MEETKUNDE leerweg 5 - die Keure · 2016-08-23 · Als m ↔ ↔ax + by + c = 0, dan is a b ax by c...

MEETKUNDE

leerweg 5

4

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

m.m.v. Björn Carreyn

CaRTooNs

Dave Vanroye

1Definities vind je op een rode achtergrond, methodes staan in een oranje kader.

2Eigenschappen vind je op een groene achtergrond.

3Hier vind je uitleg over de geschiedenis van de wiskunde en herkomst van begrippen.

4We stimuleren het gebruik van wiskundesoftware zoals GeoGebra.

5Aan het einde van elke paragraaf vind je een samenvatting.

TE ONTHOUDEN

pictogrammen

BETEKENIS

GESCHIEDENIS

REKENMACHINE

ICT

124

7 ) Meetkundige plaatsen

Een meetkundige plaats is een verzameling van punten die aan een bepaalde voorwaarde moeten voldoen.

meetkundige plaats

Voorbeelden:

• Een middelloodlijn van een lijnstuk is de meetkundige plaats van alle punten die even ver van twee gegeven

punten liggen.

• De bissectrices van twee snijdende rechten is de meetkundige plaats van alle punten die even ver van twee

gegeven rechten liggen.

• Ook een parabool is een meetkundige plaats.

Gegeven: a ↔ y = –3

A(4, –1)

Gevraagd: Bepaal de verzameling van alle punten P(x, y) zodat d(P, A) = d(P, a)

y

x

a

Oplossing: d(P, A) = d(P, a) B

2+2 1x y4– +_ _i i = 23y +_ i B beide leden kwadrateren

(x – 4)2 + (y + 1)2 = (y + 3)2

B x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = y2 + 6y + 9

B

4y = x2 – 8x + 8

B

y = x x1 2 24 – +2

De grafiek met als vergelijking y = x x2 241 – +2 is een parabool waarbij we A het brandpunt noemen

en a de richtlijn.

10 ) Samenvatting

• Je kent de definitie van afstand tussen een punt en een rechte.

• Je kunt de afstand tussen twee punten berekenen.

co(P) = (x1, y1) en co(Q) = (x2, y2): |PQ| = 2 2x x y y– –+12 12_ _i i

• Je kunt de afstand van een punt tot een rechte analytisch bepalen.

Als m ↔ ax + by + c = 0 (met a ≠ 0 en b ≠ 0) en A(x1, y1), dan is d(A, m) = 2a b

ax by c+

+ +112

• Je kunt een normaalvergelijking van een rechte opstellen.

Als m ↔ ax + by + c = 0, dan is a b

ax by c+

+ +2 2 = 0 een normaalvergelijking van m.

• Je weet wat een meetkundige plaats is.

002_092-147_Vbtl4MeetkLw5.indd 124 3/04/12 20:59

24

3 ) Supplementaire hoeken

Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.

Dus:

a + (180° – a) = 180°

supplementaire hoeken

Voorbeelden: hoek Supplementaire hoek

30° 150°

–114° 294°

a 180° – a

We berekenen nu met de rekenmachine:

sin 30° = 0,5

sin 150° = 0,5

cos 30° = 0,866025

cos 150° = –0,866025

tan 30° = 0,577350

tan 150° = –0,577350

sin 114° = 0,913545

sin 66° = 0,913545

cos 114° = –0,406737

cos 66° = 0,406737

tan 114° = –2,246037

tan 66° = 2,246037

Uit deze voorbeelden blijkt dat supplementaire hoeken gelijke sinussen, tegengestelde cosinussen en tegenge-

stelde tangenten hebben.

Supplementaire hoeken hebben gelijke sinussen en tegengestelde cosinussen.

Gegeven: de hoek ate bewijzen: sin (180° – a) = sin a cos (180° – a) = –cos aBewijs: A is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.

E'

O

B

y

xαE

A

DCE"

180o – α

B is het beeldpunt van 180° – a op de goniometrische cirkel.

EOWB + BOWE'' = 180°

L

180° – a + BOWE'' = 180°

L

BOWE'' = a

Dit betekent ook dat E'OWB = 90° – a = AOWE' en dus is

de y-as de deellijn van AOWB.

L

B = sy (A) want |OB| = |OA| = 1 en D OAB is dus gelijkbenig en in een gelijkbenige driehoek is de deellijn uit de tophoek tevens middelloodlijn.

In D OBC en D OAD geldt: CW = DW = 90° ZHH

BOWC = AOWD = a P D OBC , D OAD

|OB| = |OA| = 1 4

Ldefinitie congruente driehoeken

|OC| = |OD| en |BC| = |AD|

L

–cos (180° – a) = cos a en sin (180° – a) = sin a L

cos (180° – a) = –cos a en sin (180° – a) = sin a

Opmerking:

Supplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. de y-as.

1

5

63

hoofdstuk 1 • driehoeksmeting en de cirkel

6 ) Koordenvierhoek

ABCd noemen we een koordenvierhoek.

D

B

C

A

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op één cirkel liggen. de vier zijden zijn dus

koorden van deze omgeschreven cirkel.

koordenvierhoek

In een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken supplementair.

A

B

C

M

21

D

gegeven: ingeschreven vierhoek ABCd

R is de straal van de omgeschreven van D ABC.

te bewijzen: AW + CW = BW + dW = 180°

Bewijs: AW = 21 MX1

omtrekshoeken en

middelpuntshoeken op BCD& CW = 2

1 MX2 4 P AW + CW = 21 · 360° = 180°

MX1 = MX2 = 360° omtrekshoeken en

middelpuntshoeken op BAD&

stelling van Ptolemeus

Ptolemeus leefde in Alexandrië in de tweede eeuw na Christus.

Het product van de diagonalen van een (convexe) koordenvierhoek is gelijk aan de som van de

producten van de overstaande zijden.

ABCD is een korordenvierhoek F |AC|· |BD| = |AB| · |CD| + |AD| · |BC|

De bovenstaande formule bewijst Ptolemeus in zijn werk 'Hè Megalè Syntaxis' (De grote

samenvatting). Later kreeg dit werk, langs Arabische vertalingen om, de naam 'Almagest'.

3

40

3 ) Sinusregel

Onderzoek met bestaande wiskundesoftware

dat in elke D ABC geldt:

A

BC

a

bc

sina

AW = sin

bBW =

sinc

CW

In elke driehoek ABC geldt: sin

aAW =

sinb

BW = sin

cCW

of:

In elke driehoek zijn de zijden evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken.

sinusregel

We bewijzen hier de sinusregel in een scherphoekige driehoek.

Gegeven: D ABC is scherphoekig

Tebewijzen: sin

aAW =

sinb

BW = sin

cCW

Bewijs: Teken de hoogtelijn [AD].A

BC a

b c

D

In D ADC: sin CW = ADb en in D ADB: sin BW =

ADc

L

|AD| = b · sin CW en |AD| = c · sin BW L

b · sin CW = c · sin BW L

sin

bBW =

sinc

CW

Analoog bewijst men (teken de hoogtelijn uit C): sin

bBW =

sina

AWEr geldt dus:

sina

AW = sin

bBW =

sinc

CW

4

185

hoofdstuk 3 • ruimtemeetkunde

5 ) Criterium van loodrechte stand van een rechte en een vlak

omgekeerd stelt zich de vraag:

Wanneer kunnen we met zekerheid beweren dat een rechte a loodrecht op een vlak a staat?

We kunnen onmogelijk nagaan of a loodrecht op alle rechten van a zou staan. We gaan onderzoeken op hoeveel

rechten van a a loodrecht moet staan, opdat a een loodlijn op a zou zijn.

Beschouw de kubus ABCDEFGHd n.

A

B

D

C

E

F

H

G

- op hoeveel rechten door A, gelegen in het grondvlak, staat Af loodrecht?

- Welke?

- staat Af loodrecht op het grondvlak?

We zien dat de loodrechte stand van een rechte t.o.v. één rechte in een vlak

niet volstaat opdat de eerste loodrecht op dat vlak zou staan.

- de rechte AE staat loodrecht op de rechten AB en Ad.

We weten dat AE loodrecht staat op het grondvlak.

opdracht: teken op een blad papier twee snijdende rechten a en b. Leg je tekendriehoek in het vlak van het blad zodanig

dat een rechthoekszijde langs a valt.

t

b

a

10

20

30

40

5060

7080

9080

7060

5040302010

01

23

45

67

89

10

11

12

34

56

78

910

11

t

b

a

de andere rechthoekszijde t van de tekendriehoek staat dus loodrecht op a, maar niet loodrecht op b.

Je ziet duidelijk dat t niet loodrecht op het vlak staat. draai nu de tekendriehoek rond a totdat hij ook

loodrecht staat op b.

Je merkt dat t nu wel loodrecht op het vlak staat.

in woorden:

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat

vlak.

in symbolen:

a, b ⊂ a en {s} = a ∩ b 4

⇒ p ⊥ ap ⊥ a en p ⊥ b

criterium loodrechte stand rechte - vlak

S

p

a

b

2

VOORWOORD

6Bij sommige

oefeningen vind je een of twee sterretjes. Dit duidt de

moeilijkheidsgraad aan.

7Achteraan het boek vind je

een trefwoordenregister.

8Elk hoofdstuk eindigt met

een vaardigheid.

9Hier wordt uitgelegd hoe

een grafische rekenmachine je kan

helpen.

