behoren tot de belangrijkste instructiestrategieën.

Het werken met concrete voorstellingen, met materiaal, wordt vooral gedaan in de lagere leerjaren

of voor de leerlingen met moeilijkheden. Voor het aanleren van breuken zijn de schematische

voorstellingen het belangrijkst en worden deze doorheen de verschillende leerjaren telkens

opnieuw gebruikt.

Sluiten de instructiestrategieën van bepaalde leerkrachten aan bij wat zij aangeven als factoren die

voor moeilijkheden zorgen?

Het duidelijkst kan dit, voor tijd, worden nagegaan met de factor ‘abstract’ (tabel 2). Volgens vijf

van de elf leerkrachten maken kinderen fouten bij tijd omdat tijd een abstract concept is. Werken

met concreet materiaal zou een goede instructiestrategie zijn om dit probleem op te vangen. Alle

leerkrachten die aangeven dat het abstract zijn van de tijd een van de oorzaken is waardoor

39

leerlingen moeilijkheden hebben met tijd, zeggen tijdens hun lessen rond tijd te werken met

concreet materiaal.

Interview 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Abstract x x x x x

Concreet materiaal x x x x x x x Tabel 2: Moeilijkheden en instructiestrategieën tijd

Deze vergelijking kan ook gemaakt worden voor het aanleren van breuken (tabel 3). Verschillende

leerkrachten geven aan dat leerlingen problemen hebben met breuken doordat ook breuken

abstract zijn en leerlingen zich moeilijk iets kunnen voorstellen bij een breuk. Ook hier is het zo,

dat leerkrachten die deze factoren aangeven als een probleem, tijdens hun instructie werken met

voorstellingen: schematische voorstellingen of concrete voorstellingen, zijnde materialen.

Interview 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Abstract x x

Voorstellingsvermogen x x x x

Schematisch x x x x x x x x

Concreet x x x Tabel 3: Moeilijkheden en instructiestrategieën breuken

Voor de andere factoren die in de interviews werden aangegeven als moeilijkheden voor het

aanleren van tijd of breuken, is het moeilijk ze aan een bepaalde instructiestrategie te koppelen.

Deze twee voorbeelden tonen wel dat instructiestrategieën die factoren die het leren van tijd of

breuken moeilijk maken, kunnen opvangen. Leerkrachten sluiten, toch in deze twee voorbeelden,

hun instructiestrategie aan bij hun leerlingen en hun moeilijkheden.

40

5.2 Ervaring en expertise van de leerkrachten

Het aantal jaar ervaring van de leerkrachten die deelgenomen hebben aan dit onderzoek is erg

uiteenlopend. Het varieert van twee jaar ervaring in het onderwijs en één jaar in het huidige

leerjaar, tot drieëndertig jaar ervaring in het onderwijs en vijfentwintig jaar in dezelfde klas.

In tabel 4 worden het aantal jaren ervaring en andere bevraagde items weergegeven.

Interview 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Jaren ervaring 17 7 19 21 13 6 2 33 12 26 14

… in huidig leerjaar 8 7 12 19 5 2 1 22 10 25 11

Tijd

Inzicht x x x x x x x x x

Tijdsbesef x

Dagelijks leven x x x x x

Abstract x x x x x

Gemakzuchtig x x x

Taal x x x x

Bre

uken

Inzicht x x x x x x

Dagelijks leven x x x x x x

Voorstellingsvermogen x x x x

Analogie x x x

Abstract x x

Intelligentie x x x x

Thuissituatie x x x x x x x

Persoonlijke aanleg x x x x

Ontwikkeling x x x x x x

Interesse x

Afwijken handleiding x x x x

Gekende problemen x x x x x x x x

Differentiatie x x x

Preventief inspelen x x x x

Minder vaste structuur x x Tabel 4: Ervaring en expertise van leerkrachten

Er bestaat echter geen duidelijke relatie tussen het aantal jaar ervaring van de leerkrachten en de

bevraagde items. Verschillende leerkrachten geven in het interview wel zelf aan dat ze gedurende

de jaren in het onderwijs allerlei zaken geleerd hebben uit ervaring. Dit geeft hen meer zekerheid

in hun lesgeven.

Nu weet je al waarover ze struikelen, je weet al waar de problemen en de knelpunten in die

les zitten. […] En dat kan je alleen maar hebben door er in te staan. En het geluk dat je

dan altijd in dezelfde klas mag. Dat is een beetje ervaring. (interview 1)

Als je juist afgestudeerd bent … je bent nog jong, en nog weinig ervaring … En dan met de

jaren krijg je toch wat de ervaring … (interview 3)

41

Dat komt waarschijnlijk wel omdat ik al 19 jaar ervaring heb en dat ik weet waar in feite de

valkuilen zitten. (interview 4)

Door de ervaring weet ik, eens leren met tijd dat helpt niet. Tijd kunnen ze maar leren door

elke dag te doen, door een maand nadien nog een keer te doen. Uit ervaring heb ik dat

geleerd dat je tijd zoveel mogelijk moet herhalen. (interview 10)

Dat ervaring wel degelijk een rol speelt blijkt ook uit interview 7, met een leerkracht uit het tweede

leerjaar. Zij staat nu haar eerste jaar voor deze klas. Een klas die niet te vergelijken is met de klas

waaraan ze vorig jaar les gaf.

Ik kan het eigenlijk niet vergelijken want ik stond vorig jaar in een andere school, in Gent.

Waarvan er 100% allochtonen waren. Het was een volledig ander publiek en een volledig

andere manier van lesgeven. Moest het nu het tweede jaar zijn dat ik hier sta, zou er

misschien wel al verschil zijn. Maar nu is het een zodanig groot verschil. (interview 7)

Voor deze leerkracht is het ook moeilijk om aan te geven waar leerlingen fouten aan maken. Zo

kan ze bij het deel over breuken bijvoorbeeld niet aangeven waar volgens haar de moeilijkheden

zitten. Er is ook een deel van de leerstof dat nog niet werd gegeven. In dit geval kan je dus ook

niet preventief inspelen op fouten.

Het is ook nog maar het eerste jaar dat ik dat geef eigenlijk. Ik kan er gewoon nog niet

veel over kwijt. (interview 7)

42

5.3 Lesgeven: aanleren van tijd en breuken

Leerkrachten leren heel wat uit ervaring en dit heeft ook een invloed op hun manier van lesgeven.

Op welke manier het lesgeven van de leerkrachten veranderde door hun jaren ervaring wordt

getoond in figuur 12.

