HOOFDSTUK 2

Van tekenen naar rekenen

Tant que l’Algèbre et la Géométrie ont été séparées, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornés;mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêtées des forces mutuelles et ont marchéensemble d’un pas rapide vers la perfection–LagrangeZolang algebra en meetkunde gescheiden waren was hun voortgang traag en hunbruikbaarheid beperkt; maar toen deze wetenschappen bij elkaar gebrachtwerden hebben ze elkaar versterkt en zijn ze gezamenlijk met snelle trednaar de perfectie gemarcheerd–Lagrange

In dit hoofdstuk voeren we coördinaten in en leggen we het verband tussen meetkunde enalgebra – van tekenen naar rekenen. Een punt (x, y) in het vlak wordt vastgelegd tweegetallen x, y en andersom. Met die getallen kunnen we berekeningen doen om uiteindelijkterug te komen bij de meetkunde en een uitspraak te doen over het punt (x, y):

Meetkunde coördinaten������! Algebra berekeningen�������! Algebra coördinaten������! MeetkundeWe bouwen een meetkundige rekenmachine om te laten zien dat we meetkundig kunnen op-tellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken.We onderzoeken de coördinaten van snijpunten van lijnen en cirkels om te bewijzen dat wemet de meetkundige rekenmachine niets anders kunnen dan de bovengenoemde bewerkingen.Ten slotte wordt als voorbeeld het Delische probleem (verdubbeling van de kubus) vertaaldvan meetkunde naar algebra en daarmee losgemaakt van de meetkundige context.

2.1. Zijn lengtes van lijnstukken getallen?De tegenstelling tussen de opvattingen van de Grieken en onze moderne kijk op getallen komtmooi tot uitdrukking als het citaat hierboven van de Fransman Lagrange wordt vergeleken meteen uitspraak1 van Aristoteles, een leerling van Plato:

OŒk ära Ístin ‚x ällou gËnouc metabànta de� ixai, o�…on t‰ gewmetrik‰n Çrithmhtik�̆ – >AristotËlhcHet is dus niet toegestaan tijdens een bewijs van de ene op de andere soort[wiskunde] over te gaan, zoals bijvoorbeeld van meetkunde naar arithmetiek –

Aristoteles

De Grieken hebben geworsteld met de vraag of lengtes van lijnstukken wel of niet kunnenworden opgevat als “gewone” getallen. Eén van de eersten die zich hiermee bezighielden wasPythagoras. Hij is natuurlijk bekend van de naar hem genoemde stelling, maar ook voor zijnwerk in de muziekleer en harmonie van klanken. Op basis van die muziekleer definieerde hij“gewone” getallen als verhoudingen (breuken) van alle natuurlijke getallen. Tijdens het doenvan meetkundige constructies vroeg hij zich af of

p2 – de lengte van een diagonaal van een

eenheidsvierkant – wel of geen breuk is.1Aristoteles, Analytica posteriora, Boek 1 deel 7. Het Griekse alfabet staat in figuur 1.

25

Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen

F����� �. Het Griekse alfabet

26a OpgaveNeem aan dat p

q

een oplossing is van de vergelijking x2 = 2, waarbij we deze breuk zo verhebben vereenvoudigd dat de natuurlijke getallen p en q geen gemeenschappelijke delers meerhebben.Gebruik de vergelijking x2 = 2 om te laten zien dat p even is.

26b OpgaveSchrijf p = 2r en laat vervolgens zien dat q even is.

26c OpgaveLeg uit dat dit in tegenspraak is met onze aannames en dat

p2 dus geen breuk kan zijn.

Het kan zijn dat je even moest wennen aan het bewijs in deze opgave. Het type bewijs waarbijje eerst aanneemt dat iets wél waar is, om vervolgens te concluderen dat het níet waar kanzijn heet een bewijs uit het ongerijmde, zie ook appendix B.

Getallen die geen breuk zijn noemen we tegenwoordig irrationale getallen. Voor Pythagoraswas het een enorme schok dat dit soort dingen bestonden, en een reden voor de Grieken omlengtes van lijnstukken met enig wantrouwen tegemoet te zien. Voortaan mochten lengtes nietworden opgevat als getallen, maar als puur meetkundige objecten.