ISBN: 978 90 4861 333 5

Kon. Bib.: D/2012/0147/14

Bestelnr.: 94 505 0071

NUR: 126

Lay-out en opmaak: die Keure

Druk: die Keure

Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.No part of this book may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the publisher.

Foto’s: shutterstock, fotostock die Keure.

Copyright by die Keure Brugge

Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge - België - H.R. Brugge 12.225

Druk: 2012

Je hebt er wellicht al van gehoord in de les aardrijkskunde: lengtecirkels (ook meridianen genoemd)

en breedtecirkels.

nulmedridiaan

NoorderbreedteOosterlengte

ZuiderbreedteOosterlengte

ZuiderbreedteWesterlengte

NoorderbreedteWesterlengte

NB

evenaar

nulmeridiaan

WL

OL

Laat ons nog even herhalen.

Je verdeelt de aardbol in 360°. De lengtecirkels lopen van de noordpool naar de zuidpool en worden beschreven

in graden ten oosten of ten westen van de nulmeridiaan (door Greenwich). Voor de breedte verdeel je de aardbol

aan weerszijden van de evenaar in 90 schijven. Deze breedtecirkels lopen evenwijdig met de evenaar en worden

beschreven in graden ten noorden of ten zuiden van de evenaar. De grootste breedtecirkel is dus de evenaar zelf.

Voor de onderstaande oefeningen ga je ervan uit dat de aarde een perfecte bol is met een straal r = 6378 km.

synthese opdracht: hoe ver is de horizon?

Opdracht 1:

a Bereken de omtrek van de aarde

b Bereken de afstand van de evenaar tot de zuidpool als het

traject over land wordt afgelegd.

c Bereken de omtrek van de poolcirkel die zich op 66° 33'

zuiderbreedte bevindt en van de kreeftskeerkring die zich

op 23° 27' noorderbreedte bevindt.

d Twee steden A en B zijn verbonden door een perfect

rechtlijnige weg. Stel dat men door de aarde een

rechtlijnige tunnel wil bouwen van A naar B.

- Hoeveel korter is de tunnel dan de weg?

- Hoeveel meter onder de begane grond

bevindt de tunnel zich op zijn diepste punt?

Stel: rechtlijnige weg AB%

= 100 km

|AB| is de lengte van de tunnel

p is de grootste diepte.

Synthese opdracht:hoe ver is de horizon?

198

r

r

OEVENAAR 23o27'

66o33'

NOORDPOOL

ZUIDPOOL

kreeftskeerkring

poolcirkelO

A

B

xx—2

r

r

p

8

45

hoofdstuk 1 • driehoeksmeting en de cirkel

Voorbeeld 2: ZhZ

gegeven: Δ ABC

a = 5

b = 4

CW = 37° 15'

gevraagd: AW, BW en c (tot op 10–2 nauwkeurig) b

A

aC B

c

oplossing: c = ?

c2 = a2 + b2 – 2ab · cos CW = 25 + 16 – 40 · cos 37° 15'

= 9,159920

c = 3,03 * Als we de waarde van c verder gebruiken, maak je

best gebruik van de sto toets.

b AW = ?

a2 = b2 + c2 – 2bc · cos AW L *

cos AW = 2 22

bca b c

2–– –

L

cos AW = 2 4 ,,

3 02653625 16 9 159920

–– –$ $

L 0° Õ AV Õ 180°

AW = 89° 37' 18"

c BW = ?

BW = 180° – ( AW + CW) = 180° – (89° 37' 18" + 37° 15') = 53° 7' 42"

Voorbeeld 3: hZh

gegeven: Δ ABC

AW = 24° 13' 56"

BW = 46° 14' 31"

c = 24

gevraagd: a, b (tot op 10–2 nauwkeurig) en CW

b

A

a

C

B c

oplossing: CW = ?

CW = 180° – AW – BW = 180° – 24° 13' 56" – 46° 14' 31"

= 109° 31' 33"

b a = ?

sin

aAW =

sinc

CW L

a = sin

sinc $C

AWW = ° '24 ° ' "

sinsin

109 31 3324 13 56$ = 10,45

c b = ?

sin

bBW =

sinc

CW L

b = sin

sinc $C

BWW = ° ' "24 ° ' "

sinsin

109 31 3346 14 31$ = 18,39

9

hoofdstuk 2 • analytische meetkunde

117

14 Gegeven: a(–2, –2), B(3, 5) en c(6, –6) a stel de vergelijkingen op van de drie hoogtelijnen.

b Bepaal de coördinaat van het snijpunt h van de drie hoogtelijnen.

c stel de vergelijkingen op van de drie middelloodlijnen.

d Bepaal de coördinaat van het snijpunt M van de drie middelloodlijnen.

e stel de vergelijkingen op van de drie zwaartelijnen.

f Bepaal de coördinaat van het zwaartepunt Z.

g toon aan dat deze drie punten (h en M en Z) op één rechte liggen (= de rechte van euler).

h toon aan dat |hZ| = 2 · |ZM|.

i Bepaal de grootte van de hoek in A.

j Bereken de omtrek van driehoek ABC.

k Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.

15 Gegeven: a(1, 4), B(–4, –3) en c(6, 2) a stel de vergelijkingen op van de rechten en AB, BC en CA.

b stel de vergelijkingen op van de drie hoogtelijnen.

c Zoek de coördinaat van het voetpunt van de hoogtelijn uit elk hoekpunt.

d Bereken de lengte van de hoogte uit elk hoekpunt.

e Bereken de oppervlakte D ABC.

16 Gegeven: B(3, –2) en c(–1, 3) Bepaal de punten op d ↔ x – y – 1 = 0 die met B en c een rechthoekige driehoek bepalen.

17 Op de zijden [aB], [Bc], [cd] en [da] van het vierkant aBcd, neemt men respectievelijk de punten P, Q, R, s zodat

|aP| = |BQ| = |cR| = |ds|. toon analytisch aan dat PR ⊥ Qs.

18 in een driehoek aBc trekt men de hoogtelijnen ad en Be (d C Bc en e C ac). het midden m van [aB] wordt met het

midden n van [de] verbonden. Bewijs analytisch dat mn ⊥ de.

19 Bewijs analytisch dat de middelloodlijnen van een driehoek concurrent zijn.

20 de middens van de zijden van een driehoek aBc en het voetpunt van een hoogtelijn zijn hoekpunten van een gelijk-

benige trapezium. Bewijs dit analytisch. neem voor a(–2, 0), B(4, 1) en c(2, 5).

21 Bewijs analytisch dat in een vierkant de diagonalen elkaar loodrecht middendoor delen en even lang zijn.

22 twee rechten met vergelijking y = ax en y = bx met a Œ 0 en b Œ 0 maken een scherpe

O x

y

αβ

y = ax

y = bx hoek, respectievelijk a en b, met de x-as zodanig dat a + b = 90°. hieruit volgt:

a a + b = 1 b a + b = 2 c ab = 1 d a = 2b e a = 4b

VWO 2009, tweede ronde, probleem 17 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

★★

★

★

★

002_092-147_Vbtl4MeetkLw5.indd 117 3/04/12 20:29

6

201

Aafstand punt – rechte > 118afstand tussen twee punten > 118anticomplementaire hoeken > 28antisupplementaire hoeken > 25apothema > 56Archimedes > 91

Bbinnenomtrekshoek > 77buitenomtrekshoek > 77

Ccartesiaanse vergelijking cirkel > 128cavalièreperspectief > 150cirkel > 56cirkelboog > 85cirkelsector > 85complementaire hoeken > 27cosecans > 13cosinus > 9cosinusregel > 41cotangens > 11criterium loodrechte stand > 99

Ddeellijn > 39Descartes > 114dodecaëder > 191

EEscher > 148

Fformule van Heroon > 49

Ggelijke hoeken > 22genormeerde vector > 96georiënteerd > 8georiënteerd lijnstuk > 96goniometrische cirkel > 9grondformule goniometrie > 14

HHeroon > 50hoogtelijn > 37hoogtepunt > 37

Iicosaëder > 191isometrisch perspectief > 150

Kkimduiking > 199koorde > 56koordenvierhoek > 63kruisende rechten > 182kwadrant > 9

Lloodrecht > 182loodvlakken > 186

Mmacht van een punt t.o.v. een cirkel > 69meetkundige plaats > 124, 145middellijn > 56middelloodlijn > 38middelpuntshoek > 60midden > 104middenparallel > 39

Nnatuurlijk perspectief > 150norm van een vector > 96normaal > 64normaalvergelijking > 122

Ooctaëder > 191omtrekshoek > 60orthogonaal > 111, 182

TREFWOORDEN-REGISTER

7

Zoals je op de foto kunt zien is wiskunde een eeuwenoude wetenschap. Bij de bouw van deze 4000 jaar oude piramides, kwam er al heel wat wiskunde kijken. Ze bevinden zich in Egypte, niet zover van Caïro, de stad die je op de achtergrond ziet. Driehoeksmeting en een ruime kennis van ruimtemeetkunde waren nodig om het graf van koning Cheops (de grootste van de drie piramides) op te trekken. als basis een vierkant met een zijde van 230 m. Inwendig een trapconstructie die zorgt voor stabiliteit en waarlangs men de steenmassa naar boven sleur-de, tot zelfs oorspronkelijk 146 m hoog! Hiervoor werd gebruik

gemaakt van schuin oplopende vlakken, onder een welbepaal-de hellingshoek waarop de blokken op sleeën werden voortge-trokken. En hadden ze toen het hoofdstuk 'cirkels' gekend, dan konden ze gebruik maken van wieltransport. Nadien werden de horizontale 'trappen' met stenen volgebouwd zodat de pira-mide volwaardige zijvlakken kreeg onder een hoek van 51° 50' met zijn grondvlak.De auteurs van dit boek hebben getracht om je leerstof op een boeiende en realistische wijze voor te stellen. Veel plezier met het doorworstelen ervan.

