Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale...

46
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF)

Transcript of Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale...

Page 1: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

Faculteit der Natuurwetenschappen,Wiskunde en Informatica

OefeningenSpeciale Relativiteitstheorie

Prof S. Bentvelsen

UvA / NIKHEF

Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF)

Page 2: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie
Page 3: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

Oefeningen

Speciale Relativiteitstheorie

Prof S. Bentvelsen

UvA / NIKHEF

Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF)

gebaseerd op de syllabus van Prof. J.J. Engelen

met medewerking van

drs. B. Mooij

versie 4.0, September 2007

Page 4: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

4

Page 5: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

Inhoudsopgave

1 Galileitransformatie 1

1.1 Twee inertiaalsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Tennissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Een paraboolbaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Versnellende auto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Michelson-Morley voor geluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Tijddilatatie en lengtecontractie 6

2.1 Einstein puzzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Tijddilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Einsteins gedachte-experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Afstanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.7 Astronaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.8 Bewegend voorwerp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Lorentztransformatie 8

3.1 Inverse Lorentztransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Klokken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Knal en Lichtflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Boeven vangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5 Michelson-Morley experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Consequenties van de Lorentztransformatie 14

4.1 Lat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Vier klokken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Raketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Lichtflitsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.5 Trein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Minkowski-diagrammen 17

5.1 Drie gebeurtenissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 Draaiing in het ct, x-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3 Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowski-diagram . . . 19

5.4 Wereldlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.5 Opnieuw raketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

i

Page 6: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

6 Klassieke Mechanica 24

6.1 Botsende deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Massa-middelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3 Krachtveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Lorentztransformatie van impuls en energie 27

7.1 Impuls-energie viervector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2 Energie van een relativistisch deeltje . . . . . . . . . . . . . . 277.3 Energie en impuls van een relativistisch deeltje . . . . . . . . . 287.4 Massaloze deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.5 Twee relativistische deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.6 Inelastische boting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.7 Nog een inelastische botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8 Doppler effect 31

8.1 Bewegende lichtbronnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2 Roodverschuiving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.3 Stoplicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.4 Transversaal Doppler effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.5 Tweelingparadox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9 Deeltjes productie 34

9.1 Vierimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.2 p~p botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.3 Vervallende deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.4 pp botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.5 Eenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.6 e−e+ botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ii

Page 7: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

1

1 Galileitransformatie

1.1 Twee inertiaalsystemen

Twee inertiaalstelsels S en S ′ zijn verbonden door de Galileitransformatie :

x′ = x + 3t

y′ = y

z′ = z

t′ = t

a. In welke richting beweegt S t.o.v. S ′?

b. Schrijf de transformatie-formules op voor de snelheidscomponenten vx,vy, vz.

In S duwt een kracht F een voorwerp met massa m met een versnellinga = 2m/s2 voort, van snelheid v = 4m/s op t = 0 en x = 0 tot snelheidv = 10m/s op t = 3s en x = 21m.

c. Welke waarden hebben a, F, x en v in S ′?

d. Blijft de formule v = v(0) + at in S ′ van kracht?

Zowel in S als S ′ kun je de arbeid W = F∆x en de groei van de kinetischeenergie ∆Ek = ∆(1

2mv2) uitrekenen.

e. Is de arbeid die verricht wordt hetzelfde, gezien vanuit S en S ′?

f. Dezelfde vraag voor ∆Ek.

g. Geldt zowel in S als in S ′ dat F∆x gelijk is aan ∆( 1

2mv2)?

h. Omschrijf nu wat het relativiteitsprincipe wil zeggen voor Galileitrans-formaties.

1.2 Tennissen

Een satelliet die zich om een bewegende planeet slingert, krijt daarvan eenextra snelheid mee, zoals een tennisbal dat van een bewegende tennisracketkrijgt. vb, ve en v0 zijn de begin-, eind- , planeet/racket-snelheid in hetcoordinatenstelsel S van de toeschouwer. S ′ is het coordinatenstelsel datmet de planeet/racket meebeweegt.

Page 8: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

2 1 GALILEITRANSFORMATIE

Figuur 1: Tennissen

a. Wat zijn de begin- en eindsnelheid van de bal in het coordinatenstelselS ′?

Bij de elastische botsing van de bal met het racket is in S ′ is de snelheid vande bal na de botsing even groot als de snelheid voor de botsing.

b. Hoe groot is de eindsnelheid van de bal in S in termen van vb en v0?

c. Hoe verandert de kinetische energie Ek = 1

2mv2 van de bal in S?

d. En in S ′?

Terwijl de waarden van grootheden in S en S ′ kunnen verschillen, moeten deformules tussen de grootheden wel invariant zijn.

e. Laat zien dat de formule ∆Ek = F∆x zowel in S als in S ′ geldt (hetracket werkt met F = mbal

∆v∆t

over een afstand ∆x = v0∆t).

1.3 Een paraboolbaan

Gegeven een paraboolbaan (zie figuur 2) t.o.v. coordinatenstelsel S:

y = −x2 + 20

Dit is de baan die beschreven wordt door een puntmassa die met een hori-zontale beginsnelheid van een 20 meter hoge toren gegooid wordt. De ver-snelling van de zwaartekracht is g = 10 m/s2. Geef de Galileitransformatienaar stelsel S ′ zodat de puntmassa t.o.v. dit stelsel langs een rechte, verticalelijn beweegt.

Page 9: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

1.4 Versnellende auto 3

x2 5

20

y

Figuur 2: Paraboolbaan

1.4 Versnellende auto

Als je vanuit een inertiaalsysteem een Galileitransformatie uitvoert, kom jein een ander inertiaalsysteem.

a. Hoe weet je zeker dat je in een inertiaalsysteem bent?

Het interieur van een auto (stelsel S ′) die versneld door een straat (stelselS) rijdt is geen inertiaalsysteem en de transformatie van S ′ naar S is geenGalileitransformatie:

x = x′ ± 1

2at2 (1)

y = y′ (2)

z = z′ (3)

b. Moet je in formule 1 het plus- of het min-teken nemen?

c. Een bal die je binnen in de auto op t = 0 loslaat, heeft dan v = 0 env′ = 0.In welk stelsel, S of S ′ geldt tijdens de val van de bal vx = 0?

Page 10: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

4 1 GALILEITRANSFORMATIE

d. Leidt nu uit de transformatieformules af hoe de snelheid in S ′ zichontwikkelt.

e. In S ′ is er een versnelling ax, en voel je dus een ’kracht’ Fx = max.Hoe groot is de kracht en in welke richting werkt de kracht?

1.5 Michelson-Morley voor geluid

Voor de komst van de speciale relativiteitstheorie veronderstelde men datde lichtsnelheid een vaste waarde had in een bepaald inertiaalsysteem (de’ether’) en dat de lichtsnelheid in andere systemen via een Galileitransfor-matie kon worden afgeleid. Deze veronderstelling bleek niet houdbaar (zieo.a. het Michelson-Morley experiment), maar hij geldt wel voor geluid. Van-daar deze opgave, als contrast met de gang van zaken voor licht.

Geluid heeft een vaste snelheid t.o.v. zijn medium (de lucht, stelsel S),nl. cg = 1/

√ρκ waar ρ de dichtheid en κ de ’compressibiliteit’ van de lucht

zijn.

c c

����������

����������������������������

����������������������������

����

���� v

cc �������

���������������������

��������������������

v

������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������

�����������������������

�����������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������

����������������������

���������� ����������

c-v

c+v

x’

muur

muur

windv

wind

O’ O’ x’

y’ y’

vg yg

gg y

g

g

l

l

Figuur 3: Michelson en Morley voor geluid

Als in je eigen stelsel (S ′) de wind je tegemoet blaast met snelheid v (ofals je met snelheid v naar voren beweegt), is de geluidssnelheid in S ′ volgensde Galileitransformatie gelijk aan cg − v.We kunnen deze beweging t.o.v. het medium aantonen door de reistijden vanhet geluid te meten langs gelijke trajecten in onderling loodrechte richtingen(de x′- en y′-as van S ′).

