Tijdscorrectie GPS Relativiteit

koninklijke militaire school adjt kbo truyens, boonen160 promotie polytechniek 3 bachelorLt-gen albert crahay 2007–2008

PH006: Bachelorproef

Algemene Relativiteitstheorie

De promotor van de proef: Prof Dr. Ir M.Van Schoor

Voorwoord

Om onze bachelor in schoonheid te beeindigen biedt de leerstoel fysica ons de mogelijkheideen bachelorproef te maken over de algemene relativiteitstheorie. Ons werk bestaat ener-zijds uit een experimenteel gedeelte, waarin we de lichtsnelheid en de lokale valversnelling zonauwkeurig mogelijk meten, anderzijds uit een theoretisch gedeelte waarin we ons verdiepenin de algemene relativiteitstheorie. Bij de inleiding van elk hoofdstuk worden onze specifiekeaanpak, hypotheses, conventies en filosofie uiteengezet.

Bij aanvang van dit project hebben we duidelijk bepaald wat ons doel was en hoe we ditdoel konden bereiken. Gaandeweg veranderde de vooropgestelde weg wel een beetje, maar dealgemene filosofie werd behouden. De bedoeling is dat ons werk leesbaar is voor iemand meteen basiskennis aan wiskunde en wetenschappelijk inzicht. Volgende uitspraak van Einsteinheeft ons hierbij sterk geınspireerd: ’Everything should be made as simple as possible, but notsimpler’. Daarom hebben we in ons werk geprobeerd het verhaal te vertellen dat verscholenzit achter vele berekeningen en op een coherente manier de drie hoofdaspecten (lichtsnelheid,valversnelling en relativiteitstheorie) met elkaar te verbinden. Om ons werk niet te verzadi-gen met hypotheses en onze standpunten hard te maken, hebben we in de bijlage de nodigeberekeningen voorzien voor de lezers die zich eigen voelen met deze materie. In de appendixkunt u nog een aantal interessante artikels vinden al dan niet van onze hand.

Tenslotte willen we alle mensen bedanken die ons bij deze verwezelijking geholpen hebben. Devolgende personen willen we hieromtrent extra vermelden: Professor Van Schoor, professorSevrin, professor Muls, Dr. Van Camp en de mensen van Technopolis.

ii

Inhoudsopgave

1 De Gravimetrie 11.1 Algemene bepalingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Relatieve gravimetrie en het belang van de kennis van g . . . . . . . . . . . . 11.3 Absolute gravimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Het bepalen van g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Meting van g aan de hand van de FG5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 De Lichtsnelheid 92.1 Algemene bepalingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Metingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Bepalen van c via de Microgolf-oven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Methode van Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Verband tussen experimenteel en theorie 15

4 Algemene Relativiteit 174.1 Wat vooraf gaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Equivalentieprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.1 Opbouw van het equivalentieprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2.2 De invloed van de zwaartekracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.3 Uitwerking en controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.4 Tijdsverschil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Global Positioning System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.1 Invloed SR: tijdsdilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.2 Invloed AR: tijdsversnelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.3 De invloed van het totale tijdsverschil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 Einsteinvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4.1 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4.2 De Einsteinvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4.3 De Schwardschild oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4.4 Het GPS probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iv

INHOUDSOPGAVE v

5 Bijlagen 345.1 Bepaling van g via de slinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.1 De theorie van de oscillerende ideale slinger . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.2 Onze metingen in Technopolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Resultaten van de FG5-meting in Monschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Proef van Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Noties uit de SR en conventies in ons project . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4.1 algemene conventies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4.2 Speciale relativiteit (SR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5 Verband tussen Christoffelsymbool en gµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6 Aanvulling op de conventies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.7 Aanvullingen op de Einsteinvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.7.1 Wet van Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.7.2 Veralgemening van Newtons gravitatiepotentiaal . . . . . . . . . . . . 50

Appendix 55

The FG5 absolute gravimeter: metrology and geophysics 56

Dimensies, eenheden en de Maxwell vergelijkingen 71

Hoofdstuk 1

De Gravimetrie

1.1 Algemene bepalingen

De gravimetrie bestudeert de aantrekkingskracht van onze planeet, de aarde ten gevolge vande zwaartekrachtversnelling g bestudeert, dit zowel in nominale waarde (absolute gravimetrie)als de variatie hiervan (relatieve gravimetrie) in functie van tijd en ruimte. Beide takken vande gravimetrie hebben nog een grote toekomst in het verschiet. Daar waar de relatieve gravi-metrie (RG) het werktuig is voor het bepalen van de geoıde1 en een noodzakelijk instrumentis in de geofysica, is de absulute gravimetrie (AG) noodzakelijk voor het ijken van voorgaandemeetinstrumenten en voor het opstellen van de Watt-balans (zie appendix).We zullen ons in dit werk beperken tot de AG om tenslotte de link te leggen met de algemenerelativiteit. De RG houdt hier minder verband mee en vindt haar toepassingen eerder ingeodesie en geofysica.

1.2 Relatieve gravimetrie en het belang van de kennis van g

Hoewel de RG geen directe weerslag heeft op ons werk, willen we deze toch even aanhalen omhaar belang te onderlijnen en ten gevolge daarvan ook het belang van de AG.De RG kent vele toepassingen die ook van economisch belang zijn. Via de meting van de kleinevariaties van g kan men via de geofysica voorspellingen doen over de ondergrond. Op zulkewijze kan bijvoorbeeld de platentektoniek bestudeerd worden, maar ook kunnen olieveldengelokaliseerd worden. Zelfs de getijden kan men bestuderen aan de hand van de gravimetrie.MAAR weet echter dat de RG niet kan bestaan zonder de AG. Zoals de naam zelf zegt heeftde RG een ijkpunt nodig dewelke geleverd wordt door de AG.

1De geoıde is het equigravitationeel oppervlak van de aarde

1

HOOFDSTUK 1. DE GRAVIMETRIE 2

1.3 Absolute gravimetrie

Op aarde ondervinden wij een aantrekkingskracht die slechts een gevolg is van Newton’s wetvan universele graviteit:

F = Gm ·Mr2

· er = −m∇φ(r) (1.1)

met φ = −GMr.

In dit geval is voor formule (1.1) M de massa van de aarde en r2 de afstand tot het middelpuntvan de aarde. We kunnen 1.1 dan na aftrek van de centrifugaalkracht samentrekken tot:

F = g ·m (1.2)

met g = −GMr2

+ ω2 · r. (1.3)

Het is deze kleine g die ons in de volgende studie interesseert.

1.3.1 Het bepalen van g

Uit de eenheden van g blijkt dat deze een versnelling is (ms2

). Bij de meting van g wordtmeestal met een iets fijnere eenheid gewerkt, namelijk de gal2. Een eerste tak binnen degravimetrische meetinstrumenten bevat deze die een meting doen op de dynamica van eengekend voorwerp. Een tweede grote tak binnen de gravimetrische meetinstrumenten bevatkracht -en koppelmeters. Een groot voordeel van de statische meetinstrumenten is de tijds-onafhankelijkheid van de meting. De laborant heeft dus alle tijd om zijn meting af te lezen.Hun grootste gebrek zal echter de ijking zijn. De precisie zal hierdoor zelden het professioneleniveau bereiken, tenzij voor de RG.De kinematische meetinstrumenten zijn daarentegen wel tijdsafhankelijk, wat de metingenbemoeilijkt. Daarentegen zijn ze enkel afhankelijk van de SI-eenheden meter en seconde. Eenprofessionele meetgroep is dan ook uitgerust met een atoomklok. Wij zullen in dit werk tweemeetmethodes bespreken: de methode met de slinger en die van de FG5. Een artikel over eenderde opkomende methode, namelijk de koude atoomgravimeter vindt u op :

http://syrte.obspm.fr/index.php?page=capteur_inertiel2&lang=en

Meting van g aan de hand van een slinger

De wetenschappelijk geınteresseerde lezer raden we aan om alvorens verder te gaan Annex 1te lezen, alwaar besproken wordt hoe we tot onze theorie zijn gekomen. Zoniet zal hij eenaantal zaken als gepostuleerd moeten beschouwen.Een eerste voordeel van de slinger is zijn periodiciteit. Dit maakt de proefneming repeteerbaar.

2De gal is een cms2

.


Een tweede voordeel is dat men de g kan meten via de periode. Voor berekeningen eninterpretaties verwijzen we naar de bijlage, maar algemeen geldt de volgende formule.

S = π

√l

g

(1 +

14sin2(

α

2) +

924sin4(

α

2) +

25256

sin6(α

2) + . . .

), (1.4)

waarbij S een halve periode is, l de afstand van rotatie- tot massacentrum en α de maximaleuitwijking van de slinger. Vroeger werd ten gevolge van de bovenstaande vergelijking meestalgeopteerd voor een slinger met een minimale uitwijking ( meestal enkele boogminuten ). Tengevolge hiervan kon volgende benadering toegepast worden.

sin(α) = α (1.5)

Indien we dit reeds in onze differentiaalvergelijking (zie bijlage p35) aanpassen verkrijgen weeen harmonische oscillator en de uiteindelijke oplossing herleidt zich tot:

S = π ·√l

g. (1.6)

Onze metingen in Technopolis

Bekijken we formule (1.4) eens van wat dichterbij. S is enerzijds evenredig met√l, anderzijds

willen we α zo klein mogelijk houden. We besluiten dus dat des te groter de slinger, des tenauwkeuriger en eenvoudiger de metingen. Vandaar ons besluit naar Technopolis in Mechelente trekken, alwaar we een slinger met een lengte van 8,5 meter vonden. Doordat de bol 50kg woog mochten we de draad als gewichtsloos beschouwen. Dit bespaart ons een hele hooprekenwerk (zie Annex 1). Voor onze aanpak zullen we (1.4) herschrijven als:

S = π ·√l

g· f(α) (1.7)

waarbij

limα→0

f(α) = 1

Nu is het enkel nog een kwestie van de parameters voor (1.7) zo correct mogelijk te bepalenen dan kunnen we daaruit en via de statistiek onze g bepalen. l hebben we zeer nauwkeurigkunnen meten aan de hand van een lasermeter. We kwamen hier de mooie ronde waarde van8,50 meter voor uit. Bij deze meting valt op te merken dat deze afstand gemeten is vanafhet massacentrum en terwijl de massa aan de staaldraad hing. De hoekamplitude hebben weindirect bepaald. We hebben eerst met een lintmeter de maximale uitwijking gemeten, omdan via de goniometrie te komen tot α. Om fouten te vermijden, of net op te kunnen merkenhebben we met twee verschillende hoeken gewerkt. Een toevallige fout die we niet kondenvermijden is het gebrek aan een perfecte lancering. We moesten de stalen bal zelf tot een


zekere hoek duwen en dan proberen zo gelijkmatig mogelijk los te laten. We lieten de balstabiliseren alvorens met de metingen te beginnen.Voor een grotere nauwkeurigheid chronometreerden we eveneens niet per cyclus, maar meer-dere periodes in een keer. S blijft gedurende heel de tijd constant, maar op deze wijze spreidenwe de menselijke fout dei ontstaat bij het afdrukken van de chrono over meerdere cycli uit.Nog om een systematische fout te voorkomen maten twee personen onafhankelijk van elkaaren met verschillende chronometers ( een kwartz en een digitale ) gelijktijdig de gebeurtenissen.

A priori foutenanalyse

De vraag is nu hoeveel cycli we moeten meten om een voldoende nauwkeurige meting van gte verkrijgen. Dit wordt bepaald door volgende formule:

∆gg

=∆ll

+ 2∆SS

+ 2∆f(α)f(α)

≈ 0, 1209, 818

(1.8)

Nu had men ons vanuit meer ervaren milieu gewaarschuwd dat zelfs een nauwkeurigheid van0,1ms2

reeds zeer opmerkelijk zou zijn. Een lengte van 30 cycli blijkt voldoende bij volgendenauwkeurigheden:

∆l = 0, 01m

∆S =0, 5 s

#cycli∆f(α) = 0, 001 .

(1.9)

A posteriori foutenanalyse

In de tabel vindt u onze gevonden waarden. Het is deze tabel die we statistisch zulleninterpreteren met de hulp van SPSS.

Nr. # periodes # cycli ttot [s] Oscillatieperiode[s] α [graden] f(α) g [ms2

]

1 8 16 46,78 2,9238 1,25 1,0000299 9,814409

2 10 20 58,42 2,9210 1,25 1,0000299 9,832898

3 16 32 93,56 2,9238 1,25 1,0000299 9,814409

4 30 60 174,78 2,9130 6 1,0007 9,900235

5 30 60 175,70 2,9283 6 1,0007 9,796827

6 25 50 139,62 2,7924 1,25 1,0000299 10,75943

7 12 24 69,87 2,9113 6 1,0007 9,912141

8 28 56 164,71 2,9413 6 1,0007 9,710970


Figuur 1.1: Onze gebruikte opstelling.

Laten we de explore-functie van SPSS op de g-waarden van bovenstaande tabel los dan ver-krijgen we het volgende:

g = 9, 966197± 0, 038511 ms2

(95%)

We verkrijgen tevens figuur 1.2 als boxplot.

Figuur 1.2: Boxplot van alle metingen.

Meting 6 valt direct op. Deze is duidelijk een outlyer. Zouden we deze niet beter negeren?Vanuit de statistiek verkrijgen we het volgende criterium voor de grove fout. Indien meting6 hieraan voldoet moeten we ze negeren.

|gi − g| > 2Σnk=1(gk − g)2

n− 1= 2s

Voor een betrouwbaarheidsinterval van 95% vinden we via de student-verdeling dat s = 0, 346.g6 > g + 2s


Dus bij het bepalen van meting 6 is er wel degelijk een fout begaan. We negeren deze enaanschouwen het gevolg in SPSS:

Figuur 1.3: SPSS-resultaat na het negeren van meting 6.

Figuur 1.4: Boxplot na het negeren van meting 6.

Hieruit kunnen we het volgende besluiten:

g = 9, 818± 0, 008ms2

(95%)

Besluit: We hebben een grotere nauwkeurigheid bereikt dan we gehoopt hadden. Dat wemet dit resultaat tevreden mogen zijn staat gewoonweg buiten kijf. Het officiele resultaat van9, 810m

s2onderlijnt dit nog eens. Voor onszelf hebben we al wel bijgeleerd dat het beter is bij


metingen altijd dezelfde hoeveelheid cycli aan te houden. Onze eerste meting bijvoorbeelddie we slechts uitgevoerd hadden om een idee van het geheel te verkrijgen is slechts 16 cyclikort, daarentegen is het wel onze mediaan. Doordat elke meting nu een ander gewicht heeft,bemoeilijkt dit de interpretatie. Voor de statistisch geınteresseerden nog even opmerken datbij de verwerking elke meting een gewicht kreeg toegekend gelijk aan zijn aantal cycli. Tevensduidt de kleine skewness erop dat onze metingen een mooie gaussiaanse verdeling volgen.

1.3.2 Meting van g aan de hand van de FG5

De FG5 is een uitermate nauwkeurig toestel ontwikkeld door Micro-g Solutions, Erie, Co-lorado, USA. Dit toestel meet g met een ongelooflijke nauwkeurigheid van maar liefst 10−6

gal. Voor een uitgebreide bespreking van de werking van het toestel verwijzen we u doornaar de appendix alwaar u een artikel hierover kan vinden van Dr. M Van Camp. Hieronderzullen we slechts kort zijn werking bespreken alvorens over te gaan tot een bespreking van deresultaten.

Werking van de FG5:

De FG5 bezit een verticale vacuumbuis. Hierin laat men een reflector vallen. Een afgebogenlaserstraal zal hierop dan reflecteren. Deze reflectie wordt via interferentie vergeleken met deoorspronkelijke. De snelheid waarmee de franjes zich verplaatsen is een maat van de snelheiden via ∂v

∂t = g wordt dan de waarde van g gemeten. De ∂t wordt gemeten aan de hand van eenRubidium atoomklok. Op voorhand moet ook de hoogteafhankelijkheid van g ( de gradientin vakliteratuur ) bepaald worden.Dit is slecht een zeer sumiere bespreking. Over alle problemen waar de FG5 rekening meehoudt (van trillingen tot de ”traagheid” van het licht) zouden we nog ettelijke bladzijden kun-nen schrijven, maar dat is niet het doel van dit werk. Wie met het artikel van Dr. M Van Campnog niet tevreden is kan verdere info terugvinden op zijn site: http://homepage.oma.be/mvc/of in volgend boek:

T. Niebauer, G. Sasagawa, G. Faller, R. Hilt and F. Klopping, A new generation of absolutegravimeters, Metrologia, 32, 159-180, 1995.