Figuur 12: Verandering door jaren lesgeven

Vier van de elf leerkrachten geeft aan dat zij na een aantal jaar lesgeven hun handleiding niet

meer volgen. De handleiding vormt in het begin een leidraad, die leerkrachten meer dan nodig

hebben.

In het begin weet je niet waar je de nadruk op moet leggen, dan volg je eigenlijk

blindelings de handleiding. Maar als je, na verloop van tijd er in staat … Ik kijk nu niet meer

naar mijn handleiding. In het begin was het de handleiding stap voor stap volgen en nu is

de volgorde wel al eens anders. (interview 1)

Maar door het lesgeven, door de ervaring, ondervinden leerkrachten dat het soms ook anders en

misschien wel beter kan dan wat in de handleiding beschreven staat.

Zij geven een voorstelling om die breuken te delen waarvan je zegt ‘zo ingewikkeld’. Je

bent beter met gemakkelijke getallen, zeker om het aan te leren. (interview 1)

Lessen nemen ook niet altijd de tijd in beslag die in de handleiding vooropgesteld staat. Bepaalde

lessen gaan veel sneller en andere vragen dan juist veel meer tijd.

In de handleiding stond daar 500 minuten, maar in feite gaat dat gemakkelijk op 50

minuten, of omgekeerd. (interview 4)

Soms blijkt het ook nodig om nog een les extra te besteden aan een bepaald deel van de leerstof.

Na een aantal keer diezelfde lessen te geven leer je hier dus flexibel mee omgaan.

Ze zijn ergens niet goed mee … kijk, dan geef ik daar nog eens een les aan. Ik kan het

meer inschatten dat ik er ga geraken of niet. (interview 3)

Leerkrachten gaan een eigen manier van lesgeven ontwikkelen. Ze leren ook wat belangrijk is voor

de leerlingen en hebben die handleiding niet meer zo strikt nodig.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Afwijken handleiding

Gekende problemen

Preventief inspelen

Differentiatie Minder vaste structuur

Aantal leerkrachten

43

In het begin denk je, ik moet dat hier allemaal geven of … het staat zo in de handleiding.

Als wij ons leerplan volgen, dan weten wij genoeg. Maar zo bij de zwakken zeg je, wat zijn

ze daarmee? (interview 9)

Wat het meest wordt aangegeven als ‘geleerd doorheen de jaren’, zijn de problemen waar

leerlingen mee te maken krijgen bij het leren van tijd en breuken. Acht van de elf leerkrachten

zegt de leerstof waarmee leerlingen problemen hebben te kennen. Leerkrachten weten waar de

leerlingen over struikelen en waar de knelpunten zitten. Hier wordt dan ook extra aandacht aan

besteed tijdens het aanleren van tijd of breuken.

Het eerste jaar weet je van niets, bij wijze van spreken, en geef je algemeen je les, en

achteraf zie je maar de fouten. Maar nu weet ik op voorhand, daar hebben ze het moeilijk

mee, dus daar ga ik meer tijd aan geven, of wat meer uitleg over geven. (interview 2)

Doordat leerkrachten weten waar leerlingen fouten zullen maken, kunnen ze hier ook op voorhand

op inspelen. Toch geven slechts vier leerkrachten expliciet aan dat zij preventief gaan werken.

Lessen worden bijvoorbeeld aangepast: minder tijd nemen voor de inleiding, om meer tijd te

kunnen spenderen aan daar waar de leerlingen meestal moeilijkheden ondervinden. Preventief

werken is belangrijk om te voorkomen dat weer dezelfde fouten worden gemaakt als vorige jaren.

Als je een les de eerste keer geeft dan weet je nog niet goed waar ze fouten aan gaan

maken of wat ze niet goed kunnen. Buiten een tweede keer ga je meer kunnen preventief

werken. Ga je kunnen zeggen ‘opgelet bij die oefening, want dat is moeilijk, doe het eerst

zo en dan zo’. Doordat je dat al een tweede keer geeft, kan je het eigenlijk veel beter

geven. Je weet dan veel meer waarop je moet letten. (interview 6)

Drie leerkrachten geven daarnaast aan, meer aandacht te hebben voor differentiatie. Voor zwakke

leerlingen wordt bijvoorbeeld meer gefocust op het nuttige en het realistische, terwijl vroeger

iedereen alles moest gezien hebben.

Nu werk ik ook meer gedifferentieerd. In het begin moeten ze zeker naar het bord kijken

zodat ze allemaal mee zijn, maar nu weet je die hebben de uitleg nodig, die kan je vlugger

alleen laten werken, omdat je bij anderen wat meer … (interview 2)

Tenslotte wordt door twee van de elf leerkrachten verteld dat zij nu, meer dan toen ze pas voor de

klas stonden, een minder vaste structuur hanteren. Je leert om de structuur van ‘allemaal samen’

los te laten. De leerkrachten houden zich minder sterk vast aan een vooropgestelde structuur, wat

ook het gedifferentieerd werken ten goede komt.

Als je in het begin lesgeeft, is dat uw les en je wijkt daar niet van af. Je hebt dat

voorbereid en dat moet gebeuren, dan ga je die oefening maken en dan ga je die oefening

maken. En was er iemand die dat al kan, pech, maar dat zit in mijn stramien van dat te

doen. Nu durf je dat loslaten: doe jij dat maar en jij mag dat overslaan, want voor u is dat

te gemakkelijk. Dus dat je uw voorbereiding of uw leerstof een stuk durft loslaten en meer

op maat van de kinderen gaat werken. (interview 11)

44

6 DISCUSSIE

In deze studie naar de impliciete kennis van leerkrachten lager onderwijs met betrekking tot het

aanleren van breuken en tijdgerelateerde vaardigheden werd nagegaan (1) wat leerkrachten weten

over hun leerlingen en hun instructie, (2) wat de invloed is van het aantal jaar ervaring van de

leerkrachten, en (3) hoe dit zich weerspiegelt in hun manier van lesgeven. Aan de hand van

interviews met elf leerkrachten lager onderwijs, werd informatie verzameld over de kennis van

leerkrachten over hun leerlingen en instructie, over de ervaring en expertise van de leerkrachten

en over hun manier van lesgeven.

6.1 Terugkoppeling naar literatuur

6.1.1 Kennis van leerkrachten over leerlingen en instructie

6.1.1.1 Leerlingen

Uit literatuur weten we dat het belangrijk is dat leerkrachten hun leerlingen kennen. Om goed les

te geven moeten leerkrachten rekening houden met de leerlingen en hun mogelijkheden (Ernest,

1989; Krauss, et al., 2008; Shulman, 1986; 1987). Uit het onderzoek blijkt dat leerkrachten in

staat zijn aan te geven met welke leerstof leerlingen vooral moeilijkheden hebben en wat de

oorzaken van deze moeilijkheden zijn. Verschillende van deze, door de leerkrachten vernoemde,

oorzaken kunnen we ook terugvinden in de literatuur.

