Speciale relativiteit Hoogtepunten uit de ‘Speciale Relativiteit theorie’ van Einstein Stan...

Speciale relativiteit

Hoogtepunten uit de ‘Speciale Relativiteit theorie’ van Einstein

Stan [email protected]

UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Albert Einstein (1879 – 1955)

Einstein’s grensverleggende papers (1905):

– De speciale relativiteitstheorie• Ruimte en tijd, E=mc2

– Het foto-elektrisch effect • Start kwantumtheorie

– ‘Brownse’ beweging• Aantonen bestaan moleculen

• Deze publicaties hebben verstrekkende gevolgen!– Leven is ingrijpend veranderd

• TV, computer, WWW, magnetron,…• Gezondheidszorg, communicatie, militair, ...

– Veel veranderingen zijn terug te voeren op de ontwikkeling van de fundamentele natuurkunde. Met name de invloed van Einstein is enorm.

P 2


De Klassieke Mechanica

• Wetenschappelijke revolutie tijdens de ‘gouden’ 17e eeuw– Klassieke mechanica geeft kwantitatief ‘recept’ voor de beschrijving van

bewegende objecten.• Ik gooi een steen omhoog met snelheid van 10 m/s. Hoe hoog komt de steen?• Hoe is de beweging van planeten en manen in het zonnestelsel?

P 3

Newton (1643 - 1727)Galilei (1564 - 1642)

‘Helden’ van de klassieke mechanica:

Galileo Galilei, Isaac Newton


Galilei-transformaties

• Bekijk een kogel die wordt afgeschoten vanuit een rijdende trein.– Wat is de snelheid van de kogel t.o.v.

• De rijdende trein?• Uw vriend op het perron die de trein

voorbij ziet komen?

• Stel de kogel vliegt met snelheid V’kogel weg tov trein

• Relatie tussen de snelheden is vanzelfsprekend: Vkogel=V’kogel+vtrein

P 4

Dit is de Galilei-transformatie tussen twee coördinatensystemen


Principe van relativiteit

• De grootte van je snelheid kun je niet voelen– Een rijdende trein, of sta je stil en

de rest van de wereld beweegt?– Astronauten in het ISS voelen niet

dat zij met 29000 km/uur rond de aarde razen

• Alle natuurwetten (ook die van de mechanica) zijn hetzelfde in coördinatenstelsels die een constante snelheid tov elkaar hebben. – In de Klassieke Mechanica wordt dit beschreven door de

3 hoofdwetten van Newton

P 5

Voor versnelde coördinatenstelsels heeft Einstein de ‘Algemene Relativiteitstheorie’ ontwikkeld (Einstein 1915)

Gevolg: Zwarte gaten, Big Bang, etcetera!

Snelheid van het licht

• Eind 19e eeuw stelt Maxwell de theorie van elektriciteit en magnetisme op. – Licht (fotonen) is een

continue ‘buiteling’ van elektrische en magnetische velden

• Maxwell vergelijkingen: de lichtsnelheid is een natuurconstante, onafhankelijk van het coördinatenstelsel!– Snelheid van het licht, c, in vacuüm is c=299792458 m/s

• Ongeveer 300000 km/s = 3·108 m/s

• Hoe kan dit nu?– We hadden gezien dat de snelheid

van dingen afhankelijk is van hoe je observeert?

P 6

Lorentz (1853 – 1928)

Poincare (1854 – 1912)

Maxwell(1831– 1879)



Perplex met licht…

• Sta even stil bij de consequentie hiervan

• Stel u ontsteekt een zaklantaarn in een rijdende trein.– De snelheid waarmee het licht zich beweegt tov de zaklamp is c, dwz,

~300000 km/s.

– Uw vriend bevind zich op het perron en ziet de voorbijsnellende trein. Hij kan de snelheid van het licht uit de zaklamp bepalen, tov het perron:

Uw vriend op het perron zal dezelfde snelheid c meten!

Duidelijke tegenspraak met de Galilei-transformaties.