Resultaten van de meting in Monschau

We hebben het geluk gehad Dr. Van Camp te kunnen vergezellen tijdens een van zijn metin-gen, meer specifiek in het Duitse Monschau vlakbij de Belgische grens. Voor een nauwkeurigresultaat moet men minstens 24h metingen uitvoeren, dit om ruis met zowel hoge als lage


Figuur 1.5: Schematische opstelling van de FG5.

frequentie uit te kunnen filteren3. De FG5 die na zerotage volledig autonoom kan werken zaldan ieder uur opstarten en honderd ”drops”meten. Net als de wijze van verkrijging vraagtook de wijze van verwerking van deze data ervaring en kunnen. Een groot gedeelte hiervangebeurt reeds door een gespecialiseerd programma dat toepasselijk g gedoopt werd. De volle-dige datasheet geproduceerd door dit programma vindt u in bijlage op pagina 43, de essentievindt u reeds hieronder:

g = 981046721, 62± 0, 32µgal (95%)

3Qua trillinge zal oa de golfslag aan de kust nog steeds voelbaar zijn in de ardennen met een periode van

6 en 16 seconden.

Hoofdstuk 2

De Lichtsnelheid

2.1 Algemene bepalingen

Als tweede luik binnen het experimenteel gedeelte van ons werk hebben we de meting van delichtsnelheid.Alvorens de verschillende methoden van meting te bespreken zouden we nog een belangrijkeopmerking willen maken. Voor het meten van de lichtsnelheid maken we logischerwijs gebruikvan 2 SI-eenheden, namelijk m en s. Bekijken we de definitie van de seconde dan is dezegedefinieerd via de trilling van het cesiumatoom. De definitie van de meter is echter devolgende:

De afstand die het licht in 1299792458s in vacuum aflegt.

In feite zouden we hier dus reeds ons besluit kunnen schrijven. Vermits de meter gedefinieerdis via c kennen we dus ook c reeds. De officieel aanvaarde waarde voor c is dus 299792458 m

s

in vacuum. We zijn benieuwd of onze experimenten deze waarde zullen bevestigen.

2.2 Metingen

2.2.1 Bepalen van c via de Microgolf-oven

Een eerste methode die we overhielden aan de cursus OM004 maakt gebruik van het golfka-rakter van EM-golven en bijgevolg van de volgende verhouding:

λ =c

f(2.1)

Waarbij λ de golflengte is, c de snelheid van de golf en f haar frequentie.

Een microgolf warmt onze voeding op aan de hand van EM-golven. Deze golven hebbentwee voor ons interessante eigenschappen: het zijn staande golven en ze planten zich met de

9

HOOFDSTUK 2. DE LICHTSNELHEID 10

lichtsnelheid voort. Daarenboven kennen we hun frequentie. Deze is standaard 2,45 GHz,vermits dit de eigenfrequentie van de watermolecule is.Doordat de golf staande is zullen we knooppunten krijgen. In deze knooppunten wordt erminder energie aan het medium afgegeven als in de buiken. Men krijgt dus smeltpuntentussen de knooppunten. Vullen we deze gegevens in in (2.1) dan bekomen we een λ van12,2cm. En inderdaad we meten 6cm (λ2 ) tussen de smelpunten. Dit is eerder een amusantetoepassing van de fysica, dan een waardig experiment. Derhalve zult u hieronder ook geenmetingstabellen of statistische analyses vinden. We kunnen u wel nog mededelen dat van de3 media die we geprobeerd hebben (kaas, chocolade, ijs) chocolade de beste resultaten gaf.

2.2.2 Methode van Foucault

Een tweede meting die we uitvoerden berust op een methode die Foucault in 1862 uitvoerde.Voor een schematisch overzicht, zie figuur 2.1. Voor een uitgebreide bespreking verwijzenwe u door naar de handleiding van PASCO zelf. Hieronder zullen we slechts het principebespreken en dat wat nodig is voor het begrijpen van de proef.Zoals u op figuur 2.1 kunt zien zijn de belangrijkste onderdelen van deze proef: een vaste sferi-sche spiegel, een roterende spiegel, een laser en een microscoop. We bespreken de stralengang:

Figuur 2.1: Schematische opstelling van de proef van Foucault.

Vanuit de laser vertekt een lichtstraal. Na door een lensenstelsel gepasseerd te zijn zal ze weer-kaatsen op Mr. Van daaruit zal ze richting Mf gekaatst worden. Mf is een sferische spiegelen Mr bevindt zich in zijn brandpunt. Bijgevolg zal de straal terug naar Mr gekaatst worden.Gedurende de tijd die de lichtstraal nodig heeft om van Mr naar Mf en terug te gaan zal Mr

een weinig geroteerd zijn. Voor Mr lijkt dit alsof de heengaande en terugkomende lichtbundelniet dezelfde zijn, maar dat de terugkomende over een kleine afstand ∆S verschoven is tov


Figuur 2.2: Gevolg van de rotatie van de spiegel voor de terugkerende stralenbundel.

de heengaande. Op figuur 2.2 ziet u hier het gevolg van. Dientengevolge zal de terugkerendestralengang niet meer identiek zijn aan de heengaande (wat voor figuur 2.1 nog wel het gevalwas ). In het lensenstelsel worden twee beelden gevormd. Een van de heengaande en een vande terugkerende straal. Zonder rotatie van Mr vallen beide samen. Dankzij de rotatie zaler zich een ∆s′ tussen beide voordoen. Dankzij een beamsplitter zullen we in de microscoopenkel het beeld van de terugkerende bundel waarnemen.We gaan nu als volgt te werk: Zonder de spiegel te laten roteren lijnen we alles op elkaar af;dit gedeelte is veruit het moeilijkste en belangrijkste gedeelte van de ganse meting. Hierdooris het beeld dat we in de microscoop zien hetzelfde als dat van de heengaande lichtbundel.Eenmaal alles opgelijnd laten we de spiegel met een gekende rotatiesnelheid roteren en metenwe de uitwijking ∆s′. Vanuit de bijlage kunnen we dan met de onderstaande formule delichtsnelheid bepalen.

c =4A ·D2ω

(D +B)∆s′(2.2)

Hierin is ω de rotatiesnelheid van de Mr. En de afstanden A,B en D zoals aangduid op figuur2.2.

Meetresultaten en hun interpretatie

Binnen de KMS waren wij de eersten die het Speed of light appararatus van PASCO zoudengebruiken. Hoewel dit natuurlijk zeer spannend en interessant is, houdt dit ook in dat de proefeerst nog door ons op punt moest gesteld worden alvorens we tot relevante waardes komen. Alonze bedenkingen en aanvullingen hieromtrent vindt u terug in de bijlage op pagina 43. Zoals


het spreekwoord luidt was slechts onze derde reeks metingen succesvol. Hierbij werkten weop een afstand van 13,5 m voor D. Dit is tevens de kromtestraal van Mf . In de onderstaandetabel vindt u onze meetresultaten met de volgende waardes voor de parameters.

A = 0, 270m

B = 0, 261m

D = 13, 50m

(2.3)

revs sbegin seinde c 106 [ms ]

1530 0,01136 0,010913 307,29

-1530 0,01136 0,011783 325,47

1533 0,01136 0,010913 307,89

-1528 0,01136 0,01178 326,98

1532 0,01136 0,010925 316,53

-1529 0,01136 0,01179 319,59

1531 0,01136 0,01091 305,78

-1532 0,01136 0,01178 327,84

1530 0,01136 0,010923 314,31

-1526 0,01136 0,0118 311,71

1530 0,011355 0,01092 316,12

-1531 0,011355 0,01179 316,33

1536 0,011355 0,01091 310,23

-1525 0,011355 0,01179 315,09

1527 0,011355 0,01091 308,41

-1525 0,011355 0,011785 318,75

1525 0,011355 0,010933 324,41

-1524 0,011355 0,0118 307,8

1526 0,011355 0,010925 318,96

-1525 0,011355 0,01181 301,24


Ook deze resultaten gaven we weer in in SPSS voor een statistische analyse:

Figuur 2.3: Karakteristieken van onze meting.

Figuur 2.4: Boxplot van de metingen.

Besluit:

We bekomen het volgende resultaat:

c = 315035 ± 3526kms (95%)


We hebben geen outlyers, de skewness is klein en de boxplot is vrij symmetrisch. Tot hiertoeziet alles er dus goed uit. Ten opzichte van de officiele waarde van 299792458ms hebben we eenfout van 5%. De firma PASCO zelf verklaart in hun handleiding dat ze in hun professionelelabo tot een nauwkeurigheid van 2,5% geraken. We mogen hiermee dus best tevreden zijn.Een laatste opmerking is dat de officiele waarde zich niet tussen onze gemeten resultatenbevindt. We meten permanent te snel. We moeten dus op zoek naar een systematische fout,mogelijk kan een ijking of een parameterwaarde hiervan aan de basis liggen. Voor anderendie deze proef wensen te herhalen benadrukken we nog eens eerst de bijlage te lezen alvorensaan te vangen met de proef.

Hoofdstuk 3

Verband tussen experimenteel en

theorie

Bovenstaande kubus verbindt de vier meest fundamentele theorieen uit de fysica:

• kwantummechanica

• speciale relativiteitstheorie

• Newtoniaanse mechanica

• Newtoniaanse zwaartekrachtstheorie

15

HOOFDSTUK 3. VERBAND TUSSEN EXPERIMENTEEL EN THEORIE 16

Newtoniaanse mechanica is de klassieke mechanica.Kwantumechanica kunnen we zien als de theorie van het super kleine. De fundamenteleparameter is de constante van Planck hSpeciale relativiteitstheorie kunnen we zien als de theorie van het super snelle. Defundamentele parameter is de lichtsnelheid cNewtoniaanse zwaartekrachtstheorie kunnen we zien als de theorie van het super grote. Defundamentele parameter is de universele gravitatieconstante G

In ons experimenteel gedeelte bepaalden we:

1. De lichtsnelheid: Deze is fundamenteel in de relativiteitstheorie omdat dit de enigeabsolute parameter is die niet wijzigt ifv tijd noch ruimte.

2. De valversnelling g: Deze bevat de universele gravitatieconstante. G hebben we nietproberen meten omdat dit verre van triviaal is. De hedendaags enige accurate proef isdeze van Cavendish, waarover we niet beschikten. G is zo moeilijk te meten omdat dezwaartekracht de zwakste fundamentele kracht1 is. De zwaartekracht is ongeveer 1036

keer kleiner dan de elektromagnetische kracht. De reden van het belang van G, is datin deze constante de invloed van het heelal zit. Moest het heelal een vacuum zijn,zouden we niet van G spreken.

We hebben dus enerzijds de fundamentele parameter van de speciale relativiteitstheorieexperimenteel gemeten. Anderzijds hebben we de valversnelling gemeten waarin defundamentele parameter van de Newtoniaanse zwaartekrachtstheorie zit.We zullen in het volgende hoofdstuk deze twee theorie met elkaar verbinden via de algemenerelativiteitstheorie.

1Er zijn 4 fundamentele krachten: zwaartekracht, elektromagnetische kracht, sterke -en zwakke kernkracht

Hoofdstuk 4

Algemene Relativiteit

De algemene relativiteitstheorie is de relativistische theorie van de zwaartekracht. Het isniet onze bedoeling alle aspecten van deze theorie te bespreken, maar een consistente theorieop te bouwen die ons toelaat de relativistische tijdscorrectie te bepalen, nodig voor decorrecte werking van het GPS-systeem. We zullen zien dat zowel de specialerelativiteitstheorie (SR) als de algemene relativiteitstheorie (AR) een invloed hebben op desnelheid waarmee de atoomklok in de GPS satelliet tikt. Door onze voorkennis van de SRweten we dat een klok in een relatief assenstelsel (satelliet), dat beweegt aan relativistischesnelheden, trager tikt dan een identieke klok in het inertiele assenstelsel (aarde), dit wordtook tijdsdillatatie genoemd. In tegenstelling tot het voorgaande zal de klok in de satellietsneller tikken dan deze op aarde ten gevolge van de AR.Om het geheel in schoonheid af te ronden benaderen we het GPS probleem vertrekkend vande Einsteinvergelijking.Voor de nodige conventies en wiskunde is het aan te raden de eerstebijlage door te nemen.Het lijkt ons een goed idee de inleiding af te sluiten met enkele vragen, want zo zijn ook wijaan onze studie begonnen:

• Het voorgaande is een directe toepassing van de AR, maar hoe komt het nu dat dezeklokken verschillend lopen?

• We hebben in de SR gezien dat natuurwetten gelden in inertiele stelsels. Zou men nietverwachten dat die wetten ook moeten gelden in referentiestelsels onderworpen aaneen willekeurige beweging, zoals de versnelde beweging?

• Stel we beschouwen een versnelde beweging. Wat heeft dit dan te maken metzwaartekracht en hoe kunnen we fenomen zoals afbuiging van licht tgv zwaartekrachtverklaren?

• Was Newtons redenering correct?

17

HOOFDSTUK 4. ALGEMENE RELATIVITEIT 18

4.1 Wat vooraf gaat

Abstract

De algemene relativiteitstheorie is een theorie opgesteld door Albert Einstein, opgesteld inde jaren 1907-1915. We hebben in de inleiding al kunnen aanvoelen dat de algemenerelativiteit een veralgemening brengt van de wetten van Newton en deze op eenrelativistische manier uitbreidt. Einstein beschreef in 19191 de relativiteitstheorie als volgt:The special theory, on which te general theory rests, applies to all physical phenomena withexception of gravitation. The general theory provides the law of gravitation and its relationto the other forces of nature.

Gelden de wetten van Newton in willekeurige referentiestelsels?

Stel we beschouwen twee stelsels S en S’, waarvan het tweede zich eenparig versneltvoortbeweegt volgens de x-as tov het eerste . Als we stellen dat de klokken hetzelfde blijventikken, en stel dat er een deeltje beweegt onder invloed van een kracht F = (F, 0, 0) dangeldt:

x = x′ + s→ x = x′ + a en F = mx′ +ma (4.1)

Vanuit het standpunt van S’ is F −ma = mx′ en zien we dus het ontstaan van dezogenaamde inertiele kracht. Vele wetenschappers bestempelden deze kracht als virtueel,een kracht die tevoorschijn komt in niet inertiele assenstelsels. Toch is het deze kracht diebijvoorbeeld zorgt voor het breken van assen (centrifugale kracht). In de klassiek mechanicastelt men dat er zoiets bestaat als de absolute ruimte die volledig onbewegelijk is, tenopzichte van dewelke alle beweging kan worden uitgedrukt. Zo kon men het opduiken vanzo’n inertiele kracht niet correct verklaren. Men dacht dat deze kracht het gevolg was vaneen absolute versnelling.Het was Ernst Mach2 die hier kritiek op had en beweerde dat het geen zin had om bewegingte definieren in een lege ruimte. Beweging heeft pas zin als men relatieve beweging bedoelt.Daarom definieerde Mach inertiele referentiestelsels tov vaste hemellichamen (fixed stars).Een ander belangrijke visie van Mach was dat hij geloofde in de interactie van het heelal.Hij was van het oordeel dat de materie de geometrie van het heelal bepaalt. Zo kon hij deconstante in de zwaartekrachtspotentiaal van Newton (φ = −Gm

r ) verklaren als de invloedvan de massa in het heelal. Het zijn deze ideeen die Einstein hebben geınspireerd bij hetontwikkelen van de reletiviteitstheorie. Toch geven deze ideeen geen direct inzicht in het

1The Times, London, 28 November 19192Ernst Mach, (18 februari 1838 tot 19 februari 1916), Oostenrijkse fisicus en filosoof


verschil tussen de versnelde en onversnelde beweging. Dit verschil zal duidelijk worden nauitwerking van het equivalentieprincipe.

