(Rust-) Massa

Tolman en Lewis (1909), beschouwen botsingsproces:

• Coördinatensysteem S en S’, S’ met snelheid v bewegend in de x, x’-richting

• Bal A met rustmassa m beweegt met snelheid u (gemeten in S) langs y-as

• Bal B met rustmassa m beweegt met snelheid –u’ gemeten in S’) langs de y’-as

• Stel u << v

• Wanneer ballen A en B elastisch botsen, vallen de assen y en y’ samen

1

• Waarnemer in S ziet bal A met snelheid +u botsen en vervolgens met snelheid -u terugkomen:

• Waarnemer in S’ ziet bal B met snelheid -u botsen en vervolgens met snelheid +u terugkomen:

2uD = -

2uD = +

Snelheid van bal B gemeten in systeem S is

voor de botsing:

en daarna:

2

21v

uc

- -

2

21v

uc

+ -

Stel:

• De botsing wordt gemeten in S

• De massa van bal A wordt gedefinieerd als m0

(d.w.z. voor u << v, m0 rustmassa)

• De massa van bal B, gemeten in S, wordt gedefinieerd als m2

De afbeelding kan momenteel niet worden weergegeven.

Als nu A en B een ‘gesloten’ systeem vormen voor en

na de elastische botsing, dan geldt impulsbehoud:

Voor botsing: Na botsing:

Impuls bal A : um0 um0 um02

Impuls bal B :2

21cvmu

2

21cvmu

2

212cvmu

Uit de impulsbalans volgt dan:

2 2

0 02 22 2 1 0 1

v vm u mu m m

c c- + - = = -

Met andere woorden:

0 0

2 2

2 2

,

1 1

xx x

m m vm p mv

v v

c c

= º =

- -

3

Massa in beweging...

De (geschaalde) massa als functie van de (geschaalde) snelheid

0

1

2

3

4

5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0

mm

/v c

20

2

1

1

mm v

c

=

-

4

Impuls- en energiebehoud

en levert met de juiste keuze van eenheden:

2e hoofdwet van Newton:

De impulsverandering van een lichaam is evenredig met de

resulterende kracht die op het lichaam wordt uitgeoefend:

( )d dpF mv

dt dtµ =

( )d dv dmF mv m v

dt dt dt= = +

5

Hiermee kan de verandering van kinetische energie geschreven worden als:

2kin

dv dmdE Fdx m dx v dx mvdv v dm

dt dtº = + = +

6

met: 0

2

21

mm

v

c

=

-

en

( )02 3

2 2 22

21

m vdv mvdvdm

cv c vc

= =æ ö -÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø

geeft dit: ( )2 2 2 2

2 03

2 2

21

kindE mvdv v dm c v dm v dm

m vdvc dm

v

c

= + = - +

= =æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø

2kin

dv dmdE Fdx m dx v dx mvdv v dm

dt dtº = + = +

2 22 2 20 0 0

0 03 2 20 0 2 2

2 202

1 11

kin

v

E v

kin kinm vdv m c m c

E dE m c mc m cv v

vc c

c

= = = = - = -æ ö - -÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø

ò ò

7

De totale energie is gelijk aan de som van rustmassa en kinetische energie:

( )

2 20

22

0

20

2

2

2 2 2 2 40

1

tot kin

tot

tot

tot

E mc E m c

p cm c

v

m cE

pc

E

E p c m c

g

º = +

= =

=

-

- =

0

2

21

m vmet p mv

v

c

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷º =ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - ÷ç ÷çè ø

Impuls en kinetische energie voor een versneld elektron als

functie van zijn (geschaalde) snelheid

8

0

0,5

1

1,5

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Impuls

Kinetische energie

kinE

MeVé ùë û/

p

MeV cé ùë û

bv cb =

Relativistische kinematica:

