1

Inhoud

Deel 1: Motor- en lastkarakteristiek en het bedrijfspunt

Lineaire en roterende kracht, snelheid en vermogen 2

12. Aandrijvingen 5

Aanvulling lastkarakteristieken 19

Bepalen van het bedrijfspunt 20

Deel 2: Werking elektromotor en generator

De kracht op een stroomdraad in een magnetisch veld 23

De spanning over een draad die beweegt in een magnetisch veld 25

De vorm van de bronspanning in een draaiende winding 26

4. De constructie van de gelijkstroom-machine 29

Deel 3: Motorkarakteristiek van gelijkstroom elektromotoren

Typen gelijkstroommotoren 35

Basisformules voor elektromotoren 47

PMDC motor 49

Keuze van het motorvermogen 55

Shuntmotor 58

Seriemotor 59

Oefeningen

Opdrachten 61

Proeftentamen 69

Antwoorden 71

Dictaat Elektrische Aandrijvingen, versie augustus 2007.

Samengesteld door Dr. ir. D.A.G. Kurstjens op basis van een eerder dictaat van Ir. G. Drenth.

De oorspronkelijke bron van hoofdstukken die uit dat dictaat zijn overgenomen kon niet

worden achterhaald.

2

DEEL 1: Motor- en lastkarakteristiek en het bedrijfspunt

Lineaire en roterende kracht, snelheid en vermogen

Lineaire en roterende kracht bij een fiets

Vaak is er bij aandrijvingen een omzetting

van lineaire snelheid v en kracht F naar

roterende snelheid (hoeksnelheid ω of

toerental n) en een (draai)moment M . Bij

een fiets gebeurt deze omzetting zelfs

meerdere malen (zie tekening).

Grootheden en eenheden

De grootheden snelheid, hoeksnelheid,

kracht en draaimoment spelen een

sleutelrol bij het rekenen aan allerlei

soorten aandrijvingen. In de tabel

hiernaast staan hun symbolen en

eenheden. Voor een koppel gebruiken

we het symbool T, van het Engelse

“Torque”. Evenzo komt het symbool

F van het Engelse “Force”. De

eenheid van toerental (omwentelingen per minuut, omw/min) is het engelse “rotations per

minute”. Dit is geen handige eenheid om mee te rekenen, zodat we meestal omrekenen1 naar

hoeksnelheden: nzodatn ⋅=⋅=302

60 πω

πω .

In de tabel staan ook de grootheden arbeid en vermogen. Daar komen we later op terug.

1 Zie je de logica van de omrekening? In één minuut zitten 60 seconden en in één omwenteling zitten 2π

(ongeveer 6,28) radialen (zie ook blz. 4)

Grootheid Symbool Eenheid

kracht F N

snelheid v m/s

draaimoment of koppel M of T N·m

hoeksnelheid ω rad/s

toerental n rpm

arbeid W N·m

vermogen P W

3

Kracht en koppel

De tekening hiernaast laat het verband

tussen kracht en koppel zien. Een

koppel is hetzelfde als een moment,

maar heeft meestal betrekking op een

draaiende beweging. Let erop dat

afstand l niet de afstand is tussen de

aangrijpingspunten van de tegen-

gesteld werkende krachten, maar

tussen de (gestippeld weergegeven) werklijnen waarlangs de

krachten werken! De verticale kracht F op het fietspedaal

moet daarom niet met r maar met l worden vermenigvuldigd

om het moment te berekenen.

Men kan ook de kracht F ontbinden in een tangentiële

component Ft en een radiale component Fr. Het moment van

de trapas kan dus op twee manieren worden berekend:

αcos⋅=⋅= rlmetlFM , of:

αcos⋅=⋅= FFmetrFM tt .

Bij het fietsen variëren zowel kracht F als hoek

α, wat een variabel koppel geeft. Bij de meeste

aandrijvingen rekenen we met een constant

koppel, onafhankelijk van de stand van de as.

Bijvoorbeeld: een blok aan een kabel dat om een

trommel is gewikkeld oefent op de omtrek van

de trommel een constante kracht uit, ongeacht

hoe hoog het blok wordt gehesen.

Snelheid en hoeksnelheid

Voor het omzetten van een (omtrek)snelheid v (m/s) in een hoeksnelheid ω (rad/s) gebruiken

we de formule rv ⋅= ω . Hierbij is r (m) de straal (ofwel radius) van de cirkel waarlangs v

Ft F

Fr

l

r α

4

wordt gemeten. De afstand r is de lengte van één

“radiaal”. De dikke lijnen in de figuur hiernaast zijn

dus even lang.

Als je een stukje ketting afknipt van 1 radiaal lang

(bijvoorbeeld 11 cm, de straal van het grote tandwiel

op de trapas) kun je dit stuk 6.28 maal achter elkaar

kop-staart over de omtrek van het tandwiel leggen om

één keer rond te komen. Die 6.28 maal is 2π. De

omtrek van het tandwiel is 2 π r radialen, ofwel 69.1

cm. Een hoeksnelheid ω = 6.28 rad/s staat dus gelijk aan 1 omwenteling per seconde en een

kettingsnelheid v = 0.691 m/s. Het invullen van de formule rv ⋅= ω geeft dezelfde uitkomst.

Voor de geïnteresseerde diepgraver: Dezelfde verhouding als tussen hoeksnelheid ω en

snelheid v bestaat ook tussen hoek φ (rad) en verplaatsing s (m) en tussen hoekversnelling α

(rad/s2) en versnelling a (m/s

2): rs ⋅= ϕ , rv ⋅= ω , ra ⋅= α . Kijk eens naar de eenheden in

rv ⋅= ω . Als je voor v, ω en r de eenheden invult zul je zien dat r de eenheid m/rad heeft.

Ofwel: r geeft aan hoe lang de radiaal (ofwel straal) van de cirkel is.

Koppel, arbeid en vermogen

Als een kracht F een voorwerp s meter verplaatst verricht die kracht een arbeid sFW ⋅= . Als

je een vol pak melk van 1 ruim 1 kg 1.5 meter optilt heb je dus een arbeid van 15 J (Joule)

verricht. (Immers zwaartekracht gmF ⋅= met valversnelling g = 9.81 m/s2). Als je dit in 1

seconde doet heb je een vermogen P geleverd van 15 W (=J/s). Je kunt het vermogen ook

rechtstreeks berekenen uit de kracht (10N) en de snelheid (1.5 m/s):

vFP ⋅= .

Het vermogen van een draaiende as berekenen we met een vergelijkbare formule:

ω⋅= TP .

Dus vermogen is altijd kracht maal snelheid, zowel bij rotatie als lineaire beweging. Dat deze

twee formules hetzelfde zijn kun je checken door T te vervangen door F·r en ω te vervangen

door v/r.

Slotopmerkingen

In alle formules zijn F en v altijd tangentieel, dus loodrecht op de straal!

Let op het gebruik van de juiste eenheid voor snelheid (m/s) en hoeksnelheid (rad/s)!

1 radiaal

≈ 57.3°

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

MathCad model “dynamisch gedrag PMDC motor.mcd” (te downloaden van BB) berekent

het dynamische gedrag en de ligging van het bedrijfspunt afhankelijk van lastkarakteristiek en

motorparameters. Daar staat ook aanvullende uitleg over het traagheidsmoment. Het

dynamische gedrag van aandrijvingen met elektromotoren komt pas aan bod bij de vakken

“Dynamische systemen” en “Regeltechniek” in het tweede jaar, en wordt bij “Elektrische

aandrijvingen” in Thema 3 niet verder behandeld.

Aanvulling lastkarakteristieken

Bovenaan blz. 9 (figuur 12.6) staan voorbeelden van lastkarakteristieken. Deze zijn globaal in

te delen in 4 groepen, op basis van het proces waardoor de belasting ontstaat:

Verloop koppel met

toerental

Voorbeeld van proces Komt voor bij

Constant - Massa verticaal verplaatsen

- Droge wrijving (geen smering)

- rolweerstand

- Transportband, lift, hijskraan,

hellingopwaarts rijden

- Draai-, boor- en freesmachines

- wielen, kogellagers

Lineair toenemend Viskeuze wrijving (met smering) Glijlagers, zuigers

Kwadratisch

toenemend

Beweging met lucht- of

vloeistof-weerstand (turbulente

stroming)

Ventilator, centrifugaalpomp,

schip, roerwerk, auto

Omgekeerd

evenredig

(afnemend)

- Geregelde aandrijvingen

- Overgang van processen

- Opwikkelmachines

- Aanloop turbo (glijlager van

droge naar viskeuze wrijving)

20

Vaak is een proces een combinatie van

bovenstaande vormen. Banden en kogellagers

hebben een wrijvingskoppel dat licht toeneemt

met het toerental, maar dat bij stilstand groter

is dan nul (stippellijn in grafiek hiernaast).

Om vanuit stilstand iets in beweging te krijgen

moet vaker een grotere kracht worden

geleverd (lostrek-koppel, aanloopkoppel).

Verder worden verschillende

lastkarakteristieken wel eens opgeteld. De stippellijn in de grafiek hiernaast geeft de

lastkarakteristiek van een lege roltrap weer. Het gaat om een combinatie van droge en

viskeuze wrijving (scharnierende trapelementen, glijdende leuning). Als er mensen op staan

moet er een extra koppel geleverd worden dat niet afhankelijk is van het toerental (dunne

doorgetrokken lijn). Net als krachten kun je ook koppels bij elkaar optellen. De dikke lijn

geeft de som van deze lastkarakteristieken weer.

Bij het schatten van de vorm van de lastkarakteristiek wordt een met de snelheid toenemend

benodigd vermogen wel eens verward met een toename van het benodigd aandrijfkoppel. Ook

bij een constant koppel neemt het benodigde vermogen toe met de snelheid. Immers P = T·ω.

Bepalen van het bedrijfspunt

Als de motor- en lastkarakteristiek in formulevorm bekend zijn (koppel als functie van

hoeksnelheid) kan het bedrijfspunt wiskundig worden bepaald. In het bedrijfspunt is het door

de motor geleverde koppel gelijk aan het door de last gevraagde koppel, dus Tm = Tl. Door de

vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen kun je berekenen bij welke hoeksnelheid ωm dit

evenwicht optreedt.

Voorbeeld 1: PMDC motor met directe aandrijving en lineair toenemend lastkoppel

De motorkarakteristiek is: mmT ω⋅−= 05,015 . De lastkarakteristiek is: llT ω⋅+= 02,02 .

Er is directe aandrijving, dus lm ωω = . In het bedrijfspunt is lm TT = , dus geldt ook:

mm ωω ⋅+=⋅− 02,0205,015 .

ω

T

lege roltrap

mensen

roltrap + mensen

21

Dit is op te lossen door termen met ωm naar

links te brengen en andere naar rechts:

1307,0 −=⋅− mω .