De zware -en de trage massa

Newton maakte een onderscheid tussen massa’s naargelang hun eigenschappen, zoonderscheidde hij de inertiele (trage) massa m(i) van de gravitationele (zware) massa m(g).Dit onderscheid is op het eerste zicht heel normaal want de krachten die deze massa’sondervinden wordt gegeven door:

1. F = d(m(i)·v)dt = m(i) · a wat de weerstand tegen verandering van beweging uitdrukt.

2. F = −m(g) · ∇φ wat invloed van een zwaartekrachtsveld op een massa m(g) uitdrukt.

Hierin zien we φ verschijnen, dit is de zwaartekrachtspotentiaal volgens Newton:

φ = −MG

r(4.2)

met r = |x|

De absolute ruimtetijd

Volgens Newton zal een deeltje de weg tussen twee punten kiezen die het minste tijd vergt,terwijl Einstein dit vebetert door te zeggen dat een deeltje de kortste weg tussen tweepunten volgt in ruimte-tijd. Newton heeft ook niet volledig ongelijk, want zoals wij dewereld al sinds onze geboorte ervaren is dat er een 3D euclidische ruimte bestaat waarin wijleven en een 1 dimensionele tijd die onafhankelijk is van de plaats. Uit de SR weten we dattijd en ruimte verbonden zijn via de lichtsnelheid (die absoluut is). In AR zullen we de wegτ in een 4 dimensionele ruimtetijd als invariant beschouwen en zien dat de ruimtetijd, integenstelling tot de vlakke metriek uit de SR, gekromd is. Wat tot gevolg heeft dat eendeeltje in vrije val een gekromde ruimtetijd baan zal volgen (geodeet). Zo wordt de ARmooi samengevat door fysicus John Archibald Wheeler : ’Matter tells spacetime how to curveand curved spacetime tells matter how to move’.Het zal blijken dat de theorie van Newton een speciaal geval is van de AR:

• zwak stationair isotroop zwaartekrachtsveld

• snelheden veel lager dan de lichtsnelheid (c)


Algemene relativiteitstheorie en Elektromagnetisme

Een goede manier om de AR op te bouwen is via de equivalentie met het elektromagnetisme.

• De Lorentzkracht beschrijft de kracht die een deeltje ondervindt wanneer hetonderhevig wordt aan een statisch veld, gekarakteriseerd door E en B.

• De Veldvergelijkingen, of Maxwell vergelijkingen, zullen E en B kwantiseren.

In eerste instantie gaan we proberen de Lorentzkracht te veralgemenen naar dezwaartekracht. Met andere woorden is het de kracht dat een deeltje, dat in eenzwaartekrachtsveld wordt gebracht, ondervindt. Dit zullen we doen via hetequivalentieprincipe dat besproken wordt in de volgende paragraaf. Merk op dat dit destatische vergelijking is die in ons niet direct iets vertelt over het veld zelf. Via hetequivalentieprincipe kunnen we de invloed op de tijd bepalen nodig voor het GPS probleem.Na behandeling van het GPS probleem gaan we de veldvergelijkingen van hetelektromagnetisme veralgemenen tot de zwaartekracht en proberen via deEinsteinvergelijkingen het gravitatieveld te kwantificeren.

• Lorentzkracht Rightarrow Equivalentieprincipe

• Maxwell vergelijkingen Rightarrow Einsteinvergelijking:

Rµν − 12gµνR = 8πGTµν


4.2 Equivalentieprincipe

4.2.1 Opbouw van het equivalentieprincipe

We weten dat een geladen deeltje onderworpen aan een elektromagnetisch veld een krachtFL ondervindt. Welke kracht zal er nu uitgeoefend worden op een ongeladen deeltje dat ineen zwaartekrachtsveld wordt gebracht? Laat het duidelijk zijn dat het ons nog nietinteresseert wat de oorsprong van dit zwaartekrachtsveld is.

Beschouw het volgende experiment:We laten willekeurige voorwerpen met massa mj

3 vallen, dan geldt:

m(i)j Xj = −m(g)

j g ⇒ Xj = −m

(g)j

m(i)j

g

⇓ nieuwe coordinaten

Xj = Xj +12m

(g)j

m(i)j

· g · t2 ⇒ d2Xj

dt2= 0 (4.3)

In dit inertiele assenstelsel is het j-de deeltje in vrije val. Het is daarom niet zo dat voor ditassenstelsel de andere deeltjes in vrije val zijn.

Hetgeen we ons al eerder hebben afgevraagd is waarom fysische wetten enkel zouden kunnengelden in inertiele assenstelsels? Zou men niet verwachten dat deze wetten ook moetengelden in referentiestelsels die in willekeurige beweging zijn? Om hierop te kunnenantwoorden moeten we eerst het equivalentieprincipe formuleren.

Het liftexperiment

Beschouwen we het volgende gedachtenexperiment:

1. Versnelling & zwaartekracht:

• Beschouw een stilstaande lift op aarde met een persoon er in. Deze persoon wordtop de bodem geduwd door de zwaartekracht. Stel dat deze persoon een appelvast heeft. Op het moment dat hij de appel loslaat, zal deze op de bodem vallen.

3in m(ji) duidt de (i) op intertieel, terwijl de j aanduidt dat het om het j-de deeltje gaat


• Als we nu dezelfde lift, met dezelfde persoon erin, de ruimte in sturen. Weversnellen deze lift aan 9, 81m

s2. Dan zal deze persoon op dezelfde manier op de

bodem worden geduwd. Als hij zijn appel laat vallen zal deze op dezelfde maniernaar onder vallen.

• De persoon in de lift kan niet uitmaken of hij zich in een zwaartekrachtsveld of ineen versnelde lift bevindt.

2. Lift in vrije val:

• We brengen de lift op een aanzienlijke hoogte in de atmosfeer (luchtweerstandwordt verwaarloosd) en snijden de kabel door.

• Als de persoon de appel loslaat, zweven beiden in de lift (hun versnelling isdezelfde).

• Het is wel zo dat de persoon en de appel geleidelijk samenkomen door de radialewerking van het zwaartekrachtsveld (de objecten vallen volgens stralen dieconvergeren naar het massacentrum van de aarde).

• De persoon kan ook in dit geval niet onderscheiden of hij in de ruimte zweeft, inafwezigheid van een zwaartekrachtsveld, of hij zich in een lift in vrije val bevindt.

Equivalentieprincipe

Deze gedachtegang leidde Einstein tot de veronderstelling dat de inertiele massa gelijk wasaan de gravitationele massa. Dit betekent dat:

m(g)j

m(i)j

= 1 (4.4)

Dit werd bevestigd door een experiment van Eotvos (hedendaags tot op 10−12 nauwkeuriguitgevoerd). vergelijking (4.3) wordt:

Xj = Xj +12gt2 ⇒ d2Xj

dt2= 0 (4.5)

Dit houdt in dat alle deeltjes (zowel trage als zware) zich in vrije val bevinden in dit lokaalreferentiestelsel.

stelling 1 (Equivalentieprincipe) In een willekeurig punt van tijd en ruimte kan menaltijd coordinaten vinden zodat in dit punt en een kleine omgeving omheen dat punt dezwaartekracht afwezig is.

Het is met andere woorden altijd mogelijk om lokaal, in de omgeving van zo’n punt, een liftin vrije val te creeren waarin de wetten van de fysica deze van de SR zijn.


4.2.2 De invloed van de zwaartekracht

Abstract

Het doel in deze paragraaf is te onderzoeken wat de invloed van de zwaartekracht is op eendeeltje dat beweegt onder invloed van een zwaartekrachtsveld. We zullen zien dat door deveralgemening naar willekeurige coordinaten (uitzoomen) er objecten naar voor komen,waarin de zwaartekracht zit geencodeerd.

Van lokale naar algemene coordinaten

Als een deeltje enkel onder invloed van de zwaartekracht beweegt, dan kunnen we via eencoordinatentransformatie een inertieel assenstelsel (in een klein punt en kleine omgevingrond dit punt) kiezen, zodanig het deeltje in vrije val is.

⇓ Coordinaten transformatie zodat x = 0

Het deeltje beweegt zich nu lokaal in een vlakke metriek volgens de wereldlijn metvergelijking:4

d2ξα

dτ2= 0 met dτ2 = ηαβdξ

(α)dξ(β) (4.6)

Deze vergelijking is slechts lokaal geldig, dus indien we dit willen veralgemenen naarwillekeurige coordinaten moeten we een coordinatentransformatie doorvoeren, om zo deinvloed van de zwaartekracht terug te vinden:

⇓ We vervangen ξα doorXµ(ξ) en ξβ doorXσ(ξ)

1. lijnelement

Nu wordt de uitdrukking van het lijnelement in de ruimtetijd uit (4.6):

dτ2 = dXµ

[∂ξα

∂Xµηαβ

∂ξβ

∂Xν

]dXν (4.7)

De informatie omtrent de zwaartekracht moet in de term gµν(X) = ∂ξα

∂Xµ ηαβ∂ξβ

∂Xν zitten.

Het eerste object waarin de zwaartekracht geencodeerd zit is gµν

Enkele opmerkingen omtrent gµν :4Voor de conventies en symbolen, zie bijlage 4


• gµν wordt de metrische connectie genoemd en is een tensor van rang 2 die de variatieder eenheidsvectoren in ruimtetijd aangeeft.

• Het feit dat de eenheidsvectoren niet meer constant zijn in richting en lengte, doet hetbegrip kromming van de ruimtetijd naar boven komen.

• De tensor is symmetrisch (gµν = gνµ), wat het aantal onafhankelijke componentenherleidt tot 10.

2. bewegingsvergelijking

De bewegingsvergelijking van een deeltje dat lokaal in vrije val is, wordt in de vlakkemetriek gegeven door: d2ξα

dτ2 = 0. We kunnen ook deze vergelijking uitbreiden naarwillekeurige coordinaten:

d2ξα

dτ2= 0 (4.8)

d

dτ

(∂ξα

∂Xρ

dXρ

dτ

)= 0

∂ξα

∂Xρ

d2Xρ

dτ2+

∂2ξα

∂Xρ∂Xσ

dXσ

dτ

dXρ

dτ= 0

m ·∂Xµ

∂ξα

d2Xµ

dτ2+∂Xµ

∂ξα· ∂2ξα

∂Xρ∂Xσ· dX

σ

dτ

dXρ

dτ= 0 (4.9)

De tweede term van (4.9) geeft de variatie van de eenheidsvectoren in functie van deeigentijd weer. Als de eenheidsvectoren constant blijven, verandert (4.9) in de vorm (4.8).We vinden hier een tweede object terug dat de zwaartekracht encodeert:

∂Xµ

∂ξα· ∂2ξα

∂Xρ∂Xσ(4.10)

(4.10) zullen we in het vervolg voorstellen door het Christoffelsymbool:

Het tweede object dat de zwaartekracht encodeert ≡ Γµρσ (4.11)

Zodanig dat de bewegingsvergelijking (4.9) van een vrij deeltje in kromlijnigecoordinaten(gekromde ruimtetijd) de volgende uitdrukking wordt:

d2Xµ

dτ2 + Γµρσ dXσ

dτdXρ

dτ = 0 (4.12)

Merk op dat dit ook de vergelijking is van een geodeet in de gekromde ruimtetijd.


4.2.3 Uitwerking en controle

abstract

Het doel van deze paragraaf is enerzijds om te controleren of we in de klassieke limiet dewetten van Newton en lokaal de wetten van de speciale relativiteit terugvinden. Anderzijdsgaan we kijken hoe de metriek gµν zich reduceert in een Newtoniaans veld, om dan in devolgende paragraaf de tijdscorrectie tgv de AR te bepalen.De volgende zaken dienen we te controleren:

1. Is het Christoffelsymbool uitdrukbaar in termen van de metriek gµν?

2. Reduceert de AR zich lokaal tot de SR?

3. Vinden we de zwaartekrachtswetten van Newton terug in de klassiek limiet?

Verband tussen Christoffelsymbool en gµν

We hebben 2 objecten gevonden waarin de invloed van de zwaartekracht naar boven komt.Het eerste is de gekromde metriek gµν , dat 10 onafhankelijke componenten bevat. Hettweede is het Christoffelsymbool, dat op het eerste zicht niet noodzakelijk symmetrisch is.Als we er niet in slagen om het Christoffelsymbool uit te drukken in functie van de metriekgµν , dan worden de zaken vrij ingewikkeld. We moeten dus een manier vinden om ditChristoffelsymbool uit te drukken in functie van gµν .

Het Cristoffelsymbool kan als volgt worden uitgedrukt in termen van de metriek:

Γµρσ =12(gµν,ρ + gµρ,ν − gνρ,µ

)(4.13)

Voor het bewijs van deze formule, zie bijlage 5

De AR lokaal

Aangezien we vertrokken zijn van de vlakke metriek voor onze uitbreiding, zijn we er zekervan dat ruimtetijd van de AR zich lokaal vereenvoudigt tot deze van de SR. De metrischetensor gµν zal dus lokaal ηµν benaderen.

Het Newtoniaans zwaartekrachtsveld als een speciaal geval van de AR

stelling 2 (Newtoniaans zwaartekrachtsveld) Een Newtoniaans zwaartekrachtsveld iseen zwaartekrachtsveld dat zwak en statisch is.

De bedoeling is om de geodetische vergelijking (4.12) te vereenvoudigen, aan de hand vanonderstaande hypothesen, tot een relativistische benadering van de Newtoniaansezwaartekrachtswet. Deze omstandigheden zijn ook degene waarin de GPS-satellietenopereren en dus belangrijk voor de te berekenen tijdscorrectie.


We veronderstellen:

1. Een deeltje dat beweegt aan niet-relativistische snelheden: | v2 |� 1

2. Een Newtioniaans zwaartekrachtsveld.

We vertrekken van de geodetische vergelijking:

d2Xµ

dτ2 + Γµρσ dXσ

dτdXρ

dτ = 0

De metriek gµν voor een Newtoniaans veld kan men herleiden tot de vlakke metriek ηµν eneen storingsterm hµν . Als men dan rekening houdt met de niet-relativistische snelheden enna enkele berekeningen5, vindt men:

d2Xi

dt2= −1

2h00,i (4.14)

Volgens Newton is:

d2Xi

dt2= −∇φ (4.14)

=⇒ h00 = 2φ (4.15)

Hierin isφ =

−MG

rmet r =| X |

Dus:h00 =

−2MG

r(4.16)

We vinden uiteindelijk dat: g00 = 1− 2MG

r(4.17)

Dit is de lineaire term van de Taylorreeksontwikkeling. Het heeft lang geduurd vooraleerEinstein wist of er nog hogere orde termen bestonden van deze ontwikkeling. Het resultaatzal volgen uit de oplossing van de Einsteinvergelijking

5Deze berekeningen kan u in bijlage 6 terugvinden


4.2.4 Tijdsverschil

We kunnen nu eindelijk berekenen hoeveel sneller of trager een klok in positie (X1) tikt toveen klok in positie (X2) in het zwaartekrachtsveld:

We weten uit (4.6) dat: dτ2 = dXµgµνdXν

⇓

dτ2 = (∆1t)2g00(X1)

= (∆2t)2g00(X2)

⇓

∆1t =

√g00(X2)g00(X1)

∆2t

=

√√√√1− 2MGr2

1− 2MGr1

∆2t

≈(1− 2MG

r2+

2MG

r1

)∆2t (4.18)

Dus: ∆1t =

√√√√1− 2MGc2r2

1− 2MGc2r1

∆2t (4.19)

We moeten rekening houden met de lichtsnelheid, die we per conventie gelijk aan 1 gesteldhebben: c = 1.Uit 4.18 volgt onmiddellijk dat als r2 > r1 =⇒ ∆2t < ∆1t, dus we kunnen besluiten dat:

stelling 3 Hoe sterker het gravitationeel veld, hoe trager de beschouwde klok tikt.


4.3 Global Positioning System

We hebben in vorige paragraaf de invloed van de AR op klokken in een zwak stationairgravitationeel veld bestudeerd, en gekwantificeerd. Dit laat ons toe de tijdscorrectie teberekenen die nodig is om een atoomklok in een satelliet en een atoomklok op aarde tesynchroniseren. Hetgeen men werkelijk doet is de frequentie van de atoomklok verlagenvooraleer ze gelanceerd wordt, opdat ze, eenmaal in haar orbit, dezelfde tijd zou doorgevenals een atoomklok op aarde.

De gevens die we gebruiken om de tijdscorrectie te berekenen zijn de volgende:

1. G = 6, 674 · 10−11 m3

kg·s2

2. M = 5, 9742 · 1024kg

3. Snelheid satelliet: v = 3, 9kms

4. c = 299792458ms

5. straal van de aarde: r1 = 6370km

6. hoogte satelliet tov massapunt aarde: r2 = r1 + 20200km

4.3.1 Invloed SR: tijdsdilatatie

In de bijlage 4 hebben we afgeleid dat:

∆2t = γ∆1t

Aan de hand van bovenstaande gegevens kunnen we de tijdsdilatatie berekenen die 846nssbedraagt of 7, 31µs per etmaal.

4.3.2 Invloed AR: tijdsversnelling

Uit (4.28) en bovenstaande gegevens berekenen we dat een atoomklok in een satelliet45, 75µs per etmaal sneller tikt dan dezelfde klok op aarde.

4.3.3 De invloed van het totale tijdsverschil

Het totale tijdsverschil zal bijgevolg de som zijn van de AR en de SR. Bijgevolg zal deatoomklok in de satteliet na een etmaal reeds 38, 44µs voorlopen op de atoomklok op aarde.Wie denkt dat dit verwaarloosbaar is vergist zich. Vermits het GPS-signaal met delichtsnelheid verzonden wordt levert dit reeds een fout van 11,5 meter.