Page 11: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

1.5 Michelson-Morley voor geluid 5

a. Bereken na hoeveel tijd je de echo uit de x-richting en uit de y-richtinghoort als het windstil is. Is er verschil?

Nu waait er wel wind, van rechts, zoals aangegeven in figuur 3, Het geluidmoet dan in S schuin naar rechts lopen, om in S ′ langs de y′-as heen er weerte gaan (zie figuur 3 rechts).

b. Hoeveel tijd kost het nu voor je de echo uit de x-richting hoort?

c. En uit de y-richting?

d. Hoe zou je dus, als je de wind niet zou kunnen voelen of zien, tochkunnen constateren dat hij waait? (Neem bijv. l = 340m; v = 20 m/sen cg = 340 m)

Page 12: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

6 2 TIJDDILATATIE EN LENGTECONTRACTIE

2 Tijddilatatie en lengtecontractie

2.1 Einstein puzzel

Einstein, als jongen van 16, vroeg zich het volgende af: Een hardloopster zietzichzelf in een spiegel die zij in haar hand houdt, een armlengte voor haargezicht. Als zij nu met bijna de snelheid van het licht rent, zal ze zichzelfdan nog steeds in de spiegel zien? Analyzeer deze vraag aan de hand van hetrelativiteitsprinciepe.

2.2 Tijddilatatie

Een waarnemer D heeft een lichtklok en een polshorloge, beide in rust teopzichte van hemzelf. Een andere waarnemer E beweegt ten opzichte vanwaarnemer D, en kan de lichtklok en polshorloge van D bekijken. We vragenons af of het mogelijk is dat waarnemer D zijn twee klokken gelijk ziet lopen,terwijl waarnemer E observeert dat de klokken niet gelijk lopen. Laat metbehulp van een gedachteexperiment zien dat dit onmogelijk is (hint: stel voordat de beide klokken van D bij elke tik een gaatje prikken in een tape).

2.3 Einsteins gedachte-experiment

Als werknemer bij een patentburo in Bazel zag Einstein vanaf zijn werkkamerde klok van de kerktoren. Op een bepaald moment stond de klok op precies 3uur. Hij stelde zich voor dat het licht, dat weerkaatst wordt vanaf de klok enhet ‘beeld’ van de klok met zich draagt, met een snelheid van 300000 km/sde ruimte in suist. Hij vroeg zich af hoe je de klok ziet lopen als je met ditlicht zou kunnen meereizen.

a. Hoe verloopt de tijd voor een (hypothetische) waarnemer die met desnelheid van het licht reist?

2.4 Afstanden

In het ruststelsel van de aarde is de afstand tussen Amsterdam en New Yorkongeveer 6000 km (5877 km om precies te zijn). Met hoeveel wordt de afstandtussen de steden verkort zoals geobserveert door een vliegtuig (1000 km/uur)?Of door de International Space Station (8 km/s)? Of door een kosmischdeeltje dat met een snelheid van 0.9c reist?

Page 13: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

2.5 Muon 7

2.5 Muon

Een muon (µ-deeltje) is een instabiel elementair deeltje, dat in rust een gemid-delde levensduur τ0 = 2, 2.10−6 s heeft. Veronderstel dat een bepaald muon ineen laboratorium (stelsel S) een buis met een lengte l = 600 m kan doorlopenvoor het vervalt.

a. Druk de levensduur τ van een muon in het laboratorium uit in zijnsnelheid v.

b. Gebruik het gegeven dat het muon binnen τ s de buis van 600 m kandoorlopen om v te bereken.

c. Hoe lang was volgens het muon zelf de buis die aan hem voorbij schoot?

d. Leeft het muon volgens zichzelf lang genoeg om de Lorentz-gecontraheerdebuis te passeren?

2.6 Neutron

De gemiddelde levensduur van een neutron is 15 minuten (daarna vervalt hijin een proton, electron en antineutrino). Toch zijn er neutronen die vanuitde zon de aarde bereiken (afstand ≈ 1, 5.1011 m). Met welke snelheid moetendie minstens door de zon zijn uitgestoten?

2.7 Astronaut

Een astronaut wil binnen een jaar (volgens zijn eigen tijdrekening) een sterdie op een afstand van 5 lichtjaren staat bereiken. Neem als lengte-eenheidlichtjaar en als tijdseenheid jaar.

a. Welke waarde heeft de lichtsnelheid c in deze eenheden?

b. Welke snelheid moet zijn ruimteschip dan hebben?

c. Hoelang duurt de reis volgens de aardse tijdrekening?

2.8 Bewegend voorwerp

a. Hoe verandert door de Lorentz-contractie de vorm en de inhoud vaneen bewegend volume?

b. Hoe verandert de dichtheid van een bewegend voorwerp?

Page 14: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

8 3 LORENTZTRANSFORMATIE

3 Lorentztransformatie

3.1 Inverse Lorentztransformatie

x

y

x’

v

y’

S S’

O O’

Figuur 4: Twee inertiaalstelsels

Twee inertiaalstelsels S en S ′ zijn verbonden door de Lorentz-transformatie(figuur 4):

x′ = γ(x − βct)

y′ = y

z′ = z

ct′ = γ(ct − βx)

en

x = γ(x′ + βct′)

y = y′

z = z′

ct = γ(ct′ + βx′)

a. Laat zien dat de tweede set vergelijkingen (met +β) uit de eerste setkan worden afgeleid.

b. De oorsprong van S heeft x = 0. Laat met de Lorentztransformatiezien dat de oorsprong van S met snelheid −v door S ′ beweegt.

c. Vanuit de oorsprong van S ′ schijnt een lichtstraal (met snelheid c) in depositieve x′-richting, volgens x′ = ct′. Gebruik de Lorentztransformatieom aan te tonen dat hij ook een snelheid c in S heeft (dus beweegtvolgens x = ct).

Page 15: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

3.2 Klokken 9

d. Nu schijnt een lichtstraal langs de y-as van S ′ (loopt volgens y′ = ct′).Bepaal met de Lorentztransformatie de totale snelheid

v2x + v2

y in S.

3.2 Klokken

S en S ′ als in figuur 5. Twee gebeurtenissen A en B die in S op dezelfdetijd (tA = tB) maar op verschillende plaats (xA 6= xB) plaatsvinden, zijn inS ′ niet gelijktijdig (t′A 6= t′B).

x

x’

v

A

A B

B

S’

S

Figuur 5: Klokken

a. Laat zien dat t′B − t′A = −γβ

c(xB − xA).

b. Ga na dat figuur 5, waarin overal in S de klokken op t = 0 staan, deklokken in S ′ de situatie goed weer geven. M.a.w. is het juist dat inS ′ de klok bij A voor loopt in vergelijking met de klok in S en in Bachter.

c. Geef de formule voor het tijdsverschil tB − tA voor gebeurtenissen diezich in S ′ gelijktijdig (t′A = t′B) afspelen op x′

A en x′

B.

d. Teken nu op de manier van vraag b) de situatie voor de klokken ophet ogenblik t′ = 0 (de klokken in S ′ staan nu overal op nul). WelkeS-klokken lopen voor, welke achter?

Page 16: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

10 3 LORENTZTRANSFORMATIE

e. Is er een tegenspraak tussen de figuren van vraag b) en c), dus zijn erb.v. passanten die van elkaar zeggen dat de klok van de ander voor (ofachter) loopt?

f. Hoe kan het dat de klokken van het andere stelsel die bij hun naderingnog voorliepen, achterlopen als ze gepasseerd zijn?

