Binomium van NewtonFaculteit Voor n ∈ N geldt n!=n∗(n−1 )∗…∗2∗1voor n≠0 ,want 0 !=1Combinaties Voor n ,k∈N met k ≤n geldt (nk)= n !k ! (n−k )!Matrices

Matrix Een ¿ordemXn (m ,n N0 ) is eenvlak waardenmet m rijenennkolommen : A=(aij)i=1 ,… ,m; j=1…. ,, n=

a11 a12 a1na21 … a2nam1 … amn

Speciale matrixEenvierkante ¿evenveel rijenals kolommen. Deorde ismXm ¿)Eenkolom−¿een¿ordemX 1 (m∈N 0 )

a=a1…am

Een rij−¿een¿orde 1 Xm (m∈ N0 )a '=(a1a2…am)Symmetrische matrix Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde, of A=A’. De driehoek boven en onder de hoofddiagonaal zijn elkaars spiegelbeeld.Gelijkheid Tweematrices vandezelfde orde zijngelijk als alle overeenkomstigeelementen aanelkaar gelijk zijn : A=B≤¿ ∀ i , ∀ j : aij=bij Product van de matrix met een getalEen matrix vermenigvuldigen met een (reëel) getal betekent dat je elk element van de matrix met dat getal vermenigvuldigd: k∗A=C≤¿∀ i ,∀ j :c ij=k∗a ij

Transponeren De getransponeerde matrix van een matrix van orde mXn is een matrix van de orden nXm die bestaat uit de elementen van de oorspronkelijke matrix waarbij rijen en kolommen werden omgewisseld. Notatie: A’ of ATSom en verschil van 2 matrices

Twee matrices van dezelfde orde kunnen bij elkaar opgeteld (resp van elkaar afgetrokken) worden door alle overeenkomstige elementen bij elkaar op te tellen (resp van elkaar af te trekken): A±B=C≤¿∀ i ,∀ j : aij±bij=cij

Product van 2 matricesEen matrix van orde mXk en een matrix van orde kXn kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden als volgt: A∗B=C≤¿ ∀ i , ∀ j :c ij=∑

l=1

k

ail bljDe matrix C heeft orde mXn. Het element c ijvind je door de i-de rij van de matrix A te vermenigvuldigen met de j-de kolom van de matrix B.Speciale producten Een uitvoerbaar product van een rij met een matrix is terug een rij. Voor a’ met orde 1Xw en B met orde mXn heeft het product a’B orde 1Xn.Een uitvoerbaar product van een matrix met een kolom is terug een kolom. Voor A met orde mXn en b met orde nX1 heeft het product Ab orde mX1.Een uitvoerbaar product van een rij met een kolom is een getal. Voor a’ met orde 1Xm en b met orde mX1 heeft het product a’b orde

1X1.Determinant van matrix van orde 2X2De determinant van een vierkante matrix A van orde 2X2 kan berekend worden als volgt: det A=|A|=a11a22−a12a21

Determinant van matrix van orde 3X3 - Regel SarrusDe determinant van een vierkante matrix A van orde 3X3 kan berekend worden als volgt:det A=|A|=a11a22 a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23 a32−a12 a21 a33

Definiete matricesEen symmetrische matrix A van orde nXn is positief definiet, als voor elke kolom x≠0 met n elementen geldt dat x’Ax>0Een symmetrische matrix A van orde nXn is negatief definiet, als voor elke kolom x≠0 met n elementen geldt dat x’Ax<0Een symmetrische matrix A van orde nXn is non-definiet, als voor elke kolom x≠0 en y≠0 bestaan met n elementen waarvoor x’Ax>0 en y’Ay<0

Definiete matrices van orde 2X2Een symmetrische matrix A=a b

b cis Positief definiet, indien a > 0 en det A > 0 Negatief definiet, indien a < 0 en det A > 0 Non definiet, indien det A < 0

Definiete matrices van orde3X3Een symmetrische matrix A=a b c

b d ec e f

is Positief definiet, indien a > 0 en det A > 0 en |a b

b d|>0 Negatief definiet, indien a < 0 en det A < 0 en|a b

b d|>0 Non definiet, indien andersFuncties

FunctieEen reële functie f is een voorschrift dat aan elk element van een verzameling A R (domein of definitiegebied, x-waarde) een element van een verzameling B R (bereik of beeldgebied, y-waarde) toekent.Notatie: f: A→ B: x → f(x) of f: R→ R: x → f(x)

Eénwaardig Een functie is éénwaardie wanneer met elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke (x) juist 1 waarde van de afhankelijke veranderlijke (y) overeenstemt. In andere gevallen noemt men de functie meerwaardig.Eénduidig Een functie is éénduidig wanneer met elke waarde van de afhankelijk veranderlijke (y) juist 1 waarden van de onafhankelijke veranderlijke (x) overeenstemt. In andere gevallen noemt men de functie meerduidig.Expliciet Men spreekt van een expliciete voorstelling van de functie f: R→ R, wanneer het voorschrift kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke, maw y=f(x).Impliciet Men spreekt van een impliciete voorstelling van de functie f: R→ R, wanneer het voorschrift niet kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke, maar impliciet bepaald wordt uit een verband F(x,y)=0Even – oneven Een reële functie f: R→ R: x → f(x) is een even functie, indien voor elke waarde x uit het domein geldt: f(x)=f(-x). de grafiek van de

functie is symmetrisch tovd Y-as.Een reële functie f: R→ R: x → f(x) is een oneven functie, indien voor elke waarde x uit het domein geldt: f(x)= -f(-x). de grafiek van de functie is symmetrisch tovd oorsprong.Het is ook mogelijk dat de functie noch even, noch oneven is.Periodiek Een reële functie f: R→ R: x → f(x) is een periodieke functie met periode p, indien p ∈ R+de kleinste waarde is waarvoor elke waarde x uit het domein geldt: f(x+p)=f(x)Invers

Een reële functie g: R→ R: x → g(x) is een inverse functie van f: R→ R: x → f(x), indien voor elke waarde y uit het domein van f geldt: f(y)=x g(x)=y (f’(x)=y)Meestal noteert men de inverse functie als g=f -1. De beeldlijnen van de functies f en f -1 zijn gespiegeld tov de eerste bissectrice (y=x)Samengestelde functie Een reële functie f: R→ R: x → f(x) is een samenstelling van functies g: R→ R: → g(x) en h: R→ R: → h(x), of f= g h, indien voor elke waarde van x geldt f(x)= g(h(x)).Stuksgewijs gedefinieerde functieEen reële functie g: R→ R: x → g(x) is een stuksgewijs gedefinieerde functie indien het voorschrift verschilt voor verschillende delen va het domein van de functie.

Lineaire functie

Een lineaire functie of affiene functie heeft voorschrift f: R→ R: x → f(x) = mx+q.Een lineaire functie wordt grafisch voorgesteld door een rechte. De waarde m is de richtingscoëfficiënt of helling van de functie, de waarde q bepaalt het snijpunt van de beeldlijn van de functie met de y-as.Een vergelijking van een rechte kan geschreven worden in;Impliciete vorm ax+by+c=0, met a, b ∈ R niet beiden nul, ofExpliciete vorm y=mx+q, met m, q ∈ R, ofExpliciete vorm x=p, met p ∈ RDe vergelijking van een rechte door twee punten met coördinaten (x1 , y1 ) en (x2 , y2 ) kan gevonden worden als (x2−x1 ) ( y− y1 )=(x−x1) ( y2− y1 )De rico = ( y2− y1 )

(x2−x1 )De vergelijking van een rechte door 1 punt met coördinaten (x1 , y1 ) en met gegeven rico m kan gevonden worden als y –y1=m(x-x1)Snijpunten van 2 rechten met vergelijkingen a1x+b1y+c1=0 en a2x+b2y+c2=0 kunnen gevonden worden door oplossing van het stelsel{a1x+b1 y+c 1=0a2x+b2 y+c 2=0Ofwel heeft dit geen enkele oplossing, ofwel heeft dit 1 unieke oplossing (snijpunt), ofwel heeft dit oneindig veel oplossingen (rechten vallen samen).Absolute waarde functie De absolute waarde functie associeert met elk reëel getal zijn absolute waarde: abs : R→ R: x → abs(x) = |x|Veeltermfunctie Een veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift f: R→ R: x → f(x) = anxn+ an-1xn-1+…+a1x+a0, met n ∈ N en met a0, a1,…, an-1, an ≠ 0.

Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele reële as, en wordt grafisch voorgesteld door een gladde éénwaardige kromme.

