havo B Samenvatting Hoofdstuk 12

Voorkennis

f(x) = ax3

f’(x) = 3ax²g(x) = ax4

g’(x) = 4ax3

h(x) = ax5

h’(x) = 5ax4

algemeen geldt :k(x) = axn

k’(x) = n · axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

12.1

Voorkenniswerkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden

1 bereken f’(x).2 los algebraïsch op f’(x) = 0.3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …

raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

12.1

De productregel

12.1

De ABC-formule

ax2 + bx + c = 0

De discriminant D = b2 – 4ac

D < 0 geeft geen oplossingen.D = 0 geeft 1 oplossing.D > 0 geeft 2 oplossingen.

2 2

b D b Dx x

a a

12.2

opgave 19

a

Stel k : y = ax + b

dus

Dus

2 214 4

( ) 4x x

f x x xx x x

22

4'( ) 1 4 1f x x

x

2

4 5'(3) 1

3 9a f

5:

9k y x b

23 4 13(3)

3 3f

13(3, )

3A

13 53

3 9b

8

3b

5 8:

9 3k y x

12.2

De kettingregel

Kettingregel:

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctiey = f (x) als volgt te werk.• Schrijf f als een ketting van twee functies.• Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide.• Druk het product van de afgeleide functies uit in x.

dy dy du

dx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van

de schakels

12.3

Sinus, cosinus en tangens

O (1,0)

y

xA

α

P (xP,yP)

1sin α = = = yP

cos α = = = xP

tan α = =

PQ

OP

yP

1OQ

OP

xP

1Q

∟

sos cas toa

xP

yP

1

PQ

OQ

yp

xp

12.4

De exacte-waarden-cirkel

12.4

De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x)

f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x)g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x)

opgave 52af (x) = cos(2x)Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2xf’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x)

dy dy du

dx du dx

12.5

opgave 57d

j (x) = x + 3 sin2(x)j’ (x) = [x + 3 (sin(x))2]’j’ (x) = 1 + 3 · 2 sin(x) · cos(x)j’ (x) = 1 + 6 sin(x) · cos(x)

j’

12.5

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum.

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn:Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ?Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ?Bij welke route horen de laagste kosten ?

12.6

opgave 70

De inhoud is I = πr2h ,dus 500 = πr2h.dus h =

De materiaalkosten zijnK = πr2 · 1 + πr2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh .

K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr +

Voer in y1 = 3πx2 + 4πx +

De optie minimum geeft x ≈ 3,5.De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingenr ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm.

500 πr2

500 πr2

1000 r

a

b 1000 x

r

K

3,5

445,1

onderkant bovenkant rand van deksel mantel

12.6