3.3 Knal en Lichtflits

Op t = 0 klinkt een knal in S(figuur 6).

BA (S)

Figuur 6: Knal of lichtflits

a. Bereikt het geluid volgens een stilstaande waarnemer (S) A eerder oflater dan B?

b. Teken nu de situatie gezien door een waarnemer die met snelheid v naarrechts beweegt (S ′). Waar komt het geluid volgens S ′ eerder, in A ofin B?

In plaats van een knal is er een lichtflits in S op t = 0.

c. Waar is volgens S het licht eerder, in A of in B?

Page 17: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

3.4 Boeven vangen 11

d. Teken de situatie volgens S ′. Waar komt het licht eerder aan, in A ofin B?

3.4 Boeven vangen

In de situatie van de opgave ’Twee inertiaalsystemen’ beweegt een voorwerpmet snelheid V ′ langs de x-as van S ′, volgens x′ = V ′t′. S ′ beweegt zelf metsnelheid v langs de x-as van S, zodat je niet-relativistisch zou verwachtendat het voorwerp met een snelheid V ′ + v door S beweegt.

1/3 c1/2 c 3/4 c

Figuur 7: Boeven vangen

a. Vul de bewegingsvergelijking x′ = V ′t′ in in de formules van de Lorentz-transformatie en leidt hieruit een verband tussen x en t af.

b. Leidt uit het resultaat van vraag a) de relativistische ’optelformule voorsnelheden af’:

V =V ′ + v

1 + v′v/c2.

c. Wat geeft de optelformule als je V ′ = c neemt? Dus: als de lamp eensnelheid v heeft, komt het licht er dan met snelheid c + v uit?

Tenslotte de volgende flauwe grap:Boeven proberen met een snelheid 3

4c te ontkomen aan een achtervolgende

politieauto met snelheid 1

3c (figuur 7). De achtervolgers schieten kogels af

met snelheid 1

2c.

d. Volgens de gewone optelling is 1

3+ 1

2> 3

4. Zullen de kogels de boeven

dus inhalen?

Page 18: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

12 3 LORENTZTRANSFORMATIE

��������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������

���������������������������������������������

��

y’Spiegel B

heen

terug

heen

Spiegel A

x’O’

terug

���������������������������

���������������������������

��������������������������������

���� �

y Spiegel Bv

heenterug

O

terug

O’heen

vSpiegel A

x

(aarde) (ether)

l

Figuur 8: Michelson-Morley experiment

3.5 Michelson-Morley experiment

(Analyse van het Michelson-Morley-experiment met licht)De aarde (S ′) beweegt met snelheid v door de ’ether’ (S).

In S ′ worden lichtstralen vanuit de oorsprong O′ door spiegels A en B opafstand l op de x′- en y′-assen teruggekaatst.Omdat we voorlopig alleen weten dat de lichtsnelheid in de ether (S) gelijkis aan c, berekenen we de gebeurtenis in S. Daarna transformeren we met deLorentztransformatie terug naar S ′ en vragen ons af of er verschil in reistijdzit (zoals voor geluid in de opgave ’Michelson-Morley voor geluid’).

De beweging O′AO′ langs de x′-as ziet er in S uit als links in figuur 8: deheenreis duurt th, met een snelheid c over een afstand γ−1l+vth (want door deLorentzcontractie is de lengte γ−1l en is de spiegel A naar rechts verschovenmet snelheid v). De terugreis duurt tt, met een snelheid c, over een afstandγ−1l − vtt (want de oorsprong O′ is dichterbij gekomen met snelheid v).

a. Laat zien dat de beweging O′AO′ volgens S een tijd

tx ≡ th + tt =2γl

c

geduurd heeft en dat O′ dan zit op

x = 2γβl

De beweging O′BO′ langs de y′-as ziet er in S uit als rechts in figuur 8.Heen- en terugreis duren even lang en overbruggen met een snelheid c een

Page 19: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

3.5 Michelson-Morley experiment 13

afstand√

l2 + (vt)2 (want spiegel B is naar rechts verschoven met snelheidv).

b. Waarom heeft de lat nu geen Lorentz-contractie?

c. Laat zien dat de beweging O′BO′ volgens S een tijd

ty ≡ th + tt =2γl

c

geduurd heeft.

De lichtstralen keren dus in S tegelijkertijd terug. De vraag was echter of jeop aarde, in S ′, verschil in terugkeertijd ziet.

d. Zijn de twee reistijden na Lorentztransformatie van S naar S ′ ook het-zelfde?

e. Wat is de conclusie?

Page 20: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

14 4 CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE

4 Consequenties van de Lorentztransformatie

4.1 Lat

S ′ beweegt met snelheid v langs de x-as van S, dus:

x = γ(x′ + βct′)

ct = γ(ct′ + βx′).

In S ′ ligt een lat, tussen x′ = 0 (begin) en x′ = l (eind) . De lat beweegt dusook met snelheid v door S.

a. Je bepaalt met de Lorentztransformatie de x-waarden van begin eneind van de lat als de (met de lat meebewegende) S ′-klokken op nulstaan, dus op t′ = 0. Welke lengte vind je dan?

b. Wat zijn de x-waarden van begin en eind als de passerende S-klokkenop nul staan, dus op t = 0?

c. Hoe groot is ”de lengte van de lat in S ′en hoe groot is ”de lengte vande lat in S”?

4.2 Vier klokken

Stelsel S ′ beweegt t.o.v. stelsel S met snelheid v in de richting van de posi-tieve x-as. Klok A staat in de oorsprong van S en klok B in de oorsprongvan S ′.

Als klok B klok A passeert staan ze beiden op 0: ct′ = o en ct = 0 (ziefiguur 9a). Even later, als klok B op ct′ = 1 staat, passeert hij klok C in S,die dan op ct = γ staat (zie fig. 9b).

Volgens een waarnemer in S ′ staat klok A dan op ct = γ−1 en passeerthij klok D in S ′, die dan op ct′ = 1 staat (fig. 9b).

Volgens een waarnemer in S staat klok A dan op ct = γ en passeert klokA klok E in S ′ die dan ct′ = γ2 aanwijst (zie fig. 9c).

a. Schrijf de Lorentztransformatie tussen S en S ′ op.

b. Controleer met de Lorentztransformatie de opgegeven stand van deklokken.

c. Waar zie je tijddilatatie optreden?

Page 21: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

4.3 Raketten 15

v

B x’

S’

A

S

x

x’BD

S’v

S

A C x

x’B

S’v

E

S

A C x

0

a)

0

11

γ −1 γ

b) Waarnemer in S’.

1γ 2

γ γ

c)Waarnemer in S.

Figuur 9: Klokken

4.3 Raketten

S is het inertiaalsysteem van de aarde. Raket P passeert de aarde op t =0 met snelheid 1

2c en beweegt zich naar raket Q die de aarde met 1

2c nadert

(zie figuur 10.

Aarde

S

P Q

Figuur 10: Raketten

Volgens een waarnemer op aarde bevindt Q zich op t = 0 op een afstandx = 4 (lichtjaar), zodat P en Q elkaar in x = 2 (lichtjaar) zullen ontmoeten,na t = 4 jaar (dus ct = 4 lichtjaar).

a. Noteer de x- en ct-coordinaten van de start van P , de start van Q enhun ontmoeting.

We bekijken de gebeurtenis nu vanuit raketje P (stelsel S ′).

Page 22: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

16 4 CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE

b. Schrijf de Lorentztransformatie van S naar S ′ op (let op + en - tekens!)

c. Vertaal de start van P en Q en hun ontmoeting naar S ′-coordinaten ennoteer hiervan de x′- en ct′-coordinaten.

d. Welke snelheid v′ = ∆x′/∆t′ had raket Q, gezien vanuit P ? Controleerdat met de snelheids-optelformule.