ParaboolDe top van de parabool heeft coördinaten (x0,y0). De symmetrieas is evenwijdig aan de y-as en heeft vergelijking x = x0. De parabool heeft de holle zijde naar boven indien a>0, naar benden indien a<0.Elke vergelijking van de gedaante y=ax +bx+c beschrijft een ²parabool. Om de top te kennen, bereken je x0= - b

2a;y0 is dan de functiewaarde van x0. Rationale functie (veeltermbreuk)

Een rationale functie heeft voorschrift f : R→ R: x → f(x) = an x

n+an−1xn−1+…+a1 x+a0

bm xm+bm−1 xm−1+…+b1 x+b0

, met n ∈ N en met a0, a1,…, an-1, an, b0, b1,…, bn-1, bn ∈ R. het domein van een rationale functie is de reële as verminderd met de waarden waarvoor de noemer nul wordt.

Irrationale functieEen irrationale functie heeft een voorschrift waarin een of meer wortelvormen voorkomen. Het domein van een irrationale functie is beperkt tot dat deel van de reële as waarvoor het argument onder de wortel het juiste teken bezit.

Cirkel De impliciete vergelijking: (x-x0) +(y-y² 0) =r , met x² ² 0, y0 ∈ R en r ∈ R+0 beschrijft een cirkel. Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten (x0,y0); de straal is r.Sinusfunctie

De sinusfunctie sin : R→ R: x → sin(x) Is positief voor hoeken uit het eerste en tweede kwadrant, en negatief voor hoeken uit het derde en vierde kwadrant. Heeft domein en R bereik [−1 ,1 ]. Is éénwaardig en meerduidig Is een oneven functie Is een periodieke functie met periode 2π

CosinusfunctieDe cosinusfunctie cos : R→ R: x → cos(x)

Is positief voor hoeken uit het eerste en vierde kwadrant, en negatief voor hoeken uit het tweede en derde kwadrant. Heeft domein en R bereik [−1 ,1 ]. Is éénwaardig en meerduidig Is een even functie Is een periodieke functie met periode 2π

TangensfunctieDe tangensfunctie tan : R→ R: x → tan(x)

Is positief voor hoeken uit het eerste en derde kwadrant, en negatief voor hoeken uit het tweede en vierde kwadrant. Heeft domein en R\{(2n+1 ) π

2:nϵ Z } bereik R.

Is éénwaardig en meerduidig Is een oneven functie Is een periodieke functie met periode 2πBoogsinusfunctie De boogsinusfunctie is de inverse van de sinusfunctie. De gewone boogsinusfuctie bgsin wordt gedefinieerd als y=bgsin(x) x=sin(y).De hoofdwaarde Bgsin wordt gedefinieerd als y = Bgsin (x)

{ x=sin ( y)

y∈[−π2

, π2 ]

Bgsin (eigenschap)De functie bgsin : R→ R: x → bgsin(x)

Heeft domein [-1, 1] en bereik R Is meerwaardig en éénduidigDe functie Bgsin : R → R: x → Bgsin(x) Heeft domein [-1, 1] en bereik [-π/2, π/2] Is éénwaardig en éénduidig

BoogcosinusfunctieDe boogcosinusfunctie is de inverse van de cosinusfunctie. De gewone boogcosinusfuctie bgcos wordt gedefinieerd als y=bgcos(x) x=cos(y).De hoofdwaarde Bgcos wordt gedefinieerd als y = Bgcos (x) {x=cos ( y )y∈ [0 , π ]

Bgcos (eigenschap)De functie bgcos : R→ R: x → bgcos(x)

Heeft domein [-1, 1] en bereik R Is meerwaardig en éénduidigDe functie Bgcos : R → R: x → Bgcos(x) Heeft domein [-1, 1] en bereik [0, π] Is éénwaardig en éénduidig

BoogtangensfunctieDe boogtangensfunctie is de inverse van de tangensfunctie. De gewone boogtangensfuctie bgtan wordt gedefinieerd als y=bgtan(x) x=tan(y).De hoofdwaarde Bgtan wordt gedefinieerd als y = Bgtan (x) { x=tan ( y )

y∈[−π2

, π2 ]

Bgtan (eigenschap)De functie bgtan : R→ R: x → bgtan(x)

Heeft domein R en bereik R\{(2n+1) π/2 : n ∈ Z} Is meerwaardig en éénduidigDe functie Bgtan : R → R: x → Bgtan(x) Heeft domein [-1, 1] en bereik ]-π/2, π/2[ Is éénwaardig en éénduidig

Exponentiële functieEen exponentiële functie heeft voorschrift expa : R → R+ : x → expa(x) = ax, met a ∈ R+\{0,1}. Het domein van een exponentiële functie is R, het bereik is R+0. Het grondtal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1.

Exponentiële functie (eigenschap)Een exponentiële functie expa met a ∈ R+{0,1} is

Een éénwaardige functie Een strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie indien a<1Figuren p 39Logaritmische functie De logaritmische functie loga is de inverse van de exponentiële functie expa. Ze heeft voorschrift loga : R+0 → R : x → loga(x) met a ∈ R+\{0,1}, en wordt gedefinieerd als y = loga(x) x= ay. Het domein van een logaritmische functie is R+0, het bereik is R.Het grondgetal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend

van 1.Logaritmische functie (eig)

Een logaritmische functie loga met a ∈ R+\{0,1} is Een éénwaardige functieEen strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie indien a<1 LimietenLimiet Een functie f : R → R : x → f(x)bereikt in het punt x = a de limietwaarde L, of lim

x→af (x )=L als de functiewaarden willekeurig dichtbij L komen voor die punten die dicht naar a naderen. A mag ook ∞ zijn.

Oneigenlijk Wanneer de functiewaarde f(x) onbeperkt toeneemt of afneemt wanneer x nadert naar een reëel getal a, dan noemt men de limiet oneigenlijk. limx→af ( x )=±∞. In dit geval bereken we afzonderlijk linker – en rechterlimiet.

Linker – en rechterlimietDe linkerlimiet van en functie f in het punt x =a wordt gedefinieerd als lim

x ¿→a

f ( x )De rechterlimiet van en functie f in het punt x =a wordt gedefinieerd als limx ¿→a

f ( x )

Continuïteit Een functie f : R → R : x → f(x) is continu in een punt x =a als limx→a

f ( x )=f (a). Indien de functiewaarde of de limietwaarde niet bestaan, of indien ze verschillend zijn, noemt men de functie discontinu in het betreffende punt.

AsymptotenEen asymptoot van een functie is een rechte die de beeldlijn van deze functie willekeurig dicht nadert. Men deelt de asymptoten op in 3 types:

Horizontale asymptoot: y=b Verticale asymptoot: x=a Schuine asymptoot: y=mx+q (m≠0)Een éénwaardige functie kan een onbeperkt aantal verticale asymptoten hebben, maar in totaal hoogstens 2 schuine en/of horizontale asymptoten.Afgeleiden

Afgeleiden in een puntDe afgeleide van functie f : R → R : x → f(x) in een punt x0 wordt gedefinieerd door:F’(x0)= df (x )dx (x0) = lim ¿h→0

f (x0+h )−f (x0)h

¿

Afgeleide functie

De afgeleide functie f’ of dfdx van een functie f : R → R : x → f(x) beeldt elk punt af op de afgeleide in dat punt, of f’ : R → R : x → f’(x) = dfdx (x) = lim ¿h→0f ( x+h )− f (x )

h ¿Een functie is afleidbaar in een punt, als de afgeleide in dat punt bestaat, of als dat punt behoort tot het domein van de afgeleide functie. als de limiet bestaat.Noteren we ∆x ipv h, dan kunnen we de breuk schrijven als f ( x+∆ x )−f (x)

∆ x=∆ y

∆x . Men noemt dit een differentiequotiënt.