2 2 2 2 40E p c m c- =

Ondanks dat energie en impuls verschillend zijn wanneer zij gemeten

worden in de inertiaalstelsels S en S’, vinden we dat:

( ),E p

invariant is onder Lorentztransformaties. Dit geldt eveneens voor de relatie:2 2 2 2 2 2 2 2 2 2' ' ' 'c t x y z c t x y z- - - = - - -

We definiëren de ruimte-tijd vector als een ‘4-vector’:0 1 2 3, , ,x ct x x x y x zº º º º

met:

( )

0

1

2

3

, 0, 1, 2, 3

x

xx

x

x

m m

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷º =ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

9

( ) ( )0 1 2 3 , 0, 1, 2, 3x x x x xm mº =

De Lorentzinvariante grootheid:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 22 2 2 2 0 1 2 3

2 2 2 20 1 2 3' ' ' '

I ct x y z x x x x

x x x x

= - - - = - - -

= - - -

10

kan geschreven worden als het scalaire product van de twee 4-vectoren…

0 1 2 30 1 2 3x x x x x x x x x x x xm m

m m= º - - -

Of algemeen:

0 0 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b a b a bm mm m= = - - -

…maar dan kunnen we met de 4-vector…

2 2 2 2 40E p c m c- =

Einstein’s uitdrukking voor de Lorentzinvariante massa

, , , ,x y zE E

p p p p pc c

m æ ö æ ö÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

eenvoudig schrijven als:

22 2 2

02

Ep p p m c

cm

m = - =

11

Veel-deeltjes systemen:

De ‘rustmassa’ van een veel-deeltjes systeem kan

eenvoudig geïntroduceerd worden...

Beschouw:

• Twee botsende deeltjes a en b

• Impuls-energie van deeltjes a en b: pa en pb

• Rustmassa van deeltjes a en b: ma en mb

2 2 2

2 2 2

a a

b b

p m c

p m c

=

=

Definieer ‘invariante massa’

(in het kwadraat):

( )2 2 2a b abp p m c+ =

12

Heavyside-Lorentz eenheden…

Dimensies van 3 belangrijkste grootheden in subatomaire fysica:

( )

1

2 1

2 2 2

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

c snelheid LT

lengte impuls MLT

E massa snelheid MLT

-

-

-

= =

= ´ =

= ´ =

1

1

[ ]

[ ]

[ ]

L E

M E

T E

-

-

=

=

=

1

2

1

[ ][ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

L c E

M E c

T E

-

-

-

=

=

=

1c= =Met :

13

{ }, ,M L T

Twee-deeltjes botsing; twee deeltjes eindtoestand

Beschouw:

• Twee-deeltjes reactie a + b

• Impuls-energie etc. : pa, pb, ma, mb etc.

• De botsing verloopt elastisch d.w.z. c = a; d = b of c = b; d = a

• De botsing verloopt inelastisch: c a en c b

Het kwadraat van de invariante

massa van a en b (c = 1 !):

( )2 2a b abp p m+ =

wordt de energie (in het kwadraat) in

het zwaartepunt genoemd

14

Behoud van energie en impuls impliceert dat:

( ) ( )2 2 2 2a b c d ab cd

a b c d

a b c d

p p p p m m

E E E E

p p p p

+ = + = =

+ = +

+ = +

Het kwadraat van de zwaartepuntenergie wordt aangeduid met:

( ) ( )2 2a b c ds p p p pº + = +

M.b.v. kunnen twee andere ‘behouden’

(Lorentzinvariante) relaties gedefinieerd worden:a b c dp p p p+ = +

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

a c b d

a d b c

t p p p p

u p p p p

º - = -

º - = -

s, t en u zijn de Lorentzinvariante Mandelstam variabelen.