4.4 Lichtflitsen

In een inertiaalsysteem S worden in A en B 5µ s na elkaar lichtflitsen uit-gezonden. De afstand AB is 5 km. Als je in S met een bepaalde snelheid vparallel aan de lijn AB beweegt, zie je de flitsen gelijktijdig. Hoe groot moetv zijn?

4.5 Trein

Een trein met een lengte L0 (als hij stilstaat) davert langs een station waarvanhet perron een lengte L < L0 heeft.

a. Hoe groot moet zijn snelheid zijn, zodat volgens iemand op het perronde staart van de trein aan de achterkant van het perron is op hetzelfdemoment als de kop van de trein aan de voorkant is?

Twee mensen aan de uiteinden van het perron slaan gelijktijdig (volgens huneigen waarneming) een deuk in de trein.

b. Op welke afstand liggen die deuken uit elkaar volgens de mensen ophet perron?

c. En volgens de mensen in de rijdende trein?

d. Waar zitten de deuken als de trein gestopt is?

Page 23: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

17

5 Minkowski-diagrammen

5.1 Drie gebeurtenissen

Gebeurtenissen worden vanuit drie standpunten bekeken die een onderlingebeweging hebben: S1, S2 en S3.

1x x2x3

c/2−c/2

S2S1S3

1x

ct

ct3 ct2ct1

OA

B

1

Figuur 11: Drie gebeurtenissen

In het Minkowski-diagram van S1 zijn drie ”gebeurtenissen”O, A en Baangegeven.

a. Geef in het rechter diagram aan wat de x2-, ct2-, x3- en ct3-assen zijn.

b. Volgens S1 is gebeurtenis A gelijktijdig met gebeurtenis O. Hoe zit datin S2 en S3?

c. In S1 stelt de overgang van O naar B een toestand van rust voor. Hoezit dat in S2 en in S3?

5.2 Draaiing in het ct, x-diagram

We kijken naar twee stelsels S en S ′ die verbonden zijn door de Lorentztrans-formatie (zie figuur 12):

x = γ(x′ + βct′)

ct = γ(ct′ + βx′)

De Lorentztransformatie veroorzaakt een soort draaiing in het ct,x-diagram,die lijkt op een gewone ruimtelijke rotatie in het x, y-vlak, met het ver-schil dat de ct- en x-assen beide naar binnen draaien, over een hoek α mettgα = β = v/c :

Page 24: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

18 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN

x

x’

yy’

x

x’

ct ct’

Lorentz-transformatieruimtelijke rotatie

Figuur 12: Draaiing van assen

a. Laat zien dat de x′-as (de lijn met ct′ = 0) in het ct,x-diagram een lijnmet richtingscoefficient β is (dus van de vorm ct = βx is).

b. Laat ook zien dat de ct′-as (dus de lijn met x′ = 0) een richtingscoefficientβ heeft met de ct-as (dus van de vorm x = βct is).

Terwijl bij een rotatie in het x, y-vlak de eenheden op de gedraaide as-sen liggen op de eenheidscirkel x2 + y2 = 1, zo liggen de eenheden van degekantelde ct′,x′-assen op de eenheids hyperbolen x2−(ct)2 = ±1 (figuur 13):

11

11

−1

−1 −1

1

1

−1−1

−1−1

1

1

eenheidscirkel eenheidshyperbolen

−1

y

x

x’

y’ct ct’

x’

x

Figuur 13: Eenheden

c. Reken voor de eenheden op de x′-as (dus ct′ = 0 en x′ = ±1) na datde bijbehorende x- en ct-getallen voldoen aan x2 − (ct)2 = +1.

d. Hetzelfde voor de eenheden op de ct′-as: x2 − (ct)2 = −1.

Page 25: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

5.3 Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowski-diagram 19

5.3 Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowski-

diagram

1

1

x

x’

ct ct’

O1

1

x

x’

ct ct’

A’

A

O

B’

B

Figuur 14: Lorentzcontractie

Lorentzcontractie met een Minkowski-diagram:

a. Toon met de twee diagrammen van figuur 14 aan dat een lat OA (metlengte 2) in S ′ in S verkort is, en andersom, dat een lat OB in S in S ′

verkort is.

x

x’

ct ct’

Ox

x’

ct

O

B’

B

ct’

C’ CD

D’

1 1 1 1

Figuur 15: Tijddilatatie

Tijddilatatie in een Minkowski-diagram:

b. Laat in de diagrammen van figuur 15 zien dat een klok, die in S ′ vanO naar C loopt, in S langzamer is, en andersom, dat een klok die in Svan O naar D loopt, in S ′ langzamer is.

Page 26: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

20 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN

5.4 Wereldlijnen

In het coordinatenstelsel S staan A en B stil op de plaatsen xA = 0 enxB = 3. Op t = 0 zendt A een lichtgolf uit die B bereikt op t = 3

c.

ct

x

x’

ct’

Figuur 16: Teken wereldlijnen

a. Teken in het Minkowski-diagram in figuur 16 de ”wereldlijnen”van Aen B (dus de lijnen x = 0 en x = 3). Teken ook het punt C waarin hetlicht vanuit A B bereikt.

Een ander stelsel S ′ beweegt met 1

2c t.o.v. S in de positieve x-richting. De

x′,ct′-assen zijn al in het diagram aangegeven.

b. Controleer dat de snelheid van S ′ t.o.v. S gelijk is aan 1

2c en geef het

punt B′ aan waar B zich volgens S ′ bevindt op het ogenblik dat hetlicht uit A vertrekt.

Page 27: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

5.5 Opnieuw raketten 21

c. Bereken de ct′,x′ coordinaten voor de punten B ′ en C (gebruik daarbijde Lorentztransformatie)

d. Bereken uit de x′- en t′-verschillen tussen B′ en C hoe snel B beweegt inS ′; bereken uit de x′- en ct′-verschillen tussen de oorsprong O en C hoegroot de lichtsnelheid in S ′ is. Waren deze antwoorden te verwachten?

5.5 Opnieuw raketten

Nog een keer de situatie van de opgave ’Raketten’.

ct

x

x’

ct’

Figuur 17: Teken raketbewegingen

a. Teken de beweging van P en Q in het Minkowski-diagram in figuur 17.Teken de beweging van P en Q in het Minkowski-diagram in figuur 17.

b. Teken de x′,ct′ assen die gelden voor een waarnemer (S ′) die met raketP mee beweegt.

Page 28: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

22 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN

c. Hoe groot is volgens S ′ op t′ = 0 de afstand x′ tot raket Q? (uit hetdiagram aflezen)

d. Na hoeveel tijd ontmoeten P en Q elkaar in S ′? (uit het diagramaflezen).

e. Bereken de snelheid van Q in S ′ uit de x′-verplaatsing van Q tussenct′ = 0 en zijn ontmoeting met P . Vergelijk het antwoord met vraagd) van de opgave ’Raketten’.

Page 29: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

5.5 Opnieuw raketten 23

Gebruik voor het huiswerk onderstaande figuur.

ct

x

x’

ct’

Figuur 18: Teken raketbewegingen

Page 30: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

24 6 KLASSIEKE MECHANICA

6 Klassieke Mechanica

Voor de Klassieke Mechanica zullen een aantal opgaven uit het boek ‘Ana-lytical Mechanics’ van Cassiday & Fowles worden behandeld. Dit zijn ondermeer:

• Hoofstuk 1: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7

• Hoofdstuk 2: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.6

• Hoofdstuk 4: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5

• Hoofdstuk 7: 7.1, 7.2, 7.4, 7.5

Hieronder volgen een aantal extra opgaven.

6.1 Botsende deeltjes

Voor twee botsende deeltjes A en B bestaat de ’wet van behoud van impuls’:

mAv1A + mBv1B = mAv2A + mBv2B

waar v1A en v1B de snelheden van A en B voor de botsing en v2A en v2B desnelheden na de botsing zijn. S en S ′ zijn twee inertiaalsystemen met eenonderlinge snelheid v. Bewijs dat wanneer de behoudswet geldt in S, dezeook geldt in S ′.