4.4 Einsteinvergelijkingen

4.4.1 Abstract

Vorig hoofdstuk zijn we vertrokken van het equivalentieprincipe en zijn zo, zonder al temoeilijke wiskunde, tot het besluit gekomen dat de zwaartekracht klokken trager doettikken. Dit tijdsverschil hebben we dan gekwantificeerd voor het speciale geval van eenNewtoniaans veld. Zo zijn we tot de tijdscorrectie voor de GPS gekomen. Hiermee hebbenwe ons oorspronkelijke doel bereikt. Toch hebben we nog een paragraaf gewijd aan debespreking van de Einsteinvergelijking die, na het equivalentieprincipe, een tweede luik vande AR vormt. Ons doel is de Einsteinvergelijking op te lossen en zo gµν te bepalen. Wezullen zien dat in de klassieke limiet (de wereld zoals we haar kennen) gµν exact gelijk is aande oplossing 4.17 die we hebben gevonden aan de hand van het equivalentieprincipe. Merkop dat dit niet triviaal is, omdat deze uitdrukking slechts de lineaire term is van eentaylorexpansie. Einstein heeft lang niet geweten of er nog hogere orde correcties waren.

4.4.2 De Einsteinvergelijking

In deze paragraaf zullen we de Einsteinvergelijking slechts uitleggen. In bijlage 6daarentegen hebben we deze vergelijking afgeleid vertrekkende van de poisson vergelijking.De Einsteinvergelijking is:

Rµν −12R · gµν + Λgµν = 8πGTµν (4.20)

Rµν

Rµν is de Ricci tensor (Een gecontrageerde vorm van de krommingstensor Rσµνρ). De Riccitensor is een 2de rangstensor die een maat is voor de kromming van de ruimtetijd. Uit 4.12konden we al afleiden dat de zwaartekracht de ruimtetijd kromt. In bijlage 7 hebben we dekrommingstensor, Ricci tensor en Ricci scalar, uitgerekend voor een bol (in 3D ruimte) omvoeling te krijgen met dit wiskundig begrip. Deze tensoren kunnen volledig wordenuitgeschreven in termen van Christoffelsymbolen en dus in functie van de gekromde metriekgµν . We hebben tot nu toe gesteld dat een ruimte vlak is als gµν zich herleidt tot de vlakkemetriek ηαβ. Algemeen kunnen we zeggen dat we een vlakke metrische ruimte hebben als dekrommingstensor (en dus ook de Ricci tensor) nul wordt in elk punt van de ruimte.Is een torus een vlakke of gekromde ruimte? In de bijlage 8 wordt hierover uitgewijd.


R

Het linker lid van vergelijking (4.20) wordt de Einstein tensor Gµν genoemd. De divergentievan deze tensor moet nul zijn, wat wiskundig enkel kan door invoering van de Ricci scalar(R). De Ricci scalar (een constante) is de gecontrageerde vorm van de Ricci tensor. Vooreen bol komt deze scalair overeen met de kromtestraal van de bol.

Tµν

Tµν is de energie-momentum tensor (E,p) die de bronterm van de Einsteinvergelijkingvormt. Deze term is een uitdrukking van de invloed van bronnen (zowel massa als energie(E = mc2)) in de ruimte.Wanneer we ons in een vacuum bevinden zal deze bronterm gelijk zijn aan nul. Dit zalonder andere het geval zijn voor het GPS probleem, aangezien we ons niet binnenin deaarde bevinden. In klassieke limiet is Tµν gelijk aan de massadichtheid ρ. Behoud vanenergie-momentum drukt uit dat de divergentie van deze tensor nul moet zijn, wat verklaarthoe we weten dat Gµν een covariante afgeleide gelijk aan nul heeft.

Kosmologische term

Einstein ging uit van de volgende beschouwingen:

• De massadichtheid in het heelal is gemiddeld gezien overal gelijk en verschillend vannul (homogeen heelal).

• Het heelal is statisch.

Einstein zocht een statische, gesloten oplossing van (4.20) voor een gesloten heelal,gebonden aan randvoorwaarden(statisch & uniform). Hij kwam tot het besluit dat hij (4.20)moest aanpassen en introduceerde zo de kosmologische term Λgµν . Hierin is Λ dekosmologische constante, die de ruimte uit zichzelf de mogelijkheid geeft om uit te dijen ofin te krimpen. Door correcte keuze van deze constante bekwam hij een term die afstotendis(een kracht van de vorm Λ · r in klassieke limiet), terwijl Gµν aantrekkend is (een krachtvan de vorm − 1

r2). Het is deze afstotende term die de ineenstorting van het heelal vermijdt.

De kosmologische term wordt groter met de afstand, terwijl Gµν kwadratisch afneemt. Detoevoeging van de kosmologische term blijkt wiskundig correct te zijn: symmetrisch,div = 0,term zonder afgeleiden.Later werd waargenomen 6 dat het heelal uitdijt en dus niet statisch is. In vele boeken vindtmen terug dat de kosmologische constante volgens Einstein de grootste vergissing van zijnleven is. Dit is echter niet volledig correct. Zijn grootste vergissing was dat hij niet gezienheeft dat zijn stationaire oplossing (kosmologische constante) slechts metastabiel was. Voor

6Hubble nam adhv roodverschuiving waar dat het heelal expandeert


een volmaakt heelal is dit correct, maar de minste storing zorgt voor hetzij een inkrimping,hetzij een uitdijing. Nu blijkt deze term enkel belangrijk te zijn voor afstanden groter dat100 MPc7, waar we in ons project niet mee te maken hebben.

Algemeen

De Einsteinvergelijking bestaat uit 10 niet lineaire partieel differentiaal vergelijkingen.Indien we een bron aanleggen, zien we dat de ruimte zal krommen en vice versa. Dit is eenzeer belangrijk gevolg (en interpretatie) van de Einsteinvergelijking. Indien Gµν noch Tµν

gekend zijn hebben we 10 vergelijkingen om 20 onbekenden te vinden. Het zal wiskundigniet zo eenvoudig zijn om deze vergelijkingen op te lossen. Daarom zal men werken methypotheses die de vergelijkingen sterk vereenvoudigen. Een van deze speciale oplossingen isde Schwardzschild solution.

7MPc ≡MegaParSec


4.4.3 De Schwardschild oplossing

We onderstellen (hypotheses):

1. een statisch veld

2. een sferisch veld

3. een vacuum (een lege ruimtetijd)

4. dat de ruimtetijd lokaal (asymptotisch) vlak is

Rekening houdend met bovenstaande hypotheses willen we een unieke oplossing gµν vindenvan:

Rµν = 0 (4.21)

Dit is de gereduceerde Einsteinvergelijking voor een vacuum.Als we werken met Schwarzschild coordinaten (t, r, θ, φ), dan moet een lijnelement(rekeninghoudend met de hypotheses) de volgende vorm hebben:

dτ2 = A(r)dt2 −B(r)dr2 − r2dθ2 − r2sin2θdφ2 (4.22)

Hierin zijn A(r) en B(r) onbekende functies die we willen bepalen adhv (4.21).De Schwarzschild metriek moet dus van de volgende vorm zijn:

gµν = diag(A(r),−B(r),−r2,−r2sin2θ) (4.23)

Als we nu de mogelijke Ricci tensoren berekenen8, dan krijgen we 3 nuttige vergelijkingen(R00 = 0, R11 = 0, R22 = 0). Uit deze vergelijkingen vinden we de gezochte functies:

A(r) = 1 +k

r(4.24)

B(r) = (1 +k

r)−1 (4.25)

Waarin k ≡ integratie constante

De vergelijking van het lijnelement wordt:

dτ2 = (1 +k

r)dt2 −

( 11 + k

r

)dr2 − r2dθ2 − r2sin2θdφ2 (4.26)

In voorgaande herkennen we de vlakke metriek met een lineaire correctieterm. Dit nietalleen, we merken tevens op dat:

• h00 = kr , waarin k slechts een integratie constante is en kan gelijkgesteld worden aan

−2MG.8Deze berekeningen zijn redelijk direct en analoog aan het voorbeeld van de bol


• voor de taylorexpansie van 4.18 geen hogere orde termen bestaan en dus ons resultaatvan vorig hoofdstuk exact was.

• als r →∞ dan wordt (4.26) dτ2 = dt2 − dr2 − r2dθ2 − r2sin2θdφ2, wat inhoudt dat deSchwarzschild oplossing asymptotisch vlak is.

De Schwarzschild metriek wordt:

gµν =

1− 2MGr 0 0 0

0 −(1− 2MGr )−1 0 0

0 0 −r2 00 0 0 −r2sin2θ

4.4.4 Het GPS probleem

Indien we volgende beschouwingen doorvoeren:

• Een zwak, statisch veld (zowieso in Schwarzschild metriek).

• Niet relativischtisch snelheden.

• r ≈ R ≡ straal van de bol, die constant is.

Uit 5.35 volgt dat het ruimtelijk gedeelte van (4.26) verwaarloosbaar is tov het tijdsgedeelte.

⇓

dτ2 = g00dt2 (4.27)

Indien we hetzelfde GPS-systeem beschouwen, bekomen we dezelfde tijdscontractie (4.28):

∆1t =

√1− 2MG

c2r2

1− 2MGc2r1

∆2t (4.28)

Hoofdstuk 5

Bijlagen

5.1 Bepaling van g via de slinger

De slinger was ons eerste instrument om de zwaartekracht mee te meten. Historisch gezienis dit lange tijd een van de enige betrouwbare methodes geweest. Tegenwoordig zijn erdankzij Einstein en zijn laser veel nauwkeurigere methodes beschikbaar.De slinger zoals deze gebruikt wordt in de AG is een vast lichaam dat door een verbindingvrij oscilleert rond een horizontale as. De beweging van deze slinger is afhankelijk van hetgravitationele veld en zijn lengte l. Maar ook van een hoop parasitaire fenomenen zoals eenoscillatieamplitude van zijn verbinding, diens stijfheid, luchtwrijving, ...We zullen onze theorie eerst opstellen voor de ideale slinger (gewichtsloze verbinding engeen parasitaire krachten) en dan de veralgemening maken vanuit het ideale theoretischemodel naar de werkelijkheid en onze metingen in Technopolis.

5.1.1 De theorie van de oscillerende ideale slinger

De ideale slinger is een puntmassa die vrij ’slingert’ rond een horizontale as. De slingerwordt eerst uit evenwicht gebracht tot een hoek α en zal dan door de zwaartekracht heen enweer bewogen worden met een bepaalde frequentie.Laten we eerst de eigenschappen van onze slinger definieren zoals op fig 5.1 afgebeeld.De puntmassa met massa m bevindt zich op een afstand l van het rotatiecentrum. Deogenblikkelijke uitwijking tov de verticale is de hoek ψ en de maximale uitwijking de hoek αmet de goniometrische zin als positieve richting.De krachten die op deze puntmassa inwerken zijn:De zwaartekracht:

|MG| = mg

De kracht van de verbinding:

|OM| = mgcos(θ)

34

HOOFDSTUK 5. BIJLAGEN 35

Figuur 5.1: De ideale (wiskundige) slinger.

De kracht MG zullen we opsplitsen in twee delen: MP dat de verbindingskrachtcompenseert en MQ welke rakend is aan de cirkelvormige baan. Vermits MP en OMelkaar compenseren is het slechts MQ die de beweging van de slinger beınvloedt. Nu is|MQ| = mg · sin(ψ) en is de versnelling van de massa m dus gsin(ψ). Aan de andere zijdeis deze versnelling gelijk aan l d

2ψdt2

. En dus:

d2ψ

dt2= −g

lsin(ψ) (5.1)

Waarbij het minteken aanduid dat de kracht in de richting van A werkt.We vermenigvuldigen beide zijden van (5.1) met 2dψdt dt en na vereenvoudiging verkrijgen we:

d(dψ

dt)2 = 2

g

ld(cos(ψ)) (5.2)

Hieruit verkrijgen we dan na integratie:

(dψ

dt)2 = 2

g

lcos(ψ) + C (5.3)

Met C een constante die we bepalen adhv de randvoorwaarden.

Nemen we het tijdstip t waarop M zich in M’ bevindt. Hier geldt dat dψdt = 0 en dat ψ = α.

Vullen we dit in (5.3) in dan bekomen we:

C = −2g

lcos(α) (5.4)

Samengevoegd geeft dit voor (5.3):

(dψ

dt)2 = 2

g

l(cos(ψ)− cos(α)) (5.5)


OPGELET: Deze vergelijking (5.5) heeft slechts een fysische betekenis als het rechtergedeelte positief blijft. En dus cos(ψ) ≥ cos(α) ⇒ |ψ| ≤ α. In de gravimetrie wordt dezehoek α de hoekamplitude genoemd en de duur van een halve periode (van −α tot α) deoscillatieperiode (S).Van (5.5) gaan we dan over naar:

dt =

√l

2gdψ√

cos(ψ)− cos(α)(5.6)

Door integratie over een volledige oscillatieperiode:

S =∫ S

0dt =

√l

2g

∫ +α

−α

dψ√cos(ψ)− cos(α)

(5.7)

Vervangen we de cosinussen in de vorige vergelijking door sinussen van hun halve hoek:

S =

√l

2g

∫ +α

−α

dψ√2(sin2(α2 )− sin2(ψ2 ))

(5.8)

Deze integraal is symmetrisch tov 0, bijgevolg:

S =

√l

g

∫ +α

0

dψ√(sin2(α2 )− sin2(ψ2 ))

(5.9)

Voeren we een nieuwe veranderlijke φ in, waarvoor sin(ψ2 ) = ksin(φ) met k = sin(α2 ).

S = 2

√l

g

∫ π2

0

dφ√1− k2sin2(φ)

(5.10)

En nu zitten we schijnbaar vast. Er is geen analytische oplossing voor (5.10). De wiskundigonderlegde lezer herkent hierin echter direct een elliptische integraal van het eerste type. Enzoals bekend is hier slechts een veelterm oplossing voor. Binnen de integraal ontbinden wede breuk in een serie en lossen dan deze serie term per term op. Hieruit verkrijgen we :

S = π

√l

g

(1 + (1

2)2k2 + (1·32·4)2k4 + (1·3·5

2·4·6)2k6 + . . .

)(5.11)

= π√

lg · f(α)

met

limα→0

f(α) = 1

In het algemeen werd vroeger voor de gravimetrie dan ook voor een minimale hoekamplitudegeopteerd ( meestal 20’ tot 30’ ) zodat f(α) genegeerd kan worden. Tegenwoordig zoudenwe dit eenvoudig kunnen oplossen met wiskundige programma zoals Maple of Matlab.Toch verkiest men nog steeds een minimale hoekamplitude. De maximale snelheid neemtimmers ook toe met de hoekamplitude en hierdoor ook de parasitaire krachten zoalsluchtweerstand.


De overgang naar de realiteit:

Zoals bij aanvang vermeld is al het bovenstaande slechts geldig voor een ideale slinger. Totonze grote spijt is de werkelijkheid verre van ideaal. Het is dan ook hoog tijd om een aantalbedenkingen te maken:

1. Is onze verbinding wel degelijk massaloos? En indien niet, welke gevolgen heeft ditdan?

2. Is deze verbinding wel degelijk zo stijf als we verondersteld hebben, of zal l varieren?

3. Brengt deze verbinding wrijvingen met zich mee?

4. Hebben temperatuursschommelingen een invloed?

5. Onze massa verplaatst zich in lucht, wat zijn hier de gevolgen van?

6. Kunnen we onze massa wel veralgemenen tot een puntmassa?

De bovenstaande 5 punten zijn de belangrijkste bedenkingen die we moeten behandelen omook in de realiteit een fatsoenlijke meting te kunnen doen. Of we deze imperfecties al danniet in beschouwing moeten nemen hangt af van het type slinger. Daarom zullen we dezebedenkingen pas in de volgende paragraaf behandelen nadat we ingeleid hebben met welkeslinger we zullen werken.

5.1.2 Onze metingen in Technopolis

Alvorens verder te gaan zouden we toch nog even uitdrukkelijk onze dank willen betuigenaan de mensen van Technopolis. Hun hulpvaardigheid en gastvrijheid hebben er onzemetingen beduidend op vergemakkelijkt. De slinger van Foucault die we in Technopolishebben gebruikt is van nature geen gravimetrische slinger. De echte fysicus die een exactewaarde wilt kennen moeten we doorverwijzen naar de FG5 (zie 1.5 op pagina 8).Als basis gebruiken we dus de theorie van de ideale slinger. Maar we zullen nu eerst puntjeper puntje de 5 eerder beschreven problemen bespreken en zien waarom we deze al dan nietmogen negeren.