P 7


Gelijktijdigheid

• Volgende gedachten experiment:– Neem lange trein – sta in het midden en ontsteek een lampje

– Het duurt een tijdje en dan komt het licht aan bij de voor- en achterkant van de trein (A en B)

– Licht bereikt voor- en achterkant van de trein tegelijkertijd

• Het licht bereikt A en B gelijktijdigP 8

A B

A B


Gelijktijdig, of niet?

• Nu gaat de trein rijden en bekijkt uw vriend op het perron dit alles:

– In de tijd dat het licht nodig heeft om de uiteinden te bereiken, is de trein een stukje opgeschoven.

– De lichtsnelheid naar links en naar rechts is hetzelfde (konstant!)

– Het licht bereikt nu uiteinde A eerder dan B!

• Het licht bereikt A en B niet gelijktijdig voor de vriend op perron.

P 9

A B

A B


De lichtklok

• Stel u maakt een klok op de volgende manier:– Lampje en spiegel – en elke keer dat licht heen en weer gaat een volgende ‘tik’

van de klok

– De tijdsduur ΔT’ tussen twee ‘tikken’ is hiermee gelijk aan:

• Deze klok geeft uiterst regelmatig tikken. Hoewel praktisch gezien het maken van de klok best lastig is. – Hiermee wordt de voortgang van de tijd bekeken– Het is gemakkelijk te analyseren!

P 10

L0

lampje

spiegel


De lichtklok op de trein• Zet nu de lichtklok op een trein. De waarnemer op het perron ziet de klok

tikken met snelheid Δt

• De afstand AB wordt gegeven door Pythagoras– De snelheid van het licht is constant,

en de totale afstand ABC wordt afgelegd in een tijd cΔt

P 11

L0

Snelheid van de trein v

A C

B


Tijds-uitrekking (dilatatie)

• We hebben nu een vergelijking met Δt, die kunnen we oplossen:

• Voor de stilstaande klok (in de trein dus) hadden we Δt’:

• Hiermee zijn de tikken niet meer gelijk voor de man in de trein en de vriend op het perron:

– De man op het perron ziet de tijd in de trein anders verlopen!

– Gevolg van constante lichtsnelheid…

P 12


Tijdsdilatatie

• We hebben nu laten zien dat:

– Δt’ : ‘stilstaande’ klok: tijd in de trein zelf– Δt : Tijd in de voorbijsnellende trein, gezien vanaf het perron

• Stel een ruimteschip beweegt met een snelheid v = 0.8c = (4/5)c– Een seconde voor een reiziger het ruimteschip

ziet de vriend vanaf de aarde als

– Man op aarde ziet alle bewegingen ‘trager’ verlopen in het ruimteschip, met een factor 1.66!


Dilatatie

• Bij lage snelheden is het effect van tijdsvertraging klein– Voor een trein met v=100 km/uur zijn de tijden Δt en Δt’ hetzelfde tot op

99.999994% nauwkeurig– Toch blijft u iets jonger in de

rijdende trein tov de thuisblijver!

• Bij snelheden in de buurt van de lichtsnelheid is tijdsdilatatie heel groot– Lichtsnelheid v=c is de maximum snelheid– Tijd kan wel langzamer lopen, maar niet terug-lopen

• Gelukkig! Anders problemen met oorzaak en gevolg• Bv: U kunt niet uw eigen ouders vermoorden voordat u geboren bent!

– Effect in elementaire deeltjes onmiskenbaar– Voor positie bepaling met GPS systeem is relativiteit onmisbaar

P 14

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 P 15

‘Invariant’ interval• Een ruimteschip met lichtklok van 3m hoog beweegt met

snelheid 0.8c tov de aarde– Tov aarde: Klok tikt anders, maar heeft ook een afstand afgelegd– Is er een grootheid invariant?

• ‘Interval’ tussen twee gebeurtenissen

– Onafhankelijk van de beweging-snelheid van de klok!