InhOuD

1 Driehoeksmetingendecirkel

1.1 Goniometrische getallen > 8 1.2 Goniometrische getallen en verwante hoeken > 22 1.3 Willekeurige driehoeken > 36 1.4 De cirkel > 56 1.5 Regelmatige veelhoeken > 80

Vaardigheden: Wiskunde en Archimedes > 91

2 Analytischemeetkunde

2.1 Vectoren > 94 2.2 Punten en rechten > 104 2.3 afstanden in het vlak > 118 2.4 Vergelijking van een cirkel > 128 Vaardigheden: Wiskundige woordenschat > 144 ICT: meetkundige plaatsen > 145

3 Ruimtemeetkunde

3.1 Punten, rechten, vlakken > 150 3.2 Evenwijdige stand van rechten en vlakken > 166 3.3 Doorsneden > 173 3.4 Loodrechte stand van rechten en vlakken > 182 3.5 Eigenschappen van vlakke figuren gebruiken in ruimtelijke situaties > 190

Syntheseoefening: De horizon en kimduiking > 198

Trefwoordenregister > 201

Net over de grens, voorbij Maastricht, vind je dit ver-keersbord aan de Keutenberg, die de steilste helling van Nederland aankondigt. Deze helling maakt deel uit van de amstel Gold Race.op het bord merk je dat de zwarte driehoek geen correcte wiskundige weergave. Zo moet de rechte hoek onderaan zitten en hoort het getal 22 bij de kortste rechthoekszijde en 100 bij de andere recht-

hoekszijde. Maar zo’n correcte weergave zou het bord plots minder leesbaar maken.Met al deze gegevens is het mogelijk om ook alle hoeken van de driehoek terug te vinden. ook als je de hoeken gegeven hebt, kun je afstanden terugvinden. Deze driehoeksmeting lukt dankzij de kennis van de goniometrische waarden: sinus, cosinus en tangens.

1.1 Goniometrischegetallen 1 Hoofdwaarde van een goniometrische hoek > 8 2 De goniometrische cirkel > 9 3 Goniometrische getallen: sinus en cosinus > 9 4 Goniometrische getallen: tangens > 10 5 Goniometrische getallen: cotangens > 11 6 Goniometrische getallen: secans en cosecans > 13 7 Grondformule van de goniometrie > 14 8 Bewijzen van identiteiten > 15 9 Bijzondere hoeken > 15 10 samenvatting > 17 11 oefeningen > 18

1.2 Goniometrischegetallenenverwantehoeken

1 Gelijke hoeken > 22 2 Tegengestelde hoeken > 23 3 supplementaire hoeken > 24 4 antisupplementaire hoeken > 25 5 Complementaire hoeken > 27 6 anticomplementaire hoeken > 28 7 Herleiden naar het eerste kwadrant > 29 8 Hoek bepalen als het goniometrisch getal gegeven is > 30 9 samenvatting > 31 10 oefeningen > 32

1.3 Willekeurigedriehoeken 1 Weet je nog… formules in een rechthoekige driehoek > 36 2 Weet je nog… bijzondere lijnen in een driehoek > 37 3 sinusregel > 40 4 Cosinusregel > 41 5 oplossen van willekeurige driehoeken > 43 6 Toepassingen > 47 7 oppervlakte van een driehoek > 49 8 samenvatting > 50 9 oefeningen > 51

1.4 Decirkel 1 Terminologie > 56 2 Eigenschappen i.v.m. middellijnen en koorden > 58 3 Middelpuntshoek en omtrekshoek > 60 4 Eigenschappen i.v.m. middelpuntshoeken en omtrekshoeken > 60 5 Toepassingen > 61 6 Koordenvierhoek > 63 7 Raaklijn aan een cirkel > 64 8 Constructies > 65 9 Gemeenschappelijke uitwendige raaklijn aan twee cirkels > 66 10 Gemeenschappelijke inwendige raaklijn aan twee cirkels > 67 11 Raakomtrekshoek > 68 12 Macht van een punt t.o.v. een cirkel > 69 13 samenvatting > 70 14 oefeningen > 72

1.5 Regelmatigeveelhoeken 1 Begrippen en eigenschappen > 80 2 Grootte van een hoek van een regelmatige veelhoek > 81 3 Zijde en omtrek van een regelmatige veelhoek > 82 4 oppervlakte van een regelmatige veelhoek > 83 5 De cirkel als regelmatige veelhoek > 84 6 Het getal p > 84 7 oppervlakte van een cirkel > 85 8 Cirkelboog en cirkelsector > 85 9 samenvatting > 86 10 oefeningen > 87

Vaardigheden Wiskunde & archimedes > 91

1Driehoeksmetingendecirkel

1.1

8

Goniometrischegetallen

1 )hoofdwaardevaneengeoriënteerdehoek

Een hoek kan op twee manieren doorlopen of georiënteerd worden.

in positieve zin:

60°O

A

B in negatieve zin:

–60°O

A

B

Het been [oa kan op [oB afgebeeld worden door oneindig veel draaiingen.

Zo is r(o, 60°)

= r(o, 420°)

= r(o, 60° + 360°)�

1211

109

8

7 65

43

2

1

60

5040

30

2010

60

5040

30

2010

0

8

6 4

2

WIJZERZIN= NEGATIEF

TEGENWIJZERZIN= POSITIEF = r

(o, 780°) = r

(o, 60° + 2 · 360°)

= r(o, 1140°)

= r(o, 60° + 3 · 360°)

= r(o, –300°)

= r(o, 60° + (–1) · 360°)

= r(o, 60° + k · 360°)�

met k C Ž

Het been [oB kan op [oa afgebeeld worden door:

Zo is r(o, –60°)

= r(o, 300°)

= r(o, –60° + 360°)

= r(o, 660°)

= r(o, –60° + 2 · 360°)

= r(o, –420°)

= r(o, –60° – 360°)

= r(o, –60° + k · 360°)��

met k C Ž

Besluit:Een georiënteerde hoek heeft oneindig veel waarden. als a een waarde is van de hoek, dan zijn a + k · 360° (met k C Ž) alle waarden voor die hoek. De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek is die waarde die behoort tot ]–180°, 180°].

Voorbeelden:

hoek a a + k · 360° hoofdwaarde

428° 428° – 360° 68°

–237° –237° + 360° 123°

–2670° –2670° + 7 · 360° –150°

–400° –400° + 360° –40°

9

HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl

2 )Degoniometrischecirkel

Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan het middelpunt de oorsprong is van

een orthonormaal assenstelsel en waarvan de straal als eenheid wordt gekozen.

goniometrische cirkel

1

1

0–1

–1

III

III IV

x

y

De assen van het orthonormaal assenstelsel verdelen de cirkel in vier gebieden, kwadranten

genoemd.

om een georiënteerde hoek in een goniometrische cirkel voor te stellen, kiezen we als begin-

been steeds het positieve gedeelte van de x-as.

op de goniometrische cirkel kunnen we een punt F

aanduiden zodat EOFW = PAQW .

Het snijpunt F van het eindbeen van de georiënteerde

hoek met de goniometrische cirkel noemen we het

beeldpunt van PAQW op de goniometrische cirkel.

Elke hoek heeft zo precies één beeldpunt.

P

Q

A

F

EO

y

x

3 )Goniometrischegetallen:sinusencosinus

In 'VBTL 3 Meetkunde' hebben we de sinus en cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gedefinieerd.

BCAC

schuine zijdeoverstaande rechthoekszijde

BCAB

schuine zijdeaanliggende rechthoekszijde

sin

cos

ab

ac

=

=

B

B

= =

= =

W

WAB

C

ab

c

op de onderstaande goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek a.

M

EO

E'

N

1

–1

–1

10 x

y

D oMN is rechthoekig ( NX = 90°).

OMON ON

ONcos 1a= = = OMMN MN

MNsin 1a= = =

cos a is dus het eerste coördinaatgetal van M en

sin a is het tweede coördinaatgetal van M.

We breiden dit uit tot de volgende twee definities:

De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische

cirkel.

cosinus

De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische

cirkel.

sinus

opmerking:

Voor een beeldpunt M van een hoek a schrijven we: co(M) = (cos a, sin a)

10

x

y

1

1

O 0

M

x

y

1

1

O 0

M

x

y

1

1

O x

y

1

1

O

NN

N N

M

M

00

Gevolgen:

• Tekentabel:

a I II III IV

cos a + – – +

sin a + + – –

• Bijzondere hoeken:

a 0° 90° 180° –90°

cos a 1 0 –1 0

sin a 0 1 0 –1

• Merk op dat |oN| = |cos a|

|MN| = |sin a|

• –1 Æ cos a Æ 1 en –1 Æ sin a Æ 1

of: zowel cos a als sin a behoren tot [–1, 1].