Helling De helling van de curve f in een punt P = (x0, f(x0)) is de helling van de raaklijn aan de curve in dat punt, en kan berekend worden als de afgeleide van f in het punt x0 of f’(x0)= lim ¿h→0f ( x+h )− f (x )

h ¿. Kettingregel Indien f en g afleidbare functies zijn, dan geldt voor de samengestelde functie f g

ddx

¿ g)(x) = ddx (f(g(x))) = f’(g(x))g’(x)

Afleidbaarheid en continuïteit

Een functie f die afleidbaar is in een punt x=a, ia automatisch ook continu in dat punt. Een functie f die continu is in een punt x=a, is in dat punt niet noodzakelijk afleidbaar. Continuïteit is dus een nodige, maar geen voldoende voorwaarde voor afleidbaarheid.Vb absolute waarde functie abs : x → |x|, waarvoor we de afgeleide functie kunnen berekenen als ddx abs(x) = {−1als x<01als x>0In alle punten x ≠ 0 bestaat de afgeleide, en is de functie abs continu, in x = 0 is de functie wel continu, maar bestaat de afgeleide niet.Hogere orde afgeleide

De hogere orde afgeleiden van een functie f : R → R : x → f (x) worden gedefinieerd alsf’’(x) = d ²dx ² f(x)= ddx (f’(x))

f’’’(x) = d ³dx ³ f(x) = ddx (f’’(x))fn(x) = dn

d xn f(x) = ddx (fn-1(x)), n ≥ 2Raaklijnen Beschouw een afleidbare functie f en een punt P = (x0,f(x0)). De vergelijking van de raaklijn aan de curve in het punt P luidt y-f(x0) = f’(x0)(x-x0)Lineaire benadering

De beeldwaarde op de raaklijn kan gebruikt worden al benadering voor de werkelijke functiewaarde, of voor x in de buurt van x0. F(x) ≈ f(x0)+f’(x0)(x-x0). Men noemt dit een lineaire benadering of benadering van eerste orde.Differentiaal Voor een afleidbare functie met voorschrift y=f(x) wordt de differentiaal in een punt x0 gedefinieerd al df(x0)=f’(x0)dx + p77Impliciet afleiden

Wanneer de vergelijking van een functie gegeven is in een impliciete vorm F(x,y) = 0, dan kan de afgeleide van y naar x, of van de (onbekende) expliciete vorm y = f(x) als volgt gevonden worden: Leid beide leden af naar x Groepeer de termen met y’ en de termen zonder y’ Los op naar y’Vbn p 78 en 79

Logaritmisch afleidenVoor elke functie met expliciete vergelijking y = f(x), kan de afgeleide al volgt gevonden worden:

Neem de logaritme van beide leden, en vereenvoudig ln(f(x)) Leid beide leden af naar x Los op naar y’Vbn p 80

Extremum-onderzoek

Stijgen – dalenEen functie f is stijgend op een interval als voor elke twee punten a<b uit dit interval geldt dat f(a)≤f(b).Een functie f is dalend op een interval als voor twee punten a<b uit dit interval geldt dat f(a) ≥f(b)Strikt wil zeggen dat er geen horizontale stukken zijn.Opmerking: punten waar de functie overgaat van stijgen naar dalen of van dalen naar stijgen, zijn (lokale) extrema (minimum, maximum)

Stijgen – dalen (eigenschap)

Beschouw een functie f die continu en afleidbaar is op een interval.De functie f is stijgend op dit interval f’ ≥ 0 voor alle punten van het interval.De functie f is dalend op dit interval f’ ≤ 0 voor alle punten van het interval.Indien f’=0 op een interval, dan is de functie tegelijkertijd stijgend en dalend, en dus constant op dit interval.Vb p 104Opmerking:De eigenschap zegt dat wanneer een functie overal in een interval afleidbaar is, het teken van de afgeleide aangeeft of de functie stijgt of daalt op dit interval. Ook wanneer er een discreet aantal punten zijn waar de afgeleid oneigenlijk is of zelfs niet bestaat, blijft de eigenschap gelden. Zie p 105

Convex - concaaf

Een functie f is convex op een interval als voor elke twee punten a en b uit dit interval geldt dat f((a+b)/2) ≤ (f(a)+f(b))/2Een functie is concaaf op een interval als voor elke twee punten a en b uit dit interval geldt dat f((a+b)/2) ≥ (f(a)+f(b))/2Opmerking:Punten waar de functie overgaat van convex naar concaaf of andersom, zijn buigpunten.Voor afleidbare functies bestaat er een eenvoudig verband tussen het convex en concaaf zijn en het teken van de tweede afgeleide.

Convex – concaaf (eig)

Beschouw een functie f die continu en tweemaal afleidbaar is op een intervalDe functie f is convex op dit interval f’’ ≥ 0 voor alle punten van het interval.De functie f is concaaf op dit interval f’’ ≤ 0 voor alle punten van het interval.Indien f’’ = 0 op een interval, dan is de functie tegelijkertijd convex en concaaf en dus lineair op dit interval.Opmerking:De eigenschap zegt dat wanneer een functie over in een interval tweemaal afleidbaar is, het teken van de tweede afgeleide aangeeft of de functie convex of concaaf is op dit interval. Opnieuw blijft de eigenschap gelden wanneer er een discreet aantal punten zijn waar de tweede afgeleide oneigenlijk is of zelfs niet bestaat.Absolute extrema

Een continue functie f bereikt een absoluut maximum in het punt a indien voor elk punt x uit het domein geldt dat f(x) ≤ f(a).Een continue functie f bereikt een absoluut minimum in het punt a indien voor elk punt x uit het domein geldt dat f(x) ≥ f(a).Lokale extrema Een continue functie f bereikt een lokaal maximum in het punt x0

indien voor elk punt x in de buurt van het punt x0 geldt dat f(x) ≤ f(x0).Een continue functie f bereikt een lokaal minimum in het punt x0 indien voor elk punt x in de buurt van het punt x0 geldt dat f(x) ≥ f(x0).Let op:Bij een continue functie kan een extremum enkel optreden in punten waar de afgeleide nul wordt of niet bestaat. Het omgekeerde is niet waar: het feit dat de afgeleide nul wordt, garandeert niet dat we te maken hebben met een extremum. Het gaat dus om een noodzakelijke voorwaarde, maar niet om een voldoende voorwaarde.

Eerste test voor extrema

Beschouw een functie f die continu is in een punt x0, dat geen randpunt is van het domein. Als de afgeleide functie in het punt x0 verandert van teken, dan bereikt de functie in x0 een lokaal extremum. Indien f’(x) > 0 op ]x0 - h, x0[ en f’(x) < 0 op ]x0, x0+h[ voor h ∈ R+, maw indien f in x0 overgaat van stijgen naar dalen, dan heeft f een lokaal maximum in x0. Indien f’(x) < 0 op ]x0 - h, x0[ en f’(x) > 0 op ]x0, x0+h[ voor h ∈ R+, maw indien f in x0 overgaat van dalen naar stijgen, dan heeft f een lokaal minimum in x0.Opmerking: Het bestaan van f’(x0) zelf is in deze stelling niet vereist; in het punt x0 kan de afgeleide nul worden (een kritisch punt of stationair punt), of kan de afgeleide niet bestaan (een singulier punt). Voor functies die overal afleidbaar zijn, komen enkel de stationaire punten in aanmerking voor het bepalen van extrema.

Tweede test voor extrema

Beschouw een functie f die tweemaal afleidbaar is op een interval [a, b]. De functie f bereikt een lokaal maximum in een punt x0 van

het interval ]a, b[, als {f ' (x0 )=0f ' ' (x0 )<0 De functie f bereikt een lokaal minimum in een punt x0 van

het interval ]a, b[, als {f ' (x0 )=0f ' ' (x0 )>0De voorwaarde op f’ noemt men eerste orde voorwaarde en die op f’’ tweede orde voorwaarde.Opmerking:Indien f’(x0) = 0 en f’’(x0) = 0, dan kunnen we geen onmiddellijk besluit trekken, en is verder onderzoek noodzakelijk, vb door toepassing van de eerste test voor extrema. Het punt x0 kan dan naast een extremum ook een buigpunt zijn.Vb p 108 -109Buigpunten Een continue functie f bereikt een buigpunt in het punt x0, indien de functie in dit punt overgaat van een convexe toestand naar een concave toestand, of andersom.Eerste test voor buigpunten Beschouw een functie f die continu is in een punt x0, dat geen randpunt is van het domein. Als de tweede afgeleide in het punt x0

verandert van teken, dan bereikt de functie in x0 een buigpunt. Indien f’’(x) > 0 op ]x0 – h, x0[ en f’’(x) < 0 op ]x0, x0 + h[ voor h ∈ R+, maw indien f in x0 overgaat van convex naar concaaf, dan heeft f een buigpunt in x0 Indien f’’(x) < 0 op ]x0 – h, x0[ en f’’(x) > 0 op ]x0, x0 + h[ voor h ∈ R+, maw indien f in x0 overgaat van concaaf naar convex, dan heeft f een buigpunt in x0

Tweede test voor buigpuntenBeschouw een functie f die tweemaal afleidbaar is op een interval [a, b]/