Ga na dat geldt: 2 2 2 2a b c ds t u m m m m+ + = + + +

15

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

2 2

2

2

c dc

c d c c

c d c d

s m mE

s

p p E m

s m m s m m

s

+ -=

= = -

- + - -=

Om de reactie a + b c + d kinematisch mogelijk te maken moet gelden dat:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

22 2 2

a b c d

c d c d c d c d

s p p p p

m m E E p p m m

= + = +

= + + - ⋅ ³ +

De zwaartepuntenergie is een van de cruciale parameters van deeltjesversnellers

en bepaalt ‘hoe diep we in de materie kunnen indringen’

s

16

Uit energie- en impulsbehoud volgt (ga na!):

Beschouw de volgende typen deeltjesversnellers:

• Een enkele deeltjes bundel waarmee op een doel

wordt geschoten

• Twee deeltjes bundels van identieke deeltjes met

gelijke, maar tegengestelde impuls

‘Fixed target’ vs ‘Collider’

• ‘Fixed target’

( )2 2 2 2s p P m M EM= + = + +

De massa (M) van het

doel is cruciaal (!):

17

Twee bundels deeltjes :

• ‘Collider’

De massa’s van de deeltjes zijn voor E >> m irrelevant !

( ) ( )( )

2 2 2 21 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 4

s p p m E p

m E E m E

= + = + +

= + + - =

Met een ‘collider’ worden dus i.h.a. hogere

zwaartepuntenergieën bereikt !

18

19

Deeltjes versnellers

De eigenschappen van deeltjesbundels (en het ‘target’) zijn zowel een belangrijke factor voor het ontwerp van de experimenten als bepalend voor de

fysica die in de botsingen bestudeerd kan worden:

• de bundelenergie bepaalt in sterke mate het ‘massa-interval’ van de deeltjes (zwaartepuntenergie) die in de interactie geproduceerd kunnen worden en kan de werkzame doorsnede voor bepaalde processen sterk beïnvloeden

• de deeltjesflux bepaalt naast de werkzame doorsnede voor een geselecteerd proces, hoe vaak dit proces uiteindelijk per tijdseenheid op zal treden

• de ‘duty-cycle’ van een versneller geeft de fractie van de tijd dat de versneller deeltjes aan het experiment levert

• de structuur van de bundel in de tijd is belangrijk om te bepalen wanneer het experiment operationeel moet zijn. Het definieert de tijd tussen twee potentieel interessante botsingen. Een te snelle opeenvolging van botsingen kan leiden tot ‘dode tijd’; een periode waarin het experiment nog bezig is om gegevens van een voorgaande botsing te verwerken, terwijl een nieuwe botsing zich al aandient en dus verloren kan gaan.

Voorbeeld: de elektronenmicroscoop. Omstreeks 1920 werd de eerste hoogspanning ‘deeltjesversneller’ in Cambridge op basis van de kathodestraalbuis

door Cockcroft en Walton ontwikkeld. Zij plaatsten twee elektroden in een vacuümvat en bereikten een potentiaalverschil van . Begin jaren dertig

ontwikkelden Cockcroft en Walton een experimentele opstelling om protonen te versnellen en vervolgens te laten penetreren in lithiumkernen .

20

510 V

Versnellen met continu potentiaalverschil

21

Zij slaagden er in om een elektrisch systeem te construeren dat kon leveren. Dit potentiaalverschil werd verkregen met behulp van een wisselspanningen een combinatie van gelijkrichters plus een cascadeschakeling van capaciteiten

(om herhaalde spanningsverdubbeling te realiseren:

800 kVolt

Cockcroft-Walton moderne uitvoering

22

1 7 4 41 3 2 2H Li He He

Daar er vrijwel geen stroom aan deze schakeling ontrokken wordt, blijft de opgebouwde spanning gehandhaafd…

Cockcroft en Walton realiseerden in 1932 de eerste nucleaire transformatie:

Detectie van de -deeltjes leverde het eerste experimentele bewijs voor Einstein’s relatie ! Beiden ontvingen in 1951 de Nobelprijs voor de fysica.