Oorzaken van moeilijkheden met tijd

Verschillende auteurs schrijven over de abstractie van tijd (Ethridge & King, 2005; Friedman &

Laycock, 1989; Siegler & McGilly, 1989), over de samenhang van tijd met de ontwikkeling van taal

(Dawson, n.d.; Ethridge & King, 2005), en over het belang van dagelijkse activiteiten waarin de

klok een rol speelt (Williams, 2004).

De resultaten uit het onderzoek bevestigen dat tijd een complex concept is voor kinderen. In het

onderzoek wordt door verschillende leerkrachten aangegeven dat kinderen moeilijkheden ervaren

met tijd doordat tijd erg abstract is voor de leerlingen. Tijdsbegrippen zoals maanden, uren of

minuten zijn niet concreet en kinderen kunnen er zich moeilijk iets bij voorstellen.

Tijd kent geen tastbare representaties en dit maakt tijd abstract en moeilijk voor kinderen

(Friedman & Laycock, 1989; Siegler & McGilly, 1989).

Ook taalontwikkeling is van belang voor de ontwikkeling van tijdsbegrip (Dawson, n.d.; Ethridge &

King, 2005). Kinderen moeten begrippen leren (zoals gisteren, eergisteren, …) en hebben het daar

soms moeilijk mee (Ethridge & King, 2005). Ook in de interviews zeggen leerkrachten dat

moeilijkheden met tijd vaak gepaard gaan met begrippen waarvan leerlingen het niet gewoon zijn

ze te gebruiken.

Daarnaast speelt ook onze taal zelf een rol. Kinderen maken fouten doordat we in onze taal het uur

aflezen naar het volgende uur. We zeggen half 9, maar schrijven 8u30. Kinderen maken de fout

door half 9 te zien als 9u30. Onderzoek van Siegler en McGilly (1989) toont dat kinderen inderdaad

45

meer fouten maken in de tweede helft van het uur. In onze taal verandert het referentiepunt daar

ook naar het uur dat komt (Williams, 2004).

Over taal geven leerkrachten ook aan dat kinderen soms foute benamingen gebruiken: ‘kwart na’

i.p.v. ‘kwart over’. Dit is waarschijnlijk toe te schrijven aan het spreken van dialecten.

Uit het onderzoek blijkt dat het dagelijks leven eveneens als oorzaak kan worden beschouwd voor

moeilijkheden die leerlingen hebben met de leerstof van tijd. Williams (2004) schrijft daarover dat

kinderen tijd leren door activiteiten waarin de klok een belangrijke rol speelt.

Burny, Valcke en Desoete (submitted) spreken vervolgens over de sterke relatie met andere

aspecten van wiskunde. Aangezien er een sterk verband is tussen het al dan niet hebben van

rekenmoeilijkheden en de prestaties op kloklezen (kinderen met rekenmoeilijkheden presteren

minder goed), zijn ook de (zwakke) wiskundecompetenties van leerlingen een oorzaak van

moeilijkheden bij tijd.

Geen enkele leerkracht in het onderzoek spreekt echter over het wiskundeniveau van de leerlingen

als oorzaak voor moeilijkheden bij tijd.

Hoewel uit onderzoek (Burny, Valcke, & Desoete, submitted; Andersson, 2008) blijkt dat leerlingen

met rekenmoeilijkheden meer problemen hebben met kloklezen, wordt door vier van de elf

leerkrachten aangegeven dat de leerlingen die moeilijkheden hebben met tijd niet die leerlingen

zijn die over het algemeen zwak zijn voor wiskunde. Volgens deze leerkrachten hebben de

moeilijkheden met tijd eerder te maken met taal, wat wel samenhangt met de relatie tussen tijd en

de ontwikkeling van taal (Dawson, n.d.; Ethridge & King, 2005). De andere zeven leerkrachten

zeggen wel dat leerlingen die moeilijkheden hebben met tijd, vaak ook moeilijkheden hebben met

bewerkingen, vraagstukken, getallenkennis, … Dit wijst dus op de relatie van tijd met andere

aspecten van wiskunde.

Daarnaast worden in de interviews het inzicht van de leerlingen, het al dan niet hebben van

tijdsbesef en het gemakzuchtig zijn van de leerlingen, ook aangegeven als oorzaken voor de

moeilijkheden die leerlingen hebben betreffende de leerstof van tijd.

Oorzaken van moeilijkheden met breuken

Ook voor de moeilijkheden met breuken vinden we een aantal van de, in het onderzoek

aangegeven, oorzaken terug in de literatuur.

Zo haalt Aharoni (2009) aan dat breuken abstract zijn. Een breuk geeft de relatie weer tussen de

delen en het geheel, en relaties zijn abstract (Aharoni, 2009).

In het onderzoek wordt deze abstractie als oorzaak van moeilijkheden ook aangehaald door twee

van de negen leerkrachten.

Zoals bij tijd, wordt in de interviews ook bij breuken het dagelijks leven aangeduid als een oorzaak

van moeilijkheden. Kinderen komen in het dagelijks leven nauwelijks in contact met breuken. Ze

zijn het dan ook niet gewoon om met breuken te werken, en dat maakt het dus moeilijk.

46

Het National Research Council (2001) duidt ook op die afwezigheid van breuken in het dagelijks

leven. Kinderen hebben niet veel ervaring met breuken buiten de school (National Research

Council, 2001). Toch wordt door May (1995) aangeraden de link te leggen met het dagelijks leven,

door tijdens de instructie gebruik te maken van voorwerpen uit de werkelijkheid.

Wat kinderen al eerder leerden, kan hen in de war brengen bij het leren van breuken (Hartnett &

Gelman, 1998). Als kinderen bij breuken steeds redeneren zoals geleerd bij de natuurlijke getallen,

maken ze fouten (Bezuk & Cramer, 1989; Hartnett & Gelman, 1998; National Research Council,

2001). Breuken kunnen bijvoorbeeld niet altijd gerangschikt worden van groot naar klein op basis

van tellen (41 is kleiner dan

21 , hoewel 4 wel groter is dan 2) (Bezuk & Cramer, 1989; Hartnett &

Gelman, 1998; Stafylidou & Vosniadou, 2004).

Een aantal leerkrachten geven in de interviews eveneens aan dat leerlingen fouten maken doordat

ze redeneren naar analogie met de principes van natuurlijke getallen. Bij stambreuken moet echter

omgekeerd geredeneerd worden. De breuk met de grootste noemer is het kleinst.