De functie f bereikt een buigpunt in een punt x0 van het interval ]a, b[, als { f ' ' ( x0 )=0

f ' ' wisselt van teken∈x0Vb p 110

Globaal functieverloop

Doorloop volgende stappen bij het onderzoek naar het verloop van een reële functie f:1. Domein Bestaansinterval Discontinuïteitspunten2. Symmetrieën Even – oneven Periodiciteit 3. Eenvoudige punten Snijpunten met coördinaatassen Randpunten van het bestaansinterval4. Asymptoten Horizontale en schuine asymptoten Verticale asymptoten5. Eerste afgeleide Voorschrift van f’ Nulpunten van f’ (stationaire punten) en punten waar f’ niet bestaat (singuliere punten) Teken van f’ voor stijgen en dalen van f Extrema 6. Tweede afgeleide Voorschrift van f’’ Nulpunten van f’’ en punten waar f’’ niet bestaat Teken van f’’ voor convexiteit van f Buigpunten 7. GrafiekVbn p 112 – 116 Functies

FunctieEen reële functie f met twee veranderlijken is een voorschrift dat aan elk element van een verzameling A R x R (domein of definitiegebied) een element van een verzameling B R (bereik of beeldgebied) toekent.Notatie: f: R x R→ R : (x,y) → f(x,y) of f: R → R: (x,y) ² → f(x,y)Onafhankelijke en afhankelijke veranderlijkenX en y zijn onafhankelijke veranderlijkenZ is de afhankelijke veranderlijke

Impliciet Men spreekt van een impliciete voorstelling van de functie f: R x

R→ R, wanneer het voorschrift niet kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke, maar impliciet bepaald wordt uit een verband F(x,y,z)=0Expliciet Men spreekt van een expliciete voorstelling van de functie f: R x R→ R, wanneer het voorschrift kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke, maw z=f(x,y).P 125 - 128 Oppervlakken en krommen, vlakken en rechten, gebruik van vlakke doorsnedenContour Oor een reële functie f met twee veranderlijken f : R → R : (x,y) → f(x,y) definieert men een contour of contourlijn als de verzameling van alle punten in het XY-vlak met eenzelfde beeldwaarde, of Cf(α)={(x,y) ∈ R | f(x,y) = α}²Contour-plot Is een grafische voorstelling van verschillende contourlijnen tegelijkertijd. (grijstinten) p129Homogene functie

Een reële functie f : R → R : (x,y) ² → f(x,y) is een homogene functie van graad m, indien voor elk paar (x,y) uit het domein en voor willekeurige t ∈ R+0 geldt: f(tx,ty) = tm f(x,y).Opmerking: De graad m hoeft niet noodzakelijk geheel of positief te zijn.Vbn p 130Speciale situaties zijn homogene functies met graad 1 en graad 0.Zie p 130Uitbreiding: n-dimensies Algemene functies: zie p 132Homogene functies: zie p 132Partiële afgeleiden

Partiële afgeleiden

De partiële afgeleide naar x van de functie f : R → R : (x, y) ² → f(x, y) in een punt (x0, y0) wordt gedefinieerd door: f’x (x0, y0) = ∂ f∂x

(x0 , y0) = limh→ 0

f ( x0+h , y0 )−f (x0 , y0)hDe partiële afgeleide naar y van de functie f : R → R : (x, y) ² → f(x, y) in een punt (x0, y0) wordt gedefinieerd door: f’y (x0, y0) = ∂ f∂ y (x0 , y0 )

= limh→0

f ( x0 , y0+h )−f (x0 , y0 )hBeide partiële afgeleiden kunnen we terug als functies definiëren, waarvoor we de notaties f’x = ∂ f

∂x of f’y = ∂ f∂ y gebruiken.Betekenis partiële afgeleideDe partiële afgeleide van een functie f naar x berekend in het punt (x0, y0), is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de (vlakke) doorsnede van het oppervlak met het val y = y0 in het punt P = (x0, y0, f(x0, y0)):

Vlakke doorsnede: {z=f (x , y0 )y= y0

Helling: f’x (x0, y0) = limh→ 0

f ( x0+h , y0 )−f (x0 , y0)hDe partiële afgeleide van een functie f naar y berekend in het punt (x0, y0), is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de (vlakke) doorsnede van het oppervlak met het val x = x0 in het punt P = (x0, y0, f(x0, y0)):

Vlakke doorsnede: {z=f (x0 , y )y= y0

Helling: f’y (x0, y0) = limh→ 0

f ( x0 , y0+h )−f (x0 , y0 )hVaststellingen:

∂ f∂x

(x0, y0) >0: doorsnede van het oppervlak met het vla y = y0 in het punt P stijgend ∂ f

∂x(x0, y0) <0: doorsnede van het oppervlak met het vla y = y0 in het punt P dalend

∂ f∂ y

(x0, y0) >0: doorsnede van het oppervlak met het vla x = x0 in het punt P stijgend ∂ f

∂ y(x0, y0) <0: doorsnede van het oppervlak met het vla x = x0 in het punt P dalend

Hogere orde partiële afgeleiden

De tweede orde partiële afgeleiden van een functie f : R → R : (x,y)² → f(x,y) worden gedefinieerd als:f xx' ' =∂ ² f

∂ x ²= ∂

∂x( ∂ f∂ x

)

f xy' ' = ∂2 f

∂ x ∂ y= ∂

∂ x ( ∂ f∂ y )f yx' ' = ∂2 f

∂ y ∂x= ∂

∂ y ( ∂ f∂ x )f yy' ' = ∂ ² f

∂ y ²= ∂

∂ y( ∂ f∂ y

)Vbn p 150 – 151Stelling van Young of stelling van ClairautBeschouw een functie f : R → R: (x,y) ² → f(x,y) waarvoor de beide gemengde partiële afgeleiden f xy

' ' en f yx' ' continu zijn in een gebied G R . dan geldt op dit gebied G dat ² f xy

' ' =f yx' 'Verder uitleg p 151 -152

HessiaanVoor een functie f : R → R: (x,y) ² → f(x,y) wordt de hessiaan of Hessiaanse matrix in het punt (x,y) gedefinieerd al:H f ( x , y )=( ∂2 f

∂ x2(x , y ) ∂ ² f

∂ x∂ y(x , y )

∂ ² f∂ y ∂ x

(x , y ) ∂ ² f∂ y ²

(x , y ) )=( f xx' ' (x , y ) f xy

' ' (x , y )f yx' ' (x , y) f yy

' ' (x , y))Merk op: ALTIJD symmetrisch

Raakvlak Beschouw een afleidbare functie f en een punt P = (x0,y0, f(x0,y0)). De vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak in het punt P luit: z – f(x0,y0) = f x' (x0, y0) (x-x0) +f y

' (x0,y0) (y-y0)Lineaire benadering

De beeldwaarde op het raakvlak kan gebruikt worden al benadering voor de werkelijke functiewaarde, of voor (x,y) in de buurt van (x0,y0): f(x,y)≈ f(x0,y0) + f x' (x0, y0) (x-x0) +f y' (x0,y0) (y-y0). Men noemt dit een lineaire benadering of benadering van eerste orde.Totale differentiaal Voor een partieel afleidbare functie met voorschrift z = f(x,y) wordt de totale differentiaal in een punt (x0, y0) gedefinieerd als df(x0,y0)

= f x' (x0,y0)dx + f y' (x0,y0)dy = dxf(x0,y0) + dyf(x0,y0).Verkorte notatie: dz= f x

' dx + f y' dy

Impliciete functie F(x,y) = 0Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke gegeven is in een impliciete vorm F(x,y) = 0, dan kan de afgeleide voor de (onbekende) expliciete vorm y = f(x) in een punt x0 gevonden worden als: f’(x0) = −F x

' (x0 , y0)F y

' (x0 , y0) met y0 bepaald door F(x0,y0)=0 voor zover de functie f gedefinieerd is en de partiële afgeleide in de noemer verschilt van nul.

Bewijs p 155

F(x,y) = 0↓dF(x,y)=0↓F x

' dx+F y' dy=0↓

F y' dy=−Fx

' dx↓Y’=dydx

=−F x

'

F y'

Impliciete functie F(x,y,z) = 0

Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke veranderlijken gegeven is in een impliciete vorm F(x,y,z) = 0, dan kan de afgeleide voor de (onbekende) expliciete vorm z = f(x,y) in een punt (x0,yà) gevonden worden als: f x' (x0,y0) = −F x

' (x0, y0 , z0)F z

' (x0 , y0 , z0) = ∂ z

∂x en f y

' (x0,y0) = −F y' (x0 , y0 , z0)

F z' (x0, y0 , z0)

= ∂ z∂x met z0 bepaald door F(x0,y0,z0)=0 voor zover de functie f gedefinieerd is en de partiële afgeleide in de noemer verschilt van nul.