Gewichtsloosheid van de verbinding Onze massieve stalen bal is opgehangen aan eenenkele ongevlochten stalen kabel met een diameter van 1mm. Met een ρ van staal van7850 kg

m3 komen we op een massa van 52g uit. Ofte een promille van de massa van onze bol.Hierbij komt nog eens dat hiervan het massacentrum halverwege de verbinding ligt, en zijneffectieve massa op 8,5 meter dus 26g is. Dit verplaatst het totale massacentrum met0,4mm. We mogen onze verbinding dus wel degelijk als gewichtsloos beschouwen.


Variatie van l We maken ons hier vooral zorgen om de constantheid van l. De kracht opdeze verbinding varieert immers tussen mgcos(α) en mg. Stellen we g gelijk aan 10 in dezeberekeningen (in feite kunnen we ze voor de meting nog niet weten). De kracht in onzeverbinding zal dan maximaal zijn voor ψ = 0. Hier werkt de zwaartekracht maximaal in oponze verbinding. We mogen echter niet vergeten dat onze slinger dan ook een snelheid heeften er dus een bijkomende centrifugaalkracht bijkomt van m |v|

2

l . We zullen eerst deze vbepalen via het behoud van energie. Bij al onze metingen is α nooit groter geweest dan 6°.Dit geeft een maximaal hoogteverschil van 4,65cm en dus:

mgh =12mv2 ⇒ v =

√2 · gh = 2 · 10 · 0, 0465 = 0, 964

m

s(5.12)

Bijgevolg:

Fcentrifugaal =m · 0, 9642

8, 5= 5, 64N

Staal heeft een YOUNG-modulus van 200GPa dus:

∆l =ΣF · lE ·A =

505, 47 · 8, 5200 · 109 · 0, 00052 · π = 2, 7cm (5.13)

Bij α is er weliswaar geen centrifugaalkracht meer, maar de resultante blijft nog steeds497N. Dit verschil van 8N zal een verlenging van slechts een halve milimeter veroorzaken.We besluiten echter wel dat we de lengte van onze verbinding moeten meten bij belasting.Dit is gebeurd.

Wrijvingen in de verbinding De rotatieas moet een vrije rotatie toestaan. Indien wehet einde van onze stalen draad gewoon met een spijker vastmaken dan zou dit de bewegingtegenwerken. De draad moet zich dan immers plooien om de beweging van de slinger toe testaan. Gelukkig was onze slinger in Technopolis hierop voorzien. Via een electromagnetischveld werd de as waaraan onze draad verbonden was zwevende gehouden. Figuur 5.2 is hiereen foto van.

Figuur 5.2: Wrijvingloze ophanging.


Invloed van temperatuursschommelingen Normaal gezien beschikt men over eengeijkt apparaat. In dat geval moet men wel rekening houden mettemperatuurschommelingen ,vermits de slinger hierdoor uitzet of inkrimpt. In ons gevalvolgde het experiment echter onmiddelijk op de meting van l, waardoortemperatuursschommelingen vermeden werden.

Gevolgen van de lucht Vermits we niet in een vacuumruimte werken heeft de lucht eeneffect op onze metingen. Drie fenomenen met te verwaarlozen gevolgen deden zich voor:

• Doordat onze bol in lucht ’drijft’ ondervindt hij een archimedeskracht. Het verschiltussen massadensiteit is van de orde van 10−4. Dit drijfvermogen is zoals verwachtminimaal.

• Er hecht zich een grenslaag van lucht aan onze bol, waardoor de massa van onze boltoeneemt. Merk op dat hoewel de massa van onze bol toeneemt zijn gewicht dat nietdoet.

• Onze bol verplaatst zich met een zekere v: hierdoor zal er luchtwrijving op onze bolaangrijpen. Eerder hadden we al berekend dat de vmax van onze bol onder de 1msblijft. De drag is recht evenredig met het kwadraat hiervan. Voor groterehoekamplitudes zouden we hier dus inderdaad rekening mee moeten houden. Maar inonze situatie is ook deze kracht te verwaarlozen. Zoals onderstaande berekeningaantoont:

FD = CD ·12ρv2 · S

= 0, 1 · 12· 1, 225 · 12 · 0, 1142π = 27N ≈ 5% · Fg. (5.14)

(5.15)

Hebben we wel degelijk een puntmassa? Onze hoofdmassa is een bol. Het voordeelhiervan is dat we kunnen genieten van een symmetrie ten opzichte van alle assen door hetmassacentrum. Daarenboven heeft hij een straal van slechts van 11,4cm. Dankzij de grote lmogen we dus ook dit laatste probleem negeren.

Besluit: We mogen ons wiskundig correct model dus toepassen op de realiteit zonder alteveel problemen te verwachten. De theorie zoals eerder opgesteld zou ons normaal gezieneen voldoende nauwkeurige waarde van g moeten geven. Tenminste voor de nauwkeurigheiddie wij wensen. Al deze parasitaire fenomenen zijn wel degelijk aanwezig. U kunt nu ookbegrijpen waarom een zeer nauwkeurige meting van g zo moeilijk en duur is. Vanaf eenzekere precisie komt er zich vanuit elke uithoek van de fysica wel een verschijnsel moeien.Wie ver achter de komma wilt kijken moet hier dus ook iets voor over hebben.


5.2 Resultaten van de FG5-meting in Monschau

...Algemene Relativiteit\Michel\Me20080321_ERM.project.txt (12 Apr 08, 09:41:51) Page 1

Micro-g Solutions g Processing Report File Created: 04/11/08, 12:29:43 Project Name: Me20080321_ERM g Acquisition Version: 2.0806 g Processing Version: 4.0411 Company/Institution: Operator: Michel Van Camp Station Data Name: Membach Site Code: Me Lat: 50.60920 Long: 6.00670 Elev: 250.00 m Reference Height: 50.56 cm Datum Height: 0.00 cm Gradient: -2.265 uGal/cm Nominal Air Pressure: 983.60 mBar Barometric Admittance Factor: 0.30 Polar Motion Coord: -0.0834 " 0.4702 " Earth Tide (ETGTAB) Selected Potential Filename: C:\Program Files\Micro-g Solutions Inc\gWavefiles\ETCPOT.DAT Delta Factor Filename: C:\Mes documents\Data_absolu\Tides\Membach\Membach.dff Delta Factors Start Stop Amplitude Phase Term 0.000000 0.002427 1.000000 0.0000 DC 0.002428 0.249951 1.160000 0.0000 Long 0.721500 0.906315 1.154250 0.0000 Q1 0.921941 0.974188 1.154240 0.0000 O1 0.989049 0.998028 1.149150 0.0000 P1 0.999853 1.216397 1.134890 0.0000 K1 1.719381 1.906462 1.161720 0.0000 N2 1.923766 1.976926 1.161720 0.0000 M2 1.991787 2.002885 1.161720 0.0000 S2 2.003032 2.182843 1.161720 0.0000 K2 2.753244 3.081254 1.07338 0.0000 M3 3.791964 3.937897 1.03900 0.0000 M4 Ocean Load ON, Filename: C:\Mes documents\Data_absolu\Tides\Membach\Membach.olf Waves: M2 S2 K1 O1 N2 P1 K2 Q1 Mf Mm Ssa Amplitude (uGal): 1.777 0.576 0.206 0.141 0.362 0.066 0.145 0.038 0.144 0.045 0.011 Phase (deg): -57.5 -29.2 -61.2 -163.7 -73.3 -74.4 -27.7 128.1 -4.6 5.8 -11.8 Instrument Data Meter Type: FG5 Meter S/N: 202 Factory Height: 80.71 cm Rubidium Frequency: 10000000.00000 Hz Laser: WEO100 (136) ID: 632.99117754 nm ( 0.37 V) IE: 632.99119473 nm ( -0.10 V) IF: 632.99121259 nm ( -0.48 V) IG: 632.99123023 nm ( -0.88 V) IH: 632.99136890 nm ( -1.83 V) II: 632.99139822 nm ( -1.92 V) IJ: 632.99142704 nm ( -1.90 V) Modulation Frequency: 1165.213 Hz Processing Results Date: 03/21/08 Time: 23:00:57 DOY: 081 Year: 2008 Gravity: 981046721.62 uGal Set Scatter: 1.15 uGal Measurement Precision: 0.32 uGal Total Uncertainty: 0.32 uGal Number of Sets Collected: 50 Number of Sets Processed: 13 Set #s Processed: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 Number of Sets NOT Processed: 37 Set #s NOT Processed: 14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 Number of Drops/Set: 100 Total Drops Accepted: 1288 Total Drops Rejected: 12 Total Fringes Acquired: 700 Fringe Start: 34 Processed Fringes: 640 GuideCard Multiplex: 4 GuideCard Scale Factor: 250 Gravity Corrections Earth Tide (ETGTAB): -43.19 uGal Ocean Load: -0.01 uGal Polar Motion: 2.48 uGal Barometric Pressure: -8.55 uGal Datum Height: 297.33 uGal Reference Xo: 0.00 uGal

...Algemene Relativiteit\Michel\Me20080321_ERM.project.txt (12 Apr 08, 09:41:51) Page 2

Uncertainties Earth Tide Factor: 0.000 Average Earth Tide Uncertainty: 0.00 uGal Ocean Load Factor: 0.00 Average Ocean Load Uncertainty: 0.00 uGal Barometric: 0.00 uGal Polar Motion: 0.00 uGal Laser: 0.00 uGal Clock: 0.00 uGal System Type: 0.00 uGal Tidal Swell: 0.00 uGal Water Table: 0.00 uGal Unmodeled: 0.00 uGal System Setup: 0.00 uGal Gradient: 0.00 uGal ( 0.00 uGal/cm) Comments Membach


5.3 Proef van Foucault

Onderstaande is vooral bedoeld voor iedereen die het Speed of light apparartus van PASCOwenst te gebruiken. Dit gedeelte is dus eerder een persoonlijke aanvulling op de bijgeleverdehandleiding van PASCO. Voor onze meetresultaten zelf verwijzen we u naar pagina 12.

1. De roterende spiegel alleen zorgt door zijn venstertje al voor 4 verschillende stippendoor reflectie. Het is dan ook van essentieel belang zich er steeds van te vergewissendat men de juiste stip volgt.

2. De microscoop past enkel in de doos als je hem volledig uiteen draait. Wij raden ditechter af. Hierdoor geraakt er stof tot op de lenzen met een vertroebeld beeld alsgevolg.

3. Iets wat niet zo duidelijk vermeld staat in de handleiding: bij de meting zelf (dus alsde spiegel roteert) mag je de polarisatoren verwijderen.

4. Voor het volgen van de laserstraal bij de oplijning werkt men het gemakkelijkst meteen wit vel papier. Door de doorschijnbaarheid van dit vel is het soms moeilijk tebepalen langs welke zijde de lichtstraal komt. Een dun plastieken plaatje zou ditkunnen oplossen.

5. De roterende spiegel is om veiligheidsredenen achter een glazen venster geplaatst. Omnauwkeurige metingen uit te kunnen voeren zou dit verwijderd moeten worden. Ditglaasje zorgt namelijk voor reflectie en diffractie. Daarenboven verhindert het eennauwkeurige meting van de parameter B.

6. Je kan de microscoop scherp stellen door hem in hoogte te laten varieren. Je kan hemechter ook naar voor en achter verschuiven. Via een combinatie van deze twee moet jeproberen zoveel mogelijk de rode stip tot een punt te herleiden.

7. De lensen zijn magnetisch opgehangen aan een statief. Om deze goed te centrerengebruik je best terug een jig.

8. De beste resultaten verkrijg je op 13,5 meter voor D vermits je hierdoor in hetbrandpunt van de spiegel werkt. In de handleiding wordt dit als bedenking vermeld.Onze conclusie is echter dat dit de enige bruikbare afstand is. Zelfs onze metingen op9 meter waren nagenoeg waardeloos.

9. Het oplijnen van de terugkerende straal van Mf gebeurt via 2 stelschroeven op deachterzijde van deze spiegel. Voor grotere afstanden zijn deze echter veel teonnauwkeurig. Wij raden aan deze twee schroeven door twee micrometers tevervangen zoals gebruikt bij de microscoop.


10. Ook voor deze laatste oplijning zou een derde jig handig zijn. Men zou deze met tweegaten moeten maken ,zodanig dat als ze tegen het frame van de roterende spiegelgeplaatst is, ze enkel de juiste stralen doorlaat.

11. Om de afstand D nauwkeurig te kunnen bepalen hebben we een laserafstandsmetervan de leerstoel ballistiek mogen gebruiken.


5.4 Noties uit de SR en conventies in ons project

5.4.1 algemene conventies

• Om onze berekeningen te vergemakkelijken stellen we c = 1.

• In het elektromagnetisme en in de AR maakt men gebruik van ’Heaviside-Lorentzeenheden’ in plaats van de vertrouwde SI-eenheden. In Appendix 3 vindt u een artikelterug van professor A. Sevrin waarin hij deze eenheden en hun gebruik toelicht.

• 2t wijst op tijdstip 2

5.4.2 Speciale relativiteit (SR)

Het begrip ruimtetijd

In ons dagelijkse leven zijn wij vertrouwd met een 3 dimensionele wereld (euclidischeruimte). Een andere, voor ons onafhankelijke parameter is de tijd. Dit is een correct beeldomdat de dingen waar wij dagelijks mee te maken hebben een snelheid (relatief tov deaarde) hebben die veel lager is dan de lichtsnelheid. Een belangrijke hypothese in de SR isdat de lichtsnelheid absoluut is en dus onafhankelijk van referentiestelsel. Dit heeft alsresultaat dat, wanneer de snelheid niet meer verwaarloosbaar is tov de lichtsnelheid, weruimte en tijd niet meer kunnen scheiden. We krijgen dus ruimte en tijd vermengd in een 4dimensionele coordinatenruimte. Dit principe kan worden hard gemaakt met behulp van deLorentztransformaties. Terwijl de euclidische ruimte slechts een 3D plaatsruimte is, zullenwe de 4 dimensionele ruimte, die de tijd omvat, benoemen als Minkowski ruimte (Manifold).De ruimtetijd wordt voorgesteld door de parameter τ die absoluut is in deze ruimte.

Minkowski metriek

stelling 4 (Metriek) In een metrische ruimte is een metriek de functie die de afstandtussen elk tweetal elementen van die metrische ruimte vastlegt.

stelling 5 (Metrische ruimte) Een metrische ruimte is een ruimte waarin men eenafstand of metriek kan definieren.

Meer wiskundig kan men ook zeggen dat een metrische ruimte een manifold is waarop meneen metriek kan definiren.De Minkowski ruimte is een vlakke ruimte waarin men een vlakke metriek defnieert. Dithoudt onder meer in dat de kortste afstand (ruimtetijd afstand) tussen twee punten eenrechte is.


Door uitbreiding van de Lorentz transformaties naar de Minkowski ruimte bekomt men deuitdrukking van een lijnelement in de ruimtetijd:

dτ2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (5.16)

= dt2 − (dx)2 (5.17)

In tensornotatie wordt deze uitdrukking:

dτ2 = ηαβdξαdξβ (5.18)

Hierin is:

• ξ0 ≡ t, ξ1 ≡ x, ξ2 ≡ y, ξ3 ≡ z

•

η =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

ηαβ noemen we de vlakke metriek of Minkowski metriek. In ons project zullen we in plaatsvan vlakke metrische ruimte gewoon vlakke metriek gebruiken. Weet dat ’de vlakke metriek’de metrische tensor ηαβ is, gedefineerd in de Minkowski ruimte. Merk ook op dat dezetensor uitdrukt dat de metriek vlak is, aangezien de eenheidsvectoren niet varieren(inrichting en lengte) in functie van de ruimtetijd. We zien dat de Minkowski ruimteopgebouwd is uit een set van onderling loodrechte vectoren.