Daarna links en rechts delen door -0,07 geeft:

186=mω rad/s. Dit is dus het bedrijfspunt.

Deze waarde invullen in de vergelijking voor

Tm geeft het koppel in het bedrijfspunt:

18605,015 ⋅−=mT = 5,71 Nm.

Voorbeeld 2: PMDC motor met vertragingsbak en kwadratisch toenemend lastkoppel

Dezelfde motor met mmT ω⋅−= 05,015 gebruiken we nu met een andere lastcurve, waarbij er

een kwadratische term bij komt: 2

0001,002,02 lllT ωω ⋅+⋅+= (groene stip-streep lijn).

We gebruiken hier een vertragingsbak met

een reductiefactor 4, zodat lm ωω ⋅= 4 en

4

lm

TT = . Hierin is Tm het koppel dat de

motor ervaart door de last: het

getransformeerde lastkoppel Tl’ . Als we dit

invullen in de vergelijking voor Tl krijgen

we:

2

40001,0

402,02'4

⋅+⋅+=⋅ mm

lTωω

,

zodat 2

0000015625,000125,05,0' mmlT ωω ⋅+⋅+=

Controleer zelf dat 4

' ll

TT = door voor ωm 200 rad/s in te vullen, dus voor ωl 50 rad/s. Het

controleren van de getransformeerde lastcurve (blauwe streepjeslijn) is eenvoudig te doen met

MathCad model “dynamisch gedrag PMDC motor.mcd” (te downloaden van BB).

In het bedrijfspunt is Tm = Tl’ , zodat 2

0000015625,000125,05,005,015 mmm ωωω ⋅+⋅+=⋅− .

Door hierin gelijksoortige termen bij elkaar te voegen (links en rechts -0,5 en -0,00125·ωm)

kunnen we dit vereenvoudigen tot 2

0000015625,005125,05,14 mm ωω ⋅=⋅− . Omdat hierin 3

soorten termen staan (met ωm2, met ωm en zonder ωm), is dit een vierkantsvergelijking die we

kunnen oplossen met de ABC formule (a

acbbx

2

42 −±−= ).

0 50 100 150 200 250 3000

2.5

5

7.5

10

12.5

15

Tm ωm( )

Tl ωm( )

ωm

0 50 100 150 200 250 3000

2.5

5

7.5

10

12.5

15

Tm ωm( )

Tl ωm( )

Tlast ωlast( )

ωm ωm, ωlast,

22

Om te weten wat a, b en c is moet de vergelijking wel eerst worden geschreven in de vorm

02 =++ cbxax , dus: 05,1405125,00000015625,02

=+⋅−⋅− mm ωω .

Uitwerken geeft: 0000015625,02

5,140000015625,04)05125,0(05125,02

−⋅

⋅−⋅−−±=mω .

Omdat het getal dat onder het wortelteken staat positief is, hebben we twee oplossingen: ωm =

-33081 rad/s en ωm = 280,5 rad/s. Aangezien we het hier over positieve toerentallen hebben is

de goede oplossing ωm = 280,5 rad/s.

Als we deze ωm invullen in de vergelijking voor de motorkarakteristiek krijgen we het koppel

in het bedrijfspunt: 5,28005,015 ⋅−=mT = 0,975 Nm. Het geleverde mechanische vermogen

is 5,280975,0 ⋅=⋅= mmm TP ω =273 Watt.

Ga zelf na dat met directe aandrijving het bedrijfspunt bij 152,5 rad/s ligt, en dat door een

koppel van 7,375 Nm een vermogen van 1125 W wordt geleverd.

Voorbeeld 3: Seriemotor met vertragingsbak en een constant lastkoppel

Als een hijskraan met een seriemotor met motorkarakteristiek ( )2

01,01

100

m

mTω⋅+

= [Nm] een

last optilt ontstaat op de kabeltrommel een toerental onafhankelijk lastkoppel van 5000 Nm.

Een vertragingsbak (reductiefactor 100) verlaagt dit koppel tot 50 Nm. De getransformeerde

lastkarakteristiek is dus 50=lT [Nm].

In het bedrijfspunt is lm TT = , dus

( )50

01,01

1002

=⋅+ mω

.

Links en rechts delen door 50 geeft

( )1

01,01

22

=⋅+ mω

, dus ( ) 201,012

=⋅+ mω

Haakjes wegwerken geeft

20001,002,012

=⋅+⋅+ mm ωω , zodat

0102,00001,02

=−⋅+⋅ mm ωω . Oplossen van deze vierkantsvergelijking met de ABC formule

geeft twee oplossingen: ωm = 41.4 rad/s en ωm = -241 rad/s. Aangezien we het hier over

positieve toerentallen hebben is de goede oplossing ωm = 41.4 rad/s. Hierbij is Tm = 50 Nm.

0 50 100 150 200 250 3000

25

50

75

100

Tm ωm( )

Tl ωm( )

ωm

23

DEEL 2: Werking van elektromotor en generator

De kracht op een stroomdraad in een magnetisch veld

24

De cirkel om de rechte stroomdraad in het plaatje

hiernaast laat de richting van het magnetisch veld zien

als er stroom loopt in de aangegeven richting. In de

richting van de stroom draait het veld rechtsom, zoals

je een kurketrekker in een kurk draait.

Het plaatje daaronder laat zien wat er met de

veldrichting gebeurt als je van die stroomdraad een lus

maakt. Als je meerdere lussen achter elkaar hebt, loopt

ontstaat er in de windingen een magnetisch veld in de

aangegeven richting. Check maar eens of het klopt.

In het bovenste plaatje kun je de richting van de

lorentzkracht bepalen met de linkerhandregel

die in de onderste foto staat. Houd je platte

hand zó dat het veld loodrecht je handpalm

in gaat en de stroom in de richting van je

middelvinger loopt. De uitgestrekte duim

geeft dan de richting van de kracht aan.

Probeer met deze regel eens of de

aangegeven richting van de kracht in de

tekening op de vorige bladzijde klopt.

Op http://www.walter-fendt.de/ph14nl/

(onder het kopje “electrodynamica” item

“gelijkstroommotor”) kun je in een animatie

zien hoe de kracht en stroom van richting

veranderen tijdens het draaien van een

elektromotor.

I

F

Ф

25

De spanning over een draad die beweegt in een magnetisch veld

Je kunt het ook zo zien: Omdat er voor het maken van de inductiespanning energie wordt

onttrokken aan de beweging, is de kracht tegengesteld aan de bewegingsrichting.

26

Als je de richting van het kracht en het magnetisch veld weet is er nog één onbekende over:

de richting van de stroom. Met de linkerhandregel op blz. 24 kun je bepalen in welke richting

de stroom wijst. In een generator loopt de stroom van de – naar de + pool. Ga dit maar eens na

in de figuur op blz. 25.

De vorm van de bronspanning in een draaiende winding

27

28

29

30

31

32

33

34

35

Deel 3: Motorkarakteristiek van gelijkstroom elektromotoren

Typen gelijkstroommotoren

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

n (1/min) I (A) T (Nm)

500 20 16

1000 10 4

2000 5 1

46

47

Basisformules voor elektromotoren

Dit hoofdstuk vat de belangrijkste formules uit het voorgaande hoofdstuk samen. Uit deze

basisformules is de zowel de werking van de elektromotor en de motorkarakteristiek af te

leiden. We beperken ons hier eerst tot de PMDC motor (“Permanent Magnet Direct Current”),

ofwel een gelijkstroommotor met permanente magneet en dus een constante veldsterkte.

Drie basisvergelijkingen

De onderstaande drie vergelijkingen beschrijven het gedrag van een PMDC motor.

aaindklem RIUU ⋅+= De spanning die de stroomsterkte Ia door de ankerspoel bepaalt

( aaeff RIU ⋅= ) is kleiner dan de aansluitspanning Uklem omdat het

draaien van de ankerspoel in het magnetisch veld een tegengesteld

gerichte inductiespanning Uind opwekt.

ncU ind ⋅Φ⋅= 1 De grootte van de tegeninductiespanning Uind (ook wel symbool Et) is

evenredig met de hoeveelheid door de spoel omvatte magnetische flux

Ф (eenheid Weber =V·s) en het toerental (n). Ф is afhankelijk van de

veldsterkte (fluxdichtheid B, eenheid Tesla=Wb/m2) en het omsloten

oppervlak van de spoel A: AB ⋅=Φ (inductiewet van Faraday).2

ai IcT ⋅Φ⋅= 2 Het inwendige koppel Ti op de motoras (de aandrijvende kracht van

de stroomdraden, zonder wrijving) is evenredig met de hoeveelheid

omvatte magnetische flux Ф en de stroomsterkte door het anker Ia

2 Voor de diepgraver: De formule voor de bronspanning e van één winding (blz. 25,

te

∆

∆Φ−= ) komt overeen

met ncU ind ⋅Φ⋅= 1, omdat een grotere n correspondeert met een kleinere ∆t. De snelheid van fluxverandering

dt

dΦ− kunnen we dus schrijven als

dt

dAB− . Bij een hoeksnelheid ω (eenheid rad/s) verandert het oppervlak dat

magnetische flux “opvangt” sinus-vormig, zodat tABdt

tdABe ωω

ωcos

)(sin⋅⋅⋅−=⋅⋅−= , waarbij ω·t de hoek van

de winding op tijdstip t is. De effectieve waarde van cos ωt (dus het oppervlak onder de cosinus-grafiek van één

periode) is 221 . Daardoor geeft één winding een inductiespanning 2

21⋅⋅⋅= ωABUind

. Voor een machine

met meerdere poolparen (p) en meerdere windingen (N) moeten we deze formule vermenigvuldigen met p·N.

Omdat AB ⋅=Φ en n60

2πω = (omrekenen van rad/s naar omw/min), volgt: nNpU ind ⋅Φ⋅⋅⋅⋅=

60

22

2

1 π. Dit

kunnen we schrijven als ncU ind ⋅Φ⋅= 1 met dimensieloze constante

60

22

2

11

π⋅⋅⋅= Npc .

48

(wet van Lorentz). Als er geen koppel nodig is om de motor aan te

drijven (onbelast, zonder wrijving) loopt er dus ook geen stroom!3

Verband tussen de drie basisvergelijkingen en het motorgedrag

Hiernaast staat een oorzaak-

gevolg schema met daarin de

hierboven gebruikte symbolen

en drie basisformules. Dit is

als volgt te lezen:

Als een stilstaande motor

wordt aangesloten op een

spanningsbron Uklem = 12V

gaat er een stroom Ia door de ankerspoel lopen. Omdat n = 0 is, wordt er nog geen

tegeninductiespanning Uind opgewekt. Volgens de eerst basisvergelijking is Ia = Uklem/Ra (bijv.