In de interviews wordt ook aangegeven dat de moeilijkheden met breuken samenhangen met het

voorstellingsvermogen van de leerlingen. Kinderen met een beperkt voorstellingsvermogen zouden

meer moeilijkheden ervaren met breuken.

Voorstellingen helpen immers het idee van breuken beter te begrijpen (Bezuk & Cramer, 1989).

Daarom zijn bij het aanleren van breuken concrete, visuele voorstellingen heel belangrijk (Aharoni,

2009; Bezuk & Cramer, 1989).

Volgens verschillende leerkrachten is het uiteindelijk wel de bedoeling dat leerlingen een mentale

voorstelling kunnen maken van een breuk en geen concreet materiaal meer nodig is. Ontbreekt dit

vermogen tot voorstellen, dan komen deze kinderen vaak in de problemen.

Wat ook besproken wordt in de literatuur, maar niet aan bod komt in de interviews, zijn de vijf

subconstructen van een breuk (Kieren, 1976; 1980). Deze verschillende subconstructen (deel-

geheel, ratio, operator, quotiënt, hoeveelheid) maken breuken complex en moeilijk voor de

leerlingen.

In de interviews wordt dan weer meermaals verwezen naar het inzicht van de leerlingen.

Leerlingen met een zwak inzicht kunnen zich de breuken moeilijker voorstellen en gaan meer

fouten maken.

6.1.1.2 Instructie

Weten wat de oorzaken zijn van de moeilijkheden die leerlingen ervaren is echter niet voldoende.

Het is van belang dat de leerkracht op basis van de kennis over de leerlingen zijn of haar

instructieaanpak gaat bepalen (Ernest, 1989). Leerkrachten moeten op zoek gaan naar

instructiestrategieën die de leerstof begrijpbaar maakt voor de leerlingen (Cochran, DeRuiter, &

King, 1993; Shulman, 1986; 1987). Instructie moet dus een antwoord bieden op de moeilijkheden

van de leerlingen.

47

Tijd

Directe instructie en onderwijs hebben een belangrijke invloed op de ontwikkeling van het

tijdsbegrip van kinderen (Dawson, n.d.) en het leren kloklezen en gebruiken van de kalender

(Williams, 2004). Het leren van tijd is dan ook een onderdeel van het curriculum in het lager

onderwijs.

In de literatuur zijn een aantal tips terug te vinden voor de instructie van tijd. De meeste van deze

strategieën worden ook door de geïnterviewde leerkrachten gehanteerd.

Tijd vraagt veel oefening en herhaling (Dawson, n.d.; Williams, 2004) en moet niet beperkt worden

tot de rekenles (van Galen & Peltenburg, 2008). Tijd kan op elk moment geoefend worden (van

Galen & Peltenburg, 2008).

De leerkrachten in het onderzoek vermelden eveneens het belang van het (dagelijks) herhalen van

de leerstof. Uit het onderzoek blijkt ook dat tijd meer aan bod komt dan enkel tijdens de daarvoor

voorziene lessen. Zo wordt in het eerste leerjaar bijvoorbeeld elk uur het uur en het deel van de

dag luidop gezegd door de leerlingen.

Het is ook zinvol om tijdens lessen rond tijd te verwijzen naar activiteiten die betekenisvol zijn voor

de leerlingen zelf (Ethridge & King, 2005; Williams, 2004). In de interviews wordt het gebruik van

voorbeelden uit de leefwereld van de leerlingen eveneens aangehaald als instructiestrategie.

Leerkrachten verwijzen naar verjaardagen, schooluitstappen, middagmaal, sport, hobby’s, …

Daarnaast werken de leerkrachten ook met concreet materiaal, zoals kalenders en klokken, en

schematische voorstellingen, wat tijd toch wat concreter maakt voor de leerlingen.

van Galen en Peltenburg (2008) geven als tip voor het leren kloklezen, om te beginnen met enkel

de kleine wijzer. Van de bevraagde leerkrachten zijn er echter enkelen die aangeven dat zij starten

met enkel de grote wijzer.

Breuken

Ook voor breuken worden in de literatuur instructiestrategieën beschreven. Het National Research

Council (2001) schrijft dat de instructie over breuken moet voortbouwen op de informele kennis die

kinderen reeds hebben. Hiermee wordt bijvoorbeeld de idee van eerlijk delen met vriendjes

bedoeld (National Research Council, 2001).

In de interviews hebben leerkrachten het eigenlijk enkel over het feit dat breuken niet aansluiten

bij de leefwereld van kinderen. Dat kinderen er onrechtstreeks wel mee in contact komen, daar

lijken ze niet onmiddellijk bij stil te staan.

Wat door verschillende auteurs (Aharoni, 2009; Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983; Bezuk & Cramer,

1989; Hartnett & Gelman, 1998; May, 1995) wordt aangehaald, is het belang van visuele

voorstellingen bij het aanleren van breuken. Er moet gewerkt worden met concrete materialen

(Hartnett & Gelman, 1998) en tekeningen, zoals de voorstelling van de breukencirkels (Aharoni,

2009; Bezuk & Cramer, 1989).

48

Leerkrachten uit het onderzoek geven eveneens aan dat het zich kunnen voorstellen van breuken

heel belangrijk is. ze hanteren zowel concrete als schematische voorstellingen, en uiteindelijk

moeten leerlingen het zich ook mentaal kunnen voorstellen.

Daarnaast zijn ook het verwoorden en vaak herhalen vaak aangehaalde instructiestrategieën.

Instructie aansluitend bij moeilijkheden?

In de literatuur wordt geschreven dat het belangrijk is dat leerkrachten de meest zinvolle

instructiestrategieën kiezen, rekening houdend met de kennis die ze hebben over hun leerlingen

(Cochran, DeRuiter, & King, 1993; Ernest, 1989; Shulman, 1986; 1987).

Verschillende leerkrachten geven in het interview aan dat leerlingen vaak moeilijkheden hebben

met tijd en breuken omdat dit allebei abstracte concepten zijn. Om deze abstractie op te vangen is

het belangrijk dat de leerlingen zich de concepten kunnen voorstellen. Leerkrachten gaan tijdens

hun lessen werken met concrete materialen en schematische voorstellingen. Deze

instructiestrategieën helpen de leerlingen tijd en breuken beter te begrijpen.

6.1.2 Invloed van jaren ervaring

Wat leerkrachten leren door ervaring, is vaak impliciet aanwezig (Maas, 2000; Sternberg &

Horvath, 1999; Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995). Deze impliciete kennis zou groter

worden naarmate het aantal jaar ervaring (Wagner, 1987).