6.2 Massa-middelpunt

Het massa-middelpunt van twee deeltjes is een denkbeeldig punt tussen dedeeltjes in, waarvan de plaats, snelheid en versnelling het gemiddelde is vandie van de twee deeltjes, als je tenminste de grootste massa het sterkst meetelt(gewogen gemiddelde). Als de massa’s van de deeltjes m1 en m2 zijn is huntotale massa M = m1 + m2 en geldt voor hun massa-middelpunt:

xM =m1

Mx1 +

m2

Mx2

vM =m1

Mv1 +

m2

Mv2

aM =m1

ma1 +

m2

Ma2

Bij twee botsende deeltjes, waarop verder geen krachten werken, beweegthet massa-middelpunt altijd eenparig. Je kunt dan altijd een Galileitrans-formatie maken van het L-systeem (het ’laboratorium-systeem’) waarin debotsing plaats heeft, naar het M -systeem (het ’massamiddelpunt-system’).

Page 31: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

6.3 Krachtveld 25

Deeltje A heeft een massa mA = 4 kg en botst met een snelheid vA = 10m/s op een stilstaand deeltje B met massa mB = 1 kg.

a. Laat zien dat de totale impuls in het M -systeem voor de botsing nulis: pA,M + pB,M = 0.

In het M -systeem zijn (en blijven) de twee impulsen dus even groot entegengesteld aan elkaar!

Bij een volkomen elastische botsing gaat er geen kinetische energie ver-loren. Het is dan gemakkelijk te bewijzen dat in het M -systeem de impulsenvan A en B na de botsing niet alleen even groot en tegengesteld zijn, maarook dezelfde grootte hebben als voor de botsing.

b. Als deeltje A bij een volkomen elastische botsing in het M -systeem90o zou afbuigen, wat zijn dan de snelheden na de botsing in het M -systeem?

c. En in het L-systeem?

6.3 Krachtveld

Figuur 19: Krachtveld

Page 32: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

26 6 KLASSIEKE MECHANICA

In het (x, y)-vlak is de potentiaalfunctie V (x, y) = x4y2 gedefinieerd. Inde figuur zie je een paar lijnen van constante V : op de kromme lijnen isV = 1 en op de x- en y-as is V = 0.

a. Bepaal de krachtcomponenten Fx en Fy voor een willekeurig punt (x, y).

b. Teken de ~F -pijl in punt B.

c. Bepaal van dit krachtveld de rotatie: rot ~F .

Page 33: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

27

7 Lorentztransformatie van impuls en energie

7.1 Impuls-energie viervector

De componenten van de impulsvector en de energie vormen een vier-vector(px, py, pz,

Ec) op dezelfde manier als de tijd-ruimte-coordinaten (x, y, z, ct).

Bij overgang van stelsel S naar S ′ transformeren ze volgens dezelfde Lorentz-transformatie als voor (x, y, z, ct) geldt.

a. Vertaal de transformatie x = γ(x′ + βct′), ct = γ(ct′ + βx′) naar px enE/c.

Als een deeltje stilligt in S ′ beweegt het met snelheid v in S.

b. Laat zien dat je met de Lorentztransformatie voor de impuls en energievan het bewegende deeltje in S de volgende formules krijgt:

px = γmv

E = γmc2

Bij de Lorentztransformatie blijft de combinatie (ct)2−x2 hetzelfde (”Lorentz-invariant”).

c. Controleer dat voor (ct)2 − x2 en (ct′)2 − x′2.

d. Welke Lorentzinvariante combinatie van E en px neemt de plaats invan (ct)2 − x2?

e. Welke waarde neemt deze combinatie aan in het ”rustframe”S ′?

7.2 Energie van een relativistisch deeltje

Voor een relativistisch deeltje is het verband tussen energie en impuls:

E2 − c2p2 = m2c4

dusE =

m2c4 + c2p2

a. Teken de grafiek van de energie van het bewegende deeltje als functievan zijn snelheid v. Geef hierin de bijdrage van de kinetische energieEk = E − E0 aan (E0 is de rustenergie van het deeltje).

b. Hoe snel moet een deeltje bewegen om zijn kinetische energie even grootte laten zijn als zijn rustenergie?

Page 34: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

28 7 LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE

c. Tot welke uitdrukking reduceert de kinetische energie voor niet-relativistischedeeltjes (pc � E0)?

d. Dezelfde vraag voor relativistische deeltjes (pc � E0).

7.3 Energie en impuls van een relativistisch deeltje

Als je aan een deeltje energie toevoegt, nemen de snelheid en impuls van hetdeeltje toe.

a. Tot welke waarde nadert de snelheid van het deeltje uiteindelijk?

b. En de impuls?

c. Teken de grafiek van de energie (verticaal) tegen de impuls (neem cp,horizontaal). Geef daarin ook de grafiek van de niet-relativistische en-

ergie E = E0 + p2

2m.

d. Tot welke rechte lijn nadert de relativistische grafiek uiteindelijk?

Page 35: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

7.4 Massaloze deeltjes 29

7.4 Massaloze deeltjes

Fotonen zijn massaloze deeltjes.

a. Waarom is hun snelheid gelijk aan c?

b. Wat is de formule voor de energie van een foton?

De energie van een foton hangt af van de frequentie: Efoton = hν (ν is defrequentie en h is de constante van Planck).

c. Hoe hangt de impuls van een foton af van zijn golflengte? Gebruikc = λν, waarbij λ de golflengte is.

d. Als je op het strand in de zon ligt, wordt je bestraald met een sterktevan ongeveer 100 W. Met welke impuls botst deze straling elke secondetegen je aan (de ”stralingsdruk”)?

7.5 Twee relativistische deeltjes

In stelsel S bewegen twee identieke deeltjes A en B langs de x-as naar elkaartoe, elk met een snelheid van 0, 8c. Dus vA = +0, 8c naar rechts en vB =−0, 8c naar links. De massa van de deeltjes is m.

a. Druk in S de impuls en de energie van de deeltjes uit in m en c.

b. Hoe groot is de totale kinetische energie uitgedrukt in m en c?

We bekijken de situatie nu vanuit stelsel S ′, dat met A meebeweegt. In S ′

staat A dus stil en komt B met een extra grote (negatieve) snelheid op A af.

c. Schrijf de Lorentztransformaties voor energie en impuls voor de over-gang van S naar S ′ op.

d. Vul de getalswaarden voor γ en β in in de Lorentztransformaties enbepaal de impuls en energie in S ′ voor deeltje A. Was de uitkomst teverwachten?

e. Bepaal met de Lorentztransformaties ook de impuls en energie vandeeltje B in S ′.

f. Hoe groot is volgens de optelformule”voor snelheden de snelheid van Bin S ′?

g. Geven de formules p = γmv en E = γmc2 voor het bewegende deeltjeB in S ′ dezelfde antwoorden als in vraag e).

Page 36: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

30 7 LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE

7.6 Inelastische boting

Twee identieke deeltjes met massa m worden op elkaar afgeschoten. De eenheeft een snelheid 3

5c naar rechts, de ander een snelheid 3

5c naar links. Na de

botsing zijn ze versmolten tot een deeltje met massa M .

a. Waarom staat het deeltje met massa M na de botsing stil?

b. Wat verwacht je voor de massa M :

1. M = 2m

2. M > 2m

3. M < 2m

Licht je keuze toe.

c. Hoe groot was de totale energie van de twee deeltjes voor de botsing?

d. Deze energie gaat over in de rustenergie van het gecombineerde deeltje,hoe groot is M?