12A bij Ra = 1Ω)4. Deze stroom wekt een koppel Ti op dat de spoel doet versnellen (ω neemt

toe). Dit toenemende toerental zorgt voor een toenemende tegeninductiespanning Uind,

waardoor Ueff en Ia afnemen. Dit betekent weer dat het aandrijvend koppel Ti kleiner wordt,

zodat de snelheid steeds minder snel toeneemt. Dit gaat door tot er een evenwichtssnelheid is

bereikt waarbij Ia precies groot genoeg is om het lastkoppel Tlast (inclusief wrijving van de

motor) te compenseren.

Als plotseling het lastkoppel wordt verhoogd, daalt het toerental, zodat Uind afneemt en er

meer stroom door de spoel gaat lopen. Er zal zich een nieuw evenwicht instellen. De

motorkarakteristiek geeft dus aan bij welke combinaties van koppel en hoeksnelheid er een

evenwicht ontstaat.

3 Voor de diepgraver: De formule

ai IcT ⋅Φ⋅= 2 is af te leiden uit lIBF ⋅⋅= (blz. 23). Als l de lengte van de

spoeldraad parallel aan de rotoras is en de rotor een diameter d heeft en horizontaal staat, is de binnen het

windingoppervlak A omvatte magnetische flux: dlBAB ⋅⋅=⋅=Φ . Op blz. 33 staat dat het inwendige koppel

dFTi ⋅= is. Door hierin de vergelijking lIBF ⋅⋅= te schrijven krijgen we dlIBTi ⋅⋅⋅= . Door vervolgens

dlB

⋅

Φ= te schrijven krijgen we dlI

dlTi ⋅⋅⋅

⋅

Φ= . Door boven en onder de deelstreep te delen door l·d krijgen

we het koppel op één winding: ITi ⋅Φ= . De factor c2 verrekent het effect van meerdere windingen en poolparen

en is dimensieloos. 4 We houden hier nog geen rekening met de zelfinductie van de ankerspoel, die een veranderende stroomsterkte

tegenwerkt. Dit is alleen van belang als we het dynamische gedrag (bij aanschakelen of verandering van Tlast)

gaan bestuderen. Bij evenwichtssituaties wordt de stroomsterkte alleen bepaald door de weerstand Ra.

Uklem Ia Ti

Uind

ωUeff Teff

Φ

-+

+

Tlast

+

c1

c2

49

PMDC motor

Koppelformule en motorkarakteristiek

In motorspecificatie-sheets geven

fabrikanten in plaats van c1 en c2 waarden

voor parameters km en ke. Deze zijn af te

leiden uit metingen van het maximum

toerental en uit de stroomsterkte en het

koppel bij andere punten op de motor-

karakteristiek. De formule voor de

motorkarakteristiek is dan5:

ω⋅⋅

−⋅=a

emklem

a

m

R

kkU

R

kT

Dit is een rechte lijn van de vorm T = a - b·ω (zie grafiek). Het maximale koppel (eerste term

in de vergelijking) treedt op bij een stilstaande motor en is evenredig met de klemspanning.

Ook het toerental van een onbelaste motor (ωmax) is evenredig met de klemspanning. Door de

spanning te verlagen schuift de lijn dus parallel naar beneden.

De tweede term van de vergelijking geeft aan hoe snel het koppel daalt met toenemend

toerental (of andersom). Als bij een wisselende belasting toch een constant toerental is

gewenst, kan de klemspanning worden geregeld met een eenvoudige regelaar. Dit is een

gunstige eigenschap en een belangrijke reden voor het gebruik van PDMC motoren.

Op blz. 39-42 staan dezelfde motorkarakteristieken, maar daarbij zijn de assen verwisseld:

koppel staat horizontaal en toerental verticaal. Het lijkt ook alsof het toerental veel minder

sterk daalt met toenemend koppel dan in de bovenstaande grafiek. Dat komt omdat de

grafieken op blz. 39-42 alleen het meest rechtse deel van de bovenstaande grafiek weergeven.

In verband met de levensduur (warmteontwikkeling in de motor) en efficiëntie ligt het

bedrijfspunt bij voorkeur dicht bij het maximum toerental.

5 Deze formule is af te leiden door het invullen van de basisvergelijkingen voor Uind en Ti op blz. 47 in

aaindklem RIUU ⋅+= . Dit geeft Φ⋅

⋅+⋅Φ⋅=

2

1c

RTncU ai

klem. Daarna brengen we Ti naar links en schrijven deze

apart: nR

cc

R

cUT

aa

klemi ⋅Φ⋅⋅

−Φ⋅

⋅=2

212 . Dit heeft de vorm nbaTi ⋅−= , net als de formule met km en ke.

ω

T

a

klemm

R

UkT

⋅=max

e

klem

k

U=maxω

IkT mi ⋅=

50

In specificaties zijn vaak Tmax en ωmax gegeven, of ze kunnen uit een proef worden afgeleid.

Op basis hiervan is de vergelijking voor de motorkarakteristiek gemakkelijk te herleiden. Stel

dat in de grafiek op blz. 49 Tmax = 6 Nm en ωmax = 100 rad/s, dan is ω⋅−=100

66T , ofwel

ω⋅−= 06,06T . Dit is eenvoudig te controleren door voor ω 100, 0 en 50 in te vullen.

Stroomsterkte, koppel, km en ke

Een basisrelatie voor elektriciteit is het verband tussen stroomsterkte en spanning: RIU ⋅= .

Bij de PMDC motor bepaalt de ankerweerstand Ra hoeveel stroom er door de windingen

loopt. Bij stilstaande motor (ω = 0) wordt er geen tegeninductiespanning opgewekt, dus

bepaalt Uklem de stroomsterkte. De stroomsterkte is dan maximaal: a

klem

R

UI =max . Bij

toenemend toerental wordt er steeds meer tegeninductie-spanning opgewekt, zodat de

stroomsterkte door de spoel afneemt (zie 1e basisformule op blz. 47). Omdat het opgewekte

koppel recht evenredig is met de stroom, wordt er daardoor ook minder koppel geleverd. Dit

blijkt als we de 3e basisformule van blz. 47 schrijven als ami IkT ⋅= , waarbij Φ⋅= 2ckm .

Voor de hele curve geldt dus dat het koppel recht evenredig is met de stroomsterkte. Daarom

wordt km de koppelconstante genoemd (Engels: torque constant, symbool kt). De waarden

voor km liggen meestal tussen ca. 0.03 tot 0.5 Nm/A.

Als een ideale6 motor zonder belasting wordt aangesloten op de klemspanning gaat hij draaien

met een maximale hoeksnelheid ωmax. Deze snelheid is constant, dus er evenwicht tussen het

opgewekte en het gevraagde koppel. Omdat een ideale motor geen wrijving heeft moet het

inwendig koppel Ti bij ωmax dus nul zijn (zie ook grafiek blz. 49). Dat betekent dat er ook

geen stroom loopt. Volgens de 1e formule van blz. 47 is de tegeninductiespanning dan precies

gelijk aan de klemspanning. In werkelijkheid hebben motoren wel wrijving, waardoor er een

kleine stroom (nullaststroom) loopt. Daarover later meer.

De machineconstante of tegeninductieconstante ke bepaalt hoeveel tegeninductiespanning er

wordt opgewerkt. Hij hoort dus bij de 2e basisformule van blz. 47: Φ⋅=

⋅Φ⋅= 1

1

2

60c

ncke

πω.

6 Een ideale motor heeft geen mechanische verliezen (ventilatie, wrijving van lagers en koolborstels), geen

verliezen door het steeds andersom magnetiseren van motoronderdelen en geen wervelstromen.

51

De eenheid7 van ke is V·s.

Bij een ideale motor zijn km en ke gelijk als de hoeksnelheid wordt

uitgedrukt in rad/s.8

Mechanisch vermogen

Het mechanische vermogen ω⋅= TP . Uit de motorkarakteristiek-grafiek blijkt dat het

vermogen nul is bij stilstaande motor (ω=0) en bij het maximum onbelaste toerental (T = 0).

Invullen van de formule voor T in ω⋅= TP geeft 2ωω ⋅

⋅−⋅⋅=

a

em

klem

a

m

R

kkU

R

kP . Dit is een

parabool van de vorm 2ωω baT −⋅= , dus met een maximum (vanwege het minteken voor de

kwadratische term, zie grafiek). Een parabool is symmetrisch rondom zijn maximum. Het

maximum vermogen ligt dus midden tussen de snijpunten met de horizontale as. Dit is dus bij

de helft van de maximum hoeksnelheid (2

maxω), waarbij

a

klem

R

UP

⋅=

4

2

max . Bij dit toerental is ook

het koppel de helft van het maximum koppel, zodat 22

maxmaxmax

ω⋅=

TP .

Elektrisch vermogen

Het opgenomen elek-

trische vermogen is

aklemel IUP ⋅= . Bij

stilstaande motor is de

stroom maximaal

(a

klem

R

UI =max ), zodat

ook het opgenomen

7 Vaak wordt ke uitgedrukt als [V/rpm], soms ook als [V] bij een bepaald toerental. De eenheid [V/rpm] is te

herleiden tot ][ sV ⋅ :

602

602

minππ

sV

s

V

omw

V ⋅== . Als ke in [V/rpm] is gegeven moet dus met

60

2π worden

vermenigvuldigd om ][ sV ⋅ te krijgen. In plaats van ω (rad/s) wordt ook wel n gebruikt (omw/min). Let dus

goed op de eenheden waarin de parameters gegeven zijn!

8 De uitwisselbaarheid van km en ke blijkt door de hun eenheden te vergelijken: ][

][

][sV

A

mN⋅=

⋅ . Links en

rechts vermenigvuldigen met [A] en delen door [s] geeft ][ AVs

mN⋅=

⋅. Nu staat links en rechts de eenheid

van vermogen (P in Watt, links mechanisch vermogen, rechts elektrisch vermogen).

ω

Pmax Tmax ηmax

ωmax

52

elektrische vermogen maximaal is: a

klemel

R

UP

2

0, ==ω . Dit is hetzelfde is als aael RIP ⋅==

2

0,ω .

Als het geleverde mechanische vermogen maximaal is (bij 2

maxω), is het koppel

2

maxT, zodat

ook de stroomsterkte en het opgenomen elektrische vermogen de helft is: a

klemPel

R

UP

⋅=

2

2

, max. Bij

ω = ωmax is de stroom bij een ideale motor nul, dus wordt er ook geen elektrisch vermogen

opgenomen. Bij een PMDC motor hebben de grafieken van het koppel, de stroom en het

opgenomen elektrisch vermogen dus hetzelfde rechtlijnige verloop!