Ondanks de erg uiteenlopende jaren ervaring van de geïnterviewde leerkrachten (2 tot 33 jaar in

het onderwijs, en 1 tot 25 jaar in het huidige leerjaar), is er geen duidelijk verschil tussen

leerkrachten met veel jaren ervaring en leerkrachten met een minder aantal jaren ervaring. Deze

uitspraak is echter enkel geldig voor deze groep leerkrachten en kan niet veralgemeend worden,

daar de steekproef hiervoor te klein is.

Volgens Schempp, Manross, Tan en Fincher (1998) draagt het aantal jaren ervaring in het

onderwijs bij tot meer expertise van de leerkrachten. Deze expertise (en dus het aantal jaar

ervaring van de leerkracht) heeft een invloed op het herkennen van problemen bij leerlingen en

daar op een gepaste manier op kunnen reageren (Schempp, Manross, Tan, & Fincher, 1998).

In dit onderzoek kan echter niet gezegd worden dat leerkrachten die reeds vele jaren in het

onderwijs staan beter kunnen aangeven wat de problemen van de leerlingen zijn, dan leerkrachten

die nog maar enkele jaren in het onderwijs staan. Zowel leerkrachten met veel ervaring als

leerkrachten met minder ervaring zijn in staat aan te geven met wat leerlingen problemen hebben

en wat hiervan de oorzaken zouden kunnen zijn.

Wat we wel kunnen zeggen, is dat er in het gevoerde onderzoek een duidelijk verschil is tussen de

leerkrachten met ervaring (ongeacht het aantal jaar) en de leerkracht zonder ervaring. Één

leerkracht staat pas voor het tweede jaar in het onderwijs, en voor de eerste keer in het tweede

leerjaar. Zij heeft nog geen ervaring met het aanleren van breuken, en kan hier duidelijk minder

49

over vertellen dan de andere leerkrachten. Deze leerkracht kan (op het moment van het interview)

nog niet goed aangeven waar de problemen voor breuken zich situeren en wat hiervan de oorzaken

zouden kunnen zijn.

Hierbij is het wel belangrijk op te merken dat deze conclusie getrokken wordt op basis van slechts

één leerkracht. Om conclusies over de invloed van het aantal jaar ervaring van leerkrachten in het

onderwijs te trekken, zouden meer beginnende leerkrachten moeten bevraagd worden. Zo wordt

uitgesloten dat het hier om een toevallig resultaat gaat.

Verwerven van ervaring is dus wel degelijk belangrijk voor het lesgeven. In dit onderzoek is er

echter enkel een duidelijk verschil tussen ervaring of geen ervaring, maar zijn geen duidelijke

verschillen te vinden tussen leerkrachten met veel ervaring en leerkrachten met minder ervaring.

6.1.3 Lesgeven: aanleren van tijd en breuken

Als laatste wordt er in het onderzoek gekeken naar de invloed van impliciete kennis op de manier

van lesgeven van de leerkrachten.

Impliciete kennis stuurt het gedrag (Sternberg, Wagner, Williams, & Horvath, 1995), het geeft

richting aan ons denken, voelen en handelen (Swart, 2009). Wat geleerd wordt uit ervaring, is

vaak impliciete kennis (Maas, 2000; Sternberg & Horvath, 1999; Sternberg, Wagner, Williams, &

Horvath, 1995).

Wat leerkrachten dus leren uit ervaring beïnvloedt hun gedrag en hun manier van lesgeven. Het

lesgeven van de leerkrachten verandert door hun jaren ervaring in het onderwijs en wordt

beïnvloed door hun impliciete kennis. Leerkrachten wijken af van hun handleiding, kennen de vaak

voorkomende problemen en spelen hier preventief op in, ze gaan meer differentiëren en hanteren

een minder vaste structuur. Leerkrachten geven aan dat ze op deze manier hebben leren lesgeven

door ‘er in te staan’. Door ervaring op te doen en hun lesgeven aan te passen aan wat ze leren uit

ervaring.

Beginnende leerkrachten houden minder rekening met en spelen minder in op de leerlingen. Zij

geven gewoon hun les zoals die staat voorgeschreven in de handleiding. Leerkrachten leren

inspelen op hun leerlingen en op de problemen die zij ervaren, door ervaring op te doen.

De leerkracht uit het tweede leerjaar (interview 7) leerde nog niet veel uit ervaring. Daarvoor staat

ze nog niet lang genoeg in het onderwijs. Andere leerkrachten, die ook nog maar enkele jaren in

het onderwijs staan, geven wel aan dat hun lesgeven veranderd is doorheen de jaren. Leerkrachten

lijken dus snel te leren uit ervaring en deze ervaringen te gebruiken in hun lesgeven.

Leerkrachten gebruiken wat ze leren uit ervaring om hun manier van lesgeven bij te sturen. De

impliciete kennis van leerkrachten heeft dus een invloed op het aanleren van tijd en breuken.

50

6.2 Tekortkomingen onderzoek en suggesties voor verder onderzoek

Tijdens het uitvoeren van het onderzoek en het beschrijven van de resultaten, werden een aantal

tekortkomingen van het onderzoek vastgesteld.

Een eerste tekortkoming is te vinden in het interview. De gestelde vragen zijn opgesteld aan de

hand van het literatuuronderzoek, maar zijn niet gebaseerd op een wetenschappelijke vragenlijst.

Hierdoor was het moeilijk in te schatten of de vragen wel peilen naar wat we met dit onderzoek

willen te weten komen. Tijdens het beschrijven van de resultaten merkte ik ook op dat de

antwoorden van de leerkrachten soms te weinig informatie bevatten. Zo geven verschillende

leerkrachten bijvoorbeeld als oorzaak van moeilijkheden bij zowel tijd als breuken, het inzicht van

de leerlingen. Wat ze precies bedoelen met ‘inzicht’, blijft echter onduidelijk. Hier was het

belangrijk geweest meer uitleg te vragen tijdens het interview.

Voor verder onderzoek is het ook belangrijk dat meerdere scholen bevraagd worden. Verschillende

scholen, van verschillende netten, met een verschillende leerlingenpopulatie, die een verschillende

wiskundemethode hanteren, …

In dit onderzoek werden immers leerkrachten van slechts één school bevraagd. Dit kan een

vertekend beeld geven van bijvoorbeeld de gebruikte instructiestrategieën. Elke school heeft zo

zijn eigen manier van werken. Ook qua leerlingenpopulatie is er weinig differentiatie in dit

onderzoek. Geen enkel kind is hetzelfde, maar op deze school is toch sprake van een homogene

populatie leerlingen. Er zijn bijvoorbeeld weinig allochtone kinderen. Onderwijs aan allochtone

kinderen kan tot andere inzichten leiden dan onderwijs aan autochtone kinderen.