4 )Goniometrischegetallen:tangens

Vorig jaar werd de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gedefinieerd:

ABAC

aanliggende rechthoekszijdeoverstaande rechthoekszijde

tan cbB= = =W

AB

C

ab

c

op de onderstaande goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek a.

x

y

ENO

M1

1

D oMN is rechthoekig ( NX = 90°).

Er geldt dus:

ONMN

tan cossina a

a= =

We breiden dit uit tot de volgende definitie.

De tangens van een hoek a (a ≠ 90° + k · 180°) is het quotiënt van de sinus van die hoek a en de cosinus van die

hoek a.

tan a = cossin

aa met cos a ≠ 0

tangens

Hoe kun je tan a aflezen op de goniometrische cirkel?

oM gaat door de oorsprong o(0, 0) en door M(cos a, sin a)

x

y

EO

E'1

1

oM ↔ y = cossin

aa · x

oM ↔ y = tan a · x

Hieruit leiden we af dat tan a de rico is van oM.

Tekenen we nu de raaklijn in E aan de goniometrische cirkel, dan kunnen we

de coördinaat van P bepalen.

co(P) = (1, tan a)

11


Besluit:

x

y

E(1, 0)

tan α

O

E'(0, 1)Msin α

cos α

P(1, tan α)

• De tangens van een hoek a met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel,

lezen we af als het tweede coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als

snijpunt van de raaklijn in het punt (1, 0) aan de goniometrische cirkel en de

rechte oM.

• De tangens van de hoek a is de richtingscoëfficiënt van oM.

x

y (1, tan α)

x

y

x

y

x

y

(1, tan α)

(1, tan α)

(1, tan α)

1

10

1

10

1

10

1

10

Gevolgen:

• Merk op dat tan 90° en tan (90° + k · 180°) met k C Z

niet bestaan aangezien cos (90° + k · 180°) = 0 en je

dus in de noemer 0 krijgt. De raaklijn in (1, 0) snijdt

de rechte oM niet.

• tan a C R (a ≠ 90° + k · 180° met k C Z)

• Tekentabel:

a I II III IV

tan a + – + -

• Bijzondere hoeken:

a 0° 90° 180° –90°

tan a 0 Ç R 0 Ç R

5 )Goniometrischegetallen:cotangens

cot a = sincos

aa (met sin a ≠ 0) cot a = tan

1a (met tan a ≠ 0)

cotangens

Gevolg: In een rechthoekige driehoek geldt: B

CA b

ca

cot a = overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde

= ACAB c

b=

op de goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek a.

M

Nx

y

cos α

sin α1

10

MNON

cot sincosa a

a= =

(met sin a ≠ 0)

12

Hoe kun je cot a aflezen op de goniometrische cirkel?

x

y

O

M (cos α, sin α)

cos α cot α

P (cot α, 1)

Q

E’

E

1

oM ↔ y = tan a · x

Tekenen we nu de raaklijn in E' aan de goniometrische cirkel dan kunnen we co(P) bepalen.

Het tweede coördinaatgetal van P is 1.

P C oM dus is: 1 = tan a · x

L

tan cotx 1a a= =

en dus is cot a het eerste coördinaatgetal van P.

P co(P) = (cot a, 1)

Besluit:

De cotangens van een hoek a, met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel, lezen we af als het eerste coördi-

naatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (0, 1) aan de goniometrische cirkel

en de rechte oM.

Gevolgen: - Merk op dat cot (k · 180°) (met k C Z ) niet bestaat omdat de raaklijn in (0, 1) de rechte oM

niet snijdt. Bij deze hoeken is de sinus ook altijd 0!

- cot a C R (a ≠ k · 180°) - Tekentabel:

a I II III IV

cot a + – + -

- Bijzondere hoeken:

a 0° 90° 180° –90°

cot a Ç R 0 Ç R 0

samenvatting:

I II III IV

sin a + + – –cos a + – – +tan a + – + –cot a + – + –

+

+

+

+

–

–

–

+

––

+

+

–

–

+

–y y y y

x x x xO O O O

1

1

1

1

1

1

1

1

13


6 )Goniometrischegetallen:secansencosecans

sec a = cos1

a (cos a ≠ 0) csc a = sin1

a (sin a ≠ 0)

secans, cosecans

Gevolgen:

- cos a en sec a hebben hetzelfde teken. ook sin a en csc a hebben hetzelfde teken.

- omdat sin a en cos a beiden tot het interval [–1, 1] behoren, geldt voor de reële getallen csc a en sec a dat zij

elementen zijn van ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[.

Waar vinden we de sec a en csc a op de goniometrische cirkel terug?

P

Q

S

x

y

(0, csc α)

(sec α, 0)O a

1

1

Construeer de raaklijn a in P die de x-as in Q en de y-as snijdt in s.

In D oPQ geldt: cos a = OQOP

L

|oQ| = cos1

a = sec a

als P het beeldpunt is van a op de goniometrische cirkel en a

de raaklijn aan de cirkel in P, dan is sec a het eerste coördi-

naatgetal van het snijpunt van a met de x-as.

In DoPs geldt: sW = a hebben beiden QV als complement

sin a = sin sW = OSOP

L

|os| = sin1

a = csc a csc a is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van a met de y-as.

14

7 )Grondformulevandegoniometrie

Bereken met je rekenmachine: sin2 (41° 5' 11") + cos2 (41° 5' 11")

Vorig jaar leerde je de grondformule sin2a + cos2a = 1 voor scherpe hoeken.

Deze formule zullen we nu veralgemenen voor elke willekeurige, georiënteerde hoek.

sin2a + cos2a = 1

grondformule goniometrie

We bewijzen de stelling voor een hoek die behoort tot ]90°, 180[.

x

y

OB

A(cos α, sin α) 1

1

Gegeven: willekeurige hoek a in het tweede kwadrant met beeldpunt a

Te bewijzen: sin2a + cos2a = 1

Bewijs: D oaB is rechthoekig

L |aB|2 + |oB|2 = |oa|2

L (sin a)2 + (|cos a|)2 = 1 L sin2a + cos2a = 1

Uit de grondformule leiden we af:

sin2 a + cos2 a = 1 L

a2

2

2a

2

asinsin

sin1a =cos+ (indien sin a ≠ 0) en a

2a

2

2aa2

cossin cos

cos1+ = (indien cos a ≠ 0)

L 1 + cot2 a = csc2 a en 1 + tan2 a = sec2 a

1 + cot2a = csc2a 1 + tan2a = sec2a

afgeleide formules:

Toepassingen:Bepaal de cos a en tan a (zonder deze hoek te berekenen) als de hoek a behoort tot het eerste kwadrant en als sin a = 0,2.

Oplossing:

cos a = ? sin2a + cos2a = 1 (grondformule) L cos a = 2a1 sin– (vermits a behoort tot het eerste

L kwadrant is cos a Œ 0)

cos a = 21 0,2– L cos a =

21 5

1– d n L cos a = 25

24

L cos a = 5

2 6

b tan a = ?

tan a = cossin

aa =

52 6

51

= 126

Bepaal cos a en sin a als de hoek a behoort tot het derde kwadrant en als tan a = 3 .

Oplossing:

cos a = ? 1 + tan2a = sec2a L sec2a = 1 + ( 3 )2

L

sec2a = 4 L 2a

1cos = 4

L cos2 a = 4

1

L cos a = 2

1– (vermits a behoort tot het derde

kwadrant is cos a Õ 0)

b sin a = ?

tan a = cossin

aa

L

sin a = tan a · cos a = 3 · 2

1–a k

= 23–

15


8 )Bewijzenvanidentiteiten

Voorbeeld 1:

Toon aan dat voor elke a waarvoor de goniometrische getallen bestaan geldt:

cos sin tan cos1+a a a

a=$

Bewijs:

We starten in het linkerlid en proberen het rechterlid te bekomen.

2

2

2

2

cos sin tan cos sin cossin

coscos sin

cos sincos

cos

1 1

1

1

+ +

+

+

a a a a aaa

aa a

a aa

a

=

=

$ $

=

=

cos a=

Voorbeeld 2:

Toon aan dat voor elke a waarvoor de goniometrische getallen bestaan geldt:

(tan a + cot a)2 = sec2 a + csc2 a

Bewijs:

We trachten de identiteit te bewijzen door beide leden tegelijkertijd om te vormen.

(tan a + cot a)2 = sec2 a + csc2 a B tan2 a + 2 tan a · cot a + cot2 a = (1 + tan2 a) + (1 + cot2 a) B

tan2 a + 2 + cot2 a = 2 + tan2 a + cot2 a De gelijkheid is waar.

9 )Bijzonderehoeken

y

x

C A

BO45o

1 Goniometrische getallen van een hoek van 45°

sin 45° = cos 45° (D oaB is rechthoekig en gelijkbenig)

sin2 45° + cos2 45° = 1 (grondformule)

L*

2 sin2 45° = 1

L

sin2 45° = 21

L

sin 45° = cos 45° = 21 = 2

2 (sin 45° en cos 45° zijn beide positief)

tan 45° = cot 45° = 1

sin 45° = 22 tan 45° = 1

cos 45° = 22 cot 45° = 1

16


y

x

P A

BO60o

Q

omdat |oa| = |oB| = 1, is D oaB gelijkbenig, dus aW = BW aW + BW + oW = 180°

L

aW + aW + 60° = 180°

L

2 aW = 120°

L

aW = 60° = BWDus: D oaB is gelijkzijdig.