7.7 Nog een inelastische botsing

Een deeltje met massa m botst met een energie E = 2mc2 op eenzelfde deeltjein rust.

a. Wat is de snelheid van ieder van de deeltjes?

b. Wat is de impuls van ieder van de deeltjes?

Na de botsing vormen de twee deeltjes een deeltje met massa M en snelheidV . De energie en impuls van deeltje M zijn respectievelijk E = γMc2 enp = MγV .

c. Wat is de energie van deeltje M uitgedrukt in de massa van de tweebotsende deeltjes?

d. En de impuls?

e. Bereken de snelheid V van deeltje M .

f. Bereken massa M .

g. Niet-relativistisch zou je verwachten dat M = 2m en V = 1

2v. Was dat

relativistisch ook zo?

Page 37: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

31

8 Doppler effect

8.1 Bewegende lichtbronnen

B x, x’Wx, x’W B

y y’ y’ y

vv

a) bron B nadert waarnemer W b) bron B verwijdert zich van waarnemer W

Figuur 20: Bewegende bronnen

We plaatsen een lichtbron in stelsel S en een waarnemer in stelsel S ′ meteen onderlinge snelheid v tussen S en S ′. De Lorentztransformatie geeft danaan hoe de energie/frequentie, die de waarnemer aan de bewegende lichtbrontoekent, afwijkt van de energie/frequentie voor een stilstaande bron.

Eerst: de bron B nadert de waarnemer W (links in fig 20a)

a. Wat is de Lorentztransformatie voor impuls en energie voor een over-gang van S naar S ′?

b. Leidt hieruit de frequentie voor een naderende lichtbron af.

c. Ga na of het Doppler-effect hier tot een hogere of lagere frequentie heeftgeleid.

Nu voor een zich verwijderende bron (rechts in figuur 20b)

d. Bepaal E ′ en leidt de frequentie voor de zich verwijderende bron af.

e. Is ν ′ groter of kleiner dan ν?

f. In welke van de twee gevallen is er sprake van een ”roodverschuiving”?

8.2 Roodverschuiving

In het uitdijend heelal verwijderen veraf gelegen sterrenstelsels zich van ons afmet een snelheid v die toeneemt met hun afstand d : v ≈ Hd (H is de Hubbleconstante). Deze verwijdering valt af te lezen uit de ”roodverschuiving”van

Page 38: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

32 8 DOPPLER EFFECT

bekende spectraallijnen, die nu een grotere golflengte λ′ dan de gebruikelijkeλ hebben.

De roodverschuiving wordt beschreven door de parameter z = λ′−λλ

.

a. Laat zien dat z =√

1+β

1−β− 1.

b. Schets een grafiek van z tegen β.

Voor melkwegstelsels op een afstand d = 108 lichtjaar is z ≈ 10−2. Voorquasars op een afstand d = 1010 lichtjaar is z ≈ 1.

c. Maak met deze gegevens een schatting van de Hubble-constante.

d. Laat zien dat 1

Hvan de orde van de ouderdom van het heelal is en

bereken deze.

8.3 Stoplicht

Hoe hard moet je rijden om een stoplicht, dat op rood staat, als een groenstoplicht te zien? De golflengte van rood licht is 700 nm, die van groen licht500 nm.

8.4 Transversaal Doppler effect

In stelsel S staat een waarnemer W ergens op de positieve y-as en beweegteen lichtbron B zich met snelheid v naar rechts langs de x-as. We kijken naarde lichtstraal die B in de richting van W uitzendt als B op t = 0 de oorsprongvan S passeert (dus een foton dat zich langs de positieve y-as beweegt, metimpuls py = E

c= hν

c).

a. Geef de Lorentztransformatie voor de energie-impuls viervector tussenstelsel S en het ruststelsel S ′ van de lichtbron (de stelsels vallen samenop t = t′ = 0).

b. Teken de lichtstraal van B naar W in S ′. Loopt die schuin naar links-

boven of naar rechtsboven?

c. In S geldt voor het foton: px = 0. Maak hiervan gebruik om een relatietussen E en E ′ voor het foton af te leiden en laat zien dat hieruit voorde frequentie van het licht volgt: ν =

1 − β2ν ′

d. In S ′ wijst de impulsvector van het foton schuin naar linksboven, metcomponenten p′x en p′y. Laat met de stelling van Pythagoras en de

Lorentztransformatie zien dat ook in S ′ geldt: |p′| = E′

c.

Page 39: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

8.5 Tweelingparadox 33

e. Is er in dit geval sprake van een Dopplereffect (hoewel de lichtbron geensnelheidscomponent naar de waarnemer heeft)?

f. Is dit ”transversale”Doppler effect groter of kleiner dan het Dopplereffect van een naderende of zich verwijderende lichtbron?

g. De niet-relativistische Doppler-formule voor een naderende lichtbron is:ν ′ = c

c−νν = 1

1−βν (en ν ′ = ν voor een transversaal bewegende licht-

bron). Laat zien dat: ”relativistisch Doppler effect = niet-relativistischDopper effect + tijddilatatie”.

8.5 Tweelingparadox

Op Nieuwjaarsdag 2010 vertrekt een astronaut A van de aarde met snelheidβ = 0.8, om naar de dichtsbijzijnde ster te gaan, de α-centauri. Deze sterstaat 4 lichtjaren weg, gemeten in het coordinatenstelsel verbonden met deaarde. Nadat A de ster heeft bereikt, keert hij onmiddelijk om en keert terugnaar aarde met dezelfe snelheid, om aan te komen op Nieuwjaars dag 2020(aardse tijd). De astronaut heeft een broer B die achterblijft op aarde, en zespreken af elkaar elk jaar op Nieuwjaarsdag een radiobericht te sturen totdatde reiziger terug is.

1. Laat zien dat A 6 boodschappen stuurt (inclusief die op de dag vanaankomst) terwijl B 10 boodschappen verstuurd.

2. Teken een ruimte-tijd diagram van de reis van A in aardse coordinaten.Teken ook de wereldlijnen van de boodschappen die B verstuurd. Laatmet dit diagram zien dat A slechts 1 bericht heeft ontvangen op hetmoment dat hij omkeert, en dat hij er vervolgens 9 ontvangt tijdens detweede helft van zijn reis.

3. Teken een nieuw ruimte-tijd diagram, weer in aardse coordinaten, enteken daarin de wereldlijnen van de astronaut en al de berichten diehij verstuurd. Laat zien dat zijn broer op aarde elke 3 jaar een berichtontvangt gedurende de eerste 9 jaar en dan 3 tijdens het laatste jaar,een totaal van 6.

4. Interpreteer deze resultaten in termen van het Doppler effect.

Page 40: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

34 9 DEELTJES PRODUCTIE

9 Deeltjes productie

9.1 Vierimpuls

E, p E*, p* E*, -p*m m m m

a) laboratoriumsysteem b) zwaartepuntsysteem

Figuur 21:

Een deeltje met massa m botst op eenzelfde deeltje in rust (fig. 21a).

a. Wat is de vierimpuls van een ieder van de deeltjes?

b. Wat is de norm van ieder van deze vierimpulsen?

c. Wat is de totale vierimpuls in het laboratoriumsysteem?

Beschouw nu de botsing in het zwaartepuntsysteem (fig. 21b).

d. Wat is de totale vierimpuls in het zwaartepunt systeem?

e. Wat is de norm van deze vierimpuls?

f. Vindt de uitdrukking voor E in termen van E∗ en m.

9.2 p~p botsing

In het zwaartepuntsysteem botsten een proton (symbool p) en een antiproton(symbool p) ieder met een snelheid v = 0, 8c op elkaar. De massa van hetantiproton is gelijk aan de massa van het proton.

a. Wat is de totale impuls p∗ in het zwaartepuntsysteen?

b. Wat is de totale energie E∗ in het zwaartepuntsysteem?

c. Wat is de totale vierimpuls P ∗ in het zwaartepuntsysteem?

d. Bij de botsing vernietigen de twee deeltjes elkaar. Hoeveel energie is erbeschikbaar voor de creatie van nieuwe deeltjes?