Bewijs p 156

F(x,y,z) = 0↓dF(x,y,z)=0↓F x

' dx+F y' dy+F z

' dz=0↓F z

' dz=−F x' dx−F y

' dy↓dz = −F x'

F z' dx−

F y'

F z' dy↓

∂ z∂x

=−F x

'

F z' en ∂ z

∂ y=−F y

'

F z'

Raaklijn De vergelijking van de raaklijn in het punt P = (x0,y0) aan de curve met impliciete vergelijking F(x,y)=0 luidt F x

' ( x0 , y0 )(x−x0)+F y' (x0 , y0)( y− y0)=0Bewijs ( y− y0 )=f ' (x¿¿0)(x−x0)¿↓

f’(x0) = −Fx' (x0 , y0 )

F y' ( x0 , y0 )↓

( y− y0 )=−Fx

' ( x0 , y0 )F y

' (x0, y0 )(x−x0)↓

F y' (x0 , y0 ) ( y− y0 )=−Fx

' (x0 , y0 )(x−x0)

Raakvlak De vergelijking van het raakvlak in het punt P = (x0,y0,z0) aan de curve met impliciete vergelijking F(x,y,z)=0 luidt F x

' ( x0 , y0 , z0 ) (x−x0 )+F y' ( x0 , y0 , z0 ) ( y− y0 )+F z

' (x0 , y 0 , z0)(z−z0)=0

Bewijs

( z−z0 )=f x' (x0 , y0 ) (x−x0 )+f (x0 , y0 ) ( y− y0 )↓

f x' (x0, y0 )=

−Fx' (x0 , y0 , z0 )

F z' ( x0 , y0 , z0)

en f y' (x0 , y0 )=

−F y' (x0 , y0 , z0 )

F z' (x0, y0 , z0)↓

( z−z0 )=−F x

' (x0 , y0 , z0 )F z

' (x0 , y0 , z0)(x−x0 )−

F y' (x0 , y0 , z0 )

F z' (x0 , y0 , z0)

( y− y0 )↓F z

' (x0 , y0 , z0 ) ( z−z0 )=−Fx' (x0 , y0 , z0 ) (x−x0 )−F y

' (x0 , y0 , z0 ) ( y− y0 )

Homogene functies

Indien de functie f : R → R homogen is van graad m, en indien de ²partiële afgeleiden bestaan, dan geldt voor de partiële afgeleiden van eerste orde: De functies ∂ f

∂x en ∂ f∂ y zijn ook homogene functie van graad m -1 x∂ f

∂x (x,y) + y ∂ f∂ y (x,y) ≡m ( fx , y ) stelling/identiteit van Euler p 164Vbn p164N – dimensies P 165 – 166 Extremum-onderzoek

Lokale extremaEen functie f : R → R bereikt een lokaal maximum in het punt ²(x0,y0), indien voor elk punt (x,y) in de buurt van het punt (x0,y0) geldt dat f(x,y)≤f(x0,y0)Een functie f : R → R bereikt een lokaal minimum in het punt ²(x0,y0), indien voor elk punt (x,y) in de buurt van het punt (x0,y0) geldt dat f(x,y)≥f(x0,y0)

Lokale extrema eerst orde voorwaardeEen partieel afleidbare functie f : R → R kan enkel ene lokaal ²extremum bereiken in het punt (x0,y0) als dit punt een stationair of kritisch punt is, ie {f x' (x0 , y0 )=0f y' (x0 , y 0 )=0

HessiaanVoor een functie f : R → R : (x,y) ² → f(x,y) wordt de Hessiaan of Hessiaanse matrix voor een punt (x0,y0) gedefinieerd als:H f (x0 , y0 )=( f xx

' ' (x0 , y0) f xy' ' (x0 , y0)

f yx' ' (x0 , y0) f yy

' ' (x0 , y0))

Teken hessiaan Een Hessiaanse matrix Hf(x0,y0) is positief definiet als f xx' ' (x0 , y0 )>0 en det [Hf(x0,y0)]>0 negatief definiet als f xx' ' (x0 , y0 )>0 en det [Hf(x0,y0)]> 0 non definiet als det [Hf(x0,y0)]<0

Lokale extrema tweede orde voorwaarde

Beschouw een partieel afleidbare functie f en een stationair punt (x0,y0). Als de Hessiaan Hf(x0,y0) positief of negatief definiet is, dan bereikt de functie in (x0,y0) een lokaal extremum. Als Hf(x0,y0) negatief definiet is, dan heeft f een lokaal maximum in (x0,y0) Als Hf(x0,y0) positief definiet is, dan heeft f een lokaal minimum in (x0,y0)Als Hf(x0,y0) non definiet is, dan heeft f een zadelpunt in (x0,y0)Opmerking:In andere gevallen kan er niet meteen een besluit genomen worden en is er verder onderzoek noodzakelijk. Dit kan door toepassing van andere methoden.Vbn p176 – 180

Gebonden extremum probleemBij een gebonden extremum-probleem zoeken we de extrema van een functie f : R → R : (x,y) ² → f(x,y) onder een voorwaarden (nevenvoorwaarde) g(x,y)=C. De functie f noemen we de doelfunctie, alle punten (x,y) die voldoen aan de nevenvoorwaarde worden toegelaten punten of bruikbare punten genoemd.Berekening volgens substitutiemethode (vb p181) of Lagrange-methode.

lagrangefunctie Voor het bepalen van de extrema van een functie f : R → R onder ²een voorwaarden (nevenvoorwaarde) g(x,y)=C, wordt de Lagrange-functie gedefinieerd als L(x,y,) = f(x,y) - (g(x,y)-C). De variabele noemt men de Lagrange-multiplicator.

Gebonden extrema eerst orde voorwaarde

Een partieel afleidbare functie f : R → R kan enkel een extremum ²bereiken in het punt (x0,y0) onder de voorwaarde g(x,y)=C met g een partieel afleidbare functie, als dit punt deel uitmaakt van een stationair punt voor de lagrange-functie, ie als er een waarde 0 bestaat waarvoor:{Lx

' (x0 , y0 ,❑0 )=0→f x' ( x0 , y0 )−❑0gx

' (x0 , y0 )'=0Ly

' (x0 , y0 ,❑0 )=0→f y' (x0 , y0 )−❑0g y

' (x0 , y0 ) '=0L❑

' (x0 , y0 ,❑0 )=0→g (x0 , y0 )=CUitwerking p 182Intuïtieve verklaring Zie p 182Vbn p 183 – 184Gerande hessiaan

Voor een lagrange-functie L : R → R : (x,y,³ ) → L(x,y,) = f(x,y) - (g(x,y)-C) wordt de gerande Hessiaan voor een punt (x0,y0,0) gedefinieerd als:~H f , g (x0 , y0 ,❑0 )=−( 0 gx

' (x0 , y0) g y' (x0 , y0)

gx' (x0 , y0) Lxx

' ' (x0 , y 0 ,❑0) Lxy' ' (x0 , y0,❑0)

g y' (x0 , y0) Lyx

' ' (x0 , y0 ,❑0) L yy' ' (x0, y0 ,❑0)

)Determinant gerande hessiaan

Beschouw de gerande hessiaan zoals gedefinieerd hierboven. Berekening van de determinanten geeft (in verkorte notatie) : det [~H f , g(x , y ,)]= Lxx

' ' (gy' ¿ ²−2Lxy

' ' gx' g y

' +L yy' ' (gx

' ¿ ²

Gebonden extrema tweede orde voorwaarde

Beschouw partieel afleidbare functies f en g en een stationair punt (x0,y0,0) voor het gebonden extremum-probleem: bepaal de extrema van f onder de voorwaarde g(x,y)=C.Als de determinant van de gerande Hessiaan ~H f , g (x0 , y0 ,❑0 ) verschilt van nul, dan bereikt de functie in (x0,y0) een gebonden extremum. Als det [~H f , g (x0 , y0 ,❑0 )] < 0 dan heeft het gebonden extremum-probleem een maximum in (x0,y0) Als det [~H f , g (x0 , y0 ,❑0 )] > 0 dan heeft het gebonden extremum-probleem een minimum in (x0,y0)Vbn p185 – 188

Betekenis Lagrange multiplicator

Beschouw partieel afleidbare functies f en g en een optimaal punt (x0,y0,0) met functiewaarde f0 = f(x0,y0) voor het gebonden extremum-probleem: bepaal de extrema van f onder de voorwaarde g(x,y)=C. als de waarde van C varieert, dan hangt ook het optimum af van C, of x0= x0(C), y0=y0(C) en f0 = f0(C) = f(x0(C), y0(C)). Er geldt 0 = d f 0d C

(C ) .BELANGRIJK:Deze eigenschap zegt maw dat de waarde van de Lagrange-multiplicator overeenstemt met de helling van f indien bekeken als functie van C. OF je kan de lagrange-multiplicator interpreteren als de ogenblikkelijke aangroei van de doelfunctie in het optimum indien de waarde C in de nevenvoorwaarde met één eenheid wordt verhoogd.n-dimensies p 190 - 195