27 OpgaveLaat op soortgelijke wijze zien dat

p3 geen breuk is.

28 OpgaveHet getal

p4 = 2 is wél een breuk. Waarom leidt de strategie van de vorige twee opgaven

niet tot een tegenspraak?

Als bijvoorbeeld de lengte van een zijde gelijk is aanp2, dan mag je deze lengte niet opvatten

als een getal waarmee je algebraïsche manipulaties kunt uitvoeren zoals optellen, aftrekken,vermenigvuldigen en delen voordat je hebt gecontroleerd dat deze een meetkundige betekenis

26

hebben. Voor een vergelijking als p2

p3 =

p6

moet dus om te beginnen worden bewezen dat lijnstukken kunnen worden geconstrueerd metlengte

p2,p3,p6 en

p2

p3. Vervolgens moet worden bewezen dat vierkanten met zijde

p6

en zijdep2

p3 dezelfde oppervlakte 6 hebben. In onze moderne tijd zeggen we dat x =

p2

de positieve oplossing is van de vergelijking x2 = 2, y =

p3 van y2 = 3 en dus

(xy)2 = x2y2 = 6 )p2

p3 = xy =

p6

De verplichte omweg via de meetkunde van de Grieken bleek erg vertragend te werken: inde Elementen komt Euclides bij de studie van wortels (Boek X) bijvoorbeeld niet verder dande constructie van lijnstukken met lengte

ppm±

pn.

Wij hebben tegenwoordig geen moeite met getallen zoalsp2 of

q

1 +

p

1 +

p5 omdat we ze

zien als oplossing van een vergelijking.29 Opgave

Leg uit datq

1 +

p

1 +

p5 voldoet aan de vergelijking

⇣

�

x2 � 1

�2 � 1

⌘2= 5.

Een manier om grip te krijgen op zo’n getal is om het te tekenen: het is de x-coördinaat vaneen snijpunt van de grafiek van y =

⇣

�

x2 � 1

�2 � 1

⌘2met de lijn y = 5. Maar om dat te

kunnen doen heb je wel coördinaten en een assenstelsel nodig. Deze brug tussen meetkundeen getallen werd geslagen door René Descartes in zijn geschrift La Géometrie (1637). In eenvolledig leeg vlak bestaat geen voorkeursrichting, en er is ook geen natuurlijke afstandsmaat.Maar zodra twee punten zijn gegeven is het mogelijk om een x-as te definiëren en de afstandtussen de twee punten gelijk te stellen aan 1. Dit levert de punten (0, 0) en (1, 0). Het ideevan Descartes was om dit te doen, en ook een y-as te definiëren loodrecht op de x-as. Hetresultaat is een naar hem genoemd Cartesisch assenstelsel.In een plat vlak dat is uitgerust met een Cartesisch assenstelsel kun je elk punt coderendoor middel van zijn coördinaten: een getallenpaar (x, y) waarbij x het aantal stappen op dex-as voorstelt en y het aantal stappen op de y-as. Het is goed om je te realiseren dat decoördinaten alleen een punt niet vastleggen: je moet weten welk assenstelsel wordt gebruikt.Toen twee teams van ingenieurs van NASA in 1999 met verschillende eenheden voor afstandwerkten, leidde dat bijvoorbeeld tot het verbranden van de Mars Climate Orbiter in de damp-kring van Mars, een catastrophe van 125 miljoen dollar2.

2.2. Wat zijn getallen?De Grieken vonden dat

p2 geen getal is waar gewoon mee gerekend mag worden, tegenwoor-

dig vinden we van wel. Reden om het begrip “getal” wat beter te bekijken.