Nullaststroom

Een onbelast draaiende motor zal vaak toch nog een kleine stroom vragen, de nullaststroom

Io. Deze stroomsterkte is precies sterk genoeg om in het anker een aandrijvend koppel op te

wekken dat even groot is als het wrijvingskoppel van de motor Twrij (door lagers, koolborstels

en ventilator). Er loopt ook nog een kleine stroom als gevolg van wervelstroomverliezen,

lekstroom en hysteresis in magnetisatie van gietijzer, maar die rekenen we nu even niet mee.

Bij de onbelast draaiende motor geldt dus omwriji IkTT ⋅== , waarbij Ti het inwendig

opgewekt koppel is. Bij motoren vanaf ca. 2 kW is het wrijvingskoppel (in verhouding)

verwaarloosbaar, maar voor kleinere motoren speelt het wel degelijk een rol.

Als we rekening houden met de wrijving van de motor moeten we onderscheid maken tussen

het geleverde koppel aan de last Tm en het inwendig opgewekte koppel Ti. De tot nu toe

beschreven verbanden tussen koppel, stroom, hoeksnelheid, elektrisch en mechanisch

vermogen gelden voor een ideale motor zonder wrijving, dus met Ti. Om het netto aan de last

geleverde koppel te krijgen moeten we dit koppel dus verminderen met Twrij: wrijim TTT −= .

Meestal (veronderstellen we) dat het wrijvingskoppel toerental-onafhankelijk is. Daardoor zal

de motorkarakteristiek over het hele toerengebied parallel iets naar beneden schuiven. Voor

de formules waarmee we het koppel berekenen betekent dat het volgende:

)( maxmax, omo

a

klemmm IIkI

R

UkT −⋅=

−⋅=

)( om

a

meo

a

klemmm IIk

R

kkI

R

UkT −⋅=⋅

⋅−

−⋅= ω

53

Deze formules laten zien dat een

deel van de stroom wordt gebruikt

om de wrijving te compenseren.

Als de motorcurve naar beneden

schuift, vinden we ook een

maximale hoeksnelheid ωnul die

kleiner is dan ωmax: Bij

e

aoklemnul

k

RIU ⋅−=ω levert de

motor geen koppel aan de last. De

formule geeft aan dat een deel van de klemspanning (Io·Ra) niet gecompenseerd wordt door de

tegeninductiespanning (om een netto stroom door de spoel in stand te houden). Omdat er bij

evenwicht minder tegeninductiespanning wordt opgewekt komt de motor bij een iets lager

toerental op evenwichtssnelheid.

Meting motorparameters

De wrijving in de motor maakt het wel iets lastiger om de motorparameters te meten. Om ke te

bepalen (en daardoor ook km) zal men de te meten motor aan moeten drijven met een andere

motor, om het wrijvingskoppel te compenseren. Als de spanning op de aandrijfmotor zodanig

is ingesteld dat er geen stroom loopt door de meetmotor (dus Io = 0), is maxωklem

e

Uk = .

Als men de meetmotor niet aandrijft maar onbelast laat draaien, is de maximum hoeksnelheid

ωnul iets lager dan ωmax. Als ke wordt berekend met nul

kleme

Uk

ω= is de waarde dus iets te hoog.

Deze schatting kan worden gecorrigeerd door te vermenigvuldigen met max

1I

Io− , waarbij

a

klem

R

UI =max . De nullaststroom Io kan worden gemeten als de motor onbelast draait. Deze

correctie geldt alleen als de motorkarakteristiek een rechte lijn is.

Als het niet zeker is dat het om een PMDC of shuntmotor gaat (dus met een rechtlijnige

motorkarakteristiek), moeten er nog meerdere punten op de motorkarakteristiek worden

ω

T maxT

omwrij IkT ⋅=

IkT mi ⋅=

max,mT

nulω

maxω

54

gemeten. Hiervoor moet de meetmotor worden aangesloten op een koppelmeter of iets met

een bekende lastcurve. Men kan bijvoorbeeld een draad om de as wikkelen en daarmee

verschillende gewichten hijsen, en de snelheid meten (afstand/tijd). Dit vergt enige

creativiteit. Men kan dan door meerdere gemeten punten op de motorkarakteristiek een lijn

trekken en op basis daarvan de motorparameters berekenen (zie opdracht 12a en 12b). Als er

batterijvoeding wordt gebruikt moet men er rekening mee houden dat de spanning daalt

naarmate de motor meer stroom vraagt, en daarvoor corrigeren.

Men kan ook bij een stilstaande motor het maximum koppel meten, zodat km kan worden

berekend uit a

klemm

R

UkT ⋅=max . Omdat alle stroom in warmte wordt omgezet, moet de

aansluitspanning wel heel laag zijn, om te voorkomen dat de motor beschadigt. Bij een

stilstaande motor die niet is aangesloten op de voeding kan men de weerstand over de

aansluitcontacten (Ra) bepalen met een multimeter.

Uit de nullaststroom Io kan men het wrijvingskoppel berekenen: omwrij IkT ⋅= . Dit

wrijvingskoppel (of de nullaststroom) bepaalt ook de haalbare efficiëntie en het punt op de

motorkarakteristiek waar de efficiëntie maximaal is.

Efficiëntie

De efficiëntie (ofwel het rendement) is de verhouding tussen het geleverde mechanisch

vermogen P (ofwel Pmech) en het opgenomen elektrische vermogen Pel : aklem

m

el IU

T

P

P

⋅

⋅==

ωη .

Het opgenomen elektrisch vermogen dat niet als mechanische energie uit de motor komt,

wordt omgezet in warmte.

Uit het bovenstaande blijkt dat het rendement van een stilstaande motor 0% is (alles omgezet

in warmte!) en bij maximum vermogen 50%. Naarmate het koppel verder afneemt stijgt de

efficiëntie (zie grafiek blz. 51). Echter, omdat daarmee het geleverde mechanische vermogen

ook afneemt, stijgt de relatieve invloed van het eigen wrijvingskoppel Tw van de motor. Er is

dus ergens een optimum.

55

De maximale efficiëntie is groter naarmate de nullaststroom I0 (gemeten bij onbelaste motor)

kleiner is:

2

max 1

⋅−=

klem

ao

U

RIη . Het koppel op dit punt is wopti TTT ⋅= max, (let op, dit is dus

het inwendig opgewekte koppel!). Bij een kleinere I0 ligt het punt van maximale efficiëntie

ook dichter bij ωmax.

De tabel hiernaast geeft een

globale indruk van de orde-

grootte van vermogen en

efficiëntie van motoren voor

diverse toepassingen. Dit zijn

overigens niet allemaal

gelijkstroommotoren. Wel is

duidelijk dat kleinere motoren

minder efficiënt zijn.

Keuze van het motorvermogen

Uit de grafiek op blz. 51 blijkt dat het geleverde vermogen bij maximale efficiëntie veel

kleiner is dan het maximum vermogen. Als men een hoge energie-efficiëntie wil bereiken

moet men voor het leveren van een bepaald vermogen dus een relatief zware motor kiezen.

Omdat een grotere motor duurder en zwaarder is, zal er een afweging moeten worden

gemaakt tussen investeringskosten en energiekosten. De keuze wordt o.a. bepaald door de

gebruiksintensiteit, de gewenste levensduur, de beschikbare ruimte, het toelaatbare gewicht,

en de prijs van de motor in verhouding tot de totaalprijs van het apparaat.

Het bedrijfspunt moet altijd boven het toerental van maximum vermogen liggen: lager heeft

qua vermogen immers geen zin. In verband met de warmteontwikkeling mag de motor maar

korte tijd op maximaal vermogen draaien. Bij continubedrijf moet het koppel hooguit ca. 1/3

van het maximum koppel zijn (grove vuistregel, afhankelijk van warmteafvoer, het type

borstels, etc.). Een hoog koppel veroorzaakt immers een sterke stroom, waardoor de borstels

gaan vonken. Een te grote warmteontwikkeling kan de isolatie beschadigen (typische geur, in

extreem geval roken).

56

Anderzijds is een te hoog toerental ongunstig omdat borstels dan harder slijten en kunnen

gaan springen (stuiteren). Ook worden de centrifugaalkrachten op de rotor en de

lagerbelasting te groot. Daarom en i.v.m. met gewichtsbesparing en ruimtebeperking kan het

soms beter zijn om het bedrijfspunt onder het toerental van maximale efficiëntie te kiezen.

De grafiek hiernaast geeft schematisch drie

gebieden aan waarin het bedrijfspunt kan

liggen. In gebied 1 zijn er geen beperkingen

aan belastingsduur. De overbrenging moet zo

zijn gekozen dat het bedrijfspunt vooral in

dit gebied ligt. Het nominale koppel Tnom is

het maximum koppel dat de motor continu

kan leveren zonder te hogen verliezen,

waardoor de motor te warm wordt. Voor

deze situatie is de motor ontworpen. In gebied 2 mag de motor kort belast worden,

bijvoorbeeld bij opstarten of wisselende belasting. Bij langer gebruik in dit gebied wordt de

motor te warm of neemt de slijtage toe. Gebied 3 is verboden gebied.

Fabrikanten geven in hun

documentatie vaak grenzen (qua

koppel, toerental) aan waarbinnen

de motor gebruikt kan worden,

zoals in de onderste grafiek

hiernaast (let op de omgewisselde

assen). Deze grenzen zijn

bepalend voor de keuze van de

motor, de reductiefactor van de

aandrijving en de spanning. Als

men in de grafiek hiernaast het

bedrijfspunt wil leggen bij 5000

rpm en 3 mNm moet de

koppelkarakteristiek (dikke

schuine lijn) naar beneden

57

worden geschoven. Dit kan door de aansluitspanning te verlagen naar ca. 5/7 deel van 18V,

dus 13 Volt (tel de hokjes op de verticale lijn van T=3 mNm). Als je een bepaalde

aansluitspanning hebt (bijv. 12V) kun je dus een motor kiezen met een hogere nominale

spanning, maar niet met een lagere. Als de standaard documentatie van fabrikanten te

summier is of als de motor in de buurt van de aangegeven grenzen wordt gebruikt, is het

raadzaam om de fabrikant of importeur om advies te vragen.

Behalve het bedrijfspunt is ook de snelheid van het op gang komen van belang. Bij een groot

traagheidsmoment (bijvoorbeeld een zwaar voorwerp horizontaal verplaatsen) komt de motor

langzaam op gang en loopt er langere tijd een sterke stroom. Een te grote warmteontwikkeling

beschadigt de isolatie en vermindert de levensduur. Er zijn diverse toepassingen (bijv. robots,

XY tafels) waarbij het traagheidsmoment van groter belang is voor de motorkeuze dan het

koppel en toerental bij stationair bedrijf .

Bij het kiezen van een PMDC motor uit een specificatiesheet kan men het beste beginnen een

motor te kiezen met een maximum vermogen van 1.5-2 maal het gewenste vermogen. Daarna

kan men de keuze aanpassen aan de hand van de onderstaande beslisboom.