Nu: |oQ| = |QB| = 21 (in een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn tevens zwaartelijn en |oQ| = cos 60°)

Dus: cos 60° = 21

sin2 60° + cos2 60° = 1 (grondformule)

L

sin2 60° + 41 = 1

L

sin2 60° = 43 tan 60° = °

°cossin

6060 = 2

3 : 21 = 3

L

sin 60° = 23 (sin 60° is positief) cot 60° = °

°sincos

6060 = 2

1 : 23 =

31 = 3

3

sin 60° = 32 tan 60° = 3

cos 60° = 21 cot 60° = 3

3


omdat |oa| = |oE'| = 1, is D oE'a gelijkbenig, dus oaWE' = oE’Xa

oaWE' + oE’Xa + aoWE' = 180°

y

x

P A

EO30o

Q

E'

L

2oaWE' + (90° – 30°) = 180°

L

oaWE' = 60°

Dus: D oE'a is gelijkzijdig

Nu: |oP| = |PE'| = 21 (in een gelijkbenige driehoek is de

hoogtelijn tevens de zwaartelijn)

Dus: sin 30° = 21

sin2 30° + cos2 30° = 1 (grondformule) tan 30° = °°

cossin

3030 = 2

1 : 23 =

31 = 3

3

L

41 + cos2 30° = 1

L

cos2 30° = 43 cot 30° = °

°sincos

3030 = 2

3 : 21 = 3

L

cos 30° = 23 (cos 30° is positief)

sin 30° = 21 tan 30° = 3

3

cos 30° = 23 cot 30° = 3

17


10 )Samenvatting

• Je kent de betekenis van de hoofdwaarde van een georiënteerde hoek.

De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek a is die waarde die behoort tot ]–180°, 180°].

als a de hoofdwaarde is van een georiënteerde hoek, dan stelt a + k · 360° (k C Z) alle waarden van de

hoek voor.

• Je kent de betekenis van een goniometrische cirkel en kunt voor elke hoek het beeldpunt aanduiden op

deze cirkel.

Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan het middelpunt de oorsprong is van een orthogonaal

assenstelsel en waarvan de straal als een eenheid wordt gekozen.

• Je kunt de cosinus, sinus, tangens en cotangens terugvinden op de goniometrische cirkel.

sin α

cos α

tan α

cot αM

0 1

1

I II III IV

cos a + – – +

sin a + + – –

tan a + – + –

cot a + – + -

- De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de gonio-

metrische cirkel.

- De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de gonio-

metrische cirkel.

- De tangens van een hoek met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel lezen we af als het twee-

de coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (1, 0) aan

de goniometrische cirkel en de rechte oM. tan a = cossinaa .

- De cotangens van een hoek met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel, lezen we af als het

eerste coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (0, 1) aan de goniometrische cirkel en de rechte oM. cot a = sin

cosaa .

• Je kent de definities van secans en cosecans.

sec a = cos1

a (cos a ≠ 0) csc a = sin1

a (sin a ≠ 0)

• Je kunt de grondformule van de goniometrie, alsook de afgeleide formules.

sin2 a + cos2 a = 1 1 + cot2 a = csc2 a 1 + tan2 a = sec2 a

• Je kunt de goniometrische getallen van een hoek berekenen als je weet in welk kwadrant de hoek ligt en

als je één goniometrische waarde gegeven hebt.

• Je kent de goniometrische getallen van bijzondere hoeken.

a 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sin a 0 21

22

23 1 0 –1 0

cos a 1 23

22

21 0 –1 0 1

tan a 0 33 1 3 Ç R 0 Ç R 0

cot a Ç R 3 1 33 0 Ç R 0 Ç R

18

11 )Oefeningen

1 Een hulpmiddeltje? Om de goniometrische getallen van enkele bijzondere hoeken uit het hoofd te leren, kun je on-

derstaand hulpmiddeltje gebruiken.

a Probeer de verschillende stappen te begrijpen.

b Leid ook volgende goniometrische getallen af voor sec a, csc a, tan a en cot a.

stap 1 a 0° 30° 45° 60° 90°

sin a 0 1 2 3 4

cos a 4 3 2 1 0

stap 2 a 0° 30° 45° 60° 90°

sin a 20

21

22

23

24

cos a 24

23

22

21

20

stap 3 a 0° 30° 45° 60° 90°

sin a 0 21

22

23 1

cos a 1 23

22

21 0

2 Bepaal de hoofdwaarde van volgende georiënteerde hoeken.

a 75°

b 210°

c –145°

d –300°

e –760°

f 340°

g –761°

h –3428°

i 6228° 16'

j 278° 19' 34"

k –612° 26' 31"

l –455° 15' 42"

3 Bereken (tot op 5 decimalen) met je rekenmachine.

a cos 35° 17' 48"

b sin (–122° 1' 38")

c tan 92° 1' 38"

d sec 138° 17' 02"

e csc 108° 44'

f cot 55° 33' 11"

g sin 123°

h cos (–10° 20' 30")

i tan 246° 08'

j cot 357° 19'

k csc (–100° 1' 10")

l sec 100° 1' 10"

4 Bereken (tot op 5 decimalen) met je rekenmachine als je weet dat a = 57° 12' 04" en b = 30° 11' 23".

a sin (a + b)

b sin a + sin b

c cos (2a)

d 2cos a

e tan (a – b)

f tan (b – a)

g tan a – tan b

h sin2 a

i cos (2a – 3b)

j tan

sin cos–+α β

α β_ i

k cot (2b)

l 2sec (3b)


19

5 Bepaal.

a sin bb cos ac |oN'|

d cos 0°

e cos 90°

f |oM|

g |oP|

h |oQ|

i tan aj sin 0°

k cos 180°

l cos bm sin an sin 90°

o sin 180°

p |oN|

q cot br |oN| – |oN'|

s sec at csc b

x

y

O

P

N'

M'(–0,6; 0,8)

N

Q

βα

M ,23

21d n

6 Teken een goniometrische cirkel (eenheidstraal 5 cm), teken hierin een georiënteerde hoek van –35° en stel de

sinus, cosinus, tangens en cotangens van deze hoek grafisch voor.

7 Bepaal het teken van de sinus, cosinus, tangens en contangens van volgende hoeken.

a sin a cos a tan a cot a

280° – + – –

a 220°

b 80°

c 160°

d –50°

e –200°

f –140°

8 Bepaal de beeldpunten van de hoeken waarvan de volgende goniometrische getallen gegeven zijn.

a cos a = 0,5

b sin a = 0,5

c cos a = 32–

d sin a = 43

e |cos a| = 43

f tan a = 21

g tan a = 23–

h |tan a| = 34

i cot a = 65–

j (tan a)–1 = 21–

k tan2 a = 4

l cot2 a = 9

m sec a = 3

n csc a = –2

o |csc a| = 25

9 Onderzoek op de goniometrische cirkel welke waarden tan a in de volgende gevallen aanneemt.

a a = 45°

b 0° Æ a Æ 45°

c 45° Æ a Æ 90°

d 90° Õ a Æ 135°

e 135° Õ a Æ 180°

f –45° Æ a Æ 0°

g –90° Õ a Õ –45°

h –135° Æ a Æ –90°

i –180° Æ a Õ –135°

10 Bestaan er hoeken a waarvoor geldt:

a sin a = 1,3 · tan 74°

b cos a = 32– · tan 20°

Verklaar telkens je antwoord.

20

11 Bereken zonder rekenmachine:

a sin 30° · cos 60° + cos 30° · sin 60°

b (cos 60° – sin 60°) · (cos 60° + sin 60°)c cos 60° · cos 90° + sin 60° · sin 90°

d cos 60° · sin 45° · tan 45° + tan 30° · cos 45° · sin 60°

e 3 sec2 30° – 4 sin2 30° + tan2 60° + cot 45°

12 Bepaal zonder a te berekenen de goniometrische getallen van a.

gegeven a in kwadrant gegeven a in kwadrant

a

b

c

d

e

sin a = 13

cos a = –0,5

sin a = 41–

cos a =53

csc a = 3

I

II

III

IV

I

f

g

h

i

j

sec a = –5

tan a = 5

cot a = 33–

sec a = –3

csc a = 2 2

III

I

IV

II

II

13 Bereken 3 tan a – 5 cos a + 2 als sin a = 54 en a tot het eerste kwadrant behoort.

14 Gegeven: sin a = 3 cos a. Bereken nu:

a tan a + cot a b sin a · cos a

15 Vereenvoudig.

a cossin

sincos+a

aaa

b (1– cos2 a) · cot2 a

c 2 – sin2 a – (2 + cos2 a)

d (1 – cos a) · (1 + cos a) + (cos a – sin a)2

16 Een parallellogram heeft zijden 7 en 3 en oppervlakte 18. Als a de kleinste hoek is tussen de zijden dan geldt:

a sin a = 76 b tan a = 7

6 c tan a = 37 d cot a = 3

7 e cos a = 76


17 In driehoek ABC zien we de hoogtelijnen uit A en B. De rechte BD deelt het lijnstuk [AE] middendoor zoals in de fi-

guur. Zij b= ABC\ en c = BCA\ . Dan is tan b · tan γ gelijk aan:

a 21 b 1 c 2 d 3 e 4

C BE

D

A


★


21

18 Toon volgende gelijkheden aan.

a sin a · cot a = cos a

b tan a · cot a = 1

c sin4 a + 2 · sin2 a · cos2 a + cos4 a =1

d (sin a + cos a)2 + (sin a – cos a)2 = 2

e tan a + cot a = sin cos1

a a$

f 21 tantan– a

a = 22cos sinsin cos

–a aa a$

g (1 + tan a) · sin cossin

+a aa = tan a

h (sin a + cos a +1) · (sin a + cos a – 1) = 2 · sin a · cos a

i sin2 a = 2

2

1 tantan+ a

a

j 1sin

cos+a

a = cossin

1 – aa

k sin a – sin3 a = sin a · cos2 a

l (1 + cot2 a) · (1 – cos2 a) = 1

m sin4 a – cos4 a = 1 – 2cos2 a

n sec2 a + csc2 a = sec2 a · csc2 a

o (sec a + tan a – 1)(sec a – tan a + 1) = 2tan a

p tan2 a + csc2 a = cot2 a + sec2 a

★ q cotsin

tancos

1 1– –+aa a

a = sin a + cos a

★ r 2

22

2

cot cscsec tan

––

aaa a = –1

★ s cos a + cos a · sin2a + 4 a

cossin

a = sec a

★ t cos a · (2 + tan a) · (1 + 2 tan a) = cos2

a + 5 sin a

★ u (1 – tan a)2 + (1 – cot a)2 = (sec a – csc a)2

★ v (sec a + csc a) · (sin a + cos a) = sec a · csc a + 2

1.2

22

Goniometrischegetallenenverwantehoeken

1 )Gelijkehoeken

α

A

O B

y

x

α + 360o

De beeldpunten van a en van b = a + k · 360° (met k C R) vallen samen op de

goniometrische cirkel in het punt a.

Er geldt dus: A k C Z:

sin (a + k · 360°) = sin acos (a + k · 360°) = cos atan (a + k · 360°) = tan acot (a + k · 360°) = cot a

Voorbeelden:

sin 730° = sin(10° + 2 · 360°) = sin 10°

cos (–320°) = cos(–320° + 1 · 360°) = cos 40°

tan (–210°) = tan(–210° + 360°) = tan 150°

Goniometrie

In de tweede eeuw na Christus bevatte de Almagest, het grote werk van de Alexandrijnse sterrenkundige Claudius Ptolemeus

(85-165) belangrijke goniometrische methoden.

De formule sin2 a + cos2 a = 1 werd al door de Hindoes gebruikt, zij het onder een andere vorm, en verscheen in Arabische

vertaling in de achtste eeuw.

Het woord sinus komt het eerst voor bij de Italiaan Gerard Van Cremona (114-1187), die in 1175 in Toledo een Latijnse vertaling

maakte van de Arabische vertaling van de Almagest. Het Arabische woord 'jiba' (halve koorde) zou hierbij verward geworden zijn

met het Arabische woord 'jaib' (golf), wat tot het Latijnse woord 'sinus' (golf) zou geleid hebben.

Het woord cosinus komt voor het eerst voor in 1620 bij de Engelse sterrenkundige Gunter (1561-1626), tevens de maker van de

eerste rekenlat (Gunterschaal). Vanaf die tijd begint men de woorden sinus en cosinus af te korten. De eerste afkortingen waren

s, si, sin voor sinus en sco, sico, cos voor cosinus. Vanaf 1753 gebruikte de Zwitserse wiskundige Euler (1707-1783) nog alleen de

afkorting sin en cos en worden deze algemeen aanvaard. Het is ook Euler die in 1763 de betekenis van een sinus of een cosinus

vastlegde zoals we die nu kennen met de grondformule sin2 a+ cos2 a = 1.

De goniometrie krijgt vanaf 1763 haar hedendaagse gedaante.

Het woord tangens is een verouderde benaming voor 'raaklijn' en komt van het Latijnse 'tangere' (raken). Het woord secans

houdt verband met het Latijnse 'secare' (snijden).

Cosinus, cotangens en cosecans zijn gevormd uit sinus, tangens, secans van het complement.

23


2 )Tegengesteldehoeken

Beschouwen we in de goniometrische

cirkel een georiënteerde hoek a.

α

A

O B

y

x

–α

A'

C

1

1

De hoek –a kunnen we bepalen door [oa

te spiegelen t.o.v. de x-as.

aangezien de x-as een symmetrieas is

van de cirkel geldt: BoWa = a'oWB.

a + (–a) = 0°

Bijgevolg is D oaC , D oa'C

en cos(–a) = cos a en sin(–a) = –sin a.

Uit tan(–a) = cossin

––

aa__ii leiden we af dat tan (–a) = –tan a.

Besluit:

sin α

y

xcos α = cos (–α)

–sin α= sin (–α)

(1, tan (–α))= (1, – tan α)

(1, tan α)

α

–α

1

10

sin (–a) = –sin acos (–a) = cos atan (–a) = –tan acot (–a) = –cot a

Tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen en tegengestelde sinussen.

Gevolg:

Uit de eigenschap leiden we af dat tegengestelde hoeken een tegengestelde tangens en cotangens hebben.

Voorbeeld:

cos (–70°) = cos 70°

sin (–120°) = –sin 120°

tan (–34°) = –tan 34°

cos a = 43 F a = 41° 24' 35" + k · 360° (k C Z) of

a = –41° 24' 35" + k · 360° (k C Z)

opmerking:

Tegengestelde hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen

t.o.v. de x-as.

24

3 )Supplementairehoeken

Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.

Dus:

a + (180° – a) = 180°

supplementaire hoeken

Voorbeelden: HOEK SUpplEMENTAIRE HOEK

30° 150°

–114° 294°

a 180° – a


sin 30° = 0,5

sin 150° = 0,5

cos 30° = 0,866025

cos 150° = –0,866025

tan 30° = 0,577350

tan 150° = –0,577350

sin 114° = 0,913545

sin 66° = 0,913545

cos 114° = –0,406737

cos 66° = 0,406737

tan 114° = –2,246037

tan 66° = 2,246037

Uit deze voorbeelden blijkt dat supplementaire hoeken gelijke sinussen, tegengestelde cosinussen en tegenge-

stelde tangenten hebben.

supplementaire hoeken hebben gelijke sinussen en tegengestelde cosinussen.

Gegeven: de hoek aTe bewijzen: sin (180° – a) = sin a cos (180° – a) = –cos aBewijs: a is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.

E'

O

B

y

xαE

A

DCE"

180o – α


EoWB + BoWE'' = 180°

L

180° – a + BoWE'' = 180°

L

BoWE'' = a

Dit betekent ook dat E'oWB = 90° – a = aoWE' en dus is

de y-as de deellijn van aoWB.

L

B = sy (a) want |oB| = |oa| = 1 en D oaB is dus gelijkbenig en in een gelijkbenige driehoek is de deellijn uit de tophoek tevens middelloodlijn.

In D oBC en D oaD geldt: CW = DW = 90° ZHH

BoWC = aoWD = a P D oBC , D oaD

|oB| = |oa| = 1 4

Ldefinitie congruente driehoeken

|oC| = |oD| en |BC| = |aD|

L

–cos (180° – a) = cos a en sin (180° – a) = sin a L

cos (180° – a) = –cos a en sin (180° – a) = sin a

opmerking:

supplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. de y-as.

25


Gevolg:

supplementaire hoeken hebben tegengestelde tangenten.

Inderdaad, tan (180° – a) = °°

cossin

180180

––

aa

__

ii = cos

sin– a

a = –tan a

opmerking:

als a = 90°, dan is cos a = 0 en dan is tan a niet gedefinieerd.

Besluit:

sin (180° – a) = sin acos (180° – a) = –cos atan (180° – a) = –tan acot (180° – a) = –cot a

α

y

x

180o – α

–cos α = cos (180o – α)

sin α= sin (180o – α)

(1, tan (180o – α))= (1, –tan α)

(1, tan α)

0 1

Voorbeelden:

sin 150° = sin (180° – 150°) = sin 30°

cos 20° = –cos (180° – 20°) = –cos 160°

tan (–140°) = –tan 140° = tan (180° – 140°) = tan 40°

sin a = 32 F a = 41° 48' 37" + k · 360° (k C Z) of

a = 138° 11' 23" + k · 360° (k C Z)

4 )Antisupplementairehoeken

Antisupplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 180° is.

Dus:

(a + 180°) – a = 180°

antisupplementaire hoeken

Voorbeelden: HOEK ANTISUpplEMENTAIRE HOEK

30° 210°

–35° 145°

a 180° + a


sin 30° = 0,5

sin 210° = –0,5

cos 30° = 0,866025

cos 210° = –0,866025

tan 30° = 0,577350

tan 210° = 0,577350

sin (–35°) = –0,573576

sin 145° = 0,573576

cos (–35°) = 0,819152

cos 145° = –0,819152

tan (–35°) = –0,700208

tan 145° = –0,700208

Uit deze voorbeelden blijkt dat antisupplementaire hoeken een gelijke tangens en een tegengestelde cosinus en

sinus hebben.

26

antisupplementaire hoeken hebben tegengestelde sinussen en tegengestelde cosinussen.

Gegeven: de hoek aTe bewijzen: sin (180° + a) = –sin a cos (180° + a) = –cos aBewijs: a is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.

B is het beeldpunt van 180° + a op de goniometrische cirkel.