Als laatste suggestie voor vervolgonderzoek lijkt observatie een gepaste onderzoeksmethode.

Impliciete kennis is meestal onbewust aanwezig (Maas, 2000) en wordt vaak niet verwoord

(Sternberg & Horvath, 1995). Daarom zou het observeren van het lesgeven van de leerkracht,

door een vakexpert, zinvol kunnen zijn om de impliciete kennis van leerkrachten lager onderwijs

over het aanleren van tijd en breuken te onderzoeken.

51

7 CONCLUSIE

Impliciete kennis, verworven door ervaring (Maas, 2000; Sternberg & Horvath, 1999; Sternberg,

Wagner, Williams, & Horvath, 1995), is belangrijk voor leerkrachten want het stuurt hun handelen.

Wat leerkrachten leren uit ervaring geeft mee vorm aan hun lesgeven (Sternberg, Wagner,

Williams, & Horvath, 1995; Swart, 2009). Willen leerkrachten goed lesgeven, dan is het van belang

zowel over inhoudelijke als over pedagogische kennis te beschikken (Cochran, DeRuiter, & King,

1993; Shulman, 1986; 1987). Naast het kennen van de leerstof moeten leerkrachten ook hun

leerlingen kennen (Ernest, 1989; Shulman, 1986; Shulman, 1987; Krauss, et al., 2008). Met deze

kennis bepalen leerkrachten de instructiestrategieën die de leerstof begrijpbaar maken voor de

leerlingen (Ernest, 1989; Shulman, 1986; 1987). Deze kennis van leerkrachten over hun leerlingen

wordt beïnvloed door ervaring (Cochran, DeRuiter, & King, 1993; Schempp, Manross, Tan, &

Fincher, 1998).

Uit dit onderzoek blijkt dat leerkrachten kennis hebben over hun leerlingen. Ze weten met welke

leerstof van tijd en breuken leerlingen het moeilijk hebben en kunnen voor deze moeilijkheden ook

een aantal oorzaken aangeven. Leerkrachten lijken ook die instructiestrategieën te hanteren die

een antwoord kunnen bieden op deze mogelijke oorzaken van moeilijkheden.

Een volgende vaststelling is dat de ervaring van leerkrachten een rol speelt. De ervaring van

leerkrachten heeft een invloed op hun impliciete kennis. Om verdere algemene uitspraken te doen

over het belang van ervaring is de steekproef in dit onderzoek echter te klein.

Toch valt op te merken dat er in dit onderzoek geen verband bestaat tussen veel jaren ervaring in

het onderwijs of slechts enkele jaren ervaring in het onderwijs en de mate van impliciete kennis

van de leerkrachten. Wat in dit onderzoek wel duidelijk is, is het verschil tussen leerkrachten met

ervaring en leerkrachten zonder ervaring en de mate van impliciete kennis.

Tenslotte toont dit onderzoek aan dat de impliciete kennis van leerkrachten een invloed heeft op

hun manier van lesgeven. Door ervaring en het verwerven van impliciete kennis krijgen

leerkrachten meer zekerheid over hun lesgeven. Ze wijken af van de handleiding en durven een

minder vaste structuur hanteren. Leerkrachten weten, door ervaring, met welke leerstof leerlingen

vaak moeilijkheden ondervinden en gaan hier preventief op inspelen.

52

Deel 3

8 LIJST MET FIGUREN

Figuur 1: Proces van pedagogisch denken .............................................................................. 9

Figuur 2: Multidimentionele structuur tacit knowledge ........................................................... 13

Figuur 3: Kennis die een leerkracht nodig heeft voor het onderwijzen van wiskunde ................... 16

Figuur 4: Vier types kloklezen ............................................................................................ 20

Figuur 5: Breukencirkels ................................................................................................... 25

Figuur 6: Onderzoeksvragen .............................................................................................. 26

Figuur 7: Factoren moeilijkheden tijd .................................................................................. 31

Figuur 8: Factoren moeilijkheden breuken ........................................................................... 33

Figuur 9: Anderen beïnvloedende factoren ........................................................................... 35

Figuur 10: Leerlingen moeilijkheden tijd ........................................................................... 37

Figuur 11: Leerlingen moeilijkheden breuken ....................................................................... 37

Figuur 12: Verandering door jaren lesgeven ......................................................................... 42

9 LIJST MET TABELLEN

Tabel 1: Participanten ....................................................................................................... 27

Tabel 2: Moeilijkheden en instructiestrategieën tijd ............................................................... 39

Tabel 3: Moeilijkheden en instructiestrategieën breuken ........................................................ 39

Tabel 4: Ervaring en expertise van leerkrachten ................................................................... 40

53

10 BIBLIOGRAFIE

Aelterman, A. (1995). Een verruimde professionaliteitsopvatting als uitgangspunt voor een

curriculumconcept voor de academische lerarenopleiding; een reflectie op de rol van het

beleid en de instituties voor lerarenopleiding. Tijdschrift voor Onderwijsrecht &

Onderwijsbeleid (1), 12-25.

Aelterman, A. (1998). Het beroepsprofiel van de leraar: een instrument in kwaliteitszorg van de

overheid. Tijdschrift voor Onderwijsrecht & Onderwijsbeleid (3-4), 170-176.

Aelterman, A. (1999). Beroepsprofielen en basiscompetenties voor de leraar: instrumenten in de

kwaliteitszorg van overheid en opleiders. Informatie Vernieuwing Onderwijs , 20 (75), 18-

28.

Aelterman, A., Meysman, H., Troch, F., Vanlaer, O., & Verkens, A. (2008). Een nieuw profiel voor

de leraar secundair onderwijs. Hoe worden leraren daartoe gevormd? Informatiebrochure

over de invoering van het nieuwe beroepsprofiel en de basiscompetenties voor leraren.

Brussel: Departement Onderwijs en Vorming.

Aelterman, A., Verhoeven, J., Rots, I., Buvens, I., Engels, N., & Van Petegem, P. (2002). Waar

staat de leraar in onze samenleving? Gent: Academia Press.

Aharoni, R. (2009). Kinderen leren rekenen. (M. Maes, Vert.) Amsterdam: Boom.

Andersson, U. (2008). Mathematical competencies in children with different types of learning

difficulties. Journal of educational Psychology , 100 (1), 48-66.