Natuurlijke getallenDe natuurlijke getallen N zijn alle positieve gehele getallen

N = {1, 2, 3, . . . }Dit zijn de eenvoudigste soort getallen, ze heten niet voor niets natuurlijk . Binnen de na-tuurlijke getallen kun je naar hartelust optellen en vermenigvuldigen: de som en het produktvan elk tweetal natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal. We zeggen ook wel dat N

2Bron: http://edition.cnn.com/TECH/space/9909/30/mars.metric.02/

27

Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen

gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging. Bovendien voldoen deze operaties aan eenaantal wetten:

(1) a+ b = b+ a(2) a⇥ b = b⇥ a(3) (a+ b) + c = a+ (b+ c)(4) (a⇥ b)⇥ c = a⇥ (b⇥ c)(5) a⇥ (b+ c) = a⇥ b+ a⇥ c

Geslotenheid onder aftrekken: gehele getallenMaar hoe zit het dan met de omgekeerde operatie van optellen, namelijk aftrekken? Uiteraardis 5�3 weer een natuurlijk getal, maar 3�5 niet. We kunnen de natuurlijke getallen uitbreidennaar de verzameling Z van gehele getallen

Z = {. . . ,�3,�2,�1, 0, 1, 2, 3, . . . }Deze verzameling bevat het getal 0 en is wél gesloten onder aftrekken. De rekenregelsmoeten daarom worden uitgebreid, bijvoorbeeld met de bekende regel dat het produkt vantwee negatieve getallen positief is. We gaan hier verder niet op in3.De Grieken kenden geen negatieve getallen, en ook het getal 0 was hen vreemd. Hoewelwij inmiddels vertrouwd zijn geraakt met negatieve getallen is het toch goed om hier nogeven stil te staan bij deze doorbraak. We hebben ons getalbegrip uitgebreid en een nieuwconcept omarmd (negatieve getallen) door de focus te leggen op de rekenregels waaraan dezegetallen moeten voldoen. De verzameling Z is gesloten onder zowel optellen als aftrekken ende symmetrie tussen optellen en aftrekken is weer hersteld.

Geslotenheid onder delen: breukenDe natuurlijke en de gehele getallen zijn ook gesloten onder een andere elementaire operatie,namelijk de vermenigvuldiging. Maar hoe zit het met de omgekeerde operatie: delen? Uiter-aard is 6/3 weer een geheel getal, maar 5/3 is een breuk. Weer kunnen we onze verzamelinggetallen uitbreiden en er alle mogelijke breuken bij stoppen. Deze voldoen aan de gebruike-lijke rekenregels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen die je kent. We krijgendan de verzameling van rationale getallen Q, waarbij we de volgende afspraken maken:

• We delen niet door 0.• Als teller en noemer beide negatief zijn, dan laten we de mintekens weg: �m

�n

=

m

n

.• Als teller óf noemer negatief is, dan zetten we het minteken bij de teller. De noemer

is dus altijd een natuurlijk getal.• Een breuk zoals 3·5

3·7 vereenvoudigen we altijd tot 57 , dus we zorgen ervoor dat teller

en noemer geen gemeenschappelijke delers meer hebben.

Uiteraard moeten de rekenregels weer worden uitgebreid met de nieuwe operatie ÷, we gaanhier verder niet uitvoerig op in. Maar als we dan toch aan het uitbreiden zijn, waarom stoppenwe getallen van de vorm p

0 ook niet in Q? Met de gebruikelijke rekenregels zou dit leiden totde volgende vreemde situatie:

1 =

0

0

=

0 + 0

0

=

0

0

+

0

0

= 1 + 1 = 2

3Als je hier meer over wilt weten raad ik het artikel “Min maal min is plus” aan van Frits Beukers in deEuclides jaargang 81 nr. 4, online beschikbaar via www.nvvw.nl/media/files/euclides/81-4.pdf

28

Om de gewone rekenregels te kunnen behouden staan we dit dus niet toe: delen door nul isflauwekul.

We hebben de natuurlijke getallen N (gesloten onder optelling en vermenigvuldiging) uitge-breid tot Z (ook nog gesloten onder aftrekken) en tot Q (ook nog gesloten onder deling):

N ⇢ Z ⇢ Q =

n

p

q

| p 2 Z, q 2 No

Korte uitleg bij de notatie:

A ⇢ B betekent dat de verzameling A een deelverzameling is van B

a 2 A betekent dat a een element is van de verzameling A

| betekent “waarvoor geldt”

De notatie voor Q betekent dus “de verzameling van alle getallen p

q

waarvoor geldt dat p eengeheel getal is en q een natuurlijk getal” .

LichamenOptellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn elementaire operaties op getallen. Ver-zamelingen die gesloten zijn onder deze operaties krijgen een aparte naam: we noemen ditlichamen.

Definitie 1. Een lichaam L is een verzameling getallen die 0 en 1 bevat en gesloten is onderoptellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met de gebruikelijke rekenregels.

30 OpgaveBewijs dat Q, de verzameling van breuken, een lichaam is. Je mag daarbij gebruik maken vande normale rekenregels voor breuken en het feit dat Z gesloten is onder optellen, aftrekkenen vermenigvuldigen.

De gebruikelijke manier om verder te gaan met het getalsbegrip is om te kijken naar de reëlegetallen, maar dat hebben we in deze Module niet nodig. In plaats daarvan breiden we deverzameling van rationale getallen uit naar de verzameling van construeerbare getallen. Ditblijkt ook een lichaam te zijn zodat we lengtes van construeerbare lijnstukken naar hartelustmogen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

2.3. De meetkundige rekenmachineIn deze paragraaf laten we zien dat de Grieken ten onrechte dachten dat je lengtes vanlijnstukken (zoals

p2) niet zomaar kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Met

behulp van het computerprogramma Geogebra bouwen we een meetkundige rekenmachine diedeze operaties uit kan voeren. Nou kunnen lengtes van lijnstukken niet negatief worden, endaarom hebben we het liever over de coördinaten van construeerbare punten. Als een lijnstukmet lengte a kan worden geconstrueerd, kunnen we via de constructie uit opgave 3 dit lijnstukverplaatsen naar de oorsprong en ook de punten met coördinaten (�a, 0), (a, 0), (0,�a) en(0, a) construeren.

Definitie 2. Als startverzameling nemen we de punten (0, 0) en (1, 0). De verzameling vancoördinaten van construeerbare punten noemen we K.

29

Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen

Optellen in KAls a, b 2 K dan zijn (a, 0) en (0, b) construeerbaar. Via de constructie uit opgave 3 kunnen weeen cirkel met middelpunt (a, 0) en straal |b| snijden met de x-as. Eén van de twee snijpuntenis het punt (a+ b, 0). Daarom weten we dat a+ b 2 K.

Aftrekken in KIn de laatste stap van de constructie hierboven krijg je twee snijpunten, het andere punt is(a� b, 0). Daarom weten we dat a� b 2 K.

Vermenigvuldigen in KAls a, b 2 K dan zijn (a, 0) en (0, b) construeerbaar. Via evenwijdige lijnen (B5) is het punt(0, ab) construeerbaar, zie figuur 2. Het bewijs loopt via gelijkvormige driehoeken. Daaromweten we dat c = ab 2 K.

F����� �. Constructie van ab en a

b

(links) enpa (rechts).

Delen in KDelen het omgekeerde van vermenigvuldigen, ook meetkundig gezien: we gebruiken dezelfdefiguur 2 in de omgekeerde volgorde. Als a, c 2 K dan zijn (a, 0) en (0, c) construeerbaar. Viaevenwijdige lijnen (B5) is het punt (0, b) construeerbaar, waarbij b =

c

a

. Daarom weten wedat b = c

a

2 K.

Worteltrekken in KHet is te verwachten dat onze meetkundige rekenmachine meer kan dan allleen +,�.⇥,÷.Het is immers vrij eenvoudig om de diagonaal van een eenheidsvierkant te construeren en dezeheeft lengte

p2. Kunnen we misschien elke wortel van een construeerbaar getal construeren?

31 OpgaveStel dat a 2 K, dus (a, 0) is construeerbaar. Construeer een cirkel zoals in figuur 2. Bewijsdat (0,±

pa) de snijpunten zijn van de cirkel met de y-as. De conclusie is dat voor alle a 2 K

geldt datpa 2 K.

Hint: gebruik bijvoorbeeld de stelling van Thales en drie keer de stelling van Pythagoras.