Er zijn nog diverse andere factoren van het belang bij de motorkeuze, zoals het bestand zijn

tegen vochtige, vuile of agressieve omgevingen, de onderhoudsgevoeligheid, de leverbare

vermogensrange, de vorm van de motorkarakteristiek en het soort stroom: gelijkstroom,

pulsen (stappenmotor) of draaistroom / wisselstroom. In de onderstaande figuur staan van vier

belangrijke typen elektromotoren de motorkarakteristieken bij verschillende spanning

(M1…M3), in combinatie met 2 lastkarakteristieken (L1, L2).

Tgevraagd

<½Tmax

≈½Tmax

probeer motor met hogere Un

verlaag U of probeer kleinere motor

ngevr<½nmax

keuze OK

>½Tmax

vertragingskast nodigngevr<<½nmax

grotere motor

ngevr<½nmax

58

Shuntmotor

De motorkarakteristiek van de gelijkstroom shuntmotor lijkt veel op die van de PDMC motor.

Net als een permanente magneet geeft de veldspoel een magnetische flux die niet afhankelijk

is van de belasting. De steile motorkarakteristiek betekent dat het lastkoppel relatief klein is,

zodat het bedrijfspunt in de buurt van het maximum toerental ligt. Het toerental is nauwkeurig

regelbaar via de klemspanning, omdat die zowel de spanning over de veldspoel als over de

ankerspoel bepaalt. Bij de shuntmotor zijn deze spoelen parallel aangesloten (blz 41).

Voorbeeldtoepassing:

positieregeling. Bij het opstarten

wordt deze spanning vaak

geleidelijk verhoogd om de

stroomsterkte te beperken en een

vloeiende beweging te krijgen.

De grafiek hiernaast toont het

59

verloop van het koppel na het aanzetten op een bepaalde (vaste) spanning in twee situaties:

motor blijft stilstaan (naar maximum oplopende stippellijn) en motor komt op bedrijfspunt

(doorgetrokken lijn). Zolang het koppel boven het bedrijfspunt ligt (onderste stippellijn) blijft

de motor versnellen. Hoe groter de afstand tussen de doorgetrokken lijn en de onderste

stippellijn, hoe groter het versnellend koppel, dus hoe groter de versnelling.

Seriemotor

Omdat de veldspoel en de

ankerspoel in serie

geschakeld zijn, bepaalt de

stroom door het anker

tegelijkertijd de veldsterkte:

Ic ⋅=Φ 3 . Het schema op

blz. 48 krijgt daarmee een

kleine toevoeging (pijl van Ia

naar Ф) die een grote invloed heeft op de motorkarakteristiek. Als een stilstaande motor wordt

aangesloten op de spanning is er nog geen tegeninductiespanning, dus is de stroomsterkte

maximaal (sa

klem

RR

UI

+=max ). Een sterke stoom geeft een sterk veld, dus een hoog koppel.

Voor de hele motorkarakteristiek9 geldt dat 2

32 IccTi ⋅⋅= . Door het kwadraat is het koppel

bij sterke stromen veel hoger dan bij een PMDC motor of een shuntmotor. Het aanloopkoppel

is

2

32max

+⋅=

sa

klem

RR

UccT . Door het sterke magnetische veld ontstaat er bij een laag toerental

al een hoge tegeninductiespanning, waardoor de motor bij hoge belasting langzaam loopt.

Naarmate de belasting afneemt daalt de stroomsterkte en gaat de motor sneller lopen.

9 De motorkarakteristiek is af te leiden uit basisvergelijkingen door eerst T als functie van I te schrijven. Dit kan

door Ic ⋅=Φ 3 te combineren met IcTi ⋅Φ⋅= 2

, zodat 2

32 IccTi ⋅⋅= . Daarna kunnen we I in relatie tot het

toerental n afleiden door in de spanningsvergelijking RIUU indklem ⋅+= de term Uind te schrijven als functie van

n. Dit kan door ncUind ⋅Φ⋅= 1 te combineren met Ic ⋅=Φ 3

, zodat nIccU ind ⋅⋅⋅= 31. Deze vergelijking

substitueren in de spanningsvergelijking geeft RInIccU klem ⋅+⋅⋅⋅= 31. Dit kunnen we schrijven als

Rncc

UI klem

+⋅⋅=

31

en combineren met 2

32 IccTi ⋅⋅= tot 2

31

2

32)( Rncc

UccT klem

i+⋅⋅

⋅⋅= . Hierbij is R de totale weerstand

van de in serie geschakelde ankerspoel en veldspoel: R = Ra + Rs.

c1

Uklem Ia Ti

Uind

ωUeff Teff

Φ

-+

+

Tlast

+

c2

c3

60

Als we in plaats van het toerental n de hoeksnelheid ω nemen, kunnen de constanten worden

vereenvoudigd: 3231 cccck ser ⋅=⋅= . De motorkarakteristiek wordt dan ( )2

2

Rk

UkT

ser

klemser

+⋅

⋅=

ω.

Bij stilstaande motor (ω=0) vinden we dan een maximum koppel 2

2

maxR

UkT klemser ⋅

= .

Met MathCad sheet “seriemotor.mcd” (op BB) kan het effect van motorparameters op de

motorkarakteristiek, vermogen en rendement worden bekeken. Hieronder staat een voorbeeld

van een koppelkarakteristiek van een ideale motor bij kser = 0,05 Vs/A en R = 0,5 Ω (links).

0 100 200 3000

10

20

30

T ω( )

N m⋅

ω

0 100 200 3000

50

100

Pmech ω( )

W

Pel ω( )

W

η ω( ) 100⋅

ω

In de rechter grafiek staat het mechanische en elektrische vermogen weergegeven, met het

rendement. Hieruit blijkt dat het rendement bij lage toerentallen vrij laag is. De stroomsterkte

is erg hoog, terwijl door het lage toerental het mechanisch vermogen beperkt blijft. Het

maximum vermogen ligt ook bij een laag toerental.

Het hoge koppel bij lage snelheden maakt dit type motor geschikt voor toepassingen waarbij

hard getrokken moet worden bij lage snelheden, zoals bij een trein. Omdat de motor zonder

belasting “op hol” slaat wordt een deel van de veldspoel parallel geschakeld met de

ankerspoel, zodat er ook bij lage koppels voldoende tegeninductie ontstaat om de motor af te

remmen. Daardoor wordt het een compoundmotor.

61

Oefeningen

Opdracht 1 - Fiets

Een fietser oefent op het pedaal een verticale kracht uit van Fp = 50 N. De lengte van de crank

(afstand pedaal tot trapas) is 20 cm. De diameter van het tandwiel op de trapas is 15 cm. De

diameter van het tandwiel op het wiel is 7 cm en de diameter van het achterwiel is 0,7 m.

Bereken bij crankhoek α = 30 graden:

a. Het koppel op de trapas;

b. De spankracht in de ketting;

c. Het koppel op het achterwiel;

d. De op de weg uitgeoefende kracht.

e. Bereken de voorwaartse versnelling van de

fiets als de massa van fietser en fiets samen

80 kg is. (weet je het nog? F = m·a)

f. Bij welke crankhoek α is de voorwaartse versnelling maximaal?

We hebben nu vier keer een kracht omgezet in een koppel, of omgekeerd. Als extra oefening

zou je dit ook eens voor de snelheden kunnen doen, door uitgaande van een rijsnelheid van 7

m/s de toerentallen en hoeksnelheden te berekenen en de snelheid van de ketting en het

pedaal. Bereken voor iedere situatie (rechtlijnige beweging of rotatie) ook eens het vermogen.

Opdracht 2 - Hijskraan

Een hijskraan heeft een asynchrone wisselstroommotor waarmee de last wordt gehesen. In de

grafiek hiernaast staat de

motorkarakteristiek (M) bij 380 V en de

lastkarakteristiek (L) bij 100 kN hijslast.

a. Geef in de grafiek aan bij welke

uiteindelijke hoeksnelheid een last

van 100 kN gehesen zal worden.

b. Geef in de grafiek aan bij welke

hoeksnelheid er wordt gehesen als er

niets aan de haak hangt.

α

Fp

62

c. Bij welke hoeksnelheid neemt de hijssnelheid het snelste toe?

d. Als het verschil tussen Tm en Tlast groot is, is dan de hijssnelheid ook groot?

e. Als de motorcurve rond punt B minder steil zou zijn, zou de hijssnelheid dan meer of

minder gevoelig zijn voor variaties in hijslast (bijvoorbeeld een hijsbak met springende

koeien)? Of maakt het niet uit?

f. Bepaal grafisch hoe groot de last is die een stilstaande motor kan vasthouden.

g. Bepaal grafisch hoe zwaar de last is die maximaal kan worden gehesen, en geef het

bijbehorende bedrijfspunt aan.

h. Teken in een grafiek de relatie tussen hijssnelheid (horizontale as) en het gevraagde

hijsvermogen (verticale as).

i. Verklaar waarom de lastcurve een horizontale rechte lijn is.

Opdracht 3 - Waterput

Boven een waterput is een draaibare trommel gemonteerd met diameter D = 0,2 m.

Om de trommel is een touw geslagen dat afhangt in de put. Onderaan het touw hangt een

emmer water (totaal m = 20 kg) die met een constante snelheid v = 0,25 m/s omhoog wordt

gehesen. De trommel wordt aangedreven met een gelijkstroommotor via een verliesloze

snaaroverbrenging met reductiefactor i = 10. De valversnelling g = 10 m/s2.

De motorkarakteristiek is mmT ω08,04 −= (met Tm in Nm en ωm in rad/s).

a. Bereken de hoeksnelheid van de trommel ωt en de hoeksnelheid van de motor ωm bij de

gegeven snelheid van de emmer.

b. Bereken het benodigde motorkoppel Tm.

c. Hoe groot is de maximale last die met de motor kan worden gehesen (dus waarbij de

motor nog op gang kan komen)? A.u.b. toelichten.

d. Wat is het motortoerental in onbelaste toestand? A.u.b. toelichten.

e. Teken de motorkarakteristiek en de getransformeerde lastkarakteristiek (bij m = 20 kg) in

één grafiek en geef het bedrijfspunt aan.

f. Bereken het motorkoppel Tm en de hoeksnelheid ωm in het bedrijfspunt.

g. Bereken het vermogen Pm van de motor in het bedrijfspunt.

h. Bereken het motorvermogen Pm als de hijssnelheid wordt verlaagd naar v = 0,2 m/s. Om

dit te bereiken wordt de klemspanning van de motor verlaagd, zodat de gegeven formule

niet meer geldig is.