Lokale extremaLokale extrema eerste orde voorwaardeHessiaanLokale extrema tweede orde voorwaardeLagrange functieGebonden extrema eerste orde voorwaarde

FORMULES EN REKENREGELSMatricesDeterminant van matrix van orde 2X2

det A=|A|=a11a22−a12a21 Determinant van matrix van orde 3X3 - Regel van Sarrus

det A=|A|=a11a22 a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23 a32−a12 a21 a33

Functies

Grondformule goniometrische functies

Cos x+sin x=1² ²Tan(α)= sin αcosα

α 0 π/6 π/4 π/3 π/2 πSin(α) 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0Cos(α) 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1Tan(α) 0 √3/3 1 √3 / 0

Exponenten ax∗ay=ax+ y

ax

ay=ax− y

ax y

=ax∗yMAARax+a y=az≠ x+ y=zax−ay=az≠ x− y=z

Logaritmische functies

Voor a ∈ R+\{0,1} en x,y,z ∈ R+0 geldt :Loga (x*y*z)= loga (x)+ loga (y)+ loga (z)Loga (x/y) = loga (x) - loga (y)Loga (xy)= y * loga (x)MAARLoga (x)+ loga (y)= loga (z) ≠ x + y = zLoga (x) - loga (y) = loga (z) ≠ x - y = zAloga(x)=xLoga(ay)=y Limieten

Sin(α) αCos(α)Tan(α)

Limieten berekenen1. invullen2. Veeltermbreuk →±∞ enkel hoogstegraadstermen3. Breuk met wortelvormen →±∞ zelfde macht van x vooraan in teller en noemer4. voorlopig onbepaald geval 0/0 of ∞/∞ l’hôpital5. VOG 0*∞ of ∞-∞ herschrijven

Asymptoten berekenen

Horizontale asymptoten y=bDe vergelijking van eventuele horizontale asymptoten van een functie kan als volgt gevonden worden: Definitie en berekening : een reële functie f heeft een horizontale asymptoot y=b voor negatieve waarden als

limx→−∞

f (x )=b of voor positieve waarden als limx→+∞

f ( x )=b

Praktisch: bereken de limietwaarden van de functie wanneer x naar ±∞ beweegt; vind je een eindige waarde, dan heeft de functie een horizontale asymptoot. NOOIT horizontale en schuine asymptootVerticale asymptoot x=aDe vergelijking van eventuele verticale asymptoten van een functie kan als volgt gevonden worden: Definitie en berekening : een reële functie f heeft een verticale asymptoot x = a als limx→a

f ( x )=±∞. Praktisch : bij rationale functies komen verticale asymptoten voor bij de nulpunten van de noemer die geen nulpunt van de teller zijn.Schuine asymptoot y=mx+qDe vergelijking van eventuele schuine asymptoten van een functie kan als volgt gevonden worden: Definitie en berekening: een reële functie f heeft een schuine asymptoot y=mx+q voor negatieve waarden als limx→−∞

f (x )/ x=m en limx→−∞(f ( x )−mx)=q of voor positieve waarden als limx→+∞

f ( x )/ x=m en limx→+∞( f ( x )−mx)=q met m ∈ R0 en q ∈ R

Praktisch: bereken de vermelde limietwaarden. Vind je een eindige waarde, dan heeft de functie een schuine asymptoot. Vind je m=0, dan gaat het eigenlijk om een horizontale asymptoot. Afgeleiden Basisafgeleiden ddx (ax+b) = a, met a, b ∈ Rddx (xn) = nxn-1, met n ∈ R0ddx (√x) =1/(2√x), voor x ≠ 0ddx (1/x) = -1/x , voor x ≠ 0²ddx (sinx) = cos xddx (cosx)= -sinx

ddx (tanx) = 1/(cos x)²ddx (Bgsinx) = 1/(√1-x )²ddx (Bgcosx) = -1/(√1-x )²ddx (Bgtanx) = 1/1+x ²ddx (ex) = exddx (ax) = axlna, met a ∈ R+\{0,1}ddx (lnx)=1/xddx (logax)= 1/(xlna), met a ∈ R+\{0,1}

Som, verschil, product en quotiënt

ddx (af(x))= af’(x), met a ∈ Rddx (f(x) + g(x)) = f’(x) + g’(x)ddx (f(x) - g(x)) = f’(x) - g’(x)ddx (f(x)g(x)) = f(x)g’(x) + g(x)f’(x)ddx (1/f(x)) = -f’(x)/f(x) , indien f(x) ² ≠ 0ddx (f(x)/g(x)) = (g(x)f’(x)) – (f(x)g’(x))/g(x) , indien g(x) ² ≠ 0

ECONOMISCHE TOEPASSINGENKapitalisatie en actualisatie

Kapitalisatie S=A∗(1+r )n=A∗un u=1+r Actualisatie A=S∗(1+r )−n=S∗vn

v= 11+r

=1u

Economische functiesProductiefunctie P : R+ → R+ : A → q=P(A) Cobb Douglas P(A)=γAα waarbij γ > 0 en 0<α<1Vraagfunctie D : R+ → R+ : p → q=D(p) of F = D-1 : R+ → R+ : q → p=F(q) Lineair model p = F(q) = D-1(q) = p0 – mq (q ≤ p0/m) of q = D(p) = (p0 – p)/ m (p ≤ p0)waarbij p0 > 0 en m > 0Opbrengsten -functie zuivere concurrentie R : R+ → R+ : q →R(q) = pqmonopolie R : R+ → R+ : q →R(q) = F(q)qVervolg Voor monopoliesituatie

lineair model R(q) = (p0 - mq) q = -mq + p² 0q waarbij p0 > 0 en m > 0 top (p0/2m, p0 /4m)²Kostenfunctie : R+ → R+ : q →K = K(q)Kwadratisch model K(q) = aq + bq + c waarbij a, b, c > 0²top (-b/2a, c-b /4a)²snijdt de verticale as in het punt (0, c) de vaste kosten bedragen c.Winstfunctie W : R+ → R : q →W = R(q) - K(q) Vervolg voorgaande modellenW = R(q) - K(q) = (-mq + p² 0q) – (aq + bq + c) waarbij p² 0, m, a, b, c > 0.

Groei – en vervalfunctie y = ax = erx mer r = ln a y = ax = e-rx mer r = -ln a Evolutie van populaties P(t) = P0eαt met P0 de grootte van de populatie op tijdstip 0 en met α de groeivoet van de populatie.Enkelvoudige en samengestelde interestEnkelvoudige en samengestelde interest

Gegeven een startkapitaal K0 en een jaarlijkse interestvoet r. na een periode van m jaar (m ∈ N), is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde. Bij enkelvoudige interest: K(m) = K0(1+mr) Bij samengestelde interest: K(m) = K0(1+r)m

ECONOMISCHE TOEPASSINGENKapitalisatie en actualisatie

Kapitalisatie Wanneer je een startkapitaal A gedurende n jaar belegt aan een jaarlijkse interestvoet r, dan kan het eindbedrag na n jaar berekend worden als

S=A∗(1+r )n=A∗unDit bedrag noemt men het gekapitaliseerd bedrag. Men gebruikt de notatie u=1+r voor de kapitalisatiefactor.Actualisatie

Om na een belegging gedurende n jaar aan een jaarlijkse interestvoet r een eindbedrag S te bereiken, moet gestart worden met een kapitaal gelijk aanA=S∗(1+r )−n=S∗vnDit bedrag noemt men het geactualiseerd bedrag. Men gebruikt de notatie v= 1

1+r=1u voor de actualisatiefactor.