Tijdsdilatatie

De tijdsdilatatie volgt onmiddellijk uit de uitdrukking van ruimtetijd:

dτ2 = dt2 − (dx)2 (5.19)

= dt2(1− v2) (5.20)

Onderstel een deeltje in rust: dτ2 = dt2

Onderstel een deeltje in beweging: dτ2 = dt2 − (dx)2

Als we deze twee uitdrukkingen aan elkaar gelijkstellen en integreren over de tijd danbekomen we:

∆2t2 =

∆1t2

1− v2(5.21)

Indien het deeltje in rust een klok is in de oorsprong van een inertieel assenstelsel S1 en hetbewegende deeltje een tweede identieke klok in een inertieel assenstelsel S2 (wetende dat S2

eenparig rechtlijnig beweegt tov S1 ), dan kunnen we de tijdsdilatatie van de tweede klok inS1 kwantificeren door γ = 1√

1−v2 , zodanig dat de tijd in S2 gelijk is aan:

∆2t = γ∆1t (5.22)


5.5 Verband tussen Christoffelsymbool en gµν

We weten dat:

Γµρσ =∂ξµ

∂ξα· ∂2ξα

∂Xρ∂Xσ(5.23)

= gµνΓµρσ (5.24)

m

Γµρσ = gµνΓµρσ (5.25)

=∂ξα

∂Xµηαβ

∂ξβ

∂Xν

∂Xµ

∂ξα· ∂2ξα

∂Xρ∂Xσ(5.26)

Het Cristoffelsymbool in termen van de metriek:

Γµρσ =12(gµν,ρ + gµρ,ν − gνρ,µ

)(5.27)

bewijs:

gµν,ρ =( ∂ξα∂Xµ

ηαβ∂ξβ

∂Xν

),ρ

(5.28)

=∂2ξα

∂Xµ∂Xρηαβ

∂ξβ

∂Xν+

∂ξα

∂Xµηαβ

∂2ξβ

∂XνXρ

)(5.29)

gµρ,ν =( ∂ξα∂Xµ

ηαβ∂ξβ

∂Xρ

),ν

(5.30)

=∂2ξα

∂Xµ∂Xνηαβ

∂ξβ

∂Xρ+

∂ξα

∂Xµηαβ

∂2ξβ

∂XρXν

)(5.31)

gνρ,µ =( ∂ξα∂Xν

ηαβ∂ξβ

∂Xρ

),µ

(5.32)

=∂2ξα

∂Xν∂Xµηαβ

∂ξβ

∂Xρ+∂ξα

∂Xνηαβ

∂2ξβ

∂XρXµ

)(5.33)

=⇒ Γµρσ = 12

(gµν,ρ + gµρ,ν − gνρ,µ

)�


5.6 Aanvulling op de conventies

Niet relativistische snelheden

| v2 |� 1⇒(dxdt

)2 � 1 (5.34)

We weten dat

dτ = dt2 − (dx)21dτ2⇒ 1 = (

dt

dτ)2 − (

dxdτ

)2

Endxdτ

=dt

dτ

dxdt

⇓

| dxdτ|� dt

dτ(5.35)

Uit (5.35) volgt dat de tijdscontributie de belangrijkste is en we dus kunnen stellen datν, ρ = 0.(5.35) herleidt zich dan tot:

d2Xµ

dτ2+ Γµ00

dXσ

dτ

dXρ

dτ= 0 (5.36)

Newtoniaans zwaartekrachtsveld

Voor een zwak zwaartekrachtsveld kunnen we stellen dat de metriek zich herleidt tot devlakke metriek en een storing die niet verwaarloosbaar is:

gµν = ηµν + hµν (5.37)

Met

hµν = ηµν − ηµρηνσhρσ (5.38)

Het veld is statisch wat leidt tot:

∂0hµν = 0 (5.39)

Vereenvoudigen we vervolgens verder Γµ00:


Γµ00 =12(2gρ0,0 − g00,ρ

)

= gµρΓρ00

= gµρ12(gρ0,0 − g00,ρ + g0ρ,0

)

=12gµρ(2gρ0,0 − g00,ρ

)

=12gµρ[2(ηρ0 + hρ0),0 − (η00 + h00,ρ),ρ

]

(5.38)=

12(ηµρ − ηµκηρδhκδ

)[− h00,ρ

]

= −12ηµρh00,ρ

= −12

3∑

i=1

ηµih00,i (5.40)

Nu geldt voor het tijds -en ruimtelijk gedeelte:

Γ000 = 0 en Γj00 =

12h00,j ∀j ∈

{1, 2, 3

}(5.41)

Uit (5.36) en (5.41) volgt:

d2t

dτ2= 0 (5.42)

d2Xi

dt2= −1

2h00,i ∀i ∈

{1, 2, 3

}(5.43)

Want:d2Xi

dτ2+ Γi00(

dt

dτ)2 = 0

⇓d2Xi

dτ2= −1

2h00,j(

dt

dτ)2 (5.44)

⇓ we willen dxdt

d2Xi

dτ2=

d

dτ

(dXi

dt

dt

dτ

)(5.45)

=dXi

dt

d2t

dτ2+d2Xi

dt2( dtdτ

)2 (5.46)

=d2Xi

dt2( dtdτ

)2 (5.47)

uit (5.43) en (5.44) bekomen we dat:

d2Xi

dt2= −1

2h00,i (5.48)


5.7 Aanvullingen op de Einsteinvergelijking

5.7.1 Wet van Poisson

We weten uit het elektromagnetisme dat:

E = −∇V div(E) =q

ε0= −∇ · ∇V

⇓

∇2V = − ρε0

(5.49)

Analoog definieerde Newton een gravitatiepotentiaal van de vorm:

∇2ϕ = 4πρG (5.50)

Men noemt dit ook de wet van Poisson.

5.7.2 Veralgemening van Newtons gravitatiepotentiaal

Einstein wil (5.50) veralgemenen naar de AR.We weten dat in de klassieke limiet de metrische tensor gµν zich herleidt tot g00 = 1 + 2ϕ.Einstein wist dus dat in de klassieke limiet zijn vergelijking zich moest herleiden tot:

∇g00 = 8πGρ(r)

⇓ ρ niet relativ≈ T00

∇g00 = 8πG ∗ T00

Hij zocht naar een veralgemening van de vorm:

Ξµν = 8πGTµν (5.51)

De uitdrukking links moet aan 4 voorwaarden voldoen:

1. Het moet een tweede orde tensor zijn ( 2e orde afgeleiden van gµν).

2. Het moet divergentieloos zijn:

∇µTµν = 0⇒ �µΞµν = 0

.

3. In klassieke limiet moet het zich reduceren tot: ∇Ξ = 8πGρ = ∇g00.

4. Het rechterlid is symmetrisch in de indices, dus moet het linker dat ook zijn.


Een eerste iteratie

Een eerste idee zou zijn dat Ξµν = gµν omdat gµν;µ = 0 net zoals Tµν divergentieloos is.Maar in klassieke limiet kan dit niet kloppen, want het reduceert zich niet tot (5.50).Voorwaarde 1 eist dat Ξµν 2e orde afgeleiden van ρµν moet bevatten. Einstein heeft langzitten zoeken om zo’n Ξµν te vinden, maar indien hij de boxafgeleide (d’Alembertiaan)namvan gµν bekwam hij een lege tensor:

�gµν = gρσ∇ρ∇σgµν

⇓ ∇ρgµν = 0

�gµν = 0 lege tensor

De krommingstensor als mogelijke oplossing

Zij nu fν een vector veld, dan is de covariante afgeleide covariant:

µfν;µ = ∂µfν − Γµνfσ

En als we dit nog eens covariant afleiden, dan bekomen we 2e orde tensor (0,2):

fν;µρ = ∂ρ(fν;µ)− Γχνρfχ;µ − Γχµρfν;χ (5.52)

Deze vorm is nog steeds covariant.

Als we dan in (5.52) de indices omwisselen en dit aftrekken van (5.52), dan bekomen wevoor een gekromde ruimte een uitdrukking verschillend van nul (Indien de ruimte vlak zouzijn, zou de covariante afgeleide gelijk zijn aan de partieel afgeleide):

fν;µρ − fν;ρµ = Rσνρµ ∗ fσ (5.53)

met

Rσνρµ = ∂ρ∂µfν − ∂ρ[Γσµνfσ

]− Γχνρ∂µfχ + ΓχνρΓ

σχµfσ − Γχµρ∂χfν + ΓχµρΓ

σχνfσ

−∂µ∂ρfν + ∂µ[Γσµρfσ

]+ Γχµν∂ρfχ − ΓχµνΓσχρfσ + Γχρµ∂χfν − ΓχµρΓ

χµρfσ

Rσνρµ = ∂µΓσρν − ∂ρΓσµν − ΓχνρΓσµχ + ΓχµνΓσρχ


Nu geldt:Rσρµν +Rσµνρ +Rσνρµ = 0

en Rρµνσ = gρξRξµνσ

en Rρµνσ = Rνσρµ

Assymetrisch

{Rµρνσ = −Rρµνσ. . .

We weten dat Rσµρν = Riemannkrommingstensor

• Deze is een maat voor de intrinsieke kromming van de ruimte(in welke mate verschiltde covariante afgeleide van de partieel afgeleide).

hypothese 1

Als we Ξµν = 8πGTµν nemen, zien we dat Rσµρν niet gelijk kan zijn aan Tµν . We moeten eentensor hebben van 2e rang. Als we de krommingstensor contrageren bekomen we een 2e

rangs tensor(de Riccitensor):

Riccitensor : Rµσ = gνρRµνρσ

Als we deze nog eens contrageren bekomen we een scalair (De Ricciscalar):

Ricciscalar : R = gµνRµν

Nu moet Ξ een 2e orde afgeleide zijn, dit is wiskundig enkel mogelijk indien : Ricci + Cte

Ξµν = a ∗Rµν + bgµνR (5.54)

hypothese 2

De divergentie van Tµν moet gelijk zijn aan nul:

∇µTµν = 0⇒ �µΞµν = 0

m Bianchi identiteit

b =a

2

⇒ a(Tµν +12gµν ∗R) = 8πGTµν (5.55)


hypothese 3

In de klassieke limiet verkrijgen we:

Ξ00 ≡ a∇g00 = 8πGT00 en ∇g00 = 8πGρ

⇓

a = 1

Uiteindelijk bekomen we de uitdrukking:

Rµν + 12gµνR = 8πGTµν (5.56)

Bibliografie

[1] P.F. SHOKIN: Gravimetry, 1960, ISBN

[2] J. FOSTER: A short course in relativity, 1994, ISBN 0-387-94295-5

[3] ARFKEN & WEBER: Mathematical methods for physicists, 2005, ISBN 0-12-088584-0

[4] BERGMANN: Introduction to the theory of relativity, 1976, ISBN 0-486-63282-2

[5] R. D’INVERNO: Introducing Einsteins relativity, 1992, ISBN 0-19-859686-3

[6] J. B. HARTLE: Gravity: An introduction to Einstein’s general relativity, 2003,ISBN 0-80538662-9

[7] M. SACHS: Ideas of the theory of relativity, 1974, ISBN 0-7065-1461-0

[8] B. BASSETT & R. EDNEY: Introducing relativity, 2002, ISBN 1-84046-372-4

[9] R.R. WEYNANTS & M. VAN SCHOOR: Natuurkunde III: Beperkte relativiteit, 2002

[10] M. VAN SCHOOR: Projecten fysica-chemie, 2008

[11] R.P. FEYNMANN: Lectures on gravitation, 1962

54

Appendix

55

The FG5 absolute gravimeter:

metrology and geophysics

56

1

The FG5 absolute gravimeter: metrology and geophysics

Van Camp, M.1, Camelbeeck, T.1 and Richard, P.2

1Royal Observatory of Belgium, Seismology, Avenue Circulaire, 3, B-1180 Bruxelles, Belgique. [email protected]

2 Swiss Federal Office of Metrology and Accreditation, METAS, Lindenweg 50, CH-3003 Bern-Wabern, Switzerland

[email protected]

(Paper published in Physicalia Magazine, Journal of the Belgian Society, 25 (3), pp 161-174, Sept. 2003)

1. Introduction

The gravity force, which allows us to define the weight of an object, keeps us at the Earth’s

surface and is the origin of the free fall of a body. This force is proportional to the

mass:� �F mg= , where

�g is the gravity acceleration. The magnitude of this acceleration is the

gravity g, measured with a gravimeter. This is a physical quantity varying in time and space.

Indeed, g depends, mainly, on the latitude, the mass distribution in the Earth’s interior, the

Earth’s rotation (velocity and position of the rotation axis), and the relative positions of the

Moon and the Sun, which cause the tides1. The determination of g is essential in several areas

of the scientific research. In geophysics, one measures the gravity variation to study tectonic

deformations [1], the post-glacial rebound [2], the tides, the influence of the atmosphere and

the hydrosphere, and the structure of the globe from the inner core to the Earth’s crust. On the

other hand, the analysis of the local variations of g presents numerous applications in geology.

g is indispensable to geodesy for the determination of the geoid and therefore of the heights

(the geoid represents the average level of the seas and their prolongation under the continents).

Finally, in metrology, g enters in the determination of standards derived from the kilogram

(ampere, pressure, force) and is to play an essential role in the new realisation of the kilogram

[3][4]. In the international system of units, the kilogram is the only remaining base unit that

still relies on a material artefact. This is unsatisfactory, especially because the stability of the

kilogram prototype is not well constrained. The most promising approach is the Watt balance

experiment that allows expressing the kilogram in terms of the meter, the second and the

1 The tidal accelerations due to the nearby planets are 104 (Venus) to 105 (Mars and Jupiter) times lesser than those from the Sun and the Moon. This is usually negligible, but it must be taken into account using high quality continuously recording gravimeters like the superconducting ones.

2

Planck’s constant h, by equating mechanical and electrical power. The electrical power is

measured in terms of the Josephson and quantum Hall effects, and it will allow one to link the

unit of mass to the Planck constant.

First we present the last generation of absolute gravimeter (AG), the FG5 from Micro-g

Solutions, Erie, Colorado, USA [6]. This is the most accurate and in fact, the only

commercially available absolute gravimeter, which provides the value of g with an accuracy of

1 part in 109. Secondly, we describe the Watt balance experiment and briefly some other

approaches aiming at redefining the kilogram. Then, we present the results of absolute gravity

measurements performed in the Belgian Ardenne to measure intraplate crustal deformations.

Finally, we provide some insights on the future of gravity measurements.

2. The FG5 absolute gravimeter

2.1 Principle of operation

The principle of the ballistic FG5 AG is to observe the free-falling of a repeatedly dropped

corner cube reflector. This test mass is contained in a co-falling servo-controlled motor-driven

drag-free chamber and falls over 20 centimetres in 0.2 second inside a vacuum chamber. The

position of the mass is measured as a function of time by laser interferometry. One arm of a

Mach-Zender interferometer traverses a path up to the free-falling retro reflector. This “ test”

beam is reflected back down to another corner cube contained in the proof mass of an active

long-period seismometer (free period of ~60 s) which provides an inertial reference frame

(Figure 1)2. The other interferometer arm (“ reference” beam) recombines with the first test

beam. As the object falls, interference fringes are formed at the optical output. The fringe

signal is detected using an avalanche photo-diode and the time of occurrence of the fringes is

measured by a rubidium atomic clock. The length standard is provided by an iodine-stabilised

laser. The absolute gravity measurements are therefore directly tied to the time and length SI

units.

2 To get such a spring, its length should reach about l = gT²/(2π)² ~ 1 km. Instead, we use a “Superspring” , a vibration-isolated device that electronically mimics a 1 km spring. The idea is that in a real spring, points on the spring near the bottom move almost like points at the bottom. A sensor detects differences between the bottom and the top of a 20 cm spring, and the top is moved to mimic the motion it would have in a 1 km spring.

3

A total of 700 time-position points are recorded over the 20 cm length of each drop. Drops

can be produced up to every two seconds but in routine operation, the drops are repeated every

10 s, 100 times per hour. The average of 100 drops is a “set” , which exhibits standard

deviations of 40 to 150 nms-2 (or 4 to 15 µGal3) under normal conditions. Measurements

usually consist of one set per hour with the average of several sets (usually 12 to 48) providing

a “gravity value” . The instrumental accuracy of the FG5 is about 1-2 µGal as reported by the

manufacturer [6]. However, environmental effects, still imperfectly corrected, affect the

gravity value in a wide frequency band (from minutes to decades). It is common to observe

differences greater than 2 µGal with the same instrument at two different time interval (see e.g.

Section 5), even only 24 h apart. The data acquisition software performs a least square fit of the

trajectory data to the following function:

c

xxtt

ttg

tvxx

ii

iiii

)(~

~12

1~2

~

0

42000

−−=

��

��

� +++= γ (1)

Where the three unknowns are x0, v0 and g0 are the initial position, velocity and acceleration

at 0=t , γ is the vertical gravity gradient and c is the speed of light. Methods to extract the

gravity gradient and trajectory parameters simultaneously have proved difficult to implement

as signal-to-noise levels are low. Therefore the vertical gravity gradient is measured using a

relative spring gravimeter and usually equals about 3 µGal/cm. The finite speed of light gives a

correction since the optical reference occurs at time ctLtt )()( =∆ after the light bounces off

the dropped object, where L(t) is the path of the drop. The bias introduces an apparent shift of

approximately -11 µGal in the gravity value for a 20 cm drop.