63

Opdracht 4 - Rolstoel

Een rolstoel voor gehandicapten is voorzien van een elektrische aandrijving m.b.v. twee

gelijkstroommotoren met permanente magneten. De beide achterwielen (diameter d = 0,4 m)

worden elk afzonderlijk aangedreven met een elektromotor via een snaaroverbrenging met

toerentalreductie i = 10 (verliesloos verondersteld). Dat maakt manoeuvreren mogelijk.

Elke motor heeft een motorkarakteristiek mm UT ω⋅−⋅= 016,02,0 , waarbij U een instelbare

rotorspanning (Volt) is, ωm het motortoerental in rad/s en Tm het motorkoppel in Nm.

De rijsnelheid is constant v = 2 m/s als de aangesloten rotorspanning U = 16 Volt bedraagt.

a. Teken drie motorkarakteristieken voor U = 12, 16 en 20 Volt (zet Tm tegen ωm uit). Geef

bij elke karakteristiek de maximale toerentallen en koppels aan.

b. Bereken het bedrijfspunt van beide motoren bij v = 2 m/s en U = 16 Volt. Geef dit

bedrijfspunt aan in de motorkarakteristiek.

c. Bereken het asvermogen Pm dat elke motor in het bedrijfspunt levert.

d. Bereken de kracht Fw die elk achterwiel op het wegdek uitoefent en bereken hieruit het

vermogen Pw dat nodig is voor een constante rijsnelheid van v = 2 m/s.

e. Bereken het extra wielkoppel en extra kracht die elk wiel kan uitoefenen als bij dezelfde

snelheid de rotorspanning U wordt verhoogd van 16 tot 20 Volt.

f. Bereken met het antwoord op vraag e de maximale helling van de weg (in graden) die bij

een rotorspanning U = 20 Volt genomen kan worden bij een rijsnelheid van v = 2 m/s. De

totale massa van rolstoel plus gehandicapte is m = 100 kg, valversnelling g = 10 m/s2.

Opdracht 5 - Elektrische fiets I

Een fiets is voorzien van een elektrische aandrijving m.b.v. een afzonderlijk bekrachtigde

gelijkstroommotor. De aandrijving vindt plaats op het achterwiel (diameter d =0,7 m) met een

verliesloze toerentalreductie i = 3,5. De motor karakteristiek is mm UT ω⋅−⋅= 025,02,0 ,

waarbij U een instelbare rotorspanning (Volt) is, ωm het motortoerental in rad/s en Tm het

motorkoppel in Nm. De rijweerstand Fw van fiets + fietser is afhankelijk van de snelheid v en

is bij benadering voor te stellen als 225,0 vFw ⋅= met v in m/s en Fw in Newton.

a. Bereken het benodigde vermogen om een snelheid v = 10 m/s te bereiken.

b. Hoe groot moet de rotorspanning U zijn bij v = 10 m/s?

c. Teken de motorcurve bij U = 25 V, de lastcurve en de getransformeerde lastcurve, en geef

de formules waarmee deze curves worden beschreven.

d. Bereken de snelheid bij U = 25 V als de toerentalreductie i = 7 is.

64

Opdracht 6 - Wielrenner

Een wielrenner rijdt op een vlakke weg met een constante snelheid. Het is windstil.

De “mens-motorkarakteristiek” van de wielrenner is bij benadering 2)20(4,0 −⋅= TMT ω , met

ωT de hoeksnelheid van de trapas in rad/s en TM het trapaskoppel in Nm.

De lastkarakteristiek van fiets, gerekend vanaf de trapas is 2

4,0 TLT ω⋅= . Denk om het

kwadraat in beide formules! Verdere gegevens zijn: de totale afstand tussen beide pedalen is

0,35 m; de diameter van het aangedreven achterwiel is 0,7 m; de overbrengingsverhouding

naar het achterwiel is 3=T

wiel

ω

ω.

a. Bereken het bedrijfspunt (TM en ωT) en het door de fietser geleverde vermogen.

b. Teken de motor- en lastkarakteristiek in één grafiek. Geef hierin het maximum koppel, de

hoeksnelheid en het bedrijfspunt aan.

c. Hoe zou de lastkarakteristiek veranderen bij tegenwind en hoe bij het nemen van een

helling? Geeft dit allebei schematisch weer in een grafiek.

d. Bereken de snelheid van wielrenner in m/s.

e. Ga na of de wielrenner de juiste versnelling (overbrengingsverhouding) heeft gekozen. Bij

de juiste versnelling levert de fietser zijn maximale vermogen. Je hoeft niet het optimale

toerental te berekenen, alleen kijken of er een betere ωT te vinden is.

Opdracht 7 - Boormachine

Een boormachine is uitgerust met een seriemotor waarvan de motorkarakteristiek bij

benadering 2

m

m

cT

ω= is met c = 2·10

5 Nm/s

2 en ωm in rad/s.

Tijdens het boren is het opgenomen vermogen uit het net Pel =1061 Watt.

Het vermogensrendement van de motor is ηmot = 0,6 zodat het asvermogen Pm aan de motoras

lager is. Via een tandwieloverbrenging (vermogensrendement ηtandw = 0,9) wordt het toerental

naar de boorkop met boor gereduceerd (i = 5). Tijdens het boren wordt een constant koppel TL

op het werkstuk uitgeoefend.

a. Bereken het geleverde mechanische vermogen Pm, de motorhoeksnelheid ωm en het

motorkoppel Tm.

b. Bereken het koppel TL dat op het werkstuk wordt uitgeoefend.

c. Bereken het vermogensverlies Pv (in Watt) in de tandwieloverbrenging.

65

Opdracht 8 - Centrifugaalpomp

Een centrifugaalpomp met een lastkarakteristiek 25105 LLT ω⋅⋅= − (denk om het kwadraat en

het – tekentje in de macht) wordt rechtstreeks aangedreven door een PM-gelijkstroommotor.

De motorgegevens zijn: Rotorspanning U = 10 Volt, rotorweerstand Ra = 0,5 Ω,

koppelconstante km = 0,05 Nm/A, tegeninductieconstante ke = km.

a. Teken de motor- en lastkarakteristiek in één figuur. Geef het maximum koppel en de

maximum hoeksnelheid daarin aan. Bepaal uit de grafiek (berekenen mag ook) het

bedrijfspunt.

b. Bereken het vermogen Pm dat de motor in het bedrijfspunt levert. Bereken ook de

rotorstroom I in het bedrijfspunt.

c. Door slijtage in de lagers van de pomp verandert de lastkarakteristiek een beetje. Er stelt

zich een nieuw bedrijfspunt in bij een lagere hoeksnelheid, namelijk ωL = 80 rad/s.

Bereken het vermogen Pm dat de motor in dit nieuwe bedrijfspunt levert. Hoe groot is de

rotorstroom I nu?

d. Wat is het motorrendement η bij vraag b en vraag c? Onder het rendement η verstaan we

de verhouding van het geleverde mechanisch vermogen Pmech en het toegevoerde

elektrische vermogen Pel, dus: el

mech

P

P=η . Verder geldt nog Pel=U·I en Pmech=Tm·ωm.

Opdracht 9 - Wikkelmachine

Een PM-gelijkstroommotor drijft rechtstreeks en spoel aan waarop een draad wordt

gewikkeld. Met behulp van een spaninrichting houdt men de trekkracht Ft die de draad op de

spoel uitoefent constant: Ft = 20 Newton.

De spoeldiameter is 0,1 m bij een lege spoel en 0,2 m bij een volle spoel.

Men gebruikt een PM-motor met specificaties: kt = ke = 0,1 Nm/A en Ra = 0,5 Ω.

De aangesloten spanning op de motor is U = 20 Volt.

a. Bepaal de motorkarakteristiek en schets deze in een grafiek.

b. Bereken de bedrijfspunten bij een lege en een volle spoel; geef ze aan in de grafiek.

c. Welk vermogen levert de motor bij een lege en welk bij een volle spoel?

d. Bereken de rotorstroom van de motor bij een lege en bij een volle spoel.

66

Opdracht 10 - Stofzuiger

De ventilator in een stofzuiger wordt rechtstreeks aangedreven door een universeel-

wisselstroommotor die als seriemotor is uitgevoerd.

De motorkarakteristiek is bij benadering 2

m

mm

cT

ω= met cm = 5,92·10

5 Nm/s

2 en ωm in rad/s.

Als er maximaal wordt gezogen is het toerental stationair 6000 omw/min in het bedrijfspunt.

De stroom door de wikkelingen is dan 5 Ampère bij een netspanning van 230 Volt.

De ventilator heeft een lastkarakteristiek 2

LLL cT ω⋅= [Nm] waarbij cL afhankelijk is van de

wijze waarop gezogen wordt.

a. Bereken het motorkoppel in het bedrijfspunt bij 6000 omw/min.

b. Bereken het opgenomen elektrisch vermogen door de motor, het geleverde mechanisch

vermogen aan de motoras, en het rendement van de motor.

c. Bereken de constante cL van de lastkarakteristiek; wat is de eenheid van cL?

d. Schets de motor- en lastkarakteristiek en geef het bedrijfspunt aan.

e. Als de motor minder wordt belast (er wordt bijvoorbeeld minder sterk gezogen) blijkt het

opgenomen elektrisch vermogen uit het net 10% te zijn verminderd. Bepaal voor deze

situatie het nieuwe bedrijfspunt. Hoe is de lastkarakteristiek verschoven?

Opdracht 11 - Elektrische fiets II

Een elektrisch aangedreven fiets is voorzien van een PM-gelijkstroommotor.

De aandrijving vindt plaats op het achterwiel (diameter d = 0,7 m) via een snaaroverbrenging

met toerentalreductie i = 3,5. De motor en de snaaroverbrenging mogen verliesloos worden

verondersteld. De rijweerstand van fiets + fietser is afhankelijk van de snelheid en is bij

benadering voor te stellen als 225,0 vFw ⋅= met v in m/s en Fw in Newton.

De snelheid wordt geregeld met motorspanning U (maximaal 36 Volt). Het motorvermogen is

regelbaar met een maximum van Pm = 250 Watt bij U = 36 Volt. Het koppel bij U = 36 Volt

en stilstaande motor is 5 Nm.

a. Bereken de rotorweerstand Ra en de motorconstanten km en ke.

b. Bereken de maximum hoeksnelheid ωmax van de motor in onbelaste toestand.

c. Teken de motorkarakteristiek en geef hierin Tmax en ωmax aan, en de ligging van het punt

bij maximum vermogen.

d. Welke kracht oefent het fietswiel vanuit stilstand op het wegdek uit bij maximale

motorspanning U = 36 Volt? Hoe groot is deze kracht bij maximaal motorvermogen?

67

e. Bereken de snelheid van de fietser bij maximum motorvermogen.

f. Bereken de snelheid van de fietser bij motorspanning U = 27 Volt. Tip: Schrijf de

motorkarakteristiek in de vorm vbaFmotor ⋅−= en bepaal het bedrijfspunt.