Conclusie: de verzameling K van coördinaten van construeerbare punten is een lichaam datgesloten is onder worteltrekken.

We hebben nu in theorie een meetkundige rekenmachine gebouwd voor construeerbare co-ördinaten met de volgende knoppen: +,�,⇥,÷,

p die we in de volgende paragraaf in depraktijk zullen brengen.

30

Intermezzo: spiralenTheodorus, een wiskundige leermeester van Plato, gebruikte de onderstaande spiraal omwortels van natuurlijke getallen te construeren. Deze spiraal van Theodorus heeft enkelebijzondere eigenschappen, bijvoorbeeld dat lijnen vanuit de oorsprong nooit exact over elkaarheen lopen, ook niet als je doorgaat met construeren na

p17.

Een andere beroemde spiraal is de logarithmische spiraal: de enige soort spiraal die erhetzelfde uitziet na herschaling. De spiraal bijvoorbeeld drie keer zo groot maken is hetzelfdeals een draaiing om een bepaalde hoek, die afhangt van de precieze spiraal. Voorbeeldenvan deze spiralen zijn de schelp van een nautilus (schaaldier) en een lagedruksysteem.

31

Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen

Constructieproblemen vertaald naar algebraElk constructieprobleem kan nu worden vertaald naar algebra: een punt is construeerbaarprecies wanneer zijn coördinaten in de getallenverzameling K zitten.

32a OpgaveLeg uit dat het getal

q

1 +

p

1 +

p5 uit opgave 29 construeerbaar is.

32b OpgaveLeg uit dat het getal

cos

2⇡

17

=

1

16

�1 +

p17 +

q

34� 2

p17 + 2

r

17 + 3

p17�

q

34� 2

p17� 2

q

34 + 2

p17

!

construeerbaar is. Dit is de x-coördinaat van een punt van de regelmatige zeventienhoek, diewe in de volgende paragraaf met behulp van het programma Geogebra gaan construeren.De beroemde constructieproblemen kunnen als volgt worden vertaald naar algebra:Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel).Zit

p⇡ in het lichaam van construeerbare coördinaten K?

Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken).Van welke regelmatige veelhoeken zitten de coördinaten van de hoekpunten4 in het lichaamvan construeerbare coördinaten K?Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek).Laat ✓ een construeerbare hoek zijn. Zitten de coördinaten cos

�

✓

3

�

en sin

�

✓

3

�

in het lichaamvan construeerbare coördinaten K?Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem – verdubbeling van een kubus).Zit 3

p2 in het lichaam van construeerbare coördinaten K?

2.4. GeogebraHet computerprogramma Geogebra is een veelzijdig en gratis programma waar je wiskundemee kunt doen en eenvoudig tekeningen en applets mee kunt maken. Met name de meetkundigemogelijkheden van het programma sluiten goed aan bij het onderwerp van deze Module: hetconstrueren met passer en liniaal. Er zijn knoppen voor ieder van de spelregels PL1 t/mPL6 en de basisconstructies B1 t/m B6 uit het vorige hoofdstuk. Bovendien is interactief:als je eenmaal een meetkundige constructie hebt gemaakt kun je met punten slepen om teonderzoeken wat de gevolgen zijn.Hebben we een bepaalde constructie eenmaal uitgevoerd en begrepen, dan kan deze dienenals bouwsteen in volgende constructies. In de Elementen gebruikt Euclides dit principe heelstrikt: dit boek is een bouwwerk, waarbij eerder bewezen stellingen worden ingezet om nieuwestellingen te bewijzen. Als iets bewezen is, dan is dat voor de eeuwigheid en Euclides bewijstdan ook nooit twee keer hetzelfde. Ook in Geogebra kun je dit idee mooi uitvoeren: naast devoorgeprogrammeerde basisconstructies kun je als gebruiker ook je eigen knoppen maken viade zogenaamde Macro’s.Via uitgedeelde werkbladen en een computerpracticum maak je kennis met (de meetkundigekant van) Geogebra en werken we samen aan nieuwe knoppen voor een meetkundige reken-machine.