2E mc

In 1932, vrijwel gelijktijdig met het experiment van Cockcroft en Walton,

construeerde Van de Graaff in de Verenigde Staten een eerste versneller, waarvoor het potentiaalverschil werd opgebouwd door

middel van ladingstransport naar een geïsoleerde elektrode.

23

Deze lading wordt vervolgens getransporteerd naar de elektrode die via corona ontlading een tweede elektrode oplaadt.Met deze techniek zijn spanningsverschillen tot

bereikt. De generatoren zijn veelvuldig bij diverse versnellers toegepast.20 30 MVolt

Een isolatieband verbindt twee roterende assen waarvan er een zich op het aardpotentiaal bevindt en de ander binnen de geïsoleerde elektrode. Door middel van wrijving wordt de isolatieband met geïnduceerde lading ‘opgeladen’.

24

Van de Graaff generatoren bij Notre Dame University (V.S.) en CERN voor het opwekken van potentiaalverschillen van meer dan .1MVolt

25

dp F q E v Bdt

Variabel potentiaalverschilHet versnellen van geladen deeltjes in een hoogfrequent elektrisch veld werd in1928 door de Noor Wideröe voor het eerst voorgesteld. In dat jaar bouwde hijaan de Technische Hochschule van Aken een eerste, op dit principe gebaseerde,versneller waarin hij tevens driftbuizen toepaste:

De impulsverandering dat een geladen deeltje in een elektrisch (magnetisch) veld ondervindt is proportioneel met de Lorentz kracht op dit deeltje:

26

Het klassieke cyclotron

Door Wideröe geïnspireerd, bouwden Lawrence en Livingston in 1931 bij Berkeley Radiation Laboratory in de Verenigde Staten, een apparaat waarmee met behulp van een wisselend magnetisch veld deeltjes versneld konden worden (rechts).

De eerste stap werd door Lawrence gezet met het ontwerp en de constructie van een 12.5 cm diameter prototype (links).

27

Een cyclotron bestaat uit een vacuümkamer, ingesloten tussen de polen van een cirkelvormige dipool magneet:

Binnen in de vacuümkamer worden twee halfcirkelvormige ‘dozen’ op korte afstand van elkaar geplaatst (links) en verbonden met een wisselspanning bron. De ionen worden in

het centrum geïnjecteerd en volgen een cirkelbaan in het magnetische veld (rechts).

28

Voor de versnelling van deeltjes naar veel hogere energie ( ) is de omlooptijd niet meer onafhankelijk van de snelheid. De kromtestraal neemt evenredig toe met de

impuls, maar de omlooptijd wordt langer en de omloopfrequentie dus lager!

v c

Het synchrocyclotron

CERN’s 600 MeV synchrocyclotrongebouwd in 1957.

29

De consequentie van deze techniek is wel dat na injectie alle deeltjes versneld worden tot een

maximale energie bepaald door , etc. Injectie van nieuwe deeltjes heeft alleen dan zin wanneer de

versnelde deeltjes geëxtraheerd zijn! Het synchrocyclotron produceert dus niet doorlopend versnelde deeltjes, maar groepen van deeltjes met de herhalingfrequentie van de modulatiecyclus.

B

Door de frequentie van de hoogspanningsbron te moduleren, blijven de versnelde deeltjes synchroon met de versnellingsbron bij contant magneetveld. Modulatie wordt

verkregen door variatie van een capaciteit of een zelfinductie in het hoogfrequente elektronische circuit.

30

Synchrotrons en botsingmachinesOm hogere energieën te bereiken wordt een ring van magneten opgesteld. Vervolgens worden zowel het magnetische veld als de versnellingsfrequentie synchroon gemoduleerd. Hierbij treedt een zwakke focussering op. Sterke focussering werd begin jaren ‘50 ontwikkeld doorde Griek Christofilos en door Courant, Livingston en Snyder.