Opdracht 12a - Speelgoedautootje motorkarakteristiek

Een speelgoedfabrikant onderzoekt een elektrisch speelgoedautootje van een concurrent. Hij

wil graag weten welk type motor is gebruikt en wat de motorparameters zijn. Daarom haalt hij

het motortje uit de auto en doet de volgende metingen:

- De weerstand over de aansluitdraden is 0,4 Ω.

- De batterijen geven samen een spanning van 6 Volt.

Daarna koppelt hij de uitgaande as van de motor aan

een koppelmeter en sluit de motor aan op een

geregelde voeding die 6 Volt geeft, ongeacht de

gevraagde stroomsterkte. In de tabel hiernaast staan de gemeten combinaties van koppel T,

hoeksnelheid ω en stroomsterkte Ia.

a. Zet de meetwaarden van koppel en hoeksnelheid uit in een grafiek en bepaal welk type

gelijkstroommotor is gebruikt.

b. Bereken de motorparameters Ra [Ω], km [Nm/A] en ke [V·s].

c. Bereken het wrijvingskoppel van de onbelaste motor.

d. Bereken het geleverde en het opgewekte koppel als de motor bij 6 Volt wordt stil gezet.

e. Bereken het maximaal geleverde vermogen en de maximale efficiëntie van de motor.

f. Bereken het bedrijfspunt van de motor waarbij de efficiëntie maximaal is.

Opdracht 12b - Speelgoedautootje lastkarakteristiek

De motor wordt nu teruggeplaatst in de auto en getest met drie verschillende batterijen die een

verschillende spanning U geven. Daardoor gaat de auto met verschillende snelheden rijden. Er

wordt een traject van 10 meter uitgezet en de benodigde tijd t10 voor deze afstand wordt

gemeten (honderdste seconden achter de komma). De resultaten staan in de tabel hieronder.

Op de motoras zit een tandwiel met 23 tanden dat een tandwiel met 40 tanden aandrijft dat op

de aandrijfas is gemonteerd. Op die aandrijfas zit het aangedreven wiel, dat een diameter heeft

van 50 mm. Bij deze opdracht is het handig om MathCad of Excel te gebruiken.

T [Nm] ω [rad/s] Ia [A]

0,00 72,5 0,5

0,16 62,5 2,5

0,36 50,0 5,0

0,60 35,0 8,0

68

a. Maak een tabel waarin de gemeten tijden zijn omgerekend naar

snelheden (m/s), hoeksnelheden van het wiel ωw (rad/s), en

hoeksnelheden van de motor ωm (rad/s).

b. Teken de motorkarakteristieken bij de gebruikte spanningen U,

en geef op elke lijn het bedrijfspunt aan.

c. Teken de getransformeerde lastkarakteristiek in de grafiek erbij en bepaal de vergelijking

van deze rechte lijn. Tip: Je kunt de koppels in de bedrijfspunten ook berekenen uit de

motorkarakteristieken.

Opdracht 13 – Motor kiezen voor ventilator in laptop

Lastkarakteristiek ventilator: Tl = 1·10-7

n2 met Tl in mNm (!) en n in omw/min.

Nagestreefd toerental n = 5000 rpm. Motor zo klein en efficiënt mogelijk

Geen overbrenging (directe koppeling motor aan ventilator)

Beschikbare spanning: 19.5V.

Beschikbare motoren staan in de kolommen van de onderstaande tabel.

MINIMOTOR SA, CH-6982 Agno, Switzerland DC micromotors

Motor specification sheet Type --> 3557 CS 2338 1331 1624 2025

Symbol Unit 024 CS 024 S 024 S 024 S 024 S

Nominal voltage Un Volt 24 24 24 24 24

Terminal resistance R Ω 5,5 38 55 75 102

Output power, max P2 max W 26,2 3,79 2,62 1,92 1,41

Efficiency, max ηmax % 77 64 75 74 73

No-load speed no rpm 5500 7600 11400 14400 11400

No-load current Io A 0,065 0,025 0,008 0,006 0,005

Starting voltage, typical Ua mV 420 360 360 250 300

Stall torque MH mNm 177 17,57 8,45 4,9 4,53

Friction torque MR mNm 2,67 0,72 0,16 0,09 0,1

Speed constant kn rpm/V 233 330 484 611 485

Back-EMF constant ke mV/rpm 4,299 3,033 2,067 1,635 2,061

Torque constant km mNm/A 41,05 28,96 19,74 15,62 19,68

Current constant kI A/mNm 0,024 0,035 0,051 0,064 0,051

Slope of n-M curve ∆n/∆M rpm/mNm 31 433 1348 2936 2516

Rotor inductance L µH 850 2600 1100 300 2000

Mechanical time constant τm ms 16 17 9 24 30

Rotor inertia J gcm2

49,03 3,75 0,64 0,78 1,14

Angular accelleration, max αmax *103 rad/s

236 46,8 133 62,8 39,8

Massa m gram 275 70 20 21 42

Stappen: (Zie procedure in het dictaat, blz. 55 – 57)

a. Het door de ventilator gevraagde koppel, hoeksnelheid en vermogen.

b. Volgens deze fabrikant moeten we uit de catalogus een motor met P2max >1.5-2 maal

berekende vermogensbehoefte en Un >= gegeven U kiezen, die past in de beschikbare

ruimte. Welke motoren komen in aanmerking?

U [V] t10 [s]

2,0 39,81

4,5 16,33

6,0 12,06

69

c. Check of motoren hard genoeg kunnen draaien, n > 0.5 nmax, T < 0.5 Tmax. Welke vallen

af? Je kunt een motor langzamer laten draaien door minder dan 19.5 V te geven.

d. Gebruik beslisboom op dictaat blz. 57 om eventueel een andere motor te proberen.

e. Bereken het maximum toerental en maximum koppel van de 2338 bij 24 V voor de ideale

motor. Vergelijk deze waarden met de specificaties en maak dezelfde berekening,

rekening houdend met de nullaststroom t.g.v. het wrijvingskoppel van de motor zelf.

f. Teken motorkarakteristiek van alle motoren die na vraag c in aanmerking komen bij 19,5

V, op basis van de motorparameters, rekening houdend met de nullaststroom.

g. Bereken voor deze motoren ook de maximale efficiëntie bij 19,5V.

h. Bereken op het bedrijfspunt van de geselecteerde motor: n, T, I, Pmech, Pel, efficiëntie.

i. Maak van de resultaten een nette tabel en evalueer je keuze. Wat valt op?

Proeftentamen 1

Gegevens

Samsung onderzoekt een handmixer van Philips. De snelheid van

de PM gelijkstroommotor is in te stellen door een schakelaar met

vier standen. Deze schakelaar bepaalt de klemspanning op de

motor: 220, 180, 140 of 100 Volt.

Men heeft de volgende metingen gedaan:

• Het toerental van de gardes is een factor 5 lager dan het

motortoerental.

• De motor en overbrenging zijn nagenoeg wrijvingsloos.

• Bij 220 Volt draaien de gardes (roestvrijstalen roerbeugels)

130 rad/s als ze onbelast draaien in de lucht.

• Als de gardes bij 220 Volt draaien in een kom standaard

pannenkoekbeslag is hun hoeksnelheid 120 rad/s.

• Het verband tussen het gezamenlijk koppel Tg [Nm] van de

twee gardes en hun hoeksnelheid ωg [rad/s] in standaard

pannenkoekbeslag is: 25

1000,5 ggT ω⋅⋅= −.

Opmerkingen

o Laat zien hoe je aan het antwoord komt, maak duidelijk welke waarden je invult.

o Punten per vraag staan tussen haakjes. 31 punten totaal, dus 3 minuten per punt.

Tentamen: Elektrische aandrijvingen, Thema 3 module constructiegedrag Voltijd/Deeltijd

Kwartaal: 3 Studiejaar: 1 normaalstroom ProgRESS-code WBVP6ELA

Datum: 8-3-2007 van 14:45 uur tot 16:15 uur. Tijdsduur: 90 min.

Opleiding: Werktuigbouwkunde Afstudeerrichting:

Docent: KUDI Aantal bladen: 1 dubbelzijdig Datum bekendmaking tentamenresultaten: na ca. 2 weken

Hulpmiddelen:

Diktaat elektrische aandrijvingen, rekenmachine.

GEEN UITGEWERKTE OPGAVEN

Bijzonderheden:

Zie opmerkingen boven vraag 1.

t.b.v. surveillanten: Opgaven wel /niet innemen. S.v.p. checken op uitgewerkte opgaven

70

Vragen

1) Bereken het toerental van de motor in omw/min als de gardes onbelast draaien bij 220

Volt klemspanning op de motor. (1)

2) Hoeveel koppel moet de motor leveren als de gardes met 120 rad/s draaien in het

pannenkoekbeslag? (2)

3) Bereken de hoeksnelheid van de motor en het aan de gardes geleverde mechanische

vermogen bij het mixen van het pannenkoekenbeslag bij 220 Volt. (2)

4) Teken de getransformeerde lastkarakteristiek en de motorkarakteristiek op basis van de

twee bedrijfspunten die je nu weet. Noteer op de assen de hoeksnelheden en koppels van

beide bedrijfspunten en bereken het maximum motorkoppel bij stilstaande motor. (5)

Als je het laatste antwoord niet hebt, reken dan verder met Tm_max = 1,8 Nm.

5) Hoeveel vermogen kan de motor maximaal leveren bij 220 V? en bij 100 V? (3)

6) Bereken de motorparameters ke, km en Ra. Hierbij mag je aannemen dat km=ke. (3)

Als je deze antwoorden niet hebt, reken dan verder met 40 Ω en 0,34 Nm/A.

7) Bereken het opgenomen elektrisch vermogen en de efficiëntie van de motor bij het mixen

van het pannenkoekenbeslag bij 220 Volt. (3)

8) Teken de motorkarakteristiek bij 180 V klemspanning en geef daarbij de maximale

hoeksnelheid en het maximale koppel aan. Teken daarna ook de getransformeerde

lastkarakteristiek voor pannenkoekenbeslag en bereken het bedrijfspunt (koppel en

hoeksnelheid) als er bij 180 V klemspanning wordt gemixt. (5)

9) Men overweegt om in plaats van een PM gelijkstroommotor een seriemotor te gebruiken.