Page 41: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

9.3 Vervallende deeltjes 35

9.3 Vervallende deeltjes

Een deeltje in rust met massa M vervalt in twee identieke deeltjes, elk metmassa m.

a. Waarom zullen de twee deeltjes die ontstaan een even grote snelheidhebben?

b. Geef een uitdrukking voor deze snelheid v in termen van M en m.

Een pion (massa mπ) in rust vervalt in een muon (massa mµ) en een neutrino(massa mν = 0).

c. Wat is de snelheid van het neutrino?

d. Wat is de impuls van het muon?

9.4 pp botsing

voor na

zwaartepuntsysteem

voor na

laboratoriumsysteem

E,p E*,p* E*,-p*

Figuur 22: pp botsing

Wanneer een proton met voldoende energie op een andere proton wordtgeschoten is het mogelijk dat een extra pp paar wordt gecreeerd: pp → pppp

Bekijk de gebeurtenis eerst vanuit het laboratoriumsysteem (figuur 22links). De energie en impuls van het bewegende proton in het laboratorium-systeem zijn resp. E en p.

a. Welk verband bestaat er tussen E en p?

b. Wat is de totale energie in het laboratoriumsysteem voor de botsing?En de totale impuls?

c. Bekijk nu de gebeurtenis in het zwaartepuntsysteem (figuur 22 rechts).Wat is de minimale energie (E∗

min) nodig om de reactie pp → pppp telaten verlopen?

d Leidt uit de invariantie van de vierimpuls de waarde voor de minimaleenergie Emin af.

Page 42: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

36 9 DEELTJES PRODUCTIE

e. Wat zou energetisch voordeliger zijn: de hierboven beschreven botsingmet een bewegend en een stilstaand proton of de situatie waarbij tweebewegende protonen op elkaar botsen (bij gelijke onderlinge snelheid)?

9.5 Eenheden

De energie-eenheden eV (elektronvolt), MeV, GeV, enz., kunnen ook gebruiktworden om massa en impuls in uit te drukken: de massa van een electron isongeveer me = 0, 5 MeV/c2.

a. Hoe groot zijn dan γ en ν voor een elektron met energie E = 1 MeV?

b. Hoe groot is zijn impuls? Welke eenheid gebruik je dan?

c De massa van een proton is mp = 1, 0 GeV. Hoeveel energie en impulsheeft een proton met snelheid v = 0, 8c?

9.6 e−e+ botsing

Een elektron botst in het laboratoriumsysteem met snelheid v = 0, 8c op eenpositron in rust.

a. Bereken hun totale energie in het laboratoriumsysteen (Etot = Ee− +Ee+) uitgedrukt in de elektron massa me.

b. Dezelfde vraag in het zwaartepuntssysteem (E∗

tot = E∗

e− + E∗

e+).

Bij de botsing vernietigen zij elkaar en ontstaan er, gezien vanuit het zwaartepuntsys-teem, twee gelijke fotonen die tegengesteld aan elkaar wegschieten, elk meteen energie E∗

foton = hν.

c. Waarom moeten het twee fotonen zijn en waarom hebben ze dezelfdefrequentie?

Als de beweging van de fotonen in het zwaartepuntsysteem loodrecht op derichting van het elektron is, kun je met een Lorentztransformatie de energievan de fotonen in het laboratoriumsysteem bepalen.

d. Wat is de frequentie van de fotonen in het laboratoriumsysteem?

Page 43: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

Appendix: Divergentie en Rotatie

1. Variatie van een functie f(x) Bij een stapje x∆ van x1 naar x2 groeit de functie f(x) met

2 1( ) ( )f f x f x∆ = − . Voor kleine x∆ is / r.c. '( )f x f x∆ ∆ = = , dus '( )f f x x∆ = ∆ .

[Hier worden hogere termen van de Taylorreeks: ... 1 12 3

2 6''( ) '''( )f x f x+ ∆ + ∆ + ..., verwaarloosd voor 0x∆ → ]. 2. Variatie van een functie f(x,y) Voor een functie f(x,y) die op het x,y-vlak is gedefiniëerd, verandert f bij stapje 1 in de x-richting met:

2 1 1 1( , )( , ) ( , ) f x yf f x y f x y x

x∂

∆ = − = ∆∂

Bij stapje 2 in de y-richting:

1 2 1 1( , )( , ) ( , ) f x yf f x y f x y y

y∂

∆ = − = ∆∂

Bij stapje 3, dus na x∆ en y∆ :

2 2 1 1( , ) ( , )( , ) ( , ) f x y f x yf f x y f x y x y

x y∂ ∂

∆ = − = ∆ + ∆∂ ∂

3. Variatie van een vectorveld v(x,y) We nemen gemakshalve twee dimensies (in drie dimensies gaat het net zo). Een vectorveld v(x,y) heeft in elk punt x,y twee componenten, ( , )xv x y en ( , )yv x y . Er zijn dan bij stapjes in het x,y-vlak de volgende variaties mogelijk: Variatie van de xv -component bij een stapje x∆ :

( , )xx

v x yv xx

∂∆ = ∆

∂.

Variatie van de xv -component bij een stapje y∆ :

( , )xx

v x yv yy

∂∆ = ∆

∂.

Variatie van de xv -component bij een stapje x y∆ + ∆i j :

( , ) ( , )x xx

v x y v x yv x yx y

∂ ∂∆ = ∆ + ∆

∂ ∂.

Variatie van de yv -component bij een stapje y∆ :

( , )y

yv x y

v yy

∂∆ = ∆

∂.

Enzovoort. 4. Divergentie van een vectorveld De totale uitstroom (flux) van een vectorveld v(x,y,z) uit een gesloten oppervlak (bol, doosje,...) bestaat uit de bijdragen van kleine oppervlakte elementjes dS (elk met grootte dS en loodrecht naar buiten gericht).

De flux van een vector v door een oppervlakte-element dS is d dv S⊥⋅ = =v S (veldcomponent loodrecht naar buiten) × (grootte

van oppervlak).

Page 44: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

De totale uitstroom uit de bol, het doosje, ..., is dan de oppervlakte-integraal d⋅∫∫ v S .

[Deze integraal is geen opdracht tot primitiveren, maar symboliseert de totale bijdrage over het hele gesloten oppervlak].

Vaak zal voor een vectorveld dat “door het doosje heenwaait” de in-stroom even groot zijn als de uit-stroom. De netto flux naar buiten is dan nul: d 0⋅ =∫∫ v S .

De netto flux naar buiten is pas ongelijk nul als er binnen het gesloten oppervlak punten zijn “waar er v bijgemaakt is”. Voor een klein kubusje om zo’n punt (met volume dV x y z= ∆ ∆ ∆ kunnen we de balans van de flux-winst opmaken:

Netto flux links-rechts = = ( 'xv × rechter oppervlak) − ( xv × linker oppervlak) =

= ( ' )( ) ( )x xx x

v vv v y z x y z Vx x

∂ ∂− ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆

∂ ∂

Netto flux voor-achter = = ( xv × oppervlak achterkant) − ( xv × oppervlak voorkant) =

= ( ' )( ) ( )y yy y

v vv v x z y x z V

y y∂ ∂

− ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆∂ ∂

Netto flux links-rechts = = ( xv × oppervlak boven) − ( xv × oppervlak onder) =

= ( ' )( ) ( )z zz z

v vv v x y z x y Vz z

∂ ∂− ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆

∂ ∂

De totale uitstroom van flux in de directe omgeving dV van punt (x,y,z) is dus gelijk aan (div )dVv , waarin de divergentie van het vectorveld gedefiniëerd is als:

div x y zv v vx y z∂ ∂ ∂

= ∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂

v v

De divergentie (“uitstraling”) van v(x,y,z) is een scalair getal dat aangeeft “hoeveel v⊥ er in het punt (x,y,z) is bijgekomen”.