Economische functies

Productiefunctie

Een productiefunctie P : R+ → R+ : A → q=P(A) geeft aan hoe de arbeid de grootte van de productie bepaalt. De inverse functie kan gebruikt worden om te berekenen welke hoeveelheid arbeid er nodig is om een bepaalde productiegrootte te bereiken. Kenmerken: A = 0 P = 0 A stijgt P stijgt (bij lage input sneller en dan vertragen) In een beperkt aantal gevallen treedt een verzadigingspunt op: afname van de efficiëntie zorgt ervoor dat de P daalt als A stijgt. Cobb Douglas P(A)=γAα waarbij γ > 0 en 0<α<1

Vraagfunctie

Een vraagfunctie D : R+ → R+ : p → q=D(p) of F = D-1 : R+ → R+ : q → p=F(q) geeft voor een individuele consument het verband tussen de aangeboden hoeveelheid en de vraagprijs van een goed.De functies D en F zijn inverse functies. De functie D geeft voor elke mogelijke prijs aan hoeveel de consument wenst te consumeren. De functie F = D-1 geeft aan tegen welke prijs de consument een bepaalde hoeveelheid wil consumeren. Kenmerken: V stijgt p daalt p stijgt V daalt

Lineair modelp = F(q) = D-1(q) = p0 – mq (q ≤ p0/m) of q = D(p) = (p0 – p)/ m (p ≤ p0)waarbij p0 > 0 en m > 0Voor 0 ≤ q ≤ p0/m beschrijft de functie F een rechte door de punten (0, p0) en (p0/m, 0)Opbrengsten -functie Een opbrengstenfunctie geeft aan hoe groot de totale opbrengst is bij een bepaalde productiegrootte. Bij zuivere concurrentie is de prijs gegeven, en krijgen we: R : R+ → R+ : q →R(q) = pqBij een monopolie is de prijs veranderlijk, en krijgen we: R : R+ →

R+ : q →R(q) = F(q)qKenmerken bij een monopolie: aangeboden hoeveelheid = 0 opbrengst = 0 bij kleine hoeveelheden zal de totale opbrengst stijgen indien de aangeboden hoeveelheid wordt verhoogd bij grote hoeveelheden zal de totale opbrengst dalen indien de aangeboden hoeveelheid nog wordt verhoogdOpbrengst aflezen van de grafiek: R(q) = pq komt voor elke punt (p,q) van de vraagcurve overeen met de oppervlakte van de rechthoek tussen de oorsprong en dit punt (p,q).

Vervolg lineair modelVoor monopoliesituatieVoor 0 ≤ q ≤ p0/m luidt het functievoorschrift : R(q) = (p0 - mq) q = -mq + p² 0q waarbij p0 > 0 en m > 0 cfr: ax +bx+c²Dit is een parabool met top (p0/2m, p0 /4m)²

KostenfunctieBij gegeven inputprijzen geeft een kostenfunctie K : R+ → R+ : q →K = K(q) aan hoe groot de totale kosten zijn bij elke productiegrootte.Kenmerken:

productiegroote = 0 is er nog de vaste kost productiehoeveelheid stijgt stijgen totale kosten productie-interval: kosten stijgen minder snel oa omwille van efficiëntie

Kwadratisch modelK(q) = aq + bq + c waarbij a, b, c > 0²Dit is een parabool met top (-b/2a, c-b /4a)²Deze parabool snijdt de verticale as in het punt (0, c) de vaste kosten bedragen c.

WinstfunctieEen winstfunctie W : R+ → R : q →W = R(q) - K(q) geeft aan hoe groot de totale winst is bij een bepaalde productiegrootte.Kenmerken:

aangeboden hoeveelheid zeer klein en vaste kosten ≠ 0 totale winst negatief. (VK > TO) te grote hoeveelheid winst negatief ( daling opbrengsten + stijging kosten) TO > TK winst (eerst stijgen, dan dalen)Vervolg voorgaande modellen

Obv lineair en kwadratisch model: W = R(q) - K(q) = (-mq + p² 0q) – (aq + bq + c) waarbij p² 0, m, a, b, c > 0.Dit is een parabool met 2 break-even punten.Groei – en vervalfunctie

Een exponentiële functie expa met a > 1 wordt ook een groeifunctie genoemd. Schrijven we het beeld van een waarde x als y = ax = erx mer r = ln a dan noemt men de positieve waarde r de groeivoet van de functie.Een exponentiële functie expa met 0 < a < 1 wordt ook een vervalfunctie genoemd. Schrijven we het beeld van een waarde x als y = ax = e-rx mer r = -ln a dan noemt men de positieve waarde r de vervalconstante van de functie.Evolutie van populaties P(t) = P0eαt met P0 de grootte van de populatie op tijdstip 0 en met α de groeivoet van de populatie.Enkelvoudige en samengestelde interestEnkelvoudige en Gegeven een startkapitaal K0 en een jaarlijkse interestvoet r. na

samengestelde interesteen periode van m jaar (m ∈ N), is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde.

Bij enkelvoudige interest: K(m) = K0(1+mr) Bij samengestelde interest: K(m) = K0(1+r)m

Gemiddelde en marginale waarden

Gemiddelde en marginale functie

Voor een economische functie f : R+ → R : x → f(x) geldt: De gemiddelde waarde voor f is de functie ⟨ f ⟩ :R

+¿→R : x→ ⟨f ⟩ ( x )= f (x)x

¿

De marginale waarde voor f is de functie f’ : R+ → R : x → f’(x)=dfdx (x)Opmerking: beiden zijn in feite een bijzonder geval van het differentiaalquotiënt ∆ y

∆x =f ( x+∆ x )− f (x)

∆ x Gemiddelde waarde: werken met een keuze x=0 en ∆x=x, kijken naar een globale maar voor verandering vertrekkend vanuit 0 (al f(0)=0) Marginale waarde: werken met limietwaarde voor ∆x→0, en kijken naar de maat voor verandering voor een heel kleine aangroei van de input vertrekkend bij de waarde x.

Gemiddelde en marginale functie

De gemiddelde en marginale waarde van een economische functie f : R+ → R in een punt van het domein hebben een eenvoudige meetkundige betekenis. Gemiddelde waarde ⟨ f ⟩ berekend in x=x0 is de helling van de voerstraal (rico rechte door (0,0) en (x0,f(x0))) tot het punt (x0,f(x0)) De marginale waarde f’ berekend in x=x0 is de helling van de raaklijn aan de curve van f in het punt (x0, f(x0))Vb p 89

Gemiddelde en marginale productie Het gemiddelde product is het product per eenheid van arbeid, of ⟨P ⟩ :R+¿→ :R

+¿: A→P( A)( A)

¿¿Het marginale product is de ogenblikkelijke aangroei van het product bij een toename van de arbeid, of P’ : R+ → R : A → dPdA (A)Vb p 89

Cobb Douglas model

P(A)=γAα waarbij γ > 0 en 0<α<1Gemiddeld product: ⟨P ⟩ (A )= γ Aα

A=γ Aα−1= γ

Aα−1

Marginaal product: P’(A) = ddA

(γ Aα )=γα Aα−1= γαA1−αHet marginaal product is dus steeds kleiner dan het gemiddelde product. Wanneer de arbeid naar 0 nadert, worden gemiddeld en marginaal product oneindig groot; wanneer de arbeid oneindig groot wordt, worden gemiddeld en marginaal product 0.Gemiddelde en marginale opbrengstfunctie

De gemiddelde opbrengst is de opbrengst per eenheid van product, of ⟨R ⟩ :R+¿→R+¿ : q→

R( q)(q)

¿¿De marginale opbrengst is de ogenblikkelijke aangroei van de opbrengst bij een toename van de productiegrootte, of R’ : R+ → R

: q → dRdq (q)De aard van de functies is verschillend voor een zuivere concurrentiesituatie en een monopoliesituatieZuivere concurrentie

Bij zuivere concurrentie is de prijs gegeven, en krijgen we voor de Gemiddelde opbrengst: ⟨R ⟩ (q )=R (q )

(q )= pq

q=p

Marginale opbrengst: R' (q )= ddq

( pq )=pZowel de gemiddelde als de marginale opbrengst zijn gelijk aan de gegeven eenheidsprijs.

Monopolie Bij een monopolie is de prijs veranderlijk, en krijgen we voor de

Gemiddelde opbrengst: ⟨R ⟩ (q )=R (q )(q )

=F (q )q

q=F(q)

Marginale opbrengst: R' (q )= ddq (F (q)q )=F (q )+q F' (q)Enkel de gemiddelde opbrengst is nu gelijk aan de (veranderlijke) eenheidsprijs.Bij een dalende vraagfunctie is F’(q) < 0 zodat de marginale opbrengst kleiner zal zijn dan de gemiddelde opbrengst.