Bewegende coördinatenstelsels• Hoe kun je coördinaten beschrijven tov twee

bewegende stelsels– Galilei transformaties

• Klassieke mechanica– Vergelijk beschrijving vanuit

trein en vanuit het perron

– Gebruik schrijfwijze

– Lorentz transformaties (geen afleiding hier)• Enige mogelijkheid die interval

s ‘invariant’ laat– Modificatie van Galilei

bij hoge snelheden

• ‘Mixen’ van ruimte en tijd

Naar links bewegend coördinatenstelsel


Opdracht• Laat zien dat de Lorentztransformaties

de grootheid invariant laat.

Maw, laat zien dat geldt:

gebruik de definities:

P 17


Optellen van snelheden• Optellen van snelheden

– Stel trein beweegt met snelheid v1

– Kogel in de trein beweegt met snelheid v2

tov de trein

• Wat is de snelheid van de kogel tov het perron?– Klassiek:

– Met Lorentz transformaties

• Hierdoor kan snelheid niet groter worden dan c• Voorbeeld: snelheid licht op trein,

bezien vanaf perron:


‘Invariant’ interval

• Invariante interval speelt centrale rol in relativiteitstheorie

– Interval tussen twee gebeurtenissen bepaaltof deze causaal verbonden zijn

• Kunnen zij elkaar beinvloeden?

• Voortgang in tijd beschrijven mbv (ct,x) diagram:

ct

x

Stilstaandobject ct

x

Konstantbewegend

object

ct

x

Bewegendobject


Visualisatie Lorentz transformatie

P 20

Minkowski.swf

http://www.nikhef.nl/~stanb/Minkowski.html

www.nikhef.nl/~stanb/Minkowski.html


Vier dimensionale vectoren• Gebeurtenis wordt beschreven door vier-vector

– Vergelijk drie- en vier vectoren• Klassieke drie-vector:• Vier-vector

– Tijd coördinaat, uitgedrukt in [m]: ct

– Lengte van de vectoren• Lengte van drie-vector:

– De lengte is invariant onder rotaties van het coördinatenstelsel

• Lengte van vier vector:

– Deze lengte is invariant onder 3d rotaties van het ‘ruimtelijk’ coördinatenstelsel– Maar bovendien is deze lengte invariant voor bewegende coördinatenstelsels


De vier-impuls vector• Voor de Klassieke Mechanica

– Impuls wordt gegeven door– Impuls is behouden – gebruik analyse van bv botsingen

• Vier dimensionale equivalent:– Kunt niet differentiëren naar de tijd t

• In plaats daarvan gebruik ‘eigentijd’ t – tijd van eigen horloge

– Voor stilstaande waarnemer is tikken van klok gelijk aan eigentijd– Verder is eigentijd ‘invariant’, dwz hetzelfde tov iedere waarnemer

– Enige mogelijke vier-vector:


Relativistische impuls– De eigentijd t kan worden geschreven als

• Vergelijk de situatie met stilstaande en bewegende klok, eigentijd werd daar t’ genoemd.

• Bekijk het ‘ruimtelijk’ gedeelte van vier-impuls– De relativistische impuls wordt nu

– De wiskundige expansie van γ rond kleine snelheden

– Hiermee vinden we terugvoor lage snelheden

P 23


Relativistische energie• Impuls vier-vector componenten

– De ruimtelijke componenten zijn de relativistische impuls– De nul-component kunnen we met de energie identificeren.

• Dimensies zijn correct als vier-vector gelijk is aan

• Hiermee is de relativistische energie gelijk aan

– Met de ontwikkeling van γ wordt dit

P 24

Relativistische energie geeft

klassieke uitdrukking voor kinetische energie, plus ‘rust’ energie,plus ‘kleine’ correcties


Energie-impuls vergelijking• We hebben nu een vier-impuls

– De componenten voldoen aan de Lorentz transformaties– Uit de eerdere discussie volgt:

• De lengte van de vier-impuls is invariant:

– Waarmee we uiteindelijk vinden

• Een vergelijking voor op je t-shirt!• Aanzet tot bestaan anti-materie als

negatieve energie oplossing

P 25

P 26

Verstrooiingstheorie

• Analyse van verstrooiing:– Teken een diagram met alle deeltjes voor en na de botsing

• Schrijf behoud van energie op• Schrijf behoud van impuls op

– Probeer dit systeem op te lossen• Gebruik• Gebruik niet de snelheid v want die ligt vaak heel dicht bij lichtsnelheid c

– Vul zo laat mogelijk de getallen in de uitdrukkingen in• Check resultaat en de dimensie van je antwoord!