The final gravity value is obtained after applying correction for earth tides, ocean loading4,

local atmospheric effects (-0.3 µGal/hPa due to loading and mass attraction) and polar-motion

3 1 µGal = 10 nm s-2

4 The surface loading of the Earth due the weight of the ocean tides causes a time varying deformation of the solid Earth, which is called ocean tide loading. The vertical component of the ocean tide loading varies spatially and has a maximum of 12 cm peak to peak in Cornwall, but is less than 2 cm in Membach (Eastern Belgium). This ocean tide loading deformation is in addition to the Earth’s body tide deformation, which is typically 40 cm peak to peak in mid-latitudes.

4

effects5. Presently, there are only some thirty of these instruments in the world and the Royal

Observatory of Belgium owns the FG5-202 since 1996.

2.2 Control of the FG5

To ensure that the gravimeter remains in good working condition, it needs to be checked

regularly at a reference station. For this reason, measurements are made at the reference

5 Free of forcing, a body tends to rotate around its principal moment of inertia. In response to a given excitation, the rotation axis can be moved. The rotation axis then oscillates around the main inertia axis: this is the polar motion. The main component of this motion is the Chandler wobble: the pole describes an ellipse of some tens of meters with a period at 14 months. This motion is mainly induced by the interaction with the atmosphere and the oceans. As the rotation axis is changed, the value of the centrifugal acceleration varies; those variations can be measured by AGs and SGs (amplitude of about 10 µGal peak to peak).

Figure 1. The FG5 absolute gravimeter: a corner cube reflector contained in a co-falling servo-controlled motor-driven drag-free chamber, falls over 20 centimetres in 0.2 second inside a vacuum chamber (the “dropping chamber” ). The superspring is a vibration-isolated device, which provides an inertial reference frame. Presently there are only some thirty of these instruments in the world. For a colour photo, see e.g. http://homepage.oma.be/mvc/absolu.htm.

5

Membach Geophysical station (near Eupen [7]) before and after each measurement campaign

in the field. In this station, a superconducting gravimeter (SG) GWR-C021 [8] continuously

records the gravity with a resolution of 0.1 µGal. The fundamental component of a SG consists

of a hollow superconducting sphere that levitates in a persistent magnetic field. A vertical

displacement of the sphere is compensated by a feedback voltage, which is proportional to the

gravity changes. The GWR SG provides only relative gravity measurements and the most

common mode of operation is continuously at a fixed location. Collocated observations by a

SG and an AG then can be used to eliminate uncertainties in the observed gravity variations

due to instrumental effects as the SG and AG are completely different in instrumental design

and working principle. Thus we can check the AG data over time by determining whether any

observed offsets in the AG are due to instrumental problems or to actual changes in gravity [7].

As high accuracy reference instrument, the Belgian FG5 AG also participates in numerous

international comparisons [9][10]. For example, at the “Bureau International des Poids et

Mesures” (BIPM, Sèvres, France) or at the “Swiss Federal Office of Metrology and

Accreditation (METAS, Bern, Switzerland)” laboratory, where a Watt balance is currently

under development [4].

3. Redefining the kilogram: the Watt balance experiment

The kilogram is the only remaining base unit of the International System of Units (SI)

whose definition is based on a physical artefact rather than on fundamental properties of

nature. This artefact is the international Prototype Kilogram, also named “K” (“Grand K”),

which consists in a cylinder of platinum-iridium alloy kept at the Bureau International des

Poids et Mesures (BIPM) in Sèvres, France. This current definition is quite limiting, especially

because:

1. The prototype is not perfectly stable and the amount it changes cannot be known

perfectly: there is no “perfect” reference against which to judge it. However, long-term

studies of the differences between selected 1 kg prototypes and K indicate that the long-

term variation of the kilogram could be as much as 5 parts in 109 per year [11][12].

2. The value of the national copies cannot be monitored at the highest level of accuracy

without being compared directly with K. The fact that a single artefact provides

traceability for the entire mass scale world-wide presents a major logistic and resource

6

problem. Notice that most national measurement institutes hold only one (on a total of

about 77) official copy of the kilogram (Belgium holds the No 37).

To prepare the SI for the increasing needs of science and technology, a replacement of the

kilogram based on fundamental constants is needed. A new definition should be considered if

the expressed relating mass and fundamental constants reach a relative uncertainty of less than

1 part in 108 [5].

We focus here on the Watt balance experiment that aims at monitoring the kilogram by

equating mechanical and electrical power. As the electrical power is measured in terms of the

Josephson and the quantum Hall effects, the unit of mass can be linked to the Planck constant.

The experiment is performed in two parts (Figure 2). Consider a coil suspended from one

arm of a balance. The coil is immersed in a horizontal magnetic flux Φ. The current I in the

coil exerts a vertical force on the conductor which is balanced against the weight Fm of the test

mass m:

zImgFm ∂

Φ∂⋅−== (2)

where g is the local acceleration due to gravity. In the second part of the experiment, the coil is

moved at a constant velocity v in the vertical direction through the flux and the voltage U

induced across the coil is measured, being

vzt

z

ztU ⋅

∂Φ∂−=

∂∂⋅

∂Φ∂−=

∂Φ∂−= (3)

at the location of the weighing. Combining (2) and (3), we eliminate the flux gradient z∂Φ∂ ,

geometrical factor difficult to measure, and we obtain:

vgmIU ⋅⋅=⋅ (4)

The experiment allows the comparison of the watt realized electrically to the watt realized

mechanically. This requires measuring the gravity acceleration6 g, which is done using an AG.

The Royal Observatory of Belgium collaborates with METAS by bringing its experience in

gravity measurements.

Watt balance experiments are currently pursued at three institutes: the National Physical

Laboratory (NPL, U.K.), the National Institute of Standards and Technology (NIST, U.S.A.)

6 The gravity acceleration depends on the arrangement of the terrestrial and extraterrestrial masses, as well as on the Earth’s rotation. It can not be mistaken as the acceleration due to the gravitational attraction, only due to mass attraction.

7

and METAS (see [3][4]). Two new projects are announced at the Bureau National de

Métrologie (BNM, France) and at the BIPM. In the case of BNM, gravity will be monitored by

an atomic gravimeter (see Section 6) whereas the former ones use their own FG5 AG.

3.1 A possible new definition of the kilogram based on the Planck constant

The voltage U is measured against a Josephson7 voltage standard and the current I from the

voltage drop across a resistance calibrated against a quantum Hall8 resistance standard.

Therefore, (4) becomes:

hkvg

m⋅

= 1 (5)

7 Josephson effect: If a thin insulated barrier between two superconductors is cooled to 4.2 K and exposed to electromagnetic radiation of frequency f, then the DC voltage across the junction Vj assumes discrete values Vj = nfh/2e= nf/Kj, where Kj is the Josephson constant, n an integer, h the Planck constant and e, the electronic charge. For predicting this effect, Esaki, Giaever and Josephson were awarded the Nobel Prise in 1973. 8 Quantised Hall Effect: the Hall resistance measured in silicon MOSFETs at low temperature and high magnetic fields is quantised: RH = h/ie² = Rk/i (Rk is the von Klitzing constant and i an integer). It was discovered in 1980 by G. Dorda, M. Pepper and K. von Klitzing, this latter was awarded the Nobel Prize in 1985.

A) B) Figure 2. The Watt balance. A) Static mode: the electromagnetic force acting on the current I carrying coil is balanced against the weight mg of the test mass. B) Velocity mode: the coil is moved in vertical direction through the magnetic field B and the induced voltage U is measured. One obtains: U I = m g v. U and I are determined using the Josephson and the quantum Hall effects � m g v ~ fj , h. fj is the Josephson’s frequency and h, the Planck’s constant. g is measured using an AG.

8

where k is a constant and h, the Planck’s constant [5]. Using a Watt Balance, Williams et al.

[13] obtained the best measurement of the Planck’s constant in 1998, with an uncertainty of 8.7

x 10-8 and a numeric value of 6.62606891 x 10-34 J s.

If the Watt balance experiment reaches the necessary precision of 1 part in 108, first one

should have to check the stability of K. Then, one could naturally redefine the kilogram in such

a way that the value of h is fixed (such a reasoning was already applied to define the meter,

where c had to be fixed). According to Taylor and Mohr [14], the new definition of the

kilogram could be as follow: “ the kilogram is the mass of a body at rest whose equivalent

energy equals the energy of photons whose frequencies sum to 135639274 x 1042 Hz” . This

definition results from the well known Einstein relation ²mcE = and the relation νhE = valid

for the energy of photons. The Watt balance could be a practical realization of the kilogram,

like an iodine stabilized He-Ne laser is a practical realization of the meter.

3.2 The other approaches

3.2.1 The voltage balance

The electrostatic force acting between the plates of a capacitance is compared with the

weight mg of the test mass m. With the present techniques, this approach does not promise to

reach an uncertainty below 1 part in 107. The main problems are the high voltage required in

the experiment (10-100 kV), the voltage and frequency dependence of the capacitance and its

mechanical imperfections [5].

3.2.2 The superconducting magnetic levitation

Like the Watt balance project, this method relates the kilogram unit to the Josephson and

quantised Hall effects. Here a superconducting body is levitated in a magnetic field generated

by a superconducting coil. The current required in the coil is proportional to the load of the

floating element. The most important problems to overcome in this experiment are due to

horizontal force components on the trajectory of the levitated object, to the distortion of the

object under levitation, to obtain a perfect diamagnetic floating body [5].

9

3.2.3 The Avogadro project

While the three previous approaches aim at defining the kilogram using the equivalence

between mechanical and electrical energy, the internationally coordinated Avogadro project

attempts to define the kilogram based on a fixed number of atoms of silicon [5][15]. The mass

of a sphere of silicon is related to its molar mass and the Avogadro constant by the equation:

0v

V

N

Mm

A

m ×= (6)

where m is the mass of the sphere, Mm the molar mass of the silicon isotopes measured by

spectrometry9, NA the Avogadro constant, V the volume of the sphere measured by

interferometry and v0 the volume occupied by a silicon atom, measured by x-ray

interferometry. The practical realization of this definition relies on the calculation of a value

for NA from an initial value for the mass of the sphere. The value NA is then fixed and used

subsequently to give the value for the mass m of the sphere. Apart from the problem of

measuring NA with a relative uncertainty of 1 part in 108, another complication is the growth of

oxides of silicon on the surface of the spheres, which needs to be monitored.

The Planck and Avogadro constants are related by the relative atomic mass of the electron,

the square of the fine structure constant and the Rydberg constant. At this present time, these

constants are not exactly known and hence the Avogadro experiment has not yet provided h

exactly [14].

3.2.4 The ion accumulation approach

Like the previous one, this strategy is to relate the mass of a fundamental particle to the

kilogram by counting a large number of identical atoms. This approach involves the

accumulation of a known number of gold atoms Au197 [16]. The number of ions collected is

related to the ion current required to neutralise them, which is measured using quantum Hall

resistance and Josephson voltage.

9 The Institute for Reference Materials and Measurement (IRMM) in Geel, Belgium, is the only one in the world which can measure the isotope ratios (and therefore molar masses expressed relative to 12C) of silicon with a sufficiently small uncertainty.

10

4. Measuring crustal deformation using a FG5 absolute gravimeter

Using this instrument, we have observed at the Membach station a small trend in the gravity

of (-0.6 ± 0.1) µGal/year for more than 7 years (Fig. 3). It indicates that the station is perhaps

going up by about 3.0 mm/year, which seems to be confirmed by the (2.7±0.2) mm/year uplift

observed by continuous GPS performed 3 km away from the Membach geophysical station [7].

Further inspection of Figure 3 indicates that SG observations agree with those from the AG at

the µGal level and also shows a quasi-annual signal in the continuous SG gravity observations

most probably and mainly due to local hydrological variations. The ~5 µGal peak to peak

amplitude varies significantly from year to year, depending on the meteorological context. The

rainfall around Membach is uniformly spread over the entire year but the gravity decreases in

winter as the evapotranspiration is reduced. The inverse relationship may at first seem

surprising as one would expect gravity to increase with an increase in water mass in the ground

beneath the instrument. However, the Membach laboratory is in fact located within a 140 meter

long tunnel cut into the side of a hill. The SG is located 49 m below the surface. This means

that the water mass is above, not below, the instrument thus making gravity decrease. Further,

given that the instrument is buried at such a distance, the water evaporates before it has time to

percolate down beneath the instrument.

In order to confirm this uplift and to estimate its wavelength, we are performing semi-

annual AG measurements along an 8-station profile across the Ardenne and the Roer Graben

since 1999. This present deformation could be linked to the active faults in the Ardenne and/or

bordering the Roer Graben (this is an important parameter to assess the not negligible seismic

hazard); to the possible volcanic Eifel plume or to the Fennoscandia post-glacial rebound [1].

Along this profile, at the Jülich station, we observe there a gravity change of (3.7+/-1.3)

µGal/year related to a subsidence of more than 1 cm/year, caused by water pumping [17]. This

prevents us to measure tectonic deformations at that location, but this strong signal acts as a

test bench, with valuable applications in hydrogeology. In the other seven stations, at this

present time, there is no detectable gravity rate of change larger than 1.8 µGal/year (which is

equivalent to a vertical deformation of 9 mm/year). This long-term experiment shall be carried

out up to 2009 at least; then we should be able to constrain any possible long-term trend with

accuracy better than 0.5 µGal/year.

11

AG measurements are also performed in Oostende once a year. The goal is to determine

vertical land movement at the tide gauge. Thus, the FG5-202 takes a part in the European Sea

Level Service (ESEAS) which aims at monitoring the mean sea level.

5. The future

Here we briefly describe three new approaches under development. First, the compact cam-

driven AG: the test mass is placed on a cart whose vertical motion is defined by the shape of a

cam that rotates with a velocity around a horizontal axis [18]. This instrument uses 20 mm of

free fall 200 times a minute (respectively 20 cm and maximum 30 times for the FG5).

Another approach is the atom interferometer based on a fountain of laser-cooled atoms to

measure g. An atom is placed into a superposition of two spatially separated atomic states;

1-Jan-96 1-Jan-97 1-Jan-98 2-Jan-99 2-Jan-00 2-Jan-01 2-Jan-02

160

200

240

280

320

360

GW

R#C

021 relative

160

200

240

280

320

360

FG

5#20

2 -

9810

4670

00

C021 : residuals - drift - step

FG5 : g - 981467000

FG5-

202

- 98

1046

70 [

µG

al]

GW

R-C

021

rela

tive

[µG

al]

Figure 3. Comparison between gravity measurements of the SG C-021 and the AG FG5-202. The Earth tides, ocean loading and atmospheric effects, and polar motion have been removed. The SG C-021 instrumental drift of 4.3 µGal/year was evaluated by taking the difference between the residuals of the SG C-021 and of the AG FG5-202. AG error bars are 1 σ. The initial exponential decrease from August to December 1995 is due to the SG C-021 setup. What remains in these corrected SG residuals, from March 1996 to November 2002, is a geophysical trend, mainly linear and we estimate its slope at (-0.6 ± 0.1) µGal/Year.

12

each state is described by a quantum-mechanical phase term, which will interfere with one

another when they are brought back together. Gravity acts on the moving atoms and distorts

the phase of the matter waves. This changes the interference pattern, which are detected using

laser resonance fluorescence. Comparing atom and FG5 AGs, Peters et al. [19] obtained the

best confirmation of the equivalence principle between a quantum and macroscopic object.

The last technique comes from space with projects such as GRACE (Gravity Recovery and

Climate Experiment [20][http://www.csr.utexas.edu/grace]. It consists in twin satellites

launched in March 2002, which are able to map the Earth's gravity fields by making accurate

measurements of the distance between the two satellites. The expected precision is one

thousandth of a FG5, but the satellites cover the whole Earth and will be used to estimate

global models for the mean and time variable Earth gravity field approximately every 30 days.

6. Conclusions

The first ballistic FG5 AG was brought into service about 10 years ago. The accuracy of this

AG model, based upon advanced metrological standards monitored with great care, is now

approaching 1 part in 109 (1 µGal). This allows numerous applications in geophysics, geodesy,

geology and metrology, especially in the Watt balance experiment, aiming at redefining the

kilogram, in which measuring g at a level of a few part in 109 is a key factor.

Presently some instrumental variations still dominate. Close collaboration between the FG5

manufacturer and users, and the laboratories developing other ballistic and atomic AGs, will

allow one to reach the µGal level in a near future. Moreover, the modelling of the parasitic

environmental effects (groundwater, atmosphere, tidal effects…) needs to be improved. The

Royal Observatory of Belgium and METAS actively participate to these two challenges.

7. Acknowledgments

We thank Marc Hendrickx (ROB) and Philip Taylor (Institute for Reference Materials and

Measurements) for their collaboration.

8. Bibliography

[1] M. Van Camp, T. Camelbeeck and O. Francis, Crustal Motions Across the Ardenne and the Roer Graben (North-western Europe) using absolute gravity measurements, Metrologia, 39, 503-508, 2002.