Lineaire vraag

Voor een lineaire vraag vonden we als opbrengstfunctie: R(q) = (p0 - mq) q = -mq + p² 0q met q≤ p0 /m, p0 > 0 en m > 0 Gemiddelde opbrengst: ⟨R ⟩ (q )=

( p0−mq )q(q )

=p0−mq of een dalende rechte die horizontale as snijdt in het punt (p0/m,0) Marginale opbrengst: R' (q )= d

dq ( p0q−mq ² )=p0−2mq of een dalende rechte die de horizontale as snijdt in het punt (p0/2m,0).De marginale opbrengst daalt dubbel zo snel als de gemiddelde opbrengst, marginale en gemiddelde opbrengst starten beiden in de waarde p0 voor q=0Gemiddelde en marginale kosten

De gemiddelde kost is de kost per eenheid van product, of ⟨K ⟩ :R+¿→R

+¿: q→K (q)( q)

¿¿De marginale kost is de ogenblikkelijke aangroei van de kost bij een toename van de productiegrootte , of K’ : R+ → R+ : q → dKdq (q)

Kwadratisch model

Voor een kwadratische kostenfunctie K(q)=aq +bq+c met a, b, c >² 0 kunnen we de Gemiddelde kost vinden als: ⟨K ⟩ (q )=aq ²+bq+c

q=aq+b+ c

q . Verticale asymptoot q=0 en schuine asymptoot ⟨K ⟩=aq+b

Marginale kost kan berekenen als K ' (q )= ddq

(aq2+bq+c )=2aq+b. Dit is een stijgende rechte die de verticale as snijdt in het punt (0,b). Het snijpunt vinden we uit ⟨K ⟩ (q )=K ' (q) of aq+b+ cq=2aq+b of cq=aq, waaruit q= √(c/a).Gemiddelde versus marginale waarde en winstmaximalisatie - monopolieprobleem

Gemiddelde vs marginale waardeBeschouw een afleidbare economische functie f : R+ → R.

Als de gemiddelde functie stijgt, dan is de marginale waarde groter dan de gemiddelde waarde. Als de gemiddelde functie daalt, dan is de marginale waarde kleiner dan de gemiddelde waarde. Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan vallen gemiddelde en marginale waarden samen.

Bewijs

Als we de afgeleide van de gemiddelde functie berekenen, dan vinden we:ddx

( ⟨ f ⟩ ( x ) )= ddx ( f (x )x )=xf ¿¿Omdat de noemer enkel een kwadraat bevat, wordt het teken van de breuk bepaalt door de teller. Er geldt:

Als de gemiddelde functie stijgt, dan is ddx ( ⟨ f ⟩ ( x ) )≥0. Hieruit volgt dat xf’(x) ≥ f(x) of f’(x) ≥ f(x)/x Als de gemiddelde functie daalt, dan is ddx ( ⟨ f ⟩ ( x ) )≤0. Hieruit volgt dat xf’(x) ≤ f(x) of f’(x) ≤ f(x)/x Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan is ddx ( ⟨ f ⟩ ( x ) )=0. Hieruit volgt dat xf’(x) = f(x) of f’(x) = f(x)/xVb p118 Waar de gemiddelde waarde stijgt, ligt de curve van de marginale waarde boven die van de gemiddelde waarde. Waar de gemiddelde waarde daalt, ligt de curve van de marginale waarde onder die van de gemiddelde waarde. Waar de gemiddelde waarde een lokaal maximum of minimum bereikt, vallen marginale en gemiddelde waarde samen.Winstmaximalisatie – monopolieprobleem

Monopolist wil voor een bepaald goed zijn prijs bepalen door winstmaximalisatie.Winstfunctie: W : R+ → R : q →W = R(q) - K(q)Bij monopolie: p = F(q) zodat R(q) = qF(q)Veronderstel dat beide functies afleid baar zijn:

Eerste orde voorwaarde: winstfunctie enkel extremum in q0 als dit een stationair punt is. MAW dW (q0)dq

=0 of dR (q0 )dq

−dK (q0)

dq=0 of marginale kost = marginale opbrengst. Grafisch wil dit zeggen dat in het punt q0 de raaklijnen aan de opbrengstfunctie en kostenfunctie evenwijdig moeten zijn

Tweede orde voorwaarde: winstfunctie enkele maximum in q0 als d ²W (q0)dq ²

<0 of d ²R (q0 )dq

−d ² K (q0)

dq<0 of de helling van de marginale opbrengsten voor q0 < de helling voor de marginale kosten in q0. Grafisch wil dit zeggen dat wanneer de opbrengsten functie concaaf is, de kostenfunctie convex is.

P 119Opmerking: De productiegrootte waarvoor de winst maximaal wordt, is meestal niet dezelfde als die waarvoor de opbrengst maximaal is. deze twee optimalisatieproblemen zijn verschillend!Vb p 120 Economische functies

ProductiefunctieEen productiefunctie P : R+ x R+ → R+ : (A,K) → q = p(A,K) geeft aan hoe de arbeid en het kapitaal de grootte van de productie bepalen.Bij doorsnede evenwijdig met… zien we….:

Aq : evolutie van de productie bij een vaste waarde van K Kq: evolutie van de productie bij en vaste waarde van A AK: isoproduct-curve of isokwant: constante productie. Meer uitleg p 134-135

Vraagfunctie situatie 1Een vraagfunctie D : R+ x R+ → R+ : (p,I) → q = D(p,I) geeft aan hoe de vraag van een consument naar een product bepaalt wordt door de prijs en door zijn inkomen.Bij doorsnede evenwijdig met… zien we…:

Pq: evolutie van de vraag bij een vaste waarde van het inkomen I Iq: evolutie van de vraag bij een vaste prijs pMeer uitleg p 136

Vraagfunctie situatie 2

Een vraagfunctie D1 : R+ x R+ → R+ : (p1,p2) → q1 = D(p1,p2) en D2 : R+ x R+ → R+ : (p1,p2) → q2 = D(p1,p2) geeft aan hoe de vraag van een consument naar twee producten bepaalt wordt door de prijzen van beide producten.Bij doorsnede evenwijdig met… zien we…: P1q1: evolutie van de vraag naar het eerste goed ifvd prijs voor het eerste groed, wanneer we de prijs van het tweede goed vasthouden P2q1: evolutie van de vraag naar het eerste goed ifvd prijs voor het tweede goed, wanneer we de prijs van het eerst goed zelf vasthouden. Competitieve goederen: curven zullen stijgend zijn. Complementaire goederen: curven zullen dalend zijn.

Meer uitleg p 137 - 138

KostenfunctieBij gegeven inputprijzen geeft een kostenfunctie K : R+ x R+ → R+ : (q1,q2) → K = k(q1,q2) aan hoe groot de totale kosten zijn bij bepaalde productiegrootten.Bij doorsnede evenwijdig met… zien we…:

Q2K: evolutie van de kosten bij een vaste waarde van q1 Q1K: evolutie van de kosten bij een vaste waarde van q1 Q1q2: niveaukrommenZie p 139

Nutsfunctie Een nutsfunctie U : R+ x R+ →R+ : (q1,q2) → U = U(q1,q2) geeft het nut weer dat een consument toekent aan bepaalde combinaties van hoeveelheden van goederen.Grafisch: indifferentiecurven

P 140 - 141 Homogene productiefunctie en vraagfunctieGemiddelde en marginale waardenGemiddelde functie

Voor een economische functie f : R+ x R+ → R : (x,y) → f(x,y) geldt: De gemiddelde waarde voor f naar de veranderlijke x is de functie ⟨ f ⟩x :R+¿×R

+¿→ R: ( x, y ) → ⟨ f ⟩x ( x ,y )=f ( x, y)

x¿¿

De gemiddelde waarde voor f naar de veranderlijke y is de functie ⟨ f ⟩ y :R+¿×R+¿→R : (x , y )→ ⟨ f ⟩y ( x ,y )=

f ( x, y)y

¿¿

Marginale functieVoor een economische functie f : R+ x R+ → R : (x,y) → f(x,y) geldt:

De marginale waarde voor f naar de veranderlijke x is de functie f x' :R+¿×R+¿→ R: ( x, y ) →f x

' ( x, y )=∂f ( x, y)

∂x¿¿

De marginale waarde voor f naar de veranderlijke y is de functie f y' :R+¿×R

+¿→R : (x , y )→ f y' ( x, y )=

∂ f( x, y)∂ y

¿¿

Gemiddelde productiefunctieHet gemiddelde product naar de arbeid is het product per eenheid van arbeid of ⟨P ⟩A :R+¿×R +¿→R

+¿ :(A ,K )→P (A ,K )A

¿¿ ¿Het gemiddelde product naar het kapitaal is het product per eenheid van kapitaal of ⟨P ⟩K :R+¿×R+¿→R

+¿ : (A, K )→ P( A, K )K

¿¿ ¿

Marginale productiefunctieHet marginale product naar de arbeid is de ogenblikkelijke aangroei van het product bij een toename van arbeid of PA

' :R+¿×R+¿→R : ( A ,K ) → ∂P

∂ A(A, K) ¿

¿Het marginale product naar het kapitaal is de ogenblikkelijke aangroei van het product bij een toename vanPK' :R+¿×R

+¿→R : ( A, K) →∂P∂ K

( A, K)¿¿Cobb Douglas P 168Marginale technische substitutievoet

P 169Optimaliseren… zonder restricties – samengevoegd monopolie

Zie p 196 – 198… met restricties – nutsfunctie Zie p 198 – 200… met restricties – productie Zie p 200 - 204