O

y

xα

A

DC

180o + α

B

1

1

In D aDo en D BCo geldt:

|oa| = |oB| = 1

aoWD = BoWC (overstaande hoeken)

DW = CW = 90° \

L ZHH

D aDo , D BCo L definitie congruente driehoeken

|aD| = |BC| en |oD| = |oC| L

sin a = –sin (180° + a) en cos a = –cos (180° + a) L

sin (180° + a) = –sin a en cos (180° + a) = –cos a

Gevolg:

antisupplementaire hoeken die niet recht zijn, hebben gelijke tangenten.

Inderdaad, tan (180° + a) = °°

cossin

180180

++

aa

__

ii = cos

sin––

aa = tan a

opmerking:

anitsupplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. o.

Besluit:

sin (180° + a) = –sin acos (180° + a) = –cos atan (180° + a) = tan acot (180° + a) = cot a

y

xα

180o + α

(1, tan α)= (1, tan (180o + α))

–cos α= cos (180o + α)

–sin α= sin (180o + α)

1

1O cos α

sin α

Voorbeelden:

tan 224° = tan (180° + 44°) = tan 44°

sin 320° = –sin 140°

cos (–40°) = –cos 140°

tan a = 45 F a = 51° 20' 25" + k · 360° (k C Z) of

a = 231° 20' 25" + k · 360° (k C Z)� � � � of korter: a = 51° 20' 25" + k · 180° (k C Z)

27


5 )Complementairehoeken

Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 90° is.

Dus:

a + (90° – a) = 90°

Complementaire hoeken

Voorbeelden: HOEK COMplEMENTAIRE HOEK

30° 60°

150° –60°

a 90° – a


sin 30° = 0,5

cos 60° = 0,5

cos 30° = 0,866025

sin 60° = 0,866025

tan 30° = 0,577350

cot 60° = 0,577350

Uit deze voorbeelden blijkt dat de sinus van een hoek gelijk is aan de cosinus van zijn complement, dat de cosinus

van een hoek gelijk is aan de sinus van zijn complement, dat de tangens van een hoek gelijk is aan de cotangens van

zijn complement en dat de contangens van een hoek gelijk is aan de tangens van zijn complement.

De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement.

De cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van zijn complement.

Gegeven: De hoek aTe bewijzen: sin a = cos (90° – a) cos a = sin (90° – a)Bewijs: a is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.


BoWE' + EoWB = 90° L

BoWE' + 90° – a = 90° L

BoWE' = a

E'

O

B

y

xαE

A

D

S

90o – αα

We tekenen de eerste bissectrice van het assenkruis met vergelijking y = x.

os is deellijn van aoWB want

aoWs = EoWs – a = 45° – a oWB = soWE' – a = 45° – a D aoB is gelijkbenig want |ao| = |oB| = 1

os is ook een middelloodlijn in D aoB, dus is B = sos (a)

co(a) = (cos a, sin a) co(B) = (sin a, cos a) want B = sos (a) maar:

co(B) = (cos(90° – a), sin(90° – a)) dus:

sin a = cos (90° – a) cos a = sin (90° – a)opmerking: De beeldpunten van complementaire hoeken zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de eerste bissectrice.

Gevolg: tan (90° – a) = °°

cossin

00

99

––

aa

__

ii = sin

cosaa = cot a

28

Besluit:

sin (90° – a) = cos acos (90° – a) = sin atan (90° – a) = cot acot (90° – a) = tan a

y

xα90o – α

(cot α, 1)

(1, tan (90o – α))= (1, cot α)

cos (90o – α)= sin α

sin (90o – α)= cos α

sin α

cos α

1

10

6 )Anticomplementairehoeken

Anticomplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 90° is.

Anticomplementaire hoeken

Voorbeeld: 156° en 66° zijn anticomplementaire heoeken want 156° – 66° = 90°


sin 156° = 0,406737

cos 66° = 0,406737

cos 156° = –0,913545

sin 66° = 0,913545

tan 156° = –0,445229

cot 66° = 0,445229

Uit voorbeelden merken we op:

sin (90° + a) = cos acos (90° + a) = –sin a

Gegeven: de hoek aTe bewijzen: sin (90° + a) = cos a cos (90° + a) = –sin aBewijs: a is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.

B is het beeldpunt van 90° + a op de goniometrische cirkel.

F

O

B

y

xα

A

DC

90o + α

sin (90o + α)sin α

cos α cos (90o + α)

1

1

In D oBF en D oaD geldt:

|oB| = |oa| = 1

FoWB = DoWa

FW = DW = 90° \

L ZHH

D oBF , D oaD L definitie congruente driehoeken

|Fo| = |oD| en |BF| = |aD| L |BC| = |oD| en |oC| = |aD| L

sin (90° + a) = cos a en cos (90° + a) = –sin a

29


Gevolg: tan (90° + a) = °°sin

cos 9090

++

aa

__

ii = sin

cos– a

a = –cot aBesluit:

y

xα90o + α

(cot α, 1)

(1, tan α)

(1, tan (90o + α))= (1, –cot α)

cos α

sin α

sin (90o + α)= cos α

cos (90o + α)= –sin α

(–tan α, 1) =(cot (90o + α), 1)

1

10

sin (90° + a) = cos acos (90° + a) = –sin atan (90° + a) = –cot acot (90° + a) = –tan a

Voorbeelden:

sin 120° = cos 30°

cos 170° = –sin 80°

tan 40° = –cot 130°

7 )herleidennaarheteerstekwadrant

Door te steunen op de formules van verwante hoeken kan men de goniometrische getallen van hoeken waarvan

het beeldpunt niet tot het eerste kwadrant behoort, herleiden tot goniometrische getallen van hoeken waarvan het

beeldpunt wel tot het eerste kwadrant behoort.

Deze methode wordt ook 'herleiden naar het eerste kwadrant' genoemd.

Voorbeelden:

sin 160° = sin (180° – 160°) = sin 20° behoort tot behoort tot het tweede kwadrant het eerste kwadrant

tan (–85°) = –tan 85° behoort tot behoort tot het vierde kwadrant het eerste kwadrant

1 Herleiden van het tweede kwadrant naar het eerste kwadrant

Door een geheel aantal keren 360° bij de gegeven hoek bij te tellen of af te trekken, kan men altijd een hoekgrootte

krijgen tussen 90° en 180°.

Daarna gebruikt men de formules voor supplementaire hoeken.

Voorbeelden:

cos 165° = –cos 15°

cot 828° = cot (828° – 720°) = cot 108° = –cot 72°

sin (–225°) = sin (–225° + 360°) = sin 135° = sin 45°

30

2 Herleiden van het derde kwadrant naar het eerste kwadrant

Door een geheel aantal keren 360° bij de gegeven hoek op te tellen of af te trekken, kan men altijd een hoekgrootte

krijgen tussen 180° en 270°.

Daarna gebruikt men de formules voor antisupplementaire hoeken.

Voorbeelden:

tan 220° = tan (180° + 40°) = tan 40°

cos (–107°) = cos (–107° + 360°) = cos 253° = cos (180° + 73°) = –cos 73°

3 Herleiden van het vierde kwadrant naar het eerste kwadrant

Door een geheel getal aantal keren 360° bij de gegeven hoek op te tellen of af te trekken, kan men altijd een hoek-

grootte krijgen tussen –90° en 0°.

Daarna gebruikt men de formules voor tegengestelde hoeken.

Voorbeelden:

cot (–65°) = –cot 65°

cos 700°� = cos (700° – 720°) = cos (–20°) = cos 20°

8 )hoekbepalenalshetgoniometrischgetalgegevenis

Voorbeeld 1: algemeen:

sin x = 23

B

sin x = sin 60°

B supplementaire hoeken

x = 60° + k · 360° of x = 120° + k · 360°

sin x = sin a B

x = a + k · 360° of x = 180° – a + k · 360°

met k C Z


cos x = 21–

B

cos x = cos 120°

B tegengestelde hoeken

x = 120° + k · 360° of x = –120° + k · 360°

cos x = cos a B

x = a + k · 360° of x = –a + k · 360°

met k C Z


tan x = 3

B

tan x = tan 60°

B antisupplementaire hoeken

x = 60° + k · 360° of x = 180° + 60° + k · 360°

B

x = 60° + 2k · 180° of x = 60° + (2k + 1) · 180°

B

x = 60° + k' · 180°

tan x = tan a B

x = a + k · 360° of x = 180° + a + k · 360°

B

x = a + 2k · 180° of x = a + (2k + 1) · 180°

B

x = a + k' · 180°

met k, k' C Z

31



cot x = –1

B

cot x = cot (–45°) B antisupplementaire hoeken

x = –45° + k · 360° of x = –45° + 180° + k · 360°

B

x = –45° + 2k · 180° of x = –45° + (2k + 1) · 180°

B

x = –45° + k' · 180°

cot x = cot a B

x = a + k · 360° of x = 180° + a + k · 360°

B

x = a + 2k · 180° of x = a + (2k + 1) · 180°

B

x = a + k' · 180°

met k, k' C Z

sin x = sin a B x = a + k · 360° of x = 180° – a + k · 360°

tan x = tan a B x = a + k · 180° met k C Z

cos x = cos a B x = a + k · 360° of x = –a + k · 360°

cot x = cot a B x = a + k ·180° met k C Z

9 )Samenvatting

• Je kent de betekenis van tegengestelde, supplementaire, antisupplementaire, complementaire en anticom-

plementaire hoeken.

Tegengestelde hoeken zijn hoeken waarbij enkel het toestandsteken verschilt.

supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.

antisupplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 180° is.

Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 90° is.

anticomplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 90° is.

