Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie stanb/download/OEFENINGEN.pdf · PDF file...

Click here to load reader

  • date post

    20-Jun-2020
  • Category

    Documents

  • view

    6
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie stanb/download/OEFENINGEN.pdf · PDF file...

  • Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

    Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie

    Prof S. Bentvelsen

    UvA / NIKHEF

    Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF)

  • Oefeningen

    Speciale Relativiteitstheorie

    Prof S. Bentvelsen

    UvA / NIKHEF

    Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF)

    gebaseerd op de syllabus van Prof. J.J. Engelen

    met medewerking van

    drs. B. Mooij

    versie 4.0, September 2007

  • 4

  • Inhoudsopgave

    1 Galileitransformatie 1

    1.1 Twee inertiaalsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Tennissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.3 Een paraboolbaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.4 Versnellende auto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.5 Michelson-Morley voor geluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2 Tijddilatatie en lengtecontractie 6

    2.1 Einstein puzzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.2 Tijddilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.3 Einsteins gedachte-experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.4 Afstanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.5 Muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.6 Neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.7 Astronaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.8 Bewegend voorwerp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    3 Lorentztransformatie 8

    3.1 Inverse Lorentztransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    3.2 Klokken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    3.3 Knal en Lichtflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3.4 Boeven vangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.5 Michelson-Morley experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    4 Consequenties van de Lorentztransformatie 14

    4.1 Lat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    4.2 Vier klokken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    4.3 Raketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    4.4 Lichtflitsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.5 Trein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    5 Minkowski-diagrammen 17

    5.1 Drie gebeurtenissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    5.2 Draaiing in het ct, x-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    5.3 Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowski-diagram . . . 19

    5.4 Wereldlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    5.5 Opnieuw raketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    i

  • 6 Klassieke Mechanica 24

    6.1 Botsende deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.2 Massa-middelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.3 Krachtveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    7 Lorentztransformatie van impuls en energie 27

    7.1 Impuls-energie viervector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2 Energie van een relativistisch deeltje . . . . . . . . . . . . . . 27 7.3 Energie en impuls van een relativistisch deeltje . . . . . . . . . 28 7.4 Massaloze deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.5 Twee relativistische deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.6 Inelastische boting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7.7 Nog een inelastische botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    8 Doppler effect 31

    8.1 Bewegende lichtbronnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8.2 Roodverschuiving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8.3 Stoplicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.4 Transversaal Doppler effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.5 Tweelingparadox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    9 Deeltjes productie 34

    9.1 Vierimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9.2 p~p botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9.3 Vervallende deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.4 pp botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.5 Eenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 9.6 e−e+ botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    ii

  • 1

    1 Galileitransformatie

    1.1 Twee inertiaalsystemen

    Twee inertiaalstelsels S en S ′ zijn verbonden door de Galileitransformatie :

    x′ = x + 3t

    y′ = y

    z′ = z

    t′ = t

    a. In welke richting beweegt S t.o.v. S ′?

    b. Schrijf de transformatie-formules op voor de snelheidscomponenten vx, vy, vz.

    In S duwt een kracht F een voorwerp met massa m met een versnelling a = 2m/s2 voort, van snelheid v = 4m/s op t = 0 en x = 0 tot snelheid v = 10m/s op t = 3s en x = 21m.

    c. Welke waarden hebben a, F, x en v in S ′?

    d. Blijft de formule v = v(0) + at in S ′ van kracht?

    Zowel in S als S ′ kun je de arbeid W = F∆x en de groei van de kinetische energie ∆Ek = ∆(

    1

    2 mv2) uitrekenen.

    e. Is de arbeid die verricht wordt hetzelfde, gezien vanuit S en S ′?

    f. Dezelfde vraag voor ∆Ek.

    g. Geldt zowel in S als in S ′ dat F∆x gelijk is aan ∆( 1 2 mv2)?

    h. Omschrijf nu wat het relativiteitsprincipe wil zeggen voor Galileitrans- formaties.