– Kun je een algemene conclusie uit het resultaat trekken?

Voor Na


Behouden tijdens botsingen• Botsingen tussen (willekeurig aantal) deeltjes:

– Alle componenten van de vier-impuls zijn behouden bij de botsing

• Invariante massa van de botsing – ook behouden – en bovendien hetzelfde in elk coördinatenstelsel

P 27

?Toestand ‘in’ Toestand ‘uit’


Voorbeeld van deeltjesversneller• In LEP deeltjesversneller werden elektronen en anti-

elektronen op elkaar geschoten

– Elk met energie E=45.5 GeV • verwaarloos de massa van elektron, die is

– De invariante energie van dit systeem wordt dan:

– Oftewel:precies genoeg voor de productie van het Z0 deeltje!

P 28


Waarom ‘botsende bundels’?• Stel je wilt het Z deeltje maken met botsingen op een

trefplaatje:

• Welke energie moet bundel anti-elektronen hebben om Z deeltje te creëren?– De massa van het systeem wordt nu:

– Om Z deeltje te maken hebben we een bundelenergie nodig van

• Dit is heel ver buiten technologische mogelijkheden!P 29

P 30

Vergelijk LEP met LHC• Twee grote versnellers op Cern, bij Geneve:

– LEP (1984-2000)• Versnellen van elektronen op positronen, elk met een energie van maximaal

105000 MeV. Rustmassa van deze deeltjes is 0.511 MeV/c2

• Hiermee is de Lorentzfactor γ• Invariante massa• Limiet van de bundelenergie

wordt gegeven door de synchrotron straling:– Hoeveel energie kun je per ‘rondje’ maximaal in de bundel inpompen

– LHC (2009-2020)• Versnellen van protonen op protonen, elk met een energie van maximaal

7000000 MeV. Rustmassa van deze deeltjes is plm 938 MeV/c2

• Hiermee is de Lorentzfactor γ• Invariante massa• Limiet van de bundelenergie

wordt gegeven door de sterkte van de afbuigingsmagneten– Bij hogere energie ‘schieten’ de protonen hun baan uit– Synchrotron straling bij protonen verwaarloosbaar

P 31

Productie van nieuwe deeltjes

• Of een deeltje H wordt gemaakt hangt af van de natuurwetten– Het deeltje H zal vrijwel altijd weer onmiddellijk uiteen vallen in een serie

andere deeltjes met kleinere massa– Als je de energie en impulsen van al deze ‘vervalsproducten’ meet, kun je

de massa van deeltje H bepalen.– De invariante massa van dit systeem kun je uitrekenen:

• Hiermee kun je de massa van deeltje H bepalen– De massa van dit deeltje H is maximaal

• Hoe groter de energie van de versneller, hoe zwaarder het nieuwe deeltje

Voor Na

ma

a

(E1,p1)

H

mb

b

Tussen

mH

(E4,p4)

(E3,p3)(E2,p2)

Een Higgs deeltje• HiggsZ0Z0 m+m- m+m-

– Heel duidelijk signaal: 4 muonen in detector Erg kleine kans Veel storing van extra deeltjes Maar weinig ‘gebeurtenissen’ die

hierop lijken

P 32

Reconstructed tracks with pt > 25 GeV

Dit kan alleen van een Higgs deeltje afkomstig zijn!

Ontdekking en massa van het Higgs• Invariante massa Higgs:

– Gelijk aan invariante massa 4 muonen

P 33

Ongeacht de Higgs massa: Atlas gaat het vinden

m

Na een paar jaarLHC (100 fb-1)

Speciale relativiteit Hoogtepunten uit de ‘Speciale Relativiteit theorie’ van Einstein Stan...

Documents

Transcript of Speciale relativiteit Hoogtepunten uit de ‘Speciale Relativiteit theorie’ van Einstein Stan...