• Je kent het verband tussen deze hoeken en hun goniometrische getallen.

gelijke

hoeken

a + k · 360°

tegengestelde

hoeken

–a

supplemen-

taire hoeken

180° – a

antisupple-

mentaire

hoeken

180° + a

complemen-

taire hoeken

90° – a

anticomple-

mentaire

hoeken

90° + a

sin … sin a – sin a sin a –sin a cos a cos a

cos … cos a cos a –cos a –cos a sin a –sin a

tan … tan a –tan a –tan a tan a cot a –cot a

cot … cot a –cot a –cot a cot a tan a –tan a

• Je kunt de hoeken herleiden naar het eerste kwadrant.

• Je kunt een hoek berekenen als een goniometrisch getal gegeven is. (k C Z) sin x = sin a F x = a + k · 360° of x = 180° – a + k · 360° cos x = cos a F x = a + k · 360° of x = –a + k · 360° tan x = tan a F x = a + k · 180° cot x = cot a F x = a + k · 180°

32

10 )Oefeningen

1 Vul volgende tabel aan:

aTEGEN-

GESTElDESUpplEMENT ANTISUpplEMENT COMplEMENT

a 68°

b 134°

c 222°

d 281°

e –37°

f –100°

g 90°

h 180°

i b + 10°

j 20° – b

k b – 30°

l b – 2γ

2 Vereenvoudig.

a sin (360° + a)b cos (a – 180°)c tan (360° – a)d cot (a – 90°)e sec (540° + a)

f csc (540° – a)g sin (270° – a)h cos (a – 360°)i tan (a + 90°)j cot (a – 270°)

k sec (810° + a)l csc (720° – a)m sin (900° + a)n tan (990° – a)o cot (990° + a)

3 Herleid naar een goniometrisch getal van een hoek die tot het eerste kwadrant behoort.

a sin 130°

b cos 340°

c tan 410°

d cot 100°

e sin (–43°)

f cos (–67° 20' 31")g tan 110° 40' 38"

h cot (–60 14' 33")i sin 428° 18' 31"

j cos (–92° 59' 59")

k tan 96° 34' 22"

l cot 640° 22' 31"

m sec 200° 40' 30"

n csc (–43° 25' 31")

4 Bereken volgende goniometrische getallen zonder GRM door eerst te herleiden naar een goniometrisch getal van

een hoek die tot het eerste kwadrant behoort.

a sin 210°

b cos 300°

c tan (–45°)d cot 390°

e sin 120°

f cos 225°

g tan (–120°)h cot (–60°)i sin 135°

j cos 330°

k tan 405°

l cot (–150°)

m sin 315°

n cos –135°

o tan 150°

p cot –30°

q sin 420°

r cos 240°

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKVORMIGHEDEN

5 Gegeven: sin 23° = 0,390731

Gevraagd: Bereken zonder rekenmachine en verklaar.

a sin 157° b cos 67° c cos 113°

6 Gegeven: sin 75° = 46 2+

Gevraagd: Bereken zonder rekenmachine en verantwoord:

a cos 15° c sin 105°

b cos 165° d sin (–75°)

7 Gegeven: y

xα

β

δγ

O

Vul aan:

a a en b zijn _________________

b a en γ zijn _________________

c a en δ zijn _________________

d b en γ zijn _________________

e b en δ zijn _________________

f γ + δ = _________________

8 Waar of niet waar? Verklaar je antwoord.

a De sinus is een hoek tussen –1 en 1.

b In het eerste kwadrant wordt de sinus groter naarmate de hoek groter wordt.

c Met elke hoek komt één cosinuswaarde overeen en omgekeerd.

d als de tangens van een hoek 1 is, is die hoek gelijk aan 45° (op 360° na). e De cosecans van een hoek is in absolute waarde groter of gelijk aan 1.

f Bij een rechte hoek is de sinus gelijk aan de cosecans en omgekeerd.

g Cosinus en sinus van een hoek hebben altijd hetzelfde teken.

h als de secans van een hoek negatief is en de cosecans van een hoek positief, dan ligt de hoek in het vierde kwadrant.

i supplementaire hoeken hebben gelijke sinussen.

j In het tweede kwadrant wordt de cosinus groter naarmate de hoek kleiner wordt.

k De cosinus van de anticomplementaire hoek van een hoek is gelijk aan de sinus van die hoek.

l als de sinus van een hoek –1 is, is die hoek gelijk aan –450° + k · 360°.

m De tangens is de inverse van de cotangens.

n als de sinus en de cosinus van een hoek gelijk zijn, ligt deze hoek in het eerste of derde kwadrant.

o secans kwadraat van een hoek plus één is gelijk aan de tangens kwadraat van die hoek.

p Gelijke hoeken zijn hoeken die dezelfde sinus hebben.

q als de cosinus van een hoek negatief is en de cotangens van die hoek positief, dan ligt die hoek in het derde kwadrant.

r Tegengestelde hoeken hebben tegengestelde cosinussen.

s als de tangens en de cotangens van een hoek gelijk zijn, ligt deze hoek in het eerste of derde kwadrant.

t De cosinus van een hoek is de omgekeerde van de secans van die hoek.

9 Gegeven: sin a = 53 en cos a Õ 0

Gevraagd: a Bereken de tangens van de supplementaire hoek.

b Bereken de cotangens van de complementaire hoek.

c Bereken de cosinus van de antisupplementaire hoek.

d Bereken de secans van de tegengestelde hoek.

e Bereken de cosecans van de anticomplementaire hoek.

33

34

10 Vereenvoudig.

a sin a · cos (180° – a) + cos a · sin (180° – a)

b sin a · sin (180° – a) – cos a · cos (180° – a)

c cos (90° + a) + cos (90° – a) + cos (a – 90°) + cos (360° – a)

d cos (a – 180°) + cos (360° – a) + cos (90° – a) + cos (180° + a)

e tan (180° + a) + tan (90° + a) + tan (a – 90°) + tan (180° – a)

f ° °

180° °cos cot

sin tan90 270

180– – –

–+a a

a a$$

_ __ _

i ii i

★ g 2° ° ° °° 180° ° 360°

cot cot csc cossin cos sec tan

270 540 1080 180720 90– – –

– – ++a a a a

a a a a+$ $ $

$ $ $_ _ _ __ _ _ _

i i i ii i i i

★ h tan tan csc

sin cos sec270 540 630540 90 360

° – – – ° – °° ° – – °+a a a

a a a

$ $$ $

_ _ __ _ _

i i ii i i

★ i csc tan

sin secsin900

180 450 360– ° –

° ° – °+ + +a a

a a a

$$ $_ _

_ _ _i i

i i i

★ j °

270° °° 180°

° °cot sec

sin tantan cotcos csc

180450

180630 720

– ––

–– –

–+

+a aa a

a aa a

$$

$$

_ __ _

_ __ _

i ii i

i ii i

★ k °

° °° °

° °°sin cos

tan cotcos secsin sec

540 270720 270

90 9090 360

–– –

– –++

+ +a a

a a

a a

a a

$$

$$

_ __ _

_ __ _

i ii i

i ii i

11 Verklaar volgende gelijkheden:

a sin (70° – a) = cos(20° + a) b cos (65° + a) = sin (a + 155°) c tan (48° – (a + b)) = cot (42° + a + b)

12 Toon volgende gelijkheden aan.

a cos a + cos(180° – a) = 0

b 2 · sin a + sin(180° – a) = 3 · sin a ★ c tan(36° + a) · tan(54° – a) = sin2(20° + a) + sin2(70° – a) ★ d sin(5° – a) · tan(85° + a) · sec(5° – a) = 1

13 Als a en b elkaars complement zijn, bewijs dan dat:

a sin2 a + sin2 b = 1

b tan a · tan b = 1

c cos2 a + cos2 b = 1


35

14 Toon aan:

a 4 · sin3 120° + 3 · sin 240° = 0 c cos2 30° + cos3 70° + cos3 110° + cos3 150° = 0

b 3 · sin2 120° + 2 · cos3 240° = 2 d 3 · tan2 30° + tan3 80° + tan 225° + tan3 280° = 2

15 Toon aan:

a + b = 90°

4

2 6βα

16 Bepaal a als:

a sin a = 0,25

b cos a = –0,38

c tan a = –15,62

d cos a = 0,5

e cot a = –1

f sin a = 23

g cos a = 21–

h cot a = 3

17 Bepaal op de goniometrische cirkel de gevraagde hoeken zodat:

a 1

–1

–1

1

M

α0

c 1

–1

–1

1

M

α0

b1 = a + 180°b2 = –a + 90°b3 = –a – 180°b4 = 180° – ab5 = –a – 90°

b 1

–1

–1

1

Mα

0

d 1

–1

–1

1

M

α

0

18 Als a, b en γ de hoeken zijn van een driehoek, vereenvoudig dan tan

sin sin+

+ +β γ

α β γ__ii.

C

B

A

D

1

1

0

y

x

19 Als B het beeldpunt is van een georiënteerde hoek van 120° en D het beeldpunt is

van –30°, bereken dan de oppervlakte van de vierhoek ABCD.

★

★

MEETKUNDE leerweg 5 - die Keure · 2016-08-23 · Als m ↔ ↔ax + by + c = 0, dan is a b ax by c...

Documents

Transcript of MEETKUNDE leerweg 5 - die Keure · 2016-08-23 · Als m ↔ ↔ax + by + c = 0, dan is a b ax by c...