    1.2 Tennissen

    Een satelliet die zich om een bewegende planeet slingert, krijt daarvan een extra snelheid mee, zoals een tennisbal dat van een bewegende tennisracket krijgt. vb, ve en v0 zijn de begin-, eind- , planeet/racket-snelheid in het coördinatenstelsel S van de toeschouwer. S ′ is het coördinatenstelsel dat met de planeet/racket meebeweegt.

  • 2 1 GALILEITRANSFORMATIE

    Figuur 1: Tennissen

    a. Wat zijn de begin- en eindsnelheid van de bal in het coördinatenstelsel S ′?

    Bij de elastische botsing van de bal met het racket is in S ′ is de snelheid van de bal na de botsing even groot als de snelheid voor de botsing.

    b. Hoe groot is de eindsnelheid van de bal in S in termen van vb en v0?

    c. Hoe verandert de kinetische energie Ek = 1

    2 mv2 van de bal in S?

    d. En in S ′?

    Terwijl de waarden van grootheden in S en S ′ kunnen verschillen, moeten de formules tussen de grootheden wel invariant zijn.

    e. Laat zien dat de formule ∆Ek = F∆x zowel in S als in S ′ geldt (het

    racket werkt met F = mbal ∆v ∆t

    over een afstand ∆x = v0∆t).

    1.3 Een paraboolbaan

    Gegeven een paraboolbaan (zie figuur 2) t.o.v. coördinatenstelsel S:

    y = −x2 + 20

    Dit is de baan die beschreven wordt door een puntmassa die met een hori- zontale beginsnelheid van een 20 meter hoge toren gegooid wordt. De ver- snelling van de zwaartekracht is g = 10 m/s2. Geef de Galileitransformatie naar stelsel S ′ zodat de puntmassa t.o.v. dit stelsel langs een rechte, verticale lijn beweegt.

  • 1.4 Versnellende auto 3

    x2 5

    20

    y

    Figuur 2: Paraboolbaan

    1.4 Versnellende auto

    Als je vanuit een inertiaalsysteem een Galileitransformatie uitvoert, kom je in een ander inertiaalsysteem.

    a. Hoe weet je zeker dat je in een inertiaalsysteem bent?

    Het interieur van een auto (stelsel S ′) die versneld door een straat (stelsel S) rijdt is géén inertiaalsysteem en de transformatie van S ′ naar S is géén Galileitransformatie:

    x = x′ ± 1 2 at2 (1)

    y = y′ (2)

    z = z′ (3)

    b. Moet je in formule 1 het plus- of het min-teken nemen?

    c. Een bal die je binnen in de auto op t = 0 loslaat, heeft dan v = 0 en v′ = 0. In welk stelsel, S of S ′ geldt tijdens de val van de bal vx = 0?

  • 4 1 GALILEITRANSFORMATIE

    d. Leidt nu uit de transformatieformules af hoe de snelheid in S ′ zich ontwikkelt.

    e. In S ′ is er een versnelling ax, en voel je dus een ’kracht’ Fx = max. Hoe groot is de kracht en in welke richting werkt de kracht?

    1.5 Michelson-Morley voor geluid

    Vóór de komst van de speciale relativiteitstheorie veronderstelde men dat de lichtsnelheid een vaste waarde had in één bepaald inertiaalsysteem (de ’ether’) en dat de lichtsnelheid in andere systemen via een Galileitransfor- matie kon worden afgeleid. Deze veronderstelling bleek niet houdbaar (zie o.a. het Michelson-Morley experiment), maar hij geldt wel voor geluid. Van- daar deze opgave, als contrast met de gang van zaken voor licht.

    Geluid heeft een vaste snelheid t.o.v. zijn medium (de lucht, stelsel S), nl. cg = 1/

    √ ρκ waar ρ de dichtheid en κ de ’compressibiliteit’ van de lucht

    zijn.

    c c

    ����������

    ������� ������� ������� �������

    ������� ������� ������� �������

    � � � �

    � � � � v

    c c ��������������

    ������� �������

    ����� ����� ����� �����

    v

    � �