[De nabla-vector ( / , / , / )x y z∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ben je misschien vroeger al tegengekomen in grad ( , , ) ( , , ) ( / , / , / )V x y z V x y z V x V y V z= − = −∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂F ; toen maakte hij van een scalaire

potentiële energie V de vector F]

De totale uitstroom uit een gesloten oppervlak is dan niets anders dan de totale divergentie in het volume binnen dit oppervlak (stelling van Gauss):

oppervlak volume

d (div )dV⋅ =∫∫ ∫∫∫v S v .

5. Rotatie van een vectorveld Wie als het waait een reis maakt die naar zijn beginpunt terugkeert, heeft evenveel wind mee gehad als wind tegen. Het vectorveld v (de stroomsterkte van de wind) duwt ons bij elke stap ds in de rug met

d⋅v s (het inproduct selecteert de goede component van het v-veld), zodat na een gesloten route het totale effect gelijk is aan de kringintegraal d⋅∫ v s . (deze lijn-integraal niet verwarren met de

oppervlakte-integraal d⋅∫∫ v S ).

Vaak zal men vinden dat d 0⋅ =∫ v s .

Het netto effect van “wind mee, wind tegen” is pas groter dan nul, als er binnen de gevolgde kring luchtwervelingen waren in de draairichting waarin we onze kring doorlopen hebben. Om te kijken of de luchtcirculatie in een bepaald punt bijdraagt tot dergelijke wervelingen, bekijken we een klein vierkantje

Page 45: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

om dat punt (met oppervlak S x y∆ = ∆ ∆ ). Op de heen- en terug-weg langs de x-as zijn de componenten xv en yv van belang, met netto effect (wind mee is +, tegen −):

' ( ' ) x xx x x x

v vv x v x v v x y x Sy y

∂ ∂∆ − ∆ = − − ∆ = − ∆ ∆ = − ∆

∂ ∂

Net zo voor het netto effect voor heen- en terugweg langs de y-as:

' ( ' ) y yy y y y

v vv y v y v v y x y S

x x∂ ∂

∆ − ∆ = − ∆ = ∆ ∆ = ∆∂ ∂

Het totale effect van de reis om het vierkantje is dan gelijk aan y xv vx y

∂ ∂−

∂ ∂. We

lezen dit als de z-component van het uitproduct rot = ∇×v v . rot v (in het engels vaak curl v) geeft dus voor het vectorveld v(x,y,z) aan hoeveel werveling er in het punt (x,y,z) bestaat. Het totale “wind mee, wind tegen” als we een gesloten kring rondgaan, is dan het totaal van alle wervelingen binnen die kring:

kring oppervlak

d (rot ) d⋅ = ⋅∫ ∫∫v s v S

(de eerste integraal gaat over een gesloten kring, de tweede over het oppervlak daarbinnen).

Voorbeelden 1. Gegeven het volgende vreemde vectorveld:

x=v i (dus steeds langs de x-as, sterker bij grotere |x|) a) Bereken de flux d⋅∫∫ v S door een kubus met ribbe 1 en linker-

en rechtervlak op 12x = ± ;

b) Idem voor kubus met linker- en rechtervlak op x = 0 en x = 1; c) Bereken div v (dus:∇ ⋅ v ) d) Controleer dat inderdaad

oppervlak volume

d (div )dV⋅ =∫∫ ∫∫∫v S v .

Uitwerking: a) Door het rechter zijvlak (met S = 1) is 1

2=v i , dus flux 1 12 21× = naar rechts; door het linker zijvlak (ook

met S = 1) is 12= −v i , dus flux 1 1

2 21× = naar links; de totale uitgaande flux is dus 1 12 2d 1⋅ = + =∫∫ v S .

b) Door het linker zijvlak is v = 0; door het rechter zijvlak is 1=v i , dus weer d 1⋅ =∫∫ v S

c) div 1 0 0 1yx zvv vx y z

∂∂ ∂= + + = + + =∂ ∂ ∂

v .

d) Inderdaad is de flux d 1⋅ =∫∫ v S gelijk aan volume

(div )d 1 Volume 1 1 1V = ⋅ = ⋅ =∫∫∫ v

2. We doorlopen nu een vierkant in dit veld:

a) Zie je wervelingen in dit veld? Bereken voor dit vierkant d⋅∫ v s .

b) Bereken ook / /y xv x v y∂ ∂ − ∂ ∂ . Controleer kring oppervlak

d (rot ) d⋅ = ⋅∫ ∫∫v s v S

Uitwerking: a) Er zijn geen wervelingen; je hebt even veel wind mee als wind tegen, dus d 0⋅ =∫ v s .

b) Met xv x= en 0yv = krijg je 0 0 0y xv vx y

∂ ∂− = − =

∂ ∂ dus rot v = 0.

Page 46: Oefeningen Speciale Relativiteitstheoriestanb/download/OEFENINGEN.pdf · Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie

3. Kijk naar het snelheidsveld van een draaiende schijf (elk punt draait mee in cirkels met v rω= ). a) Hoe groot is d⋅∫ v s voor een cirkel met straal R?

Uit de figuur blijkt dat in elk punt geldt: sin en cosx yv v v vφ φ= − = ; cos en sinx r y rφ φ= = . b) Druk nu xv en yv uit in x en y en bereken rot v.

c) Ga na of voor een cirkel inderdaad geldt: kring oppervlak

d (rot ) d⋅ = ⋅∫ ∫∫v s v S .

Uitwerking: a) Over het hele rondje 2 Rπ is v Rω= , dus 2d ( ) (2 ) 2R R Rω π πω⋅ = ⋅ =∫ v s .

b) Blijkbaar is xyv v yr

ω= − = − en yxv v xr

ω= = , zodat ( ) 2y xv vx y

ω ω ω∂ ∂

− = − − =∂ ∂

.

Overal heeft rot v dus dezelfde waarde: als je je met de stroom laat meevoeren verandert je oriëntatie overal in het zelfde tempo. c) Inderdaad is nu 2 2

oppervlak

(rot ) d (2 ) (oppervlak) (2 )( ) 2R Rω ω π πω⋅ = × = =∫∫ v S

4. In de draaikolk van een leeglopende wasbak draait het water steeds sneller rond naarmate de cirkels kleiner worden: /v C r= (dat komt omdat de draai-impuls L mvr= gelijk blijft). a) Bereken in dit cirkelvormige stromingsveld v hoe groot d⋅∫ v s is voor rondje

met straal R. b) Bereken d⋅∫ v s ook voor de hiernaast aangegeven route.

c) Waar in dit stromingsveld is rot v ongelijk nul?

Uitwerking:

a) Over het hele rondje 2 Rπ is /v C R= , dus d (2 ) 2C R CR

π π⋅ = =∫ v s .

b) De grote kwart-cirkel met “wind mee” levert 1 122 2

2( )C r C

rπ π= en de kleine kwartcirkel met “wind tegen

levert 1 122 2

2( )C r C

rπ π− = − . Dus voor de hele route is d 0⋅ =∫ v s . Dan is blijkbaar in het ingeloten oppervlak

de rotatie nul (wantkring oppervlak

d (rot ) d⋅ = ⋅∫ ∫∫v s v S ). Dat betekent dat, als je met de stroom meedrijft, je

oriëntatie niet verandert (je draaiing op je cirkelbaan wordt tegengewerkt door de extra snelheid aan de binnenkant).

c) Ook voor de kleinste cirkels is d (2 ) 2C R CR

π π⋅ = =∫ v s ; blijkbaar is er alleen een rot 0≠v in de

oorsprong.