Baarda, D., de Goede, M., & Teunissen, J. (2005). Basisboek kwalitatief onderzoek: handleiding

voor het opzetten en uitvoeren van kwalitatief onderzoek . Houten: Stenfert Kroese.

Behr, M., Lesh, R., Post, T., & Silver, E. (1983). Rational Number Concepts. In R. Lesh, & M.

Landau, Acquisition of Mathematics Concepts ans Processes (pp. 91-126). New York:

Academic Press.

Bezuk, N., & Cramer, K. (1989). Teaching about Fractions: What, When, and How? In T. P.R., New

directions for elementary school mathematics. 1989 Yearbook (pp. 156-167). Reston,

Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics.

Billiet, J., & Waege, H. (2003). Een samenleving onderzocht: methoden van sociaal-

wetenschappelijk onderzoek. Antwerpen: Uitgeverij De Boeck.

Boutlon-Lewis, G., Wilss, L., & Mutch, S. (1997). Analysis of primary school children's abilities and

strategies for reading and recording time from analog and digital clocks. Mathematics

education research journal (9), 136-151.

Burny, E., Valcke, M., & Desoete, A. (submitted). The impact of mathematics difficulties on the

development of clock reading abilities in primary school children. submitted to learning and

individual differences.

54

Burny, E., Valcke, M., & Desoete, A. (2009). Towards an agenda for studying learning and

instruction focusing on time-related competences in children. Educational studies (35),

481-492.

Case, R., Sandieson, R., & Dennis, S. (1986). Two cognitive developmental approaches to the

design of remedial instruction. Cognitive Development , 1 (4), 293-333.

Centrum voor methodologie van het pedagogisch onderzoek. (2007). Opgeroepen op maart 30,

2010, van http://ppw.kuleuven.be/FL/dataverzameling.htm

Cochran, K., DeRuiter, J., & King, R. (1993). Pedagogical Vontent Knowing: An Integrative Model

for Teacher Preparation. Journal of Teacher Education , 44 (4), 263-272.

Connelly, F., Clandinin, D., & He, M. (1997). Teachers' Personal Practical Knowledge on the

Professional Knowledge Landscape. Teaching and Teacher Education , 13 (7), 665-674.

Dawson, I. (n.d.). Time for chronology? Ideas for developing chronological understanding. Teaching

History (117), 14-24.

Elkind, D. (1999). Project 2061. Opgeroepen op maart 14, 2010, van AAAS: American Association

for the Advancement of Science:

http://www.project2061.org/publications/earlychild/online/context/elkind.htm

Ernest, P. (1989). The knowledge, Beliefs and Attitudes of the Mathematcs Teacher: a model of the

mathematics teacher’s knowledge. Journal of Education for Teaching , 15 (1), 13-33.

Ethridge, E., & King, J. (2005). Calendar Math in Preschool and Primary Classrooms: Questioning

the Curriculum. Early Childhood Education Journal , 32 (5), 291-296.

Friedman, W. (1986). The development of children's knowledge of temporal structure. Child

Development (57), 1386-1400.

Friedman, W. (1990). About time: Inventing the fourth dimension. Cambridge: MIT Press.

Friedman, W., & Laycock, F. (1989). Children's analog and digital clock knowledge. Child

Development (60), 357-371.

Griffin, S., Case, R., & Sandieson, R. (1992). Synchrony and asynchrony in the acquisitionof

children's everyday mathematical knowledge. In R. Case, The mind's staircase (pp. 75-97).

Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Gudmundsdottir, S., & Shulman, L. (1987). Pedagogical Content Knowledge in Social Studies.

Scandinavian Journal of Educational Research , 31, 59-70.

Hartnett, P., & Gelman, R. (1998). Early understandings of numbers: paths or barriers to the

construction of new understandings? Learning and Instruction , 8 (4), 341-374.

Hill, H., Rowan, B., & Ball, D. (2005). Effects of Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching on

Student Achievement. American Educational Research Journal , 42 (2), 371-406.

Insch, G., McIntyre, N., & Dawley, D. (2008). Tacit Knowledge: A Refinement and Empirical Test of

the Academic Tacit Knowledge Scale. The Journal of Psychology , 142 (6), 561-579.

55

Kelly, M., Miller, K., Fang, G., & Feng, G. (1999). When Days Are Numbered: Calendar Structure

and the Development of Calendar Processing in English and Chinese. Journal of

Experimental Child Psychology (73), 289-314.

Kieren, T. (1976). On the mathematical, cognitive, and instructional foundations of rational

numbers. In R. Lesh, Number and measurement: Papers from research workshop (pp. 101-

144). Columbus, OH: ERIC/SMEAC.

Kieren, T. (1980). The rational number construct - Its elements and mechanisms. In T. Kieren,

Recent research on number learning (pp. 125-149). Columbus, OH: ERIC/SMEAC.

Korthagen, F. (2004). In search of the essence of a good teacher: towards a more holistic

approach in teacher education. Teaching and Teacher Education , 20, 77-97.

Korvorst, M., Roelofs, A., & Levelt, W. (2007). Telling Time from Analog and Digital Clocks: A

Multiple-Route Accent. Experimental Psychology , 54 (3), 187-191.

Krauss, S., Brunner, M., Kunter, M., Baumert, J., Blum, W., Neubrand, M., et al. (2008).

Pedagogical Content Knowledge and Content Knowledge of Secondary Mathematics

Teachers. Journal of Educational Psychology , 100 (3), 716-725.

Labaree, D. (2000). Educational reseachers. Living with a lesser form of knowledge. In C. Day, A.

Fernandez, T. Hauge, & J. Møller, The life and work of teachers (pp. 55-75). London:

Falmer Press.

Lamon, S. (1999). Teaching fractions and ratios for understanding. NJ: Lawrence Erlbaum.

Leinhardt, G., & Smith, D. (1985). Expertise in Mathematics Instruction: Subject Matter

Knowledge. Journal of Educational Psychology , 77 (3), 247-271.

Maas, J. (2000). Kennismanagement. In J. Maas, Professionaliteit: management voor professie en

professioneke organisaties (pp. 152-165). Kluwer/INK.

May, L. (1995). Extending the Meaning of Fractions. Teaching pre-K-8 , 25 (4), 26-27.

Nagels, L., & Vandeschoor, L. (1977). Grote Nederlandse Larousse Encyclopedie (Vol. 12

HERQ/IRAD). Hasselt: Heideland-Orbis.

National Research Council. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington:

National Academy Press.

Nonaka, I., & Takeuchi, H. (1997). De kenniscreërende onderneming. (H. Tromp, Vert.) Tielt:

Lannoo.