Geef twee argumenten aan waarom dit wel of geen goed idee is. (2)

10) Voor het kneden van zwaar deeg wil men bij 100 V een hoger koppel krijgen, zonder het

maximumtoerental van de onbelaste motor te veranderen. Leg (bijvoorbeeld aan de hand

van een grafiek van de motorkarakteristiek of formules) uit hoe de waarden van ke (= km)

en/of Ra zouden moeten worden veranderd om dit te bereiken. (3)

11) Hoe kan men in een experiment de lastcurve van zwaar deeg bepalen op basis van wat

men nu van deze motor weet? (2)

Bonusvragen (voor punten bovenop de 31 punten die je hierboven kunt halen)

De langzaamste snelheid is bedoeld om deeg te kneden. Ze zijn benieuwd hoe zwaar het deeg

mag zijn als er 5 minuten continu gekneed moet worden. Met een traploos regelbare voeding

varieert men de klemspanning terwijl de motor geblokkeerd wordt (motor staat stil, alle

energie wordt omgezet in warmte). Bij de klemspanning waarbij de motor net niet te heet

wordt, meten ze een stroomsterkte van 1,5 Ampère.

12) Hoeveel vermogen mag er volgens deze proef aan warmte worden geproduceerd? (2)

13) Hoeveel vermogen wordt er aan warmte geproduceerd als de motor bij 100 Volt

klemspanning zijn maximum mechanisch vermogen geeft? (1)

14) Wordt de motor te warm als die bij 100 Volt 5 minuten op vol vermogen kneedt? (2)

15) Mag de motor bij 100 V klemspanning volgens de proefgegevens 5 minuten stil blijven

staan? (2)

71

Antwoorden (gedetailleerde uitwerkingen zijn bij de docent

beschikbaar ter inzage)

Opdracht 1 - Fiets

a. 8,66 Nm

b. 115,5 N

c. 4,04 Nm

d. 11,55 N

e. 0,144 m/s2

f. α = 0

Opdracht 2 – Hijskraan

a. zie bovenste grafiek

b. zie bovenste grafiek

c. zie bovenste grafiek

d. nee, Tm-Tlast bepaalt hoekversnelling

e. gevoeliger

f. 155 kN

g. 140 kN

h. zie tweede grafiek

i. de zwaartekracht is onafhankelijk van de

hijssnelheid. Motor- en lastcurve zijn bij

constante snelheid!

Opdracht 3 - Waterput

a. ωt = 2,5 rad/s, ωm = 25 rad/s

b. T m = 2 Nm

c. max last = 40 kg (bij ωm = 0)

d. onbelast toerental = 50 rad/s

e. Zie grafiek hiernaast

f. Tm = 2 Nm; ωm = 25 rad/s

g. Pm = 50W

h. Pm = 40 W

Opdracht 4 - Rolstoel

a. Zie onderste grafiek rechts

b. ωm =100 rad/s, Tm = 1,6 Nm per motor

c. 160 W per motor

d. kracht: 8,0 N per wiel; P = F·v = 160W

per motor

e. 8,0 Nm per

wiel extra,

ofwel 40 N

f. α = 4,6°

maximaal

(maak

situatie-

schets)

a b c

g

P

(W)

ω

T (Nm)

ω (rad/s) 50

2

M

L

25

bedrijfspunt

4

T (Nm)

ω (rad/s)

250

2,4 16V

L

150

bedrijfspunt

4,0

200

3,2 20V

12V

1,6

100 1000 N

80 N

80 N

α

α

80 N

72

Opdracht 5 - Elektrische fiets I

a. 250 W

b. 25 V

c. mmT ω⋅−= 025,05 ,

201071875,0 wwT ω⋅= ,

2'00025,0' llT ω⋅= .

d. 8,28 m/s

Opdracht 6 - Wielrenner

a. ωT = 10 rad/s, TM = 40 Nm,

P=400W

b. zie grafiek (dikke lijnen,

bedrijfspunt is snijpunt)

c. zie grafiek (dunne lijnen):

tegenwind: curve schuift naar links,

helling: curve schuift omhoog.

d. 10,5 m/s

e. Nee, want bij ωM = 9 rad/s is P =

436 W, wat hoger is dan 400 W bij

ωM = 10 rad/s. Maximaal vermogen

bij ωM = 6,66 rad/s is 474 W.

Opdracht 7 - Boormachine

a. Pm = 637 W, ωm = 314 rad/s, Tm = 2,03

Nm

b. 9,12 Nm

c. 64 W

Opdracht 8 - Centrifugaalpomp

a. Motor: Tmax = 1 Nm, ωmax = 200 rad/s.

b. Bedrijfspunt: 100 rad/s, 0,5 Nm

P = 50 W, I = 10 A

c. T = 0,6 Nm, P = 48 W, I = 12 A

d. vraag b: 50%, vraag c: 40%.

Opdracht 9 - Wikkelmachine

a. zie grafiek

b. zie grafiek

c. Pleeg = 150W, Pvol = 200W

d. Ileeg = 10A, Ivol = 20A

0 5 10 15 200

40

80

120

160

TM ωT( )

TL ωT( )

TLwind ωT( )

TLhell ωT( )

ωT

0 50 100 150 2000

0.5

1

Tm ωm( )

Tl ωm( )

Tlast ωlast( )

ωm ωm, ωlast,

T (Nm)

ω (rad/s)

200

2

M

bedr punt leeg

100

bedr punt vol

4

150

1

73

Opdracht 10 - Stofzuiger

a. 1,5 Nm

b. Pel = 1150 W, Pmech = 942,5 W

η = 0,82

c. cL = 3,8·10-6

Nms2

d. T = 1,5 Nm, ω = 628 rad/s

e. ω = 698 rad/s, T = 1,215 Nm,

cL2 = 2,494·10-6

Nms2

Opdracht 11 - Elektrische fiets II

a. Ra = 1,296 Ω, km = ke = 0,18 Nm/A

b. ωmax = 200 rad/s

c. zie grafiek

d. Fwiel = 50 N bij stilstand en 25 N bij max

vermogen

e. 10 m/s

f. 8.2 m/s

Opdracht 12a - Speelgoedautootje

motorkarakteristiek

a. Gelijkstroom shuntmotor of PM motor (constante veldsterkte).

b. Ra = 0,4 Ω; km = ke = 0,08

Nm/A

c. 0,04 Nm

d. 1,16 Nm resp. 1,20 Nm

e. Pmech,gel = 21,025 W, ηmax =

84%

f. Tm = 0,219 Nm, ωm = 61,3

rad/s

Opdracht 12b - Speelgoedautootje lastkarakteristiek

a. Zie tabel

b. Zie grafiek bij 12a

c. Zie grafiek

0 250 500 750 10000

0.75

1.5

2.25

3

TM ω( )

TL ω( )

TLnieuw ω( )

ω

T (Nm)

ω (rad/s)

200

M

36V

100

P=250W

5

2.5

U (Volt) t10 (s) v (m/s) ωw (rad/s) ωm (rad/s)

2 39,81 0,251 10,05 17,47

4,5 16,33 0,612 24,49 42,60

6 12,06 0,829 33,17 57,68

y = -0,016x + 1,16

y = 0,0034x + 0,0524

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80

Ko

pp

el (N

m)

hoeksnelheid (rad/s)

motor 6V

motor 4,5V

motor 2V

last

74

Opdracht 13

a. 2,5 mNm, 523,6

rad/s, 1,31 W.

b. 3557CS, 2338,

1331.

c. 1331 valt af.

d. Voorselectie

2338 is OK.

e. Ideale motor:

T=18,29 mNm;

n=7913 rpm.

Berekende T en

n met effect

nullaststroom

komen precies

overeen met de

specificaties.

f. Zie tabel en

grafiek

g. Zie tabel

h. Zie tabel

i. 2338 is goede

keuze, meest

efficiënt terwijl

ηmax kleiner is.

Proeftentamen 1

1. nm_max = 6207 omw/min

2. Tm = 0,144 Nm

3. ωm = 600 rad/s; Pm = 86,4 W

4. Getransformeerde lastcurve: 27104' mlT ω⋅⋅= −; Tmmax = 1,87

Nm; ωmmax = 650 rad/s;

5. P220V = 304W; P100V = 62,9W

6. ke = km = 0,338; Ra = 39,8Ω

7. Pel = 93,6W; η = 0,923

8. Motorkarakteristiek bij 180 V:

Tmmax = 1,53 Nm; ωmmax = 532

rad/s; bedrijfspunt: Tm = 0,099Nm,

ωm = 498 rad/s

9. Goed: hoog koppel bij laag toerental, slecht: op hol slaan onder belasting.

10. Ra verlagen, km en ke hetzelfde houden.

11. Bij meerdere klemspanningen het toerental meten: daardoor meerdere bedrijfspunten

bekend, dus ook de bijbehorende koppels (op basis van de motorkarakteristiek).

12. 89,5 W

13. 62,9 W

14. nee

15. nee

0 216.67 433.33 6500

1

2

Tl ωm( )

Tm ωm( )

Tm180 ωm( )

ωm

3557 CS 2338 1331

maximum toerental nmax rpm 4453 6116 9221

maximum koppel Tmax mNm 143 14,1 6,84

maximum efficientie ηmax % 74,7 60,7 72,2

toerental in bedrijfspunt nbedr rpm 4393 5024 5355

koppel in bedrijfspunt T mNm 1,93 2,52 2,87

stroomsterkte I A 0,112 0,112 0,153

electrisch vermogen Pel W 2,18 2,19 2,99

mechanisch vermogen Pmech W 0,888 1,33 1,61

efficientie in bedrijfspunt η % 40,6 60,7 53,8

MINIMOTOR SA, DC Micromotors, U=19.5V

0

5

10

15

20

0 2000 4000 6000 8000 10000

toerental (rpm)

ko

pp

el

(mN

m)

3557 CS

2338

1331

ventilator

75

Bronvermelding:

Blz 3 bovenaan: plaatje steeksleutel moment: bron onbekend

Blz 3 onderaan: plaatje motor met last aan katrol, koppel, snelheid, omega: bron onbekend

Blz 5- 19 1e all: Cool, J.C., 1987. Werktuigkundige Systemen. Delft University Press, 1e

druk, ISBN 90-407-1289-1. Gebruikt: blz 294-308.

Blz 23, 25-28: Blz 17 en 20 uit onbekend boek A, hoofdstuk 2 “Het principe van de

elektromotor en generator”. Blz 23-25 uit hetzelfde boek, hoofdstuk 3

“Het principe van de gelijkstroommachine”, bron onbekend

Blz 29-34 Blz 27-32 uit onbekend boek A, hoofdstuk 4 “De constructie van de

gelijkstroommachine”.

Blz 35-46 Knol, E.H. en Th. P. van Pelt, 1990. Elektrische energie-omzetting 2b.

Energietechniek voor elektronici. 2e druk, Nijgh & van Ditmar, ISBN 90-

234-0494-6. Gebruikt: blz 28-39.

Blz 55 tabel vermogens en rendementen motoren: bron onbekend.

Blz 56 grafieken: specificatiesheet Minimotor SA, Switzerland.

Blz 58 grafieken: bron onbekend

Blz 61 grafiek: bron onbekend