4De scherpe lezer zal opmerken dat het eigenlijk gaat om de hoek 2⇡n die construeerbaar moet zijn. De exacte

positie van de hoekpunten hangt immers af van de afstand van de hoekpunten tot het middelpunt van de veelhoek.Toch blijkt dit voor de construeerbaarheid uiteindelijk niet uit te maken.

32

Geogebra werkblad: de meetkundige rekenmachine

Ga naar de volgende website en download de webstart versie van het programma geogebra

http://www.geogebra.org/cms/nl/download

Je ziet twee vensters: links het algebra venster waarin de namen en eigenschappen vangetekende objecten staan en rechts het tekenvenster. Bovenin staat een knoppenbalk metdaarin de meetkundige gereedschappen gesorteerd op type: punten, lijnen, veelhoeken, cirkelsen transformaties.

Onder elk icoontje zijn weer andere tools te vinden van hetzelfde type via het kleine driehoekje.Dit zijn alle tools:

Icoon nummer 5 is bijvoorbeeld het snijpunt van twee objecten, nummer 8 de middelloodlijnvan een lijnstuk enzovoorts. Zodra je een knop hebt geselecteerd kun je naast de knoppenbalklezen wat voor input Geogebra van je verwacht.

Opdracht 1: de omgeschreven cirkel van een driehoekIn deze Geogebra-opdracht maak je een nieuwe Macro – een nieuw stuk gereedschap inGeogebra – en onderzoek je eigenschappen van de omgeschreven cirkel van een driehoek.

1 Geogebra opdracht

Teken een driehoek 4ABC met behulp van het icoontje . Construeer met behulp vanmiddelloodlijnen de omgeschreven cirkel van 4ABC .

Geogebra werkt met onafhankelijke en afhankelijke objecten. In de constructie die je zojuisthebt gemaakt zijn de hoekpunten van de driehoek onafhankelijk – je kunt ze verplaatsen doormet het pijltjesicoon erop te klikken – en de andere objecten zijn afhankelijk: ze veranderenautomatisch mee.

33

Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen

2 Geogebra opdrachtSleep met de hoekpunten van de driehoek. Voor welke bijzondere driehoeken ligt het middel-punt van de omgeschreven cirkel op één van de zijden? En waar op de zijde kan dit middelpuntliggen?

De knoppen van geogebra zijn natuurlijk handig, maar soms niet voldoende: als je een be-paalde basisconstructie vaak moet uitvoeren is het prettig om zelf een nieuwe knop te kunnentoevoegen.

3 Geogebra opdrachtMaak via het menu “Macro’s” een nieuwe Macro aan, die als beginobject de drie hoekpuntenvan de driehoek heeft en als eindobject de omgeschreven cirkel. Geef de nieuwe knop eennaam, begin weer met een schoon geogebra-blad en probeer hem eens uit!

4 Geogebra opdrachtWat gebeurt er met de omgeschreven cirkel als de drie punten (bijna) op één lijn liggen?

Inleveropdracht: de meetkundige rekenmachine

Teken op een willekeurige plek een lijnstuk, waarvan we de eindpunten A en B lengte delengte a noemen. In het algebra venster aan de linkerkant zie je deze punten en het lijnstukals het goed is verschijnen. Teken daaronder een kleiner lijnstuk met eindpunten C en D enlengte b. Teken daaronder een nieuw punt P .

5 Geogebra opdrachtConstrueer het punt (a, 0) en het punt (0, b). Om de lijnstukken naar de oorsprong te ver-plaatsen kan het icoontje handig zijn.Gebruik vervolgens de constructie van paragraaf 2.3 om een lijnstuk met lengte a+ b te con-strueren.Gebruik ten slotte het icoontje . Klik op het punt P en kijk in het Algebra venster aan delinkerkant zien hoe het lijnstuk met lengte a + b heet. Die naam typ je in. Het resultaat isals het goed is een lijnstuk met lengte a+ b en punt P als één van de eindpunten.De oorsprong heeft nu waarschijnlijk een naam gekregen, zeg punt E. Ga naar het Algebravenster en vervang nu eerst in alle definities waar het punt E in voorkomt deze door (0, 0).Dus Segment[E,F] wordt Segment[(0,0),F] etcetera.Maak een nieuwe macro (knop) in geogebra met als input de punten A,B,C,D, P en alsoutput het lijnstuk met lengte a+ b en eindpunt P (haal de coördinaatassen weg bij de input).