Park, S., & Oliver, J. (2008). Revisiting the Conceptualisation of Pedagogical Content Knowledge

(PCK): PCK as a Conceptual Tool to Understand Teachers as Professionals. Research in

Science Education , 38, 261-284.

Schempp, P., Manross, D., Tan, S., & Fincher, M. (1998). Subject Expertise and Teachers'

Knowledge. Journal of Teaching in Phisical Education , 17, 342-356.

Schön, D. (2002). The reflective practitioner. How professionals think in action. Aldershot: Ashgate.

56

Shulman, L. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational

Researcher , 15 (2), 4-14.

Shulman, L. (1987). Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform. Harvard

Educational Review , 57 (1), 1-22.

Siegler, R., & McGilly, K. (1989). Strategy Choices in Children's Time-Telling. In I. Levin, & D.

Zakay, Time and Human Cognition: A Life-Span Perspective (pp. 185-218). Amsterdam:

Elsevier Science Publishers.

Stafylidou, S., & Vosniadou, S. (2004). The development of students' understanding of the

numerical value of fractions. Learning and Instruction , 14 (5), 503-518.

Sternberg, R., & Grigorenko, E. (2001). Practical Intelligence and the Principal. Yale University,

Publication Series No. 2 , 1-31.

Sternberg, R., & Horvath, J. (1995). A prototype view of expert teaching. Educational Researcher ,

24 (6), 9-17.

Sternberg, R., & Horvath, J. (1999). Tacit knowledge in professional practice. London: Lawrence

Erlbaum Associates, Publishers.

Sternberg, R., Wagner, R., Williams, W., & Horvath, J. (1995). Testing common sense. American

Psychologust , 50 (11), 912-927.

Stigter, A. (2007). Leren en kennis creëren. Opgeroepen op maart 6, 2010, van Kenniscentrum

Onderwijs en Opvoeding:

http://www.kenniscentrumonderwijsopvoeding.hva.nl/content/kenniscentrum/lereneninnov

eren/documenten/I.6%20Leren%20en%20kennis%20creeren.pdf

Swart, F. (2009). Interdsiciplinair samenwerken in het onderwijs. Journal of Social Intervention:

Theory and Practice , 18 (3), 62-80.

Vakali, M. (1991). Clock time in seven to ten year-old children. European Journal of Psychology of

Education (6), 325-336.

van Galen, F., & Peltenburg, M. (2008). Klokkijken: wijzer voor wijzer. Tijd en tijdsbeleving.

Utrecht: Freudenthal Instituut voor Didactiek van Wiksunde en Natuurwetenschappen.

van Houten, D. (2004). De gevarieerde samenleving. Over gelijkwaardigheid en diversiteit.

Utrecht: De Tijdstroom.

Van Steenbrugge, H., Valcke, M., & Desoete, A. (2010). Mathematics learning difficulties in primary

education: teachers' professional knowledge and the use of commercially available learning

packages. Educational Studies , 36 (1), 59 - 71.

Verschaffel, L., Janssens, S., & Janssen, R. (2005). The development of mathematical campetence

in Flemish preservice elementary school teachers. Teaching and Teacher Education , 21,

49-63.

VVKBaO. (1998). Leerplan Vlaams Verbond van het Katholiek Basisonderwijs.

57

Wagner, R. (1987). Tacit Knowledge in Everyday Intelligent Behavior. Journal of Personality and

Social Psychology , 52 (6), 1236-1247.

Williams, R. (2004). Making Meaning from a Clock: Material Artifacts and Conceptual Blending in

Time-Telling Instruction. San Diego: University of California.

Wilson, S., Shulman, L., & Richert, A. (1987). '150 different ways' of knowing: represenations of

knowledge in teaching. In J. Calderhead, Exploring Teachers' Thinking (pp. 104-124).

London: Cassell education.

Wood, D. (2007). Professional Learning Communities: Teaching, Knowledge, and Knowing. Theory

into Practice , 46 (4), 281-290.

58

11 BIJLAGEN

11.1 Bijlage 1: Leidraad interview

Interview: Algemene informatie

Interview …

Naam

Geslacht

Man/Vrouw

School

Ik geef les in het …

1ste leerjaar

2de leerjaar

3de leerjaar

4de leerjaar

5de leerjaar

6de leerjaar

Aantal jaar ervaring in het onderwijs

Aantal jaar ervaring in het leerjaar waar

ik nu lesgeef

Dit interview is een onderdeel van mijn masterproef.

Het interview zal worden opgenomen op mp3.

De gegevens die worden verzameld aan de hand van het interview worden vertrouwelijk behandeld

en anoniem verwerkt.

59

We overlopen aan de hand van het leerplan wat er in het X leerjaar wordt aangeleerd over

breuken/tijd.

Wat vindt u het moeilijkste om aan te leren?

Welke moeilijkheden ondervindt u daar precies bij?

Waar hebben de leerlingen het meeste moeite mee?

Waarom is dit volgens u juist zo moeilijk voor hen?

Hebben alle leerlingen daar evenveel moeite mee? Of hebben bepaalde leerlingen daar meer

moeite mee? Hoe komt dat?

Welke fouten maken de leerlingen daar dan bij?

Hoe komt het volgens u dat zij die fouten maken? Hoe komt het dat zij niet tot de juiste

oplossing komen?

Zijn er nog andere veel gemaakte fouten? (In hetzelfde of een ander onderdeel van

breuken/tijd) Welke?

Hoe kan je vermijden dat de leerlingen die fouten maken?

Welke verschillende aanpakken/strategieën kent u om breuken/tijd aan te leren?

Welke hiervan is de meest zinvolle strategie?

Waarom is deze het meest zinvol?

Hoe weet je dat een bepaalde strategie beter is dan een andere?

Is deze aanpak voor alle leerlingen even goed? (Waarom wel/niet?)

Welke verschillen tussen leerlingen spelen een rol in hoe ze breuken/tijd leren?

Hoe ga je om met deze verschillen?

Hoe beïnvloed de verscheidenheid tussen de leerlingen in je klas de manier waarop u lesgeeft?

Zijn er nog andere zaken die een invloed hebben op uw manier van lesgeven? Welke?

Je staat nu reeds X jaar in het onderwijs, is uw manier van lesgeven over breuken/tijd

veranderd met de jaren? (Op welke manier? Door wat?)

60

11.2 Bijlage 2: Interviews

Zie Cd-rom op achterflap.

van tijd en breuken in het lager onderwijs naar impliciete...

Documents

Transcript of van tijd en breuken in het lager onderwijs naar impliciete...