13

[2] A. Lambert, N. Courtier, G.S. Sasagawa, F. Klopping, D. Winester, T.S. James, and J.O. Liard, New constraints on Laurentide postglacial rebound from absolute gravity measurements, Geophys. Res. Lett., 28, 2109-2112, 2001.

[3] W. Beer, B. Jeanneret, B. Jeckelmann, P. Richard, A. Courteville Y Salvadé and R. Dänliker, A proposal for a new moving-coil experiment, IEEE Trans. Instrum. Meas., 48 (2), 192-195, 1999.

[4] W. Beer, A. Eichenberger, B. Jeanneret, B. Jeckelmann, A. Pourzand, P. Richard and J. Schwarz, Status of the METAS Watt balance experiment, IEEE Trans. Instrum. Meas., 52 (2), 626-630, 2003.

[5] A. Eichenberger, B. Jeckelmann, and P. Richard, Tracing Planck’s constant to the kilogram by electromechanical methods, submitted to Metrologia, 2003.

[6] T. Niebauer, G. Sasagawa, G. Faller, R. Hilt and F. Klopping, A new generation of absolute gravimeters, Metrologia, 32, 159-180, 1995.

[7] O. Francis, M. Van Camp, T. van Dam, R. Warnant and M. Hendrickx, Indication of the uplift of the Ardenne in long term gravity variations in Membach (Belgium), submitted to Geophys. J. Int., 2003.

[8] R. Warburton and E. Brinton, Recent Developments in GWR Instruments’ Superconducting Gravimeters, Proc. 2nd Workshop on non tidal gravity changes, Cahiers du Centre Européen de Géodynamique et de Seismologie, 11, 23-56, 1995.

[9] Vitushkin, L., Becker, M., Jiang, Z., Francis, O., van Dam, T.M., Faller, J., Chartier, J.-M., Amalvict, M., Bonvalot, S., Debeglia, S., Desogus, S., Diament, M., Dupont, F., Falk, R., Gabalda, G., Gagnon, C.G.L., Gattacceca, T., Germak, A., Hinderer, J., Jamet, O., Jeffries, G., Käter, R., Kopaev, A., Liard, J., Lindau, A., Longuevergne, L., Luck, B., Maderal, N., Mäkinen, J., Meurers, B., Mizushima, S., Mrlina, J., Newell, D., Origlia, C., Pujol, E.R., Reinhold, A., Richard, Ph., Robinson, I., Ruess, D., Thies, S., Van Camp, M., Van Ruymbeke, M., de Villalta Compagni, M.F., Williams, S., Results of the Sixth International Comparison of Absolute Gravimeters ICAG-2001, Metrologia, 39, 407-424, 2002.

[10] M. Van Camp, P. Richard, J. Hinderer, M. Amalvict, R. Falk, B. Luck, M. Hendrickx, and S. Thies, Intercomparisons of the FG5-101, 202, 206 and 209 absolute gravimeters at four different sites, Proceedings of the Instrumentation and Metrology in Gravimetry (IMG 2002) Workshop, Cahiers du Centre Européen de Géodynamique et de Séismologie, Luxembourg, 22 (in press), 2003.

[11] T. J. Quinn, The kilogram: the present state of our knowledge, IEEE Trans. Instrum. Meas., 40, 2, 81-85, 1991.

[12] G. Girard, The third periodic variation of national prototypes of the kilogram (1988-1992), Metrologia, 31, 317-336, 1994.

[13] E. R. Williams, R. L. Steiner, D. B. Newell and P. T. Olsen, Accurate measurement of the Planck constant, Phys. Rev. Lett., 81, no12, pp 2404-2407, 1998.

[14] B. N. Taylor and P. J. Mohr, On the redefinition of the kilogram, Metrologia, 36, 63-64, 1999.

[15] S. Downes, NPL: Avogadro Project, http://www.npl.co.uk/mass/avogadro.html, 2003. [16] D. Ratshko, D. Knolle, E. Finkre and M. Gläser, Accumulation of decelerated gold ions,

Nucl. Instr. and Meth. In Phys. Res. B., 190, 217-221, 2002. [17] M. Van Camp, Man-induced subsidence in Jülich observed by the FG5#202 absolute

gravimeter in a noisy environment, accepted by the Cahiers du Centre Européen de Géodynamique et de Séismologie, Luxemburg, 22, 2003.

14

[18] A. L. Vitoushkine and J. E. Faller, Measurement results with a small cam-driven absolute gravimeter, Metrologia, 39, 465-469, 2002.

[19] A. Peters, K. Yeow Chung and S. Chu, Measurement of gravitational acceleration by dropping atoms, Nature, 400, 849-852, 1999.

[20] B. D. Tapley, Th Gruber, M. Watkins, GRACE Science data system design, Suppl. To EOS Trans. AGU, 80 (46), 1999.

Dimensies, eenheden en de Maxwell

vergelijkingen

71

Dimensies, eenheden en deMaxwell vergelijkingen

Alexander Sevrin

1 Inleiding

De keuze van dimensies en eenheden in het elektromagnetisme is ver van een-duidig. Hoewel het SI systeem een en ander ondubbelzinnig vastgelegd heeft,blijven andere systemen wijd verspreid. Men heeft naast het SI systeem ookhet Gaussische, het Heaviside-Lorentz, het elektrostatische (esu) en het elektro-magnetische (emu) systeem. Daarenboven bestaan er nog diverse “dialecten” ofvarianten van deze systemen. De Gaussische en de Heaviside-Lorentz systemenzijn nauw met elkaar verbonden. Evenzeer zijn de SI, de esu en de emu syste-men gerelateerd. In de praktijk wordt de student fysica (zeker die aan de VUB)tegenwoordig met “slechts” twee stelsels geconfronteerd:

• Heaviside-Lorentz: wordt gebruikt in essentieel alle handboeken en weten-schappelijke publicaties in de elementaire deeltjesfysica, algemene relativiteiten wiskundige natuurkunde. Zelfs het standaardwerk bij uitstek over hetelektromagnetisme, [1], gebruikt Gaussische eenheden (op enkele herschalin-gen met factoren 4π na is deze identiek aan het Heaviside-Lorentz systeem).Ruwweg kan men dus stellen dat het Heaviside-Lorentz stelsel de voorkeurgeniet wanneer men microscopische fysische verschijnselen bestudeert.

• SI: wordt tegenwoordig in zowat alle andere toepassingen (b.v. vaste stof-fysica, optica, ...) aangewend. Dit is dus het stelsel dat bij voorkeur ge-bruikt wordt bij de studie van macroscopische fysische verschijnselen.

In deze nota’s zullen beiden gepresenteerd worden. Ik beperk mij hier tot deMaxwell vergelijkingen in het vacuum. Voor de Maxwell vergelijkingen in wille-keurige media verwijs ik opnieuw naar de “bijbel”: [1]. Daar vindt men ook alledetails met betrekking tot andere stelsels. Ik ga ervan uit dat de lezer al goedvertrouwd is met de Maxwell vergelijkingen.

1

2 Algemene beschouwingen

2.1 Maxwell in het vacuum zonder bronnen

Beschouwen we de Maxwell vergelijkingen in het vacuum in afwezigheid van bron-nen,

∇ · ~B = 0, (1)

∇× ~E = −a1∂ ~B

∂t, (2)

∇ · ~E = 0, (3)

∇× ~B = a2∂ ~E

∂t, (4)

met a1, a2 ∈ R twee vooralsnog onbepaalde coefficienten. We nemen de rotorvan vgl. (2),

∇×(∇× ~E

)= −a1∇× ∂ ~B

∂t. (5)

Met behulp van de standaard identiteit,

∇×(∇× ~A

)= ∇

(∇ · ~A

)−∆ ~A, (6)

en vgl. (3) wordt dit,

∆ ~E = a1∇× ∂ ~B

∂t. (7)

Vervolgens leiden we vgl. (4) af naar de tijd,

∇× ∂ ~B

∂t= a2

∂2 ~E

∂t2. (8)

Combineren we dit met vgl. (7), dan krijgen we uiteindelijk,

∆ ~E − a1a2∂2 ~E

∂t2= 0. (9)

Eisen we nu dat de golven zich met de lichtsnelheid (in het vacuum), c, verplaat-sen, dan krijgen we,

a1a2 = c−2, (10)

of nog,

a2 =1

c2a1

. (11)

Een analoge vergelijking voor ~B kan afgeleid worden die echter geen verderevoorwaarden oplevert.

2

2.2 Maxwell in het vacuum met bronnen

Vervolgens beschouwen de Maxwell vergelijkingen in het vacuum maar in aan-wezigheid van externe bronnen gekarakteriseerd door een ladingsdichtheid ρ eneen stroomsterktedichtheid ~ die aan de continuıteitsvergelijking voldoen,

∂ρ

∂t+∇ ·~ = 0. (12)

Gebruik makend van de resultaten uit het voorafgaand hoofdstukje, hebben wenu voor de Maxwell vergelijkingen,

∇ · ~B = 0, (13)

∇× ~E = −a1∂ ~B

∂t, (14)

∇ · ~E = b1 ρ, (15)

∇× ~B = b2~ +1

c2a1

∂ ~E

∂t, (16)

met a1, b1 en b2 ∈ R drie vooralsnog onbepaalde coefficienten. Combineren wede divergentie van vgl. (16) – waarbij we van ∇ · (∇× ~B) = 0 gebruik maken –met de afgeleide naar de tijd van vgl. (15), dan krijgen we,

∂ρ

∂t+

c2a1b2

b1

∇ ·~ = 0. (17)

Vergelijken we (17) met (12) dan bekomen we,

b1 = c2a1b2, (18)

waarmee de Maxwell vergelijkingen nu gegeven worden door,

∇ · ~B = 0, (19)

∇× ~E = −a1∂ ~B

∂t, (20)

∇ · ~E = c2a1b2 ρ, (21)

∇× ~B = b2~ +1

c2a1

∂ ~E

∂t, (22)

met a1 en b2 ∈ R twee nog steeds onbepaalde coefficienten.Hoewel we – gezien we hier in het vacuum werken – niet direct baat hebben

bij de introductie van de macroscopische velden ~D (de elektrische verplaatsing)

en ~H (het magnetisch veld), geven we toch hun relatie met ~E (het elektrisch veld)

3

en ~B (de magnetische inductie)1,

~D = ε0~E

~H =1

µ0

~B. (23)

met ε0 de elektrische permittiviteit en µ0 de magnetische permeabiliteit van hetvacuum.

3 Keuzes...

3.1 Inleidende beschouwingen

Met algemene eisen zoals het feit dat vrije elektromagnetische golven zich met delichtsnelheid voortplanten en het feit dat ladings- en stroomsterktedichtheid aande continuıteitsvergelijking moeten voldoen kunnen we de Maxwell vergelijkingenop twee constantes na bepalen. Om deze eveneens vast te leggen zullen we keuzesmoeten maken! Deze keuzes zullen dan de dimensies van ~E, ~B en elektrischelading vastleggen. In het bijzonder legt de keuze van a1 de relatieve dimensie van~E ten opzichte van ~B vast. De definitie/keuze van b2 is dan weer nauw verbondenmet de definitie van lading (of stroom).

Uit vgl. (21) volgt dat het elektrisch veld ~Ec opgewekt door een statischepuntlading q gelokaliseerd in de oorsprong, gegeven wordt door,

~Ec(~r) =c2a1b2

4π

q ~r

r3. (24)

De kracht, ~F c, die een puntlading q′ met plaatsvector ~r ten gevolge hiervanondervindt is gegeven door de wet van Coulomb die in alle systemen dezelfdevorm aanneemt,

~F c(~r) = q′ ~Ec(~r). (25)

Hieruit lezen we af dat de dimensie van het elektrisch veld zal afhangen van dedimensie van de lading. Eveneens is zowel de dimensie als de grootte van a1b2

afhankelijk van de gekozen dimensie en eenheid voor de elektrische lading.Beschouw nu twee oneindig lange evenwijdige rechte draden die zich op een

afstand r van elkaar bevinden. Door de ene draad loopt een elektrische stroomI1, door de andere een stroom I2. Volgens Ampere is de kracht per lengteeenheidtussen de twee draden gegeven door,

dFa

dl∝ I1I2

r. (26)

1Alle uitdrukkingen zijn enkel geldig in het vacuum!

4

Experimenteel vindt men dat de evenredigheidsconstante (nog steeds in het vac-uum) gerelateerd is met deze in de wet van Coulomb,

dFa

dl=

a1b2

2π

I1I2

r. (27)

De (grootte van de) magnetische inductie is gedefinieerd als zijnde evenredig aande kracht per stroomsterkte eenheid die de tweede draad voelt tengevolge van deeerste draad,

B =β a1b2

2π

I1

r, (28)

met β een, eventueel dimensievolle, evenredigheidsconstante. Vergelijken we ditmet vgl. (22), dan krijgen we,

β =1

a1

. (29)

3.2 Het SI stelsel

In het SI stelsel kiest men a1 = 1. Hier hebben ~E en ~B dus verschillende di-mensies! Verder heeft men in het SI stelsel naast een lengte eenheid (meter),een tijdseenheid (seconde) en een massa eenheid (kilogram), de ampere (A) alsafgeleide eenheid van stroomsterkte ingevoerd. Een ampere is de stroom die doorelk van twee oneindig lange en oneindig dunne, evenwijdige draden die 1 metervan elkaar verwijderd zijn, moet vloeien om een transversale kracht van 2× 10−7

newton/meter tussen de draden te veroorzaken. Uit vgl. (27) krijgen we dandirect dat

b2 = a1b2 = 4π × 10−7N A−2. (30)

De eenheid van lading is de coulomb (C) gedefinieerd als 1 C = 1 A s. Men kiesthier eveneens2,

ε0 =1

4π× 107 × c−2 × A2 N−1,

µ0 = = 4π × 10−7 × A−2 N, (31)

zodat de Maxwell vergelijkingen door,

∇ · ~B = 0, (32)

∇× ~E = −∂ ~B

∂t, (33)

∇ · ~D = ρ, (34)

∇× ~H = ~ +∂ ~D

∂t, (35)

gegeven worden.

2We krijgen dus ε0µ0 = c−2.

5

3.3 Het Heaviside-Lorentz stelsel

Hier kiest men

a1 = b2 = c−1, (36)

en bijgevolg heeft men,

β = c. (37)

Een onmiddelijk gevolg is dat ~B en ~E dezelfde dimensie hebben! Uiteindelijkmaakt men in het vacuum de natuurlijke keuze ~D = ~E en ~H = ~B. Of andersgezegd,

ε0 = µ0 = 1. (38)

De Maxwell vergelijkingen worden dus,

∇ · ~B = 0, (39)

∇× ~E = −1

c

∂ ~B

∂t, (40)

∇ · ~E = ρ, (41)

∇× ~B =1

c~ +

1

c

∂ ~E

∂t. (42)

In het Gaussische stelsel worden de factoren 4π in de Coulomb en Ampere wetweg geschaald door ~E en ~B te herschalen,

~EG = 4π ~EHL, ~DG = 4π ~DHL, ~BG = 4π ~BHL, ~HG = 4π ~HHL, (43)

met verder geen andere wijzigingen.

4 Slotnoten

Een puntdeeltje met lading q dat met een snelheid ~v in een uitwendig elektro-magnetisch veld gekarakteriseerd door een elektrisch veld ~E en een magneti-sche inductie ~B beweegt, ondervindt een kracht, de Lorentz kracht ~FL. In hetHeaviside-Lorentz stelsel wordt ze gegeven door,

~FL = q( ~E +1

c~v × ~B), (44)

en in het SI systeem door,

~FL = q( ~E + ~v × ~B). (45)

6

Ik verwijs andermaal naar [1] voor meer details! Zie ook [2].Samenvattend: voor mijn cursussen zijn de relevante vergelijkingen (39-42) en

(44). Verder zal de waarde van de dimensieloze fijnstructuurconstante α cruciaalzijn. In zowel het Heaviside-Lorentz als in het Gaussische stelsel wordt dit,

α ≡ e2

4π~c≈ 1

137, 036. (46)

Voor de volledigheid, in het SI stelsel hebben we,

α ≡ e2

4πε0~c≈ 1

137, 036. (47)

References

[1] Appendix on Units and Dimensions in J. D. Jackson, Classical Electrody-namics, 3rd edition (1998), Wiley, pagina 775 en volgende.

[2] Een samenvatting kan terug gevonden worden via het URLhttp://pdg.web.cern.ch/pdg/2004/reviews/elecrelarpp.pdf,je kunt eveneens essentiele constantes ophttp://pdg.web.cern.ch/pdg/2004/reviews/consrpp.pdf terugvinden.

7

Tijdscorrectie GPS Relativiteit

Documents

Transcript of Tijdscorrectie GPS Relativiteit