Je kunt in het menu Macro’s beheren en opslaan als klein bestandje met extensie .ggt. Dezebestanden zetten we neer op een centrale plek zodat we ze kunnen uitwisselen.

34

6 Geogebra opdracht

Doe hetzelfde als in de vorige opdracht, maar nu voor een lijnstuk met lengte a � b. Let opdat je in het begin a > b had gekozen..

7 Geogebra opdrachtDoe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte ab. Gebruikde bijbehorende constructie uit paragraaf 2.3.

8 Geogebra opdrachtDoe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte a

b

. Gebruikde bijbehorende constructie uit paragraaf 2.3.

9 Geogebra opdrachtDoe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte

pa. Gebruik

de bijbehorende constructie uit paragraaf 2.3.

Als het goed is hebben we nu een aantal macrobestanden waarmee we de operaties +,�,⇥,÷,p

meetkundig kunnen uitvoeren.

De eerste wiskundige die na de Grieken een nieuwe regelmatige veelhoek construeerde wasKarl Friedrich Gauss. Toen hij in 1799 achttien jaar oud was gebruikte hij complexe getallenen algebra om te bewijzen dat

cos

2⇡

17

=

1

16

�1 +

p17 +

q

34� 2

p17 + 2

r

17 + 3

p17�

q

34� 2

p17� 2

q

34 + 2

p17

!

10 Geogebra opdracht (Eindopdracht)Leg uit waarom de regelmatige 17-hoek construeerbaar is met passer en liniaal. Construeermet behulp van de macro’s in geogebra een regelmatige 17-hoek en treed in de voetsporenvan Gauss.

35

Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen

Samenvatting H2

Door het invoeren van een assenstelsel konden we praten over de verzameling van coördinatenvan construeerbare punten K. Dit is een verzameling van getallen, waardoor constructiepro-blemen kunnen worden vertaald naar algebra.We hebben op een nieuwe manier naar getallen gekeken: het zijn verzamelingen die geslotenonder operaties zoals +,�,⇥,÷ met de gebruikelijke rekenregels. Een verzameling die 0 en1 bevat en gesloten is onder al deze operaties heet een lichaam. De verzameling K bleek eenlichaam te zijn dat ook nog eens gesloten is onder worteltrekken. In het volgende hoofdstukbewijzen we dat K het kleinste lichaam is met deze eigenschap.

operaties +⇥ +�⇥ +�⇥÷ +�⇥÷p

gesloten onder operaties N Z Q K

We hebben in geogebra een meetkundige rekenmachine gemaakt waarmee de operaties + �⇥ ÷ p kunnen worden uitgevoerd. Rond het jaar 1800 ontdekte Gauss via algebra dat éénvan de punten van een regelmatige zeventienhoek als x-coördinaat heeft

cos

2⇡

17

=

1

16

�1 +

p17 +

q

34� 2

p17 + 2

r

17 + 3

p17�

q

34� 2

p17� 2

q

34 + 2

p17

!

Met deze informatie en de meetkundige rekenmachine hebben we in navolging van Gauss eenregelmatige zeventienhoek geconstrueerd.De beroemde constructieproblemen kunnen als volgt worden vertaald naar algebra:

Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel).Zit

p⇡ in het lichaam van construeerbare coördinaten K?

Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken).Van welke regelmatige veelhoeken zitten de coördinaten van de hoekpunten in het lichaamvan construeerbare coördinaten K?

Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek).Laat ✓ een construeerbare hoek zijn. Zitten de coördinaten cos

�

✓

3

�

en sin

�

✓

3

�

in het lichaamvan construeerbare coördinaten K?

Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem – verdubbeling van een kubus).Zit 3

p2 in het lichaam van construeerbare coördinaten K?

36