Tegenwoordig worden focuserende en defocuserende quadrupool magneten gebruikt.

Hoofdstukken uit de Hoge Energie Fysica 31

Het principe van sterke focussering is toegepast in het CERN-protonsynchrotron (PS,Omtrek , energie ) dat in 1959 in bedrijf werd genomen en het Alternating Gradient

Synchrotron (AGS, omtrek , energie ) van Brookhaven (BNL), dat in 1960 gereed kwam. Economische overwegingen beperken de energie van synchrotrons met ‘conventionele’,

warme magneten, tot in het geval van protonen ( voordat verzadiging in de ijzeren magneetpolen optreedt).

Voorbeelden zijn het protonsynchrotron bij het Fermi National Accelerator Laboratory(FNAL, Chicago, omtrek , maximale protonenergie ),

in bedrijf sinds 1972, en het Super Proton Synchrotron (SPS, omtrek ,maximale protonenergie eveneens ), in bedrijf bij het CERN sinds 1976.

800m 28GeV33GeV800m

max 1.8B Tesla450GeV

450GeV6.4 km

6.4 km

450GeV

32

2 2

3

23q aPc

22 2

'1 1 1' '

q qcentripetaal

q q q q

d m v d m vF dp dv vam m dt m dt m dt dt

Wanneer geladen deeltjes een cirkelbaan met straal doorlopen, treedt energieverlies op ten gevolge van de centripetale versnelling die zij ondervinden in het magnetische veld; er worden fotonen geëmitteerd (vergelijk met de elektronen die in een radioantenne heen en weer bewegen en zo elektromagnetische straling uitzenden). Bij niet-relativistische snelheden wordt gesproken van cyclotron straling terwijl synchrotron straling het relativistische regime kenmerkt. De hoeveelheid afgestraald vermogen kan berekend worden met behulp van de (niet relativistische) formule van Larmor voor elektrische dipool straling:

Hierin is de elektrische lading en de centripetale versnelling van het geladen deeltje, en de lichtsnelheid. De relativistische uitdrukking volgt door het afgestraalde vermogen te beschouwen in het rustsysteem van het deeltje en vervolgens een Lorentz transformatie toe te passen. De versnelling volgt dan eenvoudig uit de centripetale versnelling ( is de rustmassa van het versnelde deeltje; Lorentztranformatie: t’, v’ t, v):

q a c

2v qm

33

2 4 4

3 2

23q vPc

2 4

2

2 49 2 2 19 8

2

6

23

2 8.987 10 1.6 10 196000 3 10

3 4300

3.7 10

e cP

Nm C C m s

m

Watt

Substitutie geeft:

Per omloop raakt een enkel elektron met een energie van in een synchrotron met een straal (de voormalige LEP ring bij CERN in Genève) het volgende vermogen kwijt:

100GeV4300 m

Aangezien bijzonder groot is ( ) en , kunnen we in de teller vervangen door . Dit vermogensverlies lijkt in eerste instantie klein maar treedt op voor iederelektron! Het energieverlies ten gevolge van synchrotron straling per omloop is dan:

c196000 1 v

34

2 3 4 23 4

3

2 4 433

q v qE Pv c

In de relativistische limiet met en levert dit de volgende uitdrukking:

1 2 2qE mc m c

2 4

4 4

43 q

q EEm c

41310pelektron

proton e

mEE m

Het energieverlies is proportioneel met en dus voor elektronen veel groter dan voor protonen (bij dezelfde energie en straal van de baan):

4qm

Om stabiele bundels te kunnen garanderen, moet dit energieverlies gecompenseerd worden met behulp van hoogfrequente elektromagnetische velden. In een circulaire machine is een hoogenergetische protonenbundel dus eenvoudiger te realiseren dan

een hoogenergetische elektronenbundel!

35

Beknopt overzicht deeltjesversnellers in het lab…

36

…